Inventory placement

Эффективное управление запасами

Илья Маляренко

Пекарня идей

Март 2010

Илья Маляренко (Пекарня идей) Эффективное управление запасами Март 2010 1 / 32

Основные разделы курса

1 Зачем нужны запасы

2 Модель EOQ

3 Задача продавца газет

4 Выводы из приведённых моделей

5 Централизация и децентрализация запасов

6 Заключение


Зачем нужны запасы

Зачем нужны запасы?

С точки зрения финансиста, запасы, как часть рабочего капитала,являются неизбежным злом. С одной стороны, в реальном секторе безних практически невозможно работать. С другой стороны, запасы —это издержки, потери, риски. Для специалистов в области управленияцепочками поставок запасы — это, прежде всего, инструментуправления.



Какие задачи можно решить с помощью запасов

Какие задачи можно решить с помощью запасов?

Повысить доступность продукции для потребителейВлиять на рыночную ситуацию (запасы сырой нефти)Уменьшать экономические/политические риски (запасы зерна)Запасы можно использовать в качестве инструмента продвиженияпродукции (скидки при оптовых закупках)Запасы повышают гибкость производственной системы



Тёмная сторона запасов

Являются замороженным капиталомЗанимают ценное пространство на полкеИмеют срок годностиМогут быть потеряны (пожары, ограбления, землетрясения, ...)

ПримерПо данным U.S. Census в 2009 году запасы в США составляли 1,4трлн. долларов, что соответствует примерно 10% ВВП. При этом,потенциал оптимизации запасов оценивался как 50% (700 млрд.долларов)



Динамический взгляд на запасы

Можно выделить следующие компоненты запасов:

Циклические запасы удовлетворяют среднестатистический спросСезонные запасы используются для удовлетворения сезонного спросаСтраховые запасы являются буфером для колебаний спроса

0Страховые запасы

Сезонные запасы

Q/D 2Q/D 3Q/D

Q

-D

}}

Заказ размещёнЗаказ получен

Время

r

Циклические запасы

(ср. уровень)

τ


Модель EOQ

Модель EOQ

Economic Order Quantity, модель разработана Харрисом, 1913Позволяет определить оптимальную политику пополнениязапасов:

При достижении точки восполнения r , инициируется размещениезаказа в количестве QСпрос является постоянным — D. Пополняемое количество Qрасходуется за Q/D единиц времениВремя между получением заказа и его доставкой (плечо) — 𝜏Стоимость размещения заказа постоянна и равна FСтоимость хранения запасов также постоянна и равна h


Модель EOQ

Уравнение для среднегодовой стоимости владения

Уравнение для среднегодовой стоимости владения:

c(Q) = Q/2 · h + D/Q · F (1)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200

$

Q


Модель EOQ

Оптимальный размер заказа

Функция имеет минимум при c ′(Q) = 0, откуда:

c ′(Q) = h/2 − D · FQ2 (2)

Qo =√︀

2 · D · F/h (3)

Оптимальная политика по EOQ:

Непрерывно следить за уровнем запасовПополнять запасы в количестве Qo при достижении уровнявосполнения rr = D · 𝜏 − Q · n, n ∈ Z, n – лаг восполнения (число периодовмежду заказом и доставкой)


Модель EOQ

Ограничения и идеализации модели EOQ

Модель разработана для условий постоянного спросаНе учитывает заказы прошлых периодов (отложенные заказы)Применяется как для запасов на складах, так и дляпроизводственных партийЯвляется основой для более новых моделей, учитывающихбольше составляющих стоимости владения запасами


Задача продавца газет

Формулировка задачи продавца газет

Модель впервые описана в 1888. Позволяет определить оптимальнуюполитику в условиях вероятностного спроса (например,распределённого нормально N(𝜇, 𝜎)).

Суть задачиКаждое утро продавец покупает газеты по c = 30 центов за штукуМожет продать их за s = 75 центов за штуку до вечераНа следующее утро нераспроданные газеты можно вернутьиздателю по h = 5 центов за штуку

Cколько газет купить, чтобы, с одной стороны, не упустить выгоду, а сдругой, не остаться в накладе из-за нераспроданных газет?



