Embed Size (px)
Citation preview
IT-Claw – UPUTE 1. Radna okolina programa IT-Claw Nakon pokretanja računalnog programa IT-Claw.exe otvori se sučelje (Slika 1.1) koje se sastoji od nekoliko menija, alatnih traka, te lijevog i desnog prozora radne okoline. U File meniju se pojavljuju standardne opcije tj. Open, New, Print, Save, Page Setup i Exit. Iste su opcije ponuđene na odgovarajućoj alatnoj traci. Opis ostalih ponuđenih menija bit će dan u nastavku. Uočimo da u lijevom prozoru radne okoline imamo listove s različitim pogledima: Data View, Results View, Time View i Net View. Prilikom otvaranja lista Data View prikazat će se podaci vezani uz promatrani projekt, a istovremeno će se u desnom prozoru radne okoline pojaviti odgovarajući grafovi, koji će se tu ujedno moći i zadavati. Results View će nam omogućiti pogled na rezultate tekućeg proračuna. Time View nam daje pregled vremenskih trenutaka u kojima su pohranjeni rezultati, pri čemu se odabirom spremljenog stanja u desnom prozoru prikazuju odgovarajući rezultati. Net View daje mrežni prikaz projekta.
Slika 1.1. Radna okolina programa IT-Claw
U programu IT-Claw moguće je otvoriti neki od postojećih projekata ili pak izgraditi novi projekt. Kod otvaranja novog projekta (File+New) prikaže se izbornik koji omogućava odabir željenog modela (Slika 1.2).
Slika 1.2. Izbornik s ponuđenim modelima zakona očuvanja
Na raspolaganju su sljedeći jednodimenzionalni modeli:
- Model plitkih voda (Shallow Water) - Eulerov model strujanja kompresibilnog fluida (Euler) - Model linearne akustike (Linear Acoustics) - Allievijev model strujanja tekućine (Allievi1d) - Model prometa (Traffic Flow).
Nakon odabira, potrebno je unijeti ime novog projekta i put (path) za smještanje odgovarajućih datoteka vezanih uz projekt na vlastitom računalu. Pritom se formira mapa projekta sa sljedećim datotekama <ime_projekta>.cl1, <ime_projekta>.cln, <ime_projekta>.dsc i <ime_projekta>.icn te unutar nje mape Histories, States i Watches. U lijevom se prozoru radne okoline mogu vidjeti elementi od kojih je promatrani projekt sastavljen, dok se u desnom prozoru, u kojem će se kasnije vidjeti rezultati, vidi naziv trenutno odabranog elementa, tip zakona očuvanja, te lokacija na kojoj je projekt smješten na računalu (Slika 1.3). Izgradnja projekta za svaki od modela bit će opisana u nastavku.
Slika 1.3. Radna okolina programa IT-Claw.exe nakon odabira modela
Ako se ne stvara novi projekt, već se želi otvoriti neki od postojećih projekata, odabere se otvaranje (File+Open), te nakon odabira ispravne lokacije u kojem je postojeći projekt smješten, otvori datoteka <imeprojekta>.cl1 (Slika 1.4).
Slika 1.4. Dialog box kod otvaranja projekta.
Kod otvaranja postojećeg projekta, u lijevom se prozoru pojavi kontrolno stablo projekta, u kojem se uz početni bazni element, koji sadrži svojstva vezana uz cijeli projekt, pojavljuju svi elementi koji promatrani projekt sastavljaju (Slika 1.5).
Kontrolno stablo projekta
Slika 1.5. Prikaz kontrolnog stabla projekta. U nastavku dajemo opise ponuđenih modela.
2. Model plitkih voda (Shallow Water) Kod izgradnje novog projekta, prvi bazni element tipa ShallowWater1d, dodaje se automatski kao korijen kontrolnog stabla projekta, te se odgovarajuća ikona pojavljuje u lijevom prozoru radne okoline (Slika 1.3). Na njega se zatim nadograđuju ostali elementi koji služe za modeliranje plitkih voda, a nalaze se u Build+Add meniju (Slika 2.1). To su: Channel... - kojim se modelira jednodimenzionalno strujanje vode u kanalu, DischargeBC... - kojim se modelira rubni uvjet protoka i WaterLevelBC... - za modeliranje rubnog uvjeta razine vode. Za svaki od navedenih elemenata također postoje ikonice na alatnoj traci, pomoću kojih se elementi mogu dodati u projekt.
Slika 2.1. Elementi kod modela plitkih voda
Kanal (Channel) Jezgra jednodimenzionalnog matematičkog modela plitkih voda jest kanal s ravnim dnom te konstantnim pravokutnim poprečnim presjekom duž kojeg se strujanje vode modelira jednodimenzionalnim jednadžbama plitkih voda
( ) 0h hvt x
∂ ∂+ =
∂ ∂,
2 2( ) 1 02
hv hv ght x
∂ ∂ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠.
Ovdje je: h - dubina vode, v - brzina vode, x - prostorna koordinata (duž osi kanala), ( )Lx ,0∈ , L - duljina otvorenog vodotoka, g - ubrzanje sile teže. Kod dodavanja modela kanala (Build+Add+Channel...) pojavljuje se odgovarajući dialog box (Slika 2.2), kod kojeg možemo definirati njegove uzvodne i nizvodne veze, ukoliko takve postoje. Isto tako, veze mogu ostati slobodne, ali se mogu i naknadno mijenjati.
