DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU

DEPARTMAN ZA TEHNIČKE NAUKE

SEMINARSKI RAD

KOORDINATNI SISTEMI

Mentor Student

Novi Pazar,mart,2012

SADRŽAJ

UVOD………………………………………………………….……….…….3

DEKARTOV KOORDINATNI SISTEM……………………….….………..4

VIŠEDIMENZIONALNI KOORDINATNI SISTEM.....................................6

KOSOUGLI KOORDINATNI SISTEM………………………………...…..7

POLARNO CILINDRIČNI KOORDINATNI SISTEM..................................8

SFERNI KOORDINATNI SISTEM.................................................................9

GEOGRAFSKI KOORDINATNI SISTEM....................................................10

MESNI EKVATORSKI KOORDINATNI SISTEM......................................11

NEBESKO EKVATORSKI KOORDINATNI SISTEM..............................12

REFERENTNI KOORDINATNI SISTEM....................................................13

DRŽAVNI KOORDINATNI SISTEM……………………………….……..14

LITERATURA……………………………………………………….……...15

2

UVOD

Koordinatni sistem je način na koji se uvode izvesni brojevi pomoću kojih se metodom koordinata u potpunosti određuje položaj tačke u prostoru. Pri definisanju vektora bira se onaj koordinatni sistem koji je u konkretnom problemu najpogodniji. To je skup nepokretnih linija i ravni koje se koriste za nedvosmisleno određivanje položaja nekog objekta njegovim koordinatama. U geodeziji se relativni položaji tačaka računaju u okviru unapred odabranog koordinatnog sistema, najčešće je to državni koordinatni sistem. Sledeća tri koordinatna sistema su od posebne važnosti za geodeziju:

Geografski (krivolinijski) koordinatni sistem Pravougli koordinatni sistem Polarni koordinatni sistem

3

DEKARTOV KOORDINATNI SISTEM

Dekartov koordinatni sistem (DKS) se koristi u matematici za jednoznačno definisanje položaja tačaka u prostoru. Karakteristika ovog sistema je da su njegove koordinatne ose međusobno normalne.Dekartov koordinatni sistem je izmislio francuski matematičar i filozof Rene Dekart, koji je, između ostalih stvari, pokušavao da spoji algebru i Euklidsku geometriju. Ovaj rad je mnogo uticao na razvoj analitičke geometrije, računa i kartografije.Ideja o ovom sistemu je razvijena 1637. u dva Dekartova dela. U drugom delu svog Metoda predavanja, Dekart je uveo novu ideju određivanja položaja tačke ili predmeta na površini, koristeći dve normalne ose kao pomagalo za merenje. U Geometriji, Dekart je dalje objasnio gore spomenuti koncept.

Dvodimenzioni Dekartov koordinatni sistem se koristi da jednoznačno odredi svaku tačku u ravni pomoću dva broja, koji se obično označavaju sa x i y. Dekartov koordinatni sistem je definisan sa dve ose (x-osa ili apcisa i y-osa ili ordinata). Izborom mere za svaku osu i označavanjem jedinica mere duž osa formira se skala.Korišćenjem Dekartovog koordinatnog sistema geometrijske figure (kao što su krive) se mogu iskazati algebarskim jednačinama, tj. jednačinama koje zadovoljavaju koordinate na tačkama koje leže na figuri. Na primer, krug poluprečnika 2 se može prikazati formulom x2 + y2 = 4.

Sl.1.2. Dvodimenzioni Dekartov koordinatni sistem

4

Trodimenzionalni koordinatni sistem određuje položaj tačke u prostoru gde je takav koordinatni sistem definisan središtem koordinatnog sistema 0, i tri orijentisane ose (x, y i z) s odgovarajućim jediničnim dužinama. Koordinate svake tačke u takvom sistemu zadate su uređenim skupom od 3 broja koji označavaju odgovarajuće koordinate u trodimenzionalnom matematičkom prostoru, gde su koordinate predstavljene orijentisanim udaljenostima od neke tačke do odgovarajuće ravni. U trodimenzionalnom koordinatnom sistemu nazivi osa (apscisa i ordinata) nisu uslovne,ali ako se koriste tada je uobičajeno treću, z-osu, nazvati aplikata. Na isti način je uobičajeno x-osu i y-osu postaviti u horizontalnu ravninu, a preostalu, z-osu postaviti normalno na njih. Trodimenzionalni koordinatni sistem dijelimo na osam područja, “oktanata”, ograničenih odgovarajućim delovima ravni. Prvi oktant je onaj gde su sve tri poluose pozitivne.

Sl.3. Trodimenzionalni koordinatni sistem

Sl.4. Levi i desni pravougli koordinatni sistem

5

Primena i značaj Dekartovog koordinatnog sistema

Svaka osa može u praktičnoj primeni prema potrebi imati različite merne jedinice (kilograme, sekunde, vate, itd), što znači da Dekartovim koordinatnim sistemom možemo prikazivati ne samo krive, likove i geometrijska tela u dvodimenzionalnom, odnosno trodimenzionalnom prostoru, već da možemo prikazivati i sve moguće ostale veličine (masa, vrijeme, energija, sila i mnoge druge). Dekartove koordinate su temelj analitičke geometrije i osiguravaju geometrijsku interpretaciju za brojna područja matematike kao što su linearna algebra, kompleksna analiza, diferencijalna geometrija itd. Jedan od najpoznatijih primjera je koncept grafičkog prikaza ili grafika funkcije. Dekartove koordinate su osnovno oruđe u mnogim područjima koja se bave geometrijom uključujući astronomiju, fiziku, tehničke struke, ekonomiju i druge.Iako je Dekart dao koordinatnom sistemu svoje ime, valja naglasiti da su se slični koordinatni sistemi koristili i prije njega uključivši Abu Rayhan Birunia i Persijsku matematiku X i XI veka.Nakon Dekarta razvijeni su i drugi koordinatni sustavi kao što su polarni, sferični, cilindrični i drugi.

VIŠEDIMENZIONALNI KOORDINATNI SISTEM

Višedimenzionalni koordinatni sistem, koordinate tačke mogu se odrediti i u višedimenzionalnom matematičkom prostoru gde će se pomoću n odgovarajućih koordinata definisati orijentisana udaljenost od tačke do jedne od n hiperravni. U četvorodimenzionalnom matematičkom prostoru na primer, postojat će četiri osi x, y, z i w, a koordinate svake tačke u takvom matematičkom prostoru biće određene uređenim skupom od četiri broja.

6

KOSOUGLI KOORDINATNI SISTEM

Ovaj koordinatni sistem čine tri orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomičnu tačku(npr. tačku O), ne leže u istoj ravni I međusobno obrazuju izvesne uglove koji nemoraju biti pravi. Ose Ox, Oη i Oζ su koordinatne ose, a tačka O se naziva koordinatni početak i u ovom koordinatnom sistemu tačka je odredjena sa tri koordinate ( tri realna broja): x η i ζ. Ove koordinate se dobijaju paralelnim projektovanjem tačke na koordinatne ose.

Sl.5. Kosougli koordinatni sistem

7

POLARNO CILINDRIČNI KOORDINATNI SISTEM

Polarni koordinatni sistem je sistem koordinata gde je pozicija tačke T određena njenom udaljenošću od jedne fiksne tacke P, ishodišta, zajedno sa uglom koji duž PT formira sa jednom fiksnom polupravom. Ishodište P se naziva pol, rastojanje PT naziva se radijus vektor (r), fiksna poluprava naziva se polarna osa (x-osa), na slici ispod.Ugao φ između polarne ose i radijus vektora naziva se vektorski ugao, ili polarni ugao, azimut, amplituda pa i anomalija. Pozitivan smer ugla φ je obrnut smeru kazaljke na satu, negativna vrednost je u smeru kazaljke na satu. Koordinate tačke T su uređen par brojeva (r, φ). Polarne koordinate u ravni su korisne za sisteme sa centralnom simetrijom. Polarni koordinatni sistemi se koriste i u tri dimenzije.

Sl.6. Polarni koordinatnog sistema

Cilindrični koordinatni sistem je trodimenzioni koordinatni sistem koji predstavlja proširenje polarnog koordinatnog sistema dodavanjem treće koordinate (koja se obično označava sa h), koja označava visinu tačke iznad ravni.Tačka P je zadata kao (r, θ, h). Posmatrano iz perspektive pravouglog koordinatnog sistema:r je razdaljina od O do P’, ortogonalne projekcije tačke P na XY ravan. Ovo je isto kao razdaljina tačke P od z-ose. θ je ugao između pozitivnog smera x-ose, i duži OP’, mereno u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu. h je isto kao z koordinata.Stoga je funkcija konverzije f iz cilindričnih koordinata u pravougle koordinate zadata kao f(r, θ, h) = (rcos θ, rsin θ, h).Za upotrebu u fizici i tehnologiji, preporučena međunarodna standardna notacija je ρ, φ, z (ISO 31-11). Cilindrične koordinate su korisne za analizu površina koje su simetrične u odnosu na osu, ako je z-osa izabrana za osu simetrije. Na primer, beskonačno dugačak cirkularni cilindar koji u sistemu pravouglih koordinata ima jednačinu x2 + y2 = c2 ima vrloprostu jednačinu u cilindričnim koordinatama: r = c. Otuda ime cilindrične koordinate.

Sl.7. Primer cilindricnog koordinatnog sistema

8

SFERNI KOORDINATNI SISTEM

Sferni koordinatni sistem u matematici, je koordinatni sistem za predstavljanje tela u tri dimenzije korišćenjem tri koordinate: udaljenost talke od fiksirane nulte tačke koordinatnog sistema, zenit, ugao koji prava spaja tačku sa koordinatnim početkom zaklapa sa pozitivnim delom z-ose, i azimut, ugao iste prave sa pozitivnim delom x-ose.Postoji nekoliko različitih konvencija za predstavljanje ove tri koordinate. U Sjedinjenim Državama se koordinate obično označavaju sa (ρ, φ, θ) za radijalnu distancu, zenit i azimut. U drugim krajevima sveta su zenit i azimut zamenjeni, i koordinate su (ρ, θ, φ). Prvi način ima prednost da je sličniji dvodimenzionom polarnom koordinatnom sistemu i trodimenzionom cilindričnom koordinatnom sistemu, a drugi način je geografski rašireniji. Druge notacije koriste r za radijalnu razdaljinu. Pre korišćenja formula i jednačina iz neke literature, uvek je neophodno proveriti koju je notaciju koristio autor. Sferni koordinatni sistem je samo jedan od mnogih trodimenzionih koordinatnih sistema, tako da postoje jednačine za konverziju iz sfernih koordinata i ostalih, i obratno.

Sl.8. Sferni koordinatni sistem

9

GEOGRAFSKI KOORDINATNI SISTEM

Geografski koordinatni sistem je alternativna verzija sfernog koordinatnog sistema, koja se uglavnom koristi u geografiji mada ima primene i u matematici i fizici. U geografiji, ρ se obično izostavlja ili se umesto ove vrednosti koristi nadmorska visina. Širina δ je komplement zenita, i može se dobiti kao: δ = 90˚ - ϕ, ili ϕ = 90˚ - δ, mada se širina obično predstavlja i sa φ. Ovo predstavlja ugao koji počinje od xy-ravni, sa domenom -90˚≤ φ ≤ 90˚. Dužina se meri u stepenima istočno ili zapadno od 0˚, pa je njen domen -180˚ ≤θ ≤ 180˚. Geografski koordinatni sistem primenjuje dva ugla sfernog koordinatnog sistema kako bi izrazio lokacije na Zemlji, nazivajući ih geografskom širinom i geografskom dužinom. Kao što je dvodimenzioni pravougaoni koordinatni sistem koristan u ravni, dvodimenzioni koordinatni sistem je koristan na površini sfere. U ovakvom sistemu, sfera je uzeta kao jedinična sfera, pa se njen poluprečnik obično može ignorisati. Ovo pojednostavljenje može biti veoma korisno kada se radi sa objektima kao što je matrica rotacije.

Sl.9. Geografski koordinatni sistem sa vrstama projekcija

10

MESNI EKVATORSKI KOORDINATNI SISTEM

Koordinate u mesnom ekvatorskom sistemu su deklinacija i časovni ugao (Sl. 9). Deklinacija δ je ugao koji se meri u ravni deklinacijskog kruga, od ekvatora na sever i jug. Uzima vrednost od-90˚ do +90˚. Časovni ugao t je ugao koji zaklapaju ravni mesnog meridijana i deklinacijskog kruga nebeskog tela. Meri se u retrogradnom smeru i uzima vrednost od 0˚ do 360˚. Zbog svoje veze sa zvezdanim vremenom, časovni ugao se izražava u satima, pa tako, uzima vrednosti od 0h do 24h. Deklinacija je koordinata koja se ne menja tokom vremena onim tempom kao koordinate u mesnom horizontskom sistemu. Svođenjem deklinacije na određenu referentnu epohu, moguće je vršiti tabličenje ove veličine za svaku zvezdu.

Časovni ugao se, pak, menja usled Zemljine rotacije, što mesni ekvatorski sistem koordinata čini nepogodnim za upotrebu u tablicama.

sl.10. Mesni ekvatorski koordinatni sistem

11

NEBESKO EKVATORSKI KOORDINATNI SISTEM

Videli smo u mesnim ekvatorskim sistemima da, zbog zavisnosti časovnog ugla od Zemljine rotacije, mesni ekvatorski sistem nije moguće iskoristiti u sastavljanju tablica položaja zvezda. Međutim, ako bi se ugao merio počev od uvek isto deklinacijskog kruga koji bi se pomerao zajedno sa prividnim pomeranjem cele nebeske sfere, očuvala bi se njegova nepromenljivost tokom vremena. Kao tačka čiji se deklinacijski krug može usvojiti za početni pravac izabrana je tačka prolećne ravnodnevnice γ , kao presečna tačka ekvatora i ekliptike. Iako se ne radi o objektu vidljivim golim okom, pravac prema γ tački se uvek može odrediti. Tako se dobija rektascenzija, ugao između deklinacijskog kruga γ tačke i deklinacijskog kruga zvezde. Rektascenzija se obeležava grčkim slovom α , a meri se u direktnom smeru, pri čemu može uzeti vrednosti od 0˚ do 360˚. Zbog svoje linearne veze sa časovnim uglom i zvezdanim vremenom, ova veličina se najčešće izražava u časovima, pa tako uzima vrednosti od 0h do 24h. Druga koordinata u nebeskom ekvatorskom sistemu koordinata je deklinacija δ, koja se definiše i meri kao što je opisano u mesnim ekvatorskim sistemima. Kako obe kooridnate u nebeskom ekvatorskom sistemu koordinata održavaju svoju stalnost, upravo se one koriste u katalozima i godišnjacima. Zvezdano vreme je, prema definiciji, časovni ugao γ tačke i računa se prema izrazu: S = α + t

sl.11. Nebesko ekvatorski koordinatni system

12

REFERENTNI KOORDINATNI SISTEM

Iz fundamentalne jednačine satelitske geodezije očigledno je da koordinatni sistemi predstavljaju centralni matematički element korišćenja veštačkih Zemljinih satelita. Da bi se koordinatni sistem definisao u trodimenzionalnom prostoru, neophodno je propisati koordinatni početak (tri elementa), orijentaciju koordinatnih osa (tri elementa) i razmeru (obično jedan element). Usvojeni koordinatni sistem zajedno sa neophodnim konstantama, parametrima, konvencijama i teorijama naziva se referentnim koordinatnim sistemom ili kratko referentnim sistemom. Kada je u pitanju korišćenje veštačkih Zemljinih satelita, od interesa su pre svega dva referentna sistema: inercijalni, u kojem se opisuje kretanje satelita, i terestrički, koji služi za predstavljanje položaja tačaka na površi Zemlje. Ovaj referentni sistem Definiše se kao koordinatni sistem koji je nepomičan u prostoru ili se translatorno kreće konstantnom brzinom. U njemu se izražavaju vektori sile, ubrzanja, brzine i položaja, u skladu sa jednačinama Njutnove mehanike. U odnosu na inercijalni referentni sistem, položaji udaljenih zvezda i kosmičkih objekata ostaju u principu nepromenjeni. Imajući to u vidu, inercijalni referentni sistem definiše se na sledeći način:

Koordinatni početak je u centru mase Zemlje (geocentrična definicija), Osa Zi poklapa se sa osom rotacije Zemlje, Osa Xi usmerena je u pravcu tačke prolećne ravnodnevnice (γ tačka), Osa Yi kompletira pravougli sistem desne orijentacije.

sl.12. Referentni koordinatni sistem

13

DRŽAVNI KOORDINATNI SISTEM

Državni pravougli koordinatni sistem teritorije Republike Srbije podeljen je u dve zone- šestu i sedmu. Koordinatni početak koordinatnog sistema šeste zone nalazi se u preseku centralnog meridijana zone (meridijan 18°) i ekvatora, a sedme zone u preseku centralnog meridijana zone (meridijan 21°) i ekvatora. S obzirom da centralni meridijan prolazi sredinom teritorije zone, da bi se izbegle negativne koordinate, centralnom meridijanu zone dodeljena je vrednost ordinate Y= 500 000.00. Da bi se znalo o kojoj zoni je reč, ispred vrednosti Z koordinate dodaje se broj zone (na primer, Y= 7 523 000.00 označava da se tačka nalazi u sedmoj zoni, 23 km istočno od srednjeg meridijana).

sl1

14

Literatura:

Branko Božić, Geodetski premer 1, Beograd, Građevinski fakultet, 2006. D. Blagojević, Satelitska geodezija – Uvod u NAVSTAR GPS, Beograd, 2007. Rade Raonić, Vektorska Algebra,2009.

15