ISYARAT DAN SISTEM Bab 4 – Deret Fourier Untuk … Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu. Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t). Untuk

TKE 3105

ISYARAT DAN SISTEM Bab 4 – Deret Fourier Untuk Isyarat Periodik

Indah Susilawati, S.T., M.Eng.

Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer

Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009

79

B A B I V

DERET FOURIER UNTUK ISYARAT PERIODIK

Tujuan Instruksional

1. Umum

Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan

analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang

kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem.

2. Khusus

Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan:

- Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu

kontinyu.

- Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu

kontinyu.

- Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu

diskrit.

- Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.

- Mahasiswa dapat menentukan tanggapan frekuensi sistem LTI.

- Mahasiswa dapat memahami tentang filter-filter pemilih frekuensi.

4.1. Tanggapan Sistem LTI Terhadap Eksponensial Kompleks

Tanggapan sistem LTI terhadap masukan eksponensial merupakan

isyarat eksponensial yang sama tetapi dengan perubahan amplitudo. Hal ini

dapat dinyatakan sebagai:

est → H(s) est (sistem waktu kontinyu)

zn → H[z] zn (sistem waktu diskrit)

Suatu isyarat yang menghasilkan keluaran yang merupakan hasil kali suatu

konstanta dengan masukannya tersebut, disebut eigenfunction dari sistem

tersebut (dalam hal ini adalah est atau zn). Sedangkan faktor amplitudonya

disebut dengan eigenvalue sistem tersebut (dalam hal ini adalah H(s) atau

H[z]) .

80

Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu.

Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t).

Untuk masukan x(t) = est maka keluarannya dapat ditentukan dengan

integral konvolusi, yaitu:

)s(He

de)(he

dee)(h

de)(h

d)t(x)(h)t(y

st

sst

sst

)t(s

=

ττ=

ττ=

ττ=

ττ−τ=

∫∫∫∫

∞+

∞−

τ−

∞+

∞−

τ−

∞+

∞−

τ−

+∞

∞−

dengan

est merupakan eigenfunction sistem

∫+∞

∞−

τ− ττ= de)(h)s(H s merupakan eigenvalue sistem

Sedangkan ilustrasi pada sistem LTI waktu diskrit dapat dijelaskan sebagai

berikut.

Sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] mempunyai

masukan

x[n] = zn

maka keluaran sistem dapat ditentukan dengan jumlah konvolusi

sebagai

]z[Hz

z]k[hz

zz]k[h

z]k[h

]kn[x]k[h]n[y

nk

kn

k

kn

k

kn

k

=

=

=

=

−=

∑

∑

∑

∑

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

dengan

81

zn merupakan eigenfunction sistem

∑∞

−∞=

−=k

kz]k[h]z[H merupakan eigenvalue sistem

4.2. Sifat Superposisi

Sistem LTI memiliki sifat superposisi. Jika x(t) merupakan kombinasi

linier yang dinyatakan dengan persamaan

ts3

ts2

ts1

321 eaeaea)t(x ++=

maka tanggapan sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan merupakan

jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang

membentuk masukannya. Perhatikan:

ts333

ts33

ts222

ts22

ts111

ts11

33

22

11

e)s(Ha)t(yea)t(x

e)s(Ha)t(yea)t(x

e)s(Ha)t(yea)t(x

=→=

=→=

=→=

+

∑∑ →

→

k

tskk

k

tsk

kk e)s(Haea

)t(y)t(x

Dengan demikian, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai

∑=k

tskk

ke)s(Ha)t(y

Sifat superposisi juga terdapat pada sistem LTI waktu diskrit. Jika

masukan x[n] merupakan kombinasi linier yang dinyatakan sebagai

∑=k

nkk za]n[x

maka tanggapan sistem LTI waktu diskrit yang dihasilkan juga merupakan

jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang

membentuk masukannya. Dengan cara yang sama, maka keluaran y[n] dapat

dinyatakan dengan

∑=k

nkkk z]z[Ha]n[y

82

4.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian

1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan masukan dan

keluaran sebagai berikut:

y(t) = x(t – 3)

Jika masukannya adalah x(t) = e j2t, maka tentukanlah keluaran sistem

tersebut.