Slika 2.2. Dialog box kod dodavanja kanala
Nakon dodavanja kanala, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 2.3), zajedno s njegovim karakteristikama koje je potrebno zadati, a to su: početni uvjeti u kanalu (Initial Condition): početna razina vode 0 ( ,wl wl x 0)= i početna brzina vode u kanalu
. Sve se navedene veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka kanala . Može se uočiti da se ovdje pojavljuju i visina dna kanala
0 ( ,0u u x= ))( Lx ,0∈ ( )z z x=
(Riverbed) i Manningov koeficijent trenja ( )n n x= (Manning) pomoću kojega se modeliraju sile trenja. Međutim, model koji je trenutno ugrađen u program IT-Claw nema mogućnost promjene tih dvaju parametara, pa se za oba trenutno pretpostavlja da su jednaki nula. Model koji podržava varijabilnost tih dviju veličina biti će ugrađen u program u njegovom daljnjem razvoju.
Karakteristike kanala
Slika 2.3. Kontrolno stablo s dodanim kanalom
Zadavanje krivulja. U programu IT-Claw krivulje se zadaju na sljedeći način. Prva je mogućnost direktno učitavanje točaka krivulje iz datoteke. Najprije se odabere krivulja koju želimo definirati. Klikanje desnom tipkom miša rezultirati će pojavom Export/Import menija (Slika 2.4). Odabirom opcije Import..., pojavljuje se standardni dialog box (Slika 2.4), pomoću kojeg vršimo odabir datoteke iz koje želimo učitati podatke o krivulji. Ako definiramo npr. početnu razinu vode , u datoteci s podacima o krivulji se najprije mora nalaziti broj točaka, te zatim u zasebnim recima koordinate (wl,t) te krivulje.
0 ( ,wl wl x= 0)
Slika 2.4. Učitavanje krivulje iz datoteke Druga je mogućnost direktno zadavanje krivulje u programu IT-Claw. Postupak je sljedeći: odaberemo odgovarajuću krivulju, a zatim klikanje desnom tipkom miša u desnom prozoru radne okoline rezultira ponudom opcija vezanih uz grafički prikaz (Slika 2.5). Odabirom opcije Table View, ispod koordinatnog sustava će se pojaviti Grid kontrola (Slika 2.6).
Slika 2.5. Ponuđeni meni kod grafičkog prikaza krivulja Desnim klikom u području grid kontrole, omogućuje nam se unos novih redaka (Slika 2.6), u koje možemo zatim unijeti koordinate točaka promatrane krivulje, te je na taj način definirati.
Slika 2.6. Unos novih redaka u Grid kontroli i zadavanje krivua
Svaki od elemenata modela ima svoja svojstva. Ta se svojstva mogu miša na odabrani element u kontrolnom stablu (Slika 2.7). List svojstavačetiri stranice i to s: općim podacima (General), fizikalnim svojstvima (proračunskim podacima (Computation) i podaci o početnim uvjetima (Innekih elemenata su pojedini stranice bez odgovarajućih podataka, što je Na preostalim stranicama će zadavanje svojstava koje je potrebno defnastavku.
Slika 2.7. Opća svojstva kanala
Grid kontrol
ljedobiti desnim klikom svakog elementa ima Physical Properties), itial Condition). Kod
na njima i naznačeno. inirati biti opisano u
Na prvoj se stranici svojstava kanala pojavljuju se njegova opća svojstva koja moguće mijenjati, a to su: ime-ID elementa, te uzvodne i nizvodne veze. Dalje, stranice s fizikalnim svojstvima i početnim uvjetima vezanima uz kanal nemaju odgovarajućih podataka. Na stranici s podacima o proračunu (Computation) (Slika 2.8) se zadaje domena proračuna i prostorni korak odnosno numerička mreža konačnih razlika, koja je potrebna za provođenje numeričkih proračuna. Unosimo lokacije prve i zadnje ćelije numeričke domene, biramo vrstu mreže – uniformnu ili neuniformnu, te odabiremo prostorni korak ukoliko je mreža uniformna, odnosno ako je odabrana neuniformna mreža istu definiramo tako da odaberemo element Finite Difference Mesh, te pomoću Grid kontrole definiramo proračunske točke u kanalu.
Prva i zadnja ćelija proračunske domene
Širina prostornog koraka
Slika 2.8. Zadavanje proračunske domene i numeričke mreže Rubni uvjet protoka (Discharge BC)
Element rubnog uvjeta protoka dodaje se na početak ili kraj kanala. Pritom se, kao i kod dodavanja kanala, nakon odabira odgovarajućeg elementa u Build Add meniju (Build+Add+Discharge BC...), pojavi dialog box pomoću kojega se daje ime (ID) postavljenom rubnom uvjetu te definiraju njegove uzvodne i nizvodne veze (Slika 2.9).
Slika 2.9. Dialog box kod dodavanja rubnog uvjeta protoka
Dodani se rubni uvjet zatim pojavljuje u kontrolnom stablu prikazanom u lijevom prozoru radne okoline (Slika 2.10).
Element rubnog uvjeta protoka
Slika 2.10. Kontrolno stablo s dodanim rubnim uvjetom protoka Model rubnog uvjeta protoka sastoji se u definiranju hidrograma – ovisnosti protoka o vremenu, tj. krivulje . Da bi se, dakle, u programu IT-Claw rubni uvjet protoka u potpunosti zadao, potrebno je definirati krivulju
( )Q Q t=( )Q Q t= , na način kao što je to prije opisano
kod potpoglavlja o zadavanju krivulja. Na početnoj se stranici liste svojstava za rubni element protoka, kao i kod kanala pojavljuju njegovi opći podaci (Slika 2.11), dok se na ostalim stranicama ne može ništa mijenjati.
Slika 2.11. Svojstva rubnog uvjeta protoka Rubni uvjet razine vode (Water Level BC) Posljednji element koji se pojavljuje u modelu plitkih voda jest rubni uvjet razine vode. Kao i kod prethodno opisanih elemenata, kod njegovoh se dodavanja (Build+Add+Water Level BC...), pojavljuje odgovarajući dialog box (Slika 2.12), kao i pripadni element u kontrolnom
stablu. Ovaj je rubni uvjet u potupunosti definiran zadavanjem krivulje ( )H H t= , tj. razine vode u ovisnosti o vremenu. Postupak zadavanja ove krivulje jednak je kao i kod prethodnih krivulja.
