Inicio Objetivos Aplicaciones Autoevaluacin MatLab Ejercicios y Problemas Varios ContactoDescripcinBlog educativo destinado a los alumnos que cursan lgebra II de las carreras del Profesorado en Informtica y Licenciatura en Sistemas de Informacin en laFacultad de Ciencias Exactas y Tecnologasde laUniversidad Nacional de Santiago del Estero Argentina.Tu grupo en FacebookNOTAS Y RECORDATORIOS

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Final del formularioTransformaciones Lineales. Valores y Vectores PropiosPublicado por Mara Ins Morales | |ejercicios,transformaciones lineales,valores y vectores propios|58 comentarios Finalizando ya el dictado de la asignatura, nos acercamos al 3 parcial. Si llegaron hasta aqu, significa que son capaces de regularizar la materia, entonces no decaigan ni se duerman en los laureles, es hora de redoblar esfuerzos para alcanzar la meta. Ustedes son capaces.Les aconsejo que repasen la teora y realicen toda la ejercitacin posible.Y recuerden:Nunca piensen que la ejercitacin que han realizado es suficiente, siempre hay algo ms para aprenderA continuacin les indico algunas pginas de Internet que contienen ejercicios sobre los temas que se tomarn en el parcial. Enlace 1: pgina que contiene algunos conceptos tericos y ejercicios con su respuesta de transformaciones lineales, matriz asociada a una transformacin lineal y diagonalizacin de matrices. (Aclaracin: algunos autores denominan Kernel al ncleo de una transformacin lineal y nulidad a su dimensin). Enlace 2:Prctica de transformaciones lineales del Departamento de Matemtica dela Universidadde Alcal - Espaa. Enlace 3: Pgina con ejercicios resueltos de transformaciones lineales. Enlace 4: Conceptos tericos de valores y vectores propios (autovalores y autovectores) en wikipedia y la descripcin de algunas aplicaciones. Enlace 5: Ejercicios y problemas de valores propios, vectores propios y diagonalizacin de matrices. Enlace 6: Ejercicios propuestos de valores propios y vectores propios y diagonalizacin de matrices

Recuerden que los docentes y ayudantes estudiantiles de esta ctedra tenemos disponibles horarios de consulta y este blog es tambin un medio para hacerlo, no desaprovechen estas posibilidades.Siempre los esperamos.la profe Mara Ins58 comentarios1. Annimo// 17 septiembre, 2008recien descubro este blog, en unos dia rindo el final, seguramente me va a ser de mucha ayuda, se agradece2. Annimo// 09 diciembre, 2008excelente trabajo, gracias a el me gradue como ingeniero en refrigeracion y empuje3. Annimo// 13 diciembre, 2008nice surprisethough i gotta say i'm still learning about using my blogso... that's itat least for now

on a bite

D.P.4. Gonzalo// 18 diciembre, 2008Este blog ha sido eliminado por un administrador de blog.5. Annimo// 02 enero, 2009Recin encuentro este blog y est buensimo. Yo estudio profesorado de Fsica en Rivera, Uruguay y me sirve mucho para el examen de lgebra Lineal. Gracias, buen ao!Saludos!Richard6. Rodolfo// 17 enero, 2009que bueno el blog. yo estudio en la universidad nacional de tucuman, y curse esta materia. ahora tengo que rendir el final y me va a servir mucho.gracias!7. Annimo// 04 mayo, 2009hola profe como anda???muy bueno el blog... soy alumno de LSI de la universidad nacional y tengo poca informacion sobre lo que es una proyeccion ortogonal.

y mis dudas son acerca de la interpretacion geometrica, como debo encarar eso para estudiar...

gracias!! un saludo8. Mara Ins Morales// 06 mayo, 2009Hola Annimo y perdn por no responder rpidamente a tu consulta, lo que ocurre es que muchas veces no dispongo del tiempo necesario.Lo que vemos en esta asignatura respecto al tema que mencionas es proyeccin de un vector sobre otro para luego aplicarlo en el proceso de Gram-Schmidt. Si tus dudas tienen que ver con la interpretacin geomtrica, prepar una pequea nota que te ayudar. La puedes ver, haciendo click en:

