Koltai Tamas Termelesmenedzsment

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TERMELÉSMENEDZSMENT

1

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

BACCALAUREUS SCIENTIÆ TANKÖNYVEK

A SOROZAT KÖTETEI:

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

GAZDASÁG- ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR

Alkalmazott Pedagógia és Pszichológia IntézetErgonómia és Pszichológia Tanszék

JUHÁSZ MÁRTA – TAKÁCS ILDIKÓ (szerk.): PszichológiaMűszaki Pedagógia Tanszék

BENEDEK ANDRÁS (szerk.): Szakképzés-pedagógia

Közgazdaságtudományok IntézetKörnyezetgazdaságtan Tanszék

KÓSI KÁLMÁN – VALKÓ LÁSZLÓ: Környezetmenedzsment

Társadalomismeret IntézetKognitív Tudományi Tanszék

KOVÁCS ILONA – SZAMARASZ VERA ZOÉ (szerk.): Látás, nyelv, emlékezetSzociológia és Kommunikáció Tanszék

S. NAGY KATALIN (szerk.): SzociológiaHAMP GÁBOR – HORÁNYI ÖZSÉB (szerk.): Társadalmi kommunikáció mérnököknek

Üzleti Tudományok IntézetMenedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék

KÖVESI JÁNOS – TOPÁR JÓZSEF (szerk.):A minőségmenedzsment alapjai

KOLTAI TAMÁS: TermelésmenedzsmentPénzügyek Tanszék

LAÁB ÁGNES: Számviteli alapokKARAI ÉVA: Könyvelésmódszertan felsőfokon

PÁLINKÓ ÉVA – SZABÓ MÁRTA: Vállalati pénzügyekÜzleti Jog Tanszék

SÁRKÖZY TAMÁS (szerk.): Üzleti jog

2

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TERMELÉS-MENEDZSMENT

Írta

KOLTAI TAMÁS

T Y P O T E XBudapest, 2006

3

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Üzleti Tudományok Intézet – Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék

Copyright © Koltai Tamás – BME GTK – Typotex, 2006

Lektorálta:dr. Mezgár István

a műszaki tudomány kandidátusatudományos főmunkatárs, MTA SZTAKI

ISBN 963 9664 12 XISSN 1787-9655

Témakör: menedzsment

Kedves Olvasó!Önre gondoltunk, amikor a könyv előkészítésén munkálkodtunk.

Kapcsolatunkat szorosabbra fűzhetjük, ha belép a Typoklubba,ahonnan értesülhet új kiadványainkról, akcióinkról, programjainkról,

és amelyet a www.typotex.hu címen érhet el.Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is,

mert sajnos hibák olykor előfordulnak.

Kiadja a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- ésTársadalomtudományi Kar, valamint a Typotex Kiadó, az 1795-ben alapított

Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagjaFelelős kiadó: Veress József – Votisky Zsuzsa

Felelős szerkesztő: Tóth SaroltaA borítót Tóth Norbert tervezte

Tördelte: Könyv Művek Bt.Terjedelem: 17,5 (A/5) ív

Készült a pécsi Bornus NyomdábanFelelős vezető: Borbély Tamás

4

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TERMMEN / 5 2006. augusztus 2. –22:24

TARTALOMJEGYZÉK

Elıszó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1. Történeti áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. A termelırendszerek mőködését leíró mutatók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. A termelési folyamatok osztályozása a tömegszerőség alapján . . . . . . . 201.4. A termék-folyamat mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Az elırejelzési módszerek alapösszefüggései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1. Bevezetés: az elırejelzési módszerek osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Az állandó jellegő igény elırejelzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1. Állandó jellegő igény elırejelzése mozgó átlaggal . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Állandó jellegő igény elırejelzése exponenciális simítással . . . . . . . 392.2.3. A mozgó átlag és exponenciális simítás összehasonlítása . . . . . . . . . 44

2.3. Trend jellegő igény elırejelzése exponenciális simítással (Holt-módszer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4. Szezonalitást is tartalmazó igény elırejelzése exponenciális simítással 502.4.1. A szezonalitási együttható értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.2. Additív trendet és multiplikatív szezonalitást tartalmazó igény

elırejelzése exponenciális simítással (Winters-modell) . . . . . . . . . . . 512.5. Az exponenciális simítás általános alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6. A lineáris regressziószámítás alkalmazása elırejelzési modelleknél . . 582.7. Az elırejelzési hibák értékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7.1. Az elırejelzési hiba nagyságának mutatói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7.2. Az elırejelzési modell vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.8. Egy étterem forgalmának elırejelzése – esettanulmány . . . . . . . . . . . . . . 682.9. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3. Kapacitáselemzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1. A rövid távú kapacitáselemzés összefüggései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6 TARTALOMJEGYZÉK

3.1.1. Kapacitásjellemzık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1.2. Rövid távú kapacitástervezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3. A tanulási görbe figyelembevétele kapacitáselemzésnél . . . . . . . . . . 873.1.4. A megbízhatóság figyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2. A hosszú távú kapacitáselemzés problémái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.1. A mérettıl függı gazdaságosság hatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.2. A bizonytalanság figyelembevétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.3. Kapacitásbıvítési stratégia vizsgálata – esettanulmány . . . . . . . . . . . 108

3.3. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134. A készletgazdálkodás összefüggései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.1. Bevezetés - a készletgazdálkodás alapproblémája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2. Klasszikus készletezési mechanizmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3. A készletgazdálkodás költségei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4. Az optimális rendelésitétel-nagyság alapösszefüggése . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5. Az optimális rendelésitétel-nagyság érzékenységvizsgálata . . . . . . . . . 125

4.5.1. Eltérés az optimális rendelésitétel-nagyságtól . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5.2. Érzékenység az adatok pontatlanságára . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.6. A rendelésitétel-nagyság állandóságának indoklása . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.7. Optimális rendelésitétel-nagyság beszállítási (termelési) rátával . . . . . 1324.8. A mennyiségtıl függı árkedvezmény figyelembevétele a rende-

lésitétel-nagyság meghatározásánál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.8.1. Proporcionális árkedvezmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.8.2. Növekmény jellegő árkedvezmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.9. A rendelési készletszint meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.10. A biztonsági készletek meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.10.1. A biztonsági készlet meghatározása folyamatos készletvizsgálat-nál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.10.2. Abiztonsági készletmeghatározásaperiodikuskészletvizsgálatnál 1624.11. Egy „venni vagy gyártani” döntési probléma vizsgálata – esettanul-

mány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.11.1. A „venni vagy gyártani” döntési probléma ismertetése . . . . . . . . . . . 1674.11.2. A „venni vagy gyártani” esettanulmány megoldása . . . . . . . . . . . . . . 168

4.12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725. Aggregált termeléstervezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.2. Akielégítı és optimális termelési tervmeghatározása – esettanulmány 179

5.2.1. Állandó munkaerıszint termelési terv (A terv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.2.2. Készlet nélküli termelési terv (B terv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.2.3. Az optimális termelési terv meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.3. Lineáris termeléstervezési modellek általános megfogalmazása . . . . . 190

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.3.1. Az esettanulmány kibıvítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.3.2. Többféle termék kapacitáskorlátok melletti gyártása a biztonsági

készlet figyelembevételével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.3.3. Termelési terv készítése nemlineáris költségfüggvény linearizálá-

sával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.4. Menedzsmentdöntések a lineáris termeléstervezési modellek eredmé-

nyei alapján . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.4.1. Az optimális megoldás meghatározása és értékelése . . . . . . . . . . . . . 2055.4.2. A célfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . 2095.4.3. A jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.4.4. Az esettanulmány érzékenységvizsgálati eredményeinek értelme-

zése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6. Anyagszükséglet-tervezési rendszer (MRP) alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2. Az anyagszükséglet-tervezés alapösszefüggései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.3. Kerti locsoló gyártása – esettanulmány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.4. Az anyagszükséglet-tervezés néhány gyakorlati kérdése . . . . . . . . . . . . 245

7. Az éppen idıben (Just-In-Time) gyártás alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.2. A JIT jellemzıi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.3. Az anyagáramlás vezérlése a JIT rendszerben– húzásosmechanizmus 2567.4. A JIT-rendszer mőködésének néhány gyakorlati kérdése . . . . . . . . . . . . 266

8. Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699. Táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


ELİSZÓ

A termelésmenedzsment a menedzsment egyik funkcionális területe, melynekfeladata termelı- és szolgáltatórendszerek hatékony mőködtetése. A hatékonymőködtetés megkívánja a termelési és/vagy szolgáltatási feladat megismerését,a rendelkezésre álló erıforrások felmérését, valamint az elvégzendı feladatvégrehajtásának megtervezését. A végrehajtásnak természetesen összhangbankell lennie a menedzsment gazdasági jellegő célkitőzéseivel.

Már az elıszóban is hangsúlyozni kívánjuk, hogy a vázolt témakörök tár-gyalásakor a termelés kifejezést általános értelemben használjuk, tehát nemcsaktermékek gyártását, hanem szolgáltatások nyújtását is értjük alatta. Ez összhang-ban van azzal a nemzetközi felfogással, hogy a termelı- és szolgáltatórendszerekhatékony mőködtetése nagyon hasonló (sokszor azonos) módszerekkel támogat-ható. A könyv tartalma tehát az angol nyelvterületen production management,operations management elnevezéssel jelölt terület ismeretanyagának egyes részéttekinti át.

A termelés- és szolgáltatásmenedzsment ismeretanyagát tartalmazó hazai éskülföldi szakkönyvek közelítésmódjuk alapján két nagy csoportba sorolhatók.Az operációkutatás alapú könyvek azokat a matematikai modelleket tartalmaz-zák, amelyek a termelésmenedzsment döntéseit támogatják. E könyvek fı céljaa modellalkotási alapismeretek és az optimális vagy kielégítı megoldás megta-lálásához vezetı algoritmusok tárgyalása. Rendszerint erıs kvantitatív alapokatfeltételeznek, és nagyobb hangsúlyt fektetnek a matematikai összefüggésekre,mint a modellek alkalmazási körülményeinek és problémáinak vizsgálatára.

A menedzsmentközelítéső könyvek azokat a legfontosabb döntési problémákatismertetik, amelyekkel a termelésmenedzsment munkája során találkozik. Ekönyvek fı célja a probléma felismerését elısegítı ismeretek tárgyalása. Nagyhangsúlyt fektetnek a termelı- és szolgáltatórendszerek mőködésének jellemzé-sére, az elıforduló problémák leírására és a megoldási lehetıségek ismertetésére.A megoldás eszközeit azonban ritkán tárgyalják részletesen. Az ilyen típusúkönyvek lényegesen kisebb mértékben feltételezik a kvantitatív alapok meglétét.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


10 ELİSZÓ

E könyv a két közelítés sajátos keveréke. Egyrészt ismerteti a vázolt probléma-körök legfontosabb megoldási lehetıségeit, de ennél tovább is megy: ismertetia megoldási módszerek alapjait is. Bár a megoldási módszerek és algoritmu-sok ismertetése nem éri el az operációkutatási szakkönyvek mélységét, felvérteziaz olvasót azzal az ismerettel, mely segítségével egyrészt maga is meg tud ol-dani egyszerő feladatokat, másrészt az itt ismertetett alapok segítségével el tudjasajátítani a komplexebb modellek megoldásának eszközeit.

A könyvben a termelı- és szolgáltatórendszerek anyagi folyamatok me-nedzselésével kapcsolatos legfontosabb problémáit tárgyaljuk. Az elsı feje-zet a termelı- és szolgáltatórendszerek definícióival, a termékéletgörbe és agyártási tömegszerőség termelésmenedzsmentre kifejtett hatásaival, valamint atermelésmenedzsment-döntések értékelésével foglalkozunk. A második fejezet-ben a termelési és/vagy szolgáltatási feladat elırejelzésének alapvetı módszereitmutatjuk be. A harmadik fejezetben a feladat elvégzéséhez rendelkezésre álló erı-források számbavételének és elemzésének módszereit ismertetjük. A negyedikfejezetben a készletek szervezésével és gazdasági elemzésével kapcsolatos alapis-mereteket tárgyaljuk. Az ötödik fejezet az elıre jelzett feladat, a rendelkezésre állóerıforrások, valamint a készletezés körülményeinek függvényében segít a ter-melési tervet meghatározni. A hatodik fejezetben áttekintjük az anyagszükséglet-tervezés alapösszefüggéseit és annak kapcsolatát az integrált vállalatirányításirendszerekkel. Végezetül a hetedik fejezetben az éppen-idıben-gyártás (JIT) alap-jait tárgyaljuk.

A témakörök a felsıfokú mérnöki és közgazdasági alapképzésektermelésmenedzsment tárgyának anyagát tartalmazzák. Néhány klasszikustermelés- és szolgáltatásmenedzsment problémakör a tárgyalásból kimaradt.Ennek két oka van. Egyrészt, néhány kiemelten fontos terület (például minıség-menedzsment, projektmenedzsment, karbantartás) a képzésekben önálló tárgy-ként jelenik meg önálló tankönyvvel. Másrészt a felsıfokú alapképzési programokfeladata a képzési terület legfontosabb általános jellegő ismereteinek oktatása.A csak bizonyos részterületek számára fontos ismeretek jelentıs része a felsı-fokú mesterprogramok anyagát képezik (például ütemezés, sorállás). A könyvmegírásakor az elsıdleges cél az volt, hogy az ismertetett területeken a prob-léma felismeréséhez és megoldásához szükséges alapokat egyaránt tárgyaljuk.Ezért e tankönyv megírásakor a minden terület érintıleges tárgyalása helyett alegfontosabb területek átfogó ismertetését választottuk.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1. BEVEZETÉS

Minden vállalkozás mőködéséhez három elengedhetetlen tevékenységi kör szük-séges, függetlenül attól, hogy avállalkozás termékek gyártásávalvagy valamilyenszolgáltatás nyújtásával kapcsolatos. Elıször is, elkerülhetetlen a vállalkozás indí-tásához szükséges tıke elıteremtése, valamint késıbb a mőködéséhez szükségespénzügyi feltételek megteremtése, amely a pénzügyi menedzsment feladata. Apénzügyi feltételek megteremtését követıen elı kell állítani a terméket, illetvenyújtani kell a szolgáltatást. A termék gazdaságos gyártásáért, és/vagy a szol-gáltatás megfelelı színvonalú nyújtásáért a termelésmenedzsment felel. Végezetül,a terméket és/vagy a szolgáltatást értékesíteni kell. A vevık megszerzését ésmegtartását célzó tevékenységek koordinálása a marketingmenedzsment feladata.Minden vállalkozás alappillére tehát a pénzügyek, a termelés és a marketing.E jegyzet témája a három említett területbıl a második, tehát azzal foglalkozik,hogy hogyan lehet hatékonyan és megfelelı színvonalon termékeket elıállítani,illetve szolgáltatásokat nyújtani.

Bár a termelésmenedzsment nevében is benne foglaltatik, hogy a menedzs-ment része, mégis legtöbb feladata a menedzsment és a mérnöki tevékenységekhatárán helyezkedik el. Gaither szerint a termelésmenedzsment feladata „az inputerıforrásokat termékekké vagy szolgáltatásokká konvertáló rendszer menedzselése” [14].Hogy menedzselésen mit kell érteni, az Chase és Aquilanó definíciójából tőnikki, amely szerint a termelés- és szolgáltatásmenedzsment „a vállalkozás elsıdlegestermékét készítı vagy szolgáltatását nyújtó termelırendszer tervezésével, mőködtetésévelvalamint javításával” foglalkozik [7].

Ezen utóbbi megfogalmazás tartalmaz mérnöki funkciókat is, mert a termelı-és szolgáltatórendszerek sikeres mőködtetése a menedzsment, míg jól mőködırendszerek létrehozása elsısorban a mérnöki – az angol nyelvterületen indust-rial engineeringnek nevezett – tevékenységek feladata. A mérnöki munka háromnagy területe (termék, technológia, rendszer) közül a termelırendszerrel fog-lalkozó industrial engineering feladatát a terület szakembereinek legjelentısebbnemzetközi szervezete (IIE = Institute of Industrial Engineers) a következıkép-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


12 1. BEVEZETÉS

pen definiálta: Az industrial engineering az a terület, amelynek szakemberei olyanintegrált gyártó- és szolgáltatórendszerek (stratégiai és mőszaki) tervezésével, megvaló-sításával és menedzselésével foglalkoznak, amelyek az elıírt mőszaki paraméterek mellett,a minıség, a megbízhatóság, a karbantarthatóság, valamint a mőködési költségek éshatáridık vonatkozásában is teljesítik az elıírt követelményeket [43].

Az ismertetett definíciók alapján egyértelmő az átfedés a termelésmenedzsmentés az industrial engineering területek között, ami nem véletlen, hiszen:

– sikeresen menedzselni egy rendszert csak akkor lehet, ha valamilyen szintentisztában vagyunk annak mőszaki-technikai vonatkozásaival is,

– ugyanakkor kiválóan tervezni egy rendszert csak akkor tudunk, ha valami-lyen szinten tisztában vagyunk a menedzselés alapjaival.

Ezen átfedés eredménye, hogy sokszor ugyanazon problémának két eltérıközelítésérıl beszélünk, ha azt mérnök, illetve menedzser vizsgálja. Egy készlet-gazdálkodási problémánál például a mérnöki terület a problémát leíró ésmegoldómodell fejlesztésére, míg a menedzsmentterület a modell információinak értelme-zésére, valamint ezen információk segítségével hozható döntések végrehajtásárahelyezi a hangsúlyt.

A mérnöki és menedzsmentvonatkozások miatt tehát a termelésmenedzsmenta menedzsment és a mőszaki tudományok határterületének tekinthetı, és mintilyen a mőszaki menedzsment egyik legjellegzetesebb alapterülete.

A termelésmenedzsment a menedzsment egyik funkcionális területe, amelyjól elkülöníthetı ismeretanyaggal rendelkezik. Ezen ismeretanyag tudományosalapját az operációkutatás képezi. Az operációkutatás a matematika egy területe,amely olyan modellek felállításával és megoldásával foglalkozik, amelyek céljarendszerek optimális mőködésének a meghatározása. Az operációkutatás – azegyik tömör definíció szerint – rendszerek optimális tervezésének és irányításának tu-dományos módszertana [22]. A menedzsment és az operációkutatás összefonódásáta tudományos életben jól jellemzi, hogy a terület legfontosabb nemzetközi szer-vezete nevében egyaránt megjelenik a menedzsment és az operációkutatás (TheInternational Federation of Operations Research and Management Science = IN-FORMS, www.informs.org). A menedzsment számos területe, – és ezek közötthangsúlyozottan a termelésmenedzsment – az általános hiedelemmel ellentétbentehát komoly matematikai alapokra épül.

Végezetül hangsúlyozni kell, hogy az elmúlt évtizedekben a termelési rendszerértelmezése nagymértékben kitágult. Ma már nemcsak a termékeket gyártórendszereket tekintjük termelırendszernek, hanem a szolgáltatásokat nyújtórendszereket is. Az 1.1. táblázatban felsorolt példák mind megfelelnek akorábban ismertetett gaitheri definíciónak [14].

Láthatjuk, hogy a gépkocsi-összeszerelı üzem mellett az étterem, kórház,áruház is termelırendszernek tekinthetı. Ennek oka, hogy azok a tudomá-nyos alapok, amelyek segítségével a klasszikus termelırendszerek hatékonyanmőködtethetık, sokszor változtatás nélkül alkalmazhatók szolgáltatórendszerek

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1. BEVEZETÉS 13

1.1. táblázat: Példák termelırendszerekre a gaitheri definíció alapján

Rendszer Bemenı erı-források

Komponensek Transzfor-máció

Termék vagyszolgáltatás

Kórház betegek

orvosok, ápo-lók, orvosimőszerek,gyógyszerek

kezelés, ápolás gyógyult páci-ensek

Étterem éhes vendégekélelmiszerek,szakács, pin-cér, környezet

fızés, kiszol-gálás

elégedett, jólla-kott vendégek

Gépkocsiösszeszerelıüzem

acéllemezek,motorok, al-katrészek

munkások,gépek, szer-számok

gyártás ésösszeszere-lés

jó minıségőszemélygép-kocsik

Egyetem végzett közép-iskolások

tanárok, köny-vek, osztály-termek

oktatásvégzett diplo-mások

Áruház vásárlókkirakat, áru-készlet, eladó

foglalkozás avevıvel, ela-dás lebonyolí-tása

elégedett vá-sárlók

Raktári el-osztó központ

raktározandóáru

rakodóhelyek,raktári eszkö-zök, dolgozók

raktározás,elosztás, ad-minisztráció

a rendelkezésihelyre idıbenelérkezı áru

mőködtetésénél is. A terméket és szolgáltatást elıállító rendszerek együttes keze-lése tükrözıdik a témakör ismeretanyagát összefoglaló szakkönyvek, tankönyvekcímeiben is. Az 1960-as évekig termelésmenedzsment (production management)elnevezés alatt a klasszikus gyártórendszerek hatékony mőködtetésének kérdé-seivel foglakoztak. Az 1970-es évek elején megjelent szakkönyvek és tankönyvekmár címükben is hangsúlyozták, hogy nem csak termékek elıállításával, hanemszolgáltatások nyújtásával is foglalkoznak (production and operations manage-ment) [7]. Míg napjainkban már egyértelmő, hogy a módszerek többsége nemtermék- vagy szolgáltatásspecifikus és az egyszerőbb szóhasználat kedvéért acímben már a mindkét területet magába foglaló operation elnevezés szerepel(operations management) [49]. Az operations management magyarra ennyireáltalános értelmően és félreérthetetlenül nehezen fordítható le. A fordítási prob-lémát a magyar szerzık rendszerint három módon oldják meg:

– Az operation kifejezés fordítása helyett mindig az eredeti tartalomra utalótermelés és szolgáltatás kifejezést használják (lásd például [47], [48]).

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


14 1. BEVEZETÉS

– Az operation kifejezés tükörfordítása helyett inkább a tartalmat pontosabbanleíró új fogalmakat vezetnek be. Chikán és Demeter [10] az értékteremtı folya-matok menedzsmentje kifejezés bevezetésével oldotta meg a fordítási problémát.

– Követhetı továbbá a hagyományos szóhasználat a kitágult tartalom definiá-lása mellett. E jegyzet címe és tartalma ahhoz a konvencióhoz tartja magát, hogy atermelés kifejezés vonatkozhat termékek gyártására és szolgáltatások nyújtásárais. Így a továbbiakban termelésen nemcsak a klasszikus értelemben vett gyártást,hanem szolgáltatások nyújtását is értjük.

Jóllehet az elmúlt évtizedekben a termelésmenedzsment tartalma kitágult,módszerei fejlıdtek, mégis a legtöbb, napjainkban újszerőnek tekintett elv (pél-dául JIT, TQM stb.) alapja a múltban gyökerezik. A következıkben ezértelıször rövid áttekintést adunk a termelésmenedzsment fejlıdésérıl, legfonto-sabb múltbeli eredményeirıl. Ezt követıen ismertetjük a termelésmenedzsmenttevékenységét értékelı mőködési mutatók néhány sajátosságát. Végezetül bemu-tatjuk, hogy a gyártott termék vagy nyújtott szolgáltatás tömegszerősége hogyanbefolyásolja a termelésmenedzsment feladatait.

1.1. TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS

A termelésmenedzsment történetének, legjelentısebb eredményeinek és kiemel-kedı személyiségeinek rövid felsorolása látható az 1.2. táblázatban. A termelésifolyamatok tudományos alapú vizsgálatának úttörıje Frederick Winslow Taylorvolt, aki mérnökként egy acélipari üzemben kezdte vizsgálni a gyártási folyama-tok hatékonyságának növelési lehetıségeit.

Taylor a termelési folyamat elemi részeinek javításán fáradozott, és e munkasorán legfontosabb eszköze a papír, a ceruza és a stopperóra volt. Többek közöttúj lapátformát alakított ki a szén rakodásának megkönnyítésére, meghatározta,hogy nehéz darabokat milyen ütemben lehet a legkevésbé fárasztóan mozgatni,de emellett például tıle származnak a forgácsolási technológiáknál a megmun-kálási paraméterek beállítását meghatározó Taylor-formulák is. Taylor idejében a„menedzseri‘‘ és mérnöki feladatok még szinte teljes egészében azonosak voltak,bár Taylor a vezetıi feladatok ésszerőbb felosztására is javaslatot tett. Sok-éves munkájának tapasztalatait a magyarul is megjelent Principles of ScientificManagement A tudományos vezetés alapjai címő könyvében foglalta össze, mely-nek megjelenésétıl számítjuk a termelésmenedzsment és industrial engineeringszakma és tudományterület történetének kezdetét [45].

Taylor munkatársai követték a mesterük által kijelölt irányt, így fı célkitő-zésük olyan egyszerő táblázatok és egyéb grafikus segédeszközök kidolgozásavolt, amelyek segítségével a munkafolyamat elemi részei racionálisabbá tehetık.E tevékenység eredményeként rakta le Frank és Lillian Gilbreth a sok helyen mais használt idı- és mozdulatelemzés alapjait. A termelési folyamat végletekig

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1.1. TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS 15

1.2. táblázat: A termelésmenedzsment történetének fontosabb állomásai

Év Esemény, témakör Nevezetes személyiség

1911A Principles of Scientific Management címő könyvmegjelenése, idı- és mozdulatelemzések, a munka-végzés tudományos jellegő tanulmányozása

Frederick W. Taylor(USA)

1911Mozdulatelemzések, az ipari pszichológia alapjai-nak megteremtése

Frank és Lillian Gilbreth(USA)

1913 Mozgó szerelıszalag megvalósítása Henry Ford (USA)

1914 Tevékenységek ütemezési diagramja Henry L. Gantt (USA)

1917Az optimális rendelési (gyártási) tételnagyság-formula alkalmazása

F. W. Harris (USA)

1931Mintavételen alapuló minıségellenırzés, statisztikaitáblák a minıségellenırzésben

Walter Shewhart, H.F.Dodge, H.G. Romig(USA)

1927-33Hawthorn-kísérletek: a megvilágítás hatása a mun-kások termelékenységére

Elton Mayo (USA)

1934Munkafolyamatok tevékenységeinek statisztikaielemzése

L.H.C. Tippett (Anglia)

1940Komplex rendszerek problémáinak megoldása tea-mekben

operációkutatási csopor-tok alakulása (Anglia)

1947 A lineáris programozás szimplex módszere George B. Dantzig (USA)

1950-60-asévek

Az operációkutatási módszerek fejlıdése: szimu-láció, sorálláselmélet, döntéselmélet, matematikaiprogramozás, hálótervezés

1970-esévek

Számítástechnikai eszközök megjelenése minden-napi használatra a termelésprogramozás, készlet-gazdálkodás, projektmenedzsment és az elırejelzésterületén Az MRP-rendszer rohamos terjedése

Joseph Orlicky, OliverWight (USA)

1980-asévek

Automatizálás, TQM, JIT, CIM, FMS, CAD/CAMrendszerek megjelenéseA termelékenységi módszerek alkalmazása a szol-gáltatásban

Tai-ichi Ohno (Toyota)A.V. Feigenbaum,W.E. Deming,J.M. Juran (USA) McDo-nald’s étterem

1990-esévek ésnapja-ink

– korszerő termelésszervezési elvek alkalmazása averseny lényeges tényezıje– a szolgáltatórendszerek jelentısége– operációkutatási eszközök mindennapos haszná-lata

történı racionalizálásának csúcsa pedig a Henry Ford által megalkotott szerelı-szalag, amelynél minden munkás – mint egy bonyolult gépezet része – csak egykis részfeladatot hajt végre a lehetı legracionálisabban.

Az 1910-es évek menedzserének legfontosabb segédeszközei a táblázatok ésdiagramok voltak. Ezek közül ma is használatos a Henry Gantt nevével fém-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


16 1. BEVEZETÉS

jelzett Gantt-diagram, melynek segítségével erıforrások (gépek, berendezések,létesítmények) igénybevételének adatai ábrázolhatók. A Gantt-diagram – kor-szerőbb számítástechnikai környezetbe átültetve – a termelés és projektütemezésmindmáig legfontosabb segédeszköze.

A grafikus eszközök mellett a termelésmenedzsment-döntések támogatásáraugyancsak az 1910-es években jelentek meg az elsı absztrakt modellek is. Frede-rickHarris optimális rendelésitétel-nagyság formuláitmind amai napig alkalmaz-zák a készletgazdálkodásban. A formulák segítségével létrehozott heurisztikákés optimalizáló algoritmusok pedig a számítógépes vállalati információrendsze-rekben is fontos szerepet töltenek be.

Az 1930-as évek vívmánya a statisztikai módszerek megjelenése és elterjedésea mérnöki-menedzseri munkában. A statisztikai táblák és a selejtkártyák aminıségszabályozás nélkülözhetetlen eszközeivé váltak. A statisztika ugyancsaktért hódított az idı- és mozdulatelemzés területén.

Az 1930-as évekre tehetı Elton Mayo – az emberközpontú szervezési irányzatelindítójának – tevékenysége is. Mayo egy csapágyakat gyártó üzemben akarta ja-vítani a csapágygolyók minıségellenırzési folyamatát (Hawthorn-kísérlet). Úgygondolta, hogy a hibás csapágygolyók kiszőrését biztosan elısegíti a munkahelymegvilágításának javítása. Ezért különféle megvilágítási körülményekkel kísérle-tezett, és azt tapasztalta, hogy bármit változtatott a világításon, a munkafolyamatmindenképpen javult. Ebbıl arra következtetett, hogy nem a megvilágítás ját-szotta a fı szerepet, hanem az a tény, hogy a munkások érezték, a menedzsmenttörıdik munkakörülményeikkel. Ezzel elindult az a szellemi áramlat, mely-nek célja a viselkedéstudomány eredményeinek széleskörő felhasználása volt amenedzsment területén.

Az 1940-es évek a matematikai modellek kiteljesedésének, az operációkuta-tás kialakulásának az idıszaka. Georg Danzig 1947-ben kidolgozta a szimplexmódszert, amely mindmáig a – többek között a termeléstervezésben alkalmazott– lineáris programozási modellek egyik leghatékonyabb megoldó algoritmusa.Az 1950-60-as évekre az operációkutatás részterületeinek kialakulása és fejlı-dése a jellemzı. Ekkor rakják le a hálótervezés, a sorban állási modellek, amatematikai programozás alapjait. A számítástechnika fejlıdésének következ-ményeként az 1970-es évekre az operációkutatás már nemcsak a tudósok magán-ügye, hanem a gyakorlati problémák megoldásának fontos eszköze. Ugyancsaka számítástechnika fejlıdése tette lehetıvé komplex termékeket gyártó rend-szerek anyagszükséglet-tervezésének hatékony végrehajtását a Joseph Orlickyáltal kidolgozott anyagszükséglet-tervezési rendszer (MRP) alkalmazásával. AzMRP rendszerek mind a mai napig alapját képezik a korszerő integrált vezetıiinformációrendszereknek.

Az 1980-aséveket a hárombetős jelszavak idıszakánaknevezik. Ekkor jelennekmeg olyan fogalmak, mint:

– TQM (Total Quality Management), magyarul teljes körő minıségmenedzs-ment,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1.2. A TERMELİRENDSZEREK MŐKÖDÉSÉT LEÍRÓ MUTATÓK 17

– JIT (Just-In-Time) gyártás, magyarul éppen idıben gyártás,

– FMS (Flexible Manufacturing Systems), magyarul rugalmas gyártórendsze-rek,

– CIM (Computer Integrated Manufacturing), magyarul számítógéppel integ-rált gyártás stb.

Ezek a ma is használatos betőszavak rendszerint valamilyen termelékenysé-get javító menedzsment és mérnöki közös eredmény szisztematikus gyakorlatimegvalósításának módszertanát jelölik.

Végezetül a termelésmenedzsment napjainkban végbemenı változásai közülhárom fontos jelenségre érdemes felhívni a figyelmet:

– A korszerő termelésszervezési elvek alkalmazása a versenyképesség meg-határozó tényezıjévé vált. Ugyanazon terméket ugyanazon technológiával, dekorszerőbb szervezési elvek alapján gyártva kompetitív elıny érhetı el a piacon.Jó példa erre a japán ipar számos ágazatánál – a JIT-elvek alkalmazása révén –tapasztalható szinte behozhatatlan elıny.

– Megnıtt a szolgáltatórendszerek súlya a gazdaságban, és ezzel együtt elı-térbe került a hagyományos termelési folyamatoknál alkalmazott szervezési elvekalkalmazása szolgáltatórendszerekben. Gondoljunk például a gyorséttermekre,amelyek szervezési elvei és módszerei nagymértékben hasonlítanak a tömeg-gyártásra berendezkedett termelırendszereknél alkalmazott megoldásokhoz.

– Az operációkutatás matematikai modelljei a mindennapi munkavégzés esz-közeivé váltak. A számítástechnika és a szoftverek fejlıdése lehetıvé teszi,hogy egyszerő – szinte minden számítógépen megtalálható – táblázatkezelırendszerekkel (például Excel) néhány másodperc alatt nagymérető matematikaiprogramozási feladatokat oldjunk meg. Így e módszerek ismerete és rendszeresalkalmazása ugyancsak a piaci versenyképesség fontos tényezıjévé vált.

Az itt felsorolt múltbeli eredmények nagy része e jegyzet késıbbi fejezeteibena ma alkalmazott módszerek elıdje- vagy alapjaként újra szóba kerül majd.

1.2. A TERMELİRENDSZEREK MŐKÖDÉSÉT LEÍRÓ MUTATÓK

A termelésmenedzsment jegyzet bevezetı fejezetében feltétlenül szólni kell azok-ról a mutatókról, amelyek alapján a termelésmenedzsment-döntések következ-ményei értékelhetık. A vállalatvezetés rendszerint a vállalat pénzügyi eredmé-nyének javulásában érdekelt, ezért a pénzügyi eredményeket jellemzı adatoksegítségével fejezi ki követelményeit. Így a vállalatvezetés például a nyereségnö-vekedést, a befektetések minél gyorsabb megtérülését, a pénzáramlási (cash-flow)problémák orvoslását várja el. Egy készletgazdálkodási vagy termeléstervezésiprobléma azonban sokszor nagyon távoli kapcsolatban van a vállalati nyereségalakulásával. A termelésmenedzsment-döntések közvetlenül a termelési folya-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


18 1. BEVEZETÉS

mat mőködésére hatnak. A mőködést leíró mutatók három csoportba sorolhatók[18]:

– A termelt mennyiséget kifejezı mutatók arra utalnak, hogy megfelelı-e a ter-melési folyamat által gyártott mennyiség. Ilyen mutató például a kibocsátási ráta,amely az idıegység (óránként, havonta stb.) alatt gyártott mennyiség, vagy aciklusidı, amely gyártósoroknál a két egymás után elkészült darab között elteltátlagos idı. Nagy kibocsátási ráta esetén a termelırendszer sokat gyárt. A cik-lusidınél ez éppen fordítva igaz. Ha sok idı telik el két végtermék kibocsátásaközött, akkor a termelt mennyiség valószínőleg nem túlságosan nagy.

– A készletek alakulását kifejezı mutatók a termelési folyamat mőködtetéséhezszükséges anyagok (alapanyagok, alkatrészek, végtermékek) mennyiségére utal-nak. Ha a termelési folyamat mőködtetéséhez magas készletekre van szükség,akkor a termelésmenedzsment vélhetıleg nem jól végzi munkáját. A készletekalakulását kifejezı mutatók egyike az átlagos készletszint. A JIT-gyártás pél-dául az átlagos készletszint csökkenését éri el egy sajátos termelésszervezési elvalkalmazásával.

– A termelési folyamat közvetlen mőködtetésének költsége azokat a költségeket tar-talmazza, amelyet a termelésmenedzsment döntéseivel befolyásolni tud. Így idetartozhat a karbantartás, a minıségszabályozás költsége vagy a teljesítménybér-ben dolgozó munkások közvetlen bérköltsége. Ugyanakkor a marketing vagy apénzügyi finanszírozás költsége nem használható a termelésmenedzsment dön-téseinek értékeléséhez.

A mőködési mutatók összefüggésének jellegét az 1.1. ábra szemlélteti. Ész-revehetjük, hogy a termelésmenedzsment a mőködési mutatók alakulását akkorbefolyásolja kedvezıen, ha az ábrán jelzett háromszög területe növekszik. Ha te-hát a termelt mennyiség növekedésével egyidejőleg csökkennek a készletek éscsökkennek a mőködési költségek, akkor egyértelmően javul a termelési folya-mat mőködése. Természetesen ez az ideális állapot ritkán fordul elı, de a célmégis a három mutató együttes javítása. Egyetlen mutatónak a többitıl függet-len kiragadása és javítása a mőködés egésze szempontjából gyakran kedvezıtleneredményhez vezet. Gondoljunk például egy, csak a készletek csökkenésére kon-centráló racionalizálási projektre. Ennek eredménye lehet a termelési folyamatgyakori leállása az alacsony készletszinttel esetleg együtt járó gyakori alkatrész-hiány miatt. A kibocsátás tehát csökken, továbbá az állásidı növekedése és aszolgáltatásszint romlása miatt keletkezı többletköltség a mőködési költségeknövekedéséhez is vezethet. Egy mutató tehát javul, kettı pedig romlik. Ha-sonló példa a termelt mennyiség minden más szempontot figyelmen kívül hagyónövelése. Az állandó nagyütemő kibocsátás ésszerőtlenül magas készleteket igé-nyelhet, továbbá a berendezések megnövekedett igénybevétele a karbantartásköltségén, a munkások túlóráztatása pedig a közvetlen bérköltségen keresztül amőködési költségek növekedéséhez vezethet.

A termelésmenedzsment tehát akkor hoz jó döntéseket, ha az említett háromcsoportba tartozó mutatók együttes alakulása kedvezı. Az ilyen döntések feltéte-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1.3. A TERMELÉSI FOLYAMATOK OSZTÁLYOZÁSA A TÖMEGSZERŐSÉG ALAPJÁN 19

Készletek

Termelési ráta

Működésiköltségek

1.1. ábra: Termelırendszerek mőködési mutatóinak összefüggése

lezik a mutatók közötti összefüggések ismeretét. Ezek az összefüggések azonbanlényegesen bonyolultabbak annál, mint amit az 1.1. ábra sugall. Kapcsolatuktényleges alakulása a termelırendszerek törvényszerőségeinek ismerete alapjánállapítható meg. E jegyzet célja éppen ezen törvényszerőségek vizsgálata.

Végezetül hangsúlyozni kell, hogy a vállalatvezetés a pénzügyi mutatókmegfelelı alakulásában érdekelt, és a mőködési mutatók erre hatással vannak,amint azt az 1.2. ábra szemlélteti.

Cash flowProfit Megtérülési ráta

KészletekTermelési ráta Működési költségek

1.2. ábra: A pénzügy és mőködési mutatók kapcsolata

Egy nagy mennyiségben eladott, alacsony készletszint és mőködési költségekmellett gyártott termék nyilvánvalóan hozzájárul például a nyereség kedvezıalakulásához. De a nyereség alakulását számtalan egyéb tényezı, így a pénzpiacifolyamatok, az értékesítési lehetıségek, makrogazdasági tényezık stb. alakulásais befolyásolja. A termelésmenedzsment-döntések ezeket a folyamatokat nemtudják figyelembe venni, és az nem is feladatuk. Egy jól mőködı vállalatnála vállalatvezetés ezen folyamatok függvényében határozza meg a termelésifeladatot, amelyet a termelésmenedzsment olyan döntések útján végeztet el,amelyek eredménye a mőködési mutatók kedvezı alakulása. A vállalatvezetésstratégiai szintő célkitőzései, valamint a termelésmenedzsment operatív döntéseipedig nem egymástól függetlenül, hanem a vállalat érdekeit szem elıtt tartóegyeztetési mechanizmus eredményeként kell, hogy megszülessenek.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


20 1. BEVEZETÉS

1.3.A TERMELÉSI FOLYAMATOK OSZTÁLYOZÁSAA TÖMEGSZERŐSÉGALAPJÁN

A termelésmenedzsment feladatai lényegesen különböznek akkor, ha nagyonsokféle terméket gyártunk egyedi igények alapján, és akkor, ha ugyanazt a termé-ket nagy tömegben készítjük hosszú idıszakon keresztül. Az, hogy egy termékbılmekkora mennyiség gyártása tekinthetı egyedinek, illetve tömegesnek, függ atermék gyártási idejétıl is. Egy nagy utasszállító repülıgépnél egy tíz darab-ból álló sorozat összeszerelése már nagy mennyiségnek tekinthetı, mert ez amennyiség egy üzem kapacitását akár egy egész évre is lekötheti. Ugyanakkor te-levíziókészülékek gyártásakor több száz készülék összeszerelése is csak néhánynapi kapacitást igényelhet. A gyártott mennyiségnek az igénybevett kapacitás-hoz viszonyított relatív nagyságát nevezzük a gyártás tömegszerőségének. Ennekmegfelelıen a gyártás tömegszerőségének mérésére olyan mutatókat használnak,amelyek ezt az arányt kifejezik. A következıkben a tömegszerőség mérésének egyolyan módját ismertetjük, amely jól tükrözi a termelésmenedzsment-feladatok el-térı súlypontjait a tömegszerőség különbözı értékeinél. Jelölje a továbbiakban Pazt az idıt, amely egy termék két eltérı darabjának gyártási igénye között átlago-san eltelik. Ha tehát évente 360 napot dolgozik egy üzem, és a termék iránti igényévente 36 darab, akkor P = 360/36 = 10 nap. Tehát a termékek egyes darabjainakgyártása átlagosan 10 naponként jelent újabb munkát a termelésmenedzsmentszámára. Természetesen a 10 nap csak átlagos érték, mert lehet, hogy az év elejénegyszerre legyártják mind a 36 darabot, de az is lehet, hogy pontosan 10 napon-ként kezdik el egy új darab gyártását. Az így kapott jellemzı – amelyet rövideninput periódusnak is neveznek – jól érzékelteti, hogy átlagosan milyen gyakran je-lenik meg egy termék a termelırendszerben. Az input periódus magas értéke aztsejteti, hogy a terméket viszonylag kis mennyiségben gyártják. Ugyanakkor a ter-melırendszer szempontjából a kis darabszám is jelentheti a kapacitások jelentısigénybevételét. Gondoljunk ismét a korábban említett repülıgépek gyártására,illetve televíziókészülékek összeszerelésére. Ezért az input periódus mellett az isszámít, hogy a termék egy darabja (egységnyi mennyisége) átlagosan mennyi idıalatt készül el. Az input periódus és a termék elkészítéséhez szükséges mőve-letek idejének összege alapján a termékeket és szolgáltatásokat a tömegszerőségalapján négy nagy csoportba oszthatjuk [44]. A négy esetet az 1.3. ábra négyGantt-diagramja szemlélteti. Tételezzük fel, hogy egy termék elıállításához öttevékenység egymás utáni elvégzésére van szükség. Minden egyes tevékenységvégrehajtása különbözı erıforrást (gép, munkaerı stb.) igényel, és a tevékeny-ségek végrehajtásának ideje rendre 1; 2,5; 0,5; 1 és 1,5 óra. Egyetlen termékelkészítési ideje a tevékenységek végrehajtási idejének összege. Ezt a további-akban jelölje T , melynek értéke a példában 6,5 óra. Az ábra alapján a terméktömegszerőségének négy esete a következıképpen jellemezhetı:

– Egyedi gyártás. Egyedi gyártásnál az input periódus (P) és az egyetlen termék

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



elkészítési idejének (T ) aránya egynél kisebb, tehát:

T

P≤ 1

Az 1.3/a. ábrán jól látható, hogy ritkábban jelenik meg a termék a termelı-rendszerben, mint amennyi idı egyetlen darab elkészítéséhez szükséges, tehát atermék nincsen mindig jelen a termelırendszerben. Elméleti értelemben egyedigyártás az, amikor P = ∞, tehát minden terméket csak egyetlen egyszer készí-tünk el. Termelésmenedzsment-szempontból azonban az is egyedinek tekinthetı,ha ugyan többször gyártjuk a terméket, de a termék a termelırendszerben ritkánvan jelen. Természetesen az ábrán látható rendszer csak akkor mőködhet jól, haa vizsgált termék újbóli gyártásáig is dolgozik a rendszer. A termelésmenedzs-ment tevékenységének súlypontja egyedi gyártás esetén tehát egyrészt az egyeditermékek határidıre elkészítése jó minıségben, másrészt a termelırendszer erı-forrásainak koordinált megosztása több eltérı egyedi termék gyártása között.Az alkalmazott módszerek közül a projektmenedzsment eszközeit, valamint azegyedi gyártás ütemezési módszereit érdemes kiemelni.

