92

Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

������������ �������������� ������������� ������������� �!���#"$�%�&�%�� '� ()���!�*� +,�%�-�%./���0 1�������2��

�13���� �� 1�!�4���05

6'798;:�<>=?7�@1AB=CAEDGFIHJF

KCL#MONPMRQSMUTWVYX#Z%[IX1\]V^V;[_Na`cbed�NaTBfYN�gSX#[&h�bE[I`CTB[IT�ikj�bEQSZCTmlnNa`CTBfoXqpr 7EHJscFGt9DIFG7m@1AEu!FI79HJAEDI:�vw:�DIDG:W6'FGx�:!<cxCyJ:

zO{;|�|�}!~C�����#���w�a�����P������~�}!����~!���J�C}��c�#�����#���������o�o�P�P�����w������{ ����¡�{S¢Y£�¡�{�¢J�k�J{�Y��¡�¤S�o¢9{�¥e�P�o¦o{o��£0����§c��~!��¨a¨©�>�O���!�����_ª �I�k���«��}!����|e�a�����¬{­|!|������©��¨�����~��q�!�a�����n¡��>����®��U�����©��!�¯¦��>|e�c���E~!���¯|e�a�������!��°�°a±�°©²����a�P����®*³#����´>µcµcµ�|#�����P�P���_ª ¶o�>�����9{­£w·o�o{4�#���­���a�&£��C}!��~��P�c¸

Page 2: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� �&�%� �����*������ ��������������� ��������������������������������� ���"!�#"��$&%�������$����('����))"�� �����+*������+����,�#% �-���+!

. ��/0��$��� $��1��+�2#$�� ,��2� ����$�� . �*�� ����3���4#+$���)%���,��4$���% ����� ���4��%�%65 ��##$���� � ,7��*��������8�,���$�� ���9��%�% � . ��:;��$����*��=<"��>��� . ���?#$���)% ��,�� . ��:@��$����*�� ��%�� . �A��� #"�B��#;��$�)"��%����-�C�#+��$D��);��% ���-�+E

F � . � ������9#;��$G���,�#% ���-���('�9��%A,7������$�����% �H� �B��$��=#+��$ ���IEKJL�M#$���,7�B'� . � . � ���N�������#$���)+%���,O� . �P��$D���#"��$ ���H� #"��$�);��% ���-�=%�� ��Q��$���ECRL�S�����T� %�,7�N����$�� ��%��H'�U��$D�N� �D�N���V�+��%���� �W�X�-�8�-YZ�-� �������O���� ���������[�\����*Q�]����$�,O� �� . 5 ��$ . ���+�^*���$��W� . �O���$�_��������T#;��$,���_�% � �H����� . ���*�����$��`% �U� . ���a�Q�����+*�����% �IE^bc�+��% ��_���,��������a���%�%��H�������� . �G#+��$ ���a���P���-���+�-������$���$('�d#� �S������ ������% %I5 ��e��+��*�� ���� . ��%�����% ��$���!�#�$L�����-����+��� . ������#$���)% ��,���#;�� ���. ��% %65 � ������$D��*���������-���a�f����$�,O� ��L�����8����� �����8�6E

g �h������$D��,i)�4�H������4j� . �N�8�S���k$����8��"�-����$��1#;��$B,����+�����*�� . �V #"��*�� �l��% % ���$D�N������*������� . ���i#$���)+%���,O�O��%i)"��$ . �"!���$D����+�\�Dj�^#;��$H%I5 ��e��+��*�� ���� . ��%i����% ��$���!A�,[�%���� . � ,����+������+��% �m�Dj�A#�+$��A����� . �m�Qn��$���,��i� ������$���������##% � ���N�������+E

g �S<+��U���% % �a����$�*���#+��$ ����!o�Dj�Z�-��#$��7��%���$��7% ��,��-�N'� . ��%p,7�N����$�� ��%�����$���� �������"!qj��-��$����N��� . �d$���� . ��$��Z� �\e��+��%��Dj�Z,�� . �r% �r�#� $������V�-���^����d�����+_����+�G��_�_��p��:;$��������������%��-��+� . �>YZ����% �m#$���)% ��,��m�+���a%�� �����$��6E

s �����U� �S<+�+�i��"�U% ��n�D� . �o$��-/0��$����*��O)� )%�� ��_�$���<"�Dj�i#"��$��Dj+�q/0�����O��������$��Q���N���U� .�%�����$�� ��$��m��##$���/0��� . � ,��������6E

t ��$ . ���m#$���$���e���� �����q �% % �A��e��+��*�������L� . ��$�� �N�N���A#+��$�*�����% �I!S��%>��$��?��%L�-%������ ���O% � )$��. �udE�v���j��w v��Nxy!����)����[���� ����$����-�������� �+%�%��c#"��$����P%�� ��Q��$���'��e����%�% � . �+zc��{d���� . �-�����w z�� � xyE

t ��$Z% �G��e��+��*�� �������#;��$�);��% � �Dj�4�H#+��$D��);��% ���Dj��%�� �����$��c�r����]%�� �����$��c��m5 ��� ����,7�������$�� . �*�������`'� . ����� . ��%o|�$���� ���OJL��$�������*aw |AJ@xy!f��H���Qn���`��V#"�"5f �#;��$D�N���`���-���e��+��%��Dj�?� ,�#$��Q�-�� � ���+��!;,��`$�������� . �}� . ���i��_�_��� ��� ���7'�ie����% % � . �&~8,���% %���$iw ~8,Ox6E������$D�N�����N���r�N�� ���V�a#$���/0��� . �+!�,7�r#;��$7e���Qn���H��)+)+�� �����*�� . �>YZ����% ��!�'�Ue����% % �H� �^��$������%��,�� . ��R}�(�8%���$Gw R���xyE���������+�T#"������%��-�+������� ���c$������������c#� '�X #;�����><"���N�D��,���������-������$������m��% % �i������$�� �i� #"��$�);��% � ���7�-��,O�Ae����%�% � . �Lz��N/0��$�,���Aw z��NxL� . �q~S��$�$��7w ~8�-xyE

g �S<+��r��% ���������� ��� . ��)+���� . �c���+��% �� ���8�,���$������ . ��% % �4��e��+��*������� . ��:@��$����*�� ��%�� �����%��?~���$�� �8����$ . �iw ~���x����%+��� �Dj���,i����$}���G��$�������w ����xy!�����*Q�c��$�������$D��$��p� %#�����-��%������%��,�� . ��4��$������?�P�G�(����$��w �G�4x . � . �N���pj��#;������N���c#+��$��Q���Dj� �&<"_��$��p� . �����,�#�6E

bW% ������% %��A#� '�`�(�N���+*��N���A ��_��+��%��A����*�5 ��%>��$��A#;��$��+#$���)% ��,��"��#;��$�)"��%����-�"����7% � �����$��� . �������%��+,O� . �f��� . %����� �8�+�����(�8� ��$ �cw ���A��!8��� � x;��� %;%�� )$��?$��Q�-������� . �@|�$Q������$�w |�x� �Dj�i#�$��`'�[#������ . �}��$�$���$��m� . ��,����������������!f��%}����$D��������?#"��$D��);��% � ���+!+� %})"��%}% � )$��. �L����������� . �L�4��$ �����=w �4��x6E

Page 3: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

��� � �����

� �����������������������! "�$#%��&('�� )��E � �������$D��% �>�N'�� �% % ���Qe��+��*�������f��#;��$�);��% � �Dj�OEAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE *��E � g ����$�� . �*�������A���f,��-��� . �L��% %�� . ��:@��$����*���<+������ EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE +��E , ����������$�_����*��[�������+���n�����*Q�CE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE �����E - ~��D��)� % �>�N'�XEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE �!.��E/* Jq�O����� . ��*������� . �}�duoJ E�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE �!0��E . ~�����,��A���%�%������$�,7� . ��%m,7������,�����,�����������+� �rEAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE �21��E43 Jp5 ���+��% � �� . �m�����65����+,����� E�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE � �

��E/3SE�� �������L��% %I5 ���"��% � �� . �Lu���$�����$XE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE � ���E/3SE � Jp5 ���+��% �� � . �m�����75����,7���� EAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE � ,

��E + 8�$ . � �� . �L�����-�$D�N����*�*��i����Dj��,�� . �qJL�:9�;=<H��� . $���: EAE�EAE�EAEAE�EAE � .��E 0 �������L��% %I5 ��e��+��*�� ���� . ��% % �A��� . �KEAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE � 0

>? ���������������@�A�B�:�B ���#��%&!'C� D�)� E � g %m#+$���)%���,7� . �o�d���+�Dj8��Eyz�� $����Dj% �-�P#"��$�%I5 ��e��+��*�� ���� . ��%m����%���$��KEAE�EAEF,�*� E � �c��Z��Dj+��,7�[�Q #+%����-�����7#;��$�%65 �Qe��+��*������� . ��%L����% ��$�� E�EAE�EAE�EAEAE�EAEF,�.� E , �c�a,������ . �7� ,O#+%����-����� EAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEF,�+� E - g@G ;�,������ . �m��% ����Dj��,�� . �o��$������;=5����-��% �����E�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEH- 1� E/* t $�� �+�-� #� � . �f,7��� � ,��O�?�����8����$�_����*Q�ZE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEH- �� E . Jp5 �Qe��"��*�� ���+� . �m�-���8����*�� ���+�IE . �>:@�+������� EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEH-�-

DKJ��=L�L$�@MC�@&��$�CN!���(O������������P�C���Q#����C�=�B�:� R�S,E � bc% �����m�Q ��,O#+� . �m#$���)+%���,O�f�+���a%�� �����$�� . �m������% �*�� ����4E�EAE�EAEAE�EAET*�,E � �����Dj����,�� . �f������$���� . ��% %��A���% �*�� ���+� . ��);��% � EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAET*2,

,+E � E�� s �� �����+*��i%��S����%�� . �q ��%��*�������m�-%������ �Dj�����%L���� �O��#;��$�);��% � ��� ET*2,,+E � E � ~S��% �*�� ���� . ��);��% �m�A�-��� . ��*������� . �m������$���#��� E�EAE�EAE�EAEAE�EAET*U-,+E � E , g %f#+$���)%���,7� . �L��� ��,7���� EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAET*20,+E � E - s �� �����+*��i�A�����-���('� . ��% % �? ��%��*�������f������$���#� �Dj+� EAE�EAEAE�EAEF. 1,+E � E * t $���)% ��,��@#+��$D��);��% � ���f����a% ����Q��$��^E�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEF.+�

,E , ~S�Dj+��,��m���#% � ���>���m#;��$�% �A%���_�_�� . �q�-���" ��$��N��*�������VEAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEF.�,,+E ,+E�� z��-<"���*�������m#$�� �+�-� #+��% �[EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEF.2-,+E ,+E � s ��,�#� . �L��Dj��,��m�i��$��A#������ EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEF.=3

,E - bc�+��% � �� . ��%�%����-��������$�_����*�� E�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEV3:-,+E -"E�� ~�Dj��,��mR�W�z ��,O�����������@EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAEV3:-

,

Page 4: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

- ����������

,E -+E � u��$�,7�O� �+�-$���,������D��% �����8���������>�N'�[�8�,���$������4EAE�EAE�EAE�EAEAE�E 3:.,E -+E , JL������� . � *�� ���+� . �m������$���#+� � EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�E 3:0

,E/* ~S�Dj��,O�qR�W�z . ��%L����-��� . ����$ . � ��AE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�ET+ 1,E . g %L���� �O#+��$���)"��%����-�MEAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�EAE�EAE�EAEAE�ET+�*

Page 5: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� �����������

� ��� ��� ��� � � ��� ����� ��� ��� � �

����,O� �+����$���,��H� %����n��$��T����$D �=�-���+ � . ��$���� . �V��+� . ��%�% �G�-%���� ��#+� '�C� ,O#;��$���������� . ��Qe��"��*�� ���+� . ��:;��$����*�����% �I!U%��X��e��+��*�� ���� . �`����#;� � #"��$�);��% � ���+E 5c���U�����+�� . ��$���$���,��� �� *�����% ,O�������O��%o#�$��`,������ . �}��� #"�4�-���8���-����� ���Z% � �����$��O#"��$�#"���}� �+��%�� . ��$��i���� ����,O�� #"��$�);��% ���-�m�?% �?�Qe��"��*�� ���+�m�Z�-�8�-YZ�����������m�N��$�� ��)� %��6Edz���#;�Z�(����$�������$�� . ��� ���7�}�-���+�-��� ���/0��� . ��,������D��% �i% ��_��N���O��%�%�� . ��<+�� *�� ���� . ��_�% ����Dj��,O�O�8�,���$�� ���I!O�8������9#$��Q �������N�D���L5 ���+��% � �� . ���c�-���+�-��� ��� . �c�-��������$�_����*��+!p�-���+ �� �����+*��H�Gn�D��)� %����('�+!�� �C$���% ��*�� �������%$�� ��%��������A#� '�7��,�#;��$�����������#"��$p% �?n��� . � � . ��%�%65 ��##$���� � ,7��*������� . �+#$���)+%���,O�+%�� �����$��"�������YZ�-� �������P�-��n�D�������6!���%�Rq����$���,�� . �P��e��� �(��%����*�� . ��JL�U9�;S�����Dj���,[����$QE g %�����#�>����% ���������� ����M���<+��\�+�+� . ����-�+� � ���+� . ��%�%��B����� . � *�� ���+� . �Z�����$D����� Eyu+$�� � . $����Dj+ E Jm������ �du}J}�d�A��%���$��L��$�_���,O�������@%���_������m��% %��i ����)��% ���('� . ��%�% �A��##$�������,7��*�������6E

!#"$! %'&)(*&,+.-0/$132�4-�5768/9/:&;&,<=6*-?>,1:@#(81A1$BC&,+EDC@F/$1:GIH*&Jp5 �Q ��,O#+����)+���� . �S��e��+��*������� . �>:@��$����*�� ��%�� . ����� #;��� #;��$�)"��%����-�i'� . �N��� . ��%�%65 �Qe��+��*�������. ��%@��$D���#"��$ ���i% � �����$��KJ LNM�OQPRLNS0T

1 � ��E��(�. �N���P

'����+���-�� ����������!VUm$D��#+#$��Q ����������[����,O#;���IWU'�d% �c�(��$�����)+��% ���#+��*�� ��%���Eqz��N�D��%��/0��+*�� ����

LXTYL� W[Z\U �P� . ���� �������������� *�����% �?U T 1 !S�������i� ,�#"������ . ��% �7����� . � *�� ���+�L

� W[Z 1 � T]LN^ � W;�:Z � ��E � �#;��$���+�a�-��$ �D�7/0��*������� . �N�D�

L ^!@����_�% � ��,O� . �-����$�,O� �+��$��i��%o�N��% ��$�� . �

L#"��$c����,�#�

��+������� � �8�I!@����� �`#"��$_U�` 1 Ei����� ���r'�i�Dj����,7�����`�+�H#$���)+%���,��U���o�N��% ��$��q� �� *�����% �o�. �q�d���+�Dj8��Ep����,���'��������+!S%65 �������7���% �*�� ���� . �Le���Qn����#$���)% ��,7�U'� . �N��� . �L

� W[ZaU � TYLN^ � Wcb P U ��d � ��E ,��z���% % �?/0��$�,[�%�� � ��E ,���#;��� ����,�� . � . �$�$�����%��-��+�+/ ��� ���;� ,O#;��$����������6E g �+�+��*��>���S� ���[%��

���% �*�� ���+��������fe(��%���$����Dj�&��"�P��$D���% ��*�� ���� � ����$D�� . �� ��$D�� �P ` 1 �c����$D��P�� �� ��$D����Pcg

1 � . ��% . �N���O� ���*�� ��%����[����% �S�-�����P

!S�Dj����,7�N�D�[e��� � . �@����%��S���>�N'� . ��%�%65 ��� . �+E g �+��%���$��% ��_��H% �4$���� ���Xh T WCb P UO% �=���% �*�� ���+�H'���-��n�D�����������N��% �

Li^� h�� EX���+�� ����$���� ���

*

Page 6: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

. ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� ������� ����T�Dj����,7�N��������$D�N������$���n��� �Dj� . ��%�%65 �Qe��+��*��������E t ����� ��,��r$��>��$��N�N��$��a% �=���% �*�� ����. � $���� ����,��������i�S��� %�� *�*Q��� . �Z��%������+���-� ��� . �o����$���� ����$��� �������E�~8�L/ ������� �7� %o����,i)����,��������. �m�N��$�����)� %�� . � � W[Z\U �P� � h Z��+� . �-<+�+�>��� . �

h T W b P U3Z� T U3dJL����+�O���8����$���Z'� . �N��� . � W T h OQP � Z U T � dt ��� ����,��V��% %���$�� . �-<"���$��4��+�=�8��N�N�H/0��*������� �L � h Z��+�

T L� W[Z\U �i��$D��,������Ge���� ���

��$D�� /0��$�,7��*�� ���+��EA5���% % ���8��N���A�-�8��$ . � �+�N����%65 �Qe��+��*������� � ��E �Q� . � ���������

�L ! T#" U" �L M O$" W" �

L S T1 d

����� ���U'����+�����,�#% � �����Qe��+��*������� . ��:@��$����*�� ��%���� �%���Dj��j+���-��,����������O���% �*�� ����

�L � h Z��+�TYLi^

� h��

�Dj� . '�Z����N������,O�������[%��7/0��$�,i�%�� � ��E ,�� E�b��+��%���_���,O�������Z'�[#"������)+��% � . ��,��� ��$D��$��[�Dj�% �����% �*�� ���+� . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� L M O PRL S O & L*T ' � W ZaU � � ��E -��

�-���U%����-��� . ��*�����������+��*�� ��%�� � ��E � �c'� . �N�D� . ��% % �i/0��+*�� ����L

� W[Z\U � T]LN^ � W b P U ��(*),+M O.- M^ (*),+�/

M)1032�' � W b P � U b54Q�:Z64(��784Kd � ��E/*��

b��+�Dj+�Oe������q��� . ���Dj�[%��`���% �*�������`'�i���:9+����+*��N�D�`���% � . ���o�(��%���$�� . ��� . �����LN^

�;'%��+�_���%��i$��-����������$���� ����$�� �������#h T W b P � U7b<4(� E

~8�H������$��8�r�Dj� �+�����n�D������� %65 �Qe��+��*������� $�� �Dj� � . �k% � . �>:@��$����*�� ��)� %����('� . ��% % � ��%��+*�� ����

L!8%��c/0��$�,[�% � � ��E ,��&� � ��E *���j+�����O ���+ �i#"��$ . �N���;� ���*�� ��%��@,���%����i_������$D��% �IE

����� ���7#;��$�,��-����� . �q��$D�N������$��A���% �*�� ����L_����+��$D��% ��*�*��N���A�����������+��%�,�������� . ������������ �8���E����� ���p,O����� . �p��&#;��� ����a_����+��$D��% ��*�*���$��?/ ���-� %�,���������!})"���+�Djm'��� �Te��+��%p������U����T�-� ���O#� '�a�+���-�Q����$�����,�����������+�����% �*�� ���+���Q #+%����-�����+!��% %�����e��+��*�� ����m���,�� %�� ��Q��$��L M OQPRL S T ' � W ZaU3Z L �3d � ��E .��

t ��� ����,�����$D��� . �����,����"��$��d� %+������ . ���+�� ����,�� . �+�Qe��+��*�������S��#;��$�);��% � �Dj��� ����+��N��$�� ��)��% �A #"��*�����% ��EoJ&5 � �+�-��_�������>=l'�A� . �Q���i�+�a���-������$�� . � . � ,����+�� ����@?@EA �CBA���%�2�%�$�C� ED%GF�HJILKMILNPO�QSRUT�O�VWVXR�Y[Z]\LQ;R

= M O_^ = S Oa` = Tcb � W ZaU �3Z � ��E43��

T�ZedfO ^ Z ` I[ZeHgZhQ;R]Ni\LKkj�K ?_l ? O b mO5noH,RpYqnoH8r�KkZ]H,O_Rhd]R]VXZe\LK;KWHtsvu,w mO_T�O�NiNPZx Y[Z]\LN3O[Q;O[HENPO�y;K z:O�\�{qZ]V|KkjqZ}I�O~V�R;Q;R]Ni\LKkj6O ^�mO�T]KkR��*ZeHgReV|KXrqr�R*{[KWV�O}jqZ]H<R]noN3Z]d]R]VXZe\LK�\�OqR]V|Kk�

Page 7: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* X�* �� � ��� ����� ������������@� � ����� ��� ��� � � ��� � ������ ������� 3t ��� �Djm'��%���,7�N��$����-�

^'� . � ��_����"��% ��*�*���)+��% ��!S�Q ��n���A��+��,7�N��$����-�A�+���G����_���%���$���� �D��% �

�Dj� � ^ ��)� T��� � 1d$d$d1 u

�� T�� Z. �N���

�'����+��,7�N��$����-� . � ��_����"��% ���;�-����%���,�������� � Z$d$d9d$Z u �����A_�%��+���S���N�N��%���$�� . �

^�������_�����?�Dj+� ��,������"%�� dfO�VXZ j[KWN mR;jqR]\�ReN N3O[\LKMILNiKkj�� O . ��%@ �� ����,7�+E}bXe��+�� ���?#�+�����[)+��n�D���:;��� ���"��$���� %L����,[)+� ��,O������� . �m�N��$�� ��)� %���� T � = #;��$������������$��� M O�� � S O � ` � )� � T � b d5c��%+������

` T1 !���%+���n����,7������� '� . � ������-��##���N�����P/0��$�,7�N��� . �~?[�Qe��+��*������������%���$��

�Dj�� �@$�� ���% ������[����,���#+$�� ,7�[�-���`� %@,O����� . � . ��% % ������$D�N������$���n��� �Dj��E g %m������?_������$D��% �#$���������D��e��+��%��Dj� . �>YZ�-��%>�N'����##+%���,O��������$���!(,7������[��%>����$D��%��c�"�N���+$���_������$���%�� . ��% % ����% �*�� ���+�@�Dj+�? ��,O#+$��A��f#$���#+��_�����i%��+�_���% �?����$D�N������$���n��� �Dj+��E N ��� �A��� ED% ~S�L�-���+ � . ��$��@#;��$��Q ��,O#+����� %L �� ����,7� � l �L M O L S O

��� S T 1 Z� M O �L�S b ��� S T 1 Z

����� . �N���f���� *�����% � L� W[Z 1 � TYL ^ � W;�:Z � � W[Z 1 � T � ^ � W;�3Z

#;��$ . ��% %��G/0��*�� ���+� . �����LN^

� � ^ !��Dj�G#�}'�^��� ��$��G��-$���� ���\���% % �T/0��$�,�� � ��E43���#;��$= T �L Z � �d� ^ T�� � �

� b ��� d~8�}��� . �A/ ���-� %���,O�������[�Dj�i_�% �q���S���N�N��% ��$�� . �

^����+� . �N��� . � � T b ,�� ! T � �?%��

,7�N��$����-��� '� . �N�D� . � � T � � b �� � � d

t ��n���Oe��� � . ��� T �#" Z%$8�T � = T �

L b �&� Z � L#O � �-!+ �L��� �����������%q ��n����,7�" M b , " S T 1 Z$ M�O � $ S T 1 d����Qn���O���n����,7��j+�� ��%��+*�� ����"[� W[Z\U � T " ^ � W O , U � T �

LN^ b �&� ^ � � W O ,fU �3Z'$ � W[Z\U � T $ ^ � WEb � U � T � �Li^KO � ^ � � W b � U �3d

����� %�� *�*Q��� . ��%��i��$D�� /0��$�,���*�� ������ ������$D��S= T � )(� � ��� ���������,�����%L$��� �+%>�D�N���O<+�"��% �L� W[Z\U � T �) w �

Li^ b �&� ^ � � W O ,fU �7b � � �Li^IO � ^ � � W=b � U �yx� � W[Z\U � T �) w � �

LN^ b ��� ^ � � W O ,fU � O � �LN^IO � ^ � � W=b � U �yx d

~8�7������$��8�7�-��,��C%��1���% �*�������9����X�"�N���+$���%�,�������� . ���-��,�#"��n�D�B���%�%��3 ��,�,�� . ���L5 ��� . ���Dj���8� ��_�_����O��% % �O����%��S���>�N'� E ,O�A��+���Dj���8� ��_�_����O��% % �O����%��S���>�N'� � E

Page 8: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

+ ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� ����������m5 �%�����$�� ��$��h�� �����" � ���� . ��%�%�� ������$�� � '� . �N�D� . ��% %��h�Qe��+��*�������]�h ��n����,��

�l�-�8�-YZ�����������r�N��$�����)� %��6!r�����������+��% ,�������� �����K����$�,O� �� . �r ��$�_�������� . � #;��� . �������. ��% %65 � �+�-��_�������+E&~8�L�-���+�� . ��$��@#;��$��Q ��,�#����%65 �Qe��+��*�������A�����%���$��L M OQP

� W[Z\U � L S T 1 � ��E +��. �N���

P� W ZaU ��'�7��+�a/0��*�������7$���_���% ��$���E`~8�`����$D�Dj� ��,��U��^����,i)��� . ���N��$�� ��)��% �p�Dj�

�-��,O��#+$�� ,7�A�-�+$�� #"��$ ���+� . ��m5 ��e��+��*�� ���� . �>:@��$����*�� ��%�����$ . ���+��$����!N�A�8��n���?� �O,7�������$��_�����,��-��$������+!+�Dj����$�� .. $���*�*����O%��O����$D�N������$���n��� �Dj+��!S/ �����-����,��Z%�����$���n/0��$�,7��*������� � W ZaU �� � h Z��+� . �-<+�+�>��� . � � T U3Z% ������ ��� . �1#"��$^��$D� hB� � . �-����$�,����+�����+E t ��� ����,�� . �-<+�� $��9�+�+�3�8��N�N�W/0��+*�� �����L � h Z��+�

T L� W[Z\U �9��$D��,������ e���� ������$���n/0��$�,7��*��������E 5c��% %�� �8��N���1���8��$ . ���"�N���

%I5 ��e��+��*�� ���� � ��E +�� . � �������D�

�L ! T" U" �L M O " W" �

L S T1 Z

��� ,�#"���� ��,����Dj+� 7KW7*�TYP

� W Z��+�:dg �X#+$����������\��A#$��S�-� . �H���%A,�� . �9���_����������E ~8�A$��� ��%����r� %? ��n����,7� . �A��e��+��*�� ����. ��:;��$����*�����% �f��$ . � �+��$����

����� !T1 Z �L � h Z 1 � TYLi^ � h��:Z

�S� !TYP

� W[Z��+�3Z'W � 1 � T h d � ��E 0��

s � ��� . �CW � 1 � T hS!P��% ,�����=#;��$Z#+� ���-��% ���N��% ��$�� . ���f!P% �V$���%���*�������=W T W � h Z��+��'����8����$���� )��% �G#;��$U�C<"�������T��$���,O�����r��+�T/0�+�*�� ���� h T h � W Z��+�-E2Jq�^ ��%��+*�� ���� . ��%#$���)% ��,7� � ��E +������$N'�O��% %���$�� . �N�D� . ��% % �i/0��+*�� ����L

� W ZaU � T �L � h Z��+�T]L ^

� h � W ZaU �:ZaU �3d����� ����/0��+*�� ����l'� ���� ���������1% ��_��k%�� ���$���� h T � 49U3d�E t ��$C�r �� ����,��r��#$��8��� . ��$('��� �O,7�������$������+��% ��_���$�� �Dj� � . ��� . �A�Dj��%�� . ����_����+��% � *�*���)� %����('�� ��������/0��$�,���!������L5 ��##"��$ ����+�i����#"��%���_����!8$�� �#"��� ����� � W[Z\U � E

8�����$��8� ��,O�9� �S<+��^�Dj�=% �T� . ���^e���?�Q #;�� ���=����3��[��##% � ������ . � $���� ����,����������%O������]� � �-��i%��M����%��S�-���('�C#;�������� . � #;��� . ��$�� . ��% %65 � �+�-��_�������

L!?#;�����Djm'��![�-��,O�

��� . $���,��U� �V���_�������+!L%��Z����$D�N� ����$�� �����Dj�i#"��������a� ������$D �Q����$���o�O_������$���$��O ��%��+*�� ����. ������������ �8���!�Dj����Q�-�Q���>�D���� . �L��a��$D�N� �D��,��������i#+��$ ��� ����%���$���E

! "�� (F2 +.@��6*>,1:@F(*&;-01�� & 27@��1 -0/$/$&��1�C&)+.&)(*> &�� (81327&����,�� �+�-����,��A%������ ��$D� . � ��-�"������������+,��-��� . �"��%�% � . ��:;��$����*���<"��>��� . ��<+���� . �A��+�_�$���_�%���� . ��#����������%P#� ���� � W[Z\U � ECu}� �������P��9#+����� . � . ����-$��-��� *�*Q��*�������U�#+��*�� ��%��� W T�� �`����,�#;��$D��% � � U T ?f!�% �r_�$���_�%����G���$N'� . �N�D� . ����#+������P�� . ��% � . ��%P#������

Page 9: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* � ��� ����� �%��� ��� ���.����� ����� ������� � � ������� ��� � � � ��� ��� ���� 0� W��#ZaU��

T��� Z �@?�-!�#;��$��N��% ��$��c� ������$�����$�)+�>��$���$�� ����E t ��$`��+�^/0��*������� �

. ��<+������W��% % �W_�$���_�%����!?��-$�������$���,�� � ��� X#;��$H��%����]�N��% ��$��^��%[�+� . � � W��#Z\U�� !i�e���Qn�D�G�������*�������U���$N'�4�Qn������G�+�����$D��% ,��������a���+�Dj�a�4/0��+*�� ���� . �-<"��>�����N���+�+e���#;��$�� � . ������$����m�N��% ��$��f �+�m�� . �6E

J&5 � . ��� . �H)"���� . ���V,��-��� . �V��%�% � . ��:;��$����*�� <+������ '� e����% %�� . �T ��n���>���� $���!���%�%65 ��e��+��*������� . �1��#+#$������ ,���$���![� . ��_��+� . ��$�� �N�N�D�W���$���##"��$ ���B� �+�-$���,������D��% �<+�+�>���+E t ��$W�Q ��,�#���"!=#"��$B��+�l/0��*�� ���+� $���_���% ��$��

L%�� . ��$�� �N�N���l����,�#;��$D��% �" M L � W��#ZaU��d#�}'�7��� ��$�����##+$�������,7�����O ��� . ��% % � . ��:@��$����*Q�i� ���(�(������� � /0��$��P��$ . �

���M L

� U JT L ��

� Z � � O �Q��?+�7b L ��� Z��@?�? Z

�Dj� . ��%�%�� . ��:;��$����*�����% %65 � � . � �-��$�� � )"���D�8�d��$ . �� )M L

� U JT L ��

� Z �@?�7b L �� � Z � �=b9�Q��?�? Z�Dj��� �S<+�� . ��% % � . ��:;��$����*�����������$D�N�D� � �-������$���%��

�M L

� � U JT L ��

� Z � � O �(��?�7b L �� � Z � �=b9�Q��?�� ? d

bc�+��% ��_���,��������Z��p#+$��S�-� . �Z���%d������ . �d��+� . ��$����N�N�D�G�#+��*�� ��%���!q� . �����������+��%�,�����������+�Dj�����%����� � . ��#� '�?�N��$�����)� %��� #+��*�����% �IE g �A#+��$������-��% ��$���%�� . ��$�� �N�N������������ . �� #+��*�����% ����$N'�i�#;��� ����##+$�������,7����� . ��% % � . ��:@��$����*Q�O�������� . �i��������$D�N�D�

� S L� � W;� J T L �� � Z � � O �Q��?� b �

L��� Z��@?�

O L��� Z � �Xb9�Q��?+�� d

����Qn���m��Dj��,��L ���� . �N��� . �O��4 �� ����,7����% _���)$�� �������� u � T 1�Dj�A��_����������% %��7�#+��*���� . ��%�% ��/0��*������� . ��<+������?���f�� . � . ��%�%��O_�$���_�%����E

�c���� . � . � ����$���r��##$���� � ,7��*�� ���+��#"��$a% � . ��$����N�N���r������ �����_�����\�Dj����$D��,����������Dj��,��7�8�,���$����-� . ��:;��$��������6E t ��$T�����,�#� �3#"��$^%65 �Qe��"��*�� ���+� � ��E �Q�V���������� ��,��1����_���������m��Dj��,O�6E � ��� � � b � ��� ?

OQP � � � � � Fb � ��� � T1 � ��E � 1 �� ��� � � b � ��� ?

OQP � ��� b � � )� � � T1 � ��E ���(�� ��� � � b � ��� ?

OQP � � � � � #b � � )� � �� T

1 � ��E � � �� ��� � � b � ��� )�� ?OQP � � � � � b � � )� � �

� T1 � ��E � ,��� ��� � � b � � � � � � � O � � )� � �?

OQP � � � � � b � � )(� � �� T

1 � ��E � -8�

Page 10: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� 1 ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������g %L#$�� ,O�Z��Dj��,�� � ��E � 1 ��'�A���/0��$��P��$ . EI/0��$��P��$ . �Z�+#���� � . �����

PXg1 � % � . ��:;��$����*��

#$���� . ����V% � . � $���*�� ���� . ��%�% �4����$D�N������$���n��� �Dj+�Q� !p#"��$��Djm'�`� �M�D��% �4��##$�������,7��*�������G'��+��N���9%�� . ��:;��$����*��C� � �(�N�������?�� �C� �1����,O#;�B�Dj�T� � �#+��*����"E b��+��%���_���,O�������=%����Dj+��,7� � ��E ���(�p'����O/0��$��d��$ . E6)+���D�8�d��$ . �A�#8��� � . �-���

P ` 1 � � ��E � � �p'����O/0��$��d��$ . E�-������$���%IE JL�9��Dj��,�� � ��E��!,��4'�H�+�1��������$D��% Ey��������$D��%��H�8� ����=�Dj����,7�N��� ��%��Q��#S/0$���_ ��T

���%�����$�����S���Dj� ���i�r� % � ��E � -8� !��Dj�rj+�T��+�Mn��$��� ���+$��T% ��_�_���$�,�������� . �>:@��$���������!?'��Dj����,7�N���O��Dj��,7� . �LJq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+�E

����,��U��c'�`���� ���G� %�,�� . � . � . ��$�� �N��$��Z_�% ����Dj��,O�c'�Z�Qn��$���,���,��������`���,�#% ���-�Z�#"��$�,���� ����� ��#$�� �+����#� � . �m��##+$�������,7��$���e��"��%� ������@��e��+��*������� . �>:@��$����+*�����% ��!S���+�Dj+����-�8�-YZ�����������P�(��$�����)+��% �p�V����\%�� �����$���E\����� ���H����^�8���% . ��$��a�Dj+�Z���� ����_�%�����Dj��,���-��y' �7��� �����8�S������ ���� �_��"��% ,O�������W��Y7�����������`�B����% �S�-�6!`�W� � ��:;��� ���a����K'� . �-��������,�,����+�G�Dj�����S�����d��##$�������,�� ���% �4���% �*�� ���+� . ��%&#$���)+%���,�� � ��E �Q� E65���%p ��_��������-���S�����#"��$���,�� . �Z ����)� %�� $��Ce��� � . � . ���Z��$�������$��7�Dj�C����� ���$�� ��X% �1�-��������$�_����*��+!��� ���C%��C#$���#$������('� . �O��##$�������,7��$��=% �B ��%��*������� . ��%[#$���)% ��,7�C% ��,������9e��"��� . ��[#+����� . � . �����$������ *�*���*�� ����^�#+��*�����% �T�T����,O#;��$D��% �=����� . ����W������$���,[)�[�C*���$��+!A�e����� . �I!}��$��4_�%��d��Dj+��,��������8����$�_��������6!L�-��$��Dj+��$���,�� . �����% ��*������+��$��Ze����% % ���Dj� . �������m5 ��##+$�������,7��*�� �����#� '�4�����-�+$������O�-����� %f,������$��8�,���$�� . �m#������6E

���+��#$�� ,���������$��N��*�� ���+� . ��/ ��$��P$�� _��"��$ . ����_�% ���Dj+��,�� � ��E�� 1 � ; � ��E�� -���'�P�Dj+�����S� ���#"�������+����� ��$���$��>/0��$�,i�%��N�������#$�� ,���� . � � ��� � � �-��,��&��+������,i)���"��*�� ���+��%�� �����$�� . ����N��% ��$�� . � � ��%}%�� ����%�% � �T�"!"���%������� . ��%�% �U��Dj��,��Z%��Q��#S/0$���_"!;���+�Dj�[��%q% ������% %�� �8b]��Et ��$P�����,�#� ��%��Z��Dj��,�� � ��E�� 1 ��#�q'�7�Q����$���$������$���� ���O����,��� ��� � � T � �

O P � � ��� Fb P � � � � � �Z�(����� . �T#;�� ��� J T ?�� � E2���+�� ���^e��+�������>�N'� ! . �-�����9���+�Dj�H$���##;��$���� . �?�duoJ&!��##"��$���$N'�\�#"�Q���C���%i ��_�������9�T��%?���C�N��% ��$��T���$('� . �-����$�,����+�������=���% % �C ����)� %�� $��%��1#$���#$�� �-�('� . ��_�%��4��Dj��,��6E ��%��4��Dj��,��4�Dj� . ��#;��� . ���� . �����N��% ��$�����%�#+�������,�,�� . � ������,��������C#$��Q�-� . �������]�����3�Dj����,7�N���7��Dj��,��Z� . ��k#+��� �"!O��%>��$�� ,��������6!�-��,O�a���%������� . ��% %��=��Dj+��,7�r% ����#S/0$���_+!&���#+��$�%�� . ����Dj��,O� ��,[�%�����n����# �+E t ��$�_�%����Dj+��,���� . �+�M#+�����+!p��+�H����%����r<"�������V��% . �����=� ���*�� ��%��a� . ��+�V��+�r$D��_������������% ���##+$�������,7��*�� ����O �% %��U_�$�� _�% ��� . � . � ��-$��-����*�*���*�� ���� � #;��$[�����,�#� �a� %p�����N��% ��$��O����� . ��� !;% �Z���% �*�������?��##+$�������,7�����O�8������[�-��n��$��+�>�D��/ ������% ,��������?#;��$�$����-��$�$����+*��E t ��$_�% �L��Dj��,��f,[�+%>��� ����#G�S?U#+�����6!E?=`1��!S)�� ��_��+�O� ����������#+$��Q���$�� ����$�����+��#$��S�-� . �$D�. �d���� *�����% � *�*���*�� ����`#"��$�������_��+��$��7%��G ��%��+*�� ����U����d%�� ����%�% ��?T�S������$�$��������IE t ��$?/ ��$��e���� ���U�+ �"��% ,O�������i��o�S��� % ��*�*��Z�+�r,��-��� . �a� . ��r#"��� �Z#;��$��o#$���,��v?4#+�����}�[#;��� �m��������� �8�+���-���U� %m,��-��� . �7#$���#"��n���+E N!��� �A��� gD > t $�� ,�� . �\#$��S�-� . ��$�� �-��� %I5 ���"��% � �� . ��_�% �M��Dj��,��9� . ��:;��$����*��<+�������!d���+��% ��*�*�����,��=��%��-����$��� �%����������8�,���$����-�P���������8�S�����S����% ��*�*���� . �=%��T��Dj��,7� . �JL�U9�;Su$���� . $�� �Dj+�E�~8�m�-���+ � . ��$��f%65 �Qe��+��*�������L M O L S T

1�-���U� % . ���������+��*�� ��%�� Li^�T�� � b�� W�� Z #"��$�� W��1� Z

1 Z #"��$�� W� `1� Z% �V�-�+�P���% �*�������r'�U���������8�S�D�H���,�#% ���-��,��������U#;���+��� . �

L� W[Z\U � T LN^ � W b U � !p�������

��$D���% ��� . �4����$D � . �Qn��$��r�G����%��S���>�N'�T�Z� % . �����H���� *�����% ��E t ��$i����%��-��% ��$��7%��G���% �*�� ����

Page 11: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �: ��� ���� � � � � �,� � ��� � � � � �� ���,� ���

����d����%�� ,��>����$���,��H��%������� 1 U � !&#;��$7�-��P� %� �#+#"��$ ��� . ��%�%��r���% �*�������a���$N'�����������������H���% �V���% %I5 � ������$��N��% %��AbA� W ,V�U)+��n����$N'�r� ,�#"��$�$��`% �4�-��� . � *�� �������%);��$ . �O���+%�% �A#"��$�% � � E&JL�i/0��$�,i�% �O$���%��N�����N�O��% %��7��Dj��,7� . �LJq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+c'�� ��� � � T �

� � � � � � � O � � )� � � b �� � � � � � � b � � )� � �3Z

�Q���-��� ���G���_�%����� ��$���,�� . �� ��$����`�� �� ��$�� . �N���Z� ,�#"��$�$���,�� � T 1 ErJL�r ��%��*�������Z��%����,�#"�cU T �Kd .�#;��$ T 1 d +7��##+��$��A� ��<+_��+$��a��E ��! . �N����%��Z���% �*�� ����A�Q���� �D�U'� . �N�D�. ��%�%���%�� �������������� �8�+�Eo~8�S��� ��$��N����% %���$������ ��n�D���*�� ��%���$��� #;�-����� . ��%�%��� ��%��*��������!��Dj+��8� �����#;��$N'�A ,i�+���N�D�����_�%��+�#� _���%��+�A�����+�� . ��%/0�����,O���� . ��%�%��A�-�� � . �-����� ��������-������('��8�,���$������ �+!p�Dj�a����$�$N'� . ����-�+� �=���%� ��_�������"EM�G���������+��� . �V<"���H� %��N��% ��$�� . � �. � ,����8���� . �C� %A�(��%���$�� . �

�!��=e��� � . � . � ?@!�% �9#$������ �������V,O� _�% � ��$D�^�=#"��������,��

�����+ ��������$��p�+�+����� �����*�����% �������8����$�_����*Q���8�,���$�� ���Eo~8��#;��$N'���+ ����,�� T � d .!��-��,��

u}� _��$D�U��E � J�JL�U9�;Su$���� . $�� �Dj+�! T 1 d +,��� ��$D�N�������%�%���<"_��$D�?��E � #"��$}� %�����,O#;��U T 1 d +!N��� . ����,��c�Dj�d%������% �*�� ���+�p�8�,���$�� �����c�-��,�#"��$ �D�=���],�� . �\�����,7��% �+!d����-� % % ��� . �T� �],O� . �\���+��������$���% %��N���=� ������$���^��%�%�����% �*�� ���+�[����N�����+E�����Qn���`/ ��� ���"!L�Dj�O����$�$N'�Z$���#+$��Q �U���#� ��_��N���U���=���_��+�>���+!f,��� ��$D�%65 � ,�#"��$ �D���*Q� . �m��+�7����$�$���� ���O��-��%���� . ��%m#+��$���,O����$�� E

!#"�� ��@#(��F&,+� &�(*> - &;G @#(*5 1:5[27&�(*> -����,O��_�� '�i��� ��$��N�N���+!�% �i#$���#$�� �-�('�i#$����"�-� #+��% � . �f������Dj��,7�`'��%��O��+�O�-��������$�_����*������$D �Z%��a ��%��*�������O����N� �D�U��%}����� . ��$�� . ����#+����� . � . � ��-$��-����*�*���*�� ����

��S?r����$���Z% �

*���$��+E 5c��%S ��_���������� ����� . ��$���,���% �����*������� . �8��Dj��,����-��������$�_��������p� . ��#;��$D�N����$���#� '�

Page 12: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� � ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������

u}��_��$D�U��E � J�JL�:9�;Su$���� . $����Dj+�! T �Kd ._������$D��% �I!(,7��#;��$}��$D������_�% ����,���% ��,�������$D�-�8���% ����% % �p��e��+��*�� ����������%���$�� . ��%8#$�� ,�5 ��$ . ������#;��$�);��% � �Dj��E

A �CBA���%�2�%�$�C� ED > F�HgZ.I�j �:O�QSR R]VWVXO.T]K ��O[\�O�H8r O���H KWN3OaR*T noH.z RfIqI�ZtT�ReNPZtT�R noHZ6z O[\6R]N3Z]\�O T]KMI�j[\6O[N3Z ��� � u � T 1 mO jqZeH d]O[\ �CO�H N3O z:O�\pV�� O��[n R r[KkZeHgO T]K ��O�\�O�H8r�KkR]VXO x�� � � yI�Oz O[\��n R]V ILKkRfILK�I�Z]V n*r[KkZeHgO L T�O�VWV�� O���n R�r�KkZ]H,O�jqZeH VXR}jqZeHgT]KXr�KkZeHgO KWH KXr�KkR]VXO x�� ���yfw�T�R]N3RVXR I�Z]V|n*r�KkZ]H,O � ��� T�O�VWVXZ I�j �:O�QSR5ReVWVXOJT]K ��O�\�O�H8r O�� H KWN3OLw NPReVXOJj �:O � ��� ^ j6ZeH d]O[\i�*OJRLi^�[n ReHgT�Z � jqZ]H d]O�\ �*O�R W w�R]VWVXZe\�R � ��� jqZ]HEdfO�\ �CO R L � W[Z\U � I�O ��

� Z �@?� NPO�HgT*O R� W ZaU � ReV@N3O[H,T�O�\�O�T]K � O ? R� ��

t ��$�_�% �+��Dj��,��,i�%�����n����#�% � . �-<+�� *�� ���+�� ��Qn����� . �� ���*�� . ��YZ�-��%��('�A�#;���-��<"����� . �% �O#$��S�-� . �$D� . �L���� *�����% � *�*���*�� �����E

t ��$]�-���S/0$���������$��W��"�����% �*�� ���+� . ����-$��-��� � �-��� ��+� . ��<+������2�N�8��+e���L

!. ��)+)� ��,��`� ����$�� . �+$�$�� . ��%�% �[��##"��$ �����i����#"��%���_�� ��E�~S� ���3��m5 ��������$��(��%�% �`$�����%��[�����%I5 � �+ � ��,�� . ���8�N��% ��$�� . ��% %I5 � � . ���-� �D��% �S�Dj�

�� ��E g �(��%���$�� . �8��+� . �����$������ *�*Q��*�� ���+�� T�� � ��� ��[��%f% ������% %��O����,�#"��$���%�� �H���$D���+�� . �-<+������ . �� J T�� � ��� NZ � �����Rd

���+���������*�� ����P���+��%���_������$('�c�S��� % ��*�*��N�D��#"��$&% ��$��� ��$���*������� . ��% % ��/0��*�������L

���S�� . �. ��% %��i_�$�� _�% ���E

t ��� ����,��[��%�% ��$D�[�����+�� . ��$D��$�� . ������ #� . �f���$�,7�+E t ��$�#$�� ,��O�-����[% �i���$�,7� . ��%,7��� � ,��+!�Dj��'� . �N�D� . �

� � � � � ��� � J T ,��U9� � � ��� � Z � �����Kd � ��E �!*��

Page 13: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �: ��� ���� � � � � �,� � ��� � � � � �� ���,� �!,����� %�� *�*Q��� . �V%��H ���Q���r�+��$�,��H#;��$��N��% �S����$��

L �(��$���,��H��m5 ��##$�������,7��*������� � . ��%)+������� . ��%�%��V���$�,7�H�" �+��%���� ��� � . ��% % �V/0��+*�� ����

L��� ZaU�� !��Dj��� �C_����+��$D��% �U����

����� �+�-� . ��$N'�O�-���a�����E���L5 ��%>��$����+��$�,��P%���$�_���,����������S����% � *�*������+!(�#;���-����% ,��������p���%��-�������� ��� . ����#$���)+%���,O�

% ���+����$��6!���$('�i% �O���$�,7� . �����$�������� � � � � � � � J T����

���� �� � ��� � ����� d � ��E � .��

Jq�a��-��%>�D� . ��% %������$�,7� . � ��-$��-�D� . ���S��� %�� *�*Q��$�������=,�� . �><;����� �T,O� . �4��� �����*�����% �%65 ���+��% �� � . ��_�% �"��Dj��,O�6!8 ���+��� . ��%+#������ . �"���� ���������-�+� ���+!�,��7'��� ,O#;��$������������Dj�� ������,�#$��A�-���" ��n����������E

~8��������$��8���Dj��e���� ���a���$�,��a����+�H ���N���a��-��%>����#"��$�����$D����$�� . ��,����������+��$��`%��. ����-�+� � ���+�O��%�%�� ����%�% �U��%���,���������$���E 5���%d�d��#+�>����% �6,+!L ��_����� . �a% �U#$D�N��� ���U����$�$��������. ��%�%65 ���+��%��� ���8�,���$�� ���! . �-<+�+��$���,���% ����##$���� � ,7��*�� ���+�N���+,O��$����Dj�&� �A���S� ����% �c�#+��*����"!#;��$��Q ��,O#+���Z������_��+��� . ��% ���N��% ��$��m�-��n�D�������f�+���m$��-�������+_���% � . ��%�%��O_�$���_�%����!S�A% �A���$�,����-��%>�������$D���+��O��%�% ��$D�i%������$�,����+��+��% � . ��_�%��q #+��*��m�����+�� . ��$D�N���6E5���%�%65 �����,�#� �X#$������ . �������C �O��� . ���N�1�Dj�\#;��$ T 1 d +B_�% ����Dj��,O� . �7Jq�:9�;

u+$�� � . $����Dj+G�9%��Q��#S/0$���_X��$D����X�-���8����$�_��������I!i,O������$��\% �1��Dj��,7� . �7JL�:9=E u$���� . $�� �Dj,��� ��$D�(�N����U���N����� ���i����,�#;��$�����,��������?#;��$ T �Kd .+E�zc� ,��� ��$D��$��c�Dj�c�+��i��Dj��,7�Z'������8����$�_��������i'�?�#"�Q��� . ��Y7����% �?#;��$���4#$���)% ��,7� . �q�+�N���$���_������$���%����?#+$��S�-� . ��� . �� �T,7���� ��$D� . � $���� ���+E t ��$?% �Z��e��+��*�� ����&% � �����$��p�r�-�8�-YZ�-� ���������-��n�D�������� ��#�q'�4#;��$N'�����$D�N� ����$���*�*���$���%��U�����8����$�_����*Q�i� �r,�� . ���-��,O#+%������`���� %�� *�*Q��� . � . ��% % �O����� . � *�� ���+� . �/ ���-� %�������$���<"���!8% � jqZeH:ILKMILNPO�H8r R �A% � ILN3R�{�KWV|KWN mR EA �CBC�C����������� gD D���� O�\L\�Z]\6O}T]KNi\�Z]H,j6ReN no\6R�� T]KnoH,Z>I�j �:O�QSR R]VWVXO%T]K ��O�\�O�H8r O ��HEKWNPOz O[\�V�� O��[n R r�KkZ]HgO x�� � � y ��� � u � T 1 mO�T*O � H KWN3Z�I[Z]ILN KWNin O[H,T�Z�HgO�VWVXZ�I�j �:O�QSR�ReVWVXR�I�Z]V n*r[KkZeHgOHEnoQSO�\LKkjqRSnoHgR;I[ZeV|n*r�KkZ]H,O O[I�R]NiNPR L T]K x � � � y%R*{�{qRfILN3R]Hor�R}\�OP�CZ]VXRe\�OLwZfIqILKkR

� � W[Z\U � T ����� u L � W[Z\U �3d � ��E �(3��

A �CBC�C����������� gD R F H,ZSI�j�� O[Q;RSILK TeKkj6OSjqZ]H ILKMIqN3O�H N3O jqZ]H V�� O��[n R r[KkZeHgO x�� � � y;I[O� � W[Z\U ��� 1 ��

� Zq?�� 1 Zz O[\ Z6��H K � W ZaU � HgO�V T�ZeQ KWHEKkZUTeKvKWH N3O[\6OLIqI�O��

t ��$a��%��-��+����Dj��,�� . �N�8$���,�,O� . ��$�� . ��%�% �r$��� ��$���*����������%�,�� . �M���B�����

�<?����� . ������`*���$��+EiJL�7 ��%��*������� . �N�8$������Z�Q����$�����))+��n�D���*Q�Z$���_���%���$��q���%& ���+�� . ��(����$�����)+)+�� �����*�� . ��$�� �(������#;��$��m�Q ��_��� $����L����%��-��%��6E

s ���,�� �����,��O� . �����i%��7�-���+ �� �����+*�� . ��_�%��m��Dj��,��m#+$���#"��n���

N ��� �A��� ED D J"� N &('C��� � ����� ���CMQ&2��� P g 1 D g �4e���� ���Z������O�� �L

���% �*�������. � � ��E �Q�-!��� ���

L M O PRL S T1 ���� � u � T � ��� � � b � ��� ?