Proyeccin de un vector sobre otroEspero que te sea til ;)Saludos y gracias por visitar el blog.9. Migue Flores// 16 mayo, 2009Hola, buscando informacion sobre transformaciones lineales, descubri esta pagina y es interesante.Yo queria consultar una cosa, porque este lunes 18 de mayo rindo un control de algebra, y tenia un par de dudas!Que son las transformaciones lineales con cizalladura?Cuando un T.L. es inyectiva y sobreyectiva.?y Si podria ayurme a enteder este ejercicio:T:R3_____R4 definida por T(x,y,z) = (x-y,0,-y+z,x-2z)Me da como respuesta que el nucleo es: N(t) = {(x,y,z) / x/2 =y=z} = recta de R3y su imagen es: R(t) = {(x,y,z,t) e R4 / y=0} hiperplano de R4.Porque???.Bueno si puede responder antes del lunes genial!. Saludos.

Migue10. juan pablo// 20 mayo, 2009ups lo de arriba no es una TL... porke no cumple con esa condicion asi que estaria malo de raiz11. Mara Ins Morales// 22 mayo, 2009Perdn Migue por no responder con la urgencia que necesitabas, de todos modos intentar evacuar tus dudas que pueden ser tambin las dudas de otros.En primer lugar debo aclarar a Juan Pablo, que T: R3--->R4 definida por T(x, y, z)= (x-y, 0, -y+z, x-2z)si es una transformacin lineal, basta con probar que para todo (x,y,z), (x', y', z') de R3 y para todo escalar k de R:T((x, y, z) + (x', y', z') ) = T(x, y, z) + T(x', y', z')y T( k(x, y, z) ) = k T(x, y, z)Una transformacin lineal es esencialmente una funcin por lo que es posible usar las definiciones tanto de funcin inyectiva como de funcin sobreyectiva para determinar de qu tipo es la transformacin lineal dada. Pero al tratarse de transformaciones lineales tenemos otra alternativa, por ejemplo usar la condicin necesaria y suficiente para que una transformacin lineal sea inyectiva.

Resumiendo, podemos emplear lo siguiente:Sea T: V ---> W una transformacin lineal:* T es inyectiva si y solo si N(T) = {0v}(slo para transformaciones lineales)Adems:* T es sobreyectiva si y solo si Im(T) = W(Im es el conjunto imagen)

luego si hallas el ncleo y la imagen de T puedes determinar si T es inyectiva y/o sobreyectiva.

Para obtener el ncleo de una transformacin lineal debemos buscar aquellos vectores del primer espacio (R3), cuya imagen es el vector nulo del segundo espacio (R4), as:N(T) = {(x, y, z) de R3 / T (x, y, z) = (0,0,0,0)} = {(x, y, z) de R3 / (x-y, 0, -y+z, x-2z) = (0,0,0,0)},luego (x, y, z) pertenece al ncleo si satisface la igualdad (x-y, 0, -y+z, x-2z) = (0,0,0,0)por igualdad de cuaternas ordenadas se tiene:

x - y = 0 -------> x = y0 = 0-y+z=0 --------> z = yx-2z =0 --------> z = x/2

lo que conduce a: x = y = z = 0 luego el N(T) = {(0, 0, 0, 0)}y es una transformacin lineal inyectiva.Evidentemente hay un error en la transformacin lineal dada o en el resultado del ncleo. Una transformacin lineal que arroje los resultados que indicas sera por ejemplo: T(x, y, z) = (x-2y, 0, -y+z, x-2z), en ese caso y con el mismo procedimiento obtendras el ncleo mencionado, pero la transformacin no sera inyectiva.

Ahora bien, presta atencin a lo que he marcado con azul en el conjunto N(t) = {(x, y, z) /x/2 = y = z}, se trata de las dos ecuaciones cartesianas de una recta en R3 , luego el N(t) es el conjunto de puntos de dicha recta.

Para hallar el conjunto imagen se procede de forma similar:Im(T) = {(x, y, z, t) de R4 / existe (x', y', z'): T(x', y', z') = (x, y, z, t)} =={(x, y, z, t) de R4 / existe (x', y', z'): (x' - y', 0, -y' + z', x'- 2z') = (x, y, z, t)},luego (x, y, z, t) pertenece a la imagen de T si verifica la igualdad:(x-y, 0, -y+z, x-2z) = (x, y, z, t)de donde surge el sistema de 4 ecuaciones lineales con incgnitas x', y', z' :x' - y' = x0 = y-y' + z' = zx' - 2z' = tAplicamos Gauss-Jordan, analizamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada para concluir finalmente que el sistema ser compatible si y solo si y = 0; luegoIm(T)= {(x, y, z, t) e R4 /y = 0}nuevamente observamos la ecuacin pintada en azul y como estamos en R4 corresponde a la ecuacin de un hiperplano.

