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Title Role of Tensorial Formulations in Characterizing the Pointwise Multi-Dimensional Performance of Dynamic Systems

Author(s) Takizawa, Haruo

Citation 北海道大學工學部研究報告, 145, 1-12

Issue Date 1988-12-27

Doc URL http://hdl.handle.net/2115/42177

Type bulletin (article)

File Information 145_1-12.pdf

Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP

https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/about.en.jsp

北海道大学工学部研究報告

第145号（昭和63年）Bulletin　of　the　Faculty　of　Engineering，

　Kokkaido　University，　No．　145　（1988）

　　ROLE　OF　TENSORIAL　FORMULATIONSEN　CffARACTERIZING　THE　POKNTWISE　　MULTI－DgMENSIONAL　PERFORMANCE　　　　　　　　　　　　OF　DYNAMIC　SYSTEMS

　　Haruo　TAKIzAwA＊

（Received　September　IO，　1988）

Abstract

　　　　　A　family　of　mathematical　formulations　of　a　strictly　tensorial　nature　is　shown　to

be　advantageousiy　used　for　obtaiRing　better　insights　into　the　pointwise　multi－

dimensional　features　of　earthqual〈e　shal〈ing　and　structural　response．　This　can　be

rendered　sufficiently　general　and　resorts　primarily　to　the　tensors　of　root－square　values

or　root－mean－square　amplitudes　including　aiso　the　tensors　of　their　time－domain　and／or

frequency－domain　decoinposition．　By　permitting　to　interpret　a｝i　these　tensors　consis－

teRtly　by　meaRs　of　the　energy　fed　into　simpie　oscillators　of　muiti－dimensional　isotropy，

th・憤・dl・id・・1・・1・・a・e　t・be　ass｛9・・d　w｛thi・th・f・am・w・・k・f・t・u伽，ai　dy。。mics．

Spectral　decompositioR　accompanies　an　Herinite　and　non－negative　definite　tensor，

rnechanical　implication　of　its　complex　cross－correlatioR　components　being　noted　with

a　specific　interest．　With　the　mechanics　of　structure　related　straightforwardiy　to　the

multi－dimensioRal　characteristics　of　earthquake　shakings，　findings　in　the　present　study

・・eth・・highlight・曲y　g・・m・t・lc　simpii・itie・whi・h・h・・act。，lze　th。　te。s。，　fi。lds。f

response　developed　over　the　constitutive　points　of　system．　They　prove　useful　for

understanding　important　trends　behind　the　quite　messy　appeareRce　of　spatial　distribu－

tion．　．Examined　in　addition　are　practically　important　but　non－tensorial　properties　in

the　pointwise　directionai　depeRdence　of　peak　amplitudes．

Instructive　Equalities　for　a　MechaRieal　Understanding

　　　　　　　　　of　Mathematieally　Defined　TeRsors

　　　　　For　a　mu｝ti－dimensional　time　history，　｛a（t）｝，

rotating　coordinate　axes，　two　matrices　of

which　exhibits　its　vectorial　nature　upon

［P（t，　Q））］　＝　Re（｛F（t，　（v）｝Mt（t　bl）｝i”）

w…｛F（1，・）｝イ｛・（・、〉｝・x，（一｝ωt1）・・、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　co

’AuSiegEiaFtaeceiOyfeoSfSOErnig’：．nCehearriigtE．Of　the　Chair　of　Structural　Engineering　1　（Department　of　Architec．

2 Haruo　TAI〈lzAWA 2

　　　［P’（t，ω，ζ）］＝Re（｛F’（t，ω，ζ）｝｛F’（t，ω，ζ）｝T）

　　　　　　　w・th｛・，（・，ω，ζ）｝一IL（｛・（t1）｝・xp（一ζω（・一t1）））…←jfi　g　bl・1）d・，

are盒rst　introduced。　Obviously之hey　prove　real，　symmetric　and　Ron－negative　definite　ten－

sors．　Physlcal　meaniRg　of　each　te登sor　is　also　clear　therein；［P（t，ω）］112　stands　for　the

or（iinary　Fourier　amplitude　of｛a（t1）｝tmncated　at　ti　：t，　while　［P（t，ω，ζ）］1’2　corres－

pondsωits　evolutionary（instantaReous）Fourier　amplltude　weighted　toward　t　under　a

suitable　choice　of　the　parameterζ．　With　relation　to　the　former　tensor，　a　multi－dimensional

version　of　Husid　piot：

　　　　〔E（・）］一△｛・（t1）｝｛・（t1）｝・d・1

　　　　　　　　　【一÷九．．〔・（・，ω）］・・】

is　addidonally　used．　Thls　incl“des，　as　its　particular　case　of［E（○○〉］，　the　squared　RS

