Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai

filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą. Skaitmeninia filtrai ypač paplitę tokiose srityse kaip:

• Audio signalų apdorojimas • Kalbos signalų apdorojimas (atpažinimas, suspaudimas, atkūrimas) • Skaitmeninio ryšio realizacija (modemai) • Elektros variklių valdymas • Vaizdų perdavimas ir apdorojimas

Istoriškai elektroninių įrenginių projektuotojai filtrus projektuodavo naudodami tokius analoginius elementus kaip varžos, kondesatoriai, induktyvinės ritės ir operaciniai stiprintuvai. Analoginių filtrų sabybės yra šios:

• Analoginiai komponentai pigūs • Plačios galimų dažnių ir amplitudžių ribos • Apdorojimas vyksta realiame laike • Žemas varžų ir kondenstatorių temperatūrinis stabilumas • Sunku rasti analoginius komponentus, turinčius paskaičiuotų reikšmių nominalus

Po 1980 metų atsirado Sigtanalų Apdorojimo Procesoriai (DSP) ir atsirado alternatyva: filtrų realizacijai pasirinkti DSP. O paskutiniais 10 metų yra galimybė rinktis tarp

• bedros paskirties DSP • loginių elementų matricos

Skaitmeninų filtrų savybės yra šios • Statesnė amplitudinė – dažninė charakteristika • Tai perprogramuojami filtrai. Filtro charakteristikos gali būti keičiamos nekeičiant aparatūros • Filtrų projektavimo programinė įranga leidžia modeliuoti filtro elgseną prieš jo aparatūrinę

realizaciją. • Filtro charakteristikos neprikaluso nuo palinkos sąlygų • Sudėtingi filtrai glai būti realizuoti mažesnėmis sąnaudomis nei analoginiai filtrai

Taikant filtrus sprendžiami du pagrindinia uždaviniai: 1) Skirtingo dažnio signalų atskyrimas jei jie buvo įtakoti:

• triukšmo • interferencijos • kitų signalų

2) signalų atkūrimas jei jie kokiu nors būdu buvo išgadinti

Signalų atskyrimas reikalingas tada, kai duomenys esantys siganale yra užgožiami kitų, informacijos nenešančių signalų. Pavyzdžiui, norint užrašyti kūdikio elektrokardiogaramą, reikalinga atskirti motinos kardiogramos signalą nuo kūdikio kardiogramos. Signalų atkūrimui filtrai naudojami, kai dėl kokių nors priežasčių siganlas išagdinamas. Pavyzdžiui, jei garso įrašas padarytas blogos kokybės aparatūra, tai filtravimas gali būti panaudotas geresniam garso atkūrimui.

Skaitmeninis filtras

Bet kuris tiesinis filtras gali būti aprašytas: • vienetinio impulso perdavimo funkcija VIPF (Impulse response) • žingsnio signalo perdavimo funkcija (Step reponse) • amplitudine–dažnine charakteristika (Frequency response)

Kiekviena iš paminėtų funkcijų pateikia visą informaciją apie filtro savybes, tačiau skirtingomis formomis. Jei nors viena iš šių funkcijų žinoma, tai kitos gali būti paskaičiuotos. Kiekviena iš funkcijų svarbi, nes aprašo filtro elgseną skirtingomos sąlygomis.

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.

Filtrų projektavimas

Vienas iš paprasčiausių filtro realizvimo būdų – įėjimo signalo ir filtro vienetinio impulso perdavimo funkcija (VIPF) sąsukos skaičiavimas. Visi tiesiniai filtrai gali būti sudaryti taikant sąsukos operaciją. Filtro, realizuoto taikant sąsukos operaciją, VIPF vadinama filtro branduoliu (Filter kernel).

Kitas būdas filtrui sudaryti – taikyti rekursiją. Šiuo atveju filtro išėjimo reikšmei gauti, be įėjimo signalo reikšmių reikalingos prieš tai paskaičiuotos išėjimo reikšmės. Kaip ir visi tiesiniai filtrai, filtras sudarytas taikant rekursiją, turi VIPF. Kai į rekursinio filtro įėjimą paduodamas vienetinis imulsas, jo išėjime gaunmas begalo ilgas sinuso formos signalas, su eksponentiškai mažėjančia amplitude. Toks filtras vadinamas filtru su begaline VIPF (IIR – Infinite Impulse Response).

Filtro amplitudinę–dažninę ch-ką galimą vaizduoti tiesinėje (Pav1_c) arba logaritminėje (Pav1_d) skalėje. Tiesinė skalė patogesnė kai norima pavaizuoti pralaidos juostos bangeles ir perėjimo juostos plotį. Logaritminė skailė patogesnė, kai norima pavaizuoti slopinimą užtvaros juostoje.

Decibelai

Belas reiškia, kad energija pasikeitė 10 kartų. Pavyzdžiui stiprintuvo išėjime, kurio stiprinimo koeficientas yra 3 belai, gaunamas 10×10×10=1000 kartų didesnės galios signalas nei įėjimo signalas. Decibelas (dB) – tai dešimtoji belo dalis. Todėl reikšmės: -20dB, -10dB, 0dB, 10dB ir 20dB reiškia įėjimo signalo ir išėjimo signalo galių santykį, kuris, sekant pateiktomis reikšmėmis, lygus: 0.01, 0.1, 1, 10 ir 100. Kitais žodžiais tariant, 10dB reiškia galios pokytį 10 kartų.

Dažnai norisi operuoti signalo amplitude, o ne jo galia. Įsivaizduokime stiprintuvą, kurio stitprinimas lyugus 20dB. Tai reikštų, kad signalo galia sustiprinama 100 kartų. Kadangi amplitudė proporcinga galia , tai toks stiprintuvas signalo amplitudę stiprina 10100 = kartų. Vadinasi, stiprintuvo stiprinimui padidėjus 20dB, 40dB, 60db amplitudės stiprinimas atitinkamai padidėja 10, 100, 1000 kartų. Matematiškai tai užrašoma taip:

in

out

AA

dB 10log20=

čia –signalo amplitudė išėjime, – signalo amplitudė įėjime outA inAKalbat apie galios stiprinimą, užrašoma tokia formulė:

in

out

PP

dB 10log10=

čia – išėjimo signalo galia, – įėjimo signalo galia. outP inPReikėtų atsiminti, kad -3dB atitinka signalo amplitudės sumažėjimą 0.707 karto.

Kaip duomenys vaizduojami signle Sprendžiant bet kokį DSP uždavinį svarbu suprasti kaip duomens koduojami signale. Tokio

kodavimo būdų yra ne vienas, ypač jei tuos duomenis koduoja žmogus. Duomenų kodavimo pavyzdžiu gali būti amplitudinė moduliacija, dažnuminė moduliacija, fazinė moduliacija ir t.t. Nežiūrint į kodavimo būdų įvairovę, visus juo galime sudalinti į dvi dalis: duomenų kodavimas dažnių srityje ir duomenų kodavimas laiko srityje.

Laiko srtyje duomenys dažniausiai koduojami siganalo amplitude, jo trukmė ir signalo amplitudės pokyčio momentu. Iš signalo laiko srities charakteristikų pokyčių tiesiogiai gaunami duomenys apie stebimą reiškinį. Pavyzdžiui, kas sekundę matuojant saulės šviesos intensyvumą, kiekviena matavimo reikšmė pasako momentinę šviesos intensyvumo amplitudę. Jei tuo metu stebimas saulės blyksnis, tai signalas tiesiogiai suteikia duomenų apie įvykio pradžią, trukmę ir jo intensyvumą. Laiko srityje turėdami nors vieną siganlo reikšmę jau galime kažką pasakyti apie stebimą procesą.

Signalo charakteristikos dažnio srityje netiesiogiai suteikia duomenų apie stebimą reiškinį. Jei siganlas – vyno taurės skambtelėjimas ar stygos svyravimas, tai šių siganalų svyravimo dažnis, fazė ir amplitudė netiesiogiai suteikia duomenų apie sistemą kurioje šie procesai vyksta. Pavyzdžiui vyno taurės sienelių virpėjimo pagrindinės harmonikos dažnis priklauso nuo sienelės masės ir stiklo tamprumo. Dažnių srityje viena charakteristikos reikšmė nieko nepasako apie procesą (priešingai nei laiko srities charakteristikos reikšmė). Dažnio srityje informaciją neša charakteristikos reikšmių tarpusavio santykis. Žingsnio perdavimo funkcija pasako kaip sistema pakeičia duomenis vaizduojamus laiko srityje. Amplitudinė_dažninė charakteristika pasako kaip sisitema pakeičia duomenis vaizduojamus dažnio srityje.

Filtras turintis puikias savybes laiko srityje, kaip taisyklė, turės prastas savybes dažnių srityje. Neįmanoma sudaryti filtro turinčio optimalias charakteristikas tiek laiko tiek dažnio srityse.

Filtro laikinės charakteristikos Filtro laikinės charakteristikos nustatomos iš žingsnio signalo perdavimo funkcijos (Pav2).

Pav.2 Filtrų laikinių charakteristikų vertinimas. Pagal atsaką į žingsnio signalą yra vertinamos filtro laikinės charakteristikos. Trys svarbiausi laiko parametrai: (1) reakcijos laikas a ir b, (2) pereinamojo proceso amplitudė c ir d, (3) kylančio fronto simetriškumas jo vidurio atžvilgiu e ir f

Tyrinėjant signalą laiko srityje galime pastebėti, kad signalas gali būti dalinamas į atskiras atkarpas: vienoje laiko atkarpoje signalas gali būti glodus, o kitoje jo reikšmės gali staigiai keistis.

Signalo forma bėgant laikui keičiasi. Vienoje laiko atkarpoje signalas gali būti glodus, o kitoje laiko atakarpoje gali būti stebimi staigūs amplitudės pokyčiai. Tam, kad signalui sklindant sistema, ribos tarp atskirų signalo sričių „neišskystų“ būtina maksimaliai greita filtro reakcija į žingsnio signalą (Pav2_a,b), t.y. filtro išėjime žingsnio priekinis frontas turi būti kiek galima statesnis. Reakcijos į žingsnio signalą laikas skaičiuojamas kaip laikas per kurį žingsnio signalo priekinis frontas filtro išėjime pasiekia 90% žingsnio signalo amplitudės filtro įėjime.

Kita svarbi filtro charakteristika laiko srityje – maksimali pereinamojo proceso amplitudė (Pav2_c,d). Žingsnio funkcija filtro įėjime neturi svyravimų, o žingsnio perdavimo funkcija filtro išėjime turi pereinamojo proceso svyravimus. Vadinasi, signalas sklisdamas filtru yra iškraipomas. Kuo mažesnė pereinamojo proceso amplitudė ir trukmė, tuo mažiau filtras iškaraipo signalą, tuo geresnis filtras.

Paskutinė iš filtro laikinių charakteristikų – žingsnio perdavimo funkcijos priekinio fornto simetriškumas (Pav2_e,f). Jei žingsnio perdavimo funkcijos priekinis fronatas simetriškas, tai filtras turi tiesinę fazinę charakteristiką. Tiesinė fazinė charakteristika reikalinga tam, kad filtras pralaidos juostoje neiškraipytų siganlo formos.

Filtro charakteristikos dažnio srityje Pagal charakteristikas dažnių srityje (Pav3) filtrai skirstomi į šias pagrindines grupes: žemo

dažnio, aukšto dažnio, juostinius ir režektorinius filtrus. Visų filtrų bendra užduotis tam tikrus dažnius praleisti, o kitus nepraleisti. Visi praleidžiami dažniai charakteristikoje vadinami pralaidos juosta (passband), visi slopinami dažniai vadinami užtvaros juosta (stopband). Dažnių juosta esanti tarp pralaidos ir užtvaros juotų vadinama perėjimo juota (transition band). Kuo siauresnė perėjimo juosta, tuo statesnė filtro charakteristika. Dažnis kuriuo baigiasi pralaidos juosta ir prasideda perėjimo juosta, vadinamas atkirtos dažniu (cutoff frequency). Projektuojant analoginius filtrus, atkirtos dažnis apibrėžiamas kaip dažnis ties kuriuo signalo amplitudė slopinama 0.707 (t.y. -3dB). Skaitmeniniai filtrai tokio standarto neturi.

Pav3. Keturi pagrindiniai amplitudinių_dažninių charakteristikų tipai. passband – pralaidos juosta, stopband – užtvaros juosta, transition band – perėjimo juosta, low-pass – žemodažnio filtras, high-pass – aukšto dažnio filtras, band-pass – juostinis filtras, band-reject – režektorinis filtras.

Trys parametrai, apibūdinantys filtrų elgseną dažnių srityje parodyti (Pav4). Arti vienas kito esančių dažnių atskyrimui reikalinga statų frontą turinti amplitudinė_dažniniė charakteristika (Pav4_a,b). Norint, kad signalo, patenkančio į pralaidos juostą amplitudė nekistų, reikalingas filtras, kurio pralaidos juostos bangelių aukštis būtų lygus nuliui (Pav4_c,d). Norint patikimai slopinti į užtvaros dažnių juostą patenkančius siganalus reikalinga amplitudinė_dažniniė charakteristika turinti greitą užtvaros juostos bangelių slopimą. Kalbant apie dažnių srities charakteristikas fazinė charakteristika neminima, nes ji neturi įtakos filtro elgsenai dažnių srityje. Ji svarbi charakterizuojant filtrą laiko srityje.

Kaip žinome iš ankstesnių skyrių, sistemos amplitudinę_dažninę charakteristką galime gauti skaičiuodami sistemos VIPF DFT (diskrečioji furjė transformacija). Tai galioja ir filtrams. Filtro amplitudinė_dažninė charakteristika gaunama skaičiuojant filtro VIPF DFT.

Pav4. Parametrai nusakantys filtrų elgseną dažnių srityje. Parodytos žemo dažnio filtro amplitudinės_dažninės charakteristikos. Pagrindiniai trys parametrai: (1) charakteristikos statumas a ir b, (2) bangelių amplitudė pralaidos juostoje c ir d, (3) bangelių gęsimo greitis užtvaros juostoje e ir f.

Aukšto dažnio (AD), Žemo dažnio (ŽD), juostinių ir režektorinių filtrų realizavimas (sudarymas)

AD, juostiniai ir režektoriniai filtrai gali būti gauti modifikuojant žemo dažnio filtrą. Dėl šios priežasties dauguma pavyzdžių pateikiami tik ŽD filtrams. ŽD filtro VIPF ir amplitudinė_dažniniė charakteristika parodyta (Pav5_a,b). Norint gauti AD filtrą reikia pakeisti ŽD VIPF reikšmių ženklus priešingais ir prie vidurinės reikšmės pridėti vienetą. Paskaičiavę tokiu būdu gautos AD filtro VIPF (Pav5_c) DFT gauname AD filtro amplitudinę_dažninę charakteristiką (Pav5_d). AD filtrą galime gauti apversdami „aukštyn kojom“ ŽD filtro amplitudinę_dažninę charakteristiką. Lygiai taip pat, apversdami „aukštyn kojom“ juostinio filtro amplitudinę_dažninę charakteristiką gauname režektorinį filtrą ir atvirkščiai.

Pav5. ŽD filtro su VIPF (a) amplitudinė_dažninė charakteristika parodyta (b). AD filtro VIPF (c) gauta pertvarkius ŽD VIPF (a), o jo amplitudinė_dažninė charakteristika parodyta (d).

Yra ir kitas būdas, leidžiantis iš ŽD filtro gauti AD filtrą. Tam tikslui reikia pakeisti kas antros ŽD filtro VIPF (Pav6_a) reikšmės ženklą. Tokiu būdu gavus AD filtro branduolio funkciją (Pav6_c) ir paskaičiavus jos DFT gauname AD filtro amplitudinę_dažninę charakteristiką (Pav6_d).

Pav6. ŽD filtro VIPF parodyta (a), o jo amplitudinė_dažninė charakteristika (b). AD filtro VIPF (c) gauta iš ŽD filtro VIPF pakeičiant kiekvienos reikšmės ženklą priešingu. Gauto AD filtro amplitudinė_dažninė charakteristika parodyta (d).

Filtrų klasifikavimas Filtrų klsifikacija pagal jų panaudojimą ir realizacijos būdą pateikta (Pav7). Skaitmeniniai

filtrai pagal panaudojimą gali būti sudalinti į tris grupes: filtrai skirti darbui laiko srityje, filtrai skirti darbui dažnio srityje ir vartotojo apibrėžti filtrai. Kai duomenys signale užkoduoti laiko srityje, tada naudojami filtrai kurie apdoroja signalo laikines charakteristikas ir sprendžia tokius uždavinius kaip signalo nuolatinės dedamosios pašalinimas, trendo išskyrimas ar signalo glodinimas. Kai duomenys užkoduoti dažnio srityje, tada naudojami filtrai kurie apdoroja signalo dažnines charakteristikas ir sprendžia dažnių atskyrimo uždavinius. Varotojo apibrėžti filtrai skirti specifiniams vartotojo poreikiams tenkinti.

Pav7 Filtrų klasifikavimas

FIR filtrai. Slenkančio vidurkio filtras Slenkančio vidurkio filtrai, tai lengviausiai suprantami ir realizuojami FIR filtrai. Nežiūrint jų

paprastumo jie puikiai tinka signalo formos glodinimui, atsitiktinio triukšmo lygio mažinimui. Be to pasižymi trumpu reakcijos į žingsnio signalą laiku. Tačiau šie filtrai turi rimtų trūkumų dažnio srityje.

Kaip sako pats pavadinimas, šio filtro išėjimo reikšmė gaunama skiačiuojant įėjimo reikšmių vidurkį. Matematiškai tai užrašoma:

[ ] [ ];1 1

0∑−

=

+=M

j

jixM

iy

Čia x[ ] įėjimo signalas, y[ ] – išėjimo signalas, M – vidurkiui skaičiuoti reikalingų reikšmių skaičius. Pavyzdžiui penkių taškų slenkančio vidurkio filtro 80‘dešimta išėjimo reikšmė skaičiuojama taip:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5

848382818080 xxxxxy ++++=

Įėjimo reikšmės, iš kurių skaičiuojama išėjimo reikšmė, gali būti parinktos simetriškai skaičiuojamai išėjimo reikšmei. Tada Aštuoniasdešimta išėjimo reikšmė gali būti paskaičiuota ir taip:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5

828180797880 xxxxxy ++++=

Tokiu atveju (15) lygtis perrašoma taip:

[ ] [ ]( )

( );1 21

21∑−

−−=

+=M

Mj

jixM

iy

Pavyzdžiui 10 taškų slenkančio vidurkio išėjimo reikšmė gali būti paskaičiuota iš 0..11 įėjimo reikšmių, arba iš -5...5 įėjimo reikšmių.

Trijų taškų slenkančio vidurkio filtro pavyzdys: [ ] ( ) ( ) ( )[ ]2131 ++++= nxnxnxny

n n < -2 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n > 5

x[n] 0 0 0 2 4 6 4 2 0 n > 5 y[n] 0 2/3 2 4 14/3 2 3 5 0 n > 5

Pav8

Reikia pastebėti, kad slenkančio vidurkio filtro VIPF – stačiakampio formos signalas, o filtravimas tokiu filtru tai ne kas kita kaip įėjimo signalo ir filtro branduolio funkcijos sąsukos skaičiavimas.

Tokio filtro amplitudinę_dažninę charakteristiką (Pav9) galime gauti paskaičiavę stačiakampio signalo DFT. Jos matematinė išraiška tokia:

[ ] ( )( )fMfMfHπ

πsin

sin= ,

Pav9. Skirtingo ilgio slenkančio vidurkio filtrų amplitudinės_dažninės charaktersitikos.

Kaip matome, slenkančio vidurkio filtro su stačiakampe VIPF, amplitudinė_dažninė charakteristika labai nuožulni, o užtvaros juostos bagelių amplitudė didelė. Toks filtras visiškai netinkamas signalams, kuriuose duomenys koduojami dažnių srityje, apdoroti. Norint pagerinti tokio filtro amplitudines_dažnines charakteristikas naudojami ne stačiakampės, o specialiai sukonstruotos formos filtro branduolio funkcija. Vienas iš didžiausių slenkamčio vidurkio filtrų privalumų – jie gali būti realizuoti taikant rekursiją.

Lango filtrai Lango filtrų sudarymo įdėja pavaizduota (Pav10). Pradžioje sudaroma įdeali

amplitudinė_dažninė filtro charakteristika (Pav10_a). Po to skaičiuojama šios charakteristikos atvirkštinė DFT ir gaunama filtro VIPF (Pav10_b), kuri užrašoma:

[ ] ( )ππ

iif

ih c2sin=

čia fc – atkirtos dažnis išraiška ( ) xxsin ir vadinama sinc funkcija.

Aliekant sąsukos operaciją su gauta VIPF (filtro branduoliu) realizuojamas įdealus žemo dažnio filtras. Tačiau susiduriama su problema – įdealaus filtro branduolio funkcija negesdama tęsiasi į teigiamą ir neigiamą laiko ašies puses (FIR filtro bruožas). Sprendžiant šią problemą, filtro branduolio funkcija trumpinama surašant tam tikrą skaičių nulių po M-tosios reikšmės (Pav10_c). Tokį pat rezultatą gausime filtro branduolį padauginę iš žingsnio funkcijos, kurios pirmosios M reikšmės lygios vienetui, o likusios – nuliui. Gauto filtro amplitudinė_dažninė charakteristika parodyta (Pav10_d). Iš (Pav10_d) matome, kad tokiu būdu gautas filtras turi menką užtūros bangelių slopimą ir didelės bangelės perdavimo juostoje. Šio reiškinio priežastis – trūkio taškas prasidedantis po M-osios reikšmės. Ši sutacija gali būti ištaisyta dauginant trūkią branduolio funkciją (Pav10_c) iš funkcijos vadinamos Blackman langu (Pav10_e). Tokiu būdu naujai gauto filtro amplitudinė_dažninė charakteristika

parodyta (Pav10_f). Tokių lango funkcijų, kuriomis taisoma trūki filtro branduolio funkcija yra ne viena. Kiekviena lango funkcija vadinama jos išradėjo vardu (Hamming langas, Kaiser langas, Bartlett (trikampis) langas ir kt).

Lango filtro projektavimas Projektuojant lango filtrą reikalinga pasirinkti atkirtos dažnį fc ir filtro branduolio funkcijos ilgį

M. M privalo būti lyginis skaičius. Atkirtos dažnis išreiškiamas normuotu dažniu (visi normuoti dažniai kinta nuo 0Hz iki ½ Fd, kur Fd – diskretizavimo dažnis). Nuo pasirinkto M priklauso perėjimo juostos plotis BW:

BWM 4

≈

Perėjimo juostos plotis taip pat išreiškiamas normuotu dažniu. Didinant M reikšmę, amplitudinės_dažninės charakteristikos forntas statėja ir tuo pačiu siaurėja perėjimo juostos plotis. Filtro amplitudinė_dažninė charakteristika nepriklauso nuo pasirenkamo fc. Atkirtos taškas fc pasirenkamas ties ta dažnio ašies vieta, kur signalo amplitudė sumažėja perpus. Kodėl ne ties ta vieta kur amplitudė sumažėja 0,707 karto kaip analoginiuose filtriuose? Todėl, kad lango filtrai turi simetrišką amplitudinės_dažninės charakteristikos frontą jo vidurio taško atžvilgiu.

Pasirinkus M ir fc skaičiuojama projektuojamo filtro branduolio funkcija:

[ ] ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−

=M

iM

iMi

MifKih c πππ 4cos08.02cos5.042.0

222sin

Šiuo atveju pasirinktas Blackman langas. Koeficientai laužtiniuose skliaustuose atitinka Blackman lango reikšmes. Koeficientas K parenkamas taip, kad visų reikšmių suma būtų lygi vienetui. Tai reikalinga tam, kad nuolatinės dedamosios stiprinimo koeficientas būtų lygus vienetui. Tarkim pasirenkame M=100. Pirmoji branduolio funkcijos reikšmė masyve bus adresu 0, o

Pav10 Lango filtro VIPF sudarymas ir atitinkamos amplitudinės_dažninės funkcijos.

paskutinė adresu 100. Tai reiškia, kad viso signalo ilgis lygus 101 taškas. Sekos vidurį atitinka – M/2, t.y. 50’dešimta reikšmė. Kadangi filtro branduolio funkcija simetriška, tai jos 49 reikšmė lygi 51 reikšmei, o 0 reikšmė lygi 100 reikšmei.

Be to, kad lango filtras gali būti realizuotas taikant rekursiją, kitas jo privalumas yra tas, kad galima pasiekti neįtikėtinai didelį slopinimo koeficientą užtvaros juostoje. Tarkime turime 120V signalą, iš kurio reikia išskirti naudingą 1mV signalą. Šiuo atveju filtro slopinimo koeficientas turi būti -120dB (tai reiškia, kad iš signalo norime išskirti vieną milijoninę dalį!). Filtras realizuotas taikant Blackman langą užtikrina tik -74db slopinimą (galima išskirti vieną penkiatūkstantąją dalį signalo). Didesnį slopinimo koef. lengva gauti nuosekliai sujungus du tokius pačius filtrus (analoginio filtro atveju). Tokio sujungimo avjeu bus gautas -148dB (galima išskirti viena 30 milijoninę signalo dalį!)

slopinimas. Skaitmeniniu būdu nuoseklus dviejų vienodų filtrų jungimas realizuojamas skaičiuojant turimo filtro branduolio funkcijos sąsuką su pačiu savimi.

Pav11. Lango filtro amplitudinės_dažninės charakteristikos. (a) ŽD lango filtras, kuri ilgis 201 taškų ir kurio realizacijai naudotas Blackman langas; (b)

Pav11_a parodyta filtro, gauto taikant Blackman langą, amplitudinė_dažninė charakteristika. Šio filtro branduolio funkcijos ilgis 201 taškų, kurie gauti skaičiuojant 101 taškų ilgio branduolio funkcijos sąsuka su pačia savimi. Gautas filtras turi įspūdingą amplitudinę_dažninę charaktersitiką: slopinimas didesnis nei 100dB ir neįtikėtinai siaura perėjimo dažnių juosta (t.y. l.status charakteristikos frontas). Amplitudinė_dažninė charakteristika ŽD filtro, kurio ilgis 32 taškai, o perėjimo juostos plotis 0,000125 diskretizavimo dažnio parodytas Pav11_b. Kaina, kurią tenka mokėti už tokių filtrų realizaciją – ilgas filtro algoritmo vykdymo laikas.

IIR Filtrai Taikant rekursiją turime galimybe realizuoti filtrus su ilgomis branduolio funkcijomis

neskaičiuojant jų sąsukos. Tokie filtrai greiti, tačiau mažiau lankstūs ir turi blogesnes dažnines charakteristikas nei FIR filtrai, kurie realizuojami taikant sąsukos operaciją. Filtrai, kurie realizuojami taikant rekursiją vadinami filtrais su beglinio ilgio atsaku į vienetinį impulsą (Infinite Impulse Response IIR).

Tarkime reikia gauti duomenis iš signalo x[]. Kintamuoju n žymėsime einamuoju momentu skaičiuojamos reikšmės eilės numerį.Tuo būdu y[n] bus einamuoju momentu skaičiujama 28-ta išėjimo reikšmė, y[n-1] 27-ta išėjimo reikšmė, y[n-2] 26-ta išėjimo reikšmė ir t.t. Analogiškai x[n] tai 28-ta įėjimo reikšmė, x[n-1] tai 27-ta įėjimo reikšmė ir t.t. Toliau klausiame savęs – ką žinome, kad galėtume paskaičiuoti y[n]? Pirma – žinome įėjimo signalo reikšmės x[n], x[n-1], x[n-2]… Vadovaudamiesi intuicija galime spėti, kad išėjimo reikšmei rasti reikia įėjimo reikšmes dauginti iš kokių nors koeficientų ir gautas sandaugas sudėti: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ...321 3210 +−+−+−+= nxanxanxanxany

Ši matematinė išraiška ne kas kita, kaip signalo x[ ] sąsuka su koeficientais a0, a1, a2,... Antra – žinome prieš tai paskiačiuotas išėjimo reikšmes y[n-1], y[n-2], y[n-3]... Turėdami šią informaciją, einamąja išėjimo reikšmę galime paskaičiuoti pagal išraišką:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ...321...321 3213210 +−+−+−++−+−+−+= nybnybnybnxanxanxanxany

Gauta išraiška vadinama rekursijos lygitimi, o a0, a1, a2, a3, b1, b2, b3 – rekursijos koeficientais. IIR filtrai patogūs tuo, kad leidžia panaudoti ilgą filtro branduolio funkciją. Sąryšį tarp IIR filtro branduolio funkcijos ir rekursijos koeficientų nusako z transformacija.

Yra 3 būdai rasti rekursijos koeficientus netaikant z transformacijos. Pirmas būdas – sudaryti keletą lygčių, kurios tinka paprastiems? IIR filtrų rekursijos koeficientams sakičiuti. Antras būdas – pasinaudoti specialomis programomis skirtomis IIR filtrų projektavimui ir trečias būdas – iteracinis metodas IIR filtrui su norima charakteristika gauti.

Vieno poliaus IIR filtro sudarymas IIR filtrų privalumas, ne tik filtro greitaveika, bet ir galimybė sudaryti didelę įvairovę filtro

branduolio funkcijų keičiant tik kelis koeficientus. Pavyzdžiui filtrai parodyti (Pav13) turi tik tris koeficientus: a0= 0.93, a1= -0.93 ir b1=0.86. ŽD filtrui rekursijos koeficientai gali būti paskaičiuoti taikant sekančias lygtis:

xbxa

=−=

1

0 1

AD filtrui rekursijos koeficientai gali būti paskaičiuoti taikant sekančias lygtis: ( )( )

xbxa

xa

=+−=

+=

1

1

0

2121

Fiziškai kintamasis x reiškia šalia esančių taškų polkytį.

Pav12 Vieno poliaus ŽD filtras. Skaitmeniniai rekursyviniai filtrai „pamėgdžioja“ analoginius filtrus sudarytus iš kondensatorių ir varžų.

Pavyzdžiui x = 0.86 (Pav12) reiškia, kad šalia esančios išėjimo signalo reikšmės viena nuo kitos skiriasi 0,86 karto. Kuo didesnė koeficiento reikšmė tuo nuožulnesnis išėjimo siganlas. Filtras tampa nestabilus, kai x didesnis už vienetą.

Reikšmė x gali būti gauta paskaičiavus analoginio ŽD filtro laiko pastoviąją. Kaip žinome analoginis ŽD filtras sudaromas iš varžos R ir kondensatoriaus C, o jo laiko pastovioji gaunama paskaičiavus sandaugą R×C. Laiko pastovioji tai laikas per kurį signalas išėjime pasiekia 36.8% galutinės reikšmės, o d reikšmė, tai diskrečių atskaitų skaičius per kurį IIR filtro išėjimo signalas pasiekia 36.8% galutinės reikšmės:

dex 1−= Pavyzdžiui jei šalia esančios išėjimo reikšmės viena nuo kitos skiriasi x = 0.86 karto, tai tada d = 6.63 dikrečių atskaitų. Taip pat galima užrašyti ryšį tarp x ir atkirtos dažnio fc ties kuriuo amplitudė slopinama -3dB (t.y. 0.707 krato):

cfex π2−= Turėdami šias priklausomybest turime tris būdus koeficientams a ir b rasti: 1) užsiduoti ŽD filtro RC grandinės laiko pastoviąją; 2) užsiduoti atkirtos dažnį fc; 3) laisvai pasirinkti x.

Amplitudinės_dažninės IIR filtrų charakteristikos parodytos (Pav13). Šios kreivės gautos paskaičiavus filtro VIPF DFT. IIR filtro VIPF, tai be galo ilga, eksponentiškai gęstanti funkcija kuri paklaidų lygio amplitudę pasiekia praėjus laikui lygiam 15 ar 20 laiko pastoviųjų.

IIR filtrai turi prastas amplitudines-dažnines charakteristikas, tačiau nepalyginamai geresnes laikines charakteristikas. Dažnines charakteristikas galima pagerinti nuosekliai sujungus keletą tokių filtrų. Skaitmeniniu būdu toks jungimas gali būti realizuotas keletą kartų filtruojant tą patį signalą tuo pačiu filtru, arba pasinaudoti z transformacija, kurios pagalba gaima paskaičiuoti tokius rekursijos koeficientus, kad nereiktų keletą kartų filtruoti to pačio siganlo.

Ketvirtos eilės (keturių polių) IIR filtro koeficientams skaičiuoti glima naudoti sekančias lygitis:

( )4

43

3

221

40

,4

6,4,1

xbxb

xbxbxa

−==

−==−=

Pav13. Vieno poliaus IIR filtrų amplitudinės_dažninės charakteristikos. (a) AD filtro amplitudinė_dažninė ch_ka; (b) ŽD filtro amplitudinė_dažninė ch_ka; (c) nuosekliai sujugtų keturių ŽD filtrų amplitudinės_dažninės charakteristikos.

Fazinės filtro charakteristikos Yra trijų tipų fazinės filtro charakteristikos: nulinės fazės ch_ka, tiesinės fazės ch_ka ir

netiesinės fazės ch_ka (Pav14). Filtrui su nuline fazine ch_ka (Pav14_b) būdinga simetriška, nulinės atskaitos atžvilgiu, VIPF (Pav14_a) ir simetriška vidurio atžvilgiu stačiakampio impulso perdavimo

funkcija(Pav14_c). Sudarant tokio tipo filtrus reikalinga operuoti su neigiamais indeksais, o tai nepatogu. Filtras su tiesine fazine ch_ka (Pav14_e) taip pat turi simetrišką stačiakampio impulso perdavimo funkciją (Pav14_f) ir VIPF (Pav14_d) kuri simetriška ne nulinės atskaitos, o kokios tai teigiamos atskaitos atžvilgiu. Tiesinė fazė, tai tiesi linija, kurios krypties koeficientas tiesiogiai priklauso nuo VIPF simetrijos taško postūmio nulinės atskaitos atžvilgiu. Filtro su netiesine fazine charakteristika (Pav14_h) VIPF (Pav14_g) ir stačiakampio impulso perdavimo funkcija nesimetriškos (Pav14_i). Daugeliui taikymo uždavinių nepriimtina nesimetriška fazinė charakteristika.

Nesunku realizuoti FIR filtrą su tiesine fazine charakteristika, nes ji konstruojama projektavimo proceso metu. Kadangi IIR filtrų rekursijos koeficientai nėra filtro VIPF reikšmės, tai susiduriama su tiesinės fazės sudarymo problema.

Pav14 Filtrų fazinės charakteristikos.

Su tiesinės fazinės charakteristikos problema rimtai susiduria analoginių filtrų projektuotojai. Įsivaizduokime turime kondesatorių. Kol į jo įėjime nulinio lygio signalas tol išėjime taip pat turime nulinio lygio signalą. Kai į įėjimą paduodamas impulsas, tai kondensatorius eksponentiškai kraunasi iki tam tikros reikšmės ir po to ekspinentiškai, per apkrovos varžą išsikrauna. Kaip žinome, nykstančios eksponentės amplitudė niekada nepasiekia nulinės reikšmės. Dėl šios priežasties analoginio filtro VIPF

niekada nebus simetriška. Analoginės įrangos projektuotojai šią problemą sprendžia konstruodami Besselio filtrus. Įdeali tiesinė fazinė charakteristika – skaitmeninių filtrų privalumas.

Yra būdas, kaip gauti IIR filtrą su tiesine fazine charakteristika. Tarkime turime stačiakampio impulso signalą (Pav15-a), kuris filtruojamas vieno poliaus ŽD IIR filtru ir išėjime gaunamas signalas (Pav15_b). Kadangi fazinė charakteristika netiesinė, tai išėjime gaunamas nesimetriškas signalas. Šio filtro ilgis 150 reikšmių (filtro branduolio funkcijos reikšmių skaičius lygus 150) ir skaičiavimai pradedami nuline įėjimo reikšme. Įsivaizduokime, kad skaičiavimus pradedame nuo paskutinės, 150 reikšmės: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ...321...321 3213210 ++++++++++++++= nybnybnybnxanxanxanxany

Atvirkštinis filtravimas nieko naujo neduoda. Tokio atvirkščio filtravimo rezultatas parodytas (Pav15_c). Tačiau filtruojant tą patį signalą du kartus: pirmą kartą tiesioginiu būdu, o antrą kartą – atvierkštiniu būdu gauname IIR filtrą su tiesine fazine charakteristika.

Pav15 Dvikryptis rekusyvinis IIR filtras. Stačiakampio impulso signalas filtro įėjime parodytas (a), išėjimo signalas parodytas (b), tas pats signalas nufiltruotas priešinga kryptimi parodytas (c), signalas nufiltruotas abiem kryptimis parodytas (d)

Tiesioginio ir atvirkštinio IIR filtrų amplitudinės_dažninės charakteristikos vienodos, o fazinės charakteristikos – priešingų ženklų. Kai abu filtrai naudojami kartu, tai amplitudinė_dažninė charakteristika gaunama pakelta kvadratu, o fazinė charakteristika lygi nuliui. Laiko srityje, tokio kombinuoto filtro branduolio funkcija lygi tiesioginės branduolio funkcijos ir tos pačios branduolio funkcijos tik užrašytos iš kito galo sąsukai.