Embed Size (px)
DESCRIPTION
Klotoit hakkında bilgi
Citation preview
41
K
0 doğru doğru R yarıçaplı
daire
Eğrilik
Yay Uzunluğu
Li
1/R
B C Li
K
0 A D
Daire Geçiş Eğrisi Geçiş Eğrisi 1/R
BÖLÜM 4 4. BİRLEŞTİRME EĞRİLERİ Bir yolun aliyman kısmında eğrilik 1/R=0 dır. Aliymandan R yarıçaplı daireye geçildiği zaman eğrilik 1/R değerini alır ve eğriliğin kurb boyunca bu değeri sabit kalır. Kurp çıkışında aliymana girildiğinde eğrilik yine sıfır olur. Böylece kurba giriş ve çıkışta bir kesinlik meydana gelir.
Şekil 50. Doğru ve daire yayında Şekil 51.Doğru, klotoid ve daire yayında eğrilik fonksiyonu eğrilik fonksiyonu
Araçların süratli kullanıldığı otobanlarda bu durum sakıncalıdır. Çünkü araç aliymanda hiçbir yan kuvvetin etkisinde olmamasına karşın, kurba girdiğinde RmvP /)( 2= merkezkaç kuvvetin etkisinde kalır. Burada m aracın kütlesi, v aracın hızı ve R kurbun yarıçapıdır. Kurplarda merkezkaç kuvvetinin etkisini azaltmak için ya v hızı azaltılır ya da R yarıçapı büyütülür. Bu da yolun hız esprisine terstir. Merkezkaç kuvvetini etkisiz duruma getirmek için yola enine eğim “Dever” verilir. Bu eğim birden bire verilmez. Yolun belli bir kısmından başlayarak yavaş yavaş artırılır. Aliymanda sıfır olan eğrilikten, 1/R değerine ulaşma ve istenilen dever değerine varmak için aliymanla R yarıçaplı kurp arasına, eğriliği yavaş yavaş artan bir eğri yerleştirilir. Bu eğriye “Birleştirme Eğrisi” denir. Birleştirme eğrisine geçiş kurbu veya rakortman kurbu da denilmektedir. R yarıçaplı kurp ile geçiş kurbu birleştirme noktasında aynı doğruya teğettirler. Geçiş eğrisi olarak;
• Klotoid • Lemniskat • Kubik spiral ve benzerleri • Sinüsoid kullanılmaktadır.
4.1 KLOTOİD Geçiş eğrisi olarak en çok kullanılan bir eğridir. Denklemi 2. ARL = olup, L geçiş eğrisi uzunluğu ile R kurb yarıçapının çarpımı bir A sayısının karesine eşittir. A’ ya kurbun parametresi denilmektedir. A=1 olarak alınırsa bu klotoide birim klotoid denir. Uygulamada klotoid cetvelleri kullanılmaktadır. Bu cetvellerden bazıları birim klotoide göre hazırlanır ve esas klotoide geçmek için uzunluklar A ile çarpılır. Açılar aynı kalır. Ayrıca geçiş eğrisinin herhangi bir noktasına kadar olan uzunluğunun o noktadaki eğrilik yarıçapının çarpımı parametrenin karesine eşittir. Örneğin geçiş eğrisinin herhangi bir noktadaki yarıçapı ρi, o noktaya kadar olan uzunluk Li ise klotoidin denklemi,
2. AL i =ρ (1) şeklinde ifade edilir.
42
Kb
y
Ks
R RCosτ
RSinτ
σ ∆R
L S
Tk
τ
τ
Ym
Y
x Xm
Tu S
0 5
A=6
A=8
A=10
Şekil 52. Klotoidin Elemanları Şekil 53. Klotoidin parametrelerinin değişmesi Bir klotoidin elemanları şunlardır: A :Parametre M :Dairenin merkezi R :Klotoid ile kurbun, ortak noktası Ks deki eğrilik yarıçapı Kb :Klotoidin başlangıcı (Aliyman sonu) Ks :Klotoidin sonu (Kurbun başlangıcı) L :Klotoidin boyu ∆R :Rakordman payı Xm,Ym :Daire merkezinin koordinatları X,Y :Ks’nin dik koordinatları Tk :Kısa teğet Tu :Uzun teğet σ, S :Ks’nin ışınsal koordinatları τ :Ks noktasındaki teğetin açısı Klotoidin elemanları aşağıdaki eşitliklerden hesaplanabilir,
R.LA2 = R ve L proje mühendisi tarafından takdir edilir.
....A42240
LA336
LA6LY ,
A3456L
A40L-LX 10
11
6
7
2
3
8
9
4
5−−=+=
. R2L
ρ=τ
τ−=τ+=
RSinXX RCosYY
M
M
τ=τ−−=−=∆
Sin/YT)Cos1(RYRYR
k
M (2)
XYArctg
YXS
YCotXT22
u
=σ
+=
τ−=
43
Örnek: A=600, R=400 olarak verilmektedir. Klotoidin asal elemanlarını hesaplayınız.
6.80861.431
689.480
218.30842240
L336
L6LY
m 792.768 345640
L-LX
radyan 1.125 6197.71.2
900/
10
11
6
7
2
3
8
9
4
5
2
=−=∆=−==+=
=−−=
=+=
===
==
RYRRSinXXRCosYY
mAAA
AL
A
RL
mRAL
M
M
M
g
ττ
τρτ
6060.23576.850
476.645604.341/
g
U
K
SYCotXTSinYT
=
==−=
==
σ
ττ
Görüldüğü gibi klotoidin elemanlarının hesabı zaman alıcıdır. Bu nedenle klotoid cetvelleri hazırlanmıştır. Cetveller genellikle birim klotoide göre hazırlanır. Bu cetveller hazırlanırken; X=Ax, L=Al Y=Ay, R=Ar alınır. Açılar aynı kalmaktadır. Yukarıdaki örneğe göre birim klotoid için hazırlanan cetvellerle geçiş kurbu üzerinde 100 m aralıklarla alınan noktaların koordinatlarının hesabı aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 54.
L 1 2 3 4 5 6 7 8
I=L/A 0.166 - - - 0.833 - 1.166
x=Klotoid 0.1666635 - - - 0.8233423 - 1.1137781
Y=cet.de 0.0007716 - - - 0.0956232 - 0.2560330
X=Ax 99.998 199.938 299.532 398.029 494.005 585.173 668.268 739.060
Y=Ay 0.463 3.707 12.486 29.525 57.374 98.228 153.620 223.991
Örneğin, 1 noktasının koordinatları X=600 * 0.1666635=99.998 m , Y=600 * 0.0007716=0.463 m
KB
TK
44
şeklinde hesaplanır. Geçiş kurbu üzerindeki 2,3,….,8 noktalarının koordinatları da benzer şekilde hesaplanır. X, Y’ler bulunduktan sonra koordinatlara göre aplikasyon işlemi yapılabilir. Bir klotoidin tayini genellikle grafik olarak yapılmaktadır. Bunun için planda çizilen güzergah üzerine çeşitli ölçek ve A parametre değerlerine göre hazırlanmış klotoid şablonları oturtulur. Klotoidin çeşitli noktalarında, o noktadaki eğrilik yarıçapları yazılıdır. Ayrıca aynı şablon üzerinde uygun gelen klotoidin parametresi parametre olarak, klotoidin biteceği yere rastlayan noktadaki yarıçap ise kurp yarıçapı olarak alınır.
Şekil 55. Klotoid şablonu
Klotoidin hesapla tayininde klotoidin bağlanacağı kurbun yarıçapına ve geçiş eğrisinin uzunluğuna göre yukarıdaki hesap işlemleri uygulanır. Klotoidle ilgili eşitlikler aşağıdaki şekilde elde edilmektedir.
Şekil 56. Bir klotoid şekli ve eğriliği
SabitLRrBLBRr
==→= :1:1
veya klotoidin parametresi A ile tanımlanırsa,
2. ALi =ρ yazılabilir. Bir dairenin R yarıçapı gibi bir klotoidin de A parametresi en önemli elemanıdır. A=a=1 alınırsa buna birim klotoid denir.
Şekil 57. Bir klotoidin şekli
R
A
LBx
r YE
B L1/r 1/R
E
Y M
t TuXE
XK x
E
F
τE R
S N
σ P ∆R TK
X τE
45
y
dy dx
db
x O
dt
r
τ
τ
Eğrilik, Yay Uzunluğu, Koordinatlar Herhangi bir noktada klotoidin eğriliği
BARL
Br 2
11==
B=L için
LAR 2
11=
şeklindedir. τ klotoidin teğet açısıdır. Şekilden dB=r.d τ yazılabilir. Buradan,
RLB
r=
1
Şekil 58. Klotoid parçası B.dB=R.L.d τ İntegral alınarak
τLRB .2
2
=
yazılır. Herhangi bir noktaya kadar yay uzunluğu
τRLB 2±= olur. Eğrilik,
ττ 2122212 AAr
RLr
RLRL
r====
herhangi bir noktadaki yarıçap
46
τ2RLr =
dur. Diğer taraftan
ττττττ
drSindBSindYdrCosdBCosdX
====
integral alınırsa;
∫∫ ==ττ
ττττ00
d , d rSinYrCosX
r yerine değeri konulursa
∫∫ ==ττ
ττττ
ττ
00
d 2
Y , d 2
SinRLCosRLX
...................!4!2
1
...................!5!342
53
+−+−=
+−+−=
τττ
ττττ
Cos
Sin
Klotoidin herhangi bir noktasının koordinatları
+−=
+−=
+−=
+−=
132042313204232
216101
2161012
5353
4242
τττττττ
τττττ
i
i
LRLY
LRLX (3)
elde edilir.
+≅ 22
42
201
2 LRX
RLXτ alınarak
−+= 33
6
22
43
3364031
6 LRX
LRX
RLXY
veya
−+= 6
6
4
4
2
3
3364031
6 AX
AX
AXY
yazılabilir. Eğri üzerinde herhangi bir noktada rB=RL
dir. Bir eğrinin denklemi B= f (τ) şeklinde ise bu eğri herhangi bir noktadaki eğrilik yarıçapı τddBr =
şeklindedir. Klotoidde,
47
RLddBB =τ
olur. Bunun integrali alındığında,
sabitRLB+= τ
2
2
bulunur. B sıfır olduğunda τ=0 olur ve integrasyon sabiti sıfırdır. Eğri denklemi
τ2RLB = eğrinin son noktası için
τRAL = yazılabilir. Bu bağıntı ve LR=A2 bağıntısı dikkate alınarak R, L, A, τ arasında
2
2
2
2
2
2
222
22
22
RA
AL
RL
ARRAL
ALLAR
===
===
===
τ
ττ
ττ
(4)
dir. Ayrıca
ττ
22
2 RLRLA ===
bağıntısı yazılabilir. Y ve X eşitliklerinde 2
2
2AL
=τ yerine konulursa önce verilen (0) eşitliklerindeki
klotoidin herhangi bir noktasının koordinatları
8
9
4
5
345640 AL
ALLX +−= (5)
10
11
6
7
2
3
422403366 AL
AL
ALY +−= (6)
eşitlikleri elde edilir. Ancak bu eşitliklerden hesaplama zaman alıcıdır. Bu nedenle (3) eşitlikleri yeğlenmektedir.
48
Teğet Açısı, Teğet, Rakordman Payı
Şekil 59. Klotoid
r = R alınarak ττττ 2122212 AARLRL
RLr
==== eşitliğinde yerine konulursa;
2
221ARLRττ
==
yazılabilir. Teğet açısı için;
2
2
2
2
422 RA
AL
RL
===τ (7)
ve buradan,
τRL 2=
τ2LR =
yazılır. Şekil 59’ dan ∆R rakordman payı,
( )EE CosRYR τ−−=∆ 1 (8)
49
RLYE 6
2
≅ ve 2
2
81
RLCos E ≈− τ ( Eτ nin küçük değerleri için)
)(,2486
222
RLRL
RL
RLR <=−=∆ (9)
Daire merkezinin koordinatları,
RRYM ∆+= ; EEM SinRXX τ−= (10) elde edilir. Klotoidin diğer elemanları
Kısa teğet : E
EK Sin
YT
τ= (11)
Uzun teğet: EEEU CotYXT τ−= (12)
Normal: EkE
E TanTCosY
N ττ
== (13)
EEEkU TanYXNTTT τ+=++= 22 (14) eşitlikleri ile elde edilmektedir. Bu eşitliklerde T, klotoidin başlangıç F noktasına olan uzunluktur (Şekil 59). Simetrik Geçiş Eğrisi Klotoid Elemanlarının Hesabı Daire yayının her iki tarafında klotoid uzunlukları eşitse buna simetrik geçiş eğrisi denilmektedir. Aşağıda simetrik geçiş eğrisine ait bir örnek verilmektedir.
Şekil 60. Simetrik geçiş eğrisi
50
Örnek: A= 150 m, R = 350 m, γ = 60 0 (66,6667 grad) olarak verildiğine göre, klotoidin elemanlarını hesaplayınız. Çözüm:
mRAL 286.64
2
==
radyanRL 09184.0
2==τ
grad847.5200==
πττ
mRLR 492.0
24
2
=≅∆
mAX 232.6421610
1242
=
+−=τττ
mAY 967.11320423
253
=
+−=
ττττ
( ) mCosRYR EE 492.01 =−−=∆ τ
492.350;134.32 ==−= MEEM YmSinRXX τ
mSinYT
E
EK 446.21==
τ
mTanYYXT
E
EEEU 876.42=−=
τ
mTanRRXT M 490.2342
)( =∆++=γ
( ) mRb grad 233.302200
2 =−=πτγ
Simetrik Olmayan Bir Geçiş Eğrisi İçin Eleman Hesabı Daire yayının iki tarafındaki geçiş eğriliği farklı uzunluklarda ise bu tür eğrilere simetrik olmayan geçiş eğrileri denilmektedir. Aşağıda simetrik olmayan geçiş eğrisine ait bir örnek verilmektedir.
51
Şekil 61. Simetrik olmayan geçiş eğrisi
Örnek : T1 = 87.25 m γ = 32.20 grad A1=120 m R = 200 m A2= ? Çözüm : • A = 120 alınarak aşağıdaki değerler bulunur. L1=72.00 m τ1=0,1800 rad, τ1= 11.459 grad ∆R1=1.079 m X1=71.767 m Y1=4.310 m XM1=35.961 m TK1=24.075 m TU1=48.081 m
52
• 2.Teğet üzerine M noktasının koordinatları:
( ) ( ) mCosRRSinXTRR M 752.2001112 =∆++−=∆+ γγ
( ) mCosXTSinRRXT MM 120.52)( 11122 =−−∆+=− γγ • =∆ 2R 0.7522 alınarak,
( ) mRRRL 117.60624 222 =∆∆+≅
mRLA 651.10922 ==
gradrad 561.91503.02 ==τ X2 = 59.981 m Y2 = 3.007 m XM2 = 30.036 m TK2 = 20.068 m TU2 = 40.096 m T2 = 82.593 m
18.11)( 21g=+− ττγ
b = 35.101 m Toplam uzunluk 167.218 m Klotoid Hesabına Ait Bir Sayısal Örnek Verilenler Teğet (X ekseni) P1, P2, M noktasının koordinatları ve R Koşul: YM > R (�R > 0)
NN Y(m) X(m) 1 62488.65 99244.63 2 62913.55 98962.80 M 62580.36 98246.33
R = 780 m İstenenler: L, A, τ, XE, YE, TK, TU, T
53
Şekil 62. Klotoid Çözüm
2842.13721
gt = mS 871.50921 =
1680.1941gMt = mS M 504.10021 =
7117.272gMt = mS M 155.7902 =
mttCosSp MM 235.628)( 2
111 =−=
mttCosSq MM 364.118)( 2212 −=−= (Dik ayağı dışta kalıyor)
Kontrol
21Sqp =−
( ) ( ) mqSpSY MM
M 239.78122222
1 =−=−=
mRYR M 239.1=−=∆
mRRL 313.15224 =∆=
mRLA 680.344==
2157.6097637.02
g
RL
===τ
mLX E 168.15221610
142
=
+−=ττ
54
mRSinXX EEM 132.76=−= τ
mA
XAX
AX
Y EEEE 957.4
336403
16 6
6
4
4
2
3
=
−+=
mSinYT
E
EK 850.50==
τ
mTanYYXT
E
EEEU 560.101=−=
τ
mTanRRXT M 654.1522
)( =∆++=γ
mCosYN
E
E 981.4==τ
Geçiş eğrisinin başlangıcı mXpO M 102.552=−= P2’ ye göre X değeri,
mSXpO M 231.4221 =−−= ; mOXE E 400.194=+=
mqM 364.118=−= ; mOTPN 885.194=+=
Kesin A, Rmin ve Yaklaşık Olarak Verilen A Parametre Değerleriyle Simetrik Olmayan Tepe Klotoidi
Şekil 63.
55
Verilenler Rmin, A1, ≈A2, γ İstenen Her iki parça için klotoidin elemanları, teğet uzunlukları T1 ve T2
Çözüm A1 ve Rmin değerleri yardımıyla ilk klotoid parçasının elemanlarının bulunması, τ1 değerinin hesaplanmasıyla, tepe klotoidine teğet açılarının toplamı teğet kesim açısına eşittir, böylece
21 ττγ += ya da 22 τγτ −= Klotoidin ikinci parçası için bulunan 2τ açısı alınarak, Rmin değerleriyle L, A değerleri hesaplanır. Teğet uzunlukları,
( ) ( )γτ−
=+ 200
2
21
1
SinSin
TTZ
KK
( ) ( )γτ−
=+ 200
1
21
2
SinSin
TTZ
KK
γγ SinSin =− )200(
( )
γτSin
TTSinZ KK 2121
+=
( )γ
τSin
TTSinZ KK 2112
+=
111 ZTT L +=
( )γ
τSin
TTSinTT KKL
21211
++=
( )γ
τSin
TTSinTT KKL
21122
++=
elde edilir. Örnek: Verilenler γ = 19.7205 grad A1 = 75 m A2 ≈ 90 m Rmin = 150 m İstenen Her iki klotoid parçası elemanları, teğet uzunlukları, T1 ve T2
Çözüm A1 = 75 m Rmin = 150 m
56
Birinci klotoid parçası için hesaplanan değerler
mL 5.371 = mX 44.371 = 52.121 =KT
mR 39.01 =∆ mY 56.11 = 02.251 =LT
mXM 74.181 = )(9578.71 gongrad=τ
2τ açısının hesaplanması
12 ττ −= r
gon7627.119978.77205.192 =−=τ
2τ açısı yardımıyla Rmin = 150 m alınarak ikinci klotoid parçası için asal elemanlar:
mLRL 43.552 2
22 =⇒= ρτ mR 85.02 =∆
mA 18.912 = mXM 68.272 = mTK 54.182 =
X2 = 55.24 02.372 =LT Y2 = 3.41 gon7627.112 =τ T1 ve T2 uzunluklarının hesaplanması
( )γ
τSin
TTSinTT KKL
21211
++=
( )
7205.1954.1852.127627.1102.251 Sin
SinT ++=
mT 74.431 =
( )
γτSin
TTSinTT KKL
21122
++=
( )
7205.1954.1852.129578.702.372 Sin
SinT ++=
mT 72.492 =
57
A1, A2 Ve R Değerleriyle Simetrik Olmayan Geçiş Eğrisi Verilenler A1, A2 ve R İstenenler T1 ve T2 teğet uzunlukları, daire yayının b yay uzunluğu Çözüm Her iki klotoid parçası için asal elemanlar hesaplanır (Şekil 64). Böylece,
2)( 11
γTanRRt ∆+=
2)( 22
γTanRRt ∆+=
dtXT m ++= 111
dtXT m −+= 222
Bu toplamada işaretlere dikkat edilmeli, çünkü d ’nin değeri negatif olarak elde edilebilmektedir. Daire yay parçasının merkez açısı;
)( 21 ττγα +−= Yay uzunluğu
200παRb = elde edilir (Şekil 64).