（root－sq縦are）or　RMS（root－mean－square）i跳ensity　tensors　proposed　by　Arias　or　PenzieR．

　　　　　Then　let　another　set　o負wo　matrices（real，　symmetric，　non－negative　definite　a登d

tensor1al）be　def盈ed　witho級t　resorting　to　the　Fourier　integral　tra捻sform　but　by　means　of　the

motion　of　isotropically　multi－dimensional　simple　oscillat6rs　subjected　to｛a（t）｝；

　　　　［W（・，ω，ζ）］一一∫1（｛・（el）｝｛a（・・）｝・＋｛a（・1）｝｛・（・1）｝・）・・1

　　　　　　　　　　　　　　【一｛a（・）｝｛a（・）｝・＋・ζω　f．1｛a（t1）｝｛a（・1）｝・d・・＋・・｛・（・）｝｛・（の円

　　　　［W，（・，・，ζ）Ha（・）｝｛a（・）｝・＋ζω金（｛・（・）｝｛・（・）｝・）＋ω・｛・（・）｝｛・（・）｝・

　　　　　　　　　　　　　　　　コ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ

　　　　　　　wiもh　｛d（t）｝÷2ζの｛d（t）｝十ω2｛d（t）｝m一｛a（t）｝

　　　　　　　　　　　（notation　of｛d（t）｝used　instead　of｛d（t，（i），ζ）｝for　brevity）

Of　these，（1／2）［W（t，ω，ζ）l　provides　a　necessary　a識d　sufficle織t　tool　to　represent　the　work

transmitted　into　the　oscillator　until　t　under　the　action　of｛a（t）｝。　Its　second　term　of　e登ergy

dissipation　is　replaced　in［W’（t，ω，ζ）］by　a　totally　differe就appearence　of　the　damping

actio登having　no　immediate　mechanical　mea鍛1簸g．　With　its　i簸signiflcant　contrib鷺tlon，

（1／2）［W’（t，ω，ζ）］equals　essentially　to　the　te鍛sor　of　kinetic　plus　strain　energles　stored　ln

the　OSCi至latOr　at　t。

　　　　　It　can　be　shown　thatthe　two　groups　of　tensors　are　mathematically　related　oRe　another

by、the　following　strict　equali乞ies．

f。．．w（ω・ω，ζ）［・（・，ω1）］…1一：［W（・，・，ζ）］

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4／π）（油ω12

　　　　　　　wlth　w（ω1，ω，ζ）＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ωユ2一ω2）2→一4ζ2ω2ω12

　　　　［P’（t，ω，ζ）］：［W’（t，ω，ζ）］

・踏

Holi

day　

l　nn

　re

cord

．　Sa

n　Fe

rnan

do　

EQ．

　Fe

b．　

9．　

1971

　　　　　　　　　　　　　　

NOOW　

component　

（peak　

acceleration　

＝　

250．

0　gal｝

horizontal　plane

　s　

gew

　　＿こE（

・・）］ユ／2

｛a（

t）｝

period　

C＄ec）

s．o

3．0

2．0

1．0

O．7

O．5

O．3

O．2

O。葦

…　

　二

二亀

e9（

≠〉鉛《2

　　

　　

　　

　　　　　　　　雷紹魅も魅⑳魅蟻蟻馬亀馬9曾

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＠98　

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亀噂θθ◎09

9・噺・・…　　。

・　9　

・　θρ§i）　φ葛

も魁

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　…

　　

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　…

　　