– Kis- és középsorozat-gyártás. Kis- és középsorozatok gyártásánál az input-periódus (P) és az egy darab termék elkészítési idejének (T ) aránya egynélnagyobb, tehát:

T

P> 1

Az 1.3/b. ábrán jól látható, hogy gyakrabban jelenik meg a termék a termelı-rendszerben, mint amennyi idı egyetlen darab elkészítéséhez szükséges, tehát atermék mindig jelen van a termelırendszerben, de még egyetlen erıforrást semfoglal le teljesen, tehát:

tmax

P< 1

ahol tmax a leghosszabb idejő tevékenység mőveleti ideje.

0 5 10 15

2

3

4

5

1,0

2,5

0,5

1,0

1,5

T=6,5T=6,5

P=15

T/P<1

1

1.3/a. ábra: Egyedi gyártás

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


22 1. BEVEZETÉS

0 5 10 15

1

2

3

4

5

1,0

2,5

0,5

1,0

1,5

T=6,5T=6,5

P=5

T/P>1

tmax/P<1

1.3/b. ábra: Kis- és középsorozat-gyártás

0 5 10 15

1

2

3

4

5

1,0

2,5

0,5

1,0

1,5

T=6,5T=6,5

P=2,5

T/P>1

tmax/P>1

ttöbb/P<1

1.3/c. ábra: Nagysorozatgyártás

0 5 10 15

1

2

3

4

5

1,0

2,5

0,5

1,0

1,5

T=6,5T=6,5

P=1

T/P>1

tmax/P>1

tmaj /P>1

1.3/d. ábra: Tömeggyártás

Az ábrán látható, hogy most már a termék gyakori ismétlıdése miatt a rend-szer némiképpen specializálódik a termék gyártására, de nem annyira, hogy mástne tudjon gyártani. Minden erıforráson van bıségesen elegendı szabad kapa-citás további termékek gyártásához. A termelésmenedzsment tevékenységéneksúlypontját ebben az esetben a termelésütemezés jelenti, mert megfelelı üteme-zéssel érhetı el, hogy legyen elegendı kapacitás egy idıben többféle termékgyártásához.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– Nagysorozatgyártás. Nagysorozatok gyártásánál az inputperiódus (P) és egydarab termék elkészítési idejének (T ) aránya egynél nagyobb, tehát:

T

P> 1

Az 1.3/c. ábrán jól látható, hogy gyakrabban jelenik meg a termék a termelırend-szerben, mint amennyi idı az elkészítéshez szükséges, tehát a termék mindigjelen van a rendszerben, és van egyetlen (esetleg néhány) olyan erıforrás, amelyeta termék mindig lefoglal, tehát:

tmax

P≥ 1

ahol tmax a leghosszabb idejő tevékenység ideje. Ugyanakkor az erıforrásoktöbbségén még van elegendı szabad kapacitás más termékek gyártásához, vagymás termékkel kapcsolatos egyes tevékenységek elvégzéséhez, ezért a mőveletiidık többségére (ttöbb) igaz, hogy:

ttöbbP

≤ 1

Az ábrán látható, hogy ebben az esetben a rendszer szők keresztmetszetét kizá-rólag a nagysorozatban készülı termék foglalja le, de az erıforrások többségénmarad értékesíthetı szabad kapacitás. A termelésmenedzsment tevékenységéneksúlypontját ebben az esetben a kapacitástervezés, valamint a szők keresztmetszetzavartalan mőködését elısegítı karbantartás szervezése jelenti.

– Tömeggyártás. Tömeggyártásnál valamennyi erıforrás specializálódik egyet-len termék gyártására, ezért az erıforrások többségére igaz, hogy:

ttöbbP

≥ 1

Minden erıforrás állandóan egyetlen terméket gyárt, továbbá a nagyobb mennyi-ség, valamint a jobb kapacitáskihasználás érdekében az egyes tevékenységeketpárhuzamosan több erıforráson is végzik. A termelésmenedzsment tevékeny-ségének súlypontját ebben az esetben a gyártósor-kiegyenlítés, valamint a nagytömegben készülı termékek minıségének biztosítása jelenti.

A gyártás tömegszerőségének a gyártási idı és az inputperiódus viszonyaalapján történı osztályozásakor az egyik leggyakoribb kritikai észrevétel, hogyátlagos értékekkel számol, nem veszi figyelembe a termelés tényleges ütemezé-sét. Az inputperiódus átlagos értéke mögött lehet egy olyan termelési program,amely az év egy meghatározott rövid szakaszában tömegszerően gyártja a ter-méket, de lehet egy olyan termelési program is, amely egyenletes idıközönkéntegy másik termék gyártását megszakítva újra gyártja a terméket. E kritika elle-nére a termelési rendszer erıforrásainak sajátosságai és a termelésmenedzsmentfeladatai a bemutatott osztályozás alapján jól jellemezhetık.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


24 1. BEVEZETÉS

A termékek sorozatnagyság szerinti osztályozása azért fontos, mert kompe-titív termelési költség, és ezáltal versenyképes eladási ár csak akkor érhetı el,ha a termelırendszer sajátosságai összhangban vannak a gyártandó termék tö-megszerőségével. Az egyedi, sorozat- és tömeggyártás legfontosabb jellemzıitösszefoglalóan az 1.3. táblázat tartalmazza [44]. A táblázat részletes elemzésehelyett szemléltetésként a mőszaki menedzsment sajátosságait emeljük ki.

Egyedi gyártásnál a mőszaki menedzsment egy olyan termelési folyamat spe-cialistája, amelynek a segítségével sokféle termék legyártható (például építıipariprojektek). Sorozatgyártásnál ugyanakkor, a mőszaki menedzsment egy vagynéhány termék gyártásának a szakértıje. Tömeggyártásnál a mőszaki menedzs-ment elsısorban az alkalmazott berendezéseket és azok menedzselési kérdéseit(kapacitás, karbantartás) ismeri jól.

Ha egy terméket nem a gyártás tömegszerőségéhez legjobban illeszkedı erı-források segítségével gyártunk, akkor az veszít versenyképességébıl. Példakénttekintsünk egy egyedi gyártásra berendezkedett termelırendszert, amely az igénynövekedése miatt nagy mennyiségben kíván gyártani egy terméket. A szakkép-zett, és ezért drága szakemberek, az univerzális, és ezért nagy mennyiségbenelvégzendı feladat szempontjából nem termelékeny gépek, az egyedi jelleggelkészített alkatrészek stb. a termelés költségét nagymértékben megnövelik. Havalamelyik versenytárs nagysorozat gyártására alkalmas folyamat segítségévelkészíti el ugyanezt a terméket, akkor a betanított munkások alacsonyabb bér-költsége, a specializált berendezések nagyobb termelékenysége, a standardizáltalkatrészek felhasználása stb. egy sokkal versenyképesebb termelési költségeteredményez. A gyártás tömegszerőségének és a termék iránt jelentkezı igény-nek tehát összhangban kell lennie, amint azt a következı pontban bemutatásrakerülı termék-folyamat mátrix is mutatja.

Meg kell jegyezni, hogy a termelés kifejezést a bevezetıben említett módona szolgáltatásokra is kiterjesztve értelmezzük, mert az egyedi, sorozat- és tö-meggyártás fogalma a szolgáltatások területén is jelentıséggel bír. Gondoljunkpéldául egy étteremre, amely kielégíthet egyedi igényeket (egyedi gyártás), ren-delkezhet közepes választékú ételkínálattal (sorozatgyártás), vagy felszolgálhatnagy mennyiségben, gyorsan egy vagy néhány menüt (tömeggyártás).

Végezetül hangsúlyozni kell, hogy az idı múlásával a termékek iránt jelent-kezı igény változik. Fontos ezért tisztázni, hogy a termék életgörbéjének egyesszakaszaiban milyen tömegszerőséget igényel, és hogyan változik a termelésme-nedzsment szerepe az idı múlásával.

1.4. A TERMÉK-FOLYAMAT MÁTRIX

A termékek iránt jelentkezı igény az elsı piaci megjelenéstıl a piacról való kivo-nulásig jellegzetes módon alakul, amit a termékéletgörbe ír le. Az igény alakulásaaz életgörbe ideje alatt négy szakaszra bontható (1.4. ábra). A piaci bevezetés

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1.4. A TERMÉK-FOLYAMAT MÁTRIX 25

1.3. táblázat: A gyártási típusok jellemzıi

Változók Egyedi gyártás Sorozatgyártás Tömeggyártás

Termék-féleségekszáma

Ritkán vagy csak egy-szer gyártott sokféletermék

Korlátozott számú ter-méktípus sorozataitmeghatározott idısza-konként gyártják

Néhány termék nagysorozatban folyamato-san gyártva

A gyártás tech-nikai elıkészí-tése

Nagyvonalú tervraj-zok, általános techno-lógiai utasítások

A mőveletek nagy ré-szére részletes tervrajzés technológiai utasítá-sok

Részletes tervek éstechnológiai utasításokvalamennyi mőveletre

Anyagok

Standard, a kereskede-lemben rendelkezésreálló anyagok és alkat-részek

Standard és speciálisanyagok és alkatré-szek keveréke

Számos speciálisanyag és alkatrész ki-zárólagos gyártóktól

Gyártási mőve-letek

A termékek és mőve-letek állandóan változ-nak

A mőveletek nagy ré-sze állandó bizonyosperiódusokban

A mőveletek és ter-mékek gyakorlatilagállandóak

Gépek és esz-közök

Általános célú gépekszabványos szerszá-mokkal

Általános célú gépekrészben speciális szer-számokkal

Speciális berendezé-sek, magas fokú auto-matizálás, célszerszá-mok

Üzem-elrendezés

A gépek funkciókalapján csoportosítva

A gépek a termékgyártási mőveleteialapján csoportosítva

Gyártósorok, szerelı-szalagok

Munkaerı

Magasan kvalifikáltmunkások nagy ta-pasztalattal és univer-zális tudással

Kis számú kvalifikáltmunkás, többségébenegyes mőveletekrebetanított munkások

Munkások a gép ke-zelésére és nem a mő-velet elvégzésére beta-nítva

Menedzsment

Folyamatspecialista,a gyártási folyamategyes mőveleteinekszakembere

Termékspecialista, agyártási folyamatotcsak általánosan is-meri

Speciális tudás, amelya gépre, nem pedig atermékre vagy a tech-nológiára irányul

Gyártási költ-ségek

Viszonylag alacsonyfix költség, magas vál-tozó költség

Magasabb fix költség,alacsonyabb változóköltség

Nagyon magas fixköltség, alacsony vál-tozó költség

szakaszában az igény alakulása még bizonytalan, de lassan növekedésnek in-dul. A növekedés szakaszában a termék iránti igény egyenletesen nı, amíg a piacfelvevıképessége és a versenytársak által kijelölt határt el nem éri. Az érettségszakaszában az igény már nem nı, hanem stabil marad a piaci verseny és a tech-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


26 1. BEVEZETÉS

Beve -zetés

Növe -kedés

Érettség Hanyatlás

Idő

Igény

- -

1.4. ábra: A termékéletgörbe szakaszai

nológiai fejlıdés által meghatározott ideig. Végezetül a hanyatlás korszakában atermék iránti igény csökkenni kezd, majd a gazdaságosság, a versenytársak és atechnológiai fejlıdés által meghatározott idıpontban a termék kivonul a piacról.

A termékek életgörbéjének vizsgálata elsısorban a marketing, valamint a stra-tégiai menedzsment feladata. A termékéletgörbék hosszával, a termékeknek azéletgörbe alakja szerinti osztályozásával, az életgörbe egyes szakaszainak hiány-zását magyarázó speciális esetekkel itt nem kívánunk foglalkozni (lásd például[3]). A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy az életgörbe egyes szakaszai ho-gyan függnek össze a gyártás tömegszerőségével, és az egyes szakaszokban mi atermelésmenedzsment fı feladata.

Az 1.5. ábra a gyártás tömegszerősége és a termékéletgörbe közötti kapcsolatotszemlélteti az úgynevezett termék-folyamat mátrix segítségével.

Az ábra szerint a termékéletgörbe bevezetés szakaszában az egyedi, esetlegkissorozat-gyártás a jellemzı. Kis mennyiségben készülı termékekrıl van szó,amelyek feladata minél több vásárlómeghódítása. Ebben a szakaszban a termelés-menedzsmentnek elsısorban az új termék nyújtotta magas mőszaki-technológiaijellemzık biztosítására, a kiemelkedı minıségre, valamint a piaci megjelenésígért határidejének betartására kell koncentrálnia. Ha a termék sikeressé válik,elindul a növekedés szakasza, ezért a tömegszerőség is megváltozik, elıször akis-, majd középsorozat-, végül a nagysorozatgyártás lehet a jellemzı. Ebbena szakaszban a megfelelı minıség mellett egyre fontosabbá válnak a költség-szempontok. Ugyancsak szükségessé válik a disztribúciós hálózat kiépítése,az alkatrészellátás és a szervízhálózat megszervezése. Az érettség szakaszára anagysorozat- és tömeggyártás a jellemzı. Ebben a fázisban a versenyképességmeghatározó tényezıjévé válik a gyártási költség. Ezért a termelésmenedzsmentfı feladatává lép elı a termelékenység javítása, a költségcsökkentés, esetleg azautomatizálás.

Ideális esetben tehát egy termék akkor a legversenyképesebb,ha életgörbéjénekminden szakaszábana termék-erıforrásmátrix átlójábanhelyezkedik el. Ez a gya-korlatban természetesen nagyon ritkán fordul elı, mert amint azt az 1.3. táblázat

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


1.4. A TERMÉK-FOLYAMAT MÁTRIX 27

Bevezetés

egyedi vagykis sorozat

Növekedés Ikis sorozat,

sokféletermék

Növekedés IIközepes soro-

zat, néhányfő termék

Érettség

tömeggyártás

A termék életgörbe szakaszai

Egyedigyártás

Kis- ésközép-

sorozat-gyártás

Nagysorozat-gyártás

Tömeg-gyártás

Agy

ártá

stö

meg

szer

űség

e

Rugalmasság

Nagy

Kicsi

Függőség Kicsi Nagy

B

A

C

D

-

---

-

-

rts

töm

egze

rűsé

ge

1.5. ábra: A termék-folyamat mátrix

is bizonyította, az egyes gyártási sorozatnagyságok nagymértékben különbözıerıforrásokat igényelnek. Abban a termelırendszerben, amely egyedi gyártásraszakosodott, ritkán folytatható versenyképes gyártási költségekkel nagysorozat-gyártás. Ha a termék sikeressé válik, akkor helyzete a termék-folyamat mátrixbanaz átló feletti tartományba kerülhet. Ilyenkor a termelırendszert meg kell vál-toztatni, át kell alakítani a megnövekedett tömegszerőség követelményei szerint.Ennek két klasszikus esete lehetséges:

– A terméket eddig kis sorozatban gyártó vállalat átalakul, és kiépít egynagysorozat-, esetleg tömeggyártásra alkalmas üzemet. Ebben az esetben atermék és a vállalat viszonya az 1.5. ábra A jelő nyila szerint változik meg.

– A terméket kifejlesztı és a piacra bevezetı vállalat eladhatja a gyártás jogátegy tömeggyártásra szakosodott vállalatnak, és energiáját új termék fejlesztéséreés piaci bevezetésére koncentrálhatja. Ebben az esetben a vállalat helyzete az1.5. ábrán a B nyíl szerint, a termék helyzete pedig az A nyíl szerint alakul atermék-folyamat mátrixban.

Ugyanez igaz lehet fordított irányban is. A termék iránti igény az érettségszakaszánakvége felé csökkenni kezd. Ilyenkor a termelırendszert ismét meg kellváltoztatni, át kell alakítani a lecsökkent tömegszerőség követelményei szerint.Ennek két klasszikus esete lehetséges:

– A terméket eddig nagy sorozatban – esetleg tömegszerően – gyártó vállalat

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


28 1. BEVEZETÉS

átalakul, leépíti kapacitásait, és berendezkedik kis- és középsorozat-gyártásra.Ebben az esetben a termék a C jelő nyíl mentén kerül vissza a termék-folyamatmátrix átlójába.

– A terméket eddig tömegszerően gyártó vállalat eladhatja a gyártás jogát egykis- és középsorozat-gyártásra szakosodott vállalatnak, és energiáját új terméktömegszerő gyártására koncentrálja. Ebben az esetben a vállalat helyzete az1.5. ábrán a D nyíl szerint, a termék helyzete pedig a C nyíl szerint alakul atermék-folyamat mátrixban.

Megjegyzendı, hogy a C jelő nyíl nem azt jelenti, hogy az igény ismét a nö-vekedés szakaszába lép, hanem azt, hogy az igény a termékéletgörbe kezdetiszakaszához hasonlóan alacsony, ezért kedvezıbb a kissorozatú gyártás. Elı-fordulhat ugyanakkor, hogy a versenyképesebb gyártási mód az igény újbólinövekedését eredményezi.

Az 1.5. ábra – az 1.3. táblázattal összhangban – azt is mutatja, hogyan változika termelési rendszer rugalmassága, valamint a piaci igénytıl való függısége.Észrevehetjük, hogy minél nagyobb mennyiségben készül egy termék, annáljobban specializálódik a folyamat a termék gyártására, tehát nı a piaci igénytılvaló függés, továbbá csökken a rugalmasság. Ezt a kedvezıtlen folyamatotkívánják kezelni a rugalmas gyártórendszerek, amelyek megpróbálják egyesíteniaz egyedi gyártás rugalmasságát, valamint a tömeggyártás költséghatékonyságát[36]. Ennek ára a megnövekedett beruházásigény, valamint a rendkívül komplextermelésirányítás.

A bemutatott esetek természetesen csak szemléltetı jellegőek,és a termék, a ter-melırendszer, valamint a termelésmenedzsment viszonyát kívánják érzékeltetni.A valóságban egy termelırendszer több, az életgörbe eltérı fázisában lévı termé-ket gyárt egyszerre, a piaci verseny jövıbeni szempontjai gyakran szükségesséteszik egyelıre még nem indokolt nagyságú kapacitások kiépítését, továbbá egytermék termék-folyamat mátrixbeli helyzetének megítélésekor figyelembe kellvenni a versenytársak pozícióit is. Mindezek ellenére a termék-folyamat mátrixátlójától eltávolodó termékeknek elıbb-utóbb mindig számolniuk kell a verseny-képesség csökkenésével.

A termelésmenedzsment szerepe kiemelten fontos annak megítélésében, hogymikor kezd a termék eltávolodni a termék-folyamat mátrix átlójától, és a ter-melırendszer mőködési mutatóinak változása mikor teszi szükségessé a gyártástömegszerőségének és ezzel összhangban a gyártás során felhasznált erıforrásoktulajdonságainak megváltoztatását. Az elırejelzés, kapacitáselemzés, készletgaz-dálkodás, valamint termeléstervezés ismertetésre kerülı törvényszerőségei ésmódszerei nagy segítséget nyújthatnak e feladat sikeres megoldásában.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2. AZ ELİREJELZÉSI MÓDSZEREKALAPÖSSZEFÜGGÉSEI

2.1. BEVEZETÉS – AZ ELİREJELZÉSI MÓDSZEREK OSZTÁLYOZÁSA

A termelésmenedzsment szinte valamennyi feladatának megoldásához nélkü-lözhetetlen a gyártott termék vagy nyújtott szolgáltatás iránti igény várhatómennyiségének meghatározása. A kapacitások nagyságát rendszerint a várhatóigény alapján határozza meg a menedzsment, a szükséges alapanyag- és alkat-részkészlet a gyártott termék iránti igény alapján számítható, a termelési tervcélja a jelentkezı igény gazdasági szempontból kedvezı kielégítése stb. Ezért cél-szerő elsıként tárgyalni azokat az elırejelzési módszereket, amelyek eredményeszükséges a további fejezetek problémáinak megoldásához.

Az elırejelzési módszerek köre igen tág. Elırejelzéseket az élet legkülönfélébbterületein végeznek. Így a gazdasági ciklusok váltakozását, a tızsdei árfolyamokalakulását, a fogyasztói szokások várható alakulását egyaránt elırejelzési mód-szerekkel vizsgálják. Nemgazdasági területrıl példaként az idıjárás elırejelzését,valamint a földrengések várható helyének, idejének és erısségének vizsgálatátemlíthetjük. E fejezetnek nem célja a felsorolt valamennyi probléma megoldá-sára alkalmas eszközök ismertetése. A termelésmenedzsment célú elırejelzésáltalában a rövid és középtávon (napi, heti, negyedévi stb.) jelentkezı és jellegzetes „min-tával” rendelkezı igény várható alakulását vizsgálja. Példaként gondolhatunk egytermelıüzemre, amelynek feladata az üzem heti munkaerı-szükségletének elıre-jelzése. Ilyenkor azt szeretnénk kideríteni, hogy várható-e az elmúlt idıszakbanelvégzett feladatmennyiség növekedése a következı hetekben, szükségessé tévetúlóra tervezését, vagy esetleg a munkáslétszám növelését. Hasonlóan vizsgál-ható egy gyorsétteremlánc munkaerı-szükséglete például a déli csúcsidıszakban,illetve a kora délutáni csendesebb órákban.

A termelésmenedzsment célú elırejelzési módszerek két nagy csoportba sorol-hatók. A kvalitatív módszereket akkor alkalmazzuk, amikor nincsenek számszerő

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


30 2. AZ ELİREJELZÉSI MÓDSZEREK ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI

adataink az igény múltbeli alakulásáról, vagy ha van információ, de az nem al-kalmas arra, hogy segítségével az igény jövıbeni alakulására következtessünk. A2.1. ábra jelzi a termékéletgörbe azon szakaszait, amelyekben ilyen eset fordul-hat elı. A termék bevezetésének szakaszában még nincsenek múltbeli adatok,míg a hanyatlás szakaszában az, ami a múltban történt, már nem alkalmas a jövıalakulásának meghatározására. Az említett szakaszokban alkalmazott jellegzetesmódszerek a szakértıi becslés, a csoportmunkamódszerek, valamint történelmianalógiák [35]. A kvantitatív módszerek az igénnyel kapcsolatos számszerő in-formációk feldolgozására épülnek, és két nagy csoportjukat különböztethetjükmeg. A projektív módszerek az igény múltbeli alakulását vizsgálják, és az ígyfelismert törvényszerőséget vetítik ki a jövıbe. Például vizsgálhatjuk az elmúlthónapok igényének alakulását egy benzinkútnál, és ebbıl következtethetünkarra, hogy a következı hónap forgalma mekkora lesz. E módszerek feltétele-zik azt, hogy ami igaz volt a múltban, az igaz lesz a jövıben is. Jellegzetestechnikái a mozgó átlagok és az exponenciális simítások. A kauzális módszereknem az igény múltbeli alakulását, hanem az igény okának alakulását vizsgálják.Megpróbálják feltárni az igény oka és az igény között fennálló számszerősíthetıtörvényszerőséget, és ezt használják fel az elırejelzéshez. Példaként tekinthetjüka következı hónapban várhatóan megköthetı gépjármő-biztosítások számánakelırejelzését. Azt gondolhatnánk, hogy ha magas az autólopások száma, ak-kor sokan kötnek biztosítást. Megvizsgáljuk ezért, hogy az elmúlt hónapokbanhogyan alakult az ellopott autók és a megkötött biztosítások száma. Ha statisz-tikailag igazolható kapcsolat van a két jelenség között, akkor ezt a kapcsolatotfelhasználhatjuk elırejelzéshez. A kauzális módszerek legfontosabb eszköze aregressziószámítás. A 2.1. ábra jól szemlélteti, hogy a kvantitatív módszerek el-sısorban a termékéletgörbe növekedés és érettség szakaszában használhatók. Eszakaszokban rendelkezésre áll múltbeli adat az igény alakulásáról, ami rövid tá-von jellemzı az igény jövıbeni alakulására, és az igénynek jellegzetes „mintája”van.

E fejezet az elırejelzés kvantitatív módszereivel foglalkozik részletesen. Ennekoka, hogy a késıbbiekben ismertetésre kerülı termelésmenedzsment-problémákelsısorban a termékéletgörbe azon szakaszaiban kapnak nagy hangsúlyt, ame-lyekben kvantitatív információk rendelkezésre állnak. Ez nem azt jelenti, hogypéldául egy új termék bevezetésekor a készletgazdálkodás vagy a kapacitás-tervezés nem igényel elırejelzési információt. E szakaszban azonban a termékelsısorban nem a jó kapacitástervezés és készletgazdálkodás eredményeként je-lentkezı költségelınnyel versenyez a piacon, hanem az újszerőségébıl eredıtulajdonságokkal [49].

A korábbiakban említettük, hogy a termelésmenedzsment célú elırejelzésfeladata a rövid és középtávon (napi, heti, negyedévi stb.) jelentkezı és jellegzetes„mintával” rendelkezı igény vizsgálata. A következıkben tisztázzuk azt, hogymit értünk mintán. A minta az igény változásának jellegzetes formáját jelöli.Hogy ezt a formát szavakba és matematikai formába tudjuk önteni, az igényt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.1. BEVEZETÉS – AZ ELİREJELZÉSI MÓDSZEREK OSZTÁLYOZÁSA 31

- Növekedés Érettség Hanyatlás

Idő

Igény

Kvalitatívmódszerek


Kvantitatívmódszerek

Beve-zetés

Növe-kedés Érettség


2.1. ábra: Az elırejelzési módszerek és a termékéletgörbe

komponensekre bontjuk, és e komponensekbıl rakjuk össze az igény mintáját. Alegjellegzetesebb igénymintákat a 2.2. ábra szemlélteti.

E mintákat úgy kapjuk, hogy az igény következı négy alapvetı komponensétváltozó módon kombináljuk:

– Állandó (konstans) elem. Állandó (konstans) jellegő igényrıl akkor beszélünk,ha az igény ugyan idıszakonként (naponta, hetente stb.) más és más, dea változások egy meghatározott érték körül alakulnak. Természetesen ezt ameghatározott értéket nem ismerjük, ezért végezzük az elırejelzést. Példakéntgondolhatunk egy kis boltra egy lakótelep közepén. Ha a kenyérfogyasztástkívánjuk elıre jelezni, és azt feltételezzük, hogy a bolt vevıköre már kialakult,akkor a kenyér iránti igény napról napra egy átlagos érték körül véletlenszerőeningadozik. Ezt az esetet szemlélteti a 2.2. ábra A-1 mezıje.

– Trendelem. Trendrıl akkor beszélünk, ha az igény idıszakról idıszakra nı(pozitív trend), vagy csökken (negatív trend). Ez a gyakorlatban azt jelenti,hogy van a vevıknek egy kialakult köre, akik hasonló módon fogyasztanakminden idıszakban, és vannak új vevık, akiknek a fogyasztása növekedést(trendet) okoz. Az elızı, bolti példánkat tekintve most arra gondolhatunk, hogyfokozatosan egyre több új lakást adnak át a lakótelepen, és ezért a bolt vevıköreés így az igény is fokozatosan bıvül. A bıvülés lehet additív vagy multiplikatívjellegő. Additív trendnél idıszakról idıszakra egy meghatározott (nem ismert,de elırejelezhetı) értékkel nı az igény (2.2. ábra B-1 mezı), míg multiplikatívtrendnél egy meghatározott (nem ismert, de elırejelezhetı) szorzó fejezi ki, hogyhányszorosára nı az igény idıszakról idıszakra (2.2. ábra C-1 mezı).

– Szezonalitáselem. Szezonalitásról akkor beszélünk, ha periodikusan ismétlıdıidıszakokban az igény jellegzetes mértékben az átlagos igény felett, illetve alattalakul. Ismét gondolhatunk a lakótelepi kis boltunkra, ahol megfigyelték, hogy

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Trendkomponens

Szezonalitás

1 (nincs) 2 (additív) 3 (multiplikatív)

A(nincs)

B(additív)

C(multiplikatív)

2.2. ábra: Jellegzetes igényminták

szombaton lényegesen nagyobb az igény, mert a vásárlók a hétvégére nagyobbmennyiséget vásárolnak. Más termékeknél jellegzetes szezonok lehetnek a hét-végék, téli-nyári hónapok, elsı és második félév stb. A jellegzetes szezonokbanaz igény növekedése, illetve csökkenése lehet additív vagy multiplikatív jellegő.Additív szezonalitásról akkor beszélhetünk, ha a növekedés, illetve csökkenésegy meghatározott (nem ismert, de elıre jelezhetı) mennyiséggel nı, illetve csök-ken. Az igény jellegét trend nélküli additív szezonalitásnál a 2.2. ábra A-2 mezıjeszemlélteti. A multiplikatív szezonalitásnál egy nem ismert, de elıre jelezhetıszorzó fejezi ki, hogy hányszor több, illetve hányszor kisebb az igény az egyesszezonokban. A 2.2. ábra B-3 mezıje például az igény jellegét additív trend ésmultiplikatív szezonalitás esetén szemlélteti.

– Véletlenelem. Az elızıekben ismertetett három elem segítségével az igény jel-lege meghatározható. Ez nem jelenti azonban azt, hogy az igény pontosan a 2.2.ábra valamelyik függvénye szerint alakul, csupán azt, hogy az ábrázolt függvé-nyek körül ingadozik. A véletlenelem következtében mindig egy ponthalmaztkapunk, amikor a tényleges igényt ábrázoljuk, és e ponthalmazban kell felismer-nünk a törvényszerőséget. Ha a véletlenelem nem lenne, akkor nem az igényelırejelzésérıl, hanem az igény pontos értékének számításáról beszélnénk.

Hangsúlyozni kell, hogy a felsorolt négy elem az igény termelésmenedzsmentcélú, rövidtávra szóló elırejelzésekor rendszerint elegendı. Más területeken(marketing, közgazdaságtan) meg szokták még különböztetni a ciklikus és azautokorrelációs elemet. Számunkra azonban ezen elemek tárgyalása most nemszükséges.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.2. AZ ÁLLANDÓ JELLEGŐ IGÉNY ELİREJELZÉSE 33

A következıkben rátérünk az elırejelzési modellek vizsgálatára. Ennek ke-retében elıször bemutatjuk az állandó jellegő igény elırejelzésének lehetıségétmozgó átlaggal és exponenciális simítással. Ezt követıen az additív trenddel,majd a multiplikatív szezonalitással bıvített eseteket vizsgáljuk részletesen, ésösszefoglaljuk a valamennyi esetre érvényes exponenciális simítási modelleket.A kauzális modellek kapcsán bemutatjuk a lineáris regresszióval történı elıre-jelzés alkalmazási lehetıségét, majd az elırejelzés fejezetet az elırejelzési hibákértékelési módszereinek ismertetésével és egy esettanulmány bemutatásával zár-juk.

A modellek bemutatása során egységesen az idıszak jelenti az idı mérésénekegységét, például napot, hetet, hónapot stb. A t idıszak lehet például az 5.hét (t = 5), elsı negyedév (t = 1) stb. Az idıtartam pedig több idıszakot átfogóidıintervallum. A következı fogalmakat és jelöléseket ugyancsak általánosanfogjuk használni:

Dt – valószínőségi változó, amely a t idıszakban az igény tényleges érté-két jelenti. Például 100 darab gépkocsi januárban, 220 tonna cukor az elsınegyedévben, 30 darab eszterga a 13. héten stb.

Ft,t+τ – valószínőségi változó, amely a t idıszakban a t + τ idıszakra végzettelırejelzést jelenti. Például a januárban (t = 1) készített elırejelzés szerint 300darab gépkocsi összeszerelésére lesz igény áprilisban (τ = 3). A két indexszeljelölt elıre jelzett értéknél az elsı index azt fejezi ki, hogy mikor készítjük azelırejelzést, a második index pedig azt mondja meg, hogy mely idıszak igényétkívánjuk elıre jelezni (például F1,1+3 = 300).

Amikor több idıszakra elıre készítjük az elırejelzést, akkor több lépéses elı-rejelzést végzünk. Nagyon gyakran azonban az elırejelzést a soron következıidıszakra végezzük. Ennek az esetnek a korrekt jelölése Ft−1,t lenne. Ám a gya-korlatban ilyenkor elhagyjuk az elsı indexet, és a jelölést úgy értelmezzük, hogyaz index szerinti idıszakra végezzük az elırejelzést, és tudjuk, hogy azt a köz-vetlenül megelızı idıszakban végezzük. Ezt az esetet egylépéses elırejelzésneknevezzük és a következı módon jelöljük:

Ft – valószínőségi változó, amely a t idıszak elıre jelzett igényét jelenti,feltételezve, hogya t−1 idıszakbanvégezzükaz elırejelzést. Például a februárbanmárciusra elıre jelzett igény 300 darab gépkocsi (F3 = 300).

et – az elırejelzési hiba jelölésére használt valószínőségi változó, amely azelıre jelzett igény és a tényleges igény különbsége (Ft − Dt , vagy Ft,t+τ − Dt+τ ).

A további, az egyes modelleknél speciálisan használt jelöléseket a modellektárgyalása során ismertetjük.

2.2. AZ ÁLLANDÓ JELLEGŐ IGÉNY ELİREJELZÉSE

Állandó (konstans) jellegő igényrıl akkor beszélhetünk, ha a termék vagy szol-gáltatás iránti igény egy meghatározott érték körül véletlenszerően szóródik.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Természetesen ezt az értéket nem ismerjük, de a rendelkezésünkre álló múltbeliinformációk alapján megpróbáljuk megbecsülni. Ahogyan múlik az idı, és egyretöbb információ áll rendelkezésünkre, a feltételezett értéket módosítjuk. Állandójellegő igénynél az igényt, mint valószínőségi változót a következı módon írjukle:

Dt = µ + εt E {εt } = 0; V AR {εt } = σ 2

ahol µ az igény nem ismert konstans értéke, εt pedig valószínőségi változó,amely a konstans értéktıl való eltérés mértékét fejezi ki a t idıszakban. Azeltérés várható értéke zéró, jelezve, hogy az igény tényleg egy állandó érték körülszóródik. E szóródás mértékét a σ 2 jelöli, amely a tényleges igény szórásnégyzete,és az igényre vonatkozó múltbeli adatok statisztikai értékelésével határozhatómeg.

Az állandó (konstans) jellegő igény elırejelzésének problémáját szemlélteti a2.3. ábra. A múltbeli igény alakulását ismerve (az ábrán lévı ponthalmaz) ésa t − 1 idıszakban tartózkodva szeretnénk elırejelezni az igényt a t idıszakra,illetve többlépéses elırejelzés esetén a t + τ idıszakra. Az állandó jellegő igényelırejelzésére a következıkben két módszert ismertetünk.

t–1 t t+t

idő

Igény

Dt–1

Dt–1–F

t

2.3. ábra: Állandó (konstans) jellegő igény elırejelzése

2.2.1. Állandó jellegő igény elırejelzése mozgó átlaggal

A 2.3. ábrát megvizsgálva célszerőnek tőnhet a pontok közé egy egyenest jóhelyre berajzolni és azt használni elıre jelzett értéknek (lásd a szaggatott vonalat).

Ez a vonal akkor lesz jó helyen, ha a pontok a lehetı legkisebb mértékben szó-ródnak az egyenes körül. Ennek érdekében határozzuk meg az egyenes helyétúgy, hogy a pontok egyenestıl mért távolságnégyzeteinek átlaga (átlagos hiba-négyzet, ÁHN) a lehetı legkisebb legyen, tehát keressük az alábbi összefüggés F

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



szerinti minimumát:

ÁHN =1N

·N

∑

i=1

(F − Di )2 =1N

·N

∑

i=1

(F2 − 2F Di + D2i )

Az átlagos hibanégyzet függvényt F szerint deriválva és zéróval egyenlıvé tévekapjuk meg azt az értéket, amely körül a 2.3. ábra pontjai csak kis mértékbenszóródnak:

∂ÁHN∂ F

=1N

·N

∑

i=1

(2F − 2Di ) = 0 → F =1N

·N

∑

i=1

Di

Azeredménybıl látható,hogyaz elmúlt idıszak átlagainakkiszámításával kapjukmeg azt az értéket, amely körül a pontok a legkisebb mértékben szóródnak.

Gyakorlati szempontból azonban nem lenne kedvezı valamennyi múltbeliidıszak igényét felhasználni az elırejelzéshez, mert akkor nagyon régi, a mostaniigényre már esetleg kevésbé jellemzı adatokat is fegyelembe vennénk. Ezértvégezzük az elırejelzést úgy, hogy mindig számítsuk a legutolsó (legfrissebb) Nigényadat átlagát. Az így számított értéket nevezik mozgó átlagnak, amely szerinttehát a t idıszak egylépéses elırejelzése a következı:

Ft =1N

·t−N∑

i=t−1

Di =1N

· (Dt−1 + Dt−2 + . . . + Dt−N )

A t idıszak elteltével megismerjük annak tényleges igényét, és a t + 1 idıszakigényére új elırejelzést készítünk, elhagyva a legrégebbi (Dt−N ) és figyelembevéve a legfrissebb (Dt ) információt. A mozgó átlag alapján aktualizált elırejelzésa t + 1 idıszakra a következı módon alakul:

Ft+1 =1N

·t−N+1∑

i=t

Di =1N

· (Dt + Dt−1 + . . . + Dt−N+1) =

=1N

·

Dt +t−N∑

i=t−1

Di − Dt−N

= Ft +1N

· [Dt − Dt−N ]

Látható, hogy az aktualizálás a legfrissebb és a legrégibb igényadat különbségealapján történik. Ebbıl az következik, hogy minél nagyobb N értéke, annálkisebb mértékben módosítjuk az elızı idıszak elırejelzését. Logikusan vetıdikfel a kérdés, hogy hány adatot vegyünk figyelembe a mozgó átlag számításakor,azaz mekkorára válasszuk meg N értékét a gyakorlatban. A válaszadáskor akövetkezı szempontokat kell figyelembe venni:

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– Nagy érték választásakor a sok adat alapján számolt átlagbanelvész a kiugróannagy (vagy alacsony) igény jelentısége. Ilyenkor elkerüljük a túlreagálást,például kapacitásbıvítést egyszeri nagy igény véletlenszerő jelentkezése esetén.Ugyanakkor nagy N választása kedvezıtlen is lehet, mert nem teszi lehetıvé arugalmas reagálást a vevık igényeinek változására. A nagy érték választásakorarra építünk, hogy az igény konstans jellegő, tehát az elıre jelzett értéktıl felfelé éslefelé eltérı igények hosszú távon kiegyenlítik egymást. A nagy N választásakorszámított elıre jelzett igény egy egyenletes termelési tervet motivál, aminek aza következménye, hogy egy adott idıszak megnövekedett igényét esetleg csaksokkal késıbb tudjuk kielégíteni, ha azt a vevı hajlandó megvárni.

– Kis érték választásakor az igénynek a konstans elem körüli szóródása hang-súlyosan fog megjelenni az elırejelzésben. Minél kisebb értéket választunk N-re,annál nagyobb mértékben fogja követni az elırejelzés a vevık igényeinek vé-letlenszerő változását. Ilyenkor egy adott idıszak kiugróan magas igényét mára következı néhány idıszak többlettermelésébıl is ki tudjuk elégíteni. Ter-mészetesen az igény változását állandóan nagymértékben követı elırejelzésnekkedvezıtlen következményei lehetnek a készletgazdálkodás, a kapacitás- és ter-meléstervezés területén.

Az N értékének megválasztásakor tehát a vevık, valamint a termelı- vagyszolgáltatórendszer sajátosságait, továbbá a menedzsment politikáját egyarántfigyelembe kell venni.

Konstans jellegő igény feltételezésekor azt gondoljuk, hogy az igény egymeghatározott érték körül véletlenszerően ingadozik. Ezt a meghatározottértéket próbáljuk elıre jelezni, és ahogy újabb és újabb információhoz jutunk(megismerjük az igény tényleges alakulását az idıszakok elteltével), módosítunkaz elırejelzésen. Ezért nem azonos Ft értéke Ft+1 értékével. Mi történne,ha több lépéses elırejelzést végeznénk, például már a t − 1 idıszakban megszeretnénk mondani az igény várható alakulását a t + 1 idıszakban. Keressüktehát Ft−1,t+1 értékét. Miután az igény konstans jellegő, a t − 1 idıszakban a tidıszakra várt igény indokoltan várható a t + 1 idıszakra is, tehát Ft−1,t+1 = Ft . At − 1 idıszakból nézve tehát ugyanazt az elırejelzést adjuk valamennyi továbbiidıszakra. Általánosan fogalmazva: Ft−1,t+τ = Ft . Hangsúlyozni kell mégegyszer, hogy ez a megállapítás az igény konstans jellegének a feltételezésébılkövetkezik.

Vizsgáljuk meg a továbbiakban a mozgó átlaggal kapott elırejelzés elırejelzésihibájának két fontos statisztikai tulajdonságát.

1. Az elırejelzési hiba várható értéke a következı módon alakul:

E{et } = E{Ft − Dt } = E{Ft } − E{Dt } = E

1N

·t−N∑

i=t−1

Di

− E{Dt } =

=1N

· [E{Dt−1}+E{Dt−2}+ . . . +E{Dt−N }] − E{Dt } =1N

· Nµ − µ = 0

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A levezetés arra a feltételezésre épül, hogy Dt várható értéke mindig a nem ismertµ. Az eredménybıl látható, hogy az elırejelzési hiba várható értéke zéró, tehátha az igény konstans jellegő, akkor hosszú távon végezve az elırejelzést mozgóátlaggal, nem követünk el szisztematikus hibát. Természetesen ez nem jelenti azt,hogy az egyes idıszakokban nem lesz elırejelzési hiba, csupán azt jelzi, hogy azigények túl-, illetve alábecslései hosszú távon kiegyenlítik egymást.

2. Az elırejelzési hiba szórásnégyzete a következı összefüggés alapján számítható:

V AR{et } = V AR{Ft − Dt } = V AR{Ft } + V AR{Dt } =

= V AR

1N

·t−N∑

i=t−1

Di

+ V AR{Dt } =

=1

N2 · [V AR{Dt−1}+V AR{Dt−2}+ . . . +V AR{Dt−N }] +V AR{Dt } =

=1

N2 · Nσ 2 + σ 2 = σ 2 ·[

1 +1N

]

A kapott összefüggés kapcsolatot teremt az elırejelzési hiba szórásnégyzeteés az igény szórásnégyzete között. Az eredménybıl látható, hogy N = ∞esetén az elırejelzési hiba és az igény szórásnégyzete megegyezik, továbbá kisértékő N esetén az elırejelzési hiba szórásnégyzete nagyobb lesz, mint az igényszórásnégyzete. N = 1 esetén, tehát az igényt egy idıszaknyi késéssel követveaz elırejelzési hiba szórásnégyzete az igény szórásnégyzetének duplájára nı.Statisztikailag tehát N-re nagy érték választása a kedvezıbb, de természetesen ezellentmondhat a korábban említett menedzsmentszempontoknak.

A továbbiakban egy egyszerő példán szemléltetjük a mozgó átlaggal tör-ténı elırejelzés mőködését a gyakorlatban. Egy repülıgépmotorokat javítóüzem munkaerı-gazdálkodás céljából szeretne negyedéves elırejelzést készí-teni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Három negyedévrevisszamenıleg ismert az igény tényleges értéke, amely rendre 200, 250, 175.

A negyedik negyedévre három negyedévi mozgó átlaggal végezve az elırejel-zést (N = 3) a következı értéket kapjuk:

F4 =13(D1 + D2 + D3) =

13(200 + 250 + 175) = 208,33 ≈ 208 darab

A harmadik negyedévben a következı év elsı negyedévére (ötödik negyedévre)készített elırejelzés megegyezik a negyedik negyedévre kapott értékkel:

F3,5 = F4 = 208 darab

A negyedik negyedév elteltével azt tapasztaljuk, hogy ténylegesen 186 darabmotort kellett megjavítani. Az elırejelzési hiba tehát a negyedik negyedévben akövetkezı:

e4 = F4 − D4 = 208 − 186 = 22 darab

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az új információ birtokában módosíthatjuk a következı év elsı negyedévére(ötödik negyedévre) készített elırejelzést:

F5 =13(D2 + D3 + D4) =

13(250 + 175 + 186) = 203,67 ≈ 204 darab

Az elırejelzések és elırejelzési hibák alakulását három (N = 3) és hat (N = 6)negyedévi mozgó átlagokkal számolva a 2.1. táblázat tartalmazza. A 2.4.ábra pedig a tényleges igény és az elıre jelzett igény alakulását szemlélteti. Atáblázat adatai, valamint az ábra alapján egyaránt látható, hogy nagyobb Nesetén az elırejelzés sokkal egyenletesebb, kevésbé követi az igény véletlenszerőváltozását.

2.1. táblázat: Példa elırejelzésre mozgó átlaggal

Negyedév Dt M A(3) et M A(6) et

1 200

2 250

3 175

4 186 208,33 22,33

5 225 203,67 −21,33

6 285 195,33 −89,67

7 305 232,00 −73,00 220,17 −84,83

8 190 271,67 81,67 237,67 47,67

9 260,00 227,67

2.4. ábra: Az elırejelzés alakulása N = 3 és N = 6 értékeknél

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.2.2. Állandó jellegő igény elırejelzése exponenciális simítással

Exponenciális simításkor az elıre jelzett igény a közvetlenül megelızı idıszaktényleges igényének és elıre jelzett igényének súlyozott átlaga, tehát:

Ft = αDt−1 + (1 − α) · Ft−1 0 ≤ α ≤ 1

Az α tényezıt simítási konstansnak (simítási együtthatónak) nevezik, és értékét amenedzsment 0 és 1 között szabadon választhatja meg. A fenti összefüggés átala-kításával érthetıbbé tehetı a simítási konstans szerepe. Az egyenlet átrendezése,valamint az elırejelzési hiba összefüggésének felhasználása után a következıképletet kapjuk:

Ft = Ft−1 − α(Ft−1 − Dt−1) = Ft−1 − αet−1

A t idıszakra végzett elırejelzés tehát az elızı idıszak elırejelzésénekmódosításaaz elkövetett elırejelzési hiba egy meghatározott részével. Az α megválasztá-sán keresztül a menedzsment határozza meg azt, hogy milyen mértékben kellmódosítani az elırejelzést. Szélsıséges esetben, α = 1 értéknél olyan mértékbenváltoztatjuk az elırejelzést, amilyen mértékő a hiba volt, tehát az elıre jelzett ér-ték a közvetlenül megelızı idıszak tényleges igénye lesz. Ha pedig α = 0, akkornem változtatunk az elırejelzésen, nem követjük az igény véletlenszerő váltako-zását arra gondolva, hogy konstans jellegő igénynél az alá- és fölébecsült igényekhosszú távon úgyis kiegyenlítik egymást. Az α = 1 közelébe esı értékek tehátigénykövetı, míg az α = 0 közelébe esı értékek stabil elırejelzést jelentenek agyakorlatban. Ezen megfontolások alapján érthetı, hogy az exponenciális simí-tásnál alkalmazott α szerepe hasonló a mozgó átlagnál alkalmazott N szerepéhez.Mozgó átlagnál a nagy értékő N-hez tartozó elırejelzés jellege hasonló lesz azexponenciális simítás zéró közeli simítási konstansnál kapott elırejelzéséhez.

Többlépéses elırejelzéskor az exponenciális simításnál ugyanazok a megfonto-lások érvényesek,mint amozgóátlagnál. Hakonstans jellegő igényt feltételezünk,akkor Ft−1,t+τ = Ft , tehát a t − 1 idıszakból nézve ugyanazt az elırejelzést adjukvalamennyi további idıszakra.

Vizsgáljuk meg a következıkben, hogy miért hívják ezt a módszert exponenci-álisnak. A t idıszak elırejelzését a megelızı t − 1 idıszak elıre jelzett igényénekfelhasználásával számítjuk, amelyet viszont a t − 2 idıszak elıre jelzett igényé-nek felhasználásával kapunk, és így tovább. Részletesen beírva e számításokat azexponenciális simítás alapösszefüggésébe, a következı eredmény adódik:

Ft = αDt−1 + (1 − α)Ft−1 = αDt−1 + (1 − α) · [αDt−2 + (1 − α)Ft−2] =

= αDt−1 + α(1 − α)Dt−2 + (1 − α)2Ft−2 =

= αDt−1 + α(1 − α)Dt−2 + α(1 − α)2 Dt−3 + (1 − α)3 Ft−3 =

= αDt−1+α(1 − α)Dt−2+α(1 − α)2Dt−3+ . . . +α(1 − α)t−1 D0+(1 − α)t F0

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az összefüggésbıl látható, hogy ha több idıszakon keresztül egymás után ex-ponenciális simítással végezzük az elırejelzést, akkor az exponenciális simításösszefüggésében implicit módon szerepel valamennyi múltbeli igény, expo-nenciálisan csökkenı súlyszámokkal. Az átalakított összefüggés tömörebben akövetkezı módon írható:

Ft =t−1∑

i=0

α(1 − α)i Dt−i−1 + (1 − α)t F0

Az exponenciálisan csökkenı súlyszámok összege t → ∞ esetén, tehát ha hosszúidın át végezzük az elırejelzést exponenciális simítással, egy mértani sor összege:

∞∑

i=0

α(1 − α)i = α ·∞∑

i=0

(1 − α)i = α ·1

1 − (1 − α)= 1

A súlyszámok összege végtelen hosszú idıtartamra pontosan, ennél rövidebbidıtartamra pedig közelítıleg 1. Az exponenciális simítással történı elırejelzéstehát úgy fogható fel, mint a múltbeli igények súlyozott átlaga, ahol a súlyszámokexponenciálisan csökkennek. Ez a csökkenés 1-hez közeliαértéknél gyorsabb, míg0-hoz közeli α értéknél lassabb. Ez a megállapítás összhangban van azon korábbikövetkeztetésünkkel, hogy 1-hez közeli α az igény változását jobban követıelırejelzést eredményez. Ilyenkor a régebbi adatoknak nyilván kisebb jelentıségevan az igény elırejelzésekor, ami matematikailag a régebbi igények kisebbsúlyszámában nyilvánul meg. A súlyszámok változását az idı függvényében a2.5. ábra szemlélteti. Észrevehetjük, hogy ha α értéke 0,9, akkor a múltbeli adatoksúlya már néhány idıszak után zéró közelében lesz.

2.5. ábra: A súlyszámok változása

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az exponenciális simítás részletesen kifejtett összefüggésének utolsó tagja(1 − α)t F0. E tagban F0 egy olyan induló elırejelzés, amelyet az elırejelzéskezdete elıtti adatok alapján kell meghatározni. Az F0 érték meghatározását azelırejelzési modell inicializálásának nevezik. Az F0 érték helyes megválasztásánakzéróhoz közeli α esetén különös jelentısége van, mert ilyenkor az (1 − α)t tagsokáig nagy értéket eredményez, ezért az F0 kezdı érték sokáig befolyásoljaaz elırejelzést. Az exponenciális simítási modellek inicializálási technikáira akésıbbiekben még visszatérünk.

Vizsgáljuk meg a továbbiakban az exponenciális simítással kapott elırejelzéselırejelzési hibájának két fontos statisztikai tulajdonságát.

1. Az elırejelzési hiba várható értéke a következı módon alakul:

E{et } = E{Ft − Dt } = E{Ft } − E{Dt } == E{αDt−1 + α(1 − α)Dt−2 + . . . + α(1 − α)t−1 D0 + (1 − α)t F0} − E{Dt } =

=[

αE{Dt−1} + α(1 − α)E{Dt−2} + . . .

. . . + α(1 − α)t−1 E{D0} + (1 − α)t E{F0}]

− E{Dt } =

= µ ·[

α + α(1 − α) + . . . + α(1 − α)t−1] + (1 − α)t F0 − µ ≈ µ + 0 − µ = 0

Az elırejelzési hiba várható értéke zéró, tehát ha az igény konstans jellegő, ak-kor hosszú távon végezve az elırejelzést exponenciális simítással nem követünkel szisztematikus hibát. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy az egyes idısza-kokban nem lesz elırejelzési hiba, csupán azt jelzi, hogy az igények túl-, illetvealábecslései hosszú távon kiegyenlítik egymást.

2. Az elırejelzési hiba szórásnégyzete a következı összefüggéssel számolható:

V AR{et } = V AR{Ft − Dt } = V AR{Ft } + V AR{Dt } == V AR{αDt−1 + α(1 − α)Dt−2 + . . . + α(1 − α)t−1D0 + (1 − α)t F0} + V AR{Dt } =

=[

V AR{αDt−1} + V AR{α(1 − α)Dt−2} + . . .

. . . + V AR{α(1 − α)t−1D0} + V AR{(1 − α)t F0}]

+ V AR{Dt } =

=[

α2σ 2 + α2(1 − α)2σ 2 + . . . + α2(1 − α)2(t−1)σ 2]

+ (1 − α)2t V AR{F0} + σ 2 =

= α2σ 2 [

1 + (1 − α)2 + . . . + (1 − α)2(t−1)] + (1 − α)t V AR{F0} + σ 2 ≈

≈ α2σ 2 11 − (1 − α)2

+ σ 2 = σ 2[

α2

2α − α2 + 1]

= σ 2 22 − α

A kapott összefüggés kapcsolatot teremt az elırejelzési hiba szórásnégyzete és azigény szórásnégyzete között. Az eredménybıl látható, hogy α = 0 értéknél az elı-rejelzési hiba és az igény szórásnégyzete megegyezik, továbbá, α növekedésévelaz elırejelzési hiba szórásnégyzete nagyobb lesz, mint az igény szórásnégyzete.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Ha pedig α = 1, akkor az elırejelzési hiba szórásnégyzete az igény szórásnégy-zetének duplájára nı. Statisztikailag tehát α-ra zéróhoz közeli érték választásaa kedvezıbb, de természetesen ez ellentmondhat a korábban említett menedzs-mentszempontoknak.

A továbbiakban egy egyszerő példán szemléltetjük az exponenciális simítássaltörténı elırejelzés mőködését a gyakorlatban. Ismét tekintsük a repülıgépmoto-rokat javító üzemet, amely munkaerı-gazdálkodás céljából szeretne negyedéveselırejelzést készíteni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Feltéte-lezzük, hogy ismert az elsı negyedévi tényleges igény, melynek értéke 200 darabmotor. A simítási konstans értéke legyen 0,1.

A második negyedévi igény meghatározásához egy kezdıérték választásaszükséges (inicializálás). Egyéb információ hiányában legyen a kezdı elırejelzésiérték egyenlı az elsı negyedév igényével, tehát F1 = 200. Ez a gyakorlatban nemfeltétlenül szerencsés választás, de egyéb információ hiányában alkalmazható.Ekkor a második negyedévi elırejelzés a következı módon alakul:

F2 = αD1 + (1 − α) F1 = 0,1 · 200 + (1 − 0,1) · 200 = 200 darab

Az elsı negyedévben minden további negyedévre ez marad az elırejelzés, tehát:

F1,1+τ = F2 = 200 darab

A második negyedév elteltével azt tapasztaljuk, hogy ténylegesen 250 darabmotort kellett megjavítani. Az elırejelzési hiba tehát a második negyedévben akövetkezı:

e2 = F2 − D2 = 250 − 200 = 50 darab

Az új információ birtokában módosíthatjuk a harmadik negyedévre készítettelırejelzést:

F3 = αD2 + (1 − α) F2 = 0,1 · 250 + (1 − 0,1) · 200 = 205 darab

A második negyedévben a harmadik negyedévre készített elırejelzés azért maga-sabb az elsı negyedévben kapott értéknél, mert a második negyedévi ténylegesigény az elıre jelzettnél nagyobb volt. Az elırejelzés módosítása azért csakkis mértékő (5 darab), mert α zéróhoz közeli választása az igény véletlenszerőváltozásának csak kis mértékő követését teszi lehetıvé.

Az elırejelzések, valamint az elırejelzési hibák alakulását α = 0,1 és α = 0,7simítási konstansokkal számolva a 2.2. táblázat tartalmazza. A 2.6. ábra pedig atényleges igény és az elıre jelzett igény alakulását szemlélteti. A táblázat adatai,valamint az ábra alapján egyaránt látható, hogy kisebb α értéknél az elırejelzéssokkal egyenletesebb, kevésbé követi az igény véletlenszerő változását.

Végezetül térjünk vissza egy megjegyzés erejéig α értékének megválasztá-sához. Az elızıekben bemutattuk, hogy milyen menedzsment szempontok

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.2. táblázat: Példa elırejelzésre exponenciális simítással

Negyedév Dt E X P(0,1) et E X P(0,7) et

1 200 200,00 0 200,00 0

2 250 200,00 −50,00 200,00 −50,00

3 175 205,00 30,00 235,00 60,00

4 186 202,00 16,00 193,00 7,00

5 225 200,40 −24,60 188,10 −36,90

6 285 202,86 −82,14 213,93 −71,07

7 305 211,07 −93,93 263,68 −41,32

8 190 220,47 30,47 292,60 102,60

9 217,42 220,78

2.6. ábra: Az elırejelzés alakulása α = 0,1 és α = 0,7 értékeknél

indokolhatják a kisebb, illetve nagyobb érték választását. A simítási konstans ér-téke azonban matematikai alapon is választható. Tételezzük fel, hogy ismert azelmúlt K darab idıszak tényleges igénye és az elırejelzést csak a K + 1 idıszaktólkezdve végezzük. Ilyenkor választhatunk egy, a múltbeli adatokra jól illeszkedısimítási konstanst. Ehhez az elsı idıszaktól a K idıszakig írjuk fel az elırejelzésképletét α függvényében, tehát határozzuk meg az Fi i = 1, . . . , K számításáhozszükséges összefüggéseket egy önkényesen felvett F0 segítségével. Miután is-mertek a Di i = 1, . . . , K értékek, az elırejelzési hiba összefüggései is felírhatók α

függvényében. Az így kapott ei = Fi − Di i = 1, . . . , K összefüggések részletesenkifejtve a következık:

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



eK =−DK +αDK−1+α(1−α)DK−2+ · · · +α(1−α)K−2 D1+α(1−α)K−1 D0+ (1−α)K F0

eK−1= − DK−1 + αDK−2 + · · · +α(1−α)K−3 D1+α(1−α)K−2 D0+(1−α)K−1 F0...

......

......

......

...e2 = −D2+ αD1 + α(1−α)D0 + (1−α)2 F0

e1 = −D1 + αD0 + (1−α)1 F0

Valamennyi felírt elırejelzési hiba α és F0 függvénye. F0 értékét szabadonmegválasztva és a hibanégyzetek összegének minimalizálását célul tőzve ki akövetkezı szélsıérték keresési feladatot kapjuk:

M I NK

∑

i=1

e2i = M I N f (α)

E feladatot numerikus módszerekkel megoldva, α-ra egy olyan értéket kapunk,amely jól illeszkedik az elmúlt K számú idıszak tényleges igényéhez. Ezt azeljárást nemcsak az elırejelzés megkezdése elıtt végezhetjük el, hanem idırılidıre, az elırejelzés elırehaladtával számíthatunk egy olyan α értéket, amely jólilleszkedik az összegyőlt adatokra. E módszert adaptív elırejelzésnek hívják, éslényege, hogy α értéke az elırejelzés során változik, ha azt az összegyőlt adatokindokolttá teszik.

2.2.3. A mozgó átlag és exponenciális simítás összehasonlítása

Hasonlítsuk most össze a konstans jellegő igény elırejelzésére ismertetett kétmódszert annak érdekében, hogy el tudjuk dönteni, mikor melyiket érdemesalkalmazni. Elıször tekintsük át a hasonlóságokat.

– Mindkét módszernél fontos megjegyezni, hogy konstans igény elırejelzésérealkalmas, tehát olyan esetekre, amelyeknél az igény egy meghatározott, de nemismert érték körül véletlenszerően változik. Ha ez nem így van, akkor e mód-szerek hibás elırejelzést adnak. Könnyen belátható, hogy mindkét módszerhasonlóan reagál, ha tévesen, trenddel rendelkezı igénynél alkalmazzuk. Miutánaz elırejelzéshez mindkét módszer felhasznál múltbeli adatokat, az igény növe-kedésekor (pozitív trend) a múltbeli adatok visszahúzzák az elırejelzés értékét.Mindkét módszer elırejelzése lemarad tehát a pozitív trend mögött (alábecslés),illetve a negatív trend elıtt halad (túlbecslés).

– Mindkét módszer egyparaméteres, tehát a menedzsment egy paraméterenkeresztül érvényesítheti szempontjait. A mozgó átlagnál az elırejelzésnél figye-lembe vett idıszakok számának (N) meghatározásával, az exponenciális simí-tásnál pedig a simítási konstans (α) megválasztásával kaphatunk igénykövetıbbvagy egyenletesebb elırejelzést. Azt is megfigyelhetjük, hogy az elırejelzési hibavárható értéke mindkét módszernél zéró, a szórás viszont mindkét módszer-nél az említett paraméterektıl függ és e paraméterekre hasonlóan reagál. A két

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.3. TREND JELLEGŐ IGÉNY ELİREJELZÉSE EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁSSAL (HOLT-MÓDSZER) 45

elırejelzési szórásnégyzet-összefüggést egyenlıvé téve megtudhatjuk, hogy a pa-raméterek mely értékeinél statisztikailag egyenértékő a két módszer eredménye:

σ 2M A = 1 +

1N

= σ 2E X P =

22 − α

A kapott összefüggésbıl α az N függvényében, illetve N az α függvényébenkifejezhetı. Az átalakítást elvégezve, a következı összefüggéseket kapjuk:

α =2

N + 1, illetve N =

2 − α

α

Az összefüggések alapján azt mondhatjuk, hogy például egy három idıszakalapján készített mozgó átlag elırejelzés (N = 3) egy α = 0,5 simítási konstansúexponenciális simítás elırejelzésével egyenértékő. Ez nem jelenti azt, hogy a kétmódszer számszerően azonos elırejelzést ad, de az elırejelzési hiba szórása ésvárható értéke alapján az elırejelzések statisztikailag egyenértékőek lesznek.

Tekintsük át most a két módszer lényeges különbségeit.– Az egyik legfontosabb különbség az adatigény. Míg a mozgó átlag az elmúlt

N számú idıszak tényleges igényét használja fel, addig az exponenciális simításcsak a közvetlenül megelızı idıszak igényadatával számol. Az exponenciális si-mítás tehát lényegesen kevesebb adatot igényel. A korszerő számítástechnikaieszközök ennek jelentıségét megkérdıjelezik, de az adatokkal kapcsolatban szer-vezési szempontok is felmerülnek. Gondoljunk például egy bevásárlóközpontra,amelyben mozgó átlaggal végzik az elırejelzést több tízezer termékre a legu-tolsó száz nap adatai alapján. Ilyenkor a nagy adatmennyiség tárolása mellett azadatok pontos felvétele és karbantartása is nehézséget okozhat.

– A másik lényeges eltérés a múltbeli adatok súlya. A 2.2.2. fejezetben megál-lapítottuk, hogy az exponenciális simítással készült elırejelzés implicit módonvalamennyi múltbeli adatot figyelembe veszi exponenciálisan csökkenı súllyal.A mozgó átlag ugyanakkor az elmúlt N idıszak igényét veszi figyelembe azo-nos (1/N) súllyal. A menedzsmentnek kell eldöntenie, hogy a jövıbeni igényalakulására mi a jellemzıbb. Egyformán fontos-e az, ami az elmúlt néhány idı-szakban történt, vagy egyre kevésbé fontos az, ami a múltban történt? Itt meg kelljegyezni, hogy a mozgó átlag alkalmazhat eltérı súlyokat az elmúlt N idıszakadataira. Ezt a módszert súlyozott mozgó átlagnak nevezik [7].

2.3. TREND JELLEGŐ IGÉNY ELİREJELZÉSE EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁS-SAL (HOLT-MÓDSZER)

Trend jellegő igénynél az igény fokozatosan nı vagy csökken. Ahhoz, hogyebben az esetben elırejelzést tudjunk készíteni, a növekedés (vagy csökkenés)

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



jellegérıl valamilyen feltételezéssel kell élnünk. Ha az igényre az a jellemzı, hogyidıszakonként egy meghatározott (nem ismert, de elıre jelezhetı) mennyiséggelnı, akkor additív trendrıl beszélünk. Additív trendnél az igényt a következıösszefüggés alapján modellezzük:

Dt = µ + Gt + εt E {εt } = 0; V AR {εt } = σ 2‘

ahol µ az igény konstans eleme, G pedig az idıszakonkénti növekedés üteme (anövekedés gradiense). Az igényt úgy tekintjük, mintha annak minden idıszakbanlenne egy állandó eleme (például a már meglévı vevık köre), valamint egynövekedése (például az új vevık köre). E kettı együtt alkotja az átlagos igényt,amely körül véletlenszerően változik az igény tényleges értéke. Ezt a véletlenváltozást a t idıszakban az εt valószínőségi változó fejezi ki. Az εt várhatóértéke zéró, jelezve azt, hogy az igény tényleg az átlagos érték körül szóródik. Eszóródás mértékét pedig σ 2 jelöli, amely a tényleges igény szórásnégyzete, és azigényre vonatkozó múltbeli adatok statisztikai kiértékelésével határozható meg.Az igény csökkenése hasonlóan írható le, de akkor a gradiens értéke negatív.

Additív trenddel rendelkezı igény exponenciális simítással történı elırejel-zésekor minden idıszakra külön becslést végzünk az adott idıszakban várhatókonstans elemre, valamint a gradiensre. Így két exponenciális simítási összefüg-gés segítségével kapjuk meg az elıre jelzett értéket. A számítás menetét a 2.7.ábra szemlélteti.

Tegyük fel, hogy jelenleg a t idıszak végén vagyunk. Ha elırejelzést akarunkkészíteni a t + 1 idıszak várható igényérıl, akkor meg kell becsülnünk a t idıszakigényének konstans elemét, valamint a t idıszakban várható növekedést. Miutána t idıszak már letelt, tudjuk annak tényleges igényét (Dt ). Továbbá, miutánnem most kezdjük az elırejelzést, korábban elıre jeleztük a t idıszak igényét(Ft ). Hogy mennyi lehet ezen idıszak átlagos igénye, amely körül az igényvéletlenszerően ingadozik, azt nem tudjuk. Tudjuk viszont, hogy egy konkrétesetben Dt volt az igény, továbbá, hogy Ft értéket vártunk. Logikusnak tőnhet aza feltételezés, hogy az igazság valahol a két érték között van. Hogy pontosan hol,azt nem tudjuk, ezért megbecsüljük, vesszük a két érték súlyozott átlagát. A tidıszakbeli konstans elem becsült értékét St -vel jelölve a következı összefüggéstalkalmazzuk:

St = αDt + (1 − α) · Ft 0 ≤ α ≤ 1

ahol α a simítási konstans, és azt fejezi ki, hogy milyen mértékben követjüka becsléssel az igény változását. Egyhez közeli α értéknél az igény változásátjobban, míg zéróhoz közeli α értéknél az igény változását kevésbé követı becsléstkapunk.

Ezt követıen meg kell becsülni az igény t idıszakbeli átlagos növekedését. Azigény átlagos értékét a tényleges igény ismeretében St -re becsültük. Továbbá,miután nem most kezdjük az elırejelzést, a t −1 idıszak tényleges igénye alapjánbecsültük a t − 1 idıszakbeli átlagos igényét (St−1). A kettı különbsége a Dt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



t-1 t t+1

Gt

Gt-1

Dt

St

St-1

Ft+1

2.7. ábra: Additív trenddel rendelkezı igény elırejelzése

alapjánbecsült t idıszakbeli növekedés. Az elızı idıszakravégzett elırejelzéskorviszont az igény növekedésére kapunk egy becslést (Gt−1), amelyet még a Dtismerete nélkül számítottunk. Logikusnak tőnhet az a feltételezés, hogy a tidıszakbeli növekedés értéke a Dt segítségével becsült növekedés és az annakhiányában elıre jelzett növekedés között van. Hogy pontosan hol, azt nemtudjuk, ezért megbecsüljük, vesszük a két érték súlyozott átlagát. A t idıszakbelinövekedés becsült értékét Gt -vel jelölve a következı összefüggést alkalmazzuk:

Gt = β(St − St−1) + (1 − β) · Gt−1 0 ≤ β ≤ 1

ahol β a simítási konstans, és azt fejezi ki, hogy milyen mértékben követjük abecsléssel a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést. Egyhez közeli β

értéknél a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést jobban, míg zéróhozközeli β értéknél a tényleges igényadatokban tapasztalt növekedést kevésbékövetı becslést kapunk.

A t idıszakbeli konstans elem és gradiens becslésének segítségével a következıidıszak elırejelzését a következı módon számítjuk (2.7.ábra):

Ft+1 = St + Gt

Többlépéses elırejelzésnél egyéb információ hiányában azt feltételezzük, hogya t idıszakra becsült növekedés a jövıben változatlan marad, ezért a továbbiidıszakok elırejelzései a következı képlettel számolhatók:

Ft,t+τ = St + τGt

Ha megismerjük a t + 1 idıszak igényét, akkor az elırejelzéseket – most márFt+1,t+τ értékek – olyan mértékben módosítjuk, amilyen mértékben az α és β

simítási konstansokon keresztül figyelembe vesszük az új információt (Dt+1). Emódszernél tehát a menedzsment két paraméteren keresztül tudja befolyásolni az

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



igény alakulását. Az α ésβ értékekmegválasztásakorugyanazok amegfontolásokérvényesek, mint amelyeket a konstans jellegő igény exponenciális simításnál azα kapcsán már ismertettünk.

Az itt bemutatott eljárást – kifejlesztıje után – Holt-módszernek nevezik, éslényegében az exponenciális simítás kétszeri alkalmazására, a konstans elemés a gradiens külön-külön történı becslésére épül. Hangsúlyozni kell, hogyez nem azonos a növekvı igény elırejelzésére ugyancsak alkalmazható duplaexponenciális simítással [24].

A továbbiakban az elızı fejezetben már megismert példa segítségével szem-léltetjük a Holt-módszer alkalmazását. Ismét tekintsük a repülıgépmotorokatjavító üzemet, amely munkaerı-gazdálkodás céljából szeretne negyedéves elıre-jelzést készíteni a javítandó motorok számának várható alakulásáról. Most aztfeltételezzük, hogy a javítandó motorok száma várhatóan növekszik. Feltételez-zük, hogy ismert az elsı negyedévi tényleges igény, melynek értéke 200 darab. Asimítási konstansok értékei legyenek a következık: α = β = 0,1.

Az elsı negyedév igényének ismeretében elıször a második negyedév igényétszeretnénk elıre jelezni. A második negyedév elıre jelzett igénye az elsı ne-gyedév becsült konstans elemének és növekedésének összege. A konstans elemazonban összefüggésünk szerint az elsı negyedév tényleges igénye, valamintelırejelzett igénye alapján számítható. Miután az elırejelzést csak most kezdjük,korábbi elırejelzés nincs. Az induláshoz szükséges elırejelzési érték felvétele azinicializálás, melyre késıbb még visszatérünk. Most vegyünk fel egy tetszılegeselsı negyedévi elırejelzés-értéket. Trendmodellrıl lévén szó az induló elırejel-zésnek is egy konstans elembıl és egy növekedésbıl kell állnia, tehát két értékfelvétele szükséges. Legyenek tehát a kezdı értékek a következık: S0 = 200 da-rab, G0 = 10 darab. Ezen adatok ismeretében a második negyedévi elırejelzés azelsı negyedévi becsült konstans elem és gradiens összege:

S1 = αD1 + (1 − α) · (S0 + G0) = 0,1 · 200 + (1 − 0,1) · (200 + 10) = 209 darab

G1 = β(S1 − S0) + (1 − β) · G0 = 0,1 · (209 − 200) + (1 − 0,1) · 10 = 9,9 darab

F2 = S1 + G1 = 209 + 9,9 = 218,9 ≈ 219 darab

Az elsı negyedévi igény ismeretében a harmadik negyedévi elırejelzés a követ-kezı módon alakul:

F1,3 = S1 + 2G1 = 209 + 2 · 9,9 = 228,8 ≈ 229 darab

Megismerve a második negyedévi tényleges igényt, a harmadik negyedévi igényelırejelzése a második negyedévi konstans elem és gradiens becslése után akövetkezıképpen módosul:

S2 = αD2+(1 − α) · (S1+G1) = 0,1 · 250+(1 − 0,1) · (209+9,9) = 222,1 darab

G2 = β(S2 − S1)+(1 − β) · G1 = 0,1 · (222,1 − 209)+(1 − 0,1) · 9,9 = 10,21 darab

F3 = S2 + G2 = 222,1 + 10,21 = 232,22 ≈ 232 darab

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A kapott eredménybıl látható, hogy az elsı negyedévbıl nézve a harmadiknegyedévi igény alacsonyabbra várható, mint a második negyedévbıl nézve(F1,3 < F3). Ez annak köszönhetı, hogy a második negyedévben a ténylegesigény nagyobb az elıre jelzettnél, ami az elırejelzés növelését indokolja. Azelırejelzés értékének viszonylag kis mértékő növelése (F3 − F1,3 = 3 darab) α ésβ alacsony értékének köszönhetı.

Az elırejelzéseket és az elırejelzési hibákat nyolc negyedéven át a 2.3. táblázattartalmazza. A 2.8. ábra pedig a tényleges igény és az elıre jelzett igény alakulásátszemlélteti. Látható, hogy az alacsony értékő simítási együtthatók miatt azelırejelzések értékei sokkal kevésbé ingadoznak, mint a tényleges igényadatok.

2.3. táblázat: Példa elırejelzésre a Holt-módszerrel

Negyedév Dt St Gt Ft et

0 200,00 10,00

1 200 209,00 9,90 210,00 10,00

2 250 222,01 10,21 218,90 −31,10

3 175 226,50 9,64 232,22 57,22

4 186 231,12 9,14 236,14 50,14

5 225 238,74 8,98 240,26 15,26

6 285 251,45 9,36 247,72 −37,28

7 305 265,23 9,80 260,81 −44,19

8 190 266,52 8,95 275,02 85,02

9 247,92 6,19 275,47

2.8. ábra: Az elırejelzés alakulása a Holt-módszernél

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.4. SZEZONALITÁST IS TARTALMAZÓ IGÉNY ELİREJELZÉSE EXPO-NENCIÁLIS SIMÍTÁSSAL

Szezonalitás esetén az igény valamilyen átlagos érték körül jellegzetes idısza-konként változik és ez a változás nem véletlenszerő. Ahhoz, hogy szezonalitástis tartalmazó igényt elıre tudjunk jelezni, valamilyen feltételezéssel kell élnünka szezonalitás jellegérıl. Ha az igényre az a jellemzı, hogy meghatározott idı-szakokban ismétlıdıen az átlagos igény valahányszorosa, akkor multiplikatívszezonalitásról beszélünk. A multiplikatív szezonalitást és additív trendet istartalmazó igényt a következı összefüggés alapján írhatjuk le:

Dt = (µ + Gt) · ct + εt E{εt } = 0; V AR{εt } = σ 2

ahol µ az igény konstans eleme, G az idıszakonkénti növekedés üteme (anövekedés gradiense), ct pedig a t idıszak szezonalitási együtthatója. Úgytekintjük, hogy minden idıszakbanvan egy állandó igény (például a már meglévıvevık köre), valamint egy növekedés (például az új vevık köre). E két elemalkotja az átlagos igényt, amely körül meghatározott idıszakokban jellegzetesmódon felfelé és lefelé is eltérhet az igény. Az így hullámzóan alakuló igénykörül véletlenszerően változik az igény tényleges értéke. Ezt a véletlen változásta t idıszakban az εt valószínőségi változó fejezi ki, melynek várható értéke zéró,szórásnégyzete pedig σ 2.

Szezonalitást és trendet is tartalmazó igénynél minden idıszakra külön becsléstvégzünk az adott idıszakban várható konstans elemre, gradiensre, valamintszezonalitási együtthatóra.

2.4.1. A szezonalitási együttható értelmezése

Multiplikatív szezonalitásnál az igény rendszeresen ismétlıdı jelleggel felfelévagy lefelé eltér a vizsgált szezon (idıszak) becsült átlagos igényétıl. A szezon úgydefiniálható, mint egy olyan idıszak, amelyben ismétlıdı jelleggel ugyanolyanirányban és ugyanolyan mértékben tér el a tényleges igény a becsült átlagosigénytıl. Természetesen ezt a mértéket nem ismerjük, ezért megpróbáljuk elırejelezni. Például ha évszakok az idıszakok, akkor azt mondhatjuk, hogy a nyárihónapokban – nyári szezonban – az átlagosnál nagyobb az üdítıital fogyasztás.Ha napok az idıszakok, akkor azt mondhatjuk például, hogy kedden rendszerintkevesebben tankolnak egy benzinkútnál. Ezek az eltérések ismétlıdnek, tehátminden nyárra, illetve minden keddre igazak.

A jellegzetes szezonoknak azt a sorozatát, amelyben ismétlıdı részsorozatnem található, periódusnak nevezzük. Egyszerőbben fogalmazva, a jellegzetesszezonoknak van egy olyan sorozata, amely jellemzı a termékre vagy szolgálta-tásra. E szezonsorozat egy olyan idıtartamot jelent, amely egymás után többször

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.4. SZEZONALITÁST IS TARTALMAZÓ IGÉNY ELİREJELZÉSE EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁSSAL 51

ismétlıdik. Elıbbi példánkat tekintve mondhatjuk azt, hogy a négy évszakban azüdítıital-igény jellegzetesen tér el a becsült átlagos fogyasztástól. E négy évszakegyütt egy év, amely rendszeresen ismétlıdik. Tehát a szezonok a négy évszak, aperiódus pedig az év. Egy éven belül ismétlıdı szezonsorozatok nincsenek. Ak-kor lenne ilyen, ha például az üdítıital iránti igény nyáron magas, ısszel pedigalacsony lenne. Ezt követıen télen ugyanolyan magas lenne, mint nyáron, ta-vasszal pedig ugyanolyan alacsony lenne, mint ısszel. Ebben az esetben egy évenbelül két olyan szezonsorozat lenne, amely ismétlıdik. Ekkor az igény jellegeszempontjából nem az év a periódus, hanem a félév. A benzinkutas példában ahét napjai jelenthetnek jellegzetes szezonokat és a hét a periódus. A gyakorlat-ban jellegzetes periódus lehet az év, negyedéves, féléves vagy havi szezonokkal,a negyedév havi szezonokkal, a hónap dekád vagy heti szezonokkal stb.

A multiplikatív szezonalitásnál alkalmazott szezonalitási együttható kifejeziazt, hogy az igény (tényleges, vagy elıre jelzett) egy adott szezonban a szezonbecsült átlagos igényének hányszorosa. Ezt az együtthatót a periódusra nor-malizálva adjuk meg, tehát a szezonok szezonalitási együtthatóinak összege aszezonok számával egyezik meg. A szezonalitási együttható a következıképpenszámítható:

ct =Dt

DÁtlagt

t∑

i=t−N

ci = N

ahol ct a t idıszak szezonalitási együtthatója, N pedig a perióduson belüliszezonok száma.

Az átlagos igényt valamilyen elırejelzési modellel kell megbecsülnünk (lásdkésıbb a Winters-modellnél). A szezonalitási együttható szemléltetésére tekint-sük a következı egyszerő példát. Egy üzemben megfigyelték, hogy a gyártotttermék elsı félévi igénye rendszerint alacsonyabb, mint a második félévi igény.Egy adott évben az elsı félévi igény 100 darab, a második félévi igény pedig300 darab volt. Ezen adatok alapján az éves átlagos igény (100+300)/2=200 da-rabra becsülhetı, a két félév szezonalitási együtthatója pedig c1 = 100/200 = 0,5és c2 = 300/200 = 1,5 lesznek. Megfigyelhetı, hogy ebben az esetben a normalizá-lás automatikusan biztosított, hiszen 0,5+1,5 = 2. Természetesen az átlagos igénybecslése nem mindig ilyen egyszerő.

2.4.2. Additív trendet és multiplikatív szezonalitást tartalmazó igény elırejelzése expo-nenciális simítással (Winters-modell)

A Winters-modell a Holt-módszer kibıvítése a szezonalitás elırejelzésével. Azadditív trendet és multiplikatív szezonalitást tartalmazó igényt úgy tekintjük,mint olyan igényt, amelynek három komponense van (konstans elem, trend,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



szezonalitás), és mindhárom elemet külön-külön becsüljük exponenciális simí-tással, majd a három becslés eredményébıl számítjuk az elırejelzést. A számításmenetét a 2.9. ábra szemlélteti.

t-N t-N+1 t-1 t t+1

Gt-1

Gt

St-1

St

Dt

St+Gt

2.9. ábra: Additív trendet és multiplikatív szezonalitásttartalmazó igény elırejelzése

Tételezzük fel, hogy a t idıszak végén vagyunk, tehát már ismerjük ezenidıszak tényleges igényét (Dt ), továbbá korábban kezdtük az elırejelzést, ezértvannak a megelızı idıszakokra elırejelzési adataink. Tudjuk tehát a közvetle-nül megelızı idıszak becsült konstans elemének (St−1) és gradiensének (Gt−1)értékét. E két adat összege adja a t idıszak átlagos igényének elırejelzését, amiegyben a konstans elem is a t idıszakban. Ezt módosítani kell az adott szezonrajellemzı eltéréssel. Az így kapott érték körül véletlenszerően változik a ténylegesigény. Ismerjük továbbá a t idıszak tényleges igényét (Dt ), ami azért tér el az átla-gos igénytıl, mert egyrészt szezonalitást, másrészt véletlenszerőséget tartalmaz.A véletlenszerő változással nem tudunk mit kezdeni, azt azonban megbecsül-hetjük, hogy mennyi lenne a tényleges igény, ha nem lenne szezonalitás. Aszezonalitási együttható számításának képletét átrendezve az átlagos igényt úgykapjuk meg, hogy a tényleges igényt elosztjuk a szezonalitási együtthatóval. Aszezonalitási együtthatót pontosan nem ismerjük, mert ahhoz a t idıszak átla-gos igényét kellene ismerni, és most éppen azt akarjuk meghatározni. Tudjukviszont, hogy az azonos tulajdonságú szezonok periodikusan ismétlıdnek ésmár korábban megbecsültük egy ugyanilyen tulajdonságú szezon szezonalitásiegyütthatóját. Legutoljára ezt a becslést a t − N idıszakban végeztük, ha N sze-zon van egy periódusban. A Dt/ct−N értéket kiszámítva megkapjuk a tényleges

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.4. SZEZONALITÁST IS TARTALMAZÓ IGÉNY ELİREJELZÉSE EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁSSAL 53

értékbıl számolt átlagos igényt, amit szezontalanított tényleges igénynek neve-zünk. Van tehát egy elıre jelzett és egy, a tényleges igény figyelembevételévelszámolt értékünk a t idıszak átlagos igényére. Ez utóbbi persze véletlenszerőenalakult így. Becsüljük ezért a t idıszak átlagos igényét (konstans elemét) úgy,hogy kiszámítjuk a korábban becsült és a tényleges igény figyelembevételévelszámolt értékek súlyozott átlagát, tehát:

St = α ·Dt

ct−N+ (1 − α) · (St−1 + Gt−1) 0 ≤ α ≤ 1

ahol α a konstans elem simítási együtthatója. Az így kapott összefüggés mege-gyezik a Holt-módszernél becsült átlagos elemmel, azzal az eltéréssel, hogy nema tényleges, hanem a szezontalanított igénnyel számolunk.

