Introducción a la probabilidad

Estadística: Profesora María Durbán

1

Introducción a la probabilidad

Fenómenos y experimentos aleatorios

Concepto de probabilidad y propiedades

Estimación de la probabilidad en la práctica

EquiprobabilidadMétodos combinatorios

Probabilidad condicionadaConcepto y propiedadesIndependencia de sucesosTeorema de Bayes

Introducción


2

Objetivos del tema:Al final del tema el alumno será capaz de:

Comprender y describir los sucesos de un experimento mediantegráficos, tablas, etc.

Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos

Interpretar y calcular probabilidades condicionadas

Determinar la independencia de sucesos y utilizarla para calcularprobabilidades

Utilizar el Teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades condicionadas



3







Introducción


4

Introducción

Un investigador puede tener el objetivo de:

Describir los resultados de un experimento concreto

Extraer conclusiones generales aplicables en situaciones similares

Estadística descriptiva

Inferencia Necesitamos probabilidad

El cálculo de probabilidades nos proporciona las reglas para el estudio deexperimentos con un componente aleatorio


5








Introducción


6


Experimento: Proceso de observar una característica

Ejemplos

Lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras

Medir la corriente en un cable de cobre

Contar el número de llamas que llegan a una centralita en una hora

Medir la resistencia a la compresión del hormigón


7


Ejemplo

Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre

Repetimos el experimento en distintas partes

Obtenemos distintos resultados

Debido a las variables no controladas

Errores de medida

Impurezas del cobre

Calibre del cableEstadística: Profesora María Durbán

8


Ejemplo

Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre

Repetimos el experimento en distintos momentos


9


Si esta variabilidad es pequeña no afectará a los resultados del experimento

Si la variabilidad es alta puede encubrir resultados importantes

Nuestro objetivo


10


Diremos que un experimento es aleatorio si ve verifican las siguientes condiciones:

1. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones

2. Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener

3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto previamente conocidode posibles resultados


11


Sucesos

Se llama suceso a un subconjunto de resultados

Suceso elementalSiempre ocurre uno de ellosSon mutuamente excluyentes

Suceso compuestoUniones de sucesos elementales

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).

E espacio muestral

E espacio muestral


12


Sucesos

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, al formado por los sucesos que no están en A

El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizarel experimento

El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como resultado del experimento

A A

E espacio muestral

E espacio muestral


13


Operaciones con sucesos

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B

Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si nopueden ocurrir a la vez, A∩B=Ø

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.

E espacio muestral

B

A


14


Se llama suceso unión de A y B, AUB, al suceso formado por los resultadosexperimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos)

Se llama suceso diferencia de A y B, A-B, al formado por todos los sucesos de A que no están en B, es decir, A∩B

E espacio muestral

A

B

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

E espacio muestral

A

B

Operaciones con sucesos

Consecuencia:

A = E-A


15


Ejemplo

Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por unamáquina.

A Peso 11grB Peso 15grC Peso 5gr

→ ≥→ ≤→ ≤

C A

B Estadística: Profesora María Durbán

16


Ejemplo



→ ≥→ ≤→ ≤

A B 11gr Peso 15grB C Peso 15grA C

5 Peso 15grB C

→ ≤ ≤→ ≤→∅

− → < ≤

I

U

I

A

B 11 15


17


Ejemplo



→ ≥→ ≤→ ≤


5 Peso 15grB C

→ ≤ ≤→ ≤→∅

− → < ≤

I

U

I

C

B 15Estadística: Profesora María Durbán

18


Ejemplo



→ ≥→ ≤→ ≤


5 Peso 15grB C

→ ≤ ≤→ ≤→∅

− → < ≤

I

U

I

C A

∅


19


Ejemplo



→ ≥→ ≤→ ≤


5 Peso 15grB C

→ ≤ ≤→ ≤→∅

− → < ≤

I

U

I

C

B5 15 Estadística: Profesora María Durbán

20


Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que sonconocidas bajo las leyes de Morgan

