Janusz German - Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych - skrypt4

ROZDZIA 4

53

ROZDZIA 4

J. German: PODSTAWY MECHANIKI KOMPOZYTW WKNISTYCH

54

ROZDZIA 4 NAPRENIA I ODKSZTACENIA W LAMINACIE

KLASYCZNA TEORIA LAMINACJI

Przedmiotem rozwaa tego rozdziau bdzie laminat, rozumiany jako zbir warstw trwale ze sob poczonych. Warstwy w laminacie s tak ustawione wzgldem siebie i zarazem przyjtego arbitralnie ukadu odniesienia, aby uzyska takie charakterystyki sztywnociowe laminatu, ktre umoliwiaj formowanie elementw konstrukcyjnych zdolnych do przenoszenia obcienia o dowolnym kierunku. O cechach sprystych laminatu decyduj dwa czynniki - dobr materiau, z ktrego ma on by wykonany i sekwencja uoenia warstw w laminacie. Z punktu widzenia mechaniki interesujcy jest tylko drugi czynnik, gdy podstawowym zagadnieniem w analizie kompozytw laminatowych jest to, w jaki sposb cechy indywidualnych warstw determinuj wasnoci kompozytu. W odniesieniu do pojedynczych warstw wprowadzono pojcie gwnych osi materiaowych i zwizanej z nimi konfiguracji osiowej warstwy. O pooeniu tych osi decydowa kierunek wkien w warstwie. W przypadku kompozytw wielowarstwowych pojcie takie nie da si z oczywistych powodw zdefiniowa, zatem ich opis zawsze odbywa si w dowolnie przyjtym ukadzie wsprzdnych, ktry z punktu widzenia poszczeglnych warstw jest z reguy ukadem nieosiowym. Metoda uwzgldniania wasnoci indywidualnych warstw tworzcych kompozyt i pozwalajca na tej podstawie opisa wasnoci kompozytu nosi nazw klasycznej teorii laminacji. Niekiedy mona spotka okrelenie klasyczna teoria pyt laminatowych, co jest uzasadnione faktem wykorzystywania w teorii laminacji zaoe typowych dla teorii pyt cienkich.

4.1. Klasyczna teoria laminacji

4.1.1. Zaoenia i podstawy teorii pyt cienkich

W klasycznej teorii laminacji przyjmuje si nastpujce zaoenia

laminat skada si z warstw poczonych ze sob w sposb nierozerwalny, a poczenia s nieskoczenie cienkie (maj zerow grubo) i nie zezwalaj na cinanie midzywarstwowe. Oznacza to, e odksztacenia przebiegajce po gruboci kompozytu s cige i adna warstwa nie moe przemieszcza si wzgldem innej (nie wystpuj polizgi). Kompozyt jako cao tworzy makroskopowo jedn warstw, ale o wasnociach bdcych wypadkow wasnoci tworzcych go warstw,

obowizuje teoria pyt cienkich, tzn. przyjmuje si hipotez Kirchhoffa-Love'a, mwic, e

linia prosta i prostopada do powierzchni rodkowej pozostaje prosta i prostopada po przyoeniu obcienia dziaajcego w paszczynie rodkowej (tzw. stan tarczowy), jak i obcienia wywoujcego zginanie (tzw. stan gitny), co oznacza, e w uk. (x, y, z) - rys. 4.1

xz = yz = 0 (4.1) odcinek normalny do powierzchni rodkowej nie zmienia swojej dugoci, tzn.

z = 0 (4.2) obowizuje zaoenie o maych przemieszczeniach.

Na rys. 4.1 u, v w oznaczaj przemieszczenia w kierunku osi odpowiednio x, y, z. Przemieszczenia punktw powierzchni rodkowej w kierunku osi x oznaczono jako uo , a w kierunku osi z - wo .

ROZDZIA 4

55

z

A

B

CD

A

BC

D

y, v

x, u

z, w

x

a

z cw o

u o

z c

ABD

A B

Rys. 4.1. Przemieszczenie punktw w paszczynie (x, y): A. stan pocztkowy, B. stan odksztacony

Przemieszczenie dowolnego punktu C w kierunku osi x wynosi

u u ac o= (4.3)

Na mocy zaoenia o maych przemieszczeniach

a z zc c= sin (4.4)

Rwnanie (4.3) ma wwczas posta

coc zuu = (4.5)

gdzie oznacza kt nachylenia stycznej do powierzchni rodkowej do osi x i wynosi

xwo

= (4.6)

Dla dowolnego punktu "z" lecego wzdu gruboci laminatu, przemieszczenie w kierunku x wynosi

xwzuu oo

= (4.7)

Identyczne rozumowanie dla paszczyzny (y, z) pozwala zapisa przemieszczenie punktu w kierunku osi y w postaci

ywzvv oo

= (4.8)

Powysze zalenoci wynikajce z hipotezy Kirchhoffa powoduj, e zlinearyzowane rwnania geometryczne Cauchy'ego przyjmuj (w odniesieniu do pyt) nastpujce postaci

2o

2o

x xwz

xu

xu

== (4.9)

2o

2o

y ywz

yv

yv

== (4.10)

xy

o o ouy

vx

uy

vx

zw

x y= + = + 2

2

(4.11)


56

Odksztacenia okrelone rwnaniami (4.9)-(4.11) mona zdekomponowa na odksztacenia powierzchni rodkowej i krzywizny powierzchni rodkowej, a odpowiadajce im tensory odksztacenia zapisa w nastpujcej postaci

tensor odksztace powierzchni rodkowej

+

=

xv

yu

yvx

u

oo

o

o

oxy

oy

ox

(4.12)

tensor krzywizn powierzchni rodkowej

=

yxw

2

ywxw

o2

2o

2

2o

2

oxy

oy

ox

(4.13)

Ostatecznie zatem tensor odksztacenia zapiszemy w postaci sumy dwch powyszych

=

oxy

oy

ox

xy

y

x

+oxy

oy

ox

z

(4.14)

Istotnym wnioskiem pyncym z rwnania (4.14) jest ten, e odksztacenia zmieniaj si po gruboci laminatu liniowo. W dalszej czci rozdziau bdzie pokazane, e w przypadku stanw tarczowych (brak zginania) i dla okrelonych klas laminatw s wrcz stae po gruboci.

Korzystajc z (4.14), rwnania fizyczne (3.14) mona zapisa dla "k-tej" warstwy laminatu w postaci

[ ]

=

oxy

oy

ox

k

kxy

y

x

Q

[ ]

+oxy

oy

ox

k zQ

(4.15)

Jeli uwzgldni liniow zmian odksztace po gruboci laminatu, fakt e sztywnoci warstw go tworzcych mog by (i prawie zawsze s) rne, a take zwizek (4.15), to dla hipotetycznego laminatu o zmiennych sztywnociach warstw, rozkady odksztace i napre po gruboci laminatu mog wyglda tak, jak pokazano na rys. 4.2.

Q_

x

z

- t/2

t/2

Rys. 4.2. Przykadowy rozkad napre po gruboci laminatu.

ROZDZIA 4

57

4.1.2. Wypadkowe siy i momenty w laminacie Naprenia w laminacie okrela si jako wielko urednion napre warstwowych po gruboci laminatu, tzn.

dzt1 2

t

2t

kii

= (4.16)

gdzie i oznacza "i-t" skadow naprenia redniego w laminacie, ik - "i-t" skadow naprenia

w "k-tej" warstwie laminatu, za t jest gruboci laminatu.

Zazwyczaj w miejsce napre rednich wprowadza si pojcie si i momentw wypadkowych (si i momentw na jednostk szerokoci przekroju). Siy i momenty wypadkowe w paszczynie laminatu pokazano na rys. 4.3.

Siy i momenty wypadkowe okrelone s nastpujcymi rwnaniami

dztN2

t

2t

kiii

== siy wypadkowe w laminacie (4.17)

dzzM2

t

2t

kii

= momenty wypadkowe w laminacie (4.18)

x

y

z

N x

N y

N yx

N xyM y

M xM xy

M yx

Rys. 4.3. Siy i momenty wypadkowe w paszczynie laminatu.

Korzystajc z addytywnoci cakowania i oznacze jak na rys. 4.4 - przedstawiajcym ukad warstw w przekroju laminatu - rwnania (4.17) i (4.18) mona zapisa nastpujco

dzdzNNN

k

N

1k

z

z xy

y

x2t

2t

kxy

y

x

xy

y

x k

1k

=

=

=

(4.19)

dzzdzzMMM

k

N

1k

z

z xy

y

x2t

2t

kxy

y

x

xy

y

x k

1k

=

=

=

(4.20)

Na rys. 4.4 wprowadzono nastpujce oznaczenia: z k c - rodek cikoci "k-tej" warstwy, t k - grubo "k-tej" warstwy, t - cakowita grubo laminatu, N - ilo warstw w laminacie.


58

Rys. 4.4. Przekrj laminatu.

Po uwzgldnieniu zwizkw fizycznych dla "k=tej" warstwy (rwnanie (4.15))- rwnania wypadkowych si i momentw - (4.19) i (4.20) - przyjmuj ponisze postaci

[ ] [ ] ==

+

=

N

1k

z

z oxy

oy

ox

k

N

1k

z

z oxy

oy

ox

k

xy

y

x k

1k

k

1k

dzzQdzQNNN

(4.21)

[ ] [ ] ==

+

=

N

1k

z

z

2

oxy

oy

ox

k

N

1k

z

z oxy

oy

ox

k

xy

y

x k

1k

k

1k

dzzQdzzQMMM

(4.22)

Biorc pod uwag, e transformowana macierz sztywnoci dla dowolnej "k-tej" warstwy nie zmienia si po jej gruboci (cho oczywicie moe si zmienia od warstwy do warstwy), mona wyczy j przed znaki caek. Dalsze uproszczenia wynikaj z faktu, e odksztacenia i krzywizny powierzchni rodkowej s takie same dla wszystkich warstw i nie zale od zmiennej z. Mog wic by wyczone zarwno przed znaki sumowania jak i caek. Rwnania (4.21) i (4.22) przyjm wwczas postaci

[ ] ( ) [ ] ( )

+

=

=

=

oxy

oy

oxN

1k

21k

2kk

oxy

oy

oxN

1k1kkk

xy

y

x

zzQ21zzQ

NNN

(4.23)

[ ] ( ) [ ] ( )

+

=

=

=

oxy

oy

oxN

1k

31k

3kk

oxy

oy

oxN

1k

21k

2kk

xy

y

x

zzQ31zzQ

21

MMM

(4.24)

W klasycznej teorii laminacji wprowadza si nastpujce okrelenia na wyraenia ujte w nawiasy w rwnaniach (4.23) i (4.24)

macierz sztywnoci tarczowej

( ) ( ) ( )==

==N

1kkkji

N

1k1kkkjiji

tQzzQA (4.25)

macierz sztywnoci sprze

( ) ( ) ( ) ckN

1kkkji

N

1k

21k

2kkjiji

ztQzzQ21B

== == (4.26)

macierz sztywnoci zginania

( ) ( ) ( )==

+==

N

1k

3k2c

kkkji

N

1k

31k

3kkjiji 12

tztQzzQ

31D (4.27)

1

paszczyzna rodkowa

2

k

N

zN zN-1

zk zk-1 tk

z2 z1 z0

z

2t

2t

zkc

2tz

2tz

N

0

=

=

ROZDZIA 4

59

Ze wzgldu na symetri transformowanej macierzy sztywnoci i postaci rwna okrelajcych macierze [A], [B], [D], wszystkie te macierze s oczywicie, rwnie symetryczne.

Ogln procedur wyznaczania macierzy sztywnoci dla laminatu, skadajcego si z warstw tego samego materiau o staych inynierskich E1, E2, G12 i 12 pokazano na rysunku 4.5. Ostatecznie wypadkowe siy i momenty dla laminatu mona przedstawi w postaci

+

=

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

xy

y

x

BBBBBBBBB

AAAAAAAAA

NNN

(4.28)

+

=

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

xy

y

x

DDDDDDDDD

BBBBBBBBB

MMM

(4.29)

lub te w skrconej postaci symbolicznej

=

o

o

DBBA

MN

(4.30)

Macierz Bi j wywouje sprzenie stanu tarczowego i gitnego w laminacie. Tak wic w oglnym przypadku laminatu o cakowicie dowolnej budowie - stanom tarczowym (dla przykadu sia skupiona dziaajca w paszczynie laminatu) towarzysz stany gitne (zginanie, zwichrzenie) i odwrotnie.

W wikszoci przypadkw, typowych i najczciej stosowanych klas laminatw (przez klas rozumie si tu grup laminatw o specyficznym ukadzie ktowym warstw i sekwencji ich uoenia), przedstawionych w dalszej czci rozdziau, sprzenie stanw tarczowych i gitnych nie wystpuje, w wyniku czego stany tarczowe mona opisa macierz sztywnoci tarczowej [A] , a stany gitne macierz [D].

4.1.3. Podatno w laminatach

W poprzednim rozdziale okrelono macierze sztywnoci dla laminatu. Pojawia si naturalne pytanie o posta macierzy podatnoci.

W przypadku pojedynczej warstwy kompozytowej, czy to w konfiguracji osiowej, czy te zupenie dowolnej, odpowied bya oczywista i prosta - macierz podatnoci jest macierz odwrotn do macierzy sztywnoci, odpowiednio - zredukowanej i transformowanej. W rozdziale 2 i 3 podano odpowiednie "przepisy" okrelajce rne postaci macierzy podatnoci.

W przypadku laminatu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Aby to wykaza, wystarczy odwrci zwizki fizyczne w postaci (4.30). Odwrcenie pierwszego z rwna daje

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }o11o BANA = (4.31) Podstawiajc ten zwizek do drugiego z rwna (4.30) i dokonujc elementarnych przeksztace otrzymujemy zwizek midzy krzywiznami powierzchni rodkowej i wypadkowymi siami i momentami

{ } [ ] { } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ] [ ][ ] [ ]BABDHNABHMH 1111o == ; (4.32) Rwnanie (4.31) po wykorzystaniu (4.32) przyjmuje posta

{ } [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]( ) { } [ ] [ ][ ]( ) { }MHBANABHBAA 111111o ++= (4.33) Wprowadzajc nastpujce oznaczenia macierzy wystpujcych w rwnaniach (4.32) i (4.33)

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] 111111 HBABABHBAAA =+= (4.34)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 111 HDBABHB ===


60

otrzymujemy poszukiwane rwnania odwrotne do (4.30) w postaci

=

MN

DBBA

o

o

(4.35)

Otrzymane rezultaty pokazuj, e adna z macierzy [A ' ] , [B ' ] , [D' ] nie jest macierz odwrotn do "odpowiadajcej" jej macierzy sztywnoci. Z tego wzgldu w odniesieniu do laminatu nie operuje si w oglnym przypadku pojciem macierzy podatnoci.

Powysze komplikacje znikaj w przypadku laminatw, w ktrych nie wystpuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego, tzn. gdy macierz sztywnoci [B] = [0] . Z rwna (4.34) wynika, e wwczas

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11 DD0BAA === (4.36)

4.1.4. Macierze sztywnoci jako funkcje niezmiennikw

Bardzo "zgrabny", a przy tym uatwiajcy zrozumienie charakterystyk sprystych laminatu, sposb wyznaczania skadowych macierzy [A] , [B] i [D] wynika z zastosowania funkcji ktw wielokrotnych i wielkoci niezmienniczych dla warstwy kompozytowej (rozdzia 3.2.1.).

Zilustrowany on bdzie na przykadzie macierzy sztywnoci tarczowej [A] . Odgrywa ona w mechanice kompozytw specjaln rol, gdy w przypadku laminatw o budowie, ktra eliminuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego (tzn. [B] = [0] ), obcionych wycznie siami dziaajcymi w paszczynie laminatu, daje peny opis jego cech sprystych - z rwna (4.28), (4.29) pozostaje bowiem wwczas jedynie rwnanie

=

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

xy

y

x

AAAAAAAAA

NNN

(4.37)

Z sytuacj opisan powyej mamy czsto do czynienia w badaniach dowiadczalnych kompozytw, w ktrych z reguy znane s siy, a mierzone odksztacenia.

Oglne okrelenie elementw macierzy [A] podaje rwnanie (4.25). Wida, e w celu wyznaczenia sztywnoci tarczowej naley skorzysta z transformowanych macierzy sztywnoci dla wszystkich warstw tworzcych laminat. W charakterze przykadu, obliczymy skadow A11. Korzystajc ze wzorw transformacyjnych podanych w tab. 3.2 i rwnania (4.25) otrzymujemy

+++=++= N111NN

1111

1111 tUtUtQtQA ..............

( ) ( )=++++++ NN3113NN2112 t4Ut4Ut2Ut2U cos.......coscos.......cos (4.38) ( ) ( )NN113NN1121 t4t4Ut2t2UtU cos.......coscos.......cos ++++++=

Wprowadmy pojcie objtociowego udziau warstwy w caym laminacie, zdefiniowanego jako

tt

tAtA

VV

v wwL

ww === 1v

N

1kk =

=

(4.39)

Rwnanie (4.38) mona wwczas zapisa w postaci

( ) ( )[ ]NN113NN112111 4v4vU2v2vUUtA cos.......coscos.......cos ++++++= (4.40) Wprowadmy nastpujce wspczynniki, zalene tylko od konfiguracji i udziau objtociowego warstw

k

N

1kk1 2vV

=

= cos* kN

1kk2 4vV

=

= cos* (4.41)

ROZDZIA 4

61

k

N

1kk3 2vV

=

= sin* kN

1kk4 2vV

=

= sin*

Kady z powyszych wspczynnikw, ze wzgldu na warunek (4.39), musi spenia nierwnoci

1V1 i * (4.42)

Pierwsza skadowa macierzy sztywnoci tarczowej (4.40) ma wwczas posta **

2312111 VUVUUtA ++= (4.43)

W analogiczny sposb mona wyznaczy pozostae skadowe macierzy [A] . Przedstawiono je w tabeli 4.1, ktra ma identyczn struktur, jak tabela 3.2 dla transformowanej macierzy sztywnoci warstwy. Tak wic sztywnoci tarczowe laminatu mona bezporednio porwnywa z odpowiednimi sztywnociami tworzcych go warstw, co daje dobry obraz wpywu poszczeglnych warstw na sztywno globaln laminatu. Naley tu jeszcze poczyni krtk uwag dotyczc terminologii. Macierz [A], jak to ju powiedziano, okrela si mianem macierzy sztywnoci tarczowej, natomiast macierz powsta przez podzielenie wszystkich wartoci [A] przez grubo laminatu t - unormowan macierz sztywnoci tarczowej, unormowan w tym sensie, e jej elementy maj taki sam wymiar, jak elementy macierzy zredukowanej i transformowanej (tzn. wymiar naprenia).

1 U2 U3 A11 / t U1 V1* V2* A22 / t U1 - V1* V2* A12 / t U4 0 - V2* A66 / t U5 0 - V2* A16 / t 0 1/2 V3* V4* A26 / t 0 1/2 V3* - V4*

TABELA 4.1. Unormowana macierz sztywnoci tarczowej laminatu.

Rys. 4.5. Oglna procedura wyznaczania macierzy sztywnoci dla laminatu.

1

2

x

y

x

y

1

2

k

Stae materiaowe dla warstwy w gwnych osiach materiaowych

E1, E2, G12, 12

Rw. (2.42)

Rw. (3.20)

Tabela 3.1 lub Tabela 3.2

Rw. (4.25) lub (4.39)+(4.41)+tabl. 4.1 Rw. (4.26) Rw. (4.27)

Zredukowana macierz sztywnoci dla warstwy

Q11, Q22, Q12, Q66

Wspczynniki geometryczne U1, U2, U3, U4, U5

Transformowane macierze sztywnoci dla warstw k=1 ...N

k26

k16

k66

k12

k22

k11 Q,Q,Q,Q,Q,Q

Macierze sztywnoci dla laminatu [A], [B], [D]


62

4.1.5. Stae inynierskie

Ze wzgldu na moliwoci dowiadczalnej weryfikacji staych inynierskich, zostanie tu podany sposb okrelania tych staych tylko dla laminatw, w ktrych nie wystpuje sprzenie stanu tarczowego i gitnego. Zakada si jednoczenie, e obcienie laminatu stanowi siy (naprenia), dziaajce w jego paszczynie. Mwic bardzo precyzyjnie, naleaoby zatem mwi o tarczowych staych inynierskich.

Korzystajc z odwrconego rwnania (4.27), zwizku midzy si wypadkow i napreniem rednim w laminacie (4.17), a take wykonujc dla laminatu seri testw, analogicznych do tych, pokazanych na rys. 3.5 dla pojedynczej warstwy, otrzymamy nastpujce zwizki okrelajce stae inynierskie w paszczynie laminatu

tA1G

tA1E

tA1E

66

Lyx

22

Ly

11

Lx

=

=

= (4.44)

Ly26

Lyxy

Lx61

Lyxx

Lx12

Lyx EtAEtAEtA === ,,

Pozostae inynierskie wynikaj z symetrii macierzy [A ' ] i wynosz

Ly

LyxL

yxyL

yyxLx

LyxL

yxxL

xyxLx

LyL

yxLxy E

G

E

G

E

E,,,, === (4.45)

Procedura wyznaczenia staych inynierskich w paszczynie laminatu jest nastpujca

wyznaczy macierz sztywnoci tarczowej [A] wg procedury pokazanej na rys. 4.5,

wyznaczy macierz [A ' ] przez odwrcenie macierzy [A] , zgodnie z zasadami odwracania macierzy,

wyznaczy stae inynierskie wg (4.44) i (4.45).

4.2. Teoria laminacji z uwzgldnieniem wpywu temperatury

W rozdziale 1.4.3 wspomniano o procesie utwardzania laminatu, ktry zachodzi w temperaturze powyej stu stopni Celsjusza. Jeeli temperatura w jakiej laminat jest wykorzystywany rni si od temperatury utwardzania to w analizie napre powinny by uwzgldnione efekty tym wywoane.

W liniowej teorii sprystoci odksztacenia cakowite s sum odksztace czysto mechanicznych i odksztace cieplnych tzn.

i i j j iS T i j= + = , , ,1 2 6 (4.46)

gdzie T oznacza rnic midzy temperatur eksploatacji, a temperatur utwardzania, za i s wspczynnikami rozszerzalnoci cieplnej. W gwnych osiach materiaowych istniej tylko wspczynniki rozszerzalnoci liniowej tzn. 1 i 2 . Zwizek odwrotny do (4.46) ma posta

( ) 621jiTQ jjjii ,,, == (4.47) Czon Q Ti j j oznacza naprenia termiczne w stanie bezodksztaceniowym laminatu - tzw. naprenia resztkowe.

Tak wic zwizek fizyczny dla warstwy w gwnych osiach materiaowych ma posta

=

6

22

11

66

2212

1211

6

2

1

TT

Q000QQ0QQ

(4.48)

Biorc pod uwag laminat, naprenia w jego "k-tej" warstwie, wyraaj si w osiach laminatu (x, y) zwizkiem

ROZDZIA 4

63

kxyxy

yy

xx

k662616

262212

161211

kxy

y

x

TTT

QQQQQQQQQ

=

(4.49)

gdzie x , y i xy to tzw. pozorne wspczynniki rozszerzalnoci cieplnej, ktre otrzymuje si poprzez zastosowanie odpowiedniej transformacji (dodatniej lub ujemnej) wspczynnikw 1 i 2 , analogicznie jak dla tensora odksztace.

Zwizek fizyczny (4.49) zapisany macierzowo w postaci

{ } [ ] { } [ ] { } TQQ kkkkk = (4.50) wraz z rwnaniem (4.13), zapisanym dla "k-tej" warstwy

{ } { } { }ook z += (4.51) po zastosowaniu procedury identycznej z t dla klasycznej teorii laminacji (rozdz. 4.1.2), prowadzi w efekcie do wypadkowych si i momentw w postaci

+

=

Txy

Ty

Tx

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

xy

y

x

NNN

BBBBBBBBB

AAAAAAAAA

NNN

(4.52)

+

=

Txy

Ty

Tx

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

oxy

oy

ox

662616

262212

161211

xy

y

x

MMM

DDDDDDDDD

BBBBBBBBB

MMM

(4.53)

gdzie

{ } =

=

=N

1kk

kxy

y

x

k662616

262212

161211

Tyx

Ty

Tx

T tQQQQQQQQQ

TNNN

N

(4.54)

oznacza wektor wypadkowych si termicznych, natomiast

{ } =

=

=N

1k

ckk

kxy

y

x

k662616

262212

161211

Tyx

Ty

Tx

T ztQQQQQQQQQ

TMMM

M

(4.55)

oznacza wektor wypadkowych momentw termicznych.

Przenoszc w rwnaniach (4.52) i (4.53) wypadkowe siy i momenty termiczne na lewe strony, mona je traktowa jak rwnowane siy i momenty mechaniczne. Rwnania te przyjmuj wwczas postaci

{ } { } [ ] { } [ ] { }ooT BANNN +=+= (4.56) { } { } [ ]{ } [ ] { }ooT DBMMM +=+= (4.57) Wielkoci N Mi i i nosz nazwy, odpowiednio - fikcyjnych si i momentw wypadkowych. Podobnie jak w klasycznej teorii laminacji - (4.56) i (4.57) mona zapisa wsplnie w postaci

=

o

o

DBBA

MN

(4.58)


64

lub te po odwrceniu

=

MN

DBBA

o

o

(4.59)

przy czym macierze [A ' ] , [B ' ] , [D' ] okrelone s rwnaniami (4.34).

4.3. Przykady

Przykad 1

Wyznaczy wartoci staych inynierskich dla laminatu o kodzie [0, 90n]s w zalenoci od iloci warstw 90 dla kompozytu grafit/epoksyd (T 300 / epoksyd Vicotex 174), dla ktrego stae materiaowe wynosz E1=137 GPa, E2=10.04 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.3.

W zwizku z symetri laminatu wartoci staych inynierskich moemy wyznaczymy z rwna (4.44). Wymagaj one znajomoci macierzy sztywnoci tarczowej [A]. Do jej okrelenia wykorzystamy procedur pokazan na rys. 4.5.

Zredukowana macierz sztywnoci dla pojedynczej warstwy jest okrelona rwnaniem (2.42). Ma ona nastpujc posta

[ ]

=

840001110033003391137

Q.

....

[GPa] (4.60)

Z rwna (3.20) obliczamy wartoci wspczynnikw Ui . Otrzymujemy wwczas (w [GPa])

U1 = 58.665 U2 = 63.902 U3 = 15.344 U4 = 18.378 U5 = 20.144

Z rwna (4.39) i (4.41) wyznaczamy parametry geometryczne laminatu.

Uwzgldniajc, e oglna liczba warstw wynosi N = 2n+2, liczba warstw 0 - 2, a warstw 90 -2n, objtociowe udziay warstw 0 i 90 oraz wspczynniki Vi* , wynosz:

vo = 2 / (2n + 2) v90 = 2n / (2n + 2)

V1* = vo - v90 = (2 - 2n) / (2n + 2) V2* = vo + v90 = 1 V3* = V4* = 0

Elementy macierzy sztywnoci tarczowej [A] /t wyznaczamy z tabeli 4.1 ( w [GPa]).

Elementy A12 i A66 nie zale od objtociowych udziaw warstw i wynosz

A12/ t = 3.034 = Q12 A66/ t = 4.8 = Q66 elementy A16 i A26 ze wzgldu na zerowanie si V3* i V4* s rwne zero

elementy A11 i A22 zale od udziau warstw i wynosz

A11/ t = 74.009 + 63.902 V1* A22/ t = 74.009 - 63.902 V1*

Dalsze obliczenia przebiegaj ju dla konkretnych wartoci n. W tabeli 4.2 podano wartoci skadowych unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w zalenoci od liczby n

n V1* A11 / t A22 / t A12 / t A66 /t 0 1 137.911 10.107 1 0 74.009 74.009 2 -0.333 52.708 95.3108 3 -0.5 42.058 105.960 3.034 4.8 4 -0.6 35.668 112.350

10 -0.8181 21.726 126.292 20 -0.9048 16.190 131.828

Tabela 4.2. Unormowane macierze sztywnoci tarczowej dla laminatu [0, 90n]s

ROZDZIA 4

65

Obecnie naley znale macierze odwrotne do macierzy [A] dla kolejnych "n", a nastpnie znale wartoci staych inynierskich z relacji (4.44) i (4.45). Niezerowe stae inynierskie przedstawiono na rysunku 4.6.

Analiz wynikw pozostawmy czytelnikowi - zauwamy jedynie, e dla n=0 laminat skada si z dwch warstw 0 i wartoci staych inynierskich s takie same jak dla pojedynczej warstwy kompozytowej w konfiguracji osiowej (patrz - stae materiaowe w temacie zadania).

