Interpretace klauzule Šárka Vavrečkovávavreckova.zam.slu.cz/obsahy/log2/prezentace/log07_klauz.pdf · Interpretace klauzule Atomy v klauzulích Prázdný antecedent/konsekvent

Interpretace klauzule Atomy v klauzulích Prázdný antecedent/konsekvent Konjunkce/disjunkce atomů

Klauzulární logikaInterpretace klauzule

Šárka Vavrečková

Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě

[email protected]

27. října 2008


Jak na klauzuli

p1, p2, . . . , pm � q1, q2, . . . , qn

p1&p2& . . .&pm � q1 - q2 - ċ ċ ċ - qn

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1

Nepravdivá (0):p1&p2& . . .&pm � 1q1 - q2 - ċ ċ ċ - qn � 0

Klauzule je nepravdivá ve struktuře S při valuaci e, pokud zároveňvšechny atomy antecedentu jsou pravdivé,

všechny atomy konsekventu jsou nepravdivé.


Jak na klauzuli

p1, p2, . . . , pm � q1, q2, . . . , qn

p1&p2& . . .&pm � q1 - q2 - ċ ċ ċ - qn

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1





Jak na klauzuli

p1, p2, . . . , pm � q1, q2, . . . , qn

p1&p2& . . .&pm � q1 - q2 - ċ ċ ċ - qn

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1





Pravdivost klauzule

DefiniceKlauzule je nepravdivá ve struktuře S při ohod-nocení e, jestliže v tomto ohodnocení je jejíantecedent pravdivý a konsekvent nepravdivý,tedy když jsou všechny atomy antecedentu in-terpretovány jako true a všechny atomy kon-sekventu jako false.

V opačném případě je klauzule pravdivá vestruktuře.

Proč?

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1

Z definice vyplývá, že klauzule je pravdivá v dané struktuřea ohodnocení, pokud je alespoň jeden atom v antecedentunepravdivý nebo alespoň jeden atom v konsekventu pravdivý.


Pravdivost klauzule



Proč?

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1



Pravdivost klauzule



Proč?

A K A�K0 0 10 1 11 0 01 1 1



Platnost klauzule

DefiniceKlauzule je platná (splněna) ve struktuře S, když je splnitelná projakoukoliv valuaci aplikovatelnou ve struktuře S.

Jestliže klauzule není splnitelná v žádné valuaci aplikovatelnév dané struktuře, pak je nesplnitelná (není platná) v danéstruktuře.

Klauzule je logicky platná (logický zákon), jestliže je platnáv jakékoliv struktuře.


Platnost klauzule





Platnost klauzule





Příklad - klauzule C = p(X), q(X,a)� r(X,f(b)), r(X, c)Struktura S1 pro interpretaci: S1 = (W1,F1,R1), kdeW1 = �listi, zluta, hneda, zelena,modra, kuratko, jasan,

dub, buk�F1 = �barva~1�R1 = �strom~1,ma~2, barva listi~2�barva(kuratko) = zluta, barva(nebe) =modra,barva(zeme) = hneda,

strom~1 = �(jasan), (dub), (buk)�,ma~2 = �(jasan, listi), (buk, listi)�,barva listi = �(jasan, zluta), (dub, hneda), (buk, zelena)�D(a) = listi, D(b) = kuratko, D(c) =modra,D(f) = barva,D(p) = strom, D(q) =ma, D(r) = barva listi


Příklad - klauzule C = p(X), q(X,a)� r(X,f(b)), r(X, c)Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli:strom(X),ma(X, listi)�

barva listi(X, barva(kuratko)), barva listi(X,modra)Funkce barva:strom(X),ma(X, listi)�

barva listi(X,zluta), barva listi(X,modra)




barva listi(X,zluta), barva listi(X,modra)




barva listi(X,zluta), barva listi(X,modra)Interpretujeme se zvolenou valuací e1(X) = jasan:I(strom(jasan))[S1, e1] = trueI(ma(jasan, listi))[S1, e1] = trueI(barva listi(jasan, zluta))[S1, e1] = trueI(barva listi(jasan,modra))[S1, e1] = false

I(C)[S1, e1] = I(true, true� true, false) = true




barva listi(X,zluta), barva listi(X,modra)Interpretujeme se zvolenou valuací e2(X) = buk:I(strom(buk))[S1, e2] = trueI(ma(buk, listi))[S1, e2] = trueI(barva listi(buk, zluta))[S1, e2] = falseI(barva listi(buk,modra))[S1, e2] = false