Penyelesaian

Cara 1

Dengan masukan x(t) = e j2t, maka

y(t) = x(t – 3)

= e j2(t – 3)

= e – j6 e j2t

Dalam hal ini e j2t merupakan eigenfunction dan eigenvalue untuk

s = j2 dituliskan sebagai

H(s) = H(j2) = e – j6

Cara 2

H(s) dapat ditemukan dengan rumusan , dengan

h(t) = δ(t – 3), sehingga

∫+∞

∞−

− ττ= de)(h)s(H st

s3

s3

s3

s

s

e

d)3(e

d)3(e

de)3(

de)(h)s(H

−

∞+

∞−

−

∞+

∞−

−

∞+

∞−

τ−

+∞

∞−

τ−

=

τ−τδ=

τ−τδ=

τ−τδ=

ττ=

∫

∫

∫

∫

Jika x(t) = e j2t, maka s = j2 dan dengan demikian

H(j2) = e – 3s

= e – j6

83

2. Untuk sistem LTI yang sama dengan pada contoh soal no. 1, maka

tentukanlah keluaran sistem jika masukannya adalah

x(t) = cos 4t + cos 7t

Penyelesaian

Masukan x(t) merupakan kombinasi linear yang terdiri atas dua

komponen, sehingga soal ini dapat diselesaikan dengan sifat superposisi

yang dimiliki sistem LTI. Masukan x(t) dapat diuraikan menggunakan

rumus Euler menjadi:

{ } { }t7jt7jt4jt4j ee21ee

21

t7cost4cos)t(x

−− +++=

+=

maka keluaran y(t) dapat ditemukan sebagai

{ } { })3t(7cos)3t(4cos

e21e

21e

21e

21

)3t(x)t(y

)3t(7j)3t(7j)3t(4j)3t(4j

−+−=

+++=

−=

−−−−−−

Eigenfunction dan eigenvalue untuk masing-masing komponen

diperlihatkan pada tabel 4.1.

Tabel 4.1. Eigenfunction dan eigenvalue untuk masing-masing komponen untuk contoh soal no. 2

Komponen Eigenfunction Eigenvalue

e j4(t – 3) e j4t ½ e j12

e – j4(t – 3) e – j4t ½ e – j12

e j7(t – 3) e j7t ½ e j21

e – j7(t – 3) e – j7t ½ e – j21

4.2.2. Soal-soal Tambahan

1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan

masukan yang dinyatakan dengan persamaan

84

y(t) = 2 x(t – 1)

Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.

2. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan

masukan yang dinyatakan dengan persamaan

y(t) = x(t) + 2 x(t – 1)

Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.

4.3. Representasi Deret Fourier Pada Isyarat Periodik Waktu Kontinyu

Untuk isyarat periodik waktu kontinyu x(t) yang mempunyai perioda

dasar T dan frekuensi dasar ω0 = 2π/T, maka deret Fourier atas x(t)

didefinisikan sebagai berikut:

∑

∑∞+

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+∞

−∞=

ω

=

=

k

tT2jk

k

k

tjkk

ea

ea)t(x 0

dengan

∫

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

ω−

=

=

T

tT2jk

T

tjkk

dte)t(xT1

dte)t(xT1a 0

Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari

x(t). Koefisien a0 (yaitu ak saat k = 0) disebut komponen dc atau konstan dari

x(t), yang ditentukan oleh:

∫=T

0 dt)t(xT1a

Besarnya ak menunjukkan besarnya sinyal x(t) pada setiap harmonik dari

komponen dasar. Pada subab berikut akan diberikan beberapa contoh soal

berikut penyelesaiannya dalam hal menyatakan sebuah isyarat menjadi deret

Fouriernya.

85


1. Isyarat x(t) = sin ω0 t mempunyai frekuensi dasar ω0. Tentukanlah deret

Fourier untuk menyatakan x(t).

Penyelesaian

Salah satu cara untuk menentukan deret Fourier untuk x(t) = sin ω0 t

adalah dengan menguraikan x(t) menggunakan rumus Euler.

{ }tjtj

tjtj

0

00

00

e2j1e

2j1

ee2j1

tsin)t(x

ω−ω

ω−ω

−=

−=

ω=

Dari penguraian x(t) dapat diketahui bahwa

a −1 = 2j1

−

a0 = 0

a1 = 2j1

dan ak = 0 untuk nilai k yang lain.

2. Isyarat x(t) didefinisikan sebagai berikut:

x(t) = 1 + sin ω0 t + 2 cos ω0 t + cos (2ω0 t + π/4)

Nyatakanlah x(t) dalam deret Fourier.

Penyelesaian

Isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 dan dapat diuraikan menjadi:

{ } { }

t2j4jt2j4

jtjtj

4t2j

tjtjtjtj

000

0000

4t02j

00000

ee21ee

21e

2j11e

2j111

ee21eeee

2j11

4t2costcos2tsin1)t(x

ω−π

−ωπ

ω−ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωω−ωω−ω

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+++−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω+ω+ω+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−

maka

86

2kee21

2kee21

1ke2j11

1ke2j11

0k1)t(x

t2j4j

t2j4j

tj

tj

0

0

0

0

−=→+

=→+

−=→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=→=

ω−π

−

ωπ

ω−

ω

dan dapat diketahui bahwa:

2kuntuk0a

)j1(42e

21a

)j1(42e

21a

21j1

2j11a

21j1

2j11a

1a

k

4j

2

4j

2

1

1

0

>=

−==

+==

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=

π−

−

π

−

Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.1.

-3 -2 -1 0 1 2 3 k Gambar 4.1 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2

3. Isyarat x(t) pada gambar 4.2 dapat dinyatakan sebagai

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<

<=

2,0

,1)(

1

1

TtT

Tttx

Nyatakanlah isyarat tersebut dalam deret Fourier.

87

X(t)

1

-T -T1T1 T

Gambar 4.2 Isyarat x(t) untuk soal no. 3

Penyelesaian

Isyarat x(t) merupakan isyarat yang periodik, maka untuk satu periode x(t)

dapat ditemukan koefisien ak.

• Saat k = 0, maka

[ ]

TT2

)T(TT1

tT1

dt1.1T1

dte)t(xT1a

1

11

T

T

T

T

T

T

tjk0

1

1

1

1

1

1

0

=

−−=

=

=

=

−

−

−

ω−

∫

∫

• Saat k ≠ 0, maka

[ ]

[ ]

2jee

Tk2

eeTjk

1

eeTjk

1T

Te

jk1

T1

dteT1

dte)t(xT1a

1010

1010

1010

0

1

1

0

1

1

0

TjkTjk

0

TjkTjk

0

TjkTjk

0

1

1tjk

0

T

T

tjk

T

T

tjkk

ω−ω

ω−ω

ωω−

ω−

−

ω−

−

ω−

−×

ω=

−×ω

=

−×ω−

=

−×

ω−

×=

=

=

∫

∫

88

πω

=

ωω

=

ω×ω

=

k)Tksin(

Tk)Tksin(2

)Tk(sinTk

2

10

0

10

100

Ingat bahwa T2

0π

=ω

Sebagai gambaran, maka dapat dimisalkan suatu kasus jika T = 4T1

sehingga 1

0 T42

T2 π

=π

=ω atau 2

T10π

=ω . Dengan pemisalan ini dapat

ditemukan nilai-nilai koefisien deret Fourier x(t) untuk berbagai harga k.

seterusnyadan

aa51

5)2/5sin(a

aa04

2sina

aa3

13

)2/3sin(a

aa02

sina

aa1)2/sin(a

makak

2ksin

k)Tksin(a

21

T4T2

TT2a

555

444

333

222

111

10k

1

110

=→π

=ππ

=

=→=ππ

=

=→π−

=ππ

=

=→=ππ

=

=→π

=ππ

=

π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=πω

=

===

−

−

−

−

−


-5 -4

-3

-2 -1 0 1 2

3

4 5 k

ak

Gambar 4.3 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 3

89

4.3.2 Soal-soal Tambahan

1. Untuk soal yang sama dengan contoh soal no. 3, tentukanlah koefisien

deret Fourier dari x(t) jika:

a. T = 8T1

b. T = 16T1

c. Apa kesimpulan anda?

2. Tentukanlah deret Fourier untuk isayarat x(t) yang diperlihatkan pada

gambar 4.4 berikut ini.

X(t)

0-2-5-8 1 4 7 k Gambar 4.4 Isyarat x(t) untuk soal no. 2

4.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu

Untuk kepentingan kemudahan dalam pembahasan tentang sifat-sifat

deret Fourier waktu kontinyu, maka koefisien deret Fourier dari sebuah isyarat

x(t), yaitu ak , akan dituliskan dengan notasi:

kFS a)t(x ⎯→←

Artinya, isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier dengan koefisien-

koefisien ak (FS = Fourier Series = Deret Fourier).

