INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

En el estudio de la probabilidad, necesitamos la presentación de algunos términos como experimento aleatorio, espacio muestral, evento, etc.

Experimento aleatorio Resultados del experimento

Lanzar una moneda Cara, selloTirar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6Jugar un partido de fútbol Ganar, perder, empatarSeleccionar una parte para inspeccionarla Defectuosa, no defectuosaContestar tres preguntas de un cuestionario,sin haber estudiado. Cada pregunta con cuatroalternativas de respuestas. aaa, aab, aba,…, ddd

Se considera como experimento aleatorio a un proceso que genera resultados que no se pueden predecir con certeza. Aun, cuando no podemos predecir los resultados con certeza, sí es posible describir el conjunto de resultados posibles En cualquier repetición de un experimento aleatorio, ocurrirá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales.

Espacio muestral

Espacio muestral, es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio.

Cada resultado de un experimento aleatorio se conoce como punto muestral. Asi, los espacios muestrales para el primero y quinto de los experimentos propuestos como ejemplos, son:

{cara, sello}{aaa, aab, aba, baa, …, ddd}

Cara es un punto muestral del primer espacio y, aba, es un punto muestral del segundo espacio.

EventoUn evento es un subconjunto de un espacio muestral.

Ejemplo: Si consideramos el experimento aleatorio de lanzar un dado que tiene como espacio muestral a:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Algunos eventos son:

A = {1, 3} B = { 2, 4, 6} C = {3, 4, 5, 6}

Otro ejemplo: Un proyecto tiene como objetivo aumentar la capacidad de generación de una de las plantas de una empresa. El proyecto se divide en dos etapas sucesivas: La etapa 1 (diseño) y la etapa 2 (construcción). Si bien cada etapa se programará y controlará tan cuidadosamente posible, la dirección no puede predecir el tiempo exacto para terminarla. Un análisis de proyectos similares de construcción ha demostrado que los tiempos de

terminación de la etapa de diseño son 2, 3 o 4 meses, y los de terminación para la etapa de construcción son 6, 7 u 8 meses. Además, como la necesidad de energía eléctrica adicional es crítica, la dirección ha establecido una meta de 10 meses para terminar todo el proyecto.Considerando los tiempos de terminación para cada etapa, formule el espacio muestral para la duración del proyecto. Escriba los eventos:

A: la etapa 1 del proyecto dure 2 mesesB: la etapa 2 del proyecto dure 8 mesesC: el proyecto se termine exactamente en 10 mesesD: el proyecto se termine antes de los 10 mesesE: el proyecto no se concluya dentro del plazo establecido.

El espacio muestral puede construirse con ayuda del diagrama de árbol:

El espacio muestral es el conjunto universal en el estudio de conjuntos en tanto que, el evento, es un subconjunto.

Complemento de un evento Dado el evento A, el complemento de A se define como el evento formado por todos los puntos muestrales que no están en A. El complemento de A se representa con .

Unión de dos eventos La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B, o a ambos. La unión de A y B se representa con A B.

Intersección de dos eventosLa intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen simultáneamente a A y a B, y se representa como A B

Evento imposible y evento cierto

1

2

3

4

6

7

8

6

7

8

6

7

8

DISEÑO CONSTRUCCION

El conjunto vacío es el evento imposible y el conjunto S es el evento cierto.

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común. Esto es, los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre uno, el otro no puede ocurrir. Se puede expresar A B =

Probabilidad de un evento

Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.Veremos tres métodos de asignar probabilidades a los resultados de un experimento: el clásico, de frecuencia relativa y el método subjetivo. Sin importar el método que se emplee, las probabilidades asignadas deben satisfacer dos requerimientos básicos de la probabilidad:

1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive. Si denotamos con Ei el i-ésimo resultado experimental y P(Ei) es su probabilidad, entonces este requerimiento se puede escribir como

0 ≤ P(Ei) ≤ 1 para toda i

2. La suma de las probabilidades para los resultados experimentales debe ser igual a uno. Para n resultados experimentales, tenemos:

= 1

S

A B

A y B eventos mutuamente excluyentes

La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades asignadas a los resultados experimentales del evento.

