Integracin Numrica

Integracin NumricaMatemtica Aplicada Clculo NumricoContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesFrmulas de integracin de Newton CotesConstituyen los tipos de integracin numrica ms comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximacin que es fcil de integrar:

Donde = polinomio de la forma

Donde n es el grado del polinomio

Frmulas de integracin de Newton CotesPor ejemplo, en la figura a, se utiliza un polinomio de primer grado (una lnea recta) como una aproximacin. En la figura b, se emplea una parbola con el mismo propsito.

Frmulas de integracin de Newton CotesLa integral tambin se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la funcin o datos, sobre segmentos de longitud constante.Por ejemplo, en la figura, se usan tres segmentos de lnea recta para aproximar la integral.

Frmulas de integracin de Newton CotesExisten formas cerradas y abiertas de las frmulas de Newton Cotes.

Las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los lmites de integracin.

Las formas abiertas tienen lmites de integracin que se extienden ms all del intervalo de los datos.

En general, las formas abiertas no se usan para integracin definida.

Pueden utilizarse para evaluar integrales impropias y para obtener la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesLa regla del trapecioLa regla del trapecio es la primera de las frmulas cerradas de integracin de Newton Cotes.

Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado.

La ecuacin de la recta que pasa por dos puntos puede representarse como

La regla del trapecioEl rea bajo esta lnea recta es una aproximacin de la integral de f(x) entre los lmites a y b:

El resultado de esta integracin es:

Que se denomina regla del trapecio

La regla del trapecioGeomtricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el rea del trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f(b).

ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desiguales

Error de la regla del trapecioCuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante.

Una estimacin del error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del trapecio es

Donde psilon est en algn lugar en el intervalo de a a b.

La ecuacin anterior indica que si la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta.

De otra manera, para funciones conderivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algn error.

EjemploSe solicita que integres numricamente

Desde a = 0 hasta b = 0,8.

Al evaluar la funcin en los lmites

Sustituyendo en la ecuacin obtenemos:

EjemploEl valor exacto de la integral es 1,640533

Esto representa un error de

Que corresponde a un error relativo porcentual de

La razn de este error tan grande es evidente en la figura.

Observa que el rea bajo la lnea recta no toma en cuenta una porcin significativa de la integral que est por encima de la lnea.

EjemploObserva que el rea bajo la lnea recta no toma en cuenta una porcin significativa de la integral que est por encima de la lnea.

Error de la regla del trapecioEn situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero.

Por lo tanto, se requiere una estimacin del error aproximado.

Para obtener dicha estimacin, se calcula la segunda derivada de la funcin en el intervalo, derivando dos veces la funcin original.

Error de la regla del trapecioEl valor promedio de la segunda derivada se calcula (teorema del valor medio para integrales)

Que se sustituye en la ecuacin del error, dando como resultado:

Que es del mismo orden de magnitud y signo que el error verdadero.

ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesLa regla del trapecio de aplicacin mltipleUna forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integracin de a a b en varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno de ellos.

La regla del trapecio de aplicacin mltiple

La regla del trapecio de aplicacin mltipleLas reas de los segmentos se suman despus para obtener la integral en todo el intervalo.

Las ecuaciones resultantes se llaman frmulas de integracin de aplicacin mltiple o compuestas.

La figura a continuacin muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de aplicacin mltiple.

La regla del trapecio de aplicacin mltiple

La regla del trapecio de aplicacin mltipleHay n + 1 puntos igualmente espaciados

En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho:

Si a y b se designan como , respectivamente, la integral completa se representar como

La regla del trapecio de aplicacin mltipleSustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene:

O, agrupando trminos,

O utilizando el hecho de que h = (b-a)/n:

La regla del trapecio de aplicacin mltipleSe tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin mltiple al sumar los errores individuales de cada segmento, as,

Donde la segunda derivada es en el punto localizado en el segmento i.Este resultado se simplifica al estimar la media aritmtica a valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo

La regla del trapecio de aplicacin mltiplePor lo tanto,

Y la ecuacin del error puede escribirse como

As, si se duplica el nmero de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro. La ecuacin constituye una aproximacin al error debido a la naturaleza promedio de la segunda derivada.