Berikut adalah sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu:

1. Linearitas

Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan

kFS a)t(x ⎯→←

kFS b)t(y ⎯→←

maka untuk isyarat z(t) yang didefinisikan sebagai

z(t) = A x(t) + B y(t)

berlaku sifat linearitas sebagai berikut:

kkkFS bBaAc)t(z +=⎯→←

90

yaitu koefisien deret Fourier dari z(t) adalah ck = A ak + B bk , dengan A

dan B adalah konstanta.

2. Pergeseran waktu

Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan

kFS a)t(x ⎯→←

dan y(t) merupakan isyarat tergeser waktu dari x(t) yang dinyatakan

sebagai

y(t) = x(t – t0)

maka berlaku sifat

000

tT2jk

ktjk

kFS e.ae.a)t(y

π−ω− =⎯→←

yaitu koefisien deret Fourier dari y(t) merupakan perkalian ak dengan

000

tT2jktjk eeπ

−ω− = .

3. Waktu-balikan


kFS a)t(x ⎯→←

maka untuk isyarat waktu balikan dari x(t) yaitu x(-t) berlaku sifat sebagai

berikut:

kFS a)t(x −⎯→←−

4. Perkalian

Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan

kFS a)t(x ⎯→←

kFS b)t(y ⎯→←

maka berlaku

∑∞

−∞=−=⎯→←

lll kk

FS bah)t(y)t(x

yaitu koefisien deret Fourier dari perkalian x(t) dan y(t) merupakan jumlah

konvolusi diskrit dari ak dan bk.

5. Penskalaan waktu (time scalling)

Jika isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai

91

∑∞

−∞=

ω=k

tjkk

0ea)t(x

maka isyarat x(t) yang terskala waktu (sebesar α) mempunyai deret

Fourier yang dinyatakan sebagai

∑∞

−∞=

αω=αk

t)(jkk

0ea)t(x

6. Konjugat dan simetri konjugat


kFS a)t(x ⎯→←

maka

kFS a)t(x −⎯→←

dimana )t(x adalah konjugat kompleks dari x(t) dan ka adalah konjugat

kompleks dari ak .

Jika x(t) merupakan bilangan riil murni, maka )t(x = x(t) dan koefisien

deret Fourier akan menjadi simetri konjugat, yaitu:

kk aa =−

4.5. Deret Fourier Isyarat Periodik Waktu Diskrit

Jika isyarat periodik waktu kontinyu x[n] periodik dengan periode

dasar N dan frekuensi dasar ω0 = 2π / N , maka x[n] dapat dinyatakan sebagai

deret Fourier waktu diskrit sebagai berikut:

∑

∑

=

π

=

ω

=

=

Nk

nN

2jk

k

Nk

njkk

ea

ea]n[x 0

dengan ak adalah koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n], dan didefinisikan

dengan pernyataan

92

∑

∑

=

π−

=

ω−

=

=

Nk

nN2jk

Nk

njkk

e]n[xN1

e]n[xN1a 0


1. Jika x[n] = sin ω0 n, maka tentukan deret Fourier untuk x[n].

Penyelesaian

Isyarat x[n] = sin ω0 n periodik hanya jika 2π/ω0 merupakan bilangan

bulat atau perbandingan bilangan bulat. Jika N2

0π

=ω , maka x[n] periodik

dengan periode dasar N dan x[n] dapat diuraikan menjadi deret Fourier

sebagai berikut:

nN2jn

N2j

0

e2j1e

2j1

nN2sin

nsin]n[x

π−

π

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

ω=

Dengan demikian, koefisien deret Fouriernya adalah

lainyangkuntuk?.....a2j1a

2j1a

k

1

1

=

−=

=

−

Untuk harga k yang lain, dapat dicari dengan cara berikut. Oleh karena

x[n] periodik dengan periode dasar N, maka koefisien-koefisien deret

Fourier x[n] juga akan berulang dengan periode N, sehingga

11N11N aadanaa −−+ == Misalkan diambil periode dasar N = 5, maka dapat ditentukan:

2j1a1 =

93

2j1a 1 −=−

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

191101N2

1111101N2

16151N

14151N

14151N

16151N

−−−

++

−−−−−−

−+−+−

−−−

++

=−===

====

=−===

====

=−===

====


-6

-5

-1/j2

-4 -3 -2

-1

0 1 2 3

4

5 6 7 8

9

10 11 k

ak1/j2


2. Untuk soal yang sama dengan soal no. 1, maka misalkan 2π/ω0 merupakan

perbandingan bilangan bulat sebagai berikut:

MN2atauM

N2

00 =

ωππ

=ω

maka nyatakanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n].

