Interes Compuesto en Finanzas empresariales

Interés Compuesto 1

Matemática Financiera

Interés Compuesto

Interés Simple 2

Matemática Financiera

Objetivos de aprendizaje

• Definir el Interés Compuesto

• Calcular VA, VF, I, i y n a interés compuesto a tasa constante y tasa variable.

• Plantear ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto.

• Resolver ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto.


Interés Compuesto

niVAVF )1(

)1(...)1()1()1( iiiiVAVF

1)1( iVA 2)1( iVA 3)1( iVA )1()1( iiVA )1()1( 2 iiVA )1()1( 1 iiVA n

iVAVA iiVAiVA )1()1( iiVAiVA 22 )1()1( iiVAiVA nn 11 )1()1( iVA iiVA )1( iiVA 2)1( iiVA n 1)1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ......… n-1 n VA

i por periodo

niVAVF )1(

VAVFI VAiVAI n )1( 1)1( niVAItambién:


Interés Compuesto Tasas de Interés

• Tasa Nominal Junto con el período de capitalización al cual está asociado constituyen sólo una forma indirecta de informar una tasa efectiva.

• Tasa Efectiva Mide el verdadero crecimiento proporcional del dinero en el tiempo, con ésta se halla la tasa (o el factor) de capitalización para cada período.


Transformación Equivalente de Tasa Nominal a Tasa EfectivaSe multiplica o divide

Tasa Nominal Tasa Efectiva

En este caso, se transforma la tasa nominal en forma proporcional al periodo de capitalización, siendo la tasa resultante efectiva.

• 30% TNA capitalizable mensualmenteief mensual = 0.30/12 = (0.30/12) x 1 = (0.30/360) x 30 = 0.025 = 2.5% TEM

• 18% TNA capitalizable trimestralmenteief trim = 0.18/4 = (0.18/12) x 3 = (0.18/360) x 90 = 0.045 = 4.5% TET

• 54% TNA capitalizable semestralmenteief semestral = 0.54/2 = (0.54/12) x 6 = (0.54/360) x 180 = 0.27 = 27% TES

• 7.5% TNT capitalizable bimestralmenteief bim = 0.075/1.5 = (0.075/3) x 2 = (0.075/90) x 60 = 0.05 = 5% TEB

• 6% TNM capitalizable diariamenteief diaria = 0.06/30 = (0.06/30) x 1 = 0.002 = 0,2% TED

• 13.5% TNS capitalizable bimensualmenteief bim = 0.135/3 = (0.135/6) x 2 = (0.135/180) x 60 = 0.045 = 4.5% TEB

• 1.25% TNM capitalizable trimestralmenteief trim = 0.0125x3 = (0.0125/1)x3 = (0.0125/30)x90 = 0.0375 = 3.75% TET

• 2% TNT capitalizable semestralmenteief trim = 0.02x2 = (0.02/90)x180 = 0.04 = 4% TES

• 5% TNB capitalizable cada 77 Díasief mensual = (0.05/60)x77 = 0.0642 = 6.42% TE77Días


Transformación Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva

Operación

exponencial• Tasa Efectiva 1 Tasa Efectiva 2

Hallar la Tasa Efectiva 2, debe ser entendido como el proceso de trasformar equivalentemente el factor de capitalización de la Tasa Efectiva 1.


Expresión general:

Tasa Efectiva2 = (1 + Tasa Efectiva1) n2/n1 - 1

Donde:

n1 = período de la Tasa Efectiva 1

n2 = período de la Tasa Efectiva 2

Transformación Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva


Ejemplos: Tasas efectivas equivalentes a otra tasa efectiva

• 18% TEA ief mens = (1,18) (1/12) -1 = (1,18) (30/360) -1 = 1,3888% TEM

ief trim = (1,18) (3/12) -1 = (1,18) (90/360) -1 = 4,2247% TETief bim = (1,18) (2/12) -1 = (1,18) (60/360) -1 = 2,7970% TEBief diaria = (1,18) (1/360) -1 = 0,0460% TED

• 7.5% TET ief bim = (1,075) (2/3) -1 = (1.075) (60/90) -1 = 4.9395% TEB ief anual = (1,075) (12/3) -1 = (1,075) (360/90) -1 = 33,5469% TEA ief mens = (1,075) (1/3) -1 = (1,075) (30/90) -1 = 2,434% TEM ief diaria = (1,075) (1/90) -1 = 0,0804% TED

• 4.25% TE127Díasief bim = (1.0425) (60/127) -1 = 1.9858% TEB

ief anual = (1,0425) (360/127) -1 = 12.5225% TEA ief mens = (1,0425) (30/127) -1 = 0.9880% TEM ief diaria = (1,0425) (1/127) -1 = 0,0328% TED

• 5% TEB ief 19Días = (1.05) (19/60) -1 = 1.557% TE19Días


Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Constante


Valor Futuro en el Interés Compuesto con Tasa Constante

IVAVF

1)1( niVAVAVF

niVAVF )1(

)1(...)1()1()1( iiiiVAVF

niVAVF )1(

o también:

n factores


Valor Actual en el Interés Compuesto con Tasa Constante

IVAVF

IVFVA 1)1( niVAVFVA

ni

VFVA

)1(

)1(...)1()1()1( iiii

VFVA

ni

VFVA

)1(

o también:

n factores


Interés con Valor Futuro y Tasa Constante

IVAVF VAVFI

ni

VFVFI

)1(

ni

VFVFI

)1(1

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:


Interés con Valor Actual Constante y Tasa Constante

1

1

n

VA

VFi

IVAVF VAVFI


VAiVAI n )1( 1)1( niVAI

Tasa de Interés (i) y el Tiempo (n)

)1( iLog

VA

VFLog

n


Tasa Efectiva (ie)

niVAVF )1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

1 2 3 ……… n VA ie

%100

VA

VAVFi

%100)1(

VA

VAiVAi

n

e %1001)1( n

e ii


por periodo


Interés Devengado entre Periodos con Tasa Constante

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

0 k-1 k ………………… z n VA i por período

11 )1(

kk iVAVF z

z iVAVF )1(

1 kzkz VFVFI 1)1()1( kz

kz iVAiVAI


Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable

VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)

0 VA …...

1i 2i 3i ki

1n 2n 3n kn



• Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable

• Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable

knk

nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321321

knk

nnn iiii

VFVA

)1(.....)1()1()1( 321321



• Interés con Valor Actual Constante y Tasa Variable

• Interés con Valor Futuro y Tasa Variable

IVAVF

VAVFI

VAiiiiVAI knk

nnn )1(.....)1()1()1( 321321

1)1(.....)1()1()1( 321321 kn

knnn iiiiVAI

knk

nnn iiiiVFI

)1(.....)1()1()1(

11

321321

knk

nnn iiii

VFVFI

)1(.....)1()1()1( 321321


Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y Tasa Variable

• Cuando en el horizonte temporal de la operación financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa de interés en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los cálculos de VF (o VA) por tramos según como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.

• También puede hallarse el VF (o VA) calculando el VF (o VA) de los ingresos y restándole el VF (o VA) de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.

Interés Devengado entre Periodos con Tasa Variable• Para determinar el interés devengado de un VA entre el periodo k-ésimo y

el periodo z-ésimo incluidos del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.


Ecuaciones de Valor Equivalente a Interés Compuesto • En el interés compuesto un flujo de ingresos y un flujo de

egresos ubicados en diferentes periodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado, etc.; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.

• VA(Ingresos) = VA(Egresos)• VF(Ingresos) = VF(Egresos)

• Propiedades– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son

equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.

– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.


Mapa Conceptual Interés Compuesto

Interés Compuesto

Valor Futuro Interés Valor Actual n, i

Valor Actual•Constante•Variable

Valor Futuro•Constante•Variable

iNom, Cap ie•Constante•Variable

niVF

VA)1(

niVAVF )1( kn

knnn iiiiVAVF )1(...)1()1()1( 321

321

1)1( niVAI

IVAVF

VAVFI

IVFVA

)1( iLogVAVF

Logn

1)1(...)1()1()1( 321321 kn

knnn iiiiVAI

knk

nnn iiiiVA

VA)1(...)1()1()1( 321

321

1

1

n

VA

VFi


Bibliografía

• Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall – Pearson Educación. 1ª Edición, Colombia. 2002: Capítulo 3.

• Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemática Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1ª Edición, Lima. 1994: Capítulo III.

• Valera Moreno, Rafael. Matemática Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edición, Piura. 2001: Capítulo II.

• Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edición, Lima. 2004: Capítulo II.

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