Mechanika Klasyczna

J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

0 Informacje ogólne

Dokument zawiera materiał na ćwiczenia i do pracy własnej w domu. Może się

tak zdarzyć, że materiał na ćwiczenia nie zostanie przerobiony, czego będziemy

starali się unikać. Wówczas przechodzi on do problemów domowych, które mogą

być wykorzystane na sprawdzianach.

Materiał domowy składa się z zadań oznaczonych trzema symbolami:

1. Symbolem ✍ oznaczono zadania obowiązkowe dla wszystkich zarejestrowa-

nych.

2. Symbolem ❍ oznaczono zadania obowiązkowe dla zarejestrowanych studen-

tów astronomii.

3. Symbolem ❀ oznaczono zadania dodatkowe.

Zadania obowiązkowe będą zbierane na wykładzie. Termin zbierania pojawi

się w tym dokumencie. Punktacja uzyskana z zadań obowiązkowych będzie brana

pod uwagę na egzaminie ustnym.

Zawartość tego pliku będzie ulegała zmianom wraz z upływem tygodni. Dlatego

apeluję o cotygodniowe przeglądanie jego zawartości.

Do przeglądania tego pliku polecam użycie Acrobat Reader. Inne przeglądarki

plików pdf mogą niewłaściwie wyświetlać pewne symbole. Np. odradzam korzy-

stania z przeglądarki Evince.


1 Formalizm Lagranżowski

1.1 Ćwiczenia

Zadanie 1.1

Lagranżjan jednowymiarowego oscylatora harmonicznego ma postać

L(x, x) =m

2x2 − 1

2mω2x2

Wyznaczyć działanie

S(xf , tf ;xi, ti) =

tf∫

ti

L(x(t), x(t))dt

dla trajektorii klasycznej x(t) spełniającej warunki brzegowe xi = x(ti) i xf = x(tf).Pęd cząstki definiujemy związkiem

p = mx =∂L

∂x

Pokazać, że pęd końcowy (liczony dla czasu tf) spełnia równość

pf =∂L

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xf

=∂S

∂xf

Energia cząstki wynosi

E =m

2x2 +1

2mω2x2 = xp− L = x∂L

∂x− L

Wykazać, że

E = −∂S∂tf

Wyznaczyć działanie dla trajektorii

x(t) =t− tfti − tf

xi +t− titf − ti

xf

spełniającej te same warunki brzegowe. Porównać wyniki, gdy ω(tf − ti) = π/2, ti = 0, xi = 0.

Zadanie 1.2

Cząstka o masie m porusza się po górnym płacie hiperboloidy obrotowej o równaniu (a jeststałą)

z2 − x2 − y2 = a2

w polu grawitacyjnym o natężeniu (przyspieszeniu) g = −g ez. Wyznaczyć Lagranżjan i rów-nania ruchu wybierając jako współrzędne uogólnione:

1. współrzędne kartezjańskie płaszczyzny (x, y),

2. współrzędne biegunowe płaszczyzny (x, y).


Określić stałą ruchu różną od energii i zinterpretować ją.

Zadanie 1.3

Cząstka o masie m porusza się w potencjale kulombowskim V (r) = α/r. Zdefiniujmy

1. wektor moment pędu: L = mr × r,

2. wektor Runge-Lenza: A = r ×L+ αr/r.

Wykazać, że oba wektory są stałymi ruchu, tzn.

L = 0 = A.

Skorzystać z tożsamości:

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c oraz rr = r · r.

Zadanie 1.4

Punkt materialny o masie m porusza się po linii śrubowej sparametryzowanej zmienną ϕ na-stępująco:

r(ϕ) = (x(ϕ), y(ϕ), z(ϕ)) = (R cosϕ,R sinϕ,−Hϕ),gdzie R,H > 0. Traktując ϕ jako zmienną uogólnioną znaleźć lagranżjan dla tego ruchu orazstałą ruchu nie będącą całkowitą energią. Zinterpretować wynik pamiętając, że pęd p i momentpędu L wynoszą

p = mr, L = r × p.Czemu równa się stała ruchu, jeśli ruch odbywa się w stałym i jednorodnym polu grawita-

cyjnym o przyspieszeniu g równoległym do osi z i skierowanym w dół.