O P � � � � � b � ��� � T1 d

Page 14: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� - ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������u+���-��� . �7%��U �8� %��#+#"� . �}R}�(�8%���$ . �

L���4��r��������$��+� . � ��

� Z �@?����� ���������,��`��%�% ��$D�!#"������ . �

L��� T L

��� Z��@?�3JL��� � � TYL ��� O ? LNM�O �

� ? LNM M�O�� � ?��(�3ZL� � � � T]L ��� O � LNS,O �

�� L�S9S,O�� �

��Q�:Z

%�� . ��$����N�������Q����� . �?����%��-��% ���������%+#�+�����[ ������� ��� Z��@?� Eoz��[e���� ���?�� . � . �+�����Dj�

� T � ��� u LXT]LiM OQPKL�S,O �� ? LNM M�O �

�P � L�S9S,O�� � ? � O�� �

� �:Z � ��E � +��

�Dj������� . �?�O*���$��7���

��?`����� . ����7�O*���$��+!S#;��$�����m% �7��Dj��,7�U'�������+���n����������E N!��� �A��� gD R J�� N!&('���� � M���J"������� �:���=M �:�%&!'CN*D t ��$�e��+�� ���7��Dj+��,7����))����,��

� ��� u L=T L ��� � � b � �L� � � � O L � )� � �?

O P L � � � � b L � )� � �� d

�c���� . � . �m�8��N���O_�% �m �8� %��+##� . �qRq�(�8% ��$P �m��� . �A�Dj�L� � � T]L ��� �� � L S O �

�� L S S � �

.��L S S S O��

�� �3d

8c� ���������,��7e����� . ��� �L� � � � O L � )(� � S�

TYL��� O �

�� L S S O�� �

� �3Z

� L� � � � b L � )(� � �

� T]L�S)O �.��LNS S S O��

�� �3d

~8�� �������+��� . �7e���Qn���A���#$��Q��� ����@���%�% �7��Dj��,7�i��� ���������,��� ��� u L T]LNM�OQPRLNS)O � ? LNM M b � ? )� � L�S SO �� P � � L�S9S S,O�� �� O ? )(� � O ? �:Z

�Dj��!(�Q����� . �L

��+�c ��%��*��������!������ . �p��*���$������

�?������ . ������P*���$��c�����~? )� � � 1 EW�� . ����,��]��$D�9�-��,��=%65 ��$�$���$�� . �A��$����+���N���$��9�-�A#;����� . ��$��V� � ��%��-��+�A�����,�#�

��% ��,������D��$��r��+� n����,7� . ��% %I5 ��$�$���$�� . �=��##$�������,7��*������� �8�,���$�� ��� �Dj�2n��� ��,O��-��,O,���� ����� . �"E t ��$��� . ��������Dj+��,7� . �������� ��,��U�-��� � ��� %I5 ��$�$���$�� . �}��$����"���N���$D���� � W Z\U � �}���� � . ��������+�A ��� ,7� . �+e���� ������$�$���$��d�� . �S�����������$��(��%�% ��<"�������7w 1 Z � ^ ��-��� � � ��� � ��EZ � ��E � 0�� � �@? � ^ EB~S� . ���+������e��+��� . �c�-���h(G%I5 ��$�$���$�� � b L ���% %I5 ��#+#$������ ,���*�� ������P#� '�#$����-�����,����������� � ( ��� T � ��� #b L ��� �d � ��E �U1 �

Page 15: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �: ��� ���� � � � � �,� � ��� � � � � �� ���,� �(*bc�+��% ��*�*�����,��c��$��c#"��$o�����,�#� �c% ����Dj��,7�c�#8����� . �-���

Pcg1 E g �+���$���� . ��%��ce��+�������>�N'�( ��� Z���%�% �7��Dj+��,7� � ��E � 1 �p��$��N������,��

( ��� � � T � �OQP ��( ��� b P ( � � � � b5? � ��� d � ��E � �(�

8�� ��$��8����,��4��% %���$��4�Dj+�` � bA� P 1 !}�d�-�8�-YZ����������� . ��� . ��`#+$�� ,��&����$�,�� ��P�

. �Qn��$��[ ����A����`���_��N��� �8�+�� ��,O,7����� . �����`��E g ����$�� . �+�-����,��?e��� � . �@% �?���$�,7� . ��%,7������,�� . ��% %I5 ��$�$���$��

� J T ,7�:9�� ( ��� � Z � � � �Kd

b1e���� ���O#������O�S����% ��*�*���� . ��% �i����`���_��N�����8���('� . ���m������YZ�-� ������� . � ( ��� 7� � � ��E �21 �� ���� ��� ���+��/ ���-� %�,��������

� � � � O ? �EZ � ��E ��� �

����� �+!8��� ��� . � �^ T

1 !� �@?�� � ^ �Ed � ��E � ,��

����� %�� *�*Q��� . ��%���n����,7� � ��E��!+��d��)+)� ��,��i#;��$N'�7�Dj�

� �� ?��M M O � P � � S S �KZ

. �N��� �M M

� �S9S

����� %�� ���$�,7� . ��% ,7������,�� #;��$ % � . ��$�� �N�N���L M M

�L S9S$��� #;�-����� �N��,���������E b�))����,�� e��+��� . �=�Dj+� %65 ��$�$���$�� ����� . �k� *���$��+!=�N�8����$��

%65 ��##$���� � ,7��*�������T�8�,���$�� ���W�-��������$�_���![��%i����� . ��$�� . �S? T � �W*���$��+![����� ���� ����������!"��?%��Z���% �*�� ����A% � ,O�����ij+�7% � . ��$�� �N�N���[ �Q�-��� . �

LNM M�LNS S

����/0��$�,���,��������% ��,�������������7���S� ���[� % . ��,����� �+E��c�Z$���_�� ���+��,��������A���"��% ��_��?��"��##% � ���[��%�% �[��Dj��,7� . �Jq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+p���N�8�8� ��,��������A��% % �O��Dj��,7�O�#8��� � . �-���

P ` 1 Eg �k#$D�N�������1%��3�-���" ��n�����*Q�1�]% �3�-���8����$�_����*��X ����3%���_������ . ��%7/ �N����� �Dj�C%��

#$�� ,�� . � ���Z�Dj�Z%��4 ��%��*������������N�����='�7��"�4 ��%��*�������Z��#+#$������ ,������ . ��% % �r��Dj+��,7��8�,���$����-�+!8,�������$���%��O�������� . � . ���-�A�Dj��%��� ��%��*������� . ��% %��7��Dj��,7�O�8�,���$�� ���U'����"����% �*�� ���+�O��##$���� � ,7�N��� . ��% %65 �Qe��"��*�� ���+��E�{������_��"�`#;��$N'�a ����$��7��� ���������&��%o/ ��� �����Dj+�%��A�-���+ �� �����+*�� . �A���%�������7� ,�#% � ���A�����������$�����,��������P% �A�����8����$�_����*Q�!��-��,��c �+��� . ����%�%65 �����,�#� ����+���-���������+E N ��� �A��� ED ) J"� N!&('���� ��� �$� � �B�:M���� �$� � �B�:M ����� N ��� �C�:� &2��� O$���:L$�gD ~8�$���#+$���� . �H% �T��Dj��,7� � ��E�� 1 �-!�#;��$N'�=���%c������

P]T��E t ��� ����,��V��% %���$��V���$�� ����$��a% �

��Dj��,7�O�-��,O� � ��� � � T � �O � � ��� Fb � � � � � �Z � ��E � -8�

�(����� . �O#;�� ���7�-��,O�A��%m ��%������ J T ? � � E�~S�m#$���� . ������,�� . �N���O� �� *�����% �Li^�T � � Z #"��$Ab9� QW 1 Z1 Z ��%���$��N����E

Jq�r���% �*�� ����L

���$('�r��% %���$�� . �N�D� . �H��+�=���,�#% � ���`��$��� %���*�������Z����$��� . �� ��$D�r�-�������% �8���>�N'�AU !A� . ��� #"��$������-��%���$��=�-�[���$D����+�M�N��% ��$��A#;����>�����8� . �0W #;��$r����

L T��E

bc�+��% ��_���,���������#;��$�% �Z��Dj��,7�i��%�% � . ��:;��$����*��A��m#$���� . ������,�� . �N���O� �� *�����% �� ��� ^ T � �KZ #;��$ b9� � 1 Z

1 Z ��%>��$��N����E

Page 16: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� . ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������z�� � ��E � -��q �8��� . �P�Dj�d% �� ��%��+*�� ��������+,O��$������ . � #"��� . �����% � . �����N��%���$�� . � ,7��_�_�����$�����_��+��%��m��%f�N��% ��$����+��%m#�+�����+!S#;��$c����m�(�8$���,��� ��� T 1#"��$O���S�������P�N��% ��$�� ` 1 Z���� 1 E t ��$Oe���Qn���+!&�Q����� . �r%65 ��##$���� � ,7��*�� ���+� � ��� � . ������������,O���������8�%�%��U#"��$?WQ` 1 ����V#�q'�a����� . ��$����

L�+��%�% ��,����������V��Q����= ���+ �

$���_�� ���������%���E

! "�� � 27-0D819/$132�4-b�))+� ��,O�l�8��n��� �Dj� %��l ��% �k�-��� . � *�� ���� . �H�-���+�� �����*��2���� '� �SYZ����������� ���_������$D��% �a�=_���$D������� $��U%��=�-���8����$�_����+*��E]Jq�V����� . ��*�������G �+##% ��,���������$�� . �V�������$�����Z�����+�� . ��$D��*��������'��%�� IqN3R�{�KWV|KWN mR E t ��$p����#��$���e���� ���[�-��� . ��*�������c�� . ������#;���+���$��c�Dj� �[% �U �+���-�Q��������?��#+#$������ ,��������?�-���8����$�_���� �G��+�Ue��+��%��Dj�A����#;��% ��_����!;��% %���$�� . �������� ��$�����% ,������% ��,��������������%�%���n�������i����#"��%���_����EA �CBA���%�2�%�$�C� ED ) F�HgZ I�j�� O[Q;R<R]VWVXOJTeK ��O[\6O[Hor�O � H KWN3OUR noHJz RfIqI�Z � ��� u � T 1 j�� OR6z*zg\�Z]I6ILKWQ;RSV�� O���n R�r�KkZ]H,O x�� � � y mO�ILNPR*{[KWVXO�HgO�VWVXR HgZ]\LQ;R � � � � ��� � � HgO�VWVXR�\�OP�eKkZeHgO � I[O z O�\Z���H K�� ` 1 OLILKMILN3O~noH,R>jqZfILNPReH N3O��tNPReVXO j �:O[w1z O[\ Z6��H K � ^ w

� � � � ��� � � �� � � � ^ � ��� � � Z � ��E � *��

z:O�\ 1 �@? � ����9�����+��������$���$���,��K���%C���_��+�>��� �_�%��9��Dj+��,��M� . �� #+�����h���#% � ���>���\#;��$

%I5 ��e��+��*�� ���� � ��E �Q�d�Dj��#"�������+� . �+�+e���A��� ��$��A��-$��>�����m����,��� � � T � � Z � ��E � .��. �N��� � '�������#;��$D�N����$���% �����$���$�����% % � . �>:@��$����*��A��� . ��#;��� . ������� . � � . ��%f��� #"�� ��� � � T � � � � �

T �u �� � ��� u � u � �d � ��E � 3��

g �-�8�-YZ����������� � ��� u #;����$������G� �^��:;��� ��� . � #"��� . ��$�� . � �%?=#;��$O#"������$[� �+�-% � . ��$�����l���_���>���3��%Z������3�3������YZ�-� �������7�N��$�����)� %��7�]% �C#"����� )��% �`����� . � *�� ���+�Z��%7);��$ . �+Es ���������+��%��d����$�,O� �� . �����$�_��������`#;����$������=���+�Dj+�U�Q����$��U� �+��%��+�������*Q� . ��YZ�-��%>�N'�r����������,[)� ��$D���+��i% �A#$���#$�� �-�('�i�������*�� ��%�� . ��%�% �7��Dj+��,7�E

t �����Djf'�\ ������,��X��$D�N� �D��� . �X� %Z���� �X%�� �����$���!a'�\/ ���-� %��9��� . ��$��C�Dj�M� �2_����+��$D��% �% �k�+�� ��$D� $�� �Dj+���Qn�D� . �rn�D��)� % �>�N'�k��e��� �(��%�� � . �+�+�l�-��� . � *�� ���� ���r�-�8��Y7�����������. ��% %65 ��#"��$�������$�� � . ��%f��� #;� � � � � �� � Z � ��E � +��#"��$ 1 �@? � !S�+���� . ����L5 ��##"��$ ����+�O���$�,7�i��#;��$D�N����$�����% ��E

zc� $���,��7���S<"��?�Dj�����7��Dj��,7�U'�A�-��������$�_��������c���%�%��O���$�,7�O#$��Q�����%����O �� � � b L � � � � ��� 1 Z � ��E � 0��

Page 17: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �: �� �E��� ��� ������ �:3����� T ?�� � <"���N�����>? � 1 ��#;��$ �@? ��U � � 1 Z � �-!m#;��$A��_��� . ���������+��*�� ��%��

LN^#;��$�����m� %m#$���)% ��,7� . �}�d���+�Dj8�Z#"��$ � ��E��(�c'��);���4#;�� �������%�%������$�,7�i#$��Q�����%����+E 5���%������[#$������������#;��$P% �O���$�,7� . ��%f,7������,��i���$��8��$D���+�� . �����f% ��,����������f��#"��$�% �i���$�,7�. �@����#;� � ���$��8��$D���+�� . �����m�+��% %��7 ���������#+��*�� �+E

b e��+�� ��� #+������K��))����,��l���S� ���T_�% �H��%���,��������=#;��$1���8��+��� ��$�����%=$�� ��%����N���/0��� . ��,������D��% ���Dj���N��% ��#� '�7_������$D��% ,��������P#;��$&���S� ���"_�%��"��Dj��,��+��% %�� . �>:@��$����+*��P<+�������Dj�A��##$���� � ,�����O#$���)% ��,�� . �m��� #"�7% ���+����$���E

� �=� �:��� � gD������ # � �=� �:��� � MC� �=������O���#��=�C�2� M�� J������� �%&('� � �$����� F H,ZI�j �:O�QSR5ReVWVXO TeK ��O[\6O[Hor�O ��HEKWNPOJjqZ]H ILKMIqN3O�H N3O z:O�\%noH z,\�Z�{�VXO�QSR<V KWHgOqR]\�O {6O�H z ZfILNPZ5TeKO�dfZeV|n*r�KkZ]H,O mO�jqZ]H d]O�\ �*O�H N3O~I[O�O~I[ZeVXZ>I[O mO�ILN3R�{�KWVXO �� �=���C� N!��#%#��QMC�#� ��N� �:���2�%�$�C�gD ���d%�� ,��>����$���,��r��/ ��$[��� . ��$��Z%��G��SYZ�-� ���*Q� . ��% % ������ . � *�� ���+�I!m#;��$[��+� . � ,O��n��$���*�� ����7����,�#% �-������&��� . �=w �c�T!q~���x6EU~S�&j+���Dj� . ��%�%��. ��<+�� *�� ���� . ����$�$���$�� . ����$����+���N���$��+! . �N���U�+��4��Dj��,7�U�+��% % �U/0��$�,7� � ��E � 3�� !L���_����Dj� � ��� � � b L ��� � � T ��

u���) � ���� u � � u � b L u � � b5? � d

~8��#;�������,�� � ��� ^ b L ��� ^ !+��))����,��7�Dj��#"��$�� � . �*�������

� � � b L � � T b�? �� �

^ � � � ) � db e���Qn���O#+������+! . ��% % � � ��E � +��d��fj+�

� � � b L � ��� � � ? � �� �

^ � � � � � ��� � � dJq�H�����8����$�_����*Q�G ��_��� . ��"e��+�����,�#% ���-��,�������� . ��% % � . �-<"���*������� . ���-���+�� �����*��+!��%�,����+�Z �?%��Z���% �*�� ���+��'�?��))"�� �����+*���$���_���% ��$���E t ��$ . �N���L#;�S�-�Z$���_���%���$��@��L#+�q'�7/ ��$��� . ��$��P�Dj�P ��_��� . ��%�%��c)+����+��#;����>���$D�� ���Q��� . ��%S#$���)% ��,7�+!���##+$�������,7��� . �c� . �N���� �� *�����% �f#"�S�-��$���_���%���$��@����� . ��% % ��/0��*�� ���+�m%�����-��E��

g %fRL����$���,7� . �f��e��� �(��%����*�� . �mJL�U9�;8�����Dj���,[����$Q!� ����)��% �����[#;��$�%��?#+$�� ,7�[����%���� . �t ������$dJL�U9O���%o� 0�*2,!�e��"��� . �i�(�����N�?���%���������� � 3�����+�I!@'���+�� . ���;,O� _�% � ��$��+�����,�#� . �������$���,7��,7�N����,7�N�����-�"E}�����Q����d���������A����$D�N� ����$���*�*���$�����7�-���"�-�-�������S����% ��!�,�� . �>YZ�-� % �����,��`%��r�����8����$�_����*Q�!}��� ���*�����% ,��������U%���_��N�D�G�G�+��*�� ���+� . �d����$D�N� ����$��7����#"��%���_����-�"!� . ��%���$��p�-$��>����$��p#� '�\���,�#% � ��� . �rn�D��)� %�� $��`�-��,O�`% �G ����)� %����('�4�`% �G�����+���n�����*Q�E g �#$D�N��� ����% �A�����+���n�����*Q�O'����Z$���e���� �����?��))+��n�D���*Q�c/ ���-� %�� . �A����$���<"����$���EqJq�An�D��)� % �>�N'�$�� �Dj+��� . �&��i#"� e(#+� '� . �8% �(����$��+!�,7���-��,O����� . $���,������O ��_�������?'�p#;��� � )� %�����#;��$D��$��p�-���,7���+��#;��%���*��������������*�� ��%�,�������� . �"��� #"�O��% _���)+$����-�"E g ���%>��$��ce���Qn�D�[����$D�N� ����$���*�*���*�� ����'��������� ,7��% ��E 8������`���� . � ���Z ��%>�D���������Dj��% �������+�� �����*��U��% �� ����)��% ���('�a��,�#% �������+�%��`�����8����$�_����*Q�!,7�a���+�Dj�O�Dj�[�+��a��Dj��,��Z���+ ����)� %��O�`����H�����+�� ���������[�+���G#�}'��Q����$��`�-���8����$�_���������E\����Qn���r#;��$�,��-� ��� . �������$�����$��Z�����������+��% �d����� . � . �������-���\��"����,�#% � ��������$���<"���O��#$�����$��6E

Page 18: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� + ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������t ��� ����,��V��$D�H�T�����+�� . ��$D��$��`%��T�-%���� � . ��_�% ����Dj��,��c�H��$��4#������6!P��� ��� . ��_�% �

��Dj+��,�� . ��% %��O/0��$�,�� � ��� � � T � � � � � � O � � ��� O � � � )� � iZ � ��E , 1 ��-��� � !��1� � �-��n�D������� . �r<"����$���E^b�))����,��V�����D�������=e���� ���V#$���,��r$��� �%�������� . �n�D��)� % �>�N'�i� � � E� �:� ����N!���2�%�$�C� ED����EKkR T�ReNPZ noHgZ_I�j�� O[Q;RcRhNi\�O}zgnoHEN K;T�O�VWVXRJY[Ze\LQSR x � �� Ly z O�\V�� O��[n R r�KkZ]HgO x�� � � ye� F HgR5jqZeHgT]KXr�KkZeHgO Iqn��hj�KkO[HENPO R �hj�� mO VXZ<I[j �:O�Q;R<\LKMILnoV|N K�ILN3R�{�KWVXO\LKMIiz:O�N N3Z}ReVWVXR}HgZ]\LQ;R x�� � ��� y mO j �:O dfReV �CR>VXRUT]KMILn���n R���V|KkR]Hor R

� � �O� � � O � � � X�Kd � ��E ,�Q�

A � � ��N �(� �2�����C�ED t ��$& ��,�#%����-���('�A��##;��$�$���,����Dj+��%I5 ��������$��(��%�% � . � . �-<+�� *�� ���+� . ��% %����Dj+��,7�� ���i���S������%��i$��-�����O$�����% ��!S������� �

T s Ecbc))����,�� . ��+e�����

� ��) �� � ��� � T ��

� ��) �� � � � � � � O � � ��� O � � � )(� � �

��

� ��) �� � � � � � � � � � O � � � � � ��� � O � � � � � � )(� � � O

� � � � � � � � � � � � � � � � ��� � O � � � � � � � � � ��� � � � � )� � � O � � � � � � � � � � � � � � � � � )(� � �

��� ��) ��� � � �

O � � � � � � �O � � � O � � � � � � �

O � � � O � � � � � � � � � � ��� � T

� � � �O � � � O � � � � ��

� �v) �� � ��� � Z

�(����� . �O�+������i��$D�O%I5 ��%���$��i%��O$���% ��*�� �������% ��,������D��$�� � W�� AW O � E�����Qn���i����$�,����+�% � . � ,��� ��$D��*��������E �

t ��$=��� ���-�$D��$��T%��X�����+�� �����*��X�-��� %I5 ��e��+��*�� ���� � ��E��(�r��))����,��W%��X���_���������#$���#;�����*��������E� �:� ����N!���2�%�$�C� ED���EKkR�KWVo\�Rqz�z Z]\LN3Z u� n���n R]VXO�R�noH,R�jqZfILNPReH N3O �vIqI�R]N3R ` 1 ����VWVXZe\�RnoHgZUI�j �:O�QSR RJNi\�O�z,noH NiK�T�O�VWVXR Y[Ze\LQSR x�� �� Ly mO%jqZeH:ILKMILNPO�H N3O}jqZ]H_V�� O��[n R r[KkZeHgO x�� � � yI�O O~I�Z]VXZ;I[O �

O � O � T � O � b � T P �A � � ��N �(� �2�����C�ED z���_�% �L �8� %��+##� . �LR}�(�8%���$���))����,��7��%m���% �����L

��� � � TYL ��� O ? L M O �� ? L M M O�� � ? � �3Z

L� � � T]L ��� �� � L S O �

�� L S S � �

.��L S S S O��

�� �3d

Page 19: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* ��8 a�@� ��� ������� ��� ��� ��� ����� �!0~8�f��� ��������?e����� . ��u wL��� � � b � �

L� � � � O � L ��� O � L � )� � �yxT �L)�� ��� ���u

L��� O L M O

� � b � � )� L S O � ? � L M M b ) � � O � �L S9S

�O��

� ? �:d� ��E , � �

����Qn���[����$�,����+��%�� . � ,O��n��$���*�� �����E �~8�i��� ��$��8�[�Dj�^ ������,��W� � �-:@�-�����O��,�#;������ . �W�+�+�]% ��,�������*�������^���%[,�� . � . �

�����8����$�_���$�� . ��%�% � . �����$������ *�*���*�� ����f�#+��*�� ��%��L������,�#;��$D��% �I!S$����Dj��� . ��� . �7�Dj� �� �O��"����� ����������E\z��=e��+�� ���H#$���#"�� � *�� ���+�U������ . �a�Dj��%��H��% ����� . ��_�%�����Dj��,��P% ����Q��$������$��7#�+�������Dj�Z����+�G�-���" ��n�����������-���=%65 �Qe��+��*������� � ��E��(��/0��$�,����+�+�a/ ��,�� _�% � �4� . ��#+��$���,��-��$��+E t ���+��� . �

�T�O� Z � ��E ,2,��

#;��� ����,��O$�����-$�������$������� ���}e���� ���L��Dj��,O�f�+��% % �i/0��$�,7���-���� .. �-����� � �8��������� �� ��� � � T � ��� b P � � � � � � � b � � )(� � �O �

� � � � � � � b ��� ��� O � � )� � �3d � ��E ,U-8�

g %o#+��$���,O����$�� � '�i% ��_��N���U���/ �N� ���p��% %��Z�8� ��-�� ���('�U�8�,���$�� ��� . ��%�% ����Dj��,7�!f� �Ve��+�������/0��$�,7��% ,���������% �Z��Dj��,7�`'�A�����+�� ���������A��% %I5 ��$ . � �� � !�����a%I5 ��e��+��*�� ������8� ��-����L M OQPKL S T �

� �� � b P � L S9S d � ��E ,�*��

g �a#+��$������-��% ��$�����)+)� ��,��O%��� ��_��������������)"��%�%�� . ���L���8�-YZ�-� �������6E

��Dj��,7� � � Z �EZ � � � �����8����$�_����*Q��#8��� � . �-���

Pcg1 � E P ! � � O P �-! 1 � E P bA� P 1

�#8��� � . �-���P ` 1 � 1 ! � � E P � ! P � P 1 P X�

/0��$��P��$ . Ey��������$D��% � )��� Z�� Z �� � 1 ,7���JL�U9�;Su$���� . $�� �Dj+ � �L)��� Z 1 Z � � �� � � � P � 1�

W�� . $���,��^���X ��_�������9�-��,��G% �H����� . ��*������� . �� ����)��% ���('�T��$��N�N�����G_�$���*�� �G��% % � � ��E ,�(��� ����a���Te���� ���4������a���+�Dj�O�����������$�� ��E 8�����$��8� ��,��Z���� ���(�8�����Dj�O��$D�U_�%��&��Dj��,O��Q���,O� �+�����+%��?�8���������>�N'�A,7��� � ,7�!����U$���_�� ,O� . �; ����)� %����('�+!8����?e����% % � . ��% % �[��Dj+��,7� . �Jq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+�!�,�������$���� %@/0��$��P��$ . Ey��������$D��%6!��Dj���-��,������ . $���,��[�+���r'��,7���f ����)��% ��!j+�O�8���������>�N'�[���_������ �(�O���%�%65 ��e��+��*����������e��� �N��% ��������E

!#"�� �Q- G @#( �1:>,1$@#(*&��1 �����t $�� ,7� . �`#+������$��C� . ������S����$��C#� '�k��� . ��� ����_�% ���3%��3n�D��)� %����('� . ���Z�N��$��Z��Dj+��,��I!�Q�����*�� ��%�,��������i_�$���*�� �O��%�%65 ���+��%��� � . �&����� 5c���,7���+�m!L#$����������� ��,O�a��+�4����� . ��*���������Q�-�Q����$�� ��#;��$P%��[�����8����$�_����*Q� . �;/ ���-� % ������$��><"���A���Dj�c#;��$�,��-� ����e��� � . �@��"�[����% �8������+��% � ���#$���% ��,�� �+��$���E3����� ���=�-��� . � *�� �����/0�]#+$���#"��n�D�H�+��%?�!0 � + . �T�?Ed�����$D�����Q!

Page 20: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�U1 ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������|�E/8iE(u$�� � . $�� �Dj"L� F ENJm�����A���%8% ��$���% �(����$��P/0��� . ��,���������%��d �+��,������ . �S��% %�� . ��:;��$����*��<+������Zw �duoJfxL� . '������������������i��_�_��f�-��,��A%����-��� . ��*������� . �}�duoJ&E s ���i���#$���,�����+��-��� . � *�� ����������������$���� . �S�-��������$�_����*��P���������$�,����� . ��% . ��,�� ���� . � . � #"��� . ���+*�� . ��% % � ��%��+*�� �����E

t $���� . ����,��k� . �����,�#� �k% �k���% �*�� ���� . ��%4#$���)% ��,7� � ��E �Q� ; � ��E � � E ����� ��� ��%��+*�� �����'���-��,�#%�������,O������� . �-����$�,�� �+�N�D��� �[��[#������ � W ZaU �q��#+��$ ����$�� . ��%��N��%���$�� . ��%. �N�������+��*�� ��%������%�#�+�����,W[b P U E}JL���-��� . � *�� ���� . �8�duoJZ ����)+��% � ��-�&�Dj+��#"��$L������Dj��,���-��������$�_�����������% . ��,�� �� � . � . � #"��� . ���+*�� . ��% %��\��Dj��,��^���+,O��$����-� . �����r�-�����������$����% . ��,����� � . � . ��#;��� . ���*Q� . ��%�%65 ��e��+��*������� . ��:@��$����*�� ��%���E 5c��%����� � . ��% %I5 ��e��+��*�� ����� ��E��(� !P�����������+��%�,��������G���+�Dj+�G���%����� � . �� ��,���_������� � ��E/*�� !�e���Qn���^ �c$�� . �+���r��% % �����$���� ����$��� �������H$�����$���_�$D� . �r�+��-������� . ��%�#������ � W[Z\U � !������ �V%��=$���� �D� . ����e��+��*�� ����h T W b P � U7b<4(� E� �=�$�:� � � gD S��,O �vIqILKkR]Q;Z KWV�\�R6z*z:Ze\LNPZ T ?�� � T � �@49U3d z O[\ noHgZtI�j�� O[Q;ROLIiz,V|Kkj[KWN3ZGR N \�O.zgnoH NiK}z:O�\ V�� O��[n R r[KkZeHgO x�� � � yGT*O[VWVXRtY[Z]\LQ;R x�� � qyfw ReVWVXZ]\�R noHgRjqZ]HgTeKXr�KkZ]HgO H,O6jqO[IqI[Re\LKkR z O�\�VXRSILN3R�{�KWV|KWN mR mO VXR;I�OP��n O[HENPO j6ZeHgTeKXr[KkZeHgOST�O�NiNPR%T]K���� ���

� P ��X� d � ��E ,2.��

g �Z#+��$������-��% ��$��A'��/ ������% ���� ����� . ��$��ce���Qn���[$�� ��%��������?���@�� ����,O�"%�� ��Q��$��/0��$�����,����������#;��$�);��% � ��� . ��%L����#;� � ��E43���#"��$�����}�(��%��Oe����� . �q%��`���_���������?$���_���% ��_������$���%��KJ H,Z]Haj�KI�Z]HgZaI�j�� O[Q�K�O[IizgV|Kkj�KWNiK KWH,j6ZeHgTeKXr[KkZeHgReNPReQSO�H N3O ILNPR*{[KWV|KSO<j6ZeH:ILKMILNPO�H NiK R]VWV�O5T]K ��O�\�O�H8r O��HEKWNPO%z O�\ ILKMILN3O[Q�K�� Y[Ze\LNPO�QSO�H N3O5K z O�\�{6ZeV|Kkj�K� E JL�C ����)+��% �>�N'�9���+����� . ��*������+�N�D�M#;����$('����/ �N� �����Q����$��� ��%���$������#;��$D�N������%�#$���*�*�� . ����+��#;��$ . ����� . �8�����-�$D�N����*�*Q� . ��% %��c��Dj��,��#"��$�% �7��% ����� . ���L������ . �-� ���L��Dj��,�� KWQ�zgV|Kkj�KWN K EA � � ��N �(� �2�����C�ED ~8���-���" � . ��$��P��%�#+������ � 1 Z��Q�[���%�#� ���� � W ZaU � E g %��N��% ��$�� . ��% % � ��%��+*�� ����

L� �Ce��+��%�#������ . � #;��� . �4���% � . ��%��N��% ��$�� . ��% . �N���r� ���*�� ��%������%P#������Wcb P U E��G�7#;��$�%��`��Dj��,����8�,���$����-�`�7��$��?#������6!;����L��$��N������,��7�Dj� �� � �. � #"��� . �

. � � ��� ^ #"��$ � � ��E�~8���Z��$�� � P ��` ��E�~8�i��}#$���� . ��T )(� ?4��? � T ��!f��qj+�

�Dj� � )(� ? � T )� E t ��$����� � ��� ^ . ��#;��� . �Z �CWT ��%��a#;��$ � W� )(� g � P �>E

t ��$7e���� ��� � � ^�+���C#�q'�^�����8����$�_���$��U�L

� 1 Z��Q�Oe��+��� . �5?\����� . �G�V*���$��+!d#"��� �Djm'�)+�� ����$���));�7,O� . ��<"����$�����$�)+�>��$���$�����,��������i� % . �����4� ���*�� ��%��7#;��$ W T � P !L�`e��� � . �&� %�N��% ��$�� . �

L� 1 Z��(� !����*Q�O,O� . ��<"����$�� � ��� ^ E �

! " � � 2 1 � & (*&)/$/$- (*@#+ � - �8&�/ � -?5 5 1 � @'&�� @F(*@?2 @#(81:-����,O� . �1 ��,�#%����-�M#"��$V��$��N�(��$��^ ��� ,�� . ��% % �B���$�,7� . ��%i,7������,�� '�9e����% %�� . ��-��n��$��� $�� . ��_�%��@��Dj+��,��"�Dj�c����$���<"�Dj� ��?%��A#$���#$������('� . ��%;�����S/0$��������A,O�����������"!�������� � . �� . ������ �� *�����% � . ����-$��-��� *�*Q�N�������$���<"������ � ��� ^ $�� ��� ^ ��%�% ��$D��#"��$&��_��� �C` 1 �N��%��� ��� $�� ��� EA �CBA���%�2�%�$�C� ED � F�HgZ I�j�� O[Q;R HgO�VWVXR�Y[Z]\LQ;R x�� �����y mOpT�O�N N3Z O[IqI�O[\�O%Q;Z]H,Z]N3Z]HgZ I�ON noNiNiK K�jqZ O �hj�KkO[HEN K � ��� u � 1 �~8�&��� . �i/ ������% ,��������Z�Dj��% �4��Dj��,7�r'��,����+��������� ���7 ��%��4�������$���<"���U% �a#$���#+$�� �-�N'�. ��%q�-���/0$��������i,������������"Eobc))����,���% �����_���������A ��� ,7� . �f%�� ,��>�D�N����*�*Q�E

Page 21: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �� a��� ������� � � � ��� ��� � ���~��� ����� � �

� �=� �:��� � gD�����EKkR.T�R]N3Z noHgZaI�j�� O[Q;R.QSZeHgZeNPZeHgZ.T�O�VWVXRpY[Z]\LQ;R x�� �����y�� ��VWV�Z]\�R]wz ZfILN3Z � ��� =J T ,O� �� � ��� ^ ��� � � S J T ,��U9

� � ��� ^ �KZRed�\�O�Q;Z}j �:O � ��� � ��� � � S d � ��E ,�3��A �#� ��N� �:���2�%�$�C�gD ~8�}#$���� . �7#"��$��Q ��,�#���<�� ��� ^ T � � S T � �@49U3d;#"��$ . � ,��� ��$D��$��%�� . � ��_��+��_�%������*Q� . � . �� ��$D�E�b��"��% ��_���,���������#;��$�e����% %�� . �L � ���n��$��+E �

z���% ������$���,7� . � Jq�:9�;8��� �Dj���,i����$ ��))����,�� ��%�% ��$D� ��,�,�� . � ������,�������� %�������8����$�_����*Q� . �o���S�����&_�%�����Dj��,����-���+�� ���������o�i,����+�������� � #;��$A��"� . � ,��� ��$D��*�������. � $��-� �D�4 ��#�q'�G#+$��S�-� . ��$��Z���"�Dj�Zn����,7��� . � . � $���� �D��,��������`%I5 ��$�$���$����8�,���$����-�G�-��,��� � � ��E � �(� ; � ��E � ,�� �-E 's / ������% �Z� ���%���$��Z����$���� ����$�� *�*Q��$��i_�%�����Dj��,��&,�����������+����$D�a���S�����_�%��A��Dj��,��?�-���+�� ���������?�^��$��=#�+����� . ��% %��\/0��$�,7� � ��E , 1 � E t ��$������+�+�-����$��He���Qn�D�����$D�N� ����$���*�*���*�� ������S��� %�� *�*�� ��,��O#;��$N'��% �i/0��$�,7�O�8� ��-���� � ��E ,2-��� �:�$���$N!����������� gD��GF�HgZ I�j�� O[Q;R OLIiz,V|Kkj[KWN3Z R N \6O z,noH NiK#jqZ]H ILKMIqN3O�H N3O jqZeHV�� O���n R�r�KkZ]H,O x � � � yfw H,O[VWVXR�Y[Z]\LQ;R}d�KMI�jqZfI�R x � ��ey w mO~Q;Z]H,Z]N3Z]H,ZSI�O O~I�Z]VXZ;I�O � P �� � B� d � ��E ,2+��A �#� ��N� �:���2�%�$�C�gD {P�� ���O������$��(��$����Dj���N��% _����+�i% �? ��_���������f�_��+��_�%������*��

�T �

� � � b P �3Z � T � b � Z � T �� � �OQP �:d

�W�� . � ��,O� . ��+e���1�Dj�W%�� �-��� . � *�� ���� . �4�duoJ '�X���+����$D�X�+���-�Q����$����3#"��$\%��

�����8����$�_����*Q�E g ���%>��$���_�%�����Dj��,����#8��� � . �GJL�:9�;Su$���� . $����Dj+O ����V,O�����������6E g �#+��$ ��� ����%���$��P%��[��Dj��,���,������������?�����7%��A#� '�7)+�������8���������>�N'���8�,���$�� ���O'��% �[��Dj+��,7��#8��� � . !N,�������$��dJL�:9�;Su$���� . $����Dj+o'�de����% %����-���?% ��#� '�O��%����+EA8�� ��$��8�����,O��� �S<+�+���-��,��%��[����� . � *�� ���+� � ��E ,�+��p ���?� �`��:;��� ���@�Qe��+���N��% ����������%�%��[����� . � *�� ���+� � ��E ,+�Q���Dj+���(�����N��,����$��N�N�N���i#;��$�%������$�,7� � E

~�/0��$ ����+�N�D��,��������M%��X��% ����� . ��_�%��7��Dj��,���,�����������+�a'�^��$���#+#"�1$��� ��$��-� �D�B#;��$�������������$�� . ��%�% �P��##$�������,7��*��������#+� '�������-�$D�N����!(#"��$&�-��S���$N'����Q�-�Q����$������-���" � . ��$D��$��%���n�D��)� %����('� . �m��� #"� � !�Dj�A$�� ��%�����$('�i��� ��$���,����+�O$��� ��$���� ��� �N�E

!#"� � � -0(*-0/$1$571 �1 �F@#(�� &)6 � -0(8(��������� �����������! �"�"#%$��&$�"��'�!�)(���*,+- �./�0��.JL�cn��$��+,O�������c#+� '�?��YZ�������p#;��$}%I5 ���"��% � �� . ��% %�����e��+��*��������% � �����$��8��% %�� . ��$����N�����p#"��$�*�����% �'�7����*�5 ��%>��$��a%I5 �+��U�Qn�����+�� ��� . ��% % �U��$���n/0��$�,7�N�D�Z� . ��%�% �Z ��$�� � . �&u���$�� ��$QE 5���%&�������^���8�-YZ�-� ���������-��n�D��������e��+�� ���^#;��$�,��-� ��� . �� ����)+��% ��$��G� �W,�� . � . � $���� ���^% �^)����"�#;����>���$D�G��%���#$���#+$�� �-�N'�re��+��% �����N������� . ��%�% �4 ��%��+*�� ���� . ��%���$�_�j�a�-%���� � . �P#$���)+%���,O�. ��:@��$����*�� ��%��6E g �4#+��$ ��� ����%���$P,�� . ��'�A#"����� )��% �?����$���� ����$���*�*���$�������,�� . �Z�-��,O#+%������7%��)�+���+�7#;��������$D�Z� � � . ���o#$���)+%���,O� . �q��� #"�a� #"��$�);��% � ���`�i#+��$D��);��% � ���+!; ���Z���%}�����������% ��$����Dj�A#"��$��L�� ����,O�6E

Page 22: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

��� ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������~8�O��o�-���" � . ��$D�7��"�7/0��*������� � T � � � � . �-<+������U �r��+�Z_�$�� _�% ��� ���#+��*�� ��%�� � . �

#+������

!%��O��+�����$���� . �Lu+���$�� ��$�'� . �N�D� . �

�� � h��T �

� �����

� ��) �� (*) � � ��� � �#Z � ��E ,20��

#"��$8h � w b � � � Z � � � xyE ~8�?j"�9��%�% ��$D�\�Dj+� �� � b � � � �T

�� � � ��

�a�=% �M/0��$�,[�+% � . ����8����$D � ���� . '� � � T �

� ���-��� �

) �� � (� � �� �� � h���7 h d � ��E - 1 �

~8�4������G�Dj� . �G���% �>������+�2#"��$����3�-��� ��+��/0��*�������3#"��$�� � . �����2 �% %65 � ������$��N��% %��w b � � � Z � � � x � ,��� ��$D� �Dj� �������� ��##"��$ ����� � #;�����Q ���N��% � % � /0��$�,[�%�� . �$���##$������������*�� ���� � ��E ,�0��d�-�����L�-�8�-YZ����������� . ����� . � � ��E - 1 � Ep�c�+� . ��%�% �[�-���+���_��+���*��#� '�9� ,�#"��$ �D������� . �ce���� ��� . ��<+�� *�� ����='�4%��V$���% ��*�� ���� . � t ��$�����N��%IEW~8���V���S/ ��� ��� �%�� ,��>�D�N�D�����% % �O���$�,7� . �f����#;� � � ��E � .��-!��% %���$�� �� � � �A�N��% ��% ��$���%���*�������

� � �� � � � T - ��� �

) ��� � � �� � h�� � 7Kh T ��� ��) �

� � � � �=T � � � � � � d � ��E -+�Q�

����� ���?$���% ��*�� ��������+#;��$�,O��� ����$N'� . �@n�D��)� %�� $������%",�� . �?������� ,���%���% �?$���% ��*�� ���� � ��E � *�����%q�������� !S#"������� . �7��% %I5 ���"��% ��_�� . �� �_��+��_�%������+*��?#;��$c% �i/0��*����������$D�� /0��$�,7�N�D�E

~8��������$������Dj����"�V�� ,O� % �a$���%���*�������a����X'���N��% � . �V� �M_������$���%��a#;��$7%��H�+��$�,��. ��%p,������ ,O���Ze���Qn���4��7$���� . �Z�a#$�����$���#+� '� . ��YZ�-� %��7%65 �+ �4�+��%pRq����$���,�� . ��JL�:9=E�����Dj���,[����$QE g ���%���$���!��+��%P������ . ���d���n����,���� #;��$�)"��%����-�6!��P#$�� �+����#� . �d,7��� � ,��G���� ����O����_������$D��% ���(��%�� . �m� . ��%L���������Qn��� . �f��� #"� � $��� �+%>�D�i#+� '���+�����$D��% ��E

t $���,7� . �P� .. ������$D��$D�-���%�����$�� ��$�,��������`���% %I5 ���"��% � �� . ��_�% ����Dj��,��p�8�,���$����-�6!q�N��%��% �a#;���+� . � . ��$��i��=�-�����4��% % �i#$���#+$�� �-�N'� . ��%�%��U��$D�� /0��$�,7�N��� . �&u���$�����$��Dj+�i�8� �����S��� % ��*�*��N�D�r#;��$7%��H$��� ��%��+*�� ���� . ����#$���)+%���,O� . ��:@��$����*�� ��%��6E9~8���V� . �Q ��,�#���

L��+�

��%��+*�� ���� . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� � ��E��(�A� �L

%��H��+�G��$D�N/0��$�,7�N�D� . ��u���$�� ��$O���%�%��G�N��$�����)� %�� #"��*�����% ��!8����� �

�L

� � �T �

� ���- �) � ( )

���S L

� W@��7KW[d � ��E - � �

b�% %���$�� �L

$�� ���% ����%65 �Qe��"��*�� ���+� . ��:@��$����*�� ��%�����$ . � �+��$�����L M T b�� P � �

L Z�Dj��j+���-��,O�A�+�� ���� ��%��*�������

�L

��� ZaU � T (�) � M� �LN^

��� �3d~8�m������}���+����$D�i�Dj�A%������$�,7��� �8� ����?�����+���$��N�N���O���%�%65 ������%��+*�� ���� . ��%�%65 �Qe��+��*��������!_�$D��*����^���+�-��$��C��% %��]$���% ��*�� ���� . � t ��$�����N��%A#;��$V%��C��$D�� /0��$�,7�N��� . ��u���$�����$�!?�\%��#$���#$������('� . �Z$���_���%���$��>�N'� . ��%�%�� ���% �*�� ����C�����_�����1��$D�� /0��$�,7�N���M� �k#$���#$������('� . �. ����$��Q������*Q�G��% %65 � �S<+������ . ��%�%�� �

L�a�����-������$���E^����� ���V #+����_��G#;��$D�Djm'�`%��� ��%��+*�� ����

��$�$���_���% ��$��q#$���������������������-� %�%���*���������Z �+%�% �O/0$��Qe��+���*��O#+� '�=��%�����!L�Dj�����=e���� �������� � �@��$��N�N����O� . �(����$��c_�$���� . �A��,�#� ��*�*��+E

Page 23: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �� a��� ������� � � � ��� ��� � ���~��� ����� � ,��������� � #%$��&$�"'��� ��(����-+-��� �� �� $����t ��$ � %�% �+ ��$D��$�� � %3,O����� . � �-���+ � . ��$���$���,O� �� ������ #+��$ ��� ����%���$���!�%�� ��Dj+��,7�/0��$��P��$ . ;�)"���D�8�d��$ . � ��E ���Q��#;��$�%65 �Qe��+��*������� � ��E �Q�:J� ��� � � b � ��� ?

