Upload
mirza-mesanovic
View
127
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kinematika
Citation preview
1. Sta je mehanika ? To je nauka o zakonima ravnoteze (mirovanja) i kretanja tijela.proucava kretanja i mirovanja materijalnih tijela kao i uzroke to jest sile usljed kojih nastaju promjene stanja kretanja odnosno mirovanja.Podjela mehanike prema agregatnom stanj materijalnog tijela : mehanika cvrstih tijela,tecnih tijela ili hidromehanika, plinovitih tijela aeromehanika.Mehaniku cvrstih tijela dijelimo na : mehaniku krutog tijela i mehanika deformabilnog tijela . Mehanika krutog tijela ,s obzirom na vrstu proucavanih pojava mozemo podijelit na :statiku,kinematiku i dinamiku....Postoje jos i opsta mehanika i tehnicka mehanika.
2. Sta je kinematika ? to je dio mehanike koji proucava mehanicka kretanja ne uzimajuci u obzir njihove uzroke ,to jest sile ni masu predmeta koji se krecu .proucava dakle kretanja geometrijskih tvorevina:tacke (materijalne tacke),duzine(duzi,stapa),ravni i zapremine (tijela) metodama matematike uz uvodjenje vremena.Dijeli se na kinematiku (materijlne ) tacke i kinematiku krutog tijela.
3. Sta je sistem referencije ? u kinematici se izucavaju mehanicka kretanja to jest uz neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenu polozaja tijela (ili tacke) u odnosu na neko drugo tijelo .to drugo tijelo nazivamo tijelom referencije a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezan sistemom referencije .
4. Osnovne jedinice Si sistema ? duzina -l , metar ; masa –m,kilogram ,vrijeme-t,sekunda ,elektricna struja-I,amper ,termodinamicka tepmaratura-T,kelvin ,kolicina materije-n,mol , svjetlosna jacina I v,candela.
5. Nacini definisanja krivolinijskog kretanja tacke – postoje tri ,najvise rasprostranjena nacina definisanja krivolinijskog kretanja tacke i to su : 1) vektorski 2)koordinatni ili analiticki 3) prirodni.
6. Kada se kretanje tacke smatra zadatim (str 3) –kretanje tacke se smatra zadanim ako postoji mogucnost odredjivanja polozaja tacke u svakom trenutku vremena u odnosu na dati (izabrani) sistem referencije.
7. Vektorski nacin definisanja kretanja tacke(str 3) – vektorski nacin narocito je pogodan kod teorijskih razmatranja,dok se analiticki i priroodni nacin prvenstveno upotrebljavaju pri rjesavanju nekih konkretnih (prakticnih zadakata)
8. Sta je vektor polozaja ? –internet - Vektor položaja je usmjerena dužina kojoj je početak u ishodištu sustava a kraj (strelica) "prati" točku dok se giba. Koordinate i vektor položaja često se pišu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja i tako podrazumijeva.
9. Zakon kretanja tacke za vektorski nacin definisanja kretanja tacke –str 4a)ZAKON KRETANJA TACKE
Pri kretanju tacke M njen radijus vektor se mijenja u funkciji argumenta (t) i u opcem slucaju on se mijenja kako po intenzitetu tako i po pravcu i smjeru.
Takvu vektorsku velicinu nazivamo vektor funkcijom skalarnog argumenta (t) i oznacavamo
simbolom r→=r
→( t )
10. Vektor brzine pokretne tacke u datom trenutku vremena(str4)
Sa slike vidimo da je r→
1=r→+MM1
______
, odakle je vsr→
=Δr→
Δt . MM1
______
=r→
1−r→+= Δr
→
.
Prema tome, vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Δt, jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj
interval i samog tog vremenskog intervala. v→= lim
Δt→ 0v sr
→= lim
Δt→0
Δr→
Δt
granicna vrijednost kojoj tezi srednja brzina premjestanja pokretne tacke kada Δt→0 nazivamo vektorom brzine tacke u datom trenutku i oznacavamo sa v→. Vektor brzine tacke u datom trenutku dat
je izrazom: v→=d r
→
dt=r
→¿
.Prema tome vektor brzine tacke u datom trenutku jednak je prvom izvodu radius vektora pokretne tacke po vremenu u tom trenutku.
11. Vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke (str 5) -vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Δt jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj interval vremena i samog tog vremenskog intervala .
12. Hodograf vektora brzine- predstavlja geometrijsko mjesto vrhova vektora brzine pokretne tacke nanesenih iz jedne prizvoljne tacke prostora.
a) JEDNACINE HODOGRAFA BRZINEξ=f1'(t), η= f2'(t), ζ=f3'(t),- ove jednacine mozemo posmatrati kao parametarski oblik, da bi se dobio analiticki oblik dovoljno je da se iz tih jednacina eliminise parametar t.
13. Sektorska brzina – c) SEKTORSKA BRZINA-Ako je interval vremena Δt mali onda se prirastaj povrsine Δσ za taj interval moze napisati u obliku (1/2)[r→,∆r→]
odnos izmedu prirastaja povrsine koju prebrise radijus vektor r→ i odgovarajuceg
intervala vremena Δt, predstavlja srednju sektorsku brzinu tj. v→σsr=∆σ→=(1/2)[r
→,∆→/∆t.
vσ→
= limΔt→0
Δσ→
Δt=12
[r , v ]⇒2v→
σ=[r , v ] Dvostruka sektorska brzina tacke u odnosu na neki centar,
jednaka je momentu brzine te tacke u odnosu na isti centar.
14. Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena-
Dijeljenje vektora Δv→sa odgovarajucim intervalom vremena Δt dobijemo
vektor asr
→=
Δ v→
Δt kojeg nazivamo vektorom srednjeg ubrzanja tacke za
dati interval vremena. asr
→=d2r
→
dt 2=r
→¿⋅¿
¿- vektor ubrzanja tacke u datom
trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine tacke po vremenu ili drugom izvodu radius vektora tacke po vremenu. Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena lezi u ravni trajektorije i usmjerene je u stranu zakrivljenosti krivolinijske trajektorije.
Osnovna jedinica za ubrzanje je 1m/s2. kod kretanja gdje su ubrzanja velika kao osnovna mjera se uzima 1km/s2.
15. Jedinica za brzinu –m/s16. Jedinica za ubrzanje – m/s2
17. Koordinatni nacin definisanja kretanja tacke-PODNASLOV ZAKON KRETANJA TACKE
18. Metod Dekartovih pravouglih koordinata –
19. Jednacina trajektorije pokretne tacke – x=f 1(t) ,y==f 2(t), z ==f 3(t) (1.10) ,vrijeme t smatra se parametrom onda te jednacine predstavljaju i parametarske jednacine trajektorije pokretne tacke.Eliminacijom parametra t iz ovih jednacina dobijamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom (analitickom ) obliku. Tako npr eliminaciijom parametra t iz jednacina 1.10 dobijamo jedan od sljedecih sistema od po dvije jednacine : ϕ (x,y)=0 ψ(x,z)=0 ; ϕ (x,y)=0 λ(y,z)=0 , ψ (z,x)=0 λ(y,z)=0 ; svaki od ovih sistema po dvije jednacine predstavlja trajektoriju tacke kao presjek dvije cilindricne povrsine.trajektoriju tacke mozemo naci i geometrijski,na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo niz uzastopnih polozaja poketne tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije pa te polozaje spojimo.
20. Odredjivanje brzine tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim koordinatama (str-13) Pretpostavimo da su nam date jednacine kretanja preko pravouglih Dekartovih koordinata.Ako sa i,j,k oznacimo jedinicne vektore duz osa usvojenog sistema tada se radius vektor pokretne tacke M moze napisati u obliku r=x i+ y j+z k ,gdje su x, y, z projekcij radius vektora na
odgovarajuce ose usvojenog sistema.Jedinicni vektori i , j , k su konstanog pravca i smjera jer pretpostavljamo da su ose Ox,Oy,Oz nepomicne.Vektor brzine u datom trenutku vremena dat je
izvodom njenog radius vektora po vremenu to jest : v=d rdt
=dxdt
i+ dydt
j+ dzdt
k.
21. Projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema(str14) --projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema jednake su prvim izvodima odgovarajucih koordinata pokretne tacke po vremenu .poznavanje projekcije vektora brzine na ose Dekartovog sistema moemo naci i intenzitet vektora brzine po formuli :v= | v| =+
√v x2+v y
2+v z2=√ x2+ y2+ z2.