1.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 24.10.2011

Zadanie 1.5 ✍

Uogólnić wynik z zadania 1.1 na przypadek trójwymiarowy, gdy

L(r, r) =m

2r2 − 1

2mω2r2

Nie wykonywać zbędnych rachunków, tylko skorzystać z wyniku z ćwiczeń.

Zadanie 1.6 ✍

Cząstka o masie m porusza się po paraboloidzie obrotowej o równaniu (a jest stałą)

z =x2 + y2

2a

w polu grawitacyjnym o natężeniu (przyspieszeniu) g = −g ez. Wyznaczyć Lagranżjan i rów-nania ruchu wybierając jako współrzędne uogólnione:


1. współrzędne kartezjańskie płaszczyzny (x, y),

2. współrzędne biegunowe płaszczyzny (x, y).

Określić stałą ruchu różną od energii i zinterpretować ją.

Zadanie 1.7 ❍



tf∫

ti

L(x(t), x(t))dt

dla cząstki swobodnej poruszającej się w jednym wymiarze, czyli o Lagranżjanie

L(x, x) =m

2x2

dla dwóch trajektorii

x(t) =t− tfti − tf

xi +t− titf − ti

xf

i

x(t) =(

t− tfti − tf

)2

xi +(

t− titf − ti

)2

xf

Porównać wyniki, gdy ti = 0 i xi = 0.

1.3 Zadania dodatkowe

Zadanie 1.8 ❀

Lagranżjan cząstki poruszającej się w jednym wymiarze pod wpływem stałej siły (np. w polugrawitacyjnym lub polu elektrycznym) ma postać

L(x, x) =m

2x2 + Fx



tf∫

ti

L(x(t), x(t))dt

dla trajektorii klasycznej x(t) spełniającej warunki brzegowe xi = x(ti) i xf = x(tf). Powiązaćpochodne

∂S

∂xioraz

∂S

∂ti

z pędem i energią początkową cząstki.Uogólnić ten wynik na przypadek trójwymiarowy. Wyprowadzić stąd działanie dla cząstki

swobodnej.


Zadanie 1.9 ❀

Powtórzyć rachunek z zadania 1.8 jeśli cząstka porusza się pod wpływem zależnej od czasu siłyF (t) = F cos(ωt). Lagranżjan ma wówczas postać

L(x, x) =m

2x2 + Fx cos(ωt)

Zadanie 1.10 ❀

Dwa punkty materialne o masach m i M połączone są sztywnym prętem o długości ℓ. Masa mporusza się bez tarcia po okręgu o promieniu R z prędkością kątową ω. Wprowadzając zmiennąuogólnioną ϕ jak na rysunku, wyprowadzić lagranżjan i równanie ruch, jeśli ruch odbywa się wjednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g = −g ey.

Zadanie 1.11 ❀

W jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g = −gey zsuwa się po klinie o masieM ,kącie nachylenia α i poruszającym się po poziomej powierzchni płaskiej, klocek o masiem. Ruchodbywa się przy zaniedbywalnym tarciu. Wprowadzając współrzędne uogólnione q1 i q2 tak jakna rysunku wyprowadzić lagranżjan dla tego układu, a następnie równania ruchu. Definiującnowe zmienne uogólnione Q1 = ((M +m)q1 +mq2 cosα)/(M +m) i Q2 = mq2 sinα/(M +m)znaleźć stały w czasie pęd uogólniony.


Zadanie 1.12 ❀

Punkt materialny o masie m porusza się bez tarcia po okręgu o promieniu R w stałym polugrawitacyjnym o przyspieszeniu g = −g ey. Okrąg obraca się z prędkością kątową ω wokółosi pionowej przechodzącej przez jego środek. Wprowadzając zmienną uogólnioną ϕ jak narysunku wyznaczyć lagranżjan, jeśli masa połączona jest z wierzchołkiem okręgu sprężyną ostałej sprężystości k, rozciągniętą wzdłuż łuku okręgu, której długość bez rozciągnięcia wynosiℓ0. Wyprowadzić równanie ruchu. Uwaga! nie posługiwać się siłą odśrodkową, ale zacząć odparametryzacji w trzech wymiarach.

