www.ASEC.blogfa.com

11

به نام خدا به نام خدا مباحث درس كنترل اتوماتيك

: : مفاهيم اوليه سيستمهاي ديناميكي و كنترل مفاهيم اوليه سيستمهاي ديناميكي و كنترل --11(Basic concepts of dynamic (Basic concepts of dynamic ��control systems)control systems)

يوسته، يوسته، پپيوسته وغير يوسته وغير پپخطي وغير خطي، خطي وغير خطي، ((تعريف و طبقه بندي سيستم ها و مدل رياضي آنها تعريف و طبقه بندي سيستم ها و مدل رياضي آنها -- ) . ) . ارامترهاي ثابت و متغير نسبت به زمان ارامترهاي ثابت و متغير نسبت به زمان پ پ داراي داراي

). ). كنترل حلقه بازوكنترل حلقه بسته ، طراحي يك سيستم كنترلي كنترل حلقه بازوكنترل حلقه بسته ، طراحي يك سيستم كنترلي (( معرفي سيستمهاي كنترلي معرفي سيستمهاي كنترلي -- ). ). الكتريكي ، مكانيكي ، سياالتي، حرارتي الكتريكي ، مكانيكي ، سياالتي، حرارتي ( ( انواع و اجزاي سيستمهاي كنترلري انواع و اجزاي سيستمهاي كنترلري --

. . (Laplaces transform)(Laplaces transform) اس اس پلپلتبديل ال تبديل ال -- 22 . . نمايش و مدلسازي رياضي سيستم هاي مكانيكي نمايش و مدلسازي رياضي سيستم هاي مكانيكي --33 ::رفتار سيستمهاي ديناميكي رفتار سيستمهاي ديناميكي --44

. . اسخ زماني حالت گذرا اسخ زماني حالت گذرا پ پ -- ).).ماندگار ماندگار ((ايدار ايدار پ پ اسخ زماني حالت اسخ زماني حالت پ پ -- . . بررسي آثار كنترل كننده ها روي مشخصات حالت گذرا و حالت ماندگار بررسي آثار كنترل كننده ها روي مشخصات حالت گذرا و حالت ماندگار --

::ايداري سيستمهاي خطي ايداري سيستمهاي خطي پ پ --55 RouthRouth--Hurwitz Hurwitz --روشروش

www.ASEC.blogfa.com

22

: : كنترل فيدبك كنترل فيدبك--66. . ساختمان يك سيستم كنترل فيدبك دار ساختمان يك سيستم كنترل فيدبك دار --

Feed back control system memberFeed back control system member Linear controllers Linear controllers -- كنترلرهاي خطي كنترلرهاي خطي . .

Root locus methodRoot locus method . . روش مكان هندسي ريشه ها روش مكان هندسي ريشه ها -- ..قواعد رسم مكان هندسي ريشه ها قواعد رسم مكان هندسي ريشه ها -- . . تحليل سيستمهاي كنترلي توسط روش مكان هندسي ريشه ها تحليل سيستمهاي كنترلي توسط روش مكان هندسي ريشه ها -- . . طراحي سيستمهاي كنترلي توسط روش مكان هندسي ريشه ها طراحي سيستمهاي كنترلي توسط روش مكان هندسي ريشه ها -- ::تحليل عكس العمل فركانسي تحليل عكس العمل فركانسي --77

.. ترسيم عكس العمل فركانسي ترسيم عكس العمل فركانسي -- ..Bode & NyquistBode & Nyquist ترسيم دياگرامهاي ترسيم دياگرامهاي --

.Nyquist.Nyquist معيار پايداري معيار پايداري -- .. طراحي سيستمهاي كنترلي توسط روش عكس العمل فركانسي طراحي سيستمهاي كنترلي توسط روش عكس العمل فركانسي --

::مراجعمراجع 13741374ه خواجه نصير ه خواجه نصير سيستمهاي ديناميكي و كنترلي؛تاليف آقاي دكتر غفاري،انتشارات؛دانشگا سيستمهاي ديناميكي و كنترلي؛تاليف آقاي دكتر غفاري،انتشارات؛دانشگا --11

K.Ogata K.Ogata 22-- مهندسي كنترلي ؛ تاليف مهندسي كنترلي ؛ تاليف..DazzoDazzo و و Friedland Friedland و و R.C DorfR.C Dorf و و RavenRaven و و Benjamin kuoBenjamin kuo وكتابهاي كنترل وكتابهاي كنترل -- 33

www.ASEC.blogfa.com

33

::مفاهيم اوليه سيستمهاي ديناميكي و كنترل مفاهيم اوليه سيستمهاي ديناميكي و كنترل درسيستمهاي فضاپيما، هدايت موشكها ، نيروگاهها،سيستمهاي رباتيكي و درسيستمهاي فضاپيما، هدايت موشكها ، نيروگاهها،سيستمهاي رباتيكي و : : كاربرد علم كنترل كاربرد علم كنترل

..دما،رطوبت ، جريان، ولتاژ دما،رطوبت ، جريان، ولتاژ مكاترونيكي ، طراحي ماشينها و ماشينهاي ابزار از طريق تنظيم فشار، مكاترونيكي ، طراحي ماشينها و ماشينهاي ابزار از طريق تنظيم فشار، ر كمك كند تا به هدف خود ر كمك كند تا به هدف خود علم كنترل در هر پروسه اي كه درآن تنظيم مورد نياز باشدو به اپراتو علم كنترل در هر پروسه اي كه درآن تنظيم مورد نياز باشدو به اپراتو

..هر چه زودتر و با كيفيت بهتر برسد كاربرد دارد هر چه زودتر و با كيفيت بهتر برسد كاربرد دارد ::مرور تاريخي علم كنترلمرور تاريخي علم كنترل

..j.j. ٌٌWatt Watt 11-- كنترل سرعت ماشين بخار در قرن هيجدهم ميالدي توسط كنترل سرعت ماشين بخار در قرن هيجدهم ميالدي توسط . .Minorsky Minorsky 22-- كنترل و پايداري خودكار كشتيها توسط كنترل و پايداري خودكار كشتيها توسط

ورودي سينوسي به ورودي سينوسي به تعيين پايداري سيستمهاي حلقه بسته با توجه به پاسخ حلقه باز به يك تعيين پايداري سيستمهاي حلقه بسته با توجه به پاسخ حلقه باز به يك --33 . . 19321932 توسط نايكوييست در سال توسط نايكوييست در سال

19341934در سال در سال ) ) دنبال كردن يا احساس كردن يك ورودي متغير دنبال كردن يا احساس كردن يك ورودي متغير ((طداحي يك سدو مكانيسم طداحي يك سدو مكانيسم --44 سيستمي كه اگر تحت اثر يك سيگنال ورودي ثابت باشد ، سيستمي كه اگر تحت اثر يك سيگنال ورودي ثابت باشد ، : : srvo srvo تعريف تعريف .(.(توسط هارن توسط هارن

.).) خطاي حالت پايدار آن صفر باشد خطاي حالت پايدار آن صفر باشد . .EvansEvans توسط توسط 19501950 تا تا 19401940 ابداع مكان هندسي ريشه ها در طي سال هاي ابداع مكان هندسي ريشه ها در طي سال هاي --55

دي،يك خروجي دي،يك خروجي روشهاي پاسخ فركانسي ومكان هندسي ريشه ها مربوط به سيستمهاي يك ورو روشهاي پاسخ فركانسي ومكان هندسي ريشه ها مربوط به سيستمهاي يك ورو هيچ بهينه سازي در اين دو روش انجام هيچ بهينه سازي در اين دو روش انجام .(.(واين دواساس نظريه كنترل كالسيك مي باشند واين دواساس نظريه كنترل كالسيك مي باشند ..ميباشندميباشند

.) .) نمي شود نمي شود

www.ASEC.blogfa.com

44

-- برروي قسمت بهينه سازي كنترل و كار با سيستمهاي پيچيده تر چند برروي قسمت بهينه سازي كنترل و كار با سيستمهاي پيچيده تر چند 19501950 پس از سال پس از سال --77 با توجه به گسترش كامپيوترهاي با توجه به گسترش كامپيوترهاي . . چند خروجي كارهاي قابل توجهي انجام شده است چند خروجي كارهاي قابل توجهي انجام شده است ––ورودي ورودي

.. اين موفقيت نمود بيشتري يافته است اين موفقيت نمود بيشتري يافته است 19601960ديجيتال از اواسط دهه ديجيتال از اواسط دهه بر روي كنترل بهينه سيستمهاي بر روي كنترل بهينه سيستمهاي ) ) و بعد و بعد 19601960 تا تا 19401940طي سالهايطي سالهاي((از قسمتهاي جديدكنترل از قسمتهاي جديدكنترل --88

(Robust control ( Robust control ) ) و كنترل وفقي و كنترل وفقي وكنترل مقاوم وكنترل مقاوم ( ( Random optimalRandom optimal controlo) controlo) اتفاقي اتفاقي. . كارهاي بسيار قابل توجهي انجام شده است كارهاي بسيار قابل توجهي انجام شده است ) ) Adaptiv control )Adaptiv control )

سيستمهاي زيستي ، اقتصادي ، سيستمهاي زيستي ، اقتصادي ، : : كاربردهاي جديد و غير مهندسي علم كنترل عبارتند از كاربردهاي جديد و غير مهندسي علم كنترل عبارتند از --99 .. جامعه شناسي، انساني ، اجتماعي جامعه شناسي، انساني ، اجتماعي

:: تعاريف تعاريفويا اندازه گيري يك يا چندكميت ويا اندازه گيري يك يا چندكميت ) . ) . يك متغير يك متغير ((به مقدار مطلوب رساندن يك كميت به مقدار مطلوب رساندن يك كميت : : كنترلكنترل--

).).يك متغير يك متغير (( براي به مقدار مطلوب رساندن يك كميت براي به مقدار مطلوب رساندن يك كميت ..كميت تحت اندازه گيري وكنترل كميت تحت اندازه گيري وكنترل : : متغير كنترل متغير كنترل-- .. ان ان كميت تحت تاثيربخاطر ايجاد تاثيردرمتغير كنترل واندازه گيري وكنترل كميت تحت تاثيربخاطر ايجاد تاثيردرمتغير كنترل واندازه گيري وكنترل : : متغير تاثير پذير متغير تاثير پذير -- شده از شده از تركيبي ازاجزا با مشخصات و رفتار معين براي انجام يك عمل خاص وجدا تركيبي ازاجزا با مشخصات و رفتار معين براي انجام يك عمل خاص وجدا : : سيستم سيستم --

مثل يك پديده مثل يك پديده ((سيستم هم مي تواندفيزيكي باشدوهم انتزاعي سيستم هم مي تواندفيزيكي باشدوهم انتزاعي .. محيط اطراف توسط يك مرز محيط اطراف توسط يك مرز وتوسط متغير وتوسط متغير . . توسط متغير كنترل مي توان از رفتار سيستم اطالع حاصل نمود توسط متغير كنترل مي توان از رفتار سيستم اطالع حاصل نمود ) .() .( اقتصادي اقتصادي

. . تاثير پذير مي توان عامل محرك سيستم را مد نظر قرار داد تاثير پذير مي توان عامل محرك سيستم را مد نظر قرار داد

www.ASEC.blogfa.com

55

: : مثاللهايي از سيستممثاللهايي از سيستم و حركت ارتعاشي ساختمان و حركت ارتعاشي ساختمان ) ) Actuatur Actuatur -- عامل محرك عامل محرك ((نيروي زلزله نيروي زلزله : : سيستم ارتعاشي سيستم ارتعاشي

))رفتار سيستمرفتار سيستم(( . . كنترل تورم كشوركنترل تورم كشور: : سيستم اقتصادي سيستم اقتصادي -- ..پااليشگاه وفراورده هاي مختلف ان پااليشگاه وفراورده هاي مختلف ان : : سيستم شيميايي سيستم شيميايي -- رفتار رفتار = = درجه حرارت ساختمان درجه حرارت ساختمان . (. (سيستم تنظيم درجه حرارت ساختمان سيستم تنظيم درجه حرارت ساختمان ::سيستم حرارتي سيستم حرارتي --

). ). متغير تاثير پذير متغير تاثير پذير = = عامل محرك عامل محرك = = متغير كنترل، درجه حرارت ورودي متغير كنترل، درجه حرارت ورودي == سيستم سيستم اين سيستم به صورت اين سيستم به صورت . . سيستم تغيير كيفيت زندگي انسان در جهان سيستم تغيير كيفيت زندگي انسان در جهان :: سيستم اجتماعي سيستم اجتماعي --

:: گراف نشان داده شده است گراف نشان داده شده است

تصميمات سياسي تصميمات سياسي ((عوامل موثرعوامل موثر )) و اقتصادي واجتماعي و اقتصادي واجتماعي

الودگي محيط الودگي محيط --55 سرمايه گذاري سرمايه گذاري --44 منابع قابق تجديد انرزي منابع قابق تجديد انرزي --33

منابع غير قابق تجديد انرزي منابع غير قابق تجديد انرزي --22

رفتار سيستم رفتار سيستم ))كيفيت زندگي كيفيت زندگي ( (

جمعيت جهان جمعيت جهان --11 متغيرهاي پنج گانهمتغيرهاي پنج گانه

) ) كل جهان كل جهان ((سيستم سيستم

www.ASEC.blogfa.com

66

. . ندگي در آينده را پيش بيني نماييم ندگي در آينده را پيش بيني نماييم با تعيين مقادير اين متغير ها براي زمان هاي آينده مي توان كيفيت ز با تعيين مقادير اين متغير ها براي زمان هاي آينده مي توان كيفيت ز : : كنترل سطح مايع كنترل سطح مايعمي توان براي سيستمهاي كنترلي نمودار بلوكي نيز تهيه كرد،مثل سيستم مي توان براي سيستمهاي كنترلي نمودار بلوكي نيز تهيه كرد،مثل سيستم

مثال سيستم كنترل سطح مايع مثال سيستم كنترل سطح مايع

::و نمودار بلوكي و نمودار بلوكي

كنترل كننده شير پنوماتيكي مخزن

شناور

سطح سيال مطلوب سطح سيال واقعي

www.ASEC.blogfa.com

77

: : statestate--space space وضعيتوضعيت((سيتم مكانيكي و متغير هاي حالت سيتم مكانيكي و متغير هاي حالت ( (عيت و رفتار سيستم را در عيت و رفتار سيستم را در متغير حالت ،متغيري است كه با معلوم بودن ان در هر لحظه ، بتوان وض متغير حالت ،متغيري است كه با معلوم بودن ان در هر لحظه ، بتوان وض

MMتحت نيروي تحت نيروي F F ، با استفاده از ، با استفاده از مثال درسيستم مكانيكي ،جسم به جرم مثال درسيستم مكانيكي ،جسم به جرم ..ان لحظه مشخص نمود ان لحظه مشخص نمود ::قا نون دوم نيوتن قا نون دوم نيوتن

تغير تغييرمكان و متغير تغير تغييرمكان و متغير بنابر اين براي انكه وضعيت اين سيستم مكانيكي معلوم شود ، بايد م بنابر اين براي انكه وضعيت اين سيستم مكانيكي معلوم شود ، بايد م . . متغير هاي حالت اين سيستم هستند متغير هاي حالت اين سيستم هستند بنابر اين بنابر اين . . سرعت معلوم باشد سرعت معلوم باشد

مام لحظات تعيين خواهد مام لحظات تعيين خواهد يعني اگر در هر لحظه مشخص باشند ، وضعبت و رفتار سيستم در ت يعني اگر در هر لحظه مشخص باشند ، وضعبت و رفتار سيستم در ت شد نيز اگرجرم شد نيز اگرجرم MM درايد درايد توسط يك فنر خطي به جايي وصل باشد و با يك جابجايي اوليه به نوسان توسط يك فنر خطي به جايي وصل باشد و با يك جابجايي اوليه به نوسان

::بر اساس قانون دوم حركت نيوتون ، مي توان نوشت بر اساس قانون دوم حركت نيوتون ، مي توان نوشت

Mx XMF &&=

002

)(F)2/1( xtxtM

X t ++= &

xx,& x&xx,&

x

M

xk

F

MKtBtAtX =+= ωωω cossin)(

0=+ kxXM &&

www.ASEC.blogfa.com

88

يعني حاصل يعني حاصل ضرايب ثابت هستند و با استفاده از تغيير مكان اوليه و سرعت اوليه ، ضرايب ثابت هستند و با استفاده از تغيير مكان اوليه و سرعت اوليه ، A,BA,B يعني دراين سيستم نيز وضعيت سيستم در يعني دراين سيستم نيز وضعيت سيستم در ..و نهايتا درهر لحظه محاسبه خواهد شد و نهايتا درهر لحظه محاسبه خواهد شد . . ميشوند ميشوند

نتيجه اينكه نتيجه اينكه . . صورتي كامال مشخص مي شود كه مقادير در هر لحظه مشخص باشد صورتي كامال مشخص مي شود كه مقادير در هر لحظه مشخص باشد .. متغير هاي وضعيت هستند متغير هاي وضعيت هستند

::سيتم استاتيكي وسيستم ديناميكيسيتم استاتيكي وسيستم ديناميكي ..سيستمي كه وضعيت و رفتار ان بستگي به وضعيت گذشته ان نداشته باشد سيستمي كه وضعيت و رفتار ان بستگي به وضعيت گذشته ان نداشته باشد : : سيتم استاتيكي سيتم استاتيكي

. . سيستمي كه وضعيت و رفتار ان بستگي به وضعيت گذشته ان داشته باشد سيستمي كه وضعيت و رفتار ان بستگي به وضعيت گذشته ان داشته باشد : : سيستم ديناميكي سيستم ديناميكي ساده قرار دهيم و تير ساده قرار دهيم و تير مثال اگر يك نيروي قابل توجه را روي وسط يك تير با دو سر تكيه گاه مثال اگر يك نيروي قابل توجه را روي وسط يك تير با دو سر تكيه گاه حال اگر همين سيستم حال اگر همين سيستم .. نيز به حداكثر خيز خود برسد ، اين سيستم يك سيستم استاتيكي است نيز به حداكثر خيز خود برسد ، اين سيستم يك سيستم استاتيكي است

به حداكثر خيز خود به حداكثر خيز خود هنگام قرار گرفتن تحت بار پس از مرتعش شدن و انجام حركات نوساني هنگام قرار گرفتن تحت بار پس از مرتعش شدن و انجام حركات نوساني .. برسد،سيستم ، يك سيستم ديناميكي است برسد،سيستم ، يك سيستم ديناميكي است

درجه سلسيو س را نشان مي دهند ، به محيطي با دماي درجه سلسيو س را نشان مي دهند ، به محيطي با دماي 1010 اگر دو دماسنج كه هر دو دماي اگر دو دماسنج كه هر دو دماي را نشان مي دهد داراي را نشان مي دهد داراي 2020درجه سلسيو س وارد كنيم ، ان دما سنجي كه بالفاصله عدد درجه سلسيو س وارد كنيم ، ان دما سنجي كه بالفاصله عدد 2020

را نشان را نشان 2020وديگري كه پس از يك مدت زمان قابل توجه عدد وديگري كه پس از يك مدت زمان قابل توجه عدد . . يك سيستم استاتيكي است يك سيستم استاتيكي است History History در سيستم ديناميكي حافظه و در سيستم ديناميكي حافظه و . . مي دهد تشكيل يك سيستم ديناميكي مي دهد مي دهد تشكيل يك سيستم ديناميكي مي دهد

. . سيستم هاي مكانيكي مورد مثال هر دو ديناميكي هستند سيستم هاي مكانيكي مورد مثال هر دو ديناميكي هستند . . مهم و تاثير گذار است مهم و تاثير گذار است

xx,&

xx,&xx,&

x

www.ASEC.blogfa.com

99

((Super positionSuper position در ان وجود داشته در ان وجود داشته )) سيستم خطي سيستمي است كه اصل جمع اثار سيستم خطي سيستمي است كه اصل جمع اثار --.) .) دونيرو باشد دونيرو باشد تعييرمكان حاصل ازاعمال دونيرو برابربا مجموع تغييرمكانهاي هريك از تعييرمكان حاصل ازاعمال دونيرو برابربا مجموع تغييرمكانهاي هريك از .(.( باشد باشد

اگر بتوان خاصيت االستيسيته و اينرسي در اجزا و اگر بتوان خاصيت االستيسيته و اينرسي در اجزا و : : سيستم با پارامترهاي مجزا و غير مجزا سيستم با پارامترهاي مجزا و غير مجزا --

..زا ناميده مي شود زا ناميده مي شود المانهاي ايدهال درنظر گرفت،ان سيستم يك سيستم با پارامترهاي مج المانهاي ايدهال درنظر گرفت،ان سيستم يك سيستم با پارامترهاي مج واگر نتوان اين دو خاصيت را در اجزا و المانهاي واگر نتوان اين دو خاصيت را در اجزا و المانهاي . . (( Lumped parameter system)Lumped parameter system)

..امي ناميم امي ناميم ايده ال درنظر گرفت ،ان سيستم رايك سيستم با پارامترهاي غير مجز ايده ال درنظر گرفت ،ان سيستم رايك سيستم با پارامترهاي غير مجز .(Distributed parameter system).(Distributed parameter system)

هاي متغيير نسبت به هاي متغيير نسبت به سيستمي كه پارامترهاي ان با زمان تغيير نمايد ،يك سيستم با پارامتر سيستمي كه پارامترهاي ان با زمان تغيير نمايد ،يك سيستم با پارامتر --(Time(Time--vary parametr system)vary parametr system) و در صورت ثابت بودن ان و در صورت ثابت بودن ان . . زمان ناميده مي شود زمان ناميده مي شود

. . پارامترها نسبت به زمان، انرا يك سيستم مستقل اززمان ميناميم پارامترها نسبت به زمان، انرا يك سيستم مستقل اززمان ميناميم (Time(Time--invariant system)invariant system)

ديفرانسيل يك ديفرانسيل يك همانطوريكه مي توان بطور فيزيكي احساس نمود ، حل نمودن معادالت همانطوريكه مي توان بطور فيزيكي احساس نمود ، حل نمودن معادالت مثال ؛ كنترل مثال ؛ كنترل . . ست ست سيستم متغير با زمان بسيار مشكل تر از يك سيستم مستقل از زمان ا سيستم متغير با زمان بسيار مشكل تر از يك سيستم مستقل از زمان ا

يك هواپيما به علت سنگين بودن بنزين ان يك سيستم يك هواپيما به علت سنگين بودن بنزين ان يك سيستم Time varying Time varying ولي كنترل يك ولي كنترل يك شين ، يك سيستم شين ، يك سيستم ماشين به علت قابل صرفنظر بودن وزن بنزين ان نسبت به وزن ما ماشين به علت قابل صرفنظر بودن وزن بنزين ان نسبت به وزن ما

.. ميبا شد ميبا شد (( TimeTime--invariant) invariant)

www.ASEC.blogfa.com

1010

ازطريق اعمال ازطريق اعمال تحت نظم در اوردن وانتظار پاسخ مورد نظر، يا به نظم دراوردن خروجي تحت نظم در اوردن وانتظار پاسخ مورد نظر، يا به نظم دراوردن خروجي : : كنترل كنترل --. . تغييراتي در ورودي تغييراتي در ورودي

ناگهاني تغيير نمايد ، به ان ناگهاني تغيير نمايد ، به ان ) ) بدون كنترلبدون كنترل((اگر خروجي يك سيستم اگر خروجي يك سيستم : : DisturbanseDisturbanse اغتشاش اغتشاش --اغتشاش ممكن است از داخل سيستم بوجود امده باشد ، اغتشاش ممكن است از داخل سيستم بوجود امده باشد ، . . سيستم يك اغتشاش وارد شده است سيستم يك اغتشاش وارد شده است

Internal disturbanseInternal disturbanse و يا از بيرون وارد شده باشد ، اغتشاش خارجي و يا از بيرون وارد شده باشد ، اغتشاش خارجي ) ) ((اغتشاش داخلي اغتشاش داخلي . . خواهد بود خواهد بود )) external disturbanseexternal disturbanse ) )

كنترل مدار باز كنترلي است كه كنترل مدار باز كنترلي است كه ) : ) : كنترل با فيدبك كنترل با فيدبك ( ( تعريف كنترل مدار باز و كنترل مدار بسته تعريف كنترل مدار باز و كنترل مدار بسته --در كنترل مدار باز براي رسيدن در كنترل مدار باز براي رسيدن . . ورودي به سيستم هيچگونه تاثير از خروجي و ملدار ان ندارد ورودي به سيستم هيچگونه تاثير از خروجي و ملدار ان ندارد

هيچگونه هيچگونه . . ي شود ي شود به يك مقدار خاص خروجي ، يك ورودي تعريف و بدست اورده و اعمال م به يك مقدار خاص خروجي ، يك ورودي تعريف و بدست اورده و اعمال م ممكن است سيستم تحت تاثير ممكن است سيستم تحت تاثير . . اطميناني وجود ندارد كه خروجي هماني باشد كه انتظار داريم اطميناني وجود ندارد كه خروجي هماني باشد كه انتظار داريم

طبيعي است در اين حالت به خروجي مورد نظر طبيعي است در اين حالت به خروجي مورد نظر . . اغتشاش اعم از داخلي با خارجي قرار گيرد اغتشاش اعم از داخلي با خارجي قرار گيرد .. نخواهيم رسيد نخواهيم رسيد

در يك سيستم كنترلي داراي فيدبك در يك سيستم كنترلي داراي فيدبك (Closed(Closed--loop control,Feedloop control,Feed--back control) back control)اگرهم اگرهم به سيستم وارد شود، كنترلرهاي اين سيستم سعي مي كنند جواب به سيستم وارد شود، كنترلرهاي اين سيستم سعي مي كنند جواب ) ) داخلي يا خارجي داخلي يا خارجي (( اغتشاشي اغتشاشي

آنچه در واقعيت سيستم هاي كنترلي فيدبك دار اتفاق مي افتد ، آنچه در واقعيت سيستم هاي كنترلي فيدبك دار اتفاق مي افتد ، . . را در حد مطلوب نگهدارند را در حد مطلوب نگهدارند يك سيستم كنترلي با ورودي يك سيستم كنترلي با ورودي ) ) يا خروجي واقعي يا خروجي واقعي (( اين استكه سيگنال تفاضل مقادير خروجي اين استكه سيگنال تفاضل مقادير خروجي

به كنترلر وارد شده و در ان بزرگ يا كوچك و معني دار شده به كنترلر وارد شده و در ان بزرگ يا كوچك و معني دار شده ) ) يا مقدار مطلوب و مورد نظر يا مقدار مطلوب و مورد نظر ((

www.ASEC.blogfa.com

1111

. . وبه سيستم اصلي مي رود تا تاثير خود را روي خروجي بگذارد وبه سيستم اصلي مي رود تا تاثير خود را روي خروجي بگذارد : : يك سيستم كنترلي مدار باز يك سيستم كنترلي مدار باز

: : يك سيستم كنترلي مدار بسته يك سيستم كنترلي مدار بسته

در مدار فيدبك قرار در مدار فيدبك قرار البته در بعضي سيستم هاي كنترلي فيدبك دار ممكن است كنترلري نيز البته در بعضي سيستم هاي كنترلي فيدبك دار ممكن است كنترلري نيز .. داشته باشد داشته باشد

كنترلر سيستم اصلي

ورودي

خروجي سيستم ) مقدار مطلوب سيستم(

خروجي كنترلر

)ورودي كنترل شده به سيستم اصلي (

كنترلر سيستم اصلي خروجي سيستم

+-

ورودي كنترلر

خروجي كنترلر

) مقدار مطلوب سيستم()ورودي كنترل شده به سيستم اصلي ( تفاضل ورودي و ()خروجي

ورودي كنترلر

www.ASEC.blogfa.com

1212

: : مثالهايي از يك سيستم حلقه باز مثالهايي از يك سيستم حلقه باز سيستم پلوپز،سيستم توستر سيستم پلوپز،سيستم توستر

Automatic toasterAutomatic toaster سيستم سيستم

ايي اندازه گيري ايي اندازه گيري سيستم چراغهاي راهنمايي درسرراه چهارراه ، ماشين لباسشويي كه توان سيستم چراغهاي راهنمايي درسرراه چهارراه ، ماشين لباسشويي كه توان

. . تمييزي لباسها را ندارد تمييزي لباسها را ندارد سيستم كنترلي حلقه باز فقط موقعي مي توان بكار برد كه؛ سيستم كنترلي حلقه باز فقط موقعي مي توان بكار برد كه؛ : : دقت شود دقت شود

. . رابطه ورودي و خروجي معلوم باشد رابطه ورودي و خروجي معلوم باشد --11..اغتشاش داخلي و خارجي در سيستم نداشته باشيم اغتشاش داخلي و خارجي در سيستم نداشته باشيم --22..دقيق انجام شود دقيق انجام شود ) ) زمان بندي زمان بندي ((برنامه ريزي برنامه ريزي --33

www.ASEC.blogfa.com

1313

. . در سيستم هاي كنترلي حلقه باز هيچ اندازه گيري انجام نمي شود در سيستم هاي كنترلي حلقه باز هيچ اندازه گيري انجام نمي شود اش وجود دارد و يا اش وجود دارد و يا سيستم هاي كنترلي مدار بسته حتما بايد در حالتي كه در سيستم اغتش سيستم هاي كنترلي مدار بسته حتما بايد در حالتي كه در سيستم اغتش

--در سيستم هاي كنترلي مدار در سيستم هاي كنترلي مدار .. پارامترهاي داخلي سيستم تغيير مي كنند ، به كار برده مي شوند پارامترهاي داخلي سيستم تغيير مي كنند ، به كار برده مي شوند ، بر روي كاهش ، بر روي كاهش بسته ، سيگنال خطا كه تفاضل سيگنال ورودي و سيگنال فيدبك شده است بسته ، سيگنال خطا كه تفاضل سيگنال ورودي و سيگنال فيدبك شده است

--سيگنال فيدبك شده مي سيگنال فيدبك شده مي . . خروجي به سيستم وارد مي شود خروجي به سيستم وارد مي شود ) ) موردانتظار موردانتظار (( خطا وبه مقدار مطلوب خطا وبه مقدار مطلوب مشخصات پاسخ بر حسب مشخصات پاسخ بر حسب .. تواند خود خروجي يا تابعي از خروجي مثل مشتق ويا انتگرال ان باشد تواند خود خروجي يا تابعي از خروجي مثل مشتق ويا انتگرال ان باشد

..فاوت خواهد نمود فاوت خواهد نمود اينكه سيگنال خطا داده شده به سيستم اصلي داراي چه خاصيتي است ، ت اينكه سيگنال خطا داده شده به سيستم اصلي داراي چه خاصيتي است ، ت ..سيستم مدار بسته كنترل درجه حرارت اتاق سيستم مدار بسته كنترل درجه حرارت اتاق : : مثالهاي يك سيستم مدار بسته مثالهاي يك سيستم مدار بسته

د هنگام حركت اسانسور د هنگام حركت اسانسور در يك سيستم آسانسور براي انكه توقف ها بيجا نباشد و مناسب باش در يك سيستم آسانسور براي انكه توقف ها بيجا نباشد و مناسب باش ، كنترلر اسانسور تصميم ، كنترلر اسانسور تصميم هر كدام از مسافرين طبقه هاي مختلف بتوانند با دادن مقصد و تعداد هر كدام از مسافرين طبقه هاي مختلف بتوانند با دادن مقصد و تعداد

..بگيرد كه در چه طبقه اي اسانسور بايستدومسافر سوار نمايد بگيرد كه در چه طبقه اي اسانسور بايستدومسافر سوار نمايد www.ASEC.blogfa.com

1414

: : طراحي كنترلرها طراحي كنترلرها .. صحبت مي شود صحبت مي شود در كنترل كارشناسي راجع به روش مكان هندسي و پاسخ فركانسي سيستم در كنترل كارشناسي راجع به روش مكان هندسي و پاسخ فركانسي سيستم

پاسخ فركانسيپاسخ فركانسيروش مكان هندسي بر اساس چگونگي و كيفيت مشخصات پاسخ حالت گذرا و روش مكان هندسي بر اساس چگونگي و كيفيت مشخصات پاسخ حالت گذرا و عمل مي عمل مي ) ) معيار پايداري نايكو ييست ، نمودارهاي بودوقطبي معيار پايداري نايكو ييست ، نمودارهاي بودوقطبي ((بر اساس معيارهاي حوزه فركانسي بر اساس معيارهاي حوزه فركانسي

ك خروجي ك خروجي هر دو اين روشها مربوط به حالتي است كه سيستم داراي يك ورودي و ي هر دو اين روشها مربوط به حالتي است كه سيستم داراي يك ورودي و ي . . مي كنند مي كنند ..باشدو هيچگونه بهينه سازي در انها انجام نمي شود باشدو هيچگونه بهينه سازي در انها انجام نمي شود

معموال با سيستم هاي معموال با سيستم هاي در اين دو روش كه به انها روش هاي سنتي يا كالسيك گفته مي شود، در اين دو روش كه به انها روش هاي سنتي يا كالسيك گفته مي شود، طراحي سيستم هاي كنترلي بر اساس اين طراحي سيستم هاي كنترلي بر اساس اين . . داراي پارامتر هاي ثابت نسبت به زمان سرو كار داريم داراي پارامتر هاي ثابت نسبت به زمان سرو كار داريم

و روشو روش) ) الگو هاي امتهان شده الگو هاي امتهان شده ( ( دو روش بصورتي است كه با استفاده از معيارهاي امتهان شده دو روش بصورتي است كه با استفاده از معيارهاي امتهان شده ..سعي و خطا معيارهاي عملكرد را ارضا نمايد سعي و خطا معيارهاي عملكرد را ارضا نمايد

ارضاء معيارهاي عملكرد يعني سيستم تحت تاثير سيگنالهاي ورودي ؛ ارضاء معيارهاي عملكرد يعني سيستم تحت تاثير سيگنالهاي ورودي ؛ ..تا حد ممكن خطاي كمتري داشته باشد تا حد ممكن خطاي كمتري داشته باشد --11..ميرايي معقول داشته باشد ميرايي معقول داشته باشد --22

ترهاي نسبتا غير حساس ترهاي نسبتا غير حساس يعني سيستم كنترلي بايد طوري باشدكه ، به تغييرات كوچك پارام يعني سيستم كنترلي بايد طوري باشدكه ، به تغييرات كوچك پارام مايد، يا به خوبي مايد، يا به خوبي باشد ، يا كمتر حساس باشدوهمچنين بتواند اغتشاشات نامطلوب را هضم ن باشد ، يا كمتر حساس باشدوهمچنين بتواند اغتشاشات نامطلوب را هضم ن

ضعيفضعيف..نمايد نمايد

www.ASEC.blogfa.com

1515

يه شده باشد ، بايد اگر مشخصات عملكرد بر حسب شاخصهاي مبتني بر متعيرهاي حالت ارا :اين روشها عبارتند از . استفاده نمود (Modern control methods) از روشهاي كنترل مدرن

. Pole-placement method 1- روش جايدهي قطبها . State observer طراحي مشاهده گر حالت -2

. Lyapunov stubility analysis 3- تحليل پايداري لياپانوفمي توان از مدلسازي مستقيم رياضي و ) روشهاي فضاي حالت ( بر اساس نظريه كنترل مدرن

در اين حالت سيستم مي تواند چند . دقيق و اعمال نظريه هاي پيشرفته تر رياضي استفاده نمود .ن نيز باشد ورودي و چند خروجي نيز داشته باشدوهمچنين داراي مشخصه متغير با زما

(Time-varying property)

: : نمايش اجزا سيستم هاي مكانيكي ، حرارتي ، الكتريكي و سياالتي نمايش اجزا سيستم هاي مكانيكي ، حرارتي ، الكتريكي و سياالتي آوردن مدل رياضي آوردن مدل رياضي نهايت تالش ماهنگامي كه مي خواهيم يك سيستم را تحليل كنيم ، بدست نهايت تالش ماهنگامي كه مي خواهيم يك سيستم را تحليل كنيم ، بدست

اجزا آن اجزا آن يك روش متداول براي پيدا كردن مدل رياضي سيستم هاي مهندسي شناسايي يك روش متداول براي پيدا كردن مدل رياضي سيستم هاي مهندسي شناسايي . . ان است ان است ..ويا تعيين چگونگي ارتباط ان اجزا با يكديگر است ويا تعيين چگونگي ارتباط ان اجزا با يكديگر است

www.ASEC.blogfa.com

1616

::سيستم هاي مورد مطالعه در اين قسمت سيستم هاي مورد مطالعه در اين قسمت .) انرژي را در خود ذخيره يا مستهلك مي كنند يا سيستمهايي كه يا سيستمهايي كه (( دار دار انرژي سيستم هاي سيستم هاي --11

..مكانيكي ، حرارتي ، الكتريكي و سياالتي هستند مكانيكي ، حرارتي ، الكتريكي و سياالتي هستند داراي انواع . . را از يك نوع به نوع ديگر تبديل مي كنند را از يك نوع به نوع ديگر تبديل مي كنند انرژي سيستم هايي كه سيستم هايي كه -2

: : دار الكتريكي دار الكتريكي انرژي اجزا سيستم هاي اجزا سيستم هاي : : الف الف براي . سولونوييد دار الكتريكي عبارتند از؛ مقاومت ، خازن ، دار الكتريكي عبارتند از؛ مقاومت ، خازن ، انرژي اجزا اساسي سيستم هاي اجزا اساسي سيستم هاي

: : الكتريكي و مكانيكي تعريف مي كنيم الكتريكي و مكانيكي تعريف مي كنيم تعريف مشترك مفاهيم فيزيكي در سيستم هاي ولتاژ ولتاژ ==پتانسيل پتانسيل = = e(t) e(t) = =شدت جريان شدت جريان == جريانجريان i(t)i(t)

::مي توان نوشت مي توان نوشت ) ) نمايش فيزيكي نمايش فيزيكي ( ( يعني با توجه به شكل يعني با توجه به شكل

)(1)()(.)( teR

titiRte =⇒=

www.ASEC.blogfa.com

1717

دياگرام جعبه اي معادل با سيستم الكتريكي ؛ دياگرام جعبه اي معادل با سيستم الكتريكي ؛

همچنين با همچنين با . . ايجاد خواهد شد ايجاد خواهد شد يعني اگر از مقاومت جريان عبوركند ،دردوسران پتانسيل يعني اگر از مقاومت جريان عبوركند ،دردوسران پتانسيل : : مي توان نوشت مي توان نوشت ) ) صفحه گذشتهصفحه گذشته((توجه به رابطه دوم توجه به رابطه دوم

ن جاي علت ومعلول را با ن جاي علت ومعلول را با بنابراين در يك سيستم الكتريكي كه تنها شامل مقاومت باشد ، مي توا بنابراين در يك سيستم الكتريكي كه تنها شامل مقاومت باشد ، مي توا . . هم عوض كرد هم عوض كرد

ضريب ثابت خازن ، رابطه بين پتانسيل و جريان عبارت است ضريب ثابت خازن ، رابطه بين پتانسيل و جريان عبارت است ) ) واحد فاراد واحد فاراد ( ( C C در يك خازن در يك خازن : ::):) به صورت زيرداريم به صورت زيرداريم D D با تعريف اپراتور با تعريف اپراتور : (: (از از

i(t) e(t))علت (ورودي سيستم )معلول (خروجي سيستم

1/Re(t) i(t))علت (ورودي سيستم )معلول (خروجي سيستم

R

R)(te )(ti

c

i(t)

e(t)

)()( tidt

tdec =

)(1)()()( tiCD

tetitCDedtdD =⇒==

www.ASEC.blogfa.com

1818

. . ورودي به خازن پتانسيل و خروجي ان جريان است ورودي به خازن پتانسيل و خروجي ان جريان است : : حالت غير منطقي حالت غير منطقي

. . ورودي به خازن جريان و خروجي ان پتانسيل است ورودي به خازن جريان و خروجي ان پتانسيل است : : حالت منطقي حالت منطقي

وصل شود ، د ر وصل شود ، د ر چرا غير منطقي؟ چون اگر دو سرخازن به يك اختالف پتانسيل معين چرا غير منطقي؟ چون اگر دو سرخازن به يك اختالف پتانسيل معين اثر اثر . . تالف پتانسيل را ندارد تالف پتانسيل را ندارد ايجادجريان الكتريكي بسيارزيادخازن جرقه زده و سوخته و قدرت عمل اخ ايجادجريان الكتريكي بسيارزيادخازن جرقه زده و سوخته و قدرت عمل اخ

يم ، كه به اين عمل يم ، كه به اين عمل وچرا منطقي ؟ چون مي توان از يك خازن جريان الكتريكي معيني عبور ده وچرا منطقي ؟ چون مي توان از يك خازن جريان الكتريكي معيني عبور ده . . در دو سر خازن اختالف پتانسيل ايجاد مي شود در دو سر خازن اختالف پتانسيل ايجاد مي شود

و انتگرال و انتگرال ..زمان است زمان است مشتق گيري از اختالف پتانسيل يعني خروجي مشتق و ورودي نسبت به مشتق گيري از اختالف پتانسيل يعني خروجي مشتق و ورودي نسبت به يا سطح زيرمنحني جريان يا سطح زيرمنحني جريان ..گيري ازجريان الكتريكي خروجي انتگرال وورودي نسبت به زمان است گيري ازجريان الكتريكي خروجي انتگرال وورودي نسبت به زمان است

..الكتريكي نسبت به زمان از زمان صفر تا زمان معين الكتريكي نسبت به زمان از زمان صفر تا زمان معين

1/CD

CD

i(t)

e(t) i(t)

e(t)

