Kolegij: SIMULACIJE U PROMETUe-student.fpz.hr/Predmeti/S/Simulacije_u_prometu/Materijali/Nastava_21... · TEORIJA PROMETNOG TOKA I ... o Vozila su opisana brzinom kretanja koja se

Sveučilište u ZagrebuFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTIZavod za informacijsko‐komunikacijski prometKatedra za tehniku informacijsko‐komunikacijskog prometa

Kolegij:

SIMULACIJE U PROMETU

Pripremila: dr. sc Ivana Ćavar

Dr. sc. Ivana Ćavar

1

TEORIJA PROMETNOG TOKA I PROMETNI MODELI

26/03/2012 Pripremila: dr. sc Ivana Ćavar 2

Pregled predavanjao Uvod

o Osnove teorije prometnog toka

o Fundamentalni dijagrami

o Metoda celularnih automata


MAKROSKOPSKO MODELIRANJE

Modeli prometnog tokaModeli kontinuuma


Osnovni elementi teorije prometnog toka

– tok [flow](q): broj vozila koji prolaze određenu točku u vremenskoj jedinici

– brzina [speed] (v):

– vremenski‐srednja brzina [time‐mean speed ] vt: prosječna brzina vozilakoji prolaze definiranu točku prometnice

– prostorno‐srednja brzina [space‐mean speed ] vs: srednja brzina vozila naodređenoj dionici prometnice u definiranom vremenu ili na osnoviprosječnog vremena potrebnog za prijeći određeni segment prometnice,često se izvodi iz vremena putovanja

Osnovni elementi teorije prometnog toka

– Koncentracija [concentration]

– gustoća [density] (ρ): broj vozila po jedinici duljine prometnice

– zauzeće [occupancy] (o): postotak vremena u kojemu je neka točkaprometnice zauzeta

– [headway]

– [space headway](s): udaljenost između dva slijedna vozila

– [time headway](h): vrijeme između prolaska dva slijedna vozila

Mjerenja• U fiksnoj točci

• U fiksnom trenutku (zračne snimke)

• Promatrač u pokretu

time

space

t T

L

h

s

Prostorno‐vremenski dijagram [Time‐Space Diagram]: Analiza na fiksnoj lokaciji

h1 h2 h4h3

Ttime

position

00

L

x

t

s1

s2

L

0 time

position

t0

Prostorno‐vremenski dijagram: analiza u fiksnom trenutku

Mjerenja

•Tok

time

space

t T

L

∑≈N

ihT1

da velik taT je Ako

TNq =

_1

11

hhN

hN

TNq

ii

==≈=∑∑

lanes

vozila

TNNq =

•Termin ‘volumen’•Termin ‘kapacitet’

Mjerenja

• Gustoća

Lsekciji po vozilabroj

=ϕlanes

vehL LN

N=ϕ

Mjerenja

• Vremenski-srednja brzina

time

space

t T

LNa fiksnoj lokaciji, vrijeme T vi: trenutačna brzina

∑=

=n

iit v

Nv

1

1

• Prostorno-srednja brzina

Promatrana na fiksnoj lokaciju u vremenu T∑=

i

s

vN

v 111

Mjerenja• vremenski-srednja brzina ≥ prostorno-srednja brzina

(obično vt = 1.06 – 1.12vs)

Pretpostavimo kako je (vi ) i niz vrijednosti brzina različitih vozila dobiven mjerenjem prostorno-srednje vrijednosti brzine. Vjerojatnost da vozilo brzine vi prođe senzor u danom vremenskom periodu je proporcionalna vi . U skladu s navedenim da bismo dobili vremenski-srednje brzine (vi ) i svakom vi treba pridijeliti težinski faktor wi = vi :

s

sst v

vv2σ

+=

vv

vNvNN

vvvv

vv

wvw

vi

i

i

i

i

iit

2222222 )( σσ+=

+=

+−===

∑∑ ∑

∑∑

∑∑

Osnovni odnos

q = vs × ρGdje je,

q: tok

vs: prostorna‐srednja brzina

ρ: gustoća

Modeli prometnog toka

o Cilj

• Opisati osnovne odnose među makroskopskim karakteristikama prometnog toka za neprekinute uvijete toka

• brzina‐gustoća

• tok‐ gustoća

• brzina‐tok

Terenski podaci (Holland Tunnel, Eddie 63)

0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

1400.0

0 20 40 60 80 100

Density (veh/km)

Flow

(veh

/hr)

01020304050607080

0 20 40 60 80 100Density (veh/km)

Spe

ed (k

m/h

r)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.0 500.0 1000.0 1500.0

Flow (veh/hr)

Spee

d (k

m/h

r)

