iside.distance.ruiside.distance.ru/w/WorkingPrograms/65110.docx · Web viewКафедра математического анализа и теории функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математического анализа и теории функций

Панарина С.Н.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗУчебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов направления 09.03.03 «Прикладная информатика»,

профиль подготовки «Прикладная информатика в экономике»,заочная форма обучения

Тюменский государственный университет

2015

Панарина С.Н. Математический анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов 09.03.03 направления «Прикладная информатика», профиль подготовки «Прикладная информатика в экономике», заочная форма обучения. Тюмень, 2015, 37 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математический анализ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3 plus .utmn.ru ., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Заведующий кафедрой математического анализа и теории функций ТюмГУ, канд.физ.-мат.наук, доцент Хохлов А.Г.

© Тюменский государственный университет, 2015.

© Панарина С.Н. 2015.

1. Пояснительная записка:

1.1. Цели и задачи дисциплины.Цель курса "Математический анализ" - ознакомление с фундаментальными

методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления. Объектами изучения в данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в экономике, природе, технике. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический анализ" отражает важное направление развития современной математики, в ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений.

Задачи курса. Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим методам, выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования функций и вычисления связанных с ними величин.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в естественнонаучный

цикл; требования к входным знаниям и умениям студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать; данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Теория вероятностей и математическая статистика, теория систем и системный анализ, Физика, Исследование операций и методы оптимизации, Основы вычислительной математики, Математическое и имитационное моделирование.

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

Таблица 1.

№ п/п

Наименование обеспечиваемых (последующих)

дисциплин

Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

1 семестр 2 семестр

Чис

ловы

е ф

ункц

ии

Диф

ф.

Исч

илен

. Ф

унк.

одно

й

Диф

ф.и

счис

лен.

ф

унк.

мног

их

пере

ем.

Нео

пред

елен

ный

инте

грал

.

Опр

едел

енн

ый

инте

грал

Диф

фер

енци

альн

ые

урав

нени

я 1

пор.

Диф

.ур-

я 2

поря

ка

Чис

ловы

е ря

ды

Фун

кцио

нал

ьны

е ря

ды.

1. Теория вероятностей и математическая статистика.

+ + + + + + +

2. Дискретная математика

+ + + +

3. Физика + + + + + + + + +

4. Основы вычислительной математики

+ + + + + + + + +

5. Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных

+ + + + +

1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: ОПК-3, ПК-23.

ОПК-3 способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин и современные информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;

ПК-23 способность применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач.

1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия, определения и свойства объектов математического анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать задачи математического анализа, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

2. Структура и трудоемкость дисциплины.

Семестры 1 и 2. Форма промежуточной аттестации в обоих семестрах – контрольная работа, экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 академических часов, из них 42,3 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 245,7 часов, выделенных на самостоятельную работу.

Таблица 2.Вид учебной работы Всего

часовСеместры

1 2Контактная работа: 42,3 17,15 25,15Аудиторные занятия (всего) 36 14 22В том числе: - - -Лекции 12 6 6Практические занятия (ПЗ) 24 8 16Иные виды работ: 6,3 3,15 3,15Самостоятельная работа (всего): 245,7 126,85 118,85Общая трудоемкость зач. ед. час

8 4,5 3,5288 144 144

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)

Э Э

3. Тематический план.

I СЕМЕСТРТаблица 3.

1.№ Тема

Виды учебной работы и самостоятельная работа, в

час.

Из

них

в ин

тера

ктив

ной

фор

ме Итого часов по

теме

Лек

ции

Сем

инар

ские

(п

ракт

ичес

кие)

Сам

осто

ятел

ьная

раб

ота

1. Элементы теории множеств. Предел числовой последовательности

1 1 15 - 17

2. Предел и непрерывность функций одной переменной 1 1 15 - 17

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1 1 15 2 17

4. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций

1 2 25 2 28

5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1 1 25 - 27

6. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла

1 2 31,85 2 34,85

Всего (часов) 6 8 126,85 6 140,85

Иные виды работ - - 3,15 - 3,15

Итого *(часов, баллов) 6 8 130 - 144

Из них в интерактивной форме 2 4 - - 6

*с учетом иных видов работ

II СЕМЕСТРТаблица 4.

Тема

Виды учебной работы и самостоятельная работа, в

час.

Из

них

в ин

тера

ктив

ной

фор

ме

Итого часов по

теме

Лек

ции

Сем

инар

ские

(п

ракт

ичес

кие)

Сам

осто

ятел

ьная

ра

бота

1. Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного интеграла

2 2 30 - 34

2. Дифференциальные уравнения1 и 2 порядка

3 3 32 3 38

3. Числовые ряды 2 2 30 - 34

4. Функциональные ряды 1 1 26,85 3 28,85

Всего (часов) 6 16 118,85 6 140,8

Иные виды работ - - 3,15 - 3,15

Итого *(часов, баллов) 6 16 122 - 144

Из них в интерактивной форме 2 4 - - 6

4. Содержание дисциплины.

1 СЕМЕСТР

Тема 1. Элементы теории множеств. Предел числовой последовательности.

Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение, дополнение. Понятие действительного (вещественного) числа. Сравнение действительных чисел. Примеры множеств действительных чисел. Промежутки.

Последовательности. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности

сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы.

Тема 2. Предел и непрерывность функций одной переменной.Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций.

Обзор элементарных функций. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы.

Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл производной. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя для вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

Тема 4. Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.

Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных.

Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Евклидово n-мерное пространство. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум.

Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных, тригонометрических и других трансцендентных функций.

2 СЕМЕСТР

Тема 1. Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятия их порядка и решения. Задача Коши для уравнения первого порядка. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).

Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 3. Числовые ряды.

Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно сходящихся рядов.

Тема 4. Функциональные ряды.

Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве. Функциональные ряды, определение. Равномерная сходимость функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

5. Планы семинарских занятий.

1 СЕМЕСТР

Тема 1. Элементы теории множеств. Предел числовой последовательности.

Последовательности. Вычисление предела последовательности.

Тема 2. Предел и непрерывность функций одной переменной.Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций.

Обзор элементарных функций. Вычисление предела функции. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Дифференцирование элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.

Тема 4. Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций.

Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты. Полное исследование и построение графика функции.

Тема 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Вычисление частных производных. Дифференцирование сложной функции. Производная по направлению, градиент. Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных

Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл.

Основные методы вычисления неопределенных интегралов.

2 СЕМЕСТР

Тема 1. Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 3. Числовые ряды.

Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Тема 4. Функциональные ряды.

Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

5. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Не предусмотрены учебным планом ООП.

6. Примерная тематика курсовых работ Не предусмотрены учебным планом ООП.

9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.

Планирование самостоятельной работы студентов

I СЕМЕСТРТаблица 5.

№ Темы Виды СРС Объем часовобязательные дополнительные

1. Элементы теории множеств. Предел числовой последовательности

выполнение контрольной работы,

теста

ответы на вопросы для самопроверки 15

2. Предел и непрерывность функций одной переменной


теста

ответы на вопросы для самопроверки 15

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной


теста

ответы на вопросы для самопроверки, 15

4. Приложение дифференциального исчисления к исследованию свойств функций


теста

ответы на вопросы для самопроверки,

составление структурно-

логических схем темы

25

5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных


теста

ответы на вопросы для самопроверки, составление задач

или тестов для взаимопроверки

25

6. Первообразная и неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла


теста




31,85

Итого (часов) 126,85

II СЕМЕСТРТаблица 6.

№ Темы Виды СРС Объем часовобязательные дополнительные

1. Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного интеграла


теста


или тестов для взаимопроверки,



30

2. Дифференциальные уравнения1 и 2 порядка


теста


или тестов для взаимопроверки

32

3. Числовые ряды выполнение контрольной работы,

теста




30

4. Функциональные ряды выполнение контрольной работы,

теста

ответы на вопросы для самопроверки 26,85

Итого (часов)118,85

Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.

Задачи для самостоятельного решения.СЕМЕСТР 1

Неравенства. Область определения функций

1) Решить неравенства: а)

3 x−15x+6

<1 б)

x4−11 x3+10 x2

x+1≥0

2). Найти область определения функций:

а) y=5√3 x−1−6√5−x+ 3 x

√ x+2 б) y=lg x2−3 x+2

x+13)-7) Решить неравенства:

3) e2 x−4 ex≥12 4)

x2−3 x−10x3+2 x2+x

≤0

5) (e2 x−4−1 )( x2−4 x+4 )≤0 6) cos2 x−sin2 x<0,5 7) 25 x+4( x4+5 x2+6)≤0

Модуль вещественного числаРешить неравенства:

1) |x−1|≥2 2) |x|<x+1

3) |x2−5 x+6|>x2−5 x+6 4) x

2−|3 x+2|+ x≥0Преобразование графиков функций

Построить графики функций:1) а) y=|x−4|−5 , б), y=|4 x−3| в), y=−|5 x+2|,

2) а) y=cos 3

2x+2

, б) y=−2|sin(x−π

2 )|,

3) а) y=( 1

4 )x+3

, б) y=5|x|+2,

4) а) y=log1/2|x|, б) y=|log3 (4−3 x )|, в) y=−log2(3−2 x ),

5) а) y=−arcsin x+2

3 , б) y=2arctg (2 x−1) , в) y=−arcctg( 4−2|x|) , г) y=|4−arccos 3|x||

6) а) y= 8 x+1

2 x−6 б) y=|5 x−4

3−6 x| в)

y=9|x|+43|x|+2 г)

y=|8|x|−46|x|+2

|

7)

f ( x )={|cos x|−1 , x←π |sin x|, - π≤x≤π ( x−2 π )2−6 , x>π

,

8)

f ( x )={|-2x+1|−2 , x≤0|ln x|, 0<x<1

2x , x≥1

Предел последовательности

Неопределенность (∞∞ )

1) lim

n→∞

3 n2+6 n+210n2+3 n+4 2).

limn→∞

7 n3+5n10−3n+47 n6+3−4 n7

3) lim

n→∞

√n−3 n4+2n

√n11+3√n4−10 n4

Неопределенность (∞−∞

)

9). lim

n→∞(√n2+3+√3+2 n2+6 n )

10). lim

n→∞(√n6+3n+2−√n4+2n2+4 )

Предел функции

1) lim

x→+∞

2 x3−3x2+6 x+2(5 x−3 ) √ x3−4 2)

limx→−∞( x3

x2−3−х )

3) lim

x→−∞

3x

4 x+2

4) lim

x→−∞( x+√x2+x+1)

5). lim

x→−1

3 x2−14 x2+5 x+2 6).

limx→1

√x+8−3x−1

Неопределенность (1∞

)

1) limx→∞(1+ 3

x )4 x

2) limx→∞(1+ 6

x−2 )3 x

3) limx→∞( x+3

x−2 )x

4) lim

x→+∞( 2 x−43 x−5 )

4 x

5) lim

x→+∞( 4 x−64 x+2 )

2 x−3

6) lim

x→−∞( 8 x+23+9 x )

7 x−2

Замена бесконечно малых функций на эквивалентные

1). limx→0

sin2 3 xsin2 2 x 2).

limx→0

1−cos xx2

3). limx→0

x⋅ctgx

4). limx→0

sin x−sin 3 xsin 5 x+sin7 x 5)

limx→1/2

arctg(2 x−1)4 x2−1 6)

limx→0

3√1+x2−1√3 x2+1−1

Односторонние пределыНайти односторонние пределы:

1) lim

x→1−0

1x−1 2)

limx→0+0

e1x

3) lim

x→2−03

1x−2

4) lim

x→2+03

1x−2

Непрерывность функции

1) Построить график функции и исследовать на непрерывность:

f ( x )={ x−1 , x<0x2+1 , 0≤x<1

2x , x≥1

2) Исследовать на непрерывность y=arctg 1

x+1

3) Исследовать на непрерывность функцию f(x) в точках x0 ,x1

а). f ( x )=arctg 3

x+4, x0=−4 ; x1=−1

б). f ( x )= 1

2x−3−1, x0=2; x1=3

Основные правила дифференцирования

Общее задание: найти производные функций

1) y=x7+5 tgx−1

5x2+√x− 1

3√ x2+√7 x+ 1

x−x⋅4√ x+3− 9

x2+2 log2x−3 sin1 .

2) y=x3⋅log2 x 3) y=ln x

arccos x+e x

4) Дифференцирование сложной функции

а) y=sin2 x б) y= ln (arctg3 x ) в) y=3√arcsin √x

5) y=xsin x6*)

y=( x+1 )3⋅4√x−2

5√( x−3 )2

Производная функции, заданной параметрически

Общее задание: найти производные от функций, заданных параметрически:

1) 2) 3)

Производная функции, заданной неявно

Найти производную неявно заданной функции y= y (x ).

1) ( x+2 )2−3 sin xy=2tgy 2) 5 x2 y+6 xy3+3 x−2 y=6 arctg (xy 2 )

3) x3+ y3−3 axy=0 4) x

y= y x

Касательная к графику функции

1) Найти уравнение касательной к кривой в точке x0 :

а) y=ex, x0=0 , б) y=sin x ,

x0=π3 , в)

f ( x )= 8 a3

4 a4+x2, x0=2 a .

2) Найти уравнение касательной к линии y=−√x+2 в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

Повторное дифференцирование

1) Найти производную 4-го порядка y=x ln x .

2) Найти y' '

, если

x2

a2 −y2

b2 =1.

3) Найти y xx' '

, если { y=cos t ¿ ¿¿¿

.

Правило Лопиталя

1) limx→0

lnsin 3 xln x 2)

limx→0

x3

x−sin x 3) limx→0

x⋅ln x4)

limx→1 ( 1

ln x− 1

x−1 )5)

limx→0

(cos x )1

x

6) lim

x→+∞

ln xx 7)

limx→0

ln xctg2 x 8)

limx→+∞

x (e1

x−1 )

Асимптоты графика функции

Найти асимптоты графика функции:

1) f ( x )= x2+3

x2−9 2) f ( x )=xex3) y= ln x+5 x 4) y=x−arctgx

Исследование на монотонность и локальные экстремумы

Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции

1) f ( x )= 2 x+3

( x−1 )2 2) f ( x )= ln x

x 3) f ( x )=x−arctgx 4) f ( x )=e x2−4 x+5.

Нахождение глобальных экстремумов

Найти глобальные экстремумы функции на заданном отрезке:

1) y=xe− x2

, [ 0;1 ] . 2) y=x2−2 ln x , x∈[ 2,3 ]. 3) y=3√2( x+2)2 (1−x ) ,

[−3,4 ].Определение промежутков выпуклости и точек перегиба

Определить промежутки выпуклости и найти точки перегиба функции:

1) f ( x )= x3

4−x2. 2)

y= x3

6−x2

. 3) y=x5

3 . 4)y=e−x2

Полное исследование

Провести полное исследование функции и построить ее график:

1) y= x

x2+1 . 2) y=2 x2+ 1

x . 3) y= 2

e x( x+3 ) . 4) y=ln x

√x . 5) y=4√x−2+2 x .

Основные правила дифференцирования

Найти все частные производные первого порядка:

1) z=e2 x2+ y3

. 2) u= x+sin z

x2+2 y . 3) z=x3 e2 x2+ y3

. 4) f = u+v

u−v .

Дифференциал функции нескольких переменных

Найти дифференциал функции u= x

√ y2+2 z2.

Частные производные и дифференциалы высших порядков

1) Найти все частные производные 1-го, 2-го и 3-го порядка функции z=x3−x2 y− y3

2) Найти дифференциал второго порядка d2 z , если

z= xyx− y . Доказать, что

zx2' ' +2 z xy

' ' +zy2' ' = 2

x− yЛокальные экстремумы функций многих переменных

Найти локальные экстремумы функции двух переменных:

1) f ( x , y )=ex

2( x+ y2 ) 2) f ( x , y )=5 xy+2( x−3 y+1 )2

Условные экстремумы функции двух переменных

Найти условные экстремумы функции:

1) u=x2+ y2, если 2) f ( x , y )=e2 x+ y2

, если x+2 y=3

Табличные интегралы

1) ∫ dx

4 √x 2) ∫ dx

3√ x23) ∫ √1+ x2−√1−x2

√1−x4dx

4) ∫(cos x− 4

cos2 x )dx

5) ∫ 1−cos 2 x

sin xdx

6) ∫sin 2 x

5 cos xdx

7) ∫cos 2 x

sin2 xdx

8) ∫( 1

x2−25+

1√x2+5 )dx

9) ∫ tg 2 xdx

Подведение под знак дифференциала

1) ∫cos 2xdx 2) ∫ 45 x−1dx 3) ∫ e2−3 x dx 4) ∫ (3−2 x )6 dx

5) ∫5√1−2 x dx 6) ∫√6 x−5 dx 7)

∫ dx(5−4 x )3 8)

∫ dx7 x+6

Интегрирование выражений,содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе

1) ∫ dx

x2+2 x+5=1

2arctg x+1

2+C

2) ∫ dx

x2−6 x+5=1

4ln|x−5

x−1|+C

3) ∫ dx

3 x2−2 x+2= 1

√5arctg 3 x−1

√5+C

4) ∫ (6 x−7 )dx

3 x2−7 x+11= ln|3x2−7 x+11|+C

Интегрирование по частям

1) ∫ (2 х−3 ) cos xdx= (2 x−3 )sin x+2cos x+C 2) ∫ x2 e− x dx=−e− x( x2+2 x+2 )+C

3) ∫ arcsin xdx=x arcsin x+√1−x2+C 4) ∫ √x ln xdx=2

3 √x3(ln x−23 )+C

Интегрирование рациональных дробей

1)

2) ∫ x5−1

x3+x2+xdx= x3

3− x2

2+ln|x2+x+1

x|+C

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

1)

∫ dx4 sin x−3 cos x−5

= 1

tg x2−2

+C

2) ∫cos7 xdx=sin x− 3sin3 x

3+3sin5 x

5−sin7 x

7+C

3) ∫sin6 x dx 4) 5)

Интегрирование иррациональных функций

1) ∫

6√x1+ 3√ x

dx= 65

6√ x5−2√ x+6 6√x−6 arctg 6√ x+C2) ∫ dx

(1+ 3√ x )√x=6 6√ x−6arctg 6√x+C

3) ∫ xdx

√2 x+1+1=√(2 x+1 )3

6−2 x+1

4+C

4) ∫ x √3−x dx=2

5 √ (3−x )5−2√(3−x )3+C

Определенный интеграл

I. По формуле Ньютона-Лейбница:

1) ∫1

5x

1+x2 dx=12

ln 132)

∫12

1

√4 x−2dx=√23

3) ∫0

lg 2

2x 5x dx= 1ln10

II. C помощью замены:

5) ∫0

ln 2dz

ez+1= ln 4

3 6) ∫−1

1xdx

√5−4 x= 1

6 7) ∫1

16dx

x+4√x=4

3ln 9

2III. Интегрирование по частям:

11) ∫−1

0

xe− x dx=−112)

∫1

eln3 x

x2 dx= 6e−16e 13)

∫0

1

x2 3x dx= 3ln3

− 6ln2 3

+ 4ln3 3

СЕМЕСТР 2

Приложения определенного интеграла

1) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=4−x2 , y=x2.

2) Найти длину дуги кривой y=x3

2 , отсекаемой прямой x=5 . (l=335

27 )3) Найти объем тела вращения криволинейной трапеции 0≤ y≤sin x , 0≤x≤π вокруг оси абсцисс. 4) Найти площадь поверхности вращения графика функции y=sin x , 0≤x≤π вокруг оси абсцисс

Несобственные интегралы

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

1) ∫0

+∞

cos xdx2)

∫−∞

−1dxx2

3) ∫1

+∞ dxx 4)

∫3

+∞ dx7√x 4

5) ∫0

1dxx2

6) ∫0

1dx

√ x (1−x )

Уравнения с разделяющимися переменными

1) Найти общее решение дифференциального уравнения (1+ex ) y y '=ex.

2) Решить задачу Коши: y' sin x− y cos x=0 ,

y ( π2 )=1

.Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

3) x √1+ y2+ y y ' √1+x2=0 4) (1+ y )dx−(1−x )dy=0 5) y '= y

xНайти частное решение при заданных условиях (решить задачу Коши):

6) y ln ydx+ xdy=0 , yalignl |

|x=1=е

, 7) 2√ ydx−dy=0 , y (0)=1

Однородные уравнения

1) Найти общий интеграл уравнения

2) Найти частное решение уравнения , .Решить уравнения:

3) 4)

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

1) Найти общее решение уравнения y'+tgx⋅y=0

2) Решить задачу Коши y'+3 y=e2 x

, y (0 )=1 .Найти общее решение дифференциальных уравнений:

3) x2+x y '= y 4) x y '−4 y=x2 √ y 5) y

'+2 y=e−x

Решить задачу Коши:

6) y'−xy=− y3 e−x 2

, y (0 )=2 7)

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения.1) y

' '− y '−12 y=0 2) y' '−6 y '+9 y=0 3) y

' '−4 y'+12 y=0Решить задачу Коши:

4) y' '+4 y '+4 y=0 , y (0 )=1 , y

' ( 0 )=0Найти общее решение:6) y

' '+4 y '−3 y=0 7) 4 y ' '+9 y=0 8) y ' '+25 { y '=0 ¿

9) y' '−6 y '+9 y=0 10) y

' '−5 y '+ y=0 11) 9 y ' '+12 { y '+4 y=0¿

Неоднородные уравнения: метод неопределенных коэффициентов

Найти общее решение дифференциальных уравнений. В задачах, помеченных *) достаточно записать общий вид частного решения, не находя неопределенные коэффициенты.

1) 2 y ' '− y '− y=4 xe2 x2) y

' '−2 y '−8 y=−8cos2 x 3) y' '+4 y '−5 y=ex

4) y' '+6 y '+9 y=( x−2)e−3 x

5*) y' '−2 y=2 x (cos x−sin x )ex

6*) y' '+ y=2 x cos x+sin x 7) y

' '−2 y '+2 y=2 x

Неоднородные уравнения: метод вариации постоянных

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) y ' '− y '= e2 x

√1−e2 x; 2)

y ' '−2 y '+ y= e x

x ; 3) y ' '−6 y '+9 y= e3 x

x ;

4) y ' '+4 y= 1

cos2 x ; 5) y' '+ y+ctg2 x=0 ; 6) y

' '− y '=e2 x √1−e2 x;

7) Решить задачу Коши: y ' '− y '= 1

1+ex, y (0 )=1 , y ' (0)=2

;

Сумма ряда

1) Дан общий член ряда an=

n10n+1 . Написать первые четыре члена ряда.

Найти общий член ряда:

2)

12+ 3

4+ 5

8+ 7

16+. . ..

3)

12−3

4+5

8− 7

16+. .. .

