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DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA

, INVESTIGACIO

OPERATIVA DETERMINISTA

Problemes de Programaci ó Lineal i Entera

Javier Heredia

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UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll 1400286160

000 ' , UPC FACULTAT DE MATEMA TIQUES I ESTADISTICA

ll{Dn?8'6/ 6 (.)

Problemas de Modelización

l. Un problema común a diversas industrias es el de las pérdidas asociadas al cone de rollos

de papel, tela, planchas metálicas etc., para poder cumplimentar los pedidos de los clientes.

Este problema deriva del hecho que normalmente las fábricas producen rollos de de anchura

estándar (p.ej. 100 pulgadas) y longitud fija (p.ej. 500 pies). Los clientes requieren a menudo

rollos de menor anchura para sus usos. Los rollos se cortan en una máquina cuyas cuchillas

pueden fijarse a cualquiercombinación_de anchuras, siempre que la anchura de la combinación

no exceda la del rollo. Así, el problema se convierte en el de asignar los pedidos de manera que:

a) El número total de rollos estándar usados para satisfacer los pedidos sea mínimo, o bien

b) Se minimice la pérdida total, siendo la pérdida la parte de un rollo no usada al ser su

anchura menor que cualquier medida pedida, así como el número de rollos cortados que

sobran respecto al número de rollos (de cierta anchura) pedidos.

Suponiendo que una fábrica de papel de periódico que fabrica rollos estándar de 100", debe

satisfacer un pedido de 7 5 rollos de 24 ", 50 rollos de 40" y 110 rollos de 32", formular el

problema como uno de programación entera, para las dos funciones objetivo anteriores.

Sugerencia: enumerar las posibilidades de cortar un rollo de anchura 100" en rollos de

anchuras 24", 40" y 32". Definir como variable de decisión Xi a la i-ésima forma de efectuar el

corte

2. En el congreso de los diputados hay n comités. El j-ésimo comité tiene Vj vacantes

j=l, ... ,n. Hay m diputados para cubrir las vacantes (m~vj). Pij es la preferencia del diputado

i por una vacante del comité j (i=l, ... ,m; j=l, ... ,n). Cada vacante debe cubrirse por un

diputado pero cada diputado puede cubrir, como máximo, vacantes en dos comités. Hay tres

tipos de comités: exclusivos, semiexclusivos y no exclusivos. Si un diputado cubre una vacante

en un comité exclusivo, no puede cubrir ninguna otra, pero si cubre una vacante en uno

semiexclusivo y otra en otro comité, el otro debe ser no exclusivo.

Formular este problema como uno de programación entera sometido a las condiciones dadas

que maximice las preferencias. ¿Cúal sería la formulación en el ejemplo numérico siguiente? Diputado Agricultura Banca Educación Autonomías Judicial Ciencia Interior Correos 1 o 1 o 1/2 o o o 1/2 2 1/3 o o 1 o o o 1 3 o o o o o o o o 4 o o o 1 1/2 o o o 5 o o o 1 o o 112 o 6 o o o 112 1 113 o o 7 o o o 1 112 o o 1/3 8 o o o o o o o o 9 o o o 1 o o o o 10 o 1 o o o o o o 11 o o o 1 o o o o 12 1/2 o o o o o o o 13 1/3 112 o 1 1 o o o #vacantes 5 3 1 1 1 2 1 1 Tipo Semiex Semi ex Semi ex Ex Semiex Semi ex Noex Noex

1:: ~ .. ~~ 1 CjQ@> l~'-~··\ it .'1'

Facu!tat oo ~;w.i?1l!'m1áfr;-cii?3 1 EstadísUc3 - a;;J!1otaca

3. Plantear el siguiente problema de programación matemática:

Una compañía minera desea planificar sus operaciones de laboreo de manera que le permita

controlar el grado de plomo que va a los molinos en cada tumo. Las minas tienen 15 túneles

que han de ser tratados entre los tres tumos de cada día. El porcentaje de plomo y las toneladas

de mineral que pueden explotarse por tumo en cada tunel son:

Tunel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 %Plomo 2 5 8 20 25 4 8 10 12 18 12 4 2 1 3 Tm min 540 520 480 600 580 575 555 540 530 535 585 530 510 500 620

En cada tumo se han de trabajar 5 túneles y la combinación de mineral que ha de producir el

tumo debe contener, como mínimo un 8% de plomo. ¿Qué túneles se trabajan en cada turno?

4. Plantear el siguiente problema: Al realizar el plan de inversiones los responsables de una

empresa deben decidir entre 5 proyectos, para los que han estimado las siguientes cifras de

inversión e ingresos actualizados en millones de pts: Proyecto A B C D E

Inversión 10 20 10 50 30

Ingresos 13 27 14 60 40

Hallar el plan que maximiza el beneficio total, considerando que sólo se pueden invertir 60

millones y que: 1) Los proyectos A y C son incompatibles

2) Si se invierte en A y B no puede invertirse en E 3) Si se invierte en D ó E, no puede invertirse ni en A ni en B

4) Si se invierte en C debe invertirse en E

5. Durante la construcción de una presa han de transportarse grandes cantidades de grava apta

para la producción de hormigón desde los depósitos hasta la planta de fabricación de hormigón

abeja a la presa. La tabla proporciona las cantidades estimadas y los costes de producción y

transporte de la grava desde las ubicaciones de los depósitos hasta la planta de fabricación. Ubicación del depósito Cantidad (m3) coste/m3

A 8000 380 pts.

B 16000 540 pts.

e 8000 340 pts.

D 6000 480. pts.

En la construcción de la presa se utilizan tres tipos de hormigón en las cantidades que se

indican, que se obtienen mezclando los distintos tipos de grava con cemento y otras

componentes según los límites especificados y los costes que da la tabla:

Tipo de hormigón

1

2

3

Límites

(A+B)S50%, C?::l0%, D sin límite

(A+B)=s;60%, C?::l0%, (C+D)S(A+B)

~20%, (C+D)?::l/2(A+B)

coste/m3

580

500

650

Requerimiento (m3)

6000

15000

8000

Formular el problema como un problema lineal, cuyo objetivo es la minimización de los costes

de transporte y producción de las cantidades requeridas de los diferentes tipos de hormigón.

2

• .

6. El presidente de la Tim Burr Company desea emplear de la mejor forma posible los recursos

madereros en una de sus áreas forestales. En esta zona hay un aserradero y un molino de

contrachapado; por tanto, la madera de los árboles puede convertirse en tablas de madera o

madera contrachapada. Una tabla de madera vendible de 1000 pies cuadrados requiere 1000

pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abeto; 1000 pies cuadrados de madera

contrachapada requieren 2000 pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abeto. En la

zona hay 32000 pies cuadrados de píc~a y 72000 pies cuadrados de abeto. El departamento de

ventas exige que, en este periodo, se produzcan 5000 pies cuadrados de tablas de madera y

12000 pies cuadrados de contrachapada. Las contribuciones al beneficio son de 45$ por 1000

pies cuadrados de tablas de madera y 60$ por 1000 pies cuadrados de madera contrachapada.

Sean T y C las cantidades (en miles de pies cuadrados) de tablas de madera y madera

contrachapada producidas respectivamente. Formular el problema como un modelo lineal.

7. El gerente de una planta de la Compañía de Acero Jericho debe decidir cuantas libras de

acero puro x¡ y cuantas libras de chatarra x2 deben utilizarse en una aleación que se funde para

uno de sus clientes. El coste por libra del acero puro es de 3 y el de la chatarra es de 6 (que es

superior porque primero deben eliminarse todas las impurezas). El pedido del cliente es de 5

libras, a pesar de que estaría dispuesto a aceptar una producción mayor si la Compañía Jericho

se lo exige. Se dispone de 4 libras de acero puro y de 7 de chatarra. La proporción de chatarra

con respecto al acero puro no debe superar los 7/8. En la planta sólo disponen de 18 horas para

realizar este pedido; en el proceso total, cada libra de acero puro requiere 3 horas mientras que

cada libra de chatarrarequiere sólo 2 horas. Formular el problema como un modelo lineal.

8. El ayuntamiento de la ciudad en la que está ubicada la Compañía Química Fowlayer, le ha

exigido que instale y utilice mecanismos para evitar la polución. La compañía comercializa dos

productos; para cada uno de ellos el proceso de manufactura produce una cantidad excesiva de

gases irritantes y partículas (sólidos que flotan en el aire). La tabla siguiente muestra la emisión

diaria, en libras, de cada polucionante por cada 1000 galones de producto producido:

Tipo de polucionante

GasGM GasSD

Particulas

Libras de Polucionante emitido Por 1000 galones de producto 1 Por 1000 galones de producto 2

24 36 8 12

100 50

La compañía no puede emitir más de G¡, G2 y P¡ libras de gas GM, gas SD y partículas,

respectivamente. El beneficio por cada 1000 galones de los productos 1 y 2 obtenidos por día

son PI y P2 respectivamente. El encargado de producción, ha aprobado la instalación de dos

mecanismos antipolutivos. El primero de ellos elimina 75% del gas GM, 50% del gas SD y

90% de las partículas, independientemente del producto que se esté fabricando. El segundo,

elimina 33% del gas GM, nada del gas SD y 80% de las partículas en el producto 1, y 25% de

CM, nada de SD y 60% de las partículas en el producto 2. El primer mecanismo reduce el

beneficio por miles de galones producidos diariamente en e¡, independientemente del producto;

3

análogamente, el segundo mecanismo reduce el beneficio en c2 por cada 1000 galones

producidos diariamente, independientemente del producto. Las necesidades comerciales

requieren que se produzcan por lo menos R1 miles de galones diariamente del producto 1 y Ri

miles de galones diarios del producto 2. Si las variables de decisión son: x¡: miles de galones del producto 1 obtenidos diariamente sin utilizar ninglln mecanismo antipolutivo x 11: miles de galones del producto 1 obtenidos diariamente utilizando el primer mecanismo antipolutivo x12: miles de galones del producto 1 obtenidos diariamente utilizanto el segundo mecanismo antipolutivo.

Análogamente, para el producto 2 se defineen x2. x21 y x22.

Formular un modelo de optimización apropiado.

9. Una economista de la compañía publicitaria, Flag-Poole Advertising Company, opina que

puede conocer la forma óptima de distribuir los dólares invertidos en publicidad de un cliente

mediante un programa lineal. Basta con identificar las audiencias a las que quiere dirigirse el

cliente- tales como adolescentes, parejas recién casadas, tercera edad, etc. Sea i el índice que

representa la i-ésima audiencia. El cliente debe especificar el nivel de exposición que desea para

cada audiencia i, E¡. Entonces se evalua en función de su efectividad cada uno de los medios

publicitarios (tales como un anuncio en televisión, un anuncio en color en un suplemento

dominical, etc.). Sea j el índice que representa el j-ésimo medio publicitario, y a¡j la efectividad

evaluada de invertir un dolar para la i-ésima audiencia en el j-ésimo medio. Cada variable de

decisión se designa por Xj, que representa la cantidad total de dólares que se invierten en el

medio publicitario j durante una campaña de promoción. El objetivo del cliente es minimizar el

gasto total publicitario, manteniendo sus niveles deseados de exposición. Suponiendo que hay

4 audiencias y 5 medios publicitarios, escribir el modelo lineal que se describe anteriormente.