Şekil 64.
58
Örnek: Verilenler A1 = 150 m A2 = 90 m R = 200 m γ = 30.1800 gon İstenenler T1, T2, b ve tüm klotoid elemanları Çözüm
mA 1501 = mA 902 =
mL 50.1121 = mL 50.402 =
mR 63.21 =∆ mR 34.02 =∆
mXm 10.561 = mXm 24.202 =
mX 61.1111 = mX 46.402 =
mY 49.101 = mY 37.12 =
mTK 78.371 = mTK 51.132 =
mTU 31.751 = mTU 02.272 =
gon9049.171 =τ gon4458.62 =τ
2)( 11
γTanRRt ∆+= mt 95.481 =
2)( 22
γTanRRt ∆+= mt 40.482 =
dtXT m ++= 111
1T =100.03 m
dtXT m −+= 222
2T =73.66 m
)( 21 ττγα +−= = 5.8293
200παRb = = 18.31 m
59
Şekil 65.
Dönüm Eğrisi Uygulaması
Şekil 66
60
Verilenler: Teğet kesim noktaları TSg, TS12, TS10, TS11’nin koordinatları Teğet uzunluğu T1, Tw1, Tw2, T2 Daire yayı uzunlukları b1 ve b2 Çözüm: a) Klotoidin bütün elemanlarının hesabı b) Küçük nokta ve yan nokta hesabına göre M1 daire merkez açısının koordinatları c) 1112TSTS teğet üzerine M1 merkez noktasının koordinatlarının dönüşümü Sonuçlar: nm1 ve Zm1 d) 21MM merkez noktaları arasındaki uzaklıkların hesaplanması
( ) ( )221
2212121 mwmwww XXRRRRMM ++∆+∆++=
e) a, b ve c uzunluklarının hesaplanması
a = (R2 + ∆ R2)-nm1
b = 2221 aMM −
c = Zm1-b- Xm2
f) Yan nokta hesabına göre M2 merkez noktasının koordinatlarının hesabı
g)M1 ve M2 koordinatlarından elde edilen v 21
MM açıklık açısının hesabı
h)δ açısının hesabı
i) tan δ = 2112
21
ww
mwmw
RRRRXX
∆+∆+++
61
Şekil 67
j)γ10 ve γ11 açılarının hesabı
Teğet kesim noktalarının koordinatlarından, açıklık açısı 10TS
TSgv ve 12
11
TSTSv hesaplanarak
düğüm teğetlerinin açıklık açısı γw ;
vw = v 2
1MM ± δ – 100 gon
elde edilir. δ’nın işareti farklı faktörlere bağımlıdır. Teğet kesim açıları γ10 ve γ11
γ10= 10TSTSgv - vw ve γ11=
12
11
TSTSv - vw
k)Teğet uzunlukları T1, Tw1, Tw2, T2’ nin hesaplanması, simetrik olmayan geçiş eğrisinde uygulanan yöntem ve formüller uygulanarak elde edilir.
l)Teğet kesim açıları γ10 ve γ11 elde edilen teğet uzunlukları N, T1, Tw1, Tw2 ve T2’ den TSg, TS10, TS11, TS12 kontrol poligonlarının hesaplanması m)Daire yay uzunlukları b1 ve b2’ nin hesaplanması
)( 11101 wττγα +−= 200
111
παRb =
)( 22112 wττγα +−= 200
222
παRb =
62
Örnek:
Şekil 68
Verilenler:
Teğet kesim noktalarının koordinatları
NN Y X
TSg 140.10 530.27 (TS10’) -149.48 320.51 (TS11’) 215.92 280.12 TS12 307.92 20.46
Yay Elemanları A1= 100 m R1= 75 m Aw1= Aw2= 85 m
R2= 125 m A2= 140 m Klotoid başlangıç noktasına olan uzaklık N=73.13 m İstenenler:
A1, Aw1 ve A2 için klotoid elemanları Teğet uzunlukları T1, Tw1, Tw2, T2 Teğet kesim noktalarının koordinatları TS10 ve TS11 b1 ve b2 daire yayı uzunluğu
63
Çözüm:
a)
b) Küçük nokta ve yan nokta koordinatlarının hesabı
S= 2
2
)()(
AE
AE
XXYY
−−
Mesafe o=e
AE
SYY −
Y
a=e
AE
SXX −
X NN ∆Si Yn=Yn-1+o.Sn Xn=Xn-1+a.Sn
o= -0.80986 a=-0.58663 TSg +140.10 +530.27 İlave
hesaplamalar 138.08 N=73.13
FpM1 +28.27 +449.27 XM1=64.95 (-84.60) +49.63 -68.52 138.08
M1 +77.90 +380.75 219.49 +177.75 -128.76 R=75.00
Fp -99.85 +251.99 ∆R1=9.60 (+84.60) -49.63 +68.51 84.60
TS10 -149.48 +320.51 S= 357.57
c) '1112TSTS teğetleri üzerine, M1 merkez noktasının koordinatlarının dönüşümü
NN S o=
e
AE
SYY −
Yn=YA+oS
a=e
AE
SXX −
Xn=XA+aS
∆Y Y
∆X X
+a. ∆Y -o. ∆X
np
+a. ∆X +o. ∆Y
zp
S=275,48 o=0.33396 a=0.94257 TS12 307.92 20.46 0.00 0.00 TS12
-230.02 360.29 -261.81 120.32
339.60 76.82
M1 77.90 380.75 -96.49 416.42 M1 138.02 -100.63 130.09
-33.61 -94.85 -46.09
TS11’ 215.92 280.12 -0.01 275.48 TS11
’ -92.00 259.66 0.00 275.45
R1= 75 m A1= 100 m L1=133,33 m ∆R1=9.60 m Xm1=64.95 m X1=123,18 m Y1=37.33 m
1τ =56.5884 gon
R2= 75 m Aw1= 85 m Lw1=96.33 m ∆Rw1=5.08 m Xmw1=47.51 m Xw1=92.44 m Yw1=20.02 m
1wτ =40.8851 gon
R2= 125 m Aw2= 85 m Lw2=57.80 m ∆Rw2=1.11 m Xmw2=28.85 m Xw2=57.49 m Yw2=4.44 m
2wτ =14.7187gon
R2= 125 m A2= 140 m L2=156,80 m ∆R2=8.08 m Xm2=77.38 m X2=150,74 m Y2=31.87 m
2τ =39. 9288 gon
64
d) 21MM merkez noktalarının mesafesinin hesabı