Zadanie 1.13 ❀

Dla cząstki o masie m poruszającej się w potencjale logarytmicznym V (ρ) = α ln ρ znaleźć la-granżjan we współrzędnych walcowych x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z. Wyprowadzić dwa prawazachowania. Wypisać równanie różniczkowe na ρ(t) i podać jego rozwiązanie w kwadraturach,tj. nie obliczając całki.

Zadanie 1.14 ❀

Punkt materialny o masie m porusza się bez tarcia po okręgu o promieniu R w stałym polugrawitacyjnym o przyspieszeniu g = −g ey. Okrąg obraca się z prędkością kątową ω wokółosi pionowej przechodzącej przez jego środek. Wprowadzając zmienną uogólnioną ϕ jak na ry-sunku wyznaczyć lagranżjan, jeśli masa połączona jest z wierzchołkiem okręgu sprężyną o stałejsprężystości k, rozciągniętą wzdłuż cięciwy okręgu, której długość bez rozciągnięcia wynosi ℓ0.Wyprowadzić równanie ruchu.


Zadanie 1.15 ❀

Dwa punkty materialne o masiem każdy poruszają się bez tarcia po pionowo ustawionym okręguo promieniu R. Masy połączone są wzdłuż cięciwy sprężyną o współczynniku sprężystości k,której długość bez rozciągnięcia wynosi ℓ0. Wprowadzając zminne uogólnione ϕ1 i ϕ2 jak narysunku, wyprowadzić lagranżjan i równania ruchu w sytuacji, gdy oddziaływanie grawitacyjnejest do zaniedbania. Wprowadzając nowe współrzedne uogólnione θ1 = (ϕ2 + ϕ1)/2 i θ2 =(ϕ2 − ϕ1)/2, wyznaczyć stałą ruchu i podać rozwiązanie równań ruchu w kwadraturach, tj. niewykonując całki.


2 Formalizmy Lagranżowski i Kanoniczny

2.1 Ćwiczenia

Zadanie 2.1

Wykazać, że równania Newtona z siłą Lorentza wynikają z Lagranżjanu postaci

L(r, r, t) =1

2mr2 − eφ(r, t) + er ·A(r, t).

Jak zmienia się ten Lagranżjan przy zmianie cechowania potencjałów elektromagnetycznych.Wyznaczyć Hamiltonian i równania Hamiltona.

Zadanie 2.2

Wykazać, że w układzie współrzędnych kulistych Lagranżjan cząstki relatywistycznej ma postać

L = −m0c2√

1− 1c2(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θϕ2)− V (r).

Wyprowadzić równania Lagrange’a. Wyznaczyć Hamiltonian i równania Hamiltona.

Zadanie 2.3

Dla cząstki o masie m poruszającej się w potencjale kulombowskim V (r) = α/r znaleźć La-granżjan we współrzędnych

1. kulistych: x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sinϕ, z = r cos θ,

2. parabolicznych: x =√ξη cosϕ, y =

√ξη sinϕ, z = (ξ − η)/2.

W obu przypadkach określić zmienną cykliczną i podać stałą ruchu.Dla współrzędnych parabolicznych powtórzyć rachunki, gdy cząstka porusza się w polu

kulombowskim oraz w stałym i jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E0 skierowanym wkierunku osi z, tj. gdy V (r) = α/r − eE0z.

W obu przypadkach wyznaczyć Hamiltonian i równania Hamiltona.

Zadanie 2.4

Rozważmy trójwymiarowy anizotropowy oscylator harmoniczny, którego ruch określają równa-nia Newtona

xi + ω2i xi = 0, i = 1, 2, 3, ωi 6= ωj dla i 6= j

Wyznaczyć siłę reakcji więzu utrzymującego ruch na powierzchni kuli o promieniu R,

x21 + x22 + x

33 = R

2

Skorzystać z faktu, że siła reakcji jest prostopadła do powierzchni wyznaczonej przez więz orazz tożsamości

3∑

i=1

xixi = −3∑

i=1

x2i


spełnionej przez nasz więz. Wykazać, że trzy funkcje

Fi = R2x2i +

∑

j 6=i

(xjxi − xjxi)2ω2i − ω2j

są stałymi ruchu.Problem ten natychmiast da się uogólnić na przypadek n anizotropowych oscylatorów har-

monicznych, których ruch ograniczony jest do powierzchni n-wymiarowej kuli.


Zadanie 2.5 ❀

Na wykładzie pokazałem, jak z siły reakcji więzów zadanych równaniami x2+y2−R2 = 0 i z = 0wynika ruch i siła dośrodkowa punktu materialnego o masiem. Wyprowadzić analogicznie ruch isiłę dośrodkową przyjmując więzy w postaci sfery x2+y2+z2−R2 = 0 i stożka x2+y2−a2z2 = 0.

Zadanie 2.6 ❀

Dla Lagranżjanu postaci

L =m

2(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θϕ2)− f(θ)ϕ.

wyznaczyć Hamiltonian i równania Hamiltona.

Zadanie 2.7 ❀

g

ω

ϕR

Koralik o masie m zsuwa się po pionowym okręgu o promieniu R w stałym polu grawitacyjnym.Okrąg obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół swojej pionowej osi symetrii. Wybierająckąt ϕ jako zmienną uogólnioną wyprowadzić Lagranżjan i równanie ruchu. Wyznaczyć punktstabilny i określić częstość małych drgań wokół niego. Przedyskutować wynik zmieniając wartośćω od zera do nieskończoności. Które punkty są punktami stabilnymi, a które niestabilnymi?

Dla dociekliwych: Wyznaczyć Hamiltonian

H = ϕ∂L

∂ϕ− L

który jest stałą ruchu. Porównać go z energią całkowitą koralika (energię potencjalną liczymyod poziomu ϕ = π/2)

E =m

2(R2ϕ2 +R2ω2 sin2 ϕ)−mgR cosϕ

która nie jest stałą ruchu. Dlaczego energia z układem musi być wymieniana? Co należałobyzmienić, aby Hamiltonian pokrywał się z całkowitą energią i był stałą ruchu?


3 Formalizm Kanoniczny

3.1 Ćwiczenia

Zadanie 3.1

Dla dwuwymiarowego układu o Hamiltonianie

H = q1p1 − q2p2 − aq21 + bq22o stałych a i b pokazać, że

f1 = (p2 − bq2)/q1, f2 = q1q2, f3 = q1e−t

są stałymi ruchu.Przyjąć, że transformacja

Q1 = q21, Q2 = q1 + q2, P1 = P1(q1, q2, p1, p2), P2 = P2(q1, q2, p1, p2)

jest przekształceniem kanonicznym. Jaką najogólniejszą postać mogą przyjąć funkcje Pi(q1, q2, p1, p2)?Przy jakim ich szczególnym wyborze Hamiltonian

H =(

p1 − p22q1

)2

+ p2 + (q1 + q2)2

sprowadza się do postaciH ′ = P 21 + P2.

Skorzystać z tego wyniku i znaleźć rozwiązanie qi(t).

Zadanie 3.2

Dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego

H =1

2mp2 +1

2mω2x2

wykazać, że transformacja

X =mωx+ ip√2mω

, P = imωx− ip√2mω

= iX∗

jest transformacją kanoniczną. Znaleźć jej funkcję generującą F (x,X) oraz nowy hamiltonian.Dla nowych współrzędnych podać równania Hamiltona i rozwiązać je.

To samo, gdy

X =mωx+ ip√2mω

eiωt, P = imωx− ip√2mω

e−iωt = iX∗.

Zadanie 3.3

Dla momentu pędu L = r × p:

1. wyznaczyć nawiasy Poissona {Li, xj}, {Li, pj} i w ogólności {Li, f(r,p)},


2. wykazać, że {Li, r2} = 0 = {Li,p2},

3. wyznaczyć {Li, Lj} i {Li,L2}.

Zadanie 3.4

Rozdzielić zmienne w równaniu Jacobiego-Hamiltona dla cząstki poruszającej się w polu kulom-bowskim i stałym polu elektrycznym. Posłużyć się wynikami z zadania 2.3 dla współrzędnychparabolicznych. Otrzymanych równań nie rozwiązywać.