10. La Best Tasties Corporation hace cuatro tipos de cereales para el desayuno; Noisies,

Soggies, Bursties y Reposies. Cada uno de ellos es un compuesto de ingredientes (granos,

vitaminas, azucar y conservantes). Sea i el índice que representa al i-ésimo ingrediente

i=l, ... ,I. Sea ªNi la cantidad del ingrediente i en una libra de Noisies, y similarmente as¡, ªBi y

ªRi las cantidades para los otros tres cereales. Supongamos que M¡ es la máxima cantidad

disponible el próximo mes del ingrediente i para la producción de los cereales. La contribución

al beneficio de una libra de Noisies se representa por PN· y similarmente las contribuciones al

beneficio de los otros cereales se representan por ps, PB y PR· Sean XN, xs, XB y XR las libras

de cada cereal que se van a producir el próximo mes. Por lo menos deben producirse 15000

libras de Noisies, así como 130000 libras de Soggies, 45000 libras de Bursties y 600000 libras

de Reposies. Escribir un programa lineal para obtener un esquema de planificación de la

producción óptimo.

11. La compañía Tumed-On Transistor Radio Company, fabrica tres modelos de radio, A, By

C, cuyas contribuciones al beneficio son de 16, 30 y 50 respectivamente. La demanda mínima

semanal del modelo A es de 20 unidades, 120 unidades para el modelo B y 60 para el C.

Cada tipo de radio requiere una cierta cantidad de tiempo para la fabricación de componentes,

montaje y embalaje. Específicamente, doce unidades del modelo A requieren 3 horas de

4

fabricación, 4 horas de montaje y 1 hora de embalaje. Los tiempos correspondientes para una

docena de unidades del modelo B son 3.5, 5 y 1.5, y para una docena de unidades del modelo

C son 5, 8 y 3. La semana próxima la compañía dispondrá de 120 horas de fabricación, 160

horas de montaje y 48 horas de tiempo de embalaje. Formular un programa lineal para obtener

un esquema de planificación de la producción óptimo.

12. Antes de que termine la cosecha la compañía Fickle-Pickle debe efectuar los pedidos de

compra de pepinos a cada uno de los N productores. El producto se envía posteriormente a M

plantas de producción en las que se transforma en encurtidos. Actualmente se conoce la

variación esperada en el tamaño de los pepinos comprados a cada uno de los granjeros. Hay D

clases de pepinos (medidos en términos de los tamaños de sus diametros). La i-ésima planta de

producción requiere Rik bushels* de pepinos de diámetro k, donde i=l, ... ,M y k=l, ... ,D. Sea

Xj el número de bushels que se compran al cultivador j, y Uj el máximo número de bushels

disponibles del cultivador j. Sea Pjk la fracción de un bushel comprado al granjero j que tienen

pepinos de diametro k. (P.ej. si p34=0,5, entonces la mitad de cada bushel comprado al

cultivador 3 pertenece a la clase de diametro 4). Por tanto, Pj~O y I:pjk=l, tomando la suma en

k. El coste por bushel de pepinos comprado al cultivador j es Cj y el coste de transporte por

bushel comprado al cultivador j hasta la planta i es Cji· Hay que notar que, en general, cualquier

esquema de pedidos hará que la compañía adquiera más pepinos de determinados tamaños que

los que en realidad requiere. Supongamos que después de su encargo, los pepinos se ordenan

por su tamaño en el lugar de cultivo y los bushels de pepinos de cualquier tamaño con una

proporción superior a la requerida se destruyen "in situ" sin ningún coste adicional. Formular

un modelo de optimización apropiado que indique cúantos bushels deben comprarse a cada

cultivador y qué tamaños deben tener los pepinos que deben transportarse a cada planta.

*Bushel: Medida de áridos correspondiente a 36,36 litros.

13. La gerente de la Boilen Oíl Company desea encontrar las proporciones óptimas de dos

posibles procesos de mezclado. En el proceso 1, un input de un barril de aceite crudo A y 3

barriles de aceite crudo B produce un output de 50 galones de gasolina X y 20 galones de

gasolina Y. En el proceso 2, un input de 4 barriles de aceite crudo A y 2 barriles de aceite crudo

Bproduce un output de 30 galones de gasolina X y 80 galones de gasolina Y. Sean x1 y x2 los

números de barriles que se decide utilizar en el proceso 1 y 2 respectivamente. La cantidad

máxima disponible de Acite Crudo A es de 120 barriles y 180 barriles de Aceite Crudo B. El

departamento de ventas exige que se produzcan por lo menos 2800 galones de Gasolina X y

2200 galones de Gasolina Y. Los beneficios unitarios de los Procesos 1 y 2 son pl y p2

respectivamente. Formular este problema de mezclas como un problema de programación

lineal.

14. La encargada de High Tail Airflight Company, compañía que opera desde un terminal

central dispone de 8 aviones de tipo 1, 15 aviones de tipo 2 y 11 aviones de tipo 3 disponibles

para los vuelos de hoy. Las capacidades de tonelaje (en miles de toneladas) son de 45 para el

5

tipo 1, 7 para el tipo 2 y 5 para el tipo 3. La encargada decide enviar aviones a las ciudades A y

B. Los tonelajes necesarios (en miles de toneladas) son de 20 para la ciudad A y 28 en la ciudad

B; si se proporcionan aviones con un exceso de tonelaje sobre el requerido ello no supone

ningún coste extra. Un avión puede volar una única vez por día. El coste de enviar un avión

desde el terminal hasta cada ciudad es el siguiente:

Ciudad A OudadB

_Tipo 1 23 58

Tipo2 15 20

Tipo 3 1,4 3,8

Sean x1, x2 y x3 las variables que denotan el número de aviones de cada tipo que se envían a la

ciudad A, y, similarmente, y1, Y2· y3 los aviones enviados a la ciudad B.

Formular un modelo lineal para resolver este problema de itinerarios.

15. La Glassey-Staire Television Network desea establecer precios competitivos para sus

tiempos publicitarios. Lo que sigue es una versión simplificada del problema. Supongamos que

hay tres tipos de periodos publicitarios: tarde-noche, entre-semana y Sábado/Domingo-tarde

(antes de las 6 p.m.). Sean p1, P2 y p3 los precios por minuto en cada uno de los periodos,

respectivamente. La compañía vende bloques de tiempo a K grandes compañías publicitarias

que tienen un efecto importante en los precios que se fijan. Se sabe que la compañía k desea

adquirir un lote que constiste en a1k. a2k y a3k minutos en los 3 periodos publicitarios y está

dispuesta a pagar Ak dólares por todo el lote. La compañía también vende tiempo a publicitarios

menores y piensa que, si los precios son adecuados para los K grandes publicitarios, en total

puede vender Ml, M2 y M3 minutos de tarde-noche, entre-semana y Sábado/Domingo-tarde,

respectivamente. Formular este problema como un modelo de programación lineal.

16. La ciudad de Shlepping, Massachusetts, tiene tres distritos educativos; en cada uno de

ellos, la proporción de estudiantes residentes blancos y negros es diferente. El Consejo

Educativo (CE) local quiere definir un plan de asignación de estudiantes a los distintos distritos

que, en la medida de lo posible, establezca las mismas proporciones raciales en sus colegios.

Entre los planes alternativos posibles, el CE elegirá uno que minimice el coste total de

transporte. El CE ha contratado a un consultor para diseñar un plan y ha establecido que la

proporción (o fracción) de estudiantes blancos en los colegios de los distritos no debería

diferenciarse en más de 0,1 de la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad. (Por

ejemplo, si la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad es de O. 73, entonces, la

proporción de estudiantes blancos en cada distrito debe estar entre 0.63 y 0.83). A partir de

estadísticas publicadas, se sabe que la cantidad de residentes en edad escolar negros y blancos

en los Distritos 1, 2 y 3 son nl,b1; n1, b1; y n3. b3; respectivamente. El máximo número de

estudiantes que pueden ubicarse en los Distritos 1, 2 y 3 son N¡, N1 y N3, respectivamente. El

coste de transporte desde el distrito i hasta el distrito j por estudiante es Cij- Supongamos que las

variables de decisión Xij· Yij (i:;tj) representan las cantidades de estudiantes negros y blancos,

respectivamente, que deben transladarse desde el distrito i hasta el distrito j. Formular un

modelo de optimización adecuado para diseñar un buen plan.

f)

17. Problema Trim. La compañía papelera Fine-Webb Paper Company produce rollos de papel

de una anchura estándar de 68 pulgadas. (Cada rollo tiene una longitud fija). Los clientes de la

compañía, sin embargo, encargan rollos de anchuras menores (y la misma longitud fija que los

rollos fabricados). Los pedidos de hoy son de 110 rollos de 22" de ancho, 120 rollos de 20" de

ancho y 80 rollos de 12" de ancho. Estas anchuras inferiores se obtienen cortando los rollos de

anchura estándar. Por ejemplo, la compañía puede decidir cortar un rollo en dos rollos cada uno

de 22" de ancho y un rollo de 20" de ancho; esto deja un recorte de desperdicio de 4" de ancho

del rollo de 68". El encargado de la planificación de la producción desea realizar los pedidos de

hoy minimizando los recortes residuales totales.

a) Encontrar todas las formas posibles de cortar un rollo de 68" de ancho en combinaciones

de rollos de 22", 20" y 12". Se acaba de ilustrar una combinación de este tipo. Calcular

la pérdida residual para cada combinación. Etiquetar las combinaciones 1, 2, 3, ... y

definir x¡ como el número de rollos que deben cortarse según el i-ésimo patrón.

b) Formular el problema como un modelo de programación lineal. (Hay que tener en cuenta

que cualquier cantidad de rollos más pequeños obtenidos por encima de la demanda del

cliente, debe considerarse también como una pérdida).

c) Demostrar que la función objetivo también puede escribirse como min 68(x1+x2+ ... ).

18. Resolver las cuestiones del problema 17, suponiendo que la anchura del rollo producido es

de 100" y que los pedidos de hoy son 110 rollos de 25" de ancho, 120 rollos de 30" de ancho y

80 rollos de 35" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

19. Resolver las cuestiones del problema 17 suponiendo que la anchura del rollo producido es

de 200" y que los pedidos de hoy son de 110 rollos de 30" de ancho, 120 rollos de 55" de

ancho y 80 rollos de 65" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68).

20. La gerente de la Fly-by-Night Airline, debe decidir las cantidades de jet fuel que deben

comprarse a tres posibles vendedores. La compañía reposta sus aviones regularmente en los

cuatro aeropuertos desde los que sirve. Las cantidades que pueden distribuir las compañías de

aceites el próximo mes son: 275000 galones la Oil Company 1; 550000 galones la Oíl Company

2; y 660000 galones la Oil Company 3. Las cantidades que necesita la compañía aérea son:

110000 galones en el aeropuerto 1, 220000 galones en el aeropuerto 2 y 330000 galones en el

aeropuerto 3 y 440000 galones en el aeropuerto 4. Cuando se añaden los costes de transporte a

los precios netos de venta por galón, el coste combinado por galón para el jet fuel de cada uno

de los posibles vendedores distribuyendo a un aeropuerto específico son los siguientes:

Compafiía 1 Compafiía 2 Aeropuerto 1 10 7 Aeropuerto 2 10 11 Aeropuerto 3 9 12 Aeropuerto 4 11 13

Formular el problema de decisión como un programa lineal.