A trendelem becslését a Holt-módszerhez hasonlóan a közvetlenül megelızıidıszakban elıre jelzett trend és a tényleges (szezontalanított) igény alapjánbecsült trendbıl számolva a következıképpen kapjuk:

Gt = β (St − St−1) + (1 − β) · Gt−1 0 ≤ β ≤ 1

ahol β a gradiens simítási együtthatója.Meg kell még becsülnünk a t idıszak szezonalitási együtthatóját is. Ez ismét

egy becsült és egy tényleges adatból számolt érték segítségével kapható meg. Abecsült adatot a korábban ugyanerre a szezonra becsült szezonalitási együttható(ct−N ) adja. A tényleges adat alapján számolt szezonalitási együttható pedig at idıszak tényleges igénye, valamint a t idıszak becsült átlagos igénye alapjánszámolható. Az így kapott két érték súlyozott átlaga adja a t idıszak becsültszezonalitási együtthatóját a következı módon:

ct = γ ·Dt

St+ (1 − γ ) · ct−N 0 ≤ γ ≤ 1

ahol γ a szezonalitási együttható simítási együtthatója.A t idıszak konstans elemét, gradiensét, valamint egy teljes periódus vala-

mennyi szezonalitási együtthatóját megbecsülve az elırejelzés a következıkép-pen számítható:

Ft,t+τ = (St + τGt ) · ct+τ−k N (k − 1) · N ≤ τ ≤ k N

A fenti összefüggés jelzi, hogy ha a t idıszakban vagyunk és a t + τ idıszakraakarunk elırejelzést végezni, akkor a szezontalanított igényt felhasználva a Holt-módszer segítségével elvégezzük a t + τ idıszak átlagos igényének elırejelzését.Ezt követıen megkeressük azt a legközelebbi idıszakot, amely a t + τ idı-szakhoz tartozó szezon tulajdonságaival rendelkezik és ismerjük a szezonalitásiegyütthatóját. Ezt oly módon tesszük, hogy a t + τ idıszakból egy periódus-nyi idıtartamokat visszafelé ugrálva megnézzük, hogy egy ismert szezonalitási

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



együtthatójú idıszakban vagyunk-e már. Akkor érünk ilyen idıszakhoz, ha meg-nézzük, hogy a τ idıtartamba hányszor fér bele egy periódus, és éppen annyit,vagy annál eggyel több periódusnyit haladunk visszafelé. Az ilyen módonvégzett elırejelzést nevezzük kifejlesztıje után Winters-modellnek.

A Winters-modell három paraméter segítségével, az α, β és γ simítási együtt-hatók megválasztásával határozza meg azt, hogy milyen mértékben követi azelırejelzés az igény véletlenszerő változásait. Eltérı hangsúlyt adhatunk a kons-tans elem, a növekedés, valamint a szezonalitás véletlenszerő változásainak.Az értékek megválasztására a már korábban elmondottak érvényesek; a zéró-hoz közeli paraméter eredményezi az igény tényleges értékét kevésbé követıelırejelzést.

A következıkben tekintsünk egy egyszerő példát a számítások szemléltetésére.Egy üzem egyik termékének elmúlt néhány évi adatait feldolgozva megállapítot-ták, hogy a megrendelt mennyiség fokozatosan nı, de megfigyelték, hogy az elsıfélév igénye rendszerint magasabb mint a második félévi igény. A 2000. év elsıkét félévére szeretnének elırejelzést készíteni. A múltbeli adatokat feldolgozvaa következı kezdıértékeket határozták meg (inicializálás, melynek módszereiremég visszatérünk): az 1999 második félévi igény konstans elemének becsült ér-téke 200 darab, a növekedés becsült értéke pedig 50 darab. A becsült szezonalitásiegyütthatók 1,5 az elsı félévre és 0,5 a második félévre. A simítási konstansoklegyenek a következık: α = 0,2; β = 0,5; γ = 0,4.

Miután 2000 elsı félévében kezdjük az elırejelzést, legyen ez az idıszak azelsı (t = 1). Így az elırejelzés kezdetét megelızı idıszakok sorszámai a zéró ésnegatív számok lesznek. Induló adataink ennek megfelelıen a következıképpenírhatók fel: S0 = 200; G0 = 50; c−1 = 1,5 és c0 = 0,5. A periódus az év lesz, amelykét szezonból áll.

Összefüggéseink alapján a 2000. év két félévének elırejelzése a következımódon számítható:

F0,1 = (S0 + G0) · c0+1−2 = (200 + 50) · 1,5 = 375 darab

F0,2 = (S0 + 2G0) · c0+2−2 = (200 + 2 · 50) · 0,5 = 150 darab

Az elsı félév elteltével megismerjük annak tényleges igényét (D1), amely 300darab. Az új információ birtokában módosíthatjuk a második félévi elırejelzést aWinters-modell szerint. Ehhez becsülnünk kell a 2000. év elsı félévi igényénekkonstans elemét és gradiensét:

S1 = αD1

c1−2+(1 − α) · (S0+G0) = 0,2 ·

3001,5

+(1 − 0,2) · (200+50) = 240 darab

G1 = β · (S1 − S0)+(1 − β) · G0 = 0,5 · (240 − 200)+(1 − 0,5) · 50 = 45 darab

Az így kapott adatok alapján a második félévi elırejelzés a következıképpenmódosul:

F1,2 = (S1 + G1) · c1+1−2 = (240 + 45) · 0,5 = 142,5 ≈ 143 darab

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.5. AZ EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁS ÁLTALÁNOS ALKALMAZÁSA 55

Ugyanezen idıszak korábbi elırejelzéséhez képest (150) az új elırejelzés ala-csonyabb. Ez annak köszönhetı, hogy az elsı félév tényleges igénye (300)alacsonyabb volt az elıre jelzettnél (375), ezért óvatosabb elırejelzést kapunk amásodik félévre. Hogy mennyivel óvatosabb az elırejelzés, azt a simítási konstan-sok határozzák meg. A konstans elem simítási együtthatója stabilabb, a gradiensés a szezonalitás simítási konstansai pedig kis mértékben rugalmas igénykö-vetést jelentenek. Ezek együttes hatásaként kapjuk eredményül az elırejelzéskismértékő módosítását.

Az elsı negyedév tényleges igényének ismeretében módosítjuk a szezonalitásiegyütthatókat is. Az elsı negyedév módosított szezonalitási együtthatójára akövetkezı értéket kapjuk:

c1 = γ ·D1

S1+ (1 − γ ) · c1−2 = 0,4 ·

300240

+ (1 − 0,4) · 1,5 = 1,4

A legfrissebb adatainkból egy periódust most az 1999 második és 2000 elsıfélévébıl képezhetünk. E periódus szezonalitási együtthatóinak összege 0,5 +1,4 = 1,9 lesz. Miután a szezonalitási együtthatók összege egyenlı kell, hogylegyen a periódus szezonjainak számával, jelenlegi együtthatóinkat normalizálvaa következı értékeket kapjuk:

c0 =0,5

0,5 + 1,4· 2 = 0,526; c1 =

1,40,5 + 1,4

· 2 = 1,474

Az így kapott szezonalitási együtthatók összege már megegyezik a szezonokszámával. Látható, hogy az elsı félév új szezonalitási együtthatója (1,474)kisebb a korábbi értéknél (1,5). Ez ismét az elsı félévnek az elıre jelzettnélkisebb tényleges igénye, valamint a kis mértékő igénykövetést jelentı simításikonstansok együttes hatásának következménye.

Adataink alapján 2001. év elsı félévének elıre jelzett igénye a következı lesz:

F1,3 = (S1 + 2G1) · c1+2−2 = (240 + 2 · 45) · 1,474 = 486,42 ≈ 486 darab

2002. év elsı félévének elıre jelzett igénye pedig az igény gradiens eleme miatttovább nı:

F1,5 = (S1 + 4G1) · c1+4−2·2 = (240 + 4 · 45) · 1,474 = 619,08 ≈ 619 darab

2000 elsı félévében végezve az elırejelzést (t = 1) a 2002 elsı félévi igényénekalakulásáról (t = 5) négy idıszaknyi távolságot kell elıre tekinteni (τ = 4). Ebbeaz idıtartamba két teljes periódus fér, ezért a t = 5 idıszakból két periódusnyiidıszakot kell visszafelé haladni, hogy egy olyan elsı félévi szezont találjunk,amelynek ismert a szezonalitási együtthatója. Ezért szerepel a szezonalitásiegyüttható indexében 1 + 4 − 2 · 2 = 1.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Hasonlóan kell módosítani a konstans elem, a gradiens és a szezonalitásiegyütthatók értékeit, amint egyújabb félév eltelik ésmegismerjük annak ténylegesigényét.

2.5. AZ EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁS ÁLTALÁNOS ALKALMAZÁSA

E fejezet bevezetıjében bemutattuk az adaptív és multiplikatív trendek, illetveszezonalitások kombinációjával kapható jellegzetes igénymintákat. A 2.2. ábrakilenc jellegzetes esetet különböztetett meg. E kilenc eset közül hármat tárgyal-tunk eddig részletesen; a trend és szezonalitás nélküli igényt (A-1), valamint azadditív trenddel (B-1) és az additív trenddel és multiplikatív szezonalitással (B-3)rendelkezı igényt. E három esetet hasonló elv szerint vizsgáltuk. Exponenciálissimítással becsültük az igény komponenseit, majd a trend és a szezonalitás jellegealapján felírtuk az elırejelzést meghatározó függvényt. Az exponenciális simítástpedig mindig egy, a legfrissebb tényleges igényadat segítségével számolt és egykorábban végzett becsléssel (elırejelzés) kapott adat felhasználásával végeztük.Ezen elv alapján a 2.2. ábra valamennyi esetére felírhatjuk az elırejelzési modellt.A konstans elem, a trend és a szezonalitás becslésére általánosan is felírhatjuk azösszefüggéseket.

– A t idıszak konstans elemének becslése (St ) a t idıszak szezontalanítotttényleges igénye (Pt ) és a t idıszak igényének a t − 1 idıszakban elıre jelzettkonstans eleme (Qt−1) segítségével számítható a következı módon:

St = αPt + (1 − α) · Qt−1 0 ≤ α ≤ 1

– A t idıszak gradiensének becslése (Gt ) a t idıszaknak a tényleges igényfelhasználásával becsült növekedése (Rt ) és a t − 1 idıszakra becsült növekedés(Gt−1) segítségével számítható a következı módon:

Gt = β Rt + (1 − β) · Gt−1 0 ≤ β ≤ 1

– A t idıszak szezonalitásának becslése (ct ) a t idıszak tényleges igényénekfelhasználásával becsült szezonalitás (Tt ) és a korábban ugyanilyen szezonrabecsült szezonalitás (ct−N ) segítségével számítható a következı módon:

ct = γ Tt + (1 − γ ) · ct−N 0 ≤ γ ≤ 1

Az így kapott értéket multiplikatív szezonalitásnál a periódus szezonjainak számaalapján normalizálni kell.

A trend és a szezonalitás jellege alapján, az így becsült igényelemek össze-adásával vagy szorzásával kapható meg az elırejelzés összefüggése. Mindenmodellnél a következı négy értéket kell meghatározni, ha a t idıszakra végezzükaz elırejelzést:

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.5. AZ EXPONENCIÁLIS SIMÍTÁS ÁLTALÁNOS ALKALMAZÁSA 57

– a t idıszak szezontalanított tényleges igénye (Pt ),– a t idıszak igényének a t − 1 idıszakban elıre jelzett konstans eleme (Qt ),– a t idıszak igényének a tényleges igény felhasználásával becsült növeke-

dése (Rt ),– a t idıszak tényleges igényének felhasználásával becsült szezonalitása (Tt ).Valamely igénykomponens hiányakor a vonatkozó adat természetesen szük-

ségtelen. E négy adat számítását, valamint az elırejelzés meghatározásához al-kalmazható összefüggést a 2.4. táblázat tartalmazza. Valamennyi összefüggésnélfeltételezzük, hogy egy periódus N szezonból áll, továbbá az aktuális és elırejel-zési idıszakközött τ számú idıszak telik el, melyre igaz, hogy (k−1)·N ≤ τ ≤ k N ,k = 1,2, . . ..

2.4. táblázat: Az exponenciális simítás összefüggései valamennyi igénytípusra

Trendkompo-nens

Szezonalitás1 (nincs) 2 (additív) 3 (multiplikatív)

A(nincs)

Pt = Dt

Qt = St−1

−−

Ft,t+τ = St

Pt = Dt − ct−N

Qt = St−1

−Tt = Dt − St

Ft,t+τ = St + ct+τ−kN

Pt = Dt/ct−N

Qt = St−1

−Tt = Dt/St

Ft,t+τ = St · ct+τ−kN

B(additív)

Pt = Dt

Qt = St−1 + G t−1

Rt = St − St−1

−Ft,t+τ = St + τG t

Pt = Dt − ct−N

Qt = St−1 + G t−1

Rt = St − St−1

Tt = Dt − St

Ft,t+τ =

= St + τG t + ct+τ−kN

Pt = Dt/ct−N

Qt = St−1 + G t−1

Rt = St − St−1

Tt = Dt/St

Ft,t+τ =

= (St + τG t ) · ct+τ−kN

C(multipli-

katív)

Pt = Dt

Qt = St−1 · G t−1

Rt = St/St−1

−Ft,t+τ = St · Gτ

t

Pt = Dt − ct−N

Qt = St−1 · G t−1

Rt = St/St−1

Tt = Dt − St

Ft,t+τ =

= St · Gτt + ct+τ−kN

Pt = Dt/ct−N

Qt = St−1 · G t−1

Rt = St/St−1

Tt = Dt/St

Ft,t+τ =

= St · Gτt · ct+τ−kN

A táblázat összefüggéseinek megértése érdekében nézzünk néhány példát. A2.4. táblázat A-1 mezıje a trend és szezonalitás nélküli igény összefüggéseittartalmazza. Az igényt ebben az esetben nem kell szezontalanítani, ezért Pt =Dt . Konstans jellegő igényrıl lévén szó, az elızı idıszakban elıre jelzettkonstans elem egyben a t idıszak konstans elemének becslése is, ezért Qt = St−1.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Tudjuk, hogy egy adott idıszakban végzett elırejelzés a konstans jelleg miattminden további idıszakra is érvényes ezért Ft = St−1. Ezeket az összefüggéseketbehelyettesítve az általános képletbe, visszakapjuk a konstans jellegő igénnyelkapcsolatban a 2.2.2. pontban bemutatott összefüggést.

A B-3 mezı a 2.4.2. pontban bemutatott Winters-modell összefüggéseit tar-talmazza. A szezontalanított igény Dt/ct−N ; a t idıszak becsült konstans elemeaz additív trend miatt St−1 + Gt−1; a t idıszak tényleges igényének ismeretébenbecsült növekedés St − St−1; a t idıszak tényleges igényének felhasználásával be-csült szezonalitás pedig Dt/St . Az elırejelzést a trenddel növelt konstans elem ésa szezonalitási együttható szorzataként kapjuk.

Végezetül nézzünk egy olyan esetet, amelyet korábban nem tárgyaltunk. A C-2mezı multiplikatív trendet és additív szezonalitást tartalmaz. A szezontalanítottigény Dt −ct−N . Ilyenkor ct−N természetesennemszezonalitási együtthatót jelent,hanem egy adott értéket, amellyel a vizsgált szezonban az igény az átlagnálmagasabb vagy alacsonyabb. A szezontalanítást ezért a szezonális változástkifejezı mennyiségnek a tényleges igénybıl történı kivonásával végezzük. At idıszak becsült konstans eleme a multiplikatív trend miatt St−1 · Gt−1. At idıszak tényleges igényének ismeretében becsült növekedés a multiplikatívtrend miatt a két szomszédos idıszak becsült konstans elemének hányadosa,St /St−1. A t idıszak tényleges igényének felhasználásával becsült szezonalitáspedig a szezonalitás additív jellegemiatt Dt−St . Az elırejelzést a trenddel szorzottkonstans elemés a szezonalitás változását kifejezımennyiségösszegeként kapjuk.

A 2.4. táblázat segítségével valamennyi, a termelésmenedzsmentben elıfor-duló jellegzetes igény egyszerően elıre jelezhetı.

2.6. A LINEÁRIS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA ELİREJEL-ZÉSI MODELLEKNÉL

A lineáris regressziószámítás lényege, hogy egy (xi , yi ) i = 1, . . ., M ponthal-mazra egy Yi = a + bxi egyenest illesztünk feltételezve, hogy az x függetlenváltozó és az y függı változó között lineáris kapcsolat van, továbbá, hogy az(xi , yi ) i = 1, . . ., M pontok ezen egyenes körül véletlenszerően szóródnak (lásd2.10. ábra).

A regressziószámítás alapjainak ismeretét feltételezzük az olvasóról, ezértannak részletes ismertetésére itt nem térünk ki. A lineáris regressziószámításlegfontosabb alapösszefüggéseit a 2.5. táblázat foglalja össze. A következıkbenelsısorban emódszer alkalmazási lehetıségeit ismertetjük az elırejelzés területén.

A lineáris regressziószámításnak három jelentıs alkalmazási területe alakultki termelésmenedzsment célú elırejelzések készítésekor:

– Az elsı terület az additív trendet tartalmazó igény elırejelzése. Additív trendnélaz igény tényleges értéke egy lineárisan növekvı vagy csökkenı egyenes men-tén szóródik. Ilyenkor a múltbeli igény adatok egy olyan (xi , yi ) i = 1, . . . , M

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.6. A LINEÁRIS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA ELİREJELZÉSI MODELLEKNÉL 59

2.10. ábra: Elırejelzés lineáris regresszióval

ponthalmazt alkotnak, melynél xi jelöli a t idıszakokat, yi pedig Dt , a t idı-szak tényleges igénye. A múltbeli igényadatokra lineáris regresszióval illesztettegyenes meredeksége az igény növekedésének gradiensét becsüli. Az egyenesegyenletének segítségével pedig kiszámíthatjuk a jövıbeni idıszakok igényénekvárható értékét. Fontos megjegyezni, hogy ha az igény szezonalitást is tartalmaz,akkor az igényadatokra fektetett egyenes alapján végzett elırejelzés rendkívülpontatlan és helytelen is lesz, mert a pontok az egyenes körül nagymértékbenszóródnak. E szóródás azonban nemcsak a véletlennek, hanem a szezonalitásnakis köszönhetı. Ilyenkor elıször szezontalanítani kell a tényleges igény adatait, ésa szezontalanított adatokra már illeszthetı lineáris trendet tartalmazó egyenes.A fejezet végén bemutatott esettanulmány részletesen ismerteti a szezontalanításegy lehetséges módját.

Fontos megjegyezni, hogy amikor a regressziós egyenest a jövıbe, tehát azegyenest meghatározó ponthalmazon kívülre vetítjük, akkor az így kapott elıre-jelzés szórása nagyon megnı (lásd 2.5. táblázat utolsó sorát), ezért ez a módszera viszonylag távoli jövıbe való elırejelzéskor igen pontatlan eredményt ad.

– A lineáris regresszió alkalmazásának másik fontos területe az inicializálás.Ilyenkor a múltbeli adatsorra illesztett egyenest nem arra használjuk, hogy azegyenest a jövıbe továbbvetítve elırejelzést végezzünk, hanem egy trendet is tar-talmazó elırejelzési modell kezdıértékeit határozzuk meg. A múltbeli ténylegesigény adataira fektetett egyenes meredeksége lesz a gradiens, az egyenesnek azutolsó idıponthoz tartozó pontja pedig az igény konstans elemének a kezdıér-téke. Miután ezen értékeket az exponenciális simításhoz használjuk fel, itt nemmerül fel a ponthalmazon kívül esı értékek megnövekedett pontatlanságánakproblémája. Itt is ügyelni kell arra, hogy ha a múltbeli adatok szezonalitásttartalmaznak, akkor azokat szezontalanítani kell.

– Végezetül a lineáris regresszió alkalmazásának harmadik területe a kauzáliselırejelzés. A kauzális módszerek lényege, hogy az igény okát mint függet-len változót, az igényt pedig mint függı változót tekintjük és megpróbáljuk

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.5. táblázat: A lineáris regresszió paraméterbecslésének alapösszefüggései

Megnevezés Képlet Magyarázat

Meredekség b =

N∑

i=1

xi yi − 1N ·

(

N∑

i=1

xi

)

·

(

N∑

i=1

yi

)

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

A regressziós egye-nes meredekségé-nek várható értéke.

Metszet a = 1N ·

N∑

i=1yi − b

N ·N∑

i=1xi

A regressziós egye-nes függıleges ten-gelyen lévı met-szetének várhatóértéke.

Standard hiba-négyzete s2

Y/x =N∑

i=1

[yi −(a+b·xi )]2N−2

A ponthalmaz reg-ressziós egyeneskörüli szóródásánakmérıszáma.

Metszet szórás-négyzete s2

a = s2Y/x ·

1N +

(

1N ·

N∑

i=1

xi

)2

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

A regressziós egye-nes függıleges ten-gelyen lévı met-szetének becsültszórásnégyzete.

Meredekség szó-rásnégyzete

s2b =

s2Y/x

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

A regressziós egye-nes meredekségé-nek becsült szórás-négyzete.

Korrelációsegyüttható

r=

N∑

i=1

xi yi− 1N ·

(

N∑

i=1

xi

)

·

(

N∑

i=1

yi

)

√

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

·

√

N∑

i=1

y2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

yi

)2

A lineáris kapcsolaterısségét méri zéróés egy között. Haértéke egy, akkorteljes mértékbenlineáris a kapcsolat.

Meglévı pont-hoz (x j ) tar-tozó becslés(Y j = a + bx j )szórásnégyzete

s2Y j

= s2Y/x·

1N +

(

x j − 1N ·

N∑

i=1

xi

)2

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

Egy, az eredetiponthalmazbanszereplı függet-len változó értékheztartozó regressziósérték szórásnégy-zete.

Új ponthoz (xúj)tartozó becslés(Yúj = a + bxúj)szórásnégyzete

s2Yúj

= s2Y/x ·

1 + 1N +

(

xúj−1N ·

N∑

i=1

xi

)2

N∑

i=1

x2i − 1

N ·

(

N∑

i=1

xi

)2

Egy, az eredetiponthalmazbannem szereplı füg-getlen változó ér-tékhez tartozó reg-ressziós érték szó-rásnégyzete.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.7. AZ ELİREJELZÉSI HIBÁK ÉRTÉKELÉSE 61

számszerősíteni az igény oka és az igény tényleges értéke közötti kapcsolatot.A lineáris regresszió lineáris kapcsolatot feltételez. Példaként a bevezetıbenemlített autóbiztosítások példáját tekinthetjük. Ha úgy gondoljuk, hogy az au-tólopásokról érkezı hírek ösztönzik a vásárlókat biztosítás megkötésére, akkoradatokat győjthetünk a múltban havonta ellopott gépkocsik számáról (xi ) és a kö-vetkezı hónapban megkötött biztosítások mennyiségérıl (yi ). Ha az így kapottponthalmazra egy egyenes statisztikailag meggyızı módon illeszthetı, akkoregy adott hónapban ellopott gépkocsik számának ismeretében elırejelzést készít-hetünk a következı hónapban megkötésre kerülı biztosítások számáról. Ha úgygondoljuk, hogy a megkötött biztosítások száma nem csak a kocsilopások szá-mától, hanem például az eladott új gépkocsik mennyiségétıl is függ, akkor atöbbváltozós lineáris regresszió módszereit alkalmazhatjuk. Ha pedig az igényoka és értéke közötti lineáris kapcsolat feltételezése helytelen, akkor a nemlineárisregressziószámítás alkalmazható.

Akármelyik felsorolt három területen alkalmazzunk is lineáris regressziót, azalkalmazás fı lépései a következık:

– Adatgyőjtés. Idısorelemzésnél a múltbeli igényadatok, kauzális módszer ese-tén pedig az igény okára és értékére vonatkozó adatok összegyőjtése szükséges.

– A linearitás feltételezésének vizsgálata. Ez rendszerint a korrelációs együtthatósegítségével a lineáris kapcsolat erısségének a vizsgálatát jelenti.

– A regressziós egyenes paramétereinek becslése. Ilyenkor a függıleges tengelyentalálható metszet (a) értékét, valamint a meredekséget (b) kell meghatározni. Eztkövetıen rendelkezésünkre áll az y = a + bx regressziós egyenes.

– Az igény várható értékének meghatározása. Idısorelemzésnél a kívánt jövıbeliidıponthoz, kauzálismódszer eseténpedig az ok egymeghatározott alakulásáhozszámítható y értéke.

– Az elırejelzés hibájának meghatározása (lásd késıbb a 2.7. pontot).A lineáris regresszió alkalmazását egy egyszerő példa szemlélteti a fejezet

végén a 2.9. pontban.

2.7. AZ ELİREJELZÉSI HIBÁK ÉRTÉKELÉSE

Az elıre jelzett és tényleges igény közötti különbség az elırejelzési hiba. Hanagyobb az elıre jelzett igény, mint a tényleges, akkor túlbecsüljük az igényt.Ennek következménye lehet például egy termelırendszerben a legyártott, deel nem adott mennyiség miatt megnövekedett raktárkészlet. Ha a ténylegesigénynél kevesebbet jelzünk elıre, akkor alulbecsüljük az igényt. Ennek kö-vetkezménye lehet például az elégedetlenül távozó vevı, vagy a felhalmozódókielégítetlen rendelések mennyisége. Egy jövıbeni idıszak tényleges igényénekpontos meghatározása nem lehetséges, mert az igény véletlenszerően változik.Ha éppen eltaláljuk a pontos értéket, az csak a szerencse mőve. A konstansjellegő igény elırejelzéséhez alkalmazott mozgó átlag és exponenciális simítás

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



példáján azt is bemutattuk, hogy az elırejelzési hiba szórása legalább akkora,mint az igény szórása. Minél hektikusabban viselkednek tehát a vevık, annál ki-sebb a valószínősége, hogy az igény pontos értékét eltaláljuk. Az elırejelzési hibajellemzésére meghatározott mutatók két fontos célt szolgálnak:

– egyrészt képet adnak az elkövetett hibák nagyságáról,– másrészt segítenek eldönteni, hogy az elkövetett hiba az igény véletlenszerő

változásának, vagy pedig az elırejelzés során alkalmazott téves feltételezésnektulajdonítható-e.

2.7.1. Az elırejelzési hiba nagyságának mutatói

Az elırejelzési hiba nagyságát egy konkrét idıszakban az elıre jelzett és ténylegesérték közötti különbség – az elırejelzési hiba – adja, amelyet a következı módonszámolunk:

et = Ft − Dt

Az elırejelzési hiba eredménye lehet például egy adott idıszakban keletkezettraktárkészlet, vagy egy adott idıszakban kielégítetlen vevıi igény. Annakmegítéléséhez, hogy a kapott érték magas-e, vagy alacsony, az elırejelzési hibarelatív változatát, a relatív (százalékos) hibát használják. A relatív hiba egy vizsgáltidıszak elırejelzési hibáját az idıszak tényleges igényéhez viszonyítja, és akövetkezı módon számolható:

RHt =Ft − Dt

Dt· 100

Az elırejelzési hiba és a relatív hiba egy meghatározott idıszak jellemzıi. Azigény véletlenszerő változása miatt azonban ezek nagysága az elırejelzés hosszútávú mőködésérıl nem ad információt. Több idıszak együttes vizsgálatárahasználható az átlagos hiba, amely egy T idıszakból álló idıtartam elırejelzésihibáinak az átlaga. Ennek értéke a következı módon számolható:

ÁHt =1T

·t

∑

i=t−T

Fi − Di

Az átlagos hiba a vizsgált idıtartam alatt együttesen elkövetett hiba idıegységrejutó értéke, amely például kapcsolatban lehet a vizsgált idıszak végére kialakultraktárkészlettel. Annak megítéléséhez, hogy a kapott érték magas-e, vagyalacsony, az átlagos hiba relatív változatát, az átlagos relatív (százalékos) hibáthasználják. Az átlagos relatív hiba a relatív hibák átlaga egy T számú idıszakotátfogó idıtartamban, és értéke a következı módon számolható:

ÁRHt =1T

·t

∑

i=t−T

Fi − Di

Di· 100

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az átlagos hiba és az átlagos relatív hiba alacsony értékei önmagukban nemfeltétlenül jelentenek megfelelı elırejelzést, mert a pozitív és negatív hibákkiolthatják egymást. Ez a gyakorlatban például egyes idıszakokban igen nagyraktárkészletet, máskor viszont elégedetlen vevıket jelenthet.

Az elırejelzéssel gyakranaz a célunk,hogy elkerüljük a túlságosannagypozitívés negatív tévedéseket. Adott esetben az igény gyakori nagymértékő túlbecsléseugyanolyan kedvezıtlen lehet, mint a gyakori nagymértékő alulbecslés. Ilyenesetben elıjeltıl függetlenül szeretnénk tudni a tényleges és az elıre jelzett igényeltérésének alakulását. Az elıjeltıl független eltérést mutatja az átlagos abszolúthiba, amely a következı módon számolható:

ÁAHt =1T

·t

∑

i=t−T

|Fi − Di |

Az elırejelzési hiba szórása normális eloszlásnál az átlagos abszolút hiba függvé-nye, és a következı módon számolható:

σe =√

π

2· ÁAH ≈ 1,25 · ÁAH

Ily módon az átlagos abszolút hiba implicit módon az elırejelzési hiba szórásánaknagyságára utal. Az a kérdés, hogy egy átlagos abszolút hibaérték nagynaktekinthetı-e, az átlagos abszolút relatív hiba alapján dönthetı el, amely a következımódon számolható:

ÁARHt =1T

·t

∑

i=t−T

∣

∣

∣

∣

Fi − Di

Di· 100

∣

∣

∣

∣

Az átlagos abszolút hibát gyakran használják az elırejelzési hiba elırejelzéséreis. Az elv az exponenciális simításhoz hasonló. A t idıszakra elıre jelzett hiba at − 1 periódus tényleges és elıre jelzett hibájának súlyozott átlaga, ha az átlagosabszolút hibát tekintjük az elırejezési hiba elıre jelzett értékének, tehát:

ÁAHt = α |Ft−1 − Dt−1| + (1 − α) · ÁAHt−1

Készletezési rendszereknél például az így elıre jelzett hiba használható a bizton-sági készletek meghatározásához.

Végezetül meg kell említeni, hogy gyakran használják az elırejelzési hibamérésére az átlagos négyzetes hibát (átlagos hibanégyzet) is, amely a négyzetreemelés miatt egyrészt kiküszöböli az elıjelproblémát, másrészt erıteljesebbenbünteti a nagy eltéréseket. Számítása a következı összefüggés alapján történik:

ÁNHt =1T

·t

∑

i=t−T

(Fi − Di )2

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az átlagos négyzetes hibát elsısorban akkor használják, ha több elırejelzésimodell közül kell kiválasztani azt, amelyiknél az elırejelzési hiba szórása alegkisebb.

Az elırejelzési hiba itt felsorolt jellemzıi közül azt vagy azokat célszerő agyakorlatban alkalmazni, amelyek egy adott helyzetben a legtöbb információthordozzák, és amelyek a menedzsment prioritásait a legjobban kifejezik. Azelırejelzési modell alkalmazója tudhatja csak, hogy például vállalatánál a hiányés a magas készletek egyformán kerülendık-e, vagy hogy a hiány abszolút vagyrelatív nagysága fontos-e a menedzsment számára.

A 2.6. táblázat egy egyszerő esetben szemlélteti a bemutatott hibajellemzıkszámítását. A táblázatban látható, hogy hat hónapra konstans jellegő igénytfeltételeztek, és az igény elıre jelzett értéke 1000 darab/hó. Hat hónap elteltével azigény tényleges értékeinek ismeretében kiszámítottuk a felsorolt hibajellemzıket.Látható például, hogy az átlagos abszolút hiba közel kétszer akkora, mint azátlagos hiba, bár százalékosan mindkét érték alacsonynak tekinthetı.

2.6. táblázat: Példa az elırejelzési hibák számítására

t Ft Dt et RHt (%)

Január 1000 950 50 5,263

Február 1000 1070 −70 −6,542

Március 1000 1100 −100 −9,091

Április 1000 960 40 4,167

Május 1000 1090 −90 −8,257

Június 1000 1050 −50 −4,762

Átlagos eltérés (ÁHt ) −36,667

Átlagos abszolút eltérés (ÁAHt ) 66,667

Átlagos négyzetes eltérés (ÁNHt ) 4933,333

Átlagos relatív eltérés (ÁRHt ) (%) −3,204

Átlagos abszolút relatív eltérés (ÁARHt ) (%) 6,347

Külön kell szólni a lineáris regresszióval készített elırejelzés hibájáról. A li-neáris regresszióval történı elırejelzés egyik legnagyobb problémája, hogy aponthalmaz szélei felé közeledve az elırejelzés pontossága csökken, a ponthal-mazon kívülre kerülve, tehát a jövıbeli igényt becsülve pedig már igen pontatlanbecslést kapunk. Az elırejelzés hibájaként a regressziós modelleknél rendsze-rint feltüntetett standard hiba alulbecsüli a hibát. Ilyenkor helyes módon astandard hibánál nagyobb értéket adó, az új értékhez számolt variancia szá-mítása szükséges, amely kifejezi a ponthalmaz közepétıl való távolodás miatti

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



pontatlanság-növekedést, valamint az új érték miatti bizonytalanság növekedésétis (lásd a 2.5. táblázatot) [39].

2.7.2. Az elırejelzési modell vizsgálata

Az elırejelzés során fontos tudni azt, hogy az idı múlásával egy alkalmazott elı-rejelzési modell megfelelıen mőködik-e, tehát az igény alakulásával kapcsolatosinduló feltételezéseink (például az, hogy az igény konstans jellegő) változatla-nul helytállóak. Az elırejelzési hiba önmagában nem jelenti azt, hogy a modellnem megfelelı, hiszen az igény véletlen jellege miatt mindig lesz hiba. Szüksé-günk van egy olyan eszközre, amely idıben jelzi, hogy az elırejelzési hiba nema véletlennek, hanem a nem megfelelıen alkalmazott elırejelzési modellnek kö-szönhetı. Az elırejelzési modellel kapcsolatos problémák jelzése az elırejelzésihibák összegének a vizsgálatára épül. A t idıszak végéig elkövetett hibák összegeaz elırejelzési hiba futó összege, amely a következı módon számítható:

EHFÖt =t

∑

i=1

(Fi − Di )

Megfelelı elırejelzési modellnél az elırejelzési hiba futó összegének várhatóértéke zéró. Ellenkezı esetben szisztematikus hibát követünk el. Természetesenegy konkrét t idıpontban az EHFÖt nem lesz zéró, de annak valószínősége kicsi,hogy nagyon gyakran zérótól nagyon eltérı értékeket kapunk, ha az elırejelzésimodell statisztikailag megfelelıen reprezentálja az igényt. A statisztikábanszokásos módon azt vizsgáljuk, hogy az EHFÖt a várható értéktıl (ami zéró)hány szórásnyi távolságra esik, és erre írunk elı korlátot a következı módon:

∣

∣

∣

∣

∣

EHFÖt

σEHFÖ

∣

∣

∣

∣

∣

≤ C1

Tudjuk, hogy normáleloszlásnál – amelynek feltételezése az elırejelzési hiba futóösszegére elfogadható – a várható értéktıl három szórásnyira (C1 = 3) esı értékekelıfordulási valószínősége 0,13. Ha tehát ennél gyakrabban kapunk a háromszórásnyi távolságon kívülre esı értéket, akkor felül kell vizsgálnunk az igényleírására alkalmazott modellt. Természetesen a menedzsment szigorúbb vagylazább feltételt is szabhat a modell felülvizsgálatára a C1 paraméter értékénekmegválasztásával.

A fenti összefüggés nevezıjében az elırejelzési hiba futó összegének szórásaszerepel, amit nem ismerünk, de becsülhetı. Bebizonyítható, hogy normále-loszlásnál σEHFÖ az ÁAH függvénye. A függvény formája függ az alkalmazott

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



elırejelzési modelltıl, de jó közelítéssel általánosan alkalmazható a következıegyszerősítés:

∣

∣

∣

∣

∣

EHFÖt

ÁAHt

∣

∣

∣

∣

∣

≤ C1 · C2 = K

Az abszolút értéken belül lévı összefüggés neve követıjel, amelyet a következımódon számolunk:

KJt =EHFÖt

ÁAHt

Az összefüggésben az átlagos abszolút hiba t indexe azt jelenti, hogy mindenidıszakban aktualizálni kell annak értékét. A Kérték két konstans szorzata.C1 azt fejezi ki, hogy a menedzsment milyen szigorúan kívánja ellenırizni azalkalmazott modell helyességét, C2pedig azért szerepel az összefüggésben, mertaz ÁAHt -vel helyettesítjük a σEHFÖ-t. C2 értéke függ az alkalmazott elırejelzésimodelltıl. A részletes tárgyalás helyett jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy akorábban ismertetett modellekre a C1 és C2 szorzata a gyakorlatban 4 és 6 közöttválasztható, ahol 6 az elırejelzési modell lazább, 4 pedig szigorúbb ellenırzésétjelenti.

Az elırejelzési modell vizsgálata a követıjel-diagram segítségével történik,amely az idı függvényében ábrázolja a követıjel alakulását, valamint a menedzs-ment által elfogadott kontrollhatárokat. A kontrollhatárokon kívül esı pontok,valamint a követıjel alakulása figyelmeztetik a menedzsmentet arra, hogy az al-kalmazott elırejelzési modellt esetleg felül kell vizsgálni. A 2.7. táblázat a 2.7.1.pontban már alkalmazott egyszerő példán mutatja be a követıjel számítását, míga 2.11. ábra a követıjel-diagramot tartalmazza. A diagramból látható, hogy bár azértékek az igen szigorú kontrollhatárok között vannak, a követıjel egyértelmőenlefelé halad. A rendelkezésre álló kevés adatból nehéz ítélni, de elképzelhetı,hogy az igénynek trendeleme is van. Csak a további idıszakok vizsgálata segít-het eldönteni, hogy kell-e változtatni az elırejelzési modellen, de már e kevésadat is arra utal, hogy fokozottan figyelni kell az igény alakulását.

Gyakran még mielıtt a követıjel elérné a kontrollhatárokat már sejteni lehet,hogy az elırejelzési modell nem megfelelı. A követıjel-diagram következıjellegzetes típusait különböztethetjük meg:

– A követıjel értéke a kontrollhatárok között a zéró érték körül véletlenszerőenváltozik. Ilyenkor az elırejelzési modell statisztikai szempontból megfelelıenjelzi elıre az igény alakulását.

– A követıjel értéke szisztematikusan lefelé halad. Ilyenkor a kapott elırejelzé-sek rendszeresen alábecsülik az igényt. Valószínőleg figyelmen kívül hagytuk,vagy szisztematikusan alábecsültük a trendet. Például additív trendet alkalmaz-tunk multiplikatív trend helyett.

– A követıjel értéke szisztematikusan felfelé halad. Ilyenkor a kapott elırejelzé-sek rendszeresen túlbecsülik az igényt. Valószínőleg túlbecsültük a növekedést,esetleg nem is növekvı jellegő az igény, hanem állandó jellegő, vagy csökkenı.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– A követıjel egyértelmően azonosítható módon, tehát nem véletlenszerőenváltozik. Ilyenkor figyelmen kívül hagytuk a szezonalitást, vagy esetleg nemlétezı szezonalitást építettünk az elırejelzésbe.

A követıjel-diagram folyamatos figyelése szükséges, mert elképzelhetı, hogysokáig megfelelıen mőködik egy modell, majd hirtelen elindul a követıjelvalamelyik irányba. Ilyenkor még idejében felismerhetı, hogy egy termékpéldául életgörbéjének növekedési szakaszából az érettség szakaszába kerül,ezért a trend jellegő elırejelzési modellrıl át kell térni a konstans jellegő igénytfeltételezımodellre. Természetesen az elırejelzési modell váltásamellett ilyenkoregyéb – az 1. fejezetben említett – termelésmenedzsment-módszerek változtatásais szükséges lehet.

2.7. táblázat: Példa a követıjel számítására

t Ft Dt et EHFÖt ÁAHt K Jt

Január 1000 950 50 50 50,00 1,00

Február 1000 1070 −70 −20 60,00 −0,33

Március 1000 1100 −100 −120 73,33 −1,64

Április 1000 960 40 −80 65,00 −1,23

Május 1000 1090 −90 −170 70,00 −2,43

Június 1000 1050 −50 −220 66,67 −3,30

2.11. ábra: A követıjel-diagram

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.8. EGY ÉTTEREMFORGALMÁNAKELİREJELZÉSE(ESETTANULMÁNY)

A következıkben ismertetünk egy olyan esettanulmányt, amely az eddig el-mondottakat alkalmazza egy konkrét probléma kapcsán. Tekintsük egy étterempéldáját, amely az egyik kedvelt téli síparadicsom közelében már három éve si-keresen mőködik. Az étterem elsısorban a síelést kedvelı tehetısebb vendégekkörében népszerő. A hároméves munka eredménye, hogy az étteremaz egyik leg-gyorsabban növekvı vendéglátóipari egység a környéken. Az étterem vezetıjearra a következtetésre jutott, hogy egy elırejelzési rendszer szükséges, amely ké-pes az étel- és italfogyasztást egy évre elıre, havi bontásban megbecsülni [1]. Azelmúlt három év adatait a 2.8. táblázat elsı két oszlopa tartalmazza.

A feladat tehát az étel- és italfogyasztás elırejelzése. Miután az ételek és italoka legkülönbözıbb dimenziókban fordulhatnak elı (kilogramm, liter, hordó stb.),valamilyen közös nevezıt kell választani a forgalom kifejezésére. Esetünkbenez a közös nevezı a forint, ezért az adatok a táblázatban eFt-ban szerepelnek.Az adatok részletes elemzése elıtt érdemes a nem kvantitatív információkatfigyelembe venni. Az étterem egy síparadicsom közelében fekszik, ami azt sejteti,hogy télen nagyobb a forgalom, tehát szezonalitással kell számolni. A szövegbılaz is kitőnik, hogy az étterem sikeres, a forgalma növekszik, tehát az igénynektrendkomponense is lehet.