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ee　e　

g　．　

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④8　

亀㊥

働｛

多　

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●　ρ　∈珍柳　動　㊧　8　

0　◎　．　。

・　o馬

留亀0　

9　・　。　・

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一　

　　

　一

　　

　　

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一　　　　

十　

　　

　十

　　

　　

i　　　　一　　　　一　　　　i　

　　　一　　　　一　　　　t

［ec

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t　，

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　，

　O．

05）

］i／

2

［w（

co　

，　

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，　

o．os

）］

i／2　

（li）

hori

zo－n．ta．　．

1．

．plane　

e

　　S90W

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Neow　

Eli）

Kv－loo　

kine　＄

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ee te

F韮gure

　1

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IO　15

　20

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　45

　5e

　55

co

臣 塁 1罎

／gz．

覇 ：，g／

羅 i，／1／

蒙 轟 IZ’5

N

4 Haruo　TAKIZAwA 4

With　definite－integral　and　limiting　properties　of

f，　co　w（bli，　bl，　g）　dbl，　i　1

　　　lim　w（bli，　（h），　e）　＝　6（bli－bl）

　　　　g一．o

the　role　of　w（bli，　bl，　g）　is　understood　as　a　weighting　function　centered　on　bli　＝　（h）　in　the

above　integral　operation．　Actually　［W（t，　en，　e）］　coincides　with　［P（t，　bl）］　averaged　around

bl，　the　smoothing　in　which　becomes　more　notable　according　to　a　larger　damping　factor　of　g．

When　noting　another　definite　integral　of

f，　co　w（blb　to，　g）　dw　＝　一1｝c（g）

where　c（g）　＝

Cos－i

l

coshnvig

for　O　S一　e〈1

for　g　＝＝　1

for　g＞1

a　remaining　link　of

　　　　2　c（g）　［E　（t）　］　＝　f，　co　［w　（t，　fa）　，　e）　］　dcke）

caR　be　obtained．

　　　　　As　evidenced　in　the　foregoing　formulas，　the　energy　fed　into　simpie　oscillators　of

multi－dirnensional　isotropy　permits　to　iRterpret　consistently　all　the　tensors　of　Arias　integra－

ted　intensity，　Husid　time－axis　growth，　Fourier　spectral　modulus，　time－dependent　frequency

content　and　the　likes　of　them．　Thus　the　mathematically　defined　tensors　can　be　assigned

their　iRdividual　roles　within　the　framework　of　structural　dynamics．　An　illustration　in　Figure

1　is　intended　to　demonstrate　such　advantages　wheR　applied　to　the　analysis　of　2－dimensional

earthquake　ground　motions．　This　includes　［W’（t，　o，　e）］”2　and　［W（oo，　bl，　g）］’i2　under

g　＝O．05　as　well　as　［E（oo）］i’2．　A　closed　curve　at　sampled　points　along　time　and　frequency

axes　stands　for　the　locus　obtained　by　tracing　the　tip　of　vectors　that　specify　directional

components　of　tensor．　Appealingly　the　2－dimensional　characteristics　of　available　energy　are

seen　to　differ　in　complicated　features　over　the　combined　domajns　of　time　and　frequency．

These　findings　highlight　the　fact　that　the　overall　tensorial　rneasure　of　［E（oo）］　becomes　of

little　use　for　describing　specific　sit囎tions　of　multi－dimensional　dynamics．

　　　　　　　　　　　　　　　　A　Note　on　the　Cross－Correlation　Components

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　of　Complex－Valued　Tensors

　　　　　The　previous　definitions　of　［P（t，　ao）］　aRd　［P’（t，　ch），　g）］　were　based　on　deletion　of

imagiRary　part　in　complex－valued　matrices．　Then　a　question　may　arise　concerning　what　tke

deleted　part　implies．　Such　complex　matrices　can　be　conditioned，　in　general，　to　be　Hermitian