7

Compafiía 3

8 14

4

9

21. La Seymour Hayes Manufacturing Company tiene tres plantas de producción en las que

produce una componente pequeña para un producto industrial y luego lo distribuye a 5

distribuidores a un precio fijo de distribución de 2.50$ por unidad. Las previsiones de ventas

indican que las distribuciones mensuales serán de 2700 unidades al distribuidor 1, 2700

unidades al distribuidor 2, 9000 unidades al distribuidor 3, 4500 unidades al distribuidor 4 y

3600 unidades al distribuidor 5. Las capacidades de producción mensuales son de 4500 en la

planta 1, 9000 en la planta 2 y 11250 en la planta 3. Los costes netos de producción por unidad

son de 2$ en la planta 1, 1$ en la planta 2 y 1,8$ en la planta 3. Los costes de transporte (en

dólares) al distribuir una unidad desde cada planta a cada distribuidor son los siguientes:

Planta!

Planta2 Planta3

Distr.1

0,05 0,08

0,10

Distr.2

0,07 0,06 0,09

Distr.3

0,11

0,10 0,09

Distr.4

0,15 0,12

0,10

Distr.5

0,16

0,15

0,16

Formular un problema lineal que indique las cantidades de producción óptimas en cada planta, y

que indique cuantas componentes deben repartirse desde cada planta a cada distribuidor.

22. La Faye Stout Rayon Company ha introducido una nueva fibra sintética de acetato que ha

sustituido muchas de sus ventas actuales de rayon. La gran demanda resultante para la fibra

sintética junto con las dificultades de producción en la planta hacen que, cuando el cliente lo

permita, la compañía realice cambios en la fibra distribuida. Por tanto, es posible que un cliente

que haya realizado un pedido de fibra 3, en realidad reciba parte del pedido en fibra 5, cuando el

cliente lo acepte y la compañía Stout no disponga de fibra 3. Incluso con estos cambios, la

producción de la compañía no permite satisfacer todas las demandas de los clientes para ciertos

tipos de fibras. Para cada una de las fibras de las que no se dispone de cantidades suficientes, la

compañía quiere satisfacer la misma proporción del pedido de cada cliente. (En otras palabras, si

los pedidos totales de la fibra k son de 150000 libras y la compañía sólo dispone de 100000

libras de fibras para estos pedidos, cada uno de los clientes que ha pedido fibra k recibirá

únicamente 2/3 del pedido de fibra k realizado; además la cantidad recibida estará formada por

fibra k y sustitutos permitidos). Además, en caso de falta de producto, la compañía intenta

distribuir a cada cliente la misma parte proporcional correspondiente de la fibra que en realidad

encargó. (Por ejemplo, si cuando se han pedido 150000 libras de fibra k, sólo se dispone de

50000 libras de fibra k, entonces cada cliente recibe aproximadamente 1/3 de su pedido en fibra

k. Los 213 de su pedido restantes pueden llegar- o no- a distribuirse con alguno de los sustitutos

permitidos). Supongamos que el número de fibras producidas es de 10 y que hay 70 clientes.

Sea Xijk la cantidad de fibra k que se distribuyen al cliente i, para satisfacer su pedido qij de fibra

j, donde i=l,2, ... 70, j=l,2, ... 10 y k=l,2, ... 10. Cuando j;tk, se está distribuyendo un producto

sustituto. La cantidad disponible de fibra j es de Aj libras. El coste por libra de distribuir fibra k

al cliente i que pidió fibra j es Cijk (este coste puede incluir una penalización por la sustitución; si

el cliente i no permite la sustitución de la fibra k por fibra j, este coste puede fijarse a un valor

arbitrariamente grande). Sea Xj la fracción de pedido de cada cliente de fibra j que realmente se

distribuye (con fibraj y sustitutos permitidos). Para cada cliente i, sea dij el coste de penalización

8

por libra de fibra j pedida pero no distribuida (ni con fibra j ni con ninguno de los sustitutos

permitidos). Finalmente, exigimos que cada cliente reciba al menos el 95%, pero no más del

105% de la parte proporcional que le corresponderla de cada fibra pedida que no puede suplirse

por completo. Formular un modelo adecuado de optimización.

23. El departamento de policía de Kleen City necesita diariamente los siguientes policías:

Banda bcr.uia Periodó #Mínimo de policías necesarios en el periodo

2-6 1 22 6-10 2 55

10-14 3 88 14-18 4 110

18-22 5 44

22-2 6 33

Debemos considerar el periodo 1 como el que sigue inmediatamente al periodo 6.

Cada persona trabaja 8 horas consecutivas. Sea x1 el número de policías que empiezan a trabajar

en el periodo t cada día. El departamento de policía ha contratado los servicios de un experto

europeo para obtener un esquema diario que utilice el menor número de policías, cumpliendo

los requerimientos anteriores. Formular un modelo lineal para encontrar el esquema óptimo.

24. Hacia el 435 A.C. Esparta decidió formar tropas de reserva para complementar su ejercito

en activo. Por tanto, podían alistarse nuevos guerreros para periodos de 1, 2, 3 ó 4 años. Sean

XJt. X2t. x31 y X4t el número de guerreros alistados en el año t, t=l,2,3,4 años respectivamente.

Los costes asociados son c1t. c2i. c31 y c41 respectivamente. Se estableció, que cada año t debía

haber un número mínimo de guerreros en la reserva de R1; R1 variaba cada año. Como general

espartano, tu podrias encontrar la política de alistamiento óptima, para los próximos 1 O años

mediante un programa lineal. Para mayor simplicidad, toma t=l para denotar el año 435 AC.

25. El Haut Dam Water System comprende varias presas, embalses, afluentes. Uno de ellos,

el embalse Gaul Dam se utiliza para recreo (natación, esquí acuatico, canóas, etc.). Es

importante mantener la profundidad media de este embalse dentro de unos márgenes prefijados,

que varian mensualmente. La jefe de sección del departamento de aguas es responsable de la

decisión mensual sobre cúanto agua se debe verter desde la presa de Haut Dam hasta el embalse

Gaul Dam. Los ingenieros de su departamento han estimado una tasa alta de filtración y

evaporación en Gaul Dam; como la cantidad de lluvia puede considerarse despreciable, el nivel

de agua en Gaul Dam debe mantenerse mediante vertidos desde Haut Dam. Supongamos que en

el departamento de aguas se desea hacer una planificación para los próximos 20 meses. Durante

el mes t, sea x1 la variable que denota la profundidad media del embalse, antes de aumentarla

con el agua de la presa; x1=25. Sea Yt la variable que denota el número de pies que se decide

añadir a la profundidad media en el mes t; es decir, un valor positivo para Yt indica una decisión

de aumentar la profundidad del embalse con agua de la presa. Sean Lt y U1 los límites inferior y

superior prefijados, respectivamente, para la profundidad media del embalse después del

9

vertido de agua el mes t Supongamos que Xt+l es 0.75 de la profundidad media del embalse

después del incremento de agua en el mes t . Suponiendo que el coste de incrementar la

profundidad del embalse en el mes t es de Ct por pie, formular un modelo apropiado de

optimización.

26. El jefe de personal de la Feedmen-Speedmen Airline Company debe decidir cuantas

nuevas azafatas deben contratarse y formar en los próximos 6 meses. Las necesidades

expresadas en términos de número de_ horas de vuelo de azafatas necesitadas son 8000 en

enero, 9000 en febrero, 7000 en marzo, 10000 en abril, 9000 en mayo y 11000 en junio. Antes

de poder asignar una azafata a un vuelo es necesario formarla durante un mes; por tanto una

azafata debe contratarse por lo menos un mes antes de que realmente se le necesite. También

durante el curso de formación se necesitan 100 horas de supervisión por personal

experimentado con lo que en esos periodos se dispone de 100 horas menos para el servicio

regular de vuelos. Cada azafata con experiencia puede trabajar hasta 150 horas al mes, y la

compañía dispondrá a principio de enero de 60 azafatas experimentadas. Si el tiempo disponible

de azafatas experimentadas excede las necesidades de vuelos y de formación de un mes, durante

ese mes las azafatas trabajan menos horas y nadie queda despedido. Al final de cada mes,

aproximadamente el 10% de las azafatas experimentadas deja el trabajo por distintos motivos.

Una azafata experimentada cuesta a la compañía 850$ por mes y una en formación 450$ al mes

en salarios y otros conceptos. Formular este problema de contratación como un programa

lineal. Sea Xt el número de azafatas que empiezan su formación en el mes t, donde xo=62

Definir las variables de decisión adicionales que sean necesarias.

27. Formular un modelo de programación para la situación siguiente:

Un centro de recuperación recoge cuatro tipos de residuos sólidos para su reciclaje y, después

de tratarlos, los mezcla en distintas cantidades para producir tres tipos de producto utilizable.

Aunque hay una cierta flexibilidad en las combinaciones que intervienen en la mezcla de cada

producto, los estándares de calidad especifican unos límites máximo y mínimo en los

porcentajes (en peso) de algunos de los materiales permitidos en cada mezcla. Estas

especificaciones, junto con el coste de la mezcla y el precio de venta, son las siguientes: Material 1 Material 2 Material 3 Coste/kg mezcla Precio venta/kg

Mezcla A no más 30% no menos 40% no más 50% 300 850 Mezcla B no más 50% no menos 10% - 250 700 Mezcla C no más 70% - • 200 550

El centro de recuperación recoge sus residuos sólidos de fuentes regulares que le permiten

mantener un régimen de producción estable para el tratamiento de estos materiales. La tabla

siguiente da las cantidades disponibles para la recogida y tratamiento de cada tipo de material: Material Kg/semana disponibles Coste del tratamiento

1 3000 300 2 2000 600

3 4000 400

4 1000 500

1 o

Por otra parte, compromisos previamente adquirid~s obligan a producir al menos 3000 Kg de

mezcla A, 4000 de la By 1000 de la C, pero exigencias de la tecnología empleada no permiten

que producir la mezcla A en una cantidad mayor del doble de la cantidad de mezcla B

producida.

El problema de la compañía es determinar qué cantidad de cada mezcla ha de producir y su

composición exacta, de manera que maximice el beneficio neto semanal.

Solución: Xif Kg de material j por seman~ para producir la mezcla i, i=A,B,C, j=l,2,3,4

4 L Xij j=I

i=A Cantidad de mezcla A producida i=A Cantidad de mezcla B producida i=A Cantidad de mezcla C producida

c

c L Xij i=A

j=l j=2 j=3 j=4

Cantidad de material 1 producida Cantidad de material 1 producida Cantidad de material I producida Cantidad de material I producida

Función objetivo: z= ~_.erecio de venta por kg. de la mezcla i x cantidad total (en kg) de la mezcla i

c L coste por kg. de la mezcla i x cantidad total (en kg) de la mezcla i i=A 4 L coste por kg. del tratamiento del material j x cantidad total del material j tratada (en kg) j=I

l;:: 850 (XAI + XA2 + XA3 + XA4) + 700(XB1 + XB2 + XB3 + XB4) + 550 (XCI + xc2 + xc3 + XC4) - 300 (XAI + XA2 + XA3 + XA4) - 250 (XB I + XB2 + XB3 + XB4) - 200 (XCI + xc2 + xc3 + xc4) - 300 (XAI + XBI +XCI) - 600 (XA2 + XB2 + XC2) - 400 (XA3 + XB3 + xc3) - 500 (XA4 + XB4 + xc4)

l;:: 250 XAI - 50 XA2 + I50 XA3 + 50 XA4 + 150 XB I - I50 XB2 + 50 XB3 - 50 XB4 + 50 XCI - 250 xc2 -50 xc3 - 150 XC4

Restricciones por limitación de recursos Material 1: XAl + XBI +XCI::;; 3000 Material 2: XA2 + XB2 + XC2::;; 2000 Material 3: XA3 + XB3 + xc3::;; 4000 Material 4: XA4 + XB4 + xc4::;; 1000

Restricciones por estándares de calidad Mezcla A:

XAI::;; 0,3 (XAI + XA2 + XA3 + XA4) XA2 ~ 0,4 (XAI + XA2 + XA3 + XA4) XA3 ::;; 0,5 (XAI + XA2 + XA3 + XA4)

MezclaB: XBI::;; 0,5 (XBI + XB2 + XB3 + XB4) xa2 ~ O,I (XBI + xa2 + xa3 + xa4)

Mezcla C: XCI ::;; 0,7 (XCI + xc2 + xc3 + xc4)

Restricciones por condiciones tecnológicas XAI + XA2 + XA3 + XA4

XCI+ xc2 + xc3 + xc4

::;; 2

1 1

28. Una versión simplificada del problema de localización de plantas es:

Min L L Cij Xij + L f¡ Yi ie 1 je J ie 1

Sujeto a

(1) L Xij = dj. V'je J, J={ 1,2, ... ,n} Centros de consumo cuyas demandas han de ser satisfechas ie 1

(2) L Xij - Yi ( Ldj) S O, ie 1 = { 1,2, ... ,m} Conjunto de almacenes je J je J

Xij~. V'ie 1, V'je J Xij cantidad suministrada al centro j desde el almacen i

1 se abre el almacen de la localización potencial i

Yi=

O no se abre el almacen en i

Esta versión corresponde al llamado problema "sin capacidades" ya que los almacenes no están

sometidos a ninguna restricción de capacidad, lo que supone admitir implícitamente que ésta

puede ser lo suficientemente grande como para que un único almacén satisfaga la demanda total

(Ldj) y aprovisione a todos los clientes. Cij es el coste por unidad de surtir el centro j desde el

almacén i y f¡ es el coste de la decisión de abrir un almacén en la localización potencial i.