A 2.12. ábra az elmúlt három év forgalmát ábrázolja. A forgalom válto-zása egyértelmően mutatja a szezonalitást. A téli hónapok magas igénye mellettazonban ismétlıdıen kisebb fellendülések találhatók más hónapoknál is, ezértérdemes az egy évet mint periódust 12 szezonra bontani. A forgalom enyhe emel-kedése ugyancsak látható az ábrán, ugyanis a fıszezon magas igénye, valaminta holt szezon alacsony igénye mindig egy kicsit magasabban helyezkedik el amegelızı periódus azonos szezonjának igényénél. A menedzsment ezen meg-fontolások alapján egy additív trendet és multiplikatív szezonalitást tartalmazóelırejelzési modell alkalmazását javasolja.

2.12. ábra: Az igény alakulása az elsı három évben

A feladat tehát az, hogy a harmadik év végén készítsünk elırejelzést a ne-gyedik év minden egyes hónapjának (szezonjának) igényérıl. A Winters-modellt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.8. EGYÉTTEREMFORGALMÁNAKELİREJELZÉSE(ESETTANULMÁNY) 69

kívánjuk alkalmazni, amelyhez szükséges az induló értékek meghatározása (ini-cializálás). Az induló értékek a következık: a harmadik év utolsó havi igényénekbecsült konstans eleme, gradiense, valamint a 12 hónap becsült szezonalitásiegyütthatói.

Az elmúlt három év 36 havi adatából lineáris regresszióval kívánjuk megha-tározni az induló konstans elemet és gradienst. A 36 havi adatsorra azonbanközvetlenül nem célszerő egyenest illeszteni, mert az adatok szezonalitást tartal-maznak. Az igényadatok szezontalanítását mozgó átlaggal végezzük. Tudjuk,hogy a szezonalitási együttható a tényleges igénynek és az átlagos igénynek a há-nyadosa. A t periódus szezonalitási együtthatója ezért legyen a tényleges igényés az egy évi átlagos igény hányadosa úgy, hogy az egy évi átlag a t periódustmegelızı és követı hat hónap átlaga. A 2.8. táblázat harmadik oszlopa a 12 havimozgó átlagokat tartalmazza. A 12 havi átlag azonban a hatodik és hetedik hó-nap közé esı tényleges igényhez tartozó átlag, ugyanakkor a tényleges igényadatvagy a hatodik, vagy a hetedik hónaphoz tartozik. Egy kis korrekcióval azon-ban ez a probléma kiküszöbölhetı. A januártól decemberig tartó átlag a hatodikés hetedik hónapok közé, a februártól januárig tartó átlag viszont a hetedik ésnyolcadik hónapok közé esik. Ha viszont e két átlag átlagát vesszük, akkor kor-rekt módon a hetedik hónaphoz tartozó átlagos igényt kapjuk. Ezt tartalmazza a2.8. táblázat 4. oszlopa. Tehát például az elsı 12 hónap átlaga 175,50 eFt, ami ahatodik és hetedik hónap közé kerülne, míg a második hónaptól számított évesátlagos igény 177,25 eFt, ami viszont a hetedik és nyolcadik hónapok közé ke-rülne. E két átlag átlaga 176,38 eFt, ami a hetedik hónaphoz tartozó átlagos igény.A rendelkezésünkre álló 36 tényleges igényadathoz 24 átlagos igényadatot tu-dunk meghatározni, mert az elsı és utolsó hat hónap adatait nem fogja közreszimmetrikusan egy teljes periódus.

A kiszámított 24 darab átlagos igénnyel elosztva a megfelelı 24 darab ténylegesigényt a szezonalitási együtthatók egy lehetséges becslését kapjuk, amit a 2.8.táblázat 5. oszlopa tartalmaz. Így két évre kapunk egy lehetséges értéket aszezonalitási együtthatókra, tehát minden szezonhoz (hónaphoz) két különbözıérték áll rendelkezésre. E két adat átlaga lesz a szezonalitási együtthatók indulóértéke.

A 2.8. táblázat 6. oszlopa az elsı lépésben számolt 24 szezonalitási együttha-tóból kapott 12 induló értéket tartalmazza. Például a 7. hónaphoz (júliushoz)tartozó szezonalitási együttható induló értéke 0,828, ami az elızı lépésben ka-pott két júliusi adat (7. és 19. hónap) átlaga. A szezonalitási együtthatók összege11,995, ami jó közelítéssel 12, tehát nem szükséges azokat normalizálni. Az ígynyert 12 induló szezonalitási együtthatót mind a három év megfelelı hónapjá-hoz hozzárendeljük a 7. oszlopban látható módon. Végezetül a szezontalanítottigényadatokat a tényleges igény és a szezonalitási együttható hányadosakéntkapjuk. Az így meghatározott értékeket a 2.8. táblázat 8. oszlopa tartalmazza.Ezen adatok már csak az igény véletlenszerősége miatt szóródnak, ezért illeszt-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.8. táblázat: Az esettanulmány alapadatai és a regressziós egyenes meghatározása

1Hónap

2Igény

3MA(12)

4Központ.Mozg.

Átl.

5Szez.faktor(elsıköz.)

6Szez.faktor(átlag)

7Szez.Fakt.

8Szezon-talanigény

9Regresz-

szió

1 242 1,443 167,71 170,4422 235 1,299 180,89 171,4633 232 1,344 172,68 172,4854 178 1,041 171,03 173,5075 184 1,049 175,41 174,5286 140 175,50 0,800 174,99 175,5507 145 177,25 176,38 0,8221 0,8280 0,828 175,13 176,5728 152 177,50 177,38 0,8569 0,8526 0,853 178,27 177,5949 110 178,75 178,13 0,6175 0,6277 0,628 175,24 178,615

10 130 180,00 179,38 0,7247 0,7000 0,700 185,71 179,63711 152 180,75 180,38 0,8427 0,8524 0,852 178,32 180,65912 206 181,50 181,13 1,1373 1,1588 1,159 177,77 181,680−− − −− − − −− − −− − − −− − − −− − − −− − −− − − −− − − −− − − −− − − −13 263 182,50 182,00 1,4451 1,4430 1,443 182,26 182,70214 238 183,25 182,88 1,3014 1,2992 1,299 183,20 183,72415 247 184,25 183,75 1,3442 1,3436 1,344 183,84 184,74616 193 184,25 184,25 1,0475 1,0408 1,041 185,44 185,76717 193 185,50 184,88 1,0439 1,0490 1,049 183,99 186,78918 149 187,50 186,50 0,7989 0,8000 0,800 186,24 187,81119 157 189,08 188,29 0,8338 0,828 189,62 188,83320 161 190,50 189,79 0,8483 0,853 188,83 189,85421 122 192,00 191,25 0,6379 0,628 194,35 190,87622 130 193,00 192,50 0,6753 0,700 185,71 191,89823 167 194,42 193,71 0,8621 0,852 195,92 192,91924 230 195,33 194,88 1,1802 1,159 198,48 193,941−− − −− − − −− − −− − − −− − − −− − − −− − −− − − −− − − −− − − −− − − −25 282 196,08 195,71 1,4409 1,443 195,43 194,96326 255 197,17 196,63 1,2969 1,299 196,28 195,98527 265 197,50 197,33 1,3429 1,344 197,24 197,00628 205 199,00 198,25 1,0340 1,041 196,97 198,02829 210 199,50 199,25 1,0540 1,049 200,20 199,05030 160 199,92 199,71 0,8012 0,800 199,99 200,07131 166 0,828 200,49 201,09332 174 0,853 204,08 202,11533 126 0,628 200,72 203,13734 148 0,700 211,42 204,15835 173 0,852 202,96 205,18036 235 1,159 202,80 206,202

Meredekség: 1,022Metszet: 169,420Corr. egy.: 0,959Sthiba: 3,211

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



hetünk rájuk regressziós egyenest. Az itt bemutatott szezontalanítási eljárástáltalánosan használják [1].

Elvégezve a lineáris regressziót, a regressziós egyenes meredeksége (b) 1,022,a függıleges tengelyen lévı metszete (a) pedig 169,420 lesz. Meg kell vizsgálni,hogy a meghatározott egyenes mennyire jól illeszkedik a szezontalanított igényadataira. A korrelációs együttható értéke 0,959, ami azt jelzi, hogy igen erısa lineáris kapcsolat. A 2.8. táblázat utolsó oszlopa a regressziós egyenessegítségével meghatározott értékeket tartalmazza. A 2.13. ábra együtt mutatjaa tényleges és szezontalanított igény, valamint a regressziós egyenes értékeit.Jól látható a szezontalanított adatoknak a korrelációs együttható által is jelzettigen kismértékő szóródása a regressziós egyenes körül. A regressziós egyenesta negyedik évre meghosszabbítva kapjuk az átlagos igénynek a harmadik évvégén a negyedik év minden egyes hónapjára számított elırejelzését. Az átlagosigény elırejelzését a szezonalitási együtthatóval kell korrigálni. A negyedik éviforgalom havi elırejelzéseit a következı módon kaphatjuk meg:

F36,t = (169,42 + 1,022t) · ct

A regressziószámítással kapott elırejelzést exponenciális simítással, a Winters-modellt alkalmazvakívánjuk aktualizálni azt követıen, hogy egy hónap elteltévelmegismertük annak tényleges forgalmát. A Winters-modell induló értékei:G36 = 1,022; S36 = 206,202; valamint a 2.8. táblázatban feltüntetett szezonalitásiegyütthatók. Simítási együtthatóknak válasszuk az α = 0,2; β = 0,2 és γ = 0,1értékeket. A negyedik év elsı hónapjának elteltével (37 hónap) kiderül, hogy aforgalom 303 eFt volt. Ezt figyelembe véve a 37. hónap becsült konstans eleme,gradiense, valamint a 38. hónap módosított elırejelzése a következıképpenszámítható:

S37 = α ·D37

c37−12+ (1 − α) · (S36 + G36) =

= 0,2 ·303

1,443+ (1 − 0,2) · (206,202 + 1,022) = 207,775eFt

G37 = β · (S37 − S36) + (1 − β) · G36 =

= 0,2 · (207,775 − 206,202) + (1 − 0,2) · 1,022 = 1,132eFt

F38 = (S37 + G37) · c37−12 =

= (207,775 + 1,132) · 1,299 = 271,4eFt

ahol ct a t idıszak szezonalitási együtthatója. Az elırejelzési adatokat a 2.9. táb-lázat 3. oszlopa tartalmazza, feltüntetve a 2. oszlopban a vonatkozó szezonalitásiegyütthatók induló értékeit is. Az elırejelzés adatai ugyancsak láthatók a 2.13.ábrán.A 37. havi tényleges igény magasabb volt, mint az elıre jelzett érték, ezért a 38.hétre készített új elırejelzés kis mértékben megnı. A növekedés szerény mértéke

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.13. ábra: A negyedik évi igény elırejelzése lineáris regresszióval

2.9. táblázat: A negyedik évi igény elıre jelzése a Winters-modellel

1.Hónap

2.Szezona-litásifaktor

3.Elıre-jelzés

4.Tényle-gesigény

5.St

6.Gt

7.ct

8.Módosí-tottelıre-jelzés

9.Követı-jel

37 (1) 1,443 299,02 303,00 207,775 1,132 1,445 299,022 –1,00038 (2) 1,299 270,54 270,00 208,691 1,089 1,299 271,405 –0,95639 (3) 1,344 281,16 285,00 210,249 1,183 1,345 281,853 –2,01240 (4) 1,041 218,86 220,00 211,422 1,181 1,041 220,052 –2,64341 (5) 1,049 221,65 225,00 212,982 1,257 1,050 223,010 –3,62342 (6) 0,800 169,88 172,00 214,388 1,287 0,800 171,401 –4,43643 (7) 0,828 176,65 177,00 215,296 1,211 0,827 178,571 –3,67444 (8) 0,853 182,78 185,00 216,601 1,230 0,853 184,598 –4,31545 (9) 0,628 135,21 138,00 218,232 1,310 0,628 136,738 –5,218

46 (10) 0,700 151,50 154,00 219,632 1,328 0,700 153,687 –5,88747 (11) 0,852 185,35 187,00 220,644 1,265 0,852 188,347 –5,01148 (12) 1,159 253,15 258,00 222,056 1,294 1,159 257,145 –5,796

∑

11,995 1,998

az igény véletlenszerő változásainak csak kismértékő követését engedı simításiegyütthatóknak köszönhetı.

A 37. heti tényleges igény ismeretében aktualizáljuk a január havi szezonalitásiegyütthatót is:

c37 = γ ·D37

S37+ (1 − γ ) · c37−12 = 0,1 ·

303207,775

+ (1 − 0,1) · 1,443 = 1,445

A januári szezonalitási együttható kismértékő változása miatt a legutolsó 12

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



hónap szezonalitási együtthatóinak összege a módosítás ellenére is közelítıleg12 marad, így a normalizálás nem szükséges.

Az elırejelzés ezután hasonlóan aktualizálható hónapról hónapra. Amintegy hónap eltelik és megismerjük annak igényét, kiszámítjuk a követıjelet,valamint aktualizáljuk a következı havi elırejelzést. A 2.9. táblázat tartalmazzae számítások eredményét is. Az elsı oszlop a hónapok sorszámát kétféle módontünteti fel. A zárójelben lévı szám a negyedik év elejétıl (elırejelzés kezdete)kezdi a hónapok számozását. A táblázat negyedikoszlopa anegyedik év ténylegesigényének adatait mutatja. Észrevehetjük, hogy ez rendszerint magasabb, minta regresszióval elıre jelzett érték. A következı három oszlop az igény konstanselemének, gradiensének, valamint a szezonalitási együtthatóknak az aktualizáltértékeit tartalmazza. Láthatjuk, hogy a gradiens mindig nagyobb a regresszióvalmeghatározott induló értéknél (1,022). Anyolcadik oszlopbana tényleges igényekismeretében módosított elırejelzések találhatók. Ezek kismértékben magasabbak,mint a regresszióval kapott elırejelzések. Végezetül, az utolsó oszlop a követıjelalakulását tartalmazza. Ezen adatok felhasználásával készült a 2.14. ábrán láthatókövetıjel-diagram.

2.14. ábra: A követıjel alakulása a negyedik évben

(G = 1,022; α = β = 0,2; γ = 0,1)

Az ábra jelzi, hogy az igényt szisztematikusan alulbecsültük, mert a követıjelkisebb megingások ellenére negatív irányba halad és egy idı után az alsókontrollhatáron kívülre kerül.

Az igény alábecslésének számos oka lehet. Elképzelhetı, hogy az igény növe-kedése a harmadik évben az elsı három évben tapasztaltnál sokkal dinamikusabblett. Ezt sejteti, hogy a háromévi adatok alapján meghatározott induló gradienskisebb értékő valamennyi, az elırejelzés során aktualizált gradiensnél. E gradi-ensek az induló 1,022 érték helyett a negyedik év végén már 1,3 körül alakulnak.Az is elképzelhetı, hogy a trend nem additív, hanem multiplikatív jellegő. A 2.15.ábra mind a négy év tényleges igényének adatait ábrázolja. Ezen egyértelmőenérzékelhetı az igény növekedése.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



2.15. ábra: A négy év együttes igénye

A tapasztalatok birtokában megállapíthatjuk, hogy az alkalmazott elırejelzésimodell módosításra szorul. Megpróbálkozhatunk multiplikatív trend modellel.Ehhez nemlineáris regresszióval kellene egy görbét illeszteni a szezontalanítottigény adataira. Megpróbálhatunk az additív trend modellnél maradni, esetlegegy meredekebb gradienst feltételezve. Az igény dinamikus változását feltéte-lezve ugyancsak célszerőnek látszik az igény erıteljesebb változásainak követésenagyobb értékő simítási konstansok alkalmazásával. A 2.16. ábra azt mutatja,hogyan alakul a követıjel, ha az induló gradiens értéke 1,328, továbbá az α ésβ értéke 0,5. A gradiens induló értékének választott 1,328 az igény legnagyobbnövekedésekor tapasztalt érték. A 2.16. ábrán látható, hogy most a követıjel akontroll-határok között zéró érték körül változik, ezen elırejelzési modell tehátmegfelelı. Ha az igény multiplikatív jellegő, akkor azonban a következı évekbenez a modell is alá fogja becsülni az igényt.

2.16. ábra: A trend és simítási konstansok módosítása utáni követıjel-diagram

(G = 1,328; α = β = 0,5; γ = 0,1)

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


2.9. ÖSSZEFOGLALÁS 75

2.9. ÖSSZEFOGLALÁS

E fejezetben bemutattuk azokat az egyszerő elırejelzési modelleket, amelyek atermelésmenedzsment területén jelentkezı problémáknál rendszerint alkalmaz-hatók. Valamennyi modell arra a feltételezésre épül, hogy legalább részbenismerjük az igény természetét, az igényt kiváltó okokat és folyamatokat. Nem-csak egy egyszerő számhalmaz van tehát elıttünk, amibıl ki kell találni az igényjellegét. Egy sor nem számszerősíthetı információ is rendelkezésünkre áll. Gon-doljunk például az étterem-esettanulmányra, amelynél tudtuk, hogy a síelésmiattvélhetıleg szezonalitás lesz, valamint, hogy az étterem sikeres, ezért trend is vár-ható. Ezek nélkül a nem számszerősíthetı ismeretek nélkül nagyon nehéz – hanem lehetetlen – jó elırejelzést készíteni.

Az igény jellegét sejtetınemszámszerősíthetı információk semmindigutalnakegyértelmően az igény jellegére. A gyakorlatban ezért – különösen az elırejelzéskezdeti idıszakaiban – több modellt is alkalmaznak párhuzamosan, figyelik azokmőködését a követıjel-diagram segítségével, majd ezt követıen döntenek azelırejelzésre alkalmas modellrıl. Fontos hangsúlyozni, hogy az igény jellege atermékéletgörbe természetének köszönhetıen már rövidtávon is megváltozhat.Ezt a követıjel és a már említett nem számszerősíthetı információk együttjelezhetik. Ilyenkor változtatni kell az elırejelzési modellen.

Az elırejelzési modellek gyakorlati alkalmazásának egyik fontos problémájaaz inicializálás, az induló értékek megválasztása. Hangsúlyozni kell, hogy a gya-korlatban rendszerint úgy kezdıdik az elırejelzés, hogy van múltbeli tapasztalataz igény alakulásáról. Ezért a múltbeli adatok értékelése segíthet jó induló érté-keket választani. Ismét gondolhatunk az étterem-esettanulmányra, amelynél azelsı három év után vetıdött fel az elırejelzési modell alkalmazásának lehetıségeés igénye. Ugyancsak fontos hangsúlyozni a kezdıértékek megválasztásakor anem számszerősíthetı, az igény jellegére vonatkozó információk fontosságát.

Végezetül meg kell említeni, hogy az ebben a fejezetben bemutatott elırejelzésimodellek mellett még számtalan módszer található a szakirodalomban az igénymeghatározására (lásd például [35] és [39]). Az itt bemutatott modellek egyrészta gyakorlatban leginkább beváltak, továbbá az ismertetésük során bemutatottgondolatmenet segíthet megérteni az itt nem tárgyalt eljárások alapelveit is.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


3. KAPACITÁSELEMZÉS

A rendelkezésre álló kapacitások mennyiségének meghatározása a termelés-menedzsment egyik legfontosabb feladata. Ennek ismeretében dönthetı el, hogymely rendeléseket érdemes elvállalni (termeléstervezés és programozás), mikorérdemes a raktári készletek szintjét növelni vagy csökkenteni (készletgazdálko-dás), és/vagy mely kapacitásokat szükséges bıvíteni, illetve szőkíteni (beruházás,erıforrás allokálás). Egy vizsgált erıforrás kapacitása a következı definíció alap-ján határozható meg: a kapacitás egy meghatározott idıszak alatt gyártható termék,vagy nyújtható szolgáltatás mennyisége.

E definíció fontos eleme az idı. Amikor egy erıforrás kapacitását számokkalfejezzükki,megkellmondani, hogyameghatározottmennyiségmilyen idıszakravonatkozik (például darab/hó, tonna/év, vevı/nap). Így nem sokat mond az, hogyegy berendezés havi 200 órát dolgozik, mert a berendezés tényleges nagyságáta gyártott termék erıforrásigénye határozza meg. A kapacitás gyakran nemkizárólag a vizsgált erıforrás mőszaki paramétereinek függvénye. Egy repülıgépkapacitásának meghatározásakor például az ülıhelyek száma önmagában nemelegendı adat. A gép havi kapacitását az fogja meghatározni, hogy hányszorrepül és milyen útvonalon.

A definíció másik fontos jellemzıje, hogy általánosan erıforrás-kapacitásravonatkozik. Ennek oka, hogy a definíció termelırendszerekre (gépek, gyártóso-rok, üzemegységek), szolgáltatórendszerekre (banki kiszolgáló ablak, étterem),valamint szervezeti egységekre (anyagbeszerzési osztály) egyaránt érvényes. Atovábbiakban a kapacitás meghatározásának és jellemzésének egyszerő lehetısé-geit mutatjuk be. Elıször a rövid távú kapacitáselemzés módszereit ismertetjük,melyeknek feladata, hogy hozzáigazítsa a kapacitást az igény rövidtávon, ideig-lenesen jelentkezı változásaihoz. Ezt követıen a hosszú távú kapacitáselemzésproblémáit vizsgáljuk meg, melyeknek célja a kapacitás és az igény hosszú távonérvényes egyensúlyának létrehozása és fenntartása.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


3.1. A RÖVID TÁVÚ KAPACITÁSELEMZÉS ÖSSZEFÜGGÉSEI 77

3.1. A RÖVID TÁVÚ KAPACITÁSELEMZÉS ÖSSZEFÜGGÉSEI

3.1.1. Kapacitásjellemzık

A következıkben négy fontos, a fentiekben megfogalmazott definícióra épülı és agyakorlatban széles körben alkalmazott kapacitásjellemzı számítását ismertetjük.

– Tervezési kapacitás: egy erıforrás vagy erıforráscsoport (gép, szervezetiegység, kiszolgálóhely) maximális kibocsátó képessége egy adott idıszakban,ideális körülmények között.

E kapacitásjellemzı arra utal, hogy mennyit tud termelni az erıforrás, ha annyitdolgozik, amennyit ideális körülmények között képes. A tervezési kapacitás akövetkezı módon számolható:

Tervezési kapacitás =N · D · S · H

M

aholN – a párhuzamosan dolgozó azonos tulajdonságú erıforrások száma,D – a rendelkezésre álló napok száma,S – a napi mőszakok száma,H – az egy mőszakban ledolgozott órák száma,M – a termék vagy szolgáltatás egységének elıállításához szükséges idı.A számítás elve egyszerő, a számláló a rendelkezésre álló idıt, a nevezı pedig

az egységnyi termék vagy szolgáltatás elıállításához szükséges idıt tartalmazza.– Effektív kapacitás: egy erıforrás vagy erıforráscsoport (gép, szervezeti egység,

kiszolgálóhely) tényleges munkarendjének megfelelı kibocsátó képessége egy adottidıszakban.

Effektív kapacitás =N · D · S · H · (1 − ξ )

M

ahol ξ egy olyan 0 és 1 közötti tényezı, amely kifejezi a folyamat sajátosságainakés a munkarendnek megfelelı tervezett idıveszteségeket. Értékét a gyakorlat-ban sokszor veszteségszázalékként, százalékos formában adják meg. A ξ tényezıfigyelembeveszi a tervezett karbantartásmiatt elveszı idıt, a tervezett pihenıidı-ket, a sorozatátállások tervezett idejét stb. A ξ tényezınek több eleme is lehet.Egy pneumatikus alkatrészeket gyártó multinacionális vállalat egyik üzemébenaz effektív kapacitás meghatározásánál a ξ tényezıt négy részre bontják, amelyeka munkások termelékenysége, a berendezés sajátosságai, a termék sajátossá-gai, valamint a szervezési okok miatt kialakult veszteségeket tartalmazzák. Azösszefüggés lényege, hogy a tervezhetı, várható, a menedzsment által elfogad-ható mértékő idıkiesés csökkentheti a rendelkezésre álló idımennyiséget, vagynövelheti az egységnyi termék vagy szolgáltatás elıállításához szükséges idıt.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


78 3. KAPACITÁSELEMZÉS

Gyakran elıfordul, hogy a ξ tényezı értékét explicit módon nem ismerjük, hanemazt tudjuk, hogy a rendelkezésre álló idı mennyire csökken le. Például megad-hatjuk a karbantartás miatt elveszı idıt. Az effektív kapacitás meghatározásakorilyen esetben egyszerően számolhatunk a karbantartási idıvel csökkentett mun-kaórákkal. Természetesen ha szükséges, akkor a ξ tényezı értéke ilyenkor ismeghatározható.

A tervezési kapacitás, valamint az effektív kapacitás abszolút kapacitásjel-lemzık, azt fejezik ki, hogy a rendszer az ideális, valamint a realitásokat fi-gyelembe vevı körülmények között mire képes. A menedzsmentet azonbanrendszerint az is érdekli, hogy ezen mutatókhoz viszonyítva mit végzett a vizs-gált termelı- vagy szolgáltatórendszer. Ezt fejezi ki a következı két relatívkapacitásjellemzı:

-Kapacitáskihasználás: a kapacitáskihasználás azt fejezi ki, hogy az ideális kö-rülményekhez képest milyen mértékben vettük igénybe a kapacitást a ténylegesmőködés során.

Kapacitáskihasználás =Tényleges kibocsátásTervezési kapacitás

– Hatékonyság: a hatékonyság azt fejezi ki, hogy a körülmények tervezettalakulásakor milyen mértékben vettük igénybe a kapacitást a tényleges mőködéssorán.

Hatékonyság =Tényleges kibocsátás

Effektív kapacitás

Az ismertetett négy kapacitásjellemzı használatát szemlélteti a következı egy-szerő példa. Egy berendezés öt napot dolgozik egy héten, naponta egy, nyolcórásmőszakban. Amikor a berendezés dolgozik, 100 darabot képes óránként ter-melni. Hasznos idıalapjából 10% a karbantartási, valamint átállási idı. Az egyikvizsgált héten a berendezés kibocsátása 3000 db volt.

Az ismertetett adatok alapján a kapacitásjellemzık a következık:

Tervezési kapacitás =N · D · S · H

M=

1 · 5 · 1 · 81

100

= 5 · 8 · 100 = 4000 darab/hét

Effektív kapacitás =N · D · S · H · (1 − ξ )

M=

1 · 5 · 1 · 8 · (1 − 0,1)1

100

=

= 5 · 8 · 100 · 0,9 = 3600 darab/hét

Kapacitáskihasználás =Tényleges kibocsátásTervezési kapacitás

=30004000

= 0,75 → 75%

Hatékonyság =Tényleges kibocsátás

Effektív kapacitás=

30003600

= 0,833 → 83,3%

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A kapott eredményekbıl kiolvasható, hogy a tényleges kibocsátás alacsonyabbvolt, mint amennyi a munkarend szerint lehetséges (hatékonyság 83,3%). Ennekoka például a rendelések hiánya, vagy az alapanyag-problémák miatt megnöve-kedett darabidı lehet. A kapacitáskihasználás és a hatékonyság közötti eltéréspedig arra utal, hogy a karbantartás mőszakon kívülre ütemezésével a rendszerkibocsátása szükség esetén növelhetı.

Tekintsünk most egy összetettebb feladatot, amelynél több erıforrásból állótermelırendszer kapacitását kell megvizsgálni. A 3.1. ábra egy palackozóüzemvázlatos felépítését mutatja.

3.1. ábra: Palackozósor egyszerősített ábrája

Az üdítıitalokat palackozó gyártósor 1 literes üvegpalackokba tölt üdítıita-lokat, a palackokat felcímkézi és 12 üvegbıl álló rekeszekbe csomagolja. Apalackozóüzem 12 órát dolgozik naponta. A termelırendszer három mőveletihelyének legfontosabb adatai a következık:

– Töltıhely, amely két töltıgépbıl áll. Mindkét töltıgép 80 liter üdítıitaltképes percenként egy literes üvegekbe tölteni. Mindkét gép karbantartása napikét órát vesz igénybe.

– Címkézıhely, amely három címkézı gépbıl áll. Mindhárom gép óránként3000 üveget címkéz fel. Mindegyik gép napi 30 percnyi karbantartást igényel.

– Csomagolóhely, amely a megtöltött palackokat 12 üvegbıl álló rekeszekbecsomagolja. Itt egyetlen berendezés található, amely 10 000 rekeszt készít elnaponta.

Vizsgáljuk meg elıször a töltısor tervezési kapacitását. A három egymásutánkövetkezı (sorbakapcsolt) mőveleti hely tervezési kapacitásának minimumahatározza meg az egész sor tervezési kapacitását. Felhasználva a tervezésikapacitás összefüggését az egyes mőveleti helyek tervezési kapacitása rendre akövetkezı:

Töltıhely:N · D · S · H

M=

2 · 1 · 1 · 12 · 60180

= 2 · 12 · 60 · 80 = 115 200 üveg/nap

Címkézıhely:N · D · S · H

M=

3 · 1 · 1 · 121

3000

= 3 · 12 · 3000 = 108 000 üveg/nap

Csomagolóhely:N · D · S · H

M=

1 · 1 · 1 · 1212

12·10 000

= 12 · 10 000 = 120 000 üveg/nap

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Ügyelni kell arra, hogy M az egységnyi termék elıállításához szükséges idı,míg a feladatban az idıegység alatt elıállított mennyiség adott. Természetesenezen utóbbi érték segítségével is megkapható a tervezési kapacitás, amint azt azösszefüggések egyszerősített változata mutatja. A teljes sor tervezési kapacitásaaz egyes mőveleti helyek tervezési kapacitásának a minimuma:

A sor tervezési kapacitása: M I N {115 200; 108 000; 120 000} == 108 000 üveg/nap

A palackozósor tervezési kapacitását tehát a címkézı mőveleti hely határozzameg.

Számoljuk ki most a töltısor effektív kapacitását is. Az effektív kapacitásfigyelembe veszi az elırelátható termeléskiesés idejét. Esetünkben termeléskiesésaz elıre tervezett karbantartás miatt fordul elı, így a karbantartás idejévelcsökkentett munkaidıt kell figyelembe venni. Az egyes mőveleti helyek effektívkapacitásai így a következıképpen alakulnak:

Töltıhely:N · D · S · H · (1 − ξ )

M=

2 · 1 · 1 · 10 · 60180

= 2·10·60·80 = 96 000üveg/nap

Címkézıhely:N · D · S · H · (1 − ξ )

M=

3 · 1 · 1 · 11,51

3000

= 3 · 11,5 · 3000 =

= 103 500 üveg/nap

Csomagolóhely:N · D · S · H · (1 − ξ )

M=

1 · 1 · 1 · 1212

12·10 000

= 12 · 10 000 =

= 120 000 üveg/nap

Az összefüggésekben az 1 − ξ tényezı helyett közvetlenül a karbantartásiidıvel csökkentett munkaóra szerepel. A teljes sor effektív kapacitása az egyesmőveleti helyek effektív kapacitásának a minimuma:

A sor effektív kapacitása: M I N {96 000; 103 500; 120 000} = 96 000 üveg/napA palackozósor tervezési kapacitását tehát a töltıgépek határozzák meg. Ész-

revehetjük, hogy a töltıgépek a nagyobb karbantartási igény miatt szők kereszt-metszetté váltak. Természetesen a karbantartás ügyesebb ütemezésével (példáulmunkaidı utáni elvégzésével) az effektív kapacitás növelhetı. Ekkor elképzel-hetı, hogy ismét a címkézı berendezések válnak szők keresztmetszetté.

Vizsgáljuk meg, hogyan alakul az egyes mőveleti helyek kapacitáskihasz-nálása, ha a rendszer effektív kapacitáson dolgozik. Az effektív kapacitásondolgozás a munkarend szerinti termeléskiesések figyelembevételével gyárthatómaximális kibocsátást jelenti. A termelési folyamat effektív kapacitása 96 000liter/nap, ezért a kapacitáskihasználások a következıképpen alakulnak:

Töltıhely:96 000115 200

= 0.8333 → 83,3%

Címkézıhely:96 000108 000

= 0.8888 → 88,9%

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Csomagolóhely:96 000120 000

= 0.80 → 80%

Az adatokból egyrészt kiolvasható, hogy a rendszer szők keresztmetszetea címkézıhely, mert ott a legnagyobb a kapacitáskihasználás. Az is látható,hogy több, mint tíz százalék tartalék van a rendszerben, aminek nagy részea karbantartás megfelelı ütemezésével mozgósítható. A rendszer a tervezésikapacitás szempontjából kiegyenlítettnek tőnik, mert nem nagy az eltérés azegyes mőveleti helyek kapacitáskihasználása között.

Végezetül vizsgáljuk meg, hogy egy olyan napon, amikor 70 000 üvegetgyártott a rendszer, hogyan alakul az egyes mőveleti helyek hatékonysága:

Töltıhely:70 00096 000

= 0,7292 → 72,9%

Címkézıhely:70 000103 500

= 0.67,63 → 67,6%

Csomagolóhely:70 000120 000

= 0.5833 → 58,3%

Az eredményekbıl látható, hogy most a töltıhely a szők keresztmetszet, de azsemhasználta ki a rendelkezésre álló idıt. A 72,9% hatékonyság azt mutatja, hogyvagy nem volt elegendı rendelés, vagy a sor gyakori leállása miatt lényegesenkevesebbet termeltek a munkarend szerinti lehetıségnél. A másik két mőveletihely hatékonysága nem sok információt szolgáltat a kihasználatlanság részletesokainak ismerete nélkül. Nem tudjuk, hogy a címkézıhely hatékonysága azért67,6%-e, mert a töltıhely nem tudott többet gyártani, vagy pedig azért ennyi, merta címkézıgép gyakori meghibásodása nagyobb mennyiség gyártását nem tettelehetıvé. A hatékonysági adatok birtokában tehát a menedzsmentnek részletesvizsgálatot kell végeznie a veszteségek okainak feltárásához.

A kapacitáskihasználási és a hatékonysági mutatókat együtt kell használni atermelı- vagy szolgáltatórendszerek kihasználtságának vizsgálatakor, mert azoka menedzsment eltérı szintjeire tartozó problémákra utalnak. Míg a hatékony-ságért az felel, akinek feladata a termelési folyamat „jó” végrehajtása (példáula termelésvezetı), addig a kapacitáskihasználás és -hatékonyság eltéréséért azfelel, akinek az üzem egészének „jó” mőködtetése a feladata (például az üzem-vezetı). Az erıforrás-felhasználás értékelése kizárólag a kapacitáskihasználásalapján ezért gyakran hibás következtetésekhez, a kihasználatlanság okainak ésfelelıseinek helytelen meghatározásához vezethet [49].

Meg kell még jegyezni azt is, hogy a bemutatott formuláknak számtalan – ahelyi adottságokhoz igazított – változata létezik (lásd például [26]).

Az említett négy kapacitásjellemzı a gyakorlatban széles körben alkalmazotteszköz a kapacitás értékelésére. Alkalmazásuknak azonban kétségtelen korlátaiis vannak. Ezek közül két lényegeset szükséges kiemelni:

– A kapacitás leírására szolgáló összefüggések csak egyetlen termék gyártása,illetve egyfajta szolgáltatás nyújtása esetén alkalmazhatók. Az összefüggésekben

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



ugyanis csak egyetlen idıadat (M) szerepel. Amikor több termék vagy szol-gáltatás veszi igénybe ugyanazt a kapacitást, akkor vagy egy átlagos (példáula gyártandó mennyiséggel súlyozott) idıvel számolhatunk, vagy összetettebbesetekben a matematikai programozás optimalizálási modelljeihez fordulhatunksegítségért [24]. Kétségtelen azonban, hogy rövid távú számításoknál – ami-kor például azt kell meghatározni, hogy egy egyébként többféle terméket gyártóberendezés a következı mőszakban le tud-e gyártani egy meghatározott mennyi-séget egy adott termékbıl – a bemutatott összefüggések jól használhatóak.

– A bemutatott összefüggések determinisztikusak, nem veszik figyelembe,hogy a rendelkezésre álló idı és/vagy a szükséges idı egyaránt lehetnek való-színőségi változók. A sorbanállás-elmélet rávilágít arra, hogy ha a kiszolgálási(gyártási) idı és a beérkezési idıköz valószínőségi változók, akkor egy ala-csonyabb (például 60%-os) kapacitáskihasználás is eredményezhet elfogadhatómőködést (például az alacsony készletek vagy a rövid várakozási idı miatt)[25]. A bemutatott összefüggések a rendszer nagyvonalú, statikus vizsgála-tára megfelelıek, de a dinamikus viselkedés részletes vizsgálatakor sorbanállásimodelleket, valamint szimulációt kell alkalmazni [34]. Éppen az erıforrások di-namikus viselkedésének vizsgálata irányította a figyelmet arra a tényre, hogy amagas kapacitáskihasználás erıltetése nem feltétlenül eredményes stratégia. Azidıalapú versenyzés (time based competition = TBC) arra az elvre épül, hogynem a kapacitás, hanem az idıbeni viselkedés a fontos, ezért rövid átfutásrakell törekedni, ami rendszerint csak alacsony kapacitáskihasználás mellett érhetıel [4].

Minden kritika ellenére megállapítható azonban, hogy a kapacitáskihasználásés -hatékonyság a termelı- és szolgáltatórendszerek mőködésének legfontosabbmutatói közé tartoznak.

3.1.2. Rövid távú kapacitástervezés

Az elızı pontban ismertetett összefüggések segítségével a kapacitás rendelke-zésre állásának rövid távú kérdései vizsgálhatók. Rövidtávon azt kell eldönteni,hogy egy rendelés vagy egy idılegesen megnövekedett igény kielégítése rövid-távon (néhány nap, hét, esetleg hónap) lehetséges-e. Nem tartós változásokrólvan tehát szó, hanem a kapacitással szemben jelentkezı igény ideiglenes válto-zásáról. A rövid távú kapacitásvizsgálatok feladata tehát az igény és a kapacitásrövid távú összhangjának megteremtése. Ez két módon lehetséges; vagy az igényalakulását befolyásoljuk, vagy a rendelkezésre álló kapacitást változtatjuk meg.

1. Az igény befolyásolása. A rövid távú kapacitásproblémák megoldásának azutóbbi években egyre terjedı módja az igény befolyásolása, vagy népszerőbbnevén igénymenedzsment. Az igénymenedzsment célja az igény átirányításaa kapacitáshiánnyal rendelkezı idıszakokból a kapacitásfelesleggel rendelkezıidıszakokba. E módszer akkor célravezetı, ha egyrészt az igény befolyásolható,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



másrészt az igény befolyásolása kisebb ráfordítással jár, mint a kapacitás vál-toztatása. Az igény kapacitásokok miatti befolyásolásának jellegzetes eszközeilehetnek például a következık:

– Árváltoztatás. Olyan termelı- és szolgáltatórendszerek, amelyek kapaci-tásának változtatása költséges, gyakran árkedvezménnyel ösztönzik a vevıketvásárlásra/fogyasztásra a kapacitásfelesleggel rendelkezı idıszakokban. Ennekegyik jellegzetes példája a légitársaságok ıszi akciója. Ilyenkor arra ösztönzika szabadságukat ısszel is felhasználni tudó ügyfeleket, hogy ne a legjobbanterhelt nyári szezonban utazzanak, hanem ısszel, amikor az igen nagy értékőerıforrások (repülıgépek) szabad kapacitással rendelkeznek.

– Raktárra termelés a kapacitásfelesleggel rendelkezı idıszakban. Ha a terméktárolható, akkor a kapacitásfelesleggel rendelkezı idıszakban a termelırendszergyakran raktárra termel, a kapacitáshiánnyal küzdı idıszakban pedig az igényegy részét raktárról elégítik ki. Fontos feltétel, hogy a tárolt termék készlettartásiköltsége alacsonyabb legyen mint a kapacitás növelésének költsége a kapacitáshi-ányos idıszakban. Üdítıital-gyártók például gyakran termelnek raktárra tavasziidıszakban, hogy a nyári kánikula idején jelentkezı igényt ki tudják elégíteni.

– Rendelések átfutási idejének változtatása. Kapacitáshiánnyal rendelkezı idıszak-ban hosszabb átfutási idıvel vállalhatja el egy rendszer a rendelések teljesítését.Ez akkor lehetséges, ha a hosszabb átfutási idı miatt elpártoló vevık veszteségekisebb, mint a kapacitás bıvítésének költsége. Egy tisztítószalon például a báliszezon környékén a megnövekedett igény miatt hosszabb határidıvel vállalhatjaöltönyök tisztítását.

– Rendelés felvétele. Az egyébként raktárra termelı rendszerek a kapacitáshi-ányos idıszakban átállhatnak rendelésre termelı rendszerré. Ilyenkor megha-tározott idıszakokban csak akkor tudunk vásárolni, ha korábban elıjegyeztéka rendelést. Ez a módszer akkor alkalmazható, ha az elıjegyzési (rendelésfel-vételi) rendszer bevezetése miatt elpártolt vevık miatti veszteség nem nagyobb,mint a kapacitás bıvítésének költsége. Cukrászdákban gyakran elıfordul, hogyünnepek elıtt csak rendelésre lehet tortát venni, mert a megnövekedett igényközvetlenül a boltból nem elégíthetı ki.

Hangsúlyozni kell még egyszer, hogy a felsorolt esetekben a vásárlók befo-lyásolásának célja nem az igény növelése, hanem a kapacitáshiányos idıszakbanjelentkezı igény egy részének átterelése a kapacitásfelesleggel rendelkezı idı-szakokba.

2. A kapacitás befolyásolása. A kapacitás rövid távú befolyásolása az effektívkapacitásképletében szereplı adatokmegváltoztatását jelenti. Így változtathatjuka rendelkezésre álló erıforrások számát (N), a munkanapok számát (D), amőszakok számát (S), a mőszak óráinak számát (H ), a tervezett termeléskiesésidejét (ξ ), valamint egy darab elıállításának (egy vevı kiszolgálásának) idejét (M).A kapacitás rövid távú változtatásának néhány jellegzetes módja a következı:

– Túlóra. A kapacitás idılegesen növelhetı, ha a rendes munkaidın túl,megemelt bérköltségek mellett folyik munkavégzés. A túlóra akkor elfogadható

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



kapacitásbıvítési mód, ha a magasabb bérköltség miatti többletráfordítás kisebb,mint a kapacitáshiány miatt jelentkezı közvetlen vagy közvetett veszteség.

