Kai Kuadrat dan Uji Independensi

PENGUJIAN CHI-KUADRAT

DAN UJI INDEPENDENSI

Dr. Indra Suhendra, SE., M.Si.

Prodi EKBANG FE UNTIRTA BANTEN

UJI CHI KUADRAT

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenaiperbandingan antara frekuensi observasi/yang benar-benarterjadi/aktual dengan frekuensi harapan/ekspektasi

• Frekuensi observasi� nilainya didapat dari hasil percobaan (Oi)

• Frekuensi harapan� nilainya dapat dihitung secara teoritis (ei)

BENTUK CHIBENTUK CHI--KUADRATKUADRAT

• Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilaiχ² selalu positif.

• Bentuk distribusiχ² tergantung dari derajat bebas(db) / degree of freedom(d.f) dimana df = k - 1

� daerah yang diarsir� daerah penolakan hipotesis H0

Daerah penolakan H0 → χ² > χ² tabel (db; α)

PENGUJIAN CHIPENGUJIAN CHI--KUADRATKUADRAT

1. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test

2. Uji Kebebasan (Independensi)

3. Uji beberapa proporsi

Uji χ² dapat digunakan untuk :

UJI KECOCOKANUJI KECOCOKAN

� Digunakan untuk menguji apakah frekuensi yang diamati(observasi) berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoretisatau frekuensi yang diharapkan

� Bila frekuensi yang teramati sangat dekat dengan frekuensiharapan, nilaiχ² akan kecil, menunjukkan adanya kesesuaianyang baik. Bila frekuensi yang teramati berbeda cukup besar darifrekuensi harapannya, nilaiχ² akan besar, menunjukkankesesuaian yang buruk.

� Kesesuaian yang baik akan membawa padapenerimaan H0,

sedangkan kesesuaian yang buruk akan membawa padapenolakan H0.

PenetapanPenetapan HipotesisHipotesis HH00 dandan HHaa

H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.

Ha : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/ perbandingan tersebut.

∑=

−=k

i i

ii

e

eo

1

22 )(χ

Dimana:

χ2 : distribusi Chi-Kuadrat

Oi : Frekuensi yang diobservasi

ei : Frekuensi yang diharapkan

Jika χ2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi sama dengan frekuensiyang diharapkan adalah sama tepat. Jikaχ2 > 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan yang diharapkanberbeda.


� Frekuensi yang diharapkan dihitung atas dasar Hipotesis Nol (H0)

� Pada α tertentu, H0 diterima apabilaχ²hitung < χ²tabel

dan H0 ditolak apabilaχ²hitung > χ²tabel

� H0 diterima, berarti frekuensi yang diobservasisama denganfrekuensi yang diharapkan. H0 ditolak berarti frekuensi yang diobservasiberbeda dengan frekuensi yang diharapkan.

� Mengingat besar kecilnya nilaiχ² menunjukkan kesesuaianantara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensiyang diharapkan, maka uji χ² sering disebut sebagaiujikebaikan-suai.

LangkahLangkah--langkahlangkah PengujianPengujian HipotesisHipotesis

1. Merumuskan Hipotesis H0 dan Ha

2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) = k – 1

3. Menentukan uji statistik (χ² hitung), dengan rumus:

4. Membuat kesimpulan, apakah menerima H0 atau menolak H0

∑=

−=k

i i

ii

e

eo

1

22 )(χ

CONTOH KASUSCONTOH KASUS

1. Sebuah uang logamdilemparkan sebanyak 100 kali, yang menghasilkan sebanyak 58 kali muncul sisi muka dan sebanyak 42 kali sisi belakang. Ujilah hipotesis bahwa uang logamitu simetridengan menggunakan taraf signifikan α = 0,05 danα = 0,01.