Поиск оптимальной стратегии

Наименьшими потерями обладает вариант закупки числа газет,соответствующего матожиданию спросаЗакупка меньше, чем мат. ожидание газет, приведёт кнеудовлетворённому спросу, но уменьшит потери из-занераспроданных газетПокупка больше, чем мат. ожидание газет, имеет большие риски,чем два вышеприведённых варианта, но и сулит большийвыигрыш в случае успешной реализации



Вероятностная структура спроса и объём пополнения

Ключём к решению является оценка вероятности полногоудовлетворения спроса D ∼ N(𝜇, 𝜎) за счёт запасов Q.

P{D ≤ Q} ≡ P{z ≤ Z} (4)P{z ≤ Z} = F (z) = 𝛼 (5)

z = F−1(𝛼) (6)

P{︂

Q − 𝜇

𝜎≤ Z

}︂= F

(︂Q − 𝜇

𝜎

)︂(7)

Q = 𝜇+ z · 𝜎 (8)

где F (z) — функция распр. норм. ст.величины, F−1 — обратн. знач. норм.станд. распр., 𝛼 — вероятность удовл.спроса

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 µ+zσµSafety stock

Stock-out



Циклические и страховые запасы

В формуле Q = 𝜇+ z · 𝜎 можно выделить две составляющие:циклические и страховые запасы. Коэффициент z связан свероятностью 𝛼 события полного удовлетворения спроса в периодпополнения запасов. Значение z меняется нелийнейно и резковозрастает при росте вероятности от 90% до 99%. В Excel z можнорассчитать с помощью функции Z=NORMSINV(𝛼).

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z

p



Примеры

Пусть спрос нормально распределён и 𝜇 = 300, а 𝜎 = 30.

Пример расчёта 1Какова вероятность того, что спрос будет меньше 320?

1 Рассчитаем z = 320−30030 = 0.666(6)

2 Используя таблицу или формулу в Excel =NORMSDIST(0.6667)получаем, что P{z ≤ Z} = 0.7475

Пример расчёта 2

Сколько нужно заказать газет, чтобы с вероятностью 98% не былодефицита?

1 По условию P{z ≤ Z} = 98%. Найдём z , используя таблицу илиформулу в Excel =NORMSINV(0.98): z = 2.0537

2 Рассчитаем объём закупок: Q = 300 + 2.0537 · 30 ≈ 362



Расчёт функции упущенного спроса для дискретногораспределения

Из вышеприведённой формулы следует, что при любом заданномуровне запасов Q < D имеется некоторый упущенный спрос L(Q). Награфике приведена схема расчёта для дискретного случая:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

300 320 340 360 380 400 440 460 480

p(x)

Q=400

L(400)=Σ(Di-Q)p(Di)=

=(410-400)p(410) +

+(420-400)p(420) +

+(430-400)p(430) +

+... +

+(DN-Q)p(DN)



Расчёт функции упущенного спроса для непрерывногораспределения

По аналогии с дискретным случаем, для непрерывного случаяфункция потерь L(Q) будет иметь вид:

L(Q) =

∫︁ ∞

Q(x − Q)f (x , 𝜇, 𝜎)dx (9)

L(Q) = L(z) · 𝜎 (10)

где L(z) — стандартная функция потерь для спроса D ∼ N(0, 1). Онатабулирована и приводится в статистических справочниках.В Excel стандартную функцию потерь можно рассчитать по формуле:L(z)=NORMDIST(z;0;1;0)-z*(1-NORMSDIST(z))



Вид функции потерь упущенного спроса

Ниже приведён пример функции L(Q) для 𝜇 = 300 и 𝜎 = 30:

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

L(Q

)

Q

РемаркаФункция потерь линейно зависит от точности информации о спросе,которая определяется ошибкой прогнозирования. Стоимость ошибкипрогноза можно оценить как стоимость страховых запасов иупущенного спроса