Método Clásico

Este método es apropiado cuando los resultados experimentales son equiprobables. Si son n resultados experimentales, una probabilidad de 1/n es la que corresponde a cada resultado experimental.Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar un dado,

P({1}) = P({2}= . . . = P({6}) =

La probabilidad del evento A = {2, 4, 6} es

P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = + + =

La probabilidad de un evento, según este método, es el cociente del número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral. Así podemos escribir:

P(A) =

En el proyecto de las dos etapas sucesivas, cuáles son las probabilidades de los eventos A, B, C, D, E, , A B, A B y .

Método de frecuencia relativa

Es apropiado cuando se cuenta con datos para estimar la proporción de veces en que ocurrirá un resultado experimental si el experimento se repite un número grande de veces.Por ejemplo, si al lanzar un dado 360 veces en 64 oportunidades aparece el número cinco, la frecuencia relativa 64/360 puede asumirse como la probabilidad de que ocurra el número cinco. Si el evento A ocurre en nA veces cuando el experimento se repite n veces, la probabilidad del evento A es la frecuencia relativa:

P(A) =

Método Subjetivo

Expresa el grado de creencia de que ocurrirá un resultado experimental. Es personal. Se puede pensar que personas diferentes asignan probabilidades diferentes al mismo resultado experimental.

Axiomas de probabilidad

Es posible construir un sistema útil de teoremas de probabilidad a partir de definiciones y tres axiomas, llamados axiomas de probabilidad.

Axioma 1. Sea S el espacio muestral de un experimento:

P(S) = 1

Axioma 2. P(A) ≥ 0 para cualquier evento A de S.

Axioma 3. Sean A1, A2, A3, . . . una colección finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(A1 A2 A3 .. .) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + . . .

Algunos teoremas que se pueden demostrar a base de estos tres axiomas son:

Teorema. Si es el evento imposible entonces P( ) = 0

Teorema. Sea el complemento del evento A con probabilidad P(A) entoncesP( ) = 1 – P(A)

Teorema. Si A1 y A2 son dos eventos cualesquiera de S entoncesP(A1 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2)

Teorema. Si A1, A2 y A3 son tres eventos cualesquiera de SP(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1 A2) – P(A1 A3) – P(A2 A3) + P(A1 A2 A3 )

Ejemplos:

1.- Sea P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 y P(A B) = 0.2, Se pide:a) P( ) b) P(A B) c) P(A ) d) P( B) e) P( )

Solución:a) P( ) = 1- P(A) = 1 – 0.6 = 0.4b) P(A B) = P(A) + P(B)- P(A B) = 0.6 + 0.4 – 0.2 = 0.8c) P(A) = P(A ) + P(A B) de donde P(A ) = P(A) – P(A B) = 0.6-0.2

= 0.4d) P( B)= P(B)- P(A B) = 0.4 – 0.2 = 0.2e) P( ) = P( = 1 – P(A B) = 1 – 0.8 = 0.2

2.- La probabilidad que Dennos apruebe el curso de física es de 0.38, de que apruebe el curso de matemática es de 0.47 y de que apruebe al menos uno de los dos cursos es de 0.7, cuál es la probabilidad de que Dennos

a) no apruebe el curso de física

b) apruebe sólo el curso de físicac) apruebe sólo el curso de matemáticad) apruebe ambos cursose) no apruebe los dos cursos

Solución:Sea F el evento apruebe el curso de física M el evento apruebe el curso de matemáticaSe tiene:P(F) = 0.38 P(M) = 0.47 P(F M) = 0.7Entonces:a) P( ) = 1- P(F) = 1 – 0.38 = 0.62b) P(F ) = P(F) – P(F M) = 0.38 – P(F M)c) P( M) = P(M) – P(F M) = 0.47 – P(F M)d) P(F M) = P(F) + P(M) – P(F M) = 0.38 + 0.47 – 0.70 = 0.15e) P( ) = 1 – P(F M) = 1- 0.70 = 0.30

Ejercicios:

1.- Escriba el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:a) Lanzar una moneda tres veces sucesivamenteb) Observar cuatro artículos producidos para ver si son defectuosos o no.c) Lanzar primero una moneda. Si sale cara lanzar un dado, si sale sello lanzar nuevamente la moneda. d) En la carta de un restaurante figuran tres platos de entrada: sangresita, tamales, papa a la huancaina; cuatro platos de fondo: cabrito, arroz con pato, tallarines, cau cau; tres postres: gelatina, leche asada, pie de limón. Se trata de elegir al azar un menú integrado por un plato de entrada, un plato de fondo y un postre.e) Con las personas a, b, c, d, e, f. se trata de elegir un directorio formado por presidente, secretario y vocal.f) La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto

texto en reserva. Dos ejemplares (1 y 2) son primeras impresiones, y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio deteniéndose sólo cuando se selecciona una segunda impresión. Un posible resultado es 5, y otro es 213. Escriba el espacio muestral y escriba los eventos:A: exactamente un libro debe ser examinado;B: el libro 5 sea el seleccionadoC: no se examina el libro 1

2.- Para el ejercicio 1 a), obtener los eventos y hallar sus probabilidades:a) en el primer lanzamiento ocurre cara.b) en el tercer lanzamiento ocurre carac) en el primer lanzamiento o en el tercer lanzamiento ocurre carad) en el primer lanzamiento ocurre cara y en el tercer lanzamiento ocurre cara.

3.- Para el ejercicio 1d), escribir los eventos y obtener sus probabilidades:a) el primer plato elegido sea sangresitab) el segundo plato elegido sea arroz con pato c) el tercer plato elegido sea leche asadad) el primer plato elegido sea sangresita y el segundo plato sea arroz con pato.e) el segundo plato elegido sea arroz con plato y el tercero sea gelatina.f) el primer plato elegido sea sangresita o el tercer plato elegido sea

gelatina.4.- La probabilidad de que Teodosio vaya a misa los domingos es 0.32, de que vaya de paseo es de 0.45 y de que vaya a misa o vaya de paseo es de 0.60.Cuál es la probabilidad de que Teodosio:

a) No vaya de paseob) Vaya a misa y de paseoc) No vaya de misa y vaya de paseod) Vaya a misa y no vaya de paseoe) No vaya a misa o no vaya de paseo.

5.- Los trabajadores de una empresa se clasifican por su edad y su lugar de procedencia:

Lugar de procedenciaEdad Costa Sierra Selva22-<28 32 20 1828-<36 48 22 1236-<44 26 15 644-<52 14 5 4

Se elige un trabajador al azar, cuál es la probabilidad de que:a) Proceda de la costab) Tenga entre 22-< 28 años de edadc) Proceda de la costa y tenga entre 22-< 28 años de edadd) Proceda de la costa o tenga entre 22-< 28 años de edade) Tenga menos de 36 añosf) No sea de la costag) Tenga menos de 36 años y no sea de la costa.

6.- Según una encuesta de una oficina de negocios, 14% de los adultos creía muy posible un colapso bursátil durante 1998, y 43% lo creía poco probable. Si se preguntara a un adulto al azar,¿cuál es la probabilidad de que responda que no es probable un colapso bursátil durante 1998?

7.- Una encuesta entre suscriptores indicó que 45.8% habían rentado un automóvil durante los 12 últimos meses por motivos de negocios, 54% por motivos personales y 30% por motivos de negocios y personales a la vez.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor rente un automóvil durante los 12 últimos meses por motivos de negocios o personales?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no rente un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales?

8.- La experiencia muestra que el 25% de las quejas concernientes a las líneas telefónicas domésticas se origina por la presencia de estática en la línea. En 50% de los casos, hay deterioro de la línea. En 35% sólo ocurre tal deterioro. Cuál es la probabilidad de que

a. una queja seleccionada aleatoriamente comprenda ambos problemas?

b. no abarque alguno de los dos?

9.- Se ha observado que 80% de los accidentes en fundidoras se debe a errores humanos, y 40%, a falla de equipos. En 35% participan ambos problemas. Se investiga un accidente en una fundidora. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo haya resultado de errores humanos?

10.- Pruebe que P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) siendo A y B dos eventos cualesquiera de S.

