Klasicna algebra vektora - unizg.hrbruckler/vektori2.pdf · tako da !v , !w , !v !w po stuju pravilo desne ruke. Po de niciji, produkt dva kolinearna vektora je nulvektor. aU jedinici

Geometrijski vektori Skalarni produkt Vektorski produkt Mjesoviti produkt Koordinatni pristup vektorima Baza vektorskog prostora Koordinate Ortonormirani (Kartezijevi) koordinatni sustavi Primjene u kristalografiji

Klasicna algebra vektora

Franka Miriam Bruckler

Zagreb, 2011.


Skalari i vektori

Mnoge fizikalne velicine se uz odabir jedinice mogu jednoznacnoopisati brojevima: masa, gustoca, duljina, povrsina, volumen,energija, rad, . . . Takve velicine zovu se skalarnim velicinama.Mozemo reci i da su to one velicine koje se ne mijenjajupromjenom koordinatnog sustava u kojem opisujemo neki objekt.Rijec skalari koristi se kao sinonim za rijec brojevi u konteksturacuna s vektorima. U klasicnoj algebri vektora podrazumijeva seda su skalari realni brojevi. U tom se pak kontekstu vektoridefiniraju kao objekti koji imaju iznos (duljinu), smjer (pravac) iorijentaciju (smjer). Vektorske velicine su one fizikalne velicine zakoje nije dovoljan jedan broj da ih opise, primjerice brzina,ubrzanje, sila, dipolni moment, . . . Pomocu vektora se mogu opisatii razlicita preslikavanja ravnine ili prostora, recimo translacije,rotacije, . . .


Prostori V 3 i V 3(O)

Vektori u prostoru V 3(O) su orijentirane duzine−→OT kojima je

pocetak u istoj tocki O (ishodistu), a T je proizvoljna tockaprostora.U prostoru V 3 se uzima da sve orijentirane duzine koje se mogudobiti translacijom1 jedne odabrane orijentirane duzinepredstavljaju isti vektor −→v ; svaka od tih orijentiranih duzina zovese reprezentantom vektora −→v .Iako bi prema gornjem formalno u V 3 trebalo imati razlicite oznake

za vektor i njegov reprezentant, uobicajeno je pisati −→v =−→AB ako

je−→AB odabrani reprezentant vektora −→v . U V 3(O) svaki vektor

ima samo jedan reprezentant (onaj s pocetkom O), a u V 3 svakivektor ima beskonacno mnogo reprezentanata.

1−−→A′B ′ je translatirana

−→AB ako je ABB ′A′ paralelogram.


Vektorski prostori

Vektorski prostor se ugrubo moze definirati kao skup u kojemuznamo zbrajati elemente i mnoziti ih skalarima (tako da dobivamoelemente istog skupa i da te operacije imaju standardna,

”normalna”, svojstva, a to su upravo ona koja smo istakli). Vektori

se opcenito definiraju kao elementi vektorskih prostora. Kad kaoskalare koristimo iskljucivo realne brojeve, govorimo o realnimvektorskim prostorima.Prostori V 3 i V 3(O) uz opisane operacije zbrajanja (definiranopravilom paralelograma) i mnozenja skalarom su primjeri realnihvektorskih prostora. Njihove elemente cesto nazivamogeometrijskim ili euklidskim vektorima, ili pak popularno

”vektorima-strelicama”. Geometrijski vektori opisani su trima

osobinama: iznosom (duljinom), smjerom i orijentacijom.


Skalarni produkt vektora

Definicija (Skalarni produkt)

Skalarni produkt dva vektora definiran je s

−→v · −→w = v · w · cosϕ,

gdje je ϕ kut kojeg zatvaraju vektori −→v i −→w (biramo manji od dvamoguca kuta).

Uocimo:v = +

√−→v · −→v .

Tako definiran skalarni produkt ima sljedeca cetiri svojstva (za svevektore i skalare koji se u izrazima pojavljuju):

−→v · −→v ≥ 0; −→v · −→v = 0⇔ −→v =−→0 ; −→v · −→w = −→w · −→v ,

−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ; (x−→v ) · −→w = x(−→v · −→w ).