OQP � ��� Fb � � )(� � � T1 Z � ��E -�,��

�Dj��$�� ��-$�� ������,��i���a/0��$�,7���-��,�#+��� �D�O����,��� ��� � � T � � b P � � ��� OQP � � )� � �Z � ��E -2-8�

���,�#$���#"������ . � J T ?�� � E�z���%�%��O/0��$�,[�+% � � ��E - 1 �d��))+� ��,O�

� ��� T �� ���

-��� �

) �� � (� � �� �� � h���7 h d

~8��n���>������ . �7e��+��� . �m���% %�� � ��E -2-8����m��� ��� ���+��%���$���%���*�� ���+�

� ��� � � T �� ���

- ��� �

) ��� � (� � �� w � � b P �

OQP (*) � �� x �� � h���7Kh � ��E -�*��

. ������L�� . � . �"�-�A%��i$���%���*��������#"��$�$����-��$�$����+*��

�� � � � h��T �� h�� �� � h��:Z � ��E -�.��

����� �� h��XJ T � � b P �

O P ( ) � ��� EC����Qn���H,���n��$��V�-��,O�a%65 �(�N���+*���,�������� . ����#+�����H����,�#;��$D��% � . ��% % �=��Dj��,��V#$��N���S�Dj�P��L5 ��,O#+%���<"����*�� ���� . ����9/ �N������$�� �

� h��. ��%�%��i��$D�� /0��$�,7�N���i�8�,���$�� ���!8������������ . �Z�-�� ' �

�� � h��T �� h�� �� ^ � h��3d � ��E -=3��

z���% % �O$���%���*������� . � t ��$D ���N��%;��� ���������,��7��% % ��$D���

� ��) �� � � ��� � T �� �) �� � � �� � h�� � 7Kh

T �� �) �� � � �

� h�� � � �� ^ � h�� � 7 h dt ��$U��� �������$��=e��+��� . �A% �9n�D��)� % �>�N'�M$����Dj���Qn�D� . ��%�%�� � ��E � *��Z�+��%?���� � � . ��))����,��. � ,��� ��$D��$��U�Dj� � �

� h�� � '�a��#+#"��$ ����+��,��������U% � ,O���������H��� ��E t �������,����T � hSE

bc))����,��7��% %���$��� � �o� � T w � � b P �

O P ( ) � �� x T� � b �

P ���� � � � � ��� O - P ���� � �� � �S�-�� � �� � �T� b - P � � b P �S�� � � �� � �3d

Page 24: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� - ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������W�� . ����,��=e����� . ���Dj� � � �}� �p'�`% ��,���������� . �\���� 1

P ��!&$��>��$��N�N��� . �re��� � . ���%P$�� ��%��������V��� �����8�S���V�����\%65 ���+��%��� � . � $��-� �D�E^Rq�S� �D�(�8� �Ve������))+� ��,O�H��9��% ��,�������� �+##% ��,���������$���E g �S/ �N�����L��

P �+���H'����$D� 1 ����!S����� � � � �}� �S,���_�_�����$�� . ����!8/ ��$���,O���� . ��$����Dj+�A%��7��Dj��,7�`'�����+ ����)� %���!��� ���i% �O��Q�-�����>�N'� . ��% % �7����� . � *�� ���+��E

z���$���,O�H� . �Q���G%��G�-��� . � *�� ����Z#;��$O%��r ����)+��% �>�N'�4� � � #"��$i% �`��#+#$������ ,���*�� �����8�,���$�� �Dj� . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� � ��E��(� !Z�+�����n�D�������]e���� ��� ���+��% �� �`����X�N��%�� . �3#� '�l���_������$D��% �T#"��$r#$���)+%���,O�[��#;��$�)"��%����-�i�\#+��$���)"��%����-�?�Dj+�\ �����+�])"��� #"��n���[� � e���� �������#"��%���_����E ~8��_����� . � e��+������� � %�% �+ ��$D�N��� ���% %65 �Q ��,O#+��� #+$��Q�-� . ������� #;����� ��,O��N:@��$�,7��$����Dj+�4#"��$Z��_���c��Dj��,7�T��% % � . �>:@��$����+*��G� . ��]#"��� �=�r�� ���

O�4#+������

. ��% %��[/0��$�,7� � ��E � .��-!S#"����� ��,��O��-$�������$���%��O$���% ��*�� ������ � � � h��

T �� h�� �� � h��3Z � ��E -�+��

�-��� �� h��FJ T � � u���) � � � ( � � �� E�JL�a/0�+�*�� ���� '� . �-������/ ��� ����$�� . ����,O#+%���<"����*�� ������

�-������������?���S� ����%��O���/0��$�,���*�� ����}� ,O#;��$����������o �% % �U��Dj��,7�Z��!m�-����7#+� '�V��,�#;��$�����������!$�����%>�D�O��� ��$������Z ��$��,��������7��))+�� �����*��[/ ������% � . �7���"��% ��*�*���$���E5���% %65 �Q ��,O#+���4#$������ . �������Z��)+)� ��,��������+�� . ��$D�N���U%��a/0��*������� . �p��,O#+%���<"����*�� ����

�Dj� . ��#;��� . ���N�`���%���,�������� . � �T � hS!",7�7� �G_������$���%��A)�����_��"�7�-���" � . ��$D��$�����+�

/0��*�������?�Dj��#"���������+�Dj+� . ��#;��� . ��$�� . ��

� ?@E� �=�$�:� � � gD��> F�HgZ�I�j �:O�QSR%R]VWVXO�T]K ��O�\�O�H8r O R*T;noH�z RfIqI�Z�z O[\ V�� O���n R�r�KkZ]H,O x � � � y mOILNPR*{[KWVXO I�O O~I�Z]VXZ>I�O O[ILKMILNPO noHgR>jqZ]IqN3R]HENPO�� O�R]VXj�noH Kvd]R]VXZe\LK���I6I�ReN K ? ^ O � ^ NPReV|K j�� O

� � � Z � Z6?+� � 1�O� ?�Z � ��E -�0��

z:O�\JNinoN NiK K~dfReVXZ]\LKST]K � w 1 g ? #? ^ w}O 1 g � � ^ � �1O KWH,Z]V|Ni\�O � � Z � Z6?+�mOKWHgTeK z:O�HgT*O[HENPOST�R � O ? R]VWV�Z]\�Rp{qRfILN3R�zg\6O[H,T�O�\�O�� T 1 KWH x�� � ���Ly��

~8�f������$����@�Dj�A��f#�q'� . � ,O��n��$���$����Dj��% �O�-��� . � *�� ���� . �f�����65����+,�����H'���+���-�Q����$����#"��$��o�� ����,O�o�`���8�-YZ�-�������}���� ���������I!; �O��##+%����������Z��_�% �}���S���N�N��% ��$�� . ��%�%��Z,7����$�� ��� . ���,�#% �><;����*��������!8�?��������� �8�+�i� . �Q����$��A���+�Dj+����SYZ�-� �������A#;��$P���S� ���L_�%��m��Dj��,��m� . ��#+�����i#;��$�% ����e��+��*�� ����m�����% ��$��f�-���U�+�+�7 ��% � . ��$�� �N�N���O���%f����,�#"�"EA � � ��N �(� �2�����C�ED z���%�%���$���% ��*�� ���� . � t ��$�����N��%"� . ��%�%�� . �-<+�+��*������� . � ��mj+���Dj�

� � � � � � Tt- �� �

) �� � � � � Z � Z6?+� � � �� ^ � h�� � 7Kh d���� � . �L����(��%���%�� � ��E -�0�� !S��L�(�8$('�

� � � � � � �� �) �� � � �O� ?� � �� ^ � h�� � 7 hT

� �O� ?� � � � ^ � � � d

s � ��� . ���@? � �mj"�O�Dj+�� �O� ?� � �

O� ?+� � u�.( �� Z

. �`����� ��_���i% � � ��E � *��P�+��% % �U���$�,7� � E t ��� ����,��7��$��Z� . � ,O��n��$���$��i% �`�������� ���('�. ��% %��Z�-��� . � *�� ���� � ��E -�0�� E�~8�+##"�������,��`��% % ��$D�7�Dj�[#;��$�e��"��%� ������q���� ��������� ���� ���

Page 25: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �� a��� ������� � � � ��� ��� � ���~��� ����� � *��"�r����$��+� � ���FZ � � Z6?����-!��Ge��� � . ��#;��$`��������� �8����('�H��C��������$��+� ���

Tw � � Z � xl� 1 Z � ^ xvl � 1 Z6? ^ xy!;����% �i�Dj+� � � � Z � Z6?+� � � �

O ?@!@#"��$ � � Z � Zq?� � ���?E?���� ��$������,��

��%�% ��$D�?��"�O/0��*�� ���+� � ��� ^ �D��% �?�Dj��% ����+�� ��$�� � . �Lu���$�����$� ���O�_��+��%��A�

�� ��� ^�T�� 1 Z ��� h �� w � � Z � x Z�

�� � b � � � )� Z ��

� h � w � � Z � x Zbc%�% ��$D� � � � � � � � �� �) ��� � � �

O ?� � �� ^ � h�� � 7KhT

�� �) ��� � � �O ?� �

� � ) � � 7Kh� � ( � � � � ^ � � � Z

�� �@?\'�O�8���-� ��G� � E t $���� . ��� . � ��$�)+�>��$���$�����,��������i_�$���� . ����Z���_��+�7% �U���Q �6E g %/ ��� ���O�Dj�c�+��%@������?� �U���� � �IZ � Z6?��'�c� � . � #;��� . ������� . �

���?`��% %���$���)+��n�D�?#$���� . ��$��

�T1 � � � ��E -�0�� !���_��� . �O��m5 ��##+%�������*�� ���� . ��_�% �m �8� %��#+#� . �LR}�(�8%���$�E �

N ��� �A��� ED%=D t ��$d% �O��Dj��,7�?/0��$��d��$ . ;�/0��$��d��$ . � ��E � 1 �p �f����$��><;���A/ ���-� %�,����������Dj+�

� �o�T

�OQP � � b ( � � �3Z

����� � � � T �O-P � �O P �S���� � � � � �3d

~8� '�U�+�+�r���� ���������`#;����>�����N�r<"���N�D�!�#;��� ����,��G�"���$��U% �H�-��� . ��*������� � ��E -�0��?�-����T1 �^����$��><;����$��^�Dj�\��

P ` 1 � �=` �^#;��$ ���T1 ![�������C%��B��Dj��,�� '�

� �+ ����)+��% ��Edb�%���$���,��������q��Pcg

1 %��7�-��� . ��*�������O'�A�N�8�8� ��,O������������$���<"�������O �[�? ��%��7��bA� P 1 E���3,�� . �] ��,�#%����-� . �i����%��-��% ��$��H% �M/0��+*�� ���� '�Te����% %�� . �[ ��n���>���� $��V���% % �

��Dj��,7����%L#"��n��� . � � ��� %65 ���#$��Q��� ���� ( � � � Ed����Qn���O�+�����8���% . ��$��?�Dj�? ������,�����+��% ��*�*���� . �`���% �Z%��` ����)+��% �>�N'� . ��% %��O��� . �[#������i���% % �a��Dj��,7�+!",7�a�Dj�i�����re���Qn�D���-��$���� ���������Z'�A#"������)+��% �?�����������$��A��%L�(��%���$�� . � �Dj�A#;��$�,��-�����?%65 ���+��% �� �m$�� _���$�����[�Dj+���))����,��i� % %��+ ��$D�N���7e��+�L ��#$D�E N ��� �A��� ED%�R b��"��% ��*�*�����,��i% �Z��Dj��,7�[/0��$��d��$ . E �-������$D��% � ��E � � �� ��� � � b � ��� ?

O P � � � � � #b � � )� � �� T

1 d~8��n���>������ . � � ��� a�-��� ( � � � �L��� ��������

��� � � ����� ) �� �������uOQP

�� ������� ����� ) �� � ������� ����� �T ( � � � � � )�u O P ����� ) ������� � T 1

�Dj� . '������,���/ �N� ����$�� . �L��,�#% ��<"����*�� ����

T

� b �P � � � d

Page 26: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� . ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������~8� '����+������ ������������%�% ��$D� '����� . ��#;��� . ������� . �

��~?U�

� � �o� � T �OQP ���� � Z

�Dj����,�#% �����7e��� � . �m%65 � �+ ����)��% ���('� . ��%L,O����� . �"E N!��� �A��� gD��) b��+��%�� *�*�� ��,O����$D��)$�������,O�������d%��A��Dj��,7� . �JL�U9�;8u$�� � . $�� �Dj" � ��E � -��� ��� � � b � � � � � � � O � � )(� � �?

O P � � � � � b � � )� � �� T

1 d~8�m��� . ��/ ������% ,��������?�Dj+��� %f/ ������$�� . �L��,�#% ��<"����*�� �����#;��$�e���� ���7��Dj��,7�O����$���<"���

� � �}� � T �-�� � O P �� � � Z�Dj��$���_�_�����+_��a��%����T,7��� � ,��

P #;��$ �T � EWJL�=�-��� . � *�� ���� . ��n�D��)� %����('�9'�

e����� . � . �N�D�!@�-��,��i_�� '�Z�(�����(��,��Z�8� ���"! . ��%�%��` ���Q���Z����� . � *�� ���+� . �&�duoJ �P � 2��E

t ��$Pe���� ���O���% %65 �Q ��,O#+���a��E � ��%@�(��%���$�� T � d .i����$�$��� #;��� . ���N�A��L5 ��##$���� � ,7��*�� ���+�������-���8����$�_���������E

RL��$�,�� �� ��,��1� �S<+�+�W��� ��$��N��� . �X�Dj+�]%I5 ���+��%����� . �Z����� 5c���,7����k#�q'�3��� ��$��� . ��� �D�N������##;��$�����"��,���������!N���+�Dj�d ������ . ��$��-������,O��������!N��%�% �� ��� . ��� . ��% %�����e��+��*�� �����U���8�-YZ�-� ���������N��$�����)� % �I!@,�� . ���������O� %o,��-��� . � . ��% �������_���%���,�������� � . ���o���8�-YZ�-� �������6Et ��$P�����,�#� ��#"��$�%65 �Qe��"��*�� ���+���7������YZ�-� �������f�N��$�����)� %��LiM�O P

� W ZaU � LNS#T 1 Z�N��$�$('�a���+����$D�`%��4�-��� . � *�� ���� . �dn�D��)� % �>�N'� � P � W�� Z\U�� � �7#;��$?���S�����p�p#������ . ��% % �_�$���_�%���� � W��FZ\U��d���% . ��,����� �Z�-��,�#�S����*�� ���+��%���E

! "�� � + �19(*& �1 -?G G,6*+.-�2 &,> > - & 5 G H*& � - �1 � -����� &)( �8+.@ �

u}����U�`e���� ���`,O��,��������`��))����,��Z�-���+�� . ��$������7_�%��}��Dj��,��}���%���,��������A���G)"����[��% % �%���$��Z�����8����$�_����*Q�O�Z,�����"!"����� ��� �G�%���� ,7�`���+��% � ��L� �G)+�� �i��% % ��% ��$��`�-���+�� �����*����n�D��)� % �>�N'�EqRq�S�����(�8� � . ��%8#�+����� . �8�8��n�D���8�,���$�� ���['�d��%���$��-�����������c� ,O#;��$����������� ����)� %�� $��% �r����%��S�-���('� . �d�����8����$�_����*Q� . ��_�%��P��Dj+��,��IET����� ���V���$('�a/ ��� ���H�-��,��U�-���+���_��+���*Q�. ��% %��i�+��*�� ���+� . �L�����-�$D�N����*�*Q� . ��% %��7��Dj��,7���Dj� . �-<"�� ��,���e��� . �L���_��+�>���+EA �CBA���%�2�%�$�C� ED�� F�HgZ�I[j �:O�Q;R�jqZeH:ILKMILNPO�H N3O�jqZ]HUV�� O���n R�r�KkZ]H,O x � � � y�ILK TeKkj6O R*j6j�no\�ReNPZT]KZ]\�TeKWHgO � KWH Iiz R�r�KkZJO;T]KZ]\�TeKWHgO�.KWH<NPO�Q�z ZfwKWHa{[\�O�d]O;R�jqj[no\6R]N3ZUTeKZe\�T]KWH,O x �Lw zCy wI�O � � � W[Z\U � � T � � ?���

O���� �

�3Z���� Zq?�� 1 Z

z:O�\ Z6�eHEK � W[ZaU � H,O[V�T�Z]Q�KWH KkZpTeK KWH N3O�\�OLIqI�O ��� O�V�jqR]I[Z%KWH5j[noK ? T � ��

� T]Kkj�KkR]Q;ZJj�� OVXZSI�j �:O�QSR mO�T]K�Ze\�T]KWH,O��pI�O� � � W ZaU � � T � �

�� �3Z� �

� Z � 1 d

Page 27: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* �: t�� ������� ���� � ����������� �1� ��� ����� � � �����@������� � ������� ��� � 3g � #$D�N��� ���h%I5 �����-�$D�N����*�*�� '�l��+� ���*�������l#� '� /0��$���� . �M�-���+�� �����*��+!C�Dj+�

����$�$��� #;��� . ��� . �+�a��$�$���$�� . �f��$����+���N���$��O���%���,�������� . ��%�%65 ��$ . ���+� . � � �(� E����,�� �+�-����,��A� . ��� ��������$���<"����$��d%I5 ��$ . � �� . �+�����-�$D�N����*�*�� . �+��%��-�+�� . ��_�%����Dj��,O�

�������������S���IE�JL����Dj��,�� . �mJq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+P�-� . '���+��7 �8� %��#+#"� . ��%@��� #"�

� T �� ?L M M b �

� ?g)� � L S S O �.P � L S S9S O�� �

� O ?g)� � O ? �3d

u}������� . �;? T � #;��$���"�7�-�� ��������� <"���N���+!��� . ����,��7�Dj�A%��Z��Dj��,��a'� . �q��$ . � ����Eobc�+��% ��_���,�����������))����,��7�Dj��%��Z��Dj��,7�i�#8����� . �����

P g1 �-� . '�

� T �� ?L M M O �

�P � L S S O��

� ? � O�� �� �3Z

�Dj�H�-��$�$�� �#"��� . �G� . ���9��Dj��,7� . ����$ . ���+� � ��!��(�7�+!�<"����� . �_? T � #"��$U��"����� ��������� <"�������+!c���+����$D�^��+�9��Dj��,7� . �A��$ . � ��\��E t � '�B� �B_������$���%��H�(��%��V%�����_����������#$���#$�� �-�('�+E� �:�$���$N!����������� gD� � F�HgZ I�j �:O�QSR>V|KWHgOqR]\6O QSZeHgZeNPZeHgZSH,O[VWVXR�Y[Z]\LQ;R x�� �� ��y mO~R]VCz,K mnT*O[V�z,\LKWQSZ Z]\�TeKWHgO[w;R5QSO�HgZ j�� O H,Z]H ILKkR5V�Z I�j�� O[Q;R {qReHgR]V�O � ��� � � T � ��� jqZeH � P � T � �A �#� ��N� �:���2�%�$�C�gD z���%�% �?���� % �##;� � ��E , � � !��c�S��� %�� *�*Q��� . �?�Dj�

LiM M.T]P LNS S !���j+�A�Dj+�% �7��Dj��,7�`'� . ��%L����-��� . �O��$ . � ��A �A�A���% ����

�T

�P � d � ��E/* 1 �

zi5 ��%>��$��W#+��$����^% �X��Dj��,��3'�\,������������W �M�M���% �B��^�N��% �\%��W�-��� . � *�� ���� � ��E ,2+�� � P � � B��E����+��� . �I!�Q����� . � �P � g � P � g ��!+ �fj"�i%��7�-���+�-% �+��������E �

~8��#$���� . �V% �r/0��$�,7�H_������$���%�� � ��E ,2-�� . �����T��Dj��,7�V�G��$���#�+�����c�-���+�� ���������#;��$Z%65 ��e��+��*������� � ��E��(� E ��� #$���� . ��� . �^%�� . � ,��� ��$D��*�� ���+� . ��% % � t $���#"�� � *�� ���+�V��E��!.��&��� . �Z�Dj�Z�+��G��Dj+��,7� . ��e���Qn������� #"�r#�q'�G�Q����$�� . �p��$ . � �� � � Z � � !}��##+�$��7#;��$ T ?�� � <"���N���"! . �q��$ . ���+� � !+��A�[���% �O�N��%��A%��Z�-��� . � *�� ���� � ��E/* 1 �-E�8�� ���O���� ���[�����% �7��Dj��,7�i% � �����$��?�O��$��A#�+�����q�����+�� ���������?�Dj�?�� � . �m��$ . � �� � E������ ���Z��Dj��,7�+!�Dj����,7�����?��Dj��,7� . �;JL�:9�;=<H��� . $���:o!+'�� �������?#$���#;�� ���A#;��$�% �?#$�� ,7������%>�D�����%}� 0�. 1� �Vw J�<Cx6!�?��m��-$�������e��� � . �

� ��� � � T � ��� Eb P � � � � � � � Ib � � )� � �O P

� � � � � � � Eb �&� ��� O � � )(� � �:d � ��E/*S�(�

Jq�B��+�B�8���������>�N'�W�8�,���$������ '�\%��B#� '�2)+�����W#"������)+��% �M#;��$=%�����-����$��\%65 �Qe��+��*��������Qe��+���N��% ������� � ��E ,�*��P���+����$D�[#+��$���)"��%������+E���j����$D��,���������!S#"��� �Djm'��% �7����� . � *�� ���+� � ��E ,2+������H'������$��><;���N�D�!8% ����Dj��,��O����H'��,������������"E

u+������� ��,O�\��$D�T%I5 ���"��% � �� . �� ����)��% ���('� . ��% %��9��Dj��,7� . ��JL�U9�;=<H��� . $���:oE g %� �+�/ ��� ����$�� . �m��,�#%���<"����*�� ���+����L����%��-��%��[/ ���-� % ,O��������� . '� . ����� . �

� �o�T?T

� b � � ( � � b<( ) � � �O � � � � ( � � b �

O ( ) � � �T� b �P � � �8b �

P � � � d

Page 28: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� + ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������t ��$��-�+�

� � T � b - P � � b P �S���� � � db�))+� ��,O�Ae��� � . �+�Dj+� � �}� B����P�� ��%>�D�������A�� �

P � B��E}JL����Dj��,���$�� ��%�����e��� � . �� Ey ����)��% ��E g �Z_������$���%����N��%������*��+%��[���_��+�������c����$D�N������$�� *�*���*�� ���� . ��_�% �;��Dj��,O�@����$��#������q�-���" ��n���������m�����a%I5 ��e��+��*�� ���� � ��E �Q� E� �:� ����N!���2�%�$�C� ED% � F H,Z I[j �:O�Q;R O[IizgV|Kkj�KWN3Z R N \�O z,noH NiK jqZ]H:ILKMILN3O[HENPO jqZ]HV�� O��[n R r�KkZ]HgO x�� � � yfw HgO�VWVXR�Y[Z]\LQ;R>d KMI�j6Z]I�R x�� � �]yfw mO � � ILNPR*{[KWVXO~I�O O~I�Z]VXZ>I�O

� P � � X�Kd � ��E/* � �W�� . ����,��[e��� � . �@�Dj��%��? ����)��% ���('� � '��,����+�?$��Qn��$���� �����N� . ��% % �? ����)� %����('�A�+��% % �A�+��$�,��. ��%S,7������,�����#"��$�,���� ����e��� � . � . �8��$��N�(��$��P��% ,���������A��Dj��,7� . ��% �Q�-��� . ����$ . ����n�D��)� % ��ECW�� . ����,��A�-��,O�P���-��,�#;��$�����%��A��Dj��,7� . �+Jq�:9�;�<V��� . $���:��+����-���S/0$��������8#;��$�����,�#� � . ��% %��G��Dj��,��a�#8��� � . E�~8�&#$���� . �U%65 ��e��+��*������� � ��E��(���-���=� % . ���������+��*�� ��%���_��"��% �c��% % �?/0��*������������$D�N� ����$�� ������� . ��% %I5 � ������$��N��% %�� � 1 d � Z 1 d -�� EoJL�?<+_��+$��7��E ,?,O��n��$����%p$��� �+%>�D�N����#;��$A% �G��Dj+��,7�`�+#���� � . !},�������$���% �U<+_��$D�H��E -�#;��$A% �G��Dj+��,7� . �pJL�U9�;<H��� . $���:oE 5c��% %��V��Dj+��,7�4,������������r���������r���H�,[�"����,�������� . ��_�%��P�#��_���% �p���+�i#�����-��% �i$�� . �+*�� ���� . ��% %65 ��%>����*�*Q�!8,�������$���%��7��Dj��,7� . �mJL�:9�;=<H��� . $���:�,�������� ����%I5 ��%�����*�*Q�4����)"��$ . ��,���%����G,���_�%�� �+!o#$�� . �+����� . �G���S�����(�8� � . ��% %��U#�����-��%��`����-� %�%���*�������IE��� . �+�-��� . �

� ����� . �\�+����� �����+*�����% �\,���_�%�� ��$D��,��������+!O���+�Dj�9 �9% �M�������% % ��*�� ����

#"��$����n������"EH����� ���T'� . �N�8�S���r��%&/ ��� ���V�Dj�Z%��4���n��$��G���+��% �� � . ��% %I5 ��$�$���$��4'�Z�N��% � . � ��%��\#"��$����% �*����������))+��n�D���*Q�T$���_���% ��$��6E2~8����� . �\���S/ ��� ��������,��H��A�-��,O#;��$����\%����Dj+��,7� . ��JL�U9�;�<V��� . $���:C�-���^�� . �N���r,O��%>���r#� '�\$���_���%���$�� � . �d/ ��� ��� � � �A�+��% % �<+_��+$��U��E/*SE

g �H#$D�N��� ���!@%65 � �+ ����)+��% �>�N'�!f�Q����� . �U% ��_��N���U��% % �U�-$�����-����� . ��% %��i/0$���e�����+*��O��% ���N�N����!��##"��$��i#$�� ,��a#;��$ . �N����� $�$���_���%���$��6!;��� . �p%��O<+_��$�����E -�����E/*SEZ~8�&������$��8�����+�Dj�7�Dj����r_����+��$D��% �[e���� ���`���+ ����)� %����('�4'� . �q/ �N�����a��4/0���+��,�����U%��S����% ��E t ��$c�Q ��,O#+���Z�+��% % �<+_��+$��[��E � ������ . �P�Dj�p%65 ���+ ����)� %����('���+����-����� ���*�����% ,������������%8#�+����� . � . � ��-���������8����('�. ��% %�� . ��$�� �N�N���`�i���% � . ��#"�a �}#$���#+��_��Z�Z���S�����Z%��`���% �*��������E?����� ���`#"��$�,��-����� . �. ��n�����_����$��o��$D�P_�% ����:;��� ��� . ����A��$�$���$�� . ��#$���_�$���,O,7��*�� �����!��Dj�&�#"�Q���� �����_�% ��)"��% �I!��%I5 ���"n�D��)� %����('���8�,���$������ . ��%�% �7��Dj��,7�E

bc�����������,��V���<+�����% % �r$���% ��*�� ����a�Dj�U� ������$�����$�$��7��$��r���=��Dj+��,7� . �P��$ . � �� ��H%��9 �+�M�����-�$D�N����*�*Q�E W&��% �H� %A ��_���������r$��� �%��������"!c#;��$�% �9�-�+� . ��,��� ��$D��*�������G��N��$�� ��������$���,7��� . ����,����iw ~���xy!��d��#mE�� 1 E g �?#+��$ ��� ����%���$��p ��#�q'� . � ,��� ��$D��$��&��[���+��% ��_��$�����%>�D�N���O�+��%m���� �O#+��$���)"��%����-�O��#� '��_������$���%�,���������#;��$����S� ���m�m#$���)+%���,O� . �q�d���+�Dj8�)"����#"��n���m��� � E� �=�$�:� � � gD� � �gKkR T*R]N3Z noHgZ$I�j�� O[Q;R ILNPR*{[KWVXO.z:O�\tV�� O���n R�r�KkZ]H,O x�� � � y j �:O ILKkRR�jqj�no\�R]N3Z5T]K�Z]\�TeKWHgO � � � � ��VWV�Z]\�R5O[ILKMIqN3OpnoHhKWHgTeKkjqOJKWH N3O�\�Z HgZeH.H,OP�*ReN KWd]Z 4 � �NPReVXO�j�� O~I�O L ^ � � 0�w,z O[\ Z6��H K �vIqI�R]N3Z � ` 1 OLILKMILN3O~noH,R>jqZfILNPReH N3O��tNPReVXO j �:O

� � L b � � � � � � �� � � Li^ � � ���fZ

z:O�\ Z6�eHEK � NPReVXO j �:O 1 ? � � �g �M_������$���%��U#"��$���,O����� . ��� #"��$�);��% ���-�������$��N�N�<4 T �

O���a#"��$Ze��+��% %��P#+��$���)"��%����-�4 T � O � E

Page 29: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* ��8 �� ��� � ��� � ��� ����� � � ��� ��� � � � � � � ��� � � 0!#"�� ��&)(8(81 5 68/$/ � &,<=6*-?>,1:@#(*& �8&)/9/:&�@F( �8&z�� ��-�������,��`)$�������,��������[�-��,O�O�� ����� . ��$��?% �O� . ���[�8��n���i���%�% �i���*�������}#$��Q�-� . �������o��%������ . ��%�%65 ��e��+��*������� . ��% % ����� . �A� ����+�O�N��$�� ��)��% �A #"��*�����% ��E

~8�L�����+�� . ��$��f%I5 ��e��+��*�� ���� L M M b P L S S T 1 Z � ��E/*U,��. �N���P

'�?��"�`�-��n�D�������i#"�� ����� �N�E g %q#+$���)%���,7� . �&�d���+�Dj8�� �+%�%��Z$��-�����Z$�����%��i$�����%>�D���%�% ��$D� . �-����$�,�� �+�N���7e��"��� . �7��L������_��"�[����N��% ��$������� *�����% �?��%@����,�#;� U T 1 #"��$�%��

L��%��O��+� . ��$�� �N�N���O#$�� ,��i����,�#"��$���%��L

� W[Z 1 � T LN^ � W;�:Z L M � W[Z 1 � T]L � � W;�:d � ��E/*:-8�

����,O��'�P������A%��A ��%��+*�� ���� . �+e���Qn���A#$���)% ��,7�i'� . �N�D� . ��% %��c/0��$�,i�%�� . �"zi5 ��%���,[);��$��L� W[ZaU � T �

� wLi^

� W b P U � O LN^ � W OQP U � x O ��P -S� M

S)� M L � � ���7���d

����Qn�D��/0��$�,[�+% �7,���n��$��Z����,��[%��Z���% �*�� ���+�[ ���Z�"�N���+$���%�,�������� . ������,�#;�� ���7� � . �+���� . �M�Dj+�9��i,i��N������B�B����% �S�-���('� b P �

PE ~8��#�q'� . ��,���n��$���$���![#;��$V�����,�#� �

�S����% � *�*���� . ��%������% �*�������P���#%����-�����+!���##�$����-���O%65 ���+��% � �� . �+u+���$�� ��$Q!��Dj�P��%+#$���)% ��,7�. ���d���+�Dj8� � ��E/*U,�� ; � ��E/*:-8�['�Z);���^#;�� ���G�+��% %��Z�+��$�,O� . �&����#;� � E g �^#+��$ ��� ����%���$��a'�#;��� � )� %��A ����)��% � $�� . ��%�% �?n����,�� . ��%�%65 �����$�_���� . ��%m��� #"�iJ

- � L M � O � L S � 7KW - � L � � O � � Li^ � S � 7 W Z�Dj�A����� ���$D����i% �7 ����)��% ���('�O���_�%��m�#+��*�� . �q~S��);��% ���@E

Jm� . �-<+�� *�� ���+� . �+�����8����$�_����*Q�!������+�� �����*�������$ . � �� . �"�������$D�N����*�*Q��$�� ,����_������ �8�(��$����N���Z$�� �#"��� ���V�He��+��% %�� . �N���U�+��% %��a ��*�� ����P#$������ . �������IE t ��$ie��+�������r$���_��+��$ . �%��\ ����)��% ���('�M)� ���_��+�^#;��$N'�9������$�� . �$�$��Ve��+��%��Dj�r,�� . ��<"���+E g �S/ ��� ���A�+�+�M���% �*�������#+��$ ��� ����%���$���#"��$

L ^ T1 !L � T ��'� . �N��� . �

L� W ZaU � T U !N#"��$}�����)� ���_����$N'�P#;��$�,O��� ����$��

��"�O��$��Q����>�D�O���%@����,�#"� . ��% %��A���$�,���EA �CBC�C����������� gD � F H,ZpI�j�� O[Q;R R]VWVXOpT]K ��O[\�O�H8r O ��HEKWNPO ��� � u � T 1 j �:OpRqz�zg\6ZfIqILKWQSRV�� O���n R�r�KkZ]H,O x�� ��� [y mO�ILN3R�{�KWVXO�HgO�VWVXR�HgZe\LQSR � � � � � � � � I�O�O[ILKMIqN3O�noH%KWHENPO�\�Z � N3R]V�O�j�� O z:O�\Z6�eHEK�� ` 1 O[ILKMIqN3O noHgR>jqZfILN3R]HENPO � z O[\ j�noK

� � � � ��� � � �� � �O� � �� ��

� �

^ � � � � � ��� � � Z � ��E/*2*��

z O[\ 1 �@? � �Jp5 ���+��% � �� . �G����� 5c���,7����K$�� ,7��$�$('� ���8�N��$�� �����+!4,��k)+� ���_����$N'� $�� �Dj+��� . ��$��1�Dj+�������$���,[)�c�c/ ��� ����$�� . ����,�#% �><"����*������� �� ����$��><"�Dj+����T%��^����� . � *�� ���+� � ��E -�0�� E������e���Qn�D� . �-<+�+��*������� . �9n�D��)� %����('� '� ���+�Dj� #"������)+��% �l�� ����� . ��$�� � %^������$���,7� . ��Qe��+���N��% ���+*�� . �LJL�U9�;8�����Dj���,[����$P��% %I5 ��e��+��*�� ���� . ��%�% ����� . ��E

Page 30: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

, 1 ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������Jm�A��Dj+��,7�c#+� '�7���,�#% � ��� . ��� ,�,7��_�� �+��$���'�d%��A��Dj��,7�����7�-�+�S%�� . ��$�� �N�N������������ . �

#"��*�����% �4�3����,�#"��$���%��r����+�2������$D��,[);� ��#+#$������ ,������ . ��% % � . �>:@��$����+*�� �-������$D�N��� �Q�-��� . � J � ��� � � b �&� ��� O � ��� )�? TYP � � � � � Fb ��� ��� O � � )� � � d � ��E/*U.��

s � ��� . �P ` 1 !����_�%�����,��O/ ��$���� . ��$��?�Dj+�?e��+�� ���`��Dj��,7�+!+�Dj�7'�A�+�����$D��% ,�������� . ��%

�Q�-��� . �O��$ . ���+��� �*W4�?U !$�� ��%��������+�Dj+�� ����)��% �A#;��$P X��E

b�##% ���Dj� ��,�� . ��$��-������,O��������%65 ���+��% � �� . ������ 5����,7������P��$��N�8� ��,����Dj��� %S/ ��� ����$��. �L��,O#+%���<"����*�� ���� . ��%�% �Z��Dj+��,7�[$��� ��%�����%65 �Qe��+��*�������

b �O )� T b - P � � � �

� �o�3d5��?���_���A�Dj��%��A$D� . ���-� . �qe��+�� ���O��e��+��*�� ����A�����

T����

� b P � � � �� �o� � �

P �� � � �� �}��� Z

�A �����,O� ���$��f���_��+��% �m� . �A ���A���% ����P B��Ep~8�m������$��8�;�Dj�?�� �

T1 !S��##+�$��P T �����

T� !8��% %���$���% � . ���$D� . ���-�"�-��� �+��� . ����+E g �7e���� ���?������A% �A���% �*�� ���+� . ��% %��

��Dj+��,7�!S���%�% ���N��$�� ��)��% � . �Lu+���$�� ��$�'� . �N�D� . ��� Tc^ � � h�� �

O�`� � h�� ) d

JL�4��$��Q����>�D�U% � �����$���� � �M�Q����� . �a#;��$�,��������+��% % �����n��$�� . ��<+�� *�� ���� . �pn�D��)� % �>�N'�!��$��N�8� ��,O���Dj��% ����Dj��,��a'�A ����)��% �A���+�Dj+��e��+��� . ��% � . ��A$�� . ���-�m�-�����"�-� . ����"E

�����+��%�� . � ��,O�Oe���� ���A)+$������ . ����-�+� � ���+�c�-���7%I5 ���+��%����� . ��%�%65 ���� *�����% � *�*���*�� ���� . ��% %����Dj+��,7�Ep����,�����_���m��Dj+��,7�[,i�%�����n����#m!+���+�Dj��e���� ����j+�O)�� ��_��� . �m��"�O����$�$���� �D�#$��8��� . �+$��r#"��$7�����_��+��$��U� %�#$���,��V#+�����+E g %�,�� . �H/0��$D �a#� '�9���,�#% ���-� . �P/ ��$�% �M'�e����% %�� . �L�S��� %�� *�*Q��$���%��7���� % �##;� . �LR}�(��% ��$L

� W[Zq?�T]L

� W[Z 1 � O ? LiM � W Z 1 � O �� ? LNM M � W Z 1 � O�� � ? � �:d

g �N��% ��$�� . �L

� W Z 1 �Z�LiM

� W[Z 1 �a ���� . ����� . ��%�% �H����� . � *�� ���+��� �� *�����% ���H� %��(��%���$�� . �LiM M� W[Z 1 ��#�q'�4�Q����$������#$��Q���a�S��� %�� *�*Q��� . �4%I5 ��e��+��*�� �����!m��� ���a#"������ . ��% ���_��+��%��Z�P L S9S � W[Z 1 � E t ����� ��,��?e��+��� . �"��� �������$��c�+�m5 �Q #+$��Q���������#;��$ � ��� � �Dj�?'� . ��% % �[n����� �

_�$D� . � . �L�������$�������*�*�� . ��%L$��Qn��� . ��% %��7��Dj��,7�!S� �4e���� ���7���� �� ��� � T � ��� ^ O ? � LiM � � O �� ? P � � ��� ^ d

Page 31: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* ��8 �� ��� � ��� � ��� ����� � � ��� ��� � � � � � � ��� � ,+�

u}� _��$D�a��E , J�RL$D���#;��$����O%�� �����$����-������%f,��-��� . �7�#8����� .

Page 32: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

, � ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������

u}��_��$��a��E -iJoRq$D���#"��$ ���i% ���+����$��A�-���U� %m,��-��� . � . �LJL�U9�;=<H��� . $���:

Page 33: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�* ��8 �� ��� � ��� � ��� ����� � � ��� ��� � � � � � � ��� � ,�,

u}� _��$D�a��E/* J�Rq$��� #;��$����O%�� ��Q��$�� � . �N���7$���_���%���$��Q�p�-���U� %m,��-��� . � . �mJL�U9�;=<H��� . $���:

Page 34: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

,U- ����� ���������� ��������� ��� ��� ��� �������� �������

Page 35: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ����������� �

� ��� ��� ��� � � � � � � � ��� ��� � �

Rq$���� ����$���,��G� . �Q���G%��G$�� ���% �*�������Z�8�,���$�� ��� . ��%�#� '�M���,�#% ���-�Z����#;� . ���Qe��+��*�������#+��$���)"��%������+!�%65 ��e��+��*������� . ��%q����% ��$���������+� . � ,����+�� ����?�#+��*�� ��%��LNM T & L�S9S Z � � E��(������ & ` 1 E

t ��$?e���Qn������� #"� . �p#$���)% ��,��&���+��% ��*�*���$���,O��#$�� ,�� . �p���S�����G�p,O����� . �����#%����-�����#;��$i#"���p#+������$��7� . ��%��-�+��p,��-��� . �p#� '�^��% ��)"��$������p�Dj�U ��$��8� $������4� . �N�8�8� ��$��7��% % ������ . � *�� ���+�}�Q������� � �N��,��������O$��� ��$��>����� ���O$����Dj� �� ��� . ����,������ . �����#% � ���>����#"��$A���������+��$��%���n�D��)� %����('�

� "$! / B*+.@#D8/$& � - �1 � -06*GIH������ 1:+E1:GIH8/:& 2 BC&,+/ � &,<=6*-?>,1:@#(*&��8&)/ G -0/:@ +.&

g ��"��*������� ���M�-���" � . ��$�����,��H%��T$�� ���% �*������� . ��%�#$���)% ��,7� . ���d���+�Dj8��Eyz���$����Dj%����Z �%. ��,����� �4w 1 Z���x lVw 1 Z � �d�-�����-��� . � *�� ������ �� *�����% �L

� W[Z 1 � T]L ^ � W;�:Z � � E � ��A�-��� . � *�� ����m��%f)"��$ . �O��,���_�������L

� 1 Z\U � T L � � Z\U � T 1 d � � E ,��t ��$&e���Qn���[���,�#% � ����#$���)% ��,7�O'��#;��� � )� %���� . ��#;��$D��$��P��%",O����� . � . �; ��#+��$D��*�������

. ��%�% �A�N��$�� ��)� %��f#;��$c��$��N�(��$�����+�7���% �*������������N� �D�E�����$D�Dj� ��,��i����� � . ��%�% �[���% �*�� ���+�L� W ZaU � . ��% % �`/0��$�,7�`�#"�Q�-����% �S' � W;� � U � �q��� �������+��� . �U��� � � E��(����$��N�8����,��Z%65 �Qe��+��*�������

. ��:@��$����*�� ��%�����$ . � �+��$������

T ' � �'T b�? d

bc))����,��������$ �D�N�����N��% ��$���#;�������� ��� . ��%�%����-�� ����������������-��� . ��,O��,[)$����Dj�d�(�8$���));��$��#;��$�,���� �� ��%��+*�� ����f� %�% � ,O����������E������ ��� . '��� �U��_���f,�� . �7%��� ��%��*��������#+��$������-��% ��$��L

� W ZaU � T (*) � � � M � � � W d,�*

Page 36: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

,2. ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� ������������ �������% �*�� ����P�� .+. � / ��%�������� . � *�� ���+���%8)"��$ . � � � E ,��q#"��$o���S������+�(��%���$�� � ��������$���� . � E t �����Djm'�d��+�[�-��,i)� �+��*�������P%�� �����$�� . �+����%��; ��%��*����������"�-��$D������$���<"����%65 �Qe��+��*��������!#"��������,��O����$D����$���% �����% �*�� ���+��_������$���%������� ����% �i/0��$�,7�L

� W ZaU � T ��� � �P� (�) � � � � M ���� � W[d

zc��))����,��T��$D�=�����_�%�� ��$��4��������YZ�-� �������P� #"��$` � .. � / ��$��4% �T����� . ��*�������4���+��*�� ��%��

� � E � � E t ��$ U T 1 ��))����,����� � � P �G���� � W T]Li^ � W;�:d

����� ��� . ��,��� ��$D�Z�Dj�[�q�-�8��Y7�����������P�� ����7����N������,O�������?�o�-�8�-YZ����������� . ��%�%��Z���$����

. �Lu+���$�����$ . ��% % �O/0�+�*�� ����LN^

�A ���� . �N��� . �P�T

�- �^ Li^ � W@�S � � � WE7KW[d

g �T�-:@�-�����p%��a/0��$�,[�+% �a��$��N�N�N�D���-� . '��% �4���% �*�� ���+�7����N� �D�!}��% ,O����4#;��$ . �N���p���� *�����% �#"��$��-��f%��i���$�� � . �mu+���$�� ��$��-��������$�_���!�,7�i/0��$D ����� . $���)+)"���8� ���i#� '�a�Dj+����%>��$����-��,O���+�G�#;���-� � . �d��##+$�������,7��*�� ����O�8�,���$�� ���E g �T�-:@�-� �����d�-�8�-YZ�����������

P� ��� . $D����+�

����% ����%��N���L���4_������$���%��A�-���4e��"��%��Dj��/0��$�,[�%�� . �}e��"� . $D�N���$��O�[��L#;����$('�O�������$��?��������� ��%�� . �S��O�8�,���$���<+������ . �S� .. ��� . �S���% %������$�����Eo����Qn���c����[����_�%�� ���Dj����%�,����+�c#;��$%I5 ��e��+��*�� ���� � � E �Q�me��+�� ����,��-��� . �c#;����$���))"��$�����%>�D��$��&�-YZ�����-��!(,�� . ������������$���));�&����#$D�N��������)� %��?� �G��>���+��*�������L#� '�r����,�#% � ���N���i�-��,��i�L#$���)% ��,��}�`�-�8��Y7�����������L�N��$�����)� % �I!���V#� '� . ��,����+ � ���+�& #+��*�����% �o�O�+���V%�� �����$��6! . �N���i%��� ��%��*�������O���#%����-�����a����H$��� �%������� ��$�� . �� #;���+��)� % ��!+��%�,����+�������a,���*�*��m��% ��,������D��$��IE

� "�� � (*@ 5 GIH*& � - &,5 B8/$1$G,1 2 @ BC&,+ / � &)<c6*-?>,1:@F(*& �8&)/G -0/:@#+.&

�����+�� . ��$�� ��,��d�+�+� . ����-$��-��� *�*Q��*��������n�D��� . ��$ .A. ��% . ��,����+���[w 1 Z��-x[l�w 1 Z � �-!�� . ��� �D��� . ����S�����G% �4�������*��������_�� '�=�S����% ��*�*������4#;��$Z% �4��e��+��*�� ������ #"��$�);��% ���Dj��EBJL�^��Dj+��,7�V#� '� ��,�#%����-�d�-���+ �� ���p�+��% %I5 ��##+$�������,7��$���%�� . ��$�� �N�N�D������,�#"��$���%�� . �

L�-���?��+� . ��:;��$����*��

/0��$��d��$ . L M� W��#Z\U���� � �

M L� U J

T L ��� Z � � O �Q��?+� b L ��

� Z �@?�? Z��% � . ��$�� �N�N�D�O�������� . �i�#+��*�� ��%����-������+� . ��:;��$����*����-������$D�N������������ . �LNS S

� W � ZaU ��� � S L� � W;� J T L ��

� Z � � O �(��?� b �L

��� Z �@?�

O L��� Z � �=b9�Q��?�� d

8c� ���������,��7e����� . �m���7��Dj��,7�i/0��$��P��$ . Ey��������$D��%;#;��$�%65 �Qe��"��*�� ���+� � � E �Q�� ��� � � b � ��� ? b & � � � � � b ��� ��� O � � )(� � � T1 Z � � E -��

Page 37: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� � �� ��� � ����� � � � �o� � ��� ����� � ��� � � ����� � � ��� ��� ����� ������� � ,=3�Dj�A��m���$�� ���A���+�Dj�� ��� � � T � � b � &�� � � ��� O &�� � � � � � � O � � )� � �3Z � � E *��

�(����� . ��#"��n��� �

T ? � ) E�~8��+���������,��P��%S#"��$D��,��-��$�� � _����S�Dj�e���S���$����% �����+��%���_����%q#+��$���,��-��$�� #;��$�% �i�Qe��"��*�� ���+�q� #"��$�);��% ���Dj��E?����� %�� *�*Q��� . �a% �U���� % �##;� . �&R}�(�8%���$. �+��+�A���% �*�� ����P$���_���%���$��

L��� �+���$���� . ��%������%�% �?��Dj+��,7� � � E -��}#;����� ��,O��/ ���-� %�,��������

��-$�������$��c%65 ��$�$���$�� . �f��$����"���N���$D�

� L=T �L M b & L S S � O � �

� ?L M M b &� �

� L S S S9S � O d$d9d � � E .��

�Dj��,��� ��$D�O�-��,���% �Z��Dj��,7�i�� � . �L��$ . ���+�O�����%f����,�#"�7� � ���%�% �7 #+��*�� �+Eb��"��% ��_���,��������K��%W������ � #;��$�)"��%����-� #;��� ����,�� �-:@�-� ���+��$��K%I5 ���"��% � �� . �W�����

5c���,7���+�m!S ��n���>������ . �i��%;�N��% ��$�� � ��� %I5 ���#$���� � ���+� ( � � � ���% % �i��Dj��,7�!8���,�#$��#;������ . � �

T � hSE"8c�������+� ��,O�7e��� � . �

b9�?T & ( � � b �

O ( ) � �� Z�Dj��� ,�#%������

T

� b - &�� � � � � dt ��$c�(����$��A ����)+��% �>�N'� . ��))����,��`�(����$��Ae��� � . � � � �?����� � - &�� � � � � E�����Qn���'������$��O#;��$���_��� �T��A�����% �7 �

&�� �� d � � E/3��

����Qn�D�k�-��� . ��*�������2'� ��)+)+�� �����*���$��Qn��$���� �����N�k� �K#$����������2#;��$D�Djf'� � ����_�%�����,��. � ,���*�*���$��A� %q#+�����Z�#+��*�� ��%�� . ��))����,��7#$���� . ��$��?��re��+��$ ��� . ��%}#+����������,O#;��$D��% ��E����Qn���U'��� %m,�����������#"��$��-��m�+��%L���_���>���O��%>��$��m��Dj��,O�L����$�$D����� . �m#$���#;�� ���6EW���_�%�����,���#;��$N'��#+$�� ,7��/ ��$&��� . ��$����-��,��P�����/ ���-� % ��#"��$pe���� ���A��Dj��,7��,��� ��$D��$���

%��c�����8����$�_����*Q�d���������% ���-��� . ��*������� � � E43��-E t $��S�-� . � ��,����-��,���#"��$}� %8�������� #"��$�);��% ���-�+E

� �=� �:��� � > D� �EKkR � ��� V�� Rqz�z,\�ZfIqILKWQSR r�KkZ]HgO}H noQ;O�\LKkj6RpT*R]N3RUT*R]VWVXZpI[j �:O�Q;R x 8���qypOL VXR�I�ZeV|n*r�KkZ]HgO T*O[Vezg\�Z*{[VXO�Q;R x 8� � y�� x C�[y�� �,O�VXR~H,Z]\LQ;R T*O[VEQSR]IqIqKWQ;Z�T�O�VWVXRST�O�\LKWdfReNPR��n R]\LN3R Iiz:R r�KkR]VXO T]K L w L S S9S S wc\LKMILnoV|N3R V|KWQ�KWNPReNPR noH K Y[Ze\LQSO�QSO�H N3O ILnoVWV�� KWHENPO�\Ld]R]VWVXZw 1 Z��-xol`w 1 Z � ^ x wvO ? T �

� w z O[\�noHgR�j6Z]ILNPReH N3O z:Z]IqKWNiKWd]R � � + wvR]VWVXZe\�RSVXR ILn jqj6O[IqILKkZ]HgO� ��� jqZ]H d]O�\ �*OSReVWVXR�YqnoHor�KkZ]HgO L H,O[VWV�R>H,Z]\LQ;R x�� � � �qyfw ��n R]H,T�Z � � 1 �A �#� ��N� �:���2�%�$�C�gD ~8� � � ��� G%65 ��$�$���$�� . �o��$����+���N���+$��U��� � W��ZaU������7 � . ��������&�-��� (%65 ��$�$���$�� � b L �+��% %I5 ��##+$�������,7��*�� �����!

( ��� T � ��� #b L ��� Nd � � E +��

~8��� �+���$�� ��,O��%���e��"���������('�S( ��� ���%�% �7��Dj��,7� � � E -��-!S��$��N�8� ��,O�

( ��� � � T � � b � &�� ��( ��� O &�� � ( � � � � O ( � )� � � b5? � ��� id � � E 0��

Page 38: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

,2+ ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������8�����$��8� ��,��r��% %���$��H�Dj�� ���N��% �U%��=�-��� . � *�� ���� � � E43��-!p��������YZ�-� ������� . ��� . ���#$���,������$�,�� ��L� . �� ��$D�� ����O��������_��N�����8�f�A���,�,7�N��� . �����4��E g ����$�� . �"�-����,��7e��+��� . �m% ����$�,7� . ��%m,7������,�� . ��% %65 ��$�$���$��

� J T ,7�:9�� ( ��� � Z � � � �Kd

b e���Qn���Z#������`�S��� %�� *�*Q��� . �`%��7����4�+��_������ �8�>�N'� . ���o�-�8��Y7����������� . ��( ��� a��� � � E 0������������ �����/ ���-� %�,��������

� � � � O ?�,7�:9�� � ��� � Z � � � �KZ � � E � 1 �

��� ���!8�Q����� . � �^ T

1 !� � ^ ,��U9

�� � ��� � Z � ���EZ��@? � ^ �Rd � � E ���Q�

������% ��*�*���� . ��% �7 ��� ,7� � � E .����A� %f/ �N�����7�Dj�L M M T & L S9S S S ��� ���������,��7��% %���$��

� �� ? & � ^ � & b O �

. � � �S S S9S Z

. �N��� �S9S S S

'�c%��?���$�,7� . ��%;,������ ,O�i#"��$�%�� . ��$����N�N�D�L S9S S9S

Eobc))����,��ie��� � . �f�Dj�%I5 ��$�$���$��P����� . ���[*���$��"!��N�8����$��A%65 ��##$�������,7��*���������8�,���$�� ���?�-���8����$�_���!���%+����� . ��$�� . ��XT

� � )� ?���*���$��"!+�-��� � ���� ����������!+��?%��7 ��%��+*�� ����A% ��,������ij+��% � . ��$����N�����?e��+��$���� #"��*�����% ������/0��$�,O��,��������A% ��,����������7��`���S� ���7��% . ��,����+���"E �

J&5 ���+��%��� � . �@����� 5����+,�����`��� . ���-���Dj��!8��% ,�����i#"��$p��� �������$��c%��? ����)��% ���('�?� � � !% q�-��� . � *�� ���� � � E43��o'���+���-�Q����$������� �SYZ�����������&#;��$L%��� ����)��% ���('�!Q,�������$��&� %�Rq����$���,�� � E���-� . ���-���Dj�c'�d��%�,��������SYZ�-� ��������#;��$�%��� ����)� %����('����� � � Eob��+�Dj+��� �i#+$�����������#;����� ��,O�. ��Y7����% ,��������P����������$�%����-��,��P �8��� . � . ��%�%���<"_��$D� � E��d���������8�S�D��#"��$

�=T1 d 1 *��P��% . �N���

���+��*�� ��%�� LN^�T � � W[Z #;��$ 1 AW � Z� b � W Z #;��$ � W X� Z � � E � � �

W�� . ����,��G�Dj�`��T#�����-��%��4����,[)+� ��,O�������4���%p#+�����a����,�#;��$D��% �7#$�� . �+�-�7� �T#$D�N���������4�-��,O#;��$�����,��������O,���%���� . � ����$D�� . ��%�%��7���% �*�� �������#+#$������ ,������+E

t ��$��N�8�8� ��$��d��e���Qn�������+�����8������ �������P� %,�� . ��#+� '�7���,�#% � ����'�Pe����%�% � . ��S����% � *�*���$���m,��-��� . �m��,�#% ���-�����6E

� " � � ( � & 2 @��8@ 1 � B8/91:G,1 2 @~8�c#+$���� . ����,��?% �i��Dj��,7� � � E -�� !8��� �����������,��?%�� . ��$�� �N�N�D��/0��$��d��$ . �����7��"� . ��$�� �N�N���)+���D�8�P��$ . !�% ������ ��� . �C���8�N��$����N���9%65 ��##$���� � ,7��*�������T #+��*�����% ��!��T$�� ��$�$D���_�� ��,��M_�%����� . � ���m���������� ��,��O% �7��Dj+��,7�O��,�#% � ���>���� ��� � � b � ��� ? b & � � � � � � � b �&� ��� � � O � � )(� � � �� T

1 d � � E � ,��

����� ���7��Dj��,7� . � #"��� . � . �[��$��A#+������L��%m%�� ����%�% � U� � � �A���#�+�����Z ��%�����%L%�� ����%�% � U�� . '��e��� � . �f,����+�O��_�������% � . �i��,�#% ��,������D��$�� . ��%f�-��$�$�� �#;��� . ����������Dj��,��[���#% � ���>���+Eg �S/ �N�����o�-�������-��� . ����%q�N��% ��$�� . � � ����T'�A� ,�,�� . ���N���Z��%}����% ����% � . � � � � EPRq�S�����(�8� �

Page 39: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� �: �� � � ����� �S� ��� � � ��� ����� ,�0% �G��Dj+��,7�H'�7�_��"��% ,O������� . �p��$ . ���� � � Z � ��� . ��%�%65 ���+��% �� � . �&����� 5c���,7����T$�����%>�D��Q����$���� �+����� . � *�� ���"�N����,��������A ����)+��% ��#"��� �Djm'�

bM�?T & ( � � b �

O ( ) � �� Z�Dj��� ,�#%������

T �

�O- &�� � � � Z

�Dj�T'�G ��,O#+$��G����,�#$�����=��$D� 1 �^�G#;��$Z��_�����(��%���$�� . � � E ����� ���T#;��$�,��-� ��� . �#$���� . ��$����(��%���$�����))+��n�D���*Q�V_�$D��� . � . ��%c#"��� � . � . � ��-$��-����*�*���*�� ����a����,�#"��$���%�� ?@!���,�#$��`�-��,�#+�N����)� % ,O���������-���\��%d/ �N�����V�Dj�`%65 ��$�$���$�� . ����$����"���N���$D� . �����`$���,7�����$��#��������% �+E {d�� ��_����$('�V#;��$N'�M�����-��$ �D��$D ���Dj�G%��\���,�,7�!���W��W�8�,���$��^� �S/0��$�� ��$�� . �#+�����6! . ���q% �(����$��m �+##% ��,���������$��L�����������$��m�Z����%��-��% ��$���% �` ��%��*�������?��#+#$������ ,��������#;��$���_���f#+����� . �f����,�#"�Z�� �O� �S/0��$�� ��$�����%f% �(����$��?/ ��� ���Z�����a%��7��Dj��,7�O���#% � ���>���+E

~S��$�� �8� ��,O��� . ��� ��� %m ��n����,7�����%�%��i/0��$�,��� �O

� &�� � � ��� � � b &�� � � � � � � � � O � � )� � � � � T � ��� �d � � E � -8�

~8�+##"������ . �U�Dj� �N��$��L��$��r� Z � Z$d9d$d3Z � b]��!m��))+� ��,O�U��% %���$��7�+�V�� ����,7�Z% ����Q��$����$�� . ����_����+��% � . � � � b��Q�}�Qe��+��*�������S��� � � ba�(�q���+����_���>����!���� ����%I5 ��e��+��*�� ����P�8�,���$�� ��������� ��������% �����"�-��_���������-���O�+���+,O��$�� b���! �

O��E t ��$�$������% ����$��P ��n����,�� . �

e���Qn�D��/0��$�,7�����O,�� . ����Y7�����������P$�����%>�D�������8������ �������d�+���$���%65 ��%�_���$��>��,�� . �RPj��,7���!�Dj�O� %�% �+ ��$�� ��,O�U)$�������,���������e��� . �� ��_�������"E[�������$�� �8� ��,��`� %& ��n����,7�U%�� �����$��i���% %��/0��$�,7�i#� '��_������$���%��

b P � � � )� O & � � � b � � � � � � T 7 � Z T � Z � Z9d$d$d3Z � b9� Z � � E �!*��

����� � ^�T ��� T 1 d � � E � .��Jp5 ��%�_���$��>��,O� . �cRPj+��,7���#;��$�,��-� ��� . ��$�� . �$�$���� %c �� ����,7�V$�� ����$D � �N��,���������� . ��+���$������_���%���$��� �#;��$�� ��$���Eq~8��#$��8��� . �p#"��$q� � . �*�������p��##;������ . ���Dj�&��#$�� ,��C?�����$�,������� ����O_�� '�O��-$���� ���f�+��% % �O/0��$�,7�� � b<( � � � � � T ' � Z T � Z � Z$d9d$d:Zq?�d � � E �(3��

g %@����$�,O� ��?��+������� � ������ ����% % ��$D�[���%�%��i/0��$�,7�i��$�� _�� �+��$����

b P u � � � u O & u � � � u � � b � u � � � u � T 7 u � � d � � E � +��

t ����� ��,��G��% %���$��4��%�� ,����"��$�� � u . �re���� ���r��e��+��*�� ����U� . ��%�%65 �+%>����,7� . ��% %�� � � E��:3��?���� ���������,�� � u � � b ( u � � � u � T ' u � � Z�����

( u � � T � u � �& u � � b P u � � ( u Z�' u � � T 7 u � �OQPu � � ' u& u � � b P u � � ( u d

Page 40: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

- 1 ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������t ��$�� � . �+*�� ����i#"����� ��,��`����% ����%���$������S�����o�}���8�-YZ�-� �������q#+��$������ . � . �}( ^?T ' ^0T 1 �#"������ . �

( � T � �& �]b P ��( � )� Z�' � T 7 �OQP

� ' � )(�& �]b P ��( � )(� Z T � Z � Z$d9d$d:Z � b9� d � � E � 0��

b e���� ����#�����������%��-��%�����,��O�f�(��%���$�� � �3#"��$������ . � . � ��� T 1 ������$��+��� . �O� � . � �-��$���+���� . � � � E �(3���� � � E��!0��-E

~8�?������$����?�Dj+�V� �3_������$D��% �Ve���Qn���C,O�Q��������� ,�� . �?� � . �+*�� ����T#�}'�9$��� �%�����$�����"n�D��)� %���!f,7�U�� . ��,���n��$��U�Dj�Oe���Qn���U�+���H��+���-� . �i�� � ( � � g ��E?���+�a�-��� . � *�� ���� �Y7������������#"��$��Djm'�A�-� '���(�8�����_��Z'� . ����� . ��% %��O����� . ��*�������P

�#Z & � Z � � ` 1 Z & � ` P � O � � Z�Dj�['���Dj����$D��,����������� .. ��n/ ��� ���i#;��$P%�����Dj��,7� � � E � -8� E t ��$�$��� ��%�����$�%��i� . ��_���@�� . �)+�� ������ ,A� .+. ��*�������

O,�,O��%>����#+%�������*�� ����

O� . ���8�� � ���+�

T+���#"��$���*�� ����6! . �A�����S/0$������D��$��

��% %�� � � .. ��*�������O

� ,���%���� #% � ����*�������T-]��#"��$���*�� ����[#"��$r% �B��Dj+��,7�]���#% � ���>���+E g %

,��-��� . ��� ,�#%����-�����7$��� �%����Oe��� � . �m#� '���N��������_�_�� ����[��A��%f�8�,���$�� . �f#+�����@����,�#"��$���%��'��$�� . �������7��,����� . ��%�%��O,��-�('� . �Le����% %�� . ��%m,��-��� . �7���#% � ���>���+E

� "�� �� ��� & 27@��1 &�/:@ 57G H*& � - �1 � +.-0(�� � �;1:G @F/:57@#(���+�U_������$D��% � *�*���*�� ����A�"�N���+$���%�� . ���o,��-��� . �o#$������ . �������6!;_�%�����Dj��,�� � � E -8��� � � E � ,�� !'� . �N�D� . �O��+�O,�� . ����#"�Q������ . ��� . ��A�Dj�A#;��� ����,��� � ��������������,��������A���$�� ����$��� ��� � � b � ��� T &�� w G � S L ��� � � O � �,b G � � S L ��� x Z � � E �U1 ��-��� 1 G ��Ec~8�q�+�����o�Dj�?#;��$ G

T1 ��L$��>��$��N�N��% �`��Dj+��,7�7���#% � ���>���+!;,�������$��?#;��$

GT

�7%��4��Dj��,7�U��������% ,��������7� ,�#% � ���>���+E`bc%>��$�� ,��������&#;��$ G �T1 !q��))����,��4���+����$D�

��= ��n����,7�U��$�� . � ��_����"��% ��!m�Dj�� ����##;��_�_����Z_������$�������,��������O��= ����#������o��������%��6!f��$����%@����,�#"� U�U����$��A��%@����,�#"� U� � � ! . �i$��� ��%�����$���#;��$�_�%��

L��� ;E

z���%�%65 ���+��% �� � . �L�����75����,7�������� ���������,��

T � b - & � � b G � � ���� �

�O- & G � �� � � d

s � ��� . � � ` 1 !��))����,�� 1��E&Jq�O���%��O#"����� )��% ���('���NYZ�Djm'����L�-$���� ������"n�D��)� %����('�a'�. �N�D� . ��%m������

g bA��!S�������i��

- & � � b � G � � �� � � � ` � dg �4�-���"�-% �+ � ���+��#;��$ 1 G

g � !� %m,��-��� . �7���$N'�i ����)� %��A��A�����% �7 �

� �� & � � b � G � )� Z

��%���$���,��������I!S#;��$ � G 1��!S� %m,��-��� . �O$��� �%�����$('�O ����)+��% �A#"��$�e��+��%� ������ � E

Page 41: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� �: � G � � ����� ��� �.�� � ����� � � ��� ��������� � � ������ � � � -"�

~8�}��� . � . ��"e��+�[�Dj� . � ��������� . �Q�-�� � ���7%65 ��$ . ���+� . �o�������$D�N����*�*Q� . ��%},O����� . �Z#;��$. �Q�-� . ��$��A ��$�� ��%����O������$����7,����+�O�N�����D��_�_�� ����[� �a#+$����������E5���%�����%��-��% � . ��% %65 ��$�$���$�� . ����$����"���N���$D�M'�4��� ���*�����% ��% �T��-��%>�D� . ��%�#������ . �N���

�� . �����^��:;��� ���"��$��^%I5 ���#+���+ � ���+� . �OR}�(�8%���$�E t ��$4_�% �i��Dj��,O�[���#%����-�����`'�^���,�#$�������8��������������`��:;��� ���+��$��`�D��% �4 �8� %��#+#"�V���%�#+������ � W��FZ\U�� !p,7�V���%P������H#+$��Q �������'�?#+$���/0��$���)� % �[�+���$���!"#"��$�$D��_������� . �o � ,�,��-��$����!;��%}#������ . �q,���*�*�� . ��% %65 � �+�����,O� . ���#�+�����f���ae���� ��� �����!S��� ��� � W��#ZaU � �� �-!S��%65 ��$�$���$�� . �"��$����+�������$D�?����$�$('�i��% %���$��i���$���� �������,�� � ��� � �� E&b�))+� ��,O� . ��+e���

L��� � � T�� L O �

� ?L M O �

� � �� ?+� L M M O �

. � �� ?� �L M M M O d$d9d �

��� � ��� L��� T�� L b �

� ?L M O �

� � �� ?� L M M b �

. � �� ?� �L M M M O d$d9d �

��� � �� d���� � . �m�������$D����� . �7e���� ��� . ��A�Q #+$��Q��������f �f��� ��������

�M L��� � ��

T]L��� � � b L ��� T�� ? L M O �

� - ? �L M M M O d$d$d �

��� � �� dbc�+��% ��_���,�����������m#�q'�7��:;��� ���"��$���%65 ���#+���+�� ���� . ��%�% � . ��:;��$����*��?�#+��*�� ��%��6!S������������ . �� �a�����+��%��" � �����%��� ��_�������������#$��Q��� ���� . ��% %65 ��$�$���$�� . �f��$����+���N���$�� J� ��� � ��

T�L M b & L S S � O�� � � b G ��? & L S9S9M b +� � L S S S9S�O � � ? � L M M M b + ? L S9S9M M �O � +� � � b G ��? � LNS S S9S9M b +��� � L�S9S S9S S S � d

~8�L

'����+�i ��%��*�������c��))+�� �����*��?$���_���%���$���!���% %���$��A% �[��Dj��,7�7'�����,�#$����-���+�� ����������������-�$D�N��� . �S��$ . ���+� � � Z � � !���$D�������Dj�P���%+���� � G

T � !�� �7�-��S% �A��Dj+��,7� . ����������� . ���$ . � �� � � Z � � E g %��N��% ��$�� G

T � '�& #;����� ��%��&�p%��c��Dj��,�������$�$����#"��� . �������}#+$���� . �&� %����,��. ����Dj+��,7� . � ��\�R]H� �� ��KkjqZ]V I�ZeH E g ���%���$���������� . �c��,�#% � ���>���c#;��� ����,���#$���� . ��$��p���"�Dj�? . ��% % �� ���Q������$ . ���� . �

�!���� �������� . �A�-�� ' �8���A��Dj��,7� . ��%�������� . ����$ . � ��P�-���i��"�

$D��_������������% �}��-��%>�D� . ��%�#+����������,�#"��$���%���ELb�%���$�����-��%>���&#"�������+��$�����%>�D��$��&�-���������� ��������?�������� . � . ��%;����#;� . �@#$���)+%���,��[�N:@$������D�N���+!���� . �@� . �����,�#� �i�����Dj���,[����$����4��$ �����w ����xy! . �N������"�Oe��� � . ���-� �+� . �q��Dj��,�� . ������$D �m����+�O�����+�� . ��$D�N���6E

����?���A%�� ,��>��� ��,O�]�9$���#;��$�����$��V��%��-���A_�$���<"�-� . ��_�% �A��$�$���$����-��,�#������ . ���A�N��$��,��-��� . �;�����Z�N��$�� �c��-��%���� . ���@#+��$���,��-��$��6E}~8�@$���#$���� . �A� %"#$���)+%���,��?���Qn�P�Dj����))����,�������+�� . ��$D�N���P#$�� ,��+!(��� ���P��%�#$���)% ��,7� � � E �Q� ; � � E ,��@�-���A� % . �N���c���� *�����% � � � E � � �f� & T ��E

5���%�%65 ���+�� ��,�� . ����_�$���<"�-� . �8 � ���n��$�� . ��% % �P<"_��$D� � E � ������ . �������_�$D�N<"��� . ��%�%65 ��$�$���$�����%�%��?�+��$�,�� . ��%@,7��� � ,��[� �7/0��*������� . ��%@�8�,���$�� . ���;#"��� � . � . �����$������ *�*���*�� �����o!,�������$���� �7e��+��% %�� . � . �� ��$D������/0�+�*�� ���� . �������,�#� . �@� t �?E t ��$�_�% �+��Dj+��,��� ,O#+%����-�������������+�� . ��$D����4�� �4%65 ��� . ��,��������r� �

T u� � <;���N��� � % ���+���G��������� �8�+���A�Dj+�`e����% %��H� T u� <"���N��� � %�� ����i��$���� ����_�_�� �������-E g �a#"��$������-��%���$�����))����,����L���_��+�������f�N��% ��$�� J

Page 42: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

- � ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������� b J G T 1 ! �

T � �� {�J G T � ! �

T � ! T � ^ �� ��J G T � ! �

T*S! T � �

� z#J G T ��! �T*! T � E

g %o_�$D�N<"���^

,O��n��$��`%I5 ��� . ��,�������� . ��%�%65 ��$�$���$��i����,�� � ) !L����,��i���& �����#;�-� �D�!@��%��n����� ��/ �[%��i��Dj��,7� . �@��$D���+�2;B5����-��% �����#;��$ �

T � � T � ^ E g %",O� _�% � ��$p$��� �%��������7'�#"��$�������������8�S����� � � #"��$ T � !N,�������$��d#"��$ �

T*�%��c#;��$ . ����� . �S�������$D�N����*�*Q� . �N�8�S���

����_�$D��� . �p#+��� �p$��� �+%>�D�4#$����N��% ��������E g �S<+��U����� � %�,������ . �4��������%�,��������Z� ,O#+%����-�����,��� ��$D�!f�-��,O���-�&������#"��� �D�(�(�+!f% �a��+�U�����$��� . �&�������$�������*�*��+E g %o_�$D�N<"���U� . �� ��$D�!�Dj��,��� ��$D�U%65 ��$�$���$��O���V/0��+*�� ���� . ��%�����,�#"� . �d� t �[! . �N�8$���))"� . ��$�����"��,O����$��. ��% %65 ��Y7�������*�� . ���P�N��$��p,������ . �6E g %d,��-��� . �H�Q #% ���-�����r$��� �%����G,O��%>���r#� '�\��YZ�-� �������. ��% %65 � ,�#%����-�����"!o,��r��$D���+�2;B5����-��% ����m!q #;����� ��%�,��������Z#"��$ T � !q,��� ��$D�4���"�-��$D�a% �,���_�%�� ��$���#+$��Qn�D��*�� ���+��E

� " � � +E19(*G,1$B81$@ �1 � -?5 5 1 � @�& G @#(��F&,+� &�(*> -���+� . ��% % �M#$���#+$�� �-�N'�]#� '� � ,O#;��$���������� . ��% %��9 ��%��+*�� ���� . ��% %65 �Qe��"��*�� ���+� . ��%7����% ��$��LiM.T & L�S S '��� %"#+$�� �+�-� #� � . �;,7��� � ,�� Jo ���

L��+�?���% �*�� ���+� � $���_���%���$��Q� . ��%"#$���)+%���,��

� � E��(� ; � � E ,�����% %���$��

�+#�9L

� W ZaU � �\W � w 1 Z��-x ZaU � w 1 Z � ��� 9,��U9�1 Z� �#

� Li^� W;� �aW � w 1 Z��-x � �Kd

���m5 ���"��% ��_��=#+$���#$�� �-�N'�=�N��% �r#;��$a%I5 ���/U��! . �������+���_�����+*��=#;��$a��,�� . �% �IEl����� ���#$���#$������('�r��,�#% � ���!d���9,�� . �H��%���,���������$�����% ,�����V���%�#+$��Q �������a������H% � �����$���!&��+�#$���#$������('� . �o�-���S/0$��������iJd��

L� � ����Z% �i���% �*�� ����}�-��$�$�� �#;��� . �������L��� . �����}���� *�����% �Li^

� � ^ !S��))����,��O�Dj����LN^ � ^ ��% % ��$D�

L � E�����Qn���[ ��_���c/ ������% ,�������� . ��%"/ �N������Dj�L b � '�� ��%��*������� . ��% % �?n����� ��#$���)% ��,7�����Dj����

L b � '�d,�� ���$�� . � 1 #;��$ U T 1 !��% %���$��i% �a'�����+�-��$��[#"��$����� ���q�@����,O#+�L#;����>�����8�6E

��j� ��$���,�������������p�-�p�� #;�-��������,��4�Dj�Ze���� ���a����#;� . �&#$���#+$�� �-�N'�a����a�����+���$��N�N���. �Z�+�+�Z)�+���+�U��##$�������,7��*�������A�8�,���$�� ���7�i���*��}� �r_������$D��% �[���$���,�,��Z#;��$����N���}������$�����$��P���i��Dj��,7�?�Dj������7%��"$����#"��� ��������Eob�)+)� ��,��[� �Ze��+�� ���[����+��A� %;���_���������$�����%>�D�N���+E

� �=�$�:� � � > D > �,O � ��� mOUV�R I[ZeV|n*r�KkZ]H,O R6z*zg\�Z]I6ILKWQ;R]N3R �CO[H,O[\�ReNPR5T*R noH G ��Q;O[N3Z T�Zz:O�\ j�noK � � � b G � � + w�R]VWV�Z]\�R]w z ZfILNPZ� ��� J T ,�� �� � ��� ^ ��

T�KZ$d9d$d:Z � b9�Q�:Z 1 �

O � � S J T ,7�:9� � ��� ^ ��

T� Z$d9d$d:Z � b9�Q�:Z 1 �KZ

R]d \�O�QSZUj�� O � ��� � ��� � � S d � � E � �Q�

Page 43: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ��8 a� � ��� � ��� ��� ��� � � �!� ���_� � ��� � � ��� � � ���,� -�,� HgZ]V N \�O[w�I�O~VXR%T]KMI�j�\�O[NiKXrqr R�r�KkZ]H,O;T�O�V T�ReNPZ}KWH KXr�KkR]V�O mO�jqZ]H IqKMILN3O[HENPO jqZ]H KWV�T�R]N3ZSILN3OLIqI�Z}OVXR>I�Z]V|n*r�KkZeHgO L T�O�VEzg\�Z*{[VXO�Q;R x 8� � y�� x C�[y mO;R*{�{qR]IqN3R]Hor R}\6Oi�CZ]V�R]\�O�z O[\6j�� mOSV�� O�\L\�Z]\�O;TeKNi\�Z]H,jqR]Q;O[HENPZ�z:O�\�VXZ I�j �:O�QSR x C�� qy�NPO�HgT*R�R�r O�\�ZfwvR]VWVXZe\�RSVXR ILn jqj6O[IqILKkZ]HgO � ��� N3O�HgT�OR L ��n R]HgT*Z ? x O �[noKWH,T]K � y;NPO�HgT*O R� ��A �#� ��N� �:���2�%�$�C�gD ~S��$�� �8� ��,O�O% �Z��Dj��,7� � � E �U1 �����%�%��O/0��$�,7�

� �O

� G &�� � � ��� � � T G &�� � � � )� � � � O � � � � � � � �O� � b G � &�� � � � )� � O � � � � � �

Ow�� b � � � b G � &�� x � ��� d

� � E ��� �~8��� ���4%��7� #"�����Q � . ��%p������$���,7�`���S� �������-�8�-YZ�-� ��������� . �Qn��$��4������#;����>�����8���7% ��% ��$�����,�,7�]'�V�_��"��% �H� � �

O� G &�� � E ~8�+##"�������,��M��$��M�Dj� � �����,7�^�+�B,7��� � ,��

� ������$���V��%P�� . � � W � ZaU � � �-!p�� ����� e���� ���H�N��% ��$���E g ���%���$��� �������U��%P,7��� � ,��. ���a�����"e��+�B�N��% ��$��a�Dj+�X�-��,�#+��� ���� � . �� ��$D� � � � � E ��� �-E t ��� �Djm'�]�a���8�-YZ�-� ������������=#;����>�����8����))����,��^�Dj��� �����!�,��=�Q����� . ��� � %c,7��� � ,��^��))+� ��,O�^�Dj+��

T� � �7���S�����d�p�N��% ��$��&���������&#+������������+�� . ��$D�N���p��� �+,O�Ge���Qn���Gn����� �4�N��%���$���E

����_�� ���+��� . �G��%�% �r �������G,�� . �G#"��������,��G��� . ��$��`�Dj�`#"����� ��,��G�� ����� . ��$��`e���Qn�����$�_���,��������U<+��G�4���S������$��O�+�T#������ . ��%&);��$ . �4�4� %p�N��% ��$��

T1 ! . ��,��� ��$D��� . �

���� ' �c%�� . ����_��+��_�% � ���*�� . � . �� ��$D�^� � � � E � �Q�-E �����% % � . �A � ���n��$��M � . � ,��� ��$D�^� �,�� . �\���+��% ��_��+E t ��$ . ��,��� ��$D��$��4%��\�-���8����$�_����*��=��c#$��S�-� . �r���"��% ��_���,��������G��%�%��. � ,��� ��$D��*������� . ��%�Rq����$���,7� � E � � �Dj�V���1�-:@�-�����O'�= ��%��M��X������\#+��$ ��� ����%���$�� . ��%#$������������$�� ��%����������-E �

JL�1�-��� . � *�� ���� � � +�/ �q)�2 . ��%7#+$��Q�-� . �������M������$���,7� '�M�����������% ,��������9#� '�$��� ��$��>����� �N� . ��% %��G�-��� . � *�� ����Z#;��$i% �rn�D��)� %����('� � �Ue��� � . �P�-���8����$�_����*�������� � E t ��$�Q ��,O#+���G#;��$�% �H��Dj��,7� . ����$D���+�2;B5����-��% ����m!o�Dj�G'�U���,�#$�� � ;8 ����)+��% ��!&��))����,���Dj�[#"��$��� .. ��n/ ��$��[��%}#$����+����#+��� . ��%},7��� � ,��`�ie��� � . ���(����$��A% �U�-���8����$�_����+*��O���% %�����$�,7� . ��%�,7������,��"!o�� . �����Z$����Dj� � . ��$�� &�� h��E g �^��:;��� ���Pe���Qn�D�G�-��� . � *�� ����G'���� ��� ,7��% ��#"��$�����8�,���$�� . �m�� . �L��$�)����$D��$�� �+!�,���#+�q'�7��� ��$���$���%����������O �A��m#$���� . ��

��))+��n�D���*Q��#+� ���-��% �+E g ���%>��$���������[��% ��,������?��$����Dj��� . ��$��P% �[n�D��)� %����('��� � � � !�,7�����?� %�#+$�� �+�-� #� � . ��,7��� � ,��+!N��% % ��$D��e���� �����-���������8�+�����N��% ��$��p���,�#$��p#;��$o%�����Dj+��,7�. �q��$D���+��E 5����-��% ���� � �A#� '��_������$D��% ,��������� ���N��% �A%��O����� . ��*������� &�� � � b � G � � � E

���L5 �%���� ,7�^������$��N��*�� ���+�4$�� _��+��$ . �H%��^#+$��Q ���*�� . ������-� % % ��*�� ����6E ~8��������$��8��%��<+_��$D� � E ,+E3�������%� ��%������=#$���)+%���,��=,�� . ��%�% �C'�4$�� ���%����=#$���� . ��� . �\%��^��Dj��,7� . ���$D�����E 5����-��% ����7�-��� � �_��+��% �[��� � $��� #;�-����� �(��,���������#"��$��+� . �����[� �� *�����% ���Dj���N��% ����,�#$�� 1 ��$D����+�G�Dj�4���%��� . �^�-������$D��% �a� �W�-�+�c�N��% �T��E3~8�c��� . �G��%�% ��$D�=�Dj�4���%������ �

T� � %�#+$�� �+�-� #� � . �d,7��� � ,��G����^�N��% �`�`%��r���% �*�������`��#+#$������ ,�������#�}'�

� .. � $���� ���$�� . � ����������$��O���_��N��� �N�E t ��$ �

T����%p#$�� �+����#� � . �&,7������,����N��% ��!L,7�a%��

���% �*�� ���+�&#$����������� . ��p#�����Dj+� . �� ��� ����� . ��#;�c� %�#+$�� ,��c#+����������,�#"��$���%�� � ��%8�-������$���$�� �. ��%�%������% �*�� ���+�&����N�������Dj�pj+�����,�#$��&��[���% ��#������ . ��,������ ,O����%���������$����-Eo����Qn���,��� ��$D�=�Dj�4#;��$Z�+���$��4� %���� ��$��T��Dj+��,7�=���]#+$��Q ���*�� . ��$D��#+� . �4�N��$�����*������� . ��% %�����% �*�� ���+��!����,[)+$���#� '�O�����8��������������d#$���� . ��$��P��O�N��% ��$�� . � � ��$��-� �D��,��������d� �S/0��$�� ��$����%f%�� ,��>��� . �N��� . ��% % ���-��� . � *�� ���� . �qn�D��)� %����('�+E

Page 44: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

-2- ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������� " � � �a&,<c6*-?>,1:@F(*& �1QG @#(��F&,>,1:@F(*& � �1�� 6*571$@#(*&�����+�� . ��$�� ��,��i��$��i���7��Dj��,7�O#"��$�%65 �Qe��"��*�� ���+� . �q�-���8����*�� ���+�IE . �>:@�+�������L M OQPRL S T & L S9S Z � � E � ,���-��� & ` 1 E 8��8������,��������O���#"�������,�� � T W*b P U�� "[� ��Z\U � T L � � O P U3ZaU �-!L��% % ��$D�" ���$('�r��+�= ��%��+*�� ���� . ��% %65 �Qe��"��*�� ���+� � � E �Q�i���%�%��r�N��$�����)� % � �T�Ge��� � . ���N��$�$D����+��-���+ � . ��$���*�� �������+��% ��_�j� . ��%+#+������ . �"���� ��� . ��%�%��A�-��n��$��*������� . ��% %��? ��%��+*�� �����Eqz���%#������ . ���8� ��� . ��%�%65 ��##$���� � ,7��*�������`���S� �D�(�8� �=�� ��,O� . ��/0$��������4� . ��+�T���$���� . ��-���+�-��$�$����*Q�Z��$���� . ��7����$�,����� . �p�"�N���+$�� . � ����$���!q% �r�-���8����*�� ���+�O�`% � . ��:@�+ � ���+��E����,�� �+�-����,��[� . �����,�� �+��$���% �i��Dj��,7�A#+� '�U�+�N���$���%���#"��$d��##$���� � ,7��$���%I5 ��e��+��*�� ����� � E � ,��� ��� � � b � ��� ?

OQP � � � � � #b � � )(� � �� T & � � � � � #b �&� ��� O � � )� � � Z � � E � -��

�Dj�V'� . ��%c#$�� ,�5 ��$ . ����a� �M����,�#;�T� . ��%c�������� . �H���%�% �T #"��*�� �=�4_�% ��)+��%�,�������� . ��% �Q�-��� . �O��$ . ���+���Q����� . ��% ���-��� . � *�� ���� . �qn�D��)� %����('� . ����� . �

&�� �� d � � E � *��

t ��$����+��%�� *�*Q��$��[%��a�(��%�� . ���('� . ��%�#+$�� �+�-� #� � . ��,7��� � ,��`$�� ��%������-���������� �������i��-$�������$��%��7��Dj��,7�O���%�%��i/0��$�,��� ��� � � T � � b � &�� � � ��� O &�� � � b � � � � � � � O &�� � �

O� � � � )(� � "�3Z � � E � .��

. �N��� �

T ?�� � � � J T � + T � +�� EZbc))����,��G��% % ��$D�U�Dj��� %&#$����"�-� #��� . �p,������ ,O�#"��$�% ����Dj��,��a'�A�N��%�� . �7 �A�?���% �7 �����S� ���L�q���8�-YZ�-� ������� . ��% %��Z��Dj��,7��������#;����>�����8���!+�����,���� . �i#;��$� ��,O#+%����-���('�O#;��$���$��O�Dj�

P� 1 !e���Qn���O�N��%��A��A�����% �7 � � B��E

~8� � `X�����U_����+��$D��% ������U�(��$�$N'��#� '�`� %"#+$�� �+�-� #� � . �@,7������,��+E�~8�@#$���� . �A���/ �N� ����-��,O� . ������� ���*�� ��%�� � ��� ^�T � � Z #"��$ 1 ZbA� Z #"��$ ` 1 db�))+� ��,O�i��% %���$����Dj� � ^ � � T �

O� &�� � � br�(�L�Dj�c���7,�� . �% �Z'��,7��_�_�� ��$�� . �L��E�~S�+������

�Dj��% ������� . � *�� ���+� � B�?��m���$�� �������"�Dj�A�-��,��� � &P Z � � E � 3��

�Dj���-�� �������+� ��-�i��+�U$��Qn��$�� *�� ����O �+%}#"��� �a #+��*�����% ��E g %o�8�,���$��P � & ����$�$����#"��� . �i�

e����% %����Dj�d��� 9+�� . � . ���"��,�� ���c�8� ����P�Dj����,7�N����� %��8�,���$�� . ������8���% . L� . '����[� � . ���-�. ��%�_�$D� . � . � . �>:@�+����8���('�!c���W$D��#+#"��$ ���^��% % �^�����8����*�� �����! . ��% %I5 ��e��+��*�� �����E������ ���$��Qn��$�� *�� ���+�p����O�����+���� �+ ����)+��% �>�N'�����+,O��$������+!N#"��� �Djm'�c'�d� ����:9+���������#"��$

���))+��n�D���*Q�

#�����-��%��"!",7�`#�q'�U��$��Q��$��A%��an����� � . ��% %��i����-� %�%���*�������q��i�����+�� . ��$�� ��,�� . ���o#$���)% ��,���-���H��=_�$���� . �O���+,O��$�� . �p�����8���% . A�����V��+� . �����$������ *�*���*�� ����i<"�������+!m�-��,���#;��$�����,�#� �C#�q'�]����#�>�D��$��H#;��$4#+$���)%���,�� . �A��� #;�]����1%�� ��Q��$���! . �N���V�� 9+�� . �C#�q'��(����$�����+�^������-������('�V,���%����^)+�����E3~8�##;���+� ��,O�\#"��$Z�����,�#� �\�Dj�

P T1 d 121 ���

Page 45: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ��C a��� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ����� ��������� � ��� ��� -=*& T ��Erb�% %���$��G���9e��+�� ���r������ . ��))+� ��,O�V�(����$��Z�Dj�

� 1 d 1�1�� �U���+�-��$���#;��_�_�� �? 1 d 1�121�121�� E

��� ,�� . � #;��$ ���8������$�� %�� $��� ��$�� *�� ���� � � E � 3��-! '� e��+��% %�� . � �S��� %�� *�*Q��$����L5 ��##$���� � ,7��*�� ���+� . �"����#;�[�+#���� � . #;��$d� %+����$�,O� �� . �"��$ . ����i��E 8c� ���������,��i��%�% ��$D�% �7��Dj��,7�� ��� � � b � ��� ?

O P � ��� Fb � � )(� � � T & � � � � � #b �&� ��� O � � )� � � Z � � E � +��

��P ` 1 !+�Dj��� ,O#+%������7����,��A�-��� . ��*������� . �m,����+����������

� &�� OQP B�KZ � � E � 0���Dj��'����+���#"�Q�-� � . ��,�� . � ����$D�P% ������� . � *�� ���+� . �� ����)��% ���('� . ��%�% �c��Dj��,7�P���#% � ���>��� � � E/3���?%��Z����� . � *�� ���+� . �on�D��)� %����('� . ��%},��-��� . �+#���� � . �����

P ` 1 !+�������P ��E�����Qn�D�

����� . � *�� ���+�d$��� �%������Q����$��P,�����A$��� ��$��>����� �N� . ��% % � � � E � 3��o�� & � � !���%S#$���*�*�� . ���"�#��������%���$��Qn��$�� *�� ���+�? �%q#+����������,�#;��$D��% ��E�~8�q������L���S� �D�(�����7�Dj�?% �`��Dj��,7� � � E � .���'��Qe��+���N��% ���������� ��� � � b � ��� ?

O P � � � � � b � � )� � �� T�� & O P �� � � � � � � b ��� ��� O � � )� � � Z

����� �Z%�����Dj+��,7� � � E � -8���-���r%��`�8���������>�N'� & ��n���>����>�D� . � & �T & � � O � �-E g �+���,�,7�

'�?����,��A �?�(����� � ,��i� ����$�� . ��� ���7��+�7���$���� . �L�8���������>�N'����$�����<"�-����% � & � ���%�% �Z��Dj+��,7�#;��$��,[�+����$���% �A����-� %�%���*�������6E

Page 46: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

-�. ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������

u}��_��$D� � E��KJ s e��+��*������� . ��%L����% ��$�������� . � ����$D�������� . ��*������� . �}�duoJ

Page 47: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ��C a��� ��������� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ����� ��������� � ��� ��� -B3

u}� _��$D� � E � J&��$D�N<"��� . ��% %I5 ��$�$���$��

Page 48: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

-�+ ����� ������� �: ����� � � ��� � ��1���������� �������

u}� _��$D� � E , Jp��$D�����;=5c� ����%� ���`�-��� . ������$D �A�-��� . � *�� ���� . �}�duoJ

Page 49: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ����������� �

� ����� � � � � � � ��� ��� � � ��� � � � � �

� � � � � � �

�4��%>���P#$���)% ��,���� �9,O�Q������������+!��U� �\#+��$ ��� ����%���$��Z� �a9+�� . � . � �+��,������H� . ��%��� �����-���('�!� � )� ��% ��_�� �+!9� � �Dj� ,�� ���h� . ��� _������$���%�� �N���+�+e��� �� �h#;������)� % ��$��l/ ��$�� ��"�,�� . ��% � *�*���*�� �����,7���-$�����-��#����� . ��%�%65 ������%��+*�� ���� . � . �-����$�,����+������e��+�������>�N'�c���%�����,�#;�+!����,�#"��$ �D����A% �i ��� . ��� . �;%���_�_�� . �@�-���+���$��(��*�� ����c%�� �����$��"��#;��$�);��% � �Dj���c#+��$���)"��%����Dj��!�Dj�A� ����+� . ��,����" � ����?�#+��*�����% ��!S�?% ��,�������� . �S�-�q#"��$���$D����%L������������% ��$���!S#"��������,����-$�������$�������,�� L M O ^

�L

�S Tc`

�L

�S9S Z � ,+E��(�

. �N���^

�`

�����\/0��*�� ���+��$���_���%���$�� . ��%�%65 ���+����_���>�D�L

�V% �`

���$N'�\���,�#$��r����. �Q�-$�����-��������EoJL�i����$D�N������$���n��� ����#$����+����#"��% � . �fe���� ���[��� #"� . �;��e��+��*�� ����q'�c�Dj�����"�Dj�#;��$ . ������ �� *�����% �S$���_���% ��$��6!(��%$���%��N��������#+$���)%���,7� . �"�d���+�Dj8�?����i#+$��Q �����D�����O_������$D��% ����% �*�� ���+�;$���_���%���$��@#"��$P���S�����L�m����,�#�6E

J&5 �����,�#� ��#� '�����,�#% ���-����Sj+�����%"������ . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� . �"{��+$�_���$D � ������8� ��-������LNM�O � �

�L � S T 1 d � ,+E � �

�����+ � . ��$�����,��c% �P�-�$����P����$���� ����$��� �����Dj�p$���%��N����������e���� ������e��+��*�� �����!��-��,��d_�� '��/ ��� ������%���� �A���-�8�-YZ�����������S�N��$�� ��)��% � � ��E 0�� E�~8�##;���+��� . �?�Dj+�d%��A���% �*�� ����

L�� ��$���_���% ��$���!

