Jajac, Grulović - Riješeni zadaci iz OE - elektrostatika

SVEUILITE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE,

STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

B. Jajac N. Grulovi

RIJEENI ZADACI IZ OSNOVA ELEKTROTEHNIKE

- elektrostatika (RADNI MATERIJAL)

Split, 2010

2 1. Coulombov zakon

SADRAJ

1. COULOMBOVA SILA ..................................................... 3 2. RASPODJELA NABOJA ................................................. 19 3. ELEKTROSTATIKO POLJE ...................................... 25 4. GAUSSOV ZAKON ......................................................... 42 5. ELEKTRINI POTENCIJAL I RASPODJELA NABOJA PO VODIIMA ............................................... 68

6. RAD I POTENCIJALNA ENERGIJA ........................... 78 7. VODII U ELEKTROSTATIKOM POLJU .............. 89 8. KAPACITET I KONDENZATORI ................................. 95 9. DIELEKTRICI U ELEKTROSTATIKOM POLJU .............................................................................. 103 10. ENERGIJA I SILA ELEKTROSTATIKOG POLJA.................................. 116

Elektrostatika 3

1. COULOMBOV ZAKON To je zakon o meudjelovanju dva elektrizirana (nabijena) tijela. Ako se dva tijela mase m1 i naboja Q1 odnosno mase m2 i naboja Q2 nalaze na meusobnoj udaljenosti r tada meu njima vlada elektrostatika - Coulombova sila (3.5).**

N4 020

21e rr

QQF

(1.1)

gdje je: Q1, Q2 naboji (As), r udaljenost meu nabojima (m), 0r

jedinini vektor, a

0 permitivnost vakuuma )VmAs

1085,8( 12

Jednostavnosti (raunanja) radi izraz (1.1) se vrlo esto daje u obliku:

0221

e K rrQQ

F

(1.2)

gdje je:

)109(K 9AsVm

Ako su naboji Q1 i Q2 istog predznaka tada je sila meu njima odbojna i ima smjer jedininog vektora 01r

, slika 1.1.a, a ako su naboji razliitih predznaka

sila je meu njima privlana i ima smjer suprotan jedininom vektoru, slika 1.b. Iz slike 1.1. je takoer vidljivo da pravac djelovanja sile izmeu dva tokasta naboja je na pravcu spojnice ista ta dva naboja.

Sl. 1.1. Sila meu nabojima istog predznaka je odbojna a) dok je meu

nabojima razliitih predznaka privlana b)

Coulombov zakon dan u obliku (1.1) odnosno (1.2) primjenljiv je samo za tokaste ili

kvazitokaste naboje (vidi 4. poglavlje, svezak I) ** Broj jednadbe u udbenicima


Ima li se skup od n - naboja, slika 1.2., tada je rezultirajua sila od n - 1 naboja na k - ti naboj jednaka vektorskom zbroju pojedinih sila, slika 1.2.

Sl. 1.2. Sila n-1 naboj na k-ti naboj

n21k FFFF

(1.3a) ili u obliku:

n

kii

FF1

ik

(1.3b)

Uvrtenjem (1.1) u (1.3b) dobije se:

i01

2i

kik 4

vek rr

QQF

n

kii

0

(1.4)

gdje je: ri udaljenost izmeu i-tog i k-tog naboja, i0r

jedinini vektor radijvektora ir

Uvjet statike ravnotee: Tijelo, koje se moe smatrati tokastim, je u statikoj ravnotei ako zbroj sila (ili njihovih komponenti) koje djeluju na njega tvori zatvoreni poligon sila ili drugaije reeno ako je njihov vektorski zbroj jednak nuli. 0k F

(1.5)

Elektrostatika 5

U zadacima elektrostatike uoit e te da su iznosi naboja reda mikro ili nano kulona (10-6 As, 10-9 As). Naime, naboj od 1 C = 1 As je izuzetno velika koliina naboja. Da se dobije osjeaj veliine naboja uvodno e se rijeiti par zadataka. Primjer 1.3.

Dvije kugle jednakih promjera i naboja smjetene su na meusobnoj udaljenosti a. Prva od kugli smjetena je na tvrdoj podlozi a druga je smjetena iznad nje na pravcu djelovanja sile tee, slika 1. Odredite tako masu druge kugle da pod djelovanjem Coulombove sile ona lebdi iznad prve kugle. Podaci: ,m1a ,nAs11 Q ,As1 ,mAs1 As1 . Napomena: Pri proraunu Coulombove sile pretpostavite da su naboji i mase kugli skoncentrirani u toki.

Rjeenje:

Sl. 1. Prostorni smjetaj kugli s ucrtanim silama

Druga kugla bit e u satikoj ravnotei (lebdjet e) ako je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli (1.5)* (pri tome se nabijena kugla smatra materijalnom tokom): 0g12 FF

(1)

Jer su vektori sila 12F

i gF

meusobno suprotni to vektorski zbroj prelazi u

algebarski i (1) postaje: g12 FF (2)

gdje je:

* Broj jednadbe u zbirci zadataka


221

12 K a

QQF (3)

prema (1.2) Coulombova sila prve na drugu kuglu, a gmFg (4)

sila tee koja djeluje na drugu kuglu. Uvrtenjem (3) i (4) u (2) dobije se:

221K

agQQ

m (5)

Jer je QQQ 21 i m1a (5) postaje:

gQ

m2K

(6)

Uvrtenjem pojedinih iznosa naboja dobije se: za: kg10917,0,nAs1 911

mQ

kg10917,0,As1 322 mQ

kg10917,0,mAs1 333 mQ

kg10917,0,As1 944 mQ Iz dobijenih iznosa pojedinih masa (mase su proporcionalne Coulombovim silama) vidljivo je da su ve naboji reda veliine jedne tisuinke kulona vrlo veliki.

Primjer 1.4.

Dvije metalne kuglice, zanemarivih dimenzija, nabijene su istoimenim nabojima Q1 i Q2 i nalaze se na meusobnoj udaljenosti a, slika 1. Odredite naboje na svakoj od kuglica ako je ukupna koliina naboja na njima Q i sila meu njima FFF |||| 2112

.

Podaci: ,N1F ,m2a As105 5Q .

Elektrostatika 7

Rjeenje:

Sl. 1. Meu istoimenim nabojima sila je odbojna

Sile meu nabojima su suprotne i iznosa su:

221

e K a

QQF (1)

Naboj na kuglicama (ukupni) prema zadatku jest: 21 QQQ (2) Rjeenje sustava (1) i (2) po jednom od naboja jest:

02

e2

22 K

aFQQQ (3)

odakle je:

2

4 2e2

2,12K

aFQQ

Q

(4)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se: As1016,1 521

Q As1084,3 522Q

As1084,3 511

Q As1016,1 512Q

Primjer 1.6.

U vrhovima istostraninog trokuta duljine stranice a smjeteni su naboji Q1, Q2 i Q3, slika 1. Odredite silu na naboj Q1 po iznosu i smjeru. Podaci: nAs,9000 1 Q nAs,500 2 Q nAs,3000- 3 Q m3a .


Rjeenje:

Sl. 1. Naboji Q1, Q2 i Q3 smjeteni su u vrhovima istostraninog trokuta Sila na naboj Q1 jest vektorski zbroj sila i prema (1.3) jest: 31211 FFF

(1)

gdje je: 21F

odbojna sila drugog naboja na prvi, a

31F

privlana sila treeg naboja na prvi. Zadatak e se rijeiti tako da se sile 21F

i 31F

rastave na komponente

pravokutnog koordinatnog sustava. Poznavajui komponente sil uporabom Pitagorinog pouka dobije se rezultirajua sila (iznos):

2y2x1 )()( FFF (2) Ishodite pravokutnog sustava postavlja se u vrhu trokuta sa nabojem Q1, dok apscisna os se podudara sa spojnicom meu nabojima Q1 i Q2. Rastavljanjem sila po komponentama dobije se: 21x31x FFF (3.1) y31y FF (3.2) gdje je: 031x31 60cosFF (4.1)

Elektrostatika 9

031y31 60sinFF (4.2)

F21 i F31 su iznosi sila i prema (1.2) iznose:

)105,4( 3212

21 Na

QQKF (5.1)

N)1027( 3213

31

a

QQKF (5.2)

Uvrtenjem (5) u (4) odnosno (3) dobije se: N109 3x

F (6.1) N104,23 3y

F (6.2) Uvrtenjem (6) u (2) dobije se iznos rezultirajue sile: N07,251 F Rezultirajua sila zatvara kut prema pozitivnoj apscisnoj osi:

000

x

y 04,11118096,68tgarc

F

F

Primjer 1.8.

Tokasti naboji Q1 i Q2 nalaze se na meusobnoj udaljenosti a. Odredite tako naboj Q2 po iznosu i predznaku da naboj Q3 (naboj Q3 smjeten je na spojnici naboja Q1 i Q2) bude u statikoj ravnotei. Naboj Q3 nalazi se na udaljenosti 2a/3 od naboja Q1, slika 1. Podaci: As 60 1 Q . Rjeenje: Naboj Q3 bit e u statikoj ravnotei (1.5) ako je: 02313 FF

(1)

gdje je:


2313, FF

sila prvog/drugog naboja na trei naboj.

Sl. 1. Naboji Q1 i Q2 uravnoteuju naboj Q3 Jer su vektori sila 13F

i 23F

meusobno suprotni vektorski zbroj prelazi u

algebarski i (1) postaje: 2313 FF (2) Iz (2) slijedi da su naboji Q1 i Q2 istog predznaka, bilo pozitivni bilo negativni. Uporabom (1.2) jednadba (2) postaje:

2

32

2

31

)31

(K

)32

(K

a

QQ

a

QQ (3)

Iz (3) se dobije:

As1541

12 QQ

Primjer 1.9.

Dva pozitivna tokasta naboja Q1 i Q2 nalaze se na meusobnoj udaljenosti a. Odredite naboj Q3 po iznosu i predznaku, te njegov poloaj u odnosu na naboje Q1 i Q2 da sva tri naboja budu u statikoj ravnotei. Podaci: ,nAs5001 Q ,nAs3002 Q cm16a . Rjeenje: Naboj Q3 bit e u statikoj ravnotei ako je zbroj sila koje djeluju na njega jednak nuli, (1.5). Jer su naboji Q1 i Q2 istog predznaka (pozitivni) meu njima djeluje odbojna sila 12F

odnosno 21F

slika 1. Slijedi naboj Q3 mora biti suprotnog predznaka

Elektrostatika 11

(negativnog) tako da svojom privlanom silom 31F

i 32F

na naboje Q1 i Q2 ih uravnotei. I nadalje, nuno je da je naboj Q3 smjeten na spojnici naboja Q1 i Q2, slika 1.

Sl. 1. Tri naboja mogu biti u statikoj ravnotei samo ako lee na istom

pravcu te ako je naboj Q3 suprotnog predznaka od preznaka naboja Q1 i Q2

Naime, ako bi naboj Q3 bio smjeten lijevo ili desno od naboja Q1 odnosno Q2 sustav se ne bi mogao uravnoteiti (sile 13F

i 23F

naboj Q3 bi bile

kolinearne - potpomagale bi se a ne ponitavale). Iz slike 1. slijedi: 03121 FF

(1.1)

02313 FF

(1.2)

01232 FF

(1.3)

Jer su vektori sila na pojedine naboje suprotni vektorski zbroj prelazi u algebarski i (1) postaje: 3121 FF (2.1)

2313 FF (2.2) 1232 FF (2.3) Ima se dvije nepoznanice: naboj Q3 i njegov poloaj (udaljenost x od naboja Q1) a formiran je sustav od tri jednadbe (1) odnosno (2), sustav je predefiniran, koristit e se reducirani sustav od dvije jednadbe dok e se trea jednadba upotrebiti za kontrolu. Uvrtenjem (1.2) u (2.1) odnosno (2.2) dobije se:


213

212

x

QQ

a

QQ (3.1)

232

231

)-( xaQQ

xQQ

(3.2)

Iz (3.2) se dobije:

1

21

1

1

QQ

ax

(4.1)

1

22

1

1

QQ

ax

(4.2)

Drugo rjeenje (4.2) za bilo kakav omjer Q2/Q1 daje takav poloaj naboja Q3 da je on ili s lijeve strane sustava )0( x ili s desne strane sustava )( ax , a za takav poloaj naboja Q3 ne moe biti statike ravnotee sustava. Uvrtenjem (4.1) u (3.1) dobije se:

2

1

2

23

1

QQ

QQ (5)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se: cm02,91 x (6) nAs26,953 Q (7) Predznak minus je iz fizikalnog smisla rjeenja zadatka. Kontrola e se nainiti na nain da se dobiveni rezultati (6) i (7) uvrste u razvijenu jednakost (2.3)

Elektrostatika 13

Primjer 1.10.

etiri naboja jednaka po iznosu i predznaku smjetena su u vrhove kvadrata stranice a , slika 1. Odredite gdje treba smjestiti nepoznati naboj Q te njegov iznos i predznak da bi naboji u vrhovima kvadrata bili u statikoj ravnotei. Podaci: nAs2004321 QQQQ Rjeenje: Svaki od naboja koji su smjeteni u vrhove kvadrata bit e u statikoj ravnotei ako je zbroj sila koje djeluju na njega jednak nuli, (1.5).

Sl. 1. Nabojem -Q uravnoteuju se naboji u vrhovima kvadrata Jer su naboji u vrhovima kvadrata istog predznaka, uzmimo da su pozitivni, to je meu njima odbojna sila. Rezultirajua sila na svaki od naboja, a s obzirom na simetrino smjetene naboje, pada na pavac dijagonale meu nabojima i ima vanjsko usmjerenje, slika 1. Slijedi, da bi se uravnoteio svaki od naboja dodatni (nepoznati) naboj mora biti smjeten u sjecitu dijagonala kvadrata i po predznaku suprotan nabojima u vrhovima, dakle negativan. Iz slike slijedi: 01 FF

(1)

Jer su vektori sil na naboj Q1 meusobno suprotni to vektorski zbroj prelazi u algebarski i (1) postaje: 1FF (2) ili u obliku: 31241 FFF (3) gdje je: F privlana sila naboja Q na naboj Q1,


214121241 2coscos FFFF (4) odbojna (rezultirajua) sila naboja Q2 i Q4 na naboj Q1, F31 odbojna sila naboja Q3 na naboj Q1. jest kut to ga vektori 21F

i 41F

zatvaraju se vektorom )45( 01 F

Uvrtenjem (4) u (3) dobije se: 31212 FFF (5) Uvrtenjem (1.2) u (5) dobije se:

213

212

2

1 KK2)

2(

Kd

QQa

QQdQQ

(6)

Iz (6) uz ad 2 i 32 QQ dobije se:

2)41

22

( QQ (7)

Iznosa: nAs42,191Q Predznak minus je iz fizikalnog razmatranja problema. Iz (7) se uoava da naboj Q ovisi samo o nabojima na vrhovima kvadrata a ne ovisi o duljini stranice kvadrata.

Primjer 1.13.

Dvije, meusobno jednake kuglice, svaka mase m vise o koncima duljine . Kada se kuglice nabiju nabojima jednakim po iznosu i predznaku, one se razmaknu tako da svaki konac zatvara sa simetralom kut , slika 1. Odredite naboj svake od kuglica. Podaci: gr1m , cm10 , 05 .

Elektrostatika 15

Rjeenje: Nabijena kuglica, koja se moe smatrati materijalnom tokom, bit e se u statikoj ravnotei (1.5) ako je: 011 zFF

(1)

gdje je: 1F

vanjska (rezultirajua) sila na kuglicu,

z1F

zatezna sila u koncu.

Sl. 1. Pod djelovanjem Coulombovih odbojnih sila dolazi do razdvajanja nabijenih kuglica

Jer su sile 1F

i z1F

meusobno suprotne to (1) postaje:

11 zFF (2a) Ako su sile meusobno uravnoteene tada su uravnoteene i njihove komponente: sin11e FF (3a)

cos11g FF (3b) gdje je, prema (1.2):

2

2

1e K rQ

F (4a)

Coulombova sila meu nabijenim kuglicama, a gmF 1g (4b)


sila tee na kuglicu mase m. Dijeljenjem (3a) s (3b) dobije se: 11e tg gFF (5)

Uvrtenjem (4) u (5) dobije se:

Ktggm

rQ (6)

gdje je: r prema slici 1., )sin2( . Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se: nAs38,5Q Oba rezultata su valjana jer se istoimeni naboji meusobno odbijaju.

Primjer 1.15.

Naboji Q1 i Q2 istog predznaka smjeteni su na osi ordinata i to prvi naboj u toki T1(0, -3) a drugi naboj u toki T2(0, +5). Treba odrediti iznos naboja Q2 tako da je rezultirajua sila naboja Q1 i Q2 na probni naboj q smjeten na apscisnoj osi u toki P(+10, 0). Podaci: As51 Q . Rjeenje: Na slici 1. prikazane su sile 1F

i 2F

naboja Q1 i Q2 na probni naboj

q. Iz slike je vidljivo da e rezultirajua sila na probni naboj q biti u smjeru apscisne osi samo ako su komponente sila y1F

i y2F

(dakle u smjeru

oridnatne osi) meusobno jednake: 2211 coscos FF (1) Uvrtenjem (1.1) u (1) dobije se:

2220

212

10

1 cos4

cos4

r

Qqr

Qq

(2)

Elektrostatika 17

Sl. 1. Naboji Q1 i Q2 smjeteni su na osi ordinata, dok je probni naboj q smjeten na osi apscisa

Iz (2) se dobije:

12

12

1

22

2 coscos

Qrr

Q

(3)

Iz slike 1. jest:

1

1cos ra

2

2cos rb

(4)


131

32

2 Qrr

ba

Q (5)

gdje su:

)cm44,10(221 car (6a)

)cm18,11(222 cbr (6b) udaljenosti naboja Q1 i Q2 od probnog naboja q. Uvrtenjem (6) u (5) i sa zadanim udaljenostima naboja po koordinatnim osima dobije se: As68,32 Q


Primjer 1.17.

Koliinom naboja Q nabiju se dvije metalne kuglice i to prva kuglica nabojem Q1 a druga ostatkom naboja. Odredite pri kojoj koliini naboja Q1 (u odnosu na ukupni naboj) sila meu kuglicama je maksimalna. Kuglice se nalaze na rastojanju d (udaljenost meu njihovim sreditima). Rjeenje: Iznos sile meu kuglicama, prema (1.1), jest.

20

21

4 dQQ

F

(1)

Uz 12 QQQ iznos sile (1) jest:

20

11

4)Q(

dQQ

F

(2)

Jer se trai koliina naboja Q1 u odnosu na ukupni naboj Q jednadba (2) poprima oblik:

)1(4

112

0 QQ

QQ

dQ

F2

(3)

Nuan uvjet za izraunavanje akstrema funkcije je izjednaavanje prve derivacije s nulom:

0)21(4/d(

d 12

0

2

1

QQ

dQ

Q)QF

(4)

Iz (4) slijedi:

211

QQ

(5)

Zakljuak: Za ostvarenje maksimalne sile meu kuglicama, nuno je ukupni naboj raspodijeliti na jednake dijelove meu kuglicama.

2. RASPODJELA NABOJA S obzirom na raspodijeljenost naboja u prostoru razlikuje se:

linijska, plona i prostorna gustoa naboja.

Linijska gustoa naboja jest raspodjela naboja na goemetrijskoj crti, oznaava se grkim slovom i definira se kvocijentom koliine naboja Q i elementa te duine (4.1):

mAs

Q

(2.1)

Ukupna kliina naboja na geometrijskoj crti duine L, prema (4.2), jest:

L

zy,x,Q d)( (2.2)

Plona gustoa naboja jest raspodjela naboja po plohi, oznaava se grkim slovom i definira se kvocijentom koliine naboja Q na plohi povrine S i elementa te povrine (4.3).

2m

AsSQ

(2.3)

Ukupna koliina naboja na plohi povrine S, prema (4.4), jest: Szy,x,Q

S

d)( (2.4)

Prostorna gustoa naboja jest raspodjela naboja u prostoru, oznaava se grkim slocom i definira se kvocijentom naboja Q u obojmu V i elementa tog obujma (4.5):

3m

AsVQ

(2.5)

Ukupna koliina naboja u obujmu V, prema (4.6), jest: Vzy,x,Q

V

d)( (2.6)

20 2. Raspodjela naboja

Primjer 2.1.

Linijska gustoa naboja mijenja se du geometrijske crte po zakonu )1(0 x . Odredite ukupnu koliinu naboja na duljini L, te nacrtajte

raspodjelu naboja du crte. Podaci: m3L , m/As200 . Rjeenje: Koliina naboja na goemetrijskoj crti, prema (2.2), jest:

Sl. 1. Raspodjela linijske gustoe naboja du ravne crte

LL

xxxQ0

00

d)1(d (1)

Integriranjem se dobije:

L

xxQ0

20 |)2

1( (2)

Nakon uvrtenja granica se dobije:

)21

1(0 LLQ (3)

Iznos naboja jest: As150 Q

Elektrostatika 21

Primjer 2.9.

Disk od teflona zenamarive debljine radijusa R nabijen je nabojem plone gustoe . Plona gustoa naboja se mijenja du radijusa po zakonu

20 r . Odredite ukupnu koliinu naboja na disku.

Podaci: cm15R , 20 mAs200 .

Rjeenje:

Sl. 1. Raspodjela naboja na disku mijenja se s drugom potencijom radijusa Ukupna koliina naboja na disku, prema (2.4) jest:

S

SQ d (1)

Napomena: Jer se za prvu koordinatu cilindrinog koordinatnog sustava i prostornu gustou naboja koristi ista oznaka to e se za prvu koordinatu navedenog sustava koristiti r. gdje je: plona gustoa naboja zadana zadatkom )( 20 r , a rrS d2d (2) element povrine krunog vijenca radijusa r. Uvrtenjem zadane plone gustoe naboja i (2) u (1) dobije se:

R

rrQ0

30 d (3)



Rr

Q0

4

0 |42 (4)

Uvrtenjem granica se dobije:

401

RQ

(5)

iznosa: nAs04,159Q Primjer 2.17.

Naboj koliine Q formiran je u obliku kugle radijusa R, slika 1. Odredite koliinu naboja Q ako je prostorna gustoa naboja: a) 0 (konstantna)

b) Rr

R

0

Podaci: cm10R , 30 cmAs10 .

Rjeenje:

Sl. 1. Koliina naboja Q formirana je u obliku kugle

Ukupna koliina naboja formirana u obliku kugle, prema (2.6), jest:

V

VQ d (1)

gdje je:

Elektrostatika 23

prostorna gustoa naboja, a rrV d4d 2 (2) element obujma kugle*. Uvrtenjem (2) u (1) dobije se: rrQ

V

d4 2 (3)

a) Za konstantnu prostornu gustou naboja po svim elementima obujma dV,

0 , dobije se:

R

rrQ d4 2 (4)


R

rQ

|31

4 3 (5)


3

34

RQ (6a)

ili u obliku: kVQ (6b) gdje je prikrata Vk obujam kugle. Iznos naboja jest: Asn88,41Q b) Prostorna gustoa naboja mijenja se po zakonu:

Rr

R

0 (7)

* Element obujma (2) mogue je tako izraziti jer prostorna gustoa naboja ne ovisi niti o

jednoj kuglinoj koordinati ili ovisi samo o jednoj koordinati


Uvrtenjem (2) i (7) u (1) dobije se:

R

rRr

rRQ d4

2

(8)

Integral (8) je tipski integral (v. prirunik I. N. Brontejn K. A. Semendjajev):

)]ln()(2)(21

[1d 223

2

baxbbaxbbaxabax

xx


R|RrRRrRRrRQ

)](ln)(2)(21

[4 22 (9)


)21

2(ln4 30 RQ (10)

iznosa: Asn25,24Q

3. ELEKTROSTATIKO POLJE1 Elektrostatiko polje postoji u prostoru ili dijelu prostora ako na probni naboj doveden u taj dio prostora djeluje elektrostika sila (5.3).

e1

Fq

E

(3.1)

gdje je: eF

elektrostatika sila, a

q probni naboj. Sila eF

kojom naboj Q djeluje na probni naboj q, prema (3.1) jest:

020

e 4r

rQq

F

(3.2)

Uvrtenjem (3.2) u (3.1) dobije se jakost elektrinog polja E

na mjestu

probnog naboja:

0204

rr

QE

(3.3a)

ili u obliku:

02K rr

QE

(3.3b)

gdje je:

K prikrata (AsVm

109 9 )

r udaljenost tokastog naboja od toke promatranja 0r

jedinini vektor radijvektora r

3.1. Sloeno elektrostatiko polje Ako je zadana sila od n1 naboja na kti naboj, prema (1.4) i slici 1.2. ,

i

kii i

kiek rr

QQvekF 0

12

04

(3.4)

1 U tekstu e se podjednako rabiti izrazi elektrostatiko polje i elektrino polje

26 3. Elektrostatiko polje

tada je jakost elektrinog polja od n1 naboja na mjestu ktog naboja:

i

kii i

ik rr

QvekE 0

12

04

(3.5a)

ili u obliku:

i

kii i

i rrQ

vekE 01

2k K

(3.5b)

gdje je: ri udaljenost itog naboja i toke u kojoj se trai jakost elektrinog polja, i0r

jedinini vektor radijvektora ir

,

)AsVm

109(K 9

prikrata. Elektrino polje, po zamisli M. Faradaya, zorno se prikazuje elektrinim silnicama. Dogovorno, elektrine silnice izviru iz pozitivnog naboja a poniru u negativni naboj. Primjer 3.2.

U vrhovima pravokutnog trokuta stranica a, b i c smjetena su tri naboja od kojih je jedan probni naboj, slika 1. Odredite:

a) silu na probni naboj q po iznosu i smjeru, b) jakost elektrinog polja u toki C (vrh trokuta s probnim nabojem)

po iznosu i smjeru.

Podaci: cm3a , ,cm4b ,cm5c ,nAs131Q ,nAs62 Q pAs1,0q Rjeenje: Rezultirajua sila na mjestu probnog naboja (vrh C trokuta), prema (3.4) jest: 21 FFF

(1)

gdje je: 1F

sila naboja Q1 na probni naboj q, a

2F

sila naboja Q2 na probni naboj q.

Elektrostatika 27

Sl. 1. Raspored naboja i rezultirajui vektor sile i polja Jednostavnosti radi vektori sila rastavit e se u dvije meusobo okomite osi: apscisnu os i ordinatnu os. S dobivenim komponentama sile xF i yF

rezultirajua sila (iznos) jest:

2y 2

x FFF (2)

gdje je: x2x1x FFF (3a) coscos 21x FFF (3b) Komponente u smjeru osi apscise, y2y1y FFF (4a)

sinsin 21y FFF (4b) Komponente u smjeru osi ordinate, a

x

ytgarcF

F (5)

kut to ga rezultirajua sila zatvara s pozitivnom osi apscise. Iznosi sila i kuta jesu:


N1044,9 9xF

N1042,0 9y

F

Rezultirajua sila, prema (2), jest: N1045,9 9F Kut to ga zatvara rezultirajui vektor sile s pozitivnom osi apscise, prema (5), jest: 055,2 Jakost elektrinog polja u toki C (na mjestu probnog naboja q) prema (3.1), jest:

mV

1045,9 4E

Iz (3.1) takoer slijedi da su vektori E

i F

meusobno kolinearni, pa vektor

jakosti polja zatvara takoer kut s pozitivnom osi apscise.

Primjer 3.3.

Tri naboja smjetena su u tri vrha pravokutnika stranica a x b, slika 1. Odredite jakost polja u etvtom vrhu, toka A. Podaci: cm17a , cm10b , nAs21 Q , nAs162 Q , nAs53 Q .

Rjeenje:

Sl. 1. Raspored naboja i vektori polja u toki A

Elektrostatika 29

Rezultirajua jakost elektrostatikog polja u toki A prema (3.5) jest: 321 EEEE

(1)

Jednostavnosti radi pojedini vektori jakosti polja rastavit e se u dvije meusobno okomite osi: apscisnu os i ordinatnu os. S dobijenim komponentama polja Ex i Ey rezultirajue polje jest:

2y2x EEE (2)

gdje je: 32x cos EEE (3a) komponenta polja u smjeru osi apscise, sin21y EEE (3b) komponenta polja u smjeru osi ordinate, a

046,30tgarc ab

kut to ga dijagonala pravokutnika zatvara s negativnom apscisnom osi. Iznosi jakosti ekektrostatikog polja pojedinih naboja u toki A jesu:

mV

1800K 21

1 b

QE (4a)

mV

3703K 22

2 d

QE (4b)

gdje je:

cm72,1922 bad

mV

1557K 23

3 a

QE (4c)

Uvrtenjem (4) u (3) s poznavanjem kuta dobije se:


mV

92,4748xE mV

18,77y E (5)


mV

55,4749E

Vektor jakosti polja zatvara kut s pozitivnom apscisnom osi:

0

x

y 180tgarc E

E

000 93,18018093,0

Primjer 3.5.

Dva tokasta naboja jednaka po iznosu i suprotna po predznaku nalaze se na meusobnoj udaljenosti a i tvore elektrini dipol. Odredite jakost elektrostatikog polja u tokama A i B, slika 1. i komentirajte dobijene rezultate. Podaci: As10 Q ,, cm2a , cm31 b , cm602 b . Rjeenje: a) Jakost polja u toki A. Iz razloga simetrije u toki A rezultirajue polje

okomito je na simetralu (os ordinata) meu nabojima (komponente vektora polja iji pravac djelovanja pada u os ordinata meusobno se ponitavaju):

coscosA EEE

(1)

Jer su iznosi vektora cosE

i cosE

u toki A meusobno jednaki to iz

(1) se dobije: EE cos2A

(2a) iznosa: EE cos2A

(2b)

Elektrostatika 31

Sl. 1. Dva naboja jednakog iznosa i suprotnog predznaka ine elektrini dipol gdje je:

204 r

QE

(3)

jakost elektrinog polja naboja, prema (3.3) u toki A, a

r2

acosarc (4)

kut to ga radijvektor r

zatvara sa spojnicom dvaju tokastih naboja.

Iznos radijvektora, prema slici 1, jest:

22)2

( ba

r (5)

Uvrtenjem (3), (4) i (5) u (2b) dobije se:

23

220A

])2

[(4

ba

a

QE

(6)

posebno ako je ab dobije se:


30

A 4 ba

Q

E

(7)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se:

za cm31 bb : mV

1066,6 7A E

za cm602 bb : mV

1033,8 3A E

Iz dobijenih rezultata se vidi da pomjeranjem toke A na dvadeset puta veoj udaljenosti, jakost elektrinog polja se smanji za priblino desettisua puta. b) Jakost polja u toki B. Vektori jakosti polja u toki B su suprotni pa je

iznos rezultirajueg vektora: EEEB (8) gdje je:

204

rQ

E

(9a)

204

rQ

E

(9b)

jakost elektrinog polja, prema (3.3), u toki B (na osi apscisa), a

2

,2

abr

abr (10)


2

220

B

)4

(

24 a

b

ba

QE

(11)

Posebno ako je ab dobije se:

Elektrostatika 33

30

B2

4 ba

Q

E

(12)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti se dobije:

za cm31 bb : mV

1088,16 7B E

za cm602 bb : mV

EB31066,16

Smjer rezultirajueg vektora je u smjeru prirasta apscisne osi. Komentar rezultata kao i a).

Primjer 3.6.

Dvije metalne kuglice razliitih radijusa nabijene su nabojima Q1 i Q2 i nalaze se na meusobnom rastojanju a, slika 1. Ako se kuglice meusobno dodirnu a potom vrate u prvobitni poloaj jakost polja u toki P je okomita na spojnicu dvaju naboja. Odredite naboje na svakoj od kuglica. Podaci: cm4a , pAs301 Q , pAs702 Q . Rjeenje: Meusobnim dodirom kuglica doi e do preraspodjele naboja meu kuglicama, ali ukupni naboj na kuglicama e ostati sauvan: '2

'121 QQQQQ (1)

Rezultirajua jakost elektrinog polja u toki P bit e okmita na spojnicu dvaju naboja samo ako komponente polj x1E i x2E meusobno jednake i suprotne: x2x1 EE (2) ili u obliku: coscos 21 EE (2b) gdje su:

2j

'j

j K|| r

QE

(3)


iznosi vektora jakosti polja, prema (3.3), rj udaljenost jtog naboja od toke promatranja, a , kutovi to ih radijvektori zatvaraju sa spojnicom meu nabojima.

Sl. 1. Rezultirajue polje E

okomito je na spojnicu dvaju naboja

Uvrtenjem (3) u (2b) s izraenim kosinusom kuteva, prema slici 1, dobije se:

32

'2

31

'1 3

rQ

rQ

(4)

Rjeenjem sustava (1) i (4) dobije se:

Qrr

rQ 3

23

1

31'

1 3

3

(5a)

Qrr

rQ 3

23

1

32'

2 3 (5b)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se: pAs16,21'1 Q pAs84,78

'2 Q

pri emu je:

cm83,224

a

r1 cm62,311042

ar

Elektrostatika 35

Primjer 3.8.

Izraunajte jakost elektrinog polja, u svim tokama prostora, beskonano duge ravne linije nabijene linijskom gustoom naboja konstantnog iznosa. Takoer zorno prikaite (elektrinim silnicama) ovo elektrino polje. Rjeenje:

Sl. 1. Beskonano duga nabijena linija moe se predoiti beskonanim

zbrojem tokastih naboja Neka je beskonano duga nabijena linija smjetena u apscisnoj osi, slika 1. Nabijena linija moe se predoiti beskonanim zbrojem kvazitokastih naboja: xq dd (1) Polje to ga kvazitokasti naboj (1) uzrokuje u toki promatranja P, prema (3.3.b), jest:

02d

Kd rr

qE

(2)

gdje je: r udaljenost kvazitokastog naboja dq do toke promatranja K prikrata )As/Vm109( 9 Uvrtenjem (1) u (2) dobije se:

02d

Kd rr

xE

(3)


Za odabranu toku promatranja P odredi se njezina projekcija P' na apscisnu os. Zatim se uoe dva kvazitokasta naboja dq1 i dq2, slika 1, koji su jednako udaljeni od toke P'. Iz razloga simetrije njihovo rezultirajue polje u toki P je okomito na nabijenu liniju (detaljnije vidjeti Primjer 3.3, svezak I). Slijedi, rezultirajua jakost elektirnog polja u bilo kojoj toki promatranja to ga uzrokuje beskonano duga nabijena linija je okomita na tu istu liniju i jednaka je y komponenti polja u toki promatranja.

cosd

Kd 2y r

xE (4)

gdje je: kut to ga radijvektor r zatvara s ordinatnom osi u toki promatranja, slika 1. Jer u (4) se ima koordinate pravokutnog i cilindrinog koordinatnog sustava to je nuno se odrediti prema jednom od njih. Bira se, s obzirom na izgled polja, cilindrini koordinatni sustav:

dy

xdyx

tg 2cos, (5a)

cos

,cosy

rry

(5b)


dcosKd y yE (6)

Iz toke promatranja P beskonano duga nabijena linija vidi se pod kutem

]2

,2

[

. Posljednja jednadba poprima oblik:

2

2

y dcosK

y

E (7)


2

2

y |sinK

y

E (8)

Elektrostatika 37

Uvrtenjem granica i prikrate K dobije se:

y

E0

y 2

(9)

Zakljuak: Elektrino polje beskonano duge nabijene linije opada s prvom potencijom udaljenosti. Na slici 2 elektrino polje zorno je prikazano silnicama.

Sl. 2. Silnice beskonano duge nabijene linije su radijalni pravci s osi u osi

nabijene linije

Primjer 3.20.

Kuglica mase m nabijena je pozitivnim nabojem Q i objeena je o tanki neprovodni konac. Ako se objeena kuglica unese u homogeno elektrostatiko polje E

usmjereno suprotno gravitacijskoj sili tada je sila

zatezanja konca zF

, slika 1. Odredite jakost homogenog elektrostatikog polja. Podaci: gr2m , N01,0z F , As2 Q . Rjeenje: Bez prisustva elektrinog polja kuglica mase m bit e uravnoteena (vektorski zbroj sila koji djeluju na kuglicu mora biti jednak nuli), slika 1a:

0g0z FF

(1)

gdje je: 0zF

zatezna sila u koncu bez prisustva elektrostatikog polja, a

gmF g

(2)


sila tee koja djeluje na kuglicu mase m.

Sl. 1. Nabijena kuglica bez prisustva polja a) i uz prisustvo polja b) Kada se unese kuglica mase m u elektrostatiko polje zbroj njegovog smjera djelovanja smanjit e se zatezna sila u koncu )( z0z FF

. Iz uvjeta statike

ravnotee dobije se, slika 1b: 0gez FFF

(3)

Jer su sile meusobno kolinearne odnosno suprotne (3) postaje: gez FFF (4)

gdje je: EQF e (5) elektrostatika sila jakosti polja E

na naboj Q.

Uvrtenjem (2) i (5) u (4) dobije se: gmEQF z (6) Iz (6) se dobije:

Q

FgmE z

(7)

iznosa:

mV

1081,4 3E

Elektrostatika 39

Primjer 3.21.

Vrlo dugi okomito postavljeni tap zanemarivog presjeka i nabijenog nabojem linijske gustoe naboja objeena je na koncu duljine L, kuglica mase m nabijena nabojem Q. Odredite:

a) na kojoj udaljenosti kuglice od nabijenog tapa e konac s nabijenim tapom zatvarati kut od 300;

b) pripadnu duljinu konca.

Podaci: mg10m , m/As5,0 , As3Q . Rjeenje:

Sl. 1. Nabijena kuglica mase m objeena je na nabijeni vrlo dugaki tap Kuglica mase m bit e u statikoj ravnotei ako je vektorski zbroj sila ili njihovih komponenti koji djeluju na nju jednak nuli (pri tome se kuglica smatra materijalnom tokom): 0Rz FF

(1)

gdje je: zF

zatezna sila u koncu, a

egR FFF

(2)

rezultirajua sila koja je jednaka vektorskom zbroju gravitacijske sile. 0ngmF

g (3)


i elektrine sile EQF

e (4)

E jest jakost elektrinog polja vrlo dugakoj nabijenog tapa (vrlo dugaki nabijeni tap malog presjeka moe se zamijeniti beskonano dugom nabijenom linijom), okomito je na tap i opada s prvom potencijom udaljenosti. Prema (9) primjera P3.8 jakost polja na udaljenosti a jest:

002

ra

E

(5)


00

e 2r

aQ

F

(6)

a) Iz pravokutnog trokuta sila, slika 1, dobije se:

g

etgFF

(7)

Uvrtenjem (3) i (6) u (7) uz zadani kut dobije se:

gma

Q

0233

(8)

Iz (8) se dobije:

m)476,0(23

3

0

gm

Qa

b) Iz pravokutnog trokuta duina, slika 1, dobije se:

m)952,0(sin

aL

Elektrostatika 41

Primjer 3.22.

Kako se odnose iznosi i predznaci naboja Q1 i Q2, ako rezultirajui vektor jakosti elektrostatikog polja u toki promatranja P ima smjer, slika 1a, b) i c). Rjeenje: Zaokruite toan odgovor i obrazloite:

1. poz2poz121 ,,|||| QQQQ

2. neg2poz121 ,,|||| QQQQ

3. neg2neg121 ,,|||| QQQQ


5. poz2neg121 ,,|||| QQQQ











4. GAUSSOV ZAKON Tok vektora jakosti elektrostatikog polja E kroz zatvorenu plohu SG jednak je kvocijentu naboja obuhvaenog zatvorenom plohom SG i dielektrine konstante vakuuma:

0

E

q (4.1)

Tok vektora kroz zatvorenu plohu SG jednak je integralu po zatvorenoj plohi SG skalarnog umnoka jakosti elektrostatikog polja E

i elementa plohe S

d :

G

E dS

SE

(4.2)

Uvrtenjem (4.2) u (4.1) dobije se:

G 0

dS

qSE

(4.3)

to je Gaussov zakon u integralnom obliku. Gaussov zakon (4.3) prilagoen nainu raspodjele naboja: - za linijsku raspodjelu naboja:

LS

SE

d1

d0G

(4.4)

- za plonu raspodjelu naboja:

SS

SSE d1

d0G

(4.5)

- za prostornu raspodjelu naboja:

VSEVS d

1d

0G

(4.6)

Elektrostatika 43

Primjer 4.2.

Koliina naboja Q formirana je u obliku kugline plohe (ljuske) radijusa R. Odredite jakost elektrinog polja u svim tokama prostora i grafiki prikaite jakost polja u ovisnosti o udaljenosti od sredita kugline plohe. Rjeenje:

Sl. 1. Naboj Q formiran je u obliku kugline plohe (ljuske)

Za Gaussove plohe SG1 i SG2 biraju se kugline plohe koje su koncentrino smjetene nabijenoj kuglinoj plohi (ljusci). Na slici 1. prikazana je nabijena kuglina ploha s ucrtanim Gaussovim plohama i to za: Rr i Rr . a) Jakost polja za Rr (polje unutar kugline plohe). Prema (4.3) ima se:

1G 0

dS

QSE

(1)

Jer Gaussova ploha SG1 ne obuhvaa naboj Q to (1) postaje:

1G

0dS

SE

(2)

Umnoak dvaju vektora jednak je nuli ako je jedan od njih jednak nuli. Jer element plohe dS postoji to slijedi da je jakost polja jednaka nuli: RrE ,0 (3) (v. primjer P.3.19).

44 4. Gaussov zakon

b) Jakost polja za Rr (polje izvan kugline plohe). Polje kugline plohe je sferno simeterino, radijalni pravci koji pod pravim kutem poniru/izviru iz kugline plohe (v. Primjer 6.2, svezak I). Prema (4.3) ima se:

2G 0

dS

QSE

(4)

Jer su vektori E

i S

d kolinearni vektori i jakost elektrostatikog polja je u

svim tokama promatrane Gaussove plohe (za r = konst.) jednakog iznosa to (4) postaje:

2G 0

dS

QSE

(5)

Zbroj (integral) svih elemenata povrine dS daje povrinu kugline plohe radijusa r:

0

24

Q

rE (6)

Odnosno:

Rrr

QE ,

4 20 (7)

Sl. 2. Raspodjela jakosti polja u ovisnosti o udaljenosti od sredita kugline

plohe

Elektrostatika 45

Primjer 4.3.

Naboji Q1 i Q2 formiraju kugline plohe (ljuske) radijusa R1 i R2 i smjetene su koncentrino jedna spram druge. Odredite jakost polja na udaljenosti:

a) 2

)( 21 RRr

,

b) 22Rr od sredita kugle. Rjeenje: Za Gaussove plohe SG1 i SG2

biraju se kugline plohe koje su koncentrino smjetene nabijenim kuglinim plohama (ljuskama), slika 1. a) Jakost polja za 21 RrR . Prema (4.3) ima se:

1G 0

dS

qSE

(1)

Gaussova ploha SG1 obuhvaa samo naboj Q1, pa (1) postaje):

1G 0

dS

1QSE

(2)

Sl. 1. Nabijene kugline plohe (ljuske) i Gaussove plohe Jer je vektor jakost elektrinog polja E

u svakoj toki Gaussove plohe

kolinearan s vektorom elementa povrine S

d to skalarni umnoak u (2) prelazi u obini umnoak.

46 4. Gaussov zakon

G1 0

dS

1QSE

(3)

I nadalje jer je iznos jakosti elektrinog polja ||EE

u svakoj toki

Gaussove plohe, a na udaljenosti r od njenog sredita, jednako to iznos jakosti elektrinog polja kao konstanta moe izai ispred znaka integrala:

G1 0

dS

1QSE

(4)

Zbroj (integral) svih elemenata dS kugline plohe daje njezinu povrinu:

0

124

Q

rE (5)

Iz (5) se dobije:

2120

1 ,4

RrRr

QE

(6)

Jakost elektrinog polja u toki A za 2/)( 21 RRr jest:

2210

1A )( RR

QE

(7)

b) Jakost polja za 2Rr . Gaussova ploha SG2 obuhvaa obje nabijene

kugline ljuske, pa (4.3) postaje:

2G 0

2dS

1 QQSE

(8)

Uz sva objenjenja o meusobnom ploaju vektora E

i S

d te iznosu vektora

E

reenog u a) (8) postaje:

0

2124

QQ

rE

ili u obliku:

220

21 ,4

Rrr

QQE

(9)

Elektrostatika 47

Jakost elektrinog polja u toki B, 22Rr , jest:

220

21B 16 R

QQE

(10)

Primjer 4.4.

Koliina naboja Q formirana je u obliku kugle radijusa R. Odredite jakost elektrinog polja u svim tokama prostora i grafiki prikaite jakost polja u ovisnosti o udaljenosti od sredita kugle. Rjeenje: Za Gaussove plohe SG1 i SG2 biraju se kugline plohe koje su koncentrino smjetene s obzirom na kuglasto formirani naboj. Na slici 1. prikazana je nabijena kugla s ucrtanim Gaussovim plohama i to za: Rr i

Rr .

Sl. 1. Naboj Q formiran je u obliku kugle prostorne (volumne) gustoe naboja

i Gaussove plohe SG1 i SG2 a) Jakost polja za Rr (polje unutar nabijene kugle). Jakost elektrinog polja nabijene kugle je sferno simetrino, detaljnije vidjeti u primjeru P.6.4., svezak I. Slijedi, jakost polja dijela nabijene kugle radijusa

Rr takoer je sferno simetrina Prema (4.3) ima se:

1G 0

dS

qSE

(1)

SG1, slika1, je kuglina ploha i odabrana je tako da joj sredite pada u sredite nabijene kugle pa su vektor jakosti elektrinog polja E

i vektor elementa

48 4. Gaussov zakon

Gaussove plohe S

d u svakoj toki ove plohe meusobno kolinearni. Slijedi, skalarni umnoak (1) prolazi u obini umnoak. I nadalje, iznos jakosti polja je konstantnog iznosa u svim tokama Gaussove plohe, pa lijeva strana (1) postaje:

1G

24dS

rESE (2)

Za sve toke prostora koje se nalaze na udaljenosti r od sredita nabijene kugle mjerodavna je samo koliina naboja obuhvaena Gaussovom plohom radijusa r, SG1. Obuhvaena koliina naboja

2 proporcionalna je obujmu to ga obuhvaa Gaussova ploha SG1:

QRr

q 33

(3)


33

0

24RrQ

rE

Slijedi jakost polja za sve toke prostora za koje je Rr :

rR

QE 3

04 (4)

b) Jakost elektrinog polja za Rr (polje izvan nabijene kugle). Prema (4.4) ima se:

G 0

dS

qSE

(5)

2 Obuhvaena koliina naboja dobije se iz omjera:

V

Q

V

q*

slijedi:

QR

rQ

R

rQ

V

Vq 3

3

3

3

3

43

4*

Elektrostatika 49

Gaussova ploha SG2 je kugline ploha sa sreditem u sreditu nabijene kugle. Jer je polje nabijene kugle sferno simetrino slijedi da su vektori jakosti polja E

i elementa plohe S

d u svakoj toki Gaussove plohe kolinearni. Skalarni mnoak prelazi u obini uzmnoak. Jer je iznos jakosti polja jednak za sve toke na Gaussovoj plohi (jednaka udaljenost od sredita) lijeva strana (5) jest:

G2

24dS

rESE (6)

Gaussova ploha SG2 obuhvaa ukupni naboj Q: Qq (7) Uvrtenjem (6) i (7) u (5) dobije se:

0

24

Q

rE

Slijedi jakost polja za sve toke prostora za koje je Rr :

204 r

QE

(8)

Na slici 2. dat je grafiki prikaz iznosa jakosti polja u ovisnosti udaljenosti od sredita nabijene kugle.

Sl. 2. Raspodjela polja nabijene kugle u ovisnosti udaljenosti od njezinog

sredita

50 4. Gaussov zakon

Primjer 4.5.

Elektrini naboj prostorne gustoe naboja rasporeen je ravnomjerno izmeu dviju zamiljenih koncentrinih ploha radijusa R1 i R2. Odredite silu na naboj Q0 koji se nalazi na udaljenosti od sredita kuglnih ploha: a) r1 = 1 cm; b) r2 = 9 cm; c) r3 = 20 cm. Podaci: 36 As/m10 , As102 80

Q , cm51 R , cm102 R . Rjeenje: Na slici 1. prikazana je prostorna razdioba naboja s oznaenim tokama u kojim se trai sila na naboj Q0.

Sl. 1. Naboj je prostorno ravnomjerno raspodijeljen izmeu dviju zamiljenih

kuglinih ploha Sila na naboj, prema (2.1 ), jest: EQF

0 (1)

Slijedi, zadatak se svodi na odreivanje jakosti polja u navedenim tokama. Jakost elektrostatikog polja odreuje se uporabom Gaussovog zakona (4.6):

VS

VSE d1

d0G

(2)

Jakost polja u pojedinim tokama odredit e se tako da Gaussova ploha, koja se zbog prostorne raspodjele naboja bira kao kuglina ploha sa sreditem u sreditu zakrivljenosti prostorne raspodjele, poprimi tri razliita radijusa. a) Radijus Gaussove plohe jest 10 Rr . Ovako odabrana Gaussova ploha

ne obuhvaa prostornu raspodjelu naboja, pa je desna strana (2) jednaka nuli:

Elektrostatika 51

0dG

S

SE

(3)

Jer je umnoak dvaju faktora jednak nuli ako je jedan od faktora jednak nuli (element S

d Gaussove plohe postoji), slijedi:

0E (4) za sve toke prostora za koje je Rr . Jasno je da bez prisutnosti polja nema ni sile na naboj: 0F (5) b) Radijus Gaussove plohe jest 21 RrR . Gaussova ploha s navedenim

radijusom obuhvaa* samo dio prostorne raspodjele naboja:

V

Vq d (6)

Integriranjem, uz = konst., se dobije:

)(34 3

13 Rrq (7)


)(34

d 313

0G

RrSES

(8)

* Obuhvaena koliina naboja jest:

)(3

4)1'(

31

3 RrVVq

ili:

rSqr

dkp

)(3

4d4 31

3

1

2 Rrrrqr

R

52 4. Gaussov zakon

Jer je naboj prostorno simetrino raspodijeljen to su jakost polja E

i element plohe S

d u svakoj toki na Gaussovoj plohi meusobno kolinearni (smjer

vektora polja uzima se u raun s predznakom prostorne gustoe naboja). Iznos jakosti polja u svakoj toki Gaussove plohe je jednak, to je opet posljedica prostorne simetrinosti, pa (8) postaje:

)(34

d 313

0G

RrSES

(9)

Integriranjem po Gaussovoj plohi radijusa r dobije se:

)(34 3

13

0

Rrr4E 2

ili u obliku:

)(3

31

32

0

Rrr

E

(10)


)(3

31

32

0

0 Rrr

QF

(11)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se sila iznosa: N106,5 5F (12) Iz (12) slijedi, sila je usmjerena suprotno prirastu radijusa. c) Radijus Gaussove plohe jest 2Rr . Gaussova ploha s navedenim

radijusom obuhvaa* ukupni raspodjeljni naboj: * Obuhvaena koliina naboja jest:

)(3

4)( 31

3212

RRVVQ

ili: rSQ

rdkp

)(3

4d4 31

3

2

2

1

2 RRrrQ

R

R

Elektrostatika 53

V

VQ d

Integriranjem, uz = konst., se dobije:

)(34 3

132 RRQ (13)

Uz prostornosimetrinu raspodjelu naboja i polja, te uz obrazloenja dana za b) dobije se:

)(3

31

322

0

RRr

E

(15)


)(3

31

322

0

0 RRr

QF

(16)

Uvrtenjem zadanih vrijednosti dobije se sila iznosa: N1065,1 5F (17) I ovdje kao i u b) predznak minus govori o smjeru sile.

Primjer 4.6.

Beskonano dugi ravni vodi zanemarivog presjeka nabijen je linijskom gustoom naboja konstantnog iznosa. Treba odrediti jakost polja u svim tokama prostora i grafiki ga prikazati u ovisnosti o udaljenosti od nabijene linije. Rjeenje: Silnice elektrinog polja, prema slici 2. primjera P3.8 ravnog beskonano dugog vodia nabijenog nabojem linijske gustoe naboja su radijalni pravci s ishoditem u osi cilindra i okomiti su na nabijeni vodi: Jakost elektrinog polja odreuje se upotrebom Gaussovog zakona (4.4):

54 4. Gaussov zakon

d1

d0G

S

SE (1)

Sl. 1. Za Gaussovu plohu bira se cilindrina ploha

Za Gaussovu plohu bira se cilindrina ploha duine h i povrine baza B. Cilindrina ploha se u polju postavlja tako da joj os pada u os nabijenog vodia a povrine baza su okomite na ravni vodi. Ovakvo postavljanje cilindrine plohe znai da niti jedna silnica elektrinog polja nee proimati baze cilindrine ploha a proimat e plat cilindra i to pod pravim kutem. Integral po Gaussovoj plohi moe se nainiti kao zbroj tri integrala: po bazama i platu:

LBLPB

SESESE

d1

ddd021

(2)

Jer silnice elektrinog polja ne proimaju baze cilindrine plohe to je elektrini tok jednak nuli. Slijedi, prvi i trei integral u (2) jednaki nuli, ima se:

LP

SE

d1

d0

(3)

Silnice elektrinog polja u svakoj toki plata cilindrine plohe su kolinearne s vektorom elementa

PSd te plohe, skalarni umnoak u (3) prelazi u obini

umnoak. I nadalje, u svim tokama cilindrine plohe jakost elektrinog polja ima jednaki iznos, pa se ima:

Elektrostatika 55

hrESEP

2d

(4)

Naboj to ga obuhvaa Gaussova ploha jest: h

L

d (5)


0

2

h

hrE

odakle je:

r

E02

(6)

Na slici 2. dat je grafiki prikaz iznosa jakosti polja u ovisnosti udaljenosti od nabijene linije.

Sl. 2. Raspodjela polja nabijene linije u ovisnosti o udaljenosti od nabijene

linije

Primjer 4.7.

Beskonano dugi ravni cilindar radijusa R nabijen je nabojem plone gustoe naboja konstantnog iznosa. Odredite jakost elektrinog polja u svim tokama prostora i grafiki ga prikaite u ovisnosti o udaljensoti od osi cilindra.

56 4. Gaussov zakon

Rjeenje: Silnice elektrinog polja beskonano dugog nabijenog cilindra su, iz razloga simetrije, radijalni pravci, izvor im je na platu cilindra i okomiti su na taj isti plat, slika 1. Na slici 1. prikazana je Gaussova ploha i to za Rr . U primjeru P4.2. pokazano je da unutar nabijene zatvorene plohe nema elektrinog polja, pa se odreuje polje samo za Rr . Jakost elektrinog polja odreuje se upotrebom Gaussovo zakona (4.5):

cSS

SSE d1

d0G

(1)

Sl. 1. Za Gaussovu plohu bira se cilindrina ploha Za Gaussovu plohu bira se cilindrina ploha duine h i povrine baza B. Cilindrina ploha se postavlja tako da joj os pada uz os nabijenog cilindra a povrine baza su pri tome okomite na ravni vodi. Uz obrazloenja dana u primjeru P4.6. ima se:

cSBPB

SSESESE d1

ddd021

(2)

Jer silnice elektrinog polja ne proimaju baze cilindrine plohe to je elektrini tok jednak nuli. Slijedi, prvi i trei integral u (2) jednaki su nuli, ima se:

cSP

SSE d1

d0

(3)

Elektrostatika 57

Silnice elektrinog polja u svakoj toki plata cilindrine plohe su kolinearne s vektorom elementa

PSd te plohe, skalarni umnoak u (3) prelazi u obini

umnoak. I nadalje, jakost elektrinog polja u svim tokama plata cilindrine plohe ima jednaki iznos, pa se ima: hrESE

P

2d

(4)

Naboj to ga obuhvaa Gaussova ploha jest: hRS

S

2dc

(5)


RrrR

E , (6)

Na slici 2 dat je grafiki prikaz iznosa jakosti polja u ovisnosti o udaljenosti od osi cilindra.

Sl. 2. Raspodjela polja nabijenog cilindra u ovisnosti o udaljenosti od osi

cilindra

Primjer 4.8.

Naboj prostorne gustoe formira u prostoru beskonano dugi ravni cilindar radijusa R. Odredite jakost elektrinog polja u svim tokama prostora i grafiki ga prikaite u ovisnosti o udaljenosti od osi cilindra.

58 4. Gaussov zakon

Rjeenje: Na slici 1 prikazan je nabijeni cilindar s ucrtanim Gaussovim plohama i to za: Rr i Rr .

Sl. 1. Cilindar gustoe naboja i Gaussove plohe SG1 i SG2

a) Jakost polja za Rr (polje unutar nabijenog cilindra). Jakost elektrinog polja nabijenog cilindra je radijalno, jednako kao i polje beskonano dugog vodia znemarivog presjeka i nabijenog linijskom gustoom naboja , odnosno kao polje beskonano dugog cilindra nabijenog plonom gustoom naboja . Slijedi i polje dijela nabijenog cilindra radijusa Rr takoer je radijalno simetrino.

Prema (4.6) ima se:

VS

VSE d1

d01G

(1)

Gaussova ploha SG1, slika 1, je cilindrina ploha i odabrana je tako da joj os pada u os nabijenog cilindra. Zbog ovakvog odabira, silnice vektora elektrinog polja, vidi primjer P4.4. i P4.5., samo proimaju plat cilindrine plohe, dok ne proimaju baze cilindra (elektrini tok kroz baze cilindra jednak je nuli):

VP

VSE d1

d0

(2)

Vektor elektrinog polja u svakoj toki plata kolinearan je s vektorom elementa plohe S

d , odnosno s njegovom normalom 0n

, pa lijeva strana (2)

postaje:

Elektrostatika 59

P

hrESE 2d (3)

Gaussova ploha obuhvaa samo dio prostorne raspodjele naboja*: hrV

V

2d (4)


rE02

(5)

b) Jakost polja za Rr (polje izvan nabijenog cilindra). Gaussova ploha

SG2, slika 1, je cilindrina ploha kojoj os pada u os nabijenog cilindra, dakle ploha SG1 je koncentrina nabojem cilindra.

Prema (4.6) ima se:

VS

VSE d1

d0G2

(6)

Zbog ovakvog odabira i smjetaja Gaussove plohe silnice elektristatikog polja samo proimaju plat cilindra, dok nema proimanja bza cilindra. Vektor elektrinog polja u svakoj toki plata kolinearan je sa vektorom elementa plohe S

d , odnosno s njegovom normalom 0n

, pa lijeva strana (6)

postaje: hrESE

P

2d

(7)

Gaussova ploha obuhvaa ukupni prostorni naboj na duini cilindra h: hRV

V

2d (8)


* Obuhvaena koliina naboja na radijusu r uz kontantnu gustou naboja jest:

hrVVV

2d

60 4. Gaussov zakon

r

RE

0

2

2

(9)

Na slici 2 dat je grafiki prikaz iznosa jakosti polja u ovisnosti o udaljenosti od osi cilindra prostorne gustoe naboja = konst.

Sl. 2. Raspodjela polja ravnog cilindra nabijenog nabojem prostorne gustoe

naboja = konst. u ovisnosti o udaljenosti od osi cilindra

Primjer 4.9.

Beskonano velika ravna ploha nabijena je nabojem plone gustoe konstantnog iznosa. Odredite jakost polja u svim tokama prostora i grafiki prikaite jakost polja u ovisnosti o udaljenosti od nabijene ravne plohe.

Rjeenje:

Sl. 1. Za Gaussovu plohu bira se cilindrina ploha

Elektrostatika 61

Iz primjera P3.18, slika 2 je vidljivo da je elektrino polje beskonano velike ravne plohe nabijene nabojem plone gustoe naboja homogeno polje i da elektrine silnice su okomite na ravnu plohu. Jakost elektrinog polja odreuje se upotrebom Gaussovog zakona (4.5):

SS

SSE d1

d0G

(1)

Za Gaussovu plohu SG bira se cilindrina ploha visine h i povrine baza B. Cilindrina ploha se postavlja tako da su joj baze paralelene s nabijenom plohom dok se izvodnice plata podudaraju sa silnicma polja. Baze cilindra su na jednakoj udaljenosti h/2 od nabijene plohe ime se osigurava da je jakost polja na bazama cilindra B1 i B2 meusobno jednaka. Integral po Gaussovoj plohi moe se nainiti kao zbroj tri integrala: po bazama i platu:

SBPB

SSESESE dddd021

(2)

U prvom i treem intervalu vektori jakosti polja i vektor normale baza su kolinearni pa skalarni mnoak prelazi u obini umnoak. U drugom integralu vektor jakosti elektrinog polja i vektor normale plata su meusobno okomiti pa je njihov skalarni mnoak jednak nuli to je za oekivati jer niti jedna silnica elektrinog polja ne prodire kroz plat cilindra. Jednadba (2) postaje:

SBB

SSESE ddd021

(3)

Povrine baza* plata su meusobno jednake i jednake su povrini beskonano velike plohe obuhvaene platom cilindra. Jednadba (3) postaje:

0

2

E (4)

odakle se dobije:

02

E (5)

* Prema (3) ima se:

SESES0

62 4. Gaussov zakon

Ovaj rezultat jednak je rezultata (9) u Primjeru 3.18. Na slici 2 dat je grafiki prikaz iznosa jakosti polja u ovisnosti o udaljenosti od nabijene plohe:

Sl. 2. Raspodjela polja nabijene ravne plohe plonom gustoom naboja

=konst. u ovisnosti o udaljenosti od nabijene plohe Primjer 4.10.

Dvije beskonano velike ravne plohe nabijene su nabojem plone gustoe konstantnog iznosa jednakim po iznosu i suprotnim po predznaku. Odredite jakost polja u svim tokama prostora. Rjeenje: Traeno polje odredit e se dvojako: - metodom superpozicije (koristite rezultat zadatka P4.9) - uporabom Gaussovog zakona.

Sl. 1. Elektrino polje svake od beskonano velikih ravnih ploha a) i

rezultirajue polje b)

Elektrostatika 63

a) metoda superpozicije. Na slici 1 prikazano je elektrino polje svake od nabijenih ravnih beskonano velikih ploha. Elektrino polje svake od nabijenih ploha je homogeno, s time to je pozitivno nabijena ravna ploha izvor elektrinih silnica dok je negativno nabijena ravna ploha njihov ponor. Prema (5) zadatka P4.9. iznos elektrinog polja jest:

02

E (1)

i ne ovisi o udaljenosti od nabijene ravne plohe.

Iz slike 1 je vidljivo da se silnice elektrinog polja izvan nabijenih ploha meusobno ponitavaju dok se u prostoru izmeu nabijenih ploha meusobno superponiraju. Slijedi, elektrostatiko polje van nabijenih ploha jednako je nuli 0E (2) dok je u meurpostoru nabijenih ploha

0

E (3)

b) upotreba Gaussovog zakona. Jakost elektrinog polja odreuje se

upotrebom Gaussovog zakona (4.5):

SS

SSE d1

d0G

(4)

Sl. 2. Za Gaussovu plohu se bira cilindrina ploha

64 4. Gaussov zakon

Za Gaussovu plohu SG bira se cilindrina ploha visine h i povrina baz B. Cilindrina se ploha u polju postavlja tako da su joj baze paralelne s nabijenom plohom, dok se izvodnice plata podudaraju sa silnicama elektrinog polja, slika 2 (v. primjer P4.9). Integral po Gaussovoj plohi moe se nainiti kao zbroj tri integrala: po bazama i platu:

SBPB

SSESESE dddd021

(5)

Prvi integral, po prvoj bazi, jednak je nuli jer je jakost elektrinog polja van nabijenih ploha jednaka nuli. Drugi integral, po platu, takoer je jednak nuli jer niti jedna silnica elektrinog polja ne proima plat (vektor elektrinog polja E

i vektor normale 0n

su meusobno okomiti). Trei integral, jer je

jakost elektrinog polja u svim tokama druge baze jednakog iznosa i kolinearan je s vektorom normale 2n

, moe se pisati:

SB

SSE dd2 0

(6)

Povrina druge baze B2 jednaka je povrini S beskonano velike plohe obuhvaenoj Gaussovom plohom SG, pa (6) postaje:

0

E (7)

Primjer 4.11.

Tri beskonano velike ravne plohe meusobno su paralelno postavljene i nabijene nabojem plonih gustoa 1, 2 i 3. Odredite jakost polja po iznosu i smjeru u tokama A, B, C i D. Podaci: 1 , 22 , 3 . Rjeenje: Na slici 1 prikazane su ravne plohe s ucrtanim vektorima polja svake od njih. Zadatak e se rijeiti metodom superpozicije koristei se rezultatom dobijenim u Primjeru 4.9. Elektrino polje beskonano velike ravne plohe je homogeno i ne ovosi o udaljenosti od nabijene plohe i iznosa jest:

Elektrostatika 65

Sl. 1. Slika polja pojedinih ravnih nabijenih ploha i rezultirajue polje u

karakteristinim tokama

02

E

Prva ravna ploha nabijena je nabojem plone gustoe 1 pa je ona ponor silnicama elektrinog polja, dok su druge dvije ravne plohe nabijene nabojem plone gustoe 22 i 3 pa su one izvor silnicama elektrinog polja. Rezultirajue polje jednako je vektorskom zbroju pojedinih polja u toki promatranja. Jer su vektori polja pojedinih ploha meusobno ili kolinearni ili suprotni to se vektorski zbroj svodi na algebarski zbroj. Iznosi polja u pojedinim tokama jesu: - toka A: EEEEE 22A B: EEEEE 42B C: 02C EEEE

D: EEEEE 22D Predznak polja govori o smjeru: + u smjeru prirasta pozitivne apscisne osi i obrnuto.

66 4. Gaussov zakon

Primjer 4.12.

Usporedno s beskonano velikom ravnom plohom nabijenom plonom gustoom naboja protee se beskonano dugi ravni vodi zanemarivog presjeka i nabijen nabojem linijske gustoe . Nabijeni vodi je udaljen za d od nabijene plohe. Odredite tako linijsku gustou naboja na vodiu po predznaku i iznosu da na plovici razmaka izmeu vodia i ravne plohe jakost elektrinog polja bude jednaka nuli. Podaci: 2mAs10 , mm5d . Rjeenje:

Sl. 1. Prostorni razmjetaj ravne plohe i vodia s ucrtanim vektorima polja u

toki promatranja Na slici 1 prikazan je prostorni razmjetaj ravne plohe i vodia, te njihovi vektori polja u toki promatranja P. Polje beskonano velike ravne plohe nabijene ravnomjerno nabojem plone gustoe , v. Primjer 4.9, je okomito na nabijenu ravnu plohu i neovisno je o udaljenosti od te plohe, jednaba (5) istog zadatka:

02

E (1)

Polje beskonano dugog ravnog vodia ravnomjerno nabijeno nabojem linijske gustoe , v. Primjer 4.6, jest radijalno s ishoditem u osi cilindra i okomito je na ravni vodi i prema jednadbi (6) istog zadatka opada s prvom potencijom:

r

E0

v 2

(2)

Elektrostatika 67

Iz slike 1. je vidljivo, da bi rezultirajue polje u toki promatranja bilo jednako nuli, ravni beskonano dugi vodi mora biti nabijen nabojem pozitivnog predznaka. Iz zahtjeva zadatka, da je jakost polja u toki P jednako nuli ima se: 0v EE

(3)

Jer su vektori suprotni (3) postaje: vEE (4) Uvrtenjem (1) i (2) u (4) uz 2/dr dobije se:

222 00

d

Iz posljednje jednadbe se dobije:

2

d

iznosa: 1mAsn54,78

5. ELEKTRINI POTENCIJAL I RASPODJELA NABOJA PO VODIIMA

Potencijalna energija elektrostatikog polja, prema (7.22), jest:

VAsdp

EqW (5.1)

Elektrini potencijal, prema (7.32), jest:

Vpq

W (5.2)

Uvrtenjem (5.1) u (5.2) dobije se:

dE (5.3)

Elektrini potencijal brojano je jednak radu koji izvri sila koja je po iznosu jednaka sili elektrostatikog polja pomiui tokasti naboj jedininog iznosa,

1q , iz beskonanosti do toke promataranja protivno sili polja. Razlika potencijala (napon) izmeu toaka M i N (7.37) jest:

M

N

EU

dMN (5.4)

Ekvipotencijalna ploha ploha na kojoj je u svakoj toki potencijal jednakog iznosa, prema (7.42), jest:

0d B

A

E

(5.5)

Ako je zadan potencijal ),,( zyx tada je elektrino polje jednako negativnoj derivaciji potencijala po, sasvim openito, elementu puta d (7.45):

E (5.6)

Elektrostatika 69

Primjer 5.6.

Metalne kugle radijusa RA i RB nabijene su nabojima QA0 i QB0. Kugle se nalaze na meusobnoj udaljenosti d (udaljenost sredita). Ako se kugle meusobno spoje tankom metalnom niti odredite: a) naboj svake kugle b) jakost elektrinog polja svake od kugli neposredno uz njezinu povrinu. Podaci: nAs30A0 Q , nAs10B0 Q , m2d , cm10A R , cm2B R . Rjeenje:

Sl. 1. Metalne kugle spojene su tankom metalnom niti Nakon spajanja kugli naboj na njima jest: nAs20BAB0A0u QQQQQ (1) (pretpostavlja se da na spojnoj niti nema naboja). Spajanjem dviju kugli one postaju ekvipotencijalno tijelo: BA (2) Potencijal pojedinih kugli jest:

d

QR

Q

0

B

A0

ABAAAA 44

(3a)

d

QR

Q

0

A

B0

BABBBB 44

(3b)

Napomena:

Postupak prorauna potencijala na povrini vodljive kugle jednak je proraunu potencijala tokastog naboja na udaljenosti jednakoj radijusu kugle (ne zaboravite da je vodljiva kugla ekvipotencijalna ploha).

70 5. Elektrini potencijal i raspodjela naboja po vodiima

Jer je BA , RRd to se drugi pribrojnik u (3) moe zanemariti, pa (3) postaje:

A0

AA 4 R

Q

(4a)

B0

BB 4 R

Q

(4b)


B

A

B

A

RR

QQ

(5)

Rjeenjem sustava (1) i (5) dobije se:

nAs)67,16(uBA

AA Q

RRR

Q (6)

nAs)33,3(uBA

BB Q

RRR

Q (7)

Jakost elektrinog polja na povrini kugline plohe, prema (8) primjera 6.2. I. sveska, jest:

)m

5,1(4 2A0

AA

VR

QE

(8)

)m

49,7(4 2B0

BB

VR

QE

Primjer 5.9.

Naboji Q1 i Q2 formirani su u obliku kuglinih ljuski plonih gustoa naboja 1 i 2 i radijusa R1 i R2, 12 RR . Kugline ljuske smjetene su simetrino jedna u drugu, slika 1. Odredite potencijal u toki promatranja T koja je na udaljenosti r od sredita kugle, 21 RrR .

Podaci: cm,51 R cm,152 R cm,10r2

21 nAsm85,8 .

Elektrostatika 71

Rjeenje:

Sl. 1. Nabijene metalne kugline ljuske smjetene su simetrino jedna na

drugu Zadatak e se rijeiti na dva naina: a) koritenjem ve steenih saznanja b) primjenom izraza za elektrini potencijal (5.3). a) Potencijal nabijene kugline ljuske jest:

RrR

Q 0

4 0 (1)

rRr

Q

04 (2)

Potencijal unutar nabijene kugline ljuske jednak je potencijalu ljuske v. primjer 8.1. I. sveska, dok izvan kugle opada s prvom potencijom udaljenosti, v. primjer 7.3.5. I. sveska. Na slici 2. dana je grafika interpretacija potencijala dvije nabijene kugline ljuske. Iz slike 2. slijedi da je potencijal u toki T na udaljenosti r od sredita kuglinih ljuski, prema (1) i (2) jednak zbroju potencijala prve i druge nabijene kugline ljuske:

20

2

0

121T 44 R

Qr

Q

(3a)

ili u obliku:


)(4

1

2

21

0T R

Qr

Q

(3b)

Sl. 2. Raspodjela potencijala nabijenih kuglinih ljuski Naboji Q1 i Q2 jesu: pAs2784 211111 RSQ pAs25024 222222 RSQ Potencijal toke T, prema (3b), jest: V14,175T b) Potencijal, prema (5.3), jest:

rr

rEE ddT

(4)

Potencijal u toki T jednak je zbroju potencija u odnosu na referentnu toku u beskonanosti:

)d(d2

1

2

12T

r

R

R

rErE

(5)

gdje je:

Elektrostatika 73

20

2112 4 r

QQE

(6)

jakost elektrinog polja izvan metalnih ljuski, a:

20

11 4 r

QE

(7)

jakost elektrinog polja u meurpostoru metalnih ljuski (ne zaboravite naboj Q2 druge metalne ljuske ne doprinosi jakosti polja u meuprostoru metalnih ljuski). Uvrtenjem (6) i (7) u (5) dobije se:

)d

4(

d4

2

20

12

20

21T

r

R

R

rrQ

rrQQ


r

R

R

rQ

rQQ

20

12

0

21T |)

1(

4|)

1(

4

Uvrtenjem granica dobije se:

)11

(44 20

1

20

21T Rr

QR

QQ

ili u obliku:

)(4

1

2

21

0T R

Qr

Q

(8)

to je identino s (3).


Primjer 5.15.

Ravni beskonano dugi vodi zanemarivog presjeka nabijen je nabojem linijske gustoe naboja nepoznatog iznosa. Izmeu toaka A i B, koje se nalaze na udaljenosti RA i RB od nabijenog vodia a na istom pravcu, izmjeren je napon UAB. Odredite: a) linijsku gustou naboja b) odredite toku C na udaljenosti RC tako da je napon ABBC UU .

Podaci: V100AB U , cm10A R , cm5,14B R . Rjeenje:

Sl. 1. Prostorni raspored nabijene linije i toaka promatranja a) Napon (razlika potencijala) izmeu toaka A i B prema (5.3) jest.

A

B

A

B

BAAB ddR

R

R

R

rEEU

(1)

gdje je:

r

E02

(2)

jakost polja ravne nabijene linije prema (6) primjera 4.6. Uvrtenjem (2) u (1) dobije se:

A

B0AB

d2

R

R rr

U

Nakon integriranje se dobije:

A

B

0AB ln2 R

RU

(3)

Iz (3) se dobije:

)m

nAs95,14(

ln

2

A

B

AB0

RRU

Elektrostatika 75

b) Napon izmeu toaka B i C, prema (3), koristei analogiju jest:

B

C

0BC ln2 R

RU

(4)

Iz jednakosti naboja, BCAB UU , dobije se:

B

C

0A

B

0

ln2

ln2 R

RRR

odakle je:

cm025,21A

2B

C RR

R

Primjer 5.18.

Dva vodia konanog presjeka S i duljine L na meusobnom razmaku L ine elektrini vod. Vod je prikljuen na pogonski napon U. Odredite: a) naboj na svakom od vodia b) minimalnu jakost polja na spojinici meu vodiima. Podaci: mm4R , m2,1d , km2L , kV6,3U Rjeenje: Jer je duina voda mnogo vea od razmaka meu vodiima to se moe uzeti da je elektrino polje u svim poprenim presjecima voda jednako. a) Naboj na vodiima odredit e se iz poznavanja razlike potencijala meu

njima pogonski napon. Razlika potencija meu vodiima, prema (7.37) I. sveska, jest:

Sl. 1. Vektori elektrinog polja na spojnici meu vodiima i raspodjela polja

svakog od nabijenog vodia


M

N

EU

dMN (1)

Za odreivanje razlike potencijala moe se uzeti bilo koji put integracije na liniji koja povezuje vodie, pa se odabire najjednostavniji (spojnica meu vodiima). Vektori jakosti polja i element duine na spojnici su meusobno kolinearni, slika 1. Jednadba (1) postaje:

M

N

M

N

xExEUU ded xMN

(2)

gdje je: EEE (3) rezultirajua jakost elektrinog polja, a dx element duine. Prema (7) primjera 10.5 I. sveska, jednadba (3) postaje:

)(22 00 xdx

E

(4)


xxdx

UR

Rd

d)11

(2 0

(5)


R

R-dx-dxU )](lnln[

2 0

(6)

Uvrtenjem granica dobije se:

R

R-dU ln

0

(7)

Iz (7) dobije se linijska gustoa naboja:

Elektrostatika 77

RR-d

U

ln

0 (8)

Traena koliina naboja na svakom od vodia, prema (4.2) I. sveska, jest:

L

LdxQ0

(9)


RR-dUL

Qln

0 (10)

iznosa: As09,35Q b) Minimalna jakost elektrinog polja na spojnici meu vodiima voda

odredit e se iz nunog uvjeta ekstrema funkcije: prva derivacija funkcije jednaka je nuli. Iz (4) se dobije:

0])(

11[

2dd

220

xdxx

E

(11)

Iz (11) se dobije:

2d

x (12)

u toki 2/dx mogu je minimum i maksimum jakosti elektrinog polja. Stoga je nuno potraiti drugu derivaciju funkcije:

])(

212[

2d

d33

02

2

xdxx

E

(13)


08

)2

(dd

32

2

d

dx

xE


Funkcija jakost elektrinog polja na polovici spojnice ima minimalnu vrijednost:

d

E0

2

(14)

iznosa: V7,1052E

6. RAD I POTENCIJALNA ENERGIJA Rad, prema Maxwellu, jest savladavanje sile na putu (sasvim openito): LFA (6.1) Ako se sila mijenja na tom putu od toke do toke izmeu toaka P i T a uz to smjer sile ne pada u smjer puta tada je rad izmeu promatranih toaka:

dT

P

FA (6.2)

Jednako tako i rad to ga naini elektrostatika sila pomiui tokasti naboj iz toke u toku jest:

deT

P

FA (6.3)

gdje je: EqF

e (6.4)

sila elektrostatikog polja na naboj q. Uvrtenjem (6.4) u (6.3) dobije se:

dT

P

EqA (6.5a)

ili promjenom granica

)d(

P

T

EqA (6.5b)

Izraz u zagradama jest razlika potencijala izmeu toaka P i T. )( TPqA (6.6) Potencijalna energija je po iznosu jednaka radu potrebnom da se naboj dovede iz beskonanosti u promatranu toku P u elektrinom polju i prema (7.30), jest:

80 6. Rad i potencijalna energija

P

EqW

dp (6.7)

Pomicanjem pozitivnog naboja u smjeru elektrinog polja njegova potencijalna energija se smanjuje. Suprotno, ako se naboj pomie protiv sile elektrinog polja, ulae se rad/energija, pa se potencijalna energija naboja poveava. Ako je taj rad pozitivan, tada je energija negativna i obratno (o predznaku rada v. odjeljak 7.2, svezak I.). Primjer 6.1.

Naboj Q nalazi se u homogenom elektrinom polju ploastog kondenzatora, slika 1. Odredite rad dobijen pomiui naboj: a) iz toke B u toku C b) iz toke C u toku B. Podaci: L razmak meu tokama CB . Rjeenje:

Sl. 1. Naboj Q se pomie u smjeru elektrinog polja a) i protivno b) a) Sila elektrinog polja moe pomicati naboj samo du silnice elektrinog

polja. Slijedi, pomiui naboj u smjeru polja dobije se korisni rad i to na raun smanjenja potencijalne energije naboja Q. Put BC moe se prikazati kao zbroj puteva CCBC '' , gdje je C' projekcija toke C na silnicu elektrinog polja na kojoj je toka B.

Elektrostatika 81

dd'

e

'

e C

C

C

B

FFA (1)

Dio puta C'C je stoga okomit na silnice elektrinog polja odnosno pripada dijelu ekvipotencijalne plohe. Jer je rad sile po ekvipotencijalnoj plohi jednak nuli, to (1) postaje:

d'

eC

B

FA (2)

Sila elektrinog polja eF

i element puta

d na dijelu puta BC' su meusobno

kolinearni pa u (2) skalarni umnoak prelazi u obini:

d'

eC

B

FA (3)

Ovaj rad prema (5.9) i (5.12) jest: )( C'B QA (4) gdje je: cosdC'B LEE (5) Uvrtenjem (5) u (4) dobije se: cosLEQA (6) b) Pomicanje naboja iz toke C u B, dakle suprotno sili elektrinog polja

moe se ostvariti samo s pomou vanjske sile vF

. Put CB opet se moe

prikazati kao zbroj puteva BCCC '' . Rad na dijelu puta CC' jednak je nuli (objanjeno u a)) i ostaje rad na dijelu puta C'B:

d'

vB

C

FA (7)

Vanjska sila na svakom dijelu puta jednaka je po iznosu i suprotnog je smjera sili elektrinog polja:


d'

eB

C

FA (8)

Vektori eF

i

d su suprotni vektori pa (8) postaje:

dd'

e'

e C

B

B

C

FFA (9)

Ovaj rad prema (5.9) i (5.12) jest: )( C'B QA (10) Uvrtenjem (5) u (10) dobije se: cosLEQA (11) Uloeni rad jednak je potencijalnoj energiji naboja u promatranoj toki: cosp LEQAW (12)

Primjer 6.2.

Ploastom kondenzatoru poznate su izmjere i naboj na oblogama. Odredite rad da se naboj q prenese s pozitivne obloge na negativnu i obratno. Podaci: nAs50Q , nAs1,0q , cm200xcm50S , mm5,0d , Rjeenje:

Sl. 1. Promjena potencijala meu oblogama kondenzatora je linearna

Elektrostatika 83

Rad to ga ostvari elektrostatika sila pomiui tokasti naboj q od toke P (pozitivna obloga kondenzatora) do toke T (negativna obloga kondenzatora) jest koristan rad i prema (5.12) jest: )( TP qA (1) gdje su P i T potencijali pozitivne odnosno negativne obloge i prema (4) primjera 7.9. I sveska jest:

V)25,28(2 0

00

d

(2)

Uvrtenjem (2) u (1) dobije se: nJ)65,5(2 0

qA (3) Ostvareni rad jednak je, prema (5.13), negativnoj vrijednosti potencijalne energije naboja: J)65,5( AW Da bi se premjestio naboj iz toke T u toku P treba uloiti rad vanjske sile, suprotno sili elektrostatikog polja: nJ)65,5()()( TPPT qqA (5) Premjetanjem naboja suprotno sili elektrostatikog polja naboju se poveava njegova potencijalna energija i na pozitivnoj oblozi kondenzatora iznosi: nJ65,5 AW (6)

Primjer 6.4.

Dva tokasta naboja Q1 i Q2 nalaze se na meusobnoj udaljenosti a, slika 1. Odredite rad sile elektrostatikog polja pri pomicanju naboja q od: a) toke P do toke R b) toke R do toke T c) toke P do toke T


Toke P i T s nabojima Q1 i Q2 ine romboid stranice a. Podaci: nAs51Q , nAs102 Q , nAs1,0q , cm3a .

Rjeenje:

Sl. 1. Naboji Q1 i Q2 smjeteni su u dva vrha romboida Rad to ga sila elektrostatikog polja ili vanjska sila ostvari pomiui naboj iz toke P do toke T, prema (6.6) jest: )( TP qA (1) Prema (1) za odrediti rad sile elektrostatikog polja nuno je odrediti potencijale u tokama P, R i T. Potencijal dva ili vie naboja, prema (1), Primjera 5.2. jest:

2

1k k

k

0

alg4

1rQ

(2)

ili razvijeni zbroj:

)(4

1

2

2

1

1

0 rQ

rQ

(3)

gdje su: r1 i r2 udaljenosti naboja Q1 i Q2 do promatrane toke. Potencijal u toki P:

V)1500()(4

1)(

41

210

21

0P QQaa

QaQ

(4)

Elektrostatika 85

Potencijal u toki R:

V)3000()(4

2)

22

(4

121

0

21

0R QQaa

QaQ

(5)

Potencijal u toki T: jer je toke T simetrina toki P s obzirom na spojnicu

21 QQ to je: V)1500(PT Prema (1) odreuje se rad: a) nJ)150()( RPPR qA b) nJ)150()( TRRT qA c) nJ)0()( TPPT qA Zakljuak: Za pomicanje naboja od toke P do toke R odgovorna je sila elektrostatikog polja (rad je pozitivan koristan rad). Za pomicanje naboja od toke R do toke T (rad je negativan uloeni rad) treba upotrijebiti vanjsku silu. Toka P i toka T su na jednakom potencijalu, to znai da pripadaju istoj ekvipotencijalnoj plohi pa ne treba uloiti rad za pomicanje naboja.

Primjer 6.5.

etiri jednaka tokasta naboja Q nalaze se u vrhovima baze pravilne etverostrane primade stanice a. Odredite kakav je rad (koristan, utroen) pri pomicanju tokastog naboja q iz beskonanosti u vrh piramide visine h. Podaci: nAs1,0Q , nAs5,0q , m1,0a , ah . Rjeenje: Jer su i naboji u vrhovima baze piramide i naboj koji se pomie iz beskonanosti istog predznaka meu njima vlada odbojna Coulombova sila. Slijedi, za pomicanje naboja treba utroiti rad. Rad to ga mora nainiti vanjska sila pomiui tokasti naboj q iz beskonanosti u promatranu toku P (vrh piramide) prema (6.6) jest:


)( P qA (1)

Sl. 1. Tokasti naboji nalaze se u bazi pravilne etverostranine piramide Potencijal, to ga stvaraju etiri naboja, u beskonanost jest nula: 0 (2) Potencijal etiri naboja u promatranoj toki, prema (1) primjera 5.5. jest:

)()4

(4

.1

00P b

QbQ

(3)

Brid piramide prema slici 1. jest:

m)12,2(23

ab (4)

Traeni potencijal prema (3) jest: V7,1P (5) Uvrtenjem (2) i (5) u (1) dobije se: nJ85,0A

Elektrostatika 87

Primjer 6.6.

Metalna kugla radijusa R nabijena je nabojem +Q. Odredite rad elektrostatike sile da se tokasti naboj +q pomakne s njezine povrine u: a) beskonanost b) do udaljenosti na kojoj je rad 90% rada za pomjeranje u beskonanost. Podaci: m2,0R , As5Q , nAs5q . Rjeenje: Jer su naboj kugle i tokasti naboj istog predznaka meu njima vlada odbojna Coulombova sila. Slijedi, ostvareni rad je korisni rad i ostvaruje se na raun smanjenja potencijalne energije tokastog naboja.

Sl. 1. Pod djelovanjem Colulombove sile tokasti naboj se pomie s povrine

metalne kugle u beskonanost a) Rad to ga ostvaruje elektrostatika sila pomiui tokasti naboj s povrine

kugle u beskonanost, prema (6.6) jest: )( KK qA (1) gdje je: K potencijal na povrini kugle. Potencijal na kuglinoj plohi jednak je radu koji treba uloiti da bi se tokasti naboj jedininog iznosa podsredstvom vanjske sile prenio iz beskonanosti do povrine kugle suprotno sili elektrostatikog polja (vidi primjer 5.1):

RR

rEE ddK

(2)

Elektrino polje nabijene vodljive kugle, v. Primjer 6.2, I. sveska, jest:


Rrr

QE ,

4 20 (3)


R

rrQ2

0K

d4

(4)


R

Q

0K 4

(5)

poencijal u beskonanosti za koji se uzima da je nula. 0 (6) Uvrtenjem (5) i (6) u (1) dobije se:

J)1125(4 0

K RQq

A

(7)

b) Rad to ga ostvaruje elektrostatika sila pomiui tokasti naboj s porine

kugle do toke na udaljenosti r u kojoj je ostvareni rad jednak 90% ostvarenog rada pomicanjem tokastog naboja u beskonanost, prema (6.6), jest:

)( PKKP qA (8) gdje je: K potencijal na povrine kugle (5) P potencijal na udaljenosti r od sredita kugle, toka P. Ovaj potencijal prema (4) jest:

r

rrQ2

0P

d4

(9)


Elektrostatika 89

Rrr

Q ,

4 0P

(10)

Uvrtenjem (5) i (10) uz zadani uvjet KKP 9,0 AA dobije se:

)44

(4

9,0000 r

QR

Qq

RQq

(11)

Iz (11) traena udaljenost jest: Rr 10 (12) iznosa: m2r

7. VODII U ELEKTROSTATIKOM POLJU Elektrina influencija razdvajanje naboja u vodiu pod djelovanjem sile elektrostatikog polja. Mjera elektrine influencije jest gustoa influenciranog naboja, ima vektorski karakter i biljei se vektorom D

(9.4)

nDD

(7.1)

Vektor D

naziva se vektorom elektrinog pomaka. Iznos vektora elektrinog

pomaka definiran je iznosom maksimalnog influenciranog naboja svedenog na jedinicu povrine (9.5)

2maksi

mAs

S

QD (7.2)

Smjer vektora elektrinog pomaka n

definiran je smjerom normale na plohu

Maxwellovih dvoploa pri koje je influencirani naboj maksimalnog iznosa. Vektor elektrinog pomaka D

i vektor jakosti elektrinog polja E

stoje u

meusobnom odnosu (9.9) ED

0 (7.3)

Metoda odslikavanja metoda koja se sastoji u ustrojstvu jednog ili vie fiktivnih naboja koji zajedno s izvornim nabojima uzrokuju takvo polje u kojem se vodljiva ploa poklopi s jednom od ekvipotencijalnih ploha. Broj odslikanih naboja, prema (9.9.) jest:

12

n (7.4)

Primjer 7.5.

Dvije ravne plohe na meusobnoj udaljenosti d nabijene su nabojem plone gustoe naboja, jednakim po iznosu i suprotnim po predznaku, . Odredite:

a) napon izmeu nabijenih ploha b) napon izmeu nabijenih ploha ako se umetne vodljiva ploa debljine

a paraleno s nabijenim plohama.

Elektrostatika 91

Na osnovi dobijenih rezultata zakljuite ovisi li napon izmeu nabijenih ploha o debljini vodljive ploe te o njezinom ploaju. Rjeenje: Elektrostatiko polje izmeu dvije ravne plohe nabijene nabojem jednakim po iznosu i suprotnim po predznaku, prema (1) Primjera 5.3, I. sveska, jeset homogeno i iznosi:

0

E (1)

a) Napon izmeu dviju toaka, prema (7.37), jest:

d

EU0

d

(2)

Na slici 1a prikazane su silnice polja, a na slici 1b njegov iznos u ovisnosti o udaljenosti od pozitvno nabijene plohe.

Sl. 1. Zorni prikaz polja a) i njegova ovisnost o udaljenosti meu nabijenim

plohama b) Integriranje (2) odabire se po jednoj od silnica s ime se postie da su element puta

d i vektor jakosti polja E

meusobno kolinearni. Uzme li se

da je jedinini vektor elementa puta u smjeru prirasta apscisne osi:

xdd ex

, jednadba (2) postaje:

92 7. Vodii u elektrostatikom polju

d

xEU0

d (3)

Integriranjem se dobije: dEU (4) b) Umetne li se vodljiva ploa meu nabijenim plohama dolazi do

influenciranja u njoj, slika 2a, v. primjer P 7.3.

Sl. 2. Zorni prikaz polja a) i njegova ovisnost o udaljenosti meu nabijenim

plohama b) Napon meu nabijenim plohama prema (3) i slici 2b jest:

d

ax

ax

x

xd

xExExExEU dddd00

(4a)

Elektrinog polja u vodljivoj ploi nema pa je drugi integral jednak nuli:

d

ax

d

xExEU dd0

(4b)


Elektrostatika 93

)]([ axdExEU

)( adEU (5) Zakljuak: Napon izmeu nabijenih ploha umetanjem vodljive ploe, usporedba (5) s (4), se smanjio. I dalje, napon je ovisan o debljini umetnute ploe a ne ovisi o njenom poloaju. Primjer 7.15.

Maxwellova ploica povrine S nalazi se u homogenom elektrostatikom polju E i njezina normala zatvara kut sa silnicama polja. Odredite influencirani naboj na ploici. Podaci: 000 0,30,90 , 2cm200S , kV/cm25E .

Rjeenje:

Sl. 1. Influencirani naboj ovisi o orijentaciji ploice u prostoru Influencirani naboj na ploici prema (9.7) , jest: SDQ

i (1)

ili u obliku: cosi SDQ (2) gdje je: D

vektor elektrinog pomaka.

Vektor elektrinog pomaka D

i vektor jakosti elektrinog polja stoje u

meusobnom odnosu prema (9.9), jest: ED

0 (3)

Uvrtenjem (3) u (1) odnosno (2) dobije se:

94 7. Vodii u elektrostatikom polju

cos0i SEQ (4) za: 090 , As0i Q

030 , 2i mnAs

22,383Q

00 , 2i mnAs

5,442Q

Primjer 7.19.

Beskonano dugi ravni vodi zanemarivog presjeka nabijen je nabojem linijske gustoe . Na udaljenosti a od nabijenog vodia nalaze se Maxwellove dvoploe. Dvoploa je povrine hS x , i dio je plata cilindra radijusa a. Jedinini vektor normale plohe dvoploa je radijalnog smjera. Odredite influencirani naboj na dvoploi. Podaci: nAs/m25 cm5a , cm30h , 030 (kut pod kojim se vidi dvoploa iz nabijenog vodia). Rjeenje:

Documents

Jajac, Grulović - Riješeni zadaci iz OE - elektrostatika