Slika 2.12. Dialog box kod dodavanja rubnog uvjeta razine vode.
Projekt plitkih voda Nakon unosa svih željenih elemenata kojim modeliramo određeni vodotok, potrebno je na kraju namjestiti odgovarajuće parametre koji su zajednički svim komponentama koje promatrani projekt sastavljaju, a potrebne su za provođenje numeričkih proračuna. Ti su podaci sadržani na listu svojstava baznog elementa projekta (Slika 2.13). Prva, opća stranica sadrži samo podatke o imenu projekta te uzvodnim i nizvodnim vezama kojih ovdje nema. Dalje, na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) se pojavljuje parametar Dry Elevation koji predstavlja numeričku granicu kojom definiramo rub između suhe i mokre domene. Potrebno ga je definirati zbog osjetljivosti numeričkog proračuna, a da bi izbjegli dijeljenje s nulom. Možemo uzeti npr. 0,01. Osim toga, na stranici Computation potrebno je namjestiti ostale proračunske parametre, tj. odabrati numeričku shemu, njezine parametre i proračunski korak, te prije pokretanja proračuna kreirati projekt. Međutim, kako je taj postupak jednak kod svih modela u programu IT-Claw, spomenuti će postupak biti opisan u zasebnom poglavlju na kraju ovih uputa.
Slika 2.13. Fizikalna svojstva projekta modela plitkih voda
Kao što smo u uvodu već spomenuli, naša se radna okolina sastoji od više listova. Do sada smo promatrali list Data View u kojem nam je bio omogućen unos i definiranje parametara vezanih uz projekt. Rezultate numeričkog proračuna promatrati ćemo na listu Results View. List Time View ima isti izgled za sve ponuđene modele, stoga će biti prikazan u posljednjem poglavlju, dok je list Net View s grafičkim prikazom mreže elemenata od kojih je promatrani projekt plitkih voda sastavljen prikazan na Slici 2.14.
Slika 2.14. List Net View projekta modela plitkih voda
3. Eulerov model strujanja kompresibilnog fluida (Euler) Kod modeliranja nestacionarnog strujanja kompresibilnog fluida u cijevima na raspolaganju imamo element (Slika 3.1): Euler PDE... - za modeliranje jednodimenzionalnog strujanja plina. Za elemente Subsonic Inflow... - za modeliranje rubnog uvjeta podkritičnog ulaza i Subsonic Outflow... - za modeliranje rubnog uvjeta podkritičnog izlaza je u ovoj fazi samo pripremljeno grafičko sučelje. Odgovarajući će modeli biti dodani u program u sljedećim fazama razvoja programa IT-Claw.
Slika 3.1. Elementi kod Eulerovog modela Euler PDE Jednodimenzionalni model strujanja plina temelji se na Eulerovim jednadžbama
( ) 0vt xρ ρ∂ ∂+ =
∂ ∂
2( ) (( )) 0v v pt xρ ρ∂ ∂
+ + =∂ ∂
(( ) ) 0E E p vt x
∂ ∂+ + =
∂ ∂
Ovdje je: ρ - gustoća plina, p - tlak u cijevi, v - brzina, x - prostorna koordinata, m vρ= je protok kroz cijev i E – totalna energija. Totalna energija E se obično dijeli u dva dijela
212
E e vρ ρ= + ,
gdje je 212
vρ kinetička, a eρ unutarnja energija. je specifična unutarnja energija. U
Eulerovim jednadžbama se pretpostavlja
e
( , )e e pρ= . To je zapravo jednadžba stanja plina, koja ovisi o plinu koji se promatra. Nakon dodavanja modela koji opisuje strujanje plina, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 3.2). Pripadajuće karakteristike ovog modela koje je potrebno zadati su početni uvjeti: početna gustoća 0 ( ,0)xρ ρ= , početni protok m m i početni tlak . Navedene se veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka cijevi
0 ( ,0)x=)
)0 ( ,0p p x=
(0,x L∈ . Za površinu poprečnog presjeka cijevi ( )A A x= se u ugrađenom modelu Eulerovih jednadžbi pretpostavlja da je konstantna duž cijevi, te je nije moguće mijenjati.
Karakteristike Eulerovog modela
Slika 3.2. Element EulerPDE u kontrolnom stablu projekta
List svojstava elementa EulerPDE, ima na svojoj prvoj stranici općenite podatke o elementu, stranica fizikalnih svojstava nema odgovarajućih podataka, što je na njoj i naznačeno (Slika 3.3), a isto vrijedi i za stranicu početnih uvjeta.
Slika 3.3. Stranica fizikalnih svojstava elementa EulerPDE nema dostupnih podataka Stranica Computation jednaka je kao i kod elementa kanala u modelu plitkih voda (Slika 2.8), a za namještanje proračunskih parametara možemo slijediti tamo opisani postupak.
Projekt - Eulerov model Nakon unosa svih željenih elemenata kojim modeliramo strujanje plina u cijevi potrebno je još definirati parametre koji su zajednički svim komponentama koje promatrani projekt sastavljaju, a potrebne su za provođenje numeričkih proračuna. Kao i kod modela plitkih voda i ovdje su odgovarajući podaci sadržani na listu svojstava baznog elementa projekta. Na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) je potrebno definirati parametar gamma kojim se određuju karakteristike promatranog plina (Slika 3.4). Namještanje proračunskih parametara na stranici Computation opisano je u zasebnom poglavlju.