22. Uglovi koje vektor brzine zaklapa sa osama-str-14 - Da bismo odredili pravac vektora v potrebno je naci i uglove koje vektor v gradi s pozitivnim smjerovima koordinatnih
osa .Kosinusi ovih uglova dati su izrazima : cos ∠ ( v , i) = v x
v= x
√ x2+ y2+ z2 , cos ∠ (
v , j) = v y
v= y
√ x2+ y2+ z2 , cos ∠ ( v , k ) =
v z
v= z
√ x2+ y2+ z2 .
23. Odredjivanje ubrzanja tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim kordinatama (str 15)-
Vektor ubrzanja u datom trenutku jednak je izvodu vektora brzine po vremenu tj. asr
→=d v
→
dt=d2r
→
dt2
, kako je radijus vektor dat izrazom to je a→=d2 x
→
dt2i→+d2 y
→
dt 2j→+d2 z
→
dt2k→
gdje su i, j, k –const.
Intenzitet vektora odreden je formulom projekcije brzine: a=√ x2¿⋅¿+ y2
¿⋅¿+ z2
¿⋅¿
¿
¿¿, kosinusi uglova sa pozitivnim smjerovima osa usvojenih sistema su:
cos∠(a→, i→)=
ax
a= x
¿⋅¿
√ x2¿⋅¿+ y2
¿⋅¿+ z2
¿⋅¿
¿
¿¿¿
;
cos∠(a→, j→)=
a y
a= y
¿⋅¿
√ x2¿⋅¿+ y2
¿⋅¿+ z2
¿⋅¿
¿
¿¿¿
cos∠(a→, k→)= isto
24. Pravolinijsko kretanje tacke –(str18) ako za cijelo vrijeme pravolinijkog kretanja intenzitet njegovog vektora ubrzanja ostaje konstantan takvo se kretanje naziva ravnomjerno (jednoliko) promjenjivo pravolinijsko kretanje.Ako se pri tome x i x istog znaka onda je to ravnomjerno ubrzano,a ako su suprotnog znaka ravnomjerno-usporeno pravolinijsko kretanje .
25. Jednacina kretanja tacke u polarnim koordinatama – kada tacka za cijelo vrijeme kretanja ostaje u jednoj ravni vrlo cesto se za odredjivanje polozaja tacke koriste polarne koordinate r i φ,gdje je r rastojanje pokretne tacke od pola O a φ je ugao sto ga obrazuje radius-vektor pokretne tacke OM sa polarnom osom (p) .pri kretanju tacke M njene polarne koordinate r i φ se mjenjaju sa vremenom pa ce jednacine kretanja u ovim sistemima biti date izrazima r=f 1 ( t )φ=f 2(t) .Funkcije f 1 ( t ) i f 2( t) moraju biti jednoznacne,neprekidne i dvaput diferencijabilne.Jednacinu trajektorije tacke u polarnim koordinatama dobijamo eliminacijom parametra t iz gornjih jednacina u obliku r=r(φ ¿.
26. Brzina tacke u datom trenutku u polarnim koordinatama (str 20)
v=vr+ vφ gdje je vr=drdt
r 0 radijalna komponenta vektora
brzine koja je usmjerena u pravcu povecanja radius vektora pokretne tacke i karakterise promjenu tog vektora samo po
intenzitetu a vφ=rdφdt
p0 je transverzalna (cirkularna)
komponenta vektora brzine usmjerena uvijek upravno na radius-vektor pokretne tacke i ima smjer povecanja ugla.Ova komponenta karakterise promjenu radius vektora po pravcu.
Intenzitet vektora brzine dat je sljedecim izrazom : v= √vr2+vφ
2= √( drdt )2
+( dφdt )2
.U specijalnom
slucaju kada se radius vektor mijenja samo po intenzitetu u pitanju je pravolinijsko kretanje i
tada postoji samo radijalna komponenta tj cirkularna je jednaka nuli vφ=rdφdt
=0 pa je vektor
brzine odredjen izrazom v=vr=drdt
r 0 .drugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadrzava
konstantan intenzitet r=const tada je kretanje po kruznici i naziva se kruzno kretanje .u ovom
slucaju radijalna komponenta je jednaka nuli vr=drdt
r 0 ,pa je vektor brzine odredjen izrazom :
v=vr=¿ vφ=dφdt
p0.