Penyelesaian

Dengan mensubsitusikan MN2

0π

=ω pada persamaan isyarat x[n], maka

x[n] dapat dinyatakan kembali sebagai:

94

nN2jMn

N2jM

0

e2j1e

2j1

nMN2sin

nsin]n[x

π−

π

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

ω=

Sehingga

2j1aM =

2j1a M −=−

Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, jika dipilih M = 3 dan N = 5,

maka diperoleh:

2j1aa 3M ==

2j1aa 3M −== −−

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

)a(2j1aaa

313310MN2

37310MN2

37310MN2

313310MN2

3835MN

3235MN

3235MN

3835MN

−−−−−−

−+−+−

−−−

++

−−−−−−

−+−+−

−−−

++

=−===

====

=−===

====

=−===

====

=−===

====


95

-8-7 -6 -5 -4

-3-2 -1 0 1

23 4 5 6

78 9 k

ak1/j2

-1/j2 Gambar 4.6 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2

3. Tentukanlah deret Fourier untuk isyarat nN2cos3n

N2sin1]n[x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+=

Penyelesaian

Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, dan dapat diuraikan

menjadi:

nN2jn

N2jn

N2j

nN2jn

N2jn

N2jn

N2j

e2j1

23e

2j1

23e

2j1

231

ee23ee

2j11

nN2cos3n

N2sin1]n[x

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+=

Sehingga diperoleh:

21j

23

2j1

23a

21j

23

2j1

23a

1a

1

1

0

+=−=

−=+=

=

−

4. Tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n] jika

isyarat x[n] diperlihatkan pada gambar 4.7.

X[n]

1

-N 0-N1 N1N n

Gambar 4.7 Isyarat x[n] untuk soal no. 4

96

Penyelesaian

Dari gambar isyarat x[n] di atas, diketahui bahwa x[n] = 1 untuk harga

–N1 < n < N1 , maka dapat dinyatakan:

∑−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−=

1

1

N

Nn

nN2jk

k eN1a

Dengan menganggap bahwa m = n + N1 , maka

....,N2,N,0k;

Nksin

N5,0Nk2sin

N1

ee

ee

e

eN1

e1

e.eeN1

e1

e1eN1

)eeN1

eN1a

1

N22jk

N22jk

N5,0N2jk

N5,0N2jk

N22jk

N22jk

N2jk

N1N22jkN

N2jkN

N2jk

N2jk

N1N22jk

NN2jk

*N2

0m

N2jkN

N2jk

N2

0m

)Nm(N2jk

k

11

111

1

1

1 m1

1 1

±±≠

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π×=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

××=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−

∑

∑

Catatan

)* Suku ∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−1 mN2

0m

N2jk

e merupakan sebuah deret geometri dengan 2N1+1 suku, sehingga

jumlah deret geometri tersebut dapat diketahui menggunakan rumus jumlah deret geometri.

Sedangkan untuk k = 0, ±N, ±2N, … maka koefisien deret Fouriernya

adalah

97

N1N2a 1

k+

=

Sebagai contoh, koefisien-koefisien ak untuk (2N1 + 1) = 5 dapat

digambarkan untuk berbagai nilai N, misalnya N = 10.

• Untuk k = 0, ±10, ±20, … maka

21

105

N1N2a 1

k ==+

=

• Untuk k ≠ 0, ±10, ±20, … maka

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π×=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π×=

10ksin

2ksin

101

Nksin

N1N2ksin

N1

Nksin

N5,0Nk2sin

N1a

1

1

k

Sehingga diperoleh:

444

333

222

111

aa0

104sin

2sin101a

aa124,0

103sin

23sin

101a

aa0

5sin

sin101a

aa3,0

10sin

2sin

101a

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

=

=→−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ππ

=

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π

=

−

−

−

−

98

666

555

aa0

53sin

3sin101a

aa1,0

2sin

25sin

101a

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

=

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

−

−

999

888

777

aa3,0

109sin

29sin

101a

aa0

54sin

4sin101a

aa124,0

107sin

27sin

101a

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

=→=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ππ

=

=→−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=

−

−

−

Karena sifatnya yang periodik dengan periode N = 10, maka

.....aaaaaaaaaaaa

....aaaaaaaa

2222222

2121121

1919919

1212212

1111111

=→==→==→=

=→==→=

−

−

−

−

−


ak

0 1 2

3

4 5 6

7

8 9 1011-1

-3

-5

-7

-10 k


99


1. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 3, tentukanlah

koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika

a. N = 5

b. N =10

c. N = 15

Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.

2. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 4, tentukanlah

koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika

a. N = 20

b. N = 40

Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.

4.6. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Diskrit

Untuk isyarat waktu diskrit x[n] yang periodik dengan periode N dan

mempunyai koefisien deret Fourier ak, maka hubungan ini akan ditulis sebagai

berikut:

kFS a]n[x ⎯→←

Berikut ini adalah sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.

1. Perkalian

Jika x[n] dan y[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan

kFS a]n[x ⎯→←

kFS b]n[y ⎯→←

maka berlaku

∑=

−=⎯→←N

kkFS bad]n[y].n[x

lll

2. Diferensiasi pertama

Jika x[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan

kFS a]n[x ⎯→←

100

maka koefisien deret Fourier yang sesuai dengan diferensiasi pertama dari

x[n] dinyatakan sebagai:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎯→←−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−N2jk

kFS e1a]1n[x]n[x

dimana frekuensi dasar x[n] adalah ω0 = 2π/N.

4.7. Deret Fourier dan Sistem LTI

Dalam waktu kontinyu, jika x(t) = est merupakan input atau masukan

sistem LTI waktu kontinyu, maka keluarannya adalah

y(t) = H(s) est

dengan

∫+∞

∞−

τ− ττ= de)(h)s(H s

dan h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI. Jika s = jω maka

e st = e jωt

sehingga masukan LTI merupakan eksponensial kompleks dengan frekuensi

ω. Dalam hal ini, maka H(s) = H(jω) yang dinyatakan:

∫+∞

∞−

τ− ττ=ω de)(h)j(H s

H(jω) disebut dengan istilah tanggapan frekuensi (frequency response) sistem

LTI.

Jika isyarat masukan x(t) dinyatakan dalam deret Fourier sebagai

berikut

∑+∞

−∞=

ω=k

tjkk

0ea]n[x

maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan dengan

∑+∞

−∞=

ωω=k

tjk0k

0e)jk(Ha]n[y

dimana dalam hal ini sk = jkω0 , dan koefisien dari y(t) adalah

bk = ak H(jkω0)

101

Dengan cara yang sama, dalam waktu diskrit jika x[n] = zn merupakan

masukan sistem LTI waktu diskrit, maka keluarannya adalah

y[n] = H(z) zn

dengan

∑∞

−∞=

−=k

kz]k[h)z(H

dan h[n] adalah tanggapan impuls sistem LTI.

Jika harga z dipilih sedemikian rupa sehingga ⎢z⎥ = 1, maka

z = e jω

dan

zn = e jωn

Dengan demikian, maka diperoleh persamaan yang menyatakan tanggapan

frekuensinya, yaitu:

( ) ∑+∞

−∞=

ω−ω =n

njj e]n[heH

Jika isyarat masukan x[n] merupakan isyarat periodik yang dinyatakan

dalam deret Fourier sebagai

∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=Nk

nN2jk

k ea]n[x

maka keluaran sistem LTI (dengan tanggapan impuls h[n]) adalah

∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

=Nk

nN2jk

N2jk

k e)e(Ha]n[y

dimana koefisien y[n] adalah

bk = ak H(e j2πk/N)


1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai tanggapan impuls

h(t) = e −t u(t)

Jika masukan sistem sistem ini adalah

102

∑−=

π=3

3k

t2jkk ea]n[x

dengan

a0 = 1

a1 = a−1 = ¼

a2 = a−2 = ½

a3 = a−3 = 31

maka tentukanlah tanggapan frekuensi dan keluaran sistem LTI tersebut.

