Upload
clementine-rush
View
44
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY. Obsah. Historická poznámka Úloha na volný extrém Úloha na vázaný extrém Optimalizační úloha Klasifikace optimalizačních úloh Možnosti řešení optimalizačních úloh. Historická poznámka. Nalezení extrému funkce pomocí metod matematické analýzy - derivace atd. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY
2
Obsah
• Historická poznámka
• Úloha na volný extrém
• Úloha na vázaný extrém
• Optimalizační úloha
• Klasifikace optimalizačních úloh
• Možnosti řešení optimalizačních úloh
3
Historická poznámka
• Nalezení extrému funkce pomocí metod matematické analýzy - derivace atd.
• Praktické aplikace - omezení definičního oboru funkce
4
Úloha na volný extrém
min f(x) x Df kde Df je definiční obor funkce f(x).
minimální hodnota funkce na celém definičním oboru
5
Květák a kedlubny
• Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny.
• Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí– Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy
– Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x1
2-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2,
kde x1,2 jsou výměry plodin.
• Najděte výměru plodin s minimálními náklady.
6
Květák a kedlubny• Úloha na volný extrém
– Funkce nákladů• x1 výměra květáku (ar)
• x2 výměra kedluben (ar)
• Náklady
f(x) = 3500 + 0,25x12 - 3x1 + x2
2 – 4x2
• Kritérium
f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x2
2 - 4x2 min
• Extrémx1 = 6, x2 = 2
7
Úloha na vázaný extrém
min f(x) x M M= x q(x) =0
úloha nalezení extrému funkce podél křivky q(x)=0
• Lagrangeova funkce
L(x,u) = f(x) + uT.q(x)
8
Květák a kedlubny
• Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. – Květák chce pěstovat na 8 arech.
• Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí– Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy– Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k
obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x1
2-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2,
kde x1,2 jsou výměry plodin.
• Najděte výměru plodin s minimálními náklady.
9
Květák a kedlubny• Úloha na vázaný extrém
– Funkce nákladů• x1 výměra květáku (ar)• x2 výměra kedluben (ar)• Kritérium
f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x2
2 – 4x2 min
– Křivka• q(x) = x1 – 8 = 0
• Řešení– Lagrangeova funkce
L(x1, x2, u) = 0,25x12 - 3x1 + x2
2 – 4x2 + u (x1 – 8)
– Extrémx1 = 8 a pak x2 = 20
10
Optimalizační úloha
min f(x) qi(x) 0 , i = 1, ..., m ,
xT=(x1, x2, ..., xn)T Rn ,
f(x) a qi (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru Rn.
11
Květák a kedlubny• Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů
zeleniny. – K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a
kedlubny. Pro květák lze využít alespoň 8 arů.
• Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí– Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy– Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k
obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x1
2-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2,
kde x1,2 jsou výměry plodin.
• Najděte výměru plodin s minimálními náklady.
12
Optimalizační úloha
Základní prvky optimalizačního modelu
proměnné - procesy
omezující podmínky
kriteriální - účelová funkce
Základní pojmy
přípustné a nepřípustné řešení
optimální řešení
13
Květák a kedlubny
• Model optimalizační úlohy– Proměnné
• x1 výměra květáku (ar)• x2 výměra kedluben (ar)
– Omezující podmínky• q1 (x) = x1 + x2 - 35 0 celková výměra• q2 (x) = x1 – 8 0 výměra květáku
– Kritérium• f(x) = 0,25x1
2 - 3x1 + x22 – 4x2 min
14
Květák a kedlubny
• Řešení v Excelu, modul Řešitel
Proměnné x
Parametry omezujících podmínek
Parametry kriteriální fce
q(x)
f(x)
<=>
0
min
15
Květák a kedlubny
• Řešení v Excelu, modul Řešitel
květák kedlubny
0 0
x1 x2
1 1 0 <= 35
1 0 >= 8
0,25 10 0
-3 -40 0
0 -------> MIN
náklady 3500
16
Klasifikace optimalizačních úloh Z hlediska počtu kritérií
jednokriteriální optimalizační model, vícekriteriální optimalizační model.
Z hlediska typu kritéria minimalizační model f(x) MIN maximalizační model f(x) MAX cílový model dosažení cíle f(x) = h
Podle typu použitých funkcí lineární optimalizační model nelineární optimalizační model
konvexní model - kvadratický konvexní model nekonvexní model.
17
Možnosti řešení optimalizačních úloh
Nalezení vektoru x splňujícího omezující podmínky qi(x) 0 , i = 1, ..., m
Nalezení minimální hodnoty účelové funkce f(x).
Grafický přístup Analytické metody Numerické metody
18
Nalezení přípustného řešeníProblém - nekonvexnost množiny přípustných řešení.
Když už jedno přípustné řešení najdeme, jak najít to optimální.
19
Nalezení extrému účelové funkceProblém - nekonvexnost účelové funkce - lokální a globální
extrémy. Kterým směrem postupovat k optimálnímu řešení?
20
Analytické metody• Lagrangeova funkce
L(x,u) = f(x) + uT.q(x)
• Sedlový bod
L(xopt, u) L(xopt, uopt) L(x, uopt)
• Kuhn-Tuckerovy podmínky - vlastnosti sedlového bodu
• Wolfeho algoritmus pro řešení kvadratických optimalizačních úloh
21
Numerické metody
• Gradientní metody
xk+1 = xk + k.sk
• Penalizační a bariérové metody
min f(x) + pk(x) x Rn • Heuristické metody
• metoda TOP TWENTY