Probabilidad Condicional

Muchas veces es de interés determinar la probabilidad de que ocurra un evento B dado que ha ocurrido el evento A. Por ejemplo, de que salga 6 en el segundo lanzamiento de un dado sabiendo que en el primer lanzamiento salió un número par, o de que se pida como segundo plato cabrito dado que como primer plato se pidió papa a la huancaina. A la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurrió el evento A se la denota P(B/A) y se define como:

P(B/A) = donde P(A) > 0

Análogamente,

P(A/B) = donde P(B) > 0

Por ejemplo, al lanzar tres veces una moneda: la probabilidad de que en tercer lanzamiento salga cara dado que en el primer lanzamiento salió cara es

A: salga cara en el primer lanzamiento de la moneda

A = {ccc, ccs, csc, css } P(A) =

B = salga cara en el tercer lanzamientoB = {ccc, scc, csc, ssc}

A B = {ccc, csc} P(A =

Asi

P(B/A) = = =

La probabilidad que se obtenga exactamente una cara dado que se obtiene al menos una cara:

S: se obtiene exactamente una cara S = {css, scs, ssc}R: se obtiene al menos una cara R = {css, scs, ssc, ccs, csc, scc, ccc}

Entones

P(S/R) = = = 3/7

En el ejercicio 1 d), cuál es la probabilidad de elegir cabrito como segundo plato dado que se eligió sangresita como primer plato?

Ley de la Multiplicación

De las definiciones de probabilidad condicional

P(B/A) = y P(A/B) =

Se obtienen:

PA = P(A) P(B/A) y P(A = P(B) P(A/B)

Si se extiende a tres eventos:

P(A = P(A)P(B/A) P(C/(A

P(A = P(A)P(C/A)P(B/(A

P(A = P(B)P(A/B)P(C/(A

Escriba las tres expresiones restantes de P(A

Ejemplos.

1. La probabilidad de que un avión se retrace por fallas mecánicas en el aeropuerto “El Saucesito” es de 0.35, la probabilidad de que el avión se retrace por nubosidad del cielo dado que tuvo fallas mecánicas es de 0.40, y la probabilidad que se retrace por fallas mecánicas o nubosidad del cielo es de 0.63. Cuál es la probabilidad de que el avión se retrace por:

a) fallas mecánicas y nubosidad del cielo?b) sólo por nubosidad del cielo?

Sean los eventos A: el avión se retrace por fallas mecánicasB: el avión se retrace por nubosidad del cielo

Se tiene queP(A) = 0.35P(B/A) = 0.40P(A = 0.63

Entoncesa) P(A = P(A)P(B/A)

= 0.35x 0.40 = 0.14b) P( B) = P(B) – P(A = 0.42 – 0.14 = 0.28

2.- Una urna contiene cuatro fichas blancas y seis fichas rojas. Se eligen dos fichas al azar sin reposición. Cuál es la probabilidad de que

a) la primera ficha elegida sea blancab) la segunda ficha elegida sea roja dada que la primera fue rojac) ambas fichas sean rojasd) la segunda sea rojaSea B1: la primera ficha elegida sea blanca B2: la segunda ficha elegida sea blanca R1: la primera ficha elegida sea roja R2: la segunda ficha elegida sea rojaEntones

a) P(B1) =

b) P(R2/R1) =

c) P(R1 R2) = P(R1) P(R2/R1) = x =

d) P(R2) = P[(B1 R2)U(R1 R2) = P (B1 R2) + P(R1 R2) =?

3.- Se sabe que en un lote de 200 componentes 10 son defectuosos y el resto son buenos. Se extraen al azar tres componentes sin reposición. Cuál es la probabilidad de que

a) las tres sean defectuosos?b) exactamente dos sean defectuosos?c) por lo menos uno sea defectuoso?Denotemos con:D1: el primer componente elegido sea defectuosoD2: el segundo componente elegido sea defectuosoD3: el tercer componente elegido sea defectuoso.Entonces:

a) P(D1 D2 D3) = P(D1) P(D2/D1) P(D3/(D1 D2) = x x =?

b) P(D1 D2 B3) + P(D1 B2 D3) +P(B1 D2 D3) =?

c) P(D1 D2 D3) = 1 – P(B1 B2 B3) = ?