Penyelesaian

Tanggapan frekuensi dapat ditemukan sebagai berikut:

ω+=

ω+−=

=

=

=

=ω

∞ω+−

∞ω+−

∞ω−−

∞

∞−

ω−−

∞

∞−

ω−

∫

∫

∫

∫

j11

ej1

1

dte

dtee

dte)t(ue

dte)t(h)j(H

0

t)j1(

0

t)j1(

0

tjt

tjt

tj

Oleh karena isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 = 2π maka

keluaran sistem LTI tersebut adalah

∑−=

π=3

3k

t2jkk eb]n[y

dengan

bk = ak H( jk2π )

sehingga dapat ditentukan besaranya bk untuk harga-harga k yang berbeda

sebagai berikut.

103

π−×=π−=

π−×=π−=

π+×=π=

π+×=π=

π+×=π=

==

−−

−−

4j11

21)4j(Hab

2j11

41)2j(Hab

6j11

31)6j(Hab

4j11

21)4j(Hab

2j11

41)2j(Hab

1)0(Hab

22

11

33

22

11

00

π−×=π−= −− 6j1

131)6j(Hab 33

2. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls

h[n] = α n u[n]

dimana −1 < α < 1. Jika masukan sistem ini adalah

N

n2cos]n[x π=

maka tentukanlah tanggapan frekuensi sistem tersebut.

Penyelesaian

nN2jn

N2j

e21e

21

Nn2cos]n[x

π−

π

+=

π=

maka dapat diperoleh tanggapan frekuensi untuk jω = j2π/N dan

jω = −j2π/N, sebagai berikut:

( )

[ ]∑

∑

∑

∞+

=

π−

∞+

−∞=

π−

+∞

−∞=

π−π

α=

α=

=

0n

n)N/2(j

n

n)N/2(jn

n

n)N/2(jN/2j

e

e]n[u

e]n[heH

N/2je11

π−α−=

104

dan

( )

[ ]

N/2j

0n

n)N/2(j

n

n)N/2(jn

n

n)N/2(jN/2j

e11

e

e]n[u

e]n[heH

π

∞+

=

π

∞+

−∞=

π

+∞

−∞=

ππ−

α−=

α=

α=

=

∑

∑

∑

Secara umum, tanggapan frekuensinya dapat dinyatakan dengan

( ) ω−ω

α−= j

j

e11eH

Cara lain untuk menentukan tanggapan frekuensi sistem adalah sebagai

berikut. Masukan x[n] dapat ditulis sebagai deret Fourier

nN2jn

N2j

e21e

21]n[x

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+=

dan tanggapan frekuensinya adalah

( )

ω−

∞

=

ω−

∞

=

ω−

∞+

−∞=

ω−

+∞

−∞=

ω−ω

α−=

α=

α=

α=

=

∑

∑

∑

∑

j

0n

njn

0n

njn

n

njn

n

njj

e11

e

e

e]n[u

e]n[heH

Dengan demikian, keluaran sistem dapat dinyatakan sebagai:

nN2j

N/2j

nN2j

N/2j

nN2jN/2jn

N2jN/2j

Nk

nN2jkN/k2j

k

ee11

21e

e11

21

e)e(H21e)e(H

21

e)e(Ha]n[y

π−

π

π

π−

π−π−

ππ

=

ππ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

α−=

+=

= ∑

105


1. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls n

21]n[h ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y[n] jika masukan x[n]

adalah isyarat periodik dengan periode 6 dan dinyatakan sebagai berikut

⎩⎨⎧

±±=±=

=3,2n,01,0n,1

]n[x

2. Sebuah sistem LTI waktu kontiyu dengan tanggapan impuls

h(t) = e −4⎜t⎥

maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y(t) jika masukan x(t)

seperti pada gambar berikut.

X(t)

-2 -1 0 1 2 3 t

......

Gambar 4.9 Isyarat x(t) untuk soal no. 2

4.8. Filter-filter Pemilih Frekuensi

Tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu kontinyu, secara garis

besar dibedakan menjadi:

1. Lowpass ideal

Filter ini melewatkan frekuensi rendah saja. Perhatikan gambar 4.10.

H(jω)

1

ω−ωc ωc0

Gambar 4.10 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu kontinyu)

106

2. Highpass ideal

Filter ini melewatkan frekuensi tinggi saja. Perhatikan gambar 4.11.