Skalarni produkt vektora

Definicija (Skalarni produkt)

Skalarni produkt dva vektora definiran je s

−→v · −→w = v · w · cosϕ,

gdje je ϕ kut kojeg zatvaraju vektori −→v i −→w (biramo manji od dvamoguca kuta).

Uocimo:v = +

√−→v · −→v .Tako definiran skalarni produkt ima sljedeca cetiri svojstva (za svevektore i skalare koji se u izrazima pojavljuju):

−→v · −→v ≥ 0; −→v · −→v = 0⇔ −→v =−→0 ; −→v · −→w = −→w · −→v ,

−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ; (x−→v ) · −→w = x(−→v · −→w ).


Zadatak

Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova skalarnog produkta?

Zadatak

Moze li skalarni produkt ispasti negativan?

Zadatak

Neka je −→a = 3−→p −−→q i−→b = 2−→p +−→q , p = 2, q = 3 i

^(−→p ,−→q ) = π3 . Izracunajte −→a ·

−→b i ^(−→a ,

−→b ).


Zadatak


Zadatak


Zadatak



−→b i ^(−→a ,

−→b ).


Zadatak


Zadatak


Zadatak



−→b i ^(−→a ,

−→b ).


Skalarni produkt i ortogonalna projekcija jednog vektora nadrugi

Duljina x ortogonalne projekcije vektora −→w na −→v iznosi

x =−→v · −→w

v.

Naime, iz pravokutnog trokuta OBB ′ vidimo da je x = w cosϕ.Mnozenje s v daje xv = vw cosϕ = −→v · −→w .

Preciznije, ortogonalna projekcija vektora −→w na −→v je vektor−→v ·−→wv2−→v .


Skalarni produkt i ortogonalna projekcija jednog vektora nadrugi

Duljina x ortogonalne projekcije vektora −→w na −→v iznosi

x =−→v · −→w

v.

Naime, iz pravokutnog trokuta OBB ′ vidimo da je x = w cosϕ.Mnozenje s v daje xv = vw cosϕ = −→v · −→w .Preciznije, ortogonalna projekcija vektora −→w na −→v je vektor−→v ·−→wv2−→v .


Vektorski produkt vektora

Zadatak

Ako su −→v i −→w dva vektora, sto predstavlja iznos v · w · sinϕ?

Definicija (Vektorski produkt)

Vektorski produkt dva vektora −→v i −→w je vektor−→v ×−→w koji je okomit na oba vektora, iznos od−→v ×−→w jednak je v · w · sinϕ, tj. jednaka je povrsinia

paralelograma razapetog s −→v i −→w , a orijentiran jetako da −→v , −→w , −→v ×−→w postuju pravilo desne ruke.Po definiciji, produkt dva kolinearna vektora jenulvektor.

aU jedinici koja je kvadrat jedinice u kojoj se mjere duljinevektora.


Vektorski produkt vektora

Zadatak

Ako su −→v i −→w dva vektora, sto predstavlja iznos v · w · sinϕ?

Definicija (Vektorski produkt)

Vektorski produkt dva vektora −→v i −→w je vektor−→v ×−→w koji je okomit na oba vektora, iznos od−→v ×−→w jednak je v · w · sinϕ, tj. jednaka je povrsinia

paralelograma razapetog s −→v i −→w , a orijentiran jetako da −→v , −→w , −→v ×−→w postuju pravilo desne ruke.Po definiciji, produkt dva kolinearna vektora jenulvektor.

aU jedinici koja je kvadrat jedinice u kojoj se mjere duljinevektora.


Zadatak

Koji odnos medu dvama vektorima je najlakze prepoznati iz iznosanjihova vektorskog produkta?

Zadatak

Koliko iznosi vektorski produkt nulvektora s nekim drugimvektorom?

Zadatak

Ako je −→w = −4,1−→v , koliko je −→v ×−→w ? A −→w ×−→w ?

Zadatak

Kad su vektori −→v , −→w , −→u = −→v ×−→w komplanarni?

Zadatak

Sto je krivo u formuli −→v ×−→w = v · w · sinϕ?


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Zadatak



Zadatak

Koliko iznosi −→v · (−→v ×−→w )?

Zadatak

Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?

Osim u prethodna dva zadatka otkrivenih (tzv. ortogonalnosti iantikomutativnosti), neka druga korisna svojstva vektorskogprodukta su:

distributivnosti prema zbrajanju:

−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,

(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,

kvaziasocijativnost α(−→v ×−→w ) = (α−→v )×−→w ,

(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,

|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2


Zadatak


Zadatak

Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?



−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,

(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,


(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,

|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2


Zadatak


Zadatak

Je li −→v ×−→w = −→w ×−→v ?



−→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→u ,

(−→v +−→w )×−→u = −→v ×−→u +−→w ×−→u ,


(−→v ×−→w )×−→u = (−→v · −→u )−→w − (−→w · −→u )−→v ,

|−→v ×−→w |2 = |−→v |2 |−→w |2 − (−→v · −→w )2


Mjesoviti produkt triju vektora

Definicija (Mjesoviti produkt)

Mjesoviti produkt triju vektora definiran je s:

(−→u ,−→v ,−→w ) = −→u · (−→v ×−→w ).

Njegovo osnovno svojstvo je tzv. ciklicka invarijantnost:

(−→u ,−→v ,−→w ) = (−→v ,−→w ,−→u ) = (−→w ,−→u ,−→v ).

Broj |(−→u ,−→v ,−→w )| predstavlja volumen paralelepipeda(paralelogramske prizme) razapetog vektorima −→u ,−→v ,−→w .Uocite: |

√−→v · −→v | je duljina duzine odredene vektorom −→v ,|−→v ×−→w | je povrsina paralelograma odredenog vektorima −→v i −→w , a|(−→u ,−→v ,−→w )| je volumen paralelepipeda odredene vektorima −→u , −→v ,−→w .


Primjer

Volumen jedinicne celije je za sve kristalne sustave dan formulom

V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (

−→b ×−→c )|.

Zadatak

Zasto nije tocno: (−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u · −→v )×−→w ?

Zadatak

Koji odnos triju vektora je najlakse uociti iz njihova mjesovitogprodukta?

Zadatak

Iz V = |(−→a ,−→b ,−→c )| izvedite nevektorsku formulu za volumen

jedinicne celije u monoklinskom sustavu (V = abc sinβ).


Primjer


V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (

−→b ×−→c )|.

Zadatak


Zadatak


Zadatak




Primjer


V = |(−→a ,−→b ,−→c )| = |−→a · (

−→b ×−→c )|.

Zadatak


Zadatak


Zadatak




Problem, zapravo njih pet

Recimo da je neki kristal, koji se sastoji od dva tipa iona, gradentako da su ioni prvog tipa na pozicijama (l ,m, n) za cijele brojevel , m i n (i nigdje drugo), a ioni drugog tipa na pozicijama(l + 0,5, m + 0,5, n + 0,5) (i nigdje drugo). Kako izgleda kristalnastruktura? Znamo li kojem kristalnom sustavu kristal pripada?

O kojem vektoru govorimo ako kazemo da on ima koordinate[−2, 1, 0]?

Ako u Kartezijevom koordinatnom sustavu govorimo o vektoru skoordinatama [−1, 1], kako taj vektor

”lezi” u ravnini?

Koje koordinate ima vektor kojemu je pocetak u gornjem lijevomkutu ove predavaonice, a kraj u jugozapadnom gornjem kutuzgrade PMF-KO?

Ima li smisla/potrebe definirati koordinate tocaka u ravniniobzirom na tri koordinatne osi?


































Linearne kombinacije

Definicija (Linearna kombinacija)

Linearna kombinacija jednog ili vise vektora je izraz, tj. vektor, kojije zbroj tih vektora pomnozenih s nekim skalarima.

Primjerice, 2−→a − 4−→b +−→c je jedna linearna kombinacija vektora

−→a ,−→b i −→c , a −→a −−→c je druga.

−→v i −→w su kolinearni ⇔ −→v = x−→w za neki skalar x ;−→u , −→v i −→w su komplanarni ⇔ −→u = x−→v + y−→w za neke skalarex i y .

Kolinearnost i komplanarnost su dakle slucajevi kad se neki vektormoze zapisati kao linearna kombinacija nekih drugih vektora.


Linearne kombinacije

Definicija (Linearna kombinacija)

Linearna kombinacija jednog ili vise vektora je izraz, tj. vektor, kojije zbroj tih vektora pomnozenih s nekim skalarima.

Primjerice, 2−→a − 4−→b +−→c je jedna linearna kombinacija vektora

−→a ,−→b i −→c , a −→a −−→c je druga.

−→v i −→w su kolinearni ⇔ −→v = x−→w za neki skalar x ;−→u , −→v i −→w su komplanarni ⇔ −→u = x−→v + y−→w za neke skalarex i y .

Kolinearnost i komplanarnost su dakle slucajevi kad se neki vektormoze zapisati kao linearna kombinacija nekih drugih vektora.


Linearna (ne)zavisnost

Definicija (Linearna (ne)zavisnost)

Skup vektora {−→v ,−→w , . . .} je linearno nezavisan skupako se (bar) jedan od vektora tog skupa moze zapisati kao linearnakombinacija ostalih vektora. Skup vektora koji nije linearno zavisanzove se linearno nezavisan skup.

Primjer

Skup {−→v , 2−→v , 3−→v , . . . , n−→v } je linearno zavisan za svaki vektor −→vi n > 1.


Zadatak

Moze li skup vektora koji sadrzi nulvektor biti linearno nezavisan?

Zadatak

Uz koji uvjet je jednoclani skup vektora linearno nezavisan?

Zadatak

Postoji li u V 3 odnosno V 3(0) cetveroclani linearno nezavisanskup?

Napomena

Skup vektora je linearno nezavisan ako se nulvektor moze zapisatikao njihova linearna kombinacija na samo jedan (tzv. trivijalan)nacin: tako da svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji budu 0.


Zadatak


Zadatak


Zadatak


Napomena



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Napomena



Zadatak


Zadatak


Zadatak


Napomena



Dimenzija vektorskog prostora

Definicija (Dimenzija)

Najveci broj elemenata koje u danom vektorskom prostoru mozeimati neki linearno nezavisan skup vektora zove se dimenzijaprostora.

Tako pravac mozemo zvati jednodimenzionalnim jer su svaka dvane-nulvektora na pravcu kolinearni, tj. linearno zavisni, ravnina2 jedvodimenzionalna — lako nademo dva nekolinearna vektora, alisvaki treci je s njima komplanaran, a nas uobicajeni prostor jetrodimenzionalan.

2Odgovarajuci vektorski prostori oznacavaju se V 2(O) odnosno V 2.


Baza vektorskog prostora

Definicija (Baza)

Baza prostora je bilo koji linearno nezavisan skup vektora koji imaonoliko elemenata kolika je dimenzija prostora.

Baza je skup s najmanjim mogucim brojem vektora takav da se svivektori mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora baze, i tona jedinstven nacin. Takav zapis zovemo prikaz vektora u bazi.Jedinstvenost tog prikaza je posljedica linearne nezavisnosti baze,dok bi se mogucnost prikaza svakog vektora u bazi trebala (imoze) dokazati.


U ravnini svaka dva nekolinearna vektora −→a i−→b cine bazu: tada

se svaki vektor −→v u ravnini moze zapisati kao

−→v = x−→a + y−→b

s jedinstveno odredenim skalarima x i y .

Primjer

−→v = 2−→a + 12

−→b .

