Integral Introduccion

8/8/2019 Integral Introduccion

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INTRODUCCIN A LA INTEGRAL DEFINIDA

En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una funcin,descubriendo distintos procedimientos para el clculo de primitivas, es decir, se hanencontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedanclaros ni su significado ni su utilidad. stos son los objetivos de este tema, para lo

cual se dar la interpretacin que Riemann, matemtico alemn, dio a conocer en elsiglo XIX.

El clculo de reas de figuras como el cuadrado, el rectngulo, el rombo, etc., adems desencillo tiene un claro significado: el rea de una figura es un nmero que coincide con elde cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionarentonces si cualquier figura tiene rea y cmo se calcula.

Para responder a esta cuestin se puede empezar por tomar una funcin muy sencilla, porejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el rea dela superficie limitada por la funcin, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a laabscisa x= 1.

Evidentemente, la superficie es un tringulo rectngulo de base 1 y altura tambin launidad, por tanto su rea es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar susimplicidad para intentar obtener algo til en otros casos menos sencillos.

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4],[1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectngulos como se observa en la figura, la

suma de las reas de los rectngulos rayados es menor que el rea del tringulo; mientrasque la suma de las reas de los rectngulos punteados, exceden al rea del tringulo.

Calculando estas reas se obtiene:

Al rea por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el rea por exceso, 0,625, seencuentra considerablemente lejos de 0,5.

Ahora bien, si se divide en muchas ms partes el intervalo [0, 1], parece lgico que lasdiferencias que han resultado en el caso anterior, tendern a disminuir. Si se divide ahorael intervalo [0, 1] en nintervalos de longitud 1/n, la superficie que se desperdicia esmenor, si n> 4.

rea por defecto:


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rea por exceso:

Como los numeradores son progresiones aritmticas, el resultado es:

Adems,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un nmero infinitamentegrande de intervalos iguales, el rea por defecto coincide con el rea por exceso y ambascon el rea del recinto que se est calculando.

Particin de un intervalo [a, b]Una particin del intervalo[a, b] es una coleccin de intervalos contenidos en [a, b],disjuntos dos a dos (sin ningn punto en comn) y cuya unin es [a,b]. La particin de unintervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, laparticin se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la particin de[a, b] es:

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a= x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

Ejemplo de particin


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Funcin escalonada Sea funa funcin definida en un intervalo [a, b] y tomando valores enR, f:[a,b] R;fes una funcinescalonadacuando existe una particin del intervalo [a, b]

de modo que ftoma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de laparticin.

Ejemplos de funciones escalonadas

1. La funcin f: [-3, 4] R definida por:

La particin asociadaa f(x) es P= {-3, 2, 4} y en cada intervalo la funcin es constante.

Obsrvese que para cada funcin escalonada existe una infinidad de particionesasociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra particin asociada a f, ya que la funcintoma valores constantes en cada intervalo de la particin.

2. El ejemplo ms representativo de funcin escalonada es la funcin parte

La imagen de un nmero cualquiera mediante E[x] es el mayor nmero entero que esmenor o igual que el nmero del que se parte.

As,E[3,105] = 3

E[5] = 5E[-3,001] = -4E[-1,5401] = -2E[7,32] = 7E[-1,52] = -2

De una funcin escalonada slo van a interesar los valores que toma en el interior decada intervalo que compone la particin, no considerando el valor que toma en losextremos.

INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA

Sea funa funcin escalonada definida en [a, b], y P = {a = x

0, x

1, x

2, ..., x

n= b} una

particin de [a, b]. Si mi es el valor que toma la funcin fen el intervalo (xi-1, xi) (es decir,si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la funcin f en[a, b] al nmero

m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

Este nmero se simboliza por:


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A los nmeros ay bse les llama lmites de integracin, y la anterior expresin se leeintegral, entre ay b, de f(x) diferencial de x.

