1

1. Inženjerske konstrukcije 1.1. SPREMNICI I VODOTORNJEVI Armiranobetonski spremnici (rezervoari) se grade za vodovode, za kanalizacije i za razne tehničke potrebe u tvornicama. Oni služe za držanje ne samo vode već i drugih tekućina, npr. vina, špiritusa, naftnih proizvoda, smola, različitih kiselina i plinova. Pri izradi spremnika posebna se pozornost obraća na to da se postigne potrebna nepropusnost. Da bi se ostvarila nepropusnost za tekućine i plinove potrebno je prije svega nastojati proizvesti i ugraditi kompaktan, gust i nepropustan beton. Dodavanjem aditiva betonu mogu mu se već dobra svojstva još poboljšati. Za spremnike u kojima se drži agresivna tekućina potrebna je unutrašnja obloga od keramičkih pločica, stakla ili prirodnog kamena, pri čemu se reške zalijevaju veznim sredstvom otpornim prema tekućini koja je u spremniku. Osnovni uvjet za nepropusnost spremnika uz nepropusnost betona je ispravno odabrana, dimenzionirana i temeljena konstrukcija. Ukopanim spremnicima se izoliraju zidovi i ploče protiv djelovanja podzemnih i površinskih voda. Treba nastojati da spremnik bude smješten tako da je iznad razine podzemnih voda, te da se površinske vode dreniraju. Po svom obliku spremnici se dijele na okrugle i pravokutne. Izbor oblika ovisi o vrsti tla, veličini spremnika i ekonomičnosti izvedbe. 1.1.1. OKRUGLI SPREMNICI Okrugli spremnici mogu imati jednu ili više komora (vidjeti slike 1, 2 i 3).

Slika 1 – Spremnik s jednom komorom

Slika 2 – Spremnik s dvije komore odvojene kružnim zidom

2

Slika 3 – Više okruglih spremnika sa zajedničkom zasunskom komorom

Zidovi manjih spremnika se često izvode jednake debljine po cijeloj visini, a kod većih se debljina stijenke smanjuje prema gore. Posebnu pozornost valja obratiti na spoj stijenke s dnom i stropom. Svakako treba izvesti vute na tim mjestima propisno ih armirati. Temeljna ploča sa stijenkama spremnika može činiti jednu cjelinu, ili se mogu izvoditi zasebni temelji ispod stijena i stupova i s podom između temelja. Nepropusnost kroz spojnicu se osigurava umetanjem bakrenog lima i mase za zalijevanje, ili još bolje pomoću rebraste gumene trake i kita za popunjene reške.

Slika 4 – Spojnica temelja i ploče poda spremnika

U spremnicima velikog promjera za nošenje stropa se postavljaju stupovi, najčešće po kvadratnoj i pravokutnoj mreži, s razmakom od 3,5 do 4,5 m. Stropovi okruglih spremnika se obično rade kao ravne i rebraste konstrukcije, a vrlo su česte i kupole. Proračun spremnika se sastoji u pronalaženju statičkih veličina, dimenzioniranju presjeka, te u proračunu graničnih stanja uporabljivosti. Proračunavaju se na tlak vode iznutra, što znači jedno opterećenje i na tlak zemlje izvana, kao drugo opterećenje. Pri proračunu se uzima u obzir kruti spoj stijene s temeljem, odnosno s donjom i eventualno gornjom pločom. 1.1.1.1. Proračun okruglih spremnika Stijenke okruglog spremnika cilindrična su ljuska koja nastaje rotacijom pravčaste izvodnice po kružnim vodilicama. Te površine imaju Gaussovu zakrivljenost jednaku nula jer je jedan od radijusa beskonačno velik. Stijenka može biti opterećena rotaciono-simetričnim tlakom tekućine iznutra i/ili tlakom zemlje izvana. U slučaju da stijenke cilindra nisu spojene s dnom, ljuska se može slobodno deformirati i opterećena je samo membranskim silama:

3

( )xHrrpn 0 −⋅⋅γ=⋅=ϕ , 0n 0x =ϕ (1)

0n 0x = Meridijalna deformacija iznosi:

hEn 0

0 ⋅=ε ϕ

ϕ , (2)

a radijalni je pomak:

( )xHhE

rhErp

hErn

rw22

000 −⋅γ⋅

⋅=

⋅⋅

=⋅

⋅=⋅ε= ϕ

ϕ . (3)

Sprečavanje deformacija pojavljuje se kad je cilindar rezervoara spojen sa svojim dnom. Pri tome osim sila u presjeku xn i ϕn prisutni su i momenti savijanja xm i ϕm pa i poprečne sile xv .

Slika 5 – Rezne sile u okruglom spremniku

Za element ljuske visine dx i širine ϕ⋅dr mogu se napisati uvjeti ravnoteže protiv pomaka u radijalnom smjeru i obrtanja oko tangente na prsten:

( ) 0dxdxHrdrdvdxdn x =⋅ϕ⋅−⋅⋅γ−ϕ⋅⋅+⋅ϕ⋅ϕ (4) ( ) 0drdmdxv xx =ϕ⋅⋅−⋅ (5) Iz izraza (5) izlazi:

2x

2x

dxmd

dxdv

= (6)

Kad se taj izraz uvrsti u izraz (4), dobiva se:

4

( )xHnr1

dxmd

2x

2

−⋅γ=⋅+ ϕ (7)

Zbog rotacijske simetrije, deformacija će srednje površine iznositi:

hEn

rw

⋅==ε ϕ

ϕ , (8)

pa je prema tome:

rwhEn ⋅⋅=ϕ , (9)

Momenti savijanja ϕm , zbog svoje male vrijednosti, mogu se zanemariti pa ostaje samo

xm i xv :

2

2

x dxwdKm = , (10)

3

3

x dxwdKv = , (11)

gdje je ( )2

3

112hEKν−⋅

⋅= krutost na savijanje.

Tada se izraz (7) piše u obliku:

( )xHrwhE

dxwdK

dxd

22

2

2

2

−⋅γ=⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (12)

Za spremnik konstantne debljine stijenke diferencijalna jednadžba (12) poprima oblik: ( ) ( ) ( )xH

hE112w

hr112

dxwd

3

2

22

2

4

4

−⋅γ⋅⋅

ν−⋅=⋅

⋅ν−⋅

+ (13)

Budući da je poznato membransko (partikularno) rješenje, prema izrazu (3), ostaje da se riješi homogena diferencijalna jednadžba:

( ) 0whr

112dx

wd22

2

4

4

=⋅⋅ν−⋅

+ '' (14)

Ako se uvede zamjena:

( )4 213hr

1ν−⋅

⋅=λ , (15)

jednadžba (14) dobiva oblik:

0w4dx

wd 44

4

=⋅λ⋅+ '' (16)

Integral te diferencijalne jednadžbe bit će: ( ) ( )xCxCexCxCew 43

x21

x λ+λ⋅+λ+λ⋅= λ−λ sincossincos' (17) Integralne konstante od C1 do C4 određuju se iz rubnih uvjeta koji proistječu iz konstrukcijskog oblikovanja spremnika. Potpuno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe glasi:

( ) ( ) ( )xCxCexCxCexHhE

rw 43x

21x

2

λ+λ⋅+λ+λ⋅+−⋅γ⋅⋅

= λ−λ sincossincos' (18)

Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe (17) prikazuje stanje naprezanja izazvano samo rubnim silama ili momentima, ili jednim i drugim. Desna strana te jednadžbe predočuje sumu dviju prigušenih oscilacija: prva s faktorom xeλ , prigušuje se dalje od gornjeg ruba, a druga, s faktorom xe λ− , dalje od donjeg ruba. Većinom su visine spremnika tako velike da je oscilacija koja se prigušuje od jednog ruba praktično bez utjecaja u području drugog ruba. time se proračun pojednostavnjuje jer je dovoljno uzeti

5

samo onu oscilaciju koja se upravo prigušuje. Dopušta se pri postavljanju uvjeta za gornji rub uzeti da su konstante 0CC 43 == , a za donji rub 0CC 21 == . Zbog simetrije postoje samo dva rubna opterećenja: R – jednoliko raspoređene rubne sile; M – jednoliko raspoređeni momenti savijanja. Promatrati će se odvojeno ta dva rubna opterećenja. Djelovanje sile R na rubu x = 0: Za donji rub jednadžba (17) poprima oblik:

( )xCxCeww 43x

R λ+λ⋅== λ− sincos' (19) Za x = 0 izlazi:

0mx = ; Rv x −= , odnosno

0dx

wd2R

2

= ; Rdx

wdK 3R

3

−=⋅ (20)

Kad se uvrste derivacije jednadžbe (19) u izraze (20), dobivaju se integralne konstante:

0C4 = ; 33 K2RCλ⋅⋅

−=

a time i izrazi za pomak i sile:

xeK2Rw x

3R λ⋅λ⋅⋅

−= λ− cos ,

xeK

hEr2Rn x

3R λ⋅⋅

⋅λ⋅⋅

−= λ−ϕ cos ,

xeRm xxR λ⋅

λ−= λ− sin ,

( )xxeRv xxR λ−λ⋅−= λ− sincos .