U prostoru svaka tri nekomplanarna vektora −→a ,−→b i −→c cine bazu:

tada se svaki vektor −→v u prostoru moze zapisati kao

−→v = x−→a + y−→b + z−→c

s jedinstveno odredenim skalarima x , y i z .


Koordinatni sustav u prostoru

Koordinate vektora su skalari koji su koeficijenti uz vektore baze u

prikazu vektora u bazi. Ako −→a ,−→b i −→c cine bazu za V 3, onda

vektor −→v = x−→a + y−→b + z−→c koordinatno zapisujemo kao [x , y , z ].

Definicija

Koordinatni sustav u prostoru sastoji se od jedne tocke O kojuzovemo ishodiste koordinatnog sustava te jedne bazeodgovarajuceg vektorskog prostoraa.

aU pravilu se ta baza poistovjecuje s pripadnim radij-vektorima, tj.reprezentantima vektora baze koji pocinju u O

Svaku tocku T prostora jednoznacno mozemo opisati njenim

radij-vektorom−→OT . Ako su njegove koordinate [x , y , z ], onda se

uredena trojka brojeve (x , y , z) zove koordinatama tocke T .






Definicija











Definicija







Primjer

Tocka T na slici s pretproslog slide-a, a obzirom na bazu {−→a ,−→b },

ima koordinate(2, 1

2

). Pripadni radij-vektor

−→OT = −→v mozemo

zapisati s[2, 1

2

].

Primjer

Ako netko govori o vektoru −→v = [2,−1, 3] u prostoru, to nijejednoznacno odredeno bez da kaze obzirom na koju bazu sukoordinate dane. Ako znamo da se radi o koordinatnom zapisu

obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }, onda znamo da je

−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .

Zadatak

Koje koordinate mogu imati vektori baze {−→a ,−→b ,−→c } obzirom na

tu istu bazu?


Primjer


ima koordinate(2, 1

2



zapisati s[2, 1

2

].

Primjer



−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .

Zadatak


tu istu bazu?


Primjer


ima koordinate(2, 1

2



zapisati s[2, 1

2

].

Primjer



−→v = 2−→a −−→b + 3−→c .

Zadatak


tu istu bazu?


Koordinatno zbrajanje i mnozenje skalarom

Uz koordinatni prikaz, lako je opisati zbrajanje vektora i mnozenjevektora skalarom. Ipak, budite oprezni: koordinatne operacije svektorima imaju smisla samo ako smo odabrali i fiksirali bazuprostora. Vektore u koordinatnom prikazu zbrajamo tako dazbrojimo odgovarajuce koordinate, a mnozimo skalarom tako da imsve koordinate pomnozimo tim skalarom:

[x , y , z ] + [x ′, y ′, z ′] = [x + x ′, y + y ′, z + z ′],

α[x , y , z ] = [αx , αy , αz ].

Primjer

Ako su −→v = [1, 2, 0] i −→w = [−5, 1, 1] (oba vektora imaju

koordinate obzirom na istu bazu {−→a ,−→b ,−→c }), onda je

−→v − 2−→w = [1, 2, 0]− 2[−5, 1, 1] = [1, 2, 0] + [10,−2,−2] =[11, 0,−2](= 11−→a − 2−→c ).


Zadatak

Ako su dva vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu,kako cemo po koordinatama prepoznati da su kolinearni?

Zadatak

Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), azavrsava u tocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.

Zadatak

Zadani su linearno nezavisni vektori −→a = [2,−1, 3],−→b = [1,−3, 2]

i −→c = [−3, 2,−4]. Napisite vektor −→x = [2,−7, 4] kao linearnu

kombinaciju vektora −→a ,−→b i −→c .

Zadatak

Zapisite opci oblik linearne kombinacije vektora [1,−2, 0], [0, 3, 0] i[−2, 0, 1]. Jesu li ta tri vektora linearno zavisna?


Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak



Provjera linearne nezavisnosti (nekomplanarnosti)

Mozete li temeljem prethodnog zadatka opisati kako biste opcenitoza tri vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu provjerilijesu li komplanarni (primjerice zato da provjerite cine li bazuprostora)?

Vektori −→a = [a1, a2, a3],−→b = [b1, b2, b3] i −→c = [c1, c2, c3] su

nekomplanarni tocno ako homogeni sustav linearnih jednadzbi

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0

a3x + b3y + c3z = 0

ima jedinstveno rjesenje (x , y , z) = (0, 0, 0).


Provjera linearne nezavisnosti (nekomplanarnosti)

Mozete li temeljem prethodnog zadatka opisati kako biste opcenitoza tri vektora zadana koordinatama obzirom na istu bazu provjerilijesu li komplanarni (primjerice zato da provjerite cine li bazuprostora)?

Vektori −→a = [a1, a2, a3],−→b = [b1, b2, b3] i −→c = [c1, c2, c3] su

nekomplanarni tocno ako homogeni sustav linearnih jednadzbi

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0

a3x + b3y + c3z = 0

ima jedinstveno rjesenje (x , y , z) = (0, 0, 0).


Promjena koordinatnog sustava

Primjer

Neka −→v ima koordinate [10, 5, 0] obzirom na bazu {−→a ,−→b ,−→c }.

Odredimo njegove koordinate obzirom na bazu {−→a ′,−→b ′,−→c ′}, gdje

je −→a ′ = [1,−1, 1],−→b ′ = [0, 1, 2], −→c ′ = [3, 0,−1].

Cilj nam je odrediti brojeve x ′, y ′ i z ′ tako da je

−→v = x ′−→a ′ + y ′−→b ′ + z ′−→c ′.

Vektore −→a ′,−→b ′ i −→c ′ temeljem njihovih koordinata znamo prikazati

u bazi {−→a ,−→b ,−→c }, a isto znamo uciniti i s −→v .


To je ekvivalentno s

[10, 5, 0] = x ′[1,−1, 1] + y ′[0, 1, 2] + z ′[3, 0,−1],

odnosno rjesavanjem sustava

x ′ + 3z ′ = 10,

−x ′ + y ′ = 5,

x ′ + 2y ′ − z ′ = 0.

Odgovarajuce rjesenje je x ′ = −2, y ′ = 3, z ′ = 4.


Recimo da neki vektor −→r ima koordinate [x , y , z ] obzirom na jednu

bazu {−→a ,−→b ,−→c }, a zelimo odrediti njegove koordinate u nekoj

drugoj bazi {−→a ′,−→b ′,−→c ′}, gdje su poznate koordinate vektora nove

baze obzirom na staru: −→a ′ = [x1, y1, z1],−→b ′ = [x2, y2, z2],

−→c ′ = [x3, y3, z3]. Oznacimo trazene koordinate vektora −→r u novojbazi s [x ′, y ′, z ′]. Tada mora vrijediti

[x , y , z ] = x ′[x1, y1, z1] + y ′[x2, y2, z2] + z ′[x3, y3, z3],

odnosno nove koordinate se dobiju kao rjesenje sustava

x1x ′ + x2y ′ + x3z ′ = x ,

y1x ′ + y2y ′ + y3z ′ = y ,

z1x ′ + z2y ′ + z3z ′ = z .


Ortogonalnost i ortonormirane baze

Dva vektora su medusobno ortogonalni ako im je skalarni produktnula:

−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.

Svaki skup vektora u kojem su svaka dva vektora medusobnoortogonalna je linearno nezavisan. Baza je ortonormirana baza akosu svi vektori u njoj jedinicni (ergo iste duljine) i medusobno

ortogonalni. Ortonormirana baza {−→a ,−→b ,−→c } zove se desna ako je

−→c = −→a ×−→b . Standardna desna ortonormirana baza u prostoru

oznacava se s {−→i ,−→j ,−→k }.