Las restricciones (1) garantizan la satisfacción de la demanda de cada centro y (2) impiden que

se intente aprovisionar un centro desde un almacén no abierto ya que y¡=O => Xij=Ü V'j.

a) Este modelo supone un único producto y una etapa de distribución: almacén-centro de

consumo. ¿Cómo se modificaría el modelo si hubiese dos etapas: fábrica-almacén,

almacén-centro de consumo y hubiese L productos diferentes? (Sugerencia: Sea Xijkl la

cantidad del producto 1, enviada desde la fábrica i a través del almacén k al centro j)

b) ¿Y si las fábricas y los almacenes tienen límites superior e inferior para sus capacidades

de producción y almacenamiento?

c) ¿y si no se admite un fraccionamiento de los pedidos a los almacenes de manera que la

demanda del centro j ha de ser satisfecha desde un único almacén?

d) ¿Cómo se introducirían en el modelo condiciones del tipo:

1) Los centros del subconjunto ltd no pueden ser servidos desde los almacenes J1cJ

2) Si i,j,r son aprovisionados desde k entonces 1, s y t han de serlo desde otro almacén

12

Problemas de Programación Lineal

l. Una empresa fabrica 2 tipos de productos A y B. En la fabricación se utilizan los siguientes

productos: Madera y plásticos; y mano de obra. Cada unidad de A y B precisa: Producto Mano de obra Mma Plástico Precio venta

A lb. 3 Kg. 2 Kg. 820 pts.

B 2 h. 2 Kg. - 890 pts.

Costes 300 ptas/h. 20 ptas/Kg. 80 ptas/Kg

La cantidad disponible en el mercado es de 300 Kg/día para la madera y 100 Kg/día para el

plástico. La mano de obra disponible es de 150 horas/día

1) Hallar la cantidad de A y B que maximice el beneficio. (Solución: A=50, B=50)

2) Interpretar el problema dual en el óptimo: Las variables y las restricciones.

3) Se plantea la posibilidad de fabricar otro producto C que precisa 1 h. (mano de obra), 2

Kg. (madera) y 5 Kg. (plástico). ¿Para qué precio mínimo interesa su fabricación?

4) Si el precio de C fuera de 1400 ptas., hallar el nuevo programa de producción teniendo

en cuenta que el producto C hace la competencia a los otros dos productos y se ha

estimado que la suma de los tres productos debe ser inferior a las 200 unidad/día.

5) Volviendo al problema inicial (1) indicar si estaríamos dispuestos a adquirir madera a 40

ptaslkg. y plástico a 100 ptas/Kg. y en qué cantidad.

6) ¿Cúantos vértices válidos tiene el problema inicial? (1)

2. Una fábrica produce 3 tipos de piezas A, B y C. Utilizan como recursos un torno y una

fresadora de los cuales se dispone de 120 h. diarias y 260 h. diarias respectivamente:

A

B e

H. tomo

0.1

0.25

H. fresadora 0.2 0.3

0.4 Horas de recurso para producir una piei.a

El beneficio unitario que se obtiene con estas piezas es de3, 5 y 4 ptas. respectivamente.

1) Hallar la producción óptima. (Solución: x1=1200, x2=50)

2) ¿Interesa comprar horas de tomo y fresadora a 6 y 11 ptas/unidad?

3) Si el precio de venta de C pasa a 8 ptas/u. ¿De qué modo se modifica la producción?

4) Cuando el total de horas disponibles de fresadora pasa de 260 a 200 ¿qué ocurre?

5) Suponiendo que se mejora el sistema de producción y resulta que para fabricar una pieza

B sólo se necesitan 0.1 horas de fresadora ¿qué ocurre?

6) Suponiendo que se introduce una restricción de mercado que nos dice que el total de de

piezas de A y B no puede superar las 1000 unidades ¿qué ocurre?

3. Una empresa puede fabricar en una máquina dada, trabajando 45 horas por semana, tres

productos diferentes, p1, P2 y p3. El producto PI da un beneficio neto unitario de 4 ptas., P2 de

12 ptas. y p3 de 3 ptas. Los rendimientos horarios de la máquina son respectivamente para cada

uno de los productos 50, 25 y 75 unidades/hora. Además las ventas tienen unas limitaciones de

1

1000, 500 y 1500 unidades respectivamente por semana. ¿Cómo repartir la producción para

que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo? (Solución: p2=500, p1=250, p3=1500)

4. Una empresa fabrica dos tipos de cinturones A y B. El tipo A es de mejor calidad que B. El

beneficio neto es de 24 para el tipo A y 18 para el tipo B. El tiempo de fabricación para el tipo A

es dos veces el tiempo de fabricación para el tipo B, y si todos los cinturones fuesen del tipo B,

la empresa podría fabricar 1000 diarios. El aprovisionamiento de cuero es suficiente para 800

cinturones diarios (tipo A o B). Además; sólo se dispone diariamentee de 400 cierres del tipo A

y 700 cierres del tipo B. ¿Cúal es el número de cinturones a fabricar de cada tipo, de manera

que el beneficio de la empresa sea máximo? (Solución: A=200, B=600)

5. Un labrador dispone de 10 Ha. que puede destinar a trigo o a cebada. La cebada representa

un coste, entre simiente y abono, de 5.000 ptas./Ha. y el trigo 10.000 ptas./Ha. El capital

inicial del labrador para este menester es de 75.000 ptas. Por otra parte, el trigo exige el triple

de cuidados que la cebada; disponiendo de recursos propios familiares capaces de cuidar 6 Ha.

de trigo. Por otra parte, la cosecha representa unos ingresos de 60.000 ptas./Ha. de cebada y

150.000 ptasJHa. de trigo. ¿Qué extensión debe plantar de cada cultivo? (Solución: 6 Ha. de

cebada , 4 Ha. de trigo). Si pudiese obtener aportación de trabajo exterior ¿Cúanto estaría

dispuesto a pagar por los cuidados de una Ha. de trigo?

6. Una compañía de aviación desea adquirir nuevos tipos de aviones que le proponen en tres

tamaños: pequeño, mediano y grande, con un coste de 5, 8 y 12 millones de dólares

respectivamente. La compañía desea efectuar una inversión de 64 millones de dólares como

máximo. Por otra parte, estudiante los efectivos de entretenimiento y mantenimiento de que

dispone, observa que son suficientes para 12 aviones de tamaño pequeño. Los aviones grandes

exigen el doble de efectivos que los pequeños y los medianos 1.5 veces.

a) ¿Cúantos aviones de cada tipo se deben adquirir si el beneficio anual esperado de cada

unidad es de 150.000, 200.000 y 250.000 dólares respectivamente para el pequeño, el

mediano y el grande? (Solución: 12 aviones pequeños)

b) ¿Qué coste podemos atribuir a las limitaciones del capital y de efectivos?

c) Si por razones de prestigio la compañía compra un avión grande más de lo indicado en la

solución de a) a costa de los medianos y pequeños, ¿Cómo influye en el beneficio anual?

7. Tres tipos de carbón tienen como impurezas fósforo y cenizas. En un detenninado proceso

industrial se precisan 100 toneladas de combustible que no contengan más del 3% de cenizas ni

más del 0.03% de fósforo. ¿Cúal es la composición óptima de los carbones? Carbón % fósforo % de cenizas Coste en miles ptas.ffm.

A 0.02 3 8 B 0.04 2 5 e 0.03 5 6

(Solución: La mezcla óptima tiene 40 Tm. de A, 40 Tm. de B y 20 Tm. de C)

2

8. La composición.en calorías y grasas de una serie.de sustancias es la siguiente: 11 12 13 14 15

Calorías/kg Grasas/kg

2 4 2 1 3 3 1 2 3 5

Por otro lado, el precio/kg de estos productos es de 90, 70, 60, 70 y 130 respectivamente.

Hallar las cantidades a mez.clar de cada tipo para conseguir una mezcla con un mínimo de 50

calorías y 75 de grasa a coste mínimo. (Solución: 13=25/4, 15=25/2)

9. Un importador de whisky dispone de un mercado ilimitado, pero se encuentra restringido

por la reglamentación de las importaciones en cuanto a las cantidades máximas autorizadas

mensualmente, que se establecen como sigue:

"Sir Roses" Como máximo 2000 botellas a 280 ptas.

"Higbland Wind" " " 2500 " a 200 "

"Old Frenzy" " " 1200 " a 160 "

El importador efectua 3 mezclas A, By C que vende a los precios respectivos de 272, 228 y

180 ptas. la botella. Las mez.clas se definen como sigue:

A No menos del 60% de "Sir Roses"

No más del 20% de "Old Frenzy"

B No menos del 15% de "Sir Roses"

No más del 60% de "Old Frenzy"

C No más del 50% de "Old Frenzy"

Encontrar las mez.clas que dan el máximo beneficio al importador.

10. Los propietarios de una compañía han decidido anunciar un producto en la televisión.

Están convencidos de que se precisan únicamente 4 minutos durante el día y 7 minutos por la

noche para que el mensaje sea adecuadamente captado. La televisión les ofrece 2 canales C 1 y

C2. Con el canal Cl se han estimado 10.000 televidentes con 1 minuto durante el día y un

minuto por la noche. Con C2 hay 20.000 televidentes con 1 minuto durante el día y 4 minutos

por la noche. Se desea maximizar el número de televidentes. ¿ Cúantas veces por semana deben

utilizarse las dos modalidades? ¿Cúal es el máximo número de televidentes? (Solución: Cl: 3

veces por día; C2: 1 vez por día. Máximo número de televidentes: 50.000)

11. Un inversor decide diversificar su cartera de valores. invirtiendo en 3 clases de valores:

Bonos del estado, obligaciones y especulativos. El total de capital disponible es de 5.000.000

ptas. Su estrategia consiste en no invertir más del 25% en especulativos, y al menos el 40%

deben ser bonos del estado. Si estos valores proporcionan unos intereses respectivos de 4%,

5% y 10%, ¿cúal debe ser la cantidad invertida en cada tipo de valor para maximizar el

beneficio? ¿Cúal es el beneficio? (Solución: 7/4 millones en obligaciones, 2 millones en bonos

del estado, 5/4 millones en valores especulativos. Máximo beneficio 2925)

Si el riesgo de los especulativos se reduce y puede llegar a invertir hasta el 75% ¿cúal es el

beneficio en estas nuevas condiciones?