5　　　　　　　　ROLE　OF　TENSORIAL　FORMULATIONS　IN　CHARACTERIZING

THE　POINTWISE　MULTI－DIMENSIONAL　PERFORMANCE　OF　DYNAMIC　SYSTEMS 5

and　non－negative　definite　tensors．　Furthermore　they　were　composed　of　tensor　product　of

vectors　in　the　deterministic　instances．　The　latter　condition　of　tensor－product　decomposition

is　however　not　necessarily　assumed　in　the　following，　which　allows　to　include　stochastic

problems．

　　　　　For　a　tensorial　Hermitian　matrix，　［R］，　it　goes　without　saying　that　its　symmetric　real

part　is　tensorial．　On　the　other　hand，　its　skew－symmetric　imagiRary　part　is　under　differeRt

circumstaRces　during　rotation　of　coordinate　axes．　According　to　its　component　representa－

tion　of

［R］＝　［p，，P一”jq，2　Pi2　p＋，，jq’2］，　1　pi2　P一，’i2q，，　P’2　p＋，，lq’2　Pp3，1　一＋　／iqq3，l

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P3i十jq3i　P23－jq23　P33

in　2－dimensional　and　3－dimensional　instances，　respectively，　the　single　component　of　qi2　iR

2－dimensional　instances　turns　out　to　be　invariant，　while　the　three－component　set　of　（q23，　q3i，

qi2）　in　3－dimensional　instances，　when　picked　up　and　arrayed　in　the　current　manner，　is

subjected　to　a　vectorial　transforination．　Discussiens　are　henceforth　focused　upon　siinpler

2－dimensional　instances　due　to　space　limitation．

　　　　　Among　the　4－dof　parameters　of　［R］，　invariants　consist　of　pii十p22，　pnp22　rmpi22　and

qi2．　lts　positive　definite　condition　is　given　by　pii十p22　〉　O　and　piip22－pi22　〉　qi22．　Also

this　is　not　positive　definite　but　noR－negative　definite　if　and　only　if　pii十p22　〉　O，　piip22　rmpi22

：　qi22　and　qi2＃　O，　by　disregarding　trivial　cases　that　reduce　to　1－dimensional　problems．

Under　the　two　situations　combined，　normalization　by　use　of　the　principal　axes　identified　for

the　real－part　£ensor　leads　to

［R］　＝＝　psnajor

＝　Pmajor

where　pmaior　（＞O），

（［

［

costh

SiRlbn

　cosV　一sinth

　　sinth　costh

pminor　（＞e）　and

　　　　　］［

1

0

　　1

－jrσr

エ］L：彫溜」＋［

ji9　］［COSψ　si妙msin＆th　cosyb］

一j，eメ@jr盾п@］）

V　stand　for　major　and　minor　principai　values　and

orientation　angle　of　major　axis，　respectively，　and

　　　r　＝　．／L121’！ll！｝9Li’iOr　（O　〈r＄　1）

　　　　　　　　　Prnajor

　　　cr　m　r＝＝llll’L＝2　＝：一：＝＝llli’l12　（ldl＄1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　幽

Without　｝oss　of　generality，　a　particular　case　of　th　x　O　is　chosen　below．

　　　　　Decomposition　of　the　above　tensor　into　a　tensor　product　of　mutually　complex　conju－

gate　vecters　：

　　　　［R］　＝　｛V｝｛V｝T

6 Haruo　TAI〈lzAWA 6

　　　　　　　With　｛V｝　＝　Vi5filEi51r（一」，　lg．．）　eXP（」ip）

is　strictly　contingent　upon　」61　＝　1，　and　a　single　phase　factor　of　di　remains　indeterminate

there．　On　the　contrary，　its　Choleski　decomposition　：

　　　　［R］　＝　［L］［L］T

　　　　　　　w・・hこ・1乖［一喜。∴］（・1・w・・…ang・1・・）

becomes　a｝ways　possible　under　the　non－negative　definite　requirement．　Associating　this　with

a　stochastic　phase　vector　of　L　exp（jdii）　exp（jdi2）　J　where　qsi　and　q52　are　random　variables

satisfying　E　lexp（」（dii－di2））1　＝　O，　an　aiternative　expression　of　the　latter　decomposition　is

given　by

　　　　［R］　＝＝　E｛｛V・｝｛V，｝T］

　　　　　　　with　｛v’｝　＝　miiiEi6：　（，（ri．，．p（jipesP＋（jrlt（lil－gE一）　，．p（jip，））］

Thjs　indicates　that　even　the　tensor－product　decomposjtion　can　be　free　from　any　requisite

when　considering　the　problem　in　a　stochastic　sense．　The　dimensionless　factor　of　6　is　to

describe　therein　the　degree　of　statistical　dependence　or　independence　observed　between

major　and　minor　components．　Restricted　to　completely　dependent　situations　of　if　＝±1，

only　a　single　phase　factor　of　dii　is　retained　which　corresponds　directly　to　the　deterministic

cases．　EveR　though　the　role　of　d　is　totally　inconceivable　in　deterministic　problems　save　for

the　ambiguity　of　its　sign　（no　more　than　the　relation　of　　q12＝±面『〉，　such

a　stochastic　extension　will　certainly　merit　some　attentions．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　GeOlne亡r量。　Simplic量ties

　　　　　　　　　　　　　　　　　Evidenced　in　the　Tensor　Fields　of　Response

　　　　　Consider　a　multi－dimensional　time　history，　｛b（t）　｝，　which　is　specified　by　a　linearly

combined　set　of　multi－diinensional　time　histories　：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　’

　　　｛b（t）｝”　2　［t（3u）］｛id（t）｝

　　　　　　　　　　　　i

These　time　historles　can　be　either　deterrrainistic　or　stationarily　stochastic　with　constant

rectangular　matrices　of　［」（6u）］．　Then　form　a　matrix　of　squared　RS　or　RMS　intensity，

［B］，　for　｛b（t）｝．

［B］，．

m（1一“ie，O，lb，il’，’，lb，il’，’Tdt　：：，e：1：［1］，’ll，d8．triM．：liYZtochastic

7　　　　　　　　ROLE　OF　TENSORIAL　FORMULATIONS　IN　CHARACTERIZING

THE　POINTWISE　MULTI－DIMENSIONAL　PERFORMANCE　OF　DYNAMIC　SYSTEMS 7

　　　　　　　＝ΣΣ［1（βU）］［ijR］［j（βU）P『

　　　　　　　　　　i　l

　　　　　　　w…e〔・jR］迂二．．｛・d（・）｝｛・d（・）｝・d…E【｛・d（・）｝｛・d（・）｝・】（［・・R］一［・jR］・）

Such　relations　of　a　practical　impertance　are　found　in　multi－dimensional　performance　of

systems　for　which　the　classical　modal　formulation　becomes　applicable　under　a　multi－

dimensional　and　vectoria1　ground　acceleration　of｛a（t＞｝．　In　these　instances，｛b（t）｝stands

for　a　subset　in　the　rnulti－dimensional　response，｛id（t）＞　and　£i（βu）］　coinciding　with　the

motion　of　i・th　order　modal　oscillator　of　multi－dimensional　isotropy　and　the　associated　matrix

of　modal　participation　factors，　respectively．　Following　the　equation　of　motion　of

　　　　　　　ロ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゆ

　　　｛歪d（t）｝　十　2iζiω｛韮d（t）｝　十iω2｛肇d（t）｝　＝　一｛a（t）｝

the　matrices　of　［i∫R］　（unsymmetric　for　i≠」）are　characterized　by　their　tensorial　nature．

Still　the　resuiting　symmetric　matrix　of［B］may　or　may　not　be　a　teRsor．

　　　　　With　a　view　to　demonstrati捻g　advantages　in　applying　the　above　simple　formula，　taken

up　is　a　single－story　rigid－floor　system　of　two－way　eccentricity　subjected　to　a　2－dimensional

ground　acceleration．　Response　of　2－dimensional　vectorial　drift　at　an　arbitrary　point（x，　y）

on　the　horizontal　plane　is　assigned　to　｛b（t）｝。　The　x　and　y　axes　are，　for　specificity，　oriented

according　to　principal　axes　of　its　overall　translational　stiffness　with　the　origin　located　on　its

gravity　ce簸ter．　Then

［i（iCiiU）］　＝　det．e．2－t一，E　2　（一i（S8．．一nvYx）　ILiEy　一］exJ　（i　＝：　1　to　3）

in　which　iex　＝iex／i．，　ie，＝ie，／im，　X　＝x／im　and　Y＝＝y／im　with　（iex，　ie，）　and　i．　representing

the　position　of　i－th　order　modal　center　of　twist　and　the　radius　of　gyration，　respectively．