– Mőszakszám-növelés. Gyakran elıfordul, hogy egy gyártóüzem vagy szol-gáltatórendszer nem minden nap mőködik ugyanannyi mőszakban. Az semritka, hogy egy termelırendszer szők keresztmetszete több mőszakban dolgozik,mint a többi üzemrész. A kapacitáshiányos idıszakokban megnövelt mőszak-szám többletköltsége kisebb kell, hogy legyen a kapacitáshiány közvetlen vagyközvetett veszteségénél.

– Karbantartás átütemezése. A kapacitásbıvítés egyik módja lehet, hogy akarbantartási feladatokat akkor végzik, amikor a termelı- vagy szolgáltatórend-szer nem mőködik. Ilyenkor a tervezési kapacitás nem változik, de a tervezetttermeléskiesés csökkenése miatt az effektív kapacitás nı.

– Alvállalkozók alkalmazása. A kapacitás növelésének egy sajátos módja, amikorazokat a rendeléseket is elvállaljuk, amelyeket kapacitáshiány miatt nem tudunkteljesíteni és a munkát alvállalkozókkal végeztetjük el. Az alvállalkozói gyártásköltsége rendszerint magasabb, mint a saját gyártás költsége, de a többletköltségmég mindig kisebb lehet, mint a rendelések visszautasításának közvetlen ésközvetett vesztesége.

– Berendezések bérlése. A felhasznált erıforrások száma rövid távon növelhetıgépek, berendezések bérlésével. A bérleti díj ismét többletköltséggel jár, ezértvizsgálni kell a megnövekedett költségek melletti gazdaságosságot.

– Termelésütemezés (a sorozatnagyság növelése). Termelésütemezéssel, a terme-lés idıbeli lebonyolításának megváltoztatásával a kapacitás közvetve növelhetı.Ilyenkor a tervezési kapacitás nem változik, de a rendelkezésre álló idı jobbkihasználására törekszünk, tehát az effektív kapacitást növeljük. E témakör-rel részletesen a termelésütemezés foglalkozik [13], [43]. Példaként a gyártásisorozatnagyság növelését említhetjük, amikor kapacitáshiányos idıszakokbannagyobb gyártási sorozatokkal csökkentjük az átállások számát és ezzel az átál-lás miatt kiesı idıt. Ezzel természetesen bizonyos termékek szállítási határidejemegnı (azoké, amelyeket a nagyobb gyártási sorozatnagyság miatt ritkábbangyártunk), de az emiatt jelentkezı veszteséget vagy többletköltséget kompenzál-hatja a megnövekedett effektív kapacitás haszna.

– Ütemidı-változtatás. Gyártósorok ütemideje a gyártórendszer mőveleteinekátrendezésével változtatható [49] és ezzel az idıegység alatt kibocsátott mennyi-ség növelhetı. Ennek természetesen többletköltsége van, de kapacitáshiányosidıszakokban a többletköltség alacsonyabb lehet, mint a kapacitáshiány közvet-len vagy közvetett vesztesége.

– Bizonyos mőveleteknek a vevıre hárítása. Nem ritka, hogy bizonyos termékeknélúgy növeljük a kapacitást, hogy csökkentjük a termék elıállítási idejét bizonyosmőveletek elhagyásával. Ösztönözhetjük a vevıt arra, hogy ı fejezze be atermék gyártását, és ezért cserébe azt olcsóbban kapja. A lapraszerelt bútorokbevezetésével például jelentıs szállítási és tárolási kapacitás takarítható meg.Ilyenkor a vevı maga végzi el a végsı szerelési mőveleteket.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A kapacitás idıleges változtatására felsorolt módszerek önállóan és kombinál-tan is alkalmazhatók. A menedzsment feladata például annak eldöntése, hogymennyi túlóra alkalmazása gazdaságos és mikor érdemes alvállalkozókat is alkal-mazni. A gazdaságos kapacitásbıvítési eszközök együttesének kiválasztásánakmódszereivel a termeléstervezés fejezetben (5. fejezet) foglakozunk részletesen.Fontos azonban már itt hangsúlyozni, hogy a megfelelı döntéshez szükséges azalkalmazott módszerek költségekre gyakorolt hatásának minél pontosabb isme-rete. A rövid távú kapacitásbıvítés gazdasági következményeinek elemzésénélfigyelembe kell venni a bıvítés végrehajtásának egyszeri költségét, valamint akibıvített kapacitás mőködtetésének többletköltségét is. A gazdasági következ-mények vizsgálata azért fontos, mert nem elegendı a kapacitást növelni, célszerőezt a lehetı leggazdaságosabban megtenni.

Az eddigiekben többnyire a kapacitás növelésérıl beszéltünk, de természe-tesen szükség lehet a kapacitás idıleges csökkentésére, leépítésére is. Ilyenkorugyanezek az eszközök alkalmazhatók fordított irányban. Tehát csökkenthetıa munkaidı, bérbe adhatóak a berendezések, csökkenthetı a gyártási sorozat-nagyság stb. Végezetül hangsúlyozni kell még egyszer, hogy idıleges kapacitás-változásról beszélünk, tehát a kapacitáshiányos idıszak befejeztével a rendszerkönnyen visszaállítható az eredeti tervezési és effektív kapacitás melletti mőkö-désre.

A rövid távú kapacitáselemzés számításai a következı egyszerő összefüggésvizsgálatára épülnek:

Q ≤N · D · S · H · (1 − ξ )

M

Az összefüggés azt fejezi ki, hogy az elıírt feladat (Q) elvégzéséhez elegendıeffektív kapacitással kell rendelkezni, tehát például le kell tudni gyártani egymeghatározott mennyiséget, vagy ki kell tudni szolgálni egy adott számú vevıt.A számítások menetét egy egyszerő példával szemléltetjük:

Egy bankban azt jelezték elıre, hogy egy meghatározott idıszakban napontaátlagosan 100 ügyfél jelentkezik, hogy egy újonnan bevezetett számlatípustmegnyisson. Egy alkalmazott óránként átlagosan három vevıt tud kiszolgálni apultnál, de minden vevıhöz további 40 percnyi adminisztrációsmunka is tartozikkésıbb az irodában. Az alkalmazottak idejük 20%-át egyéb tevékenységekkeltöltik (megbeszélések, értekezletek stb.). A munkaidı a hét öt napján 9 órától 16óráig tart egy óra ebédidı közbeiktatásával. A kérdés az, hogy átlagosan hányalkalmazott szükséges a feladat elvégzéséhez.

Esetünkben a feladat az alkalmazottak számának (N) meghatározása, tehát azelıbbi egyenlıtlenséget felhasználva a következı feltételnek kell teljesülnie:

N ≥Q · M

D · S · H · (1 − ξ )

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Ha tehát egy vevıvel átlagosan 60/3 + 40 = 60 percet kell foglakozni, N értéke akövetkezıképpen számolható:

N ≥500 ·

( 603 + 40

)

5 · 1 · (16 − 9 − 1) · 60 · (1 − 0,2)= 20,83 alkalmazott.

A feladat tehát 21 alkalmazottal elvégezhetı. Ebben az esetben a rendszertervezési és effektív kapacitása a következıképpen alakul:

Tervezési kapacitás =21 · 5 · 1 · (16 − 9 − 1) · 60

( 603 + 40

) = 630 vevı/hét

Effektív kapacitás =21 · 5 · 1 · (16 − 9 − 1) · 60 · (1 − 0,2)

( 603 + 40

) = 504 vevı/hét

Az eredménybıl látható, hogy az átlagosan napi 100 vevıt a rendszer ki tudjaszolgálni, sıt, a munkaidı jobb kihasználásával, az értekezletek és megbeszélésekgondosabb ütemezésével további tartalékok szabadíthatók fel. Az igény lénye-ges növekedésekor megfontolható további alkalmazottak felvétele, a jelenlegialkalmazottak túlóráztatása, a munkaidı növelése, esetleg a hétvégi nyitva tar-tás bevezetése. Megalapozott döntés az egyes változatok költségeinek elemzéseután hozható.

Vizsgáljuk most meg, hogyan alakulna a kapacitáskihasználás és hatékonyságegy olyan napon, amikor 90 vevıt szolgálnak ki:

Kapacitáskihasználás =Q · M

N · D · S · H=

90 ·( 60

3 + 40)

21 · 1 · 1 · (16 − 9 − 1) · 60=

= 0,7143 → 71,43%

Hatékonyság =Q · M

N · D · S · H · (1 − ξ )=

90 ·( 60

3 + 40)

21 · 1 · 1 · (16 − 9 − 1) · 60 · (1 − 0,2)=

= 0,8928 → 89,28%

A 89,28% hatékonyság azt mutatja, hogy a rendszer munkarend szerinti lehetı-ségeit nem használták ki 90 vevı kiszolgálásával. Meg kell azonban vizsgálni,hogy miért; lehet, hogy nem volt több vevı; lehet hogy volt több vevı, de amegfeszített munkavégzés ellenére is csak 90 vevıt tudtak kiszolgálni. A 71,43%kapacitáskihasználás arra utal, hogy a rendszerben lényeges tartalékok vannak.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.1.3. A tanulási görbe figyelembevétele kapacitáselemzésnél

Az elızı fejezetben bemutatott összefüggések arra a feltételezésre épülnek, hogyminden darab elkészítése, illetve minden vevı kiszolgálása pontosan ugyanannyiideig tart. Bizonyos folyamatoknál azonban a begyakorlottságnak köszönhetıen,a mennyiség változásával csökken az elıállítási, illetve kiszolgálási idı. Atanulási görbe azon a megfigyelésen alapul, hogy minél gyakrabban végzünk egytevékenységet, annál begyakorlottabban és gyorsabban tudjuk azt végrehajtani.Ennek analógiájaként azt is feltételezhetjük, hogy ha egy munkás vagy egyszervezeti egység valamilyen terméket gyárt, akkor az elsı darab elkészítésehosszabb idıt vesz igénybe, mint a másodiké, harmadiké stb. A darabidı(végrehajtási idı) változását a gyártott mennyiség függvényében a következıempirikus formula fejezi ki:

Y {Q} = a · Qb b ≤ 0

ahol:Q – az elvégzett feladat mennyisége (például legyártott termékek száma,feldolgozott ügyiratok száma, kiszolgált vevık száma stb.),a – a feladat elsı végrehajtásához szükséges idı,b – a végrehajtott feladatok számánaknövekedésével összefüggı idıcsökkenést

leíró paraméter,Y{Q} – a feladat Q-adik végrehajtásához szükséges idı.A végrehajtási idı változását az elıállított mennyiség függvényében a 3.2. ábra

szemlélteti b = −0,2 és b = −0,8 értékeknél. Az ábrán látható, hogy b = −0,2értéknél a fajlagos idıszükséglet kisebb ütemben csökken, mint b = −0,8 értéknél.

3.2. ábra: A tanulási görbe eltérı tanulási ráták esetén

Az összefüggést megvizsgálva megállapítható, hogy b = −∞ értéknél a legna-gyobb ütemő a fajlagos idıcsökkenés, b = 0 értéknél pedig gyakorlatilag nincsentanulás, minden egyes feladatot ugyanannyi idı alatt végzünk el. A tanulásihatás 0 és −∞ közötti mérése gyakorlati szempontból nem praktikus, mert ne-hezen teszi érzékelhetıvé, hogy például b = −100 nagymértékő vagy csak kis

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



tanulást jelent-e. A gyakorlati életben ezért inkább a tanulási ráta használata ter-jedt el, amely azt fejezi ki, hogy megduplázva a végrehajtott feladatok számát,hányad részére csökken a fajlagos végrehajtási idı. A tanulási ráta a következıösszefüggés alapján számolható:

L =Y{2Q}Y{Q}

=a · [2Q]b

a · [Q]b = 2b

Az összefüggésbıl látható, hogy ha nincsen tanulás (b = 0), akkor L értéke 1, mígha végtelenül nagymértékő tanulás van (b = −∞), akkor L értéke 0. A tanulásiráta segítségével a tanulási hatás 0 és 1 között mérhetı.

A tanulási ráta meghatározása a gyakorlatban kétféle módon történhet. Egy-szerőbb esetben mérhetjük, becsülhetjük vagy számíthatjuk a feladat elsı vég-rehajtásának idejét, majd mérhetjük vagy becsülhetjük a feladat N-edik végre-hajtásának idejét. Az Y{1} és Y{N} értékek ismeretében a, b, valamint L értékeikönnyen számíthatók. Az így két mérés alapján számított tanulási ráta rendsze-rint pontatlan. A pontosabb módszer lényege, hogy több darab elıállítási idejétmérjük. Ebben az esetben rendelkezésünkre áll a következı adatsor: [Qi ; Y{Qi }],i = 1, . . ., M ; ha M számú – nem feltétlenül egymást követı – munkadarab elıál-lítási idejét mérjük. E pontokat logaritmusskálán ábrázolva, azok ideális esetbenegy egyenes mentén helyezkednek el, ugyanis:

Ln {Y } = Ln {a} + b · Ln {Q}

A mért adatokat logaritmus skálán ábrázolva és a pontokra lineáris regresszióvalegy egyenest illesztve megkaphatjuk a és b becsült értékeit, a b segítségével pedigmeghatározható a tanulási ráta (L) becsült értéke.

A tanulási hatás következtében egy termék elsı száz darabjának az elıállításanyilvánvalóan nem ugyanakkora kapacitást köt le, mint a második száz darabelkészítése. Ezt a kapacitásszámításnál feltétlenül figyelembe kell venni. Atanulási hatást is figyelembevevı kapacitásigény meghatározását teszi lehetıvé akumulált tanulási görbe. Egy adott Q mennyiség legyártásához a tanulási hatástis figyelembe vevı összes idı a következı módon számítható:

Tösszes = Y {1} + Y {2} + . . . + Y {Q} = a · 1b + a · 2b + . . . a · Qb = a ·Q

∑

i=1

ib

Az összefüggésbıl látható, hogy a Q mennyiség legyártásához szükséges összesidı az elsı darab elkészítéséhez szükséges idı (a) és az elsı Q egész szám b-edikhatványának összege segítségével számolható. Ezen utóbbi adatot a kumulálttanulási görbe táblázat tartalmazza (függelék II. táblázat). A tanulásigörbe-táblázat a tanulási ráta (L) és Q függvényében tünteti fel a

∑

ib tagot. Így

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



egy adott mennyiség legyártásához szükséges idı az elsı darab elkészítéséhezszükséges idı és a táblázatból vett megfelelı adat szorzataként kapható meg.

A tanulási görbe használatának illusztrálásaként tekintsük a következı példát.Egy üzemhetente 5 napot dolgozik, napi 1 mőszakban. Egy mőszakban átlagosan9 órán keresztül folyik közvetlen termelıtevékenység. Az üzemben egy újtermékmegjelenésekor a tanulási hatást a kapacitástervezésnélfigyelembe veszik.Megfigyelték, hogy egyhasonló terméknél az elsıdarab elkészítéséhez 200percre,míg a 100. darab elkészítéséhez 29,6 percre volt szükség. A menedzsment úgygondolja, hogy az új terméknél is hasonló tanulási hatás várható. Határozzukmeg az elsı hónap mind a négy hetére külön-külön a legyártható mennyiséget,ha teljes kapacitáskihasználás mellett dolgoznak az üzemben.

Az idıadatok alapján a tanulási ráta becsült értéke a következı módon szá-molható:

Y{1} = a · 1b = 200 → a = 200

Y{100} = 200 · 100b = 29,6 → 100b = 0,148 → b · Ln{100} = Ln{0,148} →→ b = −0,41487

L = 2−0,4148 ∼= 0,75

A heti rendelkezésre álló idı 5 nap · 1 mőszak · 9 óra · 60 perc = 2700 perc. Eztelosztva az elsı darab elkészítéséhez szükséges idıvel kapjuk a tanulásigörbe-táblázatban megkeresendı értéket (2700/200 = 13,5). A függelék II. táblázatábanezen értéknél a 0,75 tanulási ráta oszlopban 40 szerepel, így az elsı 40 darablegyártásához 2700 percre, tehát egy hétre van szükség. Természetesen a másodikhéten a tanulási hatás következtében ennél többet kell gyártani. Az elsı kéthéten rendelkezésre álló összes idı 2 · 2700 perc. A II. táblázatban most a2 · 2700/200 = 27 értékhez tartozó mennyiség 120 darab. Ez kétheti termelés,amelybıl az elsı héten 40 darabot, a második héten pedig 120 − 40 = 80 darabottudunk legyártani. Hasonló módon számolva a három-, majd négyheti kumuláltgyártható mennyiséget a harmadik és negyedik heti kapacitásra 115, illetve 145darab adódik.

Az eredménybıl látható, hogy hetente egyre többet tudunk gyártani a tanulásihatás következtében. Az is észrevehetı, hogy a tanulási hatás elhanyagolásávallényegesen alábecsültük volna a kapacitást, mert esetleg tévesen az elsı darablegyártásához szükséges 200 percbıl azt gondolhattuk volna, hogy a havi kapaci-tás 4 · 5 · 1 · 9 · 60/200 = 54 darab, szemben a ténylegesen legyártható 380 darabbal(40 + 80 + 115 + 145).

A tanulási görbe gyakorlati alkalmazásának természetesen korlátjai is vannak.Egyik legnagyobb problémája, hogy gyakran igén nehéz megbecsülni az elsı da-rab elkészítésének idejét. Gondoljunk például egy gépkocsi összeszereléséhezszükséges idı meghatározására. További kérdés, hogy ami igaz egyetlen mun-kásnak a gépnél tapasztalható tanulására, az milyen mértékben vetíthetı ki egy

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



egész szervezeti egységre, például egy szerelısorra. Ugyancsak probléma lehet,hogy egy már régebben gyártott termék elıállítása során felhalmozódott „tanu-lás” milyen mértékben vehetı figyelembe késıbb, ha közben mást is gyártottunk.

Mindezek ellenére az 1930-as években népszerővé vált tanulási görbe [7] újab-ban ismét elıtérbe kerül. Ennek egyik oka, hogy a vevıorientált gyártó- éskiszolgálórendszereknél egyre gyakoribb a kis sorozatú gyártás. A tanulásigörbe alakjából látható, hogy éppen a kezdeti szakaszban (új termék kis soro-zatú gyártása) van jelentısége a tanulásnak. Továbbá, az egyre komplexebbé válótermékek és szolgáltatások elıállításakor kétségtelen szerepe van a tanulási hatás-nak. Összefoglalva tehát megállapíthatjuk, hogy ott, ahol az emberi és szervezetitanulás hatása feltételezhetı, a tanulási hatás figyelembevételével a rendelkezésreálló kapacitásról pontosabb kép kapható, mint annak elhanyagolásakor.

3.1.4. A megbízhatóság figyelembevétele

A kapacitásszámítást befolyásoló fontos tényezı a termék gyártásához vagy szol-gáltatás nyújtásához használt erıforrás megbízhatósága. A megbízhatóság annakvalószínősége, hogy egy erıforrás egy vizsgált idıszakban nem fog meghibá-sodni. Egy berendezés 0,6 értékő megbízhatósága azt jelenti, hogy például egyvizsgált napon a berendezés hibátlan mőködésének valószínősége 0,6; tehát ameghibásodás valószínősége 0,4. Több egymás utáni napot vizsgálva pedig aztmondhatjuk, hogy a berendezés 10 napból átlagosan minden négyben meg fog hi-básodni. Ha tehát például a berendezés tervezési kapacitása 150 darab/nap, akkorhosszú távon átlagosan csak 150 ·0,6 = 90 darab/nap kibocsátással számolhatunk.Ráadásul azt is figyelembe kell venni, hogy a berendezés élettartamának külön-bözı szakaszaiban a megbízhatóság változhat, tehát a megbízhatóság a mőködésiidı függvénye. Erıforrások megbízhatóságának vizsgálatával a megbízhatóság-elmélet foglalkozik (lásd például [17], [32]), melynek részletes ismertetésétıl itteltekintünk. A továbbiakban ismertnek feltételezzük a termelı- vagy szolgál-tatórendszerben felhasznált erıforrások megbízhatóságát és azt vizsgáljuk meg,hogy ezen adatok felhasználásával hogyan változnak meg a kapacitásszámításkorábban meghatározott eredményei. Ehhez meg kell határozni egy rendszer-ben mőködı több erıforrás együttes megbízhatóságát. Vizsgáljunk meg elıszörkét olyan speciális esetet, amelyek segítségével a gyakorlatban megtalálhatóösszetettebb rendszerek megbízhatósága is számolható.

– Sorban dolgozó berendezések megbízhatósága. A sorban dolgozó berendezésekolyan rendszert alkotnak, amelyben egy berendezés kimenete egy következıberendezés bemenete. Egy ilyen rendszert mutat a 3.3. ábra, feltüntetve az egyesberendezések Ri megbízhatóságát.

Ennél a rendszernél, ha egy berendezés meghibásodik, akkor leáll az egészfolyamat, mert a meghibásodott berendezés kimenete nem jut el a soron követ-kezı berendezés bemenetéhez. Az egész rendszer mőködése tehát megkívánja

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.3. ábra: Sorba kapcsolt erıforrások

valamennyi erıforrás mőködését. Az egyes berendezések egymástól függetlenmeghibásodását feltételezve, valamennyi berendezés együttes mőködésének va-lószínősége az egyes berendezések megbízhatóságainak szorzata. A rendszermegbízhatósága (RS) tehát a következıképpen írható fel:

RS = R1 · R2 · . . . · RN =N

∏

i=1

Ri

– Helyettesítı berendezések (párhuzamosan dolgozó erıforrások) megbízható-sága. Párhuzamosandolgozó berendezéseknél, ha egy berendezésmeghibásodik,akkor a leállás idejére egy másik berendezés átveszi a feladatokat. Természe-tesen ez a másik berendezés is meghibásodhat és akkor egy újabb berendezésveheti át a feladatokat. Egy ilyen rendszert mutat a 3.4. ábra, feltüntetve az egyesberendezések Ri megbízhatóságát.

3.4. ábra: Helyettesítı erıforrások

Ez a rendszer csak akkor áll le, ha valamennyi berendezés egyszerre hibásodikmeg, aminek valószínősége a következıképpen írható fel:

(1 − R1) · (1 − R2) · . . . · (1 − RN ) =N

∏

i=1

(1 − Ri )

A rendszer megbízhatósága annak valószínősége, hogy a rendszer mőködik,tehát:

RS = 1 −N

∏

i=1

(1 − Ri )

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Hangsúlyozni kell, hogy a párhuzamosan feltüntetett erıforrások nem azt jelen-tik, hogy egyszerre több erıforrás végzi a feladatot. Ha az egyik berendezésmeghibásodik, akkor a másik besegít, tehát helyettesíti a meghibásodott erıfor-rást. Ha több erıforrás ténylegesen párhuzamosan dolgozik, akkor a párhuza-mosan dolgozó erıforrások megbízhatóságának figyelembevételével számíthatóa párhuzamosan dolgozó rendszer kibocsátásának várható értéke.

A valóságos rendszerek párhuzamosan és sorosan kapcsolt erıforrások kom-binációiból tevıdnek össze. Ezért ilyenkor meg kell határozni a teljes rendszermegbízhatóságát. Ennek ismeretében kiszámolhatjuk a rendszer kibocsátásánakvárható értékét, ami nem más, mint a rendszer megbízhatóságát is figyelembevevı tervezési vagy effektív kapacitás attól függıen, hogy a számításnál a terve-zett vagy az effektív adatokat használjuk-e.

A kapacitásnak a megbízhatóságot is figyelembe vevı meghatározását szem-lélteti a következı feladat. A 3.5. ábra egy üzem három gyártósorának vázlatoselrendezését szemlélteti, feltüntetve az egyes berendezések megbízhatóságát.

3.5. ábra: Három gyártósorból álló termelırendszer egyszerősített ábrája

A három gyártósor ugyanazt a terméket gyártja párhuzamosan. Az egyes gyár-tósorokban a fontosabb berendezések meghibásodásakor helyettesítı erıforrásokveszik át a gyártást. A három gyártósor tervezési kapacitásai a következık: A jelősor: 10 000 darab/hét; B jelő sor: 12 000 darab/hét; C jelő sor: 20 000 darab/hét.Az egyszerőség kedvéért azt feltételezzük, hogy ha egy sor meghibásodás miattleáll, akkor az egész heti termelés elvész. Határozzuk meg a három gyártósorbólálló rendszer tervezési kapacitását.

Ha a megbízhatósági adatoktól eltekintenénk, akkor a rendszer tervezésikapacitása a három gyártósor tervezési kapacitásának összege lenne, tehát:

10 000 + 12 000 + 20 000 = 42 000 darab/hó

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A megbízhatósági adatokat is figyelembe véve ki kell számítani az egyes gyár-tósorok eredı megbízhatóságát. Felhasználva a soros és helyettesítı rendszerrekapott összefüggéseket, az egyes gyártósorok megbízhatósága a következıkép-pen számolható:

RA = [1 − (1 − R1) · (1 − R2)] · R3 = [1 − (1 − 0,8) · (1 − 0,8)] · 0,9 = 0,864

RB = R4 · [1 − (1 − R5) · (1 − R6)] = 0,85 · [1 − (1 − 0,7) · (1 − 0,75)] = 0,786

RC = R7 · [1−(1−R8) · (1−R9)] · R10=0,95 · [1−(1−0,85) · (1−0,9)] · 0,95=0,889

A háromegymástól függetlenül dolgozó gyártósor együttes tervezési kapacitása akibocsátások várható értékeinek összege. Az egyes sorok kibocsátásának várhatóértéke pedig a megbízhatóság és a meghibásodás valószínőségének ismeretébenszámolható. Feltételezzük, hogy ha a rendszer nem hibásodik meg, akkor akibocsátás a sor tervezési kapacitásával egyezik meg, ha viszont meghibásodik,akkor a sor kibocsátása zéró. Az egyes sorok kibocsátásának várható értéke teháta következıképpen számolható:

A sor: RA · 10 000 + (1 − RA) · 0 = 0,864 · 10 000 = 8640 darab/hét

B sor: RB · 12 000 + (1 − RB ) · 0 = 0,786 · 12 000 = 9432 darab/hét

C sor: RC · 20 000 + (1 − RC ) · 0 = 0,889 · 20 000 = 17 780 darab/hét

A három párhuzamos gyártósorból álló termelırendszer kibocsátásának várhatóértéke tehát a következıképpen számolható:

8640 + 9432 + 17 780 = 35 852 darab/hét

Észrevehetjük, hogy az így kapott érték a megbízhatóságot figyelembe nem vevıszámítás eredményénél (42 000 darab/hét) lényegesen alacsonyabb.

A bemutatott számítás több egyszerősítést is tartalmazott. Így feltételeztük,hogy a berendezések egymástól függetlenül hibásodnak meg, ami nem feltétle-nül igaz, hiszen egy géphiba miatt rosszul megmunkált alkatrész sokszor továbbigépeknél is okozhat meghibásodást. Ugyancsak eltekintettünk a meghibásodástkövetı javítás idejétıl, helyette azt feltételeztük, hogy egy egész heti termeléselvész. Figyelmen kívül hagytuk továbbá azt is, hogy amikor a helyettesítı be-rendezések nem a sorok munkájában vesznek részt, akkor mást gyárthatnak,és eközben történhet a meghibásodásuk. Végezetül eltekintettünk a megbízha-tóság idıbeni változásától is. A valamennyi gyakorlati szempontot figyelembevevı részletes elemzés rendszerint szimulációra épülı vizsgálatot igényel [34].Az itt bemutatott számítás azonban jó közelítéssel alkalmazható a kapacitásnagyvonalú, közelítı meghatározásához.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.2. A HOSSZÚ TÁVÚ KAPACITÁSELEMZÉS PROBLÉMÁI

A hosszú távú kapacitáselemzések célja a megfelelı reagálás meghatározása azigény tartósan jelentkezı változásaira. Ha egy termék iránti igény rövidtávon,például egy ünnepi szezonban megnı, akkor az elızı fejezetben tárgyalt mó-don – túlórával, harmadik mőszak beiktatásával stb. – a kapacitás idılegesenmegnövelhetı. Ha azonban az igény megnövekedése hosszú távon érvényes,akkor a túlóra vagy egy harmadik mőszak magas költsége versenyhátrányt je-lenthet a nagyobb kapacitással, a rendes munkaidı alacsonyabb bérköltségéveldolgozó versenytársakkal szemben. Ilyenkor tehát nem a kapacitás és az igényidıleges összehangolásáról, hanem az igény és a kapacitás hosszú távon gazdasá-gosan megteremthetı egyensúlyáról kell gondoskodni. E feladat megoldásakorkét lényeges szempontot kell figyelembe venni:

– Hosszú távú döntéseknél meghatározó tényezı a jövıbeni adatok bizonyta-lansága. Minél távolabbi idıpontra vonatkozik egy, a kapacitáselemzéssel kap-csolatos igény, gazdasági vagy technológiai adat, annál nehezebb annak pontosmeghatározása. Ezért egyik megoldás a valószínőség-számítás összefüggése-inek felhasználásával az eredmény bizonytalanságának számszerő kifejezése.Ha erre nincs mód, akkor több lehetséges helyzet (szcenárió) vizsgálatával kellmeghatározni az egyes döntési változatok várható következményeit.

– Egy termék vagy szolgáltatás iránt jelentkezı igény – a termék vagy szolgál-tatás életgörbéje által meghatározott módon – az idı múlásával mindig változik.Az igény változása azonban rendszerint folyamatosan történik, az ezzel összhangbahozni kívánt kapacitás viszont csak diszkrét módon változtatható. Hosszú távon akapacitás változása jelentheti egy új gép vásárlását, egy új üzem megnyitásátstb., ami ugrásszerően – diszkrét módon – változtatja meg a kapacitást. Ezérthosszú távon természetes jelenség az igény és a kapacitás egyensúlyának idısza-konkénti felbomlása. A menedzsment feladata annak meghatározása, hogy azegyensúly felbomlása az igény vagy a kapacitás javára történjen-e, és mekkora legyenannak megengedett mértéke.

A 3.6. ábra három jellegzetes esetben szemlélteti növekvı jellegő igénynéla kapacitásbıvítés lehetıségeit. A 3.6./a ábra olyan kapacitásbıvítést mutat,amelynél átlagosan ugyan mindig van elegendı kapacitás, de idınként kapa-citásfelesleg, idınként pedig kapacitáshiány alakul ki. Az ábrán látható, hogya kapacitás diszkrét változását jelzı lépcsıs szaggatott vonal idınként az igénynagyságát jelzı egyenes felett helyezkedik el, idınként pedig a vonal alatt talál-ható. A kapacitáshiány jelentkezését követıen megtörténik a kapacitásbıvítés.A várakozó vevıket pedig a kapacitásbıvítést követı kapacitásfelesleg felhasz-nálásával elégítik ki. A 3.6./b ábra a maximális kapacitáskihasználásra törekvıkapacitásbıvítést szemlélteti. Ilyenkor a menedzsment megvárja, hogy az igényjelentısen meghaladja a kapacitást, majd úgy bıvít, hogy a megnövelt kapacitásis teljesen ki legyen használva. Az ábrán látható, hogy az igény egyenese mindiga kapacitás diszkrét változását jelzı lépcsıs szaggatott vonal felett helyezkedik el.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


3.2. A HOSSZÚ TÁVÚ KAPACITÁSELEMZÉS PROBLÉMÁI 95

Ez a stratégia akkor alkalmazható sikeresen, ha a kapacitáshiány miatt várakozóvevık nem tudják igényüket másutt kielégíteni. Végezetül a 3.6./c ábra a mindenvevı kiszolgálására törekvı kapacitásbıvítést szemlélteti. Ilyenkor rendszerintkapacitásfelesleg van, de amint az igény eléri a rendelkezésre álló kapacitás nagy-ságát, rögtön megtörténik a bıvítés. Az ábrán látható, hogy a kapacitás diszkrétváltozását jelzı lépcsıs szaggatott vonal mindig az igény nagyságát jelzı egyenesfelett halad. Ez a stratégia akkor lehet eredményes, ha a kihasználatlan kapa-citás fenntartása nem nagyon költséges, illetve ha a kielégítetlen vevık miattjelentkezı közvetlen vagy közvetett veszteség nagyon nagy.

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

3.6./a ábra: Az igény átlagos kielégítésére törekvı kapacitásbıvítés

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

3.6/b. ábra: Maximális kapacitáskihasználásra törekvı kapacitásbıvítés

Igény

Kapacitás

Mennyiség

Idő

3.6./c ábra: Minden vevı kiszolgálására törekvı kapacitásbıvítés

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Számtalan tényezı határozza meg azt, hogy az említett három stratégia közülmelyiket vagy melyek kombinációit érdemes alkalmazni. E tényezık közül alegfontosabbak a következık:

– Piaci pozíció. Monopolhelyzetben lévı vállalatok hajlamosak a maximáliskapacitáskihasználásra törekvı stratégiát követni, míg éles piaci helyzetben aminden vevı kiszolgálását követı stratégia a gyakoribb.

– A termék vagy szolgáltatás hozama. Magas hozamú termékeknél vagy szolgál-tatásoknál nem célszerő kapacitáshiány miatt elveszteni a vevıt, ezért a mindenvevı kielégítését célzó stratégia a legkedvezıbb. Alacsony hozamnál a kihaszná-latlan kapacitás költsége magasabb lehet, mint a termék hozama, ezért a kapacitásmaximális kihasználására törekszünk.

– A kielégítetlen igény vesztesége. A kielégítetlen igény gyakran az elvesztetthozamon túl egyéb kedvezıtlen gazdasági következményekkel is járhat. A piacirészesedés kapacitáshiány miatti csökkenése például a részvények árfolyamánakcsökkenéséhez, a versenytársak erısödéséhez vezethet. Ilyenkor célszerő lehet aminden vevıi igény kielégítésére törekvı kapacitásbıvítési stratégia követése.

– A termékszerkezet stabilitása. A kapacitáskihasználás a termékszerkezet függ-vénye. (Lásd bıvebben az 5. fejezetben.) Bizonyos termékek gyártásakor akapacitás nagyobb mértékben, más termékeknél viszont kisebb mértékben le-het kihasználva. Gyakran változó termékszerkezetnél célszerő szabad kapacitástfenntartani a termékszerkezet-változás miatt jelentkezı többlet-kapacitásigényfedezésére.

– A kapacitás megbízhatósága. Gyakori meghibásodásra hajlamos folyamatok-nál nem célszerő a maximális kapacitáskihasználásra törekvı stratégia, mert ameghibásodások miatt könnyen kapacitáshiány keletkezhet.

– A kihasználatlan kapacitás költsége. Magas fix költségő rendszereknél a ki-használatlan kapacitás magasabb többletköltséget, illetve nagyobb értékő nemtermelı erıforrást jelent. Ilyenkor a kapacitáshiány miatt elveszı rendelés ho-zama rendszerint kisebb, mint a kihasználatlan kapacitás kedvezıtlen gazdaságikövetkezménye, ezért a maximális kapacitáskihasználásra törekvı stratégia lehetkedvezıbb.

A bemutatott három stratégia természetesen nemcsak kapacitásbıvítésnél,hanem az igény csökkenése miatt szükségessé váló kapacitáscsökkentésnél isalkalmazható. Ilyenkor is az a kérdés, hogy az átlagos vagy maximális igénykielégítésére vagy a maximális kapacitás kihasználására törekszünk-e a kapacitásváltoztatásakor.

Hangsúlyozni kell azt is, hogy gyakran a rövid és hosszú távú kapacitásvál-toztatási intézkedések kombináltan jelentkeznek. Elképzelhetı például, hogyelıször túlórával próbálkozunk a megnövekedett igény kielégítésére, majd egyidı után – a megnövekedett igény tartóssá válásakor – hajtunk végre kapacitásbı-vítési beruházásokat. A helyes válasz minden kapacitásváltoztatási döntésnél aminden részletre kiterjedı költség-haszon elemzések segítségével adható meg[2], [33].

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A 3.6. ábrán bemutatott stratégiák mindegyikének fontos kérdése, hogymilyen lépésekben kövesse a kapacitásváltoztatás az igény változását. A 3.7. ábraaz igény egyenletes növekedése mellett a kapacitás gyakori, kisebb mértékő(vastag szaggatott vonal), valamint ritkábban, nagymértékő (pontozott vonal)bıvítésének eseteit tünteti fel. Az ábrán láthatjuk, hogy a ritkábban végrehajtottnagymértékőbıvítés nagyobbkapacitáskihasználatlansággal jár együtt, a gyakorikismértékő változtatás pedig lehetıvé teszi az igény növekedésében bekövetkezıváltozások rugalmasabb követését.

3.7. ábra: Eltérı nagyságú kapacitásbıvítések

Akapacitásbıvítés nagyságának és ezzel összefüggésbengyakoriságának meg-határozásakor a két legfontosabb tényezı a mérettıl függı gazdaságosság és abıvítés finanszírozása.

– A mérettıl függı gazdaságosság hatása. Nagyobb mértékő kapacitásbıvítésnekfajlagosan alacsonyabb a költsége. A kapacitásbıvítés végrehajtásakor a bıvítésmértékétıl függetlenül sok tevékenységet kell elvégezni. Minél nagyobb abıvítés mértéke, e tevékenységek költsége annál nagyobb kapacitáson oszlikmeg, ezért a bıvített kapacitás egységére jutó költség nagyobb mérető bıvítéskoralacsonyabb. A kapacitásbıvítés fajlagos költsége tehát a ritkábban végrehajtottnagyobb bıvítés stratégiáját indokolja.

– A bıvítés finanszírozásának hatása. Ha ritkán hajtunk végre nagy bıvítést,akkor ritkán kell egy nagyobb összeget kifizetni. Ha gyakran hajtunk végre kisbıvítést, akkor gyakran kell kisebb összeget kifizetni. Könnyen belátható, hogyugyanazon összegnek egyszerre történı kifizetése most, vagy fokozatos kifizetésea jövıben, a pénzáramlás szempontjából (cash-flow) nem azonos értékő, mert aki nem fizetett rész a kapacitásbıvítést végrehajtó számára még hozhat hasznot(például kamatozhat). A bıvítésfinanszírozás szempontjai alapján ezért a gyakranvégrehajtott kis bıvítések a kedvezıek.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



E két szempont együttes vizsgálata alapján határozható meg az optimálisbıvítési politika. (Lásd a következı, 3.2.1. fejezetet.)

A mérettıl függı gazdaságosság és a kapacitásbıvítés nagyságának kapcso-latát szemlélteti a 3.8. ábra. Az ábrán a vastag szaggatott vonal a tervezésikapacitás és a fajlagos gyártási költség kapcsolatát fejezi ki. Látható, hogy nagytervezési kapacitású üzem, ha teljes kapacitáskihasználás mellett dolgozik, akkorolcsóbban tud gyártani. Nem véletlen, hogy a vállalatok nagy piaci részesedésmegszerzésére törekednek, mert ilyenkor nagy kapacitású üzemekben, magaskapacitáskihasználás mellett termelve költségelınyre tehetnek szert a verseny-társakkal szemben. Az igény – a termékéletgörbe diktálta – változása miattazonban egy üzem csak ritkán mőködik éppen a tervezési kapacitáson. Ha azigény a tervezési kapacitásnál alacsonyabb, akkor a kapacitás fix költsége keve-sebb terméken oszlik meg, ezért a fajlagos gyártási költség nıni fog. Ugyanez ahelyzet akkor is, ha az igény csökkenése nem kihasználatlan kapacitást, hanemraktárra termelést eredményez. Ilyenkor a fajlagos termelési költség a raktározásiköltség miatt nı meg. Ezt fejezi ki a 3.8. ábrán látható u alakú folytonos vo-nallal jelölt görbék bal oldala. Ugyanakkor, ha a tervezési kapacitást meghaladómennyiséget állítunk elı, akkor ugyancsak nıni fog a fajlagos gyártási költség,például a költségesebb túlóra, a gyakoribb meghibásodás költsége stb. miatt. Eztfejezi ki a 3.8. ábrán látható u alakú folytonos vonallal jelölt görbék jobb oldala.

3.8. ábra: A mérettıl függı gazdaságosság

A legkedvezıbb tehát a tervezési kapacitásmelletti gyártás. Az igény változásamiatt azonban csak kivételes, rövid idıszakokban tudunk éppen annyit gyártani,mint a tervezési kapacitás. Tételezzük fel, hogy az igény növekszik. Ilyenkor egyidı után többet kell gyártani, mint a tervezési kapacitás, ezért a fajlagos gyártási

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



költség nıni fog. Minél nagyobb mennyiséget gyártunk a tervezési kapacitásnál,annál kedvezıtlenebb a fajlagos gyártási költség. Azok a versenytársak, akikugyanazt a mennyiséget a tervezési kapacitáson állítják elı, így költségelınyhözjutnak. A magas gyártási költség természetesen hosszú távon nem tartható fenn,ezért kapacitásbıvítés szükséges. Persze nem érdemes éppen akkora kapacitástkiépíteni, mint az igény, mert akkor az igény további növekedésével ismételıállhat ugyanez a helyzet. Ha a jelenlegi igénynél nagyobb kapacitásbıvítésthajtunk végre, akkor viszont a kibıvített üzem sem a tervezési kapacitásonfog dolgozni (lásd a 3.8. ábra II jelő görbéjét), ezért fajlagos gyártási költségenagyobb lesz, mint a tervezési kapacitáson dolgozó versenytársé, de az igénynövekedésével ez a helyzet megváltozhat. Az is kérdés azonban, hogy mekkoramennyiséget gyártanak tervezési kapacitáson a versenytársak. Minél nagyobbmennyiséggel teszik ezt – tehát minél nagyobb a piaci részesedésük – annálkisebb lesz a fajlagos gyártási költségük.

A fajlagos gyártási költség, az igény várható alakulása, a bıvítési költség nagy-ságtól függı gazdaságosságának szempontjai, valamint a piaci helyzet alakulásaegyütt igen komplex problémává teszik a hosszú távú kapacitásváltoztatásdönté-seit. A következı két fejezetben két módszert mutatunk be a vázolt problémakörvizsgálatához.

3.2.1. A mérettıl függı gazdaságosság hatása

Ebben a fejezetben egy olyan modellezési lehetıséget mutatunk be, amely segít-ségével a kapacitásbıvítés optimális nagysága meghatározható. Az optimumota nagy mértékő bıvítést támogató mérettıl függı gazdaságosság, valamint a kismértékő bıvítést támogató pénzáramlási (cash-flow) szempontok egyensúlya ha-tározza meg. A könnyebb érthetıség és matematika kezelhetıség kedvéért itta modell egy egyszerő változatát ismertetjük, rámutatva a korlátozó feltételekelhagyásakor kínálkozó lehetıségekre és számítástechnikai nehézségekre.