Dورودي خروجي

1/Dخروجي

www.ASEC.blogfa.com

1919

حتي در صورت غير پيوسته بودن تابع ورودي، تابع خروجي پيوسته حتي در صورت غير پيوسته بودن تابع ورودي، تابع خروجي پيوسته ): ): انتگرال گيرنده انتگرال گيرنده ( ( در حالت منطقي در حالت منطقي .) .) بنابراين انتگرال گيرنده داراي يك مفهوم رياضي مي باشد بنابراين انتگرال گيرنده داراي يك مفهوم رياضي مي باشد : : مهم مهم . (. (و معين خواهد بود و معين خواهد بود

: : باشد باشد با سه مثال نشان مي دهيم كه جعبه انتگرال گيرنده قابل ساخت نيز مي با سه مثال نشان مي دهيم كه جعبه انتگرال گيرنده قابل ساخت نيز مي انرژي الكتريكي است كه انرژي الكتريكي است كه ) ) ntegration ntegration جمع سازي جمع سازي ((خازن يك منبع ذخيره خازن يك منبع ذخيره : : در سيستم الكتريكي در سيستم الكتريكي

--وقتي وقتي . . يان الكتريكي است يان الكتريكي است عمل ذخيره سازي از طريق افزايش پتانسيل دو سر خازن بدليل افزايش جر عمل ذخيره سازي از طريق افزايش پتانسيل دو سر خازن بدليل افزايش جر --با عبور دادن جريان با عبور دادن جريان . . شده است شده است خازن دشارژ با تخليه است ، در واقع اختالف پتانسيل دو سر آن صفر خازن دشارژ با تخليه است ، در واقع اختالف پتانسيل دو سر آن صفر . . رژ مي رسد رژ مي رسد الكتريكي ، اختالف پتانسيل بتدريج افزايش يافته و خازن به حالت شا الكتريكي ، اختالف پتانسيل بتدريج افزايش يافته و خازن به حالت شا

بعداٌ بعداٌ . . پر شدن يك مخزن مايع نشاندهنده ذخيره سازي و يا انتگرال گيري است پر شدن يك مخزن مايع نشاندهنده ذخيره سازي و يا انتگرال گيري است : : در سيستم هيدرو ليكي در سيستم هيدرو ليكي مي بينيم ، اگراز دبي ورودي به مخزن انتگرال بگيريم ، نشان دهنده ذخيره سازي يا افزايش ارتفاع مخزن ذخيره سازي يا افزايش ارتفاع مخزن مي بينيم ، اگراز دبي ورودي به مخزن انتگرال بگيريم ، نشان دهنده

..يا ارتفاع مخزن همان انتگرال دبي ورودي است يا ارتفاع مخزن همان انتگرال دبي ورودي است . . استاستاگر سيستمي با يك جرم ثابت را در اگر سيستمي با يك جرم ثابت را در . . يك وزنه هم نقش انتگرال گيرنده را دارد يك وزنه هم نقش انتگرال گيرنده را دارد : : در سيستم هاي مكانيكي در سيستم هاي مكانيكي

يعني سرعت جرم ثابت عبارت است يعني سرعت جرم ثابت عبارت است . . نظربگيريم و نيرو ورودي آن باشد، سرعت مي تواند خروجي آن باشد نظربگيريم و نيرو ورودي آن باشد، سرعت مي تواند خروجي آن باشد . . از انتگرال نيري وارد به جرم از انتگرال نيري وارد به جرم

چرا ؟ چرا ؟ ..يك سيستم غيرواقعي است يك سيستم غيرواقعي است ) ) مشتق گيرنده مشتق گيرنده (( سيستم غير منطقي سيستم غير منطقي : : به دو دليل به دو دليل

اگر ورودي به سيستم مشتق گيرنده يك تابع به شكل مقابل باشد، اگر ورودي به سيستم مشتق گيرنده يك تابع به شكل مقابل باشد، --11 t1t1 00 تا تا در فواصل باز در فواصل باز .. خروجي يك تابع پيوسته ومعين نخواهد بود خروجي يك تابع پيوسته ومعين نخواهد بود

چون مشتق تابع در اين فاصله برابر چون مشتق تابع در اين فاصله برابر . . مشكلي به نظرنمي رسد مشكلي به نظرنمي رسد t2 t2 تا تا t1t1 و و اما در نقاط اما در نقاط ..صفر استصفر است t1 t1وو t2 t2 كار كردن با كار كردن با . . بي نهايت است بي نهايت است مشتق تابع مشتق تابع

t2t1 ..متغيرهاييكه ممكن است در يك موقع بينهايت شوندواقعاغيرممكن است متغيرهاييكه ممكن است در يك موقع بينهايت شوندواقعاغيرممكن است

1

4

2

www.ASEC.blogfa.com

2020

دستگاه در يك محدوده صفر تا بي نهايت مانور داشته دستگاه در يك محدوده صفر تا بي نهايت مانور داشته . . يا ساخت چنين دستگاهي واقعا امكان پذير نيست يا ساخت چنين دستگاهي واقعا امكان پذير نيست حركت خطي توسط يك پتانسيومتر حس حركت خطي توسط يك پتانسيومتر حس . . بر اين اساس هنوز سرعت سنج خطي ساخته نشده است بر اين اساس هنوز سرعت سنج خطي ساخته نشده است . . باشد باشد

--اما از آن به هيچ وسيله اي نمي توان مشتق گرفت و سرعت اما از آن به هيچ وسيله اي نمي توان مشتق گرفت و سرعت ..كننده بدست آمده و اندازه گيري مي شود كننده بدست آمده و اندازه گيري مي شود ت آينده ت آينده اشكال اساسي ديگر سيستمهاي مشتق گيرنده اينست كه در واقع به اطالعا اشكال اساسي ديگر سيستمهاي مشتق گيرنده اينست كه در واقع به اطالعا . . خطي را تغيير نمود خطي را تغيير نمود

البته در البته در . . يستم واقعا غير ممكن است يستم واقعا غير ممكن است يك تابع نياز دارند و ارزيابي و اطالع داشتن از اطالعات آينده يك س يك تابع نياز دارند و ارزيابي و اطالع داشتن از اطالعات آينده يك س . . تقريبي انجام مي دهند تقريبي انجام مي دهند سيستم هاي كنترلي مكانيزمهايي ايجاد شده است كه مشتق گيري را بطور سيستم هاي كنترلي مكانيزمهايي ايجاد شده است كه مشتق گيري را بطور

). ). ضريب سولنوييد بر حسب هانري ضريب سولنوييد بر حسب هانري HH ) : () : (inductorinductor ) ) سيستم الكتريكي شامل يك سولنوييد سيستم الكتريكي شامل يك سولنوييد --

شتق كيرنده نمايش ترسيمي شتق كيرنده نمايش ترسيمي باتوجه به منطقي بودن سيستم هاي انتگرالگيرنده نسبت به سيستم هاي م باتوجه به منطقي بودن سيستم هاي انتگرالگيرنده نسبت به سيستم هاي م : : عبارتست از عبارتست از

همچنين ميتوان همچنين ميتوان . . بور مي نمايد بور مي نمايد يعني اگر يك سولنوييدبه يك اختالف پتانسيل وصل شود، جريان از آن ع يعني اگر يك سولنوييدبه يك اختالف پتانسيل وصل شود، جريان از آن ع --ن عبوري از آن بصورت خطي ن عبوري از آن بصورت خطي نتيجه گرفت كه اگر سولنوييد به يك پتانسيل ثابت وصل شود ، جريا نتيجه گرفت كه اگر سولنوييد به يك پتانسيل ثابت وصل شود ، جريا

. . افزا يش مي يابد افزا يش مي يابد

)(1)()()()()( teLD

titetLDitetidtdL

dtdD ====

1/LD i(t)e(t)

www.ASEC.blogfa.com

2121

: : تركيب اجزا سيستم هاي انرژي دار الكتريكي تركيب اجزا سيستم هاي انرژي دار الكتريكي : : مدار سري مدار سري –– الف الف

Z(D) =impedancelZ(D) =impedancel مقاومت معادل مقاومت معادل

i1=i2 . i1=i2 . در مدار سري جريانها برابرند در مدار سري جريانها برابرند

e1=e2e1=e2 : : و اختالف پتانسيل عبارتند از و اختالف پتانسيل عبارتند از

e1e1--e2 = Z(D).i1e2 = Z(D).i1 e1e1 =e2+Z(D).i1=e2+Z(D).i1

: : بنابراين مي توان نوشت بنابراين مي توان نوشت

e(t) = R . i(t) e(t) = R . i(t) امپدانس معادل مقاومت امپدانس معادل مقاومت =R=R e(t) = 1/CD . i(t)e(t) = 1/CD . i(t) امپدانس معادل خازن امپدانس معادل خازن =1/CD=1/CD e(t) = LD . i(t) e(t) = LD . i(t) امپدانس معادل سولنوييد امپدانس معادل سولنوييد=LD =LD

Z(D)i1 i2

e1 e2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10)(1

11

ieDZ

ie

= 1مشخصات نقطه ماتريس تبديل 2مشخصات نقطه

www.ASEC.blogfa.com

2222

R1,R2R1,R2 مدار سري مقاومتهاي مدار سري مقاومتهاي 1.21.2رابطه مشخصات نقطه رابطه مشخصات نقطه : : مثال مثال Z(D)=R1+R2 Z(D)=R1+R2 امپدانس معادل دو مقاومت امپدانس معادل دو مقاومت

: : بدون استفاده از امپدانس معادل هم مي توان اين فرمول را بدست آورد بدون استفاده از امپدانس معادل هم مي توان اين فرمول را بدست آورد

: : داريم داريم 22و نقطه و نقطه ” ” پريم پريم ““ بين نقطه بين نقطه

: : با جايگزيني از معادله دوم در معادله اول با جايگزيني از معادله دوم در معادله اول

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10211

11

22

10)(1

11

ieRR

ie

ieDZ

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎩⎨⎧

′⋅=′−

′=ieR

ie

iReeii

*1011

11

111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

⇒⎩⎨⎧

⋅=−′′=

22

*1021

2222

ieR

ie

iReeii

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10211

22

1021

1011

11

ieRR

ieRR

ie

www.ASEC.blogfa.com

2323

خازن داريم ؛ خازن داريم ؛ –– سونلوييد سونلوييد --در سيستم مقاومت در سيستم مقاومت : : مثال مثال

در سيستم شكل مقابل داريم ؛ در سيستم شكل مقابل داريم ؛ : : مثال مثال

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

101

11

ieLDR

ie

dtdD =LDRDZ +=)(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10/11

11

ieCDLDR

ie CDLDRDZ /1)( ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10)/(1

11

ieLDRRLD

ie )/()( LDRRLDDZ +=

www.ASEC.blogfa.com

2424

. . بدست آورده شود بدست آورده شود ) ) عكس مقاومت عكس مقاومت ( ( Admitance Admitance مرسوم است در مدارهاي موازي مرسوم است در مدارهاي موازي : : مدار موازي مدار موازي ––ب ب

Y(D)=admitanceY(D)=admitance

e1=e2 e1=e2 پتانسيل دو سر ادميتانس با هم برابرند پتانسيل دو سر ادميتانس با هم برابرند : :

اختالف جريانها از ادميتانس عبور مي كند ، يعني ؛ اختالف جريانها از ادميتانس عبور مي كند ، يعني ؛

i1i1--i2=Y(D).e1=Y(D).e2 i2=Y(D).e1=Y(D).e2

e(t) = i(t) e(t) = i(t) // (1/R) (1/R) امپدانس معادل مقاومت امپدانس معادل مقاومت =1/R=1/R e(t) = i(t)/CDe(t) = i(t)/CD امپدانس معادل خازن امپدانس معادل خازن =CD=CD e(t) =i(t)/(1/ LD) e(t) =i(t)/(1/ LD) 1امپدانس معادل سولنوييد امپدانس معادل سولنوييد/LD 1/LD

Y(D)e1 e2

i2i1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

1)(01

11

ie

DYie

ماتريس تبديل 1مشخصات نقطه = 2مشخصات نقطه

www.ASEC.blogfa.com

2525

؟ يك راه بدست آوردن ادميتانس معادل، چون ؟ يك راه بدست آوردن ادميتانس معادل، چون 22وو11مطلوب است تعيين رابطه بين مشخصات نقطه مطلوب است تعيين رابطه بين مشخصات نقطه : : مثال مثال داريم ؛ داريم ؛ . . مدار موازي است ، بدست آوردن امپدانس معادل و عكس نمودن آن است مدار موازي است ، بدست آوردن امپدانس معادل و عكس نمودن آن است

: : يعني ادميتانس معادل عبارتست از يعني ادميتانس معادل عبارتست از

همين نتيجه را مي توانستيم بصورت مستقيم نيز بدست آوريم ؛ همين نتيجه را مي توانستيم بصورت مستقيم نيز بدست آوريم ؛

اختالف پتانسيل دو سر مقاومت اختالف پتانسيل دو سر مقاومت اختالف پتانسيل دو سرخازن اختالف پتانسيل دو سرخازن

CDRCDCDRDZ /)1(/1)( +=+=

)1/()( += RCDCDDY

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

1_)1/(01

11

ie

RCDCDie

⎩⎨⎧

=−=′

2121

eeiii

⎩⎨⎧

=′=′

)/1.(.CDiRi

www.ASEC.blogfa.com

2626

. . كه همان معادله فرم ماتريسي مي باشد كه همان معادله فرم ماتريسي مي باشد : : شكل شكل 22وو11مطلوب است تعيين ماتريس تبديل مشخصات نقاط مطلوب است تعيين ماتريس تبديل مشخصات نقاط : : مثال مثال

:: شكل شكل 22وو11مطلوب است تعيين ماتريس تبديل مشخصات نقاط مطلوب است تعيين ماتريس تبديل مشخصات نقاط : : مثال مثال

: : ارتباط بين و عبارتست از ارتباط بين و عبارتست از

221

1

21

2121

)1()1(21..21

ieRCD

CDi

eRCD

CDiieRCD

CDi

CDRCDi

CDRie

CDiRiee

++

=⇒

+=−⇒

+=′⇒

+′=+⋅′=⇒′+′==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

1_)1/(01

11

ie

RCDCDie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

1_01

11

ieR

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

ie

www.ASEC.blogfa.com

2727

: : ارتباط بين و عبارتست از ارتباط بين و عبارتست از

: : و ارتباط بين و عبارتست از و ارتباط بين و عبارتست از

: : بنابراين مي توان نوشت بنابراين مي توان نوشت

مي خواهيم معادله ديفرانسيل جريان مي خواهيم معادله ديفرانسيل جريان : (: ( مي توان نوشت مي توان نوشت i1 i1 را بر را بر i4=0 i4=0 اگر در مدار شكل داشته باشيم اگر در مدار شكل داشته باشيم) ) بدست آوريم بدست آوريم e1 e1 حسب تغييرات حسب تغييرات

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

101

22

ieLD

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡44

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡44

101

33

ie

CDie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡44

*1

111 2

ie

CDLDRLCDRCD

ie

11.1.1

1).1(111).1(1

144.1

4).1(1

2

2

iiRCiLCeC

iLDCD

ReiCD

LCDRCDe

CDie

eCDieLCDRCDe

++=⇒

++=⇒++=⇒

=⇒⎩⎨⎧

=++=

&&&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡44

101

101

101

11

ie

CDLDR

ie

www.ASEC.blogfa.com

2828

: : اجزا انرژي دار سيستم هاي مكانيكي اجزا انرژي دار سيستم هاي مكانيكي -- هستند در سيستم هستند در سيستم b b دمپر ، دمپر ،K K فنر ، فنر ،M M اجزا انرژي دار يك سيستم مكانيكي در حركت خطي ؛ جرم اجزا انرژي دار يك سيستم مكانيكي در حركت خطي ؛ جرم

قدرت يا توان الكتريكي حاصل ضرب جريان و قدرت يا توان الكتريكي حاصل ضرب جريان و . . بودند بودند ) ) علت و معلول علت و معلول (( هاي الكتريكي پتانسيل و جريان هاي الكتريكي پتانسيل و جريان ..را نيرو و سرعت انتخاب مي كنيم را نيرو و سرعت انتخاب مي كنيم ) ) علت و معلول علت و معلول ((در سيستم هاي مكانيكي در سيستم هاي مكانيكي . . پتانسيل هستند پتانسيل هستند

علت هاي اين انتخاب ؛ علت هاي اين انتخاب ؛ توان مكانيكي توان مكانيكي .(.(ي شود ي شود حاصل ضرب علت ومعلول سيستم هاي مكانيكي نيز توان يا قدرت ناميده م حاصل ضرب علت ومعلول سيستم هاي مكانيكي نيز توان يا قدرت ناميده م --11

. ( . ( FVFV . . اجزا مكانيكي حاصل ميشود اجزا مكانيكي حاصل ميشود با اين انتخاب تشابه مناسبي بين سيستم بااجزا الكتريكي وسيستم با با اين انتخاب تشابه مناسبي بين سيستم بااجزا الكتريكي وسيستم با --22

. . تبديل نماييم تبديل نماييم ) ) يا بر عكس يا بر عكس ( ( يكي يكي بنا براين ما مي توانيم سيستم هاي مكانيكي را به سيستم هاي الكتر بنا براين ما مي توانيم سيستم هاي مكانيكي را به سيستم هاي الكتر : : البته دو انتخاب وجود دارد البته دو انتخاب وجود دارد

. . نيرو معادل پتانسيل و سرعت معادل جريان نيرو معادل پتانسيل و سرعت معادل جريان --11 . . نيرو معادل جريان و سرعت معادل پتانسيل نيرو معادل جريان و سرعت معادل پتانسيل --22

: : حال درباره اين دو انتخاب توضيح مي دهيم حال درباره اين دو انتخاب توضيح مي دهيم . . v=i v=i و سرعت معادل جريان الكتريكي و سرعت معادل جريان الكتريكي F=e F=e نيرو معادل پتانسيل نيرو معادل پتانسيل : : انتخاب اول انتخاب اول

. . b b -- مستهلك كننده يا دمپر با ضريب مستهلك كننده يا دمپر با ضريب

bi(t) i(t) e(t)e(t) R

)(.)()(.)( tibtetbtF &=⇒= ν )(.)( tiRte =

www.ASEC.blogfa.com

2929

.. در سيستم هاي الكتريكي است در سيستم هاي الكتريكي است R R در سيستم هاي مكانيكي معادل مقاومت در سيستم هاي مكانيكي معادل مقاومتb b بنابراين دمپر با ضريب بنابراين دمپر با ضريب

: : m m -- جرم جرم

با توجه به انتخاب ؛ با توجه به انتخاب ؛

: : قبال در سيستم هاي الكتريكي داشتيم قبال در سيستم هاي الكتريكي داشتيم

.. در سيستم هاي الكتريكي است در سيستم هاي الكتريكي است L L در سيستم هاي مكانيكي معادل سولنوييد در سيستم هاي مكانيكي معادل سولنوييدm m بنابراين جرم بنابراين جرم

: : يعني يعني

Rb =

)(1)()()( temD

titmDite =⇒=

)(1)( teLD

ti =

)(.)()()(.)( tDmtFdtdmxmtFtamtF νν

=⇒==⇒= &&

mF

x

1/mDe(t) i(t)

1/LDe(t) i(t)

Lm =

www.ASEC.blogfa.com

3030

..شتق استفاده نكرديم شتق استفاده نكرديم همانطوريكه قبال نيز متذكر شد ، براي نشان دادن نمودار از نشانگر م همانطوريكه قبال نيز متذكر شد ، براي نشان دادن نمودار از نشانگر م : : توضتح توضتح بنابراين نمودار بلوكي رابطه مشتقي بنابراين نمودار بلوكي رابطه مشتقي . . چون انجام پروسه مشتق همانطوريكه ذكر شد ، انجام شدني نيست چون انجام پروسه مشتق همانطوريكه ذكر شد ، انجام شدني نيست

. . صفحه قبل را رسم نكرديم صفحه قبل را رسم نكرديم : : k k -- فنر خطي فنر خطي

:: چون مي خواهيم به فرم انتگرالي برسيم ، مي توان نوشت چون مي خواهيم به فرم انتگرالي برسيم ، مي توان نوشت

: : قبال در مورد سيستم هاي الكتريكي داشتيم قبال در مورد سيستم هاي الكتريكي داشتيم

.. در سيستم هاي الكتريكي است در سيستم هاي الكتريكي است c c در سيستم هاي مكانيكي معادل خازن با ظرفيت در سيستم هاي مكانيكي معادل خازن با ظرفيتk k بنابراين فنر بنابراين فنر : : يعني يعني

)(.)( txktF =

)()(

)()()(1)(.)(

tiDkte

tDktFt

Dtdtx

=

=⇒== ∫ ννν

K/De(t)i(t)

)(1)( tiCD

te =1/CDi(t) e(t)

Ck /1=

www.ASEC.blogfa.com

3131

. . سيستم الكتريكي معادل سيستم مكانيكي شكل را ارايه نماييد سيستم الكتريكي معادل سيستم مكانيكي شكل را ارايه نماييد : : مثال مثال ..نيرو معادل پتانسيل و سرعت معادل جريان نيرو معادل پتانسيل و سرعت معادل جريان : : انتخاب انتخاب

سرعت ثابت و نيرو سرعت ثابت و نيرو 22وو11 بجاي جرم بايد سولنوييد استفاده نمود ، چون بين نقطه بجاي جرم بايد سولنوييد استفاده نمود ، چون بين نقطه --11: : واقعيت ها واقعيت ها --بنابراين سولنوييد به بنابراين سولنوييد به . . بنابراين جريان در سولنوييد بايد ثابت باشد بنابراين جريان در سولنوييد بايد ثابت باشد .. متفاوت است متفاوت است

. . صورت سري وصل مي شود صورت سري وصل مي شود نيرو يا نيرو يا ) ) از مدار مكانيكي از مدار مكانيكي ( (33وو22 بجاي فنر بايد خازن استفاده نمود ، چون بين نقطه بجاي فنر بايد خازن استفاده نمود ، چون بين نقطه --22

--) ) معادل الكتريكي معادل الكتريكي ((خازن خازن . . و سرعت يا جريان تغيير مي كند و سرعت يا جريان تغيير مي كند . . پتانسيل ثابت است پتانسيل ثابت است . . بطور موازي قرار مي گيرد بطور موازي قرار مي گيرد

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

101

11

ieLD

ie

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

101

22

ie

CDie

Ck

Lm

ie

kD

mDk

mD

ie

ie

CDLDLCD

ie

ie

CDLD

ie

133

1

1

11

33

11

11

33

101

101

11

2

2

≡

≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

www.ASEC.blogfa.com

3232

: : ل خواهد شد ل خواهد شد بنابراين بصورت كلي معادل سيستم مكانيكي ، سيستم الكتريكي شكل مقاب بنابراين بصورت كلي معادل سيستم مكانيكي ، سيستم الكتريكي شكل مقاب

. . سيستم الكتريكي معادل سيستم هاي مكانيكي زير را بدست آوريد سيستم الكتريكي معادل سيستم هاي مكانيكي زير را بدست آوريد : : تمرين تمرين

. . v=e v=e و سرعت معادل پتانسيل و سرعت معادل پتانسيل F=i F=i نيرو معادل جريان نيرو معادل جريان : : ا نتخاب دوم ا نتخاب دوم

: : b b -- مستهلك كننده يا دمپر با ضريب مستهلك كننده يا دمپر با ضريب

. . درسيستم مكانيكي با ابطه است درسيستم مكانيكي با ابطه است R R درسيستم مكانيكي معادل مقاومت درسيستم مكانيكي معادل مقاومتb b بنابراين دمپر با ضريب بنابراين دمپر با ضريب)(1)(

)(.)()(.)(

teR

ti

tebtitbtF

=

==&

ν

be(t) i(t)

1/Re(t) i(t)

bR /1=

www.ASEC.blogfa.com

3333

: : m m –– جرم جرم

::با توجه به انتخاب با توجه به انتخاب

: : بنابراين بنابراين

: : قبال در مورد سيستم الكتريكي داشتيم قبال در مورد سيستم الكتريكي داشتيم

c=m c=m يعني يعني . . بنابراين جرم در سيستم مكانيكي معادل خازن در سيستم الكتريكي است بنابراين جرم در سيستم مكانيكي معادل خازن در سيستم الكتريكي است : : k k -- فنر خطي فنر خطي

m

xF )(.)()()(.)( tDmtF

dtdmxmtFtamtF νν

=⇒==⇒= &&

)()( tmDeti =

1/mDi(t) e(t) )()./1()( timDte =

1/CDi(t) e(t) )()./1()( tiCDte =

)()(

)()()(1)(.)(

)(.)(

teDkti

tDktFt

Dtdtx

txktF

=

=⇒==

⇒=

∫ νννk/D i(t)e(t)

www.ASEC.blogfa.com

3434

: : قبال در سيستم الكتريكي داشتيم قبال در سيستم الكتريكي داشتيم

K=1/ LK=1/ L . . است است بنابراين فنر در سيستم مكانيكي معادل سولنوييد در سيستم الكتريكي بنابراين فنر در سيستم مكانيكي معادل سولنوييد در سيستم الكتريكي . . براي وزنه ، ورودي نيرو و خروجي سرعت است براي وزنه ، ورودي نيرو و خروجي سرعت است : : در هر دو انتخاب در هر دو انتخاب

..ت ت در مورد فنر، ورودي سرعت و خروجي نيرو اس در مورد فنر، ورودي سرعت و خروجي نيرو اس در مورد تركيب اجزا سيستم هاي انرژي دار مكانيكي در مورد تركيب اجزا سيستم هاي انرژي دار مكانيكي 1212--22و و 1111--22 و و 1010--22 مثالهاي مثالهاي

. . مورد توجه ميباشند مورد توجه ميباشند

. . معادل الكتريكي سيستم مكانيكي مقابل را تعيين كنيد معادل الكتريكي سيستم مكانيكي مقابل را تعيين كنيد : : 11 تمرين تمرين . . معادل مكانيكي سيستم الكتريكي زير را تعيين كنيد معادل مكانيكي سيستم الكتريكي زير را تعيين كنيد : : 22 تمرين تمرين

: : اجزا سيستم هاي انرژي دار در مسايل سياالتي اجزا سيستم هاي انرژي دار در مسايل سياالتي . . و جريان را با دبي معادل سازي كنيم و جريان را با دبي معادل سازي كنيم به نظر ميرسد ، در مسايل سياالتي بهتر است پتانسيل را با فشار به نظر ميرسد ، در مسايل سياالتي بهتر است پتانسيل را با فشار

--بعضي جاها ارتفاع را نيز بجاي فشار به بعضي جاها ارتفاع را نيز بجاي فشار به . . چون ارتفاع سيال نشاندهنده فشار هيدرو استاتيك نيز مي باشد چون ارتفاع سيال نشاندهنده فشار هيدرو استاتيك نيز مي باشد و جداره ها و شيرها و زانويي هاو و جداره ها و شيرها و زانويي هاو ))اصطكاك سياالت اصطكاك سياالت ( ( در يك سيستم سياالتي بخاطر نا صافي در يك سيستم سياالتي بخاطر نا صافي . . كار برده اند كار برده اند

كامال مشخص است اگر مانعي درسرراه مسير سيال وجود داشته باشد، كامال مشخص است اگر مانعي درسرراه مسير سيال وجود داشته باشد، . . ديگر موانع مقاومت ايجاد مي شود ديگر موانع مقاومت ايجاد مي شود : : باشد باشد i i اگر دبي برابر اگر دبي برابر . . فشار دو طرف مانع تفاوت خواهد داشت فشار دو طرف مانع تفاوت خواهد داشت

1/LDe(t) i(t) )()./1()( teLDti =

iRPpPiii

p .2121

=−=∆==

h∆

www.ASEC.blogfa.com

3535

. . سيال است سيال است اختال ف ارتفاع بخاطر وجود مقاومت در سر راه مسير حركت اختال ف ارتفاع بخاطر وجود مقاومت در سر راه مسير حركت . . پتانسيل ، فشار ، ارتفاع پتانسيل ، فشار ، ارتفاع PP

22وو11فشار يا اختال ف ارتفاع نقاط فشار يا اختال ف ارتفاع نقاط . . جريان ، دبي جريان ، دبي II : : يعني مي توان نوشت يعني مي توان نوشت

: : قبال براي تركيب سري اجزا سيستم هاي انرژي دار الكتريكي داشتيم قبال براي تركيب سري اجزا سيستم هاي انرژي دار الكتريكي داشتيم

= = امپدانس معادل مقاومت امپدانس معادل مقاومت

= = امپدانس معادل خازن امپدانس معادل خازن

= = امپدانس معادل سولنوييد امپدانس معادل سولنوييد

. . مدار سري معادل است مدار سري معادل است بنابراين مي توان نتيجه گرفت كه مقاومت سيستم سياال تي با مقاومت بنابراين مي توان نتيجه گرفت كه مقاومت سيستم سياال تي با مقاومت

h∆hR

iRPpPiii

h.2121

=−=∆==

P∆

hphp gRRigRiRgh

iPR

iP

iiiiRppp

ρρρ =⇒=⇒=Ρ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎩⎨⎧

===−=∆

.

22

101

11

21.21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

10)(1

11

iPDZ

iP

R

CD/1

LD

www.ASEC.blogfa.com

3636

دبي عبارت است از تغييرات حجم مايع نسبت به زمان دبي عبارت است از تغييرات حجم مايع نسبت به زمان : : در يك سيستم سياالتي همچنين داريم در يك سيستم سياالتي همچنين داريم . . سطح مقطع جريان كه ثابت است سطح مقطع جريان كه ثابت است AA دبي ورودي و دبي ورودي و = = II

: : اگر ارتفاع معادل ، پتانسيل و دبي ورودي ، جريان باشد اگر ارتفاع معادل ، پتانسيل و دبي ورودي ، جريان باشد

:: اگر مقايسه كنيم با سيستم الكتريكي خازن اگر مقايسه كنيم با سيستم الكتريكي خازن

A=C A=C يعني ؛ يعني ؛ . . ظرفيت خازن سيستم الكتريكي است ظرفيت خازن سيستم الكتريكي است C C سطح مقطع سيستم سيال معادل سطح مقطع سيستم سيال معادل A A بنابراين بنابراين))پتانسيل پتانسيل ((چون ارتفاع براي خروجي و ورودي ثابت است ، فشار چون ارتفاع براي خروجي و ورودي ثابت است ، فشار : : در يك سيستم سياالتي همچنين داريم در يك سيستم سياالتي همچنين داريم

..نيز ثابت است نيز ثابت است P1=P2=P P1=P2=P

ihdtdAiAh

dtd

=⇒=)(

)(1)()()(.)()( tiAD

tPtitPADtitPdtdA =⇒=⇒=1/AD

i(t) P(t)

1/CDi(t) e(t) )(1)( ti

CDte =

www.ASEC.blogfa.com

3737

چون سطح نيز ثابت است ، چون سطح نيز ثابت است ،

معادالت ديفرانسيل معادالت ديفرانسيل ) ) افزايش مد نظر باشد افزايش مد نظر باشد ( ( اگر ديناميك سياالت مد نظر باشد اگر ديناميك سياالت مد نظر باشد . . گرفت گرفت مربوطه نشان مي دهند ، كه مي توان آنها را معادل سولنوييد در نظر مربوطه نشان مي دهند ، كه مي توان آنها را معادل سولنوييد در نظر

يك سيال غير قابل تراكم در لوله در نظر مي گيريم ؛ يك سيال غير قابل تراكم در لوله در نظر مي گيريم ؛

با مقايسه با سيستم الكتريكي كه از قبل داشتيم ، با مقايسه با سيستم الكتريكي كه از قبل داشتيم ،

. . درسيستم الكتريكي است درسيستم الكتريكي است L L معادل معادل ρρ/A /A مي توان نوشت كه ضريب مي توان نوشت كه ضريبادل سولنوييدي آن قابل صرفنظر ادل سولنوييدي آن قابل صرفنظر الزم به ذكر است ، چون اثر اينرسي سيال بسيار كم است ، بنابراين مع الزم به ذكر است ، چون اثر اينرسي سيال بسيار كم است ، بنابراين مع

. . خواهد بود خواهد بود

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=+=⇒−==

22

101

11

22.2121

iP

ADiP

iPADiiiiiiوihdtdA

A/ρDP(t) i(t)

)()()()()().()( tPDAtitPAti

dtdti

dtdAtوm

dtdF

ρρρν =⇒=⇒=Ρ=∑

rr

1/LDe(t) i(t)

)(1)( teLD

ti =

www.ASEC.blogfa.com

3838

:: تركيب اجزا انرژي دار در سياالت تركيب اجزا انرژي دار در سياالت __

. . مطلوب است ، تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل مطلوب است ، تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل : : مثال مثال :: داريم داريم 22وو11بين نقطه بين نقطه

: : داريم داريم 33وو22همچنين بين نقاط همچنين بين نقاط

(e3=0) (e3=0) چون سيال به اتمسفر مي ريزد چون سيال به اتمسفر مي ريزد

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡22

101

11

iP

ADiP

)(1.1

1.21

213).1(13.103

33

11

33

101

101

11

33

101

22

11 orderfirstPRAPiRRAD

iRPP

PPوiRADiوiRPP

iP

RADADR

iPR

ADiP

iPR

iP

+=⇒+

==⇒

=+==⇒=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

www.ASEC.blogfa.com

3939

..e e بر حسببر حسب h2 h2 و همچنين رابطه و همچنين رابطه . . مطلوب است تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل مطلوب است تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل : : مثال مثال.. ورودي ورودي e e بر حسب بر حسب h1 h1 نيز رابطه نيز رابطه

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

66

)1()2()3)(1()1(

11

66

.101

55

55

.101

44

44

.101

33

33

.101

22

22

.101

11

2

2

iP

RCDRCDRCDCDRCDRCDRRCDRCD

iP

iP

CDiP

iP

CDiP

iP

CDiP

iP

CDiP

iP

CDiP

)3(1)3)(1(

155)3)(1(15.506

)2(1)3)(1(

)1(1

6].)1[(1)1(6).3)(1(1

2

2

PRCDRCD

PPRCDRCDPiRPP

PRCDRCDR

RCDRCDi

iRCDRCDiiRCDRCDRP

++=⇒++=⇒=⇒=

++++

=⇒

++=

++=

www.ASEC.blogfa.com

4040

اگر اگر P1=PP1=P فشار ورودي باشد ؛ فشار ورودي باشد ؛

::همچنين مي توان نوشت همچنين مي توان نوشت

همچنين تعيين رابطه همچنين تعيين رابطه . . مطلوب است تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل مطلوب است تعيين معادله ديفرانسيل سيستم سياالتي مقابل : : تمرين تمرين h1 h1 بر بر..همچنين مطلوب است تعيين مدار الكتريكي معادل همچنين مطلوب است تعيين مدار الكتريكي معادل . . i1 i1 بر حسب بر حسبh2 h2 وو i1 i1 حسب حسب

gP

RCDRCDhghppghPP

ρρρ ⋅

++=⇒==⇒==

)3)(1(12)3(254132

PRCDRCDR

RCDRCDRPghiRPghiRPP)3)(1(

)1(11.11.122

++++

−=⇒−=⇒−= ρρ

gP

RCDRCDRCDRCDhP

RCDRCDRCDRCDgh

ρρ )

)3)(1()1(1(1)

)3)(1()1(1(1

22

++++

−=⇒++++

−=

www.ASEC.blogfa.com

4141

كاربرد در حل معادالت ديفرانسيل خطي ؛ كاربرد در حل معادالت ديفرانسيل خطي ؛ : : تبديل الپالس تبديل الپالس . . S S __ تغير مختلط تغير مختلط تبديل توابع سينوسي ، سينوسي ميرا و هيپربوليك به توابع جبري از م تبديل توابع سينوسي ، سينوسي ميرا و هيپربوليك به توابع جبري از م

. . تلط تلط تبديل عمليات مشتق گيري و انتگرال گيري به عمليات جبري از صفحه مخ تبديل عمليات مشتق گيري و انتگرال گيري به عمليات جبري از صفحه مخ __. . S S __ انجام عكس تبديل الپالس پس از حل جبري و تعيين متغير وابسته به انجام عكس تبديل الپالس پس از حل جبري و تعيين متغير وابسته به

::دو مزيت روش تبديل الپالس دو مزيت روش تبديل الپالس نياز به حل معادله نياز به حل معادله تخمين عملكرد يك سيستم ديناميكي با استفاده از روشهاي ترسيمي بدون تخمين عملكرد يك سيستم ديناميكي با استفاده از روشهاي ترسيمي بدون --11

. . ديفرانسيل حاكم ديفرانسيل حاكم .. تعيين مولفه هاي گذرا و ماندگار توام با استفاده از اين روش تعيين مولفه هاي گذرا و ماندگار توام با استفاده از اين روش --22

: : توابع مختلط توابع مختلط

متغير مختلط متغير مختلط يك تابع مختلط يك تابع مختلط

. . در جهت خالف ساعتگرد از عدد مثبت حقيقي در نظر گرفته مي شود در جهت خالف ساعتگرد از عدد مثبت حقيقي در نظر گرفته مي شود θθ زاويه زاويه

= = F(s) F(s) مزدوج تابع مختلط مزدوج تابع مختلط تابع مختلط تابع مختلط G(s) G(s)در صورتي در يك ناحيه تحليلي است اگر در صورتي در يك ناحيه تحليلي است اگر G(s) G(s) وتمام مشتق هايش در آن ناحيه وتمام مشتق هايش در آن ناحيه s=j s=j ∆ω∆ω∆∆ و و s= s= ∆σ∆σ∆∆ برابر باشند ، مشتق روي برابر باشند ، مشتق روي اگر مشتق روي دو مسيرخاص ، يعني اگر مشتق روي دو مسيرخاص ، يعني ..موجود باشند موجود باشند

s= s= ∆σ∆σ + + j j ∆ω∆ω∆∆ يكتا ست يكتا ست هر مسير دلخواه هر مسير دلخواه وبنابراين مشتق وجود دارد وبنابراين مشتق وجود دارد

=+=

)(sFjS ωσ

FxFyوFyFxsFوjFyFxsF 122 tan)()( −=+=+= θ

jFyFxsF −=)(

0

lim

0

)()(lim)(→∆∆∆

=→∆

∆−∆+

=s

sG

ss

sGssGsG

dsd

www.ASEC.blogfa.com

4242

: : ∆∆s= s= ∆σ∆σ ))مسيرروي عدد حقيقي مسيرروي عدد حقيقي ((براي مسيري مثل براي مسيري مثل

) : ) : مسيري روي محور موهومي مسيري روي محور موهومي ( ( ∆∆s=j s=j ∆ω∆ω براي مسيري مثل براي مسيري مثل

)) ريمان ريمان ––شرايط كشي شرايط كشي ((يعني يعني

البته تابع به البته تابع به ..است و در اينصورت تابع تحليلي است است و در اينصورت تابع تحليلي است ) ) منحصربفرد منحصربفرد (( يكتا يكتا dG(s)/ds dG(s)/ds در اينصورت مشتق در اينصورت مشتقبه نقاطي كه تابع در ان به نقاطي كه تابع در ان . . شود شود ازاي يك سري نقاط خاص تحليلي نباشد ، كه به آنها نقاط تكين گفته مي ازاي يك سري نقاط خاص تحليلي نباشد ، كه به آنها نقاط تكين گفته مي

نقاطي كه درانها تابع و يا مشتق هاي آن به بي نهايت ميل نقاطي كه درانها تابع و يا مشتق هاي آن به بي نهايت ميل ..نقاط تحليلي است ،نقاط عادي گفته مي شود نقاط تحليلي است ،نقاط عادي گفته مي شود مثال تابع در تمام نقاط بجز مثال تابع در تمام نقاط بجز . . مي كنند ، قطب گفته مي شود مي كنند ، قطب گفته مي شود s=s=--1 1 شرايط شرايط

. . ريمان بر اورده مي شود ريمان بر اورده مي شود –– كشي كشي

0

)lim()(

→∆∂∂

+∂∂

=∆∆

+∆∆

=

σσσσσGyjGxGyjGxsG

dsd

0

)lim()(

→∆∂∂

+∂∂

−=∆∆

+∆∆

=

ωωωωω

j

GyGxjjGy

jGxsG

dsd

ωσωσ

ωωσσ

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

GxGyوGyGx

GxjGyGyjGx

11)(+

=s

sG

2222 )1()1(1

11)(

11)(

ωσω

ωσσ

ωσωσ

++−

=++

+=

+=++

=++

=

GyوGx

jGyGxj

jGوs

sG

www.ASEC.blogfa.com

4343

ريمان ؛ ريمان ؛ __يعني در شرايط كشي يعني در شرايط كشي

مشتق يك تابع تحليلي، با مشتق گيري از مشتق يك تابع تحليلي، با مشتق گيري از G(s) G(s)بر حسب بر حسب S S نيز بدست مي ايد ؛ نيز بدست مي ايد ؛

بهبه p p-- ميل كند ، ميل كند ، G(s) G(s) به بي نهايت برود ، ولي عبارت زير به بي نهايت برود ، ولي عبارت زير s s ام در حالتي است كه اگر ام در حالتي است كه اگرn n قطب مرتبه قطب مرتبه.. ام ناميده مي شود ام ناميده مي شود n n قطب مرتبه قطب مرتبهS=S=--p p در اينصورت در اينصورت . . مقدار معين و غير صفر داشته باشد مقدار معين و غير صفر داشته باشد

.. قطب مرتبه سوم قطب مرتبه سوم n=3 n=3 قطب مرتبه دوم قطب مرتبه دوم . . n=2n=2 . . قطب مرتبه اول يا قطب ساده قطب مرتبه اول يا قطب ساده n=1n=1 . . برابر با صفر مي شود ، صفرهاي تابع ناميده مي شود برابر با صفر مي شود ، صفرهاي تابع ناميده مي شود G(s) G(s) همچنين نقاطي كه در آنها همچنين نقاطي كه در آنها

: : مثال مثال

. . يك صفر مرتبه سوم دارد يك صفر مرتبه سوم دارد s=0s=0 هاي بسياربزرگ مد نظر باشند،يعني تابع در هاي بسياربزرگ مد نظر باشند،يعني تابع در s s اگر اگر

[ ]

[ ]

2

22

222

222

22

)1(1)1

1(

)1(1

)1(1)(

)1()1(2

)1()1(

+−=+

+−=

++−=

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

=

++

+=

∂∂

−=∂∂

++

+−=

∂∂

=∂∂

ssdsd

sjGxjGyGyjGx

dssdG

GxGy

GyGx

ωσωωσσ

ωσ

σωωσ

ωσ

σωωσ

npssG )).(( +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−==

−=−=⇒

+++++

=15

510102

)15)(5)(1()10)(2()( 2

ssوsوs

sوs

ssssssksG

3)(sksG =

www.ASEC.blogfa.com

4444

: : sin sin ووcos cos ياداوري قضيه اويلربا استفاده از سري هاي تواني توابع ياداوري قضيه اويلربا استفاده از سري هاي تواني توابع

: : محسنات تبديل الپالس محسنات تبديل الپالس . . شرايط مرزي و شرايط اوليه را در نظر مي گيرد شرايط مرزي و شرايط اوليه را در نظر مي گيرد --11 . . د د با استفاده از معادالت ساده و جبري معادالت ديفرانسيل را حل مي كن با استفاده از معادالت ساده و جبري معادالت ديفرانسيل را حل مي كن --22 .. كار با اين تبديل مشخص و سرراست است كار با اين تبديل مشخص و سرراست است --33

. . با استفاده از جدول تهيه شده مي توان اين تبديل را انجام داد با استفاده از جدول تهيه شده مي توان اين تبديل را انجام داد --44 .. حتي مي توان توابع ورودي غير پيوسته را نيز در نظر گرفت حتي مي توان توابع ورودي غير پيوسته را نيز در نظر گرفت --55 . . پاسخ هاي گذرا و ماندگار سيستم مكانيكي همزمان بدست مي ايند پاسخ هاي گذرا و ماندگار سيستم مكانيكي همزمان بدست مي ايند --66

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=⇒−=+=

=+⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++++=

+++++=+

+−+−=

+−+−=

−

−

−

)(21sin

)(21cos

sinsin

sincos

...!4!3!2

1

...!4)(

!3)(

!2)()(1sincos

....!6!4!2

1cos

.....!7!5!3

sin

432

432

642

753

θθ

θθ

θθ

θ

θ

θθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθ

θθθθθ

jj

jjjj

j

x

eej

eejoseوjose

ej

xxxxe

jjjjj

www.ASEC.blogfa.com

4545

: : ، عبارتست از ، عبارتست از t<0 t<0 ووf(t)=0 f(t)=0 به شرطي كه به شرطي كهf(t)f(t) الپالس يك تابع زماني الپالس يك تابع زماني : : تبديل الپالس تبديل الپالس

.. داراي تبديل الپالس باشد بايد شروط زير در آن لحاظ شده باشد داراي تبديل الپالس باشد بايد شروط زير در آن لحاظ شده باشد f(t) f(t) براي آنكه تابع براي آنكه تابع

f(tf(t) ) به عبارت ديگر با در نظر گرفتن يك تابع براي به عبارت ديگر با در نظر گرفتن يك تابع براي..يين بي نهايت نشود يين بي نهايت نشود در صورتي اين تابع داراي الپالس خواهد بود كه سطح زير منحني شكل پا در صورتي اين تابع داراي الپالس خواهد بود كه سطح زير منحني شكل پا

.).) طول همگرايي است طول همگرايي است cc ( ( عكس تبديل الپالس عكس تبديل الپالس σσ هاي بزرگتر از هاي بزرگتر از σσcc حد حد اگر به ازاي اگر به ازاي ..روش بدست آوردن طول همگرايي بصورت زير آست روش بدست آوردن طول همگرايي بصورت زير آست

. . اين حد بي نهايت شود اين حد بي نهايت شود σσcc σσهاي كوچكتر از هاي كوچكتر از صفر و به ازاي صفر و به ازاي : : مثال براي تابع مثال براي تابع

te δ−

te δ−

[ ]

∞<

==

∫

∫

∞

∞−

dtetf

dttfesFtfL

t

st

)(

)(.)()(

0

0

σ

[ ] dsesFj

tfsFLjc

jc

st∫∞+

∞−

− == ).(21)()(1

π

)(tfe t =−σ

∞→

= −−−

t

AeeAetf attat σlim)(

1

t

atAetf −=)(

www.ASEC.blogfa.com

4646

.. است است σσcc = =--aa σσ>>--aa براي اين تابع طول همگرايي براي اين تابع طول همگرايي . . به صفر ميل مي كند به صفر ميل مي كند به ازاي به ازاي σσبخش حقيقي بخش حقيقي s s بزرگتر از طول همگرايي بزرگتر از طول همگرايي بطور خالصه انتگرال در صورتي وجود دارد كه بطور خالصه انتگرال در صورتي وجود دارد كه

در نتيجه طول همگرايي برابر بخش در نتيجه طول همگرايي برابر بخش . . بايد طوري انتخاب شود كه اين انتگرال همگرا باشد بايد طوري انتخاب شود كه اين انتگرال همگرا باشد ss يعني يعني . . باشد باشد قطب تابع قطب تابع ) ) راست ترين راست ترين ((حقيقي مثبت ترين حقيقي مثبت ترين F(s) F(s) يعني طول همگرايي در تابع يعني طول همگرايي در تابع

برابر است با برابر است با 11-- است ، است ، يا طول همگرايي تابع كه تبديل الپالس تابع يا طول همگرايي تابع كه تبديل الپالس تابع . . . . ا ست ا ست -- λλ برابر برابر

. . الپالس و طول همگرايي صفر هستند الپالس و طول همگرايي صفر هستند داراي تبديل داراي تبديل توابع توابع __ . . هستند هستند --cc اراي تبديل الپالس و طول همگرايي اراي تبديل الپالس و طول همگرايي توابع د توابع د __

مي كنند ، طول همگرايي وجودندارد و در مي كنند ، طول همگرايي وجودندارد و در توابع كه سريعتر از تابع نمايي رشد توابع كه سريعتر از تابع نمايي رشد __ . . نتيجه تبديل الپالس نيز ندارند نتيجه تبديل الپالس نيز ندارند

مثال تابع مثال تابع . . باشند باشند دقت شود ، سيگنالهايي كه قابل ساخت هستند ، داراي تبديل الپالس مي دقت شود ، سيگنالهايي كه قابل ساخت هستند ، داراي تبديل الپالس مي

چون فقط تعريف شده ، چون فقط تعريف شده ، داراي تبديل الپالس مي باشد ، داراي تبديل الپالس مي باشد ،

..اين تابع قابليت ساخت فيزيكي را دارد اين تابع قابليت ساخت فيزيكي را دارد . . نه در نه در

∫∞

−

0

)( dtetf st

)2)(1()3()(++

+=

sssksF

λ+=

ssF 1)(tetF λ−=)(

}λλ

λλλλ

+=

+−===⇒= ∞+−

∞ ∞+−−−∫ ∫−

se

sdtedteesFetf tstssttt 11...)()(

0)(

0 0

)(

ωω sinsin tوtوt

ωsin.ctctct eوteوe −−−

22

. tt etوe

⎪⎩

⎪⎨⎧ ∞≤≤≤=

TtوtTtetf

t

fp 000)(

2

2te

∞≤≤ t0

Tt ≤≤0

www.ASEC.blogfa.com

4747

aaوو A A ثابت هستند ، برابر با ثابت هستند ، برابر با كه در آن كه در آن بنابراين تبديل الپالس تابع نمايي بنابراين تبديل الپالس تابع نمايي .. مي باشد مي باشد A/(s+a)A/(s+a)

t=0t=0 تعريف نمي شود ، تعريف نمي شود ، تابع پله اي در تابع پله اي در . . تبديل الپالس تابع پله اي تبديل الپالس تابع پله اي __

بزرگترست و بنابراين بزرگترست و بنابراين ) ) طول همگرايي طول همگرايي (( ازصفر ازصفر S S در محاسبه انتگرال فرض كرده ايم بخش حقيقي در محاسبه انتگرال فرض كرده ايم بخش حقيقي تبديل الپالس بدست آمده در تمام صفحه تبديل الپالس بدست آمده در تمام صفحه . . حد در صفر مي باشد حد در صفر مي باشد S S بجز قطب واقع بجز قطب واقع

.. معتبرست معتبرست S=0 S=0 در در

تبديل الپالس تابع پله واحد تبديل الپالس تابع پله واحد __

از نظر فيزيكي تابع پله اي در از نظر فيزيكي تابع پله اي در t=0t=0 رخ مي دهد معادل سيگنال ثابتي است كه در رخ مي دهد معادل سيگنال ثابتي است كه در t=0t=0 به طور ناگهاني به طور ناگهاني .. به يك سيستم اعمال مي شود به يك سيستم اعمال مي شود

تبديل الپالس تابع شيب تبديل الپالس تابع شيب __

⎩⎨⎧

><

= − 000

)(tAet

tf at

⎩⎨⎧

><

=000

)(tAt

tf

[ ] ∫∞

− ==0

.SAdtAeAL st

ste−∞→t

SeS

dtesF stst 10

1.)(0

=∞−

== ∫∞

−−

⎩⎨⎧

>=<=

01)(00)(

ttfttf

⎩⎨⎧

≥=<=

0)(00)(

tAttfttf

www.ASEC.blogfa.com

4848

: : داريم داريم

: : تبديل الپالس تابع سينوسي تبديل الپالس تابع سينوسي __

: : تبديل الپالس تابع كسينوسي تبديل الپالس تابع كسينوسي __

) : ) : با تاخير زماني با تاخير زماني ((تبديل الپالس يك تابع پله اي واحد جابجاشده تبديل الپالس يك تابع پله اي واحد جابجاشده --

.. انتقال داده شود ،تبديل الپالس آن در ضرب مي شود انتقال داده شود ،تبديل الپالس آن در ضرب مي شود T T يعني اگرتابع پله اي واحد به اندازه يعني اگرتابع پله اي واحد به اندازه

[ ] ∫∫∫∞

−∞ −∞ −

− ==−

−∞

−==

02

00

..0

.... SAdte

SAdt

seA

setAdteAtAtL st

ststst

[ ]

( ) 220

0

12

12

.2

..sinsin0sin)(00)(

ωω

ωω

ωωω

ωω

+=

+−

−=−=

=⇒⎩⎨⎧

>=<=

−∞

−

−∞

∫

∫

sA

jsjA

jsjAdteee

jA

dtetAtALttAtfttf

sttjtj

st

[ ]

( ) 220

0

12

12

.2

..coscos0cos)(00)(

ωωω

ωωω

ωω

+=

++

−=+=

=⇒⎩⎨⎧

>=<=

−∞

−

−∞

∫

∫

sAs

jsA

jsAdteeeA

dtetAtALttAtfttf

sttjtj

st

[ ]

See

Sdtedtetfdtetf

dtetftfLsFTttfTttf

st

Tstst

T

st

T

stT

st

−∞−−

∞−

∞−

−∞

=−

=+=+=

==⇒⎩⎨⎧

>=<=

∫∫∫

∫1.10.)(.)(

..)()()(1)(0)(

0

0

STe−

www.ASEC.blogfa.com

4949

: : تبديل الپالس يك تابع پالس تبديل الپالس يك تابع پالس __. . مقادير معلوم و ثابتي هستند مقادير معلوم و ثابتي هستند

شروع شده و يك تابع پله منفي به ارتفاع شروع شده و يك تابع پله منفي به ارتفاع تابع پالس يك تابع پله به ارتفاع است كه در تابع پالس يك تابع پله به ارتفاع است كه در . . كه در شروع شده ، با آن جمع مي شود كه در شروع شده ، با آن جمع مي شود

بنابراين مي توان نوشت ، بنابراين مي توان نوشت ،

تابع ضربه با سطح آن بيان تابع ضربه با سطح آن بيان . . تابع ضربه يك حالت حدي خاص تابع پالس است تابع ضربه يك حالت حدي خاص تابع پالس است :: تبديل الپالس تابع ضربه تبديل الپالس تابع ضربه __. . مي شود مي شود

. . ، اما سطح زير ضربه برابر باقي است ، اما سطح زير ضربه برابر باقي است با ميل ارتفاع به سمت بي نهايت ميل مي كند با ميل ارتفاع به سمت بي نهايت ميل مي كند

⎪⎩

⎪⎨⎧

<>=

<<=

00)(

0)(

0

00

tوtttf

tttAtf

0tوA

0tA

0tA0tt =

0=t

[ ] )1()()()( 00

0000

00

StSt eStAe

StA

StAttf

tALtf

tALtfL −− −=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<>=→

<<=

00)(0

0lim)(

0

0

00

tوtttgt

tttAtg

0tA 0→tA

[ ][ ]

( )00

)1(lim)1(lim)(

00

00

0

0

0

0

→→

==−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−

−

tt

ASAS

Stdtd

eAdtd

eStAtgL

St

St

www.ASEC.blogfa.com

5050

11برابر برابر تابع ضربه واحد يا تابع دلتاي ديراك تابع ضربه اي است كه مشاحت آن تابع ضربه واحد يا تابع دلتاي ديراك تابع ضربه اي است كه مشاحت آن : : نمايش تابع ضربه واحد نمايش تابع ضربه واحد . . باشد و آنرا با نشان مي دهيم باشد و آنرا با نشان مي دهيم

: : نمايش ديگر تابع ضربه واحد نمايش ديگر تابع ضربه واحد

خيلي كوچك است كه با ميل نمودن به صفر همان تعريف باال بدست خيلي كوچك است كه با ميل نمودن به صفر همان تعريف باال بدست ) ) زمان زمان (( در اين رابطه عدد مثبت در اين رابطه عدد مثبت . . مي آيد مي آيد

.. مساوي واحد در نظر گرفته شده است مساوي واحد در نظر گرفته شده است εε البته در فاصله البته در فاصله 0 0 تا تا εεبخاطر كوچكي زمان بخاطر كوچكي زمان . . تابع ضربه واحدي كه در رخ مي دهد ، عبارتست از تابع ضربه واحدي كه در رخ مي دهد ، عبارتست از

..و در سيستم هاي فيزيكي وجود ندارد و در سيستم هاي فيزيكي وجود ندارد . . تابع با ارتفاع بي نهايت و عرض صفرفقط يك تخيل رياضي است تابع با ارتفاع بي نهايت و عرض صفرفقط يك تخيل رياضي است نهاي ديگر موجود در آن مسـئله نهاي ديگر موجود در آن مسـئله ولي اگر اندازه پالس ورودي خيلي بزرگ و مدت زمان آن نسبت به زما ولي اگر اندازه پالس ورودي خيلي بزرگ و مدت زمان آن نسبت به زما

. . فيزيكي كم باشد ، مي توان آنرا با يك تابع ضربه تقريب بزنيم فيزيكي كم باشد ، مي توان آنرا با يك تابع ضربه تقريب بزنيم

∫∞

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∞=

≠=≡

0

1).(0)(

00)()( dttو

ttg

ttgt δδ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<∞=≥=≤=

≡ε

εδttg

ttgttg

t0)(

0)(00)(

)(

1..0..1.).()(00

=+== ∫∫∫∞

−−∞

−

ε

ε

εδ dtedtedtetsF ststst

ste−

δ

( )0tt −δ ( )0tt =

( )( ) ( )∫

∞

∞−

=−⇒⎩⎨⎧

∞=∞=−≠=−

1.0

00

00 dtttttt

ttttδ

δδ

www.ASEC.blogfa.com

5151

ت زمان بسيار كوتاه ت زمان بسيار كوتاه نيرو يا گشتاور يك سيستم مكانيكي باشد و نيرو يا گشتاور در يك مد نيرو يا گشتاور يك سيستم مكانيكي باشد و نيرو يا گشتاور در يك مد f(t) f(t) مثال اگر مثال اگردقت شود؛ مساحت خيلي دقت شود؛ مساحت خيلي . . نست نست به يك سيستم مكانيكي وارد شود ، مي توان آنرا يك ورودي ضربه اي دا به يك سيستم مكانيكي وارد شود ، مي توان آنرا يك ورودي ضربه اي دا

در نقطه ناپيوستگي در نقطه ناپيوستگي تابع ضربه واحد يا مشتق تابع پله واحد يا تابع ضربه واحد يا مشتق تابع پله واحد يا . . مهم است مهم است ..يا انتگرال تابع ضربه واحد ، تابع پله واحد خواهد بود يا انتگرال تابع ضربه واحد ، تابع پله واحد خواهد بود . . است است

: : قضاياي تبديل الپالس قضاياي تبديل الپالس : : عبارتست از عبارتست از اگر تبديل الپالس داشته باشد ، تبديل الپالس تابع اگر تبديل الپالس داشته باشد ، تبديل الپالس تابع --11

. . مي تواند حقيقي يا مختلط باشد مي تواند حقيقي يا مختلط باشد aa

. . از مي شود از مي شود تبديل الپالس تابع براي تحليل بعضي سيستم هاي فيزيكي ني تبديل الپالس تابع براي تحليل بعضي سيستم هاي فيزيكي ني --22

( )0tt = ( )0tt −δ( )0ttl −

)(tf)(sF)(tfe at−

∫∞

−−− +==0

)(.).(.)]([ asFdtetfetfeL statat

)(atf

)()]([

)(.)()(..)()]([

)(.).()]([

10

1110

1

1

1

0

1111

asaFatfL

saFdtetfaatdetfatfL

Sas

tat

asFdteatf

atfL

tsts

st

=⇒

===⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

+==

∫∫

∫∞

−−∞

∞−

www.ASEC.blogfa.com

5252

f(t)f(t) بصورتي باشد كه براي نقطه صفر آن تمايز وجود داشته باشد ، بصورتي باشد كه براي نقطه صفر آن تمايز وجود داشته باشد ، اگر اگر : : حد پايين انتگرال الپالس حد پايين انتگرال الپالس --33 . . تبديل الپالس به ازاي اين دو حد متفاوت خواهد شد تبديل الپالس به ازاي اين دو حد متفاوت خواهد شد ) ) يعني داشته باشد يعني داشته باشد ((

مثال يك تابع ضربه در نقطه صفر وجود داشته باشد ، مثال يك تابع ضربه در نقطه صفر وجود داشته باشد ،

در در t=0 t=0 تابع صربه نداشته باشد ، تابع صربه نداشته باشد ، f(t) f(t) اگر اگر: : قضيه مشتق گيري قضيه مشتق گيري --44

براي مشتق اول ؛ براي مشتق اول ؛

براي مشتق دوم ؛ براي مشتق دوم ؛

+− 00 و

4484476 00

00

0

.).()]([.).()]([

.).()]([

≠

∫∫

∫

+

−

−+

∞

−

−−

∞

+

−+

+==

=

dtetftfLdtetftfL

dtetftfL

stst

st

)]([)]([ tfLtfL −+ =

)0()0(.)(.)]([

)0()]([.)0()]([.)]([)]([)()(

)0()(.)]([

)]([1)0()()(0

).(.).(

22

2

2

2

00

ffSsFStfdtdL

ftfdtdLSgtgLStg

dtdLtf

dtdLtgtf

dtd

fsFStfdtdL

tfdtdL

SSfsFdt

Setf

dtd

Setfdtetf

ststst

&

&

−−=⇒

−=−==⇒=

−=⇒

+=⇒−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

∞−

=−∞−∞

− ∫∫

www.ASEC.blogfa.com

5353

اگر باشد ، داريم ؛ اگر باشد ، داريم ؛

: : توجه شود براي مشتق هاي بعدي توجه شود براي مشتق هاي بعدي

. . تبديل الپالس داشته باشد تبديل الپالس داشته باشد براي آنكه تبديل الپالس مشتقهاي رابدست آوريم، بايد ؛ براي آنكه تبديل الپالس مشتقهاي رابدست آوريم، بايد ؛ . . پالس مشتق ام برابر ميشود پالس مشتق ام برابر ميشود معلوم است اگرمقدار اوليه ومشتقهاي آن برابرصفر باشد ؛تبديل ال معلوم است اگرمقدار اوليه ومشتقهاي آن برابرصفر باشد ؛تبديل ال

: : قضيه انتگرال گيري قضيه انتگرال گيري --55

مجددا اگر در تابع ضربه داشته باشد ؛ مجددا اگر در تابع ضربه داشته باشد ؛

:: براي اثبات فرمول فوق داريم براي اثبات فرمول فوق داريم

)0()(.)]([)0()(.)]([ −−

++ −=−= fsFStf

dtdLوfsFStf

dtdL

)0()0( −+ = ff

)0()0(.........)0(.)0(.)()( )1()2(21 −−−− −−−−−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ nnnnnn

n

ffSfSfSsFStfdtdL &

)(tf)(tfdtd

n

n

)(tfn)(. sFS n

0

11

).()0()0()(]).([=

−−

∫∫ =+=t

dttffوS

fS

sFdttfL

)(tf0=t

Sf

SsFdttfL

Sf

SsFdttfLff

)0()(]).([

)0()(]).([)0()0(

1

111

−−

−

+−

+−−+−

+=

+=⇒≠

∫

∫

www.ASEC.blogfa.com

5454

: : قضيه مشتق گيري فركانسي قضيه مشتق گيري فركانسي --55

براي اثبات مي توان نوشت ؛ براي اثبات مي توان نوشت ؛

[ ] [ ]

SsF

Sfdtetf

Sdttf

s

dts

etfS

edttfdtedttfdttfL

stt

ststst

)()0(.).(1).(1

.).(0

).(..).(]).([

1

00

00

+=+=

−−

∞−

==

−∞−

=

−∞−−

∞

∫∫

∫∫∫ ∫∫

[ ] [ ] [ ] )(.)1()()()(.)()(. 2

22 sF

dsdtftLوsF

dSdtftLوsF

dtdtftL n

nnn −=−=−=

[ ]

[ ] [ ]

)(.)1(])([

)()]([)()(.)(.)()(.

)(.).(..)(.).(.)(.

2

22

000

sFdsdtftL

sFdsdsF

dsd

dsdsG

dsdtgtLtftLtgtft

sFdsddtetf

dsddte

dsdtfdtetfttftL

n

nnn

ststst

−=

=−−=−==⇒≡

−=−=−== −∞

−∞∞

− ∫∫∫

www.ASEC.blogfa.com

5555

با فرض اينكه با فرض اينكه ((مي خواهيم تبديل الپالس انتگرال مقابل را بدست آوريم ، مي خواهيم تبديل الپالس انتگرال مقابل را بدست آوريم ، : : قضيه انتگرال كانولوشن قضيه انتگرال كانولوشن --66.).)د د تابع هاي داراي تبديل الپالس باشن تابع هاي داراي تبديل الپالس باشن

.. است است كه در آن تابع پله واحد در كه در آن تابع پله واحد در براي مي توان نوشت ، براي مي توان نوشت ،

با جايگذاري و تعويض ترتيب انتگرالگيري ؛ با جايگذاري و تعويض ترتيب انتگرالگيري ؛

ابع باشد ، يعني ،تابع ابع باشد ، يعني ،تابع برعكس اگر تبديل الپالس تابعي برابر حاصلضرب تبديل الپالسهاي دو ت برعكس اگر تبديل الپالس تابعي برابر حاصلضرب تبديل الپالسهاي دو ت

. . برابر مي باشد برابر مي باشد با انتگرال كانولوشن با انتگرال كانولوشن ) ) عكس تبديل الپالس عكس تبديل الپالس ((زماني زماني

)()( 21 tfوtfτττ dftf

t

).(.)( 20

1∫ −

t>τ0)().(1 =−− ττ tltf)( τ−tl

0tt =

dtdftltfedftltfLdftfL

dftltfdftf

stt

t

.).().(.)().().(.)().(.)(

).().(.)().(.)(

02

012

012

01

20

120

1

∫ ∫∫∫

∫∫∞ ∞

−∞

∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⇒

−−=−⇒

τττττττττττ

τττττττ

λτ =−t

)().(.)(.).(

.)(.).().(..).(.)().(.)(

210

20

1

02

01

02

012

01

.

.)(

sFsFdefdef

dfdefdfdtetltfdftfL

ss

sstt

==

=−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⇒

−−

+−

∫∫

∫∫∫∫∫∞∞

∞∞∞−

∞

ττλλ

ττλλτττττττ

τλ

τλ

)().( 21 sFsF

τττ dftftftft

).(.)()().( 20

121 ∫ −=

www.ASEC.blogfa.com

5656

اماچون اماچون . . آورد آورد عكس تبديل الپالس را مي توان با استفاده از انتگرال ارائه شده بدست عكس تبديل الپالس را مي توان با استفاده از انتگرال ارائه شده بدست : : عكس تبديل الپالس عكس تبديل الپالس -- را با استفاده از جدول تبديل را با استفاده از جدول تبديل كاركردن با انتگرال اشاره شده بسيار سخت است ، عكس تبديل الپالس كاركردن با انتگرال اشاره شده بسيار سخت است ، عكس تبديل الپالس

. . آورده ميشود آورده ميشود غالباتبديل الپالس يك تابع زماني بصورت كسري بدست غالباتبديل الپالس يك تابع زماني بصورت كسري بدست .. الپالس پيدا ميكنيم الپالس پيدا ميكنيم مثال در سيستم مقابل اگر ورودي و خروجي باشد ، مثال در سيستم مقابل اگر ورودي و خروجي باشد ،

: : باگرفتن تبديل الپالس از معادله فوق باگرفتن تبديل الپالس از معادله فوق

عبا رتست از نسبت تبديل الپالس خروجي سيستم به تبديل الپالس ورودي عبا رتست از نسبت تبديل الپالس خروجي سيستم به تبديل الپالس ورودي : : يعني تابع تبديل سيستم يعني تابع تبديل سيستم { { G(s) G(s) آن ، وقتي كه تمام شرايط سيستم مساوي صفر در نظر گرفته شود آن ، وقتي كه تمام شرايط سيستم مساوي صفر در نظر گرفته شود . . } }

)()()(

sAsBsF =

1X2X

12222 KxKxBDxxMD =++

444 3444 214444 34444 21componentconditionInitialFunctiontransfersystemKBSMSxBMDMS

sXKBSMS

KsX

velocityinitialDxposittioninitialx

conditioninitial

xBMDMSsXKBSMSsKX

sKXxsSXBDxSxsXSMsKX

KxBDxxMDLKxL

++++

+++

=

⎩⎨⎧

≡≡

++−++=⇒

+−+−−=⇒

++=

22

122

2

2

222

1

2222222

1

2222

1

)0(].[)()(

)0(:

)0(].[)().()(

)())0()(())0()0()(()(

][][

KBSMSK

sXsX

sG++

== 21

2

)()(

)(

www.ASEC.blogfa.com

5757

بنابراين ؛ بنابراين ؛ اگر ورودي ، يك تابع پله در نظر گرفته شود ، يعني اگر ورودي ، يك تابع پله در نظر گرفته شود ، يعني

. . ام شود ام شود بنابراين الپالس معكوس گرفتن بايستي از حاصلضرب دو يا چند كسر انج بنابراين الپالس معكوس گرفتن بايستي از حاصلضرب دو يا چند كسر انج

: : بسط به كسرهاي جزئي بسط به كسرهاي جزئي : : قطبهاي مجزا قطبهاي مجزا : : حالت اول حالت اول

PPها و ها و Z Z در همين كسر وجود در همين كسر وجود ها حقيقي يا مختلط هستند و اگر مختلط باشند ، حتما مزدوج آنها نيز ها حقيقي يا مختلط هستند و اگر مختلط باشند ، حتما مزدوج آنها نيز . . مي باشد وبه روش زير بوجود مي آيد مي باشد وبه روش زير بوجود مي آيد S=S= --PPk k باقيمانده قطب باقيمانده قطبaak k دارد دارد . .

SsX 1)(1 =

])2(

[)]([)(

2)2()()(

22

21

21

2

22

2

22

nn

n

nnn

n

SSSLsXLtx

KMBوM

KوSSSM

KSMBSS

MK

sX

ωξωω

ξωωξω

ω

++==⇒

==++

=++

=

−−

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

n

n

n

m

PSa

PSa

PSa

PSa

sAsBsF

nmPSPSPSPSZSZSZSZSk

sAsBsF

+++

++

++

+==

<++++++++

==

....)()()(

......

)()()(

3

3

2

2

1

1

321

321

kPskk sAsBPSa −=+= ])()()[(

www.ASEC.blogfa.com

5858

باشند ، باقيمانده هاي باشند ، باقيمانده هاي چون يك تابع حقيقي است ، اگر مزدوج مختلط هم چون يك تابع حقيقي است ، اگر مزدوج مختلط هم بنابراين در اينحالت داريم؛ بنابراين در اينحالت داريم؛ . .نيزمزدوج مختلط هم مي باشند ودر صورت تعيين يكي، ديگري معين مي شود نيزمزدوج مختلط هم مي باشند ودر صورت تعيين يكي، ديگري معين مي شود

چون ؛ چون ؛

: : 11 مثال مثال

چون توان صورت از مخرج بزرگتر است ، با تقسيم خواهيم داشت ؛ چون توان صورت از مخرج بزرگتر است ، با تقسيم خواهيم داشت ؛ : : 22 مثال مثال

و تبديل الپالس مشتق يا و تبديل الپالس مشتق يا 11 برابر برابر چون تبديل الپالس تابع ضربه در چون تبديل الپالس تابع ضربه در برابر با است ، بنابراين ؛ برابر با است ، بنابراين ؛

)(tf21 PوP21 aوa

tP

tnPtPtP

keaPS

aL

teaeaeasFLtf

kk

k

n

−

−−−

=+

≥+++==

−

−

][

0....)]([)(

1

211 21

( )( )

[ ] tt eeS

LS

LtfsFL

aa

Sa

Sa

SSSsF

2111 )1(22

11

2)()(

1221

22

11

213)(

−−−−− −+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+==⇒

⎩⎨⎧

−==

⇒+

++

=++

+=

( )( ) ( )( )2132

21795

)()()(

23

+++

++=++

+++==

SSSS

SSSSS

sAsBsF

0)( =tortδdt

td )(δ

S

tt eetdt

tdtf 2)1(2)(2)()( −− −+++= δδ

www.ASEC.blogfa.com

5959

: : 33مثال مثال

: : چون داريم چون داريم

ازطريق بسط به كسرهاي جزئي نيز مي توانستيم مسئله را حل كنيم ؛ ازطريق بسط به كسرهاي جزئي نيز مي توانستيم مسئله را حل كنيم ؛

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )02cos22sin5

2112

2125)(

2112

2125

21)1.(210

21122

2121122

52122)(

221

221

2222

22222

≥+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=⇒

+++

+++

=

++++

=++

+=

−++++

=++

+=

−−

−−

ttete

SSL

SLtf

SS

S

SS

SS

jSjSS

SSSsF

tt

teaS

aSLوteaS

L atat ωω

ωω

ω cos)(

sin)( 22

122

1 −−−− =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

02cos22sin5)()(2

1sin

)(21cos

)5.21()5.21()(5.215.21

12222

2121)22()(

21212121

21212121122

52122)(

2121

2

≥+=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=

−++=⇒⎩⎨⎧

+=−=

⇒⎩⎨⎧

=++−=+

⇒

−+++++−++

=−++++++−+

=

−++

++=

−++++

=++

+=

−−−

−

−−+−

ttetetfeej

ee

ejejtfjajb

bjbajaba

jSjSbjbajabaS

jSjSjSbjSa

jSb

jSa

jSjSS

SSSsF

ttjj

jj

tjtj

θθ

θθ

θ

θ

www.ASEC.blogfa.com

6060

قطبهاي تكراري ؛ قطبهاي تكراري ؛ : : حالت دوم حالت دوم

حال مي توانيم مسئله چند صفحه قبل را تكميل كنيم ؛ حال مي توانيم مسئله چند صفحه قبل را تكميل كنيم ؛

0.0))1(

3())1(

2()1

1()(

2)32(})()(.)1{(

!013

0)}32({!1

1})()(.)1({

!112

1)}32({!2

1})()(.)1({

!211

)}(.)({)!(

1)1(

32)1(

2)1(

1)1(

32)(

23

12

11

12

13

12

13

12

2

2

13

2

2

)(

)(

33

2

≥++=+

++

++

=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++=+=

=++=+=

=++=+=

−−

=

++

++

+=

+++

=

−−−−−

−=−=

−=−=

−=−=

=−

−

teteS

bLS

bLSbLtf

SSsAsBSb

SSdsd

sAsBS

dsdb

SSdsd

sAsBS

dsdb

sFPSdsd

knb

Sb

Sb

Sb

SSSsF

tt

ss

ss

ss

psn

kn

kn

k

( ))2(

)2(2)2(

])2(

[)]([)(

22

22

2222

2

22

21

21

2

nn

nn

nnnn

n

nn

n

SSSScbSSSa

SScbS

Sa

SSS

SSSLsXLtx

ωξωωξω

ωξωωξωω

ωξωω

++

++++=

+++

+=++

++== −−

www.ASEC.blogfa.com

6161

: : در نتيجه داريم در نتيجه داريم

: : اين مسئله در ارتعاشات بصورت زير جل مي شود اين مسئله در ارتعاشات بصورت زير جل مي شود ) :) :از قانون دوم نيوتن از قانون دوم نيوتن (( معادله ويژه را تشكيل مي دهيم ؛ معادله ويژه را تشكيل مي دهيم ؛

براي جواب كامل در حالتي كه ورودي يك تابع پله باشد ؛ براي جواب كامل در حالتي كه ورودي يك تابع پله باشد ؛

چون سيستم از حالت سكون شروع به حركت نموده است ؛ چون سيستم از حالت سكون شروع به حركت نموده است ؛

KMBوM

Kو

tetxcba

a

caba

n

n

t

nnn

n

n

2

)cos1sin(1

1)(21

1

.

02.0

12

2222

==

+−−

−=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+=+

−−

ξω

ξξωξξωωω

ξωξω

( )[ ] ( )[ ]

0)0(0)0(

*)1sin(1)(

)1sin()(11)(&1

1exp1exp)(1

102

22

22

22

22,1

212

22

212

22,1

22

==

+−+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=⇒−+−=⇒<+=⇒⇒>

−−−+−+−=⇒⇒>

−+−=⇒=++

−

−

−−

xوx

tAetx

tAetxjmteAeAtxequalrealroots

tAtAtxrealroots

ratiodampingondependssolutiontransiantmmm

nt

nt

nn

ttnn

nnnn

n

n

nn

&

φξω

φξωξωξωξξ

ωξξωξξξ

ξξωξωωξω

ξω

ξω

ξωξω

)(2 tx

www.ASEC.blogfa.com

6262

مي توان نوشت ؛ مي توان نوشت ؛ * * با مشتق گيري از معادله با مشتق گيري از معادله

MATLAB MATLAB استغاده از ، استغاده از يك راه حل بسيار ساده موقعي كه كسرهاي جزئي نسبتا پيچيده تري داريم يك راه حل بسيار ساده موقعي كه كسرهاي جزئي نسبتا پيچيده تري داريم ، .. مي باشد مي باشد

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−−

−=

=−

=−

−=

⇒

−+−=→+=⇒

−−

−−

)cos1sin(1

1)(

cos1

tan1

1

cos1sin0sin10

12

22

12

1

2

2

ξξωξ

ξξξ

φξ

φξωφξωφ

ξω

tetx

Aو

AAA

n

t

nn

n

[ ]

21

32

43

6)()(

123

346

2

),(],,[61161

]6352[,

61166352

)()(

),(],,[,)()(

23

23

++

++−

++−

=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−−

−−

===

=⎩⎨⎧

==

++++++

=

==

SSSsAsB

kPr

dennumresiduekprdennum

SSSSSS

sAsB

dennumresiduekprdennum

sAsB

www.ASEC.blogfa.com

6363

: : مثال ديگري از بدست آوردن تابع تبديل مثال ديگري از بدست آوردن تابع تبديل

::باگرفتن تبديل الپالس ازاين معادله مي توان نوشت باگرفتن تبديل الپالس ازاين معادله مي توان نوشت

)()( tutfkxxbxm ==++ &&&

[ ]

( )

kbSmSsG

sUsX

inputoutput

sUsXkbSmSxx

sUbxxmmSxsXkbSmS

sUskXxsSXbxSxsXSm

++===

=++⇒⎩⎨⎧

==

⇒

+++=++⇒

=+−+−−

2

2

2

2

1)()()(

)()(0)0(0)0(

)()0()0()0()(

)()()]0()([)]0()0()([

&

&

&

www.ASEC.blogfa.com

6464

نمايش نمايش ) ) ام ام n n عمدتا معادله دبفرانسيل خطي از رسته عمدتا معادله دبفرانسيل خطي از رسته ((دبفرانسيل دبفرانسيل ) ) معادالت معادالت ((تا اينجا با استفاده از معادله تا اينجا با استفاده از معادلهديديد تابع تبديل ، يك ابزار بسيار مناسب براي نشان دادن ديديد تابع تبديل ، يك ابزار بسيار مناسب براي نشان دادن . . رياضي يك سيستم ديناميكي را نشان داديم رياضي يك سيستم ديناميكي را نشان داديم

. . يك سيستم ديناميكي است يك سيستم ديناميكي است

تابع تبديل

Nمعادله ديفرانسيل يا 1 خطي رسته

معادله حالت برداري

يك معادله ديفرانسيل خطي رسته n ام

دياگرام جريان

Signal flow diagram

دياگرام جعبه اي Block diagram

نمايش رياضي

نمايش كنترلي

www.ASEC.blogfa.com

6565

: : روش داريم روش داريم 33بنابراين براي نمايش رياضي يك سيستم خطي پيوسته بنابراين براي نمايش رياضي يك سيستم خطي پيوسته nth order Differential equition nth order Differential equition كه قبال بحث شده است كه قبال بحث شده است . . nn معادله ديفرانسيل خطي رسته معادله ديفرانسيل خطي رسته --11

state_space Representation state_space Representation 22-- نمايش فضاي حالت نمايش فضاي حالت ( ( معادله برداري حالت معادله برداري حالت.(.(transfer Function transfer Function 33-- تابع تبديل تابع تبديل..

n n -- در اينجا بجاي نوشتن يك معادله ديفرانسيل مرتبه در اينجا بجاي نوشتن يك معادله ديفرانسيل مرتبه ): ): نمايش فضاي حالت نمايش فضاي حالت (( معادله برداري حالت معادله برداري حالتدو مثال زير اين موضوع را روشنتر مي كند ؛ دو مثال زير اين موضوع را روشنتر مي كند ؛ . . از چند معادله ديفرانسيل خطي استفاده مي كنيم از چند معادله ديفرانسيل خطي استفاده مي كنيم

رابطه اي كه منجر به معادله ديفرانسيل شد ، رابطه اي كه منجر به معادله ديفرانسيل شد ، : : 11 مثال مثال تغيير حجم مايع تغيير حجم مايع = = دبي ورودي دبي ورودي ––ي ي دبي خروج دبي خروج

: : براي ظرف اول براي ظرف اول

: : براي ظرف اول براي ظرف اول

. ( . ( A2 A2 و معادله دوم بر و معادله دوم بر A1 A1 بنابراين مي توان نوشت بنابراين مي توان نوشت)) تقسيم معادله اول بر تقسيم معادله اول بر2

2

1

210

22

1

210

11

Rh

RhhQ

dtdhA

RhhQ

dtdhA

−−

−=

−−=

012

1

222121

1111

2

1

2222121

12

11

1

11

20

1

1

0

1

)11(1

11

)11(

1

QAhh

ARARAR

ARARhh

dtd

hARARAR

hdt

dhAR

hAR

hQAdt

dh

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

−+=

www.ASEC.blogfa.com

6666

دبي خروجي از ظرف اول به ظرف دوم دبي خروجي از ظرف اول به ظرف دوم

اگر بردار حالت را با اگر بردار حالت را با . . عنصر خواهد بود عنصر خواهد بود X X نشان نشان n n بردار حالت نيز داراي بردار حالت نيز دارايn n براي يك سيستم از مرتبه براي يك سيستم از مرتبهداده شود ، داده شود ،

براي اين سيستم معادله حالت مرتبه براي اين سيستم معادله حالت مرتبه n nام را مي توان بصورت ام را مي توان بصورت n n معادله ديفرانسيل معادله ديفرانسيل .) .) در صورتي كه سيستم داراي يك ورودي باشد در صورتي كه سيستم داراي يك ورودي باشد .( .( مرتبه يك خطي نوشت مرتبه يك خطي نوشت

011

0

1

)11(1

11

.011

111

222121

1111

2

1

02

1

111

1

211

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒

−=

dوRR

cوAbو

ARARAR

ARARAوhh

h

Qhh

RRQ

RhhQ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

XM1

1

ubxaxaxaxax

ubxaxaxaxaxubxaxaxaxax

nnnnnnnn

nn

nn

+++++=

+++++=+++++=

L&

L&

L&

332211

223232221212

113132121111

www.ASEC.blogfa.com

6767

خروجي نيز مي تواند تابعي از متغير هاي حالت يا ورودي باشد ؛ خروجي نيز مي تواند تابعي از متغير هاي حالت يا ورودي باشد ؛

: : 22مثال مثال ::مي توان نوشت مي توان نوشت ) ) يا متغير حالت يا متغير حالت ( ( اگر تغيير مكان و سرعت متغير در نظر گرفته شود اگر تغيير مكان و سرعت متغير در نظر گرفته شود

سيستم سيستم با انتخاب اين دو متغير بعنوان متغيرهاي حالت ، رفتار و وضعيت با انتخاب اين دو متغير بعنوان متغيرهاي حالت ، رفتار و وضعيت . . كامال مشخص مي شود كامال مشخص مي شود

