Kartezijev koordinatni sustav

Kartezijev koordinatni sustav Pojam funkcije Graf funkcije Transformacije grafova

Predavanje drugo: Pojam funkcije i grafa funkcije

Franka Miriam Bruckler


Brojevni pravac

realni brojevi mogu se poistovjetiti s tockama pravca, uz uvjetda su na pravcu odabrane tocke koje predstavljaju brojeve 0 i1 (ili neki drugi par razlicitih brojeva kojim je odredena duljinakoja odgovara broju 1)

ako zelimo nanositi brojeve u rasponu od a do b u pravilubrojevni pravac crtamo tako da je broj a pri njegovom lijevomkraju, a broj b pri desnom;

neutralna oznaka za realne brojeve: x (ili y)

ako su nasi brojevi vrijednosti neke fizikalne velicine, primjericekoncentracije c mjerene u mol/L, onda je ta velicinapodijeljena s odabranom jedinicom realni broj i imamopoistovjecenje (koje koristimo pri oznaci osi):

x =fizikalna vel.

jed.


Kartezijev koordinatni sustav


U praksi . . .


Sto je to funkcija, a sto njen graf?

U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti?

A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g?

Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica?

A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?

(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru?

Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?

Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj?

Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?


Funkcija f : D → K je jednoznacno pridruzivanje elemenatay = f (x) jednog skupa (kodomene K ) elementima x drugog skupa(domene D). Realne funkcije jedne varijable realnim brojevima

pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni?

Koliko oniznosi?Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.

Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?



pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni? Koliko oniznosi?

Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.




pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni? Koliko oniznosi?Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.





Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru?

Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?




Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg?

A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?




Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera?

Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?






Rast i pad funkcije

Sto je volumen (idealnog) plina veci, to je tlak tog plina , asto je volumen manji, to je tlak .

S druge strane, sto je masa patkica veca, to je cijena tih patkica, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .

Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije

Sto je volumen (idealnog) plina veci, to je tlak tog plina , asto je volumen manji, to je tlak .S druge strane, sto je masa patkica veca, to je cijena tih patkica

, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .

Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.

Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga?

A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto?

Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Koji dijagram odgovara kojem procesu? Kako bi trebale biti pozicionirane ioznacene koordinatne osi?

1 Ovisnost prijedene udaljenosti o vremenu, pri voznji stalnom brzinom.

2 Ovisnost visine ventila na kotacu bicikla o pomaku bicikla.

3 Ovisnost temperature (u pocetku vruceg) caja o vremenu.

4 Ovisnost visine teniske loptice bacene uvis o vremenu.

5 Ovisnost duljina u incima i metrima.

6 Ovisnost udaljenosti koju je proletio padobranac koji je iskocio iz aviona ovremenu, do otvaranja padobrana.

7 Ovisnost promjera priblizno sferickog balona o broju upuha zraka krozpumpicu.

8 Ovisnost preostalog volumena vode u velikoj posudi, koju netkokonstantnom brzinom pije kroz slamku, o vremenu.
































Prikaz realne funkcije jedne varijable u Kartezijevom koordinatnomsustavu sastoji se od tocaka cije apscise su vrijednosti nezavisnevarijable, a ordinate pridruzene vrijednosti zavisne varijable.Opcenito, graf funkcije f : D → K je skup svih parova (x , f (x))gdje je x ∈ D, a prikaziv je u ravninskom Kartezijevomkoordinatnom sustavu samo ako se D i K mogu shvatiti kaopodskupovih realnih brojeva.

graf funkcije 6= slika funkcije


Za svaki od sljedecih dijagrama utvrdite radi li se o prikazu grafaneke funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Zasto? A akose zamijeni uloga apscise i ordinate kao nezavisne i zavisnevarijable?




















Za svaki od sljedecih prikaza grafova funkcija utvrdite pripadnudomenu.












Mora li graf funkcije sjeci os ordinata?

Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata?

Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista?

Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?

Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa?

Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa?

Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista?

Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?

Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna?

A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Za svaki od sljedecih prikaza grafova funkcija odredite vrijednostfunkcije u 0, nultocke, intervale pozitivnosti funkcije te intervalepada.










Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉?

Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu?

Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?

Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu?

Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?

Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3.

Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3. Kako ceizgledati graf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3. Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1).

Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1). Kako ceizgledati graf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1). Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x).

Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x).

Kako ce izgledatigraf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x). Kako ce izgledatigraf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x). Kako ce izgledatigraf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

Documents

Kartezijev koordinatni sustav