Substitution　of　this　expression　into　the　preceding　formula　yields

［B］（＝r［BB．Xx，　BBX，Y，］）　＝＝　，2．｝，，S，　，jA（一i（％．．；1rmYx）ILje，一y　一（」ex－x）」

　　　　　　　W…ellA一（1＋ie．2＋ie，2）1（、塙、塙、）L…「・・」［・・R］｛甑｝

Differing　from　［ijR］，　symmetry　upon　interchangiRg　indices，　jiA＝　i」A，　features　the　current

riioda｝　factors　of　ijA．　A　rnore　compact　formulation　for　three　componeR£s　of　the　symmetric

tensor　of　［B］　is

　　　Bxx　＝　a（Y’By／a）2　十　（7．．一rs，2／a）

　　　B．，　a　一cr　（R－13k／cr）　（Y’rsy／ev）　一　（yxymfgx／3y／a）

　　　Byy・：α（文一盈／α）2＋（管ゾ底2／α）

　　　　　　　　where　ev　＝　iiA　十　22A　十　33A　十　2（i2A　十　i3月目十　23A）

　　　　　　　　　　　　　　　p．　＝＝　ie．　nA　一1一　2e．　22A　十　3e．　33A

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　十　（，e．　十　，e．），，A　十　（，e．　十　，e．），，A　十　（，e．　十　，e．），，A

8 Haruo　TAKIZAwA8

6，　＝　，e，　，，A　十　2e，　，，A　十　3e，　，，A

　　　　　　　　　　　十（16y十26y），2A十（16y十36y），，A十（26y十緯y）23A

7．．　＝＝　ley2　llA　十　2ey2　22A　十　3ey2　33A

　　　　　　　　　　　十2（，ey2ey　l2A十潭y3ey13A十26y3ey23A）

7．y＝　le．　ley　nA　十　2e．　2ey　22A　十　3e．　3ey　33A

　　　　　　　　　　　十　（，e．　，e，　十　，e，　，e．），，A　一Y　（，e．　，e，　十　，e，　，e．），3A

　　　　　　　　　　　十　（，e．　，e，　十　2e，　，e，）23A

7yy　：lex211A十26x222A十二x233A　　　　　　　　　　　十　2（，e．　，e．　，，A　十　，e．　，e．　，，A　十　，e．　，e．　，，A）

Therefore　the　distribution　of　［B］　on　the　horizontal　plane　is　seen　to　be　quadratic　indicating

the　existence　of　a　center　of　response　at　（B．／a，　6y／a）．　Upon　shifting　the　origin　of　R　and　Y

axes　to　this　characteristic　point，　three　components　of　Bxx，　一B．，　and　B，，　consist，　in　addition

to　separately　different　constants，　of　only　the　single　2nd－order　term　of　Y2，　xy　and　x2，

respectively，　under　a　common　coefficient　of　a．　Moreover　the　parameters　of　a，　Px，　6y，　yxx，

7xy　and　7yy　are　to　be　reiated　simpiy　to　the　response　of　modal　oscillators　reflected　upon　［ijR］　．

　　　　　A　closer　mathematical　examination　concerning　the　tensor　fieid　of　［B］　developed　on

the　horizontal　plane　leads　to　the　following　finding　of　interesting　rules．　When　noting　the

contour　lines　drawn　by　the　principal　values　of　pointwise　tensors，　they　form　a　family　of

confocal　quadratic　curves　and，　at　the　same　time，　a　family　of　orthogonal　trajectories．　More

specifically　the　curves　for　major－axis　and　minor－axis　components　are　elliptic　and　hyperbolic，

respectively．　Another　markedly　simple　feature　becomes　also　apparent　in　the　flow　lines

describing　the　orientation　of　the　principal　axes　of　pointwise　tensors．　Actually　the　latter　can

be　shown　to　coincide　strictly　with　the　above　family　of　quadratic　curves．

　　　　　By　use　of　the　same　ground　motion　as　in　Figure　1，　results　of　an　example　study　are　given

in　Figure　2．　The　three　systems　examined　therein　have　an　identical　relative　stiffness　for　their

coupled　lateral　and　torsional　motion，　only　the　absolute　stiffness　being　designed　to　provide

different　fuRdamental　periods　of　O．3，　1．0　and　2．5　seconds．　lts　upper－half　part　is　intended　to

illustrate　the　2－dimensional　nature　of　response　drifts　at　sampled　poiRts．　lndividual　closed

figures　represent　directional　properties　of　the　RS　tensor　of［B］1／2　in　a　si面lar　way　as魚