بنابراين مي توان نوشت ؛ بنابراين مي توان نوشت ؛

: : بعنوان خروجي مد نظر قرار گرفته است بعنوان خروجي مد نظر قرار گرفته است ) ) m m ) ) تغيير مكان تغيير مكان xx چون چون

[ ]n

nnnnn

n

n

nn

cccc

b

bb

b

aaa

aaaaaa

A

ducXybuAXXdtd

duxcxcxcxcy

LMMM

L

L

L

212

1

21

22221

11211

332211

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+=+=

+++++=

)(xukxxm =+&&

22121 xxxxxxوxx &&&&& =⇒=⇒==

)(112)(12 tu

mx

mkxtukxxm +

−=⇒=+ &&

1xy =

www.ASEC.blogfa.com

6868

بنابراين مي توان نوشت ؛ بنابراين مي توان نوشت ؛

يك خروجي يك خروجي –– سيستم يك ورودي سيستم يك ورودي حال مي توان با استفاده از معادله حالت ، تابع تبديل را براي اين حال مي توان با استفاده از معادله حالت ، تابع تبديل را براي اين . . يعني مي خواهيم از معادله حالت مقابل ، تبديل الپالس بگيريم يعني مي خواهيم از معادله حالت مقابل ، تبديل الپالس بگيريم . . بدست آورد بدست آورد

رابر صفر بايد باشند ، بنابراين رابر صفر بايد باشند ، بنابراين چون مي خواهيم تابع تبديل را بدست آوريم ، طبق تعريف شرايط اوليه ب چون مي خواهيم تابع تبديل را بدست آوريم ، طبق تعريف شرايط اوليه ب ..مي توان نوشت مي توان نوشت

[ ] [ ] [ ] 00110

010

001

10

010

1

2

11

2

1

2

1

12

21

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⇒+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

=

=

dcm

BmkAu

xx

yxy

umx

x

mk

xx

um

xmkx

xx

&

&

&

&

⎩⎨⎧

++−=+−=⇒+=−

⇒

⎩⎨⎧

+=+=−

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

===⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

−

−

)()]0()([)()()]0()([)()()0()()()(

)()()()()()0()(

)]()([)]([

)]()([)]([

)()]([)()]([)()]([)()()(

)()()(

1

1

sdUxsbUASIcsYxsbUASIsXxsbUsXASI

sdUscXsYsbUsAXxsSX

tdutcxLtyL

tbutAxLtxdtdL

sYtyLsUtuLsXtxLtdutcxty

tbutAxtxdtd

www.ASEC.blogfa.com

6969

بعدا خواهيم ديد بعدا خواهيم ديد . . بر صفر باشند بر صفر باشند تابع تبديل ، حاصل تقسيم خروجي به ورودي هنگامي كه شرايط اوليه برا تابع تبديل ، حاصل تقسيم خروجي به ورودي هنگامي كه شرايط اوليه برا . . دارد دارد كه رفتار و عكس العمل سيستم بستگي به معكوس ماتريس كه رفتار و عكس العمل سيستم بستگي به معكوس ماتريس

. . معادله حاصل از دترمينان ماتريس ميباشد معادله حاصل از دترمينان ماتريس ميباشد Charactristic Equation Charactristic Equation معادله مشخصه معادله مشخصه

: : اين معادله را براي مثال مورد نظر بدست مياوريم اين معادله را براي مثال مورد نظر بدست مياوريم . . ريشه هاي اين معادله قطبهاي سيستم ناميده مي شود ريشه هاي اين معادله قطبهاي سيستم ناميده مي شود

)()()()(

)(].)([)()()]([)()()]([)()(0)0(

1

11

1

sGdbASIcsUsY

sUdbASIcsYsdUsbUASIcsYsbUASIsXx

=+−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=⇒+−=

−=⇒=

−

−−

−

)( ASI −

)(det)int()( 1

ASIermiaantASIadjoASI−

−=− −

)( ASI −

EquationticcharactrisASI =− )det(

SmkS

Smk

S

ASISmkS

ASIdbASIcsG1

1

)(1

)()( 11

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=−+−= −−

www.ASEC.blogfa.com

7070

بنابراين مي توان نوشت ؛ بنابراين مي توان نوشت ؛

ع تبديل ع تبديل قبال در مثال با استفاده از تبديل الپالس مستقيم معادله حركت ، تاب قبال در مثال با استفاده از تبديل الپالس مستقيم معادله حركت ، تاب : : مثال ديگر مثال ديگر . . را بدست آورده بوديم را بدست آورده بوديم

هيم ، هيم ، حال مي خواهيم با استفاده از معادالت حالت اينكار را انجام د حال مي خواهيم با استفاده از معادالت حالت اينكار را انجام د

kmSmkS

m

mkS

mSm

mmkS

Smk

S

sG+

=+

=+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+

= 2222

11

1

]01[010

1

]01[)(

kbSmSsG

sUsX

inputoutput

++=== 2

1)()()(

( ) ( )

[ ] [ ]uxx

y

umx

x

mb

mkx

x

xy

um

xmbx

mkx

xxxy

um

xmbx

mkxuuxbxxm

xxxxxxxxtukxxbxm

001

10101

1)(

2

1

2

1

2

1

1

212

21

1

21212222121

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+−−

=

=

⇒

=

+−−

=⇒=++⇒⎩⎨⎧

==⇒===++

&

&&

&

&&&&&&&

&&&

www.ASEC.blogfa.com

7171

بنابراين مي توان نوشت ؛ بنابراين مي توان نوشت ؛

::يادآوري چند تعريف يادآوري چند تعريف شته باشدو سيستم وقتي شته باشدو سيستم وقتي سيستم وقتي كنترل پذيراست كه ورودي روي همه متغيرهاي حالت تاثيردا سيستم وقتي كنترل پذيراست كه ورودي روي همه متغيرهاي حالت تاثيردا --11

..باشد باشد مشاهده پذير است كه خروجي از همه متغيرهاي حالت تاثير گرفته مشاهده پذير است كه خروجي از همه متغيرهاي حالت تاثير گرفته فرهاي سيستم وريشه هاي مخرج فرهاي سيستم وريشه هاي مخرج ريشه هاي صورت كسر تابع تبديل همان ص ريشه هاي صورت كسر تابع تبديل همان ص --22

. . آن قطبهاي سيستم مي باشند آن قطبهاي سيستم مي باشند

[ ]

[ ] [ ]kbSmSmm

kSmbS

Smk

mbS

dbASIcsUsYsG

mkSm

bS

Smk

mbS

mbS

mkS

Smk

mbS

ASIm

bSm

kS

ASI

dcm

Bm

bm

kA

++=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+

=+−==

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+

=

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+

=−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

=−

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

−

−

221

21

1010

1

.01)()()()(

1

1

1

)(1

)(

0011010

dbASIc +− −1)(

www.ASEC.blogfa.com

7272

: : راجع به تعداد صفر ها و قطبها راجع به تعداد صفر ها و قطبها --33 چون براي يك سيستم رسته چون براي يك سيستم رسته n nماتريس الحاقي از درجه ماتريس الحاقي از درجه nn--1 1 مي باشد ، در صورت مي باشد ، در صورت

.. تعداد قطبها از تعداد صفرها حداقل يكي بيشتر است تعداد قطبها از تعداد صفرها حداقل يكي بيشتر است d=0 d=0 صفر بودن ماتريس صفر بودن ماتريس G(s)=0G(s)=0 مي شود و قطبهاي مي شود و قطبهاي صفرهاي سيستم مقاديري هستند كه به اندازه آنها تابع تبديل صفرهاي سيستم مقاديري هستند كه به اندازه آنها تابع تبديل --44

همان مقاديري كه همان مقاديري كه . ( . ( مي شود مي شود G(s)=G(s)=∞∞ سيستم مقاديري هستند كه به اندازه آنها تابع تبديل سيستم مقاديري هستند كه به اندازه آنها تابع تبديل . . هستند هستند A A يعني قطبهاي سيستم مقادير ويژه ماتريس يعني قطبهاي سيستم مقادير ويژه ماتريس .) .) به ازاي آنها است به ازاي آنها است

ست ، هنگامي درست است كه ست ، هنگامي درست است كه برعكس اين مسئله ، يعني هر مقدار ويژه همان قطب سيستم ا برعكس اين مسئله ، يعني هر مقدار ويژه همان قطب سيستم ا .. سيستم كنترل پذير و مشاهده پذير باشد سيستم كنترل پذير و مشاهده پذير باشد

: : چند خروجي چند خروجي --سيستم فضاي حالت براي يك سيستم چند ورودي سيستم فضاي حالت براي يك سيستم چند ورودي سيستم سياالتي داراي سه ظرف با دو ورودي و سه سيستم سياالتي داراي سه ظرف با دو ورودي و سه . . با استفاده از يك مثال اين كار را انجام مي دهيم با استفاده از يك مثال اين كار را انجام مي دهيم

: : خروجي زير را در نظر مي گيريم خروجي زير را در نظر مي گيريم

)( ASI −

0)det( =− ASI

www.ASEC.blogfa.com

7373

از آنجايي كه ارتفاعهاي متغير از آنجايي كه ارتفاعهاي متغير h1,h2,h3 h1,h2,h3 وضعيت سيستم را نشان مي دهند ، بنابراين همانها را بعنوان وضعيت سيستم را نشان مي دهند ، بنابراين همانها را بعنوان : : متغيرهاي حالت سيستم در نظر مي گيريم متغيرهاي حالت سيستم در نظر مي گيريم

: : از سه ظرف از سه ظرف Q1,Q2,Q3 Q1,Q2,Q3 )) و سه خروجي و سه خروجي ))به ظرف اول و ظرف دوم به ظرف اول و ظرف دوم u1,u2 u1,u2 سيستم داراي دو ورودي سيستم داراي دو ورودي

( )*)()()()()()(

.01**1**1*

1*1**1**1*

3

2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

33

3

32

213

2

2

22

2

21

12

1

1

11

11

3

333

2

222

1

111

3

3

2

211

2

2

1

1222

1

1111

33

22

11

⎩⎨⎧

+=+=

⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

+−=

+−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

−+=

−=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

rrmnnmm

rrrnnnnn

tUDtXCtYtUBtXAtX

yyy

Y

uu

U

xxx

X

xxx

X

ARx

ARxxx

Au

ARx

ARxx

Au

ARx

x

RxQy

RxQy

RxQy

Rx

RxxA

Rx

RxuxA

RxuxA

xhxhxh

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

www.ASEC.blogfa.com

7474

مي توان نوشت ؛ مي توان نوشت ؛

: : داريم داريم MIMO MIMO حال براي بدست اوردن تابع تبديل از معادله حالت يك سيستم حال براي بدست اوردن تابع تبديل از معادله حالت يك سيستمصفحه قبل تبديل الپالس بگيريم ؛ صفحه قبل تبديل الپالس بگيريم ؛ (*) (*) مي توان از معادالت مي توان از معادالت

:: مي توان نوشت مي توان نوشت G(s) G(s) براي بدست آوردن تابع تبديل براي بدست آوردن تابع تبديلx(0)=0 x(0)=0 با فرض با فرض

0

1

1

1

00

10

01

110

011

001

3

2

1

2

1

3332

2221

11

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

= Dو

R

R

R

CوA

A

Bو

ARAR

ARAR

AR

A

⎩⎨⎧

++−=+−=

⇒⎜⎜⎝

⎛+=

+=−−

−

)())()0(()()())()0(()()(

)()()()()()0()(

1

1

sDUsBUxASICsYsBUxASIsX

sDUsCXsYsBUsAXxsSX

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−=⇒= −

)(

)()(

)()()(

)()()()()()(

)(

)()(

)(.)()()()()()()(

2

1

21

22221

11211

3

2

1

1**1*1

sU

sUsU

sGsGsG

sGsGsGsGsGsG

sY

sYsY

sUsGsYDBASICsGsGsUsY

rmrmm

r

r

rrmm

M

L

MMM

L

L

M

www.ASEC.blogfa.com

7575

هر كدام از خروجي هاي سيستم بوسيله هر كدام از خروجي هاي سيستم بوسيله : : يعني مي توان گفت يعني مي توان گفت r r تابع تبديل با تابع تبديل با r r ورودي سيستم ارتباط ورودي سيستم ارتباط يعني ؛ يعني ؛ . . دارند دارند

تساوي آن با صفرهمان معادله مشخصه تساوي آن با صفرهمان معادله مشخصه مخرج كليه توابع تبديل عبارت مي باشد كه مخرج كليه توابع تبديل عبارت مي باشد كه . . سيستم مي باشد سيستم مي باشد

: : (signal flow diagram & Block diagram )(signal flow diagram & Block diagram ) دياگرام هاي جعبه اي و جرياني دياگرام هاي جعبه اي و جريانيبعنوان انتگرال گيرنده ؛ بعنوان انتگرال گيرنده ؛ ) ) سيستم سياالتي سيستم سياالتي ( ( براي يك مخزن مايع براي يك مخزن مايع : : توسط مثال توسط مثال

misUsGsY

misUsGsUsGsUsGsYr

jjiji

ririii

,.....,3,2,1)().()(

,.....,3,2,1)().()().()().()(

1

2211

==

=+++=

∑=

L

ijG)det( ASI −

)(11).(1)(0

00 tuAD

xdttuA

xtxt

∫ +=+=

1/A 1/DU (1/A)U X(t)x0

+ +

U (1/A)U X(t)

1/A 1/D1

x0

www.ASEC.blogfa.com

7676

براي توضيح دياگرامهاي جعبه اي و جرياني در ميدان براي توضيح دياگرامهاي جعبه اي و جرياني در ميدان ) ) يك سيستم رسته يك يك سيستم رسته يك ( ( استفاده از يك مثال استفاده از يك مثال : : زمان و الپالس زمان و الپالس

با در نظر گرفتن مي توان نوشت ، با در نظر گرفتن مي توان نوشت ،

دياگرام جعبه اي در ميدان زمان دياگرام جعبه اي در ميدان زمان

دياگرام جرياني در ميدان زمان دياگرام جرياني در ميدان زمان

)(1)(1)()()()( tuA

txRA

txRtxtutxA +

−=−= &&

aRA

bA

=−

=11

( ) )]()([1)(*)()()( 0 tbutaxD

xtxtbutaxtx ++=⇒+=&

bU 1/D

a

+

+

x0

xX&

][1 buaxD

+

U

X& X

0X

1

a

b

D1

www.ASEC.blogfa.com

7777

: : داريم داريم ( * ) ( * ) با الپالس گرفتن از معادله با الپالس گرفتن از معادله

دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس ؛ دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس ؛

دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس ؛ دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس ؛

::تفاوت دياگرام هاي جعبه اي و جرياني تفاوت دياگرام هاي جعبه اي و جرياني

)()()0()( sbUsaXxsSX +=−

b

a

1/s)(sU )(sX

0x

0x

)(sX)(sU

b

1

a

S1

خط منحني خط منحني جعبه جعبه تابع تابع

دايره كوچك دايره كوچك خط ثابت خط ثابت سيگنال سيگنال

دياگرام جرياني دياگرام جرياني دياگرام جعبه ايدياگرام جعبه اي

www.ASEC.blogfa.com

7878

: : با يك ورودي و يك خروجي با يك ورودي و يك خروجي N N طرز نمايش يك سيستم رسته طرز نمايش يك سيستم رسته

. . خط ضخيم در دياگرام جعبه اي نشان دهنده سيگنالهاي برداري خط ضخيم در دياگرام جعبه اي نشان دهنده سيگنالهاي برداري . . خط ضخيم در دياگرام جرياني نشان دهنده توابع برداري خط ضخيم در دياگرام جرياني نشان دهنده توابع برداري

) ) دياگرام جعبه اي در ميدان زمان يصورت برداري دياگرام جعبه اي در ميدان زمان يصورت برداري ( (

1*11*11**11*1

1*1*1**1* *:)(1)0()(,

UdXCy

nnIbUAXID

XtXDdtdUbXAX

dtd

nn

nnnnnn

+=

++=⇒=+=

b

A

d

C)(tU )(ty

ID1

0X

+

+

+ +

www.ASEC.blogfa.com

7979

) ) دياگرام جرياني در ميدان زمان بصورت برداري دياگرام جرياني در ميدان زمان بصورت برداري ( (

nn با با سته سته دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس بصورت برداري براي ين سيستم خطي ر دياگرام جعبه اي در ميدان الپالس بصورت برداري براي ين سيستم خطي ر ( ( )) يك ورودي و يك خروجي يك ورودي و يك خروجي

)(tUX& X )(ty

0X

b c

I

ID 1−

b

d

A

cIS1

0X

)(sX )(sY)(sU

www.ASEC.blogfa.com

8080

: : مطلوب است ترسيم دياگرام جعبه اي براي سيستم مثال مطلوب است ترسيم دياگرام جعبه اي براي سيستم مثال : : مثال مثال

) ) دياگرام جعبه اي در فضاي الپالس سيستم جرم و فنر دياگرام جعبه اي در فضاي الپالس سيستم جرم و فنر ( ( : : روش ساده نمودن دياگرام هاي جعبه اي يا جرياني روش ساده نمودن دياگرام هاي جعبه اي يا جرياني

11--

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+−=−

=−

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+−=

=

)()(

)(1)()()(

)()0()(1

1

122

211

1

12

21

sXsY

sUm

sXmksxsSX

sXxsSX

xy

um

xmkx

xx

&

&

-k/m

1/m 1/s 1/s1/m 1/s)(sU )(sY

02x 01x

)(1 sX)(2 sX2SX )(1 sSX+

+ + +

+

+ +−−

a

b c

cba −− a

b

c

+

−

−cba −−

www.ASEC.blogfa.com

8181

22--

33--

44--

ka +

−b

bak − a

1/k

−

+

b

kbak −

Ga

b

+

+

Gba )( +G

G

a

b

+

+

Gba )( +

Ga aGb = a

b G

G

b

aGb =

www.ASEC.blogfa.com

8282

55--

66--

77--

kakb =a

a k

1/K

a

a

akb =

G

H

+

−

a be

GHG+1

a b

G

H

a be+

+ GHG−1

a b

www.ASEC.blogfa.com

8383

كه مثل هم هستند كه مثل هم هستند 77وو66فقط فقط . . ساده است ساده است 55 تا تا 11اثبات قواعد ساده نمودن دياگرامهاي جعبه اي رديفهاي اثبات قواعد ساده نمودن دياگرامهاي جعبه اي رديفهاي . . توضيح داده مي شوند توضيح داده مي شوند

: : داريم داريم 66در رديف در رديف

تابع تبديل مدار باز يك مدار فيدبك با فيدبك منفي تابع تبديل مدار باز يك مدار فيدبك با فيدبك منفي ==خروجيخروجي/ / ورودي ورودي : =: =يعني يعني

مسير مستقيم بين ورودي و خروجي مسير مستقيم بين ورودي و خروجي / / 11)+)+تابع تبديل فقط مدار بسته تابع تبديل فقط مدار بسته ((

تابع تبديل مدار باز يك مدار فيدبك با فيدبك منفي تابع تبديل مدار باز يك مدار فيدبك با فيدبك منفي ==خروجيخروجي/ / ورودي ورودي ==و همچنين و همچنين

مسير مستقيم بين ورودي و خروجي مسير مستقيم بين ورودي و خروجي / / 11--))تابع تبديل فقط مدار بسته تابع تبديل فقط مدار بسته ( (

: : فته است فته است تعيين تابع تبديل يك سيستم فيدبك هنگامي كه در معرض اغتشاش قرار گر تعيين تابع تبديل يك سيستم فيدبك هنگامي كه در معرض اغتشاش قرار گر

GHG

ab

aGGHbbGHaGbHaGbbHaeوGeb

+=⇒

=+⇒−=−=⇒−==

1

)1()(

G1(s) G2(s)

H(s)

+++

−

)(sR )(sC)(sD

www.ASEC.blogfa.com

8484

و يا و يا . . قرار گرفته است قرار گرفته است D(s)D(s) و اغتشاش و اغتشاش R(s) R(s) در اين حالت با توجه به شكل سيستم تحت تاثير ورودي در اين حالت با توجه به شكل سيستم تحت تاثير ورودي.) .) قرار گرفته است قرار گرفته است R(s),D(s) R(s),D(s) مي توان گفت سيستم تحت تاثير دو ورودي مي توان گفت سيستم تحت تاثير دو ورودي

وجي نهائي آن دو را با هم جمع وجي نهائي آن دو را با هم جمع حال مي توان تاثير خروجي از هر ورودي را بدست آورد و براي تعيين خر حال مي توان تاثير خروجي از هر ورودي را بدست آورد و براي تعيين خر . . بر خروجي فرض مي كنيم ورودي برابر صفر است بر خروجي فرض مي كنيم ورودي برابر صفر است D(s) D(s) براي بدست اوردن تاثير اغتشاش براي بدست اوردن تاثير اغتشاش . . نمود نمود

: : خروجي ناشي از اعمال همزمان ورودي و اغتشاش عبارتست از خروجي ناشي از اعمال همزمان ورودي و اغتشاش عبارتست از

وان ادعا نموداگر وان ادعا نموداگر ازانجاييكه ما مي خواهيم تاثيراغتشاش برخروجي هر چه كمتر باشد،مي ت ازانجاييكه ما مي خواهيم تاثيراغتشاش برخروجي هر چه كمتر باشد،مي ت

تقريبا صفر است و هدف تقريبا صفر است و هدف ) ) 22(( رابطه رابطه و همينطور اگر باشد، با توجه به و همينطور اگر باشد، با توجه به

..اين مزيت يك سيستم حلقه بسته است اين مزيت يك سيستم حلقه بسته است ) . ) . يعني اثر اغتشاش از بين رفته است يعني اثر اغتشاش از بين رفته است . ( . ( براورده شده است براورده شده است

)2()().().(1

)()(

)1()().().(1

)().()(

21

2)(

21

21)(

sHsGsGsG

sDC

sHsGsGsGsG

sRC

sD

sR

+=

+=

)2()]()()([)().().(1

)()( 121

2)()( sDsRsG

sHsGsGsGCCsC sDsR +

+=+=

1)().(1 >>sHsG

1)().().( 21 >>sHsGsG)()(

sDC sD

www.ASEC.blogfa.com

8585

مي توان نوشت ؛ مي توان نوشت ؛ ) ) 11((طه طه همچنين چون است ، با توجه به راب همچنين چون است ، با توجه به راب ندارد و فقط بستگي به تابع ندارد و فقط بستگي به تابع يعني در اينجا ست تابع تبديل سيستم حلقه بسته بستگي به يعني در اينجا ست تابع تبديل سيستم حلقه بسته بستگي به

. . اين مزيت ديگر سيستم هاي حلقه بسته مي باشد اين مزيت ديگر سيستم هاي حلقه بسته مي باشد . . دارد دارد H(s) H(s) تبديل فيدبك ، يعني تبديل فيدبك ، يعنيدل سيستم مقابل دل سيستم مقابل چگونگي ساده كردن سيستم هاي فيدبك دار ؛ مي خواهيم تابع تبديل معا چگونگي ساده كردن سيستم هاي فيدبك دار ؛ مي خواهيم تابع تبديل معا ––يك مثال يك مثال

. . را بدست آوريم را بدست آوريم

1)().().( 21 >>sHsGsG)(1

)()(

sHsRC sR ≅

G1)(sR )(sC

G2 G3

H1

H2

H3

+ +

+

+

−

−

)(sR +

−G1 G2 G3

H1H3

+

+

H2/G1− )(sC

www.ASEC.blogfa.com

8686

: : با ساده نمودن عبارت جعبه مي توان نوشت با ساده نمودن عبارت جعبه مي توان نوشت

)(sR )(sC

121

21

1 HGGGG

− G3

H3

H2/G1

+ +

−

−

H3

1

23

121

21

3121

21

11

1

GHG

HGGGG

GHGG

GG

−+

−)(sR )(sC+

−

232121

321

121

232

121

321

1

23

121

21

3121

21

11

1

1

11

1HGGHGG

GGG

HGGHGGHGG

GGG

GHG

HGGGG

GHGG

GG

+−=

−+

−=

−+

−

www.ASEC.blogfa.com

8787

يعني ؛ يعني ؛

و باالخره ؛ و باالخره ؛

232121

321

1 HGGHGGGGG+−

H3

+

−

)(sR )(sC

232121

3321

232121

321

11

1

HGGHGGHGGG

HGGHGGGGG

+−+

+−)(sR )(sC

3321232121

321

1 HGGGHGGHGGGGG

++−

)(sR )(sC

www.ASEC.blogfa.com

8888

: : روش بدست آوردن معادالت برداري حالت با استفاده از تابع تبديل روش بدست آوردن معادالت برداري حالت با استفاده از تابع تبديل يعني يعني . . ت حالت را بدست آوريم ت حالت را بدست آوريم در اينجا فرض بر اين است كه مي خواهيم با داشتن تابع تبديل ، معادال در اينجا فرض بر اين است كه مي خواهيم با داشتن تابع تبديل ، معادال

با داشتن با داشتن G(s) G(s) يك خروجي ماتريسهاي يك خروجي ماتريسهاي –– در يك سيستم يك ورودي در يك سيستم يك ورودي A,b,c A,b,c و كميت اسكالر و كميت اسكالر d d را را : : تعيين كنيم تعيين كنيم

رد نيستند و تنها مورداينست كه مقادير رد نيستند و تنها مورداينست كه مقادير براين اساس اين سه ماتريس منحصر بف براين اساس اين سه ماتريس منحصر بف

.. بايد همان قطبهاي تابع تبديل باشد بايد همان قطبهاي تابع تبديل باشد A A ويژه ماتريس ويژه ماتريسهمچنين اگر چند جمله اي صورت همچنين اگر چند جمله اي صورت G(s) G(s)داراي توان برابر با چند جمله اي مخرج باشد داراي توان برابر با چند جمله اي مخرج باشد dd≠≠0 0 و اگرتوان و اگرتوان

يعني ؛ يعني ؛ . . است است d=0 d=0 صورت كمتر از مخرج باشد صورت كمتر از مخرج باشد

dd≠≠0 : G(s)= n0 : G(s)= n چند جمله اي از رسته چند جمله اي از رسته // nn چند جمله اي از رسته چند جمله اي از رسته

d=0d=0 : G(s)= n: G(s)= n چند جمله اي از رسته كمتر چند جمله اي از رسته كمتر / / nn چند جمله اي از رسته چند جمله اي از رسته اگر حالت دوم برقرار باشد ، مي توان دو چند اگر حالت دوم برقرار باشد ، مي توان دو چند . . حل شده است حل شده است d d اگر حالت دوم برقرار باشد كه شكل براي اگر حالت دوم برقرار باشد كه شكل براي

جمله اي صورت و مخرج را بر هم تقسيم نمود ؛ جمله اي صورت و مخرج را بر هم تقسيم نمود ؛ G(s)= nG(s)= n--11 چند جمله اي از رسته چند جمله اي از رسته / / n n چند جمله اي از رسته چند جمله اي از رسته +d+d

-- و چند و چند nn--1 1 اي صورت از درجه اي صورت از درجه بنابراين براي حل مسئله مي توان حالتي را در نظر گرفت كه چند جمله بنابراين براي حل مسئله مي توان حالتي را در نظر گرفت كه چند جمله: : باشد باشد n n جمله اي مخرج از درجه جمله اي مخرج از درجه

dbASIcsUsYsG +−== −1)(

)()()(

nnnnnn cوbوA ***

012

21

1

122

11

)()()(

asasasasbsbsbsb

sAsBsG n

nn

nn

nn

nn

+++++++++

== −−

−−

−−

−

L

L

www.ASEC.blogfa.com

8989

: : يعني اينكه ما مي خواهيم اين مسئله را حل كنيم يعني اينكه ما مي خواهيم اين مسئله را حل كنيم

يعني اينكه به اين سه صورت مي توان يعني اينكه به اين سه صورت مي توان :( :( را انتخاب نمود را انتخاب نمود A , b , c A , b , c به سه صورت مي توان ماتريسهاي به سه صورت مي توان ماتريسهاي .).) متغيرهاي حالت و مشتق هاي آنها را در نظر گرفت متغيرهاي حالت و مشتق هاي آنها را در نظر گرفت

: : انتخاب اول انتخاب اول

:: انتخاب دوم انتخاب دوم

cXYوbUAXXوasasasas

bsbsbsbsAsBsG n

nn

nn

nn

nn =+=

+++++++++

== −−

−−

−−

−&

L

L

012

21

1

122

11

)()()(

[ ]00001,,

00001000

010000100001

0

1

3

2

1

0

1

3

2

1

LM

L

L

MOMMMM

L

L

L

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

= −

−

−

−

−

−

c

bb

bbb

b

aa

aaa

A n

n

n

n

n

n

[ ]13210

13210

,

10

000

,

10000

010000010000010

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

= n

n

bbbbbcb

aaaaa

A LM

L

L

MOMMMM

L

L

L

www.ASEC.blogfa.com

9090

ميتوان ميتوان ) ) كه همان قطبهاي سيستم هستند كه همان قطبهاي سيستم هستند ( ( ريشه حقيقي و مجزا باشد ريشه حقيقي و مجزا باشد n n همچنين اگر تابع تبديل داراي همچنين اگر تابع تبديل داراي.).)دليل اين انتخاب در ادامه آمده است دليل اين انتخاب در ادامه آمده است .(.( بصورت زير ارايه نمود بصورت زير ارايه نمود A , b , c A , b , c ماتريسهاي ماتريسهاي

: : چون مي توان نوشت چون مي توان نوشت G(s)= (nG(s)= (n--1)1) توان توان (s.(s--P3)P3).……(s/ (s--P1)(sP1)(s--P2)P2) / چند جمله اي بر حسب چند جمله اي بر حسب s s تا تا

P1P1≠≠P2P2≠≠…….. .. ≠≠PnPn : : ريشه هاي مجزا هستند ريشه هاي مجزا هستند و همچنين ؛ و همچنين ؛

: : رد انتخاب سوم رد انتخاب سوم . . توضيح در م توضيح در م برعكس مسئله يعني اينكه هر مقدار برعكس مسئله يعني اينكه هر مقدار . . هستند هستند AA طبق تعريف قطبهاي سيستم ، مقادير ويژه ماتريس طبق تعريف قطبهاي سيستم ، مقادير ويژه ماتريس

تاثير ورودي روي همه تاثير ورودي روي همه ( ( هنگامي درست است كه سيستم كنترل پذير هنگامي درست است كه سيستم كنترل پذير . . ويژه همان قطب سيستم است ويژه همان قطب سيستم است . . باشد باشد ) ) خروجي از همه متغير هاي حالت تاثير گرفته است خروجي از همه متغير هاي حالت تاثير گرفته است ( ( و مشاهده پذير و مشاهده پذير ) ) متغيرهاي حالت متغيرهاي حالت

b b با توجه به ماتريس با توجه به ماتريس . . ست ست همانطوريكه مشاهده مي شود ، در انتخاب سوم اين انتخاب افتاده ا همانطوريكه مشاهده مي شود ، در انتخاب سوم اين انتخاب افتاده ا

[ ]111,,

00

0000

2

1

2

1

LM

L

MOMM

L

L

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= c

k

kk

b

P

PP

A

nn

( )

i

ii

n

n

PSsAsBPSK

PSK

PSK

PSK

sAsBsG

→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−++

−+

−== )(

)(lim)()()(

2

2

1

1 L

www.ASEC.blogfa.com

9191

و ماتريس و ماتريس c c در فصل سوم كنترل آقاي دكتر غفاري و فصل سوم كنترل در فصل سوم كنترل آقاي دكتر غفاري و فصل سوم كنترل 33وو22 و و11مثالهاي انتخابهاي مثالهاي انتخابهاي . . . . وجود دارد وجود دارد ogataogata

: : ( Response of Dynamic systems) ( Response of Dynamic systems) پاسخ سيستم هاي ديناميكي پاسخ سيستم هاي ديناميكيشامل شامل ( ( نمايش رياضي سيستم هاي كنترلي نمايش رياضي سيستم هاي كنترلي . . با اينجا توانستيم سيستم هاي كنترلي را مدلسازي كنيم با اينجا توانستيم سيستم هاي كنترلي را مدلسازي كنيم

حال بايد ببينيم عكس العمل يا رفتار سيستم حال بايد ببينيم عكس العمل يا رفتار سيستم ) . ) . معادالت ديفرانسيل ، معادالت حالت ، توابع تبديل معادالت ديفرانسيل ، معادالت حالت ، توابع تبديل اص چيست ؟ اص چيست ؟ نسبت به ورودي هاي متفاوت چيست ؟ در واقع پاسخ سيستم به يك ورودي خ نسبت به ورودي هاي متفاوت چيست ؟ در واقع پاسخ سيستم به يك ورودي خ

سعي مي كنيم از ورودي هاي از سعي مي كنيم از ورودي هاي از معموال چون ايده اي از ورودي واقعي به سيستم كنترلي وجود ندارد ، معموال چون ايده اي از ورودي واقعي به سيستم كنترلي وجود ندارد ، ) . ) . مثل تابع پله ، تابع شيب ، تابع ضربه و تابع سينوسي مثل تابع پله ، تابع شيب ، تابع ضربه و تابع سينوسي . ( . ( قبل تعيين شده استفاده كنيم قبل تعيين شده استفاده كنيم

اما چون اما چون . . شبيه آن قراردهيم شبيه آن قراردهيم روش حل اينست كه ايده اي ازورودي داشته باشيم وسيستم را تحت ورودي روش حل اينست كه ايده اي ازورودي داشته باشيم وسيستم را تحت ورودي ر ورودي قرار گيرد ، رفتار تقريبا ر ورودي قرار گيرد ، رفتار تقريبا رفتار سيستم ارتباط چندان با ورودي ندارد ، سيستم اگر تحت تاثير ه رفتار سيستم ارتباط چندان با ورودي ندارد ، سيستم اگر تحت تاثير ه . . د نشان مي دهد د نشان مي دهد يكساني ، هنگامي كه تحت تاثير ورودي واقعي قرار گرفته است ، از خو يكساني ، هنگامي كه تحت تاثير ورودي واقعي قرار گرفته است ، از خو

در عين حال سعي مي شود ؛ در عين حال سعي مي شود ؛ . . بنابراين انواع ورودي آنقدر مهم نيست بنابراين انواع ورودي آنقدر مهم نيست

. . تابع شيب استفاده ميشود تابع شيب استفاده ميشود اگر ورودي تابعي باشد كه به تدريج تغييرميكند ، براي تست سيستم از اگر ورودي تابعي باشد كه به تدريج تغييرميكند ، براي تست سيستم از --11 . . ده مي شود ده مي شود اگر درورودي آشفتگي وجود دارد ، براي تست سيستم از تابع پله استفا اگر درورودي آشفتگي وجود دارد ، براي تست سيستم از تابع پله استفا --22 . . ضربه استفاده مي شود ضربه استفاده مي شود اگر درورودي تغييرات ناگهاني وجود دارد ، براي تست سيستم از تابع اگر درورودي تغييرات ناگهاني وجود دارد ، براي تست سيستم از تابع --33

www.ASEC.blogfa.com

9292

: : بررسي نمود بررسي نمود پاسخ سيستم هاي ديناميكي را از نظر زماني در دو قسمت محزا مي توان پاسخ سيستم هاي ديناميكي را از نظر زماني در دو قسمت محزا مي توان بررسي پاسخ در زماني بالفاصله پس از اعمال يك بررسي پاسخ در زماني بالفاصله پس از اعمال يك : : Transient Response Transient Response پاسخ حالت گذرا پاسخ حالت گذرا

. . ورودي خاص به سيستم ورودي خاص به سيستم پاسخ حالت ماندگار پاسخ حالت ماندگار Steady state Response Steady state Response بررسي پاسخ در زماني نسبتا دور پس از اعمال بررسي پاسخ در زماني نسبتا دور پس از اعمال

.. يك ورودي خاص به سيستم يك ورودي خاص به سيستم مثل ؛ پاسخ مثل ؛ پاسخ ( ( سخ هاي گذرا سخ هاي گذرا ضمنا براي تحليل چگونگي مشخصات حوزه زمان سيستم هاي كنترلي از پا ضمنا براي تحليل چگونگي مشخصات حوزه زمان سيستم هاي كنترلي از پا

. . استفاده مي كنند استفاده مي كنند ) ) پله ، پاسخ ضربه ، پاسخ شيب پله ، پاسخ ضربه ، پاسخ شيب ي ي سيستم كنترلي متعادل است كه خروجي آن هنگامي كه ورودي و اغتشاشي رو سيستم كنترلي متعادل است كه خروجي آن هنگامي كه ورودي و اغتشاشي رو ::سيستم كنترلي متعادل سيستم كنترلي متعادل

. . ان وجود ندارد يك مقدار ثابت باشد ان وجود ندارد يك مقدار ثابت باشد حالت حالت سيستم كنترلي كه در صورت اعمال ورودي جديد يا يك اغتشاش بتواند به سيستم كنترلي كه در صورت اعمال ورودي جديد يا يك اغتشاش بتواند به : : سيستم كنترلي پايدار سيستم كنترلي پايدار

. . تعادل خود بارگشت نمايد تعادل خود بارگشت نمايد ننسيستمي كه در آن تحت يك ورودي يااغتشاش واقعي نوسانات خروجي با زما سيستمي كه در آن تحت يك ورودي يااغتشاش واقعي نوسانات خروجي با زما : : سيستم كنترلي ناپايدار سيستم كنترلي ناپايدار

.. افزايش يابد و با طول زمان به بي نهايت برود افزايش يابد و با طول زمان به بي نهايت برود ادامه ادامه ) ) بين دو مقدار خاص بين دو مقدار خاص ( ( سيستمي كه در آن دامنه نوسانات خروجي سيستمي كه در آن دامنه نوسانات خروجي : : سيستم كنترلي پايدار بحراني سيستم كنترلي پايدار بحراني

. . يابد و خروجي به مقدار خاصي ميل نكند يابد و خروجي به مقدار خاصي ميل نكند خواهيم خواهيم ) ) كه يكي از ابزارهاي تصحيح رفتار سيستم است كه يكي از ابزارهاي تصحيح رفتار سيستم است ( ( بعدا هنگام توضيح روش مكان هندسي ريشه ها بعدا هنگام توضيح روش مكان هندسي ريشه ها

نظر گرفتن پارامترهاي خاص براي نظر گرفتن پارامترهاي خاص براي ديد ، چطور مي توان با اضافه نمودن يك صفرو يا يك قطب و يا با در ديد ، چطور مي توان با اضافه نمودن يك صفرو يا يك قطب و يا با در و يا يك سيستم ناپايدار را به يك و يا يك سيستم ناپايدار را به يك هر كدام از صفر و يا قطب مورد اشاره يك سيستم پايدار بحراني را هر كدام از صفر و يا قطب مورد اشاره يك سيستم پايدار بحراني را

. . سيستم پايدار تبديل نمود سيستم پايدار تبديل نمود

www.ASEC.blogfa.com

9393

: : رفتار يك سيستم مرتبه اول رفتار يك سيستم مرتبه اول

))ثابت زماني ثابت زماني . (. ( عدد ثابت است عدد ثابت است TT بنابراين ؛ بنابراين ؛ . . تابع تبديل تابع پله واحد برابر با مي باشد تابع تبديل تابع پله واحد برابر با مي باشد : : پاسخ جله يك سيستم مرتبه اول پاسخ جله يك سيستم مرتبه اول --

:: مي توان نوشت مي توان نوشت C(s) C(s) بنابراين با الپالس معكوس گيري از بنابراين با الپالس معكوس گيري از

::حال مي توان اين پاسخ را ترسيم نمود حال مي توان اين پاسخ را ترسيم نمود همانطوريكه از همانطوريكه از C(4T) C(4T) مشخص است ، مشخص است ،

. . خطا دارد خطا دارد % % 22 منحني پاسخ در اين نقطه و پس از آن كمتر از منحني پاسخ در اين نقطه و پس از آن كمتر از

)(sR )(sC)(sE+

− TS1

11+TS

)(sR )(sC

11

)()(

+=

TSsRsC

SsR 1)( =

( )( )( ) ( )

( )T

SSTST

STSS

TBA

TSSABATS

TSSBSTSA

TSB

SA

TSSTSSsC

111

11

11

11)(

11

111

111)(

+−=

+−=

+⇒

⎩⎨⎧

−==

⇒+

++=

+++

=+

+=+

=+

=

)exp(1)(T

ttC −−=

www.ASEC.blogfa.com

9494

بهره بهره يا خطاي ماندگار سيستم كنترلي را نشان داد ، فرض مي كنيم يك ضريب يا خطاي ماندگار سيستم كنترلي را نشان داد ، فرض مي كنيم يك ضريب offset offset براي آنكه بتوان براي آنكه بتوانتبديل سيستم بصورت تبديل سيستم بصورت ثابت نيز در مدار بلوك دياگرام يصورت شكل وجود دارد و همچنين تابع ثابت نيز در مدار بلوك دياگرام يصورت شكل وجود دارد و همچنين تابع

.) .) برابر صفر است برابر صفر است offset offset در سيستم صفحه قبل در سيستم صفحه قبل .( .( مي باشد مي باشد

offset offset بزرگتر باشد ، مقدار بزرگتر باشد ، مقدارK K هر قدر ضريب بهره هر قدر ضريب بهره. . كوچكتر خواهد شد كوچكتر خواهد شد

11+TS

)(sCK 11+TS

)(sR

1++ KTSK)(sR )(sC 1

11

1++

=

++

+KTS

K

TSK

TSK

offsetK

Kcc

TKt

KKtc

TKSK

K

SK

K

KTSK

TK

SK

KSC

TK

KBK

KA

KTSSAAKBATS

KTSSBSKTSA

KTSSK

KTSB

SA

KTSSK

SKTSKSC

KTSK

SRSC

=+

=∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−+

=⇒+++−+=

+++−+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

+=

⇒++

+++=

+++++

=++

⇒

+++=

++=

++=⇒

++=

1)(1)0(

)1exp(11

)(111

111)(

1

1)1(

)()1(

)!()1(

1)1(1

1)(

1)()(

www.ASEC.blogfa.com

9595

يا يا tt براي تشخيص اينكه يك سيستم مرتبه اول است يا نه،مي توان منحني براي تشخيص اينكه يك سيستم مرتبه اول است يا نه،مي توان منحني برحسببرحسب منحني بر حسب منحني بر حسب t t را رسم نمود ،اگر منحني يك خط راست باشد ، آنگاه سيستم مربوطه را رسم نمود ،اگر منحني يك خط راست باشد ، آنگاه سيستم مربوطه

. . اول مي باشد اول مي باشد ) ) مرتبهمرتبه((از رسته از رسته

: : همچنين سيستم بدون ورودي يك مخزن مايع زير نيز از رسته يك مي باشد همچنين سيستم بدون ورودي يك مخزن مايع زير نيز از رسته يك مي باشد

:: (Ramp Function) (Ramp Function) -- پاسخ تابع شيب يك سيستم مرتبه اول پاسخ تابع شيب يك سيستم مرتبه اول

)()0()()(

∞−

∞−

CCCtC

)()(log ∞−CtC

)exp(.)(1,)0( 00 atxtxRA

aaxxxxRxxA =⇒−==⇒=

−= &&

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

⇒+

++++=

+++=

+=⇒=⇒=

22

2

222

1

)1()1()1(

1111)(1)()(

TCTB

A

TSSCSTSBSTSA

TSC

SB

SA

TSSsC

SsFttf

a>0a=0a<0

www.ASEC.blogfa.com

9696

: : سيگنال خطا عبارتست از سيگنال خطا عبارتست از

: : پاسخ تابع ضربه سيستم مرتبه اول پاسخ تابع ضربه سيستم مرتبه اول --

در سيستم هاي خطي مستقل از زمان ؛ در سيستم هاي خطي مستقل از زمان ؛ : : نتيجه نتيجه ، خروجي ، خروجي ) ) مشتق شيب واحد مشتق شيب واحد ((به ازاي ورودي پله واحد به ازاي ورودي پله واحد به ازاي ورودي شيب واحد ، خروجي به ازاي ورودي شيب واحد ، خروجي

، خروجي ، خروجي ) ) مشتق پله واحد مشتق پله واحد ((به ازاي ورودي ضربه واحد به ازاي ورودي ضربه واحد ..رد رد در سيستم هاي غير خطي و يا سيستم متغير با زمان اين ويژگي وجود ندا در سيستم هاي غير خطي و يا سيستم متغير با زمان اين ويژگي وجود ندا

)exp()(1

11

1)( 2

2

2 TtTTttc

TST

ST

STST

ST

SsC −

+−=⇒+

+−=+

+−=

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=−=

=−=

==∞⇒−=⇒−=

−

−

−

−

TeTTeTeTTe

TeTTe

eTeeTtetctrte Tt

982.0)1()3(865.0)1()2(

632.0)1()(

0)0()()1()()()()(

4

2

1

Tt

eT

tcTS

TTS

sC−

=⇒+

=+

=1)(

1

1)1(

11)(

Tt

eT

tc−

=1)(

)exp()(T

tTTttc −+−=T

t

etc−

−= 1)(

T

C(t)

r(t)=t

C(t)

www.ASEC.blogfa.com

9797

: : رفتار يك سيستم مرتبه دوم رفتار يك سيستم مرتبه دوم

: : يعني تابع تبديل حلقه بسته يك سيستم مرتبه دوم عبارتست از يعني تابع تبديل حلقه بسته يك سيستم مرتبه دوم عبارتست از

همينطور مي توان مخرج را بصورت زير بازنويسي نمود ؛ همينطور مي توان مخرج را بصورت زير بازنويسي نمود ؛

. . يكي مختلط مي باشند يكي مختلط مي باشند اگر قطبهاي مدار بسته سيستم دينام اگر قطبهاي مدار بسته سيستم دينام . . يكي حقيقي مي باشند يكي حقيقي مي باشند و اگر قطبهاي مدار بسته سيستم دينام و اگر قطبهاي مدار بسته سيستم دينام

. ). )يا معموال در نظر مي گيرند يا معموال در نظر مي گيرند ( ( براي تعيين پاسخ گذرا مي توان در نظر گرفت براي تعيين پاسخ گذرا مي توان در نظر گرفت

. . فركانس طبيعي ناميرا فركانس طبيعي ناميرا ωωnn ξξنسبت ميرايي و نسبت ميرايي و σσتضعيف يا ضريب ميرايي و تضعيف يا ضريب ميرايي و : : ميرايي بحراني است و داريم ميرايي بحراني است و داريم

BSjSK+2

)(sR )(sC+

−)(sR )(sC

KBSjSK

++2

KBSjSK

sRsC

++= 2)(

)(

]22

][22

[)()(

22

jK

jB

jBS

jK

jB

jBS

jK

sRsC

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

042 <− KjB042 ≥− KjB

nnn JB

JK ξωσσξωω ==== 222

cBjK =222

2

2)()(

nn

n

C SsRsC

BB

ωξωω

ξ++

=⇒=

www.ASEC.blogfa.com

9898

سيستم زير ميرا سيستم زير ميرا . . مقادير حقيقي منفي مقادير حقيقي منفي اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته مزدوج مختلط هستند با اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته مزدوج مختلط هستند با . . و پاسخ گذرا نوساني است و پاسخ گذرا نوساني است

. . و سيستم ميراي بحراني است و سيستم ميراي بحراني است . . اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته حقيقي و برابر هستند اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته حقيقي و برابر هستند ..ي هستند و سيستم فوق ميرا ست ي هستند و سيستم فوق ميرا ست اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته حقيقي و منفي و نامساو اگر آنگاه قطبهاي حلقه بسته حقيقي و منفي و نامساو

. . هستند هستند و در نهايت اگر قطبها برابر و در نهايت اگر قطبها برابر : : پاسخ يك سيستم مرتبه دو به ورودي پله پاسخ يك سيستم مرتبه دو به ورودي پله --

: : سه حالت متفاوت براي اينكار در نظر مي گيريم سه حالت متفاوت براي اينكار در نظر مي گيريم سيستم زير ميرا و پاسخ نوساني ، سيستم زير ميرا و پاسخ نوساني ، --11 سيستم داراي ميرائي بحراني ، سيستم داراي ميرائي بحراني ، --22 سيستم فوق ميرا ، سيستم فوق ميرا ، --33 : : سيستم زير ميرا و پاسخ نوساني سيستم زير ميرا و پاسخ نوساني --11

10 << ξ

1=ξ1>ξ

0=ξ( )nوB ω±= 0

10 << ξ

1>ξ1=ξ

( ) ( )

)1

tansin(1

1)sin1

(cos1)(

1

1,2

21)2(

)(

))(()()(

21

22

2222

22222

2

2

ξξ

ωξ

ωξ

ξω

ωξωξω

ωξωξω

ξωωωξω

ξωωξω

ω

ωξωωξωω

ξωξω −

+−

−=−

+−=⇒

++−

++

+−=

−=++

+−=

++=

−+++=

−−

− tettetc

SSS

S

SSS

SSSSsC

jSjSsRsC

d

t

ddt

dn

n

dn

n

ndnn

n

nn

n

dndn

n

nn

www.ASEC.blogfa.com

9999

: : سيگنال خطا عبارتست از سيگنال خطا عبارتست از

يعني دراين حالت سيستم با فركانس يعني دراين حالت سيستم با فركانس . . فركانس طبيعي سيستم نا ميرا است فركانس طبيعي سيستم نا ميرا است ωωn n نوسان نوسان ωωn n يعني يعني

. . مي كند مي كند .) .) دو قطب نسبت برابرند دو قطب نسبت برابرند (( سيستم داراي ميرائي بحراني ؛ سيستم داراي ميرائي بحراني ؛ --22

. . در اينحالت داراي دو قطب حقيقي منفي و نامساوي است در اينحالت داراي دو قطب حقيقي منفي و نامساوي است : : سيستم فوق ميرا سيستم فوق ميرا --33

ttcif

etttetctrte

n

ddtn

ωξ

ωξ

ξωξω

cos1)(0

0)(0)sin1

(cos)()()(2

−=⇒=

=∞≥−

+=−= −

0=ξ

)()(

sRsC

( )( ) 011)()(1)(1 2

2

≥+−=⇒+

=⇒=⇒= − ttetcSS

sCSsR nt

n

n n ωωω

ξ ξω

( ) ( ) nn

tstsn

tt

nnnn

n

SوS

tوS

eS

etc

eetc

SsRو

SSsRsC

nn

ωξξωξξ

ξ

ω

ξξξξξξ

ξωξωξωξω

ωξ

ωξξωξξ

11

0)(12

1)(

)1(121

)1(1211)(

1)()1)(1()(

)(1

22

21

112

)1(

22

)1(

22

22

21

22

−−=−+=

≥−−

+=

−+−−

−+−+=⇒

=−−+−++

=⇒>

−−

−−−−+−

)()(

sRsC

www.ASEC.blogfa.com

100100

.) .) كه با توجه به خروجي يا پاسخ يك سيستم كنترلي به ورودي پله مي دهد كه با توجه به خروجي يا پاسخ يك سيستم كنترلي به ورودي پله مي دهد ( ( مشخصات پاسخ گذرا مشخصات پاسخ گذرا . . د برسد د برسد مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به نصف مقدار نهايي خو مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به نصف مقدار نهايي خو : : ttd d 11-- زمان تاخير زمان تاخير . . سد سد مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به مقدار نهايي خود بر مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به مقدار نهايي خود بر : : ttr r 22-- زمان صعود زمان صعود

زمان اوج زمان اوج --ttp p 33 . . مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به مقدار اوج خود برسد مدت زمانيكه طول مي كشد تا پاسخ براي باراول به مقدار اوج خود برسد : : . . مقدار اوج فراجهش نسبت به يك مقدار اوج فراجهش نسبت به يك MMp p 44-- ماكزيمم درصد فراجهش ماكزيمم درصد فراجهش

. . رسد رسد مدت زماني كه طول مي نشد تا پاسخ به دامنه معين مقدار نهايي خودش ب مدت زماني كه طول مي نشد تا پاسخ به دامنه معين مقدار نهايي خودش ب : : ts ts 55-- زمان نشست زمان نشست .).) فاصله دارد فاصله دارد 11با مقدار با مقدار % % 55تا تا % % 22اين دامنه از اين دامنه از ( (

.. ماكزيمم فراجهش و زمان اوج با هم در تزاحم هستند ماكزيمم فراجهش و زمان اوج با هم در تزاحم هستند --11: : توضيح توضيح .. سريع بودن پاسخ گذرا و داشتن ميرايي كافي امري مطلوب است سريع بودن پاسخ گذرا و داشتن ميرايي كافي امري مطلوب است --22 فراجهش بسيار زيادو سيستمي فراجهش بسيار زيادو سيستمي . . پاسخ گذراي مطلوب است پاسخ گذراي مطلوب است --33

.. كند است كند است

100*)(

)()(∞

∞−=

CCtC

M pp

8.4. << ξ4.<ξ8.<ξ

ts

td

tptr

2%or5%

www.ASEC.blogfa.com

101101

براي يك سيستم براي يك سيستم : (: ( كنيم كنيم حال مي خواهيم مشخصات پاسخ حالت گذرا يك سيستم مرتبه دوم را محاسبه حال مي خواهيم مشخصات پاسخ حالت گذرا يك سيستم مرتبه دوم را محاسبه . . underdamping underdamping زير ميرا زير ميرا

.).)يا مدت زماني كه پاسخ براي اولين بار به مقدار نهايي خود مي رسد يا مدت زماني كه پاسخ براي اولين بار به مقدار نهايي خود مي رسد ( ( tr tr 11-- زمان صعود زمان صعود

.) .) مدت زماني كه پاسخ به اولين اوج خودش برسد مدت زماني كه پاسخ به اولين اوج خودش برسد ( ( tp tp 22-- زمان اوج زمان اوج

d

d

d

dddd

tr

ddtr

tr

trtrtre

trtretrC

n

n

ωβπ

σω

ω

σω

ξξ

ωωξ

ξω

ωξ

ξω

ξω

ξω

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒

−=−

−=⇒=−

+⇒≠

−+−==

−

−

−

1

2

2

2

tan1

1tan0sin

1cos0

)sin1

(cos11)(

,....3,2,,00sin01

)(sin

)cos1

sin()sin1

(cos

2

22

πππωωξ

ωω

ωξ

ξωωωω

ξ

ξωξω

ξω

ξωξω

=⇒=⇒=−

=

−−+

−+=

−=

−−

tptpetpdtdC

ttettedtdC

ddtn

dtpt

dd

ddt

ddt

n

n

nn

www.ASEC.blogfa.com

102102

چون زمان اوج در اولين تناوب اتفاق مي افتد ، مي توان نوشت ؛ چون زمان اوج در اولين تناوب اتفاق مي افتد ، مي توان نوشت ؛ : : overshoot overshoot 33-- ماكزيمم فراجهش يا ماكزيمم فراجهش يا

: : ts ts 44-- زمان نشست زمان نشست

: : عبارتست از عبارتست از ξξ منحنيمنحني Mp Mpبر حسب بر حسب

dd tptp

ωππω =⇒=

100*

)sin1

(cos1)(

2

2

1

1

2

πξ

ξ

πξ

ξπ

ωσ

ωπ

ξω

πξ

ξπωπ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

==−

+−=−=⇒==

eMp

eeetpcMptpt ddn

d

nn

nd

t

TtsforTtsfor

Tttetcn

ξωσξωσ

ξωξξ

ωξ

ξω

333%5444%2

10)1

tansin(1

1)(2

2

======

=≥−

+−

−=−

mp

www.ASEC.blogfa.com

103103

: : پاسخ يك سيستم مرتبه دو به ورودي ضربه پاسخ يك سيستم مرتبه دو به ورودي ضربه است است 11چون تبديل الپالس تابع ضربه برابر چون تبديل الپالس تابع ضربه برابر R(s)=1 R(s)=1 مي توان نوشت ؛ مي توان نوشت ؛

سخ را نيز دتعيين كنيم سخ را نيز دتعيين كنيم البته چون پاسخ ضربه مشتق زماني پاسخ پله است ، مي توانستيم اين پا البته چون پاسخ ضربه مشتق زماني پاسخ پله است ، مي توانستيم اين پا براي حالت داريم ؛ براي حالت داريم ؛

. . و براي حالت نوساني كجود دارد و براي حالت نوساني كجود دارد

0)(12

)(01

0)(01

1sin.1

)(010

2)(

)1()1(

2

2

2

2

22

2

22

≥−−

=⇒≥>

≥=⇒≥=

−−

=⇒≥<≤

++=

−+−−−−

−

−

ttn

tn

ntn

nn

n

nn

n

n

eetctfor

tetctfor

tetctfor

SsC

ωξξωξξ

ξω

ξω

ξωξ

ωξ

ξωξ

ωξ

ωξωω

11 >= ξξ )(0و ≥tc1<ξ

www.ASEC.blogfa.com

104104

مان زير رخ مي دهد ؛ مان زير رخ مي دهد ؛ ماكزيمم فرا جهش پاسخ ضربه يك سيستم رسته دو در حالت زير ميرا در ز ماكزيمم فرا جهش پاسخ ضربه يك سيستم رسته دو در حالت زير ميرا در ز

: : و مقدار ماكزيمم فرا جهش در زمان باال عبارتست از و مقدار ماكزيمم فرا جهش در زمان باال عبارتست از

. . بدست آوردن پاسخ پله يك سيستم بيان شده توسط تابع تبديل زير بدست آوردن پاسخ پله يك سيستم بيان شده توسط تابع تبديل زير : : مثال مثال

101

1tan

2

21

<<−

−

=

−

ξξωξξ

n

t

10)(

21

2

1tan

1max <<=

−

−− −

ξωξξ

ξ

ξ

etc n

[ ]

),,,,,(],,[),,,,(],,[),,(],,[),,,(

),,(2541

]2500[254

25)()(

2

tiuDCBAsteptxyoriuDCBAsteptxyortdennumsteptxyorDCBAstepor

tdennumstepdennum

SSsRsC

===

⇒⎩⎨⎧

==

⇒++

=

www.ASEC.blogfa.com

105105

: : تعيين پاسخ يك سيستم بيان شده توسط معادالت حالت تعيين پاسخ يك سيستم بيان شده توسط معادالت حالت

: : ما بدنبال تابع تبديل سيستم هستيم ما بدنبال تابع تبديل سيستم هستيم

تابع تبديل سيستم تابع تبديل سيستم = = خروجي خروجي / / ورودي ورودي

با تبديل الپالس گيري از معادله حالت ؛ با تبديل الپالس گيري از معادله حالت ؛

))خروجي خروجي 22 ورودي ، ورودي ، 22 متغير حالت ، متغير حالت ، 22: (: (مثال براي سيستم مقابل مثال براي سيستم مقابل

DUCXYBUAXX +=+=&

)()()(

sUsYsG =⇒

( ) ( )( ) DBASICsG

sUDBASICsYsBUASIsXx

sDUsCXsYsBUsAXxsSX

+−=⇒

+−=⇒−=⇒=

+=⇒+=−

−

−−

1

11

)(

)(].[)()()(0)0(

)()()()()()0()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

−−

0111

15.61

5.61

0111

5.611

1001

)()(

0000

1001

0111

05.611

2

11

2*22*22*22*2

SS

SSSS

BASICsG

DوCوBوA

www.ASEC.blogfa.com

106106

وقتي سيگنال وقتي سيگنال : : توجه توجه U1 U1بعنوان ورودي در نظر گرفته مي شود ، سيگنال بعنوان ورودي در نظر گرفته مي شود ، سيگنال U2 U2 برابر صفر در نظر گرفته برابر صفر در نظر گرفته . . و برعكس و برعكس .. مي شود مي شود

: : تحليل پاسخ ضربه نيز توسط دستورهاي زير انجام مي شود تحليل پاسخ ضربه نيز توسط دستورهاي زير انجام مي شود

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

+++

=++

−=

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

++++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

5.65.6

)()(

5.6)()(

5.65.7

)()(

5.61

)()(

5.65.6

5.65.7

5.65.61

)()(

22

22

2

1

21

22

1

1

22

22

2

1

SSsUsY

SSS

sUsY

SSS

sUsY

SSS

sUsY

SSSSS

SSS

SSS

sYsY

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

−=

2,2:2,1:1,2:1,1:

),,,(

];00;00[];10;01[];01;11[

];05.6;11[

OutputInputGraphOutputInputGraphOutputInputGraphOutputInputGraph

DCBAstepو

DCBA

),,,,,(],,[),,,,(],,[

),,,(],,[).,(],,[

),(],,[),,,(

),(

tiuDCBAimpulsetxyiuDCBAimpulsetxy

DCBAimpulsetxytdennumimpulsetxy

dennumimpulsetxyDCBAimpulse

dennumimpulse

=====

www.ASEC.blogfa.com

107107

: : n n -- تحليل رفتار يك سيستم رسته تحليل رفتار يك سيستم رسته

مي توان مي توان . . مي باشد مي باشد (*) (*) بيان دقيق و حل معادله ديفرانسيل باال بيان دقيق و حل معادله ديفرانسيل باال n n هدف از تحليل يك سيستم مرتبه هدف از تحليل يك سيستم مرتبه ( ( Homogenous solution Homogenous solution حل اين معادله ديفرانسيل را در قالب حل همگن حل اين معادله ديفرانسيل را در قالب حل همگن ) ) ، بدون طرف ثاني ، بدون طرف ثاني

..دانست دانست ) ) Particular solution Particular solution و حل خصوصي و حل خصوصي ) )يعني يعني . . مي باشد و يا بررسي رفتار آزاد مي باشد مي باشد و يا بررسي رفتار آزاد مي باشد u(t)=0 u(t)=0 حل سيستم آزاد ، همان حل معادله همگن با حل سيستم آزاد ، همان حل معادله همگن با

: : مي توان نوشت مي توان نوشت

: : فرض مي كنيم حل اين معادله عبارتست از فرض مي كنيم حل اين معادله عبارتست از

Solution Matrix Solution Matrix يا ماتريس حل يا ماتريس حلTransient Matrix Transient Matrix ماتريس گذر يا ماتريس گذر ياΦΦ(t) (t) اين ماتريس ، يعني اين ماتريس ، يعني. . ناميده مي شود ناميده مي شود

:: با در نظر گرفتن اين فرض مي توان نوشت با در نظر گرفتن اين فرض مي توان نوشت

: : در طرفين تساوي مي توان نوشت در طرفين تساوي مي توان نوشت tt با برابر قرار دادن ضرايب توانهاي مشابه با برابر قرار دادن ضرايب توانهاي مشابه

(*)),( BUXXfBUAXXBUAXX =⇒=−⇒+= &&&

0)0()()( xxtAXtXorAXX === &&

LL

LL

+++++=⇒

+++++==k

k

kk

tctctCIt

xtctctCIxttx2

21

02

21

)(

).()0().()(

φ

φ

( )

( ) 02

21

012

3210 ).32().()0().()(

xtActActACA

xtkctctcCxtAxtdtdtx

dtd

kk

kk

LL

LL

++++

=+++++⇒== −φφ

www.ASEC.blogfa.com

108108

: : يعني مي توان نوشت يعني مي توان نوشت

: : يعني حل همگن معادله عبارتست از يعني حل همگن معادله عبارتست از زيرا بايد ماتريس تعداد بار زيرا بايد ماتريس تعداد بار بدست آوردن ماتريس از روي ماتريس كار راحتي نيست ، بدست آوردن ماتريس از روي ماتريس كار راحتي نيست ،

اگر ماتريس قطري باشد ، مي توان نوشت ؛ اگر ماتريس قطري باشد ، مي توان نوشت ؛ . . به توان برسد به توان برسد

Atkk

kk

etAk

tAAtIt

Ak

c

AAAcc

Ac

=++++=⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

===

=

LLM !

1!2

1)(

!1

!21

21

21

22

2212

1

φ

AXX =&00).()( xexttx At== φAteAAn

A

LL

L

MOMM

L

L

LL

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

kkiii

tP

Pm

P

P

AtkkAt

k

k

k

k

tPk

tPtPe

e

ee

etAk

tAAtIet

Pm

PP

A

Pm

PP

A

Pm

PP

A

i

k

k

k

!1

!211

00

0000

!1

!21)(

00

020001

00

020001

00

020001

22

2

1

22

2

2

2

2

++++=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==++++==

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⇒

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

φ

www.ASEC.blogfa.com

109109

اگر ماتريس داراي مقادير ويژه تكراري باشد ، مي توان نوشت ؛ اگر ماتريس داراي مقادير ويژه تكراري باشد ، مي توان نوشت ؛ در اينصورت بايد براي فرمول خاصي را تعيين نمود ؛ در اينصورت بايد براي فرمول خاصي را تعيين نمود ؛

طري نمود و سپس را با استفاده طري نمود و سپس را با استفاده در حالت كلي نيز براي ماتريس هاي مي توان آنها را در ابتدا ق در حالت كلي نيز براي ماتريس هاي مي توان آنها را در ابتدا ق . . از فرمول مورد بحث در اين قسمت بدست آورد از فرمول مورد بحث در اين قسمت بدست آورد

آن قطري است و ارتباط بين آن قطري است و ارتباط بين فرض مي كنيم متغير حالت جديد بصورتي است كه ماتريس حالت فرض مي كنيم متغير حالت جديد بصورتي است كه ماتريس حالت شده است ، يعني ؛ شده است ، يعني ؛ از طريق ماتريس تبديل ايجاد از طريق ماتريس تبديل ايجاد

. . فرض بر اينست كه قطري ياشد فرض بر اينست كه قطري ياشد

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

PP

A0

0 AAte

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=++++=⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−

pt

ptpt

kk

kkkk

kkAt

k

kkk

etee

tPtkPtP

ktPPttP

PttPt

tAk

tAAtIe

PkPP

AوPPP

AوPPP

AP

PA

00!1

02

!21

01001

!1

!21

003

02

00

1

22

222

22

1

3

233

2

22

L

LL

AAteLL kkAt tA

ktAAtIet

!1

!21)( 22 ++++==φ

)(* tX)()(* tXوtXT

01***1*

1**

)0()()()(

)()()()(

XTXtXtATXTtXdtd

tXTtXortTXtX

−−

−

===⇒

==

λ

ATT 1−

www.ASEC.blogfa.com

110110

: : با فرض قطري بودن مي توان نرشت با فرض قطري بودن مي توان نرشت

: : حال مي توان حل معادله را بصورت مقابل ارائه نمود حال مي توان حل معادله را بصورت مقابل ارائه نمود

با توجه به معادله مي توان نوشت ؛ با توجه به معادله مي توان نوشت ؛ اجزاي قطري آن همان مقادير اجزاي قطري آن همان مقادير مي توان نشان دادكه ماتريس قطري يك ماتريس مربع قطري است كه مي توان نشان دادكه ماتريس قطري يك ماتريس مربع قطري است كه

ستون است كه هر ستون آن يك بردار ستون است كه هر ستون آن يك بردار ويژه ماتريس و ماتريس مربع ماتريس متشكل از ويژه ماتريس و ماتريس مربع ماتريس متشكل از ..ويژه ماتريس است ويژه ماتريس است

.. كتاب آقاي دكتر غفاري آمده است كتاب آقاي دكتر غفاري آمده است 44 اثبات تين موضوع و مثالهاي مربوط به آن در فصل اثبات تين موضوع و مثالهاي مربوط به آن در فصل

ATT 1−=λ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −

Pm

PP

ATT

L

MOMM

L

L

00

020001

1λ

[ ] 01**

**

)0()()(

00

0000

)0()(2

1

XTTexeTtTXtX

e

ee

eandxetX

tt

tP

tP

tP

tt

m

−===

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

λλ

λλ

L

MOMM

L

L

0)( XetX At=1−= TTee tAt λ

λATnA

www.ASEC.blogfa.com

111111

: : مي باشد مي باشد همچنين يك راه كلي ديگر براي تعيين استفاده از تبديل الپالس همچنين يك راه كلي ديگر براي تعيين استفاده از تبديل الپالس

: : قبال نيز داشتيم قبال نيز داشتيم

:: با مقايسه دو رابطه اخير مي توان نوشت با مقايسه دو رابطه اخير مي توان نوشت

همانطوريكه قبال گفته شده است ، همانطوريكه قبال گفته شده است ، : : مقادير ويژه در صفحه مختلط و رفتارهاي مربوطه به هر كدام از آنها مقادير ويژه در صفحه مختلط و رفتارهاي مربوطه به هر كدام از آنها . . رابطه مشخصه يك سيستم كنترل مي باشد رابطه مشخصه يك سيستم كنترل مي باشد معادله يا معادله يا

.. روي شكل نشان داده شده است روي شكل نشان داده شده است فرض كنيد ها هماني است كه معادله را برابر صفر مي كند و با فرض كنيد ها هماني است كه معادله را برابر صفر مي كند و با

Ate

01)(1

01)(1)(

01)()()(

0)(

0)0()(.)(

XASILXASILtxXASIsXsAXXsSX

XXوtXAtXdt

d

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−=−−−=⇒−−=⇒=−⇒

==

00).()( xexttx At== φ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −−− 1)(1 ASILAte

0)det( =− ASI0)det( =− λλI

λX

www.ASEC.blogfa.com

112112

-- ) : ) : تعيين جواب خصوصي تعيين جواب خصوصي ( ( رفتار سيستم با در نظر گرفتن ورودي رفتار سيستم با در نظر گرفتن ورودي : : سيستم مرتبه يك سيستم مرتبه يك : : اول اول

يك جواب خصوصي مي تواند عبارت مقابل باشد ؛ يك جواب خصوصي مي تواند عبارت مقابل باشد ؛

) :) :جايگذاري مي كنيم جايگذاري مي كنيم ( ( براي تعيين مي توان نوشت براي تعيين مي توان نوشت

كتاب كتاب 191191 تا تا 182182ثفحات ثفحات ( ( وتفسير انتگرال كانولوشن وتفسير انتگرال كانولوشن 99--44وو88--44وو77--44در اين قسمت براي مثال ، مثالهاي در اين قسمت براي مثال ، مثالهاي . ) . ) آقاي دكتر غفاري توضيح داده شود آقاي دكتر غفاري توضيح داده شود

particulartxوxeogenoustxtxtxtx

xxtbuaxtx

pat

hph ≡=≡+=

=+=

)(hom)()()()(

)0()()(

0

0&

)()( tPetx atp =

)(tP

ττ

ττττ

ττ

τ

ττ

τ

dbuexetx

dbuedbueetx

dbuetPtbuetPtbutPaetPetPae

ttaat

tta

taat

p

taatatatat

∫

∫∫

∫

−

−−

−−

+=⇒

==⇒

=⇒=⇒+=+

0

)(0

0

)(

0

0

)()(

)()()(

)()()()()()()()( &&

www.ASEC.blogfa.com

113113

براي يك سيستم مرتبه براي يك سيستم مرتبه : : دوم دوم n n : : ام ام مي توانيم چند متغير حالت مي توانيم چند متغير حالت : ( : ( است است ) ) يك خروجي يك خروجي ––يك ورودي يك ورودي ( ( SISO SISO فعال فرض مي كنيم سيستم فعال فرض مي كنيم سيستم

.) .) داشته باشيم داشته باشيم

با مشتق گيري داريم ؛ با مشتق گيري داريم ؛ : : حال بايد كه يك تابع برداري است را بدست آوريم حال بايد كه يك تابع برداري است را بدست آوريم

با قرار دادن در معادله اصلي مي توان نوشت ؛ با قرار دادن در معادله اصلي مي توان نوشت ؛

)()().()(

)()(

)0(

0

0

tPetPttX

tXXetX

XXdUCXybUAXX

Atp

pAt

==

+=

=+=+=

φ

&

)(tP

∫ −− =⇒=⇒

+=+⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

tAAt

AtAtAt

pp

AtAtp

dbUetPtbUetP

tbUtPAetPetPAetbUtAXtX

tPetPAetX

0

)()()()(

)()()()()()()(

)()()(

τττ&

&&

&&

44 844 76

321 ∫

∫∫

−

−−

+=

==

ttAAt

ttA

tAAt

p

dbUeXetX

dbUedbUeetX

0

)(0

0

)(

0

)()(

)()()(

ττ

ττττ

τ

ττ

وليه صفراثر ورودي بر رفتار سيستم يا جواب خصوصي يا رفتار سيستم با شرايط ا

اثر شرايط اوليه با جواب همگن يا رفتار سيستم با ورودي صفر

www.ASEC.blogfa.com

114114

: : خروجي نيز بصورت زير تعيين مي شود خروجي نيز بصورت زير تعيين مي شود

قبال ديديم كه براي معادله حالت قبال ديديم كه براي معادله حالت : : حل معادالت حالت كلي سيستم با استفاده از تبديل الپالس حل معادالت حالت كلي سيستم با استفاده از تبديل الپالس -- مي توان نوشت ؛ مي توان نوشت ؛

داشتيم ؛ داشتيم ؛ بنابراين ؛ بنابراين ؛

سيستم كه همان است را بدست سيستم كه همان است را بدست اگر شرايط اوليه صفر باشد ، يعني مي توان تابع تبديل اگر شرايط اوليه صفر باشد ، يعني مي توان تابع تبديل : : آورد آورد

bUAXX +=&

[ ][ ] ∫∫ −−−−

−−−−

+=⇒=−

−+=⇒−+−=t

tAAtt

tA

At

dbuexetxdbuesbUASIL

sbUASILxetxsbUASIXASIsX

0

)(0

0

)(11

110

10

1

)()()()()(

)()()()()()()(

ττττ ττ

ducxy +=

4444 34444 214434421)()()()()( 1

01 sdUsbuASIcxASIcsY +−+−= −−

.رفتار سيستم وقتي شربيط اوليه صفر باشد .رفتار سيستم وقتي كه ورودي صفر باشد

00 =X)(sG

dbASIcsG +−= −1)()(

)()()()()(0

)(0 tdudbuecXcetdutCxty

ttAAt ++=+= ∫ − τττ

www.ASEC.blogfa.com

115115

: : پايداري سيستم هاي خطي پايداري سيستم هاي خطي بي نهايت ميل نكند و يك عدد بي نهايت ميل نكند و يك عدد همانطوريكه قبال پايداري تعريف شد ،اگرخروجي يك سيستم ديناميكي به همانطوريكه قبال پايداري تعريف شد ،اگرخروجي يك سيستم ديناميكي به

اگر خروجي در بين دو عدد معين تغيير اگر خروجي در بين دو عدد معين تغيير . . معين شود ، اين سيستم با توجه به خروجي مربوطه پايدار است معين شود ، اين سيستم با توجه به خروجي مربوطه پايدار است ايد ، سيستم پايدار نسبي يا ايد ، سيستم پايدار نسبي يا كند و سيستم نتواند براي يك يا چند خروجي خود عدد خاصي را گزارش نم كند و سيستم نتواند براي يك يا چند خروجي خود عدد خاصي را گزارش نم

وچك به يك وچك به يك سيستم پايدار نسبي يا پايدار بحراني مي تواند تحت تاثير يك عامل ك سيستم پايدار نسبي يا پايدار بحراني مي تواند تحت تاثير يك عامل ك ..پايداري بحراني است پايداري بحراني است . . سيستم پايدار نيز بدل شود سيستم پايدار نيز بدل شود

پارامترهاي اغتشاش ارتباطي ندارد پارامترهاي اغتشاش ارتباطي ندارد پايداري ياناپايداري خاصيتي وابسته به خود سيستم است وبه ورودي يا پايداري ياناپايداري خاصيتي وابسته به خود سيستم است وبه ورودي يا ..ت ماندگار دارد ت ماندگار دارد البته قطبهاي تابع ورودي يا تابع اغتشاش تاثير مستقيم روي پاسخ حال البته قطبهاي تابع ورودي يا تابع اغتشاش تاثير مستقيم روي پاسخ حال در سمت چپ صفحه اعداد مختلط در سمت چپ صفحه اعداد مختلط براي انكه يك سيستم كنترلي پايدار باشد ، بايد قطبهاي مدار يسته آن براي انكه يك سيستم كنترلي پايدار باشد ، بايد قطبهاي مدار يسته آن

به محور موهومي باشند به محور موهومي باشند اما همانطوريكه قبال نيز توضيح داده شد ، اگر اين قطبها خيلي نزديك اما همانطوريكه قبال نيز توضيح داده شد ، اگر اين قطبها خيلي نزديك . . قرار گيرد قرار گيرد خيلي به محوراعدادحقيقي ،درسمت خيلي به محوراعدادحقيقي ،درسمت باعث ايجاد حالت پايدار بحراني با پايدار نسبي خواهد شد و اگرقطبها باعث ايجاد حالت پايدار بحراني با پايدار نسبي خواهد شد و اگرقطبها

اين نيز مورد نظر طراح نيست اين نيز مورد نظر طراح نيست چپ صفحه مختلط ، نزديك باشند ، باعث ايجاد ميرايي سريع خواهد شدكه چپ صفحه مختلط ، نزديك باشند ، باعث ايجاد ميرايي سريع خواهد شدكه ناحيه نشان داده شده در شكل ناحيه نشان داده شده در شكل بنابراين براي داشتن يك پاسخ مطلوب قرار گرفتن قطبهاي مدار بسته در بنابراين براي داشتن يك پاسخ مطلوب قرار گرفتن قطبهاي مدار بسته در

معادالت رياضي معادالت رياضي يك راه براي پايداري سيستم بدست آوردن و تغييرتمامي خروجي ها توسط يك راه براي پايداري سيستم بدست آوردن و تغييرتمامي خروجي ها توسط . . الزامي است الزامي است مثال قبال ديديم كه براي يك سيستم خطي مرتبه مثال قبال ديديم كه براي يك سيستم خطي مرتبه . . است است n n كه معادالت آن توسط معادالت حالت كه معادالت آن توسط معادالت حالت

StateState--space Representationspace Representation بيان شده است ، بيان شده است ، مي توان متغيرهاي حالت وخروجي رابااستفاده از فرمولهاي مي توان متغيرهاي حالت وخروجي رابااستفاده از فرمولهاي

: : مربوطه محاسبه نمود مربوطه محاسبه نمود

www.ASEC.blogfa.com

116116

جي ها بي نهايت نشوند و يك عدد جي ها بي نهايت نشوند و يك عدد با استفاده از اين دو معادله در صورتي كه همه متغير هاي حالت و خرو با استفاده از اين دو معادله در صورتي كه همه متغير هاي حالت و خرو درصورتيكه هركدام از ايندو مثال توابع سينوسي يا كسينوسي درصورتيكه هركدام از ايندو مثال توابع سينوسي يا كسينوسي ..معين بدست آيد ، سيستم پايدار خواهد بود معين بدست آيد ، سيستم پايدار خواهد بود

. . باشند ، سيستم داراي شرايط پايدار بحراني يا پايدار نسبي خواهد بود باشند ، سيستم داراي شرايط پايدار بحراني يا پايدار نسبي خواهد بود RouthRouth--Horwitz test Horwitz test هارويتز هارويتز ––در مورد سيستم هاي خطي ، پايداري زا مي توان توسط تست روث در مورد سيستم هاي خطي ، پايداري زا مي توان توسط تست روث

. . نيز مورد بررسي قرار داد نيز مورد بررسي قرار داد : : هارويتز هارويتز -- پايداري يك سيستم خطي توسط روش روث پايداري يك سيستم خطي توسط روش روث --

بسيار مهم در تحليل يك سيستم بسيار مهم در تحليل يك سيستم همانطوريكه قبال نيز اشاره شد ، معادله مشخصه يك سيستم نقش همانطوريكه قبال نيز اشاره شد ، معادله مشخصه يك سيستم نقش . . charactristic equation charactristic equation كنترلي دارد كنترلي دارد . .

قسمت حقيقي منفي باشد تا سيستم قسمت حقيقي منفي باشد تا سيستم همانطوريكه قبال نيز گفته شد ، بايد ريشه هاي اين معادله داراي همانطوريكه قبال نيز گفته شد ، بايد ريشه هاي اين معادله داراي . . نوشته شود نوشته شود n n بصورت چند جمله اي از درجه بصورت چند جمله اي از درجهn n اين معادله براي يك سيستم از مرتبه اين معادله براي يك سيستم از مرتبه . . پايدار شود پايدار شود

: : شرط اول يا الزم براي پايداري اينست كه تمام ضرايب مثبت باشند شرط اول يا الزم براي پايداري اينست كه تمام ضرايب مثبت باشند

. . شرط دوم براي پايداري در ادامه ارائه مي شود شرط دوم براي پايداري در ادامه ارائه مي شود

)()()()()(

)0()()()()()(

0

)(0

0

)(0

0

tDUdbUecXcetydbUeXetX

XXtDUtCXtytBUtAXXt

tAAtt

tAAt ++=+=

=+=+=

∫∫ −− ττττ ττ

&

0)det( =− ASI

011

22

110 =+++++ −

−−nn

nnn aSaSaSaSa L

niaaaaaa inn ,....,2,1,0;,,,,, 1210 =−L

www.ASEC.blogfa.com

117117

ضرايب بصورت زير نوشته شوند ؛ ضرايب بصورت زير نوشته شوند ؛ : : قدم اول قدم اول

. . شد ، در انتهاي سطر دوم قرارميگيرد شد ، در انتهاي سطر دوم قرارميگيرد يعني اگر زوج باشد ، در سطر اول و اگر فرد با يعني اگر زوج باشد ، در سطر اول و اگر فرد با سطر سوم را بصورت زير مي نويسيم ؛ سطر سوم را بصورت زير مي نويسيم ؛ : : قدم دوم قدم دوم

سطر چهارم را نيز مثل سطر سوم مي نويسيم ؛ سطر چهارم را نيز مثل سطر سوم مي نويسيم ؛ :: قدم سوم قدم سوم

.. صفر شود صفر شود n+2 n+2 بار تكرار نموده تا اولين عنصر سطر بار تكرار نموده تا اولين عنصر سطر n+1 n+1 قدم سوم را به تعداد قدم سوم را به تعداد : : قدم چهارم تا آخر قدم چهارم تا آخر. . ام مثبت باشند ام مثبت باشند n+1 n+1 ا سطر ا سطر شرط دوم براي پايداري اينست كه تمامي اعداد ستون اول از سطر اول ب شرط دوم براي پايداري اينست كه تمامي اعداد ستون اول از سطر اول ب

ثبت به منفي ، و از منفي به مثبت ، ثبت به منفي ، و از منفي به مثبت ، اگر همه اعداد ستون اول مثبت نباشند به تعداد تغيير عالمتها ، از م اگر همه اعداد ستون اول مثبت نباشند به تعداد تغيير عالمتها ، از م . . نشاندهنده ريشه هاي ناپايداري مي باشند نشاندهنده ريشه هاي ناپايداري مي باشند

000

531

420

L

L

aaaaaaa n

nnana n

1

70613

1

50412

1

30211

321

531

420

0000

aaaaa

ba

aaaab

aaaaa

bbbbb

aaaaaaa

n

n −=

−=

−=⇔

⎪⎭

⎪⎬

⎫

L

L

L

1

41713

1

31512

1

21311

321

321

531

420

00000

bbaab

cb

baabc

bbaab

cccccbbbb

aaaaaaa

n

n

n

−=

−=

−=⇔

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

L

L

L

L

www.ASEC.blogfa.com

118118

: : مطلوب است تعيين پايداري سيستمي كه معادله مشخصه آن عبارتست از مطلوب است تعيين پايداري سيستمي كه معادله مشخصه آن عبارتست از : : مثال مثال

براي حل مي توان نوشت ؛ براي حل مي توان نوشت ؛

.. بنابراين سيستم پايدار است بنابراين سيستم پايدار است

يك سيستم ناپايدار ؛ يك سيستم ناپايدار ؛ : : مثال مثال

ستون اول دو بار تغيير عالمت داده است ، ستون اول دو بار تغيير عالمت داده است ، . . شرط الزم براورده شده است شرط الزم براورده شده است . . بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت مي باشند بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت مي باشند

02141464144839 234567 =+++++++ SSSSSSS

00

0203

024042

0210308226214143

1464489

0

1

2

3

4

5

6

7

SSSSSSSS

0442 234 =++++ SSSS

04012

04100420411

0

1

2

3

4

SSSSS

−

www.ASEC.blogfa.com

119119

د كه سيستم حداقل يك ربشه د كه سيستم حداقل يك ربشه اگر براي مسئله اي اولين عضو يك سطر برابر صفر شود ، نشان مي ده اگر براي مسئله اي اولين عضو يك سطر برابر صفر شود ، نشان مي ده همچنين اگر براي مسئله اي اولين عضو يك سطر همچنين اگر براي مسئله اي اولين عضو يك سطر ) . ) . پايداري بحراني پايداري بحراني ( ( ناپايدار روي محور موهومي دارد ناپايدار روي محور موهومي دارد

) ) يا بي نهايت يا بي نهايت ( ( چون تقسيم بر صفر چون تقسيم بر صفر . . هارويتز را ادامه داد هارويتز را ادامه داد ––برابر صفر شود ، آنوقت نمي توان روش روث برابر صفر شود ، آنوقت نمي توان روش روث ::بر اساس اين روش مي توان مشكل را به سه طريق حل نمود بر اساس اين روش مي توان مشكل را به سه طريق حل نمود ..بوجود مي ايد بوجود مي ايد

.. بجاي صفر بجاي صفر εε قرار دادن مقدار بسيار كوچك مثبت قرار دادن مقدار بسيار كوچك مثبت : : روش اول روش اول : : مثال مثال

. . ستون اول دو بار تغيير عالمت داده است ستون اول دو بار تغيير عالمت داده است . . ند ند بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت مي باش بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت مي باش

. . در معادله مشخصه و حل آن در معادله مشخصه و حل آن 1/1/ρρ به به S S تبديل تبديل : : روش دوم روش دوم: : مثال مثال

اين بار اين مسئله را از اين روش حل مي كنيم ؛ اين بار اين مسئله را از اين روش حل مي كنيم ؛

023842 2345 =+++++ SSSSS

02

048

242

024800202820341

0

1

2

3

4

5

S

S

SSSS

ε

ε

ε

−−

−

023842 2345 =+++++ SSSSS

www.ASEC.blogfa.com

120120

جايگذاري مي كنيم ؛ جايگذاري مي كنيم ؛

بنابراين ؛ بنابراين ؛

دو بار تغيير عالمت داده است ، بنابراين داراي دو بار تغيير عالمت داده است ، بنابراين داراي

. . دو ريشه با مقدار حقيقي مثبت و ناپايدار ي سيستم دو ريشه با مقدار حقيقي مثبت و ناپايدار ي سيستم

. . S+1 S+1 ضرب نمودن معادله مشخصه در عبارت ضرب نمودن معادله مشخصه در عبارت : : روش سوم روش سومحال مسئله قبل را با روش سوم حل مي كنيم ؛ حال مسئله قبل را با روش سوم حل مي كنيم ؛ : : مثال مثال

ستون اول دو بار تغيير عالمت داده ، ستون اول دو بار تغيير عالمت داده ، بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت داريم وسيستم بنابراين دو ريشه داراي مقدار حقيقي مثبت داريم وسيستم

. . ناپايدار مي باشد ناپايدار مي باشد

0124832

021318141211

2345

2345

=+++++⇒

=+++++⇒→

ρρρρρ

ρρρρρρS

000003

4013

13003

43

1601430282

0

1

2

3

4

5

ρρ

ρ

ρρρ

−

023842 2345 =+++++ SSSSS

⎜⎜⎝

⎛

=++++++⎯⎯ →⎯

=+++++

−

+ 025111263023842

002003

130023

2900212023

282005123021161

23456)1*(

2345

0

1

2

3

4

5

6

SSSSSSSSSSS

SS

SSSSS

S

www.ASEC.blogfa.com

121121

دن بايد از معادله تشكيل دهنده دن بايد از معادله تشكيل دهنده اگر در يك مثال همه اعضاي يك سطر برابر صفر شوند ، براي ادامه دا اگر در يك مثال همه اعضاي يك سطر برابر صفر شوند ، براي ادامه دا بجاي سطر صفر قرار داده و روش را ادامه بجاي سطر صفر قرار داده و روش را ادامه ) ) ضرايب آن معادله را ضرايب آن معادله را ((سطر قبل از اين سطر مشتق گرفته و آنرا سطر قبل از اين سطر مشتق گرفته و آنرا

. . دهيم دهيم . . پايداري سيستم با معادله مشخصه مقابل را بررسي نماييد پايداري سيستم با معادله مشخصه مقابل را بررسي نماييد : : مثال مثال

سطر چهارم صفر است ، در نتيجه ؛ سطر چهارم صفر است ، در نتيجه ؛

. . بنابراين اين سيستم پايدار مي باشد بنابراين اين سيستم پايدار مي باشد

: : هارويتز در تحليل سيستم هاي كنترلي هارويتز در تحليل سيستم هاي كنترلي –– كاربرد معيار پايداري روث كاربرد معيار پايداري روث ايدار ارائه نمي كند ،كاربرد معدودي ايدار ارائه نمي كند ،كاربرد معدودي چون اين معيارراهي رابراي پايدار شدن سيستم هاي پايدارنسبي با ناپ چون اين معيارراهي رابراي پايدار شدن سيستم هاي پايدارنسبي با ناپ

را روي پايداري را روي پايداري ) ) ضريب چند جمله اي معادله مشخصه ضريب چند جمله اي معادله مشخصه ( ( ولي اين معيار مي تواند اثريك پارامترخاص ولي اين معيار مي تواند اثريك پارامترخاص ..دارد دارد

01818112 234 =++++ SSSS

0000

018200182018111

0

1

2

3

4

SSSSS

( )

0002

018200182018111

02002090182

182

0

1

2

3

4

22

2

SSSSS

SSdsdS

S

⇒=+⇒=+⇒=+⇒

www.ASEC.blogfa.com

122122

بعنوان مثال ؛ بعنوان مثال ؛ . . بررسي نمايد بررسي نمايد

در اين سيستم مي خواهيم بازه پارامتر در اين سيستم مي خواهيم بازه پارامتر : : را براي پايداري بدست آوريم را براي پايداري بدست آوريم kk

: : بايد براي پايداري و همچنين بايد براي پايداري و همچنين

. . اگر باشد ، يك عضو از ستون اول برابر صفر ايت اگر باشد ، يك عضو از ستون اول برابر صفر ايت يعني سيستم داراي شرايط پايداري بحراني است ودامنه نوسانات يعني سيستم داراي شرايط پايداري بحراني است ودامنه نوسانات

..تا بي نهايت ادامه دارد تا بي نهايت ادامه دارد ) ) بصورت ثابت بصورت ثابت ((براي برسي پايداري ؛ براي برسي پايداري ؛ : : مثال مثال

)(sR

)2)(1( 2 +++ SSSSK )(sC

+−

KSKS

KSS

KS

KSSSSKSSSS

KsRsC

0

1

2

3

4

2342

0792

037

0023031

0233)2)(1()(

)(

−

=++++⇒++++

=

09140

792 >>⇒>− KK

0>K

914

=K

( ) 022515701818112

0574320522

02012592302401527210

234

234

2345

234

23456

2345

=+++++

=++++

=+++++

=++++

=++++++

=+++++

kSkSSSSSSS

SSSSSSSSS

SSSSSSSSSSS

www.ASEC.blogfa.com

123123

سته را شناخت سته را شناخت قبل ازهر چيزي بايد انواع كنترل كننده ها ي يك سيستم كنترلي مدار ب قبل ازهر چيزي بايد انواع كنترل كننده ها ي يك سيستم كنترلي مدار ب ::كنترل مدار بسته كنترل مدار بسته ::انواع كنترل كننده ها بر حسب عملكرد كنترلي انواع كنترل كننده ها بر حسب عملكرد كنترلي

: : است است يك سيستم كنترلي مدار بسته صنعتي در شكل مقابل نشان داده شده يك سيستم كنترلي مدار بسته صنعتي در شكل مقابل نشان داده شده

: : انواع كنترل كننده ها عبارتند از انواع كنترل كننده ها عبارتند از . . عمدتا در مسائل الكتريكي بكار مي روند عمدتا در مسائل الكتريكي بكار مي روند ): ): خاموش خاموش ––روشن روشن ( ( كنترل كننده دو وضعيتي كنترل كننده دو وضعيتي --11

قرار دادن شكاف تفاضلي قرار دادن شكاف تفاضلي ..فاصله اي كه سيگنال خطا بايد طي كند تا تغييرحالت رخ دهد فاصله اي كه سيگنال خطا بايد طي كند تا تغييرحالت رخ دهد : : شكاف تفاضلي شكاف تفاضلي . . د شود و بعد حالت عوض شود د شود و بعد حالت عوض شود به اين علت است كه بايدحالت اشباع براي وضعيتهاي خاموش ياروشن ايجا به اين علت است كه بايدحالت اشباع براي وضعيتهاي خاموش ياروشن ايجا . . البته به سيستم لطمه مي زند البته به سيستم لطمه مي زند اگر شكاف تفاضلي كم باشد،تعداد روشن و خاموش بيشتري اتفاق مي افتدو اگر شكاف تفاضلي كم باشد،تعداد روشن و خاموش بيشتري اتفاق مي افتدو

تقويت كننده سيستم اصلي

)سنسور(ابزار اندازه گير

+

−e u

ورودي مرجع

)نقطه تنظيم(

سيگنال خطا ورودي سيستم خروجي

كنترل كننده

1u2u

+

−

e u +

−

1u2u

شكاف تفاضلي

e u

0)(;2)(0)(;1)(

<=>=

teututeutu

www.ASEC.blogfa.com

124124

: : عمل يك كنترل كننده تناسبي بصورت زير مي باشد عمل يك كنترل كننده تناسبي بصورت زير مي باشد : : كنترل كننده تناسبي كنترل كننده تناسبي --22

. . است است Proportional Gain Proportional Gain بهره تناسبي بهره تناسبي ..اين كنترل كننده در واقع يك تقويت كننده با بهره قابل تنظيم است اين كنترل كننده در واقع يك تقويت كننده با بهره قابل تنظيم است

: : كنترل كننده انتگرالي كنترل كننده انتگرالي --33: : عمل يك كنترل كننده انتگرالي بصورت زير مي باشد عمل يك كنترل كننده انتگرالي بصورت زير مي باشد

. . ضريب بهره انتگرالي كه قابل تنظيم است ضريب بهره انتگرالي كه قابل تنظيم است KiKi: : انتگرالي انتگرالي -- كنترل كننده تناسبي كنترل كننده تناسبي --44

يا يا . . تنضيم هستند تنضيم هستند بهره تناسبي و زمان انتگرال گيري و هر دو پارامتر قابل بهره تناسبي و زمان انتگرال گيري و هر دو پارامتر قابل

Kp)(sE )(sU+

−

KpsEsUteKptu =⇒=)()()(.)(

Kp

Ki/s+

−

)(sE )(sU

SKi

sEsUdtteKitudtteKitdu

t

=⇒=⇒= ∫ )()().()()(.)(

0

TiSTiSKp )1( +

SKiKp ++ +

− −

)(sE )(sE )(sU)(sU

KpTi

)11()()()()(.)(

0 TiSKp

sEsUdtte

TiKpteKptu

t

+=⇒+= ∫

www.ASEC.blogfa.com

125125

: : مشتقي مشتقي –– كنترل كننده تناسبي كنترل كننده تناسبي --55

. . هستند هستند بهره تناسبي و زمان مشتق و هر دو پارامتر قابل تنظيم بهره تناسبي و زمان مشتق و هر دو پارامتر قابل تنظيم : : اگر سيگنال خطا تابع شيب دار باشد اگر سيگنال خطا تابع شيب دار باشد

. . ه مشتقي تنها استفاده نميشود ه مشتقي تنها استفاده نميشود چون اثر كنترل كننده مشتقي فقط در حالت گذرا مي باشد ، گنترل كنند چون اثر كنترل كننده مشتقي فقط در حالت گذرا مي باشد ، گنترل كنند

)1( STKp d+)(sE )(sU+

− )1()()()(.)()( STKp

sEsU

dttdeSTKptKpetu dd +=⇒+=

KpdT

ue

ue

www.ASEC.blogfa.com

126126

( )( )63)2)(1()(

++++=

ssssKsG

مي باشد 0.707مي باشد و نسبت ميرائي آن كاهش دهد 2 را بگونه اي طراحي كنيد كه زمان نشست را با ضريبي از PDكنترلر .

.مقايسه كنيد و سپس پاسخ حالت ماندگار و گذرا سيستم جبران شده و جبران نشده را

سيستم ارائه شده در شكل زير را در نظر بگيريد، براي -مثال :اين سيستم

( )( )63)2)(1()(

++++=

ssssKsG

707.0=ζ

22

2

234 236724712 nn

n

ssqsB

psA

KssssK

RC

ωζωω

+++

++

+=

+++++=

)/(47.1 sradn=→ ω

:حل

:سيستم رتبه دو آن، به فرم زير را بدست ميĤوريمحال با توجه به تابع تبديل فوق، قطب غالب را از طريق نوشتن معادل

www.ASEC.blogfa.com

127127

jj nn 04.104.11 2 ±−=−±− ζωζω = قطب غالب

Kرا با توجه به شرط اندازه به صورت زير بدست مي آوريم حال :

( )( )( )( ) 16321 04.104.1

=++++ +− jssss

K

6.16=→ K

كاهش يابد و با توجه به ثابت بودن 2با توجه به اينكه زمان نشست بايد با ضريبي از ζ پس ω برابر شود 2بايد

94.247.12) =×=newnω

PDدر كنترلر ( )sTKG dcc += 1

94.2707.0

==

nωζ

www.ASEC.blogfa.com

128128

GGGG

RC

c

c

+=

1در سيستم جبران شده

( )( )( )( )( ) ( ) 22

2

2163211

1 nn

n

dC

dC

c

c

sspsB

qsA

sTKKsssssTKK

GGGG

RC

ωζωω

+++

++

+=

+⋅++++++⋅

=+

=→

787.13787.1336

71.192)(72

76.52)(47

84.7212

2

2

2

=→=⋅→=⋅+

=⋅→++=⋅+

=→+++=

=+→++=

GainKKpqKK

TKKpqqpTKK

pqpqqp

qpqp

CnC

dCnndC

nn

n

ω

ζωω

ζωω

ζω

Gain = 13.787

{83.0

6.1678.13

43.1787.1371.19

==

==⇒

C

d

K

T

( ) )43.11(83.01 ssTKG dcPDc +=+=⇒

www.ASEC.blogfa.com

129129

سيستم بدون كنترلرحال برنامه زير را با مطلب نوشته و نتايج زير را مي گيريم

num=[0 0 0 0 1];den=[1 12 47 72 36];rlocus(num,den);v=[-8 8 -8 8];axis(v);axis('squar’)sgrid(0.707,[])title('Root-Locus Plot and \zet=0.707 line’)gtext('\zeta=0.707’)

www.ASEC.blogfa.com

130130

كه همان طور كه از نمودار پيداست

%31.4707.0

04.104.1)/(47.1

6.16

==

±−===→

overshoot

jpolesrad

K

n

ζ

ω

سيستم با كنترلر PD

: حال برنامه زير را با مطلب نوشته و نتايج زير را مي گيريم num=[0 0 0 1.43 1];den=[1 12 47 72 36];rlocus(num,den);v=[-8 8 -8 8];axis(v);axis('squar’)sgrid(0.707,[])title('Root-Locus Plot and \zet=0.707 line’)gtext('\zeta=0.707’)

www.ASEC.blogfa.com

131131

: كه همان طور كه از نمودار پيداست

%34.4707.0

07.207.2)/(93.2

7.13

==

±−===→

overshoot

jpolesrad

K

n

ζ

ω

. كه با نتايج حل دستي يكي مي باشد

: رسم مي كنيم با توجه به برنامه زير پاسخ پله سيستم با كنترلر و بدون كنترلر را numc=[0 0 0 19.6 13.7];denc=[1 12 47 91.6 49.7];num=[0 0 0 0 16.6];den=[1 12 47 72 52.6];t=0:0.05:6.5;[c1,x1,t]=step(numc,denc,t );[c2,x2,t]=step(num,den,t );plot(t,c1,t,c1,'o',t,c2,t,c2,'x’)v=[0 6.5 0 0.37];axis(v);axis('square’)gridtitle('unit-step responses of compensated and uncompensated system’)xlabel('t Sec’)ylabel('Outputs c1 and c2’)gtext('compensated system’)gtext('uncompensated system’)

www.ASEC.blogfa.com

132132

تر است زمان نشست سيستم جبران شده نسبت به زمان نشست سيستم جبران نشده كمكه همان طور كه از نمودار پيداست . مي شود damp و ارتعاش ، سريع .وسرعت پاسخ نيز زيادتر شده است

www.ASEC.blogfa.com

133133

: : مشتقي مشتقي –– انتگرالي انتگرالي –– كنترل كننده تناسبي كنترل كننده تناسبي --66

..ري و هر سه قابل تنظيم هستند ري و هر سه قابل تنظيم هستند بهره تناسبي ، زمان انتگرالگيري ، زمان مشتق گي بهره تناسبي ، زمان انتگرالگيري ، زمان مشتق گي اگر سيگنال خطا تابع شيب باشد ؛ اگر سيگنال خطا تابع شيب باشد ؛

كه درمدار فيدبك قرار مي گيرند نيز كه درمدار فيدبك قرار مي گيرند نيز ) ) sensor sensor حس كننده ها حس كننده ها ((ابزار اندازه گير ابزار اندازه گير : : اثر ابزار اندازه گيري اثر ابزار اندازه گيري. . ارند ارند خودشان ممكن است داراي تابع تبديل باشند و بر عملكرد سيستم اثر بگذ خودشان ممكن است داراي تابع تبديل باشند و بر عملكرد سيستم اثر بگذ

سنسور مرتبه اول سنسور مرتبه اول

STSTTSTKp

i

dii )1( 2++)(sE )(sU

−

+

)11()()()().()(.)(

0

STST

KpsEsU

dttdeKpTdtte

TKpteKptu d

i

t

di

++=⇒++= ∫

KpTidT

controller System+

−

)(sE )(sC)(sR

1+TSK

p

PDPID

www.ASEC.blogfa.com

134134

سنسور مرتبه دوم فوق ميرا سنسور مرتبه دوم فوق ميرا

سنسور مرتبه دوم زير ميرا سنسور مرتبه دوم زير ميرا

: : يك سيستم كنترلي فيدبك دار يك سيستم كنترلي فيدبك دار

). ). مقدار مطلوب ياورودي مبنا مقدار مطلوب ياورودي مبنا ((به وروديبه ورودي))متغيريكه بايدكنترل شود متغيريكه بايدكنترل شود ((نزديك شدن هرچه بيشترخروجي نزديك شدن هرچه بيشترخروجي : : هدف هدف

controller System)(sE)(sR )(sC

)1)(1( 21 ++ STSTK

controller System)(sR )(sE )(sC

1222 ++ TSSTKξ

)(sR

+

+

+

−

−

−

++

)(sL

)(sE )(sC

)(sV

)(sM)(sGc )(sGp

)(sN

)(sH

ورودي مرجعمقدار مطلوب

كنترلر

سيگنال فيدبك تابع تبديل

دستگاه اندازه گير

ورودي كنترل شده

ورودي مزاحم سيستم اصلي

خروجي ، متغيري كه . بايد كنترل شود

www.ASEC.blogfa.com

135135

به اين جهت به اين جهت . . مطلوب دور شود مطلوب دور شود سيستم كنترل فيدبك وقتي فعال مي شود كه خروجي به عللي از مقدار سيستم كنترل فيدبك وقتي فعال مي شود كه خروجي به عللي از مقدار چرا عكس العمل سيستم با خروجي چرا عكس العمل سيستم با خروجي .. به اين جهت به ان سيستم كنترل خودكار يا اتوماتيك گفته مي شود به اين جهت به ان سيستم كنترل خودكار يا اتوماتيك گفته مي شود

ي ونيزبه علت تاثيرورودي مزاحم ي ونيزبه علت تاثيرورودي مزاحم از مقدار مطلوب خود دور مي شود ؟به علت تعيير پارامترهاي سيستم اصل از مقدار مطلوب خود دور مي شود ؟به علت تعيير پارامترهاي سيستم اصل دركنترل فيدبك ازطريق كم يازياد نمودن ورودي كنترل شده با دركنترل فيدبك ازطريق كم يازياد نمودن ورودي كنترل شده با M(s) M(s) خروجي سيستم به مقدار مطلوب خروجي سيستم به مقدار مطلوب

: : سيستم كنترلي فيدبك دار طوري طراحي مي شود كه سيستم كنترلي فيدبك دار طوري طراحي مي شود كه . . ان باز گردانده مي شود ان باز گردانده مي شود . . باشد باشد اثر ورودي مزاحم در ان كمتر از اثر ورودي مزاحم در سيستم مدار باز اثر ورودي مزاحم در ان كمتر از اثر ورودي مزاحم در سيستم مدار باز --11 . . ت آن درمداربازباشد ت آن درمداربازباشد حساسيت سيستم كنترلي مداربسته نسبت به تغييرپارامترها كمترازحساسي حساسيت سيستم كنترلي مداربسته نسبت به تغييرپارامترها كمترازحساسي --22

براساس ان مي توان با بزرگ انتخاب كردن براساس ان مي توان با بزرگ انتخاب كردن ..در اين زمينه ارائه شده است در اين زمينه ارائه شده است 8585وو8484وو8383قبال مثالي در صفحات قبال مثالي در صفحات . . يك ضريب بهره اثر ورودي مزاحم را به حداقل رساند يك ضريب بهره اثر ورودي مزاحم را به حداقل رساند

حساسيت سيستم مدار بسته نسبت به تغيير پارامترها حساسيت سيستم مدار بسته نسبت به تغيير پارامترها : : همچنين مي توان توسط يك مثال نشان داد كه همچنين مي توان توسط يك مثال نشان داد كه ) ) كتاب دكتر غفاري كتاب دكتر غفاري 278278مثال صفحه مثال صفحه . (. (بسيار پايين تراز حساسيت سيستم كنترلي مدار باز مي باشد بسيار پايين تراز حساسيت سيستم كنترلي مدار باز مي باشد

خ پايداريك سيستم غير ارتعاشي را خ پايداريك سيستم غير ارتعاشي را همچنين مي توان ادعا نمود كه با استفاده از مدار فيدبك مي توان پاس همچنين مي توان ادعا نمود كه با استفاده از مدار فيدبك مي توان پاس . . م شونده برسد م شونده برسد به ارتعاشي تبديل نمود تا حول نقطه تعادل خود به ارتعاش با دامنه ك به ارتعاشي تبديل نمود تا حول نقطه تعادل خود به ارتعاش با دامنه ك

اقسمتهاي حقيقي قطبهاي اقسمتهاي حقيقي قطبهاي يك سيستم كنترلي فيدبك دارخطي هنگامي پايدار است كه قطبهاي حقيقي ي يك سيستم كنترلي فيدبك دارخطي هنگامي پايدار است كه قطبهاي حقيقي ي . . مختلط ان منفي باشند مختلط ان منفي باشند

. . را بررسي نماييد را بررسي نماييد پايداري سيستم مدار بسته و خطاي حالت ماندگار سيستم فيدبك دار زير پايداري سيستم مدار بسته و خطاي حالت ماندگار سيستم فيدبك دار زير : : مثال مثال

Kc 3)1(1+S

)(sR )(sC+

− KcSKcsR

SKc

SKc

sC++

=

++

+= 3

3

3

)1()(

)1(1

)1()(

www.ASEC.blogfa.com

136136

C(t)C(t) مقدار مقدار نهايي خروجي نهايي خروجي R(s)=1/SR(s)=1/Sيعني يعني r(t)=1r(t)=1 يا يا اگر ورودي يك تابع پله اي واحد باشد ، يعني اگر ورودي يك تابع پله اي واحد باشد ، يعني يعني ؛ يعني ؛ ..بايد برابر واحد شود بايد برابر واحد شود

. . اگر ، خروجي با ورودي برابرخواهدشد اگر ، خروجي با ورودي برابرخواهدشد

عادله مشخثه در سمت جپ محور عادله مشخثه در سمت جپ محور قسمت دوم مثال ؛ براي آنكه سيستم مدار بسته پايدار شود بايد ريشه م قسمت دوم مثال ؛ براي آنكه سيستم مدار بسته پايدار شود بايد ريشه م : : موهومي قرار گيرد موهومي قرار گيرد

01

1)1(

lim0

)(lim)(lim3

→+

=++

=→

=∞→ S

KcKc

SKcSKcS

SsSC

ttc

∞→Kc

1999.099.09.08.05.099999941 ∞Kc

Kc نهايي مقدار

80211

)23

21(131

121

)23

21(110

1

)1()1(0)1(0)1(

1

3

3

3

3

3)12(

3

)12(333

<⇒<+−⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−+−=⇒−=

−−=⇒=

++−=⇒=

⇒=+

=−=+⇒=++⇒=+

+

+

+

KcKc

jKcPn

KcPn

jKcPn

eKcS

eKKcSKcSS

Kc

nj

njc

π

π

www.ASEC.blogfa.com

137137

دي دي طبق تعريف ؛ خطاي حالت ماندگار ، تفاوت در حالت ماندگار مقادير ورو طبق تعريف ؛ خطاي حالت ماندگار ، تفاوت در حالت ماندگار مقادير ورو : : تحليل خطاي حالت ماندگار تحليل خطاي حالت ماندگار : : مبنا و خروجي است مبنا و خروجي است ) ) در سيستم هاي كنترلي با فيدبك واحد در سيستم هاي كنترلي با فيدبك واحد ((

بصورتبصورت)) همين جزوه همين جزوه 126126براي شكل بلوك دياگرام سيستم نشان داده شده درصفحه براي شكل بلوك دياگرام سيستم نشان داده شده درصفحه (( درحالت كلي درحالت كلي E(s)E(s): : زير بدست مي ايد زير بدست مي ايد

. . ر باز ر باز همچنين داريم تابع تبديل سيستم مدا همچنين داريم تابع تبديل سيستم مدا . . ا به ازاي بدست آورد ا به ازاي بدست آورد بنابراين براي محاسبه خطاي حالت ماندگار مي توان مقدار رابطه فوق ر بنابراين براي محاسبه خطاي حالت ماندگار مي توان مقدار رابطه فوق ر

حال براي حالت حال براي حالت H(s)=1 H(s)=1 مي توان تابع تبديل را به صورت زير نيز ارائه نمود ؛ مي توان تابع تبديل را به صورت زير نيز ارائه نمود ؛

صورت و مخرج داراي ريشه هاي موهومي صورت و مخرج داراي ريشه هاي موهومي 22 ثابتهاي زماني و اگر باشند ،عوامل درجه ثابتهاي زماني و اگر باشند ،عوامل درجه . . مختلط هستند مختلط هستند ) ) صورتصورت((و صفرها و صفرها ) ) مخرجمخرج((يعني سيستم داراي قطبهاي يعني سيستم داراي قطبهاي

0)(lim)(lim)()]()(lim[ 0

→∞→∞→==⇒∞−=−=

SttsSEteecrtctre ssss

)()(1

)()()(1

)()()(

1)()()(1

)()()(1

1)(

sVsG

sNsRsG

sGsGsC

sHsVsG

sNsRsG

sE

pc

++

+=

=+

−+

=

)()()( sGsGsG pc=

0→S

∏ ∏∏ ∏

+++

+++=

])()(21[)1(])()(21[).1(

)( 2

2

StStStSStStSt

KsGiiii

njjjj

ξξ

ji TوT1<ξ

www.ASEC.blogfa.com

138138

. . تابع نوع صفر مي ناميم تابع نوع صفر مي ناميم در اين رابطه اگر باشد ، تابع را در اين رابطه اگر باشد ، تابع را . . را تابع نوع يك مي ناميم را تابع نوع يك مي ناميم اگر باشد ، تابع اگر باشد ، تابع . . را تابع نوع دو مي ناميم را تابع نوع دو مي ناميم اگر باشد ، تابع اگر باشد ، تابع

. . مي ناميم مي ناميم NN را تابع نوع را تابع نوع اگر باشد ، تابع اگر باشد ، تابع . . توابع نوع يك هستند توابع نوع يك هستند ) ) مثل ورودي هاي پله اي مثل ورودي هاي پله اي ((بنابراين براساس اين تعريف توابع پله اي بنابراين براساس اين تعريف توابع پله اي

و اگر تابع پله اي ورودي و اگر تابع پله اي ورودي بنابراين اگر تابع پله اي ورودي مبنا به مقدار بنابراين اگر تابع پله اي ورودي مبنا به مقدار

: : به مقدار باشند ؛ مي توان نوشت به مقدار باشند ؛ مي توان نوشت

خطاي حالت ماندگار موقعي ايجاد مي شود كه در يك سيستم فيدبك با خطاي حالت ماندگار موقعي ايجاد مي شود كه در يك سيستم فيدبك با : : بنابراين مي توان ادعا نمود كه بنابراين مي توان ادعا نمود كه قرار گرفته است و مقدار آن برابر است قرار گرفته است و مقدار آن برابر است تابع تبديل مدار باز از نوع صفر كه تحت تاثيرورودي مبنا از نوع يك تابع تبديل مدار باز از نوع صفر كه تحت تاثيرورودي مبنا از نوع يك

: : با با

0=N1=N2=NnN =

)(sG)(sG)(sG)(sG

SrsR 0)( =0rS

VsV 0)( =

0V

00)(lim)(lim)(lim)(lim 00

→∞→→∞→====

StStVsSVtVrsSRtr

001)(1

)(lim)](lim[)( 0

→→+

=+

==∞=

SSK

rsG

sRSsSEeess

www.ASEC.blogfa.com

139139

تعريف تعريف offset offset صفركه تحت صفركه تحت مقدارخطاي حالت ماندگار يك سيستم كنترلي فيدبك دارباتابع تبديل نوع مقدارخطاي حالت ماندگار يك سيستم كنترلي فيدبك دارباتابع تبديل نوع : : البته با يك مثال نشان مي دهيم البته با يك مثال نشان مي دهيم . . ناميده مي شود ناميده مي شود offset offset ، ورودي مبنا تابع نوع يك قرار گرفته است ، ورودي مبنا تابع نوع يك قرار گرفته است

.. را از بين برد را از بين برد offset offset يك كنترلر انتگرالگير قرار دهيم ، مي توان يك كنترلر انتگرالگير قرار دهيم ، مي توانGc(s) Gc(s) كه اگر در تابع تبديل كنترلر كه اگر در تابع تبديل كنترلر . . ر را به صفر برسانيد ر را به صفر برسانيد با لنتخاب يك كنترلر انتگرالگير براي سيستم مقابل خطاي حالت ماندگا با لنتخاب يك كنترلر انتگرالگير براي سيستم مقابل خطاي حالت ماندگا : : مثال مثال

OffsetOffset داريم و مقدار آن داريم و مقدار آن بنابراين بنابراين چون تابع تبديل مدار باز از نوع صفر و ورئدي مبنا از نوع يك است ، چون تابع تبديل مدار باز از نوع صفر و ورئدي مبنا از نوع يك است ، : : بصورت زير محاسبه مي شود بصورت زير محاسبه مي شود

Kc 3)1( +SKp

Sr0

)(sE )(sC)(sGc

)(sGp

+

−3)1(

.)().()(+

==S

KpKcsGpsGcsF

00

00

0

3

000

11)(

01

)](lim[)(

)1(1

)()(1

)()(1

1)(

)(.)(1

1)()(1

1)(1

)(1)()(1

)()()()()(

rKcKp

KcKpKcKpr

rerc

SKcKpr

sSEee

SKcKpr

sSEsG

rsSE

Sr

sGsE

sRsG

sEsGsG

sGsRsC

sRsEsCsRsE

ss

ss

+=

+−=−=∞

→+

==∞=

++

=⇒+

=⇒+

=⇒

+=⇒

+=

+−=−=⇒−=

www.ASEC.blogfa.com

140140

: : يك كنترلر انتگرالگير در نظر مي گيريم يك كنترلر انتگرالگير در نظر مي گيريم Kc Kc حال بجاي كنترلر تناسبي حال بجاي كنترلر تناسبي

. . از نوع يك ياباالترباشدخطاي حالت ماندگار برابرصفرخواهد شد از نوع يك ياباالترباشدخطاي حالت ماندگار برابرصفرخواهد شد G(s) G(s) بطور كلي اگر تابع تبديل مدار باز بطور كلي اگر تابع تبديل مدار باز: : انواع كنترلر هاي حطي انواع كنترلر هاي حطي

proportionalproportional--Derivative , proportional &roportional Derivative , proportional &roportional –– DerivativeDerivative--IntegralIntegral ) ) براي نيمسال آينده براي نيمسال آينده .( .( ساختمان كنترلرهاي خطي ارائه شوند ساختمان كنترلرهاي خطي ارائه شوند

.. و بزرگ انتخاب نمودن ضريب بهره خروجي به ورودي نزديكتر مي شود و بزرگ انتخاب نمودن ضريب بهره خروجي به ورودي نزديكتر مي شود proportional proportional توسط كنترلر توسط كنترلر ) ) دكتر غفاري دكتر غفاري 66--22مثال مثال ( (

. . خطاي حالت ماندگار سيستم را مي توان صفر نمود خطاي حالت ماندگار سيستم را مي توان صفر نمود IntegralIntegral توسط كنترلر توسط كنترلر

SKc

SKc 3)1( +S

KpS

r0 )(sC)(sE)(sGc )(sGp

+

−

00

3

30

3

00

3

)(0

0)](lim[

)1()1(

)1(.1)(1

)(

0

)](lim[)()1(

.)().()(

rerCS

sSE

SSKcKpSSr

SSKpKc

rsG

rsSE

S

sSEeeSS

KpKcsGpsGcsG

ss

ss

=−=∞=

→⇒

+++

=

++

=+

=

→

=∞=⇒+

==

www.ASEC.blogfa.com

141141

. . سيستم مدار بسته را مي توان پايدار نمود سيستم مدار بسته را مي توان پايدار نمود Derivativ Derivativ توسط كنترلر توسط كنترلر. . متاب دكتر غفاري متاب دكتر غفاري 312312 تا تا 308308 صفحات صفحات 99--66و و 88--66 و و 77--66 توسط توضيح مثالهاي توسط توضيح مثالهاي

The rootThe root--Locus MethodLocus Method : : روش مكان هندسي ريشه ها روش مكان هندسي ريشه ها نشاندهنده پايداري و رفتار نشاندهنده پايداري و رفتار ))ياريشه معادله مشحصه ياريشه معادله مشحصه (( همانطوريكه قبال نيز ذكر شد ، قطبهاي حلقه بسته همانطوريكه قبال نيز ذكر شد ، قطبهاي حلقه بسته

..دقيق يك سيستم كنترلي است دقيق يك سيستم كنترلي است از آن مشخصات تابع تبديل مدار باز از آن مشخصات تابع تبديل مدار باز معموال در داخل معادله مشخصه پارامتري وجود دارد كه با استفاده معموال در داخل معادله مشخصه پارامتري وجود دارد كه با استفاده

به مشخصات تابع تبديل مداربسته مربوط مي شود واين همان ضريب بهره به مشخصات تابع تبديل مداربسته مربوط مي شود واين همان ضريب بهره ) ) مثل صفرهاوقطبهاي مدارباز مثل صفرهاوقطبهاي مدارباز ( ( .. مي باشد مي باشد K(Gain)K(Gain) يا يا

ارائه شد كه براساس آن فقط متوجه مي شويم كه سيستم ارائه شد كه براساس آن فقط متوجه مي شويم كه سيستم ) ) هارويتز هارويتز --روثروث( ( قبال در مورد پايداري يك روش قبال در مورد پايداري يك روش يا خير؟ اما حاال نياز به اين داريم يا خير؟ اما حاال نياز به اين داريم پايداراست يا نه؟ويا اينكه سيستم داراي شرايط پايداري مرزي مي باشد پايداراست يا نه؟ويا اينكه سيستم داراي شرايط پايداري مرزي مي باشد زايش آن پارامتر به شرايط پايداري زايش آن پارامتر به شرايط پايداري كه سيستم تا چه ميزان به شرايط پايداري مرزي نزديك است ؟ آيا با اف كه سيستم تا چه ميزان به شرايط پايداري مرزي نزديك است ؟ آيا با اف تي تغيير مي كند ؟ همانطوريكه از تي تغيير مي كند ؟ همانطوريكه از واقعي خواهيم رسيد ؟ با افزايش آن پارامتر رفتار سيستم به چه صور واقعي خواهيم رسيد ؟ با افزايش آن پارامتر رفتار سيستم به چه صور

.. و رفتار سيستم عوض ميشود و رفتار سيستم عوض ميشود معادله معلوم است باتعويض ضريب بهره ريشه هاي معادله نيزعوض مي شود معادله معلوم است باتعويض ضريب بهره ريشه هاي معادله نيزعوض مي شود دام نقاط از صفحه مختلط قرار دام نقاط از صفحه مختلط قرار قبال چگونگي رفتار سيستم به ازاي اينكه ريشه هاي معادله مشخصه در ك قبال چگونگي رفتار سيستم به ازاي اينكه ريشه هاي معادله مشخصه در ك

. . بگيرند ، توضيح داده بوديم بگيرند ، توضيح داده بوديم

G(S))(sC)(sR +

−( )

( )∏

∏

=

=

+

+==+

=+

n

ii

m

jj

PS

ZSsGskG

sG

1

100 )(;0)(1

0)(1

www.ASEC.blogfa.com

142142

ممكن است شرايط پايداري ممكن است شرايط پايداري ) ) يا كاهش آن يا كاهش آن ( ( با افزايش ضريب با افزايش ضريب ) ) دراين فصل خواهيم ديد دراين فصل خواهيم ديد ((واقعيت اينستكه واقعيت اينستكه مطمعنا باعث مي شود مشخصات رفتاري مطمعنا باعث مي شود مشخصات رفتاري ) ) پارامتر پارامتر ( ( ، اما اين تغيير در ضريب ، اما اين تغيير در ضريب ) ) يا قوي شود يا قوي شود ( ( ايجاد شود ايجاد شود

مطلب مطلب اولين جاييكه بحث بهينه سازي درمهندسي كنترل ايجاد مي شود در همين اولين جاييكه بحث بهينه سازي درمهندسي كنترل ايجاد مي شود در همين . . سيستم مناسب نباشد سيستم مناسب نباشد مناسب نيز داشته باشد، مناسب نيز داشته باشد، انتخاب ضريب بهينه بطوريكه سيستم پايدارباشد و ضمنا مشخصات رفتاري انتخاب ضريب بهينه بطوريكه سيستم پايدارباشد و ضمنا مشخصات رفتاري . . است است

..يكي از اهداف مهندسين كنترل همين است يكي از اهداف مهندسين كنترل همين است ( ( ∞∞ از صفر تا از صفر تا ((هاي مختلف هاي مختلف KK به ازاي به ازاي به منحني ايجاد شده براي معادله مشخصه به منحني ايجاد شده براي معادله مشخصه

. . مي گوييم مي گوييم RootRoot--Locus Locus منحني مكان هندسي ريشه هاي سيستم مدار بسته يا منحني مكان هندسي ريشه هاي سيستم مدار بسته يا:: وجود داشته باشد ، معادله مشخصه بصورت زير خواهد بود وجود داشته باشد ، معادله مشخصه بصورت زير خواهد بود H(s) H(s) اگر در مدار فيدبك تابع تبديل اگر در مدار فيدبك تابع تبديل : : تذكر تذكر

بنابراين ميتوان نوشت ؛ بنابراين ميتوان نوشت ؛

::چون يك عدد مختلط است مي توان نوشت چون يك عدد مختلط است مي توان نوشت

0)(1 0 =+ sKG

G(S)

H(S)( ))().()(0)(1

0)()(100)()(1

00 sHsGsGsKGsHsKGr

sHsG

=⇔=+=+

=+)(sC+

−

01)(0 ≥−= kK

sG

)(0 sG

( )

KsG

ZNNNsG1)()2(

,3,2,1,0,360180)()1(

0

0

=

∈±±±=±−=∠ Lo

www.ASEC.blogfa.com

143143

اما چون ما ميخواهيم ريشه هاي اما چون ما ميخواهيم ريشه هاي ..است است ) ) 11((مكان هندسي ريشه هادرواقع ارضا نمودن شرط زاويه يا معادله مكان هندسي ريشه هادرواقع ارضا نمودن شرط زاويه يا معادله . . را نيز ارضا نماييم را نيز ارضا نماييم ) ) ) ) 22((يا معادله يا معادله ( ( را بدست آوريم بايدشرط اندازه را بدست آوريم بايدشرط اندازه ) ) يا قطبهاي مدارباز يا قطبهاي مدارباز ((معادله مشخصه معادله مشخصه

: : اگر بصورت زير باشد اگر بصورت زير باشد

قطب هاو قطبهاي قطب هاو قطبهاي كه در آن صفر و كه در آن صفر و . . مزدوج مختلط هستند مزدوج مختلط هستند