Jawab:n = banyaknya lemparan = 100

p = probabilitas muncul sisi muka = ½ dan q = 1 – ½ = ½

Frekuensi harapan sisi muka (A1) = n.p dan sisi belakang (A2) = n.q

50

58

A1

50Frekuensi Harapan (ei)

42Frekuensi Observasi (Oi)

A2Kejadian muncul sisi uang logam

JAWABAN KASUSJAWABAN KASUS


H0 : p (muka) = q (belakang)Ha : p (muka) ≠ q (belakang)

2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) � α = 0,05 dan 0,01� dk = k – 1 = 2 – 1 = 1 � katagori sisi muka dan sisi belakang� (χ²0,05 = 3,841 danχ²0,01 = 6,635)

3. Statistik Uji:

56,228,128,150

)5042(

50

)5058(

)()()(

22

2

222

1

211

1

22

=+=

−+−=

−+−=−=∑= e

eo

e

eo

e

eok

i i

iiχ


4. Merumuskan Kesimpulan:Padaα = 0,05; nilai 2,56 < 3,841Padaα = 0,01; nilai 2,56 < 6,635

Kesimpulan: Terima H0 padaα = 0,05 danα = 0,01. Artinya uang logam tersebut simetri


2. Sebuah dadu dilemparkan 120 kali dengan hasil sebagai berikut:

Jawab:n = banyaknya lemparan = 120

p = probabilitas muncul setiap mata dadu = 1/6

Frekuensi harapan mata dadu = n.p

20

20

1

20

22

2

20

17

3

20

18

4

20

19

5

20Frekuensi Harapan (ei)

24Frekuensi Observasi (Oi)

6Pelemparan dadu

20

1

22

2

17

3

18

4

19

5

24Frekuensi (f)

6Pelemparan dadu

Apakah dadu setimbang. Gunakan taraf nyata (α) = 0,05



H0 : muka dadu setimbang (semua mata dadu) akan muncul = 20 kaliHa : muka dadu tidak setimbang (semua mata dadu) akan muncul≠ 20 kali

2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) � α = 0,05� dk = k – 1 = 6 – 1 = 5 � katagori muka dadu ada 6� Didapatkanχ²0,05 = 11,070

3. Statistik Uji:

70,180,005,020,045,020,000,020

)2024(

20

)2019(

20

)2018(

20

)2017(

20

)2022(

20

)2020(

)()()()()()()(

222222

6

266

5

255

4

244

3

233

2

222

1

211

1

22

=+++++=

−+−+−+−+−+−=

−+−+−+−+−+−=−=∑= e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eok

i i

iiχ


4. Merumuskan Kesimpulan:Padaα = 0,05; nilai 1,70 < 11,0705

Kesimpulan: Terima H0 padaα = 0,05. Artinya mata dadu tersebut setimbang atau pernyataandadu setimbang dapat diterima

UJI KEBEBASAN (INDEPENDENSI)UJI KEBEBASAN (INDEPENDENSI)

� Uji Chi Kuadrat juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis mengenai adaatau tidak adanya hubungan (asosiasi) atau kaitan anatara beberapa faktor. Misalnya antara :- Prestasi belajar mahasiswa dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya. - Agama yang dipeluk dengan ketaatan beribadah- Prestasi belajar mahasiswa pada mata kuliah matematika denganprestasimahasiswa pada mata kuliah statistik

� Jika tidak ada hubungan diantara beberapa faktor itu, maka dikatakan bahwa duafaktor itu saling bebas atau independen secara statistik.

� Prosedur uji Chi-kuadrat ini disebut dengan uji kebebasan (independensi) atausering juga disebut uji Kontingensi.

� Biasanya digunakan untuk data yang bersifat Nominal.

Hal yang Hal yang PerluPerlu diperhatikandiperhatikan

1. Menggunakan Tabel Kontingensi, yang terdiri dari r baris dan c kolom, seringdisebut dengan tabel kontingensi r x c, dengan setiap sel dijumlahkan.

2. Frekuensi harapan, dihitung menggunakan rumus :

∑=

−=k

i i

ii

e

eo

1

22 )(χ

Dimana:

χ2 : distribusi Chi-Kuadrat

Oi : Frekuensi yang diobservasi

ei : Frekuensi yang diharapkan

observasitotal

baristotalxkolomtotalharapanFrekuensi

)()(=

3. Uji kebebasan (independensi), dihitung menggunakan rumus:

Derajat kebebasan dihitung dengan (dk): (r – 1 ) (c – 1)


� Pada α tertentu, H0 diterima apabilaχ²hitung < χ²tabel

dan H0 ditolak apabilaχ²hitung > χ²tabel

� H0 diterima, berarti antar faktor saling bebas (tidak ada hubungan). H0 ditolakberarti antar faktor tidak saling bebas (ada hubungan).

� Semakin kecilnya nilaiχ² menunjukkan semakin bebas hubungan antar faktor.

Total ObservasiΣY4ΣY3ΣY2ΣY1Total Kolom

ΣX2Sel 8Sel 7Sel 6Sel 5X2

Sel 1

Y1

Faktor Y

Sel 2

Y2

Sel 3

Y3

Sel 4

Y4

ΣX1X1

Total BarisFaktor X

� Bentuk Tabel Kontingensi, sebagai berikut:

LangkahLangkah--langkahlangkah PengujianPengujian HipotesisHipotesis


2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk)3. Menghitung nilai Frekuensi Harapan4. Menentukan uji statistik (χ² hitung), dengan rumus:

5. Membuat kesimpulan, apakah menerima H0 atau menolak H0

∑=

−=k

i i

ii

e

eo

1

22 )(χ


1. Di Kota Serang, akan diuji apakah penghasilan masyarakat ada hubungannyadengan tingkat pendidikan. Untuk itu diambil sebanyak n = 1.000 orang. Penghasilan dianggap sebagai faktor 1 dan pendidikan dianggap sebagai faktor 2. Sementara itu, penghasilan dibedakan menjadi dua kategori, penghasilan rendahdan penghasilan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkatan, SMU kebawah, Diploma dan Sarjana (termasuk pascasarjana). Datanya sebagai berikut:

1.000313351336Total Kolom

402110138154Tinggi

182

SMU

Pendidikan

213

Diploma

203

Sarjana

598Rendah

Total BarisPenghasilan

Tentukan padaα = 0,05, tentukan tingkat independensi antara penghasilan denganpendidikan masyarakat.



H0 : 2 faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikanHa : 2 faktor tidak saling bebas, penghasilan tidak saling bebas dgn pendidikan

2. Menetapkan taraf signifikan (α) dan derajat kebebasan (dk) � α = 0,05� dk = (r – 1) (c – 1) = (2 – 1) (3 – 1) = 2� Didapatkan nilaiχ²0,05 = 5,991)

3. Menentukan Frekuensi Harapan:

9,2001000

)336)(598(:)(1 1 =eSelharapanFrekuensi

9,2091000


2,1871000


1,1351000


1,1411000


8,1251000



1.000313351336Total Kolom

402110 (125,8)138 (141,1)154 (135,1)Tinggi

182 (200,9)

SMU

Pendidikan

213 (209,9)

Diploma

203 (187,2)

Sarjana

598Rendah

Total BarisPenghasilan

4. Statistik Uji:

854,79844,10681,06440,23335,10458,07780,1

8,125

)8,125110(

1,141

)1,141138(

1,135

)1,135154(

2,187

)2,187203(

9,209

)9,209213(

9,200

)9,200182(

)()()()()()()(

222222

6

266

5

255

4

244

3

233

2

222

1

211

1

22

=+++++=

−+−+−+−+−+−=

−+−+−+−+−+−=−=∑= e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eok

i i

iiχ


5. Merumuskan Kesimpulan:Padaα = 0,05; nilai 7,854 > 5,991, makaχ²hitung lebih besar dariχ²0,05

Kesimpulan: Tolak H0 padaα = 0,05. Artinya antara penghasilan dan pendidikan masyarakattidak saling bebas. Dengan kata lain, ada hubungan antarapenghasilan dengantingkat pendidikan masyarakat di Kota Serang.

UJI PROPORSIUJI PROPORSI

� Uji Chi Kuadrat juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis perbedaanproporsi antara beberapa faktor. Misalnya antara :- perbedaan proporsi penayangan beberapa jenis film di beberapa stasiun televisi. - Perbedaan proporsi beberapa partai dalam memberikan pendapat atas suatu

peraturan perundangan.- Perbedaan proporsi dari ahasiswa yang lulus mata kuliah tertentu

� Jika tidak ada perbedaan proporsi diantara beberapa faktor itu, maka dikatakanbahwa beberapa faktor itu memiliki proporsi yang sama secara statistik.

� Prosedur uji Chi-kuadrat ini disebut dengan uji proporsi. Adapun prosedur danpenghitungannya hampir sama dengan metode pengujian independensi.

� Biasanya digunakan untuk data yang bersifat Nominal.


1. Data berikut adalah banyaknya penyiaran untuk 3 (tiga) jenis film di 3 (tiga) Stasiun TV. Ujilah apakah proporsi penayangan (pemutaran) Film India, Taiwan dan Amerika di ketiga Statiun TV tersebut. Lakukan pengujian proporsi denganmenggunakan taraf nyata 2,5%.

247710Total Kolom

5113Amerika

9423Taiwan

4

ATV

Stasiun TV

4

BTV

2

CTV

10India

Total BarisFilm



H0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Amerika di ketiga statiun TV adalahsama

Ha : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Amerika di ketiga statiun TV adalahtidak sama

2. Menetapkan taraf signifikan (α) = 2,5 % dan d.k = (3-1) (3-1) = 4 �11,143

3. Menentukan Frekuensi Harapan:

17,424

)10)(10(:)(, 1 =eATVIndiaFrekuensi

92,224

)7)(10(:)(, 2 =eBTVIndiaFrekuensi

92,224

)7)(10(:)(, 3 =eCTVIndiaFrekuensi

75,324

)10)(9(:)(, 4 =eATVTaiwanFrekuensi

63,224

)7)(9(:)(, 5 =eBTVTaiwanFrekuensi

63,224

)7)(9(:)(, 6 =eCTVTaiwanFrekuensi

08,224

)10)(5(:)(, 7 =eATVAmerikaFrekuensi

46,124

)7)(5(:)(, 8 =eBTVAmerikaFrekuensi

46,124

)7)(5(:)(, 9 =eCTVAmerikaFrekuensi


247710Total Kolom

51 (1,46)1 (1,46)3 (2,08)Amerika

94 (2,63)2 (2,63)3 (3,75)Taiwan

4 (4,17)

ATV

Stasiun TV

4 (2,92)

BTV

2 (2,92)

CTV

10India

Total BarisFilm

4. Statistik Uji:

4070,21440,01440,04033,07202,01488,01500,02881,04024,00067,0

46,1

)46,11(

46,2

)46,11(

08,2

)08,23(

63,2

)63,24(

63,2

)63,22(

75,3

)75,33(

92,2

)92,22(

92,2

)92,24(

17,4

)17,44(

)()()()()()()()()()(

222222222

9

299

8

288

7

277

6

266

5

255

4

244

3

233

2

222

1

211

1

22

=++++++++=

−+−+−+−+−+−+−+−+−=

−+−+−+−+−+−+−+−+−=−=∑= e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

e

eok

i i

iiχ


5. Merumuskan Kesimpulan:Padaα = 0,025; nilai 2,4076 < 11,1433, makaχ²hitung lebih kecil dariχ²0,025

Kesimpulan: Terima H0 padaα = 0,025. Artinya proporsi pemutaran ketiga jenis film, diketigaStatiun TV adalah sama.

LATIHAN DI RUMAHLATIHAN DI RUMAH

1. Tiga Uang logam dilemparkan sekaligus sebanyak 240 kali. Frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan dari munculnya 0 muka, 1 muka, 2 muka dan 3 muka disajikan sebagai berikut:

30

24

0 muka

80

108

1 muka

80

95

2 muka

30

23

3 muka

Frekuensi Harapan (ei)

Frekuensi Observasi (Oi)

Pelemparan Uang Logam

Ujilah hipotesis bahwa uang logam tersebut simetri. Gunakanα = 0,05 dan 0,01

2. Menurut Hukum Mandell mengenai keturunan, dari perkawinan silang tertentu, seharusnya menghasilkan keturunan berwarna merah, hitam dan putih mengikutiperbandingan 9 : 3 : 4. Berdasarkan eksperimen persilangan, ternyata diperolehketurunan sebanyak 143 warna merah, 69 warna hitam, dan 75 warna putih. Apakah hasil eksperimen ini mendukung teori Mandell tersebut? Ujilahmenggunakan taraf nyata = 5%.

LATIHAN DI RUMAHLATIHAN DI RUMAH

3. Tabel berikut menyajikan jumlah mahasiswa yang lulus dan yang gagal dari tigadosen, yaitu Pak Didu, Pak Indra, dan Pak Kuswantoro.

180646155Total

5

50

Pak Didu

14

47

Pak Indra

8

56

Pak Kuswantoro

27

153

Total

Gagal

Lulus

Lulus/Gagal

Ujilah hipotesis bahwa proporsi (persentase) dari mahasiswayang lulus pada

ketiga dosen tersebut adalah sama. Gunakanα = 0,05.

Documents

Kai Kuadrat dan Uji Independensi