Kapitola 4 ARIMA modely

Kapitola 4

ARIMA modely

4.1. Úvod4.2. Predbežná analýza 4.3. Výber vhodných modelov4.4. Porovanie kvality modelov4.5. Výpočet prognózy

4. ARIMA modely

4.1. Úvod

ARIMA modely AutoRegressive Integrated Moving-Average models sú konštruované iným spôsobom ako klasické modely princíp

hodnota časového radu je lineárna kombinácia jej vlastných historických hodnôt historických hodnôt reziduálnych odchýlok tzv. náhodných

šokov

Predkovia

Počasie

4.1. Úvod

ARIMA modely vyžadujú náročnejšiu analýzu ako iné typy modelov pre väčšinu ekonomických veličín poskytujú lepšie

výsledky proces analýzy má viacero fáz

identifikácia modelu odhad modelu verifikácia modelu prognózovanie

Predpoklad ARIMA modelov ARIMA modely popisujú správanie časových radov

s použitím minimálneho počtu parametrov takéto úsporné opatrenie, ale niečo stojí cenou za možnosti, ktoré poskytujú ARIMA modely

je splnenie konkrétneho predpokladu predpokladu stacionarity

štatistické vlastnosti časového radu sa v čase nemenia

hovoríme potom, že časový rad je stacionárny

4.2. Predbežná analýza ČR


Definícia stacionarity ČR priemer a štandardná odchýlka resp. rozptyl sú

konštantné pre všetky pozorovania časového radu

sila závislosti (korelácia) medzi dvojicou pozorovaní je daná len ich vzájomnou vzdialenosťou v čase

stacionárny časový rad


Zhodnotenie stacionarity vychádza z vizuálnej posúdenia

grafu vývoja časového radu grafu výberovej autokorelačnej funkcie

- Sample Autocorrelation function (SACF)


Graf vývoja časového radu hľadáme zmenu v úrovni ČR - zmenu v priemere hľadáme zmenu vo variabilite ČR - zmenu v rozptyle

Predaj výrobkov tabakového priemyslu v USA

zmena úrovne ČR

zmena variability ČR

4.2. Predbežná analýza ČR Graf výberovej autokorelačnej funkcie

autokorelácia ČR vzájomný lineárny vzťah - závislosť

medzi pozorovaniami časového radu koeficient autokorelácie

meria silu autokorelácie medzi pozorovaniami časového radu, ktoré sú v čase od seba vzdialené o k okamihov k=0, 1, 2 ….

k je tzv. lag - oneskorenie určuje poradie koeficienta autokorelácie

hodnoty z intervalu (-1 , 1) blízko 1 silná pozitívna autokorelácia blízko -1 silná negatívna autokorelácia blízko +/- slabá lineárna autokorelácia blízko 0 lineárna autokorelácia neexistuje

graf autokorelačnej funkcie zobrazuje hodnoty koeficientov autokorelácie os x - poradie koeficienta autokorelácie os y - hodnota koeficienta autokorelácie

n

tt

kn

tktt

YY

YYYYk

0

2

0

)(

))(()SACF(


Graf výberovej autokorelačnej funkcie

SACF(1) - koeficient autokorelácies oneskorením o jeden časový okamih- meria silu lineárnej závislosti

medzi pozorovaniami, ktoré sú od seba vzdialené o jednu časovú jednotku

- ako objem predaja tento mesiac závisí od objemu predaja v minulom mesiaci

SACF(12) - koeficient autokorelácies oneskorením o 12 časových okamihov- ako objem predaja tento mesiac závisí

od objemu predaja pred rokom

hodnota koeficienta autokorelácie

oneskorenie - poradie koeficienta


Graf výberovej autokorelačnej funkcie prítomnosť nestacionarity

postupný pokles koeficientov autokorelácie systematická zmena znamienka koeficientov autokorelácie


Odstránenie nestacionarity pomocou stacionarizujúcich transformácií ČR postup

v úrovni(v priemere)

Nestacionarita ČR

vo variabilite(v rozptyle)

jednoduchédiferencie (Yt-Yt-1)

Transformácia ČR

analytické transformácie (log)

určímepríčinu

zvolímetransformáciu

najskôrstacionarizujeme

variabilitu


Stacionarizujúce transformácie jednoduché diferencie

vypočítame nový časový rad ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu

môžu byť rôzneho rádu d= 1, 2, … jednoduché diferencie 1. rádu

Zt = Yt - Yt-1

Zt = (1- B ) Yt B je operátor spätného chodu (backshift operátor) definuje sa ako BYt = Yt-1

jednoduché diferencie 2. rádu Wt = Zt - Zt-1

Wt = (Yt - Yt-1) - (Yt-1 - Yt-2) Wt = Yt - 2Yt-1 + Yt-2 Wt = Yt - 2B Yt + B2 Yt Wt = (1- B )2Yt

dôležitý zápis v teórii ARIMA modelov


Stacionarizujúce transformácie jednoduché diferencie

Zt = Yt - Yt-1

Zt = Yt - Yt-1


Stacionarizujúce transformácie analytické transformácie

hodnoty ČR prepočítame pomocou matematickej funkcie ak variabilita rastie s rastúcimi hodnotami ČR najčastejšie používame logaritmickú transformáciu Zt = log( Yt)

po stabilizovaní variability pristupujeme k stabilizácii úrovne

Wt = Zt - Zt-1 = log( Yt) - log( Yt-1)

Wt = (1-B) Zt

Zt = log( Yt)

Wt = Zt - Zt-1


Sezónnosť všeobecne

hodnota ČR závisí od konkrétnej sezóny - mesiaca, štvrťroka, v ktorom bola zaznamenaná

ARIMA modely hodnota ČR závisí od hodnoty v predchádzajúcich sezónach

od hodnoty ČR pred pred rokom a pod. koeficienty autokorelácie pre k=dĺžka sezónny sú významne

vysoké sezónny ČR rad musí byť stacionárny aj zo sezónneho

hľadiska sezónna úroveň sa nemení

ak je stacionárna celková úroveň, sezónna úroveň nemusí byť stacionárna

sezónna variabilita sa nemení ak je stacionárna celková variabilita,

je stacionárna aj sezónna variabilita


Sezónnosť v ARIMA modeloch identifikujeme pomocou SACF

koeficienty autokorelácie pre pozorovania od seba vzdialené o násobky jedeného rokasú významne vysoké

SACF(12)SACF(24)


Sezónnosť a stacionarita ak je ČR stacionárny v celkovej variabilite, je stacionárny

aj v sezónnej variabilite o stacionarite v úrovni to neplatí

prítomnosť nestacionarity v sezónnej úrovni sa prejaví v SACF koeficienty autokorelácie so sezónnym oneskorením postupne

klesajú

Sezónna nestacionarita v úrovni ČR


Odstránenie sezónnej nestacionarity použijeme sezónne stacionarizujúce transformácie koriguje sezónnu nestacionaritu úrovne ČR

pri úprave jednoduchej nestacionarite v úrovni ČR sme použili jednoduché diferencie

pri sezónnej nestacionarite úrovne použijeme sezónne diferencie


Sezónne stacionarizujúce transformácie

sezónne diferencie vypočítame nový časový rad

ako rozdiel hodnôt pôvodného časového radu, ktoré sú od seba vzdialené o jednu periódu (rok)

jednoduché diferencie 1. rádu sú väčšinou postačujúce Zt = Yt - Yt-P

Zt = (1- BP ) Yt P je dĺžka periódy B je operátor spätného chodu (backshift operátor) definuje sa ako BYt = Yt-P

Zt = Yt - Yt-P


Prestacionarizovaný ČR ČR bol diferencovaný viac ako bolo treba

stáva sa nepoužiteľným poskytuje horšie výsledky ako nestacionárny ČR

skontrolujeme pomocou vizuálneho posúdenia grafu výberovej inverznej autokorelačnej funkcie SIACF - Sample Inverse Autocorrelation Function

stacionarizovaný ČR

prestacionarizovaný ČR

koeficienty SIACFrýchlo klesajú k nule

koeficienty SIACFpomaly klesajú k nule


Prestacionarizovaný ČR a SIACF

SIACFstacionarizovaného

radu Zt

SIACF prestacionarizovaného

radu Wt


Zhrnutie predbežnej analýzy

1. graf vývoja časového radugraf autokorelačnej funkcie

2. overte stacionarituoverte sezónnosť

3. transformujte ČR

4. log transformácia - variabilitajednoduché diferencie - základná úroveňsezónne diferencie - sezónna úroveň

5. overte prestacionarizovanosť pomocou SIACF

UkážkaPredbežná analýza ČR

Documents

Kapitola 4 ARIMA modely