I(C)[S1, e2] = I(true, true� false, false) = false


Příklad - klauzule C = p(X), q(X,a)� r(X,f(b)), r(X, c)Struktura S2 pro interpretaci: S2 = (W1,F2,R2), kdeW2 = �skola, index, sesit, student, kladivko, jana, pepa, karel�F2 = �prukaz~1�R2 = �je student~1, jde do~2,ma~2�prukaz(student) = index,

je student~1 = �(pepa), (jana)�,jde do~2 = �(pepa, skola), (jana, kino), (karel, skola)�,ma~2 = �(pepa, sesit), (jana, index), (karel, kladivko)�D(a) = skola, D(b) = student, D(c) = sesit,D(f) = prukaz,D(p) = je student, D(q) = jde do, D(r) =ma


Příklad - klauzule C = p(X), q(X,a)� r(X,f(b)), r(X, c)Uplatníme denotační zobrazení D na atomy v klauzuli:je student(X), jde do(X,skola)�

ma(X,prukaz(student)),ma(X,sesit)Funkce prukaz:je student(X), jde do(X,skola)�ma(X, index),ma(X,sesit)Interpretujeme se zvolenou valuací e3(X) = pepa:I(je student(pepa))[S2, e3] = trueI(jde do(pepa, skola))[S2, e3] = trueI(ma(pepa, index))[S2, e3] = falseI(ma(pepa, sesit))[S2, e3] = true

I(C)[S2, e3] = I(true, true� false, true) = true

Ve struktuře S2 je C interpretována vždy jako true, protoI(C)[S2] = true.

















Přidáváme . . .

Antecedentp1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

�

true &p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

A � K�

true,A � K

Když do množiny antecedentu přidáme atom true, pravdivostníhodnota klauzule se nezmění.


Přidáváme . . .


�

true &p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

A � K�

true,A � K



Přidáváme . . .


�

true &p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

A � K�

true,A � K



Přidáváme . . .

Konsekventp1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm - false

A � K�

A � K,false

Když do množiny konsekventu přidáme atom false, pravdivostníhodnota klauzule se nezmění.


Přidáváme . . .


�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm - false

A � K�

A � K,false



Přidáváme . . .


�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm - false

A � K�

A � K,false



Prázdná množina antecedentu

� K � true � K

„Jestliže je pravda pravdivá, pak platí to, co je v konsekventu.ÿÔ� „Alespoň jedno tvrzení v konsekventu rozhodně platí.ÿ

Tento typ klauzule nazýváme fakt.

Použití : reprezentace tvrzení platných v konkrétním světě(struktuře) – speciální axiomy.

� kulaty(zeme)� pocet nohou(clovek,2), pocet nohou(clovek,4)� pocasi(jasno), pocasi(zatazeno), pocasi(prsi), pocasi(snezi)� pocet dni(leden,31)� hraje na(@c, harmonika)



















































Prázdná množina konsekventu

A � � A � false

„Jestliže platí to, co je v antecedentu, pak platí false.ÿ Ô�„Alespoň jedno tvrzení v antecedentu rozhodně nemůže platit.ÿ

Použití : reprezentace negativních tvrzení.

barva(pisek, fialova)�smrtelna zbran(pericko)�prezident CR(honza),ma zamestnani(honza, popelar)�je vrah(zahradnik), je vrah(domovnik), pocet pachatelu(1)�
































Prázdné množiny antecedentu i konsekventu

�� true � false

„Jestliže je pravda pravdivá, pak je i nepravda pravdivá.ÿÔ� V jakékoliv struktuře při jakémkoliv ohodnocení jde vždy onepravdivou klauzuli, absolutní kontradikci.

Použití : K této klauzuli směřujeme v důkazu sporem.


Prázdné množiny antecedentu i konsekventu

�� true � false

„Jestliže je pravda pravdivá, pak je i nepravda pravdivá.ÿÔ� V jakékoliv struktuře při jakémkoliv ohodnocení jde vždy onepravdivou klauzuli, absolutní kontradikci.

Použití : K této klauzuli směřujeme v důkazu sporem.


Konjunkce atomů v antecedentup1, p2, . . . pn � q1, q2, . . . , qm

�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

Konjunkci v antecedentu není třeba řešit. Atomy spojenékonjunkcemi oddělíme čárkou.