3

12. La compañía TOP debe enviar 4800 cajas del ·producto A y 3600 del B a un cliente. La

compañía posee dos tipos de camión: Tl y T2. La capacidad del Tl son 600 cajas de A y 900

de B, mientras que en T2 caben 600 de A y 300 de B. Se trata de minimizar el coste de

transporte. El coste de enviar un Tl son 15000 ptas. y un T2 10000 ptas. ¿Cúantos camiones

de cada tipo deben enviarse? ¿Cúal es el coste mínimo? (Solución: 4 Tl, 8 T2. El coste mínimo

es 140000)

13. La dirección de una gran empr.esa siderometalúrgica en la que usted se encuentra

trabajando como experto en Investigación Operativa, solicita su opinión sobre un problema de

producción que le plantean en los siguientes términos:

"Un cliente nos ha confiado el suministro de 5 toneladas semanales de un determinado tipo de

acero, demanda que puede aumentarse en el futuro si nuestras posibilidades lo permiten. Para la

fabricación del acero disponemos de chatarra y metal puro, que se mezclan en una proporción

no superior a siete octavos. Los costes totales referentes a una tonelada de metal puro y de

chatarra son respectivamente de 3 y 5 unidades. El departamento de compras de la empresa

informa que las posibilidades de abastecimiento semanales son de 4 toneladas de metal puro y

de 6 toneladas de chatarra; el departamento de producción, por su parte, informa que hay

disponibles para esta producción 18 horas semanales y que el tratamiento de una tonelada de

metal puro precisa de 3 horas de trabajo, mientras que la chatarra requiere solamente dos horas

de trabajo por tonelada."

Obviamente, es usted un buen ingeniero, pero a pesar de ello nos permitimos recomendarle

informe a la dirección en los siguientes términos:

a) ¿De qué cantidad de metal puro y chatara debemos abastecemos semanalmente para

satisfacer el pedido en cuestión con un coste mínimo?

b) ¿Cúal será la demanda máxima que podremos satisfacer con los recursos dados?

c) ¿Qué incremento de coste estamos dispuestos a soportar en el metal puro sin variar la

producción óptima? ¿Cómo repercute este incremento en el coste total de producción?

d) ¿Cómo varían los costes al producir una unidad más de acero? ¿Por qué?

e) Dadas nuestras posibilidades de aprovisionamiento y en caso de disponer de horas libres,

¿en qué podemos emplearlas?

14. Una empresa estudia la posibilidad de fabricar dos tipos de piezas para automóbiles, cada

uno de los cuales puede producirse a través de dos procesos distintos. La cantidad de recursos

necesarios para su fabricación, así como las disponibilidades diarias de los mismos y el

beneficio unitario por pieza y proceso son los de la tabla: Piez.a tipo A Piez.a tipo B Recursos diarios

disponibles Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 Proceso 4

Horas-Hombre 1 1 1 1 15 Material Y 7 5 3 2 120 Material Z 3 5 10 15 100 Beneficio Unitario 4 5 9 11 ¿Cúal es la cantidad óptima de piezas producida y através de qué procesos se obtienen?

4

15. El director de una fábrica de juguetes ha de decidir cuantas muñecas ha de fabricar de dos

tipos diferentes para el més próximo. La demanda es alta y las ventas están limitadas

únicamente por la capacidad de producción. Las muñecas son de paño recortado y cosido por

una máquina que tiene una capacidad máxima de 4 muñecas por minuto, independientemente

del tipo. Las muñecas de tipo B requieren más relleno que las de tipo A, por lo que la línea de

rellenado puede completar hasta 5 muñecas de tipo A por minuto, si solo rellena muñecas A, y

hasta 3 muñecas por minuto si solo rellena muñecas B. La línea puede combinar ambos tipos

pasando de uno a otro. El beneficio ne~ es de 200 pts. por las A y 150 por las B. a) ¿Qué tasa de producción de muñecas por minuto de cada tipo maximiza el beneficio?

b) ¿Y si las muñecas A son parlantes y se les ha de incorporar un mecanismo de voz a una

tasa de 3 por minuto como máximo?

e) En este último caso, el director puede contratar el montaje aparte del mecanismo de la voz

a un coste neto de 200 pts/ minuto. ¿Le conviene?

el) Si le conviene, ¿Cúanto tiempo extra debe contratar por una jornada de 8

horas/día?. ¿En cúanto se incrementaría su beneficio neto por día?

c2) Si no le conviene, ¿A qué precio le resultaría interesante contratar tiempo extra,

y en este caso, cúanto contrataría por jornada de 8 horas/día?

d) ¿Cúanto estará dispuesto a pagar por aumentar la capacidad de la línea de rellenado?

e) ¿Le interesa otra muñeca parlante que requiere 10 segundos para rellenarse y se le puede

poner voz a una tasa de 4 por minuto como máximo y produce un beneficio neto de 17 5

pts. por muñeca?

16. Un granjero tiene 500 acres de terreno y desea determinar el número de acres que asignará

a las cosechas de maiz, trigo y avena, cuyos consumos de recursos y rendimientos son:

Días/hombre Coste de preparación (Pts.) Beneficio

Trigo 6 15000 9000

Maiz 8 22500 15000

Avena 10 1800 12000

Suponiendo que el número máximo de días/hombre disponibles son 5000 y el capital es de

9.000.000 pts.

a) Encontrar la solución óptima por el método del simplex revisado con la matriz inversa en

forma de producto.

b) Suponiendo que la jornada laboral es de 8 horas ¿Le convendría contratar ayuda adicional

a 450 pts/hora? ¿Por qué?

c) Supongase que tiene un contrato que le obliga a producir al menos el equivalente a 100

acres de trigo. ¿Cúal será la nueva solución?

d) ¿Le interesará producir cebada, con unas necesidades por acre de 9 días/hombre, un ' coste de preparación de 20000 pts y un rendimiento de 14000?

5

17. Una compañía electrónica tiene dos tipos de recursos que denominaremos de tipo A y de

tipo B. La compañía puede fabricar tres tipos de instrumentos, de tipos 1, 2 y 3. Los

instrumentos de tipo 1 se fabrican con 2 unidades del recurso A y 1 unidad del B, mientras que

los del tipo 2 requieren 1 unidad del tipo A y 2 unidades del B y los del tipo 3, necesitan sólo

una unidad del A y 3 del B. La compañía dispone de 1000 unidades del recurso A y 1000

unidades del recurso B. Cada unidad de tipo 1 proporciona un beneficio neto de 3000 pts., al

igual que cada unidad de tipo 2, mientras que las unidades de tipo 3 proporcionan 35000 pts.

a) Cúal es el plan de producción que maximiza el beneficio?

b) ¿Qué márgenes de variación de beneficios son compatibles con dicho plan?

c) ¿Cómo afectarla al plan de producción la modificación de los recursos disponibles?

d) ¿Qué ocurriría si se pudiese considerar un producto alternativo de tipo 4 que requiriese 2

unidades de A, 2 de B y produjese un beneficio neto de 3500 pts por unidad?

e)¿ Y si el recurso B se pudiese sustituir por un recurso C que interviene en las cantidades

2, 2, 2 en los productos 1,2 y 3 respectivamente y del que se dispone de 1000 unidades?

f) ¿Qué ocurre si al problema original le imponemos la condidión de que las cantidades

producidas sean estrictamente enteras?

18. Un fabricante de comida para perros, Productos Caninos S.A., produce dos tipos de

comida, Frisky Pup y Housky Hound. Dispone para ello de dos materias primas: cereales y

carne. Los datos de la tabla adjunta corresponden al proceso de fabricación

Contenido del paquete completo Precio de venta Materias primas por paquete

Cereales Carne

Precio de compra Cereales Carne

Mezcla, empaquetado y otros

Frisky Pup 2.5 Kg. 70 pts.

1.0 Kg. 1.5 Kg.

10 pts/Kg. 20 pts/Kg.

HuskyHound 3.0 Kg. 60 pts.

2.0 Kg. 1.0 Kg

10 pts/Kg. 20 pts/Kg

costes variables por paquete 14 pts. 18 pts. Disponibilidades por mes

Cereales 240000 Kg. 240000 Kg. Carne 180000 Kg. 180000 Kg.

Capacidad de producción 110000 paquetes/mes Ilimitada

Los técnicos del gabinete de 1.0. de la empresa han determinado mediante el algoritmo del

simplex la siguiente solución óptima para el presente mes:

x3 X4 x1: Paquetes de Frisky Pup

0.5 -1 50000

.75 -0.5 90000

-0.5 1 60000

3.5 35 714.000

x5

x2

x1

x2: Paquetes de Husky Hound

x3: Holgura de la restricción de recurso de cereal

X4: Holgura de la restricción de recurso de carne

x5: Holgura de la restricción de capacidad de

producción de Frisky Pup

6

Sin embargo, los técnicos prevén dos meses anómalos. El primero los beneficios netos serán de

63 pts. por paquete de Frisky Pup y de 49 pts. por paquete de Husky Hound, pero solo se

podrán contratar 200000 Kg. de cereales y 150000 Kg. de carne. El segundo será un més

nonnal en todo excepto en que la contribución neta del Frisky Pup será de 63 pts. por paquete y

sólo se podrán empaquetar 50000 paquetes. ¿Qué ocurrirá?

19. (Examen 19/1/84) Considerar el siguiente programa lineal:

min z(x)= -2x1 - 4 x2 - x3 - X4 -

Xl + 3X2 +X4 S8

2x1 +x2 S6

x2 +4x3 +X4 S6

Xf~O. V'j

En el que x5, X6, x7 son las variables de holgura correspondientes a las restricciones de

disponibilidad de recursos. La base -115 3/5

B·l= -1/10 1120 215 -115

o 114 o

correspondiente al vector básico (x1, x3, x2) es la óptima.

a) Si sólo podemos aumentar la capacidad de un recurso ¿cúal debemos elegir? ¿por qué?

b) Dentro de que intervalo de valores de bl (cantidad de recurso 1 disponible) continua

siendo óptima la base B? ¿Cúal es la solución óptima del problema si b1=20?

c) Si podemos tener 7 unidades más del recurso 1 (además de las 8 que tenemos actulmente)

¿Cúal sería el precio máximo que estaríamos dispuestos a pagar por ellas? ¿Por qué?

d) La compañía tiene opción a producir un nuevo producto. Sea xg el número de unidades

de dicho producto que se han fabricado. El vector de coeficientes tecnológicos de xg

sería (20, 24-31.., -25+iJ4)', donde A. es un parámetro que puede tomar valores entre O y

6. ¿Cúal es el mínimo valor de A. a partir del cual resulta provechoso producir el

producto, siendo cg=lO? ¿Cúal es la solución óptima cuando A.=4?

20. Una empresa de productos químicos fabrica disolventes a base de mezclar diferentes

disolventes básicos. Los datos del proceso son: Disolventes básicos

1 2 3 4 Producto 1

contenido (unidades/kg.) 180 120 90 60 · Producto 2

contenido (unidades/kg.) 3 2 6 5 coste (Ptslkg.) 16 12 10 11

Unidades de cada Jl'Oducto por kg. de mezcla

~90

S4

Si Xj es la proporción de disolvente básico de tipo j, j=l,2,3,4 en la mezcla, la mezcla de coste

mínimo viene dada por la base óptima 3/2 o -114

B·l= -1/2 o 1/4

135 -1 -15/2

asociada con (x2,x3,x5), (x5 es la holgura de la primera restricción de desigualdad).