Za x = 0 nastaje:

3R K2Rwλ⋅⋅

−= ; 2R

K2R

dxdw

λ⋅⋅−= (21)

Djelovanje momenta M na rubu x = 0: Za x = 0 izlazi:

Mmx = ; 0v x = , odnosno:

Mdx

wdK 2M

2

=⋅ ; 0dx

wd3M

3

= . (22)

Kad se uvrste derivacije jednadžbe (19) u izraze (22), rezultat su integralne konstante:

243 K2MCCλ⋅⋅

=−= ,

A time izrazi za pomak i sile

( )xxeK2Mw x

2M λ−λ⋅λ⋅⋅

= λ− sincos ,

( )xxeK

hEr2Mn x

2M λ−λ⋅⋅

⋅λ⋅⋅

= λ−ϕ sincos ,

( )xxeMm xxM λ+λ⋅= λ− sincos ,

xeM2v xxM λ⋅λ⋅⋅−= λ− sin .

6

Za x = 0 dobiva se:

2M K2Mwλ⋅⋅

= ; λ⋅

−=KM

dxdwM (21)

Za potpunu upetost ljuske premnika u dno rubni uvjeti glase: suma pomaka i kutovi zaokreta jednaki su nula, odnosno:

0w = ; 0dxdw

=

Postavljanjem tih rubnih uvjeta dobivaju se dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, za pronalaženje sile R i momenta M:

0K2M

K2RH

hEr

23

2

=λ⋅⋅

+λ⋅⋅

−⋅γ⋅⋅

,

0KM

K2R

hEr

2

2

=λ⋅

−λ⋅⋅

+γ⋅⋅

− . (22)

Iz tih jednadžbi izlazi:

( )1H2hE

Kr2R 22 −⋅λ⋅⋅

⋅γ⋅λ⋅⋅= ,

( )1HhE

Kr2M 2 −⋅λ⋅

⋅γ⋅λ⋅⋅= , (23)

a potom i sile i momenti u presjecima:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅λ−+λ⋅−−⋅⋅γ= λ−

ϕ xH

11xeHxHrn x sincos ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ−λ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅λ−⋅

⋅⋅⋅γ⋅λ⋅⋅= λ− xx

H11e

hEKHr2m x22

x sincos . (24)

1.1.1.2. Armiranje okruglih spremnika Prstenasta armatura se proračunava za silu nφ:

yd

Sds f

nA ϕ= , ,

gdje je nSd,φ računska prstenasta sila. Armatura se postavlja u jednom, ali češće u dva sloja.

7

Slika 6 – Armatura čvora spremnika

Vertikalna armatura se proračunava za silu nx i moment savijanja mx kao za ekscentrično naprezan element. Vertikalna i horizontalna armatura se međusobno povezuju paljenom žicom u krutu mrežu. Na spoju stijenke i dna spremnika vertikalna armatura se postavlja u dva sloja, a izvan djelovanja poremećajnih momenata u jednom ili dva sloja, ovisno o količini prstenaste armature. 1.1.2. SPREMNICI S PRAVOKUTNIM TLOCRTOM Ovi spremnici imaju jednu ili više komora, tako da im volumen može biti izvanredno velik. U velikim spremnicima s velikim brojem komora može biti više zasunskih komora. Visina tih građevina je rijetko kad veća od 6 m.

Slika 7 – Spremnici s jednom komorom a

8

Slika 8 – Spremnici s dvije komore i zasunska komora

Kutovi spremnika se ojačavaju vutama s dopunskom armaturom za osiguranje vute. Stropovi se najčešće izvode kao ravne ili rebraste ploče. Donja ploča može biti monolitna i kruto spojena sa stijenkama spremnika, ili se izvode temelji ispod zidova i stupova s pločom između njih. Kod velikih spremnika je prisutna opasnost pojave naprezanja zbog skupljanja i mogućnosti nejednolikog slijeganja tla. Naprezanja izazvana skupljanjem se znatno smanjuju ako se spremnik betonira u dijelovima. Ostavljanjem reški i njihovim zatvaranjem nakon 28 dana veći dio skupljanja pojedinačnih dijelova bit će završen prije zatvaranja, pa neće utjecati na pojavu većih naprezanja. Proračun ukopanih spremnika se provodi za opterećenje tlaka vode iznutra kao jedno djelovanje i na tlak zemlje kao drugo opterećenje, ako je spremnik prazan. Njegove stijenke su naprezane momentima savijanja, pa su zbog toga redovito deblje nego kod okruglih spremnika. Armiranje spremnika se provodi prema prethodno proračunatim reznim silama i provedenom dimenzioniranju po načelima koji vrijede za ploče. Spojevi ploča moraju biti osigurani za djelovanje pozitivnog i negativnog momenta savijanja.

9

Slika 9 – Primjer armiranja spremnika s pravokutnim tlocrtom 1.1.3. VODOTORNJEVI Tornjevi na koje se postavljaju armiranobetonski spremnici mogu biti u obliku armiranobetonskog šupljeg valjka koji se izvodi u kliznoj oplati ili u obliku monolitne ili montažne okvirne konstrukcije.

10

Slika 10 – Oblici vodotornjeva

Armiranobetonski spremnici veći od 200 m3 se izvode okruglog tlocrta, a samo su manji kvadratnog tlocrta.

Slika 11 – Detalji armature za spremnik s dnom u obliku rotacijskih ljusaka Dno im može biti ravno, ojačano rebrima, u obliku kupole i kombinirano od obrnutog stošca i kupole. Spremnik vodotornja se armira po načelima armiranja elemenata od kojih je sastavljen (stijene, ploče, ljuske). Posebnu pozornost valja obratiti spojevima elemenata koji su najslabija mjesta u svim spremnicima.

11

1.2. BUNKERI Bunkerima se nazivaju spremnici za suhe, zrnate i rastresite materijale (ugljen, ruda, vapno, klinker, pijesak, šljunak, itd.). koji se pune odozgo, a prazne odozdo. Bunkeri prema svojim dimenzijama u tlocrtu imaju relativno malu dubinu za razliku od silosa. Obično se smatra bunkerom spremnik kod kojeg je H < 1,5 lmax. Ove građevine najčešće imaju kvadratni ili pravokutni tlocrt i mogu biti samo od jedne ćelije ili više njih.

Slika 12 – Oblici bunkera Radi ispuštanja materijala iz bunkera dno im je nagnutih zidova u obliku lijevka. Kad se bunker prazni gravitacijom kut nagiba zidova mora biti veći 5 - 10% od kuta prirodnog nagiba materijala. Bunkeri namijenjeni materijalima koji jako oštećuju zidove se oblažu čeličnim limom. 1.2.1. PRORAČUN BUNKERA Proračun bunkera se provodi po pojednostavljenim, ali za praktični proračun dovoljno točnim metodama. Stanje opterećenja u bunkerima još je dosta neodređeno. Proračun unutrašnjeg tlaka kojim materijal napreže stijenke bunkera se može zbog relativno male dubine i velike zapremine osnivati na teoriji tlaka zemlje. Ta teorija polazi od pretpostavke da se zbog stanovitog popuštanja potporne stijene u uskladištenom materijalu stvara klizna ploha, pa samo dio materijala tlači stijenu. Zanemaruje se trenje materijala o stijenke bunkera. Kod vertikalne stijenke i horizontalne gornje površine materijala horizontalno opterećenje u dubini „z“ od površine na jedinicu plohe iznosi:

a2

h z5045tgzp λ⋅⋅γ=ρ⋅−⋅⋅γ= ),( (25) γ - zapreminska težina materijala u bunkeru (kN/m3) ρ - kut unutrašnjeg trenja materijala z - dubina materijala na mjestu promatranog presjeka

12

Slika 13 – Opterećenje stijenke bunkera

Ako je stijenka nagnuta prema horizontali za kut α, osim horizontalnog je prisutno i vertikalno opterećenje: zpv ⋅γ= Ukupnu rezultantu tih opterećenja se može rastaviti na jednu normalnu i jednu tangencijalnu komponentu.

)sin(cossincos α⋅λ+α⋅⋅γ=α⋅+α⋅= 2a

22h

2vn zppp (26)

)(sincoscossin)( ahvt 1zppp λ−α⋅α⋅⋅γ=α⋅α⋅−= Za proračun unutrašnjih sila je potrebno osim djelovanja uskladištenog materijala na stijenke uračunati i vlastitu težinu:

α⋅= cosggn (27) α⋅= singgt

Normalno opterećenje djeluje okomito na stijenku, a tangencijalno u ravnini kose stijenke. Stijenke lijevka su najčešće trapeznog oblika. Za praktični proračun momenata savijanja trapeznih ploča, ovisno o omjeru stranica mogu se ako nema tablica za trapezne ploče upotrijebiti one za trokutne i pravokutne ploče za normalno opterećenje (pn + gn). Osim momenata savijanja normalno opterećenje izaziva horizontalne sile u stijenkama, te sile u bridovima. Veličine tih sila će se dobiti iz reakcija stijenke na ležajevima (bridovima) za normalno i tangencijalno opterećenje. Na tangencijalno opterećenje u promatranoj stijenci osim komponente uzrokovane tlakom i težinom stijenke (pt + gt) mogu djelovati i dodatne sile od opterećenja priključnih konstrukcijskih elemenata. Tangencijalno opterećenje je nejednoliko raspoređeno po stijenci lijevka i koncentrirano je uz kruće dijelove, tj. uz bridove. Stijenka se za to opterećenje ponaša kao zidni nosač oslonjen na bridove. Suma vertikalnih komponenata dobivenih sila u bridovima mora biti jednaka težini uskladištenog materijala, eventualnom opterećenju priključne konstrukcije i vlastitoj težini bunkera. Debljina stijenki bunkera se uzima od l/30 do l/20 manje dimenzije stijenke.