Eventos Independientes

Dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)

Utilizando la Ley Multiplicativa, dos eventos A y B son independientes si

P(A B) = P(A) P(B)

La Ley Multiplicativa se puede extender a más de dos eventos independientes:

Los eventos A, B, C y D son independientes si P(A B C D) = P(A) P(B) P(C) P(D)

Teorema. Si los eventos A y B son independientes entonces:a) los eventos A y son independientesb) los eventos y B son independientesc) los eventos y son independientes.

Ejemplos:

1.- El experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja de naipes. Sean los eventos:

A : salga carta alta (10, 11, 12, 13, as)B : salga una carta de diamantes¿Son los eventos A y B independientes?

Se tiene:

P(A) = = P(B) = P(A B) =

P(A/B) = = = = P(A)

Luego los eventos A y B son independientes.

2.- Durante un lanzamiento espacial, el sistema de cómputo primario está respaldado por dos sistemas secundarios. Funcionan uno con independencia de los otros y cada uno es 90% confiable.¿Cuál es la probabilidad de que los tres sistemas sean funcionales en el momento del lanzamiento?Sean los eventos:

A1: el sistema principal funcionaA2: el primer sistema de respaldo funcionaA3: el segundo sistema de respaldo funciona

Se sabe que P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0.9Puesto que se supone que estos eventos son independientes, se tiene:

P(A1 A2 A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0.9x0.9x0.9 = 0.729

3.- La probabilidad de que Dionisio viva 20 años más es 0.7, y la probabilidad de que Domitila viva 20 años más es 0.80. Si se supone independencia para ambos, cuál es la probabilidad de que:

a) Sólo Dionisio viva 20 años más?b) Ninguno viva 20 años más?

Sean los eventos:A1: Dionisio viva 20 años másA2: Domitila viva 20 años más

a) P(A1 ) = P( A1) P( ) = 0.7x 0.20 = 0.140b) P( ) = p( ) P( ) =?. ¿Por qué?

Teorema de la Probabilidad Total

Problema. La urna 1 contiene 4 bolillas blancas y seis bolillas negras, la urna 2 contiene 3 bolillas blancas y 5 bolillas negras. Se extrae al azar una bolilla de la urna 1 y se deposita en la urna 2, luego de la urna 2 se extrae al azar una bolilla. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolilla extraída de la urna 2 sea blanca?Sean los eventos:

A1: la bolilla extraída de la urna 1 sea blancaA2: la bolilla extraída de la urna 1 sea negraB : la bolilla extraída de la urna 2 sea blanca

Se pide:P(B) = [(A1 B) (A2 B)] = P(A1 B) + P(A2 B)

= P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) = x + x = =

= ?Teorema. Sea A1, A2, A3, . . ., An una partición de S y B otro evento de S, entonces

P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) + . . . P(An) P(B/An)

=

Teorema de Bayes. Bajo las condiciones de la probabilidad total

P(Ak/ B) = =

=

A la probabilidad P(Ai) se le llama probabilidad “a priori” y a la probabilidad P(Ai/B) se le llama probabilidad “aposteriori” o la probabilidad de A i conocida o dada la ocurrencia de B.Ejemplo. La probabilidad de que la bolilla extraída de la urna 1 sea blanca sabiendo que de la segunda urna salió blanca es:

P(A1/B) = = = =?

Ejemplo. La policía planea reforzar los límites de velocidad mediante el uso de un sistema de radar en cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3, L4 operan 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene de probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares,

a) ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?

b) si la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2?Se tienen los eventos:

A1 : persona que maneja a gran velocidad pasa por L1

A2: persona que maneja a gran velocidad pasa por L2

A3: persona que maneja a gran velocidad pasa por L3

A4: persona que maneja a gran velocidad pasa por L4

B: persona recibe multa por exceso de velocidady las probabilidades:

P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.1, P(A3) = 0.5, P(A4) = 0.2P(B/A1) = 0.40, P(B/A2) = 0.30, P(B/A3), P(B/A3) = 0.20, P(B/A4) = 0.30

entonces:a) P(B) = P[(A1 B) (A2 B) (A3 B) (A4 B)] = P(A1) P(B/A1) + P(A”) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) + P(A4) P(B/A4) = ?b) P(A2/B) = ?