7

a) Formular el problema dual y las condiciones· de holgura complementaria. ¿Cúal es la

solución óptima dual?

b) ¿Cúanto cambia la función objetivo si el requisito del producto 1 baja a 88 unidades?

c) Sea f31 el mínimo requerimiento del producto 1 (inicialmente ~i=90). ¿Para qué intervalo

de valores de ~1 sigue siendo B la base óptima? ¿Cúal es la base óptima si ~i=l 14?

d) ¿Cúanto hay que cambiar el coste por kg. del disolvente básico 3 para que B deje de ser

óptima? ¿Cúal es la solución óptima cuando el coste por kg. de 3 es 11 pts?

21. (Examen 13/4185) Una empresa siderúrgica tiene que producir 1000 libras de un acero que

contenga al menos un 0,35% de manganeso y no más del 3,2% de silicio. Dispone para ello de

tres tipos de acero bruto, en cantidades ilimitadas, con las características siguientes:

Tipo de Acero Bruto

A B C

Silicio 4% 1% 5%

Manganeso 0,35% 0,4% 0,3%

Coste/1000/Libras 28$ 30$ 20$

Suponiendo que el acero deseado se puede obtener mezclando los aceros brutos fundidos, en

las proporciones adecuadas:

a) Formular el problema como un programa de programación lineal que minimice los costes

b) Resolverlo mediante el algoritmo del simplex primal.

La tabla óptima es

XI X6 x5 x7 x¡, x2, x3 son las variables originales

1 4 -4 -17 115 X4 X4 holgura de la restricción de ~ (% de silicio)

0.5 1 -1 -3 0.5 x2 x5 exceso de la restricción de;;::(% de manganeso)

0.5 -1 1 4 0.5 x3 X6 y x7 artificiales

3 -10 10 10 -25

c) Qué coste debe tener el acero bruto A (x1) para estar en la solución? ¿A quién sustituye?

d) ¿Qué precio estaríamos dispuestos a pagar para añadir manganeso a la mezcla?

e) ¿En cúanto se puede modificar el requerimiento de manganeso sin modificar la base?

¿Cúales son los valores de las otras variables básicas cuando esto sucede?

f) ¿Cómo puede ser óptima esta tabla, si el coste reducido de la variable X6 es -1 O?

g) En caso de disponer de un acero bruto alternativo con un 6% de silicio y un 4% de

manganeso ¿Qué coste habría de tener para interesar? ¿A quién sustituiría?

h) ¿Qué pasaría si por limitaciones de mercado x2 no pudiera ser mayor de 400 libras?

22. (Examen 2216/85) Los carbones procedentes de tres minas distintas tienen como impurezas

fósforo y cenizas. Cierto proceso industrial requiere 100 Tm. de combustible consistente en

briquetas obtenidas por compresión de una mezcla de dichos carbones. Las características del

proceso exigen que el combustible no contenga más del 3% de cenizas, ni más del 0,03% de

fósforo. Teniendo en cuenta los datos siguientes:

8

Carbón 1 2 3

% Fósforo 0.02 0.04 0.03

% Cenizas 3 2 5

a) ¿Cúal es la composición óptima de la mezcla?

Coste (Miles de pts. por Trn) 8 5 6

b) ¿Qué ocurriría si hubiese un carbón alternativo con un 0.01 % de fósforo, un 4% de

cenizas y un coste de 9000 pts. por Tm?

c) ¿Y si se restringiese el fósforo al 0.02% y las cenizas al 2.5%?

d) ¿Y si además se decidiese controlar el contenido de azufre, presente en las cantidades: Carbón 1 2 3 % Azufre 3% 6% 5%

respectivamente, no permitiendo que en la mezcla aparezca más de un 4%?

e) ¿Qué solución se obtendría en el caso de que por razones de producción no pudiese

disponer más de 30 Tm. del carbón 1?

f) Plantear el problema dual. Obtener su solución. Escribir las ecuaciones del teorema de

holgura complementaria correspondientes a este problema. Interpretarlas.

23. (Examen 19/4/86) Considerar el siguiente problema de dietas: Contenido del nutriente Requerimientos mínimos

Nutriente en la comida disponible diarios del nutriente V~ Paratas Maiz

Vitamina A 10 1 9 5 c 10 10 10 50 D 10 11 11 10

Coste (pts/kg) 50 100 51

Sean x1, x2 y x3 las cantidades de verduras, patatas y maiz que se incluyen en la dieta. Sean X4.

x5, Xó las variables de holgura que representan, respectivamente, los excesos de vitaminas A, C

y D. La base B asociada al vector básico (X4, x1. Xó) es la óptima para este problema: -1 1 o

B-1= O 1/10 O

o 1 -1

a) Encontrar las soluciones óptimas primal y dual asociadas con la base B.

b) Hay otro alimento, leche, que tiene, O, 1 O y 20 unidades de vitaminas A, C y D

respectivamente y cuesta 40 pts./lt. ¿Es recomendable incluirla en la dieta? ¿Por qué?

¿Cúal es el mayor precio de la leche para el que aun resulta atractivo incluirla en la dieta?

c) Considerar de nuevo el problema original. Un especialista en nutrición considera que los

requerimientos mínimos diarios deben ser realmente, 5, S+A. y 10+ 151.., donde A. es un

parámetro no negativo. Suponiendo que esté en lo correcto, encontrar ~, valor máximo

de A. para el que B todavía es óptima. ¿ Cúal es la solución óptima para A= ~+ 1?

24) La dirección de una central térmica que produce energía eléctrica utilizando carbón como

combustible, está estudiando un plan de operación que satisfaga los estándares de emisión

establecidos por las leyes de control de la polución. Para la central en cuestión las máximas

tasas de emisión admitidas son:

9

. máxima emisión de óxido de azufre: 3000 partes por millón (PPM)

. máxima emisión de partículas (humos): 12 Kilogramos/hora (Kg/hora)

El carbón es traido hasta la central en femocarril, donde se almacena para ser llevado en una

cinta transportadora hasta la unidad de pulverización, donde una vez pulverizado, pasa a

alimentar directamente la cámara de combustión según la tasa deseada. El calor producido en la

cámara de combustión se utiliza para producir el vapor que mueve las turbinas. Se utilizan dos

tipos de carbón: el carbón de tipo A, que es un carbón duro de combustión limpia, con un bajo

contenido de azufre, aunque bastante caro; y el carbon de tipo B, que es más barato,

relativamente blando y con humos de alto contenido en azufre, tal como indica la tabla: Emisión de polucionantes Carbón Oxidos de Azufre en los

gases de la chimenea A 1800 PPM

B 3800 PPM

Partículas (F.misión/Tonelada)

0.5 Kg.

1.0 Kg.

La capacidad térmica (expresada en función del valor producido) es de 24000 libras por

tonelada para el carbón A, y 20000 libras por tonelada para el carbón B. Dado que el carbón A

es más duro, la unidad de pulverización sólo puede tratar hasta 16 toneladas por hora, mientras

que puede pulverizar hasta 24 toneladas de carbón B por hora La cinta transportadora tiene una

capacidad de 20 toneladas por hora, independientemente del tipo de carbón que transporte.

Dados los tipos de carbón disponibles y sus características, y los límites de emisión de

polucionantes; suponiendo que la cantidad de electricidad producida es una función de la

cantidad de vapor producida ¿Cúal sería la máxima cantidad que se podría producir?

a) Formular el problema

b) Hallar una primera solución real posible

c) Discutir si hay o no otra posibilidad de iniciar las iteraciones del simplex. En caso de

haberla, efectuar la primera iteración.

25. (Examen 25/6/87) La compañía "Talla Clásica de Piedras" produce cuatro tipos de

esculturas de piedra: figuras, figurines, formas libres y estatuas. Cada producto requiere las

siguientes horas de trabajo de talla, cincelado y pulido: Operación Figuras Figurines Formas Libres Estatuas Corte 30 5 45 60 Cincelado 20 8 60 30 Pulido

Beneficiolunidad o 20

33600 4800 o

60000 120

61200

La última fila de la tabla especifica la contribución unitaria de cada producto al beneficio neto.

La compañía dispone de las capacidades de producción siguientes: 300 horas de corte, 180

horas de cincelado y 300 horas de pulido por semana.

a) Hallar el programa de producción que maximiza el beneficio neto.

b) ¿En qué intervalo de la capacidad de corte sigue siendo óptima la solución hallada?

c) La compañía estudia una ampliación de mercado a base de fabricar un nuevo producto:

bustos, con las siguientes características:

10

J

Cone

15 horas

Cincelado

lOhoras

¿Es interesante?

Pulido

20horas

Beneficio unitario

28800 pts

d) La compafiía puede contratar S hora adicionales de corte y S de cincelado a un contratista

externo por un coste total de 9000 pts. ¿Debe contratarlas?

e) ¿En qué condiciones sería interesante incrementar la producción de formas libres?

f) ¿ Cúal sería el programa de producción semanal para satisfacer un pedido de no más de 5

estatuas y no menos de 2 figurin~s?

26. (Examen 30/1/88) Dado el problema de programación lineal siguiente:

Una unidad de producción debe producir por lo menos 100 unidades de un producto; para ello

dispone de cuatro procedimientos distintos de fabricación caracterizados por:

1) Cantidad de producto producida a nivel unitario

2) Cantidades consumidas por unidad del recurso materia prima (disponemos en total de 60)

3) Cantidades consumidas por unidad del recurso tiempo de proceso (disponemos de 40)

4) Costes unitarios de producción cuyos valores numéricos son: Procedimiento I Procedimiento 2

2 Procedimiento3 Procedimiento 4

1) 4 10 3 2) 1 o 3 2 3) 8 4) 2

1

5 1 10

Encontrar el programa de producción que minimiza los costes. Se pide:

1

7

a) Definir una versión del algoritmo del simplex dual que resuelva directamente los

problemas de programación lineal formulados como problemas de minimización

b) Aplicarlo al problema propuesto y obtener una solución óptima

27) Formulado el problema 26 como: min z= 2x1 + 5 x2 + 10 x3 + 7 X4

4x1 +2x2 +l0x3 +3X4 C::lOO

Xl + 3 X3 + 2 X4 S 60

8 x1 + x2 + x3 + 3 X4 S 40

x1, x2, x3, X4 C:: O

La tabla óptima del simplex dual para minimización es

x5 x2 x7 X4

ln6 2119 5/38 21n6 15119 x1

23n6 -11119 1138 89n6 585/19 X6

-2119 3/19 -1119 3/19 160/19 x3

39/38 61/19 5/19 179/38 -1750119

a) Interesaría un procedimiento de fabricación cuyos coeficientes tecnológicos fuesen

(3, 2, 6) respectivamente, con un coste unitario 2?

b) Analizar lo que ocurre si forzamos que X4 intervenga (entre en la base)

c) Estudiar la parametrización de Cl en la forma CJ = 2 + 2 r

1 1

lf ¡ PROBLEMAS.DE FLUJOS EN REDES

3.1.- La empresa Machineco dispone de cúatro máquinas pua. realizar cua.tro traba.jos. Ca.da máquina debe ser asigna.da. pará completar un traba.jo. El tiempo que necesita. ca.da máquina para completar cada. trabajo se ind~ca. en la. tabla. siguiente :

Tra.b.l 'Irab.2 Tra.b.3 'Ira.b.4 Ma.q.l 14h 5h 8h 1h Maq.2 2h 12h 6h , 5h Maq;3 1h Bh 3h 9h Maq.4 2h 4h 6h lOh

Machineco quiere minimizar el tiempo total necesario pua. completar los cuatro trabajos. Formular el problema lineal que permite resolver el problema. pla.ntea.dó. Representad la. red asociada a. este problema.. ¿ Qué tipo de problema es ? .