H(jω)

1

ω−ωc ωc0

Gambar 4.11 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu kontinyu)

3. Bandpass ideal

Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.12.

H(jω)

1

−ω2 −ω1ω1 ω2

ω

Gambar 4.12 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu kontinyu)

Sedangkan tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu diskrit, secara

garis besar juga dibedakan menjadi:

1. Lowpass ideal

Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.13. H(e jω)

−ω1ω1

1

0 π−π 2π−2πω

Gambar 4.13 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu diskrit)

2. Highpass ideal

Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.14.

107

H(e jω)

1


Gambar 4.14 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu diskrit)

3. Bandpass ideal

Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.15. H(e jω)

1


Gambar 4.15 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu diskrit)


1. Sebuah rangkaian filter lowpass RC sederhana pada gambar 4.16. Jika

masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah Vc(t), tentukanlah

persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan

sistem. R

C

i(t)

Vc(t)Vs(t)

Gambar 4.16 Rangkaian filter RC lowpass sederhana

Penyelesaian

Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan Vc(t) sebagai keluarannya,

maka untuk rangkaian RC di atas berlaku:

108

)t(V)t(V)t(VdtdRC

)t(V)t(V)t(iR)t(V)t(V)t(V

SCC

SC

SCR

=+

=+=+

Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran Vc(t) harus menjadi

Vc(t) = H(jω) e jωt

Sehingga diperoleh

{ }

[ ]

1RCj1)j(H

1)j(H1RCj1)j(H)j(HRCjee)j(He)j(HRCj

ee)j(He)j(HdtdRC

tjtjtj

tjtjtj

+ω=ω

=ω+ω=ω+ωω=ω+ωω

=ω+ω

ωωω

ωωω

Jika

ω ≈ 0 maka ⎢H(jω)⎥ ≈ 1 dan ω > 0 maka ⎢H(jω)⎥ <<

Tanggapan frekuensi filter ini dapat digambarkan secara grafis pada

gambar 4.17.

-1/RC 1/RC

1

IH(Jω)I

ω

Gambar 4.17 Tanggapan filter lowpass RC pada soal no. 1

Filter lowpass RC sederhana pada contoh soal no. 1 ini merupakan filter

yang non-ideal.

2. Sebuah rangkaian filter highpass RC sederhana pada gambar 4.18. Jika

masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah VR(t), tentukanlah

persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan

sistem.

109

R

i(t)

VR(t)

CVs(t)

Gambar 4.18 Rangkaian filter RC highpass sederhana

Penyelesaian

Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan VR(t) sebagai keluarannya,

maka untuk rangkaian RC di atas berlaku:

)t(VdtdRC)t(V)t(V

dtdRC

)t(Vdt)t(VRC1)t(V

)t(VdtR

)t(VC1)t(V

)t(Vdt)t(iC1)t(V

)t(V)t(V)t(V

SRR

SRR

SR

R

SR

SCR

=+

=+

=+

=+

=+

∫

∫

∫

Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran VR(t) harus menjadi

VR(t) = H(jω) e jωt

Sehingga diperoleh

[ ]

1RCjRCj)j(H

RCj)j(H)1RCj(e.RCje).j(He)j(H.RCj

edtdRCe).j(He).j(H

dtdRC

)t(VdtdRC)t(V)t(V

dtdRC

tjtjtj

tjtjtj

SRR

+ωω

=ω

ω=ω+ωω=ω+ωω

=ω+ω

=+

ωωω

ωωω

Terlihat dari persamaan tanggapan frekuensi sistem, bahwa jika

⎜ω⎟ >> 1/RC maka terjadi redaman. Dengan kata lain, jika ω mendekati

nol maka ⎢H(jω)⎥ << dan jika ⎜ω⎟ = 1/RC maka ⎢H(jω)⎥ = 1.

110

Tanggapan frekuensi filter ini dapat digambarkan secara grafis pada

gambar 4.19.

-1/RC 1/RC

1

IH(Jω)I

ω

Gambar 4.19 Tanggapan filter highpass RC pada soal no. 2

Filter highpass RC sederhana pada contoh soal no. 2 ini merupakan filter

yang non-ideal.

Documents

ISYARAT DAN SISTEM Bab 4 – Deret Fourier Untuk … Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu. Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t). Untuk