4)

23+( 3

7 )2+( 4

11 )3+( 5

15 )4+. . ..

.Необходимое условие сходимости ряда

Проверить необходимое условие сходимости ряда:

1) ∑n=1

∞ n+22n−3 2)

∑n=1

∞arctg n2+1

n+3 3) ∑n=1

∞ n2+1(n+1 )3 4)

∑n=1

∞ 5n

n+1Знакопостоянные ряды

Исследовать ряды на сходимость:Признаки сравнения и эквивалентности

1) ∑n=1

∞ 3−cos n7√n10+2 2)

∑n=1

∞ 2−cos n√n 3)

∑n=1

∞arctg3 1

3√n 4)

∑n=1

∞(e1

n+1) ln(1− 1n3 +1 )

arctg√n⋅¿ sin 1n

¿

Признак Даламбера

6) ∑n=1

∞ nn

n !⋅2n7)

∑n=1

∞ (3n−2 ) !( (n+1 ) !)3 8)

∑n=1

∞ (n!)2

(2n )!;

9) ∑n=1

∞ n3

3n ;10)

∑n=1

∞ 2n

n2 .

Признак Коши

12) ∑n=1

∞

n(1−1n )

n2

13) ∑n=1

∞

( n+22n+1 )

3 n+1

14) ∑n=1

∞

(arcsin 1n )

n

Интегральный признак

18) ∑n=2

∞ 1(2 n−1 ) ln(2 n−1 )

Применение нескольких признаков

19) ∑n=1

∞ 4n

n ! (3√1+ 13n−1−1)

Знакопостоянные ряды: смешанные задачи

1) ∑n=1

∞ 2 n+33n−2

; 2)

∑n=1

∞ n2

3n+2 ; 3)

∑n=1

∞ 3n+12n−1

; 4)

∑n=1

∞ 13√n+2

; 5)

∑n=1

∞

(1−1n )

n2+1;

6) ∑n=1

∞ (3 n )!(n!)323 n

; 7)

∑n=1

∞ 2+ (−1 )n

n; 8)

∑n=1

∞ 12n

⋅(1+ 1n )

n2

; 9)

∑n=2

∞ 1n√ ln n

; 10)

∑n=1

∞ln n3+1

n3 ;

Знакопеременные ряды

Исследовать ряды на сходимость.

1) ∑n=1

∞ (−1 )n

(n+1 ) ln (n+1) ; 2) ∑n=1

∞(−1 )n+1 4−3 sin n

2n; 3)

∑n=1

∞(−1 )n cos 1

3√n ;

4) ∑n=1

∞(−1 )

n ( n+1 )2 sin 1

n√n ; 5) ∑n=1

∞(−1 )n−1 2 n−1

3 n+1 ; 6) ∑n=1

∞(−1 )n sin 1

3√n ;

Радиус и интервал сходимости

Найти радиус и интервал сходимости ряда

1) ∑n=0

∞(−1 )n⋅n⋅( x−2

2 )n

; 2) ∑n=1

∞

(− nx100 )

n

; 3) ∑n=0

∞ 2n

(n+1 ) !(x−1 )n

;

4) ∑n=0

∞ 2n xn

√n+1⋅3n; 5)

∑n=0

∞ ( x+2 )n

√5n( 4 n+1 ) ; 6) ∑n=0

∞ arctgn2 n2+3

( x−3 )n;

Разложение функций в степенные ряды

Разложить функцию в степенной ряд в окрестности точки x0=0:

1) f ( x )= 1

2 x+3 2) f ( x )= ln ( x2+10 x+25 ) ; 3) ;

4) Разложить функцию f ( x )=e x в степенной ряд в окрестности точки x0=2 .

Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек.

1) f ( x )=e− x2, x0 =0 ; 2) f ( x )=x3 cos x , x0=0 ;

3) f ( x )=x2−2 x+1−e(x−1 )3 , x0 =1 ; 4) Разложить функцию в ряд Маклорена:

9) f ( x )= 1

4−x2;

10) f ( x )=sin2 x ; 11) f ( x )=sin x2;

12) f ( x )=2x; 13) f ( x )= ln ( x2+10 x+21 ) ; 14)

f ( x )= 2 x+6x2+6 x+9 .

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Вычислить значение с точностью до :

1) 5√1,1 , =0,0001 2) ln 1 ,04 , =0,0001 3)

1√e , =0,00001

4) 3√1 ,06 , =0,0001 5) sin 9 ° , =0,0001 6) ln 1,1 , =0,0001

Вычислить интеграл с заданной точностью Е

1) ∫0

0,1 ln (1+x )x

dx = 0,001 2)

∫0

1

e−x2dx

= 0,001

3) ∫0

1

cos ( x2 )dx = 0,001 4)

∫0

0 , 25

√x e−√x

= 0,001

10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы

Выдержка из МАТРИЦЫсоответствия компетенции и составных частей ООП

Циклы, дисципл

ины (модули

) учебного плана

ОП

Индекс компете

нции

Б.1.- Б.3. Дисциплины (модули)Б.5

.Практики / НИР

1семестр

2семестр

3семестр

4семестр

5семестр

6 семестр

7 семестр

8 семестр

Алг

ебра

и м

атем

атич

еска

я ло

гика

*

Инф

орма

тика

и п

рогр

амми

рова

ние*

Дис

крет

ная

мате

мати

ка*

Инф

орма

тика

и п

рогр

амми

рова

ние*

Стр

укту

ры и

алг

орит

мы к

омпь

юте

рной

обр

абот

ки д

анны

х*

Физ

ика

Вы

числ

ител

ьны

е си

стем

ы ,

сети

и т

елек

омму

ника

ции*

Теор

ия в

ероя

тнос

тей

и ма

тема

тиче

ская

ста

тист

ика*

Мат

емат

ичес

кое

и им

итац

ионн

ое м

одел

иров

ание

*

Мат

емат

ичес

кое

и им

итац

ионн

ое м

одел

иров

ание

*

Мет

оды

и с

редс

тва

прин

ятия

реш

ений

Инт

елле

ктуа

льны

е ин

фор

маци

онны

е си

стем

ы

Мет

оды

и с

редс

тва

прин

ятия

реш

ений

Уче

бная

пра

ктик

а, в

том

чис

ле Н

ИР

ОПК-3 + + + + + + + + +

ПК-23 + + + + + + + + +

10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:

Таблица 7.