: : در جهت مثلثاتي باشند داريم در جهت مثلثاتي باشند داريم اگر زاويه اگر زاويه

:: مي توان نوشت مي توان نوشت و همينطور با توجه به موقعيت مكاني احتمالي و همينطور با توجه به موقعيت مكاني احتمالي

)(0 sG

))()()(()()(

4321

10 PSPSPSPS

ZSsG−−−−

−=

1Z4321 ,,, pppp32 , pp

11234

11234

φθθθθZPPPP

( )ZNNNsG ∈±±±=±−=−−−−=∠ Lo ,3,2,1,0,360180)()3( 4132110 θθθθϕ

14321 ,,,, zpppp

)4(1)()2(4321

10 KAAAA

BsG ==

p3

s

p1

p2

P4 z1

www.ASEC.blogfa.com

144144

با در نظر گرفتن نقاط با در نظر گرفتن نقاط . . در آنها صدق نمايد در آنها صدق نمايد 44وو33بر اين اساس نقاطي جزء نمودار هستند كه هر دو شرط بر اين اساس نقاطي جزء نمودار هستند كه هر دو شرط . . صدق نمايند ، معادله مشخصه تحليل مي شود صدق نمايند ، معادله مشخصه تحليل مي شود 44وو33بسيار زيادي و تست آنها بخاطر اينكه بايد در شروط بسيار زيادي و تست آنها بخاطر اينكه بايد در شروط

:: سه مرحله يافتن ريشه معادله سه مرحله يافتن ريشه معادله . . تعيين موقعيت قطبهاي و صفرهاي مدار باز تعيين موقعيت قطبهاي و صفرهاي مدار باز : : الف الف

. . در آن ارضاء شود در آن ارضاء شود 33 بطوريكه شرط بطوريكه شرط S S در نظر گرفتن يك نقطه در نظر گرفتن يك نقطه : : ب بKK . . 44 با استفاده از معادله يا شرط با استفاده از معادله يا شرط يافتن بهره مربوطه يا يافتن بهره مربوطه يا : : ج ج .. نشان داده مي شود نشان داده مي شود o o و محل صفرهاي حلقه باز با و محل صفرهاي حلقه باز با * * محل قطبهاي حقله باز با محل قطبهاي حقله باز با

: : قواعد رسم مكان هندسي ريشه ها قواعد رسم مكان هندسي ريشه ها . . مكان هندسي نسبت به محور حقيقي قرينه است مكان هندسي نسبت به محور حقيقي قرينه است --11

شاخه تشكيل مي گردد ،كه البته بعضي ازآنها شاخه تشكيل مي گردد ،كه البته بعضي ازآنها nn قطب باشد ، مكان هندسي از قطب باشد ، مكان هندسي از nn داراي داراي G(s) G(s) 22-- اگر اگر .. ممكن است يكديگر را قطع كنند ممكن است يكديگر را قطع كنند

ار ار ازمحل قطبهاي مدار باز شروع وبه ازاء به محل صفرهاي مد ازمحل قطبهاي مدار باز شروع وبه ازاء به محل صفرهاي مد k=0 k=0 33-- تمام شاخه ها به ازاي تمام شاخه ها به ازاي . . ميل ميكنند ميل ميكنند اگر باشد شاخه در جهت مجانبها به سمت بي نهايت اگر باشد شاخه در جهت مجانبها به سمت بي نهايت .. باز ختم مي شوند باز ختم مي شوند

.).) تعداد صفرهاي مدار باز است تعداد صفرهاي مدار باز است mm تعداد قطب هاي مدار باز و تعداد قطب هاي مدار باز و nn) ) زاويه مجانبها با محور حقيقي عبارتست از ؛ زاويه مجانبها با محور حقيقي عبارتست از ؛ --44

= = تعداد مجانبها تعداد مجانبها : : آيد آيد اگر باشد ، فقط تمركز مجانبها از رابطه زير بدست مي اگر باشد ، فقط تمركز مجانبها از رابطه زير بدست مي --55

0)(1 0 =+ sKG

KsG 1)(0 =

0→Kmn >mn −

,....7,5,3,1;180 =−

±= qmn

qmn −

2≥− mn

mn

ZiPih

m

j

n

i

−

−=

∑∑== 11

www.ASEC.blogfa.com

145145

: : ته بصورت زير تعريف مي شود ته بصورت زير تعريف مي شود اگر باشد ، مركز ثقل قطبها يا ريشه هاي مدار بس اگر باشد ، مركز ثقل قطبها يا ريشه هاي مدار بس --66

. . تعويض نخواهد شد تعويض نخواهد شد K K مستقل از مستقل ازc.g. c.g. البته مقدار البته مقدار اي مدار بازواقع شده در اي مدار بازواقع شده در آن نقاطي ازمحورحقيقي جزو مكان هندسي هستند كه مجموع قطبها و صفره آن نقاطي ازمحورحقيقي جزو مكان هندسي هستند كه مجموع قطبها و صفره --77

. . روي محور حقيقي ودرسمت راست آن نقاط برابرصفرشود روي محور حقيقي ودرسمت راست آن نقاط برابرصفرشود در آن مكان هندسي از محور در آن مكان هندسي از محور اگر همه قطبها و صفرهاي مدار باز حقيقي باشند ، مختصات نقطه اي كه اگر همه قطبها و صفرهاي مدار باز حقيقي باشند ، مختصات نقطه اي كه --88

: : حقيقي جدامي شود ، از معادله زير بدست مي آيد حقيقي جدامي شود ، از معادله زير بدست مي آيد

ا زاويه زيراز قطب مدار باز ا زاويه زيراز قطب مدار باز در جايي كه سيستم مدارباز داراي قطب هاي مختلط است ، مكان هندسي ب در جايي كه سيستم مدارباز داراي قطب هاي مختلط است ، مكان هندسي ب --99. . جدا مي شود جدا مي شود PiPi

. . يل مي شود يل مي شود زاويه اي كه توسط ساير قطبهاو صفرهاي مدار باز در تشك زاويه اي كه توسط ساير قطبهاو صفرهاي مدار باز در تشك

.) .) نقاطي كه درمسير از هم جدا مي شوند نقاطي كه درمسير از هم جدا مي شوند ( ( تعيين نقاط شكست تعيين نقاط شكست --1010

و حل معادله و حل معادله مي توان نقاط برخورد مكان هندسي با محور موهومي را با قرار دادن مي توان نقاط برخورد مكان هندسي با محور موهومي را با قرار دادن --1111 . . حاصل بدست آورد حاصل بدست آورد

: : زاويه خروج از قطب مختلط و زاويه ورود به صفر مختلط زاويه خروج از قطب مختلط و زاويه ورود به صفر مختلط --1212 زاويه خروج از قطب مختلط زاويه خروج از قطب مختلط = = 180180 --) ) جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه قطب ها به آن قطب جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه قطب ها به آن قطب ( (

) +) +جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه صفرها به آن قطب جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه صفرها به آن قطب ( (

2≥− mn

∑=

=n

i nPigc

1..

∑∑== −

=−

m

j

n

i zibPib 11

11

jiji ≠−−= ;180 ψθjψ

iP

0=dsdk

ωjS =

www.ASEC.blogfa.com

146146

: : زاويه خروج از قطب مختلط و زاويه ورود به صفر مختلط زاويه خروج از قطب مختلط و زاويه ورود به صفر مختلط --1212زاويه ورود به صفر مختلط زاويه ورود به صفر مختلط = = 180180 --))جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه صفر ها به آن صفر جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه صفر ها به آن صفر ( (

) + ) + جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه قطب ها به آن صفر جمع زاويه بردارهاي رسم شده از بقيه قطب ها به آن صفر ( (: : انواع مكان هندسي ريشه ها انواع مكان هندسي ريشه ها

)1()(

1TssKsG+

=

www.ASEC.blogfa.com

147147

)1(

)1()(

1

2

TssTsK

sG+

+=

www.ASEC.blogfa.com

148148

چون شاخه ها به سمت چپ تمايل پيدا كرده اند و چون شاخه ها به سمت چپ تمايل پيدا كرده اند و ..با افزودن يك صفر سيستم كنترلي پايدار تر شده استبا افزودن يك صفر سيستم كنترلي پايدار تر شده است..عكس العمل سيستم سريعتر شده است عكس العمل سيستم سريعتر شده است

)1)(1()(

31 TsTssKsG

++=

ي شودي شودبا افزودن يك قطب سيستم كنترلي ناپايتر و عكس العمل سيستم كند تر م با افزودن يك قطب سيستم كنترلي ناپايتر و عكس العمل سيستم كند تر م

www.ASEC.blogfa.com

149149

تمرين تمرين

مطلوب است ترسيم مكان هندسي ريشه ها براي سيستم مكانيكي زير مطلوب است ترسيم مكان هندسي ريشه ها براي سيستم مكانيكي زير --11

::پس از ترسيم مكان هندسي ريشه ها مطلوب است پس از ترسيم مكان هندسي ريشه ها مطلوب است --22

در ورودي پله واحد و شيبدر ورودي پله واحد و شيب k=3 k=3 تا تاk=0.377 k=0.377 به ازاي به ازايessess تعيينتعيين--

essess به ازايبه ازاي تعيين تعيين --

تاييد نتايج با مطلبتاييد نتايج با مطلب--

)3)(2)(1(1,

)2)(1()4(,

)2)(1()4( 23

++−=

+++

=++

+=

sssGH

ssssGH

sssGH

)10)(2)(1(50

+++=

ssskGH

707.0=ζ

www.ASEC.blogfa.com

150150

(compensators كنترلر طراحي ) جبران سازها تك خروجي تك خروجي ––رودي رودي براي تصحيح رفتار ديناميكي يك سيستم كنترلي خطي مستقل از زمان تك و براي تصحيح رفتار ديناميكي يك سيستم كنترلي خطي مستقل از زمان تك و

sisosisoبا استفاده از روش مكان هندسي ريشه ها با استفاده از روش مكان هندسي ريشه ها

علت به كار بردن جبران ساز ها علت به كار بردن جبران ساز ها ايجاد حالت پايداري مطلق ايجاد حالت پايداري مطلق --11عملكرد حالت ماندگار عملكرد حالت ماندگار ==كاهش خطاي حالت پايدار كاهش خطاي حالت پايدار --22

overshoot,settlingovershoot,settling== عملكرد حالت گذرا عملكرد حالت گذرا time time 33-- كاهش كاهش..ازي استفاده ميشود ازي استفاده ميشود معموال به علت راحتي از جبرانساز هاي سري بيشتر از جبران سازهاي مو معموال به علت راحتي از جبرانساز هاي سري بيشتر از جبران سازهاي مو

+ + + + + +

-- -- --

compensators or Controller compensators or Controller compensators or Controller compensators or Controller جبرانساز سري جبرانساز سري

جبرانساز موازي جبرانساز موازي

( )sG( )sGc

( )sR

( )sH

( )sG( )sR

( )sH

( )sG1 ( )sG2

( )sG2

www.ASEC.blogfa.com

151151

Proportional Proportional( ( است است ) ) جبرانساز جبرانساز ( ( در روش مكان هندسي ريشه ها خود يك كنترلر در روش مكان هندسي ريشه ها خود يك كنترلر KKپارامتر پارامتر ControllerController((

..ل تصحيح نيست ل تصحيح نيست اما رفتار خيلي از سيستم هاي ديناميكي فقط با يك كنترلر تناسبي قاب اما رفتار خيلي از سيستم هاي ديناميكي فقط با يك كنترلر تناسبي قاب

ش پايداري ش پايداري تعبيه يك عملگر انتگرالي باعث ايجاد يك قطب در مبدا و در نهايت كاه تعبيه يك عملگر انتگرالي باعث ايجاد يك قطب در مبدا و در نهايت كاه : : اثر افزودن قطب اثر افزودن قطب . . استاست

×× ×× ×× ×× ×× ××

11+

=S

GH( )( )2++

=SS

GH 11

( )( )( )32 +++=

SSSGH 1

1

www.ASEC.blogfa.com

152152

سرعت پاسخ سرعت پاسخ با تعبيه كنترلر مشتقي مستقيم پايدارتر و مكان هندسي به سمت چپ و با تعبيه كنترلر مشتقي مستقيم پايدارتر و مكان هندسي به سمت چپ و ::اثر افزودن صفر اثر افزودن صفر . . باالتر مي رود باالتر مي رود

×× ×× ×× ×× ×× ×× ×× ×× ××

×× ×× ×× ×× ××

11-- 22--

( )( )2++=

SSSGH 1

1( )( )( )2

4++

+=

SSSSGH 1

( )( )( )21SS

S++

+=

SSGH .1

( )( )( )21SS

S++

+=

SSGH .ο

www.ASEC.blogfa.com

153153

. . مي شوند مي شوند ) ) در سيستم پايدار در سيستم پايدار ( ( باعث بهبود رفتار حالت ماندگار باعث بهبود رفتار حالت ماندگار PIPIبطور خالصه جبرانساز بطور خالصه جبرانساز و و essess ( ( Improve ess errorImprove ess errorصفر شدن خطاي صفر شدن خطاي ( (

همچنين باعث افزايش مرتبه سيستم نيز مي شود همچنين باعث افزايش مرتبه سيستم نيز مي شود

Improve Transient ResponseImprove Transient Response: : باعث پايدار شدن سيستم مي شود باعث پايدار شدن سيستم مي شود PDPD جبرانساز جبرانساز --PD Controller K (PD Controller K (S+ZcS+Zc) )

: : نيز به شكل زير است نيز به شكل زير است LagLag و پس فاز و پس فاز LeadLead ساختمان جبرانساز هاي پيش فاز ساختمان جبرانساز هاي پيش فاز --

ZcZc PcPc PcPc ZcZc ×× ××

LeadLead پيش فاز پيش فاز LagLag پس فاز پس فاز

SZc+

=SkerPIControll

PcSZcSK

++

PcSZcSK

++

www.ASEC.blogfa.com

154154

هنگامي استفاده مي شود كه سيستم اصلي به ازاي تمام Lead Compensator جبرانساز پيش فاز -. مقادير بهره ناپايدار باشد يا مشخصات پاسخ گذاري مطلوبي ندارد

Lead Compensator Improves the Transient Response مي دهيم قادر به مطلوب نمودن پاسخ گذار نباشيم با روش زير اينكار را انجام Kاگر با تغيير در ضريب بهره

) و تغيير هدف در مقادير (

حلقه باز سيستم اصلي ابتدا جمع زواياي محل مطلوب يك قطب حلقه بسته را از قطب و صفر هاي : روش

. شده زاويه را تعيين مي كنيم ± 2K+1 (188( براي 6بدست آورده و تغيير زاويه P نقطه جديد

C D B

نيمساز زاويه منفرجه نيمساز زاويه منفرجه

2ϕ

2ϕ

T1

−

ζ

10 pp∝

( )

T∝+

+= 1

1

S

TS

KG csc

T∝−1

nω

www.ASEC.blogfa.com

155155

: : دددر سيستم قطبهاي حلقه بسته قرار دارن در سيستم قطبهاي حلقه بسته قرار دارن : : مثال مثال

+ + قطبهاي حلقه بسته قطبهاي حلقه بسته

-- ×× ××

11-- 22--

. . در اين نقطه و است در اين نقطه و است

) ) بدون تغيير در بدون تغيير در . ( . ( مي خواهيم شود مي خواهيم شود

( )2SS4+

=GH

( )( ) ( )3j-131j1S

44 2SS

42 +++

=++

=cssR

sC

o.s=ζ

ζ

S2 redn =ω

S4redn =ω

( )2SS4+

www.ASEC.blogfa.com

156156

::دنباله مثال دنباله مثال 600 + -4 * Cos 60 ± j 4 = قطب هاي حلقه بسته مطلوب قطب هاي حلقه بسته مطلوب

قطب حلقه بسته مطلوب قطب حلقه بسته مطلوب

: : در قطب مطلوب برابر است با در قطب مطلوب برابر است با GG(S)(S)بنابراين زاويه بنابراين زاويه

شود يعني شود يعني 180 (2k+1)(2k+1) 180±±براي آنكه مكان هندسي جذيذ از اين نقطه بگذرد بايد زاويه كلي براي آنكه مكان هندسي جذيذ از اين نقطه بگذرد بايد زاويه كلي ))بنابراين بنابراين ( ( جبرانساز پيش فاز بايد زاويه را ايجاد نمايد جبرانساز پيش فاز بايد زاويه را ايجاد نمايد

3j22 ±−=

asco 1−=060

( )0

3j2-2 2102SS

4−=

+∠

+=S

030=ϕ015=ϕ

S4redn =ω

www.ASEC.blogfa.com

157157

pp

×× ×× ×× --5.4 5.4 --4 4 --2.q 2.q --22

: : بنابراين بنابراين

: : را نيز تعيين مي كنيم را نيز تعيين مي كنيم KKCCحال با شرط اندازه مقدار حال با شرط اندازه مقدار 1 =

p : بنابراين

×× ×× ×× --5.4 5.4 --2.q 2.q --22

012

012

2.qT

−=−15.4

T−=

−1

0.345=T

0.537∝=

( ) ( ) ( ) ( )( )5.42SS2.q4K

2SS4

5.4S2.qs C ++

+=

+++

=S

SSKsGG cc

( )( )( )5.42SS

2.q4KC

+++S

S3j2-2 +=S

4.68=cK

( )5.4S2.qS4.68

++

=SGc

www.ASEC.blogfa.com

158158

::دنباله مثال دنباله مثال قطب حلقه بسته در قطب حلقه بسته در در سيستم جديد در سيستم جديد

اثري ندارد و دو قطب اثري ندارد و دو قطب قرار مي گيرد و چون نزديك صفر است بر پاسخ گذرا قرار مي گيرد و چون نزديك صفر است بر پاسخ گذرا . . قطبهاي غالب هستند قطبهاي غالب هستند

. . تعيين نمود تعيين نمود ) ) اصلي و جبران شده اصلي و جبران شده ( ( براي هر دو سيستم براي هر دو سيستم Step ResponseStep Responseمي توان مي توان ثير مطلوب گذاشته و رفتار حالت ثير مطلوب گذاشته و رفتار حالت در اين صورت مشاهده مي شود جبرانساز پيش فاز فقط روي رفتار گذرا تا در اين صورت مشاهده مي شود جبرانساز پيش فاز فقط روي رفتار گذرا تا

..ماندگار را تغيير نداده است ماندگار را تغيير نداده است

هنگامي استفاده مي شود كه سيستم پاسخ گذاري مطلوبي هنگامي استفاده مي شود كه سيستم پاسخ گذاري مطلوبي Lag Compen Satorجبرانساز پس فاز )) قابل توجهي دارد قابل توجهي دارد essessخطاي خطاي ( ( دارد ولي رفتار حالت ماندگار آن خوب نيست دارد ولي رفتار حالت ماندگار آن خوب نيست

Lag Compensator Improves the Steady – State Error.كان هندسي ريشه ها تعويض نشود در اين جبرانساز چون پاسخ گذار مطلوب تر است سعي مي كنيم دياگرام م

.يعني قطبهاي حلقه بسته عوض نمي شوند . . براي كاهش خطا بهره حلقه باز بايد تا حد الزم زاد شود براي كاهش خطا بهره حلقه باز بايد تا حد الزم زاد شود

مي توان با در نظر گرفتن اين ضريب را افزايش داد مي توان با در نظر گرفتن اين ضريب را افزايش داد . . همچنين صفر و قطب پس فاز بايد نزديك مبدا انتخاب شوند همچنين صفر و قطب پس فاز بايد نزديك مبدا انتخاب شوند

( )( )

( )( )( )( )( )3.43j2-23j22S

2.q4.684++++

+=

SSS

sRsC

3.4−=S2.q−=S3j22±−=S

( )

T1S

T1S

K c

β+

+=

∧

SGc1fβ

www.ASEC.blogfa.com

159159

:افزايش ضريب بهره يعني افزايش ثابتهاي خطا

و سيستم جبران نشده سيستم جبران شده

. مشخصه پاسخ گذار تغيير نمي كند با برابر يك قرار دادن ضريب بهره جبرانساز پس فاز : بنابراين

سيستم جبران شده سيستم جبران نشده . . با ضريب كوچكتر خواهد شد با ضريب كوچكتر خواهد شد essessبنابراين

: : در مسله داريم در مسله داريم --مثال مثال

قطبهاي حلقه بسته قطبهاي حلقه بسته

υK1

=sse

( ) ( ) ( )∧

→

∧

== υυυ βKKKSGSGSSGK ccs

c limlim0

( )SSGKs 0→

= limυ

1Kc =∧

υυ βKK =∧

( )β

β 11f

( ) ( )( )211.06

++=

SSSG S

( )( ) ( )( ) 1.0621S

1.06+++

=SSsR

sC

( )( ) ( )2.3386Sj0.58640.3307j0.8864-0.3307S1.06

+++++=

S

www.ASEC.blogfa.com

160160

.. است است Wn=0.673داريم فركانس طبيعي ناپايداري قطبهاي غالب داريم فركانس طبيعي ناپايداري قطبهاي غالب : : يعني ، بنابراين در نظر مي گيريم يعني ، بنابراين در نظر مي گيريم . . برابر شود برابر شود 1010ثابت خطايي ايستايي سرعت تقريبا ثابت خطايي ايستايي سرعت تقريبا

براي تعيين دياگرامهاي مكان هندسي ريشه ها براي تعيين دياگرامهاي مكان هندسي ريشه ها . . با استفاده از شرايط اندازه را بدست مي آوريم با استفاده از شرايط اندازه را بدست مي آوريم ::براي سيستم هاي جبران نشده و جبران شده ترسيم مي شوند براي سيستم هاي جبران نشده و جبران شده ترسيم مي شوند

×× ×× ×× ×× ×× ×× ×× --2 2 --1 1 --0.4 0.4 --0.005 0.005 0.005 0.005 --2 2 --1 1

--0.10.1

دايره كوچك است دايره كوچك است جبران نشده جبران نشده

1−∧

= SSK υ10=β

( )0.005S0.05s

++

=∧ SKG cc

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )0.0052S1SS0.05K1.06

2S1SS1.06

0.005S0.05s c

++++

=+++

+=⇒

∧∧

SSSKsGG cc

∧

cKcK

0.491=ζ

www.ASEC.blogfa.com

161161

دنباله مثال دنباله مثال : : كنند كنند با ثابت نگهداشتن نسبت ميرائي قطبهاي غالب بسته نيز چندان تغير نمي با ثابت نگهداشتن نسبت ميرائي قطبهاي غالب بسته نيز چندان تغير نمي

S1,2= -0.31 ±j 0.55 : : حال مي توان را با استفاده از شرط اندازه بدست آورد حال مي توان را با استفاده از شرط اندازه بدست آورد

كنترل مي كنيم كنترل مي كنيم

مقدار آن در مقدار آن در % % 1515تر شده يا به تقريبا تر شده يا به تقريبا يعني خطاي حالت ماندگار ورودي شيب برابر كم يعني خطاي حالت ماندگار ورودي شيب برابر كم ..سيستم جبران نشده رسيده است سيستم جبران نشده رسيده است

cK∧

( )Se0.005Se0.050.9656G0.9656K Cc =⇒=⇒

∧

S

( )( )( )Se0.05

21Se0.005SK1.06 c++

=∧ SeSe 0.55 j -0.31+=S

( ) ( )( )1-

0S 0.53

21.06

211.06

==++

==→ SSS

SsSGKs

limυ

( ) ( ) ( ) 1-S 5.1180.53100.9656 ====∧∧

υυ βKKsGsSGK cc

9.6560.53

5.118=

www.ASEC.blogfa.com

162162

Lag Compen Satorl – Lead پس فاز -جبرانسازي پيش فاز

ز بيشتر مي كند و جبرانساز پس ز بيشتر مي كند و جبرانساز پس به طور خالصه جبرانساز پيش فاز سرعت پاسخ را بيشتر و پايداري را ني به طور خالصه جبرانساز پيش فاز سرعت پاسخ را بيشتر و پايداري را ني . . فاز دقت حالت ماندگار را بهبود بخشيده ولي سرعت را مي كاهد فاز دقت حالت ماندگار را بهبود بخشيده ولي سرعت را مي كاهد

پس فاز استفاده مي پس فاز استفاده مي --ان پيش فاز ان پيش فاز اگر بخواهيم هم خطا كم شود و هم سرعت پاسخ باال رود از جبرانساز تو اگر بخواهيم هم خطا كم شود و هم سرعت پاسخ باال رود از جبرانساز تو : : كنيم كنيم

. . مي توان هر كدام از بخشهاي پيش فاز و پس فاز را مجزا طراحي نمود مي توان هر كدام از بخشهاي پيش فاز و پس فاز را مجزا طراحي نمود

مطالعه شود مطالعه شود410410 صفحه صفحه 33--77مثال مثال پيش فاز پيش فاز پس فاز پس فاز

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+∫

+=

2

2

1

2

1S

T1

T1

T

S

T

SKsG cc

βγ

www.ASEC.blogfa.com

163163

پروژه هاي درسي پس از جبرانسازها پروژه هاي درسي پس از جبرانسازها در سيستم در سيستم بررسي بررسي --11

- وو ضريب ميرايي براي قطبهاي غالب برابر ضريب ميرايي براي قطبهاي غالب برابر . . استاستيافته و سيستم هاي يافته و سيستم هاي مشخصات جبرانساز مشخصات جبرانساز -- محل قطبهاي غالب را تعيين كنيد ب محل قطبهاي غالب را تعيين كنيد ب --الف الف

نتايج را نتايج را SIMULINKSIMULINK و و MATLABMATLAB با نرم افزار با نرم افزار --ج ج . . اصلي و جبران شده را با هم مقايسه نمائيد اصلي و جبران شده را با هم مقايسه نمائيد ..چك كنيد چك كنيد

: : با فيزيك واحد مطلوبيت تعيين با فيزيك واحد مطلوبيت تعيين براي براي --22 نسبت essو كاهش دو برابري %4.32=%54 و و ts=2.86s يك جبرانساز به نحوي كه يك جبرانساز به نحوي كه -- الف الف

. به سيستم اصلي . مشخصات رفتار ماندگار و گذراي دو سيستم را با هم مقايسه نمائيد -ب. . معتبر نمائيد معتبر نمائيد MATLABMATLAB نتايج را با -1. ظرائب بهره را با هم مقايسه نمائيد -ج+ + در سيستم در سيستم --33

- -

( ) ( )( )2010120SK

2 +++=

SSG S

( )sR ( )sG ( )sC+

0.4=ζs0.5=st

1SSZ c

++SK

( ) ( )( )31K

++=

SSSG S

( )sS

( )( )94K

++ SSSK

( )sR ( )sC

α+S

www.ASEC.blogfa.com

164164

ttss=1=1ss را به نحوي تعيين كنيد كه دو لوپ داخلي داشته باشيم را به نحوي تعيين كنيد كه دو لوپ داخلي داشته باشيم aa و و KK11 --الف الف

57%= s% 57%= s% tortor step step nesponsenesponse ) ) step step nesponsenesponseبراي براي ( ( براي كل سيستم باشد براي كل سيستم باشد %15=%57%15=%57 را طوري تعيين كنيد كه را طوري تعيين كنيد كه kk --بب. . سيستم برابر صفر شود سيستم برابر صفر شودessess به نحوي تعبيه كنيد كه به نحوي تعبيه كنيد كه PIPI يك كنترلر يك كنترلر --جج

+ ..معتبر نمائيدمعتبر نمائيد MATLABMATLAB حل را با نرم افزار حل را با نرم افزار --ددبررسي سيستم بررسي سيستم --44

-

. را براي پايداري تعيين كنيدK بازه -الف. مكان هندسي ريشه ها را ترسيم كنيد-ب %20 = %57 و ts= 0.05s و ess=0 جبرانسازي طرح كنيد كه -ج

..معتبر نماييدمعتبر نماييد MATLABMATLAB نتايج را با -د

( )sC( )sG

K

( ) ( )( )( )( )( )0.040.081.70.7-S

0.040.05530.072 S2

2

++++++

=SS

SSsG

www.ASEC.blogfa.com

165165

( ( Optimaization Optimaization معيارهاي يك سيستم كنترلي براي داشتن رفتار مناسب معيارهاي يك سيستم كنترلي براي داشتن رفتار مناسب ) ) بهينه يابي بهينه يابي. . دي پله واحد قرار گرفته است دي پله واحد قرار گرفته است ..ر ر . . داشتن حداقل زمان استقرار هنگاميكه سيستم تحت تاثير داشتن حداقل زمان استقرار هنگاميكه سيستم تحت تاثير --11

Settling time (tSettling time (tss)) ..لي است لي است حداكثر دامنه خيلي بزرگ نباشد ، چون باعث يك ضربه براي سيستم كنتر حداكثر دامنه خيلي بزرگ نباشد ، چون باعث يك ضربه براي سيستم كنتر --22 ، حاصل ، حاصل 22قدر مطلق خطا ، حاصل ضرب زمان در اندازه خطا ، مقدار خطا به توان قدر مطلق خطا ، حاصل ضرب زمان در اندازه خطا ، مقدار خطا به توان ( ( توابعي ار خطا مثل توابعي ار خطا مثل --33

. . حداقل باشد حداقل باشد ) ) 22 ضرب زمان در مقدار خطا به توان ضرب زمان در مقدار خطا به توان

: : نيكولز براي تعيين پارامترهاي يك كنترلر نيكولز براي تعيين پارامترهاي يك كنترلر __روشهاي زيگلر روشهاي زيگلر . . مي باشد مي باشد ) ) IAE IAE اساس اين روشها حداقل نمودن انتگرال قدر مطلق خطا اساس اين روشها حداقل نمودن انتگرال قدر مطلق خطا ))

بر اساس اين روش بر اساس اين روش ) : ) : transient Response Method transient Response Method 11-- روش عكس العمل حالت گذرا روش عكس العمل حالت گذرا : : روش اول روش اول ) ) پس از تعيين پارامترهاي پس از تعيين پارامترهاي L,RL,R در منحني پاسخ سيستم مدار باز به ورودي پله با توجه به شكل زير در منحني پاسخ سيستم مدار باز به ورودي پله با توجه به شكل زير

. . تعيين مي شوند تعيين مي شوند P,PI,PID P,PI,PID مقادير ضرايب بهره هاي مربوط به كنترلرهاي خطي مقادير ضرايب بهره هاي مربوط به كنترلرهاي خطي

)()(.

)()(.

)()(

)(int)(

0

2

0

0

2

0

errorSquaredbyMultipliedTimeofIntegraldttetITSE

errorAbsolutebyMultipliedTimeofIntegraldttetITAE

errorSquaredofIntegraldtteISE

errorabsoluteofegraldtteIAE

∫

∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

=

=

=

=

www.ASEC.blogfa.com

166166

: : عكس العمل سيستم مدار باز نسبت به ورودي پله اي واحد عكس العمل سيستم مدار باز نسبت به ورودي پله اي واحد : : Proportional Proportional براي كنترل براي كنترل --الف الف

: : Proportional & Integral Proportional & Integral براي كنترل براي كنترل --بب

: : Proportional integral & Derivativ Proportional integral & Derivativ براي كنترلر براي كنترلر ––ج ج

: : روش حساسيت مقدار نهايي روش حساسيت مقدار نهايي –– روش دوم روش دوم --22در مرز پايداري قرار داده شده و سپس در مرز پايداري قرار داده شده و سپس proportinal proportinal در اين روش سيستم مدار بسته تحت كنترلر در اين روش سيستم مدار بسته تحت كنترلر

-- پريد ارتعاشات عكس العمل پريد ارتعاشات عكس العمل ( ( ρρuu و و ) ) ضريب بهره سيستم را در مرز پايداري قرار داده ضريب بهره سيستم را در مرز پايداري قرار داده (( KKu u پارامترهاي پارامترهايرا را بدست آمده و با استفاده از اين دو مقادير بهينه پارامترهاي كنترلر بدست آمده و با استفاده از اين دو مقادير بهينه پارامترهاي كنترلر ) ) سيستم مدار بسته در مرز پايداري سيستم مدار بسته در مرز پايداري

: : بدست مي آوريم بدست مي آوريم

: : proportional proportional براي كنترلر براي كنترلر ––الف الف

cc KsGRL

K == )(1

)11()(3.39.0ST

KsGLTRL

Ki

cic +===

)11()(5.022.1 STST

KsGLTLTRL

K di

cdic ++====

Ku Plant)(sC)(sR +

−

system

cuc KsGKK == )(5.0

www.ASEC.blogfa.com

167167

: : Proportional &Integral Proportional &Integral براي كنترلر براي كنترلر --بب

: : Proportional & integral & Derivativ Proportional & integral & Derivativ براي كنترلر براي كنترلر --جج

)11()(83.045.0ST

KsGPTKKi

cuiuc +===

)11()(125.05.06.0 STST

KsGPTPTKK di

cuduiuc ++====

www.ASEC.blogfa.com

168168

Frequency Response Frequency Response پاسخ فركانسي پاسخ فركانسي : :

: : هدف از ارائه پاسخ فركانسي هدف از ارائه پاسخ فركانسي ..شناسايي دقيق از طريق ، تحت ورودي سينوسي قرار دادن آن شناسايي دقيق از طريق ، تحت ورودي سينوسي قرار دادن آن : : الف الف كه البته هدف آن كنترل كه البته هدف آن كنترل ) ) عملي عملي . ( . ( امكان دستيابي به يك روش كه اساس آن موارد تجربي است امكان دستيابي به يك روش كه اساس آن موارد تجربي است : : ب ب

. . يك سيستم ديناميكي است يك سيستم ديناميكي است . . است است پاسخ فركانسي همان رفتار سينوسي يك سيستم ديناميكي در حالت ماندگار پاسخ فركانسي همان رفتار سينوسي يك سيستم ديناميكي در حالت ماندگار چون حتي در انجام كارهاي چون حتي در انجام كارهاي چرا براي پاسخ فركانسي ، سيستم را تحت ورودي سينوسي قرار مي دهند ؟ چرا براي پاسخ فركانسي ، سيستم را تحت ورودي سينوسي قرار مي دهند ؟

البته همانطوريكه البته همانطوريكه . . نظام دهنده آن باشد نظام دهنده آن باشد ) ) تابع سينوسي تابع سينوسي ( ( با پايه تجربي يا عملي دوست داريم ، رياضي با پايه تجربي يا عملي دوست داريم ، رياضي . . ودي ارتباطي ندارد ودي ارتباطي ندارد قبال نيز ذكر شده است رفتار يك سيستم ديناميكي اصال به كم و كيف ور قبال نيز ذكر شده است رفتار يك سيستم ديناميكي اصال به كم و كيف ور

حت تاثير يك ورودي سينوسي قرارگرفته حت تاثير يك ورودي سينوسي قرارگرفته فرض ميكنيم سيستم باتابع تبديل مدارباز ت فرض ميكنيم سيستم باتابع تبديل مدارباز ت

: : دست آوريم دست آوريم است ، مي خواهيم خروجي را در حالت ماندگار يا ب است ، مي خواهيم خروجي را در حالت ماندگار يا ب )(

)()( sAsBsG =

)(ty)(tyss

( )

( )

n

n

nn

PSK

PSK

PSK

jSK

jSK

sY

PSPSPSPSSsBasYPSPSPSPSsA

sASsBasUsGsY

sUsYsG

SasUtatu

−++

−+

−+

++

−=

−−−−+=⇒−−−−=

+==⇒=⇒

+=⇒=

L

LL

2

2

1

1*

00

32122321

2222

)(

)())()(()()()())()(()(

)()()().()(

)()()()(sin.)(

ωω

ωω

ωω

ωωω

www.ASEC.blogfa.com

169169

: : با استفاده از قضيه مانده ها مي توان بدست آورد با استفاده از قضيه مانده ها مي توان بدست آورد . . اعداد مختلط قرينه اند اعداد مختلط قرينه اند

: : حال مي توان مقدار خروجي را بدست آورد حال مي توان مقدار خروجي را بدست آورد

. . يستم هستند ، منفي خواهند بود يستم هستند ، منفي خواهند بود براي يك سيستم پايدار كه همان قطبهاي س براي يك سيستم پايدار كه همان قطبهاي س

phasephase مي باشد، مي باشد، ) ) فاز فاز ( ( و زاويه و زاويه magnitudemagnitude چون يك عدد مختلط است كه داراي اندازه چون يك عدد مختلط است كه داراي اندازه::مي توان نوشت مي توان نوشت

*00 , KK

jjaG

jSsGaK

jjaG

jjGa

jSsGaK

jSjS 2)()(

2)(

2)()( *

00 −−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=−==

ωω

ωωωωω

ωω

ωω

tPn

tPtPtPtjtj neKeKeKeKeKeKty ++++++= − L321321

*00)( ωω

nPPPP ,,,, 321 L

(*)]2

)(2)(.[)()( *

00 jejGejGatyeKeKty

tjtjtjtj

ss

ωωωω ωω −

− −−=⇒+=

)( ωjG

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∠=+==

=−=

−

−

)(Re)(Imtan)()()(Im)(Re)()(

).()().()(

122

)()(

ωωωωφωωωω

ωωωω ωφωφ

jGjGjGوjGjGjGM

eMjGeMjG jj

www.ASEC.blogfa.com

170170

: : همين صفحه مي توان نوشت همين صفحه مي توان نوشت * * بنابراين با استفاده از رابطه بنابراين با استفاده از رابطه

ك تابع سينوسي با همان ك تابع سينوسي با همان يعني پاسخ حالت ماندگار يك سيستم ديناميكي تحت يك ورودي سينوسي ، ي يعني پاسخ حالت ماندگار يك سيستم ديناميكي تحت يك ورودي سينوسي ، ي يعني مي توان بر حسب ، براي يعني مي توان بر حسب ، براي . . ود ود فركانس و با اختالف فاز و دامنه مي ش فركانس و با اختالف فاز و دامنه مي ش

. . توابع منحني را ترسيم نمود توابع منحني را ترسيم نمود مي توان مشخصات خروجي يا مي توان مشخصات خروجي يا M(M(ωω),),ΦΦ((ωω) ) را را asinasinωωt t با معلوم بودن ورودي يا با معلوم بودن ورودي يا : : دياگرام دياگرام BodBod

. . بدست آورد بدست آورد

)](sin[.)()](sin[).(.)(2

sin

]2

)[(.)())(())((

ωφωωφωωθ

ω

θθ

ωφωωφω

+=⇒+=⇒−

=

−=

−

+−+

tbtytMatyjee

jeeMaty

ssss

jj

tjtj

ss

)(ωφ)(. ωMab =)(),( ωω MM

ω

www.ASEC.blogfa.com

171171

، براي توابع و ، براي توابع و wwيعني مي توان بر حسب يعني مي توان بر حسب . . و دامنه مي شود و دامنه مي شود فاز فاز . . منحني را ترسيم نمود منحني را ترسيم نمود

نمودار لگاريتمي يا نمودار لگاريتمي يا ::نمايش اول نمايش اول BodeBode دياگرام دياگرام

. را بدست آورد و مي توان مشخصات خروجي يا asinwtيعني با معلوم بودن ورودي يا

در تابع sاي تابع تبديل سينوسي يك سيستم خطي را مي توان با گذاشتن به ج .تبديل سيستم بدست آورد

( )wϕ

( )ωM

( )ωM

( )ωM

( )ωaMb = ( )ωϕ

( )ωϕ

( )ωϕ

ω

ω

ωj

www.ASEC.blogfa.com

172172

نيز بردار مختلط در صفحه مختلط بر حسب نيز بردار مختلط در صفحه مختلط بر حسب ) ) نمودار قطبي نمودار قطبي (( در نمودار بايكوئيت در نمودار بايكوئيت ::نمايش دوم نمايش دوم : : مانند شكل مانند شكل . . تغييرات از صفر تا بي نهايت ترسيم مي شود تغييرات از صفر تا بي نهايت ترسيم مي شود

Im

w=0 0.5 Nyquist Re

-45o 1

Nichols Diagram نمودار لگاريتم دامنه بر حسب فاز يا دياگرام نيكولز :نمايش سوم

T1

=ω( )

TS11+

=sω

( )ωω j

∞→ϕ

( )ωjGϕ

www.ASEC.blogfa.com

173173

:توضيح بيشتر دياگرامهاي پاسخ فركانسي بر ترسيم مي شوند با اين تفاوت در نمودار اول wبر حسب بر حسب وو نيز نيز BodeBodeدر نمودار در نمودار

: dB حسب oror

(dB). . ترسيم مي شوند ترسيم مي شوند 1010لگاريتمي بر مبناي لگاريتمي بر مبناي در نمودار دوم بر حسب در نمودار دوم بر حسب

مقياس خطي براي مقياس خطي براي dBdB دامنه بر حسب دامنه بر حسب

10 1

مقياس خطي براي مقياس خطي براي فاز بر حسب درجه فاز بر حسب درجه

10 1

. ضرب دامنه ها به جمع تبديل مي شود -Bode : 1 اصلي براي استفاده از نمودار هاي دو مزيت استفاده از روش مجانبهاي تقريبي براي -2

)منحني اول ( ترسيم تقريبي منحني هاي لگاريتم دامنه ) بخصوص هنگامي كه اطالعات تقريبي از پاسخ فركانس در اختيار باشد (

( ) MdBM 1020log=

ωϕ

ωϕ

ωϕωM

ωM ωM

ω

ω

ω

( )ωjG1020log

www.ASEC.blogfa.com

174174

))كم كم ( ( باز شدن ناحيه فركانسهاي پايين باز شدن ناحيه فركانسهاي پايين : : مزيت استفاده از مقياس لگاريتمي براي فركانس مزيت استفاده از مقياس لگاريتمي براي فركانس اف پاسخ اف پاسخ كمك قابل توجهي براي تعيين تابع تبديل به روش تجربي كه يكي از اهد كمك قابل توجهي براي تعيين تابع تبديل به روش تجربي كه يكي از اهد BodeBodeهمچنين نمودار همچنين نمودار

. . فركانسي است مي نمايد فركانسي است مي نمايد Kبهره بهره يا تابع تبديل مدار باز يك سيستم كنترلي يا تابع تبديل مدار باز يك سيستم كنترلي عوامل پايه اي در عوامل پايه اي در Gain=K

و و عوامل مشتق گير و انتگلرالگير عوامل مشتق گير و انتگلرالگير --

و مي توان با و مي توان با عوامل مرتبه دوم عوامل مرتبه دوم --. . تلفيق اين عوامل هر تابع تبديل مدار باز سيستم كنترلي را ساخت تلفيق اين عوامل هر تابع تبديل مدار باز سيستم كنترلي را ساخت

داراي دسيبل مثبت و 1 از بزرگتر اعداد ) عدد ثابت ( K بهره بهره --. داراي دسيبل منفي اند 1 از كوچكتر اعداد

در تابع تبديل Kاثر بهره . يك خط افقي و زاويه فاز صفر است Kمنحني لگاريتم بهره رابطه زير . اثر بر منحني فاز است فقط باال يا پايين بردن منحني لگاريتم دامنه به مقدار ثابت و بدون

: افزوده مي شود 20 برابر شدن عدد ، مقدار بر حسب دسيبل به اندازه 10نشان مي دهد با

: همچنين عكس شدن ضريب بهره

K1020log

( ) kK 10n

10 20log20n1020log +=∗

( ) kK 1010 20log1020log =∗

k1010 20logk120log −=

( )( ) ( )ωω jGjH 1= ( ) ( )ωω jHjG

( )ωjωj1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

n

j21n

jωω

ωωζ

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

n

j21n

jωω

ωωζ

www.ASEC.blogfa.com

175175

عوامل مشتق گير و انتگلرالگير عوامل مشتق گير و انتگلرالگير --: : عامل انتگلرالگير عامل انتگلرالگير

) ) هر فركانسي مي تواند باشد هر فركانسي مي تواند باشد ( ( اكتا و فاصله فركانسي تا اكتا و فاصله فركانسي تا : : تعريف تعريف ))هر فركانسي مي تواند باشد هر فركانسي مي تواند باشد ( ( دهه فاصله فركانس تا دهه فاصله فركانس تا --

با فاصله افقي يكساني متناظر است يعني فاصله افقي تا با فاصله افقي يكساني متناظر است يعني فاصله افقي تا ) ) يا كسر يا كسر ( ( در مقياس لگاريتمي هر نسبت در مقياس لگاريتمي هر نسبت --: : شيب خط بردار مثال شيب خط بردار مثال تا تا برابر با فاصله افقي برابر با فاصله افقي

محور عمودي عرض از مبدا محور افقي شيب محور عمودي عرض از مبدا محور افقي شيب ax +b=y

محور عمودي عرض از مبدا محور افقي شيب يا . ترسيم نمود هنگامي كه شيب خط مشخص است مي توان با داشتن يك نقطه از آن آن را

. است) گذرنده از مبدا ( زاويه فاز و منحني خط راست با شيب . مي گذرند و dB=0 هر دو عامل مشتق گير و انتگلرالگير از نقطه

decdB 20−

2π

decdB 20

ωω

20logj120log −= dB

2j1

j1 πω

−=−∠=∠=∠ j( )

211j

j1 π

ωωωω −∠=−==jG

1ω 1ω

1ω1ω2

1ω10

11 =ω10=1ω3=1ω30=1ω

( ) ( )dBdB 20-20log20log10- ωω −=

1=ω

dB log 20log 20 ωω =j

www.ASEC.blogfa.com

176176

dBdB dBdB + +2020 بنابراين بنابراين

00 شيب 2020 --

100100 1010 11 11 / /00

2020 شيب 00

2020-- 0

100100 1010 11 100 10 1 1/0 0

100 10 1

dec20dB

dec20- dBϕ

2π

π

π−2

π−

ϕ

ωlog

ωlog

ωlog

ωlog

( ) ωω jjG = ( )ω

ωj1

=jG

www.ASEC.blogfa.com

177177

توان عوامل مشتق گير انتگلرالگير توان عوامل مشتق گير انتگلرالگير --

..نيز مي گذرد نيز مي گذرد و و dB=0هر دو منحني از نقطه هر دو منحني از نقطه عوامل مرتبه اول و عوامل مرتبه اول و --

: : در فركانس هاي پايين داريم در فركانس هاي پايين داريم

از فركانس هاي باال از فركانس هاي باال T1 log 2222 ωωω loglog →→+ TT T

1ffω

T1

ppωdB 01 log 22 →+ Tω

( ) TtgTj

jG ωωω

ω 1−−∠+

=+ 221

1T1

1

Tj11ω+

( ) 22120logTj120logTj1

120log Tωωω

+−=+−=+

( )T1 ωj+

1=ω

( ) ( ) njn n ∗=∠∗−=+

∠ 22j11 πωπω

,

( ) dB log 20n log 20n20log ωωω =∗= jj n

( )dB log 20n log 20n

j120log ωωω

−=∗−= jn

www.ASEC.blogfa.com

178178

اندازه برابر با اندازه برابر با يعني در فركانس اندازه صفر مي شود و در فركانس يعني در فركانس اندازه صفر مي شود و در فركانس --20 dB20 dB يعني منحني اندازه داراي دو مجانب است يعني منحني اندازه داراي دو مجانب است . . مي شود مي شود . .