. ���-����,�� � � !���))����,��T�Dj�4%��+�_��=% �G�-�$������ ������_�$���%�� . ��%�%65 �Qe��+��*������� . �>:@��$����+*�����% ���$ . � �+��$���� 7 W7KU

TYL� W[Z\U �3Z W � 1 � T h Z

%��L

'�A�-�� ����������#"��� �Djm'�

��M L

� W � U �3ZaU � T L M � W � U �3ZaU � O � S� ML S

� W � U �3Z\U �T�L M O

� � L � S � � W � U �3ZaU � T 1 d-�0

Page 50: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

* 1 ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �8c� ���������,��re��� � . � . ��U�����+���_�����+*��7� ,O#;��$���������� Ji% �`����$���� ����$�� �����Dj�Z�����4$��-�����Z�%��+�_��7e���� ����$��-�����A%��O���% �*�������A��� �,���� %f�(��%���$�� . ��% . ���������+��*�� ��%��KJL

� W � U �3Z\U � T]LN^ � h��� W � U � T h O U LN^ � h��3dbc� �+,O����,��i��$D�?�Dj���-�f �����+� . ���#������I! h � g h ����%��f�Dj�

Li^� h � � ` LN^ � h �-E������ ���

���$('�����,�#$��d����$�����,����+���Dj+�d� % . ���������+��*�� ��%�������O�����,��������������-$�����-�������d��O���S�����% �G$���� ����$�����%���E4b�))����,��r��%�% ��$D���Dj�Z% �`����$���� ����$�� �����Dj���+��-������� . ���p#������Ih � � h ���� . �� ��� �+�N���?� . ���"�-������$���$���@����N� �D��,���������#;��$

U ^ T h bCh �Li^� h � � b Li^ � h � � h ^ T h L ^ � h � � b h � L ^ � h �:d

g �ae���Qn���i#+��������-�m���$N'�?#;��$N'�i��������$ . �+!�#"��$��Djm'�c%��i���% �*�� ���+���(�8$���));� . �+���N��%���$��. � ����$D��

LN^� h � � �T LN^

� h ��#;��$����N��� . ��% % ��$�� �#;�-� �������A����$D�N������$���n��� �Dj+��E&����� ��� . � ,O��n��$���Dj������7#�q'�?�Q �� ����$�����+�[ ��%��*��������_�% ��)"��% ��$���_���%���$��P#"��$p%65 �Qe��+��*������� � ,+E � ����,������Dj�[� % . �N���`� �� *�����% �[����H�� �`,O�����������U�-$�����-��������E?����� ���a�-�}��))% � _�j��$('�+!"����% ��� . ����+����$D�4�S����% ��*�*���$��ae��+�� ���a%���_�_�� . ���-���+���$��(��*�� �����!&�G#+������$��`� . ��+�H���*�� ����U#� '�. ��);��% � . �L���% �*�� ���+��!�Dj��#;��$�,O��� ����$N'� . �f��$D�N������$��A ��%��+*�� ����m����� . � ��-������� ���+�>�N'�E

t ��$ce��+��������$�� _��+��$ . �[�q#$���)% ��,��m#+��$���)"��%����-�6! �A%�� . ��:;�" � ����Z'������/0��$�,O��,��������#"�� ����� �N�!S����� � `

� �L

� � � ` 1 Z � ,E ,��#"��$q��_���

L�+��% %I5 ��������$��(��%�% �������+�� . ��$D�N���+!(��% %���$��P% �����% �*�� ���+�����$D����+�������������$�����,��������

�-%���� ���Dj��!Q� �[#+$���������� � � � WO� � � � � U !��d�(�8$���������� ��� ,��P#$���#$������('� . �S ����)��% ���('�EoJL� �����"��*�� ���+������,[)+� ���-��,�#%�������,O������������#$�������*Q� . �f�(��%���$�� . �

L�D��% �m�Dj��%I5 ��e��+��*�� ����

. ��_������$��+!f��� ���`� �L

�T1 E g �Te���� ����#�+�����&%��4 ��%��*�������O#"����$N'�U#+$��Q �����D��$�� . ��% %��

� �_���%���$��>�N'�A� . ���U_����+��$D��% ����;,7����>/0�Qn����$N'�?%��[��+�i�+�N���$��[��#;��$�);��% � ���[�N����$D�(����$���A��+�����%��S�-���('�i<+�+�>�D� . �m#$���#+��_���*������� . ���L��##;��$����6E

's e���Qn���c� %�������c#;��$}��%8,�� . ��% %���#� '�i���,�#% � ��� . �8�Qe��"��*�� ���+�&#+��$D��);��% ����� . ��_������$���!%I5 ��e��+��*�� ���� . ���f,���*�*��m#;��$����� LNM7T

�L � � � � S9S Z � ,E -��

#"��$ � � ��!L#;��$i�-��d �&#;������������� )��$���/0���+��,����� . �&/0��$�,7��*������� . ���� �_���% ��$����('�U�������,O#;��<+������Z���+�Dj��#;��$ . �����m$���_���%���$�� � � ,��I!���� . �&w |A�S!+b�$�xyE

���+�T#+$����(��%����*��T���+�-��$��V#� '�C/0��$���� . ��%�����$D�N������$���� #"��$�);��% � ���\��c�(�8$('�V���%����� �/0��$�����,O������� . ��_������$���! . �N���[�Q ��n������ . ��_�%��o� ������$��N��% %�� . �N���[%��Z/0��+*�� ����

`� �L

�T1 E

g �Me���Qn����� ������$��N��% %��d#;����$D���+��r#$�� . �$D � . ��% % � . ����-���������8����('�H�Dj�`� ������$D��_���$D���+��4���,7���� ��$D�i����,�#% �����������a%��A$���_������� . �>:@�+�������E

z���%S#������ . �S�8� �����8�,���$�� ����e���Qn���c����#;� . �S����[% ����Q��$��>�N'�c#;���+� . ���S#$���)% ��,�� . �����Z/ ���-� % �����% �*�� ���+��!�����?#;��$P% �i�����$D���$���_���%���$��>�N'� . ��% % �����% �*�� ���+� . �O��##+$�������,7��$���! ���O#"��$���% . ��% � ���N���O)+��%����+�����O��$��i/0���+��,����� . �>:@�+����8�m�?�����8����� �����8�6E5���%� ��_�������"! . ��#"�T�+�+�=)$�������#$���������D��*�� ���+� . �c�����,�#��<"����-�6!p/ ��$���,O�T��% �����

$����Dj����,��� �% %��W������$���� . �7e���� ���X��� #;� . �7�Qe��+��*�������IE t $��Q ��������$���,��Be��� � . �7��

Page 51: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: X�* a��� ��� � � � � � � � � ������ ��� � � � ��� ��� ����� ��� � ��� � �������� ��� ����*S�

#+�����$D��,7� . ����#$����"�-� #+��% ��,��-��� . ���8�,���$����-��� . ����#+$���)%���,���$���% ����� ������%}% ��$���n��� . � �e��+��%���������� ���+EA�G��_�_�����$��?���S/ ����o����$�$N'� . �����a���o#$���)% ��,�� . �o�+�N���$D�Z� #"��$�);��% � ���! . �N���%65 �������+*�� . �}�8� ��-�� ���('�7�[% �`#$��Q ���*�� . �}���% �*�� ���+� . ������������ �8��?#;���_�����`�q,7��_�_�� ��$��#$���)+%���,O�@������$����-�f�A�-��,�#�S����*�� ���+��%��6E

� "$! � /:G,68(81�&,57& ��B81 �1 B*+.@FD8/:& ��1 (*@#( /$19(*&,-?+E1 �1& �#@#/96*>,1:@F(*&

t $�� ,7� . �p#+������$�����e���� ���p�� #;�-�����&#+� '�V������$�� ����#$������������$���,O�4��% �����������,�#�&<" ���-��Dj���-�����������$D���+��V�V����#� $��a,���_�% � �V��% ���������#;�-� ��� . ��_�%�����$�_���,��������p��$���� �������6E]���% ��,�������$���,O�4�U��$��7�����,�#���Dj� . ����+�4%����_����4 ��,�#%����-���Qe��+��*�������&�����%���$��IE t ��$A��#+�����$D��,7�[#� '�4����,�#% �-��� . ���m,�� . ��% %�� . �m��� #"�7� #"��$�);��% ���-�O�A#+��$D��);��% � ���[$���,7��� . ����,����w ~8��!+z��!B<]jq!+��� � !"{ s �dx6E

N ��� �A��� D D% � � #��CN N!� M�� �:��� &�� �[�����+�� . ��$�����,��U��%�9+�"��� . ��% %��7���S����,O��)� %��&��. ����m5 ���S���� ��$D� . �=�H ���

L T L� W ZaU �Z% � . ���+��>�N'� . �����S����,���)+��% � � ��� ���=��%��8�,���$��

. ���������,���)��% �O#"��$H��+�>�N'� . � . ��n�D���*Q�!i#"��$V�Q ��,�#���X�-���������+��� � . ��,��-��$����4�C ����T

� � W ZaU �r��%O%���$��c9+�+� � � ���S����,���)+��% �i#;��$V�����('� . �i����,�#;�+! . ���-����,��W,����8�S��������%�%����-�8��$ . � �+�N�D�U�#+��*�����% � � ��� . � ,����+������+��% �Q��W^��%o����,�#;�8U EZu}� � ����,�����T�-��$ ������_�,O������� �

P Z & ����% %I5 ������� ��$D� . �`� . �+������,�#����))+��n�D���*Q�`�8���-� ��EU � g U E t �����Djf'� ������,��� �#+#"������ . ���Dj�d% �P���S����,���)� %��8����i#;��������������,�#+��$�� $�� � ����% *���$D���� �i����% ���-!. ��))����,��`#;���"���$����Dj��e��+��% %���������$������ . ��%�#������

P. �N��$D���+��`� . ��=�-��$����a#������

�+��-� $�� . ��%o#�+����� & E?����Qn���`����$�$N'� . � $��O�Dj�[%�� . �>:@��$����*Q� . ��%�%��ae��"���������('�Z�����D��% � . ����S����,O��)� %��f���%m ��_�,��������i��$��O� . ��A� ���������m�-���+�� . ��$������

- + L

� W[ZaU ��7KWcb - + L

� W[Z\U � �. ������������$����_��+��% �A��% % � . ��:@��$����*Q� . ��%19+�"���O�����D��% �A��_�% �f�� ��$���,��

- M �M� � �P Z\U ��7KU b -

M �M� � � & ZaU ��7KU3d

u"���-��� . ������� . ��$�� & b P �IU b_U � ��*���$��"! . ��#;���(����$ . ���8�� ��_�%��8� ������_�$���%���#"��$q� %8#$�� . ��� ���. ��e���Qn���a ���Q���ae��+���������('�!� �#+#"������ . �V�Dj�a% �`/0��+*�� ����

L� � �����+�r$���_���% ��$��6!� �

��� ��� ���+��%65 ��e��+��*������� . ��:;��$����*�����% � L M O�S T

1 d � ,+E *��

������%>�D�c��))+�� �����*���$��Q��% � �����-��#;���"���$��d�Dj�p� %�9"�+��� � ����� �?#$���,7����##$�������,7��*����������% �[��"�?/0��+*�� ���� . ��% %�� . ���+��>�N'�

LE t � '�`#$������ ���,��������c� %E9"�+���i���$N'�?�Q #+$��Q���[�-��,��

� %f#$�� . ��� ���L� . ��%�%�� . ���+����('��#;��$�%�������% �S�-���('�i,�� . ��� �7E�b e���� ����#�+������/ �����-����,��

%65 � #;�����Q �m�Dj+��%��O����%��S�-���('� . ��%�% ��,7�����Dj+����A�� �O��"�[/0�+�*�� ���� � $���_���% ��$��(�& ��$��-� �D��,��������. �Q�-$�����-������� . ��% % � . ���+��>�N'�T�Dj���N��% � � �

S#;��$L T

1 � 1 #;��$L T L

� S!P��� ���

%�� . ���+����('�V���C�-�+��%���,7�����Dj� ��4 ����V��� �D�������N���a%65 ��+�=��% %I5 ��%���$D�E]~8���V#"��$7�����,�#� �

Page 52: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

* � ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �� �L

�T� � S �

� b ����� �

E&b�% %���$��

� �L

�T��� S �

� bLL� S � L d

g %89+�+� �['�d���+%�% ��� ����� ���*�� . ����S����,���)+��% �8��#;��$�%�� . ���+��>�N'��,������ ,��+!N,�������$���$��� �%������� ��$��r,������ ,O�\#"��$

L T�L� S� � E JL�T#+$��Q ���*�� . � . ����-���������8����('�]'�4/ ������% ,��������

�-���+n�D�N�D��)� %��O ��e��+��%��-�+��`/0$����"� . �&����% #"�a��% %I5 ��������$��� . �}�+�+�Z<"% � . ��,7�����Dj���+��E?JL�. ���" ���('�i�(��$N'�A��% % ��$D����+� . � ��-���������8����('�i�Dj�c��"#+$���#+��_�j��$N'�A��% %I5 � � . � �-��$��?% ��_��[%���<+%��E

N!��� �A��� D@D > � #��CN!N � MC� �C� L���N �%� �C� � �=�2��� ���$�(��N!� ~8�#+#"���� ��,�� . �}����% ��$n��� . ����$���%��?#;�������$D��*�� ���+� . �;��`_���p#"��$ /0��� ���i���U��Z,���*�*��i#"��$��� �"E}~8������%�� . ���" ���('�. ��e���� ���H_����! O %��H��+�r����% �S�-���('� � ����� ����$�����% �Q�?� %��G#;��$�����>�N'� . ��%P,���*�*��"E W&��%����% %���$��+!S�-��,������%�%65 �Q ��,�#����#$������ . ��������!S%���% ��_�_�� . �L�-���+ ��$��N��*�� ���� . ��% %��i,7�����

�� �8�M O

� ��� � O �T1 d � ,E .��

����� ���=����%����T#;��$N'�^%��T����%��S���>�N'�=���� . � #;��� . � . � $���� ����,�������� . ��% % � . ���+��>�N'�!�,7�^������+�� . �&�-��,�#%�����������#$��S�-�Q���q,����-$�����-��#� ���I!o'�O��+�`/0��*��������%�� ��Q��$�� . ��%�_�$D� . � �������. ��% %��i#+$��Q�������� � !����,���#$��Q���$���� ��� . ��% % �O% ��_�_�� . �Lz���$D�-�

OT b ?

�� � Z � ,E43��

. �N���;?T'�i%��a#"��$�,�����)� %����('� . ��%�,���*�*��a� � � %&�-�8�-YZ����������� . ���8� ��-�� ���('� . ��%�_����E t ��$�Dj� � . ��$��O��%p���n����,7� . ����e��+��*�������}/ �����-����,��U%65 ��#;��������p�Dj�O��%�_������));� . � ������ . ��+�%���_�_���#;��% �>��$���#����� . ��% %��i#+$��Q��������

�T� � � Z � ,E +��

. �N��� � '�&��+���-��n�D������� . �����$�,7��%�� *�*Q��*�� ���+��� � � w>�KZ * �:,Nx+'�&%����-��n�D�������p����$D�N������$���n��� ���. ��%L_����Eob�))����,��Z��%�% ��$D�[�+�m5 �Qe��+��*�������A�Dj���"��i#"��$�%����NJ

�� �S�M b � � � ? �

�� � � � � � � T 1 d � ,E 0��

~8�##;������ . �i���S������% ��e��+�������>�N'�A<"����Dj������ ���������"��� ���������,��?<+�"��% ,O��������% �?/0��$�,��,[�%���� . � ,����+������+��% � . ��% %65 �Qe��"��*�� ���+� . ���m,���*�*��f#;��$�����

�MET]P

� � � � � � �:Z � ,E � 1 ��-���P T u�� �

�� / � � ��2 E

N!��� �A��� D@D D � #��CN!N �" C� � ��N �%&2�@��� � �=�2�����"� �:��N �t $��������������,��]� . �Q���C�� ,�� . ��% %��"![��%�e��+�������C���,�#% ��<"�������+! . �~9+�+���])�>/ �� ���-�

����e��"�(;�#;�-��$���%�� �2���h��h_�� ���-� ,��������k#;�-��$���% ��/0��$��+E ~S� �l��%�% ��$D� 4 %��2/0��*�� ���+� . �������$D��*������� . ��%�%65 ����e��+�?�[�EbJ4�e����% % � . ��%;#;�-��$���% � �+E g �Z� #"�������� . �;���+����,�#$���� � )� %����('�

Page 53: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: � a� ����� ����� � ��������� ��� � � � � � � ������ ��� ��� � � ���� � *2,� %[% ��$��] #;�� ����,O�������]� � �� ,���*�*��]#;��$�����]#�q'�W�Q����$�� . ����-$��>����� . ��% %��^���_����������Qe��"��*�� ���+� � ���a/0��$�,7�O���� . � ,����+�� ���+��%��(�3J

=� W@��4 M O � ��� ' � 4(� OO ' � � 4(� � �

��T� ��� 7 � W[Zq4Q� � 4Q�

O� � W;�:Z � ,E ���(�

OT b � � W Z64(� � � � b � � 4(� �

��3Z � ,E � � �

� � O T 1 d � ,E � ,������Qn���^��e��+��*�� ����i���#$���,����+�W$����#"��� ��� �N��,��������\� %i)� %����+����� . ��% % �W/ ����\����e��+�>/0��$��+!%��3%���_�_�� . �`z���$���� �]%�� �-��� . � *�� ���� . �`���+����,�#$���,�� )� %����('�+E Jm�]� �+����_��+�>���W ����$D��##+$��Q �����D�N����!N��%���$����Dj� . ��% % �A��N���$���*�� �����4�!����+�Dj� . ��%�%�������%��S���>�N'�������D��% � . �"z���$D�-�O � . ��% % ��#$������������_�% ��)+��%�� � E�Jm�`�(��$�� ��/0��*���������Dj+�7���d�-��,O#"��� ����4�����iJ %��#;��$�����>�N'� . ��%�%��H$��S����� �+!�'}!p%��r/0$���*�� ���� . �9+�+���+!��Dj+�H'�a��+�r/0��*������������9% ����Q��$���#"��$�� ,���������%��?�Dj+� . ��#;��� . � . ��%�% �A,���)� % �>�N'�7$���% ����� ��� . ��%�% �A/ ���� �g' � ���U������/0�+�*�� ����. ��%�% � . ���+����('�X$���% ����� ��� . ��%�% �9/ ����I! � % �B#"��$�,�����)� %����('�1��� ��%����� . ��% % �B$��S����� �+!

�%65 ��%>����*�*��!v7V%��G/0��+*�� ���� . � . �>:@�+��������! � % �G/0��*������� . �d#;��,�#+��_�_����"!},�������$�� '�%��?,���)+��% �>�N'�A��������%�� . ��% % �c/ �� �6E&~8�@��� ��$��8�"�Dj+�c%��A/0��*������� 7O��@����8�% % �[#"��$�4 T 1 Z����#�}'�Z��� ��$��[,O��%>���Z#��������%��Z�Z����-��� . � . ���q�N��%���$�� . ��% % �Z#"��$�,�����)� %����('� . ��%q,O��*�*��+EcJL��Qe��"��*�� ���+� � ,+E����Q� ; � ,+E��!,��p/0��$�,7����Z�+�G ��n����,7�7,���n���`�����-��#+#� �����7����G% ����Q��$�,���������E�4������$��i% ����e��+��*�������o#"��$A% �U����%��S���>�N'�`��%��U#+$��Q��������[#;��������a��� ��$��i$������%������-���V% ������-�+� �Dj� . ��%�% ����e��+��*�� ����S��%�% �������Dj��!�%65 ��e��+��*�������P#"��$�% �A��N���$D��*�� ���+�4�'�d�+�m5 �Qe��+��*�����������\% ���+����$����Dj�4�-������������a����$�,����+� . ���-��������*������� . ��,����+��������� . � . ��:;�" � ���������% ���+����$���!8�����������+��% ,�������� . ��_����+��$���E

� " � � 1$G H81:- ��1 �1 27&,@#+E1:- �8&)/$/$&�57@#/$6*>,1$@#(81 �8&)DC@#/$1��� ����� � � �'��������� $ "�+� $ "�� (�� �!+-"' � ��+-����� "�$ � � ���� &� ����"�� $��!+

��� � .�� +�"���� +~8�m�����+�� . ��$��m� . �Q���O%I5 ��e��+��*�� ������ #"��$�);��% � ���LiM�Oa^

�L

�S T

1 Z � ,E � -8�#;��$ W � s ��U� 1 �����a��% . �N���O� �� *�����% �L

� W[Z 1 � TYLi^ d � ,E �!*���4��n��$���$���,��?�Dj�������n������ . ��% %��� ��%��*�������+$���_���%���$��#;��$d��������$��N��%�% � . �"����,�#"�O#"�� ����� �8�I!,7�?� �a_����+��$D��% �ce���� ���� ��%��+*�� ����;����a���$������?_�%���)+��% �6Eo~8�+##"�������,��O�Dj+�

^� � �

�� �L

��+�[ ��%��*������� � � E����+�?����$D�N������$���n��� ����#"��$p%65 �Qe��"��*�� ���+�c���$('�A��%�% ��$D����+�i�-�$��N����% �*�� ���+� . ��%�%65 ��e��+��*������� . ��:;��$����*�����% ����$ . ���"��$�� �

7 W7KUTt^

� �L

� W ZaU ���3Z W � 1 � T h Zbc%�% ��$D�[% ��_��7e��+�� ���?�-�+$�����%��7 ��%��+*�� ��������$('�O�-��n�D��������#;�����Djm'�

��M L

� W � U �:ZaU � TYLiM � W � U �:ZaU � O � S� MLNS

� W � U �3ZaU �T�L M O_^

� �L

�L S

� � W � U �3Z\U � T 1 d

Page 54: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

*:- ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �8c� ���������,��Ze��� � . � . ��[�����+���_�����*�����,�#;��$���������� J�%��[����$D�N������$���n��� �Dj�A���$D����+�O$��-�������%���+_��7e���� ���A$��-������% �7���% �*�������������,���$N'�i��%m�N��%���$�� . ��% . �N���O� �� *�����% � JL

� W � U �3Z\U � T]L ^ � h�� � ,E � .��� W � U � T h O U ^ � � Li^ � h����3d � ,E �(3��~8���a��%�% ��$D�!@#;��$?Uc<"���N���+!

b� h��aU � T h O U ^ � � L ^ � h���� E`~8�

L ^'�7��������� �8�+�`% �V'�����+�Dj�b

�� �Li^

'�`% � ,O���������V��% %���$��b

� ��� �aU � T ���W!&#;��$7�-�� . ����� W9�Q �� ���� ��,O#+$��=h����%��Z�Dj�

b� h��aU � T WqE g %&#������G�-$��+�-����% �7�-���" ��n�������% . ��,��� ��$D��$����Dj��!}��% ,O����4 �

#�����-��%��@� ������$��N��% %�� . �@����,�#"�"!Se��+�� ���O�(��%���$�� . ��hZ'�������-�"E t ��������,��?�-��y' � . � ,��� ��$D��$��%I5 �����n�����*Q�O��%�,������%��S����%�� . �L��+�� ��%��+*�� ����A�-%������ ���E� �:� ����N!���2�%�$�C�PD D R �EKkR ^ � � � s � O Li^ � � � � s � wSj6ZeH � Li^ � Z � L �^ � � z:O�\SnoHgR�[n ReVXj �:O5jqZfILN3R]H N3O � ` 1 � �EKkR � � n��en ReVXO<R � I�O ^ � �

LN^�mO HgZeH T*O6j�\�O[I�j6O�H N3O[wR]V|Ni\LKWQ;O[HEN Kez:ZeH KkR]Q;Z � � T b � � �S/ �

^� �L ^

��� � � )(� ����VWV�Z]\�R�O[ILKMIqN3OnoHgR x noH KkjqRLy�I�Z]V|n*r�KkZ]H,Oj[V�RfIqILKkj6R L � � � � s lTw 1 Z � � ��� z O[\ KWVozg\6Z�{�VXO[Q;R x *� � �]y�� x *� � �qy�� � H,Z]V|Ni\�O[w�I�O� � g �R]VWVXZe\�R% ��,M� ��

� �LNS

��� ZaU � � � ��� T �YZO~H,Z]H O[ILKMILNPO HgO[IqIqnoH,R�I�Z]V|n*r�KkZeHgO \�OP�*ZeVXR]\6O~ILn;s lVw 1 Z � � z O[\�H,OLIqILnoH � ` � � �A � � ��N �(� �2�����C�ED bc))����,��U�Dj�i �

^� �LN^

�A'�?���� . ����$��Q����������i��% %���$��b

'�O ��,�#$���-$�����-�������� ��$��-������,O�������?�-��,���/0�+�*�� ���� . � hS!��%���$���,��������b

�T

�O U � ^ � � LN^ � h�� � � �B� b U� � ` 1 Z

#"��$7��_��� U � w 1 Z � �-�-E t ��$O��_��� W]�Q ��n���ae��� � . �c��m5 �����-�=�N��% ��$�� . � h T h � W ZaU �����%��W�Dj�

b� h��aU � T W �Dj� . � #;��� . �B���k,�� . �3$���_���%���$�� . � � W[Z\U � E ~8�Z����$���<"���

/ ������% ,���������! . ��%8����%��-��%�� . ��% %�� . ��$�� �(������!(�Dj+�L

� W[Z\U � T LN^ � h � W[Z\U � ��'�p���% �*�������p�-%������ ���. � � ,E � -�� ; � ,E �!*��-E t ��� �Djm'����fj+� L S T L

�^

�O U � ^ � � Li^ � � � Z

��))+� ��,O�i�Dj�c%��[���% �*�� ���+�c#�q'�i��� ��$����-���������8�+������<+�+�O�i�Dj�c%�� . ��$�� �N�N�D�L S

$�� ,7����%�� ,��>�D�N�D��#"��$P���S�����L_�%���W � s E �

g %"����,�#;� . �@�Q ��n�����*Q�A,7��� � ,7��% � . ��%�%��[���% �*������� � ��!S �c<+������+!8�8� ������Dj� ��,7�N�������,O#;� . �})+%��N��Ey�# . ��%}_�$�� . � �������?� . '�i�����S�-���N���Z��% % �Z/0��$�,���*�� ���� . � . � ��-���������8����('����% %��Z ��%��+*�� �����E�~S� ��,O�Ue��+��� . �}���� ��$��-� ���L#;��$��-���������8�+��$����D��% �i���% �*�� ����?��% . �}% '� . �e���� ���O����,�#"�"!+�O������$�� . �$�$���� %m�-���+�-��� ��� . �q ��%��*������� . ��);��% ��E

������� � ��+-"� �� �0+-���)(�� � +-"��)� � +-��(���� ��+-���)(�� ��� ��. + ����$A �CBA���%�2�%�$�C� D D% �gKkR LN^ � � � � s � � ��VWVXZe\�R L mO�noHgR I�ZeV|n*r�KkZ]HgO T�O {qZ]VXO T]Kx *� � �ey�� x *� � �qyfwpT*O[NiNPR.R]H,j�� O I[ZeV|n*r�KkZ]H,O TeKMILN \LKk{�n*r�KkZ]HgReVXO[w;I[O L � � � � s lBw 1 Z��M� �O -v-

� �^� � 2L�M O_^

�L

� �S 7 U�7KW O.-

LN^� W@� � � W Z 1 ��7KW T 1 Z � ,E � +��

Page 55: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: � a� ����� ����� � ��������� ��� � � � � � � ������ ��� ��� � � ���� � *�*z O[\ Z6��H K:YqnoH8r�KkZeHgO � � � �

^� s l=w 1 Z��M� � �

JL�M���% �*�� ����O�Dj�M�������W$���_���%���$��?�]��$���� ���6!��-��� ���$���� . � . ����-���������8����('�]$���_���%���$��#;��� ����2��� ��$��3����$���� ����$�� *�*Q�N���X�-��,�#%�������,O������� . ��% %��2����� . ��*������� . �r������8����I;F �_����������ETz���$���,��=�Dj�U�+�+�G/0�+�*�� ����V'� � � �G��$D�N��������`�����n���U��9�8�,���$��G<+�+�>���. �q�-�$�����$���_���% ��$����

T � W T 4 � U ���[���%m#������ � W[Z\U ����% . �f/0���$�� . ��%�% �?e��+��% �L� � � �

��� ��$D�(����$����% �de��+��%��8j+����+� . ������������ �8��>�N'� . ����%����"Eqz��N�D�c��"�����$��N� . � . ������������ �8��>�N'��V� . �

T� b�4 � � U �:Z��Q�d%��� �"�i�+��$�,���%�����$�� �����������!8#;��$�$���,�����%�% ��$D�L

� 4 � U �3Z\U � T % ��,� �^ L � � 4 � U �3Z\U � � � �:d

� �:�$���$N!�����������PD@D ) �EKkR L noHgR�YqnoH8r�KkZeHgO mO � � R%N \�ReN NiK�H,O[V zgKkReHgZ � W ZaU � � ��VWVXZ]\6R LmO noHgRSI�ZeV|n*r�KkZ]HgO�T�O {qZ]VXO;TeK x *� � �ey�� x *� � �qyUI[O O�I�ZeVXZ;I�O�

LGmO noHgRSI�ZeV|n*r�KkZ]HgO \�OP�CZ]VXRe\�OST]K x *� � �]yfw�H,O[Kgz,noH NiKvKWH j�noK�V�R LGmO�� ���� dfReVXO VXR}jqZ]H,T]KXr�KkZ]H,O

�L� b L ) ��4 � � U � Tt^ �

L� � b ^ �

L) �3Z � ,E � 0��

V|noHC�CZ}Z6�eHEK j[no\Ld]R}TeK�T]KMI�jqZ]HEN KWHEnoKWN mR*�Jq� . ��,���n��$���*�� �����!L)+��������4��%�%���/0��$�,i�% � . �P�����+� ;S��$������m!&'�`��% ��,���������$��7�`��� ���+���,O�Q���!8��� . �f#;��$N'�4w ���A��!"~8,�!+z��NxyE

��$D��*�� �[�Ue��+�� ���7#$���#;���� *�� ���� . ������������/ ���-� %��On�D��)� % ��$��i��?��+� . �N�D�7/0��+*�� ����`'����% �*�� ���+� . ��)"��%��7��,����+� . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� � ,+E�� -�� E`����Qn����#"��$�,��-�����7� ���%���$�� . �o/ ��$��� . ��$�����,�,�� . � ������,��������A% �O,7���"�����+*�� . �m�����-���('� . �f����%��m���% �*�� ���+� . ��);��% �IE N ��� �A��� D D � W���_�% � ��,���$��� ��%�����$��o%I5 ��e��+��*�� ���� . ��{d�$�_���$D � ,E � �f�����A� % . ������� �� *�����% �L ^� 1 E 5��N���$���%�,��������`�-�P���#;�-� ��� ��,��r�Dj�Z%��G���% �*�� ����`� . ������������,��������Z�8�% % �H ���

%65 �+�� ���^���% �*�� ���� � $���_���% ��$������ ,��Ve��� � . ��� . ��%c#$���)% ��,7�+E ~S�c����$���<"���=#"��$('�^�Dj�^'�#;��� � )� %��V�-��n��$��� $��4��B�8�,���$��^� �S<+������ . �A���% �*�� ���� . ��);��% ��� � � �T��$���� ���6!������ . ������� ����,����������8�% %���!+���,�#% � ����,���������#$���� . ��� . �

L� W ZaU � T�����

���

1 Z #;��$ W g b � � U3Zb � Z #;��$ b � � U g W g 1 Z� Z #;��$ 1g W g � � U3Z1 Z #;��$ W` � � U3Z

#;��$���_��� � ` 1 Et � '�U_����+��$D��% ,O�������i'��#;������)� % ����� . ��$����-��,���!���"�Dj��#"��$������ . � . �[�+� . �N���O$���_���% ��$���!���%L,���,�������� . �}�-���������8�+��$��[% �Z���% �*�������?� �+ ��$���� . �7��"� . ������������ �8����('�!"����H�-�o �����a,�� . �7�����-� . �f/ ��$��Ae���Qn�D�O��-��%>�D�E

����Qn�D�],7���+�����*Q� . �O�����-���('� '� . �N�8�S��� . ��%i#������ . �O���� ���]<; ���-�B��%[/ ��� ����Dj�U���+�� ��$���,�� . ��% % �d� #;��$�)"��%����-�6!p�Dj�U$����-��$ . ����,��4�+���������H�-��,��a��##$�������,7��*�������Q;R�j�\�ZfI�jqZ6z,KkjqR . ���-��$ ����#$��8����� �6!Q����A�-���������+_����+� . ��/ ��� ���P���S� �D��%65 � �S/0��$�,7��*�������}<"�� �����%&% ������% %�� Q�Kkj[\6ZfI�jqZ6zgKkjqZ ��� ���� ����������E g �=#+��$������-��% ��$����8� �������$�������$������a��%� �Q�-��� . �#$�� �+�-� #� � . ��%�%��^����$�,�� . ���+��,�� ���M�Dj� . ��/ ��� ���C����+��� ��-�H%I5 ��$�$�������$��� )��% ���('�^ ��������n��� ���

Page 56: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

*U. ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �. �����S� ���c��/0�����,����+���-���M�+�+�T�-��,O#+%��Q���>�N'�= �SYZ������������E t ��$ . ��$�����]��e��� �N��% �������,7�N����,7�N�����-� . ��% %I5 ������$���#� �+!c�Dj�H#"��$�,��-����� . �c��$���� �D��$��G,�� . ��% %��A�Dj�H����W�"����-���+�. �G�+�+�G,�� . ��% % ��*�*���*������� . ����� #;�V������������-�"!�$��� �+%>�D�4�N��������_�_�� ������S��� % ��*�*���$��`% �`% ��_�_�� �+##% ��,���������$�� . �o�-���+ ��$��N��*�� �����E�~8���

L��+�U ��%��*�������[$���_���%���$�� . � � ,+E�� -�� E�b�% %���$��

#"��$���_���@/0��*�������A$���_���% ��$����T� �L

�-!+�� � � ��+�i/0��*�������?�Dj�A � .. � / �

� �T� �^� Z � ,E �U1 �

��� ���� �L

�T - ����� � � 4(�

^� � 4(��784 Z

#"��$de��+��% �Dj+�Li^

<"�������+Eob�)+)� ��,��i��% % ��$D�A�Dj�L

� .. �� / �?%��?% ��_�_��c��##% ��,������D��$�� . ��-���+ ��$��N��*�� ����

M�L

�O�S

�L

�T1 d � ,E � �Q�

���� � . � #;��$ ��m5 ��e��+��*������� �����%���$�� '� ��,�#$�� #;������)� % � ��$��N�(��$�� ��"� %���_�_�� �+##% ��,���������$��� � .. � / �N����� . �A���� ����% �����% �*�� ���+�"$���_���%���$��IEo~8�@#�q'�[� �`��:;��� ���;��� . ��$���Dj��#;��$f���S� ������ ��n����,��N<"�������,���������$�� % ���N������������ ���&��%�,����+����+��% ��_�_��� �+##% ��,���������$��. ���-���+ ��$��N��*�� �����E g �^_��� ; . � �+��,������4#;��$O�����,�#� �+!�%��re��+�������>�N'���C'�U#$���#$���� . �N���. ��% %65 ������$���#���7<"�� ��� � ����,i)���N��� . �&���_��+��� EAJq�`�-��##��� � ��Z � �?'�O�Dj+� ��,������U�-��#+#� � . �������$���#+� �UE 9+�"��� . �L������$���#���i#"��$�%I5 ��e��+��*�� ���� � ,E � -��-E

~8�"������$��8�#;��$N'�i�Dj��%65 �_��+��_�% � ���*�� � ,E � �(�o����4'��#� '�` � .. � / �N�����A� �Z_������$D��% ��#;��$��+�Z���% �*������� . ��)"��%���E g �S/ �N�����6!;���+��% ��_���,��������?�Ze��+�������Un�D��)� %������`#"��$c%��Z$���%���*�� ���+�. �������+��� ��I; F �+_����+������!@ �

L'�i��+�U ��%��*������� � � �7��$���� ���o�Dj+�[����$���<"���7%I5 ��e��+��*�� ����

� ,+E � �Q� !��%�% ��$D�i%���+_�����+���-�+$��N� . � . ����-���������8����('� �T � W T 4 � U ����!" �m�(�8$N'�

� � �L� �7b�� �

L) � ��4 � � U � T � � �

L� �7b � �

L) � �:d

g �Z_������$D��% ��e���� ���?$���% ��*�� ����?'�����"�-��,�#+����� )� %��c�����Z%�� � ,E � 0��-Eo~S�@�����+�� . ��$��� �S/ �N����� . ��8��N���O%I5 ��e��+��*�� ���� . �L{d�$�_���$� � ,E � �d�-���a� % . ���������+��*�� ��%��L ^

� W[Z 1 � T�� 1 Z #"��$ W g 1 Z� Z #"��$ W` 1 d � ,E ��� �

���+�����% �*�� ���+� . ��);��% �O'����%�% ��$D� . �N�D� . �L� W ZaU � T � 1 Z #"��$ W g � U3Z

� Z #"��$ W` � U3Z � ,E � ,��

��� ��� . �4%��G�-�+$��N� . � . � ��-������� ���+�>�N'� . �N�D� . � 4 � U � T � U EG~8���4��$D��� �L

�T � L �-���

� �L

�T �� L � E�Jm��+_���% �7���$��(� . � . � ��-���������8����('����mj+����% % ��$D�i�Dj�

� � �L� � b�� �

L) � ��4 � � U � T �

-g �,T

� � �L� �.b � �

L) ���3d � ,E � -��

~8�m������$��8�@�Dj+��#+$���� . ��� . ����% . �N����� �� *�����% ��������� %m���%>���O��##;�� ���L ^� W[Z 1 � T�� � Z #"��$ W g 1 Z

1 Z #"��$ W` 1 d � ,E � *��

Page 57: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: � a� ����� ����� � ��������� ��� � � � � � � ������ ��� ��� � � ���� � *�3��%��i$���%��N�����N�����% �*�� ���� L

� W[Z\U � T � � Z #;��$,W g � U3Z1 Z #;��$,W8` � U3Z � ,E � .��

%����-�$��N� . � . ������������ �8��>�N'�O���������,[)���O,��O%�� . � ��_��+��_�%������*Q� � ,E � -8����f� ������$����

� � �L� �7b�� �

L) � ��4 � � U � T b �

- ` b �,T

� � �L� � b � �

L) � �3d � ,E � 3��

g %"~8�Q�-��� . ��#$�� �+����#� � . ��% %��c����$�,�� . ���+��,�� ���� ����)� %�������d�Dj+�d%���/0��*������� � �����+���(�(���. �o������$���#��� . �o��V ��n����,7�`����� . �O� . ���,���������$���E t ��$�$D��_�������L,7������,7�������Dj�`'�O#� '������8����������������(����$����?�Dj��/ ��$����-���Z/0��*�� ���"��% � . �Q�-$�����-������� � ��� #"��Jm����#��+�N�S�-!�#;��$P�-����-��_�% ����$���,O�i%��A������$���#� �A�-���8����� ��E�����Qn���7�-�m�-��� . �$�$N'�i��%�%��� ��_��������� . �-<+�+��*��������EA �CBC�C�����������PD@D > F H,R�I�Z]V n*r[KkZeHgO�T*O�{qZ]V�O L T]K x C� � �]y�� x C� � �Ly mO noH,R�I�Z]V n*r[KkZeHgOO�H Ni\�Z6z,KkjqR T*O[VWVXZ ILN3OLIqI�Z�z,\�Z�{�VXO�QSR I�O[w z O[\UZ���H K�jqZqz�zgKkR � ��Z � � T]K�O�H Ni\�ZqzgKkR ��� n8IqI�Z TeKO�H Ni\�Z6z,KkRfwjqZeH � j6ZeH d]OLIqI�Rfw IqK � R-v-

� �^� � 2 � �

L� �M O

� �L

� �S 7 U�7KW O.-

� �LN^

� W;� � � � W[Z 1 ��7 W � 1 Z � ,E � +��

z O[\ Z6��H K:YqnoH8r�KkZeHgO HgZ]H HgOP�*ReN KWd]R � � � �^

� s l=w 1 Z��M� � �~8�P������$��8�d�Dj�a%�� � ,E � +��?���#$���,��� ��,O#+%����-��,O�������4�Dj�a%I5 �_��"��_�% �����*Q� � ,+E � �Q� !� �% % ����% �*�� ���+�;������$���#���Dj� . � �������D�i�+�+� . � ��_��+��_�%������*Q� � ���%q ���+ � . ��%�% � . ��n��$�� )�*���������

M�L

�O�S�L

� 1 d � ,E � 0��g �H#+��$������-��% ��$���!"$D��_������+��� . �`���+����$D�`����,��i#;��$�%��`$���%���*������� . �o�c����8� �� ; F �_����� ���Q!�(�8$���,��[�Dj��#;��$P��+�����% �*�� �����$���_���% ��$��c�i��$���� ���@%����-��� . ��*������� . �m��,�,�� � � )� %����('� . ���"�O���$��(� . �q j�S�D� W T 4 � U �-!+���$('� . ����� . ��% %�� . � ���_��+��_�%������*Q�

� � �L� � b � �

L) ����4 � � U �� � � �

L� � b � �

L) ���3d � ,E , 1 �

t ��$7�����,�#� �T% �T���% �*�� ���+� � ,E � ,��i���� '�4��,O,������ )%���!P,O������$��G%��]'�a%�� � ,E � .��-E1~8�#�}'�7����$���<"����$���� ���%���$��[�Dj�����S� ���[% �[ ��%��+*�� ����q������8�% %��?�+��% %I5 �����,�#� � ,E .�����G ������,O,������ )��% �6E

���O/0��� . ��,��������A��))+��n�D���*Q��$���_���$����� . ��%�%����-��� . � *�� ���� . �S������$���#���['� . ����� . ��%�%��������$���� . ���}% � ,O������� . $�� . ���"��,�� ��� . ��% %��i������$������-� ��������Dj��!f��� . ��� . �����,�#� �Hw � gnt xy!f,7�� �Be���� ���M�-�������� ���M����% � ,O������$���,��M���% �\�^�-���+�� . ��$���$��4% �r% ��_�_�� . ���-���" ��$��N��*�������� #"��$�);��% ���Dj�Z�-��,O�`�p% ��,������ . �p#;��$����$�)+��*�� ����p�� �_���% ��$�� . ��#$���)% ��,��p#"��$D��);��% � ���IE g �#+��$ ��� ����%���$�����L�-���+�� . ��$��@��"��#$������$�)+��*�� ������8� ��-���� . ��% %65 �Qe��"��*�� ���+� � ,E � -8�L M O_^

�L

�S T

�L S9S d � ,E ,�(�

bc����� . � ��_�_�� ������ ��k����$�,O� ��X#+��$D��);��% � ��� � ���� . ��_������$��(�=% � ��%��*�������]����$�$N'�$���_���%���$���*�*��N�D�=��!���% ,�����9���%?������M�����% ��$���!�$�����%>�D�^/ ���-� %��V��$��N�N��$��G��"�9���% �*�������_�%���)+��% ��$���_���%���$�� . ��%L#+$���)%���,7� . �}�d���+�Dj8� � ,E ,�(� ; � ,E �!*�� Ep~8�mj"�7��% %���$��O%��7 ��_�������������$D�N� ����$���*�*���*�� ���� . ���f% ��,������q#"��$ � � 1 E

Page 58: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

*U+ ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �� �=�$�:� � � D@D� �EKkR L � noHgRcILn j6jqO[IqIqKkZeHgO.\�OP�CZ]VXRe\�O T]K}I�Z]V|n*r�KkZ]HEKpT*O[V�zg\6Z�{�VXO[Q;R�T]K��R]n j ��� x *� � y�� x *� � �qy�ReVodfRe\LKkR]\�O�T]K � ` 1 w N3R]VXO�j�� OLw8z O�\noH,R�jqO[\LN3R�jqZfILNPReH N3O � ` 1 wKWHgTeK z:O�HgT*O[HENPOST�R � w � �

L� � � ��� � � � ,E , � �

O L� � L Z e;E �"E���� � W[ZaU �:d � ,E ,2,��

��VWVXZ]\6R;KWV@V KWQ KWN3O L T�O�VWVXR>ILn j6jqO[IqIqKkZeHgO mO~noH,R�I�Z]V|n*r�KkZeHgOSO[HEN \6Z6zgKkjqR%T]K x *� � �]y�� x C� � �qy��A � � ��N �(� �2�����C�ED ~8��� �`��+�7e��+��% �������;������$���#�����-���8�������i$���_���% ��$���Eo~8�L,O��%>����#+%����Dj�%I5 ��e��+��*�� ���� � ,E ,�Q�p#;��$ � � �

L� � !��!S�S��� % ��*�*���� . �+!%�� � ,+E �21 �d �f��� ��������

M�L� �O�S

�L� �T

� � � �L� �L� S9S d

~8�m������$��N�i��%�% ��$D�[�Dj�A�N��%���%65 �_��+��_�%������+*��

� � �L�Q�L� S9S T � S9S � L ���7b � � � � L ��� �

L� S � Z

#"��$��-��q��))����,���!_�$���*�� ����%�%����-���8����� ���('� . � �@!