Функция прибыли в задаче продавца газет

Не приводя математических выкладок, можно показать, что функцияприбыли P(Q), линейно зависит от суммы двух схожих функцийпотерь: упущенных продаж L(Q) (D > Q) и хранения излишков(D < Q). Функции имеют сходный вид и отличаются толькокоэффициентами и пределами интегрирования. Вид функции прибылис учётом продаж и двух видов потерь представлен на графике:

126

126.2

126.4

126.6

126.8

127

127.2

295 300 305 310 315 320 325

P(Q

)

Q



Критическое соотношение

Нахождение максимума функции прибыли позволяет определитьполитику оптимального пополнения запасов. Она соблюдается приследовании критическому соотношению:

P{D ≤ Q} =p − cp + h

(11)

В данном примере p — удельные потери от неудовлетворённго спроса,а c — закупочная стоимость, h — удельные затраты на хранение втечение рассматриваемого периода.



Примеры

ПримерКаждое утро продавец покупает газеты по c = 30 центов за штуку иможет продать их за g = 75 центов за штуку до вечера. На следующееутро нераспроданные газеты можно вернуть издателю по s = 5 центуза штуку. Cпрос нормально распределён N(300, 30).

1 В этом случае, p = g − c = 452 Затраты на хранение можно оценить как h = c − s = 253 P{D ≤ Q} = 45−30

45+25 = 0.214

4 z = D−30030

5 P{z ≤ −0.79} ≈ 0.214,6 тогда Q−300

30 = −0.79, откуда Q ≈ 276 — оптимальный объёмпополнения


Выводы из приведённых моделей

Определение уровня сервиса

Уровень сервисаДва типа уровня сервиса:

Тип I или Service Level — вероятность события удовлетворенияспроса

Тип II или Fill Rate, насыщение спроса — отношение ожидаемыхпродаж к уровню спроса

Определим ожидаемые продажи S(Q) = 𝜇− L(Q)

Далее, оценим уровень насыщения спроса:

FillRate(Q) = S(Q)/𝜇 = (𝜇− L(Q))/𝜇 = 1 − L(Q)/𝜇 (12)



Соотношение уровней сервиса

На нижепредставленном графике показано, как соотносятся междусобой уровни сервиса первого и второго рода:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

p

Q

FillRateService Level

На практике подмена уровня сервиса первого рода показателемнасыщения спроса приводит к увеличению страховых запасов.



Формулы расчёта страховых запасов

Расчёт страховых запасов

Основная формула для расчёта: Q = 𝜇+ z · 𝜎 (для одного периода),страховые запасы – z · 𝜎 Для учёта плеча поставок 𝜏 и периодичностипланирования R используется формула:

SS = z · 𝜎 ·√𝜏 + R (13)

Аналогично, для функции потерь:

L(Q) = L(z) · 𝜎 ·√𝜏 + R (14)

В этой формуле: 𝜎 — параметр точности прогноза (ошибка прогноза:MAE, RMSE, SDFE) При нормально распределённом плече поставок𝜏 ∼ N(𝜇𝜏 , 𝜎𝜏 ):

SS = z ·√︁(𝜇𝜏 + R) · 𝜎2 + 𝜇2 · 𝜎2

𝜏 (15)



Исходные данные для расчёта страховых запасов

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

SalesForecast

Показатель Формула Янв Фев Март Апр Май Июнь Июль Авг Сен Окт Ноя ДекСпрос A 50 52 32 30 44 28 42 48 22 38 24 19Прогноз F 45 55 30 40 35 45 40 55 30 30 20 25Абс. откл. A − F 5 -3 2 -10 9 -17 2 -7 -8 8 4 -6Кв. откл. (A − F )2 25 9 4 100 81 289 4 49 64 64 16 36



Схема расчёта страховых запасов

Исходные данные

Период планирования 1 месПлечо поставки 1 месЦелевое насыщение спроса 95%Средний спрос 35,75 шт/месСр.-кв. откл. RMSE 7,86Ср.-кв. откл. SDFE 8,21Среднее откл. MAE 6,75