Odnosio Struktura

• Jedan režim: ista funkcionalna forma za sve prometne uvijete

• Višestruki režimi: različiti modeli za različite prometne uvjete

kqu =

“stable”“unstable”

q

ρρc ρjam

qmax3

21

Fundamentalni dijagrami

3

v

ρρjam

vmax1

3

2

(density, speed) diagram

ρc

vc

qmax

vc“unstable”

q

v(flow, speed) diagram

“stable”

Brzina‐Tok odnos

Izvor: HCM 2000

Kontinuirani tok (kinetički) modeli

o Očuvanje toka

q q+dq

dx

• Gustoća u trenutku t: φ• Gustoća u trenutku t+dt: φ+dφ• Očuvanje toka: qdt + φdx = (q + dq)⋅dt + (φ+dφ)⋅dx

0=∂∂

+∂∂

txq ϕ

Kontinuirani tok (kinetički) modelio Diskretizacija radi pojašnjenje

o Δt=1 Δx=1


)21()

21(()()(1 −−+−=+ xqxqxNxN tttt

)21()

21()( +−−+= xqxqxN ttt

Kontinuirani tok (kinetički) modeli, cont’d

o Modeli prvog reda (Lighthill and Whitham, Richards, LWR)

Očuvanje toka

q: tokv: prostorno-srednja brzinaφ: gustoćag(x,t): brzina dolazaka [generation rate]

Osnovna jednadžba toka

Ravnotežna brzina(npr. Greenshields’ brzina-gustoća model)

),( txgxq

t=

∂∂

+∂∂ϕ

ϕvq =

)(ϕfv =

Komentario Brzina šokvalova [Shockwave speed]

wBA

uB

uA

AB

AB

AB

AABBBA

BBABABAA

kkqq

kkkukuw

kwukwu

−−

=−−

=

−=− )()(

Komentari

Ako (A, B) = (2, 1) w21 je pozitivan (šokval se kreće prema naprijed)

Ako (A, B) = (3, 2) w32 je negativan (šokval se kreće unazad)

3

1

2

q

k

q2

q3

q1

k1 k2 k3

wBA

uB

uA


Primjer: semafori [Traffic Lights]

time

space

MIKROSKOPSKI MODELI

Model slijeđenja vozila [Car‐following]

Model izmjene voznog traka [Lane changing]

Prihvatljivi razmak među vozilima [Gap acceptance]


PRIMJER


Primjero Pri modeliranju potrebnog razmaka među vozilima za mikroskopske

simulacije prostor i vrijeme se mogu promatrati sa dva aspekta, moguse smatrati kontinuiranim ili diskretnim.

o Promatranje prostora i vremena kao kontinuiranim je prirodniji načinnjihova opisivanja, za potrebe simulacija primjenom računalamodeliranje primjenom diskretnih interpretacija vremena i prostora jelakše.

o Metoda celularnih automata ima didaktičke prednosti pri opisivanjumodeliranja slijeđenja vozila, promjene voznog traka i prihvatljivograzmaka


CA [cellular automata]o Metoda razvijena 1940‐ih

o Predstavlja diskretan model

o Sastoji se od nedefiniranog broja polja ili ćelija [cell] od kojih svako polje ima definirani broj stanja (pogodno za statističke analize)

o Polja mogu imati konačan broj dimenzija


Diskretno vrijeme i diskretni prostoro Vrijeme –diskretno.

o Stanje svakog polja je funkcija stanja definiranog broja ‘susjednih’ polja u trenutku t‐1

o Svako polje ima jednako pravilo osvježavanja tj. mijenja stanja na temelju vrijednosti okolnih polja

o U trenutku osvježavanja cijela matrica koja se sastoji od polja je nanovo generirana (tj. sva polja se osvježavaju istovremeno)

o Tijekom 1970‐ih godina iznimno postaje popularna Igra života koja je u biti dvodimenzionalni CA model s dva stanja


Igra života


Pravila promjene stanjao Pravila za promjenu stanja, odnosno osvježavanje stanja određuju način

generiranja novih vrijednosti polja

o Primjer određivanja količine mogućih stanja i pravila za promjenu stanja bit će dan na netrivijalnom jednodimenzionalnom CA s dva moguća stanja polja

o Susjednim poljima se smatraju bočna polja, tako da se susjedstvo sastoji od 3 polja. Tako da postoje 23 =8 uzoraka ćelije

o Dakle postoji 28 =256 mogućih pravila za promjene stanja


Reverzibilnosto Jedna od bitnih karakteristika CA je i reverzibilnost

• CA se smatra reverzibilnim ukoliko za svako stanje postoji samo jedno moguće prethodno stanje

• Za jednodimenzionalne CA postoje poznati algoritmi za pronalaženje prethodnih stanja