M�L� �O�S

�L� � � �

S9S�L� �3d � ,E ,U-��

������% ��*�*���� . �A� %"Rq����$���,7� . ��%�%��A�-��������$�_����*�� . ��,�� �+�N�D� . �"JL��);���_����#;��� ����,��A��% % ��$D�#+������$�����%f%�� ,��>���A���%L����" � . ��%�% � . � ��$�� )�*�� ���+�m��� � ,E ,U-��p������������ . �7% � � ,+E � +��-E �

~8�@��� ��$��8�"�Dj+�c��m5 ���"��% ��_�� . ��,��� ��$D��*�������c��"#+�q'�[/ ��$������+�Dj�����%@���� � . �@ ��n����,����#;��$�);��% � ���m,[�%���� . � ,����+������+��% �m�Dj�A�� ���� . ���D�N��� . �m������$���#+���A�-���8��������E

t ��$��Dj� ��$�� $��[,���_�%�� �`� % � . ��YZ�-� %��(���-���"�-�-����� . �� ��%��+*�� ����i������$���#�����`$�����%>�D�`���� %����$D�N������$�����%} ��,�#%����-�?������ . ���19"�+���L�����8���Q���IE W&��%��[��%L���_���������A$��� �+%>�D�N���"! . �N�8�S���Z�JL�U9Hw Jq�(xyE� �:� ����N!���2�%�$�C�PD D���EKkR L noHgR�YqnoH8r�KkZ]H,O mO � �pR}Ni\�ReN NiK�HgO�Voz,KkR]H,Z � W ZaU � � ��VWV�Z]\�R LmOSnoHgR}I�Z]V n*r[KkZeHgO>O�H Ni\�ZqzgKkjqRJT]K x *� � �]y�� x *� � �qyJI�O;O�I�Z]V�Z%I[O;V|noHC�CZ%VXO>j�no\LdfO>TeK I%� Z�j� W T 4 � U � d]R]VXO VXR;I[OP��n O[HENPO T]KMILn���n R���V|KkR]Hor�R^

� �L) � `h4 � � U � ` ^ � � L � �3d � ,E ,�*��

��j����$D��,�������� . ��%�%�� � ,E � 0��d �m��� ��������^� �L) � `

^�L� � b ^ �

L) �L

� b L ) ` ^ � � L � �:d � ,E ,2.��

t ��� ����,��h� ������$�#$��-�D��$�� _�����,��-��$�������,O������� e���� ��� �-��� . � *�� ���� . � ����� . � �Dj� %������$���� ����$��� �����Dj� . ��% %��H���% �*�� ���+� . �������� � ������$���$�� �����% %��V j+�8�D�@E g �\_��� . � �+��,O�����e���� ���V�-��$�$�� �#"��� . �`� . ��%�% �a����� . ��*������� . �P����,�#$���� � ���+� . ��%P_����E=~8�P������$��8�d�Dj�. ��% %��O�����8���Q�����('� . �

^% �7����� . ��*������� � ,E ,�*��c'������$��><;���N�D�i����? ��%�����L

) ` L � d � ,E ,�3��

Page 59: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: � a� ����� ����� � ��������� ��� � � � � � � ������ ��� ��� � � ���� � *20��� ��� � � " ��. + � "0� � $ (���� ��� � $����t ����� ��,��[��$D�i#$��Q ��������$��c�+�+�7�-%���� ��#+��$ ��� ����%���$�� . �m���% �*�������f����N����� . ��%L#$���)% ��,7�� ,E � -�� ; � ,E �!*��-!;��%�,�����U�+��%����� �a��% ��,������D��$�� . ����9+�+� ���-���8�������IE[~8�+##"�������,��a�Dj+�� % . �N�������� *�����% �?�� � . ��%f��� #"� . �m������,7����L ^ T�� L 0 Z #;��$)W g 1 ZL

� Z #;��$)W` 1 Z � ,E ,2+��

#;��$ . ��7���� ���������q<;���N���L0 �L� E W���_�% � ��,��U�-��n��$��+��$��i%��a ��%��*�������[������$���#����� . ��%

#$���)+%���,�� � ,E � -8� ; � ,E �!*����-��$�$�� �#;��� . �������Z�re���Qn��� . �����r� �� *�����% ��ET����,��Z��� . $���,�����%LRq����$���,7� ,E � 1 !8��%�,�����7���%q������������%���$���% �? ��%��+*�� ����f������$���#���Dj������+�O�+�� �Dj+�A�e��� � . �;)+�� ����$('�?�����)� $������+�[#"��$p��$��N�N��$���e����%�%��A_�� �+ ���+E g ���D�������?������$��8� ��,��?�Dj�c��L

'����+�O ��%��*������� . ��);��% � � ������$���#� ����� . � � ,+E�� -�� !S��%�% ��$D�?#�+$���% �O���% �*�� �����$�� �����% �����L�T L

� W[Z U ��% �V'�O#"��$A��_��+� ` 1 E g �=e��+�� ���4���� �U#+��$������-��% ��$���!f#"��� �Djm'�[� % . �N���� �� *�����% �`'�i���8�N��$�� �������[#;��$Ae���Qn��� . � % ������*�� �������)+)� ��,��U���"�Dj�i�Dj��!f ��,O#+$����`�����+��. ��%�%65 �����-���('�! L

� � W ZaU � T]L � W[ZaU �:Z#;��$���_��� ` 1 Eo����Qn����� ,�#% � ���!�#+$���� . ��� . � T � M !��Dj�P% �A���% �*�� ���+��'� . ��%�%���/0��$�,7�L

� W ZaU � T � � W U �3Z#;��$O��+�V�-��$ �D�4/0��*������� . �P��+�H�(��$�����)+��% � �2E 8�� ���G ������,�� . � ����� . �H�Dj�a% �

L'�

���� ���������7%���+_��G% �Z$��-� ��� . ��%&����#;�S M T

� 4$U3d EH~8�L0T L

� !o%��G ��%��+*�� ����`���� ������������$N'�c%65 �������A���% �*�� �����������$���#�����+Eqb�%���$�� ,O�������"����

L0 `L� E�bc%�% ��$D� . ��% % �A����� . ��*�������

. �L������$���#����JL�U9U#;��$��@9+�+� �L�����8���Q��� � ,+E ,=3�� !"�(��$���,��7�Dj�A%��7 ��%��+*�� �����������$���#� ���U'�. ����� . �O���7�j�S�D�Z�� ��% �����7�Dj�A ��#+��$D�i� . ����N��% ��$��m�-��n�D�������L

� W[Z\U � T �L0 Z #;��$,W g � U3ZL� Z #;��$,W8` � U3Z � ,E ,20��

������T ^ �L� � b ^ �

L0 �L

� b L 0 d~8�i�-���" � . ��$��A� �S<+��T� %[���� �C$��� ���������

L0g L

� E ~8�T#$��N�N��� � ,��9� . ��<+�� $��T��"����% �*�� ���+� . �N�D� . �G�+��r�j�S�D�V����,��Z� � � ,+E ,�0�� !o����^�(�8$���,O,��4��"�r���% �*�� ����Z�Dj+��� .. ��n/ �O%��7�-��� . ��*������� . �m������$���#���E@8�����$�������,�����% %���$��O�Dj�A���%�% �A$���_�� ���+�f���G����m%��L

'��$���_���% ��$���!8% � � . �����A�� .. ��n/ ��$���%65 �Qe��"��*�� ���+� . �>:@��$����*�� ��%�����$ . � �+��$����� b WU O � U^� � � � � � �

T1 d

����Qn���i� ,�#% � ���7�Dj��! . �N��� � � '� . ������$D�� . � 1 !��% %���$��^� � � � h�� �

T h Z � ,E - 1 �#;��$ h T W �VU E s ����� . �i% �i/0��+*�� ����

^n��$���� �D��,����������-���8�������!�#"����� ��,�� . ��<+�� $���%��

/0��+*�� ������ ������$D�� . �^� �A$�� ���(�(��$�� . ��% %�� � ,E - 1 �� � h��

T�^� �q)(� � h��3d

Page 60: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

. 1 ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �������� �,���� . ����+�����% �*�� �����������$���#�����i#"��$ce���� ���7���� �����$N'� . ����� . �

L� W[ZaU � T �� �

L0 Z #;��$ W g.^ � � L 0 � U3Z�^� � )� � S M �3Z #;��$

^� �L0 � U g W gh^ � � L � � U3ZL

� Z #;��$ W` ^ � � L � � U3d � ,E -+�Q�

����� ���A���% �*��������'�c��������� �8�+���ce��� � . �@ � .. �� / �A���S����,7�N��� ����,��������c% �A����� . � *�� ���+� . �������$���#+� �+Equ}� �������,��������d����$�$����#"��� . ��� . ��_�% �Sn�D�N���S�Q #"���+����8� . ���89+�� . �� . '�P�Dj� ��,7�N����-��,[����,������������ . � . � � $D��$��-/ ��*�� ���� �E

��������� � � ��� ������ $ � ���� � � ���$ (&��"'"0� � +�"� � ��+-��� ��� ��. + ��� � ��s �#"�������,�� . �]���_���>��� �C$�� ��%����N���C#� '� ��,�#;��$����������C$�� _��+��$ . �������M%��K ��%��+*�� ����������$���#+� �Dj�9�C�Dj�C��� ���*�����% ,��������C ���� . �N�8�S���7� ~@E 5?E?|�$����*����N�2w |�$nxyE t ��$V%��. � ,O��n��$���*�� ����S$�� ,���� . ����,��?�?e���Qn���A% �(����$��c/0��� . ��,������D��% ���?�A��"� . ��% %��c���+,O��$��� ����#"�� � *�� ���+�q$������������6!f#"��$������,�#� �Vw ~8��!fz��NxyE g ����������� . ����,��a��+�a����$���� ����$�� *�*Q��*�������. � ����$D�� . ��%�%����-��� . � *�� ���� . �m������$���#���� �:� ����N!���2�%�$�C�PD D S F HgR YqnoH8r�KkZ]H,O Q KMILno\�R*{[KWVXO O V|KWQ�KWN3R]N3RcILncs l w 1 Z � �

mO noHgRI�Z]V|n*r�KkZ]H,O O�H Ni\�ZqzgKkjqR%TeK x *� � �]y�� x *� � �qy%I[O�O~I[ZeVXZ>I[O�I�Z�T*T]KMI Y[R%VXR>\6O[VXR r�KkZ]HgO-�-� �^� � 2 �L b<? � � M O 4 � �

L b5?� �^

�L

�.b ^ � ?��� �S 7 U�7KW

O -� L ^ � W@�.b5? � � � W[Z 1 ��7KW � 1 Z

� ,E - � �

z:O�\ Z6�eHEK ? � s O�Z���H K:YqnoHor[KkZeHgO HgZeH HgOP�CR]NiKWdfR � � � �^

� s l=w 1 Z � � � �g �T#$D�N��������%��G����� . � *�� ���+� � ,E - � ���-��$�$�� �#;��� . �Z�4��-��_�% ����$��Z����,��7������$���#� �UE 9"�+��� . �������$���#+� �i% �7��������S�-%������

� u �L

�T � L b5? � Z � u �

L�T 4 � �

L b<?� �^

�L

� b ^ � ?���3d����� ���\�-%���� �^'�H��SYZ�-� �������H#"��$a����� ���$D��$��4% �M�-��� . ��*�������G#;��$a���� ���V% �r������$���#����-��������� ��E�W&��%��A��%�% ��$D�[� %m$�� ��%��������O/0��� . ��,���������%���E� �=�$�:� � � D@D������O�\GZ6�eHEK YqnoH8r�KkZ]H,O Q�KMILno\�R�{�KWVXOGV|KWQ KWN3R]N3R Li^ w O[IqKMILN3O noH � noHEKkj6RI�Z]V|n*r�KkZ]H,O O�H Ni\�ZqzgKkjqR%T*O[V:zg\�Z*{[V�O[Q;R x C� � �]y�� x C� � �LypO L � � � w 1 Z��M� � � �� � � s � � �������� �,�����,��A% �c#$���#$�� �-�('�?#$�� �+����#+��%�� . ��% %��? ��%��+*�� ������+��% % �[#$���#"�� � *�� ���+�� ��_����������E� �:� ����N!���2�%�$�C�PD D%$ �EKkReHgZ L ^ O � ^ Ten O�YqnoHor[KkZeH KQ�KMIqno\6R�{�KWV|K�V|KWQ�KWNPReNPOUO L O � VXOI�Z]V|n*r�KkZ]HEK�O�H Ni\�Z6z,Kkj�� O \6O[VXReN KWd]O � �gKkR

� J T �#� � ^ � � 4(� � �64 � w � �S/ �

Li^ Z � ^ �:Z���# �Li^ Z � ^ �yx �Kd

��VWVXZ]\6R��

Page 61: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: � a� ����� ����� � ��������� ��� � � � � � � ������ ��� ��� � � ���� � .+�

� ��O[\ ��n R]V|IqKkR]ILK U ` 1 O �[n ReV ILKkRfILK KWHENPO�\Ld]R]VWVXZ��3Rfw {��6w ILK �:R- + � � � W[Z\U �.b L � W[ZaU � � 7KW - + � �

M ) �M � � ^ � W@� b L ^ � W;� � 7KW �

� �,O L ^ O � ^ jqZ]KWH,j[KkT*Z]HgZ ILn5T]K�noHaKWHENPO�\LdfReVWVXZ � � Z �q� R]VWVXZe\�R L O � jqZ]KWHgj�KkT�ZeHgZHgO�V N \LKkReHC�CZ]VXZ � � W[Z\U � � � O � U g W g �*b � U3Z 1 g U g � )���

� �� �,O Li^ b � ^ � � � � s � ReVWVXZ]\�R�z O[\ Z6�eHEK U �vIqI�R]N3Z L ��� ZaU � b � ��� ZaU � � � � � s � O

-� � � W ZaU �Eb L � W ZaU � ��7 W Tt- �

LN^� W;� b � ^ � W;����7KW[Z

� �L

� � Z\U �7b � ��� ZaU � � � � � � �LN^ b � ^ � � � � �

� �,O Li^ � ^ z O[\ ���WZ*� W � s R]VWV�Z]\�R L � W ZaU � � � W ZaU � z:O�\ � �WZ�� � W[ZaU � �s l=w 1 Z��M� �� �,O Li^ � ` � � s � w VXZaIiz:R r�KkZ T*O[VWVXOSYqnoHor�KkZ]H K�R��ERe\LKkR�r�KkZ]H,O�� ZeNPReVXO V|KWQ�KWNPReNPR]wR]VWVXZe\�R~z:O�\ Z���H K U ` 1 R]H,j�� O L ��� ZaU � � ` � � s � O� � �

L��� ZaU � � � �

L ^�:d

~8��������$��8�}����,��O%��� #"��*�� � . ��% %��O/0��+*�� ����&� W&��$�� ��*�� �����Rq������%��O% ��,������N�D�!m% �� #+��*�� �{@W[!}'�i���H�-:@�-� ����%��a #"��*�� �`#+� '�H#� ���-��%�� � ����� �`#� '�H$���_���% ��$��(�P�Dj�i$��� �%����o ����)+��% �i#;��$%65 ������%��*������� . ��% % �c ��%��+*�� ���� . ��);��% � . � � ,E � -8� E s �� ����������/ �N� ��� . �N���"���+��*�� ��%�� � �

^�Dj+�

��8��% �##+����r�+�\� �+ � ��,�� . ���j�S�D� . ���+��H� �^����,�#;�r<+�+�>���+!p#;��$7����P% �V�-%���� � . ��% % �/0��+*�� ����@$���_���% ��$��;�?��$���� ���I!8);���+�Djm'� �CO[H,O[\LKkjqReQSO�H N3O n�D��)� % ��!8����U$�����%>�D�i� . ��_��+�N�D�?��%#$���)+%���,��+E

��� ����� . + � "0� � � ��$ . $ � +-"�� � �)��+-� "��'�&� $ ./������+ � . ��$�����,��[��$��O���#$���)+%���,��i����a% � �����$����-���������8����*�� ������ . ��:;�+�� ���� . ��%@��� #"�L M O ^

�L

�S Tc`

�L

�S9S Z � ,E -�,��

�����a�� . �N���O� �� *�����% � L� W[Z 1 � T]L ^ � W;�:d � ,E -2-8�

~8�c�(��%��c% �?����� . ��*������� � ,+E ,�� !8��% %���$�����+#�}'�i��#+#%�������$���%���������$����A�-%���� ����� . ���+#$���)+%���,O�#+��$���)"��%����-�6!m��� . �&#;��$[���,O#+���^w Jq~S��x6Eab�%���$���,�������� . ��))����,�� . ��n�����_����$�� . ��U������6!e����%�% �1���,�#% ���-��,�������� . ��_������$���! . �N���9% �B/0��*�������

`� #�q'� ����8�% %���$D �6!i,7�1%��

/0��+*�� ����`

$�� ,7����c���,�#$��� ��$��-� �D��,��������c�-$�����-��������! . ��%+�������/0��$�����,O������� . ��_������$��. �N����%��i/0��*�������

`� #+�q'�7��� ��$����8�% % ����a� ������$��N��% % �IE

5���%c#$�� ,O�^������+!P�Dj�G�-��,�#$���� . ��#;��$`�Q ��,�#���T%65 ��e��+��*������� . ����,���*�*���#;��$������ ,E -�� !�'�=#;��� � )� %��=,��� ��$D��$��=�Dj�T��%[#$���)% ��,7�9����3��,�,��-�����^���% �*�� ����?��% �������Dj�_�%���)+��% �I!P��� . �Ow |A�+!�b�$�xyE RL�� ���(�8���T%��^ ��%��+*�� ����G#+�q'�^������$��r�-���������8�+�����=� �B����+��. ��)"��%���E

Page 62: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

. � ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �A �CBA���%�2�%�$�C� D D D �gKkR ` noHgR�YqnoH8r�KkZeHgOUILNi\�O[NiN3R]Q;O[HENPOpj�\�OLI�jqO�H N3O�� �EKkR LN^ � � ���� � �

`� � ��VWVXZe\�R L mO noH,R I�Z]V|n*r�KkZeHgO<T�O {qZ]VXO<T]K x C� ��Ly�� x C� � �ey I�O mO V|KWQ�KWNPReNPR.OQ KMILno\�R*{[KWV�O�O KWH�� �.O dfReV �CZ]HgZ

� � ` �L

�S� � �

8�z O[\�Z���H K:YqnoHor[KkZeHgO � � � �^

� s l=w 1 Z��M� �- -� �^� � 2L�M O

w^

�L

�.b ` �L

�Sx �S 7KU�7 W O -

L ^� W;� � � W[Z 1 ��7KW T 1 d � ,E -�*��

J&5 ���� �����*�� . ���D��% �G ��%��*������� . ��);��% �T'�3n�D�N�D� . � ,��� ��$D�N�D�!4� � ��:;��� ���4�+��%G���� �,[�%���� . � ,����+������+��% ��!��+���� . �A% �A$���_���%���$���*�*���*�� ����d#+��$D��);��% ����� . � W���%I5 #;��$���� F � .�� �����w W F x����%"� 02.�0EmJp5 ��+� ���>�N'��'�&n�D�N�D�P,O��n��$������ . �������Zw ����xy!(����+*��P)�� ��_��� . ���-��� . � *�� ����. �f������$���#� �+E g �����_��+�>����;j"���Uw�;jSxmj"� . � ,��� ��$D�N���i�Dj�Ae���� �������% �*�� ����6!S��% ,�����O�����+�c�(��$�����)+��% �p�#+��*�� ��%���!(����+�c ��,�#$����-���������8���E t ��$q��e��+��*�� ����� #;����� ��%��6!N#"��$q�Q ��,�#��� �O% �[/0��+*�� ����

^�`

�����U#"�������*�� . �L

!m��5�'�[��"�`�N�� ���U% �-� ����$D�N���$��U�Dj�O$�� _��+��$ . � #;����� ��%�,��������?� %q#$���)+%���,�� . ��% % �Z#$���#+��_���*������� . ��% %��i��������$�/ ������� �+!+��� . �dw ��� � !f���I�-x}��m#$���)% ��,��L������+��� �m��%�%��O$���_���%���$����('� . ��% %��?���% �*�������&w z��6�-xy!"�Dj��� �4_����+��$D��% �����$D����+� ��%>�D������� F ���% . ��$�� �����E

g %������� . ��%�% �r�Qe��"��*�� ���+�c/0��$ ����,�������� . ��_������$��['�H �������^,���%>���\,�����9n��� . ���N���+!���+�Dj+�U�� . ��� ������$��Q���U��##% � ���N��� ���H���C��%��-�+��P#$���)% ��,�� . �� � . ��,������D��*�������Hw s |�� xy!� ���% � $�������������,O������� �� ���� ��� �����8�S���3$�� ��%��������3��))+��n�D���*Q� �� .. ��n/ ���-�������IE8�����$��N��� . ���Dj�c����#+��$ ��� ����%���$��d% ����e��+��*�� ����+��#;��$�)"��%����Dj��#;��� �������� ��$��P�8��n���c�-��,O���H������Z#+��$ ��� ����%���$�� . ��e��+�� ���`��% ������!@��o����#����-�[� ,�,�� . ���N�D��,��������i% �`�������� ���('� . �������$�� . �$�$��`%65 ���+��% ��_�� . ��% % �a����� . � *�� ���+� . ��������$���#��� . ��%�������r� #;��$�)"��%����-�V��%d<+�� . �#"��$�,���� ����$�����"�O��$D�N� �D��*��������$�� _���$����� . ��% %��?���% �*�� ���+� . � ��-���������8���E

t ��� ����,��O������$�� . �$�$�����% % ��$D�[��"�O����� . ��*�������A���+��%���_��O�Oe����%�%�� . �L|�$�� �*����N�@E

A �CBA���%�2�%�$�C� D D R��gKkR ` noH,RvYqnoH8r�KkZ]H,O�H,Z]H}T�Oqj�\�O[I[jqO�H N3O��;F H,R�YqnoH8r�KkZ]H,O�Q�KMIqno\6R�{�KWVXOOJV|KWQ�KWN3R]N3R5ILn5s lWw 1 Z � �mO noHgR<I[ZeV|n*r�KkZ]H,O O�H Ni\�Z6z,KkjqR_T]K x C� ��Ly�� x C� � �ey_I�O mO noHgRI�Z]V|n*r�KkZ]H,O T*O�{qZeVXO;O I�Z T�T]KMI Y[R%VXR}\�O�VXR�r�KkZ]H,O

-�- �^� � 2 �L b5? � � M O 4 � �

L b<?+�fw �^

�L

� b ^ � ?� �Eb ` �L

�Sx �S 7KU�7 W

O<-� LN^ � W;�Eb<? � � � W Z 1 ��7 W � 1 Z

� ,E -�.��

z:O�\ Z6�eHEK ? � s O�Z���H K:YqnoHor[KkZeHgO HgZeH HgOP�CR]NiKWdfR � � � �^

� s l=w 1 Z � � � �b��+�Dj+�U� �9e���Qn���H������r%65 �Q ��n�����*Q�H���_��� . ��% % �r$���_���% ��$�� *�*Q��*�� ���+�7#+��$D��);��% � ���!���� . �w W F xy!,7��%I5 �����-���('�a'�A ������� . � ,O��n��$����������% �i$�������������,O������� . � <V�a�������^w <��cxL�+��%���� �O,����� . � ,����+������+��% ��� . �`�d��$�$�� % %���w �d�NxL���%q������O,[�%���� . � ,O���+������+��% ��E

g �[#+��$ ��� ����%���$��P'�&#;��� � )� %�� . ��$��p#;��$}%��d ��%��+*�� �����$���_���%���$�������$D�N� ��� . ��% %��P�-��� . � *�� ����. �L���%���� . �@����#;�Z�����+��� ��I; F �+_����+�����P�AJq�:9fE

Page 63: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� .�,� �:�$���$N!�����������PD@D��>��gKkR L noH,R%I[ZeV|n*r�KkZ]H,O}O�H Ni\�Z6z,Kkj6R \�OP�*ZeVXR]\6O}RpNi\�R]NiNiKT]K x C� ��Ly��x *� � �]y�� �,OV�� KWH ILKkO[Q;O�TeK@T�OP�CO[H,O[\�R r�KkZ]HgO�T]K ` ILK,\LKkT]n jqO�R�T noH;KWHENPO�\LdfReVWVXZ w

P Z & x w R]VWV�Z]\�RnoHUI�R]V|N3Z>T*O[VWVXR;I�Z]V|n*r�KkZ]H,O x I%�:Z j Ly L N \6R;T]n O d]R]VXZe\LK L ) x R ILKWH KMILNi\�Rqy>O L � x R>T*OLILNi\�Rqyz,n mZ5R]d dfO�H KW\�OpI[ZeVXZ I�O L ) Z L � � wP Z & x OpVXOUI�OP��n O[HEN K j6ZeHgTeKXr[KkZeH K ILnoVWVXZ I%�:Z j� I�Z]HgZI�Z T�T]KMI Y[ReN N3O �

� � �@R>dfO�VXZ j[KWN mR 4 � T�O�VWVXZ}I%�:Z j mO T*R]N3R%T*R�L� b L ) ��4 � � U � T �

^�L� � b �

`�L

�S� � � b �

^�L) � b �

`�L

�S� ) � �

C�~dfReVXO VXRSI�OP�en O�H N3O TeKMILn��en R��eV|KkReH8r RpT]K O�H Ni\�Z6z,KkR z O�\ Z���H K ? � s^�L� �7b ^ � ?�Eb �

`�L

�S� �L

� b5? 4 � ^

�L) � b ^ � ?+� b �

`�L

�S� )L

) b5? dg �H_����+��$D��% �?%������% �*�� ���� . ���}#+$���)%���,��}#"��$D��);��% � ���m/0��$�����,�������� . ��_������$��}���� )��$D���+����"�O ��$��S�����$D�O,O��%>���7�-��,�#% �����E

N ��� �A��� D D%=D ����Qn���U�Q ��,O#+���H'�i��$D�N� ��� . �Vw s |��DxyE7~8�&�-���+ � . ��$��o%65 �Qe��"��*�� ���+� . �����#;�Z{d�$�_���$D L M O � �

�L � S T ` �

L�S S Z � ,E -=3��

����� `� �L

�T ���1 Z #"��$

L 1 d/* Z� d * L bM�Kd � * Z #"��$

L� � 1 d/* Z 1 d .��:Z

1 d � * Z #"��$L ` 1 d . d � ,E -�+��

Jq�c/0�+�*�� ����`

'��e��� � . � . ��_������$��d#"��$L 1 d/*S!�e��+� . $��������������% %65 � ������$��N��% %�� � 1 d/* Z 1 d .��

��%�� �����$���#"��$L ` 1 d .+E�5���%�%��c<+_��$D� ,+E��d �8��� . �p� %8_�$D�N<"��� . ��% . �N�������+��*�� ��%���!�������+� ��$D�

%��= ��%��*���������Dj�G�-��$�$�� �#;��� . ����% %65 �Qe��"��*�� ���+� . ��{��+$�_���$D �`�T

1 �-!��4� . �Qn��$��H%�����% �*�� ���+���-��$�$��� #;��� . ��������� � ,E -=3�� !8������$D��,i)"��#;��$ U T 1 d��(*SEo���a,O����� . ���8�,���$�� ��������8����$�_���������!Q��� . �" ��*�� ���� ,E .!S'�d���� %�� *�*Q�N���A#;��$�����%��-��% ��$���% �A���% �*���������-���O���#+�����,���%����4#+� ���-��% �+E4�����% % �G�Dj�Z �p����D�V'�Z�Dj�7%��G ��%��+*�� ���� . ��%p#$���)% ��,7��#+��$���)"��%����-�"!��%>��$��[� . �(����$��A��+�` j+�8�D��� . �Qn��$��+!;����,��?���%}������7��#;��$�);��% � ���+!;j+�7��G�8��N���Z���%>����=������ ��$D�!d������n�D��������� %�9+�+���=����V�����8���Q���+E g ���%>��$��4%��V����%��S�-���('� . ���c���%���������'� . �-����$�,O� �+�����r���%���,�������� . ��%9+�+� �"!�,��+!����9�����-��$ . �r�����^%�� t $���#;�����*������� ,E � � !���+�Dj����%@����$�,����� . �>:@�+������ . ��$N'�i�+�a���Z�-������$���)����+E

� "�� �cGIH*& � 1=&,5 B8/$1:G,132 1*BC&,+ /$& /:& � �#1 �1cG @#(*57&,+ �?-?>,1:@F(*&��� . � . ���Dj��$���,��O��$D����% %I5 ��##+$�������,7��*�� ��������+,O��$������ . ��%�% �?���% �*�� ����f������$���#���Dj� . ��%#$���)+%���,�� . �o�d���+�Dj8� � ,E � -�� ; � ,E �!*��-E����m$��� ��$����_���$���,�����_�% �m��Dj��,��m�Q #% ���-�����q� . ��#+�������Dj��!m#+�$?���%�%��a%���$��� ��,�#%����-���('�a#;��$�,��-� ������4�+��4n��� . � ����##$���/0��� . ����� . ��% % �#$���)+%���,��������Dj����� ���*�����% �m�Dj�A �L���+��������$D���+�i� �ae���Qn������� #"� . �f#$���)% ��,��IE

Page 64: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

.U- ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �

u}��_��$�� ,E � JG~8�+%�%��T � ���n��$��V%��= ��%��*������� . ��% %I5 ��e��+��*�� ���� . ��{��+$�_���$D[����C������-����E~8�% % � . �� ��$D�A%��? ��%��+*�� ���� . ��%�%65 ��e��+��*������� � ,E -=3��o�����7%���/0��*������� . � . ��:;�" � ����

`�L

���$D�N������_�_����N�D�E g % . �N�������� *�����% �O'����%L_�$D�N<"���[#��������+�����"E

��� ���'� � ��� ����� �0+-��� ��./��� � ����$ "'�u}� �������d��^#+����� . � . ����-$��-��� *�*Q��*�������Z #"��*�����% � � W T�� �U����,�#"��$���%�� � U T ?f!&% �_�$���_�%����T���$N'� . �N�D� . ����#��������� . ��%�� . ��%�#������ � W � Z\U �

T��� Z �@?�-!�#;��$`�N��%���$��

��������$��;��$�)����$D��$�� � ��E t ��$p�+�+�?/0�+�*�� ���� � . �-<"��>�D�i��% % �[_�$���_�%����!8��-$�������$���,�� � ��� #"��$c� %}���7�N��% ��$��?��%q�� . � � W � ZaU �-!"�Oe��+�� �����������*�������[���$N'�O�� ������7�+�����$D��% ,�����������+�Dj+�P��/0�+�*�� ���� . �-<+������c�N���+�+e���P#"��$&��� . � ����$��P�+�N��% ��$�� �+��� . �6E t ��$�$���,��������%>��$�� �� ����,7����������,�������� T u� E9�����+�� . ��$�� ��,��H��% % ��$D�G% �H��Dj��,7�H���#%����-�����V_������$D��% �U�� � �O

�(� Ey#������m�#+��*�� ��%��f�A� . �+�a#"��� �� ��� � � T � � � � ) � � Z$d9d$d9Z � � � � � �:Z � ,E -�0��#"��$ !m� ������$��U��� � 1 !f� . �N��� � '�[��"�Z/0��+*�� ����7�-������� ���"�!f,7�`� �r_������$���%��i����%�� ��Q��$���! . ���m ���� � � �

O�(�P��$�_���,��������I!S�Dj��� ��_����+��$D��% ����-$�������$���,��i����,�� � � � �-E

���+��#$�� ,����+��*�� ���+�d� ,�#"��$ �D������� . � . �-<+�+��$���'��e��+��% % � . ��_�% �+��Dj��,���-���+���$��(����� �8�IEA �CBA���%�2�%�$�C� D D ) F�HgZ I[j �:O�Q;RGT�O�V NiK z Z x *� � �Ly zgn mZ OLIqI�O�\�O$Q;O[I6I�Z KWH Y[Z]\LQ;RjqZ]H:I�O�\LdfReN KWd]R>I[O�O[IqKMILN3O~noH,R�YqnoH8r�KkZeHgO J s � � s NPReVXO j �:O

� � � ) � Z$d9d$d9Z � � � T � ^ b � � � ) � � � Z$d9d$d:Z � � � b � � ) � Z$d9d$d9Z � � )(� �3d � ,E/* 1 �JL��/0��+*�� ���� '����% %���$����Dj����,7�N�D��9"�+���A�8�,���$�� ������%��?��Dj��,�� � ,E -�0��}#+$���� . ����% % ��$D�% �i/0��$�,7�� ��� � � T � ��� ?b � � � � ) � � � � �Z$d9d$d9Z � � � � � �[b � � � ) � � �Z9d$d9d:Z � � � � )(� � "���Kd � ,E/*S�Q�5���%L ��_��������#;��$�$���,��i#;��$����,�#% � ���>�N'�

� � �� � T � � � ) � � � � Z$d$d9d:Z � � � � � +�3Z

Page 65: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� .�*�Ae��� � . �m%�� � ,E/*S�(�d �L��-$�� ����$N'�?�+��% % �i/0��$�,7�������+��������� ��� � � T � ��� #b � � � �� � b � ) �� � �:d � ,E/* � �

8�� ��$��8����,��U�Dj+�U'��#;��� � )� %�� . � ,��� ��$D��$��O�Dj+�i��+�G��Dj��,7� . ��%�%��U/0��$�,7� � ,E -�0���#�}'��Q����$���,��Q�������a/0��$�,7���-���" ��$��N�N�����N�O ���?���% �7 ��#;��$���_���f���-� ����$�� � T � � � � ��� �� � ��� �m�D��% �A�Dj� � � � � � � � ��� �}��fj+��

��� � � � � ) � Z$d9d$d9Z � � � � � T �� �� � � d � ,E/*U,��

~8��������$��8���-��,���%��U#+$���#$�� �-�N'� � ,E/*U,��c�� �a%65 �Qe�����N��%�������� . � ��-$��-��� . ��% % �a#$���#+$�� �-�N'� . ������+���$��N��*�� ���+�c_�� . ���� . ��% % �? ��%��*�������@������$���#+� �Dj��!S��� . � t $���#;�����*��������,E ����E

��j����$D��,���������%�� #$���#$������('� . �T)+���� . ��% %��K��Dj��,7� � ,E/* � � '��#;��$N'�K% � �"������+�� �����*��O�-���U%65 ��e��+��*������� � ,+E�� -�� E t ��� �Djm'�c� %m$���##;��$����� ��� � � b � ��� ?'�H��+�^)+����+�M��##+$�������,7��*�� ���� . ��%�%�� . ��$����N�N�D�=����,�#"��$���%��

LiM�He��� � . � . �N�8$���,��

�Dj� � . ��$����Dj�A� %f$D��##;��$���� � � �� � b � ) �� � � Z

�� �O��"�i)+����+����##$���� � ,7��*�� ���+� . ��%�%�� . ��$�� �(�����O #"��*�����% �^

�L

�SE

A �CBC�C�����������PD@D����@Z I�j�� O[Q;R jqZeH:I�O[\Ld]R]NiKWd]Z x *��� [y mO#T�O�N N3Z jqZeH:ILKMILNPO�H N3O jqZeHV�� O���n R�r�KkZ]H,O x C� � �ey;I[O � � Z9d$d$d9Z � � Tc^ � � �

z O[\ Z6��H K � � s x R;Q;O[H,Z}T]K noHgR>jqZfILN3R]HENPO�R�T*T]KWNiKWdfRLye�b . ��:@��$����*Q� . �+e��+��������/ ��� ���A�+��% % ����$D�N������*�� ����P% ����Q��$���!�$��� �%�����e���#+� '�7�-���8�����+���������� ����$�� . �$�$��c%��i/0��*�������A�-�� ���������A �+�f$���� �����_���%�� . ��%�%��O_�$���_�%����?�8�,���$������ � � ! . �-<+�+�>�D�. � � � � W ZaU � T � ��� �Z W � ) �� g W g W � � �� Z U� g U g U� � � Z � ,E/*:-8�#;��$FW � ) �� J

T S��S� � � E g ,�#;��$�$���,��H���"�Dj�Z���%P���_�������H�Dj+�`� % . �����H���� *�����% �� ���

. ����-$��-��� *�*Q�N��� . � � ��� ^ T �� -S� ��S� � ��

L ^� W@��7KW[d � ,E/*2*��

bc))����,��7��% %���$��i��%q ��_���������ARL����$���,7� . �L�-���+ �� �����+*�� . ��);��% ��E� �=� �:��� � D@D�=R � J�� ����� �=�CM �:��� � �EKkR x C��� �y noH,Z I�j�� O[Q;R jqZ]H I[O�\Ld]R]NiKWdfZjqZ]H ILKMIqN3O�H N3O�jqZeHJV�� O��[n R r[KkZeHgO x C� � �]y>O�ILKkR � ��� ^ VXR;T]KMI�j�\�O[NiKXrqr R�r�KkZ]H,O T�O�V T�ReNPZ�KWHEKXr[KkReVXOKWH x *� � �Lyfw�T*R]N3RUT*R x C��� �Lye� �gKRfIqILnoQ;R>KWH,Z]V|Ni\�OSj�� O;OLILKMILN3R}noH,RSI�Z]NiN3ZfILn jqj6O[IqILKkZ]HgO � �N3O[H,T�O�H N3O R� ;N3R]VXO�j�� O� � � � � � � � � � �

Page 66: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

.2. ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �� � � jqZ]H d]O�\ �*O KWH � �� � � s l � 1 Z��M� � O ��n RfILK Z]d noH ��n O R}noHgR�YqnoH8r�KkZ]H,O L �

��VWVXZ]\6R L mO~noH,R�I�Z]V|n*r�KkZ]H,OST�O {6ZeVXOST�O�V8zg\6Z�{�VXO[Q;R x C� � �ey � x *� � �Ly��t ��$P��+� . ��,��� ��$D��*������� . �Le������7�-��%���)$���$�� ��%������������ . �&w J�< !"���A��!+|�x6Ed~8�m������$�����Dj�����Z��Dj��,7���Dj�����������i� �a/0��$�,7�O�����+���$��N�N�����N�i#�q'� . ��$������%m%�� ,��>���? ��%��+*�� �������#�$���� �!;�Dj�[����G����$���<"������Z%65 ��e��+��*�������?� �r����+�� . ��)"��%���!@#"��$��Q ��,O#+���`����� . ��% %��. ������������ �8��>�N'���Dj�����������$���<"������i% ��$���%���*������� . �L�����+��� ��I; F �+_����+������E

t ��$`,���_�% ���T#$������ ���$��4%��T��� ��$D�T���"��% � ��I!�% ��_��^% �r% ������G_�� '�^���_���>���G���%����� �%�� ��Q��$���!�N:@$���������$���,O�i���%q ��_���������L���_���������f#+$���)%���,�� J� ��$��N�N��$����-��� . ��*�������m��SYZ�-� �������m#;��$c% ���-���8����$�_����*�� �� ��$��N�N��$�� . ���L��$�������$��m�Dj+���������-�$����+�O�Dj��� %m% ��,������[�� �O��"�O���% �*��������������$���#����� �� . ������$�,�� �+��$����A,O� _�% � ��$D��$��c%65 ��$ . � �� . �L�������$�������*�*�� . ��_�% �m��Dj��,��f#$���#"��n���IEg %A#$�� ,��\$�� ��%��������B'�r����N������,O�������V���1e��+�� ��5 �%>����,7� . � $���*�� ����H�V��A�-��% % ��_��M���

$�����%>�D�N��� . ��% % �Z~S��*�� ���+�O��E + . ��%q�d��#������%�����EA �CBA���%�2�%�$�C� D D�� F�HgZ~I�j�� O[Q;R jqZeH:I�O[\Ld]R]NiKWd]Z�O jqZ]H ILKMIqN3O�H N3O�jqZ]HUV�� O���n R�r�KkZ]H,O x C� � �eyILK T]KkjqOST]K Z]\6T]KWHgO �UI�O

� � W ZaU � T �? �L

� W[Z\U O ?�7b � �L

� Wcb � � Z\U �3Z$d9d$d:Z L � W O � � ZaU � ��� T � ��� �3Z

I�O � � 1 � �@R��[n ReH NiKWN mR � mO�j �8KkR]Q;R]N3RpO[\L\6Z]\�O�T]KvNi\�Z]H,jqR]Nino\�R>T�O�VWVXZ}I�j�� O[Q;R���������$���%�� *�*Q��� . �=��%����� �=����]%�� �����$���_�%��c��$�_���,����������S��� %�� *�*Q�N�������% %��^~8��*�������T��E +!��))+� ��,O�c��%8 ��_���������&$�� ��%��������+!(�Dj�d��� ���-�$D���Dj�&_�%�����Dj+��,��������+���n���������� ����c��% ,�����. �m��$ . � ������"E� �:� ����N!���2�%�$�C�PD D%B) �EKkR#T�ReNPZ noHgZ I�j�� O[Q;R jqZeH:I�O[\Ld]R]NiKWd]Z#O jqZ]H IqKMILN3O[HENPO jqZ]HV�� O��[n R r�KkZ]HgO x *� � �ey5NPReVXO j �:OJV�R;YqnoH8r�KkZ]H,O � � � � � ��VWVXZ]\�RUz:O�\pZ6��H K�I�Z]V|n*r�KkZ]H,O LT]K x *� � �]yUR*{�{qR]IqN3R]Hor R>\�OP�CZ]VXRe\�O V�� O[\L\6Z]\�OST]K N \�ZeHgjqR]Nino\�R � R>VXR;I�Oi��n O�H N3O O[I z,\�O[I6ILKkZeHgO� � W ZaU � T b�? � � �

L Z �L S

�S O��

� ? �3Z � ,E/*U.��z:O�\

� �L Z �T �

� � ��� ��) �

����

�L Z9d$d$d$Z L ��� b �

� �^� �L

��� d � ,E/*�3��

A � � ��N �(� �2�����C�ED s �#+��� . � ��,O�i�-���URq�(�8% ��$p%�� . ��$����N�N�D�A����,�#"��$���%�� . ��% %��[���% �*�� ����L L� W[Z\U O ?�

TYLFO ? LiM�O � ? LiM M�O�� � ? � �TYL b5? ^ �L

�S)O � ? � � ^ � � L ��� LNS � S O�� � ? � �3d � ,E/*U+��

t ��$O���#+��� . ��$��U� %P����$�,�� �� � �L

� W b � � ZaU �3Z9d$d9d:Z L � W O �� Z\U � �O��))+� ��,O�V)�� ��_��� . �

��%��-��+��� . �������>�N'�E"8��8�8� ��,��������� �L Z9d$d$d9Z L � T]L d � ,E/*U0��

Page 67: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� .=3g ���%>��$���! . ��% %�� � ,E/* 1 � !��fj+�! . ��$�� �N��� . �O�?���,�,7��� . �+!

��� ��) �

� ��

�L Z$d$d9d:Z L � T b ��

� ��) � �

��L Z$d$d9d$Z L � T b ^ � � L �:d � ,E . 1 �

t $��S�-� . ��� . �O���+��% ��_���,��������c#;��$�% � . ��$����N�����A �Q�-��� . �A �L��� ��������� �L

� W b � � Z\U �3Z$d9d$d:Z L � W O � � Z\U � � TYL b5? ^ � � L � L SO � � � � � � ��) � ��� � �L Z$d9d$d:Z L � O�� �

�� �3d � ,E .�(�

~8��,�,���� . ��%�� � ,E/*U+��p��%�� � ,E .�(�d �m��� �����������%m$��� �%��������"E �g �r#"��$������-��%���$��A������$�������,��Z�Dj�i���a��Dj��,7�Z#�q'�U��� ��$�� . �q��$ . ����O �+#"��$�� ��$��[��%

#$�� ,O�7����? ��%��� � � �L Z � � 1 Z

#;��$���_���m���% �*�� ���+�L

$���_���%���$���E

��� ����� � �!� � � �)(�� � �� &� � �)$ ��. � �� �� � �z�� ��,��=� . �����V��% �������Q ��,O#+� . �c��Dj��,��c�H��$���#��������-���" ��$��N�N�����8���4�-���+�� ���������IE�4��%>��� . �;e���Qn���@����+� . � $���� ����,���������� �#� $������ . ��%@���� �?% � �����$��c�Dj+����)+)� ��,��[n��� . ���N������%f#$���,��7����#�>����% �+E N ��� �A��� D D% � J�� N!&('���� � MC� J������ � �:���=M��:��&('�N*D ����,��k#$���,�� �����,�#� ������+�� . ��$�� ��,O����L5 �Qn�����+�������[��%q���� �7�+���4% ����Q��$�� . ��% % �`��Dj+��,7� . �}JL�:9�;Su$���� . $����Dj+�E����,O�H���%A������\% ����Q��$��r%�� . ��$����N�N�D�\�#+��*�� ��%��

^�L

�S

���$N'�^��#+#$������ ,������ . �\��"�. ��:@��$����*Q�O��������$D�N�D�!8,�������$���% � . ��$����N�N�D�?����,�#;��$D��% �

L M����$�$('�O��#+#$������ ,������ . �� ��� � � b � � � � � � � O � � )(� � �? d

8c�������+� ��,O�7e��� � . �m% �7��Dj+��,7�� ��� � � b � � � � � � � O � � )� � �?O ^ � � � � � � +� b ^ � � � )(� � �

�� T

1 Z � ,E . � �

�Dj��#;������ . �7�-��,��?��%m���% �>��� T ?�� � !S#+�q'����� ��$���,���� �O���%�%��O/0��$�,7� � ,E/* � �p��������%9+�"�������+,O��$����-�

��� �L Z � � T �

� �^

�L

�O_^

� � ��� O �� �L b � �:d

s ����� . �i� �4e��+�� ���7���� �

� �L Z �T �

� � � b � ^ � � L � � �3Z��))����,��?�Dj��% �[��Dj+��,7�O'� . ��%+#$���,�5 ��$ . � ���EA5c�����$D��% ,���������%��? ����)+��% �>�N'��%�� ��Q��$���*�*��N�D���m�(�8$('�i#"��$ � ^ � � L � � X�Kd

Page 68: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

.2+ ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �t ��� ����,��O���$�� ����$������+�Dj+��% �7��Dj+��,7�O���a/0��$�,7�[�8���������!S���"��% ��_��O��% %�� � ��E ,U-8�3J� ��� � � T � ��� #b � �

^� � � � � � +� b ^ � � � )� � � �

O �� � � � � � � #b ��� ��� O � � )� � �3d

� ,E .2,��5���%����_��+�>���V��� . $���,��=%��T �+���-�Q���������_������$D�N�D� . �Te��+�� ���^��Dj��,7�=�-��������$�_�����% % � ��%��+*�� ����P������$���#� ���E t �$���$���##;��% ����+�A��%������8���������>�N'�i'�d$����#;���+���)� % � . ��% %I5 �����-�����������$�$�������� . ��,�������� . ��%�% � . ������������ �8��>�N'�EQ5���%�%��H<+_��+$�� ,E � ����� . �4� . �� ��$D�H��% . �N������+��*�� ��%��V�V�9������ ��$D�^%��M���% �*�� ���+�H� . ��W����,�#;�C��+���-���������^#"��$���%A#$���)+%���,�� . ���� ��,7�����#;��$ � ,E � -�� ; � ,E �!*����-���

^�L

�T � L �

L0T

��!L�T1 E

uq� _��+$�� ,E � J&Jq�:9�;8u+$�� � . $����Dj+

N!��� �A��� D@D� � J���N!&('���� � ����� �%��MH� #%� N &('C��� � MC� ��L������%N ��� N 'C���8D�����-��$ . ��� . �=%��M��Dj��,7�=�#8����� . �+��%�������T%�� ��Q��$�� � ��E � 1 �O� � ��E����Q� !���))����,��T��+��+�N���$D��% ���Qn�����+�� ����A��%m������i�+����%�� ��Q��$������%L���� � . �m�+�+�O/0��*�������

^ QSZeHgZ]N3Z]H,R J� ��� � � T � � ��� Fb w^

� � ��� +�.b ^ � � � )� � �yx Z #"��$^� ` 1 Z� ��� Fb w

^� � � � � � +� b ^ � � ��� �yx Z #"��$

^�g1 d � ,E .U-��

~8�P#�q'�H��� . ��$��Z/ ������% ,����������Dj�U%��V��Dj��,7�G�#8��� � . $�� ��%����r��� ��$��a�-���" ��n���������a�-���%I5 ��e��+��*�� ���� � ,+E�� -��G�9� �2_����+��$D��% �M�(�8$('�B,�����1�8� ��-�� ���('� . ��% %�� ��Dj��,7� . �7JL�U9�;u$���� . $�� �Dj+�E t ��$���$���� �D��$��A��%}������7_������$D��% � . �@9+�+� �q����G,������������m%65 �� �����" � ����[#� '� ��,�#%����-�[� . �-YZ�����-�A$��� �%������Q����$���%��U��Dj��,7� . � s �_�e����n� ;�8��j��$QE�~8�q#$��8��� . �A�+��% ��_����������,�� . �+E&~8������

^ � �L

� J Tt- �^ ,��U9�f^� � 4(�3Z 1 �f7C4KZ ^ ) �

L� J T - �^ ,����

�f^� � 4(�3Z 1 �f7C4Kd

Page 69: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� .�0bc%�% ��$D�!d#"������� . �\���,�#$��4#"��$�$��

^� 1 �T1 �+��% %I5 ��e��+��*�� ���� � ,E � -��-!� ��j+�

^�L

�T^ � �

L�Oa^ ) �

L� E t ��������,�� . ��<+�� $��A��%�% ��$D�[� %19+�"�������+,O��$����-�

���� �L Z � � Tt^ � �

L�Oa^ ) � � �3Z

��% ����Dj��,�������$�$��� #;��� . ��������!S���$���� ���O�+��% % �O/0��$�,7� � ,E/* � �d���$('� . �N��� . �� ��� � � T � ��� b � ^ � � � ��� �O_^ ) � � � � � � � b ^ � � � � )(� � �7b ^ ) � � ��� �

� d� ,E .�*��

~8��� %,9+�+� �^

'�AJm� #+��Dj����*������+�+!8%��7 ���Q�����(��%���#;��$�� %,9+�+� ���8�,���$����-� ��� �Dj+�����$N'����+�Dj�A�-���+ �� ����������E�JL�O�8� ��-�� ���('�i�8�,���$�� ��� . ��% %��7��Dj��,7�a'����% %���$�� . ����� . �

� �L Z �T � ^ � � L � �

� � � b � ^ � � L � � �3Z�7��)+)� ��,����Dj+�O% �4��Dj+��,7�H'�O���+�-��$�� . ��%&#$���,�5 ��$ . ���+��E 5���%p ��_������� . � ,��� ��$���$���,�����+�Dj�&�Dj�p�����8����$�_�����% % �����% �*��������������$���#+� ���ELJq�� �"���8� ��-�� ���('�P�8�,���$�������'�&� �S/0��$�� ��$����e����% % � . ��%�% �A��Dj+��,7� . �+JL�U9�;Su$���� . $�� �Dj+�!N�-��,O����S��� . �����+�Dj� . ��%�%���<+_��$D� ,E , . �N�����f#$�����������O%��i$��� ��%��*������� . ��% %��7 ���Q����#$���)% ��,7� . ��% %I5 �����,�#� ��#$����-� . ��������E

uq� _��+$�� ,E , J s �_�e����n� ;�8��j��$

N ��� �A��� D D% � J��TN!&('���� �HM����6� MC���C�=O ���+�� ��� ��Dj��,7� '�3)+����N���l �% %�����% �*�� ���+�[% �8����% � . ��%o#$���)% ��,7� . �&������,�����mE?�����-��$ . � ��,O�a�Dj�O% �U ��%��*�������O����N� �D�. ��%f#$���)% ��,7� � ,+E�� -�� ; � ,+E��(*��&������� % . �N���7���� *�����% � . ��%m��� #"� . �q������,7����L ^ T�� L 0 Z #;��$)W g 1 ZL

� Z #;��$)W` 1 Z � ,E .2.��

Page 70: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

3 1 ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �#"��$ . ��Z���� ���������o<"�������

L0 �L� !d'�7���,�#$���!q���+�Dj�����%����� �a����=�����8���Q���+! . ��% % �

/0��$�,7�O���S���� � ,���%���$�� L� W[ZaU � T � � W �VU � L 0 Z L � �3Z

. �N��� � . � #"��� . � . �^

�?�-���+�� ��� . � . ��[ �������}�-�� ���������L0 �L� ��#+��$D�N��� . ���N��$����

��� . ���Dj+�A#+��$������� . ��% %I5 ��$���_����+���?�Dj���8����_�_�� ����i� . �+�+������%��S�-���('�O� �S/0��$�� ��$�����%,��U9

��^� � 4(� � �������,�#$�����[��$��

L0 �L� �Kd

zc��<+�����,��`%��Z���% �*�� ���+� . ��% % �`��Dj+��,7�7#;��$�$����-��$�$����*Q�!S#+��$ ����� . � . �Z�+�+�Z���% �*�� ����� . ��������%@����,�#"� U T �@?@E5���% %��^�-��%�%�� � W�� )(� Z\W���� l � U��ZaU� � � �7$��� ��%��8����,��V����N� �D��,��������4��%�#$���)% ��,7� . �

��� ��,7�����#;��$ � ,E � -��d�����a% ���-��� . � *�� ����L� W[ZaU �

T�� � � )� Z #;��$ W g W � ) �� Z� � Z #;��$ W` W � ) �� Z � ,E .�3��

��� . �^<+_��$D� ,E -+E ����Qn�D� ��%��+*�� ���� %�� �Dj����,�����,���� �S)S� � ��u �L� )(� Z L � � E

zc��))����,��=��� ���-�$D��$D�-�d#;��$N'�V�Dj��% �4 ��%��*�������6E . ��<+������� � . ��4����% %��4�-������� _���a������������$D��_���������+�i#$�� ,�� . ��%m����,�#"� U � � E������ ���7���$N'�O���,�#$�������$��7���'������$���<"�������O% ��-��� . � *�� ���� . �f����#;�U�duoJ ,7�:9

� � ^ � � 4(� � ��c�-��,�#$�����i��$D�L� )� � L � � �

� Z � ,E .2+��

#"��$P���S�����q_�% � � � EL������ . �m#;��� ����,�� . �-<+�+��$��A��m5 �������i/0��*�������� � W[Z\U � T � � W bCW � ) ��? �L� )� Z L � �3Z�#;��$ W � � W � )� ZaW � �

���% %��V ��$������� � s l � U��ZaU� � � �-! . ����� . ��%�%��H��N�8$���##;�����*������� . ���P����������#$���)% ��,�� . ���� ��,7����4�����a��$���_������� �XW��OE

t ��� ����,��O��$D�O��%q�������� . ��#+���������% %��7�-�� ��$��*������� . ��% %��U��Dj��,7�!S%��7#$���� ��*�� ���+�. ��e���� ���V ��%��+*�� ������ ����N����� �r�� . �P��+�r/0��*�������4�-��n�D�������a�G��$���� ���6E^z��-<+�����,�� �+%�%65 � ������$��N��% % � � W � ) �� ZaW � � �� �d%��O���+�N�(� � � � ����,��

� ��� � � T �� -S� ��S� � ��

� � W ZaU � � ��7KW[db e���Qn���M#+������M/ ������� ��,��\%65 ������$��N��*�� ���+�4/0��� . ��,���������%��=�Dj��!c������� . �M% � � ��+� ��%��+*�� ���������N����� . ��%�%��7% ��_�_�� . �q�����+���$��N��*������� � ,E � -8�����% % �`�-��% %�� � W � ) �� Z\W � � �� ��l� U��Z\U� � � �-! . ��%�%��[/0��$�,[�%�� . �q�����"� ;S��$������U��)+)� ��,��O%��� ��_�������������#$���� � ����

- S� ��S� � ��

� � W[Z\U� � � ��7KW T -S� ��S��� ��

� � W ZaU�+��7 W=b -M�� �M�

^� � � W � � �� Z64(� ��7C4

O - M � �M�

^� � � W � ) �� Zq4(� ��784Kd

Page 71: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� 3S�

u}��_��$�� ,E - J g %m,������ . � . �L��� . ��+�N�

s ����� . �r%��H���% �*�� ���+� . ��%�#$���)% ��,7� . ��������,�����^�D��% �4�Dj�U� %9+�+� �9'�a�-�� ���������a���������� �8��i% ��_���% ��$��-�����FW T W � �� !"��))����,���� %L ��_���������A��Dj+��,7�[�8�,���$����-�� ��� � � T � ��� #b �f^ � � � 1 �

L�#Z L � � � ��� b ^ � � � 1 �

L� )� Z L ��� � �Kd � ,E .20��

����Qn���O��Dj��,��a'��� �a/0��$�,��O�-���+���$��(����� �N�i�����U9+�+� ���8�,���$����-�

�� �L Z � � Tc^ � � � 1 �

L Z � ���3d5c��%�������^#+��$ ��� ����%���$��4���X�-�����%�9+�"���

^ ���T% ����Q��$���!��9 ��,O#+%����-��,O�������H�����8���Q���

���%�% ��$���_�� ���+� . �+,����+����������!���%�% ��$D��%��?��Dj��,7� . �@��� . ���N�i����� �+�-� . �����,�#% � ����,�������������r% ����Dj��,7�Z�#8��� � . !L����,��O������ . �����+�Dj� . ��% %��Z<+_��$D� ,+E * . �N���� �o#$���������D�Z%��$�� ���% �*������� . ��% %��Z ���Q���7#$���)% ��,7� . ��_�% �L�����,�#�L#$��Q�-� . �������6EPb�%���$���,��������I!; �q#�q'�7% � ���Q��� . ��$����+�+�� ��,O#+%����-�A�Q #$����������� . ��%19+�"�������+,O��$����-�O#;������ . �

� �L Z � � T ����

���

,����� � � � ���

^� " � #;��$

L � Z,7�:9� � � � � �

^� " � #;��$ � L d

N ��� �A��� D D%=S J�� N &('C��� � M�� J������ � �=��M��:� � 's #;��� � )� %�� . ��$��?��+�`����$������������A%�� ��Q��$�� . ��% % �c��Dj+��,7� . �8JL�U9�;=<H��� . $���:o!�_��y'������ �������%��������%�� ��Q��$���E t $��S�-� . ��� . ����%�% �G���� % �##;� . ��R}�(�8%���$A���T,�� . �G���+��% ��_����4e��+��������/ �N�����4���%�%��G���*�������4��E + . ��%�d��#�>����% �U��!+��fj+���Dj�? �

L'����"�O���% �*��������$���_���%���$�� . � � ,+E�� -�� !��%�% ��$D�L

��� � � T]L ��� #b<? ^ �L

�S O �

� ? �^� �L

�^

�L

�S�S O��

� ? � �:d

Page 72: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

3 � ����� �������� �: � � ��� � ��� ��� � � ��� �o��� ��� ��� ��� ��� ����� ��� �

u}��_��$D� ,+E * J���� . �+��N�

t �����Djm'� ^�L

�S#T �

�� �^

�L� � � � �7b ^ �

L� )(� � ���

O���� �:Z

��!#;��$��+��e��+��% �Dj+� G <"���N���O���%�%65 � ������$��N��% % � � 1 Z��Q� !�^� �L

�^

�L

�S�S T �� � w

^� �L

� W�� O G � ZaU���� �^

�L� � � � �7b ^ �

L��� ���

b ^ � � L � W��Yb � � b G � � Z\U�� � �^

�L��� � b ^ �

L� )� � � � x

O����

�3dRL$��N�8� ��,���e��� � . �;���O��Dj+��,7� . ��%"����-��� . �?��$ . ���� . ��% % �A/0��$�,��[�-���" ��$��N�N�����N� � ,E/* � ��-���}9+�"�������+,O��$����-�

��� �L Z � � T �

��^

�L

�Oa^

� � � �.b ��� �L Z � � �

^� � �.b ^ �

L� �:Z � ,E43 1 �

. �N��� � �L Z � �&'�d��+��e��+��% �� �� �8��#+#$������ ,���*�� ���� . �

^� . �N����#;��$o�����,�#� � . ���+�+� . ��% %��

��_���������f���#$���� � ���+�

��L Z � � Tt^ � � L O �� �3Z

��##+�$��

��L Z � � T �� � � / � 2P) � / � 2� ) � #"��$

L�T � Z^

� �L

� #"��$L=T � d

5������ ���������O��p�� �U�8� ���4�Dj�7e���Qn������Dj��,��H'��% ����Q��$�,��������7 ����)+��% � . ����$ . � �� � !&'�#"����� )��% �O��� . ��$��[�Dj�U'�[� �+ ����)+��% �i�+���G% ���+����$�,��������O�8� �����+�U���o#�+������ ���� ���I!@����� �`����-��^� �L

�T1 E g �r_������$���%��[#"����$N'�Z� ���%���$��[#$�� . �$�$��i ��%��*�������o�Dj�[����r$�� �#;�-� �D����

Page 73: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: �� ����� � � � �o��� ��� ��� � � � � � �h� � ��� � ��� ��� � � � � �8� � ��� ��� 3U,%��\����� . � *�� ���+� . ��������$���#+� �+E�~8��#$���� . �\#"��$U�Q ��,�#���M��%����% �>���a9+�+��� . �A{d�$�_���$D^

�L

�T � L �A� % . �N���7���+��*�� ��%�� . �f����#;�Z��� ��,7���+�

Li^�T � bA� Z #;��$)W g 1 Z� Z #;��$)W � 1 Z � ,E438�(�

bc%�% ��$D�2%I5 �������l���% �*�� ���+�1������$���#����� '� . �G/ �N� ��� �-���������8�+� � ���+�Dj+� #"��$W��% . �N���. ����-���������8��"!8������ �[� . '� . �N��� . �

L� W ZaU � T �� �

bA� Z #"��$ W g b U3ZS M Z #"��$ b U g W g U3Z� Z #"��$ W`QU3Z

JL� ��Dj��,�� . ��JL�:9�;=<H��� . $���: #$�� . �+�-� � �8���Q�-� ��$�$��������,�������� % � ���% �*���������##$���� � ,7�N���in�D��*������+��$�� � � ��� � � T � ��� @E

g �S<+�+�O��?$�� ���% �8� ��,O�`%��` ���Q���`#+$���)%���,7�����Qn���Dj�i��))����,��Z�8� ���U���_�%��}�����,�#�#$������ . �������6!T��� . �H%�� <"_��$D� ,E .!^��=��� ��$��N���� . ��% % ���������% % ��*�� ����H��������$��� ��%�%��. ����-���������8����('�+!��+�����n�D�������Te���� ���]����C$��� ��%>�D�C �3��3�8�,���$��]���/0��$�����$�� . �[#������$�� �#;�-� ���r�4���S� ���P_�% �d��Dj��,��d#$����-� . �������IE�������� ��������������������������������������� �!�#"$�! ���%&%'�(��)��������("*�'��)+��� �&-,�(�*�.�/�� �')����!�10��.��� �2� )43.���2��5

6 �87����4� ,�5 . J:9;�U9�;�<<���.�!����=

Page 74: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

��� � ������������ �: ��� ������� � ��� � ��� �o������������������������� ������ "�� � (*-0/91:5 1 �8&�/$/:- G @#(��F&,+� &)(*> -��� �&�'� �� &� � ����� � � � +-�&+ � +������� �$))+��� ��������� ���4� �!�%���������%8���2� ����%8%8� )+���$"�����7���������� 0��.��� � � )43.����� �&� ���.������ ��� �.�.� ��� ��%8��7��8�.5 � ���8)43 ,� %8� ����%&����&����� %8�&���& � ����� �����4�����.� �8� 7����.���4��%8�)+������&�$��� � �!���.���8����� ���!� ���4���4)+� �!� �-"��� ������%8%&� �� �8��� ����%& � �!��� ��%8��� ���"�.�������������%�%8�8�/�& ��5:9$# �8�!� ������,�2�&��� ��� ������� )43�� "��� �#,� �.���#�� �.��%.� ��7���� ���,� 0*����%8%'� �!�.�!��&%8�%�&���� ����)+%8�.� �&"#��������� %8� �� �8�/� �!��)+���'� �#���&�(�� �8� � � ����8�)�.������8)���%'�����2�&%�����&� )+�%���&�<�!�)+���'� �# �(�&� �/����* �%&%%+�� )43�� ��� � �8)����4�/)43.� 7�%8�;�8�.���8�����1%&�8��� 4�# �1����%8%8� �,� �-���8�

`� ����%8%&�

��������&�����1�2"#��� �'�-��&����� %&�8��� 4�#�� � �'���.% 4�����.�����)������.��� �;����%8%8�2 ��� ��%8��7��8���!� � � � "���!�� �� �� �������8�./ 0 �1��2 �!3 5546# ��%& �4�7�.��������.��%8%8�7� ����� ��� �%���8������8�5%9�9�� �������'����� )43�� 0*����� � �%� � �!� �� �8���<"#��%&7�������� �� %8� ����%&����&����� ���* �����.�8)43�� � ��������� 0*���8�.�!� �����.��� 4����� ��.�#����4��%8�;���.)43.��� �� 7�%8�1��)43���/�1�$���������8)�� 5�: ))����*�� ��%8%&� �.�����/� ���8��)+���+�� �&�*�� �!�!��� �����%8%'� � �&���8���.�;8 �!��%<� �-�.� ���%8�69��-�8�* ���$���.)+�'����� %'� "#��� �'�-��&����� ������%&� �!��%8%'� � �.)�)�������8�����= � �7>3J � � = � > T �

��� � � � � � b � � � d = 8�5 � � >

A"? B5@�ACB�ACDE@ ?GF D� F�HgZ I�j�� O[Q;R5R]VWV�O T]K ��O�\�O�H8r O�� H KWN3OUT*O[VWV�R;Y[Z]\LQ;R x *��� �y ILK T]KkjqO� � � ILN3R�{�KWVXO�I�O�OLILKMILN3O~noH,R>jqZfILNPReH N3O�� � `IH KWHgTeK z:O�HgT*O[HENPOST*R � O ? NPReVXO�j�� O� � � � � ��� � � � Z

z:O�\ Z6�eHEK � �JH �F HgZ I�j �:O�QSR mO T�O�NiNPZ5O[IqI[O�\�O RLK7M�N�ACM�B�ACDE@ ? � D�(M�O ? OPA �)A QM (MtI�O OLILKMILN3OpnoHgRjqZfILNPReH N3O � `JH KWHgTeK z:O�HgT*O[HENPOST*R � O ? NPReVXO j �:O� � = � > � Z

z:O�\ Z6�eHEK � �JH �R �.�.��� �')+��%8��� �����.� )�%8��� � ������%& � �8��� ����4���* � �!� � )43����� )43�� � ����� � �TS ��������&%8��� �

"#�����8�����8����� ��4��%8��%&�8��� 4�#��/,� ���� � ����%&%'��)�%8��� � ���!��7�%&����)43������ � K A =PU ��4��% V ��� �'�#��&���4 �8���&�.�8� 3��8��7W>�)43�� � ���.�(7�%&�;��)43���/� 4��%8� )43��

� � = � � � > � � = � >3Z = 8�5 � 8 >� �� ��7���� � �XH�5�Y!����� ,� �!�8�/�*� ������ � )43.��0*����� � � )43.�����;������)+��������2�$���#"$�;��� �����������%8%'�/� ��%8����&����� �-����������� �&�2�#4���*�&��� ��!��.�!� )��&�.,���8%;)�� � ���4��� �!� �$���#"����*� )��&%8%'�-���8���.� 5

: �����'����� ��%&%8���4���8%;� ��7������* � ���8� ��%&��#��2�!�#"$�! �2���L* ��������Z/ *��[3 5� ? DEN ? �\M F D^] � � D�@`_ ? N[a ? @bB�Mdc ? a�OPAIeQfQg ? �)A � K A �gKkR T*R]N3Z$noH,Z I�j�� O[Q;RjqZ]H:I�O�\LdfReN KWd]Z HgO�VWVXR�Y[Z]\LQ;R x C��� [ySj6ZeH � n8IqI�Z~HEnoQSO�\LKkjqZ VXZ�jqReV|QSO�H N3O ��K zgI[j �8KWN r�KkR]H,Z���EKkR KWHgZeV|Ni\�OUVXZ I�j�� O[Q;R � �`h O � � � ILNPR*{[KWV�O�� �EKkR LN^ � ` � = s > � ��VWVXZ]\6R O[ILKMILNPOUn RI�Z]V|n*r�KkZ]H,O T*O�{qZ]V�O L TeK x *� � �ey�� x *� � �qyUO~noHgR I�Z]NiNPZ]ILn j6jqO[IqIqKkZeHgO � � wvN3R]VXO j�� OLw�N3O[H,O[H,T�Z? �ji � � jqZ]H jqZfILN3R]H N3O[w�VXRUILn jqjqOLIqILKkZ]H,O � � jqZeH d]O[\ �COUR L KWH � � = H Z � � � �� � = s >,>z:O�\ Z6�eHEK�� `JH �

Page 75: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�: �: a��������� � �� � � �@� � �����5� � �j��� �,� � �

91� �!�8�/�*� ��������8������� �')43��8��!� �.� ���&�.�&��� ��� )������*� )������� �!� : �.��%&�'� � 6 �������8��� ��%8�����,�� ��� �!���)+��� �� �&� / 0�� 9 3 5 9 � )+��� �!� ��&����� �!�����* �����.�8��� ���0*��� � �� � ��%8����&������%8�8�/�& �"��������������(���8��)+�.��� � �.��%8%8�'�����������8�2�(� �&��&������5

9;��)�%8��� � �7����,� � ������%8�8)�� �!�;��)43������ U V�4 ,� ���#4�/�.��7�%8� ��)43������ �)D�@bD QDE@bAAL? Bb@bAPB APD�@ ? F D�� F H,ZpI�j�� O[Q;R H noQ;O[\LKkjqZ T*O[VWV�R Y[Ze\LQSR x *� � �Ly mOUT�O�N N3ZJQ;Z]H,Z]N3Z]HgZI�O�V�R�YqnoHor[KkZeHgO � mO~Q;Z]H,Z]N3Z]H,R;HgZeH T*O6j�\�O[I�j6O�H N3O KWH NinoN NiK K�ILn ZeK R]\ �CZ]Q;O[HEN Kk�

: �.���8�����2�&% � ��7������* � �8��� ����4���* � ���8� ��%&��#��.5� N[D���DEeQAPB APD�@ ? F D^]�GF�HgZ>I�j�� O[Q;RUQSZeHgZeNPZeHgZUj�� O�zgn mZpOLIqI�O�\�O�QSO[IqI�Z>H,O[VWVXR Y[Ze\LQSRjqZ]H I�O[\Ld]R]NiKWdfR x *��� [y mO � �`h O � � � ILN3R�{�KWVXO��A A#�)D�e�&N[M�B�ACDE@ ? D 91� � 4�����8%8� #,� � ��� %'� �.��������� � ���7����()+����� �.��% U ��������2� 9�5%9(H.5� ������&������ �4����� %8� = 8.5 � 8 > � � �����8�����'� �����!��� �$��������� � � ��%8� � � �

�� � � i �2��� = ��� ��> � ��� � � i ���8� = ��� ��>��: �����'�����2)43��������� �;����� "���� ��� � � i = � � > � " i = " ��> ��� ���')43 ,�

� � ��� " � � i � � " ��� � � � " � ���%&%8���4������%&%'�'�����������&��-,���!� )����.� ����"#�-���8���.� = 8�5 � 8 >�

��� � � ��� " � � i ���� � = � � " � > � � = � � � " � >��

4T# ��% ����'�.������ ����%8%8�/�����.�� �����'�(�������'�����2)43��� = � � " � > � � = � � > � = " � > �

�� = � � � " �7> � = � ��> � � = " ��>��

� � � ��7���� 0*���&� �!� ���� � � ��� " � � � �

��� � � = � � > � � =#" � > ��� = 8�5 ��� >

� � ��.�!��� �!� " � i � � ��� �� ����8�����/%'�������������8�+-,� U V�4(5 �� ������ "$�'������)43�� �.��7�%8� �� ���������� � )+� �!���* �1�:7�%8����)43���/���!� 9;���! 6 ���8��!���8)43 � � �!�

" ��7�0*���'� # $� � 3���� ���8� ��%&����.�(� � � ����� �/������������ � �� ��%'�/)����.��� ��&����� �!�b� 6 9% �2��� � & � =(' > � 9)�

* % ���+��!�!� �!��0 �!�!���.�#" ,� �������� ���.�'� ���')43 ,� ���8� ��%&��/������� � %'��)+����� ��� � ��&����� �!�;�!�.��.��� � � �������������� = �"���%8����&������+�������8� �8�* �7��4��%8�Q> � "��� �-, )����&�!� ����� �.�.� )����.��� ��&������� � �\� 6 9��:%8� =/. 5 0)1 >+5 * �$"��)�� %8� � )43���2� �!� 91���! !2<��� �!� ��= ����� ,� �������������� = �!�� ��� ��������/���� U V�47> � )+����� � � "�� �!� 7�� ,�(�.��%;)��� �(%8�&�.�������5

* � �+= �+ � %'� )+%'���������!�7�%8� � )43.�����:�������� ���.�C� )+������7�� ,� �������� "#�� � �.��%8%8� � �&��&�����1<�W� � � � �*���%���8�����79�5 930 ����� ��� �!�!� )+� ��)43������ ���$42)��&��* ������������)�)+�.���� � 5b: �����'�������8���= ��� �;�&%;� ��7������*�� ���'����%&��� � 5

Page 76: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� 0 ����� ���������� ������������ � ����� ���� ��� ��������������������� � ���� N[D ��D�eQAPB�ACDE@ ? F�� ]E]����! #"%$'&�(�)+*,$- .��"�(�/102*.354607 289$- .��"14:"13;(��<3=(>(?)+ 7�@ .3; .�@ 78A3;*.BC($-&<(DBE*�F'GH�HI%4J .�@( � "14J*LKNM.8+O(L*.BHP@4QOGSRT(%BHP@/146)VU 7/WR.46�@(YX

6 ��))+�'����� �!�.� ��7���� �� �!��� ����� ����"-�����8�����!)43�� �����4�����.���!��&%8�.�.��%8%8� ���8)����4)�� �!� ��)43������U V�4 ���;��%& �����4�!�8����5

� Y$�j�.��Z�<���&������ �4����� )43.� ���% )���� � ��� �.���<��)43����� %8�&��� ����� � ��������# �0*�.�����8�����%8�&�.��������!�*� � �'�(�.���2� )43���2�/����%8%8�(�������2� = 9�5\[ � > �!%'��)+��� �!� ��&����� �!� � � � ����� U V�4� 0��.�&"#��%8� ��%8%8���/������������'��5 �����8�.�!� ���.)43�� �.��% )������(%&�8������ � �!�#"$� ����/�� ���#"#������!�7�%8�;��)43������ )43�� � �8����������� %&�8��� ����� 5

� * �<�+= �+ � ��� )43������% )������ ��� � )43����� �.��� %8�8������ � U V�4 � ���T�.���* �:�����.�8���/�)43�� � � � � )��$��4 )+�8���* � ������� � �7���%8��� �1� ��%8%&����� %8� ��)43����2�]Z� ��� )+���4� ��%"���^Z��!�%;�.� �8� # �����!�8����5�2 �8� ��7������7Z� 0*���&� �!�����'�!����� � %'� ����7���%'����� 7Z� �!����)+�$��4 )��&����� ����������*���� � �8% �$���������/�!� �����* � = ��%8������� � > 5

�_ �`_ � a�bdc<egf]h^i �!c�jkegjki �Hfmlnjojqp`h^r �!bdrsh ���ftiu�egj�cvh��!f� ��� � �����������7�%&�8� �� �.�!�'����� 7�%8����)43��������!�� �%� � U V�4 �8�* ���!�!�.)+�'����� �!��� �������/���%& �� �.�� �8"�� � �� 7�%8� ��)43������ )+���.� ����"-�� �8"$� 5w"?Qx @�ACB�ACDE@ ?GF�� �syz���! q"�$-&<(%)+*gR{(�B|354 P< ~}=�QX6�7�%��P!G�O t(%"-"�(�/W(�)�(%"'"% �46��F% 7/1)+*0�4:"�$' 2"�*t"�(�(%"'4:"13=(oGH�!*>F'GH�sI�4J .�@(���R74 [{� 02*./14J*{��46B�4:8,$'&s4J*.)�*.3;*��=$- Y(5��$�4J(%�v3;(qR740�4:"�$' 2"1463HO*|�vGH)�(�/14J$'*v�18�3;*.BC(�$-&<(18�P< 2"13=

�������� ' � i ' ��� � � ' � �( � ��� ��.� � � i � =(' ���@��� � � � � � � � � ' ����� � � > �BC �"�$'&�(�)�*�P@G�O �(1"'"�(�/W(D/14:"�$�/146353= +�!(%B6BE*�F% ./1)�*

' � � � � � i ' � � � ���  = & =(' �� � � � > � & =(' ��� � � � >!>+ � �¡ � �� ��.� � ���� �� ' � � � ��� ��{� � �L��� �� ' �k¢ �

= . 5 � � >

� � � ����"$�8�����<)43�� �.��%�)��� � %&�8������ � � � ��� �� �#"#� %8�<����� �2� = 9�5 . � >�)���� � �� ��{� � i¤£ 5* ����%& ��� � � �������� "#��)43�� ���� �2���.� � )43.���2�/����%8%8�2��������� = . 5 � � > �.��%8%8���4�/� �����¥Z� �������� ����+������� �&� �������2��)+��� ���� "#�#��&"#�/)+����¦ �.� � �/�*�.�/�� �')+�

§ ������{� � i 9[ = & =/' ��� � > + & =/' � >!> � 9[ % � �����{� � � ����� ' �¨ ��# ��%& �4������� �2� �� �8%&�;� ��1"������ , )����� ��������� � )43���2�NZ� U V 4�Z��%8� ��������� 46�@$�/W(�)�(��<3=*7BC( 5w"?Qx @�ACB�ACDE@ ?GF�� ���©���! q"�$-&<(%)+*gR{(�B|354 P< ~}=�QX6�7�%��P!G�O t(%"-"�(�/W(�)�(%"'"% �46��F% 7/1)+*46�@$�/W(�)�(��<3=*7BC(`"�(�(%"14:"13; .�@ ªR.G<(kF'GH�HI�4J 7�<4¥R74 [.� 02*./14J*{��46B�4@K~(«¬8¥$'&s4J*.)�*.354�$- Y(5��$�4J(%�v35446�@$�/W(�)�(��<3=*7B�4:83;*.B�4d$-&<(ª"%(�P< 7�<4J*.)� K �� ��{� � � i K =/' ���@��� � � � � � � � � ' ���� � � > � « �� ��.� � � i « =/' ���v��� � � � � � � � � ' ���� � � > �

Page 77: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� �� � � � ���^� �� �d��� � � ���+�5�d�N�j��� �!� � �

*.B6BC 7/W*ABC +"%$'&�(�)+*+"14�"�$%/14607(�$' 7)+(' � � � � � i ' � � � + K �� ��.� � � �� �� ' � � « ��� ��.� � � ��� �� ' � � =/. 5 � 0W>

Y$� ����� ����"*� )43���� ��%8� ��)43����2�9Z� �&� �������2�2"$�8��)+�*� �<� ��%8%8���4� ���b����Z� �������� ���/���������(�8������ �2�(�&�.)�� ������*���%&�7� ������.�!�

K �� �� i � �� � % ��� ����� � � ��� ��� � ��� �� � + � �� ��� �

« �� �� i � �� % ��� ��� � ��� ����� �� ��� �� � + � ��� �� �

=/. 5 ��� >

* % "$�')+�"����4��� �����gZ� � ��������� "��� �E���2� � � ����Z� �!�8������ �4�����<)43�� ��%&������ ����%�)��� ��!�7�%8����)43������ ���� �G�.���* � �! � 0*����� � �������/� ������� �0*���8"#��%8���* � � ������.�!� ��%&%8���4�� ��� ��� �������� %8�(����� �2�/"$�8��)+�*� �

� ��� �� i %& =/' ��� � > + & =/' � > � [ § ��� ��{� ������ �� ' �

�7� ��� 0*���%&%'�/�&�.)�� ������*���%&�

K �� �� i %& =(' � > � § �� ��.� ������ �� ' � « �� �� i %

& =(' �� � > � § �� ��{� ��L��� �� ' �

: �����'�����(��%&%8���4� %8�(���7�����* � �� �8%&� )����4�# �� �%�&� �-���8���.� �!��7�%&� � )43.����� U V 4 �!�#"$�!�� ���� ��� ���Z/ � �[3 5� N[D���DEeQAPB APD�@ ? Fk� ] F�� M N[M���� ? N[APB B�M�B APD�@ ? c ? a�OPA;e(f�g ?�� A���K w� X��v4J*ªRT*73= DGH�! �"�$-&<(%)+*�$- .��"�(�/102*.354607 L(�$' 7��"14:"13=(%�v3;(�"%$�/1463 3; D�@(�B6BC*dF% ./1)�*D0�4:"�$' 2"�*};�QX �Y�1�.X!��(DBE*+0Y4:"%$' 7"'463HO*A�<GH)+(%/14J$'*�"� YR{R.4:"6F%*%#"""""

& =(' �� � > � & =(' � >�L�� �� ' """""�$ � ������ $9 � =/. 5 � 1W>

P�(�/ª �%{�<4�&('*)�8�*.B6BC 7/-*ABE �"�$-&<(%)+*oO(,+.-�h�X�QX��v4J* R{*73= GH�@ "�$'&�(�)�* $' 7�<"%(�/107*73 4602 ( $- .��"14:"13;(��<3=( "�$�/146353= �@(�B6BC*�F% ./1)�*46�@$�/W(%)+(��<3=*7BC( }=�TX �0/'�{X ��( 4 $' Y(J��$%4J(��<3 4~46�@$�/W(�)�(��<3=*7B�4 "% YR{R.4:" F%*7�@ BC(R74:"1G1%.G<*�%.B�4J*7�sIY(

K �� �� � « �� ��32 H � K �� �� + « ��� �� $9 � =/. 5 �54 >

P�(�/ª �%{�<4�&('*)�8�*.B6BC 7/-*ABE �"�$-&<(%)+*oO(,+.-�h�Xw A � D�e��&N[M�B�ACDE@ ?@� ����%8�&���& �� ��/�<���!�8������ �4����� ����% 4���* � %8� ��� )+��� ��� �.������ �!��%8%'�� � � � �*���%���8����� �E� ���')43�Z�(7�%8�:� )43����� �8� ��������� "$�8��)+�*� � ���5� ����������� � ���������(����� �� ���8������ �2� �8�.)�� ��/��*���%8� �� �8%&�%�&� ���.�!� %'� = . 5 ��� >;� %8� =/. 5 � 1 > � ��7������ ��)+�8%8�/��* ������%8%8� =/. 5 �64 >+5

Page 78: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� 1 ����� ���������� ������������ � ����� ���� ��� ��������������������� � ���� �����'�������!���.0*��� �

i�� =/' >5$4���%&%'� =/. 5 � 0 > ���7���� )43��

���� ���

i K ����� ������� '+ = 9 � K �� �� � « �� �� > ����� �� ' + « ��� �� ����� �� ' �

� ���')43�Z� ����%&%'� = . 5 �54 >:� )+�$��4 )+�8���*�� �(�!��� �4� � ������ �! � � ��� � ��&"$�1� �.����� ���.�!����� ���!�!��%8�� �����/�2���.�!�2��� & ��� ����'�������� =

�> i ��� ���� �� � � $ � � ���� �� ' � i ��� =(' > �

)43�� )+���.)+%8�.�!� %'�2�!�&���*� ��������8�������* � �.��� �')+��%8��� �I� �� 7�%&� ��)43���/� � ��� �����* � 0��.��� � )+���.�!�%���8����� ������� ���.)43��

���)����� ��� �8� � ���)43�Z��%8�2� )43���2�/� �'� U V 4�5� ��7�%&� �� �������)�����)���!��* �,Z� � ��)��&%8� )���%8)���%'����� � )+�$��4 )+�8���*�� �!� "$�'� )���� � 7Z� �

�&� )+���������*���%&� 5T� ���� �������8� %&� ��)43����2� �!� 9;���) 6 ���&� �!���8)43.�DZ��0��.��%8%&� )+��� %'�L���^Z� ��%&��"$�8��)+�*���&2Z�(�$���������8)�/�����/�'�����8���8%&� �!�������.�!�

������� �� i 9 �� ����%8����)43�������!� " ��7*0��.�8�� � ��3��� �������'�����

������� �� i % 9���� �� '���� ��� �� � � &�� =�� > � � � �

�7� ���0 �!�!�����#"

����� �� i % ����� "!$# � � � � � ��� � &% & =(' �� � > � [�& =�� > + & =(' � >� ����� ' ' �* )��$��4 )+�8���* � �!�."$�'� )���� � 7Z� ���.0*����� � �!��� ��%& �8��� ��)43������.� �����7���4�#��8)�������*���7�%8�.�� ���� �C�� �/�8���8��� �(����.�2%8���!�'���.7��.��7�%8�8������ =/. 5 � 1 > �!��%;�!� ������� � ���������.����;� �����')+� 5

Y$���8�*"��)���)���%')+��%&�'����� %'� "*�'��)+��� �&2Z�<�$���������8)���!��%8%&� ��)43��������� 9;���) 2 ��.�!����= ���#"$�8���/�

��� ��� �� i % )( & =/' �� � > � & =/' ��������� ' *  

)43�� )43.�8�������/��* � ����� � �$�.�!�8��� � %'� = . 5 � 1 >+5 9;� ��)43����2� ����.��� 0*���8�.�!�2� )�� � ���������)+�8%&%'�-��&����� 5 * � �+= �+ � ��� ����Z� �!�&���*� ������ � )43.� �! � 7�%8� � )43������)43��<��� � �*� � ���.�� )�� �8"��� � �8� ����������"$�'� )������/� )43�� ���!�����8��� �����2%'� =/. 5 � 1 >�� �����2��%����^Z���!�;�����!�8���.9�5 ¨ ����$��� � ���:�"$� 4����� 0*��� � �� �����7Z� 0��.��%8%&� �!�!���8)������ �� � � �!��%8%&� ����� ����"$�8��)+�*��� ���$��� , )�#�����2��� �.� ��� � %'�(���������/�8�.)+���������4��%8�7� �� ����� ��)43����2�(����� �( ���7�����* � 5

Page 79: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� �� � � � ���^� �� �d��� � � ���+�5�d�N�j��� �!� �64�_��`_�� �Df��!bi���h�hnbdi�j���hLj�i �Hc�b ��hnfY$�'��� ��� # ����� � ���'�/)����$"�� � ��� � ��� %1# �0*�.�-��&����� =/. 5 9 � > ��)�����¦.�.�����2�!�;���* �������'� £ 5wL?Qx @bAPB APD�@ ? Fk� ��]��¥�@ �"�$'&�(�)�*�O(�$- .��"14:"13;(��<3=(�$- .�SBC*�R74:"1G1%{G<* %{BC*746�HI�*¬R.4(%�v35/- -P@4J*}=�TXE���1�28¬(?0Y4J(��@(>R{(�3 3; �*7B6BE 7/W*�GH�! �5"�$-&<(%)+*,(��<3 /W -P!4J$- @�'8A"%(>(%"14:"13;(?GH�!*AF'GH�HI%4J .�@($' 7�v3546�vG<*��zR74 [.� 07*7/14J*{��46B�4�3;*.BC(�$-&<(��� XD02*.BC(LBC*A$' 7�<"14:"'3=(��sIY*A$' 7� 46B���Gs"'"% �R74d(��<3 /W -P!4J* £ 8

� =�� � � � � � � > i�£ =�� > ��QXD02*.BC(LBC*AR.4:"'G1%{G<* %{B�4J*.�sIY*¬R74d(��<3 /W -P!4J*�R.4:"%$�/W(�3;*

� =(' � � � � � > $� =/' � � � > � %�� � =(' ���v�C� � � � � � � � � ' ���� � � >

� � =(' ���v� � � � � � � � ' �����6� � � � >��!�=/. 5 1�HW>

V ��%8� ��%8%8���4� ��� ���8� ��%&��#��2���.��%&��7�����% ��������2�/�!�;9;���! !2<���.�!����= 5� ? D<N ? � M Fk� ] � �!(SGH�@ "%$'&�(�)+*�$' .��"�(%/107*73 4607 �(V$' 7�<"14:"'3=(��<3=( O(V*.�@$'&�(>(��<3 /W -P!4J$- P<(%/�35GH3 3;(�BC(�(��<3 /W -P!4J(�$' 7�<07(%"-"�(�P<(%/�B^U (�!%G<*YI%4J .�@(�}=�QX �#" �+(�BC*ª"'G<$'$'(%"-"14J .�@(�R74k"� 7B�GTI�4J 7�v4*'P{P@/- 2"'"146)�*.�<3 4�$' 7�v02(�/ %Q(+*{RAGH�@*�F'GH�sI�4J 7�!(ªB�46)L463=( � 8*7B6BC ./W*$!%G<(%"13; |B�46)�463;(�O(LB^U GH�v4J$-*"� 7B�GTI%4J .�@(�(%�v35/- -P@4J$'* R{(�BsP@/- {��BC(%)+* }=�TX �#" �&%<}=�TX � �'�{X: �.���8��������%8%8���4� �&%!� ��7������* � � �'���.% 4�# �E�#)43�� ��� � �')+���4� )43�����%&������ ��� � %'����7�� )�%8��� � �

�!�7�%8� � )43.����� )+��������)+�8�! � )����$"��� 7����!� � �#��� ��%8%8��� ��%8�����8���.������� � ���')���5� ? D<N ? � M Fk� ]('*)�B�4�"%$'&�(�)�4�)� .�@ .3; .�<4�"� 7�! �(��<3 /W -P!4J$%4JX: � )43�� 0*��� ���.���8����� �.��� �'���.% 4�# � ���7��� �8"�� � ��!��� 7�%8� ��)43������ � �� �.���.���� )+���¦.� � � � �$������ �')+� K   )43��2���'���.� )����.� �'� ����* �:)+��� %'� )+���.�!�%���8�����2�!�:����� � ���'� � ����� ��%

���^Z� �!��% �.� �8���/�������&����5� ������ "$�'����� �8� ,.��� )43.��� )���.��� �!��%8%8� )����.�!�%���8���.���������* �����.�8�������'� �������'����� � �����

%'� ��)+��%&������&���8�2��%8� ���%&%'��)����.��� ��&����� =/. 5 � 1 >:����� ����������� ��� �� �������8�6� ��� �����/� )43.���2��( ���7�����* �1�

� =�� � ' > i % """"& =�� > � & =(' >

� � ' """" �)43�� )������ �'�,� ��� �!� ��%!¦.�.�������$���������')+�§ =�� � ' > i 9[ = & =�� >+ & =(' >,> � 9[ % � =�� � ' > =(' � � >��

����� � �� � )43���2���1)43.�8������ � ��)43����2� �!�,+���� �2��� � �$� �;���8� ��%&�� )43��'���4�������* ��� � � �����U V 46�:�2� ����� ������� �<"*�8��%'� %8� )+���.�!�%���8����� �!� ��* �������'�G�������.� �8� �.���j�����*�� �������8)�� 5Y$�7������� ��� ���.)+�������8%�¦.�.����� �!��2 ��� 7����4� & =�� > i �  �   � �8% ���#�� �8��� ��8��%&� �!� �%� �� �8���2����� = . 5 � 9Q>+5 : %8%8���4��� ��� �!)���!��.�!� )������Z� �� %&� � )43.���2� ��� 9;���! 2 ��.�!����=5�%'� � ��%8�����8���.� �-���.� �*� � �&�2���� ���8� ��%&�� � � � ����� �.��� � 3��!)�- � 4�-���8��� �����&�E� � �� �!�8"����� �����%&%1# ���.���������4�����+� �����8������)43�� � �'����%&"�� �&%���������%8���2��5 ���.��� ��������������.�,Z� �!�#"$�!��

Page 80: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

1�H ����� ���������� ������������ � ����� ���� ��� ��������������������� � �����%8%8� �!��7�������������8�����(�!��%8%8� "$�8��)+�*���&2Z� �$���������8)� � ��� � i H�56Y$� ����� ����"-� �&��� �#���:)43��(�8%)+�$��4 )��&����� =/. 5 � � > ���#����.��%8%&�2� "*�8%8����� � �!� U ��+*%8��� �8� 0*��� � ��2)���� ��"#��%8�

� =�� � % > i �  ��� � =�� � � > � = % & � =�� >,>  ��i �  � & � =�� > � = 9 � % & � =�� >,> �

)43�� ���1�����$��%8%8�'� ��� � i H�5

���� ��� ������������ ������� �!�#"%$���"&"(')�*�+$��* � �'� ��% 4�#����!�%&%'� � �&��&�����$�����)���!����� ������ �4���.� )43��8�����������* �:%'� �!�-4 )+��% 7Z� �!�!)+�*� �� ���8����!��7�%&�1� )43����� �$�����������')+�;)43�� � �'�����2��% ����� � �� ���� � U V 4 ����� ���4�!�8���ª[!5: �.��� �8� �����%8%'� ,.�.�/�!�7�%8� �����.� � H 0*��� � ��SZ������#�� �.��� ����7�%8�:���.�&��� �8"$�:�!��%8%C# ��� ��%8�8� � �*�.�/�� �')���!���T��������%8�������%� ����� ��%&�')+�/����� %8�8������ � � �$����������� � � �'� ��% 4�#��(� ����� ����� �/����7�7��8���* �)+��� �!�8"����4� � ���+��$��� 5������ ��� � ��7���� �� )���%8�&���& �� ��/� �G������ ���*���� �2%1# �-�������!)�)��&� �����%&�8��� 4�#������ �!�!¦.�.�����2�!�bY-,��� +2� 4��-"$�'�&��)43�� )����.� �8�� � ���� ������8��%&�����*�� �.��% )+���$"���� �8�������� ��)43����� � ���G�����*�� �!�%��.� �8��� ���4�!�8�����8� ����� ��)43������� )+�8�.0*���G���.���� ����%��� )+���.�!�����$��� , )���.���/� ��� ��� ���.�������* � ��� �&� ���!�!�2����� %8�8������ � �!��¦.�.��� � �$���������8)�� 5� �������.� �4����� ��7�� � �!� ��% �� � ���� �!�!� � � �.�.�< �4�# ��-��&����� ���^Z� ���+�4��7�%&�'�#4�<��� �! �%C# ����7��������* �/��� ���8�*"$�'�()����(���.0*��� � / 0�� 9-�E0���[��/.'� U �-3 5

* � ��7�����)��� � ���.� )�������� �� �'�� �')���)+�������.� �!� �! � 7�%8����)43���/� U V�4 �<���.)43���!� �����!�8�������^Z� ��%8��"#�#�� = ���,+ � "�� �7>LZ��%8�L�����!)+�������� �!� %8�8�/�&������8����� )43.��� ����"��2����&��� ��!�8��� �&%;)�� � ���4��� �!�1����)+�8%&%'�-��&����� 5 ���.��� �2)+���'� ��� ���)43�� %'�/���&7�%&�8����� ��)�)����4�# �(�&� �����7�7��&���*4� ���%&%8��� �7��8����������� �7���%8��� �&2Z���!��%8%8� � ��%8�����8���.�������7Z����"���* �.��%&�����*��� ���4�����.��������* �1�!� ��� ������� 5

* ����%& ��� Z� � ����� �*� � ����"#����� )43�� �.��� �� �'� �� ��������.��� � )43.���2� U V�4 ����%��� )+���.�!� �����!�8���/)+��� )+�$��4 )+�8���*�� �8�.)�� ��/��*���%8� � �7���%'�����1� )43��/���!���!�'�#, %'� )+���.�!�%���8�����= � � 4 )+�8���* ��> = . 5 �54 > 5 * ��� �#���C����� ����� ��)43�����>Z� ��)+��� � ����%8%8���������2� �&� )+���������*���%&�=/. 5 � 0 > ��� � 3.�2)43�� � � � =�� � � � � � � > i « =�� � � � � � � > �� � =�� � � � � � � > i K =�� � � � � � � > �� � =�� � � � � � � > i H � � � &10i � 9 � H � 9 ������8�.�!�1�.����%8%'� = . 5 � � >

� =�� � % > i 9[ %   � K =�� � � � � � � >+ « =�� � � � � � � > � = % & � =�� >,>   � �Y$� %8����)43������Z� U V�4 ��%8%&�����

K =�� � � � � � � > � « =�� � � � � � � > 2 H � K =�� � � � � � � >+ « =�� � � � � � � > $9 �

* ����%& ��� ����%8%'�/)����.� �'� ������ �K =�� � � � � � � > � « =�� � � � � � � > i � % & � =�� >��

�����8�.�!�= % &�� =�� >,>   i = K =�� � � � � � � > � « =�� � � � � � � >,>

 $ K =�� � � � � � � >+ « =�� � � � � � � > �

Page 81: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� ��s #� ��� ��� �����b �d� � � � ������ ��������� 1<9

�*� � �8� � =�� � % > 2 H �)����/%C# ��7�� ��7�%8�'����� ��"#��%&�'��� � ��%8� �.��%.)��� � � ���.��%&� �8�2)+��� ����� �!��.�!��� )��$��4 )+�8���* �."-��%&7*�9 � %C# ��%& ���.H�5 �����8�.�!� %8�2� )43.���2��� ���2Z�(�&� 7����������%&� ����%&�2�!�% �����&�������4�!�8����5

Y!��� ��/� 0*���8�.�!� )+�*� �� ����� ��� �� �8%&�%�&� ����� �!�� )+�$��4 )��&�������&� )+���������*���%&� ���������7���%'����� 5 ������� � �8����%&�')�� )43�� �� �� ������� �!�7�%8� ��)43������ ����% ��� )+��� �!� ���4�!�8���� ����������%&����� � �')43��8��!��.�!� )43��(�&%�¦.�.��� � �!�%&%8� ��)43����2�2�8� 0*��� � ��&������� �8� ���.� �/�!�!�-, )��!�% ��� )+���.�!� ���4�!�&�.�/�!�%&%8� � )43.���2� ��� 9;���! 2 ��.�!����= 5T� ��� � ����'�.�&� ����%8%1# ���������$))+�8�)���� � %&�8��� 4�#������ �!��¦.�.��� ��)43.�&� �!������������%8%&�2��)43����2���!� "��� �-, )������ i � � +�� =� M�>��U �!�4�-"$�8� � ������Z�����&������ �4������)43�� �����E�����* � )+��� ��8)�������� � ���.�8)�� = ����� �8� 4��%8�.)43�� & �)0i HW>���.����)43����� U V 4 Z� ��% ���^Z� �!��% ��� �8�������4�!�&�.��5

� ��� �.� � �����4����� %'� )+�*� �� �<���8����� �!� Y ,���W+ � )43�� �����-, )� �!�&"����4��� ��)43���/������)���!��* ��������� ������� ���� �1�� ��� �'��������������� � )43���2���< ���G�����* � � )�� �&��������%8%'������ �2�("*�'��)+�����

' � � � � � i � M =(' � > i ' � � � � �   = & =/' ��� � � � > � & =/' ��� � � � >,>+ �  ¡ � �� ��{� � � ��� �� ' � � � ��� ��T� � � ��� �� ' � ¢ �

)�����¦.�.�������$���������8)��§ M�� ��.� � i 9[ = & =/' �� � >�+ & =(' � >,> � 9[ % � �� ��{� � �L�� �� ' �

� ��% )+���!�������* �2)+��� %8�2� )43.���2���!�;9;���! !2<���.�!����= ��� ����'�����2)43��

§ ���� �� � § M�� ��{� � i 9[ % = � �� �� � % ��� �� �� > � �� �� ' �

����������������� ��!#"���"$��� 9&%��! !2'�(����)#"�=+*,� ����Z"$*#-�)#��./�()#�0-�"/� �� �1 =(' � > i�� M =(' � > � � $2 = � ������ � %  �  �� �� > ������� '

� = � ��� �� � %  �  ������ > � ��� �� '/3 �

��"4��-65�Z����%/�7�8% =/.�9 � 1W> ��*,��5�% -65��� �� �� � %

 (�� �� �� 2 H �*,������Z"6��:��*,%/),�;%/��� ��!#"<��"=���.9>%��! !2'�(����),"�=?-�"4�@�;%4� ���A� ��!#"<��"B%0!,)#�j�����C!,� U V�4� �@�:��"4�B����% �%D),!,�E.<�8*,-("4*#% 9 9$# �����:%=��� Y ,��:FW+ Z�G*H�:�'���7�8-��:�@�:�C!,�0I4���(����%J���K��!,���7�%�&��%D)#������ ��!,"���"$���;9&%��) 2L�:����)#"�=M���:�7���N),�:O/��"/���K���M-�������"/�P-��&*,��%/��"@"4*#-����7�8%-�:�7"4���C� �1�()��1"/���%4*,*#%D)#�A%D���@�(!,"���"'%P!,)#� �����C!#�����:�7���Q)#�(O4�7"4���R-("/�TSU"/),!,��"4*#-����7�8%-�:�7"4��� 9 �����:*H!,"G���¥Z"��*,*,�()#�ESV%D!H!#"A�7�C!,)#"�����-(�(����" ���%=SU�����(��"/���B��� � * ,W�X!6-65��@-65��N-�"/�C!#),"4�7�����7�0"C*,-(�7����%��(��"/��� 9

Page 82: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

1T[ ����� ���������� ������������ � ����� ���� ��� ��������������������� � �����������1*H�:O/���7!,"N-(�����7� �7!,�()#�(� "B%7��)#�:*,�(�C!6%D)#� IC����* !6%N-�"C* !#),���:�7"4��� ���(�1-(%4*H"0���7����%D)#���),���<.<��%/����" %L/ Y-,�3 ��./�����&%/��-65���/ 0���9&31�<��:);�7��-:%/*," ��"/� �7������%D)#� 9Y<�R-�"4��*,�����:),� IC��������� ���R-:%/*," ���:�7�1# �:IC��%-�:�7"4��� = 9 9 9Q>G-("/� ��� H?�A-("/� �A*,-65��:�A% %!,)#�������C!,����"@*#-65��:� %J���-,W�����?-65��G*,��*,-(),��./� � �"4���(����"�� i % � ' = H � 9Q>R�:�?�7O4��"/)6%D����"*H�8*H!,�(�A%D!,�8-(%D� �:�4!#�0�C# �7�����-(�0!,�:�'�1"/)6%D����� ���� =(' > i ' � � � � ��� �� ' �

:;��%/�7"4O4%/�@�:�C!,�G�7"A*#-65��(�A% ���;9>%��! !2'�(����),"�=M*,��)#������-��N%� � =/' > i ��� =(' > � 9[ � = 9 � ��> � � �� �� ' � � ��� �� '�� ���"/� � ��)#��� % �C# ���7!,��� " !,�:),� ����� *,������% ���:*H!,)6% ����Z" �:*#*H�:),� ���C!,�:)!��)#��!6% !#" -�"4�@�����# %D�C!,�8�����1�*H��"/��� -65�� Z� ),��*,�1"/�*,%/F��7��� ���:�7�8% -(),��%-�:�7"4��� ��� "4*#-����7�8%-�:�7"4��� 9 ���()%/*#*H�8-���)#%/)#-(��8%'��)," ��)#�7�(!2Z% U V�4 -("/��*,�8���()#��%/� "J����" *#-65��:� %@�<��� �()#�8-�" � "<��� ,-:% !#"��� =(' > i � �� =(' > � 9[ � = 9 � �<>���� ��� �� ���� �� ' � � ��� �� ����� �� '�� � = .�9 1�9Q>��" ./����%BSU�����:�7"4�����������(!H!6%=���K�7��� �X!6% !,"4),� �vZ�E����%=SU�����:�7"4���0-�"/�C!#�7�<��%J���(�K)6%-���1"/),!,"N!#)#%�����NO4)#%4���7�:�C!,��*H�-(-���*,*,��.C� �

� �� �� � i � =�� �� �� > � � �� �� � i � �� �� '� ��� �� ' �Y<�/"C*,*,�()#.<� -65�� ���:�-�����C!,�4�7�B-(��� � �� �� " � ��� �� *H�4%D���<������%/��"W�/-("C� 4$-����(�C!,�4�7��-(),�:� �(�C!#%/�7����(����" *#-65��:� %'�1"4*#*H"4��" ���7.4�(�C!#%/),�N*,�7��O/"/�8%D)#� 9

* �I��)#%D!,�8-(%'*H�M-��;*,"/��"L"C*,-(�7����%��(��"/���1� ���:�������C!#"T���W�:*H!,)#�(� "T�7"�-(%/�7�P% .<),�:� "'-65��� �� ���� H<�.�"4��-65�Z� �L�� �� ' � ����� �� ' % .<)#%/����" *H�:O/���A" ���"C* !#� 9 * ���1"/���:����"� i H<�W�7" *,-65��:�A% ���7.4�(�C!,�:)2Z%T� "4��"D!#"/��" � �:�7��� �7���()7Z% �C# "4*#-�������%��(��"/��� 9 � �:�7���L%/�X!#),�),�:O/��"/��� �1"D!#),�:� "P% .4�()#���\�1"4*,�X!#�7.4"<�>-(�()6-(%/����"M-�"C*;Z � ���R�(���7� ����%D)#�A��%P.<�8*,-("4*,�X!7Z%Q��� %D�!,�:�'�1" * !#�:*#*H"B�:.<�X!6%D)#�;�7�G"4*#-�������%��(��"/��� 9 " *,%/� �7���8%D� "��1�()���)#�7�A%J-�"4*#%N���%=-�"4�����%�(��"/���*H�$4A-(�7�:�C!,�N*H���7�8%@SU�����:�7"4�����+-65��0OC%D)6%D�C!,�8*,-:%B�8%'��)," ��)#�7�(!2Z% U V�4 9� ? DEN ?�� M Fk� ]�� �@4J* 07(%/14 ��$'*73=*9BC*?$' 7�@R.4CI�4J 7�@(9R.4� "!$#¥8 H $�

$9 X �vGYPTP� .�<4J*7)+ $-&<(DBE*�F'GH�HI%4J .�@( � i � =�� > "'4J*|G1%.G<*.BC(�*&%�P<(�/ � $

H (D"'4J*H

$� =�� >

$� �7�' [ �� �

[9 � �)( �

P�(�/ � 2 H X+*�B6BC ./W*+BE +"�$'&�(�)�* };�QX-, � �oO(,+.-`h (/. 0 %."13=*{��46BC(YXw A � D�e �(N�M<B�APD�@ ?v� Y�-(),��.<��%/� " �7" *#-65��(�A% = .�9 1�9Q> ��� SU"/)#�A% �7��-(),�:� �(�C!#%/�7� = .�921 0 >*,-(�(O4�7���(����" K �� �� i H

« ��� �� i � �;9 + � �43  '�5 ��6 ��� �� 6 ��� �� � � =�� ��� �� > ( �

Page 83: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� ��s #��� ��� ����������� � � � � ������� ������ � 1 .