21MM = 221
22121 )()( mwmwww XXRRRR ++∆+∆++
21MM = 22 )85.2851.47()11.108.512575( +++++
21MM =219.88 m
e) a, b, c uzunluklarının hesabı
a= 122 )( mnRR −∆+ a= 36.59 m
b= 2221 aMM −
b= 216.81 c= Zm1-b-Xm2 = 416.42 – 216.81 – 77.38 = 122.23 m
f)
S= 22 )()( AEAE XXYY −+− Mesafe
o=e
AE
SYY −
Y
a=e
AE
SXX −
X
NN ∆Si Yn=Yn-1+oSn Xn=Xn-1+aSn S=275.48 o=-0.33396 a=0.94257
TS12 0.00 307.92 20.46 199.61 -66.66 188.15 c=122.23
FPn2 241.26 208.61 Xm2=77.38 -133,08 -125.44 -44.45 199.61
M2 115.82 164.16 75.87 -25.34 71.52
Fp 90.48 235.68 R2+∆R2=133.08 133.08 125.44 44.44
TS11 215.92 280.12 275.48 -92.00 259.66
g) v 21
MM açısının hesabı ve 21MM merkez noktaları arasındaki mesafenin kontrolü
Y X ----------------------------------------------------------
M1 77.90 380,75 tan v 21
MM =
−+
= 0,17508
M2 115,82 164,16 v 2
1MM = 188.9659
---------------------------------------- +37.92 -216,59
21MM = 88.21959.21692.37 22 =+ m
65
h) δ açısının hesaplanması
tan δ = 2121
21
WW
mWmW
RRRRXX
∆+∆+++
tan δ = 19.206
36.76= 0.37034
δ = 22.5794 gon
i) Teğet kesim açıları olan γ10 ve γ11 hesabı v 2
1MM = 188.9659 gon
δ = 22.5794 -100 --------------------------- VW = 111.5453 gon TSg +140,10 +530,27 TS11’ 215,92 280,12 TS10 -149,48 +320,51 TS12 307,92 20.46 -------------------------------------------- --------------------------------------------
'109
TSTSV =
−−
1.38053 12'11
TSTSV =
−+
0,35431
'10
9TSTSV = 260.0911 12
'11TSTSV = 178.3224
-VW = 111.5453 -VW = -111.5453 --------------------------------------- ---------------------------------------- γ10 = 148.5458 gon γ11 = 66,7771 gon
j) Teğet uzunluklarının hesabı
TS10 yayında TS11 yayında
210γ
= 74.2729 211γ
= 33,3886
R1+∆R1= 84.60 R2+∆R2= 133,08 R1+∆Rw1= 80.08 R2+∆Rw2= 126,11 ∆Rw1+∆R1= -4.52 ∆Rw2+∆R2= 6.97 ---------------------------- ----------------------------
1t = tan 210γ
( R1+∆R1) 1t = tan 211γ
( R2+∆Rw2)
t1 = 197,82 m t1 = 72.96 m ------------------------------- -------------------------------
2t = tan 210γ
( R1+∆Rw1) 2t = tan 211γ
( R2+∆R2)
t2 = 187,25 m t2 = 76.99 m ------------------------------- --------------------------------
66
10
11
γSinRR
d W ∆−∆=
11
22
γSinRR
d W∆−∆=
d = -6.25 m d = 8.04 m -------------------------------- --------------------------------- T1= Xm1 + t1 + d TW2= XmW2 + t1 + d T1= 64.95 + 197.82 – 6.25 TW2= 28.85 + 72.96 +8.04 T1= 256.52 m TW2= 109.85 m -------------------------------- --------------------------------- TW1= XmW1 + t2 + d T2= Xm2 + t2 - d TW1= 47.51 + 187,25 + 6.25 T2= 77.38 + 76.99 – 8.04 TW1= 241,01 m T2= 146,33 m
k) Kontrol poligonlarının hesabı NN β α S ∆Y ∆X Y X ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TS9 260.0911 329.65 -266.97 -193.38 140.10 530.27 TS10 51.4542
111.5453 350.86 +345.11 -63.28 -126.87 336.89 TS11 266.7771
178.3224 268.56 +89.69 -253.14 218.24 273.61 TS12 307.93 20.47 ----------------------------- (307.92) (20.46)
Şekil 69.
l) Daire yay uzunluklarının hesabı 1b ve 2b
1α = )( 1110 Wττγ +− 2α = )( 2211 ττγ −− W
1α = 148.5458-(56,5884 + 40,8851) 2α = 66,7771-(14,7187 – 39,9288)
1α = 51.0723 2α = 12.1296
1b = 200
11παR=
2000723.5175π
2b = 200
22παR=
2001296.512125π
1b = 60.17 m 2b = 23.82 m
67
4.1.1 Klotoidin Ara Noktalarının Aplikasyonu Klotoidin ara noktaları
• Dik koordinat yöntemiyle • Işınsal yöntemle • Kestirme yöntemiyle aplikasyonu yapılabilir.
4.1.1.1 Dik Koordinat Yöntemiyle Aplikasyon
a- Teğetten Aplikasyon
Şekil 70. Dik koordinat yöntemi
AC arasına eşit aralıklı n tane nokta aplike edilmek isteniyorsa, örneğin yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi L1, L2, L uzunlukları bulunur. (7) eşitliklerinden τττ ,, 21 değerleri bulunur. (1) eşitliğinden de
ρρρ ,, 21 değerleri hesaplanır. Sonra (5) eşitlikleri kullanılarak klotoidin ara noktalarının ve son noktasının aplikasyon değerleri bulunur.
4.1.1.2 Işınsal Yöntem İle Aplikasyon
Şekil 71. Şekil 72.
S = 22 YX + , XYtg =γ ,
XYarctg=σ (15)
Açı ve uzunluğa göre kirişten aplikasyon yapılır.
68
4.1.1.3 Kestirme Yöntemi İle Aplikasyon Bu yöntem uzunluk ölçüsünü gerektirmediği için ve ayrıca yüksek presizyon sağladığı için tercih edilmektedir. İki teodolitle KB ve KS noktalarında aplikasyon yapılmaktadır. δi ve i∈ açıları koordinatlardan hesaplanır.
Şekil 73. Kestirme yöntemi
4.2 LEMNİSKAT Lemniskat, birleştirme kurpları içerisinde ideal birleştirme kurbu klotoidine en yakın eğridir. Lemniskatın kutupsal koordinatlara göre denklemi; S2 = A2 Sin 2σ veya A2 = 3RSL (16) şeklindedir. S, σ eğri üzerindeki bir noktanın ışınsal koordinatları A, eğrinin büyüklüğünü belirleyen parametreler
Şekil 74. Lemniskat
69
Şekil 75.
Lemniskatın en önemli özelliği sapma açısı (∆)’nın, teğet-kiriş açısı (τ )’nin üç katına eşit olmasıdır. ∆ :projeden hesaplanır R :Lemniskat ile kurbun orta noktaları LK ve KL deki eğrilik yarıçapı, proje mühendisi tarafından
belirlenir. SL :Lemniskatın kiriş uzunluğu A :Lemniskatın parametresidir. A2=3RSLeşitliğinden hesaplanır. L :Lemniskatın uzunluğudur.
..........tg121tg
52tg2(
2AL 95 σ+σ−σ=
bağıntısı ile hesaplanır. XP, YP lemniskat üzerindeki bir P noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatlarıdır. XP=SP cos Pσ YP=SPsin Pσ (17) Sin2 Pσ =SP/3R dir. Burada SP seçilir. Pσ , SP lemniskat üzerindeki bir P noktasının kutupsal koordinatlarıdır. T teğet uzunluğudur.
T=R(3sinσ -2sin3σ )+R(3cosσ -2cos3σ )tg2∆ (18)
b kurp uzunluğudur. L2τ−∆=α alınarak b=200Rαπ bağıntısından hesaplanır.
70
4.3 KÜBİK SPİRAL
Şekil 76.
∆ :Projeden hesaplanır R :Spiral ve kurbun ortak noktaları Sk ve Ks deki eğrilik yarıçapı, proje mühendisi tarafından
takdir edilerek belirlenir. LS :Spiralin uzunluğu (SB-Sk) proje mühendisi tarafından takdir edilerek belirlenir.
Sτ :SK daki teğet açısıdır. ρ=τR2
LSS
pτ :Spiral üzerindeki bir P noktasındaki teğet açısıdır. Bir LP uzunluğu için S
P
S
PLL
=ττ
bağıntısından hesaplanır. X, Y :Sk noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatları
......)21610
1(LX10S
2S
S −τ
+τ
−= ......)1320428
(LY5S
3SS
S −τ
+τ
−τ
= (19)
bağıntıları ile hesaplanır. XP, YP :Spiral üzerindeki P noktasının aliyman doğrultusuna göre dik koordinatlarıdır. Yukarıdaki bağıntılarda LS yerine LP ve Sτ yerine de Pτ konularak hesaplanır. T Teğet uzunluğudur. m=Y-R(1-cos Sτ ) n=X-Rsin Sτ eşitliklerinden
T=n+(R+m)tg2∆ olarak hesaplanır.
B kurp uzunluğudur. S2τ−∆=α alınarak
b=200Rαπ bağıntısı ile hesaplanır.
71
4.4 KÜBİK PARABOL X ≅ l=SL alınırsa
RL6X
RX6XY
33== (20)
denklemi yazılabilir. C=LR, C sabitedir.
Şekil 77. Kübik parabol ve klotoidin grafiği Kübik parabolün elemanları kübik spiral gibi hesaplanır. Kübik parabol demiryollarında çok kullanılır. Çünkü geçiş kurbu yatık ve kısadır. Bazı yaylarda yukarıdaki eşitliğin ikinci kısmı kullanılmaktadır. Kübik parabol için X=l
Y=2
3
A6l (21)
değerleri kullanılmaktadır. 4.5 SINUSOID Günümüzde klotoidin yüksek hızlarda, hareket dinamiğine karşın oluşturduğu sakıncaların daha üstün geçiş eğrileriyle bertaraf edildiği ortaya çıkmıştır. Bu tarz için ideal çözüm olan sinusoid eğrisi, çok yüksek hızlı manyetik raylı sistemlerde ve diğer mühendislik yapılarında uygulanmaktadır.
