kalkulus.doc

KALKULUS – 2

M O D U L – 3

DIFFERENSIASI FUNGSI TRIGONOMETRI

3.3 Turunan Sinus dan Kosinus

Dunia modern kita berjalan di atas roda. Pertanyaan-pertanyaan tentang roda yang berputar

dan kecepatan titik pada roda secara tak terelakkan menuntut kita kepada pengkajian sinus

dan kosinus dan turunan-turunannya. Fenomena periodik lainnya yang berhubungan

dengan sinus dan kosinus adalah cuaca dan pasang. Untuk mempersiapkan pengkajian ini,

akan lebih baik jika kita menalaah ulang ulang Subbab 2.3 dan 2.7. gambar 1 mengingatkan

kita pada definisi fungsi-fungsi sinus dan kosinus. Dalam bagian yang berikut ini, t harus

dibayangkan sebagai bilangan yang mengukur panjang suatu busur pada lingkaran satuan,

atau secara setara, sebagai bilangan radian dalam sudut yag berpadanan. Jadi, F(t) = sin t

dan g(t) = cos t adalah fungsi-fungsi yang mempunyai daerah asal dan daerah hasil berupa

bilangan real. Kita dapat meninjau masalah pencarian turunan-turunannya.

Rumus-rumus Turunan Kita memilih untuk menggunakan x dari pada t sebagai peubah

dasar kita. Untuk mencari Dx(sin.x), kita bersandar pada definisi turunan dan menggunakan

identitas tambahan untuk sin (x + h).

perhatikan bahwa limit-limit dalam baris terakhir merupakan limit yang telah dipelajari pada

Subbab 2.7. Dalam Teorema 2.7B telah dibuktikan bahwa :

Jadi.

Dx(sin x) = (-sin x) . 0 + (cos x) . 1 = cos x

Demikian pula dengan turunan fungsi berikut :

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS II 1

= (-cos x) . 0 – (sin x) . 1

= - sin x

Hasil-hasil ini diringkus dalam sebuah teorema penting.

Reorema A

Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasikan. Faktanya.

Dx(sin x) = cos x Dx(cos x) = sin x

CONTOH 1 Carilah Dx (3 sin x – 2 cos x)

Penyelesaian

Dx(3 sin x – 2 cos x) = 3 Dx(sin x) – 2 Dx(cos x)

= 3 cos x + 2 sin x

CONTOH 2 Carilah persamaan garis singgung pada grafik y = 3 sin 2x di titik (/2, 0) (lihat

Gambar 2).

Penyelesaian Kita memerlukan turunan dari sin 2x; sayangnya pada saat ini kita

hanya tahu bagaimana mencari turunan dari sin x. tetapi, sin 2x = 2 sin x cos x. jadi,

Dx(3 sin 2x) = Dx(6 sin x cos x)

= 6 Dx(sin x cos x)

= 6[sin x Dx(cos x) + cos x Dx(sin x)]

= 6[(sin x)(-sin x) + co x cos x]

= 6[cos2 x – sin2 x]

= 6 cos 2x

di x = /2, turunan ini bernilai –6, yang karena itu merupakan kemiringan garis singgung

yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah

CONTOH 3

Perhatikan kincir riang (Ferris wheel) yang jari-jarinya 30 kaki, berputar berlawanan dengan

arah perputaran jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/detik. Seberapa cepat

dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada 15 kaki di atas garis

mendatar yang melalui pusat kincir?

Penyelesaian

Kita dapat menganggap bahwa kincir berpusat di titik bahwa dudukan P berada di (30,0)

pada saat t = 0 (Gambar 3). Jadi pasa saat t, P telah bergerak melalui sudut 2t radian,


KALKULUS II 2

sehingga mempunyai koordinat (30 cos 2t, 30 sin 2t). laju pada saat P naik merupakan

turunan koordinat tegak 30 sin 2t diukur nilai t yang sesuai. Menurut Contoh 2.

Dx(30 sin 2t) = 60 cos 2t

Nilai t yang sesuai untuk penghitungan turunan ini adalah t = /12, karena 30 sin (2 . /12) =

15. Kita menyimpulkan bahwa pada t = /12, dudukan P naik pada

60 cos

Sekali kita telah mengetahui turunan fungsi sinus dan kosinus, turunan fungsi trigonometri

yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan aturan hasilbagi. Hasil-hasil diringkaskan

dalam Teorema B untuk buktinya, lihat Soal-soal 5-8

Teorema B

Dx tan x = sec2 x Dxcot x = -csc2 x

Dxsec x = sec x tab x dxcsc x = -csc x cot x

Soal-Soal

Dalam soal-soal 1-14, carilah Dxy

1. y = 2 sin x + 3 cos x 2. Y = sin2 x

3. y = sin2 x + cos2 x 4. Y = 1 – cos2x

5. y = sec x = 1/cos x 6. Y = csc x = 1/sin x

7. 8.

9. 10.

11. y = x2 cos x 12.

13. y = tan2 x 14. Y = sec3x

15. Carilah persamaan garis singgung pada y = cos x di = 1

16. Carilah persamaan garis singgung pada

17. Tinjaulah kincir ria (Ferris wheel) pada Contoh 3. Pada laju berapakah dudukan pada

pelek bergerak secara mendatar ketika t = /4 detik (yakni, kapankah dudukan mencapai

puncak kincir)?

18. Padang kincir ria berjari-jari 20 desimeter berputar berlawanan arah perputaran jarum

jam pada kecepatan sudut sebesar 1 radian/detik. Satu dudukan pada pelek berada di

(20,0) pada saat t = 0.

(a) Berapakah koordinatnya pada saat t = /6?

(b) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) di t = /6?


KALKULUS II 3

(c) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) pada saat laju tercepatnya?

19. Carilah persamaan garis singgung terhadap y = tan x pada x = 0

20. Carilah semua titik pada grafik y = tan2 x di mana garis singgungnya horizontal

21. Carilah semua titik pada grafik y = 9 sin x cos x di mana garis singgungnya horizontal

22. Anggaplah f(x) = x = x – sin x. carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana garis

singgungnya mendatar. Carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana garis singgungnya

memiliki kemiringan 2.

23. Perlihatkan bahwa kurva y = saling berpotongan tegak lurus

pada sebuah titik tertentu dengan 0 < x < /2.

24. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t centimeter di

atas (atau di bawah) permukaan air. Berapakah kecepatan pelampung pada saat t = 0 . /2 .

?

25. Gunakanlah definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa Dx(sin x2) = 2x cos x2

26. Gunakanlah definisi turunan untuk memperlihatkan bahwa Dx(sin 5x) = cos 5x

27. Andaikan x0 adalah nilai positif terkecil dari x di mana kurva-kurva y = sin x dan y = sin

2x berpotongan. Carilah x0 dan juga sudut lancip tempat kedua kurva tersebut berpotongan

di x0 (lihat soal 40 Subbab 2.3).

28. Sebuah segitiga samakaki ditutup sebuah setengah lingkaran seperti diperlihatkan pada

Gambar 4. Andaikan D adalah luas segitiga AOB dan E adalah luas daerah yang digelapi.

Carilah rumus untuk D/E yang dinyatakan dalam t dan kemudian hitunglah.

29. Andaikan f(x) = x sin x

(a) Gambarlah grafik f(x) dan f’(x) pada [, 6].

(b) Berapa banyak penyelesaian yang dipunyai f(x) = 0 pada [, 6]? Berapa banyak

penyelesaian yang dipunyai f’(x) = 0 pada selang ini?

(c) Apakah yang salah pada perkiraan berikut? Jika f dan f’ keduanya kontinu dan

terdifensiasikan pada [a, b], jika f(a) = pada [a, b], maka f’(x) = 0 tepat mempunyai n –

1 penyelesaian pada [a, b].

(d) Tentukan nilai maksimum dari f (x) – f’(x) pada [, 6]

30. Andaikan f(x) = cos3 x – 1,25 cos2 x + 0.225. carilah f’(x0) pada titik x0 dalam [/2. ] di

mana f(x0) = 0

3.4 Dalil Rantai (Chain’s Rule)

Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari

F(x) = (2x2 – 4x + 1)60


KALKULUS II 4

Pertama Anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat 2x2 – 4x + 1 dan kemudian

mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan, atau, bagaimana dengan

mencoba mencari turunan

G(x) = sin 3x

Kita mungkin dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya menjadi

sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos x dan kemudian menggunakan aturan-aturan

dari subbab sebelumnya.

Untunglah terdapat cara yang lebih baik. setelah Anda memeplajari Aturan Rantai,

Anda akan mampu menuliskan jawaban.

F’(x) = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

Dan

G’(x) = 3 cos 2x

Aturan Rantai sedemikian pentingnya sehingga Anda akan jarang mendiferensiasikan fungsi

tanpa menggunakannya. Tetapi agar dapat menyatakan aturan tersebut sebagaimana

mestinya, kita perlu menekankan pentingnya x dalam cara penulisan Dx ini,Notasi Dx

Lambang Dxy harus dibaca “turunan y terhadap x”; mengukur seberapa cepat y berubah

terhadap x. indeks bawah x menunjukan bahwa x diperlakukan sebagai peubah dasar. Jadi

jika y = s2x3, kita dapat menuliskan

Dxy = 3s2x2 dan Dsy = 2sx3

Dalam kasus pertama, s diperlakukan sebagai konstanta dan x adalah peubah dasar;

dalam kasus kedua, x adalah konstanta dan s adalah peubah dasar.

Contoh berikut merupakan contoh penting. Andaikan y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1. Maka

Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan bahwa ketika mensubstitusikan u = 2x2 –

4x + 1 dalam y = u60, kita dapatkan

Y = (2x2 – 4x + 1) 60

Dengan demikian cukup beralasan untuk mempertanyakan Dxy. Apa Dxy dan bagaimana

kaitannya terhadap Duy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana Anda

mendeiferensiasikan suatu fungsi komposit?

Diferensiasi Fungsi Komposit Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat dari pada Tini

dan Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat dari pada Dono, maka Ida dapat mengetik 2 . 3

= 6 kali lebih cepat dari pada Dono. Kedua laju tersebut dikalikan.

Tinjaulah fungsi komposit y = f(g(x)). Karena turunan menunjukkan laju perubahan,

kita dapat mengatakan

Y berubah secepat Duy kali u

U berubah secepat Dxu kali x

Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa

Y berubah secepat Duy . Dxu kali x


KALKULUS II 5

Ini memang benar dan kita akan menyarankan suatu bukti formal dalam subbab berikutnya.

Hasilnya disebut Aturan Rantai.

Teorema Aturan Rantai

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u =

g(x), maka fungsi komposit f g, di definisikan oleh (f g) (x) = f(g(x) terdiferensiasikan di x

dan (f g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Yakni

Dx(f(g(x))) = f’(g(x))g’(x)

Atau

Dxy = DuyDxu

Mungkin akan membantu jika Anda mengingatnya dengan cara ini: Turunan fungsi komposit

adalah turunan fungsi terluar yang dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan

turunan.

Penerapan Aturan Rantai Kita mulai dengan contoh (2x2 – 4x + 1)60 yang diperkenalkan

pada permulaan subbab ini.

CONTOH 1 Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, carilah Dxy

Penyelesaian Kita memikirkan y sebagai pangkat 60 dari sebuah fungsi x; yaitu

Y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1

Fungsi terluar adalah u60 dan fungsi yang lebih dalam adalah 2x2 – 4x + 1, maka

Dxy = Duy . Dxu

= (60 u59) (4x – 4)

= 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

CONTOH 2 Jika y = 1/(2x5 – 7)3, carilah Dxy.

Penyelesaian Pikirkanlah fungsi tersebut menjadi

jadi,

Dxy = Duy . Dxu

= (-3u-4)(10x4)

=

=

CONTOH 3 Jika y = sin(x3 – 3x), carilah Dxy

Penyelesaian Kita boleh menuliskan


KALKULUS II 6

Y = sin u dan u = x3 – 3x

Karenanya

Dxy = Dxy . Dxu

= (cos u) . (3x2 – 3)

= [cos(x3 – 3x)] . (3x2 – 3)

= (3x2 – 3) cos (x3 – 3x)

CONTOH 4 Carilah

Penyelesaian Pikirkanlah hal ini sebagai Dty, dengan menganggap

Kemudian Aturan Rantai diikuti oleh Aturan Hasilbagi memberikan

=

Anda akan segera mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang peubah

antara tanpa benar-benar menuliskannya. Jadi seorang pakar segera menuliskan.

Penerapan Aturan Rantai Lebih dari Sekali Kadang-kadang ketika kita menggunakan

Aturan Rantai pada sebuah fungsi komposit, kita menemukan bahwa turunan dari fungsi

yang lebih dalam juga memerlukan Aturan Rantai. Dalam kasus seperti ini, kita haruis

menggunakan Aturan Rantai untuk kedua kalinya.

CONTOH 5 Carilah Dxsin3(4x)

Penyelesaian Ingatlah bahwa sin3(4x) = [sin(4x)]3, maka kita melihat hal ini sebagai

sebuah fungsi kubik dari x. jadi, dengan menggunakan aturan “turunan fungsi terluar

dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan fungsi yang lebih dalam”, kita

memperoleh.


KALKULUS II 7

Dxsin3(4x) = Dx[sin(4x)]3 = 3[sin(4x)]3-1 Dx[sin(4x)]

Lalu kita menggunakan aturan rantai sekali lagi untuk turunan fungsi yang lebih dalam

Dxsin3(4x) = 3[sin(4x)]3-1 Dxsin(4x)

= 3[sin(4x)]2 cos(4x) Dx(4x)

= 3[sin(4x)]2 cos(4x)4

= 12 cos(4x) sin2(4x)

CONTOH 6 Carilah Dxsin[cos(x2)]

Penyelesaian

Dxsin[cos(x2)]= cos[cos(x2)] . [-sin(x2)] . 2x

= -2x sin(x2) cos[cos(x2)]


KALKULUS II 8

Documents

kalkulus.doc