3.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania — wykład 07.11.2011

Zadanie 3.5 ✍

Potencjał wektorowy pola elektromagnetycznego zadany jest równaniem

A(r, t) =1

2B(t) ez × r

Przyjmując, że potencjał skalarny jest funkcją długości wektora wodzącego r i czasu t, tj. φ(r, t),wyznaczyć pola elektryczne i magnetyczne i podać interpretację funkcji B(t). Pamiętając, żeLagranżjan cząstki o masie m i ładunku e poruszającej się w polu elektromagnetycznym mapostać

L(r, r, t) =1

2mr2 − eφ(r, t) + er ·A(r, t).

zapisać go we współrzędnych kulistych, określić zmienną cykliczną i podać stałą ruchu różnąod Hamiltonianu.

Zadanie 3.6 ❍

Sprawdzić, czy poniższe przekształcenia są kanoniczne:

1. Q = q + p, P = 2q(exp((q + p)2) + 1) + 2p(exp((q + p)2)− 1).

2. Q = qp, P = ln(q20p19).

3. Q = −qctgp, P = ln cos p.


Zadanie 3.7 ❀

Rozdzielić zmienne w równaniu Jacobiego-Hamiltona dla cząstki poruszającej się w polu sił opotencjale kulisto-symetrycznym V (r) posługując się współrzędnymi kulistymi.

Zadanie 3.8 ❀

Rozdzielić zmienne w równaniu Jacobiego-Hamiltona dla cząstki poruszającej się w polu sił opotencjale V (

√x2 + y2) posługując się współrzędnymi walcowymi (ρ, ϕ, z)

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z


Zadanie 3.9 ❀

Rozważmy ruch w stałym polu magnetycznym o indukcji B wybranej w kierunku osi z. Wy-bierzmy cechowanie Landaua, w którym jedyną nieznikającą składową potencjału jest Ay = Bx.Przyjmując, że ruch jest płaski (tj. początkowa prędkość w kierunku osi z jest zerowa) wybraćhamiltonian w postaci

H(x, y, px, py) =1

2mp2x +

1

2m(py + bx)

2,

gdzie b = −eB. Metodą separacji zmiennych rozwiązać równanie Jacobiego

H(

x, y,∂S

∂x,∂S

∂y

)

= −∂S∂t.

Wykazać, że ruch jest po okręgu i wyznaczyć jego częstość.Zrobić to samo w cechowaniu van Vlecka, gdy Hamiltonian ma postać

H(x, y, px, py) =1

2m(px − by/2)2 +

1

2m(py + bx/2)

2.

Wykazać, że funkcja cechowania dla tych wyborów potencjału jest proporcjonalna do xy. Wzwiązku z tym w równaniu Jacobiego zamienić S na axy+S ′ i dobrać stałą a tak, aby równaniena S ′ można było rozseparować.

Zadanie 3.10 ❀

Wykazać, że funkcjeC1 = p

21 + q

22, C2 = p

22 + q

21, C3 = {C1, C2}

są całkami pierwszymi układu o Hamiltonianie

H = p1p2 + q1q2.

Zadanie 3.11 ❀

Sprawdzić, czy poniższe przekształcenia są kanoniczne:

1. Q = peq, P = q + e−q + ln p.

2. Q = p/q, P = (q4 − 5p6)/p4.

Jeśli tak, to wyznaczyć dla niego funkcję tworzącą F1(q,Q).


4 Ruch pod wpływem sił wymuszających

4.1 Ćwiczenia

Zadanie 4.1

Rozwiązać równanie oscylatora harmonicznego z tarciem (tłumieniem)

x+ 2βx+ ω20x = 0

oraz z harmoniczną siłą wymuszającą

x+ 2βx+ ω20x = γω20 cos(ωt)

Osobno rozpatrzeć przypadek rezonansu ω0 = ω. Naszkicować ’portrety fazowe’ ruchu, czylikrzywe na płaszczyźnie (x, x) przedstawiające ten ruch.

Zadanie 4.2

(Nieliniowość generująca wyższe harmoniczne) Rozpatrzeć nieliniowy oscylator harmoniczny(tzw. oscylator Duffinga bez siły wymuszającej)

x+ ω20x = βx3

gdzie β jest małym parametrem. Szukać rozwiązań równania w postaci

x(t) = A(t) cos(ω0t− θ(t)) + βx1(t) + β2x2(t) + . . .

gdzie A(t) i θ(t) są pewnymi funkcjami czasu i parametru β. Ograniczając się do wyrazówliniowych w β znaleźć rozwiązanie i określić jego okres. W tym przybliżeniu przyjąć, że A(t)jest stałą a θ(t) = θ0 + βθ1(t). Skorzystać z tożsamości trygonometrycznej

cos3 α =1

4cos(3α) +

3

4cosα

Na jakie problemy byśmy się natknęli gdyby założyć, że θ(t) jest stałe?

