Tutur Widodo Keterbagian dan Pembagian Bersisa

Keterbagian dan Pembagian Bersisa

1 Definisi Keterbagian

Untuk bilangan bulat a dan b dengan a 6= 0, a membagi habis b dilambangkan dengan a|b jika

dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = ak. Dalam hal a tidak habis membagi

b dilambangkan dengan a|b.Selain a|b dibaca a membagi habis b, juga dapat dibaca a faktor dari b, atau b habis dibagi a

atau b kelipatan a.

1.1 Sifat - Sifat Keterbagian

Berdasarkan definisi di atas, untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku :

• Jika a|b maka ac|bc

• Jika a|b maka |a| ≤ |b|. Lebih khusus, jika b > 0 maka diperoleh a ≤ b

• Jika a|b dan a|c maka a|ax + by untuk sebarang bilangan bulat x, y

• Jika a|b dan a|b± c maka a|c

• a|a, 1|a dan a|0

• Jika a|b dan b|c maka a|c

• Jika a|b dan b|a maka |a| = |b|

1.2 Kriteria Habis Dibagi

Diketahui m = anan−1 · · · a2a1 adalah bilangan asli n digit.

• m habis dibagi 2 jika dan hanya jika digit terakhirnya habis dibagi 2

• m habis dibagi 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya habis dibagi 4

• m habis dibagi 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya habis dibagi 8

• m habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya 0 atau 5

• m habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah semua digit-digitnya habis dibagi 3

• m habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah semua digit-digitnya habis dibagi 9

• m habis dibagi 11 jika dan hanya jika a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·+ an1 − an habis dibagi 11

1

Tutur Widodo Keterbagian dan Pembagian Bersisa

2 Algoritma Pembagian Bersisa

Untuk sebarang bilangan bulat positif a, b terdapat tepat satu pasangan bilangan bulat nonnegatif

(q, r) sedemikian sehingga

a = bq + r, r < b

selanjutnya q disebut hasil bagi dan r disebut sebagai sisa pembagian a oleh b.

Catatan : Hasil diatas dapat diperluas untuk semesta bilangan bulat sebagai berikut : Un-

tuk sebarang bilangan bulat a, b, dan a 6= 0 terdapat tepat satu pasangan bilangan bulat (q, r)

sedemikian sehingga

a = bq + r, 0 ≤ r < |b|

3 Latihan Soal

1. Diketahui a, b, c dan d adalah bilangan asli. Jika c habis dibagi a dan d habis dibagi b,

maka manakah di bawah pernyataan yang selalu bernilai benar :

i. cd habis dibagi ab

ii. c + d habis dibagi a + b

iii. cd habis dibagi a

iv. bc habis dibagi ab

v. dc habis dibagi ba

2. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 9 yang dapat membagi 24.156

3. Carilah bilanga c terkecil sehingga 8∣∣∣(3ab.82c)

4. H adalah himpunan semua bilangan asli n sedemikian sehingga bentukn− 1

n− 3meng-

hasilkan bilangan bulat kurang dari 1, maka tentukan banyaknya himpunan bagian takkosong

dari H

5. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga (7n + 1) habis dibagi (3n + 4)

6. Sebuah bilangan genap 123.a45.6a7.89a habis dibagi 9 tetapi tidak habis dibagi 5. Ten-

tukan semua nilai a yang mungkin

7. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n maka (n3 − n) habis dibagi 3

8. Jika311 − 1

2dibagi 9 maka sisanya adalah

9. Diberikan dua bilangan bulat yang berjumlah 37. Jika bilangan yang lebih besar dibagi

dengan bilangan yang lebih kecil maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5. Tentukan

selisih kedua bilangan tersebut

2

Tutur Widodo Keterbagian dan Pembagian Bersisa

10. Bilangan A = 20102011201220132014 · · · · · · 2050 dibentuk dengan pengambilan bilangan

bulat berurutan dari 2010 sampai dengan 2050. Tentukan sisa pembagian A dengan 9

11. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku 17|(2a+3b) jika dan hanya

jika 17|(9a + 5b)

12. Temukan tiga bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 2n + 1 habis dibagi 3

13. Diketahui n = 10100 − 1 mempunyai 100 angka 9. Tentukan banyaknya angka 9 yang

terdapat pada n3

14. Tentukan semua bilangan asli n sehingga (3n + 2)|(5n2 + 2n + 4)

15. Berapa banyak bilangan bulat n diantara 1 dan 2013 yang memenuhi

5∣∣∣(1n + 2n + 3n + 4n + 5n)

16. Tunjukkan bahwaa(a2 + 2)

3merupakan bilangan bulat untuk setiap bilangan asli a

17. (a) Bilangan terkecil manakah yang terdiri dari 5 digit dan habis dibagi 456

(b) Bilangan terbesar manakah yang terdiri dari 5 digit dan habis dibagi 88

18. Sebuah bilangan jika dibagi 899 akan bersisa 63. Berapakah sisanya jika bilangan tersebut

dibagi 29

19. Sebuah bilangan jika dibagi 3 dan 5 berturut-turut bersisa 1 dan 2. Berapakah sisanya

jika bilangan tersebut dibagi 15

20. Misalkan f(x) = x2 + 3x + 2 dan H = {0, 1, 2, 3, · · · , 25}. Berapakah banyak a ∈ H

sehingga 6∣∣∣f(a)

21. Berapaka sisa dari 61989 + 81989 jika dibagi 49

22. Buktikan untuk setiap bilangan bulat n berlaku :

a). n5 − 5n3 + 4n habis dibagi 120.

b). n2 + 3n + 5 tidak habis dibagi 121.

23. Carilah bilangan bulat terbesar x sehingga 236+x membagi 2000!

24. Tentukan semua bilangan bulat positif a, b, c sedemikian sehingga

ab + bc + ca < abc

25. Tentukan semua bilangan asli a, b dan c yang lebih besar dari 1 dan saling berbeda, serta

memenuhi sifat bahwa abc membagi habis ab + bc + ca + 2

3