„Když to má pruhy a kopyta, je to zebra.ÿma(X,pruhy),ma(X,kopyta)� zebra(X)„V planimetrii je objekt, jehož strany se rovnají, nazýván čtverec.ÿtyp geometrie(planimetrie), cislo(A), cislo(B),

= (hodnota(A), hodnota(B)) � ctverec(A,B)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm






�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm






�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm





Disjunkce atomů v antecedentup1, p2, . . . pn � q1, q2, . . . , qm

�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

Řešíme podle vzorce:

(A &(F1 - F2) � K) � (A &F1 � K) & (A &F2 � K)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A &(F1 - F2) � K) � (A &F1 � K) & (A &F2 � K)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A &(F1 - F2) � K) � (A &F1 � K) & (A &F2 � K)

1 „Jestliže má v tašce skripta nebo index, je to student.ÿma(X,skripta) � student(X)ma(X, index) � student(X)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A &(F1 - F2) � K) � (A &F1 � K) & (A &F2 � K)

2 „Když to v létě má listí nebo jehličí, je to strom.ÿobdobi(leto) &(ma(X, listi)-ma(X, jehlici)) � strom(X)rocni obdobi(leto),ma(X, listi) � strom(X)rocni obdobi(leto),ma(X, jehlici) � strom(X)


Disjunkce atomů v antecedentu – proč to fungujeProvedeme důkaz Quinovým algoritmem:

(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2))



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2)) 1� (1&1)



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2)) 1� (1&1)

true



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2))

A

1� (1&1)

0� ( 0& 0) true



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2))

A

1� (1&1)

0� ( 0& 0) true

true



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2))

A A

1� (1&1)

0� ( 0& 0) (F1 - F2) � ( F1& F2) true

true



(A& (F1 - F2) � K) � (A& F1 � K)& (A& F2 � K)

K K

(A& (F1 - F2)) � ( (A&F1)& (A&F2))

A A

1� (1&1)

0� ( 0& 0) (F1 - F2) � ( F1& F2) true

true true


Disjunkce atomů v konsekventup1, p2, . . . pn � q1, q2, . . . , qm

�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm

Disjunkci v konsekventu není třeba řešit. Atomy spojenédisjunkcemi oddělíme čárkou.

„Kdo je v nemocnici, je nemocný nebo přišel někoho navštívit.ÿnemocnice(N), je kde(X,N) � nemocny(X), navstivil(X,@f(X))„Když prší nebo sněží, nosí Jana deštník nebo pláštěnku.ÿpocasi(prsi) � nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)pocasi(snezi) � nosi(jana, destnik), nosi(jana, plastenka)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm





�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm





�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm




Konjunkce atomů v konsekventup1, p2, . . . pn � q1, q2, . . . , qm

�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A � K - (F1 &F2)) � ((A�K - F1) &(A� K - F2))



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A � K - (F1 &F2)) � ((A�K - F1) &(A� K - F2))



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A � K - (F1 &F2)) � ((A�K - F1) &(A� K - F2))

1 „Kočky mají ostré zuby, ostré drápy a dobrý zrak.ÿkocka(X) � ma(X,ostre zuby)kocka(X) � ma(X,ostre drapy)kocka(X) � vidi(X,dobre)



�

p1 &p2 & . . . &pn � q1 - q2 - . . . - qm


(A � K - (F1 &F2)) � ((A�K - F1) &(A� K - F2))

2 „Počítač s virem nebo spywarem vyčistíme a zabezpečíme.ÿpocitac(X), zavirovany(X) � vycistit(X)pocitac(X),ma spyware(X) � vycistit(X)pocitac(X), zavirovany(X) � zabezpecit(X)pocitac(X),ma spyware(X) � zabezpecit(X)


Konjunkce atomů v konsekventu – proč to fungujeProvedeme důkaz Quinovým algoritmem:

(A � K - (F1&F2)) � ((A�K - F1)& (A� K - F2))



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A

1� (1&1)



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A

1� (1&1)

true



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A A

1� (1&1) (K - (F1&F2)) � ((K - F1)& (K - F2)

true



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A A

1� (1&1) (K - (F1&F2)) � ((K - F1)& (K - F2)

K

true (F1&F2) � (F1&F2)



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A A

1� (1&1) (K - (F1&F2)) � ((K - F1)& (K - F2)

K

true (F1&F2) � (F1&F2)

true



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A A

1� (1&1) (K - (F1&F2)) � ((K - F1)& (K - F2)

K K

true (F1&F2) � (F1&F2) 1� (1&1)

true



(A � K - (F1&F2)) � ((A � K - F1)& (A � K - F2))

A A

1� (1&1) (K - (F1&F2)) � ((K - F1)& (K - F2)

K K

true (F1&F2) � (F1&F2) 1� (1&1)

true true

Documents

Interpretace klauzule Šárka Vavrečkovávavreckova.zam.slu.cz/obsahy/log2/prezentace/log07_klauz.pdf · Interpretace klauzule Atomy v klauzulích Prázdný antecedent/konsekvent