3.2.- La empresa Tasco.fabrica ielescopios en dos factorias, una. situada en Memphis y otra en Denver. La factoria. de Memphis puede prod.ucir hasta.150 telescopios por.dia y la fa.ctoria. de Denver hasta .200 telescopios diarios. "Los telescopios se trasladan por viá aérea. a los consumidores. de Los Angeles y Boston. El consumo en ca.da ciudad es de· 130 telescopios

. diarios. Debido a las ofertas existentes de tarifas reducidas, Tasco cree que puede ser más· ha.rato transportar primero algunos telescopios haciendo que ºpasen por New York o Chicago (o ambos) y ·enviarlos despues a su destino final. El coste de enviar un telescopio se muestra en la siguiente tabla : ·

· Mernphis Den ver N.Y. Chicago L~A. Boston · ~emphis 0$ - ·ss 13$ 25$ 28$

Den ver - os 15$ 12$ 26$ 25$ N.Y - - os 6$ 16$ 17$

Chicago - - 6$ . 0$ 14$ 16$ L.A. - - - - QS

Boston - - - - - os

Tasco d_esea minimizar el coste de transporte de los telescopios. Formular un problema. de flujos en redes que permita. resolver el problema.. Dibujad la. red asociada. a este problema.. ¿ A qué tipo de problema. de flujos en redes corresponde ? ·· ·

3.3.- La. compañia. de aerolíneas "Fly-by-Night" debe decidir cuantos vu~os diarios "debe establecer entre Junea.u (Alaska) y Dallas ('rexas). Los vuelos que salen de Junea.u deben hacer escala primero en Seattle y des¡mes o en Los Angeles o en Den ver. Debido a. la. capacidad limita.da. de las pistas de aterrizaje de los diferentes aeropuertos, "Fly-by-Night" tiene limita.do el ntímero de vuelos diarios según muestra. la. siguienté tabla. :

Juneau - Seattle Seattle - L.A.

Seat tle - Den ver L.Á. - Dallas

Denver - Dallas

Vuelos 3 2 3 1 2

2

Formulad un problema de flujos en redes que maximize el número de vuelos de conexión diarios entre Juneau y Dallas. ¿ A qué tipo de problema de ftujos en redes corresponde?. Representad Ja red asociada y encontrad una solución "by inspection".

3.4.- Una productora de Hollywood debe elegir los protagonistas masculino y femenino de cinco películas. Dispone de cinco actores y cinco actrices pero no sabe como aparejarlos, Para decidirlo pregunta a cada uno de ellos con que actor del sexo contrario esta.ria dispuesto a actuar. La siguiente tabla muestra el resultado de la encuesta (S .indica que ambos actores estaria.n di_spuestos a actuar jqntos) : . · ·

Loni Meryl Katha,rine Linda · Victoris Anderson Streep Hepburn Eva.ns Principal

KevinCostner - s BurtReynolcls s -. ..:. '

: - -TomSelleck s s

MichaelDouglas s s - - s TomCruise - ~ s s s

Formulad un problema de :Dujos en redes que permita ·maximizar el número· de.parejas compatibles forma.das. Dibujad la. red asociada. ¿A. qué tipo de problema de flujos en red corresponde ? .

3.5.- Acabamos de comprar un coche nuevo por 1.2 millones de ptas. El coste de mantenimiento durante un cierto año depende de la edad del coche al principio del año, tal como indica. la siguiente tabla. :

Edad Coste Precio (Años) Mantenimiento Venta ·

o 200.000 1 400.000 700.000 2 500.000 600.000 3· 900.000 200.000 4 1, 200.000 100.000 5 - o

Para evitar los elevados costes de mantenimiento asociados a un coche viejo podemos vender el coche viejo y comprar uno nuevo. El precio que nos paga.rian por el coche viejo depende de la edad del coche en el momento de la venta., y se indican en la anterior tabla. Suponemos

'

3

que el precio de deberemos pagar por el coche nuevo, si decidimos cambia.r de coche1 es de 1, 200.000 ptas, independientemen~ del año en que lo compremos. Formulad un problema

·de flujos en red que permita minimizar el coste neto (precio compra coéhes nuevos+ precio mantenimiento - precio venta coches viejos) de los próximos cinco años. Representad la red asociada. ¿ A qué .tipo de problema de :flujos en red corresponde ?

3.6.- ·Actualment, el la.boratod de cAlcul de la Universitat de Namur pot emmagatzemar 200 fitxers en clise dur, 100 fitxers en memoria i 300 fitxers en.cinta. Els usua.ris d'aquesta universitat han d'emmagatzemar 300 fitxers de text, 100 fitxers exe~utables ~ 100 fitxers de dades. Ca.da fiixer de text' ~ llegit pel conjunt total d'usua.ris 8 vega.des al mes en promig, un fitxer executa.ble 4 vega.des i un fltxer de da.des 2. vega.des. Considerem que el temps de lectur~ c;f'un fitxer <lepen nomes del tipus de fitxer j del mitja d'emmagatzemament, tal com indica a. la ta.ula 1 : ·

Taula 1 : temps de lectura (minuts)

Text Exec. Dad es

Disc 1- 5 4 1 MemOri." ·2 1 Cinta . 10 8

4 1 6

L'objectiu del la.boratori de caJcul és averiguar quína és la. clistribució de fitxers que ui.inimitza e1s ·temps gasta.t al mes, en promig, pel conjunt total d'usua.ris de la universitat en la lectura dels seus fitxers. Formuleu un problema de flu.xos en xarxes que es pugui usar per determinaron guardar cada fitxer. Representeu Ja xarxa assodada a aquest problema. Quín tipus de proble~a de füixos en xarxes és?

3. 7 .- Expresad li:S sigui~ntes restricciones en forma de ecua~ones de red :

•'

Z1

( il 1 o o o

JJ. z,r C°) o -1 1 1 %3 = o -1 1 -1 o :Z:4 $ -3 o o . o ·-1 :Z:5 $ -5

:Z:6

o$ :Z:¡ $ 3 i = l, .. ·.,6

Representad la red asociada. (Ayuda : añadid variables de holgura y después una nueva restricción que sea la_ suma del resto de restricciones cambiadas de signo).

3.8.- Considerad el siguiente probl_ema de programación lineal : J

{ ' -

,,,.

min3z12 + 2z13 + Szu + 2:.t41 + Z23 + 2z24 + 6:z:o + 4:z:34 + 4:z:43

s.a. ::z:12 + Z13 + zu - Z41 $ 8

Z¡:z - Z:z3 ~ Z:z4 + Z4:z ~ 4

%34 - %¡3 -Z23 -zci $ 4

Z¡4 - Z41 + Z34 + Z24 ~ Z42 - %43 ~ 5

z¡; ~ O V(i,j)

4

Comprohad <JUe se trata de un problema de flujos en redes y reformuladlo como problema de flujos en redes de coste mínimo. Representad la red asociada al problema..

TEMA 4. PRODLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL ENTERA

4.1.- lln fabrirnnt.t> ptwdt• vendt>r 1111 C'iert.o prodllC't.o A wu 1111 hendido unitario de 200 pts, y un producto B rnn 1111 heneticio unit.nrio dt> !"100 pt.s. La fahrirnción d" una unidad de producto A requiere tres unidadt>s de matPria prima, y la fohrirnrión di' uua unidad df' product.o B necesita seis unidades dt> mat.t>ria prima. La C'ant.idad t.otal dt> maf.eria prirna disponible es df' 120 unidades. Si se fabrica cualquier rnn1.idad dt> producto A, St' inrnnf' l'JJ u11 rost.f' fijo de 1000 pts, y si se fabrica cualquier cantidad de produrt.o B, SI' incunt> 1·11 un ('o;;t.P fijo d,.. :.!000 pts. Formulad un PLE que permita maximizar los IH•1wficio,,.

4.2.- Debido a la exC'esiva C'Ontamiuación. dt>I rio Momiss. el estado de Momiss planea construir algunas estaciones de control dt' la pol11ción. Se t.om a11 en consideración tres posibles ubicaciones ( 1, 2 y 3 ). El municipio de Momiss t-SI ;í intt>rl'saclo Pll t') wnt wl de del nivel de dos agentes contaminantes ( 1 y 2). La legislación estatal l't'lJUiert> <fllt'. romo miuimo sean retiradas del rio 80000 tonelad~ de agent" con1.arninaute 1 y como mínirno 50000 t.onelacla..,; de agente contaminant.e 2. Los datos de que dispont' t>I ayun1.amit>11t.o st> t>nrnt>nl ra11 recogido;,; e11 la siguiPnte t.abla :

( '.ant.idad eliminado por Costt' clt' ( '.osl ,, de· lril 1. Tni d" agua tral ada

C'onstrucción J T111 agua Agente 1 Agt>ut.e l.

Situación 1 JU will :wuo ph U.40Tm 0.30Tm Situación 2 (j lllill. :moo pt:;. 0.25Tm 0.20Tm Situación a 4 rnill. 4000 pi:;. 0.20Tm U.25Tm

FornJ11lad un prohlt>111i1 dt' PLE qtw pt>rmit;i :;atisfact>r Ja lt>gislación vigf'uf.f' con un roste mínimo.

4.3.- En la futura Diplornalura dt> Im·t'sfigarión O¡wrali\'it d,.. J¡1 l1PC. los f'st.udiantf's deben rnmpletar, romo mínimo do,, cm:;os de matt>nHítica.c;, do,., cm;,;os di> 1.0. y do;,; cursos df' programación. Algunas asignat.ura.-;; JHIPdt>n :st>r usada.-. para para corup)t>tar m<Í;,; dt> urw materin. tal C'omo St' indica a mu t.i11 u ación

• Cálculo: matem<Íliras

• 1.0. : mat.em<Ít.ica;; y 1.0.

• E><t.r11ct11ras d ... Datos: pro0ra11Jación y maf.t'ru<Ítica .....

• Est.adística: mat,..rn;ítie<L.;; i 1.0.

• Simularióll : 1.0 y progra111:1cióu

• Progra111arión pro¡.!;ra111arió11.

• Opt.irnizarió11 1 .O y 111af.t'llJÚl1ra.-;

Fonnulad 1111 l'LE q1w 111iui111iz•· t•l 11ú111t•ro d,.. a,,ig11a111r;1.-. nt>rt>saria,;; para obtent>r el diploma dt' 1.0.

2

4.4.- Una empresa est.á rousiderando la posihilidnd dt> ahrir almacenes en cuatro ciudades : New York, Los Angeles, Chirngo y At.la111.a. Cada alnrnr~n t.it'IW una r.apacidad de 100 unidades/semana. El rost.e fijo semanal dt> mant.Pner rada almarP.n ahit>rlo PS df' 40000 pt.s. para N .Y., 50000 pts. para L.A .. 30000 pt.s. para Chirago y lilUUO p1.s. para Allanta. La region 1 del país necesita 80 unidades semPnales de produrl.o, la región '/. 70 unidades y la n•gión 3 40 unidades. El coste unitario C;j ( que induye la produrrión y el transporte) dP distrihurión desde la factoría i a la región j es :

Reg. l Reg. 2 Reg.3 .l\'.Y 2000 4000 5000 L.A. 4800 1500 2600

( 'hif'(lf/O 2600 3500 1800 Atla11ta 2400 5000 3500

Fornllllad uu PLE qu" p1wda ,...,r ""ªdo para sa1.isfact>1· la demanda minimizar los costes semanales.