Tételezzük fel, hogy az igény a jövıben várhatóan egyenletesen növekszik egytermék iránt. A 3.9. ábra azt az esetet szemlélteti, amikor az igény növekedésérea menedzsment újabb és újabb gyártóüzemek telepítésével reagál úgy, hogymindig minden vevı igényét kielégítse.

Az ábrán látható, hogy az igény növekedésének üteme G (például tonna/év).Ha x idıszakonként telepítünk egy új üzemet, akkor annak kívánt kapacitásaxG. Ha a bıvítés nagysága ennél kisebb, akkor az x intervallum vége felé nemlesz elegendı kapacitás, ezért hiány keletkezik, amit a menedzsment el szeretnekerülni. Ha a kapacitásbıvítés xG értéknél nagyobb, akkor pedig feleslegeskapacitás alakul ki, mert x idıtartam után úgyis lesz bıvítés a terv szerint. Megkell tehát határozni a bıvítési idıintervallum (x) optimális értékét. Az optimummeghatározásakor két ellentétes hatás érvényesül.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.9. ábra: A bıvítési idıköz meghatározásának problémája egyenletesnövekedésnél

– A pénzáramlás (cash-flow) hatása. A pénzáramlás szempontja arra ösztönzi amenedzsmentet, hogy gyakran hajtson végre kis bıvítést. Ilyenkor nem kell nagyösszegeket sokáig kihasználatlan kapacitásba fektetni, ezért a be nem fektetettpénz a vállalatnak hoz hasznot (például kamatozik). A pénzáramlás hatásának ér-tékelésekor össze kell hasonlítanunk az egyenletes idıszakonként ritkán kifizetettnagy összegek és a gyakran kifizetett kis összegek gazdasági következményeit.Erre a nettó jelenérték-számítás alkalmas, amelynek segítségével meghatároz-ható a jövıben eltérı idıpontokban kifizetett összegek jelenbeli értéke. A nettójelenérték figyelembe veszi, hogy egy késıbb kifizetett összeg jelenbeli értéke ki-sebb, mint egy ugyanolyan nagyságú jelenben fizetendı összeg értéke. Amígugyanis a fizetés nem esedékes, addig a ki nem fizetett összegnek hozama le-het. (A jelenérték-számítás részleteirıl és alapvetı számítási összefüggéseirılnyújt áttekintést például [5] vagy [43]). A számítás során azt fogjuk felhasználni,hogy egy tetszıleges x idı múlva kifizetendı F összeg jelenértéke folyamatoskamatszámítást feltételezve a következı összefüggés alapján számítható:

P {x} = Fe−xr

ahol r – a folyamatos kamatszámításnál alkalmazott éves kamatláb.A jelenérték-számítás fenti összefüggését most arra az esetre kell alkalmazni,

amikor egyenletes x idıintervallumonként egy xG nagyságú kapacitás kiépítésé-nek K{x D} költségét kell kifizetni. A fizetési idıpontok ilyenkor a következık: 0,x , 2x , 3x stb. Ennek megfelelıen a J{x} jelenérték a következı módon számítható:

J{x} = K{xG} · e−0xr + K{xG} · e−1xr + K{xG} · e−2xr + . . . =

= K{xG} · [1 + e−xr + e−2xr + . . .]

Ha feltételezzük, hogy az igény növekedése, és ezzel összhangban a kapacitásbıvítése végtelen hosszú ideig tart, akkor a szögletes zárójelben lévı összeg is

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



végtelen számú tagból áll. Miután az e–xr összefüggés minden pozitív x értékreegynél kisebb, a szögletes zárójelben szereplı összeg egy mértani sor összege,melynek együtthatója e–xr . A mértani sor összegére felírható összefüggés fel-használásával az x intervallumonként végrehajtott xG nagyságú kapacitásbıvítésköltségének nettó jelenértékét a következı összefüggés alapján kapjuk meg:

J{x} = K{xG} · [(e−xr )0 + (e−xr )1 + (e−xr )2 + . . .] =K{xG}

1 − e−xr

A végtelen ideig tartó igénynövekedés és ezzel összefüggı kapacitásbıvítés fel-tételezése a mértani sor összegének pontos felírásához szükséges. Hangsúlyoznikell azonban, hogy a mértani sor tagjainak értéke a hatványkitevı növekedésemiatt igen gyorsan csökken. Így nem végtelen ideig, de sokáig – a hosszú távúkapacitásbıvítések idıhorizontjába esı ideig – növekvı igénynél a mértani sorösszege igen jó közelítése a tényleges értéknek.

– A mérettıl függı gazdaságosság hatása. A mérettıl függı gazdaságosság ese-tünkben azt jelenti, hogy kétszer, háromszor nagyobb kapacitású üzem létreho-zása nem jelent kétszer, háromszor nagyobb költséget, mert a bıvítési költségekegy része fix jellegő, nagysága nem függ a kapacitás nagyságától. Vannakolyan tevékenységek, (például tervezés, hatósági engedélyeztetés stb.) amelye-ket függetlenül a telepítendı üzem nagyságától mindig el kell végezni, és etevékenységek költsége nem vagy csak igen kis mértékben függ a telepítendıüzem nagyságától. Ezért minél nagyobb a létrehozott kapacitás, annál kisebb akapacitás létrehozásának fajlagos (kapacitásegységre esı) költsége, tehát például:

K {2xG} ≤ 2 · K {xG}

A kapacitásbıvítés költségének és a kapacitásbıvítés nagyságának összefüggéséta következı empirikus formulával fejezik ki:

K {y} = a · yb 0 ≤ b ≤ 1

aholy – a kiépítendı kapacitás nagysága,a – az egységnyi kapacitású üzem létrehozásának költsége,b – a nagyságtól függı gazdaságosság hatását kifejezı mutató, amely em-

pirikusan határozható meg és jellemzı értéke egy adott iparágra rendszerintismert.

A mérettıl függı gazdaságosságot figyelembe vevı bıvítési költség felhasz-nálásával a bıvítéssorozat költségének nettó jelenértéke a következı módonalakul:

J {x} =K {xG}

1 − e−xr =a · (xG)b

1 − e−xr

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az így kapott összefüggés x szerinti minimumát kell meghatározni ahhoz, hogymegkapjuk a legkisebb nettó jelenértéket eredményezı beruházási politikát. Eza minimum a kapott összefüggésbıl explicit módon nem határozható meg, ezértelıször felírjuk a J{x} függvény természetes alapú logaritmusát:

Ln {J (x)} = Ln {a} + b · Ln {xG} − Ln{

1 − e−xr }

A kapott összefüggés minimumát az x változó szerinti derivált felhasználásávalhatározzuk meg:

∂Ln {J (x)}∂x

= b ·G

xG−

(

−e−xr)

· (−r)1 − e−xr =

b

x−

r

exr − 1= 0

A kapott összefüggésbıl még mindig nem fejezhetı ki explicit módon x értéke,viszont az eredmény alapján felírhatjuk az x optimális értéke mellett érvényeskövetkezı összefüggést:

b =xr

exr − 1

Ábrázolva az f {xr} = xr/(exr − 1) függvényt, az f {xr} = b értékhez tartozóoptimális xr érték grafikusan meghatározható. A kapott xOptr értékbıl a ka-pacitásbıvítési intervallum optimális értéke (xOpt ), valamint a bıvítés optimálisnagysága (xOpt D) könnyen számítható.

Az optimális bıvítési idıköz számításának szemléltetéséhez tekintsük a kö-vetkezı egyszerő példát. Egy vegyipari üzem a termékei iránt jelentkezı igényhosszú távú egyenletes növekedését prognosztizálja. Elırejelzéseik szerint azigény éves növekedési üteme 5000 tonna. A jelen gazdasági helyzetben úgyítélik meg, hogy a jövıbeli beruházások értékelésénél évi 16%-os kamatlábat cél-szerő figyelembe venni. Az egységnyi kapacitású üzem kiépítésének költsége120 millió forint. Az iparágban a mérettıl függı gazdaságosságot kifejezı mu-tató általánosan elfogadott értéke 0,62. A vállalat új üzemek telepítésével kívánreagálni a megnövekedett igényre. Határozzuk meg, hogy milyen idıközönkéntés mekkora kapacitású üzemek telepítése optimális. Elıbbi eredményeink szerintaz optimális bıvítési idıköz értékére igaz a következı összefüggés:

0,62 =0,16x

e0,16x − 1

A 3.10. ábrán felrajzoltuk az f {xr} = xr/(exr − 1) függvényt r = 0,16 értékmellett. Grafikusan meghatározható, hogy az f {0,16x} = 0,62 értékhez körülbelül0,16x = 0,9 érték tartozik. Ennél pontosabb számítás numerikus módszerekkelvégezhetı. Az Excel célértékkeresı rutinját alkalmazva eredményül a pontosabb0,16x = 0,89 érték adódik. Azoptimális bıvítési idıköz tehát x = 0,89/0,16 = 5,562

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.10. ábra: A bıvítési idıköz meghatározása (r = 0,16)

év. Az 5,562 évenként végrehajtott kapacitásbıvítés nagyságánakoptimális értékepedig xG = 5,562 · 5000 = 27 810 tonna.

A bıvítés költsége a mérettıl függı gazdaságosság figyelembevételével akövetkezı módon számolható:

K {xG} = 120 · (5,562 · 5000)0,62 = 68 326 mFt

Vizsgáljuk most meg, hogyan változik a bıvítési idıköz, ha egy új termelési tech-nológia kifejlesztésével megnı az iparág termelékenysége. A termelékenységnövekedése miatt a mérettıl függı gazdaságosság fokozott mértékben érvénye-sül, tehát a nagyobb kapacitású üzemek fajlagos bıvítési költsége lényegesenkisebb lesz. Ez a változás arra ösztönözné a menedzsmentet, hogy nagyobb kapa-citású üzemeket telepítsen, ami végsı soron nagyobb kapacitásbıvítési idıközteredményez. Az új helyzetre b becsült értéke 0,4. A 3.10. ábrán látható, hogyaz f {xr} függvény értékének csökkenése az xr érték növekedését eredményezi.Az f {0,16x} = 0,4 értékhez az Excel célérték keresı rutinjával xr = 1,6178 adó-dik, így az új helyzetben az optimális bıvítési idıköz x = 1,6177/0,16 = 10,11 év.A 10,11 évenként végrehajtott kapacitásbıvítés nagyságának optimális értékexG = 10,11 · 5000 = 50 550 tonna. A bıvítés költsége a mérettıl függı gazdasá-gosság figyelembevételével a következı módon számolható:

K{xG} = 120 · (10,11 · 5000)0,4 = 9134 mFt

Az eredménybıl látható, hogy a termelékenységnövekedés miatt az egységnyikapacitású üzem változatlan beruházási költsége mellett (a = 120 MFt/t) lénye-gesen alacsonyabb érték adódik az elızı esetnél közel kétszer nagyobb üzemtelepítésére. Természetesen a kapacitásegység beruházási költsége is valószínő-leg nıni fog, de remélhetıleg kisebb mértékben, mint amilyen mértékben atermelékenység javul.

Végül nézzük meg, hogyan alakulna a kapacitásbıvítési idıköz optimális ér-téke, ha az infláció hosszú távon várható növekedése miatt a menedzsment

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



magasabb éves kamatláb figyelembevételét tartja indokoltnak a számítás során.Ilyenkor logikusan még tovább szeretnénk a pénzt meglévı befektetéseinkbentartani, ezért az eredeti helyzethez képest kisebb kapacitásbıvítési idıköz in-dokolt. Ha az éves kamatláb feltételezett értéke 25% (r = 0,25), akkor az Excelcélérték keresı rutinjával xr = 0,889 adódik, így az új helyzetben az optimálisbıvítési idıköz x = 0,889/0,25 = 3,556 év. A 3,556 évenként végrehajtott ka-pacitásbıvítés nagyságának optimális értéke xG = 3,556 · 5000 = 17 780 tonna.A bıvítés költsége a mérettıl függı gazdaságosság figyelembevételével a követ-kezı módon számolható:

K{xG} = 120 · (3,556 · 5000)0,62 = 51 777 mFt

Észrevehetjük, hogy az f {r x} függvény az r változására nem érzékeny, ezért azxr = 0,889 érték nagyon közel van az eredeti esetben kapott 0,89 értékhez. A bıví-tési idıközre azonban már komoly hatása van a kamatláb változásának. Ugyan-csak észrevehetjük, hogy az eredetinél közel másfélszer kisebb kapacitásbıvítésköltsége csak csekély mértékben csökken az eredeti bıvítés költségéhez képest.Ismét figyelembe kell venni ugyanakkor, hogy az egységnyi kapacitású üzemlétesítésének költsége (a = 120 MFt) is várhatóan nıni fog.

A hosszú távú kapacitásbıvítés vizsgálatára bemutatott modell számos, a gya-korlatban nehezen elfogadható feltételezésre épült. Vizsgáljuk most meg, hogyanmódosulna a bemutatott modell, ha a feltételek a gyakorlati szempontokhozjobban igazodnának.

– Az igény változása. A bemutatott modell az igény G ütemő egyenletesnövekedését feltételezte. Ennek alapján számoltuk az x bıvítési idıközhöztartozó xG bıvítési kapacitást. Az igény jövıbeni alakulása azonban ritkán ilyenegyszerő. Ha az igény más módon változik (például egyre csökkenı mértékbennı, esetleg egy idı után csökken), akkor meg kell határozni az igény alakulásátleíró függvényt. E függvény felhasználásával a számítások az elıbbiekhezhasonlóan, numerikus módszerek felhasználásával elvégezhetık. Bonyolultfüggvények helyett azonban a gyakorlatban rendszerint szakaszonként eltérımeredekségő lineáris egyenesekbıl összetett függvényt használnak az igényleírására.

– Véges kapacitás-élettartam. A bemutatott modell azt feltételezte, hogy haegyszer egy xG mérető kapacitást létesítünk, akkor az végtelen ideig mőködnifog. Ez természetesen nem igaz, ezért a számításoknál figyelembe kell vennia kapacitás idıszakonkénti felújításához szükséges költséget (ami a kapacitásnagyságának is függvénye lehet), valamint a kapacitás élettartamának végén akapacitás felszámolásának, illetve teljes megújításának ráfordításait. Mindezekegy bonyolultabb pénzáramlásmodell segítségével vizsgálhatók.

– A telepített üzem mőködési költségének változása. Az elıbb bemutatott mo-dellben nem szerepeltek a kiépített kapacitások mőködtetésének költségei. Ezenköltségek elhanyagolása azt feltételezi, hogy bármikor bármekkora kapacitástépítünk ki, a fajlagos mőködési költségek azonosak. Ez természetesen nem igaz.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A mőködési költségek változását ugyancsak összetettebb pénzáramlásmodelleksegítségével vehetjük figyelembe.

– Technológiai fejlıdés. A technológia változása miatt változhat a telepítettkapacitások termelékenysége, megváltoztatva a mérettıl függı gazdaságosságegyszerő összefüggését. Egy ilyen esetet vizsgáltunk a bemutatott számpéldakapcsán is. A várható technológiai változások a mérettıl függı gazdaságosságotleíró modell a és b paraméterének változtatásával ugyancsak figyelembe vehetık.

– Helyi adottságok és szabályozás. A bemutatott modell kizárólag a pénzáram-lás és a beruházási költség szempontjai alapján határozta meg a telepítendı újkapacitás nagyságát. Sokszor azonban munkaerı, nyersanyag vagy energiael-látási szempontok korlátozhatják a kapacitásnövelést egy adott térségben. Azállami szabályozás például környezetvédelmi szempontok miatt ugyancsak elı-írhat növekedési korlátot. Ilyenkor a bemutatott függvényszélsıérték-keresésifeladat átalakul adott feltételek melletti optimalizálássá, amely a matematikaiprogramozás segítségével oldható meg.

– Az adatok bizonytalansága. A hosszú távú kapacitástervezési modellek egyiklegnagyobb problémája a jövıbeni adatok bizonytalansága. Ilyenkor a bemutatottmodell kétféle módon használható. Az egyik lehetıség, hogy bizonyos adatokat(beruházási költségek, igény) valószínőségi változóként veszünk figyelembe ésa sztochasztikus pénzáramlásmodellek segítségével próbáljuk meghatározni azoptimális politikát. A másik lehetıség, hogy a felállított modellt egyes bizony-talan paraméterek több eltérı értéke mellett megoldjuk és a kapott eredményekértékelése alapján döntünk a bıvítésrıl.

Összefoglalásként megállapíthatjuk, hogy az ismertetett számítás a szigorúfeltételek ellenére jól érzékelteti a mérettıl függı gazdaságosság és a pénzáramláseltérı szempontjainak a bıvítési intervallumra gyakorolt hatását. A modellegyszerő formájában nagyvonalú számításokhoz, bonyolultabb formáiban pedigkomolyabb matematikai apparátus felhasználásával a részletes vizsgálatokhozjól használható.

3.2.2. A bizonytalanság figyelembevétele

Az optimális kapacitásbıvítési stratégia meghatározásának elızı pontban be-mutatott módja nem vette figyelembe, hogy milyen valószínőséggel alakulnakki bizonyos helyzetek a meghozott döntést követıen. Bár világos képet kap-hatunk arról, hogy az egyes döntési változatoknak (például évente új üzemtelepítése, vagy félévente a meglévı termelırendszer bıvítése stb.) mi lesz a gaz-dasági következményük, de minden feltételezett eredmény megvalósulásánakesélye csak a valószínőség-számítás segítségével értékelhetı. Az egyes válto-zatok gazdasági eredményét a következıkben a környezeti feltételek várhatóalakulásának függvényében fogjuk vizsgálni. Figyelembe vesszük tehát azt, hogyugyanolyan kedvezı-e egy döntési változat akkor is, ha az igény növekedésének

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



valószínősége igen nagy (például 0,9), mint akkor, amikor az igény növekedésé-nek valószínősége csak átlagos (például 0,5). E vizsgálatokat a döntési fa névenismert módszer segítségével végezzük el.

A döntési fa a döntési változatok értékelésére a menedzsment számos területénszéles körben alkalmazott módszer. Elméleti hátterével elsısorban a döntésel-mélet, valamint az operációkutatás szakirodalma foglalkozik [22]. A számításokelvégzésére ma már igen fejlett szoftverek állnak rendelkezésre. A következık-ben röviden ismertetjük a döntési fa segítségével elvégezhetı legegyszerőbbvizsgálatok alapjait, és megmutatjuk, hogy e módszerrel hogyan támogathatókkapacitásváltoztatással kapcsolatos döntések.

A 3.11. ábra egy egyszerő döntési fát ábrázol, amelyen négyszögekbıl kiindulóvonalak jelzik a döntési változatokat. Az ábra szerint Döntés 1-nek két változatalehetséges, Változat a és Változat b. A várhatóan megnövekedı igényre a vállalatreagálhat például egy új üzem telepítésével (Változat a) vagy a meglévı üzem kismértékő bıvítésével (Változat b). Mindkét változat megvalósításának lesz költ-sége, amelynek nagyságát az ábrán Ka és Kb jelzi. Bármelyik döntési változatvalósuljon is meg, mindkettı gazdasági eredménye a tényleges helyzet függvé-nye. Az ábrán a menedzsment megítélése szerint három helyzet fordulhat elı,mindegyik pi (i = 1, 2, 3) valószínőséggel. Az egyes helyzeteket az ábrán a dön-tési változatot követı körbıl induló ágak jelölik. Például az igény növekedhet p1

valószínőséggel, változatlan maradhat p2 valószínőséggel, és csökkenhet p3 va-lószínőséggel. Ha más helyzet nem fordulhat elı, akkor e három valószínőségösszege 1 lesz. E valószínőségek konkrét értéke fontos, mert a nagy valószínőség-gel bekövetkezı igénynövekedés inkább az új üzem telepítését, míg az igény kismértékő növekedése a meglévı üzem kis mértékő bıvítését indokolná. Továbbá,minél nagyobb az igény esetleges csökkenésének a valószínősége, annál kocká-zatosabb lesz mindkét bıvítési változat. Végezetül értékelni kell minden egyesváltozat gazdasági következményét a bekövetkezhetı helyzetekben. Tudnunkkell tehát, hogy mi lesz a gazdasági következménye annak, ha új üzemet építünkés az igény nagymértékben nıni fog, továbbá mi lesz akkor, ha az igény válto-zatlan marad, valamint ha csökken. Miután hosszú távú, több évre elıre tekintıvizsgálatról van szó, a gazdasági következmény lehet az évenként jelentkezı ha-szon nettó jelenértékének az összege, de elképzelhetı, hogy egy adott döntésheza vizsgálatba csak a bevételt, esetleg csak a várható mőködési költséget vonjákbe. Az ábrán az egyes változatok meghatározott helyzetekben várható gazdaságikövetkezményét a Hi j értékek mutatják, ahol i a döntési változatokat, j pedig abekövetkezı helyzeteket jelölı index.

A döntési változatok és a bekövetkezhetı helyzetek valószínőségeinek ismere-tét, valamint az egyes változatok meghatározott helyzetekben kalkulált gazdaságieredményét felhasználva a legkedvezıbb döntési változatot a haszon várható ér-tékének maximalizálása vagy bizonyos esetekben a felmerülı költségek várhatóértékének minimalizálása alapján választjuk ki. A 3.11. ábra egyszerő esetében

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.11. ábra: A döntési fa felépítése

azt a változatot kell kiválasztani, amelyikre teljesül a következı összefüggés:

M AXj

[

∑

i

(pi H j i − K j )

]

=

= M AX[

(p1Ha,1 + p2Ha,2 + p3Ha,3 − Ka); (p1Hb,1 + p2Hb,2 + p3Hb,3 − Kb)]

A fenti összefüggés két érték közül választja ki a nagyobbikat, és az ahhoz tartozódöntési változat megvalósítását javasolja. Az egyik érték az a, a másik értéka b döntési változat hozamának várható értéke. Az összefüggés eredménye akedvezıbb döntési változat gazdasági eredményének a várható értéke. A kapottgazdasági eredmény persze a gyakorlatban sohasem érhetı el. A ténylegeseredmény a várható értéknél jobb és rosszabb is lehet. A kapott érték ugyanis azegyes helyzetekben bekövetkezı eredményeknek a valószínőségekkel súlyozottátlagát tartalmazza. A valóságban azonban az egyik helyzet bekövetkezik, és azahhoz tartozó gazdasági eredmény megvalósul. Tehát ha egyszerő példánkbanaz a döntési változat bizonyul a legjobbnak, és az igény nagymértékben nınifog, akkor a tényleges gazdasági eredmény Ha,1 − Ka lesz, ami nagyobb, minta fenti összefüggés eredménye. Ugyanakkor, ha az igény csökkenni fog, akkora tényleges eredmény Ha,3 − Ka lesz, ami az adatoktól függıen negatív érték(veszteség) is lehet és nyilvánvalóan a fenti összefüggés eredményénél kisebbérték. A döntési változatok gazdasági eredményének várható értéke tehát nemtényleges eredmény, hanem a döntést segítı, az egyes helyzetek bekövetkezésivalószínőségeit tartalmazó és ezáltal a döntési változat választásánaka kockázatátkifejezı mutató.

A 3.11. ábra egy igen egyszerő döntési helyzetet mutat. A valóságban elıfor-duló bonyolultabb döntési problémák is hasonló módon vizsgálhatók. Gyakrantöbb döntés is követheti egymást. Egyszerő példánkat módosítva, a b döntésiváltozat jelenthetné azt, hogy nem bıvítjük az üzemet, de ha késıbb úgy látjuk,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



hogy az igény nı, akkor újra végiggondoljuk a lehetséges döntéseket. Az ilyenszekvenciálisan egymáshoz kapcsolódó döntések is az elızıekhez hasonlóanvizsgálhatók, de ilyenkor visszafelé, a jövıbıl a jelen felé haladva kell meghatá-rozni, hogy az egyes döntéseknél melyik változatot célszerő választani. Amintegy döntési változatot kiválasztottunk, a hozzá tartozó gazdasági eredmény vár-ható értékével kell tovább számolni, a nem választott változatok eredménye aszámításban többé nem szerepel.

A bemutatott módszer alkalmazásakor felmerülı legnagyobb probléma a fel-használt adatok pontossága. Az adatoknak két körét lehet elkülöníteni: a döntésiváltozatok egyes helyzetekhez tartozó gazdasági eredményét (Hi j ), valamintaz egyes helyzetek bekövetkezési valószínőségét (pi ). A gazdasági eredménybizonytalansága miatt célszerő lehet a gazdasági adatokat valószínőségi válto-zónak tekinteni. Ennél gyakoribb, hogy a gazdasági eredmények több eltérıértékére elvégzik a számítást azt vizsgálva, hogy a gazdasági adatok bizonyta-lansága mennyire érinti a döntést. A gazdasági adatok tág tartományára kijöheteredményként ugyanannak a változatnak a választása. Ha a választás nagyonérzékeny a gazdasági adatok eredményének esetleges változására, akkor vagypontosabb adatgyőjtés, vagy pedig egy óvatosabb döntéssorozat megtervezéselehet a megoldás. A bekövetkezési valószínőségek bizonytalanságát érzékenység-vizsgálati számítások segítségével vehetjük figyelembe. Vizsgálható, hogy egykiválasztott pi valószínőség mely tartományára kapjuk ugyanazt a döntési vál-tozatot eredményül. Ha ez a tartomány széles, akkor a pi valószínőség pontosértékének ismerete nem meghatározó. Ha az eredményként kapott tartomány na-gyon szők, akkor vagy a pi valószínőség értékének pontos meghatározására kelláldozni (például pontosabb elırejelzés készítése), vagy pedig egy óvatosabb, abizonytalanságot jobban figyelembe vevı döntési sorozatot célszerő kialakítani.

A következı fejezetben egy egyszerő esettanulmány segítségével ismertetjüka döntési fa alkalmazását kapacitásbıvítési problémák vizsgálatánál.

3.2.3. A kapacitásbıvítési stratégia vizsgálata – esettanulmány

Egy vegyipari vállalat egy új termék gyártásához új üzem telepítését tervezi.Az új termék várható élettartama 10 év. A menedzsment két lehetséges döntésiváltozatot fontolgat. Vagy mindjárt induláskor építenek egy nagy kapacitásúüzemet, vagy elıször egy kisebb kapacitású üzemet létesítenek, és ha a keresletmegnı, akkor két év múlva lehetıség lesz az üzem kapacitásának bıvítésére. Akét változat közötti választáshoz az alábbi 10 pontban összefoglalt információ állrendelkezésre:

1. A marketingosztály a következı elırejelzési adatokat szolgáltatta a döntés-hez:

– 10 éven át tartó nagy kereslet valószínősége 60%,– két évig magas kereslet és utána alacsony kereslet valószínősége 10%,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– 10 éven át tartó alacsony kereslet valószínősége 30%.2. Ha az igény nagy, akkor a nagy kapacitású üzem évi 100 millió Ft nyereséget

termel.3. Ha az igény alacsony, akkor a nagy kapacitású üzem nyeresége a magas fix

költségek miatt csak 10 millió Ft.4. Ha az igény alacsony, akkor a kis kapacitású üzem nyeresége évi 4 millió Ft.5. Ha az igény magas, és a kis kapacitású üzemet nem bıvítjük, akkor az üzem

az elsı két évben évi 45 millió Ft, utána pedig évi 30 millió Ft nyereséget termel.6. Ha a kis kapacitású üzemet két év után kibıvítjük és az igény nagy marad,

akkor az évi nyereség 70 millió Ft lesz.7. Ha két év után a kis kapacitású üzemet kibıvítjük, de az igény lecsökken,

akkor a nyereség csak évi 5 millió Ft.8. A nagy kapacitású üzem telepítése 300 millió Ft-os beruházást igényel.9. A kis kapacitású üzem telepítése olcsóbb, az 130 millió Ft-ba kerül.10. Nagy igény esetén a kis kapacitású üzem második évi bıvítésének költsége

220 millió Ft.A bemutatott kapacitásbıvítési probléma döntési fáját a 3.12. ábra szemlélteti.

A merész stratégia mindjárt az elején nagy kapacitású üzem telepítését jelenti,míg az óvatosabb stratégia elıször kis kapacitású üzemet létesítene (Döntés 1).Ekkor azonban két év múlva újabb döntési helyzet áll elı, amikor vizsgálni kell,hogy bıvítsék-e a meglévı kapacitást, vagy pedig mőködjön tovább az eredetilegtelepített kis kapacitású üzem (Döntés 2).

Ha nagy kapacitású üzemet létesítünk, akkor a marketingosztály elırejelzésealapján három helyzet fordulhat elı: tíz éven keresztül magas; eleinte magas,késıbb alacsony; végezetül tíz évig alacsony igény. Miután dönteni most kell,nem tudjuk megvárni, amíg valamelyik helyzet ténylegesen bekövetkezik, deismerjük a bekövetkezési valószínőségeket. A 3.12. ábrán a nagy kapacitásúüzem telepítését jelzı változatot követı körbıl (a) három helyzetnek megfelelıvonal indul ki, amelyekmindegyikén feltüntettük a marketingosztály által becsültvalószínőségeket.

Az óvatosabb stratégia lényege, hogy egyelıre csak kis kapacitású üzemlétesül. Ebben az esetben az alacsony igény bekövetkezésekor kisebb veszteségéri a vállalatot. Ha az igény nagy lesz, akkor a kapacitáshiány veszteséget vagyelmaradó nyereséget jelenthet, ezért, ha a magas igény valószínősége nagyobb,a vállalat megfontolhatja a kapacitás kibıvítését. A 3.12. ábrán láthatjuk,hogy a kis kapacitású üzem létesítését követıen most két helyzet fordulhat elı,vagy magas az igény, vagy alacsony. Az elsı két évben ugyanis a magas,valamint az eleinte magas, utána alacsony igény esetek ugyanazt a helyzetetjelentik. Ennek megfelelıen lesz az elsı két évben magas igény valószínősége 0,7(0,6 + 0,1), a végig alacsony igényé 0,3. Ha eleinte alacsony az igény, akkor azelırejelzések szerint az is marad, tehát nincsen értelme két év után megfontolnia bıvítést. Ha viszont eleinte magas az igény, akkor két év múlva dönteni kellaz esetleges bıvítésrıl, amint azt a 3.12. ábrán a Döntés 2 négyszög jelzi. A két

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



3.12. ábra: Kapacitásbıvítési stratégia elemzése döntési fával

döntési változat most a bıvítésbıl és nem-bıvítésbıl áll. Mindkét változatot kéthelyzet követheti: vagy továbbra is magas lesz az igény, vagy pedig az eleintemagas igény lecsökken. A két helyzet bekövetkezési valószínőségét a feltételesvalószínőségek segítségével határozhatjuk meg. A kérdés tehát az, hogy a márkét éve magas igényt milyen valószínőséggel követi továbbra is magas igény. Akét évig magas igény (valószínősége 0,7) és az utolsó nyolc évben magas igény(valószínősége x) együttes bekövetkezésének következménye, hogy végig magasaz igény (valószínősége 0,6). Két független esemény együttes bekövetkezésénekvalószínősége az események külön-külön bekövetkezési valószínőségeinek aszorzata. Ezért az elsı két év ténylegesen magas igényét követı továbbra ismagas igény valószínősége a következıképpen számolható:

0,6 = 0,7x → x =0,60,7

= 0,86

A másik lehetıség, hogy két évig magas lesz az igény és utána csökkeni fog.E lehetıség valószínősége az elızıhöz hasonló módon a feltételes valószínőségalapján számolható. Észrevehetjük azonban, hogy az elsı két év magas igényétvagy magas, vagy pedig alacsony igény követheti. E két esemény közül azegyik biztosan megvalósul, tehát bekövetkezési valószínőségeik összege 1. Így azelsı két év ténylegesen magas igénye után az alacsony igény bekövetkezésénekvalószínősége 1 − 0,86 = 0,14.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A 3.12. ábra minden vízszintes vonala egy döntést és egy hozzá kapcsolódóhelyzetet jelent, amelyhez egy gazdasági eredmény tartozik. Az egyszerőségkedvéért most eltekintünk a jelenérték-számítástól, így a megadott adatok alapjána gazdasági következmények a következıképpen számolhatók:

– nagy kapacitású üzem magas igény mellett (2. pont alapján): 10 · 100 =1000 MFt

– nagy kapacitású üzem eleinte magas, aztán alacsony igény mellett (2. és 3.pont alapján): 2 · 100 + 8 · 10 = 280 MFt,

– nagy kapacitású üzem alacsony igény mellett (3. pont alapján): 10 · 10 =100 MFt,

– bıvítés után, ha magas az igény nyolc évig (6. pont alapján): 8 · 70 = 560 MFt,– bıvítés után, ha alacsony az igény nyolc évig (7. pont alapján): 8 · 5 = 40 MFt,– nincs bıvítés és magas az igény nyolc évig (5. pont alapján): 8 · 30 = 240 MFt,– nincs bıvítés és alacsony az igény nyolc évig (4. pont alapján): 8 · 4 = 40 MFt,– kis kapacitású üzem alacsony igény mellett (4. pont alapján): 10 · 4 = 40 MFt.A számítások elvégzéséhez a következı adatokat ugyancsak fel kell tüntetni a

döntési fán:– a kis üzem gazdasági eredménye a bıvítési döntés elıtti két évben magas

igény mellett (az 5. pont alapján): 2 · 45 = 90 MFt,– az egyes döntési változatok egyszeri ráfordítási költségei a 8., 9. és 10. pont

alapján rendre 300 MFt, 130 MFt és 220 MFt.Az így kapott döntési fa alapján visszafelé, tehát a legkésıbbi döntéstıl a

legkorábbi döntés felé haladva kell a számításokat elvégezni. Esetünkben kétdöntést kell meghozni, amelyekbıl a két év utáni bıvítés vizsgálata esik késıbbiidıpontra, tehát elıször azt vizsgáljuk meg. A választ a bıvítés, valamint nembıvítés változatok gazdasági eredményeinek várható értéke alapján kapjuk meg:

– A bıvítés gazdasági eredményének a bıvítési költséggel csökkentett várhatóértéke:

(0,86 · 560 + 0,14 · 40) − 220 = 267,2 MFt

– A nem bıvítés gazdasági eredményének várható értéke:

(0,86 · 240 + 0,14 · 32) = 210,88 MFt

E két eredménybıl látható, hogy két év után érdemes bıvíteni, mert a bıvítésgazdasági eredményének várható értéke nagyobb, mint a nem-bıvítésé.

A következı lépésben meg kell vizsgálni, hogy az indulásnál nagy kapacitásúüzemvagy kis kapacitásúüzem telepítése a kedvezıbb-e, ezértmeg kell határoznimindkét esetben a gazdasági eredmény várható értékét.

– A nagy kapacitású üzem nyereségének a telepítési költséggel csökkentettvárható értéke:

(0,6 · 1000 + 0,1 · 280 + 0,3 · 100) − 300 = 358 MFt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



–Akis kapacitásúüzemvárhatónyereségének számításakor azt kell figyelembevenni, hogy két év után a bıvítés a kedvezı döntés. A számításnál tehát az utolsónyolc év gazdasági eredményeként a bıvítéshez tartozó nyereség várható értékétés beruházási költségét kell figyelembe venni:

[0,7 · (2 · 45 + 267,2) + 0,3 · 40] − 130 = 132,04 MFt

Amagasabbnyereséget jelentıvárható érték alapján tehát a nagykapacitásúüzemtelepítése a legjobb lehetıség. Ha mégsem döntenek a nagy kapacitású üzemtelepítése mellett, akkor viszont két év múlva érdemes a bıvítést végrehajtani.

Az elvégzett számításból a menedzsment tehát azt a következtetést vonja le,hogy a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezıbb, ha a magas igény va-lószínősége az átlagosnál nagyobb (0,6). A döntéshozók szeretnék tudni azt is,hogy ha a magas igényre vonatkozó elırejelzés téves, tehát az alacsony igény va-lószínősége a becsültnél nagyobb, akkor is a nagy kapacitású üzem telepítése-ea helyes döntés. E kérdést az érzékenységvizsgálat segítségével tudjuk megvá-laszolni. Vizsgáljuk meg, hogy a magas igény valószínőségét jelzı p1 paramétermely értékeire marad a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezıbb döntés.Az igény valamennyi lehetséges alakulásának valószínőségét három paraméterfejezi ki. Miután a három feltételezett eseten kívül más eset nem lehetséges, ehárom eset valószínőségének összege 1 (p1 + p2 + p3 = 1). Így p1 változásávalegyidejőleg legalább még egy valószínőség értéke változni fog. Ha kisebb a va-lószínősége a magas igénynek, akkor nagyobb a valószínősége valami másnak.A menedzsment leginkább az alacsony igény bekövetkezésétıl fél, ezért legyena másik változó valószínőség p3 = 1 − 0,1 − p1. E feltételezések alapján az egyesesetek bekövetkezési valószínőségei a következık lesznek:

– A 10 éven keresztüli nagy kereslet valószínősége: p1;– A két évig magas kereslet és utána alacsony kereslet valószínősége: 0,1;– A 10 éven keresztül alacsony kereslet valószínősége: 1 − 0,1 − p1 = 0,9 − p1;– Az elsı két év ténylegesen magas igényét követı továbbra is magas igény

valószínősége (x):

p1 = (p1 + 0,1) · x → x =p1

p1 + 0,1

– Az elsı két év ténylegesen magas igényét követıen az alacsony igénybekövetkezésének valószínősége (y):

0,1 = (p1 + 0,1) · y → y =0,1

p1 + 0,1

Felhasználva a magas igény valószínőségének (p1) függvényében kifejezetttöbbi valószínőséget, felírhatjuk p1 függvényében azokat a feltételeket, amelyek-nek teljesülniük kell ahhoz, hogy a nagy kapacitású üzem telepítése legyen alegkedvezıbb döntés:

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



1. A nagy kapacitású üzem telepítése kedvezıbb, mint elıször kis kapacitásúüzem telepítése, majd annak késıbbi bıvítése. Felírva a gazdasági eredményekvárható értékeit a következı összefüggést kapjuk:

p1 · 1000 + 0,1 · 280 + (0,9 − p1) · 100 − 300 ≥

≥ (p1 + 0,1) ·[

90 +p1

p1 + 0,1· 560 +

0,1p1 + 0,1

· 40 − 220]

+ (0,9 − p1) · 40 − 130

Az egyenlıtlenség átrendezése után a következı feltétel adódik:

p1 ≥ 0,155

2. A nagy kapacitású üzem telepítése kedvezıbb, mint elıször kis kapacitásúüzem telepítése és annak változatlanul hagyása. Felírva a gazdasági eredményekvárható értékeit a következı összefüggést kapjuk:

p1 · 1000 + 0,1 · 280 + (0,9 − p1) · 100 − 300 ≥

≥ (p1 + 0,1) ·[

90 +p1

p1 + 0,1· 240 +

0,1p1 + 0,1

· 32]

+ (0,9 − p1) · 40 − 130

Az egyenlıtlenség átrendezése után a következı feltétel adódik:

p1 ≥ 0,164

A két feltétel együttesen akkor teljesül, ha p1 ≥0,164, tehát a menedzsmentmegnyugodhat, hogy a tíz évig magas igény valószínőségének igen alacsonyértékénél is a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezıbb döntés.

A p1 paraméter érzékenységének vizsgálatakor a három valószínőség közülegynek az értékét (eleinte magas, aztán alacsony igény) lerögzítettük. A számí-tás hasonlóan végezhetı el akkor is, ha két paraméter értéke szabadon változik,a harmadiké pedig a két szabadon változó paraméter függvénye. Ilyenkor ered-ményül egy kétváltozós feltételt kapunk, amely kifejezi, hogy mely valószínőségiértékpárok mellett lesz a nagy kapacitású üzem telepítése a legkedvezıbb.


A kapacitáselemzéssel foglalkozó fejezetben áttekintettük a termelı- és szol-gáltatórendszerek erıforrásainak kapacitásával kapcsolatos legfontosabb rövidés hosszú távú problémákat. A rövid és hosszú távú problémák két alapvetıtényezıben különböztek egymástól:

– A hosszú távú problémáknál az adatok bizonytalansága jelentıs szerepetjátszik, ezért e problémáknál a valószínőség-számítás, valamint érzékenység-vizsgálat fontos szerepet játszik a döntéshozatalban. A rövid távú kérdéseknél is

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



sokszor bizonytalanok az információk, itt azonban elsısorban nem a módszereketteszik alkalmassá a bizonytalanság kezelésére, hanem szervezési intézkedésekkela termelırendszert teszik alkalmassá a bizonytalanság kedvezıtlen hatásainakenyhítésére (például biztonsági készletek gyártása, rugalmas alvállalkozói háló-zat stb.).

– A rövid távú problémák konkrét feladatok megoldásával foglalkoznak, míga hosszú távú kérdések rendszerint inkább koncepcionális jellegőek. Ezért más akapott eredmény jelentısége és felhasználása. A rövid távú vizsgálat eredményegyakran igen hamar megvalósul, például egy rendelés elvállalásakor, túlórabeiktatásakor stb. A hosszú távú vizsgálatok eredményei inkább tájékoztatójellegőek, a végsı döntést sok egyéb információ is meghatározhatja.

Mindkét problémakörre igaz azonban az, hogy a bemutatott módszerek fino-míthatók, pontosabbá tehetık, a gyakorlati élet speciális problémáihoz igazít-hatók. Az így keletkezı bonyolult matematikai modellek megoldása azonbanrendszerint matematikai nehézséget okoz. Gyakran a bonyolult modellek meg-oldásához szükséges ráfordítások messze meghaladják a nagyobb pontossághasznát. Ezért a gyakorlatban inkább a vizsgálati módszerek itt bemutatottegyszerőbb formáit használják gyors, tájékoztató jellegő információk megszerzé-séhez. A konkrét helyzetek pontos vizsgálatához pedig szükség esetén diszkrétszimulációt használnak, amely mentes az elméleti modellek kötöttségeitıl [34].

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4. A KÉSZLETGAZDÁLKODÁSÖSSZEFÜGGÉSEI

4.1. BEVEZETÉS – A KÉSZLETGAZDÁLKODÁS ALAPPROBLÉMÁJA

A készletgazdálkodás a termelésmenedzsment fontos területe, és szoros kap-csolatban van az elızı pontokban tárgyalt elırejelzéssel és kapacitáselemzéssel.A rendelkezésre álló kapacitások nagysága mellett a termék vagy szolgáltatásiránt jelentkezı igény sajátosságai, a készleteket szállító vagy termelı rendszerbizonytalanságai, valamint a beszerzési és elıállítási folyamat költségei jelentı-sen befolyásolhatják a termelésmenedzsmentnek a készletek kívánatos szintjérılhozott döntését.