0 dB for = اندازه

0 dB for = شيب اندازه. . نام دارد نام دارد ) ) گوشه گوشه ( ( فركانس عمل برخورد در مجانب فركانس شكست فركانس عمل برخورد در مجانب فركانس شكست

فركانس شكست ::در مورد زاويه در مورد زاويه

. دهد حداكثر خطاي منحني اندازه از مقدار واقعي در فركانس گوشه اي رخ مي =حداكثر خطاي اندازه

ازه توسط محاسبه منحني اندازه توسط مجانب اند

3.03dB- 2 log -2001120log ==−+−=T1=ω

T1=ω

2

-451 T1, 00

-tg

o

-1

Ttg

tgTTtg

T

−=∞−=⇒∞=

=−=−=⇒==⇒=

=

−

−−

1

11

ϕω

ϕωϕω

ωϕ

T1

=ω

T10 ppω

∞pp ωT1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∗=

T110ω

www.ASEC.blogfa.com

179179

T1

2T1

10T1

20T1

ST1

T10

T20

T5

T2

o

o

o

90

45

0

20-

10-

0

10

−

−

رقيق فركانس گوشه اي مجانب

منحني رقيق مجانب

Bode Diagram

For

Tj11ω+

ϕ

dB

www.ASEC.blogfa.com

180180

خطا در يك اكتا و پايين تر از فركانس گوشه اي : خطاي اندازه

خطا در يك اكتا و باالتر از فركانس گوشه اي : خطاي اندازه

. است dB 0.04-باالتر يا پايين تر از فركانس گوشه اي تقريبا ) decade(همچنين خطاي در يك دهه

( )1 log 20--14120log +−=

( )2 log 20--1220log 2 +−=

0.97dB-2S20log−=

0.97dB-2S20log−=

2T1

=ω

T2

=ω

www.ASEC.blogfa.com

181181

Db خطاي لگاريتم با دور شدن از فركانس گوشه اي خطاي لگاريتم با دور شدن از فركانس گوشه اي -1 تا صفر ميل مي نمايد

2- 3- 4-

منحني هاي لگاريتم دامنه و زاويه فاز فقط در عالمت تفاوت و بررسي عوامل عكس مثل : دارند

T1

T2

T3

T5

T10

T21

T31

T51

T101

Tj11tgTj1 1-

ωωω

+−∠==+∠ T

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=+Tj1

1log 20T1log 20ω

ωj

Tj1 ω+Tj11ω+

Tj11ω+

ω

www.ASEC.blogfa.com

182182

20T1

10T1

ST1

2T1

T1

T5

T10

T20

T2

o

o

o

0

45

90

10-

0

20

40

ϕ

dB

منحني رقيق

مجانب

رقيق مجانب فركانس گوشه اي

Bode Diagram

For Tj1 ω+

www.ASEC.blogfa.com

183183

و مجانبها خط راست و مجانب پايين و مجانبها خط راست و مجانب پايين در مورد عبارت فركانس گوشه اي همان در مورد عبارت فركانس گوشه اي همان . . و مجانب باال خط با شيب است و مجانب باال خط با شيب است odBodBخط افقي خط افقي

برابر زاويه برابر زاويه nn برابر خطاي و زاويه فاز در هر فركانس خاص برابر خطاي و زاويه فاز در هر فركانس خاص nnخطا نيز خطا نيز . . استاست

عوامل مرتبه دوم عوامل مرتبه دوم ابتدا در مورد توان منفي ابتدا در مورد توان منفي

it

it مختلط و مزوج

decdBn 20-

Conjugateand Complex 2 10Poles nal 2 1

⇒⇒pp

f

ζζ

2

n

j21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n

jωω

ωωζ 2

n

j21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n

jωω

ωωζ

( ) nj mT1 ω+( ) nj mT1 ω+

( ) nj mT1 ω+T1=ω

www.ASEC.blogfa.com

184184

. . براي هاي كوچك تقريب مجانب دقيق نيست براي هاي كوچك تقريب مجانب دقيق نيست

. . يعني مجانب فركانس پايين خط افقي است يعني مجانب فركانس پايين خط افقي است فركانس پايين فركانس پايين

for

فركانس هاي باال فركانس هاي باال

است مي توان است مي توان ( ) ( ) ه از نقطه ه از نقطه يعني مجانب فركانس باال خط راست با شيب گذراند يعني مجانب فركانس باال خط راست با شيب گذراند ::نوشتنوشت

ζ

for

decdB 40−

0dB

1nωω

dBn

2n

2

n log 40-20logωω

ωωωω −=⇒ff

dB 0log1 20-20log1n ==⇒ωω pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n

n

jjωωζ

ωω

ωω

ωωζ

2-1 log 20

21

1log 202

2n

2

2

n

www.ASEC.blogfa.com

185185

Bode Diagram

For

O

o1n

180

900

−=⇒∞=

−=∞−=⇒=

=−

ϕω

ϕωω

ω

tg

2

n

n1

2

n

WW-1

WW2

WWj21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∠=

−

ζ

ζ

ϕ

tg

WWj

n

2

n

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n

jjωω

ωωζ

10

0

0

20

-90

-180

-20

-10

dB

www.ASEC.blogfa.com

186186

براي عامل براي عامل ) ) BodeBodeمنحني منحني ( ( حاال پاسخ فركانسي حاال پاسخ فركانسي : : بارت با توان منفي يعني بارت با توان منفي يعني مي توان با عوض نمودن عالمت منحني هاي لگاريتم دامنه و زاويه فاز ع مي توان با عوض نمودن عالمت منحني هاي لگاريتم دامنه و زاويه فاز ع

. . ترسيم نمود ترسيم نمود

براي عبارت با توان براي عبارت با توان ) ) در صورت وجود در صورت وجود ( ( يا حالت اكسترمم منحني اندازه يا حالت اكسترمم منحني اندازه ) ) WWnn((تعيين فركانس تشديد تعيين فركانس تشديد --: : منفي يعني منفي يعني

: : داريم داريم

در صورت وجود در جايي اتفاق مي افتد كه تابع در صورت وجود در جايي اتفاق مي افتد كه تابع ) ) يا فركانس تشديد يا فركانس تشديد ) ( ) ( G(jW)G(jW)((مقدار حداكثر اندازه مقدار حداكثر اندازه ::مي توان نوشت مي توان نوشت . . شود شود ) ) حداقل حداقل ( ( مينيمم مينيمم : : مخرج يعني مخرج يعني

يعني فركانس تشديد يعني فركانس تشديد . . مينيمم در اتفاق مي افتد مينيمم در اتفاق مي افتد for 0.7070 ≤≤ ζ2

r 2-1 ζωωω n==

2-1 ζωω n=

( )2

n

2

2n

2

2-1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωωζ

ωωωg

( ) ( ) ( )222

n

222

-142-1ζζ

ωζωω

ω +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −= ng

rω ( )ωg

( )2

n

2

2n

2

2-1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωωζ

ωω

ω 1jG

( ) 2

nn

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

ωωζ

ω

j

jG

( ) 2

n

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

n

j

jG

ωω

ωωζ

ω

2

22

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωω

ωωζ jj

www.ASEC.blogfa.com

187187

و به ازاي فركانس تشديد و به ازاي فركانس تشديد . . اگر به صفر ميل كند فركانس تشديد به ميل مي كند اگر به صفر ميل كند فركانس تشديد به ميل مي كند . . به ازاي فركانس تشديد وجود ندارد به ازاي فركانس تشديد وجود ندارد . . ميرا كوچكتر مي شود ميرا كوچكتر مي شود

. . اندازه كم مي شود اندازه كم مي شود WWبا افزايش فركانس با افزايش فركانس در فركانس تشديد يا مقدار عبارت در فركانس تشديد يا مقدار عبارت ) ) اندازه اندازه ( ( مقدار دامنه مقدار دامنه . . كمتر مي شود كمتر مي شود odBodBبه ازاي اندازه از به ازاي اندازه از

: : است از است از

MMrr=1=1به ازاي داريم به ازاي داريم يعني اگر يك سيستم ناميرا در فركانس طبيعي اش تحريك يعني اگر يك سيستم ناميرا در فركانس طبيعي اش تحريك . . به بي نهايت ميل مي كند به بي نهايت ميل مي كند MMrrبا ميل به صفر با ميل به صفر

. . بي نهايت خواهد شد بي نهايت خواهد شد G(Jw)دامنه دامنه . . شودشود 12 10

8 6

4 2 0

0 0.2 0.4 0.6 1

ζ0.7070 ≤ζp2-1 ζnd WW =0.707fζ

0pζrM

0.707fζζ

ζ

( )dBM r

2

12

1

-122-1

ζ

ζπζζ −− +−=−= sintg

2

n

n12

n

-1

2

j21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∠= −

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ϕ tg

jn

( ) ( ) 0.7070-12

12

≤≤=== ζζζ

ωω forjGjGM rr max

( )ωjG

nω

www.ASEC.blogfa.com

188188

BodeBodeروش ترسيم دياگرام هاي روش ترسيم دياگرام هاي نوشتن تابع تبديل به صورت حاصلضرب عوامل پايه اي در صورت و مخرج نوشتن تابع تبديل به صورت حاصلضرب عوامل پايه اي در صورت و مخرج --11))پرانتز هاي صورت و مخرج پرانتز هاي صورت و مخرج ( ( تعيين فركانسهاي گوشه اي هر كدام از عوامل تعيين فركانسهاي گوشه اي هر كدام از عوامل --22و سپس ترسيم منحني هاي دقيق و سپس ترسيم منحني هاي دقيق ) ) اندازه اندازه ( ( ترسيم منحني هاي مجانبي لگاريتم دامنه ترسيم منحني هاي مجانبي لگاريتم دامنه --33ي ي ترسيم منحني هاي زائيه فاز توسط منحني هاي زاويه فاز عوامل پايه ا ترسيم منحني هاي زائيه فاز توسط منحني هاي زاويه فاز عوامل پايه ا --44

) ) نسبت به دياگرامهاي ديگر پاسخ فركانسي نسبت به دياگرامهاي ديگر پاسخ فركانسي ( ( BodeBodeمزيتهاي دياگرام هاي مزيتهاي دياگرام هاي .. با استفاده از مجانبها ترسيم دياگرامها خيلي سريع انجام مي شود با استفاده از مجانبها ترسيم دياگرامها خيلي سريع انجام مي شود --11.. ترسيم دياگرامهاي عوامل پايه اي آسان است ترسيم دياگرامهاي عوامل پايه اي آسان است --22برانسازها برانسازها توانايي اصالح رفتار با استفاده از دياگرامهاي عوامل پايه اي به ج توانايي اصالح رفتار با استفاده از دياگرامهاي عوامل پايه اي به ج --33

را براي تابع تبديل را براي تابع تبديل BodeBodeدياگرام هاي دياگرام هاي : : مثال مثال ..رسم كنيد رسم كنيد

::مي توان نوشت مي توان نوشت

( ) ( )( )( ) ( )[ ]22j

3j102 +++

+=

ωωωωωω

jjjjG

( )( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

122

12

j

31j7.5

2 ωωωω

ω

ωjjj

jG

www.ASEC.blogfa.com

189189

: : عوامل و فركانسهاي گوشه اي عبارت اند از عوامل و فركانسهاي گوشه اي عبارت اند از 7.5

گوشه اي5 گوشه اي بدون 5بدون

قبل از شيب برابر و در . منحني كل با جمع جبري منحني هاي مجزا بدست مي آيد در فركانس گوشه اي . مي رسد از قطبهاي مختلط مزدوج شيب از به (

. شيب به مي رسد ) قطب مرتبه اول ( بعدي

decdB 20−

decdB 20−dec

dB 60−

decdB 80− 2=ω

2=ω

2=ω

( )-1ωj1

12

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ωj

13

+ωj( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++ 1

22

2 ωω jj

0.35362 == ζω , 2=ω 3=ω

40

20

0

20-

40-

G(jw) 1

3

4

53

G(jw) 5

24

13

90

0

90-

180-

270-10 8 6 4 3 2 1.4 1 0.4

10 8 6 4 3 2 1 0.8 0.4 0.2

www.ASEC.blogfa.com

190190

. . شيب از به مي رسد شيب از به مي رسد ) ) اثر صفر اثر صفر ( ( در فركانس گوشه اي بعدي در فركانس گوشه اي بعدي . . ل را بدست مي آورد ل را بدست مي آورد در منحني زاويه فاز ، جمع جبري منحني هاي فاز پايه ، منحني فاز كام در منحني زاويه فاز ، جمع جبري منحني هاي فاز پايه ، منحني فاز كام

: : سيستم هاي مينيمم فاز و سيستم هاي غير مينيمم فاز سيستم هاي مينيمم فاز و سيستم هاي غير مينيمم فاز نه قطب و نه صفر دارند ايجاد كننده سيستم هاي مينيمم فاز و نه قطب و نه صفر دارند ايجاد كننده سيستم هاي مينيمم فاز و SSتوابع تبديلي در نيمه راست صفحه توابع تبديلي در نيمه راست صفحه . . قطب و يا صفر دارند ايجاد كننده سيستم هاي غير مينيمم مي باشند قطب و يا صفر دارند ايجاد كننده سيستم هاي غير مينيمم مي باشند SSتوابع تبديلي در نيمه راست صفحه توابع تبديلي در نيمه راست صفحه

سيستم مينيمم فاز سيستم مينيمم فاز ×× سيستم غير مينيمم فازسيستم غير مينيمم فاز ××

decdB 80−dec

dB 60−

T1

1T1−

1T1−T

1−

( )S

SG1

1 T1TS1

++

= ( )S

SG1

2 T1TS1

+−

=

ϕ

W

O0

180-90−

O0

180

ϕ

3=ω

www.ASEC.blogfa.com

191191

باشد، سيستم مينيمم فاز باشد، سيستم مينيمم فاز G(S)G(S) درجه چند جمله اي مخرج درجه چند جمله اي مخرج 99 و و G(S)G(S) درجه چند جمله اي صورت درجه چند جمله اي صورت PPاگر اگر و زاويه فاز از و زاويه فاز از سيستمي است كه با ميل به بي نهايت شيب منحني لگاريتم دامنه سيستمي است كه با ميل به بي نهايت شيب منحني لگاريتم دامنه

. . برسد برسد

: : تعيين تجربي تابع تبديل تعيين تجربي تابع تبديل يكي يكي . . با تحليل تجربي بدست مي آورند با تحليل تجربي بدست مي آورند اگر يافتن مدل يك سيستم با روشهاي تحليلي انجام شدني نباشد ، آن را اگر يافتن مدل يك سيستم با روشهاي تحليلي انجام شدني نباشد ، آن را

قريبهاي مجانبي و فركانسهاي گوشه قريبهاي مجانبي و فركانسهاي گوشه از مزيتهاي عمده از فركانسهاي سيستم اندازه گيري شده و بكار بردن ت از مزيتهاي عمده از فركانسهاي سيستم اندازه گيري شده و بكار بردن ت ستم انجام مي ستم انجام مي آزمايشهاي پاسخ فركانسي توسط در معرض مولد هاي سينوسي قرار دادن سي آزمايشهاي پاسخ فركانسي توسط در معرض مولد هاي سينوسي قرار دادن سي . . اي ترسيم نمود اي ترسيم نمود

. . شودشود::براي تعيين تابع تبديل پس از ترميم مجانبها به نكات زير توجه شود براي تعيين تابع تبديل پس از ترميم مجانبها به نكات زير توجه شود

شيب منحني دامنه از شيب منحني دامنه از اگر در اگر در . . شيب مجانبها بايد مضاربي از باشد شيب مجانبها بايد مضاربي از باشد --11در اين صورت فركانس طبيعي در اين صورت فركانس طبيعي . . تابع تبديل وجود دارد تابع تبديل وجود دارد به برسد عامل در به برسد عامل در

نسبت ميرايي را مي توان با مقايسه دامنه قله نسبت ميرايي را مي توان با مقايسه دامنه قله . . برابر است برابر است ناميرايي اين عامل با فركانس گوشه اي ناميرايي اين عامل با فركانس گوشه اي بر اين اساس كليه عوامل پايه . بدست آورد ) 156صفحه ( منحني تجربي تشديد در فركانس گوشه اي تشديد در فركانس گوشه اي

. اي مشخص مي شوند

( ) decdB p-q20−

( ) p-q90−

decdB 20±dec

dB 20−

decdB 40−

ζ

1ωω =

2

22

j21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωω

ωωζ j

2ω

2ω

www.ASEC.blogfa.com

192192

. . را مي توان با توجه به منحني تجربي در فركانسهاي پايين بدست آورد را مي توان با توجه به منحني تجربي در فركانسهاي پايين بدست آورد ) ) KK) ) GainGain ضريب بهره ضريب بهره --22عامل برابر عامل برابر ) ) فركانسهاي پايين فركانسهاي پايين ( ( سمت صفر ميل كند سمت صفر ميل كند در عاملهاي ، اگر به در عاملهاي ، اگر به

.. مي شود مي شود 11: : تابع تبديل سينوسي عبارت است از تابع تبديل سينوسي عبارت است از

..است است ) ) 22 و و 11 و و 00عمدتا عمدتا ( ( كه نشاندهنده نوع سيستم كه نشاندهنده نوع سيستم for براي سيستم نوع صفر براي سيستم نوع صفر

for

را قطع odBيعني در خط . ( log K 20و عرض از مبدا يعني خطي با شيب براي سيستم نوع دو . ) مي كند

for

0=λ

decdB 20−

2=λ( )

( )2jWKjWG =

1ppω

1ppω

1ppω

k=ω

( ) ωω 40log-logK 20jGlog 20 =⇒

( )( )2ω

ωjKjG =

( ) ωω 20log-logK 20jGlog 20 =⇒

1ppω

( )( )λω

ωjkjG

s=

→0lim

ω

( )ωjG

1

2

22

j121ωω

ωω

ωωζ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ,jj

www.ASEC.blogfa.com

193193

را قطع مي كند ObBيعني در خط ( . log K 20يعني خطي با شيب و عرض از مبدا -20 -20

-20

-40

-40 -40

0سيستم نوع 1سيستم نوع

-40 -40 -20

-20 -40

2سيستم نوع

0

dBdec

dB 40−n=ω

n=ω

20logK0dB

K=ω

ωlog

ωlog

ωlog

ωlog

0dB

K=ω

0dB

k=ω

k=ω

www.ASEC.blogfa.com

194194

مده از منحني لگاريتم دامنه را مده از منحني لگاريتم دامنه را منحني زاويه بدست آمده از آزمايش تجربي مي تواند تابع تبديل بدست آ منحني زاويه بدست آمده از آزمايش تجربي مي تواند تابع تبديل بدست آ منحني فاز تجربي و منحني منحني فاز تجربي و منحني ( ( براي سيستم هاي مينيمم فاز اين دو با هم تطابق دارند براي سيستم هاي مينيمم فاز اين دو با هم تطابق دارند . . معتبر نمايد معتبر نمايد

هم در فركانس هاي باال و هم در فركانس هاي باال و . ) ( . ) ( فاز تعيين شده توسط تابع بدست آمده از منحني هاي لگاريتم دامنه فاز تعيين شده توسط تابع بدست آمده از منحني هاي لگاريتم دامنه ) .) .هم در فركانس هاي پايين هم در فركانس هاي پايين

برابر برابر ) ) در مقايسه با فركانسهاي گوشه اي در مقايسه با فركانسهاي گوشه اي ( ( اگر چه زاويه فاز تجربي در فركانس هاي باال اگر چه زاويه فاز تجربي در فركانس هاي باال . . استاست) ) صفر يا قطب در سمت راست مينيمم صفحه صفر يا قطب در سمت راست مينيمم صفحه ( ( نباشد ، نشاندهنده تابع تبديل غير مينيمم فاز نباشد ، نشاندهنده تابع تبديل غير مينيمم فاز

PP و وqq درجه بندي چند جمله اي هاي صورت و مخرج هستند درجه بندي چند جمله اي هاي صورت و مخرج هستند . .. . تجربي نشاندهنده مطلوبيت تعيين تابع تبديل سيستم تجربي نشاندهنده مطلوبيت تعيين تابع تبديل سيستم BodeBodeبا توجه به دياگرام با توجه به دياگرام : : 11مثال مثال در فركانس هاي پايين شيب در فركانس هاي پايين شيب : : حلحل

::11يعني سيستم نوع يعني سيستم نوع ) ) **((

( )pq −− 2π

dec20- dB

ωjk

1

log

4020

ωωυ

شيب=

dec20- dB

dec40- dB

0

40dB

1ω3ω υω

dec40- dBdec20- dB

0.01

5

www.ASEC.blogfa.com

195195

::ي عامل براي محاسبه داريم ي عامل براي محاسبه داريم در شيب از به يعن در شيب از به يعن --22شيب

::مي توان نوشت مي توان نوشت ) ) **((با توجه به رابطه باال با توجه به رابطه باال

يعني عامل يعني عامل در تغيير شيب از به در تغيير شيب از به --33 يعني عامل يعني عامل در تغيير شيب از به در تغيير شيب از به --44

: : بنابراين تابع تبديل تعيين مي شود بنابراين تابع تبديل تعيين مي شود

1ωdec20- dBdec40- dB

1

1

ωωj+11ω

0.510S14040

Slog

4040 1

1

=⇒=⇒==⇒= ωωω

ω11

Slog

k50 1000.5

20.5

==⇒=⇒= υυυ ω

ωωlog

S=ωdec20- dB dec40- dB⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

S1 ωj

3ωdec20- dBdec40- dB

3

j1

1

ωω

+

100.5Slog

1020 33

3S

S

=⇒=⇒= ωω

ωlog

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

10Sj1

0.51j

Sj150

ωωω

ω

ωj

jG

www.ASEC.blogfa.com

196196

تجربي نشانداده شده ، مطلوبيت تعيين تبديل سيستم تجربي نشانداده شده ، مطلوبيت تعيين تبديل سيستم BodeBodeبا توجه به دياگرام با توجه به دياگرام : : 22مثال مثال ::حلحل

در فركانس پايين شيب برابر يعني در فركانس پايين شيب برابر يعني --11))**( ( بنابراين بنابراين 11سيستم نوع سيستم نوع

در شيب از به در شيب از به --22 يعني عامل و براي يعني عامل و براي

::محاسبه مي توان نوشت محاسبه مي توان نوشت dec

dB 20

decdB 20

decdB 40

decdB 40

decdB 20

3ω υω

1ω

2ω

S

35dB-20dB-

40dB

dec20- dB

ωjk

1ωω ωlog

2020 =

1ωdec20- dB

dec40- dB

1

1

ωωj+1

1ω

K501000.5

20.5

0.510S1log

4040 11

==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

∗

υυυ ω

ωωω

ωωω

loglog1

1

SS

www.ASEC.blogfa.com

197197

ي عامل ي عامل در تغيير شيب از به يعن در تغيير شيب از به يعن --33

يعني عامل و محاسبه يعني عامل و محاسبه در تغيير شيب از به در تغيير شيب از به --44

يعني عامل و محاسبه يعني عامل و محاسبه در مجددا تغيير شيب از به در مجددا تغيير شيب از به --55

S=ω

dec40- dB

dec40- dBdec20- dB

dec20- dB

2

j1

1

ωω

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Sj1 ω

2ω2ω

501log

2020 22

2=⇒=⇒= ω

ωω SS

log

3ωdec40- dBdec20- dB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

3

j1ωω

3ω

( )

∗

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇒=⇒=

50j1

0.5j1j

j1S

150

4015

50log

1540 33

2

3 ωωω

ωω

ωωω

ωω

jGlog

www.ASEC.blogfa.com

198198

: : NyquistNyquistنمودار قطبي يا نمودار قطبي يا بر حسب زاويه در مختصات بر حسب زاويه در مختصات نمودار قطبي تابع تبديل سينوسي نمودار دامنه نمودار قطبي تابع تبديل سينوسي نمودار دامنه

يعني نمودار قطبي با تغيير يعني نمودار قطبي با تغيير . . قطبي وقتي از صفر تا بي نهايت تغيير مي كند قطبي وقتي از صفر تا بي نهايت تغيير مي كند . . از صفر تا است از صفر تا است

:: عاملهاي مرتبه اول عاملهاي مرتبه اول NyquistNyquistنمودار قطبي نمودار قطبي --فقط تست منفي محور موهومي فقط تست منفي محور موهومي

مثبت محور موهومي مثبت محور موهومي فقط تست فقط تست

( )ωjG( )ωjG( )ωjG

ω( ) ( )ωω jGjG ∠ω

ω

( ) o9011j1

−∠=−==ωωω

ω jjG

( )ω

ωj

jG 1=

0=

∞=

ω

ω

mI

eR

eR0=

∞=

ω

ωmI

( ) jjG ωω =

( ) == jjG ωω

( ) TtgTT

jG ωωω

ω 1

2211

j11 −−∠

+=

+=

( )o

jG 421

T1

T1

010G 0 o

πω

ω

−∠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

∠=⇒= 0.70722=

www.ASEC.blogfa.com

199199

. . آن به ميل مي كند آن به ميل مي كند با ميل به بي نهايت دامنه يا اندازه به صفر و زاويه با ميل به بي نهايت دامنه يا اندازه به صفر و زاويه

: : عاملهاي مرتبه دوم عاملهاي مرتبه دوم NyquistNyquist نمودار قطبي نمودار قطبي --

mI

( )ωjGo

2π−

∞=ω

4π−

eR

0=ω

22

21

=T

1=ω

1 0.5 ( )Tj1

1ω

ω+

=jG

mI

0=

∞=

ω

ω

eR

1

( ) Tj1 ωω +=jG

12

nwwj21

m

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nwwjζ

www.ASEC.blogfa.com

200200

: : تمرين هاي درس كنترل اتوماتيك تمرين هاي درس كنترل اتوماتيك ::سيستم زير با فيدبك واحدرادرنظربگيريدسيستم زير با فيدبك واحدرادرنظربگيريد

قطب هاي غالب با قطب هاي غالب با ..غيير زيادي داشته باشدغيير زيادي داشته باشدجبرانسازي طراحي كنيد كه بدون اينكه مكان قطب هاي غالب حلقه بسته ت جبرانسازي طراحي كنيد كه بدون اينكه مكان قطب هاي غالب حلقه بسته ت آيند آيند در سيستم جبران نشده بدست ميدر سيستم جبران نشده بدست مي% % 1010 overshootovershoot..

::جوابجوابتوان نسبت ميرايي قطب هاي غالب را بدست آورد توان نسبت ميرايي قطب هاي غالب را بدست آورد ميمي overshootovershoot به كمك به كمك . .

..مكان هندسي اين سيستم بدون جبران كننده در شكل زير رسم شده است مكان هندسي اين سيستم بدون جبران كننده در شكل زير رسم شده است ..مكان قطب هاي غالب نيز در شكل مشخص است مكان قطب هاي غالب نيز در شكل مشخص است

)6)(4)(2()(

+++=

SSSksG

www.ASEC.blogfa.com

201201

داشته باشند،بنابراين بايد ازجبرانساز پسفاز داشته باشند،بنابراين بايد ازجبرانساز پسفاز با توجه به اينكه درسوال گفته شده مكان قطب هاي غالب تغييرچنداني ن با توجه به اينكه درسوال گفته شده مكان قطب هاي غالب تغييرچنداني ن ..استفاده كنيم استفاده كنيم

نسبت ميرايي قطب هاي غالب نسبت ميرايي قطب هاي غالب : : فركانس طبيعي ناميرايي قطب هاي غالب فركانس طبيعي ناميرايي قطب هاي غالب

ضريبضريب gaingain هاي غالب هاي غالب در قطبدر قطب

آيد آيد بادر نظرگرفتن بدست ميبادر نظرگرفتن بدست مي Pc=0.01Pc=0.01 مقدار مقدار 2121 و مقدارضريب برابر و مقدارضريب برابر ZcZc=0.2=0.2.. . .بنابراين جبرانسازبه شكل زير خواهدبودبنابراين جبرانسازبه شكل زير خواهدبود

59.0=ξ

43.3=ω6.45=K

95.048

6.45)(lim === SSGK Pold

20=PnewK

20=PnewK

C

C

Pold

Pnew

cc

PZ

KK

PSZS

SG

=

+

+=)(

01.02.0)(

++

=SSSGc

)6)(4)(2)(01.0()2.0()(

+++++

=SSSS

SKSG

www.ASEC.blogfa.com

202202

www.ASEC.blogfa.com

203203

اماخطاي حالت اماخطاي حالت ..كندكند گذراتغييرچنداني نميگذراتغييرچنداني نميباتوجه به اينكه جبرانساز مورداستفاده جبرانسازپسفازاست،رفتارحالت باتوجه به اينكه جبرانساز مورداستفاده جبرانسازپسفازاست،رفتارحالت آيدآيد ماندگاربسياركوچكتري با جبرانسازبدست مي ماندگاربسياركوچكتري با جبرانسازبدست مي

سيستم زيربافيدبك واحدرادرنظربگيريدسيستم زيربافيدبك واحدرادرنظربگيريد--

0.40.4 هاي غالب برابر هاي غالب برابر نسبت ميرايي قطب نسبت ميرايي قطب و زمان نشست برابر و زمان نشست برابر 0.50.5 .. ثانيه است ثانيه است..هاي غالب را پيداكنيد هاي غالب را پيداكنيد مكان قطب مكان قطب ) ) الف الف

اگر قطب جبرانساز در اگر قطب جبرانساز در ))ب ب --1515 .. صفرجبرانساز رابيابيد صفرجبرانساز رابيابيد..ي سيستم رابيابيدي سيستم رابيابيد ضريب بهرهضريب بهره))ج ج ..رفتارسيستم بدون جبرانسازوباجبرانسازرامقايسه كنيد رفتارسيستم بدون جبرانسازوباجبرانسازرامقايسه كنيد ))دد

::جوابجواب

)20)(10120()( 2 +++=

SSsKSG

205.04.0

444

=×

==⇒=

n

Sn

ns T

T

ωξ

ωξω

jSjS nn

3.1881 2

±−=

−±−= ωξξω

www.ASEC.blogfa.com

204204

مكان هندسي سيستم بدون جبرانساز به شكل زير خواهدبود مكان هندسي سيستم بدون جبرانساز به شكل زير خواهدبود

..ان قرارندارند ان قرارندارند همانگونه كه از نمودارمكان هندسي نيز مشخص است قطب هاي غالب روي مك همانگونه كه از نمودارمكان هندسي نيز مشخص است قطب هاي غالب روي مك ::اگرشرط اندازه را چك كنيم خواهيم داشتاگرشرط اندازه را چك كنيم خواهيم داشت

1.44)7.561.844.83(180

)]12

3.18()2

3.19()2

3.17[(180 111

=++−

=++− −−− TangTangTang

www.ASEC.blogfa.com

205205

..جبرانسازبايداين كمبودزاويه راجبران كندجبرانسازبايداين كمبودزاويه راجبران كند

بنابراين سيستم باجبرانسازبه شكل زيرخواهدبودبنابراين سيستم باجبرانسازبه شكل زيرخواهدبود

ي وسيعتري از ي وسيعتري از شود،سيستم درمحدودهشود،سيستم درمحدوده همانطوركه ديده ميهمانطوركه ديده مي..مكان هندسي سيستم جبران شده به شكل زير خواهدبود مكان هندسي سيستم جبران شده به شكل زير خواهدبود ..KKپايدار است پايدار است

....هاي غالب كه دراين حالت روي مكان است مشخص شده است هاي غالب كه دراين حالت روي مكان است مشخص شده است مكان قطب مكان قطب

8.73.188.66

8.661.441.69180

1.697

3.181

=∆⇒∆

=

=−−

=−

xx

Tang

Tang

2.0=cZ

)20)(10120)(15()2.0()( 2 ++++

+=

SSSSSKSGc

)20)(10120)(15()2.0()( 2 ++++

+=

SSSSSKSGc

www.ASEC.blogfa.com

206206

.درشكل بعد رفتارسيستم باوبدون جبرانساز آورده شده استيستم كمترشده استاگرچه خطاي حالت ماندگارسيستم باجبرانسازبيشترشده است،اما اورشوت س .

www.ASEC.blogfa.com

207207

www.ASEC.blogfa.com

208208

سيستم زيرداده شده است،سيستم زيرداده شده است،--Ts=1Ts=1 و وOS%=5% OS%=5% ي كوچكتر ي كوچكتر براي پاسخ پله درحلقه براي پاسخ پله درحلقه ((راطوريپيداكنيد كه راطوريپيداكنيد كه ( ( KK و و a a الف الف ( (

براي پاسخ پله داشته باشدبراي پاسخ پله داشته باشد% % 1010ي بزرگتر اورشوتي برابر ي بزرگتر اورشوتي برابر راطوري پيداكنيد كه پاسخ حلقه راطوري پيداكنيد كه پاسخ حلقه KK مقدار مقدار ) ) ب ب . .

)100/%(ln

)100/%ln(22 os

os

+

−=

πξ

8.54,,,,,069 =→==⇒ ωξω

ξ sT

)()9)(4()(

)9)(4()(

1

)9)(4()(

1

1

1

1

aSKSSSaSK

SSSaSK

SSSaSK

TF++++

+=

+++

+

+++

=

www.ASEC.blogfa.com

209209

ي مشخصه ي مشخصه معادله معادله

..بايد شرط اندازه را چك كنيمبايد شرط اندازه را چك كنيم K1 K1 براي پيداكردنبراي پيداكردن

)9)(4()(

1)()9)(4( 11 ++

++=++++=

SSsaSK

aSKSSS

مكان قطب هاي غالب j2.4421 ±−=−±−= ωξξβω

jSSSSaSK

SG 2.44)9)(4)

)()( 1 ±−=

++

+=

6.831806.263

)12(]52.490

42.4[ 11

=⇒−=−

+±=++− −−

αα

πα Ktagtag

47.4

47.02.46.83tan

=

=∆⇒∆

=

a

xx

8.371)53.6)(2.4)(8.5(

)2.4(1

1 =⇒= KK

www.ASEC.blogfa.com

210210

..ي كوچكتردرشكل زيررسم شده استي كوچكتردرشكل زيررسم شده است ي اين سيستم درحلقهي اين سيستم درحلقه پاسخ پلهپاسخ پله.).)شودشود هاي حل دستي اندكي خطادرجواب ديده مي هاي حل دستي اندكي خطادرجواب ديده مي به علت تقريببه علت تقريب.(.(زمان نشست و اورشوت نيز مشخص شده استزمان نشست و اورشوت نيز مشخص شده است

ي بزرگتر براي ورودي پله،اورشوتي ي بزرگتر براي ورودي پله،اورشوتي درقسمت ب سوال خواسته شده است پاسخ حلقه درقسمت ب سوال خواسته شده است پاسخ حلقه K Kمقدار را طوري پيداكنيد كه مقدار را طوري پيداكنيد كه ..داشته باشدداشته باشد% % 1010برابر برابر

www.ASEC.blogfa.com

211211

..درابتدابايدبه كمك درصداورشوت ،ضريب ميرايي را بدست آورددرابتدابايدبه كمك درصداورشوت ،ضريب ميرايي را بدست آورد

ايد ايد بدست ميبدست مي K K مده مي توان مكان قطبĤمده مي توان مكان قطب به كمك نسبت ميرايي بدستĤو باشرط اندازه مقدار و باشرط اندازه مقدار ..هاي غالب راپيداكرد هاي غالب راپيداكرد به كمك نسبت ميرايي بدست.. اطالعات خواسته شده قابل اطالعات خواسته شده قابل 0.80.8اي از مكان با نسبت ميرايي اي از مكان با نسبت ميرايي ها و با كليك برروي نقطه ها و با كليك برروي نقطه به كمك مكان هندسي ريشه به كمك مكان هندسي ريشه

..هاي اين سيستم در شكل زير رسم شده است هاي اين سيستم در شكل زير رسم شده است مكان هندسي ريشه مكان هندسي ريشه . . دسترسي استدسترسي است

)100/%(ln

)100/%ln(22 os

os

+

−=

πξ

59.01.0ln

1.0ln22

=⇒+

−= ξ

πξ

www.ASEC.blogfa.com

212212

K =1.34K =1.34در شكل زيررسم شده است در شكل زيررسم شده است سيستم با ضريبسيستم با ضريب پاسخ پله اينپاسخ پله اين

www.ASEC.blogfa.com

www.ASEC.blogfa.com