Ist Mathematik ansteckend ? Mathematik und Epidemiologie

Ist Mathematik ansteckend ?

Mathematik und Epidemiologie

Thomas [email protected]

Kolloquium Mathematik und ihre Didaktik

29.10.2013 Campus Landau

Kollegen

Karunia PutraDoktorand UKO-LDM.Sc. ITB Bandung

Edy SoewonoMathematics Dept.ITB Indonesia

Dipo AldilaM.Sc. ITB Bandung

Th. Gotz, e.a. (UKO) Mathematik und Epidemiologie 29.10.2013 2 / 23

Ubersicht

1 Epidemiologie

2 Mathematische Modelle

3 Analyse der Modelle

4 Beispiel: Dengue–Fieber

5 Optimierung

6 Zusammenfassung


Epidemiologie

Wintersemester=Grippezeit

[Quelle: Robert–Koch–Institut,Arbeitsgemeinschaft Influenza]


Epidemiologie

Dengue–Fiber

Virus–Erkrankung in tropischen Gebieten

2010 erste Falle in Sudfrankreich

2012 > 1.000 Krankheitsfalle auf Madeira

ca. 100 Mio (WHO) bzw. 400 Mio (HD, Oxford) Falle / Jahr

ca. 500.000 Krankenhaus–Aufenthalte

ca. 25.000 Tote (davon ca. 90% Kinder)

keine ursachliche Therapie bekannt

Ubertragung durch Gelbfiebermucke (stegomyia aegypti) oderTigermucke (stegomyia albopicta)

weibliche Mucke ubertragt Viren von Mensch zu Mensch

Bekampfung der Larven oder erwachsenen Mucken moglich


Epidemiologie

Dengue–Fiber












Epidemiologie

Dengue–Fiber












Epidemiologie

Fragestellungen / Probleme

1 Modell zur Vorhersage der Krankheitsausbreitung

2 Kennzahlen, ob Krankheit epidemisch ist

3 Vorhersage der Wirkung von Abwehrmaßnahmen

4 Optimierung der Abwehrmaßnahmen


Mathematische Modelle

Was ist ein Modell?

Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole deraußeren Gegenstande, [. . . so] daß die denknotwendigenFolgen der Bilder stets wieder die Bilder seien von dennaturnotwendigen Folgen der abgebildeten Gegenstande.

[. . . ] Von zwei Bildern desselben Gegenstandes wirddasjenige das zweckmaßigere sein, welches mehr wesentlicheBeziehungen des Gegenstandes widerspiegelt als das andere[. . . ] welches neben den wesentlichen Zugen die geringereZahl uberflussiger oder leerer Beziehungen enthalt.

[Hertz 1894]

[. . . ]daß in jeder besonderen Naturlehre nur so vieleigentliche Wissenschaft angetroffen werden konne, alsdarin Mathematik anzutreffen ist.

[Kant 1786]



Was ist ein Modell?



[Hertz 1894]


[Kant 1786]



Was ist ein Modell?



[Hertz 1894]


[Kant 1786]



Modellierungszyklus

ObjectExperiment Model

Equations

Prediction

Modelling

Observation

Reduced Model

Real World Mathematics

Asymptotics

Paper & Pen

Math. Result

Optimize

Measuring

Validation

Prediction

Validation

Numerics



Allgemeines Populationsmodell

n Populationen X (t) ∈ Rn zum Zeitpunkt t > t0Anderung im Zeitintervall δt durch Zuwachs bzw. Weggang

X (t + δt) = X (t) + δt · (Zuwachs – Weggang)

Limit δt → 0, X ∈ C 1([t0,∞);Rn) Diffgleichung

d

dtX (t) = Zuwachs – Weggang , X (t0) = X0

Annahme: lineares Modell mit konstanten Raten α, µ > 0, d.h

Zuwachs = α × aktuelle Population X (t) λ := α− µLineare Differentialgleichung

d

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)







d




d

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)







d




d

dtX (t) = λX (t) X (t0) = X0 X (t) = X0e

λ(t−t0)



SIR–Modell, z.B. Grippe

Gesamtpopulation X besteht aus

Susceptible S

Infected I

Recovered R

Berucksichtigte Mechanismen

Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod

SIR–Modell X = (S , I ,R) ∈ R3, X = f (X , t)

d

dtS = αS − βSI − µ1S + δR

d

dtI = βSI − µ2I − γI N = S + I + R

d

dtR = γI − µ3R − δR





Susceptible S

Infected I

Recovered R


Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod


d


d


d






Susceptible S

Infected I

Recovered R


Ansteckung

Genesung

Immunitatsverlust

Geburt, Tod


d


d


d




SIR mit Impfung

zeitabhangige Impfrate u(t) ∈ L∞ der Susceptiblen

Kontrollgroße U extern beeinflußbar

Steuerung / Optimierung des Systems moglich

SIR–Modell X ∈ R3, U = u ∈ R, X = f (X ,U , t)

d

dtS = αS − βSI − µ1S + δR − u(t)S

d

dtI = βSI − µ2I − γI

d

dtR = γI − µ3R − δR + u(t)S



SIR mit Impfung

zeitabhangige Impfrate u(t) ∈ L∞ der Susceptiblen

Kontrollgroße U extern beeinflußbar

Steuerung / Optimierung des Systems moglich

SIR–Modell X ∈ R3, U = u ∈ R, X = f (X ,U , t)

d

dtS = αS − βSI − µ1S + δR − u(t)S

d

dtI = βSI − µ2I − γI

d

dtR = γI − µ3R − δR + u(t)S



Host–Vector–Modell, z.B. Dengue

Bilanz fur Host (Wirt=Mensch) und Vector (Ubertrager=Mucke)

Muckenpopulation M besteht aus

Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer

ggf. Phasenubergange

Host–Vector–Model X = (S , I ,R ,N ,V ) ∈ R5

d

dtS = α1S − β1SV − µ1S + δR

d

dtN = α2N − β2IN − µ4N

d

dtI = β1SV − µ2I − γI

d

dtV = β2IN − µ4V

d







Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer



d


d


d


d


d







Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer



d


d


d


d


d







Virusfrei N

Virustrager V

ggf. Eier, Larven

Mechanismen

Geburt, Tod,

Virustransfer



d


d


d


d


d



Analyse der Modelle

Fixpunkte ddtX = 0; Stabilitat

autonomes dynamisches System ddtX = f (X ,U), X (0) = X0

Fixpunkt X ∗ = stationarer Zustand, f (X ∗,U) = 0.

Fixpunkt X ∗ stabil, falls∀δ < δ0 ∃η > 0 : |X (t)− X ∗| < η ∀t > 0, |X0 − X ∗| < δ

Fixpunkt X ∗ asymptotisch stabil, falls∀δ < δ0 : lim

t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ

Satz: Fixpunkt X ∗ von ddtX = f (X ) ist

asympt. stabil, falls fur alle EWe λ von Df (X ∗) gilt: Reλ < 0

instabil, falls ein EW λ von Df (X ∗) mit Reλ > 0 existiert

Stabilitat des disease–free–equilibrium wichtig


Analyse der Modelle






t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ






Analyse der Modelle






t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ






Analyse der Modelle






t→∞|X (t)− X ∗| = 0 ∀ |X0 − X ∗| < δ






Analyse der Modelle

Next–Generation–Matrix

X = (X1, . . .Xm, Xm+1, . . .Xn) = (infiziert, gesund)

X ∗0 = (X ∗1 , . . . ,X∗m, 0, . . . , 0) Disease–Free–Equilibrium

Xj = Φj −Ψj fur InfizierteΦj : Zunahme wegen NeuinfektionΨj : Ab– bzw. Zunahme aus anderen Grunden

Jacobimatrix DΦ =∂Φi

∂xj(X ∗0 ) ∈ Rm×m , Ψ analog

Next–Generation–Matrix, Basisreproduktionszahl

Next–Generation–Matrix G = DΦ · DΨ−1

Basisreproduktionszahl R0 = ρ(G ) = max {|λ| : λ EW von G}R0 < 1 Krankheit stirbt aus

R0 > 1 Krankheit verbreitet sich


Analyse der Modelle

Next–Generation–Matrix

X = (X1, . . .Xm, Xm+1, . . .Xn) = (infiziert, gesund)

X ∗0 = (X ∗1 , . . . ,X∗m, 0, . . . , 0) Disease–Free–Equilibrium

Xj = Φj −Ψj fur InfizierteΦj : Zunahme wegen NeuinfektionΨj : Ab– bzw. Zunahme aus anderen Grunden

Jacobimatrix DΦ =∂Φi

∂xj(X ∗0 ) ∈ Rm×m , Ψ analog

Next–Generation–Matrix, Basisreproduktionszahl

Next–Generation–Matrix G = DΦ · DΨ−1

Basisreproduktionszahl R0 = ρ(G ) = max {|λ| : λ EW von G}R0 < 1 Krankheit stirbt aus

R0 > 1 Krankheit verbreitet sich


Beispiel: Dengue–Fieber

Dengue–Modell

X ∈ R11

9 Gruppe fur Menschen

alt, jungbehandelt, nicht behandeltgesund, krankgenesen

2 Gruppen fur Moskitos

virusfrei, virustrager

Kontrollvariablen U ∈ R4

Behandlungsraten θ(t)Drop–out Raten δ(t)

DGl–Modell

d

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0

ProblemFinde U : [0,T ]→ R4 so, daßAnzahl der Infizierten, d.h.

J(U) =

∫ T

0

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.



Dengue–Modell

X ∈ R11







DGl–Modell

d

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0


J(U) =

∫ T

0

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.



Dengue–Modell

X ∈ R11







DGl–Modell

d

dtX = f (X ,U , t) , X (0) = X0


J(U) =

∫ T

0

8∑i=5

ωiXi(t)2

minimiert wird.



