Kinematika hmotného bodu

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Rýchlosť ako derivácia, dráha ako integrál, polohový vektor, zrýchlenie

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

s [m

]

t [s]

∆t5

∆s5

∆t5 ∆s5

s [m]0 2 4 6 8 10

t [s] s [m]

∆t3

∆s3

∆t3 ∆s3

∆t2

∆s2

∆t2 ∆s2

∆s1

∆t1

∆t1 ∆s1

vt

s

t

s

t

s =∆∆==

∆∆=

∆∆

5

5

2

2

1

1 ...

0→∆t

vdt

ds

t

st

==∆∆

→∆ 0lim

0 02 2

4 4

10 10

∆t = 2s

∆s4∆t4

∆t4

∆s4

6 68 8

ts 1= vts =v=1ms-1

Rovnomerný pohyb

30.006.0

22.605.0

16.094.0

10.533.0

6.032.0

2.531.0

s [m]t [s]

0m

∆t=1s

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

s [m

]

t [s]

2.53m6.03m

10.53m

16.09m

22.60m

30.00m

20 2

1attvs +=

v0=2ms-1

a=1ms-2

212

12 tts +=

∆s1

∆s2

∆s3

∆s4

∆s5

Nerovnomerný pohyb

dt

dsv =

v0=2ms-1

a=1ms-2

dt

dva =

212

12 tts +=

20 2

1attvs +=

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

s [m

]

t [s]0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6

8

10

v [m

s-1]

t [s]

tv += 2

atvv += 0

1=a

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

a [m

s-2]

t [s]

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

v [m

s-1]

t [s]

Rovnomerne zrýchlený pohyb

tv =

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7v

[ms-1

]

t [s]

Rovnomerný pohyb

.konštv =

vts =

msmss 2555 1 == −

Akú dráhu prejde za čas 5s?2

vts =

Akú dráhu prejde za čas 5s?

msms

s 5.122

55 1

==−

Dráha zodpovedá ploche pod krivkou ...

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7v

[ms-1

]

t [s]

Rovnomerne zrýchlený pohyb

tv =

v1

v2

v3

v4

v5

∑=

∆=5

1ii tvs

Ešte vylepšenie ∆t→0

∫ funkcia

Integrál z funkcie

veľká nepresnosť, zmenšenie ∆t

∑ ∆=→∆

ii

ttvs

0lim

Základné pravidlá derivovania a integrovania

1')( −= nn nxx

)cos())(sin( ' xx =

)sin())(cos( ' xx −=xx ee =')(

xx

1))(ln( ' =

)1(,1

1

−≠++

=+

∫ nCn

xdxx

nn

Cxdxx +−=∫ )cos()sin(

Cxdxx +=∫ )sin()cos(

Cedxe xx +=∫Cxdx

x+=∫ )ln(

1

Príklady derivovania a integrovania

23

3)(

xdx

xd =

∫ =3

32 xdxx 22

3

33

13xx

dx

xd

==

∫ == 33

2

333 x

xdxx

dt

dsv =

Dôkaz výpočtu dráhy rovnomerne zrýchleného pohybu pomocou integrálu

( ) ∫∫ =+s

s

t

dsdtatv00

0

∫∫∫ =+s

s

tt

dsdttadtv000

0

[ ] [ ]ss

t

t st

atv0

0

2

00 2=

+

02

0 2

1ssattv −=+

2

2

1t

t

vs =

atv =t

va =

dsvdt = ∫∫ =s

s

t

dsdtv00

vts2

1=

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7v

[ms-1

]

t [s]

atvv += 021 −= msa

10 0 −= msv

200 2

1attvss ++=2

2

1ats =

00 =s00 =v

Súradnicový systém a polohový vektor

x

y

z

pravotočivý súradnicový systém

υυυυϕϕϕϕ

ϕυ coscosr=xr

ϕυ sincosr=yr

υsinr=zr

sférický súradnicový systém

kartézsky súradnicový systém

ir xx r=

krzz =r

jryy =r

krjrr zyx ++= ir

r

r’

r1r2 r3 r4

r5 r6

t1t2 t3 t4 t5

t6

)(trr=Polohový vektor pohybujúceho sa bodu je funkciou času.

r1

t1

r2

t2

∆∆∆∆r

21 r∆rr =+

12 rrr −=∆

12 tt∆t −=

?

r∆r d→0→∆t

Zmenšovanie časového intervalu�lepšie popísanie krivky

r1

t1

r2

t2

∆∆∆∆r

Rýchlosť – vektor rýchlosti

tt ∆∆=

→∆

rv

0lim

tp ∆∆= r

v

Priemerná (stredná) rýchlosť

t

∆svp ∆

= (priamočiary pohyb)

τr

vdt

ds

dt

d == okamžitá rýchlosť

zyx vvvdt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

zyxd

dt

dkjikji

kjirv ++=++=++== )(

222zyx vvv ++=v 22

yx vv +=vpre tri zložky rýchlosti pre dve zložky rýchlosti

[ms-1] … jednotka rýchlosti

Zrýchlenie – vektor zrýchlenia

tt ∆∆=

→∆

va

0lim

2

2

dt

d

dtdt

dd

dt

d rr

va =

==

zyxzyx aaa

dt

dv

dt

dv

dt

dvkjikjia ++=++=

222zyx aaa ++=a 22

yx aa +=apre tri zložky zrýchlenia pre dve zložky zrýchlenia

[ms-2] … jednotka zrýchlenia

Klasifikácia pohybov

τv v=

v=konšt.

≠konšt

Rovnomerný pohyb

Nerovnomerný pohyb

ττττ=konšt.

≠konšt

Priamočiary pohyb

Krivočiary pohyb

Kinematika hmotného bodu II

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Pohyb po kružnici, tangenciálne a normálové zrýchlenie, pohyb za účinku vlastnej tiaže (vrhy)

α v

2

2

dt

d

dt

d αωε ==

ε ... uhlové zrýchlenieω ... uhlová rýchlosťα ... uhol

τττττα α=τω ω=τε ε=

dt

dαω =

dt

drv =

2

2

dt

d

dt

d rva ==

αωαω ddtdt

d =⇒=

[ ] [ ]αααω000 =tt [ ] [ ]αααεω

0

0

2

00 2=

+

t

t tt

αω ddt =0 ( ) αεω ddtt =+0

∫∫ =α

α

αω00

0 ddtt

( ) ∫∫ =+α

α

αεω00

0 ddttt

∫∫ =α

α

αω00

0 ddtt

∫∫∫ =+α

α

αεω000

0 dtdtdttt

00 ααω −=t 02

0 2

1 ααεω −=+ tt

00 =αv čase t=0

αω =t0 αεω =+ 20 2

1tt

Rovnomerný pohyb po kružnici

.0 konšt== ωωRovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici

.konšt≠ω tεωω += 0

aεεεεvωωωω

s (r)αααα

Priamočiary pohybPohyb po kružnici

Analógia veličín a vzťahov pre priamočiary pohyb a pohyb po kružnici

dt

dαω =

dt

drv =

dt

dωε =

dt

dva =

tεωω += 0 atvv += 0

20 2

1tt εωα += 2

0 2

1attvs +=

α

R

sα

π2Rs = ... obvod celého kruhu

αRs = ... kruhový oblúk

αRdds = ... malý element

dt

dRv

α= ωRv =

Ak uvážime smer vektorov tak platí:

Rωv ×=

dt

dsv =

Vychádzame zo vzťahu:

obvodová rýchlosť

vωωωω

R

uhlová rýchlosť

polomer

Perióda kruhového pohybu (T)(vyjadruje čas, za ktorý hm. b. vykonal rovnomerným pohybom jeden obeh po kružnici)

Frekvencia kruhového pohybu (f)(vyjadruje počet obehov za jednotku času)

len pre rovnomerný pohyb po kružnici!!!!!

ωππ

R

R

v

R

v

sT

22 ===ωπ2=T

Tf

1=π

ω2

=f

jednotka … [s]

jednotka … [Hz] (Hertz)

Príklady z praxe:autobus v zákruteodletujúce iskry z brúskycentrifúga, kolotoč

at ... tangenciálne zrýchlenie(vyjadruje zmenu veľkosti rýchlosti)

an ... normálové zrýchlenie(vyjadruje zmenu smeru rýchlosti)

an

at

a

ρρρρ

ττττnt aaa +=

ρa

τa

n

t

n

t

a

a

−==

22nt aa +=a

ρρρρ

( )dt

dv

dt

dvv

dt

d

dt

d τττ

va +=== .

αdd =τ

anat

ττττ’

ττττττττ’

dττττdαααα

Pre veľkosť dτ platí:

R

dsd =τ ρτ

R

dsd −=uvážime aj smer:

ρτaR

ds

dtv

dt

dv 1−=dt

dvt =a

R

vn

2

=a

... smer dotyčnice

... smer do stredu krivosti dráhy

ρτaR

v

dt

dv 2

−=

anat

v0

g

vodorovný vrh

v0

g

šikmý vrh

v gravitačnom poli sa prejavujú účinky tiažegG m=

ga ↔ analógia so zrýchleným pohybom

atvv += 0

20 2

1attvs +=

gt

gt2

x

y

jiv yx vv +=

vy

vx

v αααα

vy=0

=vxv

αααα=0

-vy

vx

v αααα

-vy v

vx

αααα x

y

jg g−=j

i

jiv yx vv 000 +=na počiatku platí:

00 cosαvvox =

00 sinαvvoy =

v ľubovoľnom mieste platí:

00 cosαvvx =

gtvgtvv yy −=−= 000 sinα

voy

v0x

voαααα0000

Pre polohu hm. b. platí:

( )tvx 00 cos α=

x

y

voy

v0x

vo

αααα0000

dtvdx x=

∫∫ == dtvdtvx oo 00 coscos αα

( ) 200 2

1sin gttvy −= α

Analogicky získame: rovnice dráhy pohybu

Určenie max. výšky:

[xm,ym]

[2xm,0]

gtvvy −= 00 sinαV maxime dráhy platí, že vy=0:

gtv −= 00 sin0 αg

vt 00 sinα=

Dosadíme do rovnice dráhy za y:

( ) ( ) ( ) 2

000000

sin

2

1sinsin

−=

g

vg

g

vvym

ααα ( )g

vym 2

sin 022

0 α=

g

v

g

vxd m

0200

20 2sin

2

2sin22

αα ===

Pre dĺžku platí:

( )tvx 00 cos α=

( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sinsin2

1cossin

g

vvxm

0000

sincos

αα=

g

vxm 2

2sin 020 α=

Vodorovný vrh:

0vvx =

gtvy −=

00 =α

tvx 0=2

2

1gty −=

Zvislý vrh nahor:

0=xv

gtvvy −= 0

o900 =α

0=x2

0 2

1gttvy −=

Vychádzame zo vzťahov pre šikmý vrh: 00 cosαvvx =

gtvvy −= 00 sinα

( )tvx 00 cos α=2

00 2

1sin gttvy −= α

Zvislý vrh nadol:

0=xv

gtvvy −−= 0

o900 −=α

0=x2

0 2

1gttvy −−=

Voľný pád:

0=xv

gtvy −=

o900 −=α

0=x2

2

1gty −=

00 =v

α0 v0Rozdelenie vrhov na základe:

Pre polohu hm. b. platí:

( )tvx 00 cos α=

x

y

voy

v0x

vo

αααα0000

dtvdx x=

∫∫ == dtvdtvx oo 00 coscos αα

( ) 200 2

1sin gttvy −= α

Analogicky získame: rovnice dráhy pohybu

Určenie max. výšky:

Vyjadríme t z rovnice dráhy pohybu pre x a dosadíme za y:

022

0

2

0000 cos2

1

cossin

ααα

v

xg

v

xvy −=

022

0

2

0 cos2 αα

v

gxxtgy −=

V maxime krivky platí:

0=dx

dy0

cos 022

00 =− mx

v

gtg

αα

g

tgvxm

02

020 cos αα=

[xm,ym]

[2xm,0]

g

tgvxm

02

020 cos αα=

g

vxm

0020 cossin αα=

g

vxm 2

2sin 020 α=

Dosadením pre ym dostávame:

20

240

022

0

020

0 4

2sin

cos22

2sin

g

v

v

g

g

vtgym

αα

αα −=

g

vym 2

sin 022

0 α=

súradnice vrcholu parabolyšikmého vrhu

g

v

g

vxd m

0200

20 2sin

2

2sin22

αα ===

Pre dĺžku platí:

( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sinsin2

1cossin

ααααααα cossin2cossincossin2sin =+=

Dynamika hmotného bodu

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Newtonove zákony dynamiky, hmotnosť, sila, hybnosť, práca, výkon

x

y

z0≠a

1. Newtonov zákon

ak 0=ΣF tak 0=a

( )0.,0 == av konšt

281,9

5,490−==

ms

N

g

Gm

)( agF += m

Tiaž človeka na Mesiaci je asi 6xmenšia ako na Zemi.

Aká je hmotnosť?

kgm 50=

Aká je zrýchlenie?

gF

a −=m

22,1 −= msa

g

N5,490=G

bez pohybu výťahu, resp. pohyb s konšt. rýchlosťoua

a

N5,550=F

so zrýchlením nahor

PREČO?

vp m= Hybnosť – vektor určený súčinom hmotnosti hm. b. a jeho rýchlosti..

21 vv = Prečo? Nie je rozhodujúca len rýchlosť...

2. Newtonov zákon (zákon sily)

dt

dpF = tiež sa uvádza v tvare:

( )dt

dm

dt

md vvF == aF m=

jednotka ... [N] Newton [kgms-2]

2112 FF −= 3. Newtonov zákon (zákon akcie a reakcie)

2112 FF =

FVB

FBVFBV

FVK

FKV

N5,490=−= VBBV FF

NNN 5515,605,490 =+=+= BVVKKV FFF

V pokoji (v rovnováhe) podľa 2.Nz platí:

0=ΣF vo všetkých pôsobiskách síl

Ak sa poruší táto rovnosť, poruší sa rovnovážny stav.Prax: Nosnosť zariadení (žeriav+záťaž, výťahy), resp. človek na konári,

Jedna sila je ‘akčná’ a druhá ‘reakčná.3. N.z. odhaľuje základnú symetriu síl v prírode ...

Impulz sily - časový účinok sily

∫=t

dt0

FI

(veličiny rozvíjajúce Newtonove zákony)

∫=t

dtm0

aIaF m=

∫=t

dt

dmdt

0

vI ∫=

2

1

v

v

mdvI

12 vvI mm −=

12 ppI −=

Moment sily - vektorový súčin polohového vektora pôsobiska sily a vektora sily

FrM ×=

Moment hybnosti - vektorový súčin polohového vektora hm.b. a jeho hybnosti

prvrG ×=×= m

rFM

r pG

∫= rF dA o

Mechanická práca - dráhový účinok sily

dt

dAP =

Výkon – práca vykonanáza jednotku času

( )∫= drFA αcos

.konštF =( )rFA αcos=

Pre 0=αFrA =

Pre

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

F [N

]

r [m]

0

2

==

αrF

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

A [J

]

r [m]

∫ == 22 rrdrA

Jednotka ... [J] Joule [kgm2s-2]

[W] Watt [kgm2s-3]

F=1000N

F’ =819N

α=35ο

( )αcos' FF =

r

Jednotka ... [J] Joule [kgm2s-2]

Mechanická energia (E) =

∫=2

1

r

r

k dE rF

Kinetická energia (Ek) Potenciálna energia (Ep)

+

∫=2

1

r

r

ddt

dm r

v

∫=2

1

v

v

dm vv

21

22 2

1

2

1mvmvEk −=

∫=2

1

r

r

dm ra

2

12

2 v

v

vm

=

01 =v

2

2

1mvEk =

vdvd =vv o

∫=2

1

r

r

p dE rF

)( 12 hhmgEk −=

∫=2

1

h

h

dm rg

01 =h

mghEp =

kEA →v=0 vF

pEA →

h=0

h

F

Mechanická energia (E)

.konštEEE kp =+=

Hybnosť (p)

.konštmi

iii

i ∑∑ === vpp

Moment hybnosti (G)

.konštmi

iiii

i =×== ∑∑ vrGG

2

2

1mvEk =

mghEp =

h

Gravitačné pole II

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Intenzita a potenciál gravitačného poľa, kozmické lety

m

FE =

Mm rF

3r

Mmκ−=

rE3r

Mκ−=

Intenzita v okolí sústavy hm. b.m

FE =

mnFFF +++= ...21

m

3m

2m

1m1F

2F

3F

mmmnFFF +++= ...21

nEEE +++= ...21

∑=

=n

ii

1

EE

m

EV p=

∫−=2

1

21

r

r

p dE rF ∫=2

1

3

r

r

dmM

rrrκ

2

1

21

r

rp r

mME

−= κ

r

MV κ−=

?=pE

z Newtonovho gravitačného zákona

∫=2

1

2

r

r

dmM

rrκ

2

∑−=i i

i

r

mV κpre sústavu hm. b. platí:

r

FmM

12 r

mM

r

mM κκ +−= 0+−=r

mMκ∞→1r

EF m= gF mg =

rE3r

Mκ−= g=

gE mm =

( )2hR

Mκgh +

=

vo výške h nad zemským povrchom

20 R

Mκg = na povrchu Zeme

( )2

26

242211 818.9

10.371.6

10.974.510.671.6 −−− =−= ms

m

kgmNkggZem

2623.1 −= msgMesiac

05.6=Mesiac

Zem

g

g

gE =

mR

mR

M

p

e

kg

6

6

24

10.36,6

10.38,6

10.974,5

=

==

Re

Rp

2e

e R

Mκg =

2p

p R

Mκg =

( )26

242211

10.36,6

10.974,510.671,6

m

kgkgNmg p

−−= ( )26

242211

10.38,6

10.974,510.671,6

m

kgkgNmge

−−=

286,9 −= msg p280,9 −= msge

222

62

2

2

77,986400

10.38,6.48,3980,9

4' −− =−=−= ms

s

mms

T

Rgg e

ee

π286,9` −= msg p

?Odstredivé zrýchlenie

0=opa2

24

T

Ra e

oe

π=

Zem

1912.7 −= kms

Kozmické rýchlosti1. kozm. rýchlosť – obežnica Zeme

2. kozm. rýchlosť – opustenie gr. poľa Zeme

3. kozm. rýchlosť – opustenie Slnečnej sústavy

hR

vmmg

+=

21

( ) hR

v

hR

Rg

+=

+

21

2

2

0

hR

gRv

+= 0

1 01 Rgv =na povrchu Zeme 0=h

hv1

20 R

Mκg −=

( )2hR

Mκg

+=

og FF =Fg

Fo

( )2

2

0hR

Rgg

+=

R

mMEp κ=∞

12.11 −= kms

00 pkpk EEEE +=+ ∞∞

0 0

220 2

1mvEk =

222

1mv

R

mM =κ

R

Mv

κ22 =

15.0 −= kmsvequatorrýchlosť rotácie Zeme na rovníku

rýchlosť rotácie Zeme okolo Slnka18.29 −= kmsvaroundSun

pohyb Slnečnej sústavy v galaxii Mliečna dráha

1250 −= kmsvMilkyway

pk EE +

0=h ∞=h

14 −= kmsv 16 −= kmsv

18 −= kmsv 18 −> kmsvsource: http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/mmedia/vectors/sat.html

Dynamika sústavy hmotných bodov a tuhého telesa I

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Sústava hm. b., tuhé teleso, ťažisko, polohový vektor ťažiska

1

2

m

m

y

x =

Ťažisko ?2m1mTx y

Ťažisko dvoch hm. b. je taký bod na ich spojnici, ktorý ju delí v obrátenom pomere ich hmotností.

Polohový vektor ťažiska ?

1r 2r*r

xrr += 1*

yrr += *2

*2 rry −=

yx1

2

m

m=

yrr1

21

*

m

m+=

( )*2

1

21

* rrrr −+=m

m

2*

22111* mmmm rrrr −+=

21

2211*

mm

mm

++= rr

r

zovšeobecnením pre n – hmotných bodov

∑

∑=

ii

iii

m

mrr *

ml 1010−=

md 1510−=

510=d

lvyhovuje predstava hm. b.

Všetky zákony pre sústavu hm. b. budú platiť aj pre tuhételeso.

Dokonale tuhé teleso nemení svoj tvar – je nedeformovateľné

posunutie pôsobiska silyv priamke sily

A F

BF`

F`−posunutie pôsobiska silymimo priamky sily

AF

B

F`

F`−

r

dvojica síl – 2 rovnako veľké a opačne orientované sily, ležiace mimo priamky sily

A1F

B

2F

r1r

2r

Odvodenie momentu dvojice síl:

21 MMM += 2211 FrFrM ×+×=

222 FrM ×=

( ) 2111 FrrFrM ×++×=

( ) 2211 FrFFrM ×++×=

0

2FrM ×=111 FrM ×=

rrr += 12

Ťažisko ?

∑

∑=

ii

iii

m

mrr *

0=x

lx =

∫∫=

dm

dmrr *

∫= dmM

rr1*

∑ ∫→ Mdm =∫

dxdm

x

∫= xdmM

x1*

∫= ydmM

y1*

∫= zdmM

z1*

dVdm ρ=

∫= dVM

rrρ*

∑=i

ii mMrr

1*

dt

d ** r

v = ∑=i

ii

dt

dm

M

rv

1*

dt

d ** v

a = ∑=i

ii

dt

dm

M

va

1*

∑=i

iimM

vv1*

∑=i

iimM

vv1*

∑=i

iimM

aa1*

Dynamika sústavy hmotných bodov a tuhého telesa II

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Veta o pohybe ťažiska, moment zotrvačnosti, Steinerova veta

3m

1m2m

1eF2eF

3eF

21F

31F12F

32F

23F13F

1131211 aFFF me =++

2232122 aFFF me =++

3323133 aFFF me =++

3113 FF −=

2112 FF −=

3223 FF −=

332211321 aaaFFF mmmeee ++=++

1131211 aFFF me =++

2232212 aFFF me =+−

3332313 aFFF me =−−+

∑∑ =i

iie m aFzovšeobecnenie

∑=i

iimM

aa1*

*aF Me =∑

T

∑ eF

m

21 mmm +=1m

2m

x

z

y

Stlačené gumené guľôčky vrhnuté pod uhlom α s rýchlosťou v0 (šikmý vrh), ktoré v čase dosiahnutia maxima explodujú. Ťažisko sústavy sa aj po explózii pohybuje po parabole. Explózia vnútri sústavy sa prejavila len pôsobením vnútorných síl a nemá vplyv na pohyb ťažiska sústavy. Explózia pre jednoduchosť bola uvažovanálen v smere osi x.

ge FF =∑po explózii naďalej

ga =*

ge m FaF ==∑ *Na ťažisko sústavy počas letu pôsobí vonkajšia sila:

T

∑=i

ii rm 22

2

1 ω

2

2

1mvEk =všeobecne

∑=i

iik vmE 2

2

1 ( )∑=i

iii rm 2

2

1 ω

JEk2

2

1 ω=

∑=i

ii rmJ 2

J ... moment zotrvačnosti

1r

2r

3r

iii rv ω= iωω =

ω2

2

1iiki vmE =1v

2v

3v

Pre i-ty bod:

∑=i

iis rmJ 2

a

?

1m 2m

3m4m

5m 6m

7m8m

1r 2r

4r 3r

5r 6r

8r 7r

∑=

=8

1

2

iii rmJ 2

882

222

11 ... rmrmrm +++=

2

8

2

2

2

12

...22

++

+

= am

am

amJ

x

y

z

24maJs =

2,...,,

22

821

aarrr

+=2

2a=2

a=

1m 2m

3m4m

5m 6m

7m8m

a

∑=

=8

1

2

iii rmJ 2

882

222

11 ... rmrmrm +++=

( )

+=

22 224 aamJ

28maJ r =

arrrr =7531 ,,,

∑=i

iir rmJ 2 ?

x

y

z

1r 2r

3r

5r 6r

7r

0, 84 =rr 2, 62 arr =

porovnanie: ak sú hmotné body viac vzdialené od osi rotácie, moment zotrvačnosti sústavy je väčší

28maJ r =24maJs =

irim∆

∑ ∆=i

ii rVJ 2ρ

∑=i

ii rmJ 2... pre sústavu hm. b.

iρρ = ... homogénne tuhé teleso

0→∆ iV ∫∑ →

∑ ∆=i

ii rmJ 2 ... tuhé teleso

∑ ∆=i

immiii Vm ∆=∆ ρ

∑ ∆=i

iii rVJ 2ρ

∫=V

dVrJ 2ρ

21 MM =

1J 2J?)(

2

1 21

22 rrMJ +=

1r

2r

O

∑=i

oi rmJ 21

iooi rrr +=

T

im

iror

ior

( ) 22222 2 ioioooiooii rrr ++=+== rrrrr

1J 2J 3J

∑=i

io mr 2 mro2=

∑=i

ioi rmJ 22

*J=

∑=i

ioimJ r3 0=

moment zotrvačnosti vzhľadom na ťažisko

vzhľadom na ťažisko bude celkový súčet nulový

∑∑∑ ++=i

ioioi

ioii

oi mrmrmJ rr222

∑=i

ii rmJ 2

mrJJ o2* +=

Trecie sily, trenie

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

kĺzavé (šmykové) trenie statické a kinetické, valivé trenie

Určenie koeficientu kĺzavého trenia na naklonenej rovine.

pre zložky síl na naklonenej rovine platí:

gn FF =

nt FF µ=

mgFt µ=

gF

tFpF

nFα

αsingp FF =

αcosgn FF =

tp FF =začne sa šmýkať keď:

αµα cossin mgmg =

αααµ tg==

cos

sin

nFtF pF

µ … koeficient k ĺzavého trenia

valµ

Tabuľka koeficientov kĺzavého trenia vybraných materiálov:

ks µµ >

0,07-0,250,1-0,3oceľ-oceľ

0,0140,027oceľ-ľad

µµµµkµµµµs

pFr

nFa

pt MM =

aFrF np =r

aFF np =

r

aval =µ valnp FF µ=

Makroskopické systémy

tuhé látky

kvapalina

plyn

plazma

klesá teplota

Tuhé látky

Vlastnosti tuhých látok dané väzbovými silami

iónové (kryštál NaCl)kovalentné (Si)kovové (kovy)van der Waalsove sily (organické materiály)vodíkové

klesá energia väzby

Tuhé látky – mechanické vlastnosti

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Deformácia, Hookov zákon, tepelná rozťažnosť

σ3

σ3 ... medza prie ťažnosti – samovoľné tečenie

σ2

σ2 ... medza pružnosti – nelineárna deformácia, pružná

σ1

σ1 ... medza úmernosti - oblasť lineárnej deformácie

0l

l∆=ε

S

F=σ ... mechanické napätie [Pa]

ε

σ0

0

l

ll −= ... relatívne predĺženietuhé teleso - dokonalé

tuhé teleso - reálne

F spôsobuje pohyb

F spôsobuje pohyb + deformáciu

Prečo dochádza k deformácii???

Tuhá látka ... súbor viazaných atómov

σ4

σ4 ... medza pevnosti - dochádza k pretrhnutiu

väzba(kovová, van der Waalsove sily, ...)poruchy(bodové, čiarové)

platnosť Hookovho zákona sa obmedzuje na oblasťlineárnej deformácie (len po medzu úmernosti – σ1)

F

tF

nFnF ... normálová zložka sily

deformácia v ťahu (tlaku)

tF ... tangenciálna zložka sily

deformácia v šmyku (torzii)

0l

l∆=ε relatívne predĺženie

d

u=γ relatívne posunutie

0l l∆l

d

u

u

SnF=σ priečne napätie

mechanické napätie StF=τ tangenciálne napätie

0

0

a

aa −=η relatívne priečne skrátenie

εσ E=

El

ll

0

0−=σ

konštanta úmernosti ... E

σ ε τ γkonštanta úmernosti ... G

modul pružnosti v ťahu modul pružnosti v šmyku

Hookov zákon γτ G=

10

−=l

l

E

σ

+=E

llσ

10

Kvapaliny – mechanika kvapalín

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Rovnica hydrostatiky, Archimedov zákon, Pascalov zákon, Bernoulliho rovnica

... ideálna kvapalina je nestlačiteľná a pri pohyb nie je vnútorné trenie

S

Fp =

S

Fp =

Fp,Sp ⊥v kvapalinách

dS

dFp =

[ ] [ ]2−= NmPajednotka

(ťažisko je v pokoji)

(pohyb kvapalín)

gdmdFg =

dpp +

ph

dh

tiažová sila: vztlaková sila:

dVgdFg ρ=SdhgdFg ρ=

( ) pSSdppdFv −+=SdpdFv =

vg FF =

SdpSdhg =ρ

∫∫ =p

p

h

dpdhg00

ρ

∫∫ =p

p

h

dpdhg00

ρ

0pphg −=ρ

hgpp ρ+= 0

iFvF

gF

21 FFFv −=

1F

2F2h

1h SpSpFv 21 −=

SghSghFv 21 ρρ −=

kt ρρ > teleso padá ku dnu

kt ρρ = teleso sa vznáša

kt ρρ < teleso sa čiasto čne vynorí

)( 21 hhgSFv −= ρ

kv gVF ρ=

21 pp =hgpp ρ+= 0

hgp ρ>>0

0pp =

1F 2F

1p 2p

2

2

1

1

S

F

S

F =

1

212 S

SFF = ... výsledná sila je úmerná pomeru plôch

Výsledná sila je vä čšia ako inicia čná, ako je to s prácou ?

12 VV =

1122 hShS =222 hFA = 111 hFA =?

21

212 h

S

SFA =

112 hFA =

Získali sme väčšiu silu ale na úkor dráhy!!!2

1

21 h

S

Sh =

Využitie v praxi: kvapalinové brzdy, hydraulický zdvihák, hydraulický lis

1S2S

21 VV =ideálna kvapalina = nestla čiteľnáza čas t pretečie rovnaký objem kvapaliny

1l 2l

2211 lSlS =tvStvS 2211 =

.konštSv=zovšeobecnenie:

2211 vSvS =

1v2v

v ... rýchlosť

),( tf rv =)(rv f= ... ustálené prúdenie (nie je funkciou času)

tvl ∆= 11

tvl ∆= 22

VtvStvS =∆=∆ 2211

222111 lSplSpA −=2211 lFlFA −=

tvSptvSpA ∆−∆= 222111

VpVpA 21 −=

1212

22 2

1

2

1mghmvmghmvE −−+=

( )

−−+=− 1212

2221 2

1

2

1ghvghvmVpp

222211

21 2

1

2

1pghvpghv ++=++ ρρρρ

1h

2h

1S

2S222 SpF =

111 SpF =

.2

1 2 konštpghv =++ ρρ

Postrekova če na hmyz, flakóny, striekacie pištole.Pokles tlaku v zúženom mieste vyťahuje kvapalinu z nádoby a spolu so vzduchom prúdi k ústiu.

h

Venturiho meter, Venturiho trubicaZ rozdielu výšok sa dá stanoviť rýchlosť prúdiaceho vzduchu, ak súznáme prierezy zúženého a nezúženého miesta. Podobný princíp sa využíval v automobiloch s karburátorom na nasávanie paliva.

Kvapaliny – mechanika kvapalín

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Povrchové napätie, kapilárne javy, viskózna kvapalina

vzduch

... povrch kvapaliny vykazuje také vlastnosti akoby bol pokrytý tenkou pružnou vrstvou. Budeme sa zaoberať

otázkou čo je príčinou? a ako sa to dá fyzikálne popísať

odpoveď treba hľadať v mikroskopickej štruktúre

príťažlivé sily molekúl

pozn.: Stačí sa obmedziť len na blízke molekuly, pretože účinok síl so vzdialenosťou rýchlo klesá.

vzduch

sféra molekulového pôsobenia

0=FVýslednica molekulového pôsobenia smeruje dovnútra kvapaliny. Molekuly povrchovej vrstvy pôsobia na vnútorné molekulovým tlakom .

F

... ak chceme premiestniť molekulu zvnútra kvapaliny na povrch treba konať prácu proti silám molekúl v povrchovej vrstve.

povrch kvapaliny má istú energiu = povrchová energia kvapalín

Určenie povrchového napätia pomocou sily:

Fl

dx

S

E

∆∆=σ

dS

dE= dSdE σ=

FdxdA 2=dEdA =

dSFdx σ=2

ldxFdx σ22 =lF σ=

ldxdS 2=

l

F=σ

príklady z praxe: snaha o minimalizáciu energie – dve guľôčky kvapaliny sa zlúčia do jednej s menším povrchom, po pretavenívlákna žiarovky sa koniec zaoblí, hmyz na vode

σ=∆∆

S

E σσσσ ... povrchové napätie

kvapalina v úzkej nádobe resp. kapiláre môže mať rôzny tvar povrchu:

•rovinný•konkávny (kvapalina zmáča steny nádoby)•konvexný (kvapalina nezmáča steny nádoby)

Pre vysvetlenie zakrivenia povrchu je potrebné vyšetriť sily

sten

a ná

doby

sten

a ná

doby

sten

a ná

doby

konkávny povrch – kvapalina zmáča steny nádoby, výslednica síl smeruje šikmo k stene nádoby (voda/sklo)

konvexný povrch – kvapalina nezmáča steny nádoby, výslednica síl smeruje šikmo do kvapaliny (ortuť/sklo)

rovinný povrch –výslednica síl smeruje kolmo do kvapaliny

Pozn.:•Tvar povrchu sa ustáli tak aby výslednica síl bola kolmá na povrch. •V dostatočnej vzdialenosti od stien je povrch kvapaliny rovinný .

Rpp

σ20 ±=výsledný tlak pod povrchom:

+ ... konvexný - nezmáča

- ... konkávny - zmáča

kF

sF

FkF

sF

F kF

sF

F

reálna kvapalina - vnútorné trenie = viskozita(Bez dodania energie kvapalné látky nemenia tvar)

η... je materiálová konštanta

η... je funkciou teploty

η... nezávisí od materiálu dosiek

Pozn.:Uvažujeme laminárne prúdenie, to zn., že vrstvy sa len posúvajú a vzájomne nemiešajú.

zS

vF η=

Fvz

η... koeficient dynamickej viskozity... (koeficient vnútorného trenia)

[ ] [ ] [ ]PasNsm == −2η

dz

dvτ η=

V dôsledku nerovnomerného pohybu vrstiev kvapaliny vzniká medzi vrstvami tangenciálne napätie. Másmer rýchlosti.

ρην =Koeficient kinematickej viskozity

2,8100Voda

10,120Voda

18,00Voda

η η η η [Pas]Teplota [ oC]Kvapalina

reálna kvapalina - viskozita

Pozn.:laminárne prúdenie, v je malé

ovg FFF +=pre v=konšt. platí:

v

vF ~rF ~

rvF πη6= Stokesov vzťah

Odvodenie rýchlosti pohybu tuhého telesa (guľôčky) v kvapaline:

gF

vFoF rvgrgr kt πηρπρπ 6

3

4

3

4 33 +=mgFg = gV tρ= gr tρπ 3

3

4=

gVF kv ρ= gr kρπ 3

3

4=

rvFo πη6=

2 2

gr

v tk

ηρρ )(

9

2 2 −=

Tepelný pohyb

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Tepelná rozťažnosť, termodynamická teplota

teplota (t)termodynamická teplota (T)

Kelvinova [K] (absolútna)

Celziova [oC] (0oC ... v rovnováhe ľad a voda pri normálnom tlaku)stupnice

... termodynamická teplota pri 0oCKT 16,2730 = ][16,273][ CtKT o+=

Ako charakterizovať tepelný stav telies?

zmena teploty zmena kmitavého pohybu atómov okolo rovnovážnych polôh

zmena dĺžky, plochy, resp. objemu

dT

dl

l0

1=α`

1 0

0 TT

ll

l −−=α

ldl ∆→TdT ∆→ [ ]`)(10 TTll −+= α

Ideálny plyn

Doplnkové materiály k prednáškam základného kurzu z fyziky

Stavová rovnica, Boylov-Mariottov zákon, Gay-Lussacov zákon, Daltonov zákon, Vnútorná energia plynov

11

11

8314

314,8−−

−−

==

kmolJKR

molJKR

stav 1

111 ,, TVpstav 2

222 ,, TVp

Ako charakterizovať plyn z hľadiska veličín ?TVp ,,

TVp ,, ... stavové veli činy , lebo popisujú stav plynu

nRT

pV = .konštT

pV =resp.

n ... látkové množstvo [mol]predstavuje množstvo látky s počtom molekúl určeným tzv. Avogadrovým číslom (6,023.1023mol-1)

.konštpV =izotermický ...T=konšt.

dej

izobarický ...p=konšt.

izochorický ...V=konšt.

Boylov-Mariottov zákon ... pri stálej teplote je súčin tlaku a objemu ideálneho plynu konštantný

.konštT

V =

.konštT

p =

Gay-Lussacov zákon (1) ... pri stálom tlaku je podiel objemu a termodynamickej teploty ideálneho plynu konštantný

Gay-Lussacov zákon (2) ... pri stálom objeme je podiel tlaku a termodynamickej teploty ideálneho plynu konštantný

p

V

izoterma

V

T

izobara

p

T

izochora

Daltonov zákon ... Výsledný tlak zmesi plynov sa rovná súčtu parciálnych tlakov zložiek zmesi ∑=++= ipppp ...21

pohyb molekúl kinetická energia molekúl

vzájomné pôsobenie molekúl potenciálna energia molekúlkp EEU +=

vnútorná energia (U)

ľad -5oC ľad 0oC

Q1

para 100oC

Lv

voda 0oC

L t

voda 100oC

Q2

Ohrev

( )21 ttmcQ v −=izochorický proces

( )21 ttmcQ p −=

izobarický proces

V

p

c

c=κ

Poissonova konštanta

pV cc =Pre tuhé látky platí:

teplo (Q) [J] Joulebez zmeny skupenstva

lmL = merné skupenské teplo ... l

skupenské teplo (L) [J] Joulelen na zmenu skupenstva

tepelná kapacita

]...[, 11 −− KJkgcc Vp