Espero que te sea til, si ha quedado alguna duda puedes preguntar.

Gracias por visitar el blog y xitos en el estudio.12. Profesor Emanuel// 16 junio, 2009Hola Estimada colega!!!Muy bueno el blog, soy profesor de Secundaria y estoy realizando una Licenciatura de Matemtica Aplicada en la UNL en condicin libre, por lo tanto no tengo la posibilidad de consultar. Me sera de mucha utilidad que me "acercara" material sobre diagonalizacin pero que incluyan las formas de Jordan.Muchas Gracias13. Annimo// 04 julio, 2009buenas horas, soy alumno del I ciclo de ing. de sistemas y computacion de la universidad MOGROVEJO chilayo-per.Necesito de su ayuda en un trabajo sobre "diagonalizacion de valores y vectores propios" si puede explicarmelo mucho mejor, espero su respuesta. o enviarmelo a mi correo:victor_it12@hotmail.comes importante para mi examn.GRACIAS POR SU COMPRENSIN !!ATTE: VICTOR ANTONIO14. Annimo// 18 julio, 2009hola profe, acabo de ver su blog hoy y me parecio interesante de verdad! la felicito por su blog me parace muy chevere!.... bueno llegando al grano tengo una duda con unos de los ejercicios del primer enlace que usted publico, el ejercico es el siguiente:

T(P(x))=P(x+1)-P(x)

mi duda es la siguiente, en la explicacion del ejercicio muestra que en el primer axioma "se cumple" y quisiera saber el porque? osea yo supe desarrollar el ejercicio pero llegue hasta ahi y al igual que en segundo axioma tmbn no entiendo el porque elminan los P(x+1) y Q(x+1)? y dejan P(x) y Q(x) a que se debe? ....

le agradeceria porfa cuanto antes su respuesta ya que tengo un parcial el lunes y necesito aclarar esa duda!15. Mara Ins Morales// 20 julio, 2009Perdn si la respuesta llega tarde, pero an puede servir.

Primero te dir que P(x+1) y Q(x+1) no se eliminan, como mencionas, dejando a P(x) y Q(x); si observas bien [P(x+1) - P(x)]es la imagen mediante Tde P(x), luego lo que se hace al pasar de la penltima lnea a la ltima esreemplazar[P(x+1) - P(x)] por T(P(x)) al igual que con Q(x).

Quizs lo entiendas mejor si lo resolvemos de la siguiente manera:P(x) + Q(x)es otro polinomio en la variable x, digamos,(P + Q)(x), luego:T( P(x) + Q(x)) = T((P + Q)(x))aplicando al polinomio(P + Q)(x)la funcin T, se tiene que:T((P + Q)(x)) = (P + Q)(x+1) - (P + Q)(x)

Ahora bien,(P + Q)(x+1)es la suma de los polinomiosP(x+1)yQ(x+1)de igual modo(P + Q)(x)es la suma deP(x)yQ(x)por lo que reemplazando en la igualdad anterior:T((P + Q)(x)) = P(x+1) + Q(x+1) - [P(x) + Q(x)]quitando corchetes y reagrupando:T((P + Q)(x)) = [P(x+1) - P(x)] + [Q(x+1) - Q(x)]y como ya lo expres al principio, lo encerrado en el primer corchete del segundo miembro es la imagen mediante T de P(x) y lo encerrado en el segundo corchete es la imagen de Q(x) por lo que:T((P + Q)(x)) = T(P(x)) + T(Q(x))En forma anloga para probar la segunda condicin.16. david// 08 septiembre, 2009Hola como estan todos me llamo David , les escribo de BS AS, soy almuno de 1er anio de Ing, y por casualidad encontre este blog de lo poco que he visto hasta ahora parece muy bueno , y si puedo quisiera hacerte un consulta Profe, bueno es un ejercico de una guia que me piden que transforme geometricamente f(x,y)=(x*cos(t)-y*sen(t),x*sen(t)+y*cos(t)) ... una ayudita me caeria bn mil gracias y suerte.17. Mara Ins Morales// 08 septiembre, 2009Hola David y bienvenido al blog.La transformacin lineal a la que haces referencia es una rotacin, en el plano, de un ngulot, en el sentido antihorario y con centro en el origen de coordenadas.En este mismo blog puedes ver los efectos de una transformacin lineal de ese tipo.En el post:Transformaciones Lineales con Matlabse observan ejemplos, realizados con Matlab, de algunas tranformaciones lineales en el plano. En el ejemplo 3 puedes observar una rotacin de un ngulo de 45 alrededor del origen.Puedes aplicarlefa cada vrtice de un tringulo, por ejemplo, y luego graficar el tringulo original y su imagen rotada.Espero que te sirvaSaludos

la profe18. Annimo// 29 septiembre, 2009Hola a todos estoy realizando una nivelacion de matematicas y me piden hallar la dimension del nucleo y de la imagen T. para esto me dan la matriz asocida en la base canonica. el tema es que no se como hallarlos.

agradezco cualquier luz que men sobre el tema.19. Mara Ins Morales// 29 septiembre, 2009HolaVeamos si te puedo ayudar:Si la matriz A demfilas yncolumnas es la matriz asociada respecto de las bases cannicas de los espacios V y W, de una transformacin lineal T: V ---> W, entonces podemos asegurar que:i) dim V =nii) dim W =miii) rg(A) = dim ImT (el rango de la matriz A es igual a la dimensin de la imagen)Luego, si calculas el rango de la matriz asociada ya obtienes una de las respuestas.La otra la puedes calcular empleando el teorema de las dimensiones:dim V = dim NT + dim ImTLa dimensin del espacio de partida es igual a la dimensin del ncleo ms la dimensin de la imagen de la transformacin lineal.Espero haberme hecho entender.

suerte ;)20. Annimo// 01 octubre, 2009Estimada profesora Maria ines, es ud muy amable en responder tan pronto. No habia podido responder puesto que no habia revisado ya que me encontraba en clases pero estos dias debo dedicarle tiempo practico para terminarlo para el lunes que debo entregarlo.

el encabezado del ejercicio es:

sea T: IR^3--> IR^3 la transformacion lineal cuya matriz asociada en la base canonica es

1 -1 0A -1 2 -10 2 1

entonces calcule su rango es decir hacer nulas el mximo nmero de lneas posible, y el rango ser el nmero de filas no nulas. de este modo me dio de rango 2. entonces comorg(A) = dim ImT; la dimension de la imagen de T es 2.es correcto?

Por otro lado mi duda es si la dimension del espacio de partida es decir IR^3 es 3? si es asi aplicando el teorema de las dimensiones es fcil ver que la dimension del nucleo debe ser 1 para que se cumpla la igualdad del teorema. es asi estimada profe o estoy errado?

no s si estoy bien.de nuevo mil gracias profe.PD: como puedo saber si T es invertible?21. Annimo// 01 octubre, 2009Hola gente mi nombre es marco...me encontre con este blog y es realmente genial.

tengo unas inquietudes:*en un prctico me piden:

1. mostrar que si A={(x,y)pertenece IR^2 / X^4 + y^2 IR es acotada.

profe pero la verdad este tema me confunde.

espero me puedas ayudar ya que maana por la tarde rindo el examen.

profe para el primero puedo usar el el teorema de heine borel. pero no se como demostrar que el conjunto que nos dan es cerrado y acotado.bueno me despido gracias..22. Mara Ins Morales// 05 octubre, 2009Para Annimo 1:Si pusiste bien los datos en el comentario, cometiste algn error al calcular el rango de la matriz ya que en realidad es 3. Por lo dems tu razonamiento est bien.Por otro lado, en el conjunto de matricesnxn, slo las matrices de rangonson inversibles. En este caso como la matriz presentada tiene rango 3 se tiene que es inversible.Saludos y xitos23. Mara Ins Morales// 05 octubre, 2009Para Annimo 2:Lamentablemente no puedo ayudarte, en primer lugar por tu urgencia y por mi falta de tiempo.Este tema, al no corresponder a lgebra Lineal, hace un buen tiempo que no lo manejo por lo que tendra que buscar bibliografa y refrescar algunos conceptos, pero son las 1:41 hs y dentro de pocas horas debo ir a trabajar. Si hubiramos tenido ms tiempo te ayudaba, siempre est bueno recordar aquellos contenidos que quedaron muy al fondo del bal.Deseo que tengas xitosSaludos y gracias por visitarnos.