Zadatak

Ako su dva vektora dani koordinatno s −→v = [x , y , z ] i−→w = [x ′, y ′, z ′] obzirom na ortonorminanu bazu, izrazite njihovskalarni produkt preko koordinata. Kako formula glasi za opcubazu?




−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.





Zadatak





−→v ⊥ −→w ⇔ −→v · −→w = 0.





Zadatak



Koordinatni prikazi produkata vektora

Ako su dane koordinate vektora obzirom na ortonormiranu bazu−→v = [x , y , z ], −→w = [x ′, y ′, z ′], −→u = [x ′′, y ′′, z ′′], onda je

−→v · −→w = xx ′ + yy ′ + zz ′,

−→v ×−→w = [yz ′ − y ′z , x ′z − xz ′, xy ′ − x ′y ] =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

x y zx ′ y ′ z ′

∣∣∣∣∣∣ ,(−→v ,−→w ,−→u ) =

∣∣∣∣∣∣x y zx ′ y ′ z ′

x ′′ y ′′ z ′′

∣∣∣∣∣∣ .Sve tri formule vrijede samo ako je referentna bazaortonormirana!!!


U slucaju koordinatizacije pomocu ortonormirane baze za specijalnislucaj −→v · −→v = [x , y , z ] · [x , y , z ] = x2 + y 2 + z2 iz v =

√−→v · −→vdobivamo formulu za iznos vektora

v =√

x2 + y 2 + z2.

I ona vrijedi samo ako je referentna baza ortonormirana. Kakoformula glasi za opcu bazu?Jedna od vaznih primjena skalarnog produkta je odredivanjekutova. Naime, cesto znamo koordinatne zapise vektora obziromna ortonormiranu bazu pa im je lako izracunati skalarni produkt.Kut ϕ medu tim vektorima onda dobijemo iz

cosϕ =−→v · −→wv · w

.


Zadatak

Uz pretpostavku da je odabrana baza ortonormirana, odrediteudaljenost tocaka A = (5,−2, 3) i B = (0,−1, 8).

Zadatak

Neka je −→v = [6,−3, 2], gdje su koordinate dane obzirom naortonormiranu bazu. Odredite koordinate jedinicnih vektora iste isuprotne orijentacije od −→v .

Zadatak

Ako su −→a = [1, 2,−4],−→b = [10, 1, 3] i −→c = [−3,−6, 24] vektori,

provjerite koji od njih su kolinearni ili okomiti te jesu li ti vektorikomplanarni. Cine li ti vektori bazu prostora? Baza obzirom nakoju su odabrane koordinate je ortonormirana.


Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak


Zadatak


Zadatak




Zadatak

Zadani su vektori −→a = [2,−1, 3] i−→b = [1,−2, 4] (koordinate su

dane obzirom na neku ortonormiranu bazu). Izracunajte povrsinu

paralelograma razapetog vektorima −→a i−→b .

Zadatak

Odredite kut izmedu vektora −→v = [1,−2, 0] i −→w = [0,−1, 5] akosu koordinate dane obzirom na (desnu) ortogonalnu bazu

{−→a ,−→b ,−→c } za koju je a = 10, b = 5 i c = 7.

Zadatak

Izracunajte vektorski produkt vektora iz prethodnog zadatka.

Zadatak

Koliki je volumen prizme odredene vektorima −→v , −→w i −→v ×−→w izprethodna dva zadatka?


Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak



Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak



Zadatak




Zadatak



Zadatak


Zadatak



Kristalografska baza

U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi uprostoru. Karakteristika kristalnih struktura je njihova periodicnostkoja se ocituje u tome da je moguce odabrati cetverostranu prizmu(jedinicnu celiju) cijim translacijama u smjerovima njenih bridovadobivamo citav kristal. Nesto preciznije, neka je jedinicna celija

cetverostrana prizma razapeta vektorima {−→a ,−→b ,−→c } (te vektore

zovemo kristalografskom bazom). Odaberimo ih tako da imajuzajednicki pocetak kojeg cemo uzeti kao ishodiste koordinatnogsustava. Duljine tih vektora (parametre kristalne resetke) a, b i cuzimamo kao jedinice duljine na koordinatnim osima. Odgovarajucikoordinatni sustav zove se kristalografski koordinatni sustav, sosima koje zovemo a-os, b-os i c-os. Tocke jedinicne celije u tomsustavu imaju koordinate unutar intervala [0, 1〉. Kutevi medu

vektorima baze oznacavaju se s α = ∠(−→b ,−→c ), β = ∠(−→a ,−→c ),

γ = ∠(−→a ,−→b ).