Propiedades de la integral definida de una funcin escalonada

La integral definida de una funcin escalonada no depende de la particin elegida.Esto significa que si se consideran dos particiones Py P' de una funcin

Si los lmites de integracin, en una integral definida de una funcin escalonada,coinciden, entonces

Si en una integral definida se intercambian los lmites de integracin, el valor de laintegral cambia de signo:

Ejercicio: clculo de integrales definidas de funciones escalonadas

Resolucin:

Se toma la particin asociada P= {-3, -1, 2, 4}

Resolucin:

Se toma, por ejemplo, la particin P= {-2, -1, 0, 1, 2, 3}


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Por definicin,

INTEGRAL DE RIEMANN

Ahora se va a definir la integral de una funcin cualquiera definida en un intervalo[a, b] con la nica condicin de que est acotada, es decir, que exista un nmero M> 0, deforma que la funcin, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -My M.

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para elclculo del rea de un tringulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) h(x) si x[a, b]. De todo ello resultaba que:

En general, para una funcin f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadasg(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) f(x) h(x)cuando x [a, b]. En estas condiciones, si existe un nico nmero Ique cumpla

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x) six [a, b], al nmero Ise le llama integral de f(x) entre a y b.

y se lee integral, desde ahasta b, o entre ay b, de f(x),diferencial de x.

Significado de la integral definida de una funcin


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Si una funcin positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable(existe su

por lagrfica de la funcin, el eje de abscisas y las rectas x = ay x = b.

Si la funcin y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la grfica de la funcin quedarapor debajo del eje de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integralescorrespondientes seran negativas, y puesto que

el reade la regin que determina una funcin negativa es:

Este hecho no debera llamar la atencin si se tiene presente cmo est definida la integralde una funcin escalonada: la suma de las reas de los rectngulos que determina con eleje de abscisas, si la funcin escalonada es positiva y la suma de las reas de losrectngulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la funcinescalonada es negativa.

Finalmente, si la grfica de una funcin queda parte por encima, y parte por debajo deleje de abscisas, la integral se descompondr en varios sumandos cuando se quieracalcular el rea de la regin que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

En la figura adjunta, se ve claramente que:

La definicin de integral de Riemann poco ayuda a su clculo, pues es imposible encontrartodas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra funcin dada. Hay, noobstante, criterios que son mucho ms tiles de cara a decidir si una funcin acotada es


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integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostracin seomite por escapar de los objetivos de este libro.

TeoremaToda funcin continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una funcin continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, decualquier funcin polinmica y, en general, de cualquier funcin continua.

An as, todava no hay nada que permita calcular de una manera rpida la integral de unafuncin f(x) definida en un intervalo [a, b].

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

Sea una funcin y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe

A partir de f(x) se define una nueva funcin Gde la siguiente forma:

Obsrvese que se ha llamado ta la variable de la funcin Gpara no confundirla con lavariable xde la funcin f.

En estas condiciones, si t0

[a, b] es un punto en el que la funcin fes continua, la funcinGes derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivadade la funcin Gen un punto coincide con el valor de fen ese mismo punto, o lo que es lomismo, si la funcin fes continua, la funcin Ges una primitiva de la funcin f.

El teorema fundamental del clculo pone todo a punto para encontrar un mtodo quepermita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar laimportante consecuencia que de l se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.

Regla de Barrow Si y = f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b], y F(x) una funcin definida en [a,b],derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x (a, b), entonces

Este resultado es conocido, frecuentemente, por segunda parte del teorema fundamentaldel clculo. Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de unafuncin continua, basta con encontrar una primitiva de la funcin, sustituir en ella los lmitesde integracin superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.


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Claro es que, aunque la regla de Barrow d un mtodo para el clculo de integralesdefinidas, no siempre es fcil encontrar las primitivas de una funcin.

Conviene observar tambin que como F(b) - F(a) es un nmero, es decir, no depende de lavariable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es unaprimitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

Ejercicio: clculo de reas

Calcular el rea encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectasx= 1 y x= 2.

Resolucin:

Dos propiedades fundamentales de la integral definida

Las dos propiedades fundamentales del clculo de primitivas siguen siendo vlidas en elclculo de integrales definidas:

1. Si Kes un nmero real cualquiera,

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Clculo del rea de la superficie que determinan dos curvas al cortarse


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Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) g(x), entonces

representa el rea de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, Cy Da las reas de las cuatro regiones que dos curvasf(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que Ces el rea de unazona situada por debajo del eje X:

Para calcular el rea encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estospasos:

Se trazan las curvas.

Se sealan los puntos en los que se cortan las curvas.

Se determina la zona de la que hay que calcular el rea.

Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, seprocede a calcular las reas de distintas zonas, entre los lmites de integracin

apropiados.As, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas esB + C.Para calcular su rea se procede as:

Para obtener el rea de la zona B + Chay que restar las reas de A y Dy sumar el rea deC.

(En Cse pone el signo - delante porque al estar g(x) entre cy dpor debajo del eje Xsuintegral sera negativa.) Por tanto:

Ejercicio: clculo de reas


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Hallar el rea de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.

Resolucin:

1. Trazado de las curvas:

2. Puntos de corte de las dos curvas:

3. La zona de la que hay que calcular el rea es la zona coloreada. Si se llama A al rea dela parbola entre x= 0 y x= 3 Bal rea del tringulo que determinan la rectay = x, el eje de abscisas y la recta x= 3 y Sel rea que se quiere calcular, es evidente que

S = A - B

El rea tambin se podra haber calculado as:

Calcular el rea de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 yg(x) = x2 - 2x.

Resolucin:

1. Trazado de las curvas:


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Mximos y mnimos de f(x):

Mximos de mnimos de g(x):

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

Puntos (0, 0) y (4,8)

3. Se ha de calcular el rea de la zona rayada.Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el rea pedida es:

Calcular el rea del crculo de radio r.

Resolucin:

Para simplificar se supondr la ecuacin de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:

Para ms comodidad, y sin que ello afecte a la solucin del problema, se calcular el

rea del cuarto de crculo situado en el primer cuadrante. El rea total ser cuatro veces elrea anterior. Por otro lado, la ecuacin del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante

es y= pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho sededuce que el rea del crculo es:


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Para resolver esta integral se hace el cambio de variablex = r sen t dx = r cos t

Los nuevos lmites de integracin se obtienen como sigue:

Volmenes de slidos

Sea un slido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagnese una recta L con unpunto de referencia Oque corte longitudinalmente al slido. Se supone, por ltimo, que elslido est completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan,respectivamente, ay bunidades de longitud del punto O.

Elegido un punto cualquiera xdel intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular ala recta L por el punto x. Se llamar V(x) al volumen de la parte del slido comprendidoentre ay x; y A(x) al rea de la seccin que produce el plano en el slido. En estas

condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V.

Tomado otro punto de L, x + h, muy prximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de uncilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) h.

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la funcin A(x) es continua, puesto que altomar hinfinitamente pequeo, x + hest infinitamente prximo a xy, por consiguiente, A(x+ h) es prcticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el cilindro de bases A(x) yA(x + h) se consider que ambas eran iguales.

Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) h

Dividiendo entre h,


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En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = Vy V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teoremafundamental del clculo,

Esta frmula permite calcular el volumen de cualquier slido siempre que se puedadeterminar, en cada punto, el rea de la seccin que produce un plano perpendicular quepasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el slido.

Ejercicio: clculo de volmenes Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.

Resolucin:

Si el radio de la base es ry la altura h, se elige como recta L la que coincide con el ejedel cilindro, y como punto de referencia Oel centro de una de las bases.

Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el rea

de la seccin producida es un crculo de radio r. Por tanto, A(x) = r2.

Volmenes de cuerpos de revolucin

Dada una funcin continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girarla grfica de la funcin alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpoen el espaciollamado de revolucin.

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la seccin queaparece es un crculo de radio f(x), por lo que su rea es:

Segn lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

Ejercicio: clculo de volmenes de cuerpos de revolucin Calcular el volumen de una esfera de radio r.

Resolucin:


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Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r,alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera ser eldoble del volumen de la semiesfera.

La ecuacin de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:

y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2

El volumen de la esfera es entonces:

Calcular el volumen de un cono recto de altura hy radio de la base r.

Resolucin:

Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un tringulo de vrtices (0, 0),(h, 0) y (h, r), al hacer girar sobre el eje OXla recta determinada por (0, 0) y (h, r), segenera un cono de altura hy radio de la base r.

La ecuacin de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r) es

El volumen del cono es entonces:


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