код Формулировка

компетенцииРезультат обучения

в целомРезультаты обучения по уровням освоения материала Виды

занятийОценочные

средстваминимальный базовый повышенныйспособность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин и современные информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

Знает: основные законы математического анализа, его связи с другими дисциплинами

основные законы математического анализа

основные связи и приложения математического анализа в дисциплинах математического содержания

основные связи и приложения математического анализа в дисциплинах естественнонаучного содержания

Лекции, практические занятия

контрольные работы, выполнение индивидуальных заданий, собеседования, тестирование

Умеет: использовать методы математического анализа и моделирования при проведении учебных и научных исследований

применять практические математические знания при моделировании профессиональной деятельности в учебном процессе

применять практические и теоретические естественнонаучные знания при моделировании профессиональной деятельности в учебном процессе, при проведении учебных исследований

применять практические и теоретические естественнонаучные знания в профессиональной деятельности, при проведении теоретического и экспериментального научного исследования



ОП

К -3 Владеет: аппаратом

математического анализа

основными методами математического анализа, используемыми в учебном процессе

аппаратом математического анализа при моделировании профессиональной деятельности в учебном процессе

на высоком уровне аппаратом математического анализа для решения разнообразных профессиональных задач, при проведении теоретического и экспериментального исследования



способность применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач.

Знает: основные законы и методы математического анализа в формализации решения прикладных задач

основные законы математического анализа

знает основные законы и методы математического анализа в формализации решения прикладных задач

отлично ориентируется в различных математических методах связанных с формализацией решений прикладных задач



Умеет: применять математические методы в формализации решения

с консультационной поддержкой использовать математические методы в формализации решения

применять основные математические методы в формализации решения

на профессиональном уровне применять математические методы в формализации решения



ПК

- 23

Владеет: математическим аппаратом формализации решения

начальными навыками применения математических методов в формализации решений

базовыми навыками самостоятельного применения математических методов в формализации решений

развитыми навыками самостоятельного применения математических методов в формализации решений



10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.

Содержание контрольных мероприятий 1 семестра

Контрольная работа по теме «Введение в анализ функций одного переменного и предел последовательности» 1) Найти область определения функции (2 функции).2) Решить неравенство с модулем.3) Найти пределы последовательностей (2 предела)

Примерный вариант:1) Найти область определения:

а) ; б)

2) Решить неравенство 3) Найти пределы последовательности

а) ; б) Контрольная работа по теме «Предел и асимптоты функций» 1-10). Найти пределы11) Найти асимптоты функции.

Примерный вариант:1-10. Найти пределы

1. limx→2

x2−5 x+6x2−12 x+20 2.

limx→−3

2 x2+11 x+153 x2+5 x−12

3. lim

x→+∞

5 x2−3x+13 x2+x−5 4.

limx→−∞

7 x+43 x3−5 x+1

5. lim

x→−∞

x5−2 x+42 x4+3 x2+1 6.

limx→3

x2+x−12√x−2−√4−x

7. lim

x→+∞( 4−2 x1−2 x )

x+1

8. lim

x→+∞( 2 x+35 x+7 )

x+1

9. 10. 11. Найти асимптоты функции

а) y=2 x2+3 x−5

x ( x−4 ) б)

Контрольная работа по теме «Предел функций»1-5) Найти пределы функций.

Примерный вариант:1-5) Найти пределы функций:

1) 2)

3) 4) 5) Контрольная работа по теме «Дифференцирование функций одного переменного» 1-5) Найти производные функций.

Примерный вариант:1-5) Найти производные функций:

1) 2)

3) 4)

5) Контрольная работа по теме «Полное исследование функций» Полное исследование и построение графика функции

Примерный вариант:Полное исследование и построение графика функции

Контрольная работа по теме «Приложение дифференциального исчисления функций одного переменного» (Контрольная работа)1) Предел функции.2) Асимптоты функции.3) Глобальные экстремумы функции4) Монотонность и локальные экстремумы функции.5) Выпуклость и точки перегиба функции.

Примерный вариант:

1) Вычислить предел .2) Найти асимптоты функции

.3) Определить глобальные экстремумы функции

при .4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции

.5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции

.

Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных» 1) Найти локальные экстремумы функции2) Найти условные экстремумы функции


1) Найти локальные экстремумы функции u=x3+ y3−6 xy .

2) Найти условные экстремумы функции u=exy 2

, если x2+2 y2=12, y>0 .

Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»1-5) Найти неопределенный интегралНеопределенные интегралы следующих типов (в варианте могут идти в различном порядке):- Интегралы, решаемые путем подведения под знак дифференциала- Интегрирование по частям- Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе- Интегрирование рациональный функций

Примерный вариант:1-5) Найти неопределенные интегралы

1. ; 2. 3.

4. ; 5. .

Контрольная работа по теме «Техника неопределенного интегрирования» 1-10) Найти неопределенный интеграл


1) 2) 3) ∫ x2 cos3 x dx

4) ∫ arcsin 3 x dx 5) ∫ dx

1−sin x 6) ∫sin3 xdx

cos x−3

7) ∫ (2x+1 )dx

( x−1 )2( x−2 ) 8) 9) ∫ x2√1−x2 dx

10) ∫ ( x+2)

√ x2+4 x+8dx

Содержание контрольных мероприятий 2 семестра

Контрольная работа по теме «Интегральное исчисление функций»1-3) Найти неопределенные интегралы4) Вычислить определенный интеграл5) Приложения определенных интегралов (площадь области, длина дуги, объем тела вращения, площадь поверхности вращения)

Примерный вариант:1-3) Найти неопределенные интегралы

1) ∫ dx

2 x2−2 x+1 ; 2) ∫2 x3 −¿ x7

√1−¿ x8 dx ¿¿; 3)

∫ x ¿arctg x2

dx.

4) Вычислить определенный интеграл

∫π12

π6 dx

sin23 x.

5) Найти длину дуги кривой y =¿ x 2−1 ¿, отсеченной осью абсцисс.

Контрольная работа по теме «Несобственные интегралы»1) Несобственный интеграл 1-го рода2) Несобственный интеграл 2-го рода

Примерный вариант:Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость

Контрольная работа по теме «Ряды» 1) Исследование на сходимость знакопостоянного ряда2) Исследование на сходимость знакопеременного ряда3) Определить радиус и интервал сходимости4) Разложить функцию в ряд


1) Исследовать на сходимость числовой ряд ∑n=1

∞ n12+nn3+3

tg 13n

.

2) Исследовать на сходимость числовой ряд

3) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда ∑n=0

∞(−1)n(n+2) (x+2 )n

(2 n√2 )n .

4) Разложить в степенной ряд функцию f ( x )=¿( x+2 )ln (3 x2+12 x+13) ¿ в

окрестности точки x0 =−2 .

Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения» 1-8) Дифференциальные уравнения


1. Решить задачу Коши , .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

3. Найти решение задачи Коши 4-5. Найти общее решение дифференциального уравнения

4. 5.

6-7. Решить задачу Коши при начальных условиях .

6. 7.

8. Записать вид общего решения дифференциального уравнения без вычисления

коэффициентов частного решения

9. Найти общее решение дифференциального уравнения

10. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Теоретические вопросы к экзамену

1 семестр

1. Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие переменной величины и функции (отображения).

2. Действительные функции одной действительной переменной. Область определения. Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные функции.

3. Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая иллюстрация.

4. Бесконечно малые функции, их свойства. Теорема о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел. Доказательство арифметических свойств пределов функций.

5. Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно большие функции.

6. Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй замечательный предел.

7. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Классификация точек разрыва.

8. Эквивалентные функции. Теорема о применении эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы, произведения, частного).

9. Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о непрерывности функции, имеющей производную.

10. Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай суммы, произведения, частного).

11. Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная параметрически заданной функции.

12. Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.

13. Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Дифференциал.14. Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала.

Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.15. Теорема Ролля (доказательство). 16. Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.17. Правило Лопиталя (доказательство).18. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Применение

формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.

19. Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами) условия экстремума.

20. Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости графика функции. Асимптоты.

21. Определение функций нескольких переменных. Понятие окрестности и области на плоскости.

22. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.

23. Частные производные. Геометрический и физический смысл.24. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое и

достаточное условие дифференцируемости функции.25. Производные и дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции.26. Неявные функции и их дифференцирование (теоремы существования, вывод формул).27. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.28. Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условия

существования. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.29. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл. 30. Условный экстремум.31. Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства 32. Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного трехчлена.33. Интегрирование по частям, возвратные интегралы (на примере), замена переменной. 34. Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших дробей.35. Интегрирование простейших дробей.36. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая

подстановка.37. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование дифференциального

бинома.

2 семестр

1. Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. Геометрический и механический смысл. Теорема существования определенного интеграла.

2. Свойства определённого интеграла (с доказательствами).3. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с

переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы интегрирования по частям и замены переменной для определённого интеграла.

4. Площадь криволинейной трапеции для функции. Объём тела с известной площадью поперечного сечения. Объем тела вращения для функции, заданной явно.

5. Длина дуги кривой для функции, заданной явно. Дифференциал длины дуги. Площадь поверхности вращения.

6. Дифференциальные уравнения: основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

7. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, (вид, решение в общем виде с обоснованием).

8. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (вид, решение в общем виде с обоснованием).

9. Дифференциальные уравнения первого порядка: линейные (вид, решение в общем виде с обоснованием).

10. Дифференциальные уравнения первого порядка: Бернулли (вид, решение в общем виде с обоснованием).

11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка (виды, решение в общем виде с обоснованием).

12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Понятие общего решения.

Определения линейной зависимости и независимости функций.13. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами. Случай действительных и комплексных различных корней характеристического уравнения.

14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай действительных кратных и комплексных кратных корней характеристического уравнения.

15. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура решения. Метод вариации постоянных (для уравнения второго порядка).

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (решение в общем виде и примеры для всех четырех видов правых частей).

17. Числовые ряды. Сходимость, частичная сумма и сумма ряда. Остаток ряда.18. Свойства сходящихся рядов.

19. Доказать необходимый признак сходимости и расходимость ряда . Исследовать

сходимость ряда .20. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Ряды-эталоны.21. Ряды с положительными членами. Признак Даламбера.22. Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.23. Ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши. Исследовать

сходимость ряда .24. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.25. Ряды с произвольными членами (по знаку). Достаточный признак сходимости.

Пример.26. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. 27. Функциональные ряды. Область сходимости. Пример.28. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.29. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ex, sin x, cos x в ряд Маклорена.

Указать область сходимости.30. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ln(1+x), arctg x в ряд Маклорена.

Указать область сходимости.

Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в экзаменационный билет (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения - в экзаменационном билете могут отличаться от приведенных ниже)

1 семестр1) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции

.2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; -1]

4) Найти асимптоты функции .

5) Найти предел функции

6) Найти локальные экстремумы функции .

7) Определить условные экстремумы функции , если

, , .

8) Составить уравнение касательной к функции в точке х= – 4.

9) Найти градиент функции в точке М(π/2;π) и производную в

точке М по направлению .

2 семестр

1) Вычислить определенный интеграл ∫1

e 1+ ln xx

dx.

2) Найти и изобразить геометрически радиус и интервал сходимости степенного ряда

∑n=0

∞(−1 )n ¿ tg 1

4n( x+¿1)n ¿

.

3) Решить задачу Коши y '−3 x2 y =2 x2, y(1)=2.

4) Найти общее решение дифференциального уравнения y ' '− y '−6 y =2 e4 x.

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , и х= –1.

6) Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость.

7) Исследовать на сходимость ряд

8) Исследовать на абсолютную сходимость ряд 9) Решить задачу Коши , .

10) Разложить функцию в ряд Маклорена.

10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.

Процедура оценивания студентов заочной формы обучения производится в форме устного или письменного ответа на вопросы по дисциплине или в виде компьютерного тестирования.

Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и пять практических задачи.

Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:5 баллов ставится в случае, если:- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,

указанной в билете.При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при

условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения.

4 балла ставится в случае, если- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное

изложение материала.- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы

студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.

3 балла ставится в случае, если:- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах

экзаменатора были частично исправлены;- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и

терминологии дисциплины;- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.2 балла ставится в случае, если:- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с

помощью наводящих вопросов экзаменатора;- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.1 балл ставится в случае, если:- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом

они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.В остальных случаях ставится 0 баллов.Критерии оценивания решения практической задачи:5 баллов ставится в случае, если решение содержит- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;- развернутые ответы и грамотные комментарии,- правильно используется терминология и математические символы.При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе

решения.4 балла ставится в случае, если - решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать

ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на дальнейшее решение;

- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому;

- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.

3 балла ставится в случае, если:- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы

и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует

постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.

2 балла ставится в случае, если:- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы

решения содержали существенные ошибки.1 балл ставится в случае, если:- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из

этапов выполнен верно;- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из

этапов не был выполнен правильно;В остальных случаях ставится 0 баллов.

Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку

Таблица 8.Баллы Экзамен

0-14 Неудовлетворительно15-25 Удовлетворительно26-31 Хорошо 32-35 Отлично

11. Образовательные технологии.При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с

методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.

Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.

При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.

Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.

В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения. Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.

1 СЕМЕСТРТаблица 9.

Тема

Количество часов

Форма проведенияЛекции

Семинарские (практические)

занятияПриложение дифференциального исчисления к исследованию

1 Проведение устного опроса в виде взаимопроверки студентов.

1 Составление студентами задач, сводимых к исследованию свойств

свойств функций. функций, с последующей защитой и оппонированием.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

2 Изучение темы и решение задач в малых группах.

Первообразная и неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла

2 Лекция с запрограммированными ошибками.

Итого 2 4

2 СЕМЕСТРТаблица 10.

Тема

Количество часов

Форма проведенияЛекции

Семинарские (практические)

занятияДифференциальные уравнения первого порядка.

2 Лекция, построенная в виде ответов на заранее подготовленные студентами вопросы. При этом целесообразно разделить слушателей на группы, а по окончании лекции провести взаимооценку групп.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

2 Предлагается группе студентов изучить (проработать) материал с последующим изложением аудитории

Функциональные ряды.

2 Составление студентами задач на нахождение суммы степенного ряда путем первоначального разложения функций в степенные ряды, с последующей защитой и оппонированием

Итого 2 4

12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).12.1 Основная литература:1. Математика : математический анализ и линейная алгебра : учеб. пособие для

студентов вузов / авт.-сост. А. П. Девятков [и др.]. - Тюмень : Изд-во ТюмГУ, 2011. - 468 с.

2. Шипачев, В.С. Высшая математика: базовый курс : учеб. пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп.. - Москва: Юрайт, 2011. - 447 с.

1.2 Дополнительная литература:1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: решение типичных и

трудных задач : учеб. пособие/ Г. Н. Берман. - 2-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2006. - 608 с.

2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учебник. - Москва: Юрайт, 2015. - 397 с.

3. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу : учеб. пособие/ Г. И. Запорожец. -5-е изд., стереотип.. -Санкт-Петербург: Лань, 2009 .-464 с.

4. Ильин, В. А.. Основы математического анализа : учеб. для студ. физ. спец. и спец. "Прикладная математика" : в 2 ч. / В. А. Ильин. - Москва : ФИЗМАТЛИТ. - (Курс высшей математики и математической физики ; Вып. 2).Ч. 2. - 5-е изд. - 2006. - 464 с.

5. Ильин, В. А. Математический анализ : учебник для студ. вузов, обуч. по спец. "Математика", "Прикладная математика" и "Информатика" : в 2 ч. / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов; ред. А. Н. Тихонов; МГУ им. М. В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. и доп. - Москва : Проспект : Изд-во МГУ. - (Классический университетский учебник). - Ч. 2. - 2006. - 368 с.

6. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. - 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. -Ч. 2. - 2005. - 464 с.

7. Фихтенгольц, Г. М.. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. - 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.

8. Шершнев, В.Г Математический анализ: сборник задач с решениями [Электронный ресурс]: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 164 с. Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=342088 (дата обращения 17.1.2014).

12.3 Интернет-ресурсы:1. Методические рекомендации по написанию реферата.

http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml2. Реферат (выбор темы, структура)

http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/3. Единое окно доступа к образовательным ресурсам

http://window.edu.ru/window/library4. Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru

13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).

ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.3. Microsoft PowerPoint.

В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):

доска и мел (или более современные аналоги), слайдопроекторы или мультимедийные проекторы, компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и

др.).

микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).

14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой. Используются интерактивные доски, компьютеры с доступом в интернет.

Documents

iside.distance.ruiside.distance.ru/w/WorkingPrograms/65110.docx · Web viewКафедра математического анализа и теории функций