Figure　1．　This　includes　［iiR］ii2　shown　on　the　same　scale　for　comparisons．　More　complete

data　are　presented　in　the　lower－half　part　which　involves　full　iRformation　on　the　tensor　field

by　means　of　the　above－noted　contour　and　flow　liRes．　The　geometric　simplicities　observed

there　are　striking　enough　to　highlight　an　advantageous　role　of　the　tensor　formulation．

Numerals　discriminating　each　co就our　line　stand　for　the魚creasing　or　decreas魚g　factors

compared　to　the　major－axis　component　in　［iiR］i’2，　thus　clarifying　the　effects　of　torsion．

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11　　　　　　　　ROLE　OF　TENSORIAL　FORMULATIONS　IN　CI｛ARACTERIZING

THE　POINTWISE　MULTI－DIMENSIONAL　PERFORMANCE　OF　DYNAMIC　SYSTEMS Il

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Pointwise　Directional　Characteristics

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　in　the　Peak　Amplitudes　of　Response

　　　　　The　current　tensorial　approach　is　iRdeed　quite　useful　for　understanding　important

trends　behind　a　messy　appearence　of　the　pointwise　directional　characteristics　in　multi－

dimensional　response　and　their　spatial　distribution．　However　this　does　not　necessarily

comply　with　the　conventional　notions　in　the　practical　design　of　earthquake－resistant　struc－

tures．　From　the　latter　standpoints，　envelope　of　Lissajous’　locus　including　the　associated

rotational　properties　in　orbital　motion，　for　example，　may　be　more　preferable　instead　of　the

RS　or　RMS　tensor．　With　such　lines　of　extension　in　mind　and　by　keeping　still　a　straight－

forward　relation　to　the　tensorial　understanding，　studied　hereafter　is　the　pointwise　directional

dependence　of　peak　amplitudes．

　　　　　The　examination　follows　the　setup　in　Figure　2，　and　its　immediate　concern　is　directed

toward　peal〈　amplitude　in　a　1－dimensional　time　history，　be（t），　extracted　from　｛b（t）　｝　along

a　direction　of　e　on　the　horizoRtal　plane　；

　　　be（t）　：Lcose　sinOj｛b（t）｝

　　　　　　　　　　（also，　ide（t）　＝　L　cose　sinO　J　｛id（t）｝　supplementarily］

Under　complete　lack　of　operationa｝　ease，　clumsy　repetition　of　ad　hoc　evaluations　must　be

continued　along　each　direction　as　well　as　at　each　point．

　　　　　Figure　3　summarizes　results　of　the　examination　concerniRg　the　variation　of　peak

amplitude　depending　upon　0　and　the　associated　field　developed　on　the　horizontal　plane．

Employing　a　preseRtation　form　corresponding　to　Figure　2，　direct　comparisons　are　intended

therein　between　RS　values　and　peak　amplitudes．　For　both　pointwise　directional　and　fieid

characteristics，　discrepancies　are　seen　to　be　minor　enough　from　practical　points　of　view．

Hence　it　is　concluded　that　essential　features　in　the　non－tensorial　properties　of　peak　amplitude

may　be　replaced　by　the　tensorial　formulation．　Note　tkat　the　directional　distributioR　of　peak

amplitudes　is，　in　general，　inconsistent　with　the　envelope　of　Lissajous’　orbit．

BIBLIOGRAPHY

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Takizawa，　H．，　“Nature　of　the　effects　of　torsional　coupling　examined　on　the　tensor　field

of　deformation　response　and　compared　to　the　current　regulations　of　seismic　design，”

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