Slika 3.4. Fizikalna svojstva projekta Eulerovog modela
4. Model linearne akustike (Linear Acoustics) Kod modeliranja problema linearne akustike na raspolaganju imamo sljedeće elemente (Slika 4.1): Linear Acoustics PDE... - za modeliranje linearne akustike i Pulse... - kojim se modelira rubni uvjet pulsa.
Slika 4.1. Elementi kod modela linearne akustike
Linearna akustika PDE (Linear Acoustics PDE) Jednodimenzionalni model elastičnih valova u štapu temelji se na sustavu jednadžbi
( ) ( ) du ut x dxρε ρρ∂ ∂
+ − = −∂ ∂
( ) ( )ut x
0ρ σ∂ ∂+ − =
∂ ∂.
Varijable sustava su deformacija ( , )x tε ε= (eng. strain) (ili ( , )p p x t= ) i brzina . Dalje je
( , )u u x t=( )xρ ρ= gustoća štapa, dok je
( , )xσ σ ε= naprezanje (eng. stress). Također vrijedi p σ= − . U specijalnom slučaju, kada je veza između deformacije i naprezanja linearna, govorimo o linearnoj akustici. U programu IT-Claw se model linearne akustike temelji na relaciji:
( , )x Kσ ε ε= , gdje je ( )K K x= modul kompresibilnosti (eng. bulk modulus of compressibility). Brzina širenja kompresibilnih valova kod linearne akustike jednaka je
Kcρ
=
i ne ovisi o vrijednosti varijabli, već samo o svojstvima štapa. Veličinu Z cρ=
nazivamo impendancija. Nakon dodavanja elementa u projekt, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 4.2). Pripadajuće karakteristike ovog modela koje je potrebno zadati su početni uvjeti: početna deformacija 0 ( ,0)xε ε= (ili početni tlak 0 ( ,0p p x )= ) i početna brzina , te impendanciju
0 ( ,0v v x= )( )Z Z x= i brzinu širenja kompresibilnih valova ( )c c x= duž medija u
kojem se linearna akustika modelira. Navedene se veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka domene . ( )Lx ,0∈
Karakteristike modela linearne akustike
Slika 4.2. Element linearne akustike u kontrolnom stablu projekta
Kao i ostali elementi, list svojstava elementa LinearAcousticsPDE, ima na svojoj prvoj stranici općenite podatke o elementu, dok stranice fizikalnih svojstava i početnih uvjeta nemaju odgovarajućih podataka. Stranica Computation jednaka je kao i kod ostalih elemenata u prethodnim poglavljima (kanal i EulerPDE) koji se temelje na hiperboličkim zakonima očuvanja. Puls (Pulse) Od rubnih uvjeta ovdje nam je na raspolaganju rubni uvjet pulsa, koji se definira zadavanjem brzine u ovisnosti o vremenu t, tj. krivulje ( )v v t= . Zadavanjem takve krivulje na početku numeričke domene, tom krivuljom definirani poremećaj se unosi u numeričku domenu. Napredovanje zadanog poremećaja duž proračunske domene modelirano je jednadžbama linearne akustike.
Projekt linearne akustike Kod modela linearne je na listu svojstava baznog elementa projektapotrebno jedino definirati proračunske parametre na stranici Computation.
5. Allievijev model strujanja tekućine u cijevima (Allievi1d) Kod izgradnje novog projekta, prvi bazni element tipa Allievi1d je korijen kontrolnog stabla projekta. Na njega se zatim nadograđuju ostali elementi koji služe za modeliranje strujanja tekućine u cijevima, a nalaze se u Build+Add meniju (Slika 5.1). U ovoj fazi izvedbe programa na raspolaganju su sljedeći element: Pipe... - kojim se modelira jednodimenzionalno strujanje tekućine u cijevi, Reservoire... - za modeliranje spremnika, Junction... - za modeliranje spoja dviju cijevi, DischargeBC... - kojim se modelira rubni uvjet protoka. Ostali elementi koji su pripremljeni za ugradnju odgovarajućeg modela su: Surge Tank... - za modeliranje vodne komore, PressureBC... - za modeliranje rubnog uvjeta tlaka i End Valve... - za modeliranje zatvaranja ventila.
Slika 5.1. Elementi kod Allievijevog modela
Cijev (Pipe) Allievijev model strujanja tekućine u cijevima proizlazi iz direktne primjene zakona očuvanja mase i količine gibanja. Također, model ne pretpostavlja pojavu kavitacije i promjenu gustoće fluida uslijed promjene tlaka u cijevi. Konačni oblik Allievijevog modela može se zapisati u obliku
2
0p c Qt x A
ρ⎛ ⎞∂ ∂+ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
= ,
2Q QQ A p
t x DAλ
ρ⎛ ⎞∂ ∂
+ = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠.
Ovdje je: Q - volumni protok kroz cijev, p - tlak u cijevi,
A - površina poprečnog presjeka, D - promjer cijevi, L - duljina cijevi, x - prostorna koordinata (duž osi cijevi), ( )Lx ,0∈ , g - ubrzanje sile teže, ρ - gustoća tekućine, c - brzina zvuka i λ - koeficijent trenja. Izraz na desnoj strani jednadžbi naziva se izvorni član, a to je član kojim se modelira sila trenja. Brzina zvuka c je brzina kojom poremećaji (valovi) propagiraju kroz fluid. Za cijevi sa vrijedi ρ/Kc ≈ . Za jako fleksibilne stijenke cijevi, broj 1 u nazivniku postaje malen u
odnosu na ostale kvocijente u nazivniku i brojniku, ta tada vrijedi A pcAρ
∆≈
∆. Brzina zvuka
je time određena tekućinom i osobinama cjevovoda. Kod dodavanja modela cijevi (Build+Add+Pipe...) se najprije, kao i kod svih ostalih elemenata pojavljuje odgovarajući dialog, pomoću kojeg možemo definirati njegove uzvodne i nizvodne veze. Nakon dodavanja cijevi, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 5.2). Karakteristike cijevi koje je kod modeliranja potrebno zadati su: početni tlak odnosno piezometrička visina 0 ( ,0)H H x= i početni protok u cijevi (Slika 5.2). Navedene se veličine zadaju kao krivulje u ovisnosti o udaljenosti od početka cijevi
. Grafičko je sučelje pripremljeno i za mogućnost uključivanja promjenljive nadmorske visine cijevi (Pipebed), međutim, odgovarajući će model biti ugrađen u sljedećim fazama razvoja programa. Trenutno ugrađeni model pretpostavlja vodoravnu cijev.