4.5.- El 1.érniro de sistema ... del lahoralorio dt> rálrulo df' la FME quiert> arreder a cinro ficheros diferentes. Estos fidwro,,. t>st.au dist.rihnido:- t>IJ dwz cinl<L.,. df' barkup. tal romo muestra la tabla siguiente tabla:

CINTAS 2 3 4 5 6 7 8 g 10

Firhero 1 X X X X X X X

Firhno 2 X X

Firhero 3 X X X X

Firlwro 4 X X X

Firlwro 5 X X X X X X X

Tarna1io ( J\1 h) :rn 5U 10 '/.U JU 40 30 JU 20 '/.O

Para temperar los ficheros primero t.ienf' que harer un vokado de las rintas a disco duro. Este volcado ha de sf'r dP la cinta romplPt.a, no se puedt> ropiar solo part.e de una cinta. Formulad un PLE que determinP PI ronjunto dP rinta.~ a \'Olear <J"" orn¡wn el mínimo espario en disco de forma que se rernperen t.odos los firheros.

4.6.- Resolwd los signient t>:> prohl .. ma.'- dt> PLE por el mPtodo del B.\: B resol\'iendo los suhproblemas relajados gr:ificanwnt" .

(PE) rnax z= !'1 J' 1 + '/. Jº'.!

~.a 3 J' 1 + ;¡·'.! < l'/. J'¡ + J''.,! < 5 J'¡

' J''.! > o , enteras

(PE) m111 z= 4 J'¡ + 5 J".!

s.a.: J'¡ + 4 J';,i > 5 3 J'¡ + '/. J':! > i

J' 1 J''! > o . enteras

3

4. 7 .- En la figura 1 SP indirn la formularión dP un riPrt.o PLE y el arhol dP exploración completo del método del BA:B. Las regla.<; dt> l't>C'Onido dt>I árbol han sido : explorar primero la rama de la izquierda y selerrió11 de suhproblt>m;i.<; st>gtín rrit.Prio LIFO. Explicad los rriterios de eliminación en cada nodo y

decid rirnl es In solución ópt.inrn.

(PE) mm z= -s.a.:

'\ ~3 ¡ º\x_

- 9 z• = ·16 "'

~ .= 1

X:= 1

2• = z:,.

z:J.=~15

X,= 0

X:= 3

6

8 18

.T¡ -3:¡ + 3:¡ + X¡ + 3'¡

e z• =. 17 "·'

X,= 2

x,= 1

z• = z:u

Figura 1

5 3::¡

2 X'J

3 3:;¡

14 X'J

3:'.!

< 6 < 24 $ 63 > o , ent.er~

~~1<·2126

PE3 )2 , ~ i'

8 ~ ~3

z:.= -18

X 1• 3

x,cO

z.• = z:l.

KPE"=0

4.8.- La figurn ~ mut>st rn t>I éÍrhol dt> t>Xplor<trión inrompl<•t.o dt>I miit.odo del B,\.· B para un cierto PLE. El tab)Pél.ll óptimo di" lé1 rt>lajarión lint>al dt>I s11hprohlen1t1 PE3 obtt>11ido ron Ll!\ DO es :

THE TABLEAU ROW (BASIS) Xl X2 El E2 E3

1 ART .000 .000 .000 1.250 .000 Rl El .000 .000 1.000 -.250 .000 R2 X2 .000 1.000 .000 -.250 .000 R3 E3 .000 .000 .000 -.500 1.000 R4 Xl 1.000 .000 .000 .000 .000

ROW E4 1 2.750 -11. 7SO

Rl -2.750 4.750 R2 .250 .750 R3 -2.500 .500 R4 -1. 000 2.000

4

donde E4 es la variable de exrt>so de la rest.ricrión R4 asoc:iada a la rama x 1 ~ 2 . Resolved el problema complet.anclo el árbol de explorarión, resolviendo Jos subproblemas relajados aplicando el algoritmo del simplex. Al elegir la variahl"' de ramifirnrión, dad prioridad a la.s variables reales.

(P) mili z= 4 3'¡ + 5 3·:.!

s.a. : ;{ 3' j + ;1·"..! > 2 3'¡ + 4 J'~ > 5

3 3'¡ + 2 J'~ > 7 3' ¡ J'"..! 2'. O, enteras

e z;,_., +1'-x ,= I x,=4

X:= 2 X,= 0

x~= 3 z• =z:..

Figura 2

4.9.- l 1na ro111pai1ia aPrt>a t'.~liÍ ro11~idt>ra11do la compra dt> nuevos ¡n·iorws dt> pa.i;ajeros de largo medio y rnrt.o ak<tmt>. El pri>rio dt> rnrnprn dt> rada a\'iÓ11 de lar¡;o aka.nri> es de 3500 millones de pesetas, 2500 millo11es rada uno de medio alrnnrt> y J 750 millones mela uno dt> cort.o. El consejo de administración ha a.ut.01:izado una inversióu máxinrn de 75000 millones dt> ele pesetas para estas compras. Con independencia de <¡UP tipo dP a\'iones St> rnmpre, la demanda dt> viajes en malquiera de los recorridos se estima que es lo sufirient.ement.e grandt> rnmo para que los aviones se utilicen con la máxima re:nt.abilidad, rakulacla rnn un beneficio neto anual de 210 millones por avión de largo alcance, 150 millones por avión de medio alrnnre y 115 millo11t's por a\'iÓn de cort.o akanc:e. Por otra parte, la c.ompaña se enrnent.ra con <¡lit> no disponP de t.ripularionPs para más de 30 nuevos aviones, y que sus recursos para at.euder a los requt>rimit>nt.os dt> mant.enimiento de nuevos ª''iones se pueden evaluar de la manera siguienlt> : un máximo de ~:!4 avio11es. si solo 111viesP que mantener aviones de largo alcanc, un máximo dP 30 avio11e~ si solo t.u,·iesP que 1mrn1 .. 1wr ª'·iones de medio a.kanc:e, y un máximo de 40 aviones si solo t.u\'it>st> q1w 11t.iliz<1r ¡¡,·ioni>~ d1· rorl o alcance.

lJt.ilizando t>st.o:;; dat.o:;;. la dirPrrión dt>:;;Pa sal>er rn<Ínt.os aviones de rada tipo debe comprar para maximizar el he11t'firio. Formulad el problema c.omo un prnblema de prngramación lineal entera. Resolvedlo, usando LINDO parn rt>soh· .. r los problemas relajados.

Exercicis de Programació Lineal.

l. Donat el problema de Programació Lineal i les functions objectiu 1) a 5):

Max CT X

s.a: X1 - X2 $ 1 (Rl) 1

X1 - 3X2 ?: -1 (R2) (1)

X1 - ~X2 ?: -4 (R3)

X1, X2 ?: Ü (R4), (R5)

1) e T x = 4x1 - 4x2 3) e T x = 4x1 + 6x2 2) CT X= 1Ü.T1 + l0x2 4) CT X = -X1 - X2 (2)

5) CT X = -2X1 + ~:z:2

(a) Representar graficament la regió factible de les restriccions. Es acotada o no?

(b) Trobar tots els extrems del poliedre que constitueix la regió factible i determinar els optims corresponents a les f. objectius 1) a 5). En quins casos el problema és acotat ?

( c) Repetir els apartats anteriors si:

a) La restricció (R3) és ara x 1 - ~x2 ?: -4 b) (Rl) a (R5) no s'alteren i s'afageix (R6): x 1 $ 8

c) (Rl), (R2), (R4), (R5) no s'alteren pero (R3) és ara: 5 X1 - 3X2 ?: 4

2. Transformeu els següents problemes de Programació Lineal a la forma stan­dard:

Max X1 + 3x2 + 4x3

s.a: -X1 - X2 - X3 ?: -5 (3) 2x1 + 3x2 + X3 > 6 X2, X3 ?: Ü

Max X1 + 3x2 + 4x3

s.a: -X1 - X2 - X3 ?: 5 2x1 + 3x2 + X3 ?: 6

(4)

X1 + X2 + X3 < 1 X3 ?: Ü

3. ldentifiqueu les solucions basiques factibles dels següents conjunts de restric-c10ns:

(a) X¡+ X2

X¡, X2 ? Ü

= 1 (5)

(b) X¡+ X2 + X3 = 1

(6) X1, X2, X3 ? Ü

(c) X¡+ X2 + X3 = 1 2x1 + 3x2 = 1 (7)

X1, X2, X3 > Ü

(d)

X1 + ~X2 :s 4 X1 + X2 :s 2 2x1 < 3 (8)

X1,X2,X3 > o

4. Calculeu mitjanc;ant pivotacions la solució basica (no factible) corresponent als índexos basics 18 = { 4, 3, 2} pel conjunt de restriccions en forma estandard:

X1 + X4 + X5 - X6 = 5 X2 + 2x4 - 3xs + x6 = 3

X3 - X4 + 2xs - X6 = 1

x· > O 1 - ( i = 1, ... 6 )

5. Calculeu les solucions basiques factibles del conjunt de restriccions:

X1 - X2 + X3 = 1 -X1 + ~X2 + X4 = 1 -X1 + 3X2 + X5 = 4

X; ? Ü (i=l, ... 5)

partint de la base IB = { 3,4,5 }.

(9)

(10)

"'

1

r ..

,,..

~.-- ~---

6. Pel problema:

Min 4 X1 - 3X2

s.a : X1 - X2 + X3 - 1 - -X1 + ix2 + X4 - 1 ( 11)

-X1 + ªX2 + X5 = 4 "'

Xi 2: 0 (i=l, ... 5)

partint de la solució basica Is = { 3, 2, 5 } efectueu un canvi de base que dis­minueixi la funció objectiu. Té sentit intentar trobar la solució del problema?

7. Partint de la base Is = { 3, 4, 5 } , resoldre:

Min -300x1 - 250x2

s.a: X1 + 2x2 + X3 = 150 3x1 + 2x2 + X4 = 300 2X1 + X5 = 100

X¡ 2: 0 (i=l, ... 5)

8. Calculeu una solució inicial factible pe! problema:

Min 18x1 + 20x2 + 22x3

s.a: 90x1 + 65x2 + 45x3 2: 60 80x1 + 40x2 + l0x3 :5 50 X1 + X2 + X3 = 1

X¡2:0 (i=l, ... 3)

9. Resoleu }'anterior problema partint de la base Is = { 3, 1, 7 }.

10. Trobeu una solució inicial factible pel problema:

Min -20a - 30c

s.a: a ::; 60 a+c 2: 70 a+ 2c < 120

a, e 2: O

( 12)

(13)

(14)

ll. Pel problema de l'exercici 8 considereu l'addició d'una nova variable x1 amb cost c1 = 19, essent a1,7 = 70, a2,7 = 55, a3,7 = l. La base óptima del problema era la I'B = { 2, 1, 4 } . a) Canviara aquesta pe! nou problema a l'afegir-se la nova variable ? b) Entre quins límits pot estar el cost de les variables no basiques a l'óptim ?

··~ ~,~M~.~ ••• ·~~~1 . ~Qll '-~. / •' ~\'(' Facu.'tat oo M~~k.1r'6H·e_.:;~·s 1 EstadfsU:a ~ t.:: · '"c.:1

flit: 8r _,.~-