Dengue–Modell II



Dengue–Model III

dx1

dt= A − αx1 − θ1(t)x1 −

bβx x1v2

Nx− µx x1 + (δ0 + δ1(t)) x2

dx2

dt= θ1(t)x1 − αx2 − µx x2 − (δ0 + δ1(t)) x2

dx3

dt= αx1 − θ2(t)x3 −

bβx x3v2

Nx− µx x3 + (δ0 + δ2(t)) x4

dx4

dt= αx2 + θ2(t)x3 − µx x4 − (δ0 + δ2(t)) x4

dx5

dt=

bβx x1v2

Nx− αx5 − γx5 − µx x5 − θ1(t)x5 + (δ0 + δ1(t)) x6

dx6

dt= θ1(t)x5 − αx6 − γx6 − µx x6 − (δ0 + δ1(t)) x6

dx7

dt=

bβx x3v2

Nx+ αx5 − γx7 − µx x7 − θ2(t)x7 + (δ0 + δ2(t))) x8

dx8

dt= θ2(t)x7 + αx6 − γx8 − µx x8 − (δ0 + δ2(t)) x8

dx9

dt= γ (x5 + x6 + x7 + x8) − µx x9

dv1

dt= B −

bβv (x5 + x7) v1

Nx− µv v1

dv2

dt=

bβv (x5 + x7) v1

Nx− µv v2


Optimierung

Optimierung

Problem

Zustands–System ddtX = f (X ,U , t), X (0) = X0 ∈ Rn. Finde

Kontrolle U : [0,T ]→ Rm so, daß Kostenfunktional

J(U) =1

2

∫ T

0

∑i

ωiXi(t)2 +∑j

Uj(t)2 dt −→ min .

Optimierung unter (Differentialgleichungs–) Nebenbedingung

Lagrange–Funktional L(X ,U , ξ) = J(X ,U) + 〈ξ , X − f 〉

mit 〈ξ , X − f 〉 =

∫ξ (X − f )

= X (T ) ξ(T )− X0 ξ(0)−∫

X ξ + f ξ


Optimierung

Optimierung

Problem

Zustands–System ddtX = f (X ,U , t), X (0) = X0 ∈ Rn. Finde

Kontrolle U : [0,T ]→ Rm so, daß Kostenfunktional

J(U) =1

2

∫ T

0

∑i

ωiXi(t)2 +∑j

Uj(t)2 dt −→ min .

Optimierung unter (Differentialgleichungs–) Nebenbedingung

Lagrange–Funktional L(X ,U , ξ) = J(X ,U) + 〈ξ , X − f 〉

mit 〈ξ , X − f 〉 =

∫ξ (X − f )

= X (T ) ξ(T )− X0 ξ(0)−∫

X ξ + f ξ


Optimierung

Optimalitatsbedingungen, KKT–System

KKT–System ∇L(X ,U , ξ)!

= 0

∂ξL = 0 Zustandssystem X = f (X ,U , t) , X (0) = X0

∂XL = 0 Adjungiertes System ξ = −ξ ∂X f + ∂XJ , ξ(T ) = 0

∂UL = 0 Gradientengleichung 0 = ∂UJ − ξ ∂U f

Gekoppeltes, nichtlineares System

Zustandssystem vorwarts in der Zeit

Adjungiertes System ruckwarts in der Zeit

Gradientengleichung = algebraisch

Iterativer Losungsansatz


Optimierung



= 0










Optimierung



= 0










Optimierung



= 0










Optimierung



= 0










Optimierung

Losungsverfahren mit Steepest Descent

1 Gegeben: Initial guess U (0) fur Kontrolle

2 Lose Zustandsgleichung fur X

3 Berechne Kostenfunktional J

4 Lose adjungiertes System fur ξ

5 Berechne Gradient ∂UJ

6 Lose 1d Minimierung naherungsweise

7 Update fur Kontrolle U

8 Falls nicht fertig, gehe zu (2)

U


Optimierung










U


Optimierung










U


Optimierung










U


Optimierung










U u Jδ


Optimierung










s

u JU δ


Optimierung










U


Optimierung










U


Optimierung

Resultate I: Anzahl Infizierte

0 50 100 15025

30

35

40

45

50

55

60

65

70

Day

Infe

cte

d C

om

pa

rtm

en

t

Total infected comp. before treatments

Total infected comp. with optimal control


Optimierung

Resultate II: Optimale Kontrolle

0 50 100 1500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Day

Tre

atm

en

t ra

te

θ1

θ2


Zusammenfassung

Zusammenfassung

Kontinuierliche Populationsmodelle

Gewohnliche Differentialgleichungen

Kontrollvariablen

Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen

Gradientenverfahren

Simulationen

? Raumlich–zeitliche Modelle PDEs

Danke!


Zusammenfassung

Zusammenfassung



Kontrollvariablen


Gradientenverfahren

Simulationen


Danke!


Zusammenfassung

Zusammenfassung



Kontrollvariablen


Gradientenverfahren

Simulationen


Danke!


Zusammenfassung

Zusammenfassung



Kontrollvariablen


Gradientenverfahren

Simulationen


Danke!


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