0 ( ,0Q Q x= )
)( Lx ,0∈( )z z x=
Karakteristike cijevi kod Allievijevog modela
Slika 5.2. Element cijevi u kontrolnom stablu projekta
Kao i u svim prethodnim modelima list svojstava elementa cijevi ima četiri stranice. Na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) ovdje zadajemo brzinu zvuka c, koeficijent trenja λ i promjer cijevi D (Slika 5.3).
Slika 5.3. Zadavanje fizikalnih svojstava cijevi: brzine zvuka, koeficijenta trenja i promjera cijevi Na stranici Computation unosimo podatke vezane uz proračun (Slika 2.8). Standardno, na njoj se zadaje domena proračuna i prostorni korak odnosno proračunske točke mreže u ovisnosti o tome da li je odabrana uniformna ili neuniformna mreža. Svaki cjevovod pored cijevi sadržava čitav niz drugih dijelova: cijevi odvode ili dovode tekućinu iz spremnika, pomoću crpki povećava se protok, zatvaranjem i otvaranjem ventila regulira se strujanje tekućine, kod hidroelektrana na kraju cjevovoda su turbine, radi slabljenja hidrauličkih udara ugrađuju se vodne komore, zračne komore i razne vrste sigurnosnih ventila, postoje spojevi cijevi sa ili bez grananja, itd. U programu IT-Claw su neli od tih dijelova modelirani, a njihov je opis dan u nastavku. Svaki od njih ima svojstva i svoj utjecaj na strujanje tekućine na mjestu na kom se nalazi. Svaki promatrani dio cjevovoda ima barem jednu dovodnu ili odvodnu cijev. U tekstu koji slijedi veličine koje se odnose na dovodnu cijev označavaju se sa indeksom d, a veličine koje se odnose na odvodnu cijev označavaju se indeksom o. Spremnik (Reservoir) Spremnik je u cjevovodu početak ili kraj neke grane cjevovoda. Ako je cijev odvodna ili dovodna za spremnik vrijedi
20 00
0 2 20 0
( )2 2atm s s
Q QQp p g H H kA A
ρρρ= + − − −
gdje je patm atmosferski tlak, Hs = Hs(t) razina tekućine u spremniku, ρs gustoća tekućine u spremniku, k koeficijent gubitaka na izlazu iz spremnika. Simulacija spremnika u programu IT-Claw temelji se na numeričkom rješavanju gornje jednadžbe. Da bi se rubni uvjet spremnika zadao, u programu je potrebno je definirati krivulju Hs = Hs(t) (Slika 5.4).
Slika 5.4. Razina vode u spremniku Osim toga, na stranici fizikalnih svojstava spremnika potrebno je definirati koeficijent gubitaka (Losses Coefficient) na izlazu iz spremnika (Slika 5.5).
Slika 5.5. Zadavanje fizikalnih svojstava spremnika
Spoj cijevi (Junction)
Spoj cijevi je spoj jedne dovodne cijevi s jednom odvodnom cijevi. U programu IT-Claw je spoj cijevi modeliran tako da su uvažene sljedeće relacije. Tlak na spoju isti je za obje cijevi
pd = po =p, gdje je p tlak kod spoja cijevi, pd tlak na dovodnoj, a po tlak na odvodnoj cijevi, te je isto tako ulazni protok jednak izlaznom protoku
Qd = Qo.Element spoja cijevi se jednostavno dodaje u projekt pomoću Build Add menija (Build+Add+Junction...). Nakon toga je, naravno potrebno definirati pipadajuće uzvodne i nizvodne veze ovako dodanog elementa spoja (Slika 5.6). Nikakve dodatne parametre na spoju nije moguće namještati.
Slika 5.6 – Definiranje spoja dviju cijevi
Rubni uvjet protoka (Discharge BC)
Modeliranje nekog elementa u cjevovodu moguće je i pomoću izmjerenog ili pretpostavljenog protoka kao funkcije u pripadnoj točki cjevovoda. Kod ovakvog pristupa točka u kojoj je poznat protok, dakle i brzina tekućine, ili je početna točka odvodne cijevi, pa vrijedi:
Qo = Qo(t) ili završna točka cjevovoda, pa je
Qd = Qd(t). Element rubnog uvjeta protoka dodaje se, dakle, na početak ili kraj cijevi. Da bi se rubni uvjet protoka u programu IT-Claw, nakon njegovog dodavanja u projekt, u potpunosti zadao, potrebno je samo definirati protok u zavisnosti o vremenu t, tj. krivulju (Slika 5.7). ( )Q Q t=
Slika 5.7. Definiranje rubnog uvjeta protoka Projekt - Allievijev model Nakon unosa svih željenih elemenata kojim modeliramo određeni cjevovod, potrebno je na kraju namjestiti odgovarajuće parametre koji su zajednički svim komponentama koje promatrani projekt sastavljaju, a potrebne su za provođenje numeričkih proračuna. Kao i u prethodnim modelima, ti su podaci sadržani na listu svojstava baznog elementa projekta. Osim namještanja podataka potrebnih za provođenje numeričkih proračuna, koje je opisano u zasebnom poglavlju, na stranici fizikalnih svojstava (Physical Properties) je potrebno odrediti Atmosferski tlak i gustoću tekućine.