Расчёт страховых запасов

Уровень сервиса первого рода: L(z) = (1 − FillRate) · 𝜇/𝜎 =(1 − 0, 95) · 37, 5/8 = 0, 2343 =⇒ z = 0, 39, что соответствуетуровню сервиса SL ≈ 65%SSSDFE = z · SDFE

√𝜏 + R = 0, 39 · 8 ·

√2 ≈ 5 (окр. вверх)

SSRMSE = z · RMSE√𝜏 + R = 0, 39 · 7, 66 ·

√2 ≈ 5

SSMAE = z · (MAE · 1, 25)√𝜏 + R = 0, 39 · (6, 75 · 1, 25) ·

√2 ≈ 5



Нерациональное поведение: оценка риска

Исследования, проведённые Швейцером и Кошоном (2002) дляусловий, аналогичных задаче продавца газет, выявили следующиеэффекты:

Продавцы пополняют недостаточно запасов в условиях высокихмаржинальных прибылейПродавцы закупают слишком много низкоприбыльной продукцииЭто поведение не связано ни с одной из известных стратегийуправления рисками (консервативной стратегии, повышенногориска и т.д.)В результате: ≪игроки фиксируются на среднем спросе какбазовой идее на ранних стадиях игры, и не подстраивают своюстратегию к оптимуму в последующие периоды: они просто неумеют извлекать опыт из своих ошибок≫



Нерациональное поведение: вариации спроса

Ли в 1997 году высказал идею о том, что в цепочках поставоквозникают внезапные всплески изменчивости спроса,усиливающиеся от потребителей к производителям, поставщиками сопровождающиеся временным лагомЭти всплески связаны с нерациональным поведением участников,с намеренными попытками повлиять на спрос, с отсутствиеминформации непосредственно от конечного потребителяПо аналогии с распространением стоячей волны, эффект назван

≪Эффектом хлыста≫

За прошедшие годы было выявлено, что эффект проявляетсягораздо реже, чем предполагали авторыСнайдер в 2007 показал, что существует и обратный эффектхлыста, когда данные о запасах влияют на спрос (нефть)


Централизация и децентрализация запасов


Что эффективнее при прочих равных условиях: централизация илидецентрализация запасов?

Централизация: Эппен, 1979В условиях стабильных поставок и нестабильного спросаЗатраты централизованного хранения ∼

√N,

децентрализованного хранения ∼ NЭффект централизации: ∼ (N −

√N)

Децентрализация: Шмит, Снайдер, Шенн, 2007В условиях нестабильных поставок и стабильного спросаЗатраты централизованного хранения приблизительно равнызатратам децентрализованногоТем не менее, децентрализованная система надёжнее



Эффект буферизации рисков

Основные выводы:

В централизованной системе действует эффект буферизациирисков (Risk Pooling)Децентрализованная система надёжнееДля системы поставщик–производитель с точки зрениянадёжности оптимальны 2-3 поставщика по каждому SKU (приналичии резервных мощностей у поставщиков)Существуют различные стратегии буферизации рисков:

Виртуальная централизация — использование информационныхсистемУнификация компонентов — один компонент подходит ко всемпродуктамЗамещение продукции — если нет йогурта с персиковым вкусом,отправляют абрикосовыйОтложенное производство — покраска/конфигурация/упаковка подзаказ в самый последний момент


Заключение

Искусство моделирования

Существует ряд эффективных моделей управления запасами,позволяющих найти баланс между уровнем сервиса и затратамиМоделирование предполагает:

Сбор данныхВыверку, очистку, гармонизацию и определение недостающихданныхОпределение модели: целевой функции, идеализаций и допущенийРасчёт базового текущего сценарияКалибровку модели по базовому сценариюОпределение целевых сценариевЗапуск модели по целевым сценариям

Моделирование — это рубеж науки на кончике пера и практикиуправления цепочками поставокЗначит: обязателен пилотный проект, анализ результатов,доработка модели, корректировка первоначальных положений


Заключение

Вопросы?

Вопросы?

[email protected]


Documents

Inventory placement