Primjer

Pomocu skalarnog produkta se moze odrediti udaljenost atoma ilikut medu vezama atoma ako su poznati njihovi polozaji(radij-vektori) u kristalnoj resetki. Primjerice, za kristale kubicnogsustava kristalografsku bazu mozemo smatrati ortonormiranom(duljinu a proglasimo jedinicnom). Ako su nam u jedinicnoj celijidva atoma na pozicijama A =

(12 , 0,

13

)i B =

(13 ,

12 , 0), udaljenost

ta dva atoma iznosi

d(A,B) = |−→OB−

−→OA| =

∣∣∣∣[1

3,

1

2, 0

]−[

1

2, 0,

1

3

]∣∣∣∣ =

∣∣∣∣[−1

6,

1

2,−1

3

]∣∣∣∣ =

=

√1

36+

1

4+

1

9=

√14

36=

√14

6.

Ukoliko je duljina brida jedinicne celije recimo a = 320,3 pm, kakosmo a koristili kao jedinicu duljine, slijedi da je stvarna udaljenost

izmedu atoma jednaka√

146 · 320,3 pm = 199,7 pm.


Primjer

Ako bi se u jedinicnoj celiji iz prethodnog primjera nalazio jos jedanatom na polozaju C =

(15 ,

15 ,

15

)te ako su atomi vezani tako da je

C vezan s A i B, ali A i B medusobno nisu, kut veze ϕ = ∠ACB jedan s

cosϕ =

−→CA ·

−→CB

|−→CA| |

−→CB|

=

[3

10 ,−15 ,

215

]·[

215 ,

310 ,−

15

]∣∣[ 310 ,−

15 ,

215

]∣∣ ∣∣[ 215 ,

310 ,−

15

]∣∣ =

=3

10 ·2

15 −15 ·

310 + 2

15 ·(−1

5

)√9

100 + 125 + 4

225 ·√

4225 + 9

100 + 125

=− 7

150133900

= −0,3158

te je ϕ = 71◦35′.


Primjer

Zamislimo u prethodnom primjeru da se radilo o kristalu izrompskog sustava, primjerice s parametrima jedinicne celijea = 0,82 nm, b = 0,94 nm i c = 0,75 nm. I dalje bi vrijedilo

d(A,B) = |−→OB −

−→OA| =

∣∣[−16 ,

12 ,−

13

]∣∣, no sad se koordinateodnose na vektore nejednake duljine. Zamijenimo kristalografsku

bazu ortonormiranom bazom {−→i ,−→j ,−→k } u kojoj su svi vektori

duljine 1 nm, a istog smjera i orijentacije (redom) kao vektori

kristalografske baze {−→a ,−→b ,−→c }. Tada je

−→AB = −1

6−→a +

1

2

−→b − 1

3−→c = −0,82

6

−→i +

0,94

2

−→j − 0,75

3

−→k .

Sad smijemo primijeniti uobicajenu formulu za duljinu vektoraopisanog koordinatama u ortonormiranoj bazi i dobivamo

d(A,B) =√

0,822

36 + 0,942

4 + 0,752

9 = 0,55 nm. Provjerite da je u

ovom slucaju ϕ = ∠ACB = 97◦59′.

Documents

Klasicna algebra vektora - unizg.hrbruckler/vektori2.pdf · tako da !v , !w , !v !w po stuju pravilo desne ruke. Po de niciji, produkt dva kolinearna vektora je nulvektor. aU jedinici