Slika 5.13. Određivanje fizikalnih svojstava kod Allievijevog modela
6. Model prometa (Traffic Flow) Kod modeliranja problema prometa na raspolaganju imamo samo element (Slika 6.1): Traffic Flow1d PDE... - za modeliranje prometa duž promatrane domene.
Slika 6.1. Elementi kod modela prometa Model prometa PDE (Traffic flow PDE) Jednodimenzionalni model prometa ugrađen u program IT-Claw temelji se na rješavanju sljedeće parcijalne diferencijalne jednadžbe hiperboličkog tipa:
( ) 0f
t xρ ρ∂ ∂+ =
∂ ∂ .
Funkcija fluksa je dana s
maxmax
( ) 1f v ρρ ρρ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Veličine i maxv maxρ predstavljaju maksimalnu brzinu i maksimalnu gustoću vozila u promatranom modelu. Brzina v vozila se dobije pomoću izraza
maxmax
1v v ρρ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Ovdje je - brzina, v ρ - gustoća. Nakon dodavanja elementa u projekt, u kontrolnom se stablu pojavi odgovarajući element (Slika 6.2). Da bi promatrani problem koji se modelira bio u potunosti definiran, potrebno je još zadati početni uvjet, tj. početnu gustoću 0( ,0) ( )x xρ ρ= .
Karakteristike modela prometa
Slika 6.2. Element prometa u kontrolnom stablu projekta
Fizikalna svojstva ovog modela su maksimalna brzina i maksimalna gustoća vozila. Definiranje tih parametara vrši se na stranici Physical Properties elementa TrafficFlow1dPDE (Slika 6.3). Stranica Computation, na kojoj se namještaju proračunski parametri, jednaka je kao i kod ostalih elemenata u prethodnim poglavljima .
Slika 6.3. Fizikalna svojstva elementa za modeliranje prometa
7. Namještanje proračunskih parametara i kreiranje projekta Kod svih je promatranih modela zajedničko da postoji početni bazni element na kojeg se nadovezuju ostali elementi projekta. Tip baznog elementa ovisi o promatranom modelu, pa se isto tako njegova fizikalna svojstva razlikuju od modela do modela. Za svaki od modela, namještanje parametara fizikalnih svojstava bilo je opisano u prethodnim poglavljima. Za razliku od toga, stranica Computation (Slika 7.1) na kojoj namještamo proračunske parametre jednaka je u svim promatranim modelima. Na njoj odabiremo numeričku shemu koju ćemo tijekom proračuna koristiti, limiter – ako je odabrana shema koja limiter funkciju koristi, vremenski, prostorni red i red rekonstrukcije varijable – kod numeričkih shema kod kojih je to moguće, vremenski korak dt (koji se koristi samo u prvom koraku proračuna) i CFL-koeficijent. Korištenje balansirane inačice numeričkih shema ovdje nije moguće, već će biti omogućeno u daljnjim fazama razvoja programa. Isto tako moramo spomenuti da kod trenutno ugrađenih numeričkih shema namještanje vremenskog, prostornog i reda rekonstrukcije varijable nije moguće.
Slika 7.1. Zadavanje proračunskih parametara
U programu IT-Claw imamo mogućnost odabira između Q-sheme prvog reda i fluks limitirane Hubbardove sheme (Slika 7.2).
Slika 7.2. Odabir numeričke sheme
U svim se modelima koji su na raspolaganju u programu IT-Claw, njima pripadajuće jednadžbe mogu zapisati u vektorskom obliku
( )t x
∂ ∂+ =
∂ ∂u f u g .
Ovdje je u vektor stanja (sačuvanih veličina), f je vektor fluksa, a g je vektor izvornog člana. Za tako zapisane jednadžbe formulacija promatranih numeričkih shema glasi:
( ) ni
ni
ni
ni
ni t
xt gffuu ∆+−
∆∆
−= −++
2/12/11 ,
( ) ( ) ( )11/ 2 1 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1
1 1 12 2 2
n n n n n n n ni i i i i i i i i i i i
tx
−+ + + + + + + + + +
∆⎛ ⎞= + − − + − −⎜ ⎟∆⎝ ⎠f f f Q u u R Λ Φ I Λ R u ui
U gornjim se izrazima podindeksi se odnose na prostornu, a nadindeksi na vremensku diskretizaciju. Točnije, podindeks i znači srednju vrijednost neke veličine u i-toj ćeliji
, , a podindeks i+1/2 vrijednost neke veličine na mjestu , gdje je
[ ]2/12/1 , +− ii xx Ni ,,0 K=xixi ∆+=+ )2/1(2/1 x∆ prostorni korak. Nadindeks n znači da je neka veličina
evaluirana u trenutku , tnt n ∆= K,2,1,0=n , gdje je t∆ vremenski korak. Član je
aproksimacija izvornog člana u i-toj ćeliji. Dalje je matrica numerička aproksimacija
Jacobijeve matrice fluksa
nig
ni 2/1+Q
∂=∂
fAu
, pri čemu vrijedi dekompozicija 1−= ⋅ ⋅A R Λ R , gdje je R
matrica desnih svojstvenih vrijednosti, dok je Λ dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti. Također vrijedi
1−= ⋅ ⋅A R Λ R ,
pa je 1/ 2ni+Q numerička aproksimacija matrice A . Dalje je matrica definirana s 2/1+iΦ
( )
( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
+
+
+)(
2/1
)1(2/1
2/1
0
0
mi
i
i
ϑϕ
ϑϕOΦ ,
gdje je ( )( )( )( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
−
<−
−
=
+++
+−+
+++
+++
+
0 if
0 if
)(/)(
2/11
)(2/111
)(/)(
2/11
)(2/112
)(2/1
pp
iii
piii
pp
iii
piii
pi
21i
21i
luuluu
luuluu
λ
λϑ , mp ,,1K= ,
dok je ϕ neka od standardnih limiter funkcija. Kod fluks limitirane Hubbardove shema moguće birati između: minmod, Superbee, Van Leer, Van Albada i UNO limiter funkcije [1] (Slika 7.3).