0

20

40

60

80

100

120

140

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

liczba warstw 90 "n"

mod

uy

Youn

ga [G

Pa]

ExEy

137

10.04

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

liczba warstw 90 "n"

mod

u

cina

nia

[GPa

]0

0.06

0.12

0.18

0.24

0.3 wspczynnik Poissona

Gxynixy

4.8

dla n=2 nixy=0.032

Rys. 4.6. Zaleno staych inynierskich od liczby warstw 90 dla laminatu [0, 90n]s

Przykad 2

Wyznaczy wartoci staych inynierskich dla laminatu o kodzie [ 0, , - ]s w zalenoci od kta dla kompozytu grafit/epoksyd (T300/epoksyd Vicotex174), dla ktrego stae materiaowe wynosz E1=137 GPa, E2=10.04 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.3.

x

y

+

Rys. 4.7. Orientacja warstw w laminacie [ 0, , - ]s .

Rozpatrywany materia jest identyczny jak w przykadzie 1, zatem wspczynniki Ui nie ulegaj zmianie i wynosz :

U 1 = 58.665 U 2 = 63.902 U 3 = 15.344 U 4 = 18.378 U 5 = 20.144

Z rwna (4.39) i (4.41) wyznaczamy parametry geometryczne laminatu.

Udziay objtociowe warstw wynosz : vo = 1/3, v = 1/3, v = 1/3

Wspczynniki Vi* wobec symetrii funkcji cos x i antysymetrii funkcji sin x wynosz


66

V1* =0.333 (1 + 2 cos 2 ) V2* =0.333 (1 + 2 cos 4 ) V3* = V4* = 0

Elementy unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej [A] /t wyznaczamy z tabeli 4.1 ( w [GPa]) :

elementy A16 i A26 ze wzgldu na zerowanie si V3* i V4* s rwne zero, za pozostae elementy

zale od wartoci kta i wyraaj si rwnaniami

A11/ t = U 1 + V1* U 2 + V2* U 3

A22/ t = U 1 - V1* U 2 + V2* U 3

A12/ t = U 4 - V2* U 3 A66/ t = U 5 - V2* U 3

Dalsze obliczenia przebiegaj ju dla konkretnych wartoci kta . W tabeli 4.3 podano wartoci skadowych unormowanej macierzy sztywnoci tarczowej w zalenoci od kta .

V1* V2* A11/ t A22/ t A12/ t A66/ t

0 1.0 1.0 137.911 10.107 3.034 4.8 15 0.911 0.667 127.114 10.685 8.144 9.910 30 0.667 0 101.288 16.042 18.378 20.144 45 0.333 -0.333 74.835 32.276 23.488 25.254 60 0 0 58.665 58.665 18.378 20.144 75 -0.244 0.667 53.307 84.492 8.144 9.910 90 -0.333 1.0 52.730 95.288 3.034 4.8

Tabela 4.3. Unormowane macierze sztywnoci tarczowej dla laminatu [ 0, , - ]s

Ostatni krok to znalezienie macierzy odwrotnych do macierzy [A] dla kolejnych ktw , a nastpnie wyznaczenie wartoci staych inynierskich z relacji (4.44) i (4.45). Niezerowe stae inynierskie przedstawiono na rysunku 4.8.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 15 30 45 60 75 90 105

kt

mod

u E

x [G

Pa]

0

15

30

45

60

75

90

105

modu Ey [G

Pa]

ExEy

137

10.04

0

6

12

18

24

30

0 15 30 45 60 75 90

kt

mod

u

cina

nia

[GPa

]

0

0.24

0.48

0.72

0.96

1.2

wspcz. Poissona

Gxynixy

4.8

0.3

0.032

Rys. 4.8. Zaleno staych inynierskich dla laminatu [ 0, , - ]s od kta .

Zauwamy, e analizowany laminat w przypadku, gdy kt =0 skada si z 6 warstw 0. Podobnie jak to miao miejsce w przykadzie 1 dla dwch takich warstw tak i teraz stae inynierskie s identyczne jak dla pojedynczej warstwy 0.

ROZDZIA 4

67

W przypadku, gdy kt =90 laminat ma kod [0, 902]s, a wic taki sam, jak laminat w przykadzie 1 dla n=2. Wartoci staych inynierskich dla tego przypadku, uzyskane w obu przykadach, pokazano na rys. 4.6 i rys. 4.8. Wida, e s takie same, co potwierdza poprawno uzyskanych wynikw.

Wykresy zamieszczone w obu przykadach pokazuj, jak silnie stae spryste zale od ukadu warstw laminatu, a jednoczenie wskazuj jak wan rol ma do spenienia projektant, ktry znajc wymagania stawiane konstrukcji moe tak dobra budow laminatu, aby speni je optymalnie.

Przykad 3

Wyznaczy rozkady napre i odksztace w belce o przekroju prostoktnym, poddanej zginaniu momentem M' i rozciganiu si podun N'. Belka skada si z dwu warstw izotropowych o moduach sprystoci E1=200 GPa, E2=120 GPa, 1=2=0.3 (podane stae odpowiadaj odpowiednio stali i miedzi).

Belka stanowica przedmiot zadania jest szczeglnym przypadkiem belki laminatowej, skadajcej si z dwu warstw izotropowych. Teoria laminacji umoliwia uzyskanie rozwizania dla belek o cakowicie dowolnym ukadzie warstw kompozytowych, dlatego celowe jest przypomnienie oglnych zalenoci, ktre nastpnie wykorzystamy dla przypadku szczeglnego. Obcienie i ukad osi dla belki pokazano na rys. 4.9.

y

z

y

x

x

yz

t/2t/2

bN' N'

M' M'

z

x

Rys. 4.9. Belka laminatowa poddana zginaniu i rozciganiu.

Siy i momenty wypadkowe (patrz rys. 4.3)

{ }

=00

bNN

/ { }

=00

bMM

/ (4.61)

Rwnania fizyczne

=

o

o

DBBA

MN

=

MN

DBBA

o

o

(4.62)

gdzie

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BABDH 1= (4.63)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1111 ABHBAAA += (4.64)

[ ] [ ] [ ] [ ] 11 HBAB = (4.65) D H' = 1

(4.66)


68

Macierze sztywnoci

[ ] [ ]=

=N

1kkk tQA (4.67)

[ ] [ ] ckN

1kkk ztQB

=

= (4.68)

[ ] [ ]=

+=

N

1k

3k2c

kkk 12t

ztQD (4.69)

Dla czsto stosowanych laminatw o jednakowej gruboci wszystkich warstw, zwanych laminatami regularnymi macierzy te mona przedstawi znacznie prociej. Przyjmujc, e liczba warstw wynosi N, a ich gruboci tk=t/N (k=1...N) - wsprzdne rodkw cikoci mona wyrazi nastpujco

tN2

1Nk2zck

=

za macierze sztywnoci przyjmuj postaci

[ ] [ ]=

=N

1kkQN

tA (4.70)

[ ] [ ] ( )1Nk2QN2tB

N

1kk2

2=

=

(4.71)

[ ] [ ] ( )( )=

+=N

1k

2k3

31Nk231Q

N12tD (4.72)

Odksztacenia laminatu

{ } { } { } zo += (4.73) { } [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ]( ){ }[ ]MDzBNBzA +++= (4.74) Naprenia warstwowe

{ } [ ] { } kk Q= (4.75) { } [ ] [ ] [ ] [ ]( ){ } [ ] [ ] [ ] [ ]( ){ }[ ]MDQzBQNBQzAQ kkkkk +++= Dobrym sprawdzianem poprawnoci powyszych relacji jest zastosowanie ich do przekroju jednowarstwowego. Niezalenie od tego czy warstwa jest izotropowa, czy te ortotropowa, a w tym drugim przypadku niezalenie rwnie od jej orientacji wzg. ukadu odniesienia (x, y), macierz sprze [B] jest macierz zerow, co prowadzi do nastpujcych relacji

[ ] [ ]QtA =

[ ] [ ]Q12tD

3=

1 2

k N

t

z

y

tk zkc

ROZDZIA 4

69

[ ] [ ]DH = (4.76)

[ ] [ ] [ ] 11 Qt1AA ==

[ ] [ ]0B =

[ ] [ ] [ ] 131 Qt12DD ==

Podstawiajc te zwizki do rwnania okrelajcego naprenia warstwowe, po elementarnych przeksztaceniach otrzymujemy

zIM

AN

yx

+

= y x y= = 0 (4.77)

gdzie

tbA = pole przekroju poprzecznego

12tbI

3

y = moment bezwadnoci przekroju

Otrzymalimy zatem dobrze znane z wytrzymaoci materiaw rozwizanie dla przekroju mimorodowo rozciganego.

Przystpimy obecnie do wyznaczenia napre i odksztace w belce dwuwarstwowej, bdcej tematem zadania - rys. 4.10.

Rys. 4.10. Przekrj belki dwuwarstwowej

Ze wzgldu na izotropi, zredukowana i transformowana macierze sztywnoci dla pojedynczej warstwy s takie same. Korzystajc z (2.42) otrzymujemy macierze o nastpujcych skadowych

[ ] ][.

....

MPa1097600

0821996509658219

Q 31

= (4.78)

[ ] ][.

....

MPa1024600

0913163906399131

Q 32

=

Dalsze obliczenia polegaj na wyznaczeniu macierzy sztywnoci oraz wykonaniu operacji odwracania i mnoenia macierzy, prowadzcych do znalezienia odksztace i napre. Oznacza to w praktyce, e nawet w najprostszej sytuacji (2 warstwy izotropowe) niezbdne jest uycie odpowiedniego oprogramowania komputerowego. Pominiemy tu wszystkie wyniki porednie i ograniczymy si do podania kocowego wyniku.

Naprenia w warstwie grnej "1" wynosz

+

+

+

= z

IM311

IMt0820z

AN

t980

AN311

yy1x ..

.. (4.79)

01xy1y ==

t/2

t/2

E1,

E2,

y

z


70

Naprenia w warstwie dolnej "2" maj wartoci

+

+

+

= z

IM7840

IMt0490z

AN

t590

AN790

yy2x ..

.. (4.80)

02xy2y ==

Jak wida z podanych rozwiza, niezerowe s jedynie naprenia normalne podune. Wyraenia ujte w pierwszym nawiasie dotycz wycznie rozcigania, a w drugim wycznie zginania. Wykresy napre odpowiadajcych tym dwm przypadkom przedstawiono, odpowiednio, na rys. 4.11 i 4.12.

+ =+

+

-

+

1

2

1.31

0.79 0.295

0.49 0.83

1.310.79

1.085

(N ' /A) -1x N

x

z

x

Rys. 4.11. Naprenia normalne przy rozciganiu.

+ =

+

1

2

0.082

0.049 0.392

0.655 0.573

0.0820.049

0.441

(M t / I ) -1x M

x

z

xy

+

+

- -

Rys. 4.12. Naprenia normalne przy zginaniu

Przedstawione wykresy mog w pierwszym momencie budzi zaskoczenie. W przypadku rozcigania, wida e oprcz napre skokowo zmieniajcych si w miejscu poczenia warstw (skutek rnych sztywnoci warstw), ale staych na ich wysokoci, wystpuj naprenia o liniowym przebiegu, charakterystyczne dla zginania. Jest to bezporedni skutek sprzenia stanu tarczowego i gitnego. Zauwamy, e naprenia wywoane efektem sprzenia nie s bynajmniej pomijalnie mae w stosunku do napre wynikajcych wycznie ze stanu tarczowego.

Poprawno uzyskanego rozwizania potwierdza obliczenie siy wypadkowej, jak uzyskuje si w wyniku scakowania napre po przekroju poprzecznym. Otrzymujemy

( ) ( ) Nb2t

AN31183050b

2t

AN790085150W =

++

+= ......

Sprzenie stanu tarczowego i gitnego widoczne jest take w przypadku napre normalnych wywoanych wycznie zginaniem. Tu oprcz skadowej liniowo zmiennej po wysokoci, wystpuje dodatkowo skadowa staa na wysokoci warstwy, charakterystyczna dla rozcigania. Jest ona jednak znikomo maa w stosunku do tej pierwszej.

ROZDZIA 4

71

Take w tym przypadku sprawdmy warunek rwnowagi. W wyniku scakowania napre otrzymamy moment wypadkowy

+

=2t

31b

2t

ItM0820

21

2t

32b

2t

ItM5730

21M

yyw ..

M2t

32b

2t

ItM3920

21

4tb

2t

ItM0490

yy=

+

+ ..

Wystpowanie sprzenia lub te jego brak jest cile zwizane z budow laminatu. Warunki, jakie musi on spenia, aby sprzenie stanu tarczowego i gitnego nie wystpowao, bd szczegowo przedstawione w rozdziale 5.

Odksztacenia laminatu wyraaj si zwizkami

+

+

+

=

z

t10365100834

ItMz

t104910665

AN 77

y

77

x... (4.81)

+

+

=

z

t1061910231

ItMz

t1071410719

AN 77

y

77

y.... (4.82)

0xy = (4.83)

Rozkady odksztace liniowych, podunych i poprzecznych, przedstawiono na rys. 4.13 i 4.14.

+

1

2

x

z

x+

41.1 x 10-7

90.1 x 10-7

N'A

N'A

-

36.7 x 10-7 M' tIy

28.6 x 10-7 M' tIy

+

Rys. 4.13. Rozkad odksztace podunych.

1

2

y

z

y-

12.35 x 10 -7 N'A

34.4 x 10-7 N'A 11.03 x 10

-7 M' tI y

8.57 x 10-7 M' tIy

+

-

+

Rys. 4.14. Rozkad odksztace poprzecznych.


72

Przykad 4

Walcowy zbiornik cinieniowy (rys. 4.15) wykonano metod nawijania obwodowego i rubowego (patrz - rozdz. 1) z wysokowytrzymaego kompozytu grafit/epoksyd w taki sposb, e uzyskano sekwencj warstw opisan kodem [03/+60/-60]s. Wyznaczy maksymalne cinienie, jakie moe przenie zbiornik, jeeli odksztacenie obwodowe (rwnolenikowe) nie moe przekroczy 1%. Obliczy wielko odksztacenia poudnikowego, odpowiadajcego cinieniu maksymalnemu. Promie zbiornika wynosi R=0.5 m, grubo pojedynczej warstwy to=0.15 mm, stae inynierskie dla pojedynczej warstwy przyjmuj wartoci (tab. 2.2): E1=145 GPa, E2=10 GPa, G12=4.8 GPa, 12=0.25.

Z teorii powok, ktrych szczeglnym przypadkiem jest cienkocienna powoka obrotowa w postaci walca, obcionego cinieniem wewntrznym p wynika, e stan naprenia w powoce okrelony jest napreniem obwodowym (rwnolenikowym) x i osiowym (poudnikowym) y, opisanymi nastpujcymi rwnaniami

tRpx = (4.84)

tRp

21

y = (4.85)

gdzie R jest promieniem warstwy rodkowej powoki walcowej.

2 R

x

y

+ 60

- 60xx

y

y

tp

Rys. 4.15. Ukad warstw i naprenia w cienkociennym kompozytowym zbiorniku cinieniowym.

W celu rozwizania zadania naley najpierw okreli macierze sztywnoci dla laminatu w ukadzie odniesienia (x, y). Ze wzgldu na symetri uoenia warstw macierz sztywnoci sprze [B] jest macierz zerow. Stan naprenia w powoce jest tzw. stanem bonowym, co oznacza, e nie wystpuj momenty zginajce, a zatem wektor momentw wypadkowych {M} jest wektorem zerowym. Ostatecznie rwnanie fizyczne (4.35) po uwzgldnieniu (4.36) upraszcza si do postaci

{ } [ ] { }NA 1= (4.86) Macierz sztywnoci tarczowej [A] wyznaczymy obliczajc kolejno: skadowe macierzy sztywnoci [Q] dla warstwy w jej osiach materiaowych (rw. (2.42)), wspczynniki materiaowe (3.20), wspczynniki geometryczne (4.39), (4.41) i wreszcie, korzystajc z tab. 4.1

macierz sztywnoci warstwy

ROZDZIA 4

73

[ ] ][.

....

GPa8400

00410512051263145

Q

= (4.87)

wspczynniki materiaowe

U1 = 61.40 U2 = 67.80 U3 = 16.43 U4 = 18.94 U5 = 21.23 [GPa] (4.88)

objtociowe udziay warstw

v0 = 0.6 v-60 = v+60 = 0.2 (4.89)

wspczynniki geometryczne (4.41)

V V V V1 2 3 40 4 0 4 0* * * *. .= = = =

(4.90)

macierz sztywnoci tarczowej

[ ] 31002200

036161806186142

A

=

.....

[GN/m] (4.91)

macierz odwrotna

[ ]

=

454500099162220222307

A 1

.....

[GN/m] -1 (4.92)

Odksztacenia w powoce zbiornika okrelone s zatem zwizkiem

=

xy

y

x

yx

y

x

NNN

454500099162220222307

.....

(4.93)

przy czym skadowe wektora si wypadkowych zwizane s ze skadowymi tensora naprenia rwnaniami

Nx = x t = p R Ny = y t = 0.5 p R Nxy = 0 (4.94) Maksymalne cinienie, jakie moe przenie zbiornik wynika z warunku narzuconego na warto dopuszczaln odksztace obwodowych w nastpujcej postaci

010p0953Rp50222Rp307x ..... === (4.95)

Ostatecznie wic maksymalne dopuszczalne cinienie wynosi

p = 3.23 MPa (4.96) Odksztacenie poudnikowe przy takiej wielkoci cinienia wynosi

%....)...( 011010105010233509916222 3y ==+= (4.97)


74

Documents

Janusz German - Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych - skrypt4