13

1.2.2. ARMIRANJE BUNKERA Preporučuje se da se kose stijenke armiraju obostrano u obliku mreže. Stijenke bunkera valja armirati po pravilima armiranja ekscentrično naprezanih trapeznih i trokutnih ploča. Kako kosa stijenka ima funkciju zidnog nosača, potrebno je ugraditi i glavnu armaturu zidnog nosača, koja se sidri u bridove, odnosno armatura se savija u stijenku lijevka kao armatura zidnog nosača.

Slika 14 – Armatura stijenke bunkera

14

1.3. SILOSI Kao i bunkeri, silosi služe za čuvanje suhih rastresitih materijala organskog i anorganskog podrijetla. Oni se razlikuju od bunkera svojom većom dubinom, a relativno malim tlocrtom. Kod silosa je H > 1,5 lmax. Silosi se grade većinom okruglog presjeka. Razlog je tome što okrugli presjek nosi na vlak pa se za njega manje troši betona i čelika nego za druge oblike, a osim toga i armatura je vrlo jednostavna. Šupljine između četiriju susjednih ćelija, tzv. zvjezdice, također su pogodne za uskladištenje materijala.

Slika 15 – Shematski prikaz rasporeda ćelija u silosima

Osim okruglih silosa vrlo se često grade silosi šesterokutnog i osmerokutnog presjeka, rjeđe kvadratičnog. Oni su izloženi naprezanju vlačnim silama i momentima savijanja. Silosi se pune odozgo mehanički ili pneumatski. Materijal se pušta kroz otvore u gornjoj ploči silosa. Prazne se kroz donji otvor. Premda se grade silosi velike duljine, kod njih se ne izvode dilatacijske reške. To se objašnjava dovoljnom elastičnošću tih građevina s okruglim ćelijama i tankim zidovima u uzdužnom pravcu, a vrlo velikom njihovom prostornom krutošću u vertikalnom pravcu.

Slika 16 – uzdužni presjek kroz toranj i silose

Najracionalnija izvedba tankih i visokih silosa se ostvaruje pomoću klizne oplate.

15

1.3.1. PRORAČUN SILOSA Stanje opterećenja u ćelijama silosa još je dosta neodređeno, zato pri ocjeni sila koje tu vladaju treba poseban oprez. U ćelijama silosa djeluje horizontalni tlak ph, trenje pw i vertikalni tlak pv. Razlika u težini materijala u ćeliji i opterećenja trenjem o stijenke na određenoj dubini je jednaka vertikalnom opterećenju. Horizontalni i vertikalni tlak u ćeliji ne raste linearno s dubinom kao kod tekućina, nego se s povećanjem dubine prirast tlaka smanjuje.

Slika 17 – Opterećenje silosa

Oblik presjeka silosa se uzima u obzir odnosom A/U, gdje je A svijetla površina presjeka, a U unutrašnji opseg presjeka. Za svaki materijal je potrebno znati zapreminsku težinu γ i kut unutrašnjeg trenja ρ , te kut trenja između materijala i stijenke δ , koji se definira:

constpptg

h

w =μ==δ (28)

Omjer između horizontalnog i vertikalnog opterećenja označuje se ovako:

constpp

v

h ==λ (29)

Tablica 1: Vrsta materijala Zapreminska

težina γ (kN/m3)

Kut unutrašnjeg trenja materijala ρ

Živežne namirnice brašno 6 25 šećer 9,5 35 Poljoprivredni proizvodi pšenica, ječam, raž, zob 9 30 kukuruz 8 28 mahunarke 8,5 25 Uljarice 6,5 25 Šećerna repa (sjeme) 3 30 Soja 7,8 23 Žitna i sladna sačma 4 45 Uljna sačma i miješana stočna hrana 5,5 45

16

Anorganske tvari Šljunak i pjesak (suh ili zemne vlažnosti) 18 35 Mrki ugljen zemne vlažnosti 10 39 Kameni ugljen zemne vlažnosti 10 35 Pirit 27 45 Industrijski proizvodi cement 16 28 Cementni klinker 18 36 Vapno, hidrauličko vapno pečeno, u komadima 13 45 pečeno, mljeveno 13 25 pečeno, gašeno 11 25 Koks 6,5 35 Leteći pepeo 10 25 Koksni pepeo 7,5 25 Kameno brašno 13 27 Ugljena prašina mrkog ugljena 5 25 Ugljena prašina kamenog ugljena 7 25 Kalijeva sol 12 28 Kalcinirana soda 25 20 Polietilen, polistirol u zrnu 6,5 30 Za kut prirodnog pokosa uzima se ista vrijednost kao i za kut unutrašnjeg trenja materijala. Janssenova teorija tlaka Janssen je 1895. godine postavio diferencijalnu jednadžbu ravnoteže vertikalnih sila koje djeluju na elementarni sloj materijala u ćeliji silosa (slika 18):

( ) dzUpdpAdzAA wvvv ⋅⋅++ρ⋅=⋅⋅γ+ρ⋅ (30)

Slika 18 – Stanje ravnoteže elementarnog sloja materijala u ćeliji silosa

Kada se uvedu odnosi μ i λ , te riješi diferencijalna jednadžba, dobije se:

φ⋅⋅λ⋅μ

⋅γ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅λ⋅μ⋅γ

=⋅⋅λ⋅μ

−

UAe1

UAp A

zU

v (31)

17

φ⋅⋅μ⋅γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅μ⋅γ

=⋅⋅λ⋅μ

−

UAe1

UAp A

zU

h (32)

φ⋅⋅γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅γ=

⋅⋅λ⋅μ−

UAe1

UAp A

zU

w (33)

gdje je:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=φ

−0zz

e1 ,

UAz0 ⋅λ⋅μ

= .

Kada bi dubina ćelija bila beskonačno velika ( )∞→z , tada bi 0,1=φ , pa bi maksimalne vrijednosti tlaka glasile:

UApvmax ⋅λ⋅μ⋅γ

= (34)

UAphmax ⋅μ⋅γ

= (35)

UApwmax⋅γ

= (36)

Tlak tvari u ćelijama prema Janssenovoj teoriji se vrlo dobro podudara s rezultatima eksperimenata, ali samo dok tvar u silosu miruje. Čim se otvori zasun na lijevku, čitav sadržaj ćelije odmah krene prema dolje, što ima za rezultat znatno povećanje pritiska na stijenke. Povećanje ovog tlaka ovisi o načinu pražnjenja, putu kretanja materije i presjeka ćelije. Prema rezultatima ispitivanja povećanje se kreće od 1,1 do 2,0 puta tlaka pri mirovanju. Najveći vertikalni tlak pv nastaje pri punjenju, a horizontalni ph pri pražnjenju ćelije. Za određivanje tlaka u ćelijama silosa pri punjenju i pražnjenju se rabi prijedlog Timma i Windelsa koji su načinili podjelu materijala koji se drži u silosima u četiri skupine:

1. skupina: šljunak, pijesak, cement, klinker, kameno brašno, aluminijski oksid, kotlovska šljaka i šećer

2. skupina: žitarice (osim kukuruza), ugljen, koks, vapno, leteći pepeo i ugljena prašina

3. skupina: kukuruz, soja i brašno 4. skupina: žitna sačma, uljna sačma i stočna hrana (jaka kohezija).

Za navedene skupine materijala daju se vrijednosti za λ i μ za punjenje i pražnjenje kako bi se mogli proračunavati pritisci u ćelijama silosa mjerodavni za dimenzioniranje.

18

Tablica 2:

Punjenje Pražnjenje Skupina materijala λ μ λ μ 1. skupina 0,5 0,45 1,0 0,30 2. skupina 0,5 0,40 1,0 0,25 3. skupina 0,5 0,35 1,0 0,20 4. skupina 0,5 0,30 1,0 0,15

Kada se tlak materijala u ćelijama odredi prema Janssenovim izrazima, uporabom vrijednosti za λ i μ iz tablice 2, opterećenje ćelija silosa može se smatrati kao mirno opterećenje. Pritiske tvari u ćelijama silosa treba korigirati u nekim slučajevima. Tlak treba povećati za približno 20% kad je silos okruglog ili pretežno okruglog presjeka. Vertikalni tlak na dnu ćelija valja povećati zbog urušavanja svodova prema DIN propisima za dvostruko, a prema Timmu i Windelsu za 1,2 za rastresite do 1,6 puta za kohezijske materijale. Porast tlaka pri uvođenju zraka u silos zbog homogenizacije materijala (sirovina za cement) ili zbog pripomoći pri pražnjenju uzima se u obzir kako slijedi: Kada se meterijal homogenizira, prema DIN-propisima se uzima z60pp vh ⋅γ⋅== , . U ćelijama s prašinastim tvarima ne treba horizontalni tlak povećevati ako je tlak zraka manji od proračunanog tlaka hp . Međutim, za zrnate materijale valja pritisak hp povećati za tlak zraka. Ovaj se tlak linearno smanjuje prema mjestu oduška. Smanjenje pritiska u blizini dna ćelije uzima se prema DIN-propisima u obzir: Kada se materijal prazni po jezgri u donjem dijelu, horizontalni tlak se može pri pražnjenju linearno smanjiti na tlak pri punjenju na visini manjoj od 1,2d ili 0,75H, mjereno od dna silosa, gdje je „d“ manja širina ćelije silosa, a „H“ ukupna visina. U propisima drugih zemalja nema ove preporuke. Dugo se godina polazilo od toga da je zapreminska težina pšenice 7,5 kN/m3. Provjerom zapreminske težine više vrsta pšenice nakon zbijanja stresanjem, što odgovara stanju zbijenosti u donjem području silosa, dobila se za neke vrste zapreminska težina i do 8,7 kN/m3. Isto tako, ima primjera da je utvrđeno da cement ima zapreminsku težinu i do 19,2 kN/m3, umjesto 16 kN/m3 (tablica 1) te kod vrlo kohezivnih tvari (sačma) i do 10,0 kN/m3 umjesto 4,0 ili 5,5 kN/m3. Nakon što se nađe opterećenje u ćelijama silosa, proračunavaju se rezne sile u stijenkama silosa po istom postupku kao i za okrugle spremnike. Dno silosa se proračunava ovisno o obliku po teoriji ploča ili ljusaka. Dno može biti ravno za pneumatsko pražnjenje ili je u obliku lijevka za gravitacijsko pražnjenje materijala. 1.3.2. ARMIRANJE I IZVEDBA SILOSA Zidovi silosa se armiraju prstenastom i vertikalnom armaturom.

19

Slika 19 – Detalj armature silosa

Vertikalna armatura nije samo konstruktivna, već može biti i nosiva pri upetosti stijenki silosa u donju i gornju ploču i pri temperaturnim promjenama okoliša. Stijenke silosa se obično armiraju obostrano. Svaki prsten se sastoji od tri do četiri luka armature. Nastavke valja izvesti naizmjenično. Najviše 25% ukupne armature se može nastaviti u jednom presjeku. Silosi se najčešće izvode u kliznoj oplati. Ponekad se stijenke betoniraju i u prijenosnoj oplati, a kod silosa manjeg obujma i manje visine se primjenjuje i montažni način građenja. Dno silosa u obliku lijevka se proračunava i konstruira kao i za lijevak bunkera. Građenje silosa se danas uspješno provodi s relativno novim materijalom „ferocementom“.

20

2. Tankostjene krovne konstrukcije 2.1. OPĆENITO Tankostijene krovne konstrukcije se danas racionalno upotrebljavaju u građevinarstvu za krovove velikih raspona (hale, hangari, stadioni, garaže, tržnice, koncertne dvorane, sportske dvorane). Prostorno djelovanje ovih krovnih konstrukcija je omogućilo da se znatno smanji njihova težina i težina cijele konstrukcije. Kod njih se naponi rasprostiru po cijeloj njihovoj površini, tako da sav materijal konstrukcije sudjeluje u nošenju. Tankostjenim konstrukcijama pokrivaju se prostorije svih mogućih oblika i tlocrta. Tankostijene krovne konstrukcije od armiranog betona se mogu podijeliti u četiri velike skupine: - bačvaste (cilindrične) ljuske (duge i kratke) - ljuske u obliku čunja (čunjasti krovovi) - ljuske dvojne zakrivljenosti (kupole, plitke ljuske, konoidne ljuske) - naborane konstrukcije (šatori, složenice) 2.2. BAČVASTE LJUSKE 2.2.1. OPĆENITO Bačvaste ljuske nastaju translacijom pravčaste izvodnice po dvjema jednakim vodilicama koje mogu biti u obliku elipse, parabole i kružnice. Kod ovih ljusaka Gaussova krivina ( )/( 21 rr1 ⋅=κ ) je jednaka nuli. Da bi sačuvale oblik, ove ljuske moraju završavati dijafragmama. Budući da meridijanske sile nφ na uzdužnim rubovima moraju biti jednake nuli, opterećenje se ljuske može prenositi samo njezinim savijanjem. U proračunu ljuske uvijek se polazi od membranskog stanja za opterećenja vlastitom težinom i snijegom. Ta se opterećenja superponiraju i smatraju jednoliko rasprostrtim po tlocrtu. Time se čini samo mala pogreška jer se vlastita težina povećava prema rubnom elementu, a opterećenje se snijegom smanjuje. Vrlo često nije moguće ispuniti membranske uvjete oslanjanja ljuske na dijafragme, te membranske uvjete spoja ljuske i rubnog elementa, zbog čega nastaju rubni poremećaji. Te poremećaje je moguće uzeti u obzir samo klasičnom teorijom ljusaka (momentna teorija). Rješenje je danas znatno olakšano upotrebom metode konačnih elemenata. Većinom se postavlja veći broj bačvastih ljusaka jednu uz drugu. Budući da se kod takvih ljusaka horizontalni potisci ( ϕ⋅ϕ cosn ) susjednih ljusaka poništavaju, savijanje se u poprečnom smjeru znatno smanjuje. Pri tome raspodjela uzdužnih sila nx približno odgovara raspodjeli kakva vlada u gredi. Kako to vrijedi samo za srednje ljuske, krajnje bi trebalo proračunavati po momentnoj teoriji, ili postavljanjem većeg broja poprečnih ukrućenja smanjiti poprečne deformacije na minimum, pa i krajnje

21

ljuske proračunavati po membranskoj teoriji. To, naravno, ima značenje približnog proračuna. 2.2.2. DUGE BAČVASTE LJUSKE Duge bačvaste ljuske se sastoje od svodova ljusaka, rubnih elemenata i dijafragmi.

Slika 20 – Duga bačvasta ljuska: a) pogled na ljusku, b) sile na element ljuske, c) presjeci

Svodovi ljuske zajedno s rubnim elementima nose kao nosači kojih je poprečni presjek zakrivljen i ima veliki moment otpora. Taj nosač prenosi opterećenje sa krute dijafragme preko posmičnih napona. Razmak između poprečnih dijafragmi l1 se naziva rasponom ljuske, a razmak između rubnih elemenata l2 je dužina vala ljuske. Kod dugih ljusaka je odnos l1/l2 > 1 i ide od 3 do 4. Raspon dugih ljusaka doseže od 20 do 30 m, a dužina je vala uvijek manja od 20 m. Ljuske se dijele na: - jednorasponske, oslonjene na dvije dijafragme - višerasponske, oslonjene na više od dvije dijafragme - jednovalne ljuske, koje imaju jedan val s dva rubna elementa - viševalne ljuske, sastavljene od više paralelnih ljusaka monolitno spojenih Duge ljuske mogu biti glatke i rebraste. Poprečni presjek dugih ljusaka se obično izvodi po kružnici, kao najjednostavniji i najkrući oblik. Rubni elementi mogu biti raznih oblika.

Slika 21 – Oblici rubnih elemenata

22

Strelica luka „f“ uključujući i visinu rubnog elementa se redovito ne uzima manja od 1/10 l1, ni veća od 1/6 l2. Dijafragme dugih ljusaka mogu biti punostijene, lučne sa zategom, okvirne i rešetkaste konstrukcije.

Slika 22 – Dijafragme ljusaka: a) puni nosač konstantne visine, b) rešetkasti nosač, c) luk sa zategom

2.2.2.1. Približni proračun ljusaka Prema priloženom proračunu srednji valovi ljusaka se mogu računati kao grede cilindrična presjeka. Krajnji valovi ili jednovalna ljuska imaju drukčije rubne uvjete. Njihovi se krajevi mogu pomicati horizontalno i vertikalno, pa nije primjenjiv približni pojednostavljeni proračun. Proračun je moguć po klasičnoj teoriji ljusaka ili na osnovi metode konačnih elemenata. Presjek dugih ljusaka se dimenzionira prema dijagramu normalnih naprezanja σx, glavnih kosih naprezanja koja su po vrijednosti u neutralnoj osi jednaki posmičnim naprezanjima τxφ i naprezanjima od poremećajnih momenata savijanja. Vlačna napprezanja σx u potpunosti preuzima glavna vlačna armatura kojoj se površina proračunava prema izrazu:

23

yd

Sdss f

FA = (37)

gdje je: FSds - proračunska vlačna sila u ljuski fyd - proračunska granica popuštanja

Ukupna unutrašnja vlačna sila Fs, odnosno unutrašnja tlačna sila Fc od djelovanja stalnog ili promjenjivog opterećenja se dobiva integracijom površine tlačnih naprezanja po presjeku:

( )[ ]g00g

xgcs yrr

yhr2

FF −α−α⋅σ⋅⋅⋅

=−= sin (38)

Slika 23 – Geometrijske vrijednosti i dijagrami naprezanja u presjeku ljuske

Položaj neutralne osi i naprezanja σxg i σxd se pronalaze kao za homogen presjek uračunavajući i rubne elemente u nosivi presjek. Posmična napprezanja koja su u neutralnoj osi jednaka glavnim kosim naprezanjima po apsolutnoj veličini se određuju prema formuli:

h2SV

x ⋅⋅

=τI

(39)

gdje je: V - poprečna sila S - statički moment površine presjeka iznad težišta presjeka I - moment tromosti s obzirom na težište presjeka.

Dijafragme su opterećene ležišnim pritiskom koji se prenosi pomoću sila Sx što tangiraju srednju površinu ljuske i dobivaju se iz posmičnih naprezanja u ljusci na ležaju. Raspodjela posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku odgovara raspodjeli u gredi. Dijafragme je potrebno proračunati za opterećenje silama Sx i vlastitom težinom (slika 24a)). 2.2.2.2. Armiranje ljusaka Glavnu vlačnu armaturu treba razmjestiti u rubni element. Ona se mijenja duž raspona u skladu s dijagramom sila Fs. Ljuska se armira mrežom po cijeloj površini, a za ljuske debljine veće od 9 cm i dvostrukom mrežom. Uz rubne elemente, pa i uz dijafragme je potrebno proračunati armaturu prema poprečnim momentima uzduž izvodnica (poremećajni momenti prema momentnoj teoriji ljusaka). Ljuska se dimenzionira kao ploča ekscentrično opterećena vlačnom ili tlačnom silom.

24

Glavna vlačna kosa naprezanja se prihvaćaju mrežastom armaturom koja odgovara sponama kod običnih greda. Pri znatnim vlačnim kosim naprezanjima se mogu postavljati i kose šipke u smjeru glavnih vlačnih naprezanja.

Slika 24 – Dijafragma i rubni element: a) shema djelovanja sila na dijafragmu, b) armatura rubnog elementa

2.2.2. KRATKE BAČVASTE LJUSKE

Kratke ljuske se sastoje od svoda, rubnih elemenata i dijafragmi. Postavljaju se na rasponu od 5 do 12 m. Odnos l1/l2 < 1, tj. razmak dijafragmi (raspon ljuske), je uvijek manji od dužine vala (raspon dijafragme). Strelica luka se uzima najmanje l2/7. Debljina ljuske se kreće od 6 do 12 cm. Rasponi dijafragmi (dužina vala) iznose i do 30 m.

Slika 25 – Kratka bačvasta ljuska

25

2.2.2.1. Približni proračun ljusaka Ljuska nosi prostorno i preko posmičnih naprezanja koji tangiraju srednju površinu ljuske prenosi opterećenje na dijafragme. Svega 4-5% opterećenja ljuske prenosi se na dijafragme preko poprečnih sila što ih izazivaju poremećajni momenti uzduž izvodnica. Približno se može proračunati unutrašnja vlačna sila u rubnom elementu ako se uzme da je krak unutrašnjih sila z = 0.55 (f + a) prema izrazu:

( ) ( ))), af9llq

af55028llq

zMF

212Sd

212SdSd

Sds +⋅⋅⋅

≈+⋅⋅⋅

⋅⋅≈= (40)

gdje je q = G + Q opterećenje reducirano na 1 m2 tlocrta ljuske s uračunavanjem težina rubnih elemenata. Potrebna armatura u rubnom elementu iznosi:

yd

Sdss f

FA = (41)

U srednjim poljima višerasponske ljuske presjek se armature u rubnim elementima uzima dvaput manji. Ljuska se armira mrežom Φ 6 mm na razmaku od 12 do 15 cm. Maksimalni razmak žica mreže ne smije premašiti dvostruku debljinu ljuske, ni 20 cm. Iznad dijafragmi i na spoju ljuske s rubnim elementom se postavlja dopunska gornja armatura za prihvaćanje momenta savijanja. Ako se upotrijebi glatka armatura Φ ≤ 10 mm ili zavarene armaturne mreže, kuke se ne moraju izvoditi, s tim što valja osigurati dovoljnu dužinu sidrenja. 2.2.2.2. Proračun dijafragme ljuske Dijafragma kratkih ljusaka je opterećena posmičnim silama koje djeluju tangencijalno na srednju površinu ljuske. Poznato je da je ljuska u poprečnom pravcu tlačno naprezana. Za maksimalnu silu tlaka u ljusci s dovoljno se točnosti uzima po bezmomentnoj teoriji da je: rqn ⋅−=ϕ (42) gdje je: r - polumjer zakrivljenosti ljuske

Ukupna sila tlaka na krajnju dijafragmu iznosi: 2

lrqN 1⋅⋅= , a za srednju: 1lrqN ⋅⋅= .

Budući da rubni elementi ne mogu primiti na sebe reaktivne sile tlaka nφ (slobodni rub), tlačna sila se u ljusci postepeno smanjuje od najveće vrijednosti u ljusci (tjeme) do nule na donjem rubu rubnog elementa. Zakon tog smanjivanja je nepoznat, ali na osnovi mjerenja izvršenih pri ispitivanju ljuske se može prihvatiti zakon parabole II reda. Opći je izraz za parabolu II reda (slika 26):

( )xll

xf4y 222

−⋅⋅

= (44)

26

Slika 26 – Opis oznaka upotrijebljenih u izrazu za parabolu

Primijenjeno na ljusku dobiva se, za krajnu dijafragmu:

( )xlxl

lrq2N 222

1x −⋅⋅

⋅⋅⋅= , (45)

a za srednju dijafragmu:

( )xlxl

lrq4N 222

1x −⋅⋅

⋅⋅⋅= (46)

Kako se smanjuje tlačna sila u ljusci, opterećuje se dijafragma tangencijalnim silama:

( )xlxl

lrq4dx

dNT 222

1xx −⋅⋅

⋅⋅⋅== , (47)

pa će za x = 0 biti, za krajnu dijafragmu:

22

1

llrq2T ⋅⋅⋅

=max , (48)

a za srednju dijafragmu:

22

1

llrq4T ⋅⋅⋅

=max . (49)

Ako se prihvati da se tlačna sila u ljusci smanjuje po zakonu funkcije sinx, tj. po krivulji koja se zamjenjuje prvim članom Fourierova reda:

...sinsin +⋅π

⋅+⋅π

⋅=2

32

1x lx3N

lxNN , (50)

opterećenje dijafragme je:

2

12

xx l

xNldx

dNT ⋅π⋅⋅

π== cos , (51)

pa za x = 0 izlazi, za krajnu dijafragmu:

12

x lrql2

T ⋅⋅⋅⋅π

= , (52)

a za srednju dijafragmu:

12

x lrql

T ⋅⋅⋅π

= . (53)

27

2.3. ČUNJASTE KONSTRUKCIJE 2.3.1. OPĆENITO Ljuske u obliku čunja su vrlo povoljne i ekonomične konstrukcije. Upotrebljavaju se za krovišta i kao lijevci spremnika i silosa. Ove ljuske nastaju rotacijom pravčaste izvodnice koja siječe os rotacije, a vodilica je kružnica. 2.3.2. PRORAČUN LJUSKE ZA ROTACIONO-SIMETRIČNO OPTEREĆENJE

Slika 27 – Shema djelovanja sila

Membranske su sile u čunju:

α⋅

=⋅−=ϑ sinaprpn r

r , (54)

Za vlastitu težinu je: α⋅= cosGpr , (55) pa izlazi: α⋅⋅−=α⋅⋅−=ϑ cotcos aGrGn , (56) gdje je: G -težina po jedinici krova. Iz ravnoteže odsječenog gornjeg dijela ljuske dobiva se: 0Fna2 zx =+α⋅⋅⋅π⋅ sin (57) Odatle se izvodi:

α⋅⋅π⋅

−=sina2

Fn zx , (58)

gdje je: 'paF 2z ⋅π⋅= .

Za vlastitu težinu izlazi:

28

α⋅

⋅−=

sin2lGnx , (59)

Za opterećenje snijegom dobiva se:

α⋅

⋅−=

sin2aQnx , (60)

Debljina ljuske ovisi o promjenjivom opterećenju (snijeg, vjetar), o opasnosti izbočenja i mogućnostima izvedbe. Za normalnu kvalitetu betona bit će: hmin ≥ 6 cm. Neporemećeno membransko stanje je moguće samo onda ako je rub čunja oslonjen slobodno pomično na srednju ravninu (slika 28).

Slika 28 – Slobodno oslanjanje čunja

Normalno, u armiranobetonskim konstrukcijama rub ljuske završava podnožnim prstenom koji onda uzrokuje rubne poremećaje jer nastaje razlika između izduženja ljuske i prstena. Spoj ljuske može biti zgloban ili krut (slika 29).

Slika 29 – Sile na spoju ljuske i prstena

Nepoznate dopunske sile Xi je moguće odrediti metodom sila, za što je potrebno poznavati deformacije ljuske i prstena. Gotovih izraza za pomak ikδ za razne primjere oslanjanja i opterećenja ima u literaturi. 2.3.3. ARMIRANJE LJUSKE Ljuske se armiraju u smjeru izvodnice i po koncentriranim krugovima. Broj šipaka koje idu po izvodnici, po jedinici prstena, s približavanjem rubu se postepeno smanjuje, što valja nadoknaditi sve kraćim međušipkama. Kad je ljuska deblja od 8 cm armatura se polaže u dva sloja. Uz prsten se ljuska dimenzionira na ekscentrični tlak u smjeru izvodnice.

29

2.4. LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTI 2.4.1. KUPOLE Kupole su jedan od najpovoljnijih nosivih sustava armiranog betona. Zbog svog prostornog nošenja armiranobetonske kupole imaju dosta malu debljinu, pa su pogodne za vrlo velike raspone. Postoje izvedene kupole do 100 m raspona, ali ni to nije granica njihove upotrebe. Prema konstrukcijskim karakteristikama armiranobetonske kupole mogu biti glatke i rebraste. Glatke nastaju rotacijom krivulje kružnog, eliptičnog ili paraboličnog oblika oko vertikalne osi kroz njihovo tjeme. Jednostavne su za izvedbu i vrlo ekonomične. Debljina ljuske se kreće od 8 do 14 cm. - glatka kupola

Slika 30 – Glatka kupola

2.4.1.1. Proračun kupola Prema membranskoj teoriji ne proračunavaju se momenti savijanja i poprečne sile. U kupoli se pojavljuju meridijalne sile nφ = σ1 · h na jedinicu dužine prstena i horizontalne prstenaste sile nν = σ2 · h na jedinicu dužine meridijana. Kupole su ljuske dvojne zakrivljenosti s pozitivnom Gaussovom krivinom, te imaju svojstvo da su krute i manje su osjetljive na rubne poremećaje i lokalna opterećenja. Kod dvojno zakrivljenih ljusaka uzdužne sile u pravcima glavnih zakrivljenosti zajedno sudjeluju u nošenju vanjskog opterećenja. Odatle i osnovna jednadžba ravnoteže:

r21

prn

rn

−=+ ϕϑ , (61)

Rezne sile za rotaciono-simetrično opterećenje se mogu odrediti kao i za čunj iz uvjeta ravnoteže na odsječenom dijelu ljuske (slika 31): 0Fr2n 0 =+ϕ⋅π⋅⋅⋅ ϕϕ sin , (62) iz čega je meridijalna sila:

ϕ⋅π⋅⋅

−= ϕϕ sin0r2

Fn , (63)

30

Slika 31 – Shema djelovanja sila

U smjeru meridijana, kupola opterećena vertikalnim opterećenjem je tlačno naprezana kao i u smjeru prstena dok je nagib malen. Kad kupola postane nagnutija, prstenasta sila počevši od tzv. prijelomne spojnice postaje vlačna. Dajući kupoli prikladni oblik može se postići da za određeno opterećenje ne bude sila u prstenu. Proračun sila u sfernoj kupoli izvodi se posebno za opterećenje vlastitom težinom, a posebno snijegom. Opterećenje vlastitom težinom: Ako se uvedu izrazi: rrr 21 == ; ϕ⋅= cosGpr ; ( )ϕ−⋅⋅⋅π⋅=ϕ cos1Gr2F 2 ; ϕ⋅= sinrrr , dobiva se izraz za meridijalnu silu:

ϕ+

⋅−=ϕ cos1

rGn , (64)

a potom i za prstenastu silu:

rG1

1rG1

1n2

⋅⋅ϕ+

−ϕ+ϕ−=⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ+

−ϕ−=ϑ coscoscos

coscos , (65)

Opterećenje snijegom: Opterećenje snijegom uzima se jednoliko po m2 tlocrta.

Slika 32 – Model sferne kupole

31

Ako se uvede zamjena: ϕ⋅= 2r Qp cos , dobiva se meridijalna sila konstantna od tjemena

do ležaja:

Q2rn ⋅−=ϕ , (66)

a potom i prstenasta sila:

ϕ⋅⋅−−=ϑ 2Q2rn cos , (67)

Budući da su kupole na svojem donjem dijelu spojene s ležišnim prstenom za prihvaćanje horizontalnih komponenata meridijalnih sila, spriječena je slobodna deformacija kupole, pa zbog toga nastaju rubni poremećaji. Bilo je pokušaja da se kupola pri ležaju više zaobli kako bi se u tom dijelu pojavile vlačne sile koje bi izazvale jednake deformacije kao što su u prstenu, a time bi se izbjegli ili smanjili poremećajni momenti. Pri prednapinjanju ta mjera nema značaja. Računsko određivanje poremećaja na rubu koji nastaju zbog spriječavanja deformacija je vrlo komplicirano. Rješenje je moguće uz izvjesne pretpostavke i idealizaciju sustava. Pretvaranje diferencijalnih jednadžbi u diferenične i uporaba elektroničkog računala omogućuje da se riješe kupole po momentnoj teoriji. Danas se kupole proračunavaju kao i druge ljuske metodom konačnih elemenata uz upotrebu elektroničkih računala. Prsten kupole je opterećen meridijalnom silom nφ koja se rastavlja u vertikalnu komponentu nφv i horizontalnu nφh. Vertikalna se komponenta preko ležaja prenosi na stijenku cilindra, a horizontalna se prihvaća prstenom, zbog čega se u prstenu pojavljuje vlačna sila: rnH h ⋅= ϕ , (68) gdje je: r - polumjer prstena, α⋅= ϕϕ cosnn h je horizontalna radijalna komponenta po jedinici prstena

Slika 33 – Prsten kupole

Armatura je prstena:

yd

Sds f

HA = , (69)

gdje je: HSd - proračunska vlačna sila u prstenu Kod kupola većih raspona, horizontalna sila u prstenu poprima veliku vrijednost, pa se prsten prednapinje.

32

2.4.1.2. Armiranje kupola Kupole se armiraju uzduž meridijana i paralela (prstena). Broj šipaka u smjeru meridijana po jedinici prstena s približavanjem rubu kupole se postepeno smanjuje, što valja nadoknaditi sve kraćim međušipkama. Kad je debljina kupole veća od 8 cm, armatura se polaže u dva sloja. Uz prsten ljuska se armira u smjeru meridijana za djelovanje meridijalne sile i poremećajnog momenta (ekscentrični tlak). Ostali uvjeti armiranja, kao što je maksimalni tlak i minimalni profil i razmaci žica su jednaki kao i za bačvaste ljuske. 2.4.1.3. Rebraste kupole

Slika 34 – Rebraste kupole

Rebraste su kupole manje pogodne od glatkih. Sastoje se od meridijalnih i prstenastih rebara, armiranih prema silama koje djeluju na njih i prema načinu izvedbe radova. Rebra su monolitno vezana tankom ljuskom. Pri dnu kupole rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena koji prima razupirajuće sile meridijalnih rebara. Proračun rebrastih kupola za simetrično, a pogotovo nesimetrično opterećenje daje prilično teškoća zbog mnogostruke statičke neodređenosti. Stupanj statičke neodređenosti ovisi o broju meridijalnih i prstenastih rebara. Osim monolitno izvedenih kupola postoji velik broj izvedenih polumontažnih i montažnih kupola.

33

2.4.2. PLITKE LJUSKE Plitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, kružnice ili elipse po dvjema vodilicama koje također imaju oblik parabole, kružnice ili elipse. Ove ljuske se mogu zamisliti kao isječak kupole nad trokutnim ili pravokutnim tlocrtom. Odlikuju se velikom krutošću, kao i sve ljuske s pozitivnom Gaussovom krivinom. Opterećenje se prenosi u dva smjera, zbog čega se smanjuju normalna naprezanja. Sve to omogućuje da se ljuskama dvojne zakrivljenosti prekrivaju veće površine nego bačvastim ljuskama, pa i da se pri pokrivanju površina određene veličine izvode ljuske manje debljine. Plitke su one ljuske dvojne zakrivljenosti pri kojima odnos strelice“f“ prema kraćoj stranici raspona nije veći od 1/5, a mogu biti jednovalne i viševalne, te kratke i duge.

Slika 35 – Kratka plitka ljuska

Kratka ljuska u podužnom pravcu naliježe na dijafragmu, a u poprečnom se izvode rubni elementi. Krajevi ljuske se još zadebljaju od 2 do 2.5 puta debljine ljuske na širini od 1/10 do 1/15 odgovarajuće veličine otvora. Zadebljanje se postepeno smanjuje od ruba. Prema teorijskim i eksperimentalnim istraživanjima srednja je zona plitke ljuske opterećena na aksijalni tlak i armira se konstruktivno. Podužne vlačne sile su koncentrirane u rubnim elementima, pa se prema tim silama dimenzionira i potrebna armatura. U ljusci se osim toga pojavljuju i poprečni momenti savijanja koji se mogu dobiti momentnom teorijom. Posmične sile su koncentrirane u kutovima ljuske i prihvaćaju se rubnim ojačanjima. Plitke ljuske se mogu proračunati samo približno i uz velike teškoće po teoriji ljusaka. Numeričkim metodama kao što je metoda konačnih elemenata njihov proračun danas ne stvara veće teškoće. Proračun sigurnosti ljuske od izbočenja kao cjeline nipošto se ne može obaviti egzaktno, pa se provjera svodi na kontrolu sigurnosti pojedinih elemenata na izvijanje. Treba napomenuti da je pri dvoosnom tlačnom naprezanju sigurnost od izbočenja manja nego kad u jednom pravcu djeluje tlak, a u drugom vlak.