Ejercicios:

1.- En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial y los hábitos de fumar en 200 personas se resumen en la tabla:

No Fumadores Fumadores. Fumadores moderados empedernidos

Con hipertensión 23 41 33Sin hipertensión 50 30 23

Si se selecciona una de las personas al azar, cuál es la probabilidad de que.a) Sufra de hipertensión?b) Sea fumador empedernido?c) Sufra hipertensión dada que la persona es un fumador empedernido?d) Sea un fumador dado que no sufre de hipertensión

2.- Un lote de 80 circuitos integrados contiene 15 defectuosos. Se eligen dos al azar, sin reemplazo, del lote.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en ser seleccionado sea defectuoso?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el primero es defectuoso?c) ¿Cómo cambia la respuesta del inciso b) si los circuitos se toman con reemplazo antes de la siguiente selección?

3.- Un lote de 400 contenedores para jugo de naranja congelado contiene cinco que están defectuosos. Se toman del lote dos al azar, sin reemplazo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo contenedor sea defectuoso sabiendo que el primero lo fue?b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean defectuosos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos contenedores sean aceptables?

4.- La probabilidad de que un automóvil al que se llena el tanque de gasolina también necesite un cambio de aceite es 0.25, la probabilidad de que necesite un nuevo filtro de aceite es de 0.40 y la probabilidad que necesite cambio de aceite y filtro es 0.14,

a) Si se tiene que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro?b) Si necesita un filtro de aceite nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que cambiar el aceite?

5.- En un estudio de las causas de interrupciones del abasto de energía eléctrica, se recopilaron los datos siguientes:- Se debe a falla de transformadores en 5%- Resulta de daño en las líneas de alimentación en 80%- Se involucra a ambos problemas en 1%

A partir de estos porcentajes, calcule la probabilidad aproximada de que una interrupción del abasto de energía eléctrica comprenda:

a) daño de las líneas dado que el daño proviene de los transformadoresb) daño de transformadores, dado que el daño está en las líneasc) daño en los transformadores sin daño en las líneasd) daño en transformadores dada la ausencia de daño en las línease) daño en transformadores o en las líneas

6.- Suponga que existe 50% de probabilidad de daño de disco duro de una computadora si la línea de alimentación eléctrica a la que está conectada es alcanzada por una tormenta eléctrica. Existe una probabilidad de 5% de que ocurra tormenta eléctrica en cualquier día de verano en un área dado. Si la probabilidad de que la tormenta eléctrica afecte a la línea es de 0.1%, ¿cuál es la probabilidad de que la tormenta alcance la línea y ocurra daño del disco duro durante la siguiente tormenta eléctrica en el área?

7.- Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.92.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible cuando se le necesite?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro de bombero esté disponible cuando se le necesite?

8.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.78, cuál es la probabilidad de que:

a) exactamente dos de los siguientes tres pacientes que tienen esta operación sobrevivan?b) los tres pacientes siguientes que tengan esta operación sobrevivan?

9.- Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de lo rollos de tela de nylon. De los rollos utilizados por un fabricante, 70% son de algodón y 30% son de nylon. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos éste sea defectuoso?

10.- Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en empaques pesados y grandes. Suponga que el 2% y el 1% de las muestras enviadas empaques pequeños y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños en empaques pequeños,¿Cuál es la probabilidad de que muestras se romperán durante el envío?

11.- Un centro de cómputo tiene tres impresoras A, B y C, que imprimen a velocidad distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.03 y 0.1, respectivamente. En ocasiones, los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.05 y 0.04, en el mismo orden. Un programa escrito por usted se destruye al atorarse el papel en la impresora. ¿Cuál es la probabilidad de que ello haya ocurrido en la impresora A? ¿De que haya ocurrido en la impresora B? ¿De que haya ocurrido en la impresora C?

12.- Suponga que la probabilidad de que los frenos de aire de los camiones fallen en un descenso particularmente largo es de 0.001. Suponga también que los frenos de emergencia de esos camiones pueden detenerlos en el tipo de descenso mencionado

con probabilidad de 0.8. Estos sistemas de frenado funcionan independientemente uno respecto del otro, Calcule la probabilidad de que:

a. los frenos de aire fallen y los de emergencia detengan al camiónb. los frenos de aire fallen y los de emergencia no pueden detener al camiónc. los frenos de emergencia no puedan detener al camión, dado que fallaron los frenos de aire.