A

Leyes de Morgan

A B=A BU I

E espacio muestral

A

B

B

Intersección de

A B=A BI U

E espacio muestral

A

B

Unión de


21








Introducción


22


En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repiteaumenta, la frecuencia relativa

on de veces que ocurre A(A)nnf =

converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:

Pr(A) lim (A)nf=n →∞

Ejemplo

Frecuencia relativa del número decaras obtenidos en lanzamientossucesivos de una moneda

Converge a 1/2


23


En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repiteaumenta, la frecuencia relativa

También podemos entender la probabilidad como el grado de certeza que se posee sobre un suceso, basada en experiencias previas

on de veces que ocurre A(A)nnf =

converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad:

Pr(A) lim (A)nf=n →∞

La probabilidad depende del grado de información disponible:

Los sucesos posibles al realizar el experimento

La evidencia empírica existente respecto a la ocurrencia de lossucesos Estadística: Profesora María Durbán

24


Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas(axiomas)

1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos:

1A 2A3A

4A 4A

( )5 5

i i1i=1

Pr A Pr Ai=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑U


25


Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas(axiomas)

1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø

El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos:

1A 2A3A

5A 4A

( )5 5

i i1i=1

Pr A Pr Ai=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑U


26


. P(A) = 1 - P(A). P( ) = 0

3. Si A B P(A) P(B)4. P(B-A) = P(B) - P(A B)5. P(A B) = P(A) + P(B) -

1

P A B)

2

(

∅⊆ ⇒ ≤

∩∪ ∩

Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros:

E A A 1 Pr(A) Pr(A)= ∪ → = +


27


. P(A) = 1 - P(A). P( ) = 0

3. Si A B P(A) P(B)4. P(B-A) = P(B) - P(A B)5. P(A B) = P(A) + P(B) -

1

P A B)

2

(

∅⊆ ⇒ ≤

∩∪ ∩


Pr( ) 1 Pr( ) 1 1 0E E∅ = → ∅ = − = − =


28


. P(A) = 1 - P(A). P( ) = 0. Si A B P(A) P(B)

4. P(B-A) = P(B) - P(A B)5. P(A B) = P(A) + P(B)

123

- P(A B)

∅⊆ ⇒ ≤

∩∪ ∩


B A (B A) Pr(B) Pr(A)+Pr(B A)= ∪ ∩ → = ∩


29


. P(A) = 1 - P(A). P( ) = 0. Si A B P(A) P(B). P(B-A) = P(B) - P(A B)

5. P(A B) = P(A) + P(B)

1

- P(A B

2

)

34

∅⊆ ⇒ ≤

∩∪ ∩


B (A B) (B A)Pr(B) Pr(A B) Pr(B A)Pr(B) Pr(A B) Pr(B-A)

= ∩ ∪ ∩

= ∩ + ∩= ∩ +


30


. P(A) = 1 - P(A). P( ) = 0. Si A B P(A) P(B).

12345

P(B-A) = P(B) - P(A B). P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

∅⊆ ⇒ ≤

∩∪ ∩


A B=(A-B) (B-A) (A B)Pr(A B)=Pr(A)-Pr(A B)+Pr(B)-Pr(A B)+Pr(A B)∪ ∪ ∪ ∩

∪ ∩ ∩ ∩


31

A

B

P(A)

P(B)

P(A ∩ B)

A o B

+_

P(A U B)


P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)∪ ∩


32


Ejemplo: Faros de coche

Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y laintensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura.En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamientosatisfactorio en cuanto a intensidad y duración:

0.0150.062No Satisfactorio

0.0230.9Satisfactorio

No SatisfactorioSatisfactorioIntensidad

Duración

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?2. ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga

duración satisfactoria?


33






Duración

A Satisfactorio en intensidadB Satisfactorio en duracion→→ Pr(A B)∩ Pr(A B)∩ Pr(A B)∩ Pr(A B)∩


34






Duración


1. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?