Slika 7.3. Odabir fluks limitera
Kako su obje numeričke sheme eksplicitne, iz teorije hiperboličkih zakona očuvanja je poznato da je CFL koeficijent pozitivan broj manji od 1, tj.
0 1cflc< ≤ . Ukoliko odaberemo broj veći od 1, može se dogoditi da dobijemo potpuno krive rezultate numeričkog proračuna, odnosno da program nije u mogućnosti provesti proračun. Nakon namještanja svih potrebnih parametara, projekt je u konačnici potrebno kreirati. To učinimo odabirom opcije Create... u Build meniju (Slika 7.4) ili klikom na odgovarajuću ikonicu.
Slika 7.4. Kreiranje projekta
Ako su svi parametri zadani projekt će biti uspješno kreiran, dok će se u suprotnom pojaviti popis grešaka i upozorenja koje je potrebno korigirati za ispravno zadavanje projekta (Slika 7.5).
Slika 7.5. Popis grešaka i upozorenja
Nakon uspješnog kreiranja projekta, možemo pristupiti numeričkom proračunu. Numerički proračun pokreće se odabirom opcije Compute u Action meniju ili klikom na odgovarajuću ikonu. No prije toga je potrebno unijeti vrijeme do kojeg želimo dobiti rezultate proračuna (Slika 7.6).
Slika 7.6. Pokretanje numerič Kao što smo već spomenuli, rezultate u obliku grafoView (Slika 7.7).
Slika 7.7. List Results
Različite mogućnosti pogleda grafova, različite skalekorištenjem opcija koje su smještene u View meniju7.8).
Slika 7.8. Alat za uređivan
Vrijeme numeričkogproračuna
kog proračuna
va možemo promatrati na listu Results
View
, zoomiranja i slično možemo mijenjati ili na odgovarajućoj alatnoj traci (Slika
Alatna traka za uređivanje grafova
je grafova
Za spremanje stanja u određenom trenutku proračuna možemo koristiti opciju Save State, koja je smještena pokraj ikonice Compute. Isto tako postoji mogućnost automatskog snimanja stanja u određenim vremenskim trenucima. Navedena se opcija može namjestiti u Tools meniju odabirom akcije Options te zatim uključivanjem automatskog snimanja (Automatically Save State) na listu Save Import (Slika 7.9). Ovdje se može odabrati broj vremenskih koraka između snimanja dvaju susjednih stanja.
Slika 7.9. Namještanje snimanja stanja numeričkog proračuna (Tools+Options...)
Na listu Animate na promatranoj stranici s opcijama, može se namjestiti brzina animacije stanja ako postoje spremljena proračunska stanja, dok na stranici Project Description korisnik može unijeti vlastite komentare vezane uz izrađeni projekt. Kao što smo već prije spomenuli, pregled spremljenih stanja nalazi se na listu Time View lijevog prozora radne okoline (Slika 7.10).
Slika 7.10. List Time View – pregled vremenskih trenutaka sa snimljenim proračunskim stanjima
8. Opis ponuđenih projekata Model plitkih voda Dam Break Test pucanja brane je jedan od standardnih test primjera za provjeru brzine širenja poremećaja i testiranje šok hvatajućih svojstava numeričke sheme. U ovom se testu pretpostavlja da je dno kanala ravno, te da je Manningov koeficijent trenja jednak nuli. Dalje pretpostavimo da je duljina kanala jednaka 1, da voda u početku miruje, što znači da je početna brzina jednaka nuli, dok je početna dubina odnosno razina vode dana s
1, 0.5,( ,0)
0.5, 0.5x
h xx<⎧
= ⎨ >⎩ (Slika 8.1).
Slika 8.1. Početna dubina vode u test primjeru pucanja brane
Ovakvo postavljenim modelom se zapravo pretpostavlja da u točki 0.5x = postoji brana. S lijeve strane brane je rezervoar u kojem je dubina vode jednaka 1, dok je s njezine desne strane dubina jednaka nula. Početak numeričkog proračuna zapravo znači trenutni nestanak brane, a rezultati u sljedećim vremenskim trenucima predstavljaju poremećaj koji nakon toga nastane. Taj se poremećaj širi u oba smjera: ulijevo se širi val razrjeđenja, dok udesno putuje šok val. Analitičko rješenje za ovaj test primjer je poznato i može se naći npr. u [1]. Na ovom se testu mogu usporediti rezultati dobiveni Q-shemom prvog reda i fluks limitiranom shemom koja je u području glatkih rješenja drugog reda. Isto tako, moći će se uočiti razlika između rezultata dobivenih s različitim CFL-koeficijentima, odnosno rezultata dobivenih korištenjem različitih prostornih koraka.
LeVeque Puls LeVeque je ovaj test predložio za testiranje mogućnosti numeričke sheme da prati male poremećaje. U ovom je testu dno kanala također ravno, Manningov koeficijent trenja je jednak nuli, početna brzina je jednaka nuli, dok je početna dubina vode
1, 1.1 i 1.2,( ,0)
1.2, 1.1 1.2x x
h xx
< >⎧= ⎨ ≤ ≤⎩
(Slika 8.2).
Slika 8.2. Početna dubina vode u LeVequovom test primjeru
Eulerov model ShockTube Ovo je također jedan od standardnih test primjera za kojeg postoji analitičko rješenje, pa stoga služi za testiranje numeričkih shema. Postavljeni je problem početni, pri čemu su početna gustoća i početni tlak u cijevi dani s
1, 0( ,0)
0.125, 0x
xx
ρ<⎧
= ⎨ >⎩,
1, 0( ,0)
0.1, 0x
p xx<⎧
= ⎨ >⎩,
dok je početni maseni protok ( ,0) 0m x = . Promatrana je cijev konstantnog poprečnog presjeka. Poremećaj koji nastane možemo pratiti samo do trenutka kada dođe do ruba numeričke domene. Ukoliko želimo poremećaj u nekom kasnijem vremenskom trenutku, numeričku domenu moramo povećati. Kao i u prethodnim primjerima predlaže se usporedba i praćenje rezultata dobivenim s različitim numeričkim shemama, CFL koeficijentima, i različitim prostornim koracima.
Model linearne akustike Linear Acoustics 1,2,3 Sva tri ponuđena test primjera linearne akustike su početni problemi tj. nema rubnih uvjeta. Testovi su slični, pri čemu su u prva dva testa početni uvjeti, kao i gustoća materijala i modul kompresibilnosti glatke funkcije, dok se u trećem testu pojavljuju skokovi. U sva tri test primjera su početni uvjeti dani s
( )7 3 cos 10 4 , 0.4 0.6( ,0) 4 4
0,
x xx
inače
π πσ
⎧− + − < <⎪= ⎨⎪⎩
i . ( ,0) 0u x =
Brzina širenja valova i impendancija su definirane s: Test 1
( ) 1 0.5sin(10 )c x xπ= + i ( ) 1Z x = .
Test 2 ( ) 1 0.5sin(10 )c x xπ= + i ( ) 1 0.25cos(10 )Z x xπ= + .
Iz izraza za brzinu širenja valova i početnu tlačnu silu, može se dobiti izraz za početnu deformaciju 0 ( ,0)xε ε= , čija je pripadajuća krivulja za Test 1 prikazana na Slici 8.3. Isto se tako iz izraza za i ( )c x ( )Z x može odrediti ( )xρ .
Slika 8.3. Početni uvjet u testu LinearAcoustics 1
Test 3. U trećem su testu brzina širenja poremećaja i impendancija dane s
0.6, 0.35 0.65( )
2,x
c xinače
< <⎧= ⎨⎩
i . 6, 0.35 0.65
( )2,
xZ x
inače< <⎧
= ⎨⎩
Početna deformacije 0 ( ,0)xε ε= , koja se može iz navedenih izraza izračunati, prikazana je na Slici 8.4.
Slika 8.4. Početni uvjet u testu LinearAcoustics 3
Allievijev model Ideal Water hammer Promatrani se sustav sastoji od horizontalne cijevi konstantnog presjeka, koja izlazi iz spremnika. Ventil je smješten na udaljenosti L od spremnika (Slika 8.5). Pretpostavimo da je sila trenja u sustavu zanemariva. Hidraulički udar (water hammer) u sustavu nastane naglim zatvaranjem ventila.
Slika 8.5. Sustav za Ideal Water hammer test
Za modeliranje opisanog sustava potrebno je ispravno postaviti početne i rubne uvjete, što je u danom test primjeru i učinjeno. Model je sastavljen od rubnog uvjeta spremnika, koji je definiran s razinom vode u njemu, cijevi, te rubnog uvjeta poznatog protoka, pomoću kojeg simuliramo rubni uvjet ventila (Slika 8.6).
Slika 8.6. Elementi od kojih je sastavljen test Ideal Water hammer Početni uvjeti u cijevi su početni tlak (ili piezometrička visina) i početni protok. Ovdje je početni tlak ( ,0) 3000p x kPa= , dok je početni protok . Spremnik je modeliran kao rubni uvjet s konstantnim tlakom odnosno razinom vode na uzvodnom kraju cijevi tj.
3( ,0) 1 /Q x m s=
( ) 30H t = m
,
, dok je zatvaranje ventila modelirano trenutnim reduciranjem protoka na nulu tj.
3
3
1 / , 0( )
0 / , 0m s t
Q tm s t
⎧ <⎪= ⎨≥⎪⎩
na nizvodnom kraju cijevi. Ovdje se mogu promatrati rješenja u različitim vremenskim trenucima, za različite numeričke sheme, CFL koeficijent i prostorni korak.
HE Vinodol U ponuđenom je projektu modeliran sustav hidroelektrane vinodol. Možemo uočiti da model sastavljaju različiti elementi kojima se modelira utjecaj pojedinih elemenata u sustavu kao što su: spremnici, cijevi, spojevi cijevi, i turbina, koja je modelirana kao rubni uvjet poznatog protoka (Slika 8.7). Pokretanjem proračuna možemo promatrati promjene koje će nastati za postavljene parametre u projektu, ali isto tako možemo promjenom različitih parametara pratiti njihov utjecaj na cjelokupni modelirani sustav.
Slika 8. 7. Model HE Vinodol
Model prometa Traffic Ovdje se radi o početnom problemu, u kojem pretpostavimo da je početna gustoća vozila jednaka
10, 50( ,0)
3, 50x
xx
ρ<⎧
= ⎨ >⎩ (Slika 8.8).
Isto je tako pretpostavljeno da je maksimalna gustoća vozila max 10ρ = , te maksimalna dopuštena brzina max 10v = . Tako postavljen problem odgovara gužvi na semaforu koji je postavljen u točki , pa je stoga gustoća vozila na semaforu maksimalna, dok je promet nakon semafora prorijeđen. Početak proračuna u ovako postavljenom modelu odgovara simulaciji otvaranja zelenog svijetla na semaforu. Praćenjem rezultata proračuna možemo promatrati na koji se način pokreću vozila koja se nalaze iza semafora te gustoću prometa u sljedećim vremenskim trenucima.
50x =
Slika 8.8. Početna gustoća u testu Traffic
LITERATURA [1] LeVeque R., Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