EjemploUtiliza la regla del trapecio con dos segmentos para estimar la integral de

Desde a = 0 hasta b = 0,8. Dar tambin una estimacin del error cometido. Recuerda que el valor correcto para la integral es 1,640533Solucin: n = 2 (h = 0,4)

EjemploLos resultados del ejemplo anterior, junto con aplicaciones de la regla del trapecio con tres a diez segmentos se resumen en la tabla siguiente

nhIE Relativ. %20,41,068834,930,26671,369516,540,21,48489,550,161,53996,160,13331,57034,370,11431,58873,280,11,60082,490,08891,60911,9100,081,61501,6EjemploObserva cmo el error disminuye conforme aumenta el nmero de segmentos.

La razn de disminucin es gradual, a causa de que el error est relacionado inversamente con el cuadrado de n.

Al duplicar el nmero de segmentos, el error se divide entre cuatro.ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desiguales

Reglas de SimpsonOtra forma de obtener una estimacin ms exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos.Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden unir con una parbola.

Reglas de SimpsonLas formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson.ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesCuadratura de GaussMtodo de los coeficientes indeterminados

Regla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolacin de segundo grado se sustituye en la ecuacin

Si se designan a y b como x0 y x2, y se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:

Despus de la integracin y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente frmula

Regla de Simpson 1/3 Esta ecuacin se conoce como regla de Simpson 1/3 y es la segunda frmula de integracin cerrada de Newton-Cotes.La especificacin 1/3 se origina del hecho de que h est dividida entre 3 en la formulacin.La regla de Simpson 1/3 tambin se puede expresar usando el siguiente formato:

Regla de Simpson 1/3Se puede demostrar que la aplicacin a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de

Donde epsilon est en algn lugar en el intervalo de a a b.

Regla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 es ms exacta que la regla del trapecio.

En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada.

En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisin de tercer orden an cuando se base en slo tres puntos.

En otras palabras, da resultados exactos para polinomios cbicos aun cuando se obtenga de una parbola.EjemploUtilizando la regla de Simpson, integrar

Recuerda que la integral exacta es 1,640533.Solucin:

EjemploEsto representa un error exacto de

Que es aproximadamente cinco veces ms precisa que una sola aplicacin de la regla del trapecio.

El error estimado es

Donde -2400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.

ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desiguales

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple

As como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integracin en varios segmentos de un mismo tamao

La integral total se puede representar como

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleO, combinando trminos

Observaciones:Se debe usar un nmero par de trminos para implementar el mtodo.

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleUn error estimado en la regla de Simpson de aplicacin mltiple se obtiene de la misma forma que en la regla del trapecio: sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada para llegar a

EjemploUtiliza la regla de Simpson 1/3 con n = 4 para estimar la integral de

Solucin:

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleEl ejemplo anterior demuestra que la versin de la regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple da resultados muy precisos.

Por esta razn, se considera mejor que la regla del trapecio en la mayora de las aplicaciones.

Sin embargo, est limitada a los casos donde los valores estn equidistantes.

Adems est limitada a situaciones en las que hay un nmero impar de segmentos y un nmero impar de puntos.

En consecuencia, una frmula de segmentos impares y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para permitir la evaluacin de nmeros de segmentos tanto pares como impares. ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desigualesLa regla de Simpson 3/8De manera similar a la obtencin de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos integrando:

Para obtener

Donde .

Esta ecuacin se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8

La regla de Simpson 3/8Esta es la tercera frmula de integracin cerrada de Newton Cotes.La regla 3/8 se expresa tambin en la forma

Los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos tienen un peso de 1/8.

La regla de Simpson tiene un error de

La regla de Simpson 3/8La regla de 3/8 es til cuando el nmero de segmentos es impar.

En nuestro ejemplo de clase, usamos la regla de Simpson para integrar la funcin con cuatro segmentos. Supn que ahora deseamos una estimacin con cinco segmentos.

Una opcin podra ser utilizar una versin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.

Alomejor esto no es recomendable, sin embargo, debido al gran error de truncamiento asociado con dicho mtodo.La regla de Simpson 3/8Una alternativa sera aplicar la regla de Simpson 1/3 a los dos primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 a los ltimos tres.ContenidoFrmulas de integracin de Newton CotesLa regla del trapecioError de la regla del trapecioLa regla del trapecio de aplicacin mltipleReglas de SimpsonRegla de Simpson 1/3La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson 3/8Integracin con segmentos desiguales

Integracin con segmentos desigualesHasta aqu, todas las frmulas de integracin numrica se han basado en datos igualmente espaciados.

Existen muchas situaciones en donde esta suposicin no se satisface y se tienen segmentos de tamaos desiguales.

Por ejemplo los datos obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo.

En tales casos, un mtodo consiste en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados.