OET1 4 Elektrostatika Gaussov Zakon

1

Elektrotehni čki fakultet Osijek – Stru čni studij Osnove elektrotehnike IET

FO

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

• Vektorski produkt je vektor koji ima: • smjer okomit na oba faktora, a • iznos jednak površini koju razapinju faktori.

• Kao vektor možemo prikazati bilo kakvu površinu, bez obzira na njen oblik.

• Vektor površine je pri tome okomit na samu površinu.

Gaussov zakonGaussov zakon Tok vektora jakosti elektri čnog polja

bv

av

ϕ

bacvvv ×=

S••

Sc =v

S •

Sv

• Ako stranicama nekog paralelograma pridijelimo vektorski karakter, onda njegovu površinu možemo prikazati kao vektorski produkt, okomit na tu površinu.

2


FO


• Na zakrivljenoj plohi možemodiferencijal površine prikazati kao vektor okomit na tu površinu.

• Može se smatrati dijelom ravnine, bez obzira na polumjer zakrivljenosti plohe.

• Ako je ploha zatvorena u sebe (kao npr. kuglinaploha), tada su vektori diferencijala površine takve plohe usmjereni prema napolje.

Sv

d

S

Sd

•

• Diferencijal površine plohe je neizmjerno malen.

3


FO


Tok homogenog polja

Sv

Ev

αααα

ααααααααcosS

ααααΦΦΦΦ cosSEE ====

ESESE ΦΦΦΦαααα ========⋅⋅⋅⋅ cosvv

tok vektora jakostielektričnog polja

projekcija površine ploheokomito na smjer polja

Ev

S

Sv

Ev

Sv

Ev

Sv

4


FO


S

Sv

d

Ev

Ev

SEE

vvdd ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ

Tok nehomogenog polja kroz zakrivljenu plohu

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====S

E SEvv

dΦΦΦΦ

tok vektora jakostielektričnog polja

5


FO


• Diferencijal toka je jednak umnošku vektora diferencijala površine i jakosti polja na promatranom mjestu.

• Ukupni tok je integral skalarnog produkta vektora diferencijala površine plohe i jakosti polja po plohi.

• Mjerna jedinica za tok vektora jakosti električnog polja:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]][[[[ ]]]]ααααΦΦΦΦ cosSEE ==== Vm1mm

V 2 =⋅⋅=

• Općenito imamo nehomogeno polje i zakrivljenu površinu.

6


FO


V

Tvrdnja i dokaz Gaussovog zakona

1Q

2QiQ

nQ

Ev

0

1dεεεε

∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅

n

ii

S

QSEvv

Tok vektora jakosti električnog polja kroz zatvorenu plohu jednak je iznosu naboja obuhvaćenog tom plohom podijeljenog s dielektričnom konstantom εεεε0.

S

u vakuumu

7


FO


ααααl

r

Ravninski kutrl=αααα

Puni ravninski kut: ππππαααα 2==ro

r

ωωωωωωωω2rs= 2r

s====ωωωω Prostorni kut

Puni prostorni kut: π4=Ω

24 rSkugle ππππ=

8


FO


r

ΩΩΩΩd ======== ΩΩΩΩdd 2rSn

0rvS

vd αααα

Sd

======== ααααcosdS

Srvv

d0 ⋅⋅⋅⋅====Površina okomita

na radijvektor

9


FO


V

Qr

SEvv

dd ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ

02

04r

rQ

Evv

πε=

SES

vvd⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ΦΦΦΦ

Ev

0rv

Sv

d

10


FO


Srr

Q

S

vvd

40

20

⋅⋅⋅⋅==== ∫∫∫∫ πεπεπεπε

02

04r

rQ

Evv

πε=

ΩΩΩΩdd 20 rSr ====⋅⋅⋅⋅vv

∫∫∫∫====

====

====ππππΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩπεπεπεπε

4

0

22

0

d4

rr

Q

∫∫∫∫====

====

====ππππΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩπεπεπεπε

4

00

d4

Q

0εεεεQ=

SES

vvd⋅=Φ ∫

• Budući da se možemo koristiti superpozicijom, onda dokaz vrijedi i za više naboja: 0

1dεεεε

∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅

n

ii

S

QSEvv

11


FO


Primjene Gaussovog zakona

Q

S

Sv

d

0rrrvv ⋅⋅⋅⋅====

Ev

Zadano: Q

E = ?

ZamiZamiššljena ljena kuglinakuglina ploha sa ploha sa sredisredišštem na mjestu naboja Qtem na mjestu naboja Q

Elektri čno polje to čkastog naboja

12


FO


====⋅⋅⋅⋅∫∫∫∫S

SEvv

dErE

SrS0

0ddvv

vv

========

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====S

SrEr d00 vv∫∫∫∫====S

SE d

1====

0

24εεεε

ππππ QEr ====

204 r

QE

εεεεππππ====

Ovaj rezultat smo naravno znali već ranije!

0

1dεεεε

∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅

n

ii

S

QSEvv

24 rππππu vakuumu

13


FO


Elektri čno polje naelektrizirane šuplje kugle

S1

a

Q > 0

Ev

• Zbog homogenog prostora polje će izvan kugle biti simetrično i radijalno.

.4 2 konst

aQ ========ππππ

σσσσ

14


FO


ar <<<<obuhvaćeni naboj = 0

ar >>>>obuhvaćeni naboj = Q

izvan kugle:

unutar kugle:S1

a

r

S2

r

aS1

S2

15


FO


0: =< Qar

QQar => :

0

1dεεεε

∑∑∑∑∫∫∫∫ ========⋅⋅⋅⋅

n

ii

S

QSEvv

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅2

dS

SEvv

∫∫∫∫====2

dS

SE ∫∫∫∫====2

dS

SE 24 rE ππππ=0εεεε

Q=

204 r

QE

πεπεπεπε=

0=E

204 r

QE

πεπεπεπε=

u vakuumu

16


FO


r

E

0 a

0====Ear <

204 r

QE

πεπεπεπε=ar >

02

04 εεεεσσσσ

πεπεπεπε==

aQ

E xam

S1

a

izvan kugle:

unutar kugle:

na kugli:

• Polje izvan kugle i na površini kugle jednakog je iznosa kao da je sav naboj u središtu kugle.

17


FO


Elektri čno polje kugle s jednoliko raspore ñenim prostornim nabojem

Va

Ev

Zbog homogenog prostora polje će izvan i unutar kugle biti simetrično i radijalno.

ππππρρρρρρρρ 3

3

4d aVQ

V

======== ∫∫∫∫

Ne možemo bez računa zaključiti o iznosu polja ni unutar, ni izvan kugle!

18


FO


ar <<<<obuhvaćeni naboj:

ar >>>>obuhvaćeni naboj:

ππππρρρρ 3

3

4rQ ar =<

QaQ ar ==> ππππρρρρ 3

3

4

izvan kugle:

unutar kugle:S1

a

r

S2

r

aS1

S2

19


FO


∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅2

dS

SEvv

∫∫∫∫====2

dS

SE

20

3

3 ra

εεεερρρρ====2

04 rQ

Eπεπεπεπε

====

ar <<<<

2SE==== 24 rE ππππ====0

3 1

3

4

εεεεππππρρρρ r====

03εεεερρρρ r

E =

ar >>>>izvan kugle:

unutar kugle:

u vakuumu

u vakuumu

20


FO


204 r

QE

πεπεπεπε=ar >

204 a

QE xam πεπεπεπε

=

ar <03εεεε

ρρρρ rE =

a

E

0 r

Va

izvan kugle:

unutar kugle:

na kugli:

• Polje izvan kugle i na površini kugle jednakog je iznosa kao da je sav naboj u središtu kugle.

21


FO


a2

σσσσ

Elektri čno polje naelektriziranog beskona čno dugačkog valjka

hr2

Sv

d

Ev

0S

1BS2BS

Zbog simetrije polje će biti radijalno i jednako u svim poprečnim presjecima.

.konst====σσσσ

?=Ev

22


FO


++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫21

dddBB SSS

SESESEvvvvvv

∫∫∫∫====0

dS

SE

rhE ππππ2=

0= 0=

0εεεεQ=

0

2

εεεεσσσσππππ ha=

ra

E0εεεεσσσσ=

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅++++0

dS

SEvv

Primijenimo Gaussov zakon na vanjski zamišljeni valjak

rhππππ2=

23


FO


E

o ra

0=Ear <

ra

E0εεεεσσσσ=ar >

0εεεεσσσσ=xamE a2

σσσσ

izvan valjka:

unutar valjka:

na valjku:

24


FO


2B

Ev

Elektri čno polje naelektrizirane ravnine

.konst====σσσσ?=E

v

Polje će biti okomito na ravninu i jednako u svim točkama ravnine.

1B

x−

xσσσσ0=x

PEv

25


FO


++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫21

dddBB SSS

SESESEv

vvvvvv

∫∫∫∫====S

SE d2

0=

0εεεεQ=

0εεεεσσσσ S=

02εεεεσσσσ=E

∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅++++P

SEvv

d Primijenimo Gaussov zakon na zamišljeni valjakS=

SSS ==21 BB

ES2=

26


FO


xE

0 x


xx--komponenta jakosti polja pozitivno nabijene ravninekomponenta jakosti polja pozitivno nabijene ravnine

27


FO


• Polje nabijene ravnine okomito je na ravninu i konstantnog je iznosa:

• Polje uopće ne ovisi o udaljenosti od ravnine!

• Polje mijenja smjer na mjestu položaja ravnine.

• Pri pozitivnom naboju ravnine polje je usmjereno od ravnine, a pri negativnom prema ravnini.


u vakuumu

28


FO


Dvije paralelne ravnine nabijene jednakom ploDvije paralelne ravnine nabijene jednakom ploššnom nom gustogustoććom naboja suprotnih predznakaom naboja suprotnih predznaka

+Ev

+Ev

+Ev

.konst====σσσσ

A B

σσσσ+

−Ev −E

v−Ev

σσσσ−

29


FO


02εεεεσσσσ=+E

02εεεεσσσσ=−E

xE

0 xAx Bx

0εεεεσσσσ=E

izmeñu ravnina:

000 22 εεεεσσσσ

εεεεσσσσ

εεεεσσσσ =+=+= −+ EEE

ravnine okomite na ravnine okomite na xx--osos

izvan ravnina:

0====E

Documents

OET1 4 Elektrostatika Gaussov Zakon