A készletekkel kapcsolatos döntések két nagy csoportra oszthatók. A stratégiaidöntések azt határozzák meg, hogy egy készletezési rendszernek milyen szintenkell kielégítenie a vevıi igényeket. Stratégiai kérdés például, hogy egy, az autó-pályák keresztezıdésénél kialakított diszkontáruház megengedheti-e magának,hogy idınként egyes termékekbıl hiány alakuljon ki. Ez azért fordulhat elı, mertalacsony készletszinttel dolgozik, melynek következménye az alacsonyabb kész-letezési költség, és így a szokásosnál alacsonyabb az eladási ár is. Ezzel szembenaz áruház menedzsmentje dönthet úgy, hogy magas szolgáltatásszintet, de ehhezkapcsolódóan magasabb árakat érvényesít. E kérdés megválaszolása a stratégiamenedzsment területére tartozik. A termelésmenedzsment feladata, hogy az el-döntött stratégiát a lehetı leghatékonyabban valósítsa meg. Az erre vonatkozómőködési döntések arra adnak választ, hogy a stratégia által meghatározott szol-gáltatásszintet hogyan érheti el a vállalat a leggazdaságosabban, vagyis, hogymibıl, mikor, mennyit és hogyan rendeljen. A készletgazdálkodásról szóló fejezet ekérdések megválaszolásához nyújt segítséget.

Elöljáróban szükséges tisztázni néhány, a következıkben felhasználásra kerülıalapfogalmat:

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


116 4. A KÉSZLETGAZDÁLKODÁS ÖSSZEFÜGGÉSEI

– Tisztán készletezı rendszerrıl beszélünk akkor, ha a megrendelt mennyiségegyszerre érkezik meg a raktárba a külsı szállítótól.

– Termelı-készletezı rendszerrıl beszélünk, ha a megrendelt mennyiséget egytermelési folyamat szolgáltatja a termelés ütemében töltve fel a raktárt.

– Független igényő készletezési rendszerrıl beszélünk, ha a raktározott termékiránti igény nem függ egy másik termék iránti igénytıl. E fejezetben ilyenproblémákat tárgyalunk.

– Függı igényő készletezési rendszerrıl beszélünk, amikor a raktározott ter-mék igénye egy másik termék igényétıl függ. Ilyen például a gumiabroncsokgyártása, amely egy vállalatnál függhet az egyik fontos vevı üzemében össze-szerelt gépkocsik számától, és így azon keresztül a gépkocsik iránti igénytıl. Ekérdésekkel az anyagszükséglet tervezési rendszer (MRP) foglalkozik (lásd 6.fejezet).

4.2. KLASSZIKUS KÉSZLETEZÉSI MECHANIZMUSOK

A készletezési mechanizmus azt a szabályt határozza meg, amely alapján a„hogyan rendeljünk” kérdésre válaszolunk. A készletezési mechanizmus megha-tározza, hogy milyen esemény vagy események bekövetkezésekor kell a rendeléstfeladni, és a rendelés nagyságát milyen elvek szerint kell meghatározni. A gya-korlatban alkalmazott készletezési mechanizmusok rendszerint két alapesetre, afolyamatos, valamint a periodikus készletvizsgálatra vezethetık vissza.

A folyamatos készletvizsgálat lényege, hogy állandóan figyeljük a készletszintalakulását, és akkor rendelünk, amikor a készletszint lecsökken egy meghatáro-zott értékre. Folyamatos vizsgálat azért szükséges, hogy észrevegyük, mikor kella rendelést feladni. E rendszer mőködését a 4.1. ábra szemlélteti.

s

Q Q

Q

L L L Idő

Készletszint

4.1. ábra: Folyamatos készletvizsgálat készletszint diagramja

A készletszint egy meghatározott értékrıl indulva csökken, és amikor elériaz s utánrendelési értéket, akkor rendelünk egy meghatározott Q mennyiséget.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.2. KLASSZIKUS KÉSZLETEZÉSI MECHANIZMUSOK 117

A megrendelt mennyiség az L utánrendelési (szállítási) idı elteltével megérke-zik, és megnöveli az idıközben s alá csökkent készletszintet. Ez a folyamatismétlıdik úgy, hogy mindig pontosan ugyanazt a Q mennyiséget rendeljük.Az azonos rendelt mennyiség miatt e mechanizmust állandó rendelésitétel-nagyságrendszernek is nevezik. A késıbbiekben (4.6. fejezet) be fogjuk bizonyítani,hogy meghatározott feltételek teljesülésekor azonos nagyságú tételek rende-lése tényleg a legkedvezıbb. A folyamatos készletvizsgálati rendszert gyakran(Q, s)-rendszernek is nevezik, utalva arra a két paraméterre, amelynek segítsé-gével a menedzsment megválaszolja a „mennyit, és mikor rendeljünk” kérdést.Rendeljünk Q mennyiséget akkor, amikor a készletszint s.

Folyamatos készletvizsgálatnál minden tárolt egység raktárból történı távo-zásakor meg kell vizsgálni, hogy lecsökkent-e már a készlet az utánrendelésszintjére. E készletfigyelésre régebben ügyes mechanizmusokat alakítottak ki.Az egyik klasszikusnak számító megoldás két tároló konténer alkalmazása. Azegyiket s szintre töltjük fel, a másikba pedig a maradék mennyiség kerül. Ha emásodik konténer kiürül, akkor feladjuk a rendelést, mert tudjuk, hogy már csaks mennyiség van raktáron. A folyamatos készletvizsgálati rendszert ezen egy-szerő mechanizmus alapján régen két-konténeres rendszernek (two-bin system)is hívták. Az informatikai eszközök fejlettségének köszönhetıen természetesenma már a folyamatos készletfigyelés könnyen megoldható.

A periodikus készletvizsgálat lényege, hogy meghatározott rendelési perióduson-ként feltöltjük a raktárt egy meghatározott szintre. E mechanizmus mőködését a4.2. ábra szemlélteti.

S

Q1

L L L Idő

Készletszint

Q2

Q3

R R

4.2. ábra: Periodikus készletvizsgálat készletszint diagramja

A készletszint egy meghatározott értékrıl indul. Amikor elérkezik a kész-letvizsgálat idıpontja, akkor megrendeljük azt a mennyiséget (Qi ), amely az Smaximális készletszintbıl hiányzik. A megrendelt mennyiség az L utánrende-lési idı elteltével megérkezik. Természetesen ezen idıszak alatt is fogy a készlet,így a megrendelt mennyiség nem teljesen S szintre tölti fel a raktárt. A rendelés

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



beérkezését követıen a megnövekedett készletszint ismét csökkenni kezd. Az Rkészletvizsgálati periódus elteltével ismét megvizsgáljuk a készletszint nagyságátés megrendeljük a maximális készletszinthez hiányzó mennyiséget. Ennek nagy-sága függ a két rendelés között jelentkezı igénytıl, ezért a megrendelt mennyiségperiódusonként változó nagyságú lehet. A készletvizsgálat és a rendelés hasonlómódon ismétlıdik R hosszúságú idıtartamonként. A periodikus készletvizsgá-lati mechanizmust (S, R)-rendszernek is nevezik, utalva arra a két paraméterre,amelynek segítségével a menedzsment megválaszolja a „mennyit és mikor ren-deljünk” kérdést. Rendeljünk minden R idıtartam elteltével annyit, amennyi azS szintbıl hiányzik.

A két bemutatott készletvizsgálati mechanizmust összehasonlítva két lényegeseltérést tapasztalhatunk:

– A folyamatos készletvizsgálat rugalmasabban reagál az igény változásaira,így a hiány elıfordulásának kockázata kisebb. Folyamatos készletvizsgálatnál állan-dóan figyeljük a készletszintet és az igény váratlan megnövekedésekor hamarabbrendelünk, mert ilyenkor gyorsabban csökken le a készletszint az s értékre. Eztkövetıen L idıtartamon keresztül várjuk a megrendelt mennyiség beérkezését.Ha ezen idıszak alatt lényegesen megnı az igény (nagyobb lesz, mint s), akkorhiány keletkezik. Folyamatos készletvizsgálatnál tehát a hiány kialakulása miattveszélyes idıtartam az utánrendelési idı. Periodikus készletvizsgálatnál a rendelésfeladását követıen R idıtartamon keresztül nem vizsgáljuk a készletszintet, tehátha két rendelés között bármikor váratlanul megnı az igény, akkor hiány keletkez-het. Ráadásul a megnövekedett igény miatt megrendelt nagyobb mennyiség csakL idı után érkezik meg, így ez alatt az idı alatt is fennáll a hiány kialakulásánakveszélye. Periodikus készletvizsgálatnál tehát a hiány kialakulása miatt veszélyesidıtartam az utánrendelési idıvel megnövelt rendelési periódus (R+ L). A hosszabb ve-szélyes idıtartam miatt a periodikus készletvizsgálati mechanizmusban nagyobba hiány kialakulásának valószínősége ugyanolyan átlagos készletszint mellett.Másként fogalmazva, a hiány kialakulásának megakadályozása folyamatos kész-letvizsgálatnál alacsonyabb készletszintet igényel, és így kevésbé költséges. (Abiztonsági készletek számításával részletesen a 4.10. fejezetben foglalkozunk.)

– A periodikus készletvizsgálat szervezése egyszerőbb. Periodikus készletvizs-gálatnál csak R idıtartamonként kell megvizsgálni a készleteket, míg folyamatoskészletvizsgálatnál minden esetben, amikor a raktárból kivétel történik, meg kellnézni, hogy a készletszint lecsökkent-e már az s szintre. A korszerő informa-tikai eszközök birtokában ma már a folyamatos készletvizsgálat is viszonylagegyszerően megvalósítható, de kétségtelen, hogy mőködtetése mindig több szer-vezımunkát és így nagyobb ráfordítást igényel, mint a periodikus készletvizs-gálat. Ez az ára a hiány kialakulásával szemben a folyamatos készletvizsgálatnyújtotta nagyobb biztonságnak.

A két ismertetett készletvizsgálati rendszert összehasonlítva arra a következ-tetésre juthatunk, hogy azoknál a termékeknél, amelyeknél a hiány súlyosabbkövetkezményekkel jár, folyamatos készletvizsgálatot, míg a hiányra kevésbé

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.3. A KÉSZLETGAZDÁLKODÁS KÖLTSÉGEI 119

érzékeny termékeknél periodikus készletvizsgálatot érdemes kialakítani. A gya-korlatban az igény sajátosságainak megfelelıen, a bemutatott két rendszer egyeselemeit gyakran kombinálják. Erre mutat példát a 4.3. ábra, amelyen egy sutánrendelési készletszint és egy S maximális készletszint is látható.

S

L Idő

Készletszint

R R

s

R

4.3. ábra: Periodikus készletvizsgálat utánrendelési készletszinttel

A rendszer alapvetıen úgy mőködik, mint a periodikus készletvizsgálat.Minden R idıtartam elteltével megnézzük, hogy mekkora a készletszint, de haa készletvizsgálat idıpontjában a készletszint s felett van, akkor nem rendelünk.Ez a készletezési mechanizmus elkerüli a gazdaságtalanul kis mennyiségekrendelését, és elsısorban akkor használható, amikor gyakoriak az átlagosnállényegesen alacsonyabb igényő idıszakok.

A gyakorlatban elıforduló szinte valamennyi készletezési mechanizmus akét alapeset a folyamatos és a periodikus készletvizsgálat ismeretében könnyenmegérthetı. A következıkben annak meghatározásával foglalkozunk, hogymennyit rendeljünk és mikor, tehát mekkorák legyenek Q és s, valamint S és Rértékei.

4.3. A KÉSZLETGAZDÁLKODÁS KÖLTSÉGEI

Az elızı pontban említettük, hogy a készletgazdálkodás feladata eldönteni,hogy mibıl mennyit és mikor rendeljünk. E döntéseket a készletezési rendszerköltségeinek figyelembevételével hozhatjuk meg. Fontos elkülöníteni a készle-tekhez kapcsolódó lényeges és lényegtelen költségeket. Egy költség akkor lényeges,ha nagyságát befolyásolja az, hogy hogyan válaszoltuk meg a „mibıl, mikor,mennyit rendeljünk” kérdést. Példaként tekintsünk egy magas ráfordításokkallétrehozott automatizált raktárrendszert, amelynek magasak az általános költsé-gei. E költségek lényegtelennek tekinthetık a készletezési döntések szempontjából,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



mert függetlenül attól, hogy a raktár üres vagy tele van, a fix jellegő költségeketakkor is fizetni kell. Ha viszont béreljük a raktárt és a bérleti díj a tárolt mennyi-ség függvénye, akkor lényeges költségrıl beszélünk. Ugyanaz a költség egyeshelyzetekben lényeges, más esetekben pedig lényegtelen lehet. A konkrét helyzetdönti el tehát, hogy mely költségeket kell a döntéshozatalánál figyelembe venni.A számításba jöhetı költségek körét négy csoportra oszthatjuk:

– Beszerzési költség. E csoportba tartozik az a költség, amely a termék megvá-sárlásakor vagy gyártásakor keletkezik. E költség akkor lényeges, ha nagyságafügg a vásárolt vagy gyártott mennyiségtıl (mennyiségi árkedvezmény), egyébesetben lényegtelen, mert elıbb utóbb ki kell fizetni az egészet, függetlenül attól,hogy mikor érkezik meg.

– Rendelési költség. E csoportba tartoznak az áru megrendelésének lebonyolí-tásakor, illetve a rendelés beérkezésekor felmerülı költségek. Tisztán készletezırendszernél ez lehet az adminisztráció, esetleg a szállítás és a minıség-ellenırzésköltsége. Termelı-készletezı rendszernél viszont a rendelés egyben a termelı-rendszernek a megrendelt termék gyártására való átállását is jelentheti, amilényeges közvetlen kiadásokkal, illetve sok esetben az átállás miatti termeléskie-sés veszteségével és/vagy elmaradó hozamával jár együtt.

– Készlettartási költség. A készlettartási költségek közé azokat a költségeketsoroljuk, amelyeknınek, ha a készletszint nı, illetve csökkennek, ha a készletszintcsökken. E költségek között domináns a készletek finanszírozásának költsége, defelmerülhetnek például a technikai és fizikai avuláshoz,mennyiségi veszteséghez,biztosításokhoz, munkabérekhez stb. kapcsolódó költségek is.

– Hiányköltség. A hiányköltség a hiány keletkezésekor jelentkezı többlet-költségeket (például a késve szállítás költségét), valamint a sokszor nehezenszámszerősíthetı elmaradó hozamot jelenti.

4.4. AZ OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ALAPÖSSZEFÜGGÉSE

A 4.1–4.3. ábrák készletezési rendszereinek tanulmányozása helyett elıszörvizsgáljunk meg egy egészen egyszerő esetet. Amit az egyszerő eset kapcsánmegtanulunk, az egyrészt segít megérteni a bonyolultabb, a valóságban mőködırendszerek törvényszerőségeit, másrészt a kapott eredmény heurisztikaként igenjó eredményt ad sok, a vizsgált elméleti esettıl eltérı problémánál. Speciálisesetünket a következı hat feltétel írja le:

– Az igény egy meghatározott idıszakban ismert és állandó (például 100 darabnaponta, 500 liter havonta stb.).

– A rendelés feladása és beérkezése között eltelt idı (utánrendelési idı) zéró,tehát a megrendelt mennyiség azonnal megérkezik.

– A megrendelt mennyiség egy tételben érkezik (például ha 100 darabotrendelünk, akkor a rendelés megérkezésekor a készletszint 100 darabbal nı).

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.4. AZ OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ALAPÖSSZEFÜGGÉSE 121

– Hiány nem fordulhat elı. Miután az igény ismert, szervezhetjük úgy arendeléseket, hogy hiány ne alakuljon ki.

– A rendelési költség független a rendelt mennyiségtıl. Azt feltételezzük,hogy bármekkora mennyiséget rendelünk, az ahhoz kapcsolódó adminisztráció,szállítás, esetleg átállás stb. nem függ a rendelt mennyiség nagyságától.

– A készlettartási költség arányos a beszerzési költséggel. Ez a feltétel arra utal,hogy a készlettartási költségnek meghatározó része a készletek miatt lekötötttıke költsége, ami viszont a lekötött tıke nagyságától, és ezáltal a beszerzésköltségétıl függ.

Készletszint

Idős

IÁtl

Q

4.4. ábra: Az egyszerő EOQ modell készletszintdiagramja

E hat feltétel által meghatározott eset készletszintjének alakulását a 4.4. ábraszemlélteti. Az igény állandósága miatt a készletszint egyenletes ütemben csök-ken. Miután hiány nem lehetséges, és a megrendelt mennyiség azonnal beérkezik,mindig akkor rendelünk, amikor a készletszint éppen zéró. Késıbb nem rendel-hetünk, mert hiány lesz, elıbb nem rendelünk, mert akkor felesleges készletekhalmozódnak fel. Érdemes megjegyezni, hogy az így kapott készletszintdi-agram látszólag folyamatos készletvizsgálatot és periodikus készletvizsgálatotegyaránt jelent, mert azonos mennyiségeket rendelünk, továbbá az igény is-mert és konstans jellege miatt a rendelési idıközök is azonosak. A 4.4. ábrát akészletgazdálkodás főrészfogdiagramjának is nevezik.

Határozzuk meg a fentiekben definiált egyszerő eset teljes költségét a rendeltmennyiség függvényében. A teljes kifejezés arra utal, hogy a készlet beszer-zésének költségét, valamint a készlethez kapcsolódó raktározási tevékenységekköltségeit együtt kívánjuk meghatározni. A 4.3. pontban felsorolt négy költség-csoportból esetünkben hármat kell figyelembe venni, mert a hiány kizárása miatthiányköltség nem keletkezik. A teljes költség a következı módon alakul:

T K{Q} = Dv + AD

Q+ IÁtlvr

ahol:D – az igény ismert értéke egy vizsgált egységnyi (év, hó, hét stb.) idıszakban,v – egységnyi mennyiség beszerzési ára,A – egyetlen rendelés költsége, amely feltételeink alapján független a rendelt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



mennyiségtıl,Q – a megrendelt mennyiség,Iátl – az átlagos készletszint nagysága,r – a készlettartási ráta, amely kifejezi, hogy a beszerzési költség hányad részéttekintjük készlettartási költségnek a vizsgált egységnyi idıszakban. E paramé-

ter fejezi ki a feltételeink között meghatározott beszerzési költség és készlettartásiköltség közötti arányosságot.

A 4.4. ábrát tanulmányozva észrevehetjük, hogy az átlagos készletszint éppenQ/2, mert a főrészfogdiagram átalakítható egy vele egyenértékő Q/2 egyenleteskészletszintő diagrammá. Ezt az értéket behelyettesítve a teljes költségfügg-vénybe, a következı kifejezést kapjuk:

T K{Q} = Dv + AD

Q+

Q

2vr

Az így kapott függvény Q szerinti minimumát kell meghatározni. Ezt megkap-juk, ha a teljes költségfüggvényt Q szerint deriváljuk, és a deriváltat egyenlıvétesszük zéróval:

∂T K (Q)∂ Q

= 0 − AD

Q2 +vr

2= 0

Az egyenletet Q-ra rendezve jutunk az optimális rendelésitétel-nagysághoz,az eredeti angol névre utalva az EOQ (Economic Order Quantity) formulához:

QO PT = E O Q =

√

2AD

vr

A teljes költségfüggvény Q szerinti deriváltját átrendezve azt is észrevehetjük,hogy a teljes költség minimuma a készlettartási és rendelési költségek egyenlıértékénél lesz, tehát amikor:

AD

Q=

Q

2vr

Ez az összefüggés a készletgazdálkodás egyensúlyi elvét fejezi ki, és azt mondja,hogy az optimális rendelésitétel-nagyságnál a rendelési és készlettartási költségek egyen-lık. Ezen elvet a most tárgyalt egyszerő esettıl eltérı problémáknál is lehetalkalmazni, vagy az optimális rendelésitétel-nagyság számításához, vagy pedigheurisztikaként nem optimális, de alacsony teljes költségő tételnagyság megha-tározásához.

A teljes költségfüggvény értéke az optimális rendelésitétel-nagyság rendelése-kor a következı módon számolható:

T K{E O Q} = Dv + AD

E O Q+

E O Q

2vr = Dv +

AD√

2ADvr

+

√

2AD

vr

vr

2= Dv +

√2ADvr

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.4. AZ OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ALAPÖSSZEFÜGGÉSE 123

Azt az idıtartamot, amely alatt az optimális rendelésitétel-nagyság fedeznitudja az igényt, az optimális rendelésitétel-nagyság ciklusidejének nevezik. Ezenidıtartam hossza a következı:

TE O Q =E O Q

D=

1D

√

2AD

vr=

√

2A

Dvr

A készlettartási és rendelési költségek alakulását Q függvényében a 4.5. ábraszemlélteti. Miután a teljes költségfüggvényben szereplı beszerzési költség (Dv)nem függ a rendelt mennyiségtıl, az konstansként az ábrázoláskor csak felfelétolja a rendelési és készlettartási költségek összegét, de a függvény alakját nembefolyásolja. Ígya4.5. ábrána rendelési éskészlettartási költségekösszegétmutatófüggvény számértékre nem,de alakra megegyezik a teljes költségfüggvénnyel. Azábrán látható, hogy a rendelésitétel-nagyság növelésekor a készlettartási költségnı, mert az egyszerre nagyobb beérkezı mennyiség jobban megnöveli az átlagoskészletszintet. Ugyanakkor a nagyobb megrendelt mennyiség ritkább rendeléstfeltételez, ezért a rendelési költség csökken. E két ellentétes tendencia összegekéntkapjuk a teljes költségfüggvény alulról konvex alakját, amelynek minimuma arendelési és készlettartási költségfüggvények metszéspontjánál lesz.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000

Kö

ltsé

gek

{Q

}

4.5. ábra: A készlettartási és rendelési költség(D = 3600 db/év; A = 12 000 Ft; v = 2500 Ft/db; r = 0,6 Ft/Ft/év)

A továbbiakban a 4.5. ábra adataival egy egyszerő példán szemléltetjük arendelésitétel-nagyság számítását. Legyen egy termék iránti igény egy évbenátlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzésiköltsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta pedig 60%. Számoljunk közelítılegévi 360 munkanappal. Ezen adatok alapján az optimális rendelésitétel-nagyság:

E O Q =

√

2AD

vr=

√

2 · 12 000 · 36002500 · 0,6

= 240 darab

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az így kapott érték a 2.4. ábrán is jól látható. A teljes költség elemei a következımódon alakulnak:

T K{240} = 3600 · 2500 + 12 000 ·3600240

+2402

· 2500 · 0,6 =

= 9000 eFt + 180 eFt + 180 eFt = 9360 eFt

A költségek arányaiból kitőnik, hogy a beszerzési költség dominál (és ráadásulfüggetlen a rendelésitétel-nagyságtól). Így a termelésmenedzsment döntésévelesetünkben csak a készlettartási és rendelési költséget tudja befolyásolni.

Az évi 3600 darabos igényt tehát 240 darabos rendelési tételekkel kívánjukkielégíteni, ami évente 3600/240=15 rendelést jelent. A rendelési ciklus hossza:

TE O Q =E O Q

D=

2403600

= 0,0667 év ≈ 24 nap

A beérkezı 240 darab tehát közelítıleg 24 napon keresztül teszi lehetıvé azigény kielégítését.

Tételezzük fel, hogy a menedzsment úgy gondolja, nem érdemes ilyen kistételekkel bajlódni, ezért javasolja, hogy félévente egyszer rendeljünk az alkat-részbıl. Ilyenkor a megrendelt mennyiségnek félévi igényt kell kielégítenie, teháta rendelésitétel-nagyság 3600/2=1800 darab lesz. E nem optimális rendelésitétel-nagyság teljes költsége a következı módon számítható:

T K{1800} = 3600 · 2500 + 12 000 ·36001800

+1800

2· 2500 · 0,6 = 10 374 eFt

Nézzük meg, hogy az alkalmazott nem optimális rendelési politika miatt hányszázalékkal nıtt meg a teljes költség:

∆T K =T K{1800} − T K{240}

T K{240}= 0,10833 → 10,83%

A menedzsment nagyvonalú rendelési politikája tehát 10,83% többletköltsé-get okoz. Ez a látszólag egyszerőnek és logikusnak tőnı beszerzési politikaa gyakorlatban sokszor jelentıs költségnövekedést és ezzel a versenyképességcsökkenését jelentheti. Ráadásul ez a növekedés kizárólag szervezési intézke-déssel, szinte ráfordítás nélkül, egy bölcsebb rendelési politika alkalmazásávalmegszüntethetı.

Említettük a 4.4. fejezet elején, hogy a folyamatos készletvizsgálat és a pe-riodikus készletvizsgálat diagramjai ismert és állandó igény esetén látszólagazonosak. Periodikus készletvizsgálatnál a feladat az optimális rendelési pe-riódus meghatározása, ami a készletdiagramok azonossága miatt egyenlı azoptimális rendelésitétel-nagysághoz tartozó ciklusidıvel. Ez könnyen belátható,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.5. AZ OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ÉRZÉKENYSÉGVIZSGÁLATA 125

ha felírjuk a teljes költséget az R rendelési periódusidı függvényében, figyelembevéve, hogy egy vizsgált egységnyi idıszakban 1/R alkalommal rendelünk, és azátlagos készletszint DR/2. A kapott teljes költségfüggvény R változó szerintideriváltja segítségével megkapjuk az optimális rendelési periódus idejét:

T K{R} = Dv + A1R

+DR

2vr →

∂T K{R}∂ R

= 0 → RO PT =

√

2A

Dvr= TE O Q

A maximális készletszint értéke egyenlı az R idı alatt felhasznált készletmennyiségével:

S = DRO PT = D ·√

2A

Dvr=

√

2AD

vr= E O Q

A készletszintdiagramok azonossága ellenére kétféleképpen fogalmazhatjukmeg a készletezési rendszer mőködését:

1. Folyamatos készletvizsgálatnál rendeljük az optimális rendelésitétel-nagyságot,ha a készletek szintje lecsökkent az utánrendelési készletszintre (esetünkben mostnullára).

2. Periodikus készletvizsgálatnál rendeljünk az optimális rendelési perióduselteltével (RO PT ) akkora mennyiséget, ami feltölti a raktárt S szintre.

Az igény bizonytalanná válásakor ez a két szabály már nem ugyanazt akészletszintdiagramot jeleni, amint azt a 4.10. fejezetben látni fogjuk.

4.5. AZ OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁGÉRZÉKENYSÉGVIZSGÁLATA

Az elızı pontban bemutatott optimális rendelésitétel-nagyság formula, valamintannak változatai igen népszerőek a gyakorlatban. Ennek egyik oka, hogy eformulák csak kis mértékben érzékenyek az optimális tételnagyság, valamintaz alkalmazott költségadatok változásaira. Ennek következtében nem okozjelentıs költségnövekedést, ha a kapott optimális tételnagyságtól kis mértékbeneltérünk, továbbá ha valamelyik költségadatot (például a rendelési költséget)csak közelítıleg tudtuk meghatározni. A következıkben részletesen bemutatjukezen érzékenységi információk számítását és jelentıségét a gyakorlatban.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



4.5.1. Eltérés az optimális rendelésitétel-nagyságtól

Az optimális rendelésitétel-nagyság a gyakorlatban sokszor nem rendelhetı meg.Elıfordul például, hogy valamilyen alkatrészt százas csomagokban szállítanak,így minden olyan esetben, amikor az optimális érték nem száznak egész számútöbbszöröse, a ténylegesen megrendelt mennyiség nem lesz optimális. Ugyancsakelképzelhetı, hogy az optimális mennyiség 3,5 hétre elegendı, de a menedzs-ment úgy dönt, hogy az egyszerőség kedvéért havonta rendel. A kérdés az,hogy olyan esetekben, amikor az optimális rendelésitétel-nagyságtól kismérték-ben eltérünk, mekkora a teljes költség változása. Ezt úgy határozzuk meg, hogyfeltételezünk egy nem optimális rendelt mennyiséget, és megnézzük, hogy emennyiség rendelése miatt mennyivel növekednek meg a költségek. Az egy-szerőség kedvéért azonban a költségeknek csak azzal a részével foglalkozunk,amelyet befolyásol a tételnagyság változása. A tételnagyság változása miatt vál-tozó költségek esetünkben a rendelési és készlettartási költségek. A beszerzésiköltség (Dv) nem változik, mert egyelıre eltekintünk a tételnagyság beszerzésiárra gyakorolt hatásától.

A nem optimális mennyiség legyen a továbbiakban 100z százalékkal nagyobbvagy kisebb, mint az optimális tételnagyság, tehát:

Q = QO PT (1 + z)

Ha tehát 20%-kal többet rendelünk az optimális mennyiségnél, akkor z = 0,2.Ha ugyanennyivel kevesebbet rendelünk, akkor z = −0,2. Jelöljük továbbá avizsgált költségfüggvényt T K ′{Q)-val, ahol a vesszı jelzi, hogy nem a teljesköltségrıl, csak annak a tételnagyság változása miatt megváltozó részérıl vanszó, amely esetünkben a rendelési és készlettartási költségek összege. E jelöléseketalkalmazva a költségfüggvény az optimális, valamint a nem-optimális rendelésitételnél a következı módon alakul:

T K ′{Qopt} = AD

Qopt+

Qopt

2vr =

√2ADvr

T K ′{Q} = AD

Qopt(1 + z)+

Qopt(1 + z)2

vr =AD

(1 + z) ·√

2ADvr

+ (1 + z) ·√

2AD

vr

vr

2=

=

√

ADvr

2·[

11 + z

+ 1 + z

]

=√

2ADvr ·12

·[

11 + z

+ 1 + z

]

A kapott két összefüggés segítségével számítható a költség relatív változása zfüggvényében:

∆T K ′ =T K ′{Q} − T K ′{Qopt}

T K ′{Qopt}=

√2ADvr · 1

2 ·[

11+z + 1 + z

]

−√

2ADvr√

2ADvr=

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



=12 ·

[

11+z + 1 + z

]

− 1

1=

1 + (1 + z)2 − 2 · (1 + z)2 · (1 + z)

=z2

2 · (1 + z)

Látható, hogy a kapott összefüggésben nem szerepel egyetlen költségadatsem, tehát az összefüggésbıl levonható következtetések általános érvényőek,nem függnek a konkrét feladattól. A következtetések levonásához ábrázoljuk aköltség százalékos változását z ugyancsak százalékban kifejezett függvényében.Az így kapott 4.6. ábra alapján a következı megállapításokat tehetjük:

– Az optimális értéknél nagyobb vagy kisebb mennyiség rendelése egyarántköltségnövekedést eredményez, azonban kevésbé költséges többet rendelni, mintkevesebbet. A függvény a zérótól jobbra, a pozitív tartományba esı szakaszbankisebb meredekséggel nı, mint a balra esı, negatív szakaszban. Ha tehát például50%-kal többet rendelünk az optimumnál, akkor az kisebb költségnövekedéstokoz, mintha ugyanennyivel kevesebbet rendelünk.

– Az optimális rendelésitétel-nagyságtól kis mértékő eltérés csak igen kis mértékbennöveli meg a költségeket. A görbén látható, hogy az optimumnál 20%-kal nagyobbmennyiség rendelése is csak 1,67%-os költségnövekedést okoz. Ráadásul eza költségnövekedés csak a rendelési és készlettartási költségekhez viszonyítottérték. A teljes költséghez viszonyítva a kapott érték még kisebb. Az optimumnálugyanilyen mértékben kisebb rendelés is csak 2,5% költségnövekedést okoz.

4.6. ábra: Érzékenység a tételnagyságra

Tekintsük ismét példaként a 4.4. fejezet feladatát, amelynél az optimálisrendelési tételnagyság 240 darab volt. Ha a szállító csak 100 darabos egységcso-magokat szállít, akkor vagy 200 vagy pedig 300 darab rendelése lehetséges, ésezen értékekre a költségváltozás a következıképpen alakul:

Q = Qopt(1 + z) = 240 · (1 + z) = 200 → z = −16,67% → ∆T K ′(0,167) = 1,67%

Q = Qopt(1 + z) = 240 · (1 + z) = 300 → z = +25,00% → ∆T K ′(0,250) = 2,50%

Az eredményekbıl látható, hogy a költségváltozás mindkét esetben igen kicsi.Nem az a lényeg tehát, hogy pontosan az optimumot rendeljük, hanem, hogy az

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



optimálistól nagyon nagy mértékben ne térjünk el. Példánkban a menedzsmentaz optimális 240 darab helyett 1800 darabot akart rendelni, ami igen nagy eltérés,és a hozzá tartozó költségváltozás is jelentıs:

Q = Qopt(1 + z) = 240 · (1 + z) = 1800 → z = 650% → ∆T K ′(0,167) = 281,67%

Ez persze a teljes költség változó részéhez viszonyított érték. A teljes költségegészéhez viszonyítva a növekedés csak az elızı pontban kapott 10,83%.

4.5.2. Érzékenység az adatok pontatlanságára

Az optimális rendelésitétel-nagyság számításakor felhasznált költségadatok (A, v,r )meghatározása rendszerint nemegyszerő. Vizsgáljukmeg, hogyaz ezenadatokpontatlan meghatározása miatt hozott téves döntés milyen mértékben befolyá-solja a teljes költség alakulását. Az említett adatokat az optimális rendelésitétel-nagyság számításához használjuk fel, ezért a téves döntés nem optimális értékrendeléseként jelentkezik. Azt kell tehát megvizsgálni, hogy a pontatlan adatmiatt meghatározott nem optimális tételnagyság okozta költségnövekedés a he-lyes adattal számolt optimális tételnagyság költségéhez viszonyítva mekkora. Aszámítást elıször a rendelési költségre (A) végezzük el. Az egyszerőség kedvé-ért a költségeknek ismét csak azzal a részével foglalkozunk, amelyet befolyásol atételnagyság helytelen meghatározása. A tételnagyság helytelen értéke miatt vál-tozó költségek a rendelési és készlettartási költségek. A beszerzési költség (Dv)nem változik, mert egyelıre eltekintünk a tételnagyság beszerzési árra gyakorolthatásától.

Tételezzük fel, hogy a rendelési költség tényleges értéke A, de mi ehelyettrendelési költségként A értéket feltételezünk, ami a tényleges érték x-szerese,tehát:

A = A · x

Ha tehát 20%-kal felülbecsüljük a rendelési költség értékét, akkor x = 1,2.Ha ugyanilyen mértékben alábecsüljük a rendelési költséget, akkor x = 0,8. Ahelytelen rendelési költség miatt meghatározott helytelen rendelésitétel-nagysága következı módon számolható:

Q =

√

2AD

vr

Jelöljük továbbá a vizsgált költségfüggvényt T K ′{Q}-val, ahol a vesszı ismétjelzi, hogy nem a teljes költségrıl, csak annak a tételnagyság helytelen meg-választása miatt megváltozó részérıl van szó, amely esetünkben a rendelési és

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



készlettartási költségek összege. E jelöléseket alkalmazva a költségfüggvény azoptimális, valamint a nem optimális rendelési tételnél a következı módon alakul:

T K ′{Qopt} = AD

Qopt+

Qopt

2vr =

√2ADvr

T K ′{Q} = AD

Q+

Q

2vr =

AD√

2ADvr

+

√

2AD

vr

vr

2=

=

√

A

A·√

ADvr

2+

√

A

A·√

ADvr

2=

√2ADvr ·

12

·[

1√

x+

√x

]

A kapott két összefüggés segítségével számítható a költség relatív változása xfüggvényében:

∆T K ′ =T K ′{Q} − T K ′{Qopt}

T K ′{Qopt}=

√2ADvr · 1

2 ·[

1√x

+√

x]

−√

2ADvr√

2ADvr=

=12 ·

[

1√x

+√

x]

− 1

1=

1 + x − 2 ·√

x

2 ·√

x=

(√x − 1

)2

2 ·√

x

Látható, hogy a kapott összefüggésben nem szerepel egyetlen költségadatsem, tehát az összefüggésbıl levonható következtetések általános érvényőek,nem függnek a konkrét feladattól. A következtetések levonásához ábrázoljuk aköltség százalékos változását x függvényében. Az így kapott 4.7. ábra alapján akövetkezı megállapításokat tehetjük:

– Az optimális érték felül- vagy alulbecslése egyaránt költségnövekedést ered-ményez, azonban az alulbecslés jelentısebb költségnövekedéssel jár, mint az ugyanolyanmértékő felülbecslés. A függvény egytıl jobbra, a felülbecslés szakaszában kisebbmeredekséggel nı, mint egytıl balra, az alulbecslés szakaszában. Ha tehát például50%-kal felülbecsüljük a rendelési költséget, akkor az kisebb költségnövekedéstokoz, mintha ugyanilyen mértékben alulbecsülnénk.

– A rendelési költség meghatározásakor elkövetett kis mértékő pontatlanság mi-atti helytelen döntés csak igen kis mértékben növeli meg a költségeket. A görbén látható,hogy a tényleges rendelési költség 20%-os felülbecslése miatt az optimumnál na-gyobb mennyiség rendelése is csak 0,42%-os költségnövekedést okoz. Ráadásulez a költségnövekedés csak a rendelési és készlettartási költségekhez viszonyítottérték. A teljes költséghez viszonyítva a kapott érték még kisebb. Az ugyanilyenmértékő alulbecslésnél a költségváltozás 0,62%.

Tekintsük ismét a 4.4. fejezet példáját, amelyben a rendelési költség 12 000forint. Vizsgáljuk meg, hogy a rendelési költség 25%-os alul illetve felülbecslésehogyan változtatná meg a költségeket:

A = 9000 → x = 0,75 → ∆T K ′(1,25) = 1,036%A = 15000 → x = 1,25 → ∆T K ′(1,25) = 0,623%

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



4.7. ábra: Érzékenység a paraméterekre

Az eredményekbıl látható, hogy a költségváltozás mindkét esetben igen kicsi.Nem az a lényeg tehát, hogy nagyon pontosan meghatározzuk A értékét, hanem,hogy a költségek nagyságrendjével tisztában legyünk.

A rendelési költségre bemutatott számítások ugyanilyen módon érvényeseka beszerzési költségre (v) és a készlettartási rátára (r ). Ennek oka, hogy mind-három adat ugyanolyan hatással van a vizsgálatba bevont költségek (rendelésiés készlettartási költségek) alakulására. Ezen költségek értéke az optimálisrendelésitétel-nagyságnál ugyanis

√

(2ADvr ), így ha a levezetésekben A helyérev-t vagy r -t írunk, ugyanazt az összefüggést kapjuk eredményként.

4.6. A RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ÁLLANDÓSÁGÁNAK INDOKLÁSA

Vizsgáljukmegakövetkezıkben, hogymiért célszerőmindig azonosnagyságú té-telt, az optimális rendelésitétel-nagyság formulával kapott mennyiséget rendelni.Ha nem azonos mennyiségeket rendelnénk, akkor a 4.4. ábra főrészfogdiagramjaa 4.8. ábra szerint alakulna. A 4.8. ábrán ugyanazt az összes mennyiséget mostnem D/Q darab egyenletes nagyságú tételben, hanem ugyanennyi változó nagy-ságú (Qi ) tételben rendeljük meg. (A tételek számának nem kell megegyezni,azok azonosságát most az egyszerőség kedvéért feltételezzük.) Azt kell iga-zolni, hogy egy vizsgált T hosszúságú idıszakban jelentkezı D igény egyenletesnagyságú tételek rendelésével alacsonyabb teljes költséget eredményez, minthaváltozó nagyságú tételeket rendelnénk.

Írjuk fel elıször a teljes költségfüggvény értékét változó rendelési tételekre.Feltételezzük, hogy a vizsgált T idı alatt N alkalommal rendelünk változónagyságú (Qi ) tételt. A beérkezı mennyiség minden egyes alkalommal ti =Qi/D idı alatt fogy el. Minden egyes rendelési ciklus Qi -tıl zéróig változókészletszintjét helyettesíthetjük egy, az egész idıtartamra vonatkozó egyenleteskészletszinttel, felhasználva az ábrán az i rendelési ciklushoz tartozó háromszög

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.6. A RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG ÁLLANDÓSÁGÁNAK INDOKLÁSA 131

4.8. ábra: Egyenlıtlen nagyságú tételek rendelése

területének összefüggését:

IÁtl,i =1T

Dt2i

2A teljes költségfüggvény a vizsgált T idıszakra pedig a következı módon alakul:

T Kváltozó{0, T } = Dv +N

∑

i=1

[

A +1T

·Dt2

i

2· vr

]

= Dv + N A +Dvr

2T

N∑

i=1

t2i

Egyenlı tételek rendelésekor a teljes költségfüggvény hasonlóan írható fel, azzal akülönbséggel, hogy a változó nagyságú ti idejő rendelési ciklusok helyett a teljesT idıtartam egyenlı hosszúságú N darab ciklusának tÁtl idejét használjuk. Ateljes költségfüggvény egyenletes tételeknél a következıképpen írható fel:

T Kegyenletes{0, T } = Dv +N

∑

i=1

[

A +1T

·Dt2

Átl2

· vr

]

= Dv + N A +Dvr

2T· Nt2

Átl

Azt kell belátni, hogy T Kegyenletes{0, T } ≤ T Kváltozó{0, T }. Összehasonlítva akét teljes költségfüggvényt a feltételezett reláció annak belátására egyszerősödik,hogy:

Nt2Átl

≤N

∑

i=1

t2i

Felhasználva, hogy a vizsgált T idıtartam hossza a változó tételekhez tartozó tiidık összegével egyezik meg, tÁtl a következı módon számítható:

tÁtl =T

N=

1N

N∑

i=1

ti

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A következıt kell tehát belátni:[

1N

·N

∑

i=1

ti

]2

≤1N

·N

∑

i=1

t2i

A kapott összefüggés azt mondja, hogy a ti számok átlagának négyzete kisebba ti számok négyzetének az átlagánál, ami az algebra egyik alaptétele [6].Ezzel beláttuk, hogy a költségek szempontjából kedvezıbb egyenlı nagyságútételeket rendelni. Ezen következtetés eredményeként alakult ki a 4.2. fejezetbenismertetett folyamatos készletvizsgálati rendszer is azzal a megjegyzéssel, hogyaz egyszerő esetben optimális rendelési politika bonyolultabb esetekben nemfeltétlenül optimális, de igen kedvezı eredményhez vezet.

4.7. OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG BESZÁLLÍTÁSI (TERME-LÉSI) RÁTÁVAL

A következıkben az optimális rendelésitétel-nagyság egy olyan speciális ese-tét tárgyaljuk, amely segítségével a készletezési/termelési problémák egy igenjelentıs köre vizsgálható. Nézzük meg, mi történik akkor, ha a megrendeltmennyiség nem egyetlen tételben, hanem fokozