MECHANIKA

Mechanický pohyb

změna vzájemných poloh těles (přemísťování těles)

KINEMATIKA – „geometrie pohybu“

DYNAMIKA – „příčiny pohybu“

speciální případ – STATIKA – „rovnováhy“

Různá skupenství látek – různé mezimolekulární síly – různé účinky sil

mechanika tuhého tělesa

mechanika kapalin

mechanika plynů

16.02.2017, str. 1

MECHANIKA HMOTNÉHO BODU

HMOTNÝ BOD - abstrakce

těleso, jehož (lineární) rozměry jsou menší

než nepřesnost v určení jeho souřadnic

jeho tvar a rozměry není nutné při popisu pohybu uvažovat

! nemusí být nutně těleso malých rozměrů

(např. popis pohybu Země kolem Slunce)

tato abstrakce snižuje počet stupňů volnosti

nelze ji použít při studiu rotačního pohybu

16.02.2017, str. 2

VZTAŽNÁ SOUSTAVA

pohyb (resp. souřadnice) vždy vůči něčemu

pohyb je relativní

(v různých vztažných soustavách se může jevit různě)

„Auto ujelo 1 km.“ – myslíme vůči povrchu Země

vůči Slunci může být 1000 km od původního místa

vůči cestujícím se nepohnulo

ZÁKLADNÍ OTÁZKA: nezávislost popisu pohybu

(resp. popisu všech fyzikálních dějů) na volbě vztažné soustavy

1) nalézt rovnice pro transformaci souřadnic

mezi různými vztažnými soustavami

2) zjistit, zda jsou fyzikální zákony vůči této transformaci invariantní

16.02.2017, str. 3

základ klasické mechaniky NEWTONOVY ZÁKONY

platí v inerciálních souřadných soustavách

souřadné soustavy, které jsou navzájem v klidu

nebo se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře

DYNAMIKA

základní problémy 1. CO ZPŮSOBUJE POHYB?

2. ZNÁMA PŘÍČINA – VÝSLEDNÝ POHYB?

zkušenost:

změny v povaze pohybu těles jsou důsledkem jejich vzájemného působení

SÍLA (empirický pojem)

fyzikální veličina charakterizující vzájemné působení těles

16.02.2017, str. 4

1. Newtonův z. – PRINCIP SETRVAČNOSTI

Hmotný bod (těleso) zůstává

v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém právě tehdy,

když je výslednice vnějších sil působících na hmotný bod nulová

• jízda v dopravním prostředku - pohyb cestujícího

při změně velkosti rychlosti: vpřed/vzad vůči dopravnímu prostředku

při změně směru rychlosti: ve směru tečny k původní rychlosti

• jízda výtahem –

při prudkém zastavení výtahu se člověku „nahrne krev do hlavy“

• uvolnění zbytku kečupu z láhve prudkým pohybem

• naražení kovové části kladiva či sekery na dřevěnou násadu rychlým úderem

ANIMACE: náraz dodávky s žebříkem:

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/il.cfm

auto a zeď: http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/cci.cfm

motocykl a zeď http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/mb.cfm

16.02.2017, str. 5

2. Newtonův z. – ZÁKON SÍLY, POHYBOVÁ ROVNICE

F ma

fyzikální veličina hmotnost ~ konstanta úměrnosti (míra setrvačnosti)

Síla působící na hmotný bod v daném časovém okamžiku

se rovná

hmotnosti pohybujícího se hmotného bodu

násobené jeho okamžitým zrychlením

okamžité zrychlení – fyzikální veličina, která udává,

o kolik by se změnila rychlost za jednotku času,

pokud by během této časové jednotky bylo zrychlení konstantní

16.02.2017, str. 6

OKAMŽITÁ HODNOTA x PRŮMĚRNÁ HODNOTA FYZIKÁLNÍ VELIČINY

příklad: poloha (rx, ry, rz), rychlost (vx, vy, vz), zrychlení (ax, ay, az)

x y z

x y z

v , v , v , v

resp. v , ; v , ; v ,yx z

rt t

t

rr rt t t t t t

t t t

PRŮMĚRNÁ RYCHLOST je definovaná

jako podíl dráhy a příslušného časového intervalu r t

Průměrná hodnota dané veličiny v časovém intervalu od okamžiku t

do okamžiku t +∆t poskytuje tím lepší informaci o hodnotě této veličiny

v časovém okamžiku t, čím je časový interval ∆t kratší.