Zadanie 4.3

Problem dotyczy odwzorowania logistycznego omówionego na wykładzie i w książce J. R. Tay-lora, Mechanika klasyczna, tom II, str. 49-55. Rozpatrzmy funkcję zależną od parametru r,

f(x) = rx(1− x),

określoną dla 0 6 x 6 1. Jeśli 0 6 r 6 4, to również 0 6 f(x) 6 1 i możemy zdefiniować tzw.mapę logistyczną

xn+1 = f(xn)

odwzorowującą odcinek [0, 1] w siebie (tylko dla r = 4 jest to odwzorowanie ’na’). Wyznaczyćpunkty stałe tego odwzorowania i przedyskutować ich stabilność.



Zadanie 4.4 ❀

Rozwiązać nieliniowy oscylator harmoniczny

x+ ω20x = βx2

podobnie jak na ćwiczeniach przy okazji zadania 4.2.

Zadanie 4.5 ❀

Rozwiązać oscylator harmoniczny bez tłumienia

x+ ω20x = γω20 cos(ωt)

w przypadku rezonansowym, gdy ω = ω0.

Zadanie 4.6 ❀

Wykazać, że przy przejściu od współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) do kulistych (r, θ, ϕ) pędyuogólnione transformują się według wzoru

prpθpϕ

=

r · p/r(xzpx + yzpy − (x2 + y2)pz)/

√x2 + y2

−ypx + xpy

.

Wykazać, że transformacja

(x, y, z, px, py, pz) −→ (r, θ, ϕ, pr, pθ, pϕ)

jest transformacją kanoniczną dowodząc np., że {r, pr} = 1 i {pr, pθ} = 0 i podobnie dlapozostałych nawiasów Poissona.

Programy w Matlabie, wykorzystane w trakcie prezentowania zgadnień związanych z cha-osem znajdują się na stronie:

http://www.fuw.edu.pl/~jkam/Dydaktyka/WybraneAspektyFizykiWspolczesnej/chaos.zip


5 Ruch w układzie nieinercjalnym i bryły sztywnej. Rów-

nania hydrodynamiki.

5.1 Ćwiczenia

Zadanie 5.1

Końce pręta o masie m i długości ℓ przymocowane są do osi x i y tak, że wdłuż tych osiporuszają się bez tarcia. Wprowadzając zmienną uogólnioną ϕ jak na rysunku wyprowadzićlagranżjan, jeśli ruch odbywa się w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g orazpodać równanie ruchu. Wsk.: podzielić pręt na bardzo małe kawałki, które traktujemy jakopunkty materialne; nie korzystamy z momentu bezwładności.

Zadanie 5.2

W układzie obracającym się z prędkością kątową ω Lagranżjan ma postać

L =m

2r2 +mr · (ω × r) + m

2(ω × r)2 − V (r)

Przyjmując, że ω jest skierowana w kierunku osi z, ruch jest płaski i odbywa się w płaszczyźnie(x, y), wyprowadzić równania ruchu oraz warunki na punkty stabilne. Zastosować te warunkido przypadku lekkiej masy m (np. planetoidy) poruszającej się w polu grawitacyjnym wytwo-rzonym przez dwa masywne obiekty (np. Słońce i Jowisz) o masach M1 i M2. Wykazać, żeistnieje pięć punktów równowagi (tzw. punkty Lagrange’a), a dwa z nich są punktami trwałejrównowagi. Przedyskutować jedynie jakościowo charakter stabilności tych punktów.

Zadanie 5.3

Rozwiązać równania hydrodynamiki dla cieczy lepkiej, gdy przepływa ona pomiędzy dwiemanieruchomymi równoległymi płaszczyznami w sytuacji występowania stałego gradientu ciśnienia(przepływ Poiseuille’a); Landau & Lifszyc, Hydrodynamika, ¶17, str. 73.

W tym momencie kończymy z mechaniką klasyczną i przechodzimy do mechaniki

kwantowej.


Documents

Mechanika Klasyczna