• Reverzibilni CA modeli se često primjenjuju za simulaciju dinamike fluida i plinova

• Za konačne CA koji nisu reverzibilni, mora postojati uzorak za koji ne postoje prethodna stanja. Takvi uzorci se nazivaju Garden of Eden patterns


Modeliranje determinističkog prometa primjenom CA

o DISKRETNO VRIJEME I DISKRETAN PROSTOR

o Jedna vozna traka je reprezentirana kao matrica polja [cell] duljine l

o Najčešće se pri modeliranju cestovnog prometa koristi kako je duljina jednog polja =7,5m (to je prosječna ljudina voznog traka koju vozilo zauzima u slučaju prometnog zastoja).

o Svako polje može biti ili zauzeto ili prazno, a u slučaju da je zauzeto u njemu može biti samo jedno vozilo.

o Vozila su opisana brzinom kretanja koja se nalazi u rasponu od 0 do vmax


o Pravilo za ažuriranje stanja je (Nagel i Herrmann, 1993):

Gdje je:

g – broj praznih polja između promatranog vozila i vozila koje se nalazi ispred njega

v – brzina iskazana u broju polja po jedinici vremena

Vremenski razmak koji se koristi za diskretizaciju vremena je 1 sec, a vmax 5 (odnosno 135 kn/h)

Moguće je i detaljnije definirati maksimalnu brzinu kao najveću dopuštenu brzinu na promatranom segmentu prometnice


],1,min[ max1 vvgv tt +=+

11 ++ += ttt vxx


Režimi

Laminarni promet Prometno zagušenje

26/03/2012 Pripremila: dr. sc Ivana Ćavar bv

Prostorno vremenski prikazPromet se kreće s lijeva na desno, vrijeme se kreće prema doleBrojevi predstavljaju brzinu za slijedeći pokret (polja po vremenskom koraku)

Modeliranje stohastičkog prometa primjenom STCA

o Unošenje stohastičnosti u CA model doprinosi realističnijem opisu prometnog stanja

o U model se dodaje šum [noise] tako da se randomizira izraz:

o Pa ada glasi: s vjerojatnošću pnoise brzina se određuje kao

o Gdje se koristi max funkcije kako bi se izbjegle negativne vrijednosti za brzinu.

o Standardno se u teoretskim opisima koristi vrijednost pnoise =0,5 , ali pnoise =0,2 se pokazalo kako daje realističnije vrijednosti

o Ovako modeliran prometni tok daje manji maksimalni tok ‐ kapacitet (2000 vozila/sat) nego promet modeliran determinističkim CA (3000 vozila/sat)


],1,min[ max1 vvgv tt +=+

]0,1max[ 11 −= ++ tt vv

o Prostorno vremenski dijagram za STCA

o Fundamentalni dijagram izgleda jednako kao i kod determinističkog CA (obikjednak, maksimalni tok manji)


Primjeri modeliranja prometa primjenom CA metode

o Primjer modeliranja prometnog toka CA metodom s 4 pravila

o Početno stanje u trenutku t je:

1. Pravilo (akceleracija)

Sva vozila koja još nisu dosegla maksimalnu brzinu (za potrebe ovog primjera vmax je 2) ubrzavaju po pravilu : v→v+1


2. pravilo (sigurnosni razmak)Ako vozilo ima d praznih polja ispred sebe i kreće se brzinom v (nakon prvog pravila) većom od d, onda vozilo smanjuje brzinu na d:v→min {d,v}

3. pravilo (randomizacija)S vjerovatnošću p, brzina vozila se smanjuje za jedinicu (ako je v nakon pravila 2): v→v‐1

P=1/326/03/2012 Pripremila: dr. sc Ivana Ćavar 41

4. Pravilo (vožnja)

Nakon pravila 1‐3 nova brzina vozila je vn za svako vozilo n definirano s vn polja:

xn→ xn + vn


Temeljni dijagrami za CA primjer


Primjer video simulacije kružnog toka primjenom opisane metode.U doljnjem lijevom kutu su prikazana vozila koja se gibaju u smjeru kazaljke na satu.Iznad je prikaz trajektorija vozila. Brzine su simbolizirane različitim bojama.Lijevi dijagram na dnu pokazuje distribuciju brzina, a desni distribuciju razmaka među vozilima.Tri grafa od (odozgo prema dole) predstavljaju fundamentalne grafove.Dva histograma na dnu predstavljaju frekvencije brzina i razmaka među vozilima.

Hvala na pažnji


Documents

Kolegij: SIMULACIJE U PROMETUe-student.fpz.hr/Predmeti/S/Simulacije_u_prometu/Materijali/Nastava_21... · TEORIJA PROMETNOG TOKA I ... o Vozila su opisana brzinom kretanja koja se