průměrná rychlost závisí na

1) na okamžiku, kdy začneme měřit

2) na době měření

16.02.2017, str. 7

Obecný pohyb po přímce

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

so

uřa

dn

ice

souřadnice

16.02.2017, str. 8

Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

prů

mě

rná

ry

ch

los

t

v(t)1 interval

Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

po

loh

a

s(t)1 interval

0 max

max

max

počátek intervalu konec intervalu

délka intervalu 1

( )průměrná rychlost v

t t

t

s t

dráha v čase ( ) vt s t t

16.02.2017, str. 9

Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

prů

mě

rná

ry

ch

los

t

v(t)1 interval2 intervaly

Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

po

loh

a s(t)1 interval2 intervaly

max

1 01

2 12

délka intervalu 2

( ) ( )průměrná rychlost v prvním intervalu v

( ) ( )průměrná rychlost v druhém intervalu v

( ) ( )v hranice intervalu k k

k k

t

s t s t

s t s t

s t s tt k

0 1 1

1 2 1 1 2

poloha v prvním intervalu ( ) ( ) v v

poloha v druhém intervalu ( ) ( ) v v v

s t s t t t

s t s t t t t

16.02.2017, str. 10

Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

prů

mě

rná

ry

ch

los

t

v(t)2 intervaly4 intervaly

Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

po

loh

a s(t)2 intervaly4 intervaly

16.02.2017, str. 11

Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

prů

mě

rná

ry

ch

los

t

v(t)8 intervalu20 intervaly

Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

po

loh

a s(t)8 intervalu20 intervalu

16.02.2017, str. 12

Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

prů

mě

rná

ry

ch

los

t

v(t)1 interval2 intervaly4 intervaly5 intervalu8 intervalu20 intervaly

Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

čas

po

loh

a

s(t)1 interval2 intervaly4 intervaly5 intervalu8 intervalu20 intervalu

maxi

i ii

i i

i i i

počet intervalů

( ) ( ) ( )v ( )

pořadové čislo intervalu

( ) v ( )

k k kk

k k

ti

i

s t s t s tt

k

s t t

max

i 1 i 1 i 1 i

i 2 i 1 i i 2 i

i 3 i 1 i i 2 i i 3 i

i max i

1

i

1

i

max i i0

1

( ) ( ) v ( )

( ) v ( ) v ( )

( ) v ( ) v ( ) v ( )

( ) ( )

= v( )

dělení na nekonečně malé intervaly

0 , resp.

lim v ( )

i

j

j

i

j

j

i

t

ji

s t s t t

s t t t

s t t t t

s t s t

t

i

s t t

max

0

v( ) d

t

t

t t

16.02.2017, str. 13

OKAMŽITÁ RYCHLOST je limitní hodnota průměrné rychlosti,

když se časový interval, během kterého je rychlost průměrována

blíží nule, resp. je nekonečně malý.

diferenciální počet – matematická teorie zabývající se vztahy

mezi dvojicemi funkcí, které spolu souvisí prostřednictvím

stejně definované limity jako rychlost a poloha

poskytuje jednoduchá pravidla pro manipulaci s tímto typem funkcí

0

funkce

lim derivace funkce x

f x

df ff x

dx x

0 x y z

x 0 y 0 z 0

v lim (v , v , v )

v lim ; v lim ; v lim

t

yx zt t t

r

t

rr r

t t t

16.02.2017, str. 14

2. Newtonův z. – ZÁKON SÍLY, POHYBOVÁ ROVNICE

2

2

dv d d

d d d

r pF ma m m

t t t

d(v) v( )

d

pF p m t

t

správná formulace podle teorie relativity

(m závisí na rychlosti)

yx zv , ,d rd r d rd r

d t d t d t d t

okamžitá rychlost = (první) časová derivace polohy

yx zvv vv

, ,dd dd

ad t d t d t d t

okamžité zrychlení = (první) časová derivace rychlosti

= druhá časová derivace polohy 22 22

yx z

2 2 2 2

d rd r d rd, ,

d d d d

ra

t t t t

16.02.2017, str. 15

praktické využití

síly zrychlení

zrychlení rychlost

rychlost souřadnice

poznámka

•2. NZ v této formě platí v inerciálních souřadných soustavách

•v neinerciálních souřadných soustavách je nutné kromě

reálných sil uvažovat ještě tzv. setrvačné síly (pomocné, fiktivní)

příklad – otáčení Zeměkoule: síla gravitační +

síla odstředivá

síla Coriolisova

tíhové zrychlení závisí na Zem. šířce

)(1

)( tFm

ta ii

00v( ) ( )d v( )

t

tt a t t t

00( ) v( )d ( )

t

tr t t t r t

16.02.2017, str. 16

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/kinema/cpv.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/kinema/pvpa.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/kinema/nvpa.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/kinema/avd.cfm

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Relativity/Relativity.html http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Projectile/Projectile.html http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

TYP POHYBU V KLIDU ROVNOMĚRNÝ

PŘÍMOČARÝ

ROVNOMĚRNĚ

ZRYCHLENÝ

PO PŘÍMCE

OBECNÝ PO

PŘÍMCE

OBECNÝ V

PROSTORU

SÍLA nulová

ZRYCHLENÍ nulové

RYCHLOST nulová

SOUŘADNICE konstantní

UNIVERZÁLNÍ POSTUP PRO VŠECHNY SITUACE !!!

( )( )

F ta t

m

( )F t

00( )d v( )

t

ta t t t

00v( )d ( )

t

tt t r t

16.02.2017, str. 17

UKÁZKY Z WEBU

zoo

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/vectors/mzng.cfm

slon a peříčko:

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/efff.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/efar.cfm

parašutista:

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/sd.cfm

16.02.2017, str. 18

Albert Einstein:

Jak vidím svět

16.02.2017, str. 19

3. Newtonův z. – PRINCIP VZÁJEMNÉHO PŮSOBENÍ

Vzájemné síly mezi dvěma hmotnými body (resp. tělesy)

mají vždy stejnou velikost a opačný směr

akce, reakce – rovnocenné lépe interakce

16.02.2017, str. 20

2. Newtonův zákon – okamžité fyzikální veličiny

(bod prostoru, časový okamžik)

Experiment – integrální fyzikální veličiny

(měření trvá určitou dobu,

během které těleso projde určitou dráhu)

pro aplikaci 2.NZ na reálné děje je nutná integrace

a) časová

b) dráhová

16.02.2017, str. 21

Časová integrace 2. Newtonova zákona

dv[ ( ), ][ ( ), ]

d

r t tF r t t m

t

2

1

[ ( ), ] d

t

t

F r t t t2

1

2 1dv v v

v

v

m m m

Impulz síly v časovém intervalu od t1 do t2

definice

ppp

12

definice

vp mhybnost

16.02.2017, str. 22

Zákon zachování hybnosti

v izolované soustavě hmotných bodů

VNĚJŠÍ SÍLY – lze zanedbat

VNITŘNÍ SÍLY – na základě 3.NZ je lze uspořádat do dvojic,

které se navzájem vykompenzují

3.NZ součet vnitřních sil (vektorový!) se rovná nule

součet impulzů vnitřních sil se rovná nule

součet impulzů sil se rovná nule

změna hybnosti izolované soustavy je nulová

široká oblast aplikací

základ experimentální jaderné fyziky – srážky elementárních částic

základ cestování vesmírem – raketový motor

16.02.2017, str. 23

ILUSTRACE

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/momentum/fca.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/momentum/fcb.cfm

http://www.physicsclassroom.com/Class/momentum/U4L2dd.cfm#practice

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/momentum/cba.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/momentum/cbb.cfm

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/momentum/crete.cfm

http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

16.02.2017, str. 24

ds

F

TF

TFNF

NF

T NF F F

Dráhová integrace 2. Newtonova zákona

d (d ,d ,d )s x y zelementární dráha

působící síla

směr tečny k dráze

(změna velikosti rychlosti)

směr normály k dráze

(změna směru rychlosti)

x

y

1

2

dvdv dvdv( , , ) , ,

d d d d

yx zx y zF m F F F m m m

t t t t

16.02.2017, str. 25

Dráhová integrace 2. Newtonova zákona

dv d, v

d d

xx x

xF m

t t

2 2 2

1 1 1

2

2 2

,2 ,1

1

dv dd d dv

d d

1 1v dv (v ) (v )

2 2

xx x

x x x x

xF x m x m

t t

m m m

2

1

2 2 2 2 2 2

,2 ,2 ,2 ,1 ,1 ,1

( d d d )

1 1(v ) (v ) (v ) (v ) (v ) (v )

2 2[ [] ]

x y z

x y z x y z

F x F y F z

m m

16.02.2017, str. 26

2

2 2

2 1 ,2 ,1

1

1 1d (v ) (v )

2 2k k kF s m m E E E

definice

W práce

definice

Ek kinetická energie

poznámka

velikost fyzikální práce je přímo úměrná velikosti síly

přímo úměrná délce dráhy

závisí na úhlu mezi vektorem síly a dráhy

cos x x y y z za b a b a b a b a b

definice skalárního součinu vektorů (ax,ay,az) a (bx,by,bz)

16.02.2017, str. 27

Ep= ½ ku2 potenciální energie pružnosti

PRÁCE

nezávisí na dráze

závisí pouze na poloze bodů 1 a 2

prostřednictvím nějaké vhodně definované funkce

je rovna změně potenciální energie

příklad – PRÁCE ELASTICKÉ SÍLY

(PRUŽINA)

u

u2 u1

d d d cos

d d

F u ku u ku u

F u k u u

http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

http://www.physicsclassroom.com/mmedia

F

2F

1F

natažená pružina

rovnovážná poloha

zmáčknutá pružina

2 2

1 1

2 2

2 1 ,2 ,1

1 1d d

2 2

u u

p p p

u u

W F u k u u k u k u E E E

0 du

16.02.2017, str. 28

příklad – GRAVITAČNÍ POLE

ds

x

y

2

1

G

G

d y

d d cos

d cos dy

d d

G s G s

s

G s G y

2 2 2

2 1 ,2 ,1

1 1 1

d d d p p pW G s G y mg y mgy mgy E E E definice

Ep= mgy GRAVITAČNÍ potenciální energie

PRÁCE

nezávisí na dráze

závisí pouze na poloze bodů 1 a 2

prostřednictvím nějaké vhodně definované funkce

je rovna změně potenciální energie http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

16.02.2017, str. 29

SILOVÉ POLE ),,,( tzyxF

KONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE

práce síly nezávisí na dráze,

závisí pouze na počáteční a koncové hodnotě veličiny

nazývané POTENCIÁLNÍ ENERGIE

příklady: síla gravitační, síla elastická, síla elektrostatická, ...

ZÁKON ZACHOVÁNÍ MECHANICKÉ ENERGIE

v izolovaných konzervativních soustavách platí 0 pk EE

tzn. probíhají vratné přeměny kinetické a potenciální energie

příklad – pohyb kuličky bez tření v jamce v gravitačním poli

pohyb kyvadla ve vakuu

http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

16.02.2017, str. 30

NEKONZERVATIVNÍ (DISIPATIVNÍ) SILOVÉ POLE

dochází k chaotické disipaci mechanické energie mezi částice hmoty

disipovaná energie se již nemůže přeměnit zpět na energii,

ze které vznikla (nevratný proces)

příklad: třecí síla

platí ZÁKON ZACHOVÁNÍ CELKOVÉ ENERGIE

nutno uvažovat (např. pomocí statistické fyziky) všechny formy energie

(vnitřní, deformační, chemickou,...)

0 totalE

příklad – pohyb kuličky v jamce v poli gravitační a třecí síly

pohyb kyvadla v husté kapalině

http://mutuslab.cs.uwindsor.ca/schurko/animations/secondlaw/bounce.htm

16.02.2017, str. 31

Hustota toku kinetické energie proudícího prostředí

definice: kinetická energie objemu prostředí,

které projde za jednotku času jednotkovou plochou

v

S

velikost rychlosti

proudícího prostředí

hustota prostředí

S

v

velikost plochy,

kterou prostředí protéká

t časový interval

31v

2

16.02.2017, str. 32

objem prostředí, které projde plochou S za čas

hmotnost prošlého prostředí

kinetická energie

hustota toku kinetické energie,

tj. tok jednotkovou plochou,

resp. kinetická energie prostředí, které projde

jednotkovou plochou za jednotku času

vV S t

vM V S t

2 2 31 1 1v v v v

2 2 2kE M S t S t

31v

2

kS

ES

t

31v

2

S

S

t

tok kinetické energie plochou S,

tj. kinetická energie, kterou prostředí

přenese plochou S za jednotku času

16.02.2017, str. 33

33 2

3 3

1 kg mv 7200 m 7200W

2 m s

kS

EP S

t

VÝKON = tok kinetické energie plochou S, tj. kinetická energie, kterou

prostředí přenese plochou S za jednotku času

Příklad: větrný mlýn

Rychlost větru

Plocha lopatky

Hustota vzduchu

212 mS

mv 10

s

3

kg1.2

m

maximální hodnota

Předpoklady vzduch se úplně zastaví

nulové ztráty mechanické energie při otáčení mlýna

Existuje limitní hodnota účinnosti (asi 59 %) 16.02.2017, str. 34

SOUSTAVA NĚKOLIKA HMOTNÝCH BODŮ

1

2

3 N

1r

x

ypohybové rovnice jednotlivých hmotných bodů

2

2

d; 1,2,...

d

ii i

rF m i N

t

ir

* **

i i iF F F

*

iF

celková síla působící na i-tý hmotný bod

polohový vektor i-tého hmotného bodu

r

vnější síla působící na i-tý hmotný bod

vnitřní síla působící na i-tý hmotný bod, **

iF

16.02.2017, str. 35

** **

ij jiF F

vnitřní síla působící na i-tý hmotný bod je součet jednotlivých vnitřních sil,

kterými na něj působí ostatní vnitřní body

** ** ** ** ** **11 2 3

N

ji i i i iN iji j

F F F F F F

3. Newtonův zákon

SOUČET VNITŘNÍCH SIL

**

ijF síla, kterou působí j-tý hmotný bod na i-tý hmotný bod

součet všech vnitřních sil působících v soustavě

** ** ** ** **

1 2 31

** ** **

12 13 1

** ** **

21 23 2

** ** ** **

31 32 34 3

** ** ** ** **11 2 3 , 1 1

......

0

N

i Ni

N

N

N

N N

jN N N N N ijii j

F F F F F

F F F

F F F

F F F F

F F F F F

16.02.2017, str. 36

?POPIS POHYBU SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ JAKO CELKU?

2** **

21 1 1 1 1

d0

d

N N N N N ii i i i ii i i i i

rF F F F F m

t

*

1

N

iiF F

celková vnější síla působící na soustavu

22

2 21

dd

d d

N iii

rRM m

t t? jak splnit rovnost:

10

1

N

i ii

N

ii

m rR R

m

definice

polohový vektor těžiště

0R libovolný vektor daný počátečními podmínkami

2

2

d

d

RF M

t??? existuje hmotnost M a polohový vektor , pro které platí: R

1

N

iiM m

Celková hmotnost soustavy

16.02.2017, str. 37

ZÁVĚR

Pohyb soustavy složené z libovolného počtu hmotných bodů

lze studovat pomocí pohybu jediného hmotného bodu –

-tzv. TĚŽIŠTĚ o hmotnosti a poloze

na který působí celková vnější síla F

1

N

iiM m

1

0

1

N

i ii

N

ii

m rR R

m

poznámka

teoreticky velmi důležitý poznatek!,

který umožňuje aplikovat dynamiku hmotného bodu

na dynamiku těles konečných rozměrů

16.02.2017, str. 38

ILUSTRACE

dráha těžiště tělesa

v zemském gravitačním poli

= parabola

stejně jako u hmotného bodu

http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

16.02.2017, str. 39

DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

umístění tělesa v prostoru ↔ poloha 3 bodů

TUHÉ TĚLESO – abstrakce

body tělesa nemění svou vzájemnou polohu

skutečnost: vnější síla → změna tvaru tělesa (deformace)

v řadě situací ji ale není nutné uvažovat

TYPY POHYBŮ TUHÉHO TĚLESA

TRANSLACE: změna vzdáleností vybraných tří bodů

od počátku souřadné soustavy

ROTACE: změna úhlů, které svírají úsečky spojující vybrané body

s osami souřadné soustavy

poznámka

všechny reálné pohyby lze rozložit na konečný počet translací a rotací

(experimentálně ověřeno, teoreticky dokázat nelze)

16.02.2017, str. 40

TRANSLACE TUHÉHO TĚLESA

tuhé těleso si lze představit jako soustavu složenou

z nekonečně mnoha malých tělísek, pro jejichž hmotnost platí

; resp. d ii

V

M m M V

pohyb tuhého tělesa = pohyb hmotného bodu - těžiště,

na které působí celková vnější síla

poznámka

chování tuhého tělesa, ve kterém jsou pevné vzdálenosti mezi

jeho jednotlivými částmi v důsledku jejich vzájemného působení,

SE VELICE LIŠÍ

od pohybu volných hmotných bodů,

které mohou měnit svou vzájemnou polohu

16.02.2017, str. 41

PŘÍKLAD

dva hmotné body M a m, na které působí

stejně velké ale opačně orientované síly,

jež neleží na jedné přímce

1. hmotné body jsou volné - translace

hmotné body se od sebe budou vzdalovat rovnoměrně zrychleně,

avšak jejich těžiště zůstane na místě,

protože výsledná síla působící na soustavu je nulová

2. hmotné body jsou spojené nehmotnou tyčí

dochází k jejich rotaci kolem společného těžiště

F

F M

mx

y

T

2

2

1

2

1

2

0

m

M

M mT

FX t

m

FX t

M

M x mxX

M m

x

y

T

x

y

T

16.02.2017, str. 42

DVOJICE SIL (definice):

dvě síly stejně velké opačně orientované, které neleží na jedné přímce

F

*F F

R

r

*r

moment dvojice sil = součet momentů obou sil

* * * *r F r F r F r F r r F R F

moment dvojice sil nezávisí na volbě vztažného bodu !!! R F

16.02.2017, str. 43

ROTACE TUHÉHO TĚLESA KOLEM OSY

||F F F

F ||F

r

x

y

teoreticky: rozklad tělesa na malé částečky

a popis jejich pohybu pomocí 2. NZ - pracné

je výhodnější popis pomocí rotačních analogů dosud používaných veličin

experiment:

1) translační rychlost jednotlivých elementů

závisí na jejich vzdálenosti od osy otáčení

není vhodná pro popis rotace tuhého tělesa

jako celku

úhlová rychlost

na vzdálenosti od osy otáčení nezávisí

2) otáčivý účinek síly závisí na

·

·

d

dt

r

, resp. na a F F

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/Vectors/CrossProduct/CrossProduct.html

16.02.2017, str. 44

TRANSLACE ROTACE

změna polohy změna úhlu

translační rychlost úhlová rychlost

je rovnoběžný s osou otáčení

jeho orientace je dána směrem otáčení,

je polohový vektor

zrychlení úhlové zrychlení

síla moment síly vůči ose rotace

hmotnost m moment setrvačnosti vůči ose

hybnost moment hybnosti vůči ose rotace

dd

s

r

dv

d

s

t

ds

d

dt

F r F

r

2 2, resp. dV

J mr r m

ds

d

; pro hmotný bod L J L r p

p

2

2

dv da

d d

s

t t

2

2

d d;

d dt t

v r

a r

v R R

16.02.2017, str. 45

TRANSLACE ROTACE pohybová rovnice

kinetická energie

21v

2

T

KE m

d

d

pF ma

t

d

d

LJ

t

21

2

R

KE J

poznámka: zákon zachování mechanické energie –

- nutno brát do úvahy i rotační kinetickou energii

h2 2

0

1 1v

2 2

M k pE E E

mgh m J

16.02.2017, str. 46

d dt L

POHYBOVÁ ROVNICE SOUSTAVY d

d

L

t

časová integrace pohybové rovnice

IZOLOVANÁ SOUSTAVA:

vnější síly – lze zanedbat

vnitřní síly – lze uspořádat do dvojic, které se navzájem kompenzují (3.NZ)

Zákon zachování momentu hybnosti v izolované soustavě

0L

široká oblast aplikací

jaderná fyziky – srážky elementárních částic

sport (krasobruslařské piruety, ... )

helikoptéra – několik vrtulí

ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI

V IZOLOVANÝCH SOUSTAVÁCH

http://www.nd.edu/~ysun/Yang/PhysicsAnimation/collection/angularMP.swf

http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/bu_semester1/index.html

16.02.2017, str. 47

MOŽNOSTI UCHOVÁVÁNÍ MECHANICKÉ ENERGIE ???

zbytečné energetické ztráty při dopravě v důsledku brzdění a zrychlování

??? uložit mechanickou energii odebranou při brzdění pomocí setrvačníku

a pak ji využít při opětovném rozjíždění

2 2 2

k

1 1

2 2E J MR kinetická energie setrvačníku

J moment setrvačnosti

ω úhlová rychlost

α koeficient daný rozložením hmotnosti setrvačníku kolem osy otáčení

M hmotnost setrvačníku

R rozměr setrvačníku

snaha maximalizovat množství uložené energie

co největší úhlová rychlost – hranice daná pevností materiálu

co největší moment setrvačnosti

maximální hodnota α=1 pro veškerou hmotnost na obvodu setrvačníků

co největší hmotnost – limita daná tím, co auto uveze

co největší rozměr – limita daná tím, co auto uveze

16.02.2017, str. 48

2 2 2 20.95 100 0.75 kg m 53.43 kg mJ MR moment setrvačnosti

odhad parametrů setrvačníku: α = 0.95 M = 100 kg R = 0.75 m

kinetická energie setrvačníku 2 2 -2

k

153.43kg m 31.416 s 26 367 J

2E

-1 -15 2 rad s 31.416 rad s 5 otáček za vteřinu

-1 -1k 26367

V 8.2 2.9 m s 10.3 km hod2 2 1600

E

M m

umožňuje rozjezd auta na rychlost

16.02.2017, str. 49

odhad parametrů automobilu a energetických ztrát v důsledku

větší hmotnosti a rozměru automobilu :

hmotnost auta m=1500 kg= 15 M

ztráta energie v důsledku tření o silnici na dráze d = 1 km

způsobená zvýšením hmotnosti auta

-2

t t t t

t

0.01 9.81 m s 1000 m

0.01 100 9.81 1000 9810 J

W F d C Mgd C g d

W

2 2aa a a 3

2

a

kgV 0.3 1.2 0.2 m 1000 m

2 m

0.31.2 0.2 20 1000 =14400 J

2

CW F d A d C a d

W

průřez auta se setrvačníkem A = 2 m2 = 10 a

a zvýšení průřezu v důsledku namontování setrvačníku

ztráta energie v důsledku odporu vzduchu na dráze d = 1 km

způsobená zvýšením rozměru auta při rychlosti 72 km hod-1

a t 9810 14400 J = 24 210 JW W W celková energetická ztráta 16.02.2017, str. 50

DYNAMIKA SOUBORU ČÁSTIC

MAKROSKOPICKÝ SYSTÉM

tvořen mnoha částicemi (NA =6,02·1023 mol-1, objem molu plynu 22,4 l) jeho vlastnosti jsou určeny pohybovými rovnicemi všech částic

N částic ~ soustava 3N navzájem provázaných diferenciálních rovnic

+ nutnost znát počáteční podmínky

analytické řešení není možné !!!!!!

STATISTICKÁ MECHANIKA

statistickými metodami zkoumá obecné zákonitosti,

jimiž se řídí makroskopické systémy

http://comp.uark.edu/~jgeabana/mol_dyn/KinThI.html

16.02.2017, str. 51

s rostoucím počtem částic vlastnosti systému

• přestávají být určovány vlastnostmi jednotlivých částic

• závisí na středních (průměrných) hodnotách celého souboru částic

• do popředí vystupují nové zákonitosti

specifické právě pro soustavy velkého počtu částic

výsledný makroskopický jev (proces)

• nezávisí na tom, které konkrétní částice se daného jevu zúčastnily

• rozhoduje počet a stav všech částic, které se na procesu podílí

poznámka

čím je počet částic daného systému větší

tím je i jeho stav, resp. sledovaný děj,

méně citlivý ke změnám v chování malého počtu částic

OBECNÉ ZÁKONITOSTI MAKROSTAVŮ =

= vztahy mezi středními hodnotami fyzikálních veličin

16.02.2017, str. 52

střední hodnota fyzikální veličiny 1

1 1N

i j ji jY Y N Y

N N

N celkový počet mikročástic

Yi hodnota dané fyzikální veličiny pro i-tou mikročástici

Nj počet mikročástic, u kterých má fyzikální veličina hodnotu Yj

fluktuace fyzikální veličiny y Y Y

krátkodobá odchylka fyzikální veličiny od její střední hodnoty

v malé části objemu

v krátkém časovém intervalu

16.02.2017, str. 53

KINETICKÁ TEORIE HMOTY

tři základní axiomy

1. hmota se skládá z velmi malých částic, atomů nebo molekul

2. tyto částice jsou v neustálém neuspořádaném pohybu

(tzv. tepelný pohyb)

3. pohyb částic se řídí základními zákony mechaniky

(Newtonovy zákony)

EXPERIMENTY

„chemická cesta“

Dalton – zákon násobných poměrů slučovacích

Gay –Lussacův zákon jednoduchých objemových poměrů slučovacích

Avogadrův zákon

„fyzikální cesta“

Bernoulliho model ideálního plynu

(tlak = důsledek nárazů částic na stěny, ...)

Joulovi experimenty

1840 experimentálně prokázal ohřev vody mechanickým mícháním

http://demonstrations.wolfram.com/JoulesExperiment

16.02.2017, str. 54

závěry kinetické teorie hmoty souhlasí s experimentálně pozorovanými jevy

tj. s makroskopickými jevy, které jsou důsledkem tepelného pohybu

pohyb jednotlivých částic experimentálně studovat nelze

BROWNŮV POHYB – chaotický pohyb drobných zrnek na vodní hladině

kinetická teorie vysvětluje vliv velikosti částic a teploty http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/brownian/brownian.html

CHOVÁNÍ IDEÁLNÍHO PLYNU

kinetická teorie vysvětluje tlak, stavovou rovnici

umožňuje i uvážení některých vlastností reálných plynů

TRANSPORTNÍ JEVY

DIFÚZE – přenos částic proti směru gradientu koncentrace

VEDENÍ TEPLA – přenos kinetické energie proti směru gradientu teploty

VISKOZITA – přenos hybnosti proti směru gradientu hybnosti

gradient má směr maximálního růstu veličiny Q

( , , ) , ,Q Q Q

grad Q x z yx y z

proti směru gradientu veličiny Q = ve směru „klesání“ veličiny Q

16.02.2017, str. 55

ilustrace: MAKROČÁSTICE (NAPŘ. PÍST) V TRUBICI S PLYNEM

M

mm

vn

M hmotnost makročástice

hmotnost mikročástice

hustota mikročástic

rychlost mikročástic

16.02.2017, str. 56

1) nepůsobí žádná vnější síla

počet mikročástic narážejících na píst kolísá,

fluktuuje kolem určité střední hodnoty,

která je pro obě strany pístu stejně velká

a) makročástice je „velká“ ve srovnání se vzdáleností

mezi mikročásticemi

• sčítá se působení mnoha mikročástic

• M >> m změna rychlosti makročástice v důsledku

jedné srážky << rychlost mikročástice

makročástice se nepohybuje

b) makročástice je „malá“ ve srovnání se vzdáleností

mezi mikročásticemi (M ≥ m )

fluktuace počtu narážejících mikročástic lze pozorovat

prostřednictvím trhavého pohybu makročástic

tzv. Brownův pohyb

16.02.2017, str. 57

2) působí vnější síla

např. síla vyvolávající pohyb pístu doprava rychlostí V0

1 2

velikost rychlosti V charakterizuje „vychýlení“ od rovnováhy,

tj. od nulové rychlosti

počet nárazů mikročástic zleva je menší než počet nárazů zprava

F

V

vnější síla musí překonávat odpor prostředí

velikost silového působení prostředí, Ft, je přímo úměrná

hustotě prostředí

hmotnosti mikročástic

rychlosti pohybu mikročástic

velikosti makročástice

rychlosti makročástice

16.02.2017, str. 58

makročástice v klidu + „zapnutí vnější síly“

makročástice se začne pohybovat,

čím rychleji se pohybuje, tím větší je síla Ft a tím menší je celková síla

při určité rychlosti V0 dojde k vyrovnání vnější síly a odporu prostředí

rychlost makročástice se přestane měnit

příklad: parašutista s padákem

kulička padající v husté kapalině

makročástice pohybující se rychlosti V0 + „vypnutí vnější síly“

systém relaxuje do rovnovážného stavu

makročástice je brzděna odporem prostředí

čím pomaleji se pohybuje, tím menší je síla Ft

při zastavení makročástice odpor prostředí vymizí –

- systém bude v rovnováze

příklad: zastavení člunu na vodě po vypnutí motoru

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/FluidDynamics/ViscousMotion/ViscousMotion.html

16.02.2017, str. 59

působení vnější síly podrobněji

např. síla vyvolávající pohyb pístu doprava rychlostí V

1 2

velikost rychlosti V charakterizuje „vychýlení“ od rovnováhy,

tj. od nulové rychlosti

zjednodušující předpoklad:

pohyb mikročástic – konstantní velikost rychlosti

- dva stejně pravděpodobné směry

(doleva „-“, doprava „+“)

F

V

2N1N počet nárazů mikročástic zleva

počet nárazů mikročástic zprava

vznik dodatečné síly (odpor prostředí, tření),

kterou musí vnější síla překonávat 2N< 1N

16.02.2017, str. 60

počet nárazů na plochu o velikosti ∆S za dobu ∆t

zleva

zprava 2

1v V

2N n t S

1

1v V

2N n t S

výsledný impulz síly 1 2J J J

1 12 v VJ N m

2 22 v VJ N m

4 vV tJ nm S t F t

pohybová rovnice makročástice

d V

d

4 v

V MF M

Mt

n m S

d4 vV

d

VF nm S M

t

tF

4 v

M

nm S

relaxační čas

16.02.2017, str. 61

d V

d

V MF M

t

makročástice v klidu + „zapnutí vnější síly“

makročástice se začne pohybovat,

čím rychleji se pohybuje, tím větší je síla Ft a tím menší je celková síla

při určité rychlosti V0 dojde k vyrovnání vnější síly a odporu prostředí

rychlost makročástice se přestane měnit

makročástice pohybující se rychlosti V0 + „vypnutí vnější síly“

systém relaxuje do rovnovážného stavu

makročástice je brzděna odporem prostředí

čím pomaleji se pohybuje, tím menší je síla Ft

při zastavení makročástice odpor prostředí vymizí –

- systém bude v rovnováze 0 exp

tV t V

01 exp 1 expF t t

V t VM

16.02.2017, str. 62

RELAXACE

návrat systému do rovnováhy (případně jiného stacionárního stavu)

po skončení působení vnějšího vlivu, který tento rovnovážný

(stacionární) stav porušil

relaxační proces bývá charakterizován vztahem:

kde

y je fyzikální veličina charakterizující výchylku od rovnovážného stavu

y0 je počáteční odchylka

t je čas

τ je relaxační čas (relaxační časová konstanta)

za čas t = τ se fyzikální veličina charakterizující

odchylku od rovnováhy zmenší e-krát

0 expt

y t y

16.02.2017, str. 63

TEPELNÝ POHYB A TEPLOTA

teplota – fyzikální veličina charakterizující tepelný stav těles

•zavedena intuitivně

•měřena relativně pomocí jiných fyzikálních veličin, které rovněž

závisí na tepelném stavu tělesa

(pokud možno lineárně a dostatečně citlivě)

tepelný pohyb – objektivní míra tepelného stavu tělesa

ideální jednoatomový plyn 2

3ST

k

23 -11,3810 J Kk

21v

2S m střední kinetická energie mikročástic

Boltzmannova konstanta

TEPLOTA VLASTNOST SYSTÉMU JAKO CELKU

16.02.2017, str. 64

MĚŘENÍ TEPLOTY

teplota – intenzivní fyzikální veličina

(zůstává stejná i po rozdělení soustavy)

relativní měření (porovnávání)

• teplo samovolně přechází z teplejšího tělesa na studenější,

dokud nedojde k vyrovnání teplot

• se změnou tepelného stavu těles se mění řada jejich fyzikálních vlastností

(objem, tlak, elektrický odpor, ...)

16.02.2017, str. 65

ZAVEDENÍ TEPLOTNÍ STUPNICE

1. Výběr extenzivní veličiny X

X –musí záviset pouze na teplotě

nesmí mít stejnou hodnotu pro dvě různé teploty

např. objem konstantního množství plynu při konstantním tlaku

2. Změření X ve dvou přesně definovaných stavech

např. bod tání X1 a varu X2

3. Přiřazení konkrétních hodnot teploty těmto stavům

např. t1(X1)=0 a t2(X2)=100

4. Rozdělení změny ΔX=X2-X1 na příslušný počet dílků ΔX=100

nejjednodušší předpoklad: lineární závislost

(obecně stačí monotónní závislost)

t1=0

t

t2=100

X1 X X2

t

x

1

1

2 1 2 1

X Xt t

X X t t

16.02.2017, str. 66

různé fyzikální veličiny mohou záviset na teplotě různě

např. elektrický odpor polovodiče a vodiče

nemusely by si odpovídat teploty mezi definovanými body

domluva – výběr jedné veličiny

(v principu to může být kterákoliv)

jako standardní a podle této stupnice kalibrovat ostatní

vybrán objem (přesněji součin objemu a tlaku)

konstantního množství plynu

CELSIOVA TEPLOTNÍ STUPNICE (t, oC)

16.02.2017, str. 67