� �7��"/)6% �R-�"<��4$-(�7�:�4!#� ����-�)#�(� �(�C!6%D���R���(.4"/��"P.4�()#� ,-:%D)#�J�8%�� .�9 1 4�� ���:�7�8%�� )#"��1"4*,���:�7"4���.�9 [ .�� -65��N���MI4���:*H!,"$-(%4*H"A����./�:�C!#% *H�:�����7�8-��:� �(�C!,�B-65����

$ « ��� �� $ � 9 " *#*H�:����" �8%SU�����(��"/��� ���"C*H�7!,��. % � �A%$�:./�:�4!#��%D��� �(�C!,� %D�-65��=�<������% � I4���:*H!," �:IC����. %/�7�@%?-65��7�����()#�-65�� � ��:) � 2 �� + � � �[ � � � �� $

����

$ � � � � �[ ��� � � �"C*,*,��%!��)#"���)#��"J���N���1"D!#�:*,�����(� "&�:"/)#�(�A% 9 �������* !#" ),�8*,���X!6% !#" -��QSV% ./�����()#� -("/� � *,��%#�1"4*#*,�7F������ *,-(�(O4�7���()#� ����% SU�����(��"/����$�"C*H�7!,��. % � IC���7���� � �7"4�4!6%D��" ��%/�7��� "C*,-(�7����%��(��"/��� � ��%/*#*#%D)#�'%/�7��" *,-65��(�A% ���!%>%��!

2'�(����)," � 9 * ��� �K��!H!#� IC���:�7��"L-65��Q*H� ./�����9Z�Q-65��Q��"+*,-65��(�A% ���%&%��) 2L�:����)#" � � -65��-("/)#),�8*&�1"/����N% � i � � ��"/�M�kZ%A����*,*,������)#"/F��7�:� %A*,�N�&)6%'���"4)H!#���7�-�)#�(� �(�C!#%/�7�&5�%D����"*,�(O4���G-("/��-("/)6���G�TIC���:�7��" ���N*H�����8* !#)#%�Z�+��� . %/�7"4),�'%/*#*H"4�7��!,"(���^Z� O/)6%D�����L���NIC���(����"�������:*H!,)6% 9 ���:) �:*,�(������"���:)$����% *,"/�����(��"/���P���:-�)#�:*#-��:�C!,�M*H��% .C)6%D����"L"C*,-(�7���8%'�(��"/���%/�7�*) �����+�(��"A���(��*#%D�7!," � � % ��"/�P%D����% ,���� � -�"4� �0*,��./�����NF1�(���N���:�7�8% ,�O/��)#% .�9 0 9,��()6-65��8%D� "T%/����*,*,"'���W!,)#" . %D)#�Q����%T-("/�����+�(��"/���P*,� 4$-����(�C!#�P*,������% � %�4A��-65�Z� ��"*#-65��(�A%@*H�8% ����"4)#�������D[ 9�.-0/�12- �4365k�87:9 �v4J*ABC*�F'GH�sI�4J 7�!( � #�4 Pv"�$'&s463 I�4J*7�@*S(ª3=*7BE(�$'&�(�P<(�/ � i � (1"14:"13;*.�@ A4B�46)�463 4¥R{(%"135/- L(�"146�<4:"13 /W LRT(%B6BE*+R{(�/14602*.3;*TX *�B6BE 7/W*78�"�( ��� � � i � BC ª"%$'&�(�)+*A}=�QX-, � ��O(NR{(�B"�('$' 7�@RT ¬ 7/WR.46�@(��@(�B6BC(�/W( %{4J 7�v4R.4d/W( %Q 7BC*./1463sO*9RT(%B6BC*�"� .B�GTI�4J 7�@(+(+*.B�R.4vF'G< ./14RT(%4�P@GH�<3 4$�/146354J$�4`}n 2"'"14J*+3=*7B�4$-&<( �<; i � �{X

w>= � /:?��@1 3�A�= /CB�- �ED %/�C-("/��SU)#"/�C!,";-("/�B��"E*#-65��(�A%;���0%>%��! !2'�(���)," �=F�%4* !6%WSV%D)>./�����()#�-65�� Fi � � � ��� � ����� �&� � � �HG + �JI � � � �KG �&I �J�

� � � � ��� � ��� �� �J� � � �KG �&I � � � �KG � �&I �&� i ��� M � �L<�����"4���8%D� "Q-65��B�8%Q*,"/�����:�7"4��� � '?K   �J-65��B��� ���+�7�C!,"4),��"Q���(�������C!#"6�KG �&I � . %/�7OC%�<; 0i � 9 � �7��"/)6% %DF�F���%/�@"@�&*,�(O4���(�C!,��*,.<�7��������� �

� �HG + �JI � � � �KG �&I � i �<; + �    �<;M; + ��� M �ON� �HG �JI � � � �KG � �&I � i �<; � �    �<;M; + ��� M �ON� ����� � � ������ i � � �QPRP� P + ��� M � �

� F�F��8%D� "A%D���7"4)#%F

i � � �*� �QS �   �<;T;�<; � ; + ��� M �&� � � � �U� �2S �   �<;M;�:; � ; + ��� M �J� �% .4�(����"+�7������-:% !,"T-�"4� � � � �QS � � �7��� �X!#�;���:*H!,)#� � *,������*H!,)#� ),�8*J��(!H!,��.<�V�V-65��P���+��:����"/��"���T� �K��!H!#� *,"/��"M��%D��*H�:O/��"M���:�R)6%'���1"/),!," �2PJP�2P � � ���(���8% ���()#��. %D!#%>��)#�7�A%M��� � 9 ������* !#"����� "4*H!,)6%=����)#��*,���7!#%D!," 9 �

Page 84: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

1 � � ��� ���������� �� � ����.���V����� � ��� ��� ��� � ������ �d� ���� �(� ��)#"��1"/)#),�M%/��-(�����;��*H�:� �������0*,-65��(� �E���:),��. % !,����!,�������M�:%D���" �7�G���7� �7!#% !#"/)#� ���¦���*#*H"L"4*#*H�:),.<�8%D� " ������%��(�7!,��!,!,"T-65�� �1�() ��� � � � � *H� "D!,!,���(��� ��"'*#-65��(�A%L%+-�����IC���

�����C!,�>���2T%D)#�@����O ��� �:%D� -65��V����Z"@SV%/-(�7��� �(�C!,�N��*,*,�()#�G�@��*,*," ���(���8%=SU"4),�A%� �� � ' � � ' � � � �������� ' � �[ � � � � � � �2�����`�� ' � ����� �� ' � ��:��Z�$���(��*,�:-("/����"M"/)6���7���AO/)6%'�(���A%D�."&�:"/)#�(�A% .�9 [ 1 � �A%M��"4�'.4�()#� ,1-(%P���Q-�"4�����+�(��"/���"�� D ���(�">�("/)#�(�A% .�9 [ 0���:) � �  

� � 3 9 ��"4*#*H�8%D� "MIC���������.��:��*,%/),�?����"/!H!#�(���:),�$�����"4*H!,)#"T*,-65��:�A%+� "����-,-(%D!,"LSV%/-��:����"T����) "����"4)H!#����%L�@�����8%'���(���7" *#-65��(�A%'����%&%��) 2L�:����)#" � �N���&IC���:�7��" ���2T%D)#�@����O� �� �:%/� 9 * �>��%D),!,�8-�"4��%/),���"C*,*,��%/� "@-(�()6-(%D)#�G����% �-�"4�@�N-("/�=F��7��%��(��"/�����7������%D)#�0���(����%�� � � �N���(����% � ��� �0� ��)#�(�����(����" � *H�:����),���:) � � � � ��� � � � � � � � � � �J� + � � � � � � � + � � � � � � � � � ���:) ����%+-(�(),!#% SU�����(��"/���>%&����*#-65��7!J�:��%/��% � 9 � "D!#��%/�@"'-65�� �7� � �K��!H!#�WI4���:*H!,"T*H�.����Z"�7� ��)#�7�-��+���7" *,�(����)#�'SV%D)#���1�()M"4O/��� � ./�()#�-,-(%/�4!#�L��� �+�"/!,�:*,�B���:� "&�:"/)#�(�A% .�9 [ 1<9L<�(O4���(���" L-, �(F���� L ,�� � -(�������@�7!,�:),�:� "L%���)#�(����()#�?*,"/�8%D� �(�C!#�Q���(�����?-�"4�=F�����%��(��"/���-�"4�C.4�:*#*H�M���:������� ¦���*#*,� � "4*#*,��% � ' � � � � � � �:*#*H�:����" O/����%/�X!#),�G-(%4*H�;��-(-(�:*#*H��. %D� �(�C!,�-�"4� ��),��*,*,�7.<� 9 ">)," .<�8%D� "A%D���7"4)#% -65�� � ��!#�7���+�@�:%/����"Q%/��-65��N���B���7� �7!#%'�:�7"4���>���(� ">�("4),�:�A%.�9 [�0 � Z�0*,� 4$-����(�C!#� ��),�:�����()#� � �1�() � � � � ����%@SU�����(��"/��� � � "/��"/!,"/�%B!6%D���B-65���� � �

$��� � �

$  63 � ��:)��

$�

$ � �� $��� � �

$� � ��:) � $

�$

 � � 3

� $��� � �

$ � �43 � ��:) � �  

� � 3 � � .�9 1T[ �¨ ��) %D�7!,)6%;)#�8-65��7��* !6% � -65�� �(.<�7!#%E���(���7� ���8*,*,�7� �(!,)#�7�����(�C!,)6% !,!#%/�@�:�C!,"����(���7� ���8*,-("/�C!,���<���X!7Z% �Z�0I4���(����%A����-65��7�����()#�N-65��N. %D��O4% ��� � � � � � � �� � � � .�9 1 . �

,��1*,"/��"N� "4�X!#���*H�:� ������1�7��� �X!6% !#"/)#����<¦���*#*H"=-65��E*H"�������*HSV%D��"JI4���:*H!,�E-("/�����+�(��"/��� 9* � ��%D),!,�8-�"4��%/),��),�8-�"4)#���8%D� "@�&*,�(O/���(�C!,��-:%/*,� � �1�() � � � �� � � � � � � �A%�� � � � � �7� � � � � ��� �V�@����� "�� ��   � � � � � �A%�� � � � � �7� �   63 � � � � �@��� � � �  

� �43 � � � *H���1�()#F1�(�B��� �;"C� ���� � � �   6� � 6 �V. %/��%��(�:) ������ � � 6 � � 6� � 6 � �V. %/� � ��F�%/��% ���� � � � �A%�� � � � � ��� � � � � ��� � � $�

$ � � 3 � �U,�5�% -<)6% . %/)H!#5��@� �G*,5��:) ������ � � � %�� � � � �@��� �   63 � � + � � � 3 M � � � � � �  

� � 3 � � � � )#"/)6%=� �W"<� � �¨ �A��*H�:� ���7"=�����(.4"/�����(��"/��� -("/�A�������7� �7!#%D!,"/)#� &�� � &�� � *,��.4�:�����V���(�1-(%4*H"B����� ��),O4�()6* �-�"4�?��"A* !#�:*#*H" �:*,�(������"A���(���8%@*,"D!,!,"C*H�M�(��"/��� .�9 .�9 [ � ���:�7�8% ,�O/��)6% .�921<9

,�"<-(�7�����%/� "?SV%4-��:����"P"4*#*H�:),. %/),�=-65�� IC����* !#� )#��*,���7!#% !#����"/�L!,�:��O/"4��"P" .C.<�8%D� �(�C!#�-�"4�4!#"M���(���7�?-�"/������:�7"4��� �����(�C!,)#"����8% � -65�� ��:)2Z"��1"4*#*,"/��"P�:*#*,�()#�@)#�8*H"4�X!#� -(�()6-(%/����"M���%D��� �:�4!6%D)#�J�8% ��� �K��*,�7"4��� ���(����� �("/���@*,"/���8-65��@�:*J��%D�*H��./� 9 * ��"4�X!#),�@�7� ��:O/O/��"/)6%D� �:�4!#"���(O4�7� *,-65��(� �&���:� �����C!,��-�)#�X!#��-(�&��"4�+*H"4���8-�� ����Z"$�:*#*,�()#�N�7�+IC��%/��-65��B� "<��"$� �7O4�7��"/)6% !#"),�8-�"4),)#�(���"M%D� -�"4*,�8������!,!,� *,-65��(� � "�� � � "&"/!#%/�!� %/),�8% !#�7"4�"��"4��������� � ���L<5<� � � L<5#� �-65��N���>��)#%D!,�8-(%@� "<��� ,-:%D��"A����¦��*,*,"A�<��� �()#��-(" *,"/��" ���(�����N.C�8-�����%/���(�B��� IC���:*H!,�������C!,�O/)6%'�:�7�0%D��� ) %DO4O/�����C!#%@�������?SV% !,!,"4),�B���:�7�*) "/)6���7���0���   9

Page 85: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� ��Q ��n� � � ��� ��� � ��� ����@��� 1��

� �7O4��)#% .�9 1 � + �7��� "��� ��� ���� � " �� '��� "(�+�+�#"% ) ��* !#�(��*,�7"4���N���(O4�7��%/),O4"/� �(�C!#�:��),��-��:���(�C!,��%/�&-(%4*H" ��%D)6%DF1"/���8-�"@��"/� �7������%D)#� ��),��*H�:�4!6%�����B��� 4$-("/�7!2Z%A-�"4������*,*,�G!,)6% �7"4),"�� ��%���)#�:*,�(���:% ����!#�()#� �7���>-�"/�<.4��!H!#�7.<� � -65��B-("/� �N���(�-:%/*,"$�7������%D)#� � �"C*,*,"/��" �"4),)#�=���:� ��)#"/F��7�:�@����� *H!#%DF��7���X!7Z% �1�() ���8-(-�"4�7�@�����1��*,��"/��� � �=�8%�1"4*#*H��F����7�7!2Z%@���<�����C!#���������(O4�(���:)#%��(��"/�������(����%J.<��*#-�"C*H�7!2Z% � -65����������-��0���(���7�N*,�7��O/"/�8%D)#�7!2Z%���:�7�8% *H"4�7���(��"/��� 9

���() %'����),"C*,*,�7�A%/),�P�*) ��I4�%'�(��"/���(� .�9 � . � Z�6�"C*,*,�7F��7���L*,.<�7��������%/),�+��� SU"/)#�A%D����*,� "%/��%D��"/O4" % IC���(����" ���C!,)#"���"D!,!," ���(�J-(%/*," ���1�()#F1"/����-(" 9 * � ��%D),!,�8-�"4��%/),�'),�8*,���X!6% ��!,���7�-("/��*,�����()6%D)#�����:O/����*,-65��:� �&-�"4��*H�8*H!,�(�C!#� � -("/��*,�()#. % !,��.<��%�[{� + � �����4!#�����:�7�8%JSU"/)#� %' � � � � � � ' � � � � % � � ��� ��.� � � � ��� ��{� � � � � .�9 1 �0�

�1�()W���%@SU�����(��"/���0����¦���*#*H" �<��� �()#�8-�"A�����1��*,��./"� �� ��{� � � � � ' ���v��� � � � � � � � � ' ���� � � � �-("/��*,��*H!,�:�C!,�E-("/�Q���v¦���*#*H"@���(����%>� .�9 � . � � "C*,*,��% & � � � ��� � � � ; 9 %>%=*#-��(�7!#% ���^Z�?*,�(��������-(��1�();% .4�()#�GIC����* !#" Z�G��� ��),�:�����:),�� �� ��{� � � § � ' ���v��� � � � � � � � � ' ���� � � �

� �� ���'� ' ���v���   � � � � � � � ' ���� � � � � �2� ' ���v��� � � � � � � � � ' ����6� � � � �J� ���" .4� § Z�B��%$SU�����:�7"4���JO4�(���:)#%D!,)#��-(�B��� ��� ¦��*,*,"$�<��� �()#��-("Q-�"4��*,��*H!,�:�4!#�J-("/� �8% ��%/)H!#��+��:),F1"/���8-(% � "C*,*,�8% § � ' � � � � � ' � � &!� ' � �

D ) %/�X!#)#% ��%/)H!#�0��%JSU�����:�7"4�����DZ�0����%JSU�����:�7"4���B����[{� � � . %D)#��%/F��7����-65��N���:./�0./�:),�-,-(%/),��2� ' � � � � � ' � � � � ' � �

Page 86: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

1 0 � ��� ���������� �� � ����.���V����� � ��� ��� ��� � ������ �d� ���* � ��%/)H!#��-("/�8%D)#� �1�()0% ./�:),�N����"Q*#-65��(�A%$% !#),� �����C!,� � � � � � % .<)#�(� "A-65��=�8% SU�����(��"/����E-("/����-��8���N-�"4�P��% �����1�*H��"/��� � �N����¦���*#*,"@�<��� �:),�8-�" *H�>*,-(),��./�0%D���7"4)#%

� � � � ' � � § � � � ' � � � � � � ' � � � � � �&� � � .�9 1 � �Z" �"C*,*,��F��7��� �:*H!,�:�����:),� ���J-("/��-(��!,!," ���J�@"4��"D!#"/���8% %D�-65�� % IC���:*H!#% -(��%4*,*,� ���*,-65��(� � 9 L<� *,�>��),�:����� �1�() ��*H�:� ���7" -�"/� � *,-65��:�A% �+��:),F1"/����-(" ��" *#-65��:� % ���

" ��OCIC����*H! �G*H5��() § � � � ' � � & � � � � + & � � ' � � � .�9 1 0 �-�"4�=��� ��� ,����+�(��"/������%D!,� ���(���*) ��*H�:� ���7" .�9 � 10� *,�<./�:��� -65����7"0*#-65��(�A% � .�9 1 �0� Z���@"4��"D!#"/��"*H�0. %D���N�8%@*,�(O4���(�C!#�0-("/�������:�7"4���N��� , � %

�A%�� � & � � � +#[��A%�� � � � � �   $ � � � .�9 1 1 ������:*H!#%?-�"4�����+�(��"/���JO/�(���()6%D�����M�:%A%D��-(%4*H"?��"/�+�7�����:%/),�J��%?-�"4�����+�(��"/���>�5[ 9 [ 4 � � !,)#" . % !6%��:)N�7�A��IC��%'�:�7"4�����7�����:%/),� ���R-�"4�C.4�@�:�7"4���=�$�����K��*H��"/��� 9 � F�F���%/�@" %/�7��"/)6%$���R*,�(O4���(�C!,�),�8*,���X!6% !#" � ����� "4*H!,)6% !," ��% " . � �N� .N%D)#�8*H�:� � " . � � 9� -0/C12- �(3 5k�87�� ��(�07*7BE(�BC*L$' .�@R74CI�4J .�@(DR.4� "!$#,}=�TX-, �n�28mBC*D"'G<$'$'(%"-"14J .�@( ' � %T(��@(�/W*.3;*R{*.B6BC 9"�$'&�(�)�*>};�QX-, " � %v}=�TX-,�/'�V$' 7�v02(�/ %Q(18�*.B�3=(%�!R{(�/W(|R74 *AIY(%/- 28`46��. ������ 8�*.B6B^U GH�<4J$'*"� 7B�GTI�4J 7�!(¬(%�v35/W 'P@4J$'* �#- R{(�B�P!/W {��BC(�)�*�}=�TX " �1�&%<}=�TX " " �>�@(�Bm"�(���"� RT(%B6BE*?RT( �d�<4CI�4J 7�!(�TX " X�%�@ 7B�35/W(?BE*�"'G<$'$'(%"-"14J .�@( � � ' � � $' .�<07(%/ %Q(VGH�v4 F% 7/1)+(%)+(%�v3;(V"'GH4�$' 7)�P�*.353 4�*.B6BC*F'GH�sI�4J 7�!( � � � � XZ" �"C*,*,��F��7���MO/�:���()6%D���+�@�:%/),�PIC���:*H!,"T!#���1" ����),�8*H���X!6% !,�E��*,%/����" *#-65��(� �;����������-(�X!#���1�()�(.<�7!#%D)#�0�7�0)#�:*H!,)#���:�7"4������" .<��!#�0%/�7�8% -�"4�����+�(��"/���0����, � % 9

* � ,���� "C*,*,�()#.<��%/� " *,� ����Z" ��* !#�(�����()#� !,��!,!#% �8% !,�("4),�8% ���:O/���+*,-65��(� � "�� D ���!,�������M�:%D���" O/���?*#-65��(� �?���1�()#F"4�7�8-��?���(����% L<�@�:�7"4��� .�9 � %/-:-�"�������%D!,�Q-("/� �8% * !#�:*#*,%���8*,-(),�(!,�+�@�:%��(��"/���0���:�7�8% ��� �K��*,�7"4��� � ./�:��� � " .D[ � � � " � .V" � 9�G*,*,�()#.<��%/�@"W-65�� �8%;-(��%4*,*,� ���4*#-65��(� �:� .�9 1 �0� ���8*,-(),�(!,�+�@�:% �*) �:IC��%'�:�7"4��� ����),�(!H!#%/� �(�C!,����(���8%E*,��%WSU"4),�A%E-("/��*,�()#. % !#�7. %V� .�9 � . � � ���7��!H!,"C* !#"�-65�� -�"4��*H�8���:)#%/),� ���C!,�()#� �7��� �����K��*H��./"

�U��I4���7. %D���(�C!#�+���:�0-:%/*," )#�(O/"4��%/),� � � � � � � �<; � -�"/� �'*&�1�:*#*H" .<�7�:���+SV%D!H!#"����:�G� �(!,"�����<��� �()#��-(�=-65�� %DO4��*#-�"4��" *,����� ) �:IC��%��(��"/��� �������:%/),�+�@��% !#% � " -("/�J����IC���T���(�@-(%4*H" ��"/����(O4�(���:),� � ./����� ��:)N�:*,�(������" � +M" � 9 L��E�"/!,)#�(F�F1����:)N�:*,�(������"?��!#�7���+�@�:%/),�@��� ¦���*#*H"�<��� �()#��-(" ���(����%JSU"/)#�A%� �� ��.� � � § ��� ��{� � � � � � � ' � � � + ' ��� � � �[ � � �� �� ' � � � .�9 1 1 �

�����:*H!,"Q�@�(!,"���" � F1�(��-65�Z�=-�"4�<./�()#O4% %/�&���7� �7!,�J%4�M����%ASU�����(��"/��� � ��"/� -("/�<./�:),O4�V��:)2Z"%D����% *,"/�����(��"/��� �:�4!#),"����8-(% 9 L<�R-("/��*,�����()#���1�()N��*H�:�����7"M��� �<��" .4"?�*) �:IC��%'�:�7"4��� � .�9 � 1 � �-�"4������!#�()#� �7���P�����1�*H��./"T��% !#"L��% � .�9 � 1 � 9 * � ,�O4��)#% .�9 1L*,� ./�����Q�*) �:./"4�7���:�7"4���Q���(�!,�:� �1"$���:�7���N*H"4�7���:�7"4����-(%/��-("/�8% !,�0-�"4�?����¦��*,*,">� .�9 1 � � <� .�9 1 0 � �U�������:%A-("/�C!,���<��% � �B-�"4��7�!¦��*,*," � .�9 1 1 � �V�7������%B!#)#%D!H!,�:O/O4��%D!#% � 9 * �K��% !," �����+�(�8%D���LZ�0��%D!," ��%D����%J���7����% �����C!,����% !6% 9,�5��8%D)6%D� �(�C!,� ���=� �(!,"���" -("/��*,�()#. % !#�7.4" ��),"�����-(� ����% *,"/�����:�7"4����-65���*,�=�J��" ./� %./�:�7"�-��7!2Z%@��"4� ,1*H�8-(% � -�"/� �N*,���"/!,)#�(F�F1�N./�����()#�G��!,���7�+�@��%D����"@�8% � )#"��1"4*,�+�(��"/��� .�9 � [ 9

Page 87: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

�� ��Q ��n� � � ��� ��� � ��� ����@��� 1 1

� ��O/��)6% .�9 1 �V,�"4��SU),"4�C!,"$!#)#%?��� �@�(!,"���"M-�"4��*,�()#. %D!,��./"$�AIC���:�7��"?��"/�T-�"/�*H�:),. % !#�7.4"Q���!#�(�����&*,��-(-(�:*#*H��.<� � I � � � �)0T[ � �V*,������*H!,)6% � � I � �$�\[ � �V-(�(�C!,)#" � � I � � �V����* !#)#% � 9

Page 88: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

1 1 � ��� ���������� �� � ����.���V����� � ��� ��� ��� � ������ �d� ���

Page 89: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� ��� ������� ��� �

� ��� " � D 9 � )#�(O/F%�� D )#�7"4�7����! ���N9 � % !6%D���7��� � L 9 ">%/��O � � ��� �:),�8-(%/� LC!#���#�0"DS D � �K��*,�7.4���� . � ����),"������ %D!,��"/��* SU"4) � "4���7������%D)�L���*H!,�(�A*W"/S � %/)#%/F"4�7�8-��RIC��% !#�7"4��* ��R),�M��)#�7�C!�['����� 9

� � ) � � ),"4��*,"/� � D 9 � 9 ��� ( %.GHBE*7/1463���P!/W -P<(�/1354J(%"ª nF �� ���"N36&H/W 7G1%2&ªP< 7/W .Gs"�)+('R74J* �* $' 7GH�<3=(�/W(! s*.)`P!BC( 9 L#" � +%$ 9 � ����� 9 + %D!,5 9 � 4 � 4 1 ��[ 414 �#&�� 1<9� �'� � � � 9 " 9 � %/),�:�CF���%D!H! � � 9 + 9 � �C!," . � � 9 + 9�� �0�(5�� - � " 5��("4) � "/SL¦�����q¦" ,;*!#5�)#"/��O45Q��%D!,��)6%D�K)#"<-�-�* � .0���-,��:) � -(%/���(� ��- �R��F�����*,5��()6* � D "/)6��)#�:-65C! � � 414 � 9� � ) � � 9 � ))(�@�(�8* � � ��%D���8*H� � �����:�7"4��%D��� � %&�7O4��"/)#� � � 4+*+* 9� , % � , %/),)#���7��",$ 9+� � �C!,)#"�����*,"/����!#�7"4��*KSU"/)&��"/���������:%/)&���(O4�(���:)#%D!,�E��)#"/F��7�:� * 9 � )#-65 9� % !,��"/� 9 +M�:-65 9 � ��%/� 9 ��- 1 � � 41414 � � ��" 9 - � [+. 4 �/&+. � 9� ,0" � � ,��:)#-(�7O4��%D��� � , %D)#��" N " ���7���() �1� �(����5�%D)6� N � ����.<�7)#�(�C!,� � + %D)#�7" " 5���A%D!,5��:� %D!,�8-(%/��!,5��:"/) �$"DS �����7��!,�NO4%4*H��* 9 � �������7���$+ % !#5��(�A% !#��-:%D� L�-(�7�:��-���* �

� �+. 9 L0��)#�7��O4�()!2 � �:),�8%DO � � �+,43 "/) - � � 414 - 9� , � %�� �B9 ,�"/��)6%D�C! � . 965J9 � )#�7����),�8-65�* � � 9 %&�+, � � 7���'(%/ R.4J(¤P<*7/13 4J(%B6BE(%�R.4 8�/W('IY(%� %.BC(�4J$'&sGH��%Q(�� RT(%/,)+*73 &�(�)�*.354:"�$'&�(��tP<&#�2"14:9 � ++% !,5 9 � ��� 9<; y@y

� � 4 [ *�� � &T[ 9� � � � � �G"������+,;* -<� � �R� ,W�7O4� N � % .<�8%D),! � �R�7�:),)#�=2 � )#��%D�� � �0��:),F1"/���8-L* ��* !#�(�A* "DS-("/��*,�()#. % !#�7"4� �8%�,;* 9 + % !#5'(�:� %D!,�8IC���:*,> � ��������-:% !,��"/�* � + % !#5��(�A% !#��-:*E%/���

� ��������-:% !#�7"4��* � � &#? - 9 �R�7�����*H��* � � %/),�8* � � 414 � 9� � � [ � �G"������+,;* -<� � ��� ,W��O/� N � % .C�8%D),! � �R�7�:),)#�=2 � )#��%D�� � ��� �()#��-:%D�<%'����),"������ %D!,��"/�"/SA5 �0�1�()#F"4�7�8-T* ��*H!,�:� * "DSA-�"/�*H�:),. % !#�7"4� �8%�,;* 9 � ���������:� + % !#5��(�A%D!,�8-(%D�

L�-����(��-(�:* � ��� * 9 L0��)#�7��O/�()!2 � �()#��%/O � � �+,43 "/) - � � 4 4 . 9� D % � , 9 + 9 D % SU�:),� "4* � � �0�1�()#F"4�7�8- -�"4��*H�:),. %D!,��"/� �8%�,;*E���T-�"/�C!#�7�<����� ��5��<*,�8-(* 9

�G)#�������7�:5�),�:� ���() + %D!,5��:� %D!,�8*,-65��(�A@ ��*#*H�:��*#-65�% S !#�(� � � ������%/�@�:�C!#%D��R),����-(�������:*P"/S ++% !,5��(�A% !#��-:%D� L�-(�7�:��-���* � � &T[ � 9 L0��)#�7��O4�()!2 � �:),�8%DO � � �()#���7� �[������ 9

� D � � � D � ���:���:����!H!#" � 9�� D �:O/�:���()6% !#� ��%D)6%DF1"/����- ��IC��% !#�7"4��* 9 ¨ ����./�:)#*,�X!#�=�<! 9L ��),����O4�()!2 � �:),�8%DO � � �+,B3 "/) - � � 414 & 9

* 4

Page 90: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

4 � � � � � ���N������������ D �6[ � D � � �:���:���(!H!#" � 9�� � %D),!,�8%D�J��� �K�()#�(�C!,�8%D�@�:IC��%D!,��"/��* 9 ����) -C5��%D��*,�() � "C* !#"/� �

� 414 � 9� � . � � L 9 �R. � � %D��� . 9 � 9 .N%/),�8*,�(� � + "/��"/!,"/��� �����1�:),�:��-�� %'����),"������A% !,��"/� "/S� � *H"4�7��!,��"/��*G!#"P���(O/�:���()6% !#�A-�"/�<.4�:- !#�7"4�#�<��� �K��*,�7"4� �:IC��%D!,��"/��* � L#" � + $ 9

� ��� �() 9 � ��%/� 9 & 1 �5['����� � � � * & * � � * .�� 9� � .D[ � L 9 � . � � %/��� . 9 � 9 .N%D)#�8*H�:� � L<��-�"4��� "/)6���() ��� �K�()#�(�-�� *#-65��(� ��* SU"/)���:O/�:���()6% !#� -�"/�<.4�:- !#�7"4�#�<��� �K��*,�7"4� ��I4�% !,��"/�* � � )#�@��)#�7�C! � ¨ ���7.4�()6*H�7! � "/S� �()#O/�:� � ['����� 9� �G� � � �G�������7��O � � 9 � 9 " ����)#" ./��� !,5��:"/) �QSU"4)G%Q��"/���������:%/)����:O/�(���()6% !,�!��%D)6%DF1"/���8-��I4�% !,��"/� 9 � ��� 9 L�-���"4��% � "4),� 9 L���� 9 � �8*,%>,�� 9 L�-�� 9 � - � � .6� � 4 *14 � � ��" 9 [ �

� . � ��[{[ - 9� �G�6[ � �G�������7��O � � 9 � 9 " 5��'"�-(-���),)#�(��-(� "DSJ�7�C!,�:)HSV%4-���*Q��� ��"4�����7����%D) ��� �K��*,�7"4�/2%4��./��- !,��"/�(��),"�-(�:*#*H��* 9 � )6-65 9 � %D!,��"/��%/� +M��-65 9 � �%D� 9 � ��� � � 4+*+* � � ��" 9 & �[ - &���[ . & 9� �G� � �G����*H!,� � � ��)#�8-�" + �7�����A%D� *,��)HSV%4-���*�%/��� SU����- !#�7"4��*G"DS�F1"/�������:�+. %D)#��%D!,��"/� 9

+M"4��"/O4)#%���5�*��7�$+ %D!,5��:�A% !,�8-(* � * � 9 � �7) -<5��%D��*,�()�� �:),�8%DO � � 4+* - 9� � % � � %D),!,�(� � � � � �� 4 %Y&o/W(%"% .B�GH3 4J 7��"%$'&�(�)+(1"ªF% ./ &#�-P<(%/��' .B�4J$ $' 7�<"%(�/107*73 4J 7�BC* ��" 9 $ 9 ,�"/������! 9 � 5���* 9 - 4 � � 4 * & � � ��" 9 & � & � 1 �#& 4 & 9� .N% � .N%/��%�*H��� -4" . � � 9 L 9+� !k ./1)�*.354J .� ^F�"146��%{GHBC*7/1463 4J(1"o46� "� 7B�GH3 4J 7�<"o ^F,3 &�((�!�G<*73 4J 7�> nFD�! 7�<"'3=*73 4J 7�!*7/ � ��B�3 /W*73 4J 7� 9 � � ��*#*H�8%D� � �� 9 � ��-��8*H� 9 + %D! 9 � + %D! 9

� �+� 9 1 � 4 . 1 -+- ��� - -+- 9� . � D 9 .0)��"4���() � � ��� �()#��-:%D� *#-65��(� �:*ESU"/)0-�"4��*,�()#. %D!,��"/� �8%�,;* 9 @ ���7� � 2U">�(��F����()

L<�:),���:* � ��. %/��-���* �7� � ��� �:),�8-(%/� ++% !,5��(�A% !#��-:* 9 $4"/5�� @ �7��� � > L�"/��* � � 4 4 1<9� .0) � L 9 � 9 .0)#����-/" . � � ��)#*H! "4)#���()�I4�%/*,�7���7���:%D)>�:IC��%D!,��"/��*>�7�@*H�:./�:)#%/�/�������@�1�(����(�C!. %D)#�8%DF����:* � + % !#5 9 ¨ L�L � L<F 9 � �>� � 4 1 � � � [ � 1 �H[ - & 9� .V% � .0)#�(�8*,* � � �(�����=2 5 !H!#" N %&"/)#�(��� � $4�(��* � " ���7!,�8%D�:2�F1"/�����%D) �E. %D����� ��),"4F��7�:�A*�%D���!#5�� � % .<�7�:) 2 LC!#"�-/��*Q��IC��% !#�7"4��* 9 �R��)#�'%/��� � �������7��� + % !#5��(�A% !#��-:* � � &+. 9

� -(%/���(� ��- �R),��*,* � � 4+* 4 9� .V" � � 9 .0��),OC%D��" .T%D�� � 9 " %/���@"4) � � �+, 5���O/5#�<),��*H"4�7��!#�7"4��-��:�C!,)6%D�W*,-65��(� �:*SU"4) ��"/���7�����:%/)R-�"4��*,�()#. %D!,��"/� �8%�,;* %D���A-("/�<./��- !#�7"4�#�<�����K��*H��"/�@�:IC��%D!,��"/��* � $ 9

,�"4� ����!#%D!,��"/��%/��� 5���* 9+� � .�� � ['����� � � [ � - �H[ * [ 9� $4" � $4"/5�� � � ),�7!J� � %D),!,�8%D�/�����K�()#�(�C!,�8%D�4�:IC��% !#�7"4��* 9�� �M��),���C!>"/SC!#5�� SU"4��),!,5B�����X!#�7"4� 9

� �������7��� ++% !,5��(�A% !#��-:%D� L�-(�7�:��-���* � � 9 L0��)#�7��O/�()!2 � �()#��%/O � � �+,43 "/) - � � 4 4 � 9� %�L ¨ � %>%/�#���:�(��* - % � % � 5J9 � 9 N L<"/��"/����� -4" . � � 9 � 9 NH¨ )#%/� )C-��(. % � � 9 � 9+� %������:%/)R%D���IC��%4*H���7������%D) �:IC��% !#�7"4��*>"DS���%/)#%/F"4�7�8-R! � �1� 9 � � ��*#*H�8%D� � ">)#%/��*,��%D!,�:�NSU),"4� !,5��� �*,*,��%/�AF�� L 9 L��@�7!,5 9 ">)6%D��*,��%D!,��"/��* "DS + %D!,5��:� %D!,�8-(%/�(+M"4��"/O4)#%���5�* � � "/� 9[+& � �@�:),�8-(%/�$+ % !#5��(�A% !#��-:%D� L<"�-(�7�(! � � � 4 . 1�9

Page 91: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

� � � �����N����� ����� 4 �� %&% � %>%�� � � 9 D 9 � � �1�()#F1"/����-B* ��* !#�(�A*;"/S -�"/�*H�:),. % !#�7"4�P��%�,;* 9 "!" 9 ,�"/� � 9 � ��)#�

� ����� 9 + %D!,5 9 � � � 4 � 1 �+& 1 � � . . 9� %+@ � � 9 D 9 %>%��N%D��� � 9 @L�:����)#" � � � �2"13;(�)L"� �R�$' .��"�(%/107*73 4J 7�ABC*���" � ,�"/� � 9 � ��)#�

� ����� 9 + %D!,5 9 ; 5 � � 4 .�� � � [ � 1 �H[ & 1<9� + +�� + "/),!,"/� � . 9 @ 9 N + % �4�()6* � D 9 � 9 � ��� �()#��-:%D�4*,"/����!#�7"4�G"/S ��%D),!,�8%D�/��� �K�()#�(�C!,�8%D���IC��% !#�7"4��* 9 � �?���C!,)#"�����- !#�7"4� 9 , %D�JF�)#����O4� ¨ ���7.4�()6*H�7! � �R),��*,* � , %/�=F�)#�8��O/� �

� 414 - 9� +M" � + "/),!,"/� � . 9 @ 9 � ��� �:),�8-(%/� *H"4�7��!#�7"4�L"/S -("/�<./��- !,��"/�)2 �����K��*H��"/� ��)#"/F����(�A* 9

� �������7��� + % !#5��(�A% !#��-:*W%D��� + % !#5��(�A%D!,�8-(%D� ,�"4������!#%D!,��"/� � � [ 9 ,�5�%'��� %/�> � %/�7� � %�"4����"4� � � 4 4 . 9� � +�� � ��-65C!,� �/�:) �)� "4F�:)H! D 9 N +M"4)H!#"/� � . 9 @ 9 D ���1�:),�:��-��N� �(!,5�"���*;SU"/)W�����X!#��%/� 2. %/�7��� ��)#"/F����(�A* 9�� �@��),���C!+"DS !,5�� *,�:-�"4��� �:���X!#�7"4� 9�� "4F�:)H! � 9 .0)#���(O/�:)

�R��F�����*,5�����O ,�" 9+� � 4 4 - 9� L<� � L��()#),� � D �:����* L���*H!,�(�A*Q"DSB-�"4��*H�:),. %D!,��"/� ��%�,;* 9 � %D���o[ 9 � �0�1�()#F"4�7�8-��7! � ��:�C!,)#"������:* � *,5�"�-�-�, % ./��* 9 , %/�=F�)#�8��O/� ¨ ���7.4�()6*H�7! ���R),��*,* � , %/�=F�)#�8��O/� � � 41414 9� L<5#� , 9 @ 9 L<5<� � "�� � �����XSU"4),� � �$5���O/5#�<"/)6���() *#-65��(� �:* SU"4);-�"4��*H�:),. %D!,��"/�Q�8%�,;* �

++% !,5 9 ,�"/��� 9 - 4 � � 4 * 1 � � � � � � [ � 9� L<� � L��@"4�7���() � $4"<�(� L<5�"<-�- , % .4�:* %/��� ),��%/- !#�7"4�/2 ��� �K��*,�7"4� �:IC��% !#�7"4��* 9

L��:-�"4��� �:���7!,��"/� 9 �G)#�������7�:5�),�:� ���() + %D!,5��:� %D!,�8*,-65��(� @ �8*#*H�:��*,-65% S !,�:�� � ������%D� �:�4!6%D� � )#�7��-(�����7��*P"DS + % !#5��(�A% !#��-:%D�!L�-����(��-(�:* � � [ � * 9 L ��),����O4�()!2� �:),�8%DO � � � ,B3 "4) - � � 4 4 - 9� LC! � $ 9 , 9 LC!#),� --,��:)#��% � � �����7!,� ��� �K�()#�(�-�� *#-65��(� ��* %D�� ��%D),!,�8%D�+��� �K�()#�(�C!,�8%D���IC��% !#�7"4��* 9 " 5�� @T%/��* ,�"4)H!#5 > � )#"C" -�* ?�,�"/���*+ % !#5��(�A%D!,�8-(* L<�()#���:* 9

@T%/��* , "/),!,5 > � )#"C" -�* ?�,�"/��� � ��. %/��-�������"<" -<*'> L<"DS ! , %D)#� � � 4+*14 9� L-,�� � 9 . 9 L-,��:F�� � � ��O/5?),��*H"4�7��!#�7"4�$*,-65��(� �:*���*,�7��OJ�7�)�$�7��� �X!#�()6* SU"4)�5��0��:),F1"/���8-��IC��% !#�7"4��* � L/" � +%$ 9 � ��� �() 9 � ��%D� 9 [ � � � 4+* - � � 4 4 � � � � ��� 9� ">% � " %/���@"4) � � �7!#%/� � ����),"������A% !,��*H"4�7��!#�7"4��* "/S���"/���7�����:%/)�-("/��*,�()#. % !,��"/�A�8%�,;* 9

� ��. %D��-(�:�A�<��� �:),�8-(%/�%'����),"������A% !,��"/�@"DS���"4�����7����%D)�5 �0�1�()#F"4�7�8-W��I4�% !,��"/�*�U,���!#)#%/)," � � 4 4 1 � � � � � - 4 � %���- !,��),� � "D!,��* ��� + % !#5 9�� � . 4 10� L ��),����O4�() �� �:),���7� � � 4 4+* 9

� " � � + 9 � 9 ">% �<��"/) � � %D),!,�8%D� �����1�:),�:�4!#��%/� �:IC��% !#�7"4��* � & ./"4� 9 � 9 � �������7���++% !,5��(�A% !#��-:%D� L�-(�7�:��-���* ��� � � ��� 1 � L0��)#����O/�:) 2 � �()#��%/O � � � ,B3 "4) - � � 4 4 . 9

� � � � � "4� ) �1�(),! � � 9 " 9 N�� ��� � %D�:. � L 9 " 9 " 5�� , %/��-65��>��),"4F��7�:� SU"/)N*H��-�"4���M"/)6���:)IC��%4*H�����7����%D)R���(O/�:���()6% !#����%/)#%/F"4�7�8- �:IC��%D!,��"/��* 9 � � ��*#*H�8%D� � + % ! 9 L<F 9 � � 9 L 9 �1 * � � [�� � � 4 . 4 & 1 - �#& 4 . 9� 3�� � 3G�7� � $4�7��O � ��� 5 ��!,5��P�����8IC���(���:*#*@%/����*H!#%/F����7�7! � "DS � � *,"/����!,��"/��*=SU"/)��"/�����7���:%D) �����1�*H��"/� �:IC��%D!,��"/��* 9 ,�"4� � 9 � %/)H!#��%/� D � �K�()#�(�C!,�8%D����I4�% !,��"/�*

� �>� � 4 4 � � � ��" 9 � [ � � . 1 � � � . * & 9

Page 92: Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone"vergni/teccom/DifferenzeFinite.pdf · /0 $ $ 1 + 2# $ , 2 $ * 3 4#+$ ) % , 4$ % 4 % %65 # # $ ,7 * 8 , $ 9 % % . :; $ * =

4 [ � � � � ���N������������ @ 5 � � 9 � 9 @ 5��X!#5�%D� � %&�7����%D) %/��� ��"/���7�����:%/) , % .4�:* 9 � �@��)#���4! "DS !,5��

� 4 1 - "4),��O/����%D� 9 � ��),�$%/��� � �����7���:� + %D!,5��:�A% !,�8-(* 9 � @ �7��� � 2 " �4!#�()6*,-(�7�:��-���R��F�����-:% !,��"/� 9 $/"45��<@ ����� �<> L<"/�* � � �+,43 "/) - � � 414 4 9

� @ 3 � @'� � � 5<��"M����� � 3���� � $4�7��O � ��� � L<"/� � ��)#"��1�(),!,���:*;"/S SU����-�!,��"/��*G��� � � ;%/���T!,5��(��)@%���������-:% !,��"/�*N!,"+!,5��?�����8IC���(����*,*J"DSE*,"/����!#�7"4��*NSU"4)J���:O/�(���()6% !,�IC��%4*H���7������%D)���%D)6%DF1"/����- �:IC��%D!,��"/��* 9 D "4��O/F1�(� L�5C�)�<��� � � � 4+* 4�� � ��" 9 - �& 4 � � - [T[ 9� � 5#� � 5%D" � $/��� � �7��O L�"/� � ��)#"��1�(),!,���:*�"DS�*,"/����!,��"/��*�"/SKIC��%4*H�����7����%D) ���:O/�(���()6% !,�

��%/)#%/F"4�7�8- ��I4�% !,��"/�* %/��� IC��%4*H���7������%D) ���(O/�:���()6% !#� �:�7������!,�8- ��I4�% !,��"/�* 9D "/��O4F�:� L<5<�/�����ª[>� � 4+* . � � ��" 9 & � [ * � �/&��Q[ 9