Şekil 78. Sinüsoid eğrisi ve asal eleman değerleri
Klotoid
Kübik Parabol
72
Şekil 78’e göre sinüsoidin eğrilik fonksiyonu
k =
ππ
−EE LL2Sin
21
LL
R1 (22)
τ teğet açısının diferansiyel değişimi
dL))L
L2(Sin21
LL(
R1dL
r1d
EE
ππ
−==τ
elde edilir. Herhangi bir P noktasındaki τ teğet açısı
∫ −π
π+=τ=τ
=
L
0L E2E
E
2))1)
LL2(cos(
4
LL2L(
R1d (23)
LE = Sinüsoidin uzunluğu R = Bağlanılan Daire Yarıçapı bulunmaktadır. Şekil 78 deki diferansiyel üçgenden dy=dL sin τ , dx=dLcos τ ve
Y= ∫ τ=
L
0LdLsin , X= ∫ τ
=
L
0LdLcos (24)
formülleri elde edilir. Bu integrallerin hesabı için en uygun yöntem, yapılan bir program yardımıyla (dL=1 m alınarak) Y ve X değerlerinin elde edilmesidir. Sinüsoidin asal eleman değerlerinin hesaplanması klotoiddekinin aynısıdır. Teğet açısı
π=τ
200R2
LEE (25)
Rakordman payı
)cos1(RYR EE τ−−=∆ (26) Daire merkezinin koordinatları XM = XE-R sin Eτ YM=R+∆R (27)
73
Kısa teğet
E
Ek sin
YT
τ= (28)
Uzun teğet TU=XE-YEcot Eτ (29) Normal
N= EkE
E tanTcos
Yτ=
τ (30)
Teğet uzunluğu
T=Tu+ EEE22
k tanYXNT τ+=+ (31) formülleriyle hesaplanabilir. 4.5.1 Simpson Kuralının Geçiş Eğrileri Uygulamalarında Kullanılması Geçiş eğrileri olarak kullanılan klotoid, sinüsoid ve diğer eğrilerin koordinatlarının hesaplanması için uygulanan sayısal integrasyon yöntemleriyle Fresnel integrallerinin çözümüne ait genel bir yaklaşım olan Simpson kuralı bu bölümde incelemiş ve sayısal örnekler verilmiştir. Harita ve Kadastro Mühendisi, yol inşaatında oluşturulan güzergâhı, mevcut bir poligon ağına bağlamaktadır. Bu çalışma, yüksek bir duyarlılık ister. Çünkü güzergâhın cm’ye kadar doğrulukla araziye aplikasyonu gerekmektedir. Ayrıca hesaplama işi ise oldukça zaman alıcıdır. Yol inşaatında, Hharita ve Kadastro Mühendisinin işlevi iki kısımda toplanabilir. Bunlardan birisi güzergâhın hesabı, diğeri ise aplikasyonudur.
Güzergâh elemanları olarak bilinen, doğru ile daire yayı arasına yerleştirilen geçiş eğrilerinin (Klotoid, sinüsoid, v.d.) hesaplanmasına ait genel bir yaklaşım yöntemi olan simpson kuralı aşağıdaki gibi açıklanabilir. Belirli integrallerin hesaplanması için sayısal integrasyon yöntemleri olduğu gibi, belirsiz integrallerin hesaplanması için de çeşitli yöntemler mevcuttur. Birçok sayısal integrasyon yöntemleri, temel olarak
f(L) fonksiyonunun [ ]b,a aralığında, n eşit parçada, ∆L = n
ab − yay parçalarına bölünmesi ile
hesaplanmaktadır. Burada ; k = 0, 1, 2, 3, 4,……..,n , yK = f (LK) = f (a+k ∆L) şeklindedir. Genel olarak n değeri arttıkça bu yaklaşımın doğruluğu da artmaktadır.
Şekil 78’de verilen diferansiyel üçgen yardımıyla geçiş eğrisi yay parçasının üzerindeki noktaların koordinatları,
dX = dL Cosτ
(32) dY = dL Sinτ
74
X = ∫ τ=
L
0LdLCos = ∫
=
L
0LdL)L(f (33)
Y = ∫ τ=
L
0LdLSin = ∫
=
L
0LdL)L(f (34)
eşitlikleri ile ifade edilmektedir. Simpson kuralının genel eşitliği,
∆++
+∆++∆++++≈∫
=
= L)nf(L...........................................................................
........L)34f(LL)22f(L∆L)4f(L)f(L
3∆L
dL f(L)0
0000
Lb
0a (35)
olup açılım yapılırsa ve (4) eşitliği, (2) ve (3) eşitliklerine uygulanırsa
[ ]∫ +++++++++≈=−−
b
a4x2x.......4x2x4x2x4xx
3∆L
f(L)dLn1n2n543210
xX (35a)
[ ]∫ +++++++++≈=−−
b
a4y2y.......4y2y4y2y4yy
3∆L
f(L)dLn1n2n543210
yY (35b)
elde edilmektedir.
Bu yöntemin geçiş eğrisine uygulanması aşağıdaki biçimdedir. Eğrilik, k= dLdτ
alınarak geçiş eğrisinin
herhangi bir noktasındaki teğet açısı,
∫ +=τL
0ckdL (36)
eşitliğiyle hesaplanmaktadır.
Şekil 79. Geçiş eğrisi
(33) ve (34) eşitliklerinin hesaplanması, çok karmaşık işlemleri içermektedir. Ancak program ya da tablolar yardımıyla sonuçlara ulaşılabilmektedir. Simpson yöntemi, program düzenlemesini ve karmaşık işlemleri ortadan kaldırarak, pratik şekilde hesaplama yapılması ve hassas sonuçlara ulaşmamızı sağlamaktadır. Bu yöntem geçiş eğrileri olan klotoid ve sinüsoidin herhangi bir noktasındaki koordinatlarının hesaplanmasına, teğet açıları ( τ ) ve yay aralığı ( ∆L ) esas alınarak,
YE
Tu
S
75
bitim noktasının (E) koordinatlarının ve bu koordinatlar yardımıyla da diğer elemanların bulunmasını sağlamaktadır. Simpson yönteminin, geçiş eğrilerine uygulandığında (35) eşitliğindeki değerler
n
LLn
abL 0E −=
−=∆ (37)
L0 = Geçiş eğrisinin başlangıcı LE = Geçiş eğrisinin uzunluğu n = Geçiş eğrisinin bölündüğü parça sayısı ∆L = Geçiş eğrisinin yay uzunluğunu ifade etmektedir. (35) eşitliğindeki L0, L0+∆L, L0+2∆L, L0+3∆L, …………, L0+n∆L yay parçalarına karşılık gelen teğet açıları(τ), (36) eşitliği yardımıyla hesaplanabilir. (36) eşitliğinden elde edilen teğet açısı, (33) ve (34) eşitliğinde yerine konularak (35a ve 35b) eşitlikleri yardımıyla çözülebilmektedir. Simpson yöntemi, klotoid için aşağıdaki şekilde uygulanabilir. A2 = R L (38)
k = R1 (39)
k = 2A
L (39a)
olup k değeri, (5) eşitliğinde yerine konularak teğet açısı,
τ =2
2
A2L (40)
elde edilir. Simpson kuralının genel eşitliğiyle, (33) ve (34) eşitlikleri uygulanarak klotoid için herhangi bir noktanın ve bitim noktasının(E) koordinatları Tablo 1’de hesaplanmıştır. Sinüsoid için (36) eşitliği uygulanarak,
k =
ππ
−EE LL2Sin
21
LL
R1 (41)
teğet açısı,
−
π
π+=τ 1
LL2Cos
4L
L2L
R1
E2E
E
2 (42)
elde edilir. Bu yöntemin, sinüsoide uygulanması aşağıdaki tablolarda verilmektedir. Simpson yöntemi, geçiş eğrilerinin koordinatlarının hesaplanması için bilgisayar programı yapmadan, karmaşık işlemlerin ortadan kalkmasını, pratik şekilde hesap yapılmasını ve hassas sonuçlara ulaşılmasını sağlamaktadır.
76
SİMPSON KURALI YARDIMIYLA KLOTOİD KOORDİNATLARININ HESABI
(DOĞRU – DAİRE ARASINDA UYGULANMASI)
Klotoid ve sinüsoid geçiş eğrileri (LE=250 m, R=1000 m) için 25 m aralıklarla Y, X koordinatları ve asal eleman değerleri aşağıda hesaplanmıştır.
L :Geçiş eğrisinin herhangi bir noktadaki uzunluğu (m) LE :Geçiş eğrisinin uzunluğu (m) R :Bağlanılan daire yarıçapı (m)
2
2
A2L)rad( =τ
LE (m) R (m) L (m) τ (rad) sin τ cos τ Y (m) X (m) 250 m 1000 m 0 0,0000 0,0000 1,0000 Y0 = 0,000 X0 = 1,000
25 0,0013 0,0012 1,0000 4Y1 = 0,005 4X1 = 4,000 50 0,0050 0,0050 1,0000 2Y2 = 0,010 2X2 = 2,000 75 0,0113 0,0112 0,9999 4Y3 = 0,045 4X3 = 4,000
100 0,0200 0,0200 0,9998 2Y4 = 0,040 2X4 = 2,000 125 0,0313 0,0312 0,9995 4Y5 = 0,125 4X5 = 3,998 150 0,0450 0,0450 0,9990 2Y6 = 0,090 2X6 = 1,998 175 0,0613 0,0612 0,9981 4Y7 = 0,245 4X7 = 3,992 200 0,0800 0,0799 0,9968 2Y8 = 0,160 2X8 = 1,994 225 0,1013 0,1011 0,9949 4Y9 = 0,404 4X9 = 3,980 250 0,1250 0,1247 0,9922 Y10 = 0,125 X10 = 0,992
Y = 1,249 m
Y3LYE
∆=
X = 29,953 m
X3LXE
∆=
n =10
∆L = n
LL 0E − = 25
m
YE =10,405 m XE =249,610 m
Klotoidin orta nokta koordinatlarının hesaplanması için n=4 alınmalı ve
∆L = n
LL 0E − = 62.5 m
Simpson eşitliği orta nokta koordinatları için
[ ]∫ ++≈=b
ax4xx
3∆L
f(L)dL210
X =1.302 m
[ ]∫ ++≈=b
ay4yy
3∆L
f(L)dL210
Y =124.987 m
Sinüsoidin asal elemanları
mTmNmTmTmYmX
mRgrad
k
U
M
M
E
658.249892.8
769.70442.179
021.1001983.124
021.19577.7
=======∆=τ
77
SİMPSON KURALI YARDIMIYLA SİNÜSOİD KOORDİNATLARININ HESABI
(DOĞRU – DAİRE ARASINDA UYGULANMASI)
−
π
π+=τ 1
LL2Cos
4
LL2L
R1)rad(
E2E
E
2
LE (m) R (m) L (m) AS BS CS τ (rad) sin τ cos τ Y (m) X (m) 250 m 1000 m 0 0,000 0,000 6,333 0,0000 0,0000 1,0000 Y0 = 0,000 X0 =1,000
25 1,250 -0,191 6,333 0,0000 0,0000 1,0000 4Y1 = 0,000 4X1 =4,000 50 5,000 -0,691 6,333 0,0006 0,0006 1,0000 2Y2 = 0,001 2X2 =2,000 75 11,250 -1,309 6,333 0,0030 0,0030 1,0000 4Y3 = 0,012 4X3 =4,000
100 20,000 -1,809 6,333 0,0085 0,0085 1,0000 2Y4 = 0,017 2X4 =2,000 125 31,250 -2,000 6,333 0,0186 0,0186 0,9998 4Y5 =0,074 4X5 =3,999 150 45,000 -1,809 6,333 0,0335 0,0335 0,9994 2Y6 =0,067 2X6 =1,999 175 61,250 -1,309 6,333 0,0530 0,0529 0,9986 4Y7 =0,212 4X7 =3,994 200 80,000 -0,691 6,333 0,0756 0,0756 0,9971 2Y8 =0,151 2X8 =1,994 225 101,250 -0,191 6,333 0,1000 0,0999 0,9950 4Y9 =0,399 4X9 =3,980 250 125,000 0,000 6,333 0,1250 0,1247 0,9922 Y10 =0,125 X10 =0,992
Y =1,059 m
Y3LYE
∆=
X = 29,959 m
X3LXE
∆=
n =10
∆L = n
LL 0E −
∆L = 25 m
AS=E
2
L2L
BS =
−
π 1L
L2CosE
CS = 2E
4Lπ
YE=8,823
m XE =249,658
m Sinüsoidin orta nokta koordinatlarının hesaplanması için n=4 alınmalı ve
∆L = n
LL 0E − = 62,5 m
Simpson eşitliği orta nokta koordinatları için
[ ]∫ ++≈=b
ax4xx
3∆L
f(L)dL210
X = 124.996 m
[ ]∫ ++≈=b
ay4yy
3∆L
f(L)dL210
Y = 0.510 m
Klotoidin asal elemanları
m610.249Tm487.10Nm457.83T
m804.166Tm603.1002Y
m935.124Xm603.2Rgrad9577.7
k
U
M
M
E
=======∆=τ
78
Yapılan uygulamalarda eşit geçiş eğrisi uzunluğu (LE= 250 m) ve bağlanılan daire yarıçapı (R=1000 m) dikkate alınarak sinusoid ve klotoid için büyüklükler hesaplanmıştır. Görüldüğü gibi sinusoid küçük ordinat değerlerine (Y) ve buna bağlı olarak da küçük rakordman payına (∆R) değerlerine sahip olmaktadır. Ayrıca her iki eğride de bitim noktası (E) deki teğet açıları ( Eτ ) birbirine eşittir.
Yukarıdaki Sinüsoide eğrisine ait τ formülünde ELL2cos π işleminde π=180o alınmakta ve formüldeki
diğer π değerleri ise (π=3,141592654) alınarak τ değerleri elde edilir. Ayrıca sinüsoidde ki rakordman payı için
R21,61L
R2E=∆ (43)
formülüde kullanılmaktadır.
