Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4
VIŠE
I. KOORDINATNI SUSTAV ................................................................................................................. 6
Koordinatni sustav na pravcu i pravokutni koordinatni sustav u ravnini .................................................6Provjera .............................................................................................................................................................................8
II. PROPORCIONALNOST I OBRNUTA PROPORCIONALNOST ..................................................... 10
Omjer .............................................................................................................................................................................. 10Razmjer ili proporcija ................................................................................................................................................ 12Omjer i razmjer ............................................................................................................................................................ 14Proporcionalne veličine ........................................................................................................................................... 16Obrnuto proporcionalne veličine ......................................................................................................................... 22Postoci. Računanje s postocima ............................................................................................................................ 26Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 30Provjera 2 ....................................................................................................................................................................... 32Provjera 3 ....................................................................................................................................................................... 34
III. SLIČNOST TROKUTA ................................................................................................................. 36
Dijeljenje dužine na jednake dijelove i u zadanom omjeru ........................................................................ 36Sličnost trokut i primjena ........................................................................................................................................ 38Provjera .......................................................................................................................................................................... 40
IV. MNOGOKUTI .............................................................................................................................. 42
Dijagonale mnogokuta ............................................................................................................................................ 42Kutovi mnogokuta ..................................................................................................................................................... 44Opseg i površina mnogokuta ................................................................................................................................ 46Provjera .......................................................................................................................................................................... 48
V. KRUŽNICA I KRUG ...................................................................................................................... 50
Dvije kružnice .............................................................................................................................................................. 50Kružnica i pravac ..........................................................................................................................................................51Središnji kut .................................................................................................................................................................. 53Opseg kruga i kružnog luka .................................................................................................................................... 54Površina kruga i kružnog isječka ........................................................................................................................... 56Opseg i površina pobojanih likova ...................................................................................................................... 58Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 60Provjera 2 ....................................................................................................................................................................... 62
VI. LINEARNA FUNKCIJA ................................................................................................................ 64
Linearna funkcija ........................................................................................................................................................ 64Graf linearne funkcije ................................................................................................................................................ 66Jednadžba pravca ....................................................................................................................................................... 68
KAZALO
5
VIŠE
Sjecište pravca s koordinatnim osima i sjecište dvaju pravaca .................................................................. 70Provjera .......................................................................................................................................................................... 72
RJEŠENJA ........................................................................................................................................ 74
6
VIŠE
I. KOORDINATNI SUSTAV
Koordinatni sustav na pravcu i pravokutni koordinatni sustav u ravnini
PRIMJER 1: Kako na brojevnom pravcu prikazati skup točaka koji odgovara uvjetu x > 0 i x ≤ –2? a) Skup točaka na brojevnom pravcu, čija je koordinata x veća od 0 prikazuje se polupravcem.
Na tom polupravcu leže sve točke koje su desno od slike broja 0.
10
b) Skup točaka na brojevnom pravcu, čija je koordinata x manja ili jednaka –2 prikazuje se polupravcem. Na tom polupravcu leži točka –2 i sve točke koje su lijevo od slike broja –2.
−1−2 0 1
PRIMJER 2: Prikaži u koordinatnoj ravnini točke A(2, 3) i B(–4, –1).
Točka A(2, 3) ucrta se tako da se na apscisnoj osi potraži točka koja leži dvije jedinične dužine desno od ishodišta i kroz nju se povuče paralela s ordinatnom osi. Zatim se na ordinatnoj osi potraži točka koja leži tri jedinične dužine iznad ishodišta i kroz nju se povuče paralela s apscisnom osi. Sjecište nastalih pravaca je uređeni par, koji ima x = 2 i y = 3, što se piše A(2, 3).
0 1
x
y
1
A
B
Jednako se određuje točka B(–4, –1). Obje su koordinate točke A pozitivne, zato ona leži u prvom kvadrantu. Koordinate točke B su negativne, zato ona leži u trećem kvadrantu.
VJEŽBA 1: Prikaži na brojevnom pravcu točke T1(2), T2(3), T3(–1), T4(–2.5), T5(–4).
10
VJEŽBA 2: Odredi koordinatu točaka T1 i T2 koje su na brojevnom pravcu: a) od točke M(12) udaljene devet jediničnih dužina T1( ) i T2( )
b) od točke N(3) udaljene tri jedinične dužine T1( ) i T2( )
c) od točke P(–1) udaljene šest jediničnih dužina T1( ) i T2( )
d) od točke R(–20) udaljene 13 jediničnih dužina T1( ) i T2( )
e) od ishodišta 0 udaljene četiri jedinične dužine T1( ) i T2( )
apscisa
A(2, 3)koordinate točke A
ordinata
0 1
x
y
1
2. kvadrant 1. kvadrant
3. kvadrant 4. kvadrant
7
VIŠE
VJEŽBA 3: Zadane su točke na brojevnom pravcu.
10
C DBA
a) Odredi koordinate točaka A, B, C i D.b) Odredi duljine svih mogućih dužina koje određuju točke A, B, C i D.c) Odredi koordinatu točke S1 koja je polovište dužine AC i koordinatu točke S2 koja je polovište dužine BD.
VJEŽBA 4: Naznači na brojevnom pravcu točke:
a) A(− 12), B( 14 ), C(−23
4), D(112
).
b) A(16), B(− 23), C(− 76), D(5
3)
c) A(−0.25), B(1.5), C(−1 34), D(2 14 )
VJEŽBA 5: Odredi duljinu dužina sa zadanim krajnjim točkama.
A(0), B(6) A(–9), B(–20) A(–4), B(3) A(–8), B(0)
7 jediničnih dužina
11 jediničnih dužina
8 jediničnih dužina
1 jedinična dužina
6 jediničnih dužina
VJEŽBA 6: Zadane su točke E, F, G i H. U kojem kvadrantu leže zadane točke?E(–5, –6) F(5, –6)
G(5, 6) H(–5, 6)
VJEŽBA 7: Ucrtaj u koordinatni sustav sve točke za koje vrijedi da su koordinate točke cijeli brojevi, a umnožak im je –4.
0 1
x
y
1
VJEŽBA 8: Odredi vrijednost nepoznanica a i b tako da točka:a) T(4a – 3, –a + 2) leži na osi apscisa b) T(2b + 3, b – 0.5) leži na osi ordinata
8
VIŠE
Provjera
I. KOORDINATNI SUSTAV
1. Naznači na brojevnom pravcu točke s koordinatama:
a)A( 13
), B(− 34
), C(56), D(− 1
2)
0 1
b)A(0.8), B(−1.7), C(2.3), D(−0.4)
0 1
c)A(−134
), B(2.5), C(−0.5), D(12
)
0 1
d)A(0.25), B(− 34
), C(1.5), D(−1.25)
0 1
2. Očitaj koordinate točaka naznačenih na brojevnom pravcu.
a)
0 1
B A D C
b)
0 1
D B A C
3. Na brojevnom pravcu naznači točku kojoj je koordinata rješenje jednadžbe:
a) 8 - 5x = −2x + 14 b) 6x + 14
6x + 66
2x − 32
− =
0 1 0 1
4. U pravokutnom koordinatnom sustavu naznači točke: A(−2,3), B(0,−2), C(−3,−4), D(4,0), F(1,2)
0 1
1
x
y
8bodova
8bodova
9bodova
5bodova
9
VIŠE
Provjera
5. Očitaj koordinate točaka naznačenih u pravokutnom koordinatnom sustavu:
0 1
1
R
S
L
M
x
K N
T
y
6. U pravokutnom koordinatnom sustavu nacrtaj točku M(−2,3). Odredi koordinate točke:
a) koja je osno simetrična zadanoj točki s obzirom na apscisu
b) koja je osno simetrična zadanoj točki s obzirom na ordinatu
0 1
1
x
y
7. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut ∆OPR ako je:O(−2,3), P(0,−4), R(3,1)
0 1
1
x
y
7bodova
4boda
4boda
a) ______
b) ______
L ______ K ______
R ______ T ______
S ______ M ______
N ______