¿ Pr(B) ? B (A B) (A B)= ∩ ∪ ∩


35






Duración


1. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?

¿ Pr(B) ? B (A B) (A B)= ∩ ∪ ∩ Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) 0.9 0.062 0.962= ∩ + ∩ = + =

Tercer Axioma P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø Estadística: Profesora María Durbán

36






Duración


2. ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tengaduración satisfactoria?

Pr(A B) Pr(A) Pr(B) Pr(A B)∪ = + − ∩

Pr(A) Pr(A B) Pr(A B) 0.9 0.023 0.923= ∩ + ∩ = + = Pr(B) 1 Pr(B) 1 0.962 0.038= − = − =

Pr(A B) 0.923 0.038 0.023 0.938∪ = + − =


37








Introducción


38


Equiprobabilidad

Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemosla probabilidad de un suceso de la forma siguiente:

Dado un suceso compuesto A que contiene f sucesos elementales, su probabilidad será:

( )Pr( ) ( )

casos favorables fAcasos posibles n

=

Regla de Laplace

1n

Probabilidad de cadasuceso elemental


39


Ejemplos

Lanzamiento de una moneda

Lanzamiento de un dado

Extracción de cartas de la baraja

{ }, Pr( ) 1/ 2E C X C= → =

{ }1,2,3, 4,5,6 Pr(3) 1/ 6E = → =

{ }As de copas, dos de copas....E =

Pr(Sacar una carta de oros) 10 / 40=



Equiprobabilidad

En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en unsuceso A:

Ejemplo: Lote de ordenadores

En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lorechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos:

¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote?

A Rechazar el lote Encontrar dos defectuosos→ =

Pr( )

casos favorablesAcasos posibles

=De cuántas maneras puedoseleccionar 2 defectuososDe cuántas maneras puedoseleccionar dos ordenadores


41



¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos?




42







43






De 3 maneras


44



¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre los 9?




45

Combinatoria


Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de objetos tomados de en

nk k

NO IMPORTA EL ORDENCOMBINACIONES

IMPORTA EL ORDENVARIACIONES

CON REEMPLAZAMIENTO(o con repetición)

SIN REEMPLAZAMIENTO(o sin repetición)

!( )!

kn

nVn k

=−

k knVR n=

kn

nC

k⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1kn

n kCR

k+ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Si Permutacionesn k= →


46





Los ordenadores se eligen simultáneamente sin reemplazamiento

El orden dentro del grupo no importa Combinaciones

Pr( )


=De cuántas maneras puedoseleccionar 2 defectuosos

23

3! 32!1!

C = =Hay 3 ordenadores defectuosos


47







Pr( )


= De cuántas maneras puedoseleccionar 2 ordenadores

29

9! 362!7!

C = =

Hay 9 ordenadores en el loteEstadística: Profesora María Durbán

48







3Pr( )36

A =


49







Probabilidad condicionada

Introducción


50


Concepto y propiedadesE espacio muestral

A

B

Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento B

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B

Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

A|B

E espacio muestral

A

B

.

5 casos posibles

2 casos favorables

2 2 / 9 Pr( )Pr( | )5 5 / 9 Pr( )

A BA BB∩

= = =


B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10

B

A

Pr(A|B)=1 Pr(A|B)=0,8>Pr(A)

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08

Pr( | ) 1B A A B⊂ ⇒ =Pr( )Pr( | )

Pr( )A BA B

B∩

=



52

A

B

A

B

Pr(A|B)=0,05<Pr(A) P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0

Pr( | ) 0A B A B∩ =∅⇒ =



53


Pr( | ) 1Pr( | ) 0

Pr( )Pr( | )Pr( )

B A A BA B A B

A BA BB

⊂ ⇒ =∩ =∅⇒ =

∩=

⇓

Concepto y propiedades

Pr( ) Pr( | ) Pr( ) Pr( | ) Pr( ) Pr( ) Pr( )

A B A B BB A AAB

∩ ==≤≤

Importante:Pr( ) 0B >

Pr( | ) Pr( )A B A B⇒ ≥ ∩


54

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas

100% piezasManufacturadas

Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie.