34

Slika 35 – Plitka ljuska kvadratičnog tlocrta poduprta sa svih strana dijafragmom

Ljuska se mora armirati u smjeru glavnih vlačnih naprezanja i mrežom koja se postavlja po cijeloj površini. Uz rubove gdje se pojavljuju momenti savijanja ljuska se armira u dva reda između kojih se može postaviti armatura za preuzimanje posmičnih naprezanja, odnosno glavnih kosih naprezanja. 2.4.3. KONOIDNE LJUSKE Translacijom pravčaste izvodnice po dvjema vodilicama, od kojih je jedna pravac, a druga je krivulja i paralelna je sa zadanom ravninom, nastaje konoidna ljuska. Budući da druga vodilica oblika krivulje može biti po volji odabrana, mnogo je oblika konoida. Za prekrivanje objekata najpovoljniji su oni kojima je druga vodilica pravac ili parabola. U prvome se dobiva hiperbolični paraboloid kojem su vodilice dva mimosmjerna pravca, a u drugom je običan konoid.

Slika 36 – Hiperbolični paraboloid

Kod hiperboličnog paraboloida dva su središta zakrivljenosti koja se nalaze na suprotnim stranama površine ljuske, pa je to ljuska s negativnom Gaussovom krivinom. Prednost te ljuske je u tome što se sva oplata sastoji od ravnih dasaka uz relativno jednostavnu armaturu.

Slika 37 – Konoid

Konoid je vrlo zanimljiva ljuska u oblikovnom i konstrukcijskom pogledu, a uz to je i ekonomična. Ljuska je pretežito naprezana membranskim silama. Posebno je važno armirati donji dio konoida, gdje se pojavljuju vlačna naprezanja. Armatura konoida se postavlja u dva reda u području vlaka, a u domeni tlačnih naprezanja ljuska se armira

35

jednostrukom mrežom. Između dva sloja armature, u području kutova, treba postaviti kosu armaturu za prihvaćanje glavnih kosih naprezanja.

Slika 38 – Upotreba konoidnih ljusaka: a)Isječak konoida; šed krov, b) Krov od hiperboličnih paraboloida

Hiperbolični paraboloid može biti oslonjen na dva stupa (slika 38). Ako stupovi podupiru niže kutove, potrebno je između stupova postaviti zategu, a ako oni podupiru više kutove, valja stupove razuprijeti štapom sigurnim od izvijanja. Od četiri hiperbolična paraboloida dobivena je ljuska oslonjena na četiri stupa (slika 38 b)). Vertikalno opterećen hiperbolični paraboloid (vlastita težina i snijeg) uz jednadžbu srednje površine z = C · x · y može se jednostavno proračunati po membranskoj teoriji jer je druga derivacija po ordinati x i y jednaka nuli.

Slika 39 – Geometrijski model hiperboličnog paraboloida

Slika 40 – Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stupa: a) Poduprti viši kutovi, b) Poduprti niži kutovi

Posmične sile u presjecima peralelnima s rubovima, za konstantno opterećenje po tlocrtu, dobivaju se prema izrazu:

C2

Znxy ⋅−= . (70)

Za Z = G izlazi:

C2

Gnxy ⋅−= , (71)

a normalne sile su: 0nn yx == . (72) U dijagonalnim presjecima se pojavljuju glavne normalne sile suprotnih predznaka:

36

xy21 nnn =−= . (73) Na rubovima ljuske posmične sile nxy moraju preuzeti rubni elementi ili ako ljuska leži na dijafragmama, preuzimaju ih dijafragme. Složeni krov od četiri hiperbolična paraboloida (slika 38 b)) je uzduž spojeva pojedinih paraboloida (sljeme), zbog posmičnih naprezanja priključnih paraboloida, napregnut na vlak. Rubove i sljeme ljuske valja ojačati od 2 do 2,5 puta debljine ljuske na širini od 1/10 do 1/15 odgovarajuće veličine otvora. U okviru membranske teorije nije moguće preuzeti težinu rubnog elementa, pa ga valja upeti u ležaj ili ga osloniti na stupove fasadnog zida. Postoji inkompatibilno stanje deformacija između rubnog elementa opterećenog na tlak ili vlak i ljuske koja to nije. Negativna Gaussova krivina čini ljusku vrlo osjetljivom na promjenjiva lokalna opterećenja i na promjene tlocrta do kojih može doći zbog produženja zatege. Ljuska se armira mrežom, ovisno o naprezanjima, u jednom ili u dva reda, a između se postavlja i dijagonalna armatura po pravilima koja su u propisima i vrijede za sve ljuske. 2.5. ŠATORI Jedne od varijanata naboranih konstrukcija su šatorske krovne konstrukcije, sastavljene od monolitno vezanih trokutnih i trapeznih ploča okrenutih vrhom prema gore, a oslonjenih kutovima donje osnovice na stupove (slika 41). Zbog kupolastog oblika ove konstrukcije i pri blažim nagibima mogu biti vrlo ekonomične, tj. konstrukcije s minimalnom armaturom. Krov od šatora u obliku zarubljenih piramida, oslonjen izravno na stupove, prikazan je na slici 42. U kutovima su vute širine jednake debljini stupa. Stupovi su tlocrtno zakrenuti pod kutom od 45°. Najveća širina kosih stranica (pobočki) šatora se kreće od 3,0 do 3,5 m. Strelica šatora je od f = l/8 do l/12.

Slika 41 – Šatorasti krovovi

Proračun šatora Šator se proračunava po približnoj metodi u dvije faze: - proračun pobočaka na lokalno opterećenje, - proračun šatora kao cjeline Proračun pobočaka na lokalno opterećenje se sastoji u pronalaženju momenata savijanja i normalnih sila. Stranice se tretiraju kao ploče nosive u dva smjera kojih su ležajevi bridovi šatora. Reakcije pobočaka na ležajevima (bridovima) se rastavljaju u horizontalne sile u susjedne pobočke i sile u bridovima.

37

Armiranje pobočaka se provodi po istim pravilima kao i za ploče nosive u dva smjera opterećene ekscentričnim tlakom. Šator se kao cjelina proračunava radi dimenzioniranja glavne vlačne armature koju treba postaviti u donji rub stranica. Proračun se provodi u oba pravca, kao za grede na dva ležaja, s uzimanjem ukupnog opterećenja za svaki pravac. Tretiranje šatora kao grede na dva ležaja se opravdava njegovom malom krutošću u području ležaja. Momenti savijanja su:

8

llqM212

1⋅⋅

= , (74)

8

llqM221

2⋅⋅

= , (75)

gdje je: QGq += Za široke ležajeve (stup s kapitelom, slika 42) dobiva se:

( )8

cllqM2

121

−⋅⋅= , (76)

( )8

cllqM2

212

−⋅⋅= , (77)

Slika 42 – Primjer prekrivanja većih tlocrta kontinuirano izvedenim šatorima

38

Armatura na rubu donjih stranica bit će:

yd

Sds fz

MA⋅

= , (78)

gdje je: z = f - krak unutrašnjih sila MSd - proračunski moment savijanja

Slika 43 – Proračunski model

Točniji proračun se ostvaruje po teoriji za proračun složenica. 2.6. SLOŽENICE 2.6.1. OPĆENITO Složenice su sustav tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izvjesnim kutom, koje uglavnom nose kao nosači, svaka u svojoj ravnini. U naboru je svaki brid zapravo ležaj dviju susjednih ploča, koje zbog svoje poprečne krutosti prenose opterećenje na rebro. Te se sile na rebrima razlažu u smjeru ravnina ploča. Zbrajajući ih za svaku ploču i smatrajući ih opterećenjem svake pojedine ploče, ploče se proračunavaju na savijanje u ravnini svoje veće krutosti kao obični nosači, uzimajući u obzir kontinuitet ili uklještenje. Zbog monolitne veze između nosećih ploha, podužne deformacije dviju susjednih ploha u pravcu pružanja brida u bilo kojoj točki moraju biti jednake, pa time i normalna naprezanja, zbog čega u bridu nastaju posmične sile. Prema tome, svaka pojedina ploča tog sustava se nalazi pod djelovanjem momenata savijanja u svojoj ravnini i posmičnih sila na rubovima.

Slika 44 – Poprečni presjeci nekih vrsta složenica: a) Jednovalna složenica, b) Viševalna složenica

trapeznog presjeka, c) Viševalna složenica trokutnog presjeka

39

Složenicama se prekrivaju rasponi do 20 m i više. Nabori se postavljaju u poprečnom pravcu prostorije koja se prekriva i oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravnini. Složenice su jednostavne za izvedbu, ali su manje ekonomične od bačvastih ljusaka jer se u njima pojavljuju i momenti savijanja uzrokovani lokalnim savijanjem u poprečnom pravcu. S opadanjem širina ploča gube se u graničnom slučaju momenti koji nastaju u pločama prijenosom opterećenja na bridove kao kontinuirani nosač. Sile u ravnini ploča pri tome teže konačnim vrijednostima koje su kao kod bačvastih ljusaka. Ekonomična širina ploče se kreće od 3 do 3,5 m. Debljine ploče ne bi smjele biti veće od 10 cm. Složenice mogu biti jednorasponske i višerasponske. Širina vala se kreće od 10 do 12 m. Visina nabora ne bi smjela biti manja od 0,1 l1 (l1 je raspon složenice).

Slika 45 – Proračunski model

2.6.2. PRORAČUN SLOŽENICA Proračun složenica, ovisno o njihovom tipu i o potrebnoj točnosti, provodi se na više načina. Postupci se međusobno razlikuju u stupnju točnosti proračuna deformacija. 2.6.2.1. Približni proračun – složenice s krutim pločama Pretpostavlja se da su ploče u svojoj ravnini vrlo krute, pa su pri tome bridovi nepopustljivi ležajevi i ne mijenjaju svoju dužinu. Ležišne sile se razlažu u ravnine susjednih ploča (slika 46) prema slijedećim izrazima:

2aq

2aqR 1k1kkk

k++ ⋅

+⋅

= , (79)

k

kkk RS

γα

=sincos , (80)

k

1kk1k RS

γα

−= −+ sin

cos , (81)

Ploče koje prenose opterećenje na bridove proračunavaju se kao kontinuirani nosači na nepopustljivim ležajevima. Po toj teoriji mogu se, bez daljnjega, proračunavati složenice kao što su bunkeri i šatori.

40

Slika 46 – Razlaganje ležišnih sila 2.6.2.2. Tehnička teorija – zglobni sistem Kad je svaka ploča za sebe u svojoj ravnini vitkija od 3:1, deformacije u ravnini ploče se ne smiju više zanemariti. Ako se prekine veza između ploča, susjedne ploče na zajedničkom rubu će se različito deformirati. Za ponovnu uspostavu tog spoja moraju se po rubovima unijeti posmične sile. Po ovoj teoriji je dovoljno izjednačiti deformacije ili naprezanja samo u sredini raspona. Tu se pretpostavlja da su elastične linije svih ploča međusobno afine. Budući da se pretpostavlja kako su ploče međusobno spojene zglobno, uzajamno se zakretanje na rubovima izazvano savijanjem ploča ne uzima u obzir. Uvjet kompatibilnosti u sredini raspona: 2b1b ε=ε - deformacija ruba b1 je jednaka deformaciji ruba b2 (slika 47), odnosno:

2b1b σ=σ (82) Pretpostavlja se da vrijedi Navierova hipoteza linearne raspodjele naprezanja po presjeku, pa izlazi:

1

1b

1a

11b W

MTA4T

A2

−⋅+⋅=σ , (83)

2

2c

2b

22b W

MTA2T

A4

+⋅−⋅−=σ , (84)

Izraz (82) nakon što se uvrste izrazi (83) i (84), dobiva oblik:

2

2

1

1c

2b

21a

1 WM

WMT

A2T

A1

A14T

A2

+=⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅ (85)

Postavivši „n“ jednadžbi za „n“ bridova, dobiva se sustav tročlanih jednadžbi kojeg se rješenjem određuju posmične sile Ti na bridu.

41

Slika 47 – Shema djelovanja sila i naprezanja

Za slobodni rub će biti: Ta = 0 Pretpostavke proračuna su: - dijafragme se uzimaju kao krute u svojoj ravnini, a okomito na nju fleksijski mekim - zanemaruje se otpor ploča prema uvijanju (torziji) koje se pojavljuje zbog različitih progiba dvaju rubova iste ploče - ne uzimaju se u račun deformacije ploča uzrokovane posmikom, ni njihova fleksijska krutost kao ploče u uzdužnom pravcu Zbog tih pretpostavki ležišne sile s ploča se mogu prenositi na dijafragme jedino posmikom. Takav prijenos opterećenja nije moguć kad su krajnje ploče horizontalne ili malo nagnute. Naime, te bi se ploče mogle prihvatiti jedino fleksijskom krutošću ploče u uzdužnom smjeru i torzijom, što se u ovoj teoriji zanemaruje. Zato ta teorija nije upotrebljiva za složenice kojima su krajnje ploče blago nagnute ili horizontalne.

42

Slika 47 – Proračunski model za poprečni smjer

Nakon pronalaska sila posmika proračunavaju se naprezanja u x = l/2 i dimenzioniraju se ploče u smjeru veće krutosti. Raspodjela momenata savijanja u poprečnom smjeru prikazana je na slici 47. Desna strana raspodjele momenata odgovara za nepopustljive bridove, što dolazi samo kod vrlo krutih ploča ili pri većem broju dijafragmi, odnosno poprečnih ukrućenja. Lijeva strana odgovara pretpostavkama tehničke teorije. Točno rješenje složenice po fleksijskoj teoriji pokazuje veliki utjecaj poprečnih momenata na stanje naprezanja u pločama. Kod ispruženih poprečnih presjeka i blaže nagnutih rubnih ploča prevladavaju negativni poprečni momenti savijanja. 2.6.2.3. Fleksijska teorija Fleksijskom teorijom proračuna složenica se uzima interakcija reznih sila u poprečnom i uzdužnom smjeru nabora, pa ona zato više odgovara stvarnosti, ali je rad znatno kompliciraniji i duži. Vlasov kao nepoznanice uzima poprečne momente srednje trake i pomake bridova, te postavlja sustav linearnih jednadžbi. Kada kutovi nagiba između ploča nisu isuviše mali, može se primjeniti iterativni postupak proračuna složenica. Kao prvi korak se uzima da su bridovi nepopustljivo oslonjeni, tako da ploče u poprečnom smjeru nose kao kontinuirane. Zatim se zamišljeni ležajevi uklanjaju, ležišne se sile obrnuto unose kao opterećenje, pa se odrede progibi ploča i pomaci bridova. Zbog toga se ploče jedna prema drugoj zakrenu, pa se na bridovima pojavljuju dopunski momenti. Za njih se odredi novo opterećenje na bridovima za koje se proračuna složenica, te izvrši korekcija momenata na bridovima. Za ubrzanje konvergencije preporučuje se da se počevši od drugog koraka rabe u iteraciji uvijek srednje vrijednosti momenata iz prethodnih koraka. Kontinuirane složenice se mogu približno riješiti po Tezlaffovu prijedlogu. Između dvije nul-točke momentnog dijagrama složenica se tretira kao da je na dva ležaja. Rješenje se upotrebljava i za ostale presjeke, proporcionalno momentu savijanja kontinuirane grede. Ovom metodom se pretpostavlja ležaj na mjestu nul-točke momentnog dijagrama (slika 45). Međutim, budući da na tom mjestu nema ležaja, presjek se deformira, zbog čega se poprečni momenti povećavaju približno 20%, a uzdužna se naprezanja neznatno mijenjaju. Ploče svoje opterećenje prenose u smjeru veće krutosti, na dijafragme posmičnim silama Si (slika 48). - tipovi dijafragma i njihovo opterećenje a) puni nosač b) okvir sa zategom

43

Slika 48 – Tipovi dijafragma i njihovo opterećenje: a) Puni nosač, b) Okvir sa zategom

Dijafragme mogu biti u obliku zidnog nosača, rešetkastog nosača i okvira sa zategom ili bez nje. Bolji su okviri sa zategom jer su krući, što je od značenja za složenicu. Jedan dio opterećenja se predaje dijafragmama fleksijskim putem, što izaziva momente savijanja u ploči. Zbog toga se ploče u blizini dijafragma armiraju u dva sloja radi preuzimanja momenata koji se proračunom po tehničkoj teoriji ne mogu obuhvatiti (slika 50). Na krajevima ploča (uz dijafragme), gdje su najveće poprečne sile, valja kontrolirati glavna kosa naprezanja, pa nastanu li prekoračenja nosivosti betona, potrebno je proračunati armaturu koja se postavlja u obliku mreže ili kosih spona, ili kosih šipaka i spona. U naboranim konstrukcijama se pojavljuju deformacije poprečnog presjeka, tj. pokazuje se težnja skupljanja u sredini. Ta je pojava to izrazitija što je krutost na savijanje manja (ispruženi presjeci) (slika 49).

Slika 49 – Shema deformiranja poprečnog presjeka

Zakrivljenost ploče je:

EaEaa

1 0u0u

⋅σΔ

=⋅σ−σ

=ε−ε

=ρ

, (86)

Progib ploče u sredini raspona bit će:

Ea10

lq

lf2

2

2

⋅⋅⋅σΔ

≈⋅π

= , (87)

44

Da bi se održao predviđeni oblik poprečnog presjeka, stavljaju se poprečna ukrućenja. Pri tome složenica nosi kao greda kojoj poprečni presjek ima oblik korita. Takvo je stanje kod srednjih valova viševalnih složenica, gdje su posmične sile na rubovima jednake nuli. Za ukrućivanje presjeka složenice pogodnije su vertikalne i strmo nagnute krajnje ploče od onih horizontalnih. Ploče se armiraju glavnom armaturom za preuzimanje vlačnih naprezanja uzduž raspona složenice i poprečnom armaturom dobivenom proračunom ploča oslonjenih na bridove. Okomito na poprečnu armaturu se polaže razdjelna armatura, pa se dobiva kruta mreža. U blizini brida i dijafragmi ploče se armiraju u dva reda radi preuzimanja negativnih momenata savijanja. Za maksimalne i minimalne profile i razmake žica vrijede isti propisi kao i za ploče.

Slika 50 – Armiranje složenice: a) Poprečni presjek, b) Uzdužni presjek u blizini dijafragme