Ubrzanje tackeu datomtrenutku u polarnimkoordinatama- Vektor ubrzanja moze se predstaviti u
obliku zbira dvije komponente: radijalne (ar
→) i cirkularne (aϕ
→) koje su date izrazima:
ar
→=[ d2rdt2
−r ( dϕdt )2 ]r0→
, aϕ
→=[ d2ϕdt 2
−2 drdt
dϕdt ] ρ0→
. Intenzitet vektora mozemo napisati u obliku
a=√ar2+aϕ2 .
28. Zakon kretanja tacke u prirodnim koordinatama (str 24) –Prirodni nacin definisanja kretanja tacke primjenjuje se u slucaju kada nam je poznata trajektorija tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije. Ta trajektorija moze biti prava ili prostorna kriva linija.
U tom smislu pretpostavimo da se tacka M krece po prostornoj krivoj u odnosu na izabrani sistem referencije Oxyz.
Pri kretanju racke M po trajektoriji (s) se mijenja u funkciji vremena (t) tj. s=f(t)-jednacina kretanja tacke po datoj trajektoriji.
29. Veza izmedju koordinatnog kretanja tacke za slucaj Dekartovih koordinata (str25) –Slucaj Dekartovoih koordinata-ako je kretanje tacke definisano preko Dekartovih koordinata u obliku x = f 1(t), y = f 2(t), z = f 3(t). Onda je za prelaz na prirodni nacin neophodno odrediti 1) jednacinu
trajektorije tacke ,2) polozaj tacke A (x A, y A , zA,),3) zakon kretanja duz trajektorije . jednacinu trajektorije odredicemo eliminacijom parametra t iz jednacina kretanja,dok koordinate tacke A mozemo odrediti uvrstavajuci u jednacine kretanja t=0 .iz diferencijalne geometrije je poznato
da se element luka trajektorije ds moze napisati u obliku ds = ±√d x2+d y2+d z2 gdje znak plus
oznacava povecanje koordinate a s minus smanjenje. Integriranjem ove jednacine dobijamo
zakon kretanja ∫s0
s
ds=± ∫0
1
√d x2+d y2+d z2 ili s=s0∫0
1
√ x2+ y2+ z2dt gdje su x = f ' 1(t) , y = f ' 2
(t) ,z = f ' 3(t) , prvi izvodi jednacina kretanja po vremenu.Ako bi se tacka kretala duz neke prave u tom slucaju ocigledno je da se koordinatni nacin svodi na prirodan.
30.Brzina tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama – kod vektorskog nacina definisanja kretanja definisali smo srednju brzinu u obliku:
vsr→
=Δr→
Δt , gdje je Δt vrijeme premjestanja. vsr→
=Δr→
ΔsΔsΔt -
predstavlja izraz za srednju brzinu, gdje je Δs duzina luka MM1.
vektor brzine tacke u datom trenutku moze se napisati u obliku v→=Δs→
Δtτ0→
, gdje je s=f(t) zakon kretanja tacke.
31. Ubrzanje tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama -
vektor ubrzanja tacke u datom trenutku je potpuno odreden jednacinom kretanja
s=f(t) i poluprecnikom R a→=dvτdt
τ 0→
+vτ2
Rk
n0→
.
. vidimo da vektor ubrzanja predstavlja zbir dva vektora:
a→
τ=dvτdt
τ 0→
i
an
→=
vτ2
Rk
n0→= v2
Rk
n0→
.
a→
τ=dvτdt
τ 0→=d2 s
dt2τ0→
;an
→=
vτ2
Rk
n0→= v2
Rk
n0=( dsdt )2 n0
→
Rk
→
-sto predstavlja tangencijalno i normalno ubrzanje tacke.
tenzitet vektora ubrzanja dat je izrazom: a=√( dvrdt )
2
+( vτ2
Rk)2
.
Kada je dvdt
>0 kretanje je ubrzano a aτ
→i v→
imaju isti smjer
a kada je dvdt
<0 kretanje je usporeno a aτ
→i v→
imaju suprotan predznak.
32. Ravnomjerno pravolinijsko kretanje tacke – ako je za cijelo vrijeme kretanja tacke
ar=0 i an=0 ,odnosno a= 0 . odakle slijedi da je d vr
dt= d2 sd t 2
= 0 i v2
Rk
=0 odnosno v=|v|= |dsdt
|=
const i Rk=∞. tacka se krece ravnomjerno i pravolinijski.to znaci da je pri ovakvom kretanju vektor brzine tacke konstantan vektor tj. (konstantnog je pravca,smjera i intenziteta).ovo je najjednostavniji slucaj kretanja tacke.
33. Neravnomjerno pravolinijsko kretanje tacke (str -33) – ako je za cijelo vrijeme kretanje tacke
ar≠0 a an=0 odakle slijedi da je v2
Rk
=0 i d vr
dt= d2 sd t 2
≠0.onda je v=|v|= |dsdt
|≠ const a Rk=∞
u tom slucaju tacka se krece neravnomjerno i pravolinijski .u ovom slucaju kretanja vektor ubrzanja a pada u pravac vektora brzine v i ima isti ili suprotan smjer od vektora
v sto zavisi od predznakad vr
dt .intenzitet ubrzanja a jednak je apsolutnoj vrijednosti izvoda
d vr
dt ili
d2 sd t 2
tj a = | a|= |d vr
dt| =|
d2 sd t 2
∨¿.
s obzirom na sve do sada recemo vidimo da tangencijalno ubrzanje karakterise promjenu intenziteta vektora brzine .ako pri ravnomjernom kretanju tacke u nekom trenutku
tangencijalno ubrzanje postaje jednako nuli tj. ar=d vr
dt=0 ocigledno da je u tom trenutku
intenzitet brzine tacke ima minimalnu ili maksimalnu vrijednost.
34. Ravnomjerno krivolinijsko kretanje tacke –ako je za cijelo vrijeme kretanje tacke tangencijalna
komponenta njenog ubrzanja ar=0 a normalna an=0 ,tj. d vr
dt = 0 i
v2
Rk
≠0onda setacka krece
ravnomjerno i krivolinijski.u ovom slucaju vektor ubrzanja za cijelo vrijeme kretanja tacke
usmjeren je u pravcu glavne normale putanje tacke a njegov intenzitet je a=an= v2
Rk
.odavde
vidimo da normalna komponenta ubrzanja tacke karakterise promjenu vektora brzine po
pravcu .zakon ravnomjernog krivolinijskog kretanja tacke tada dobijamo iz : a = d2 sd t 2
=0odakle je
dsdt
=v0 pakonacno imamo s=s0+v0 t . gdje je v0 pocetna brzinaas0 krivolinijskakoordinatatacke u trenutku t=0. Ako je unekom trenutku pri ravnomjernomkrivolinijskom kretanjutacke njeno ubrzanje
jednako nuli tj a = an=¿= v2
Rk
=0 onda to znaci da u tom trenutku pokretna tacka prolazi kroz
prevojnu tacku njene trajektorije (Rk=∞)
35. Ravnomjerno promjenjivo krivolinijsko kretanje tacke –ako je za cijelo vrijeme kretanja
ax=const , aan≠0 , tj . ako jedvdt
= d2 sd t 2
=consti v2
Rk
≠0onda je Rk=0.tada se intenzitet brzine
mjenja po zakonu v=v0+ar t gdje je v0 pocetna brzina tacke .ovakvo kretanje tacke nazivamo ravnomjerno –promjenjivo krivolinijsko kretanje tacke .zakon ovakvog kretanja dat je
jednacinom : s=s0+v0t+ 12
ar t2 gdje je s0 krivolinijska koordinata pokretne tacke u trenutku
t=0 .
36. Odredjivanje brzine tacke u ortogonalnim krivolinijskim koordinatama (str -38) - pri kretanju tacke krivolinijske koordinate se mijenjaju u funkciji vremena .vektor polozaja pokretne tacke
dat je izrazom r=r (t) = r (q1 , q2 , q3¿.Brzina tacke je v=d rdt
= δ rδ q1
q1+δ rδ q2
q2+δ rδ q3
q3.U
slucaju ortogonalnih krivolinijskih kordinata projekcije vektora brzine v na koordinate ose su: vq1=L1q1 , vq2=L2q2 , vq3=L3 q3 . a intenzitet v = √vq12+vq2
2+vq32 =
√L12 q12+L22 q22+L32 q3237. Odredjivanje ubrzanja tacke u ortogonalnim krivolinijskim koordinatama –
Translatorno kretanje tijela i obrtanje tijela oko stalne ose
1. Translatorno kretanje tijela-translatornim kretanjem tijela nazivamo takvo kretanje tijela kod koga proizvoljna prava, kruto vezana za tijelo, ostaje, za cijelo vrijeme kretanja, paralelna svom pocetnom poozaju
2. Permanentno translatorno kretanje – kada se brzine pojedinih tacaka tijela medjusobno jednake u svakom trenutku vremena t,onda takvo kretanje nazivamo permanentnim
translatornim kretanjem . (poluga AB vrsi permanentnu translaciju.Osobine permanentnog kretanja : putanje svih tacaka tijela su konvergentne krive linije,brzina bilo koje tacke tijela ,u svakom trenutku vremena jednaka je brzini ishodista O pokretnog sistena tj. Brzine tacaka tijla medjusobno su jednake u bilo kom trenutku vremena,ubrzanje svih tacaka tijela medjusobno su jednaka u bilo kom trenutku vremena.
3. Trenutno translatorno kretanje tijela -d rdt
=d r0dt
ili vM=V 0 ,kada je jednacina za bilo koje dvije
tacke tijela zadovoljena samo u odredjenom trenutku t =t1 takvo kretanje nazivamo trenutnim
translatornim kretanjem. (poluga vrsi trenutnu translaciju.) 4. Kruzno(obrtno) kretanje tijela –
Ugona brzina i ugaono ubrzanje tijela kod obrtnog kretanja -- Srednja ugaona brzina tijela ωsr=∆φ/∆t a
ugaona brzina tijela je: ω= lim
Δt→0
ΔϕΔt
=dϕdt
=ϕ¿
-jedinica je rad/s ili 1/s ili s-1.
Kada se tijelo obrce suprotno od obrtanja kazaljke na satu, tada ugao φ raste pa je dφ/dt>0 a u suprotnom ugao φ se smanjuje pa je dφ/dt<0, tako da predznak ugaone brzine tijela pokazuje na koju
stranu se tijelo obrce. Srednje ugaono ubrzanje εsr=∆ω/∆t, a ugaono ubrzanje: ε= lim
Δt→0
ΔωΔt
=dωdt -
jedinica je rad/s2 ili 1/s2 ili s-2.
Obrtanje je ubrzano ako ω i ε imaju isti predznak i usporeno kada su im predznaci razliciti.
Brzina i ubrzanje tacke tijela koje vrsi obrtno kretanje -
vτ=Rω-ovu brzinu nazivamo linearnom brzinom.
Intenzitet vektora linearne brzine v→ jednak je: v=R|ω| gdje je |ω|-apsolutna
vrijednost ugaone brzine.Tangencijalno ubrzanje: aτ=
dvτdt
=Rε, a
an=v2
Rk
=R2ω2
Rk
=Rω2
Predstavalj normalno ubrzanje gdje je Rk=R. Intenzitet tangencijalnog ubrzanja je: |aτ|=R|ε| a intenzitet
vektora |an|=Rω2. intenzitet vektora ubrzanja je: a=√an2+aτ2=R√ε2+ω4
Ugao β kojeg gradi vektor a sa radiusom MO1 tg β=
|aτ|an
=|ε|ω2 .
Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela kao vektor
Vektorski nacin odredjivanja brzine i ubrzanja tacke tijela koje vrsi obrtno kretanje -Vektor brzine v→ mozemo napisati u obliku:
v→=[ω→ , r
→] (Ojlerova formula), tj. vektor brzine bilo koje tacke tijela, koje se
obrce oko nepommicne ose jednak je vektorskom proizvodu vektora ugaone
brzine tijela i radijus vektora tacke koja prolazi iz proizvoljno odabrane tacke na osi
obrtanja.v→=d r
→
dt=[ω→ , r
→]. Izraz za ubrzanje: a
→=[ε→ , r→]+ [ω→ , r
→]. Intenzitet
ubrzanja je: a=√aτ2+an
2=R√ε2+ω4