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallos superficiales son funcionalmente defectuosas

Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa}B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie}


Pr( ) 0.9B = Pr( ) 0.1B =

Pr( | ) 0.25A B =

Pr( | ) 0.05A B =

¿Qué porcentaje de piezas tiene fallos y no es funcionalmente defectuosa?

Pr( ) Pr( | ) Pr( ) (1 Pr( | )) Pr( ) 0.75 0.1 0.075 7.5%A B A B B A B B∩ = = − = × = →


55


Independencia de sucesos

Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrenciade uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro

y son independientes si:A B

Pr( | ) Pr( )Pr( | ) Pr( )

A B AB A B

==

Pr( ) Pr( | ) Pr( ) Pr( ) Pr( )A B A B B A B∩ = =


56


EjemploUna aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad deun sistema.Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcionecorrectamente.

A B


57


EjemploUna aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad deun sistema.Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcionecorrectamente.

Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 0.99, ¿cuál es laprobabilidad de que pase corriente de A a B?

A B

2Pr(pasar corriente de A a B) 0.99 0.9801= =


58


EjemploAunque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes, lafiabilidad del sistema puede ser baja.Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo:

1 2Pr(pasar corriente de A a B) Pr(S S )1 Pr(no pasar corriente de A a B)

= ∪= −

A B

1 2

3 4

S1

S2

( )1 2 1 21 Pr(S S ) 1 Pr(S ) Pr(S )− ∩ = −

1 1Pr(S ) 1 Pr(S ) 1 0.9801 0.0199= − = − =2Pr(pasar corriente de A a B) 1 0.0199 0.9996= − =

Ha aumentado la fiabilidad en un 2%


59

A1 A2

A3 A4

Consideramos un experimento que se realiza en dos etapas: en la primera, los sucesos posibles

A1, A2, A3, A4…

Son tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.


Teorema de Bayes


60

A1 A2

A3 A4

B

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

En la segunda etapa, todo suceso B depende de lo sucedido en la primera etapa y puede ser descompuesto en sucesos disjuntos

Teorema de Bayes



61

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de que ocurra B habiendo ocurrido Ai , entonces podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)

Teorema de Bayes


Tercer AxiomaP(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø


62

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de que ocurra B habiendo ocurrido Ai , entonces podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)

Teorema de Bayes


Probabilidad CondicionadaP(A∩B)=P(A|B)P(B)


63

A1 A2

A3 A4

B

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)

i ii

Pr(B|A ) Pr(A )Pr(A |B)Pr(B)

=

iPr(A B)∩



64

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallos visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallos superficiales son funcionalmente defectuosas

100% piezasManufacturadas

Por lo tanto el 90% no tienen fallos visibles en la superficie.

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallos superficiales son funcionalmente defectuosas

Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa}B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie}


Pr( ) 0.9B = Pr( ) 0.1B =

Pr( | ) 0.25A B =

Pr( | ) 0.05A B =

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa?

2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es laprobabilidad que no tenga fallos superficiales?


65


2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales?


Pieza

0.1

0.9

0.25

0.75

0.05

0.95

Pr(A)

B

B

A|B

A|B

A|B

A|B

Pr(B|A)


66


Pieza

0.1

0.9

0.25

0.75

0.05

0.95

Pr(A) Pr(A|B) Pr(B) Pr(A|B) Pr(B) 0.25 0.1+0.05 0.9=0.07

= += × ×

B

B

A|B

A|B

A|B

A|B



67


Pieza

0.1

0.9

0.25

0.75

0.05

0.95

Pr(A|B) Pr(B) 0.05 0.9Pr(B|A)Pr(A) 0.25 0.1+0.05 0.9

0.045 0.640.07

×= =

× ×

= =

B

B

A|B

A|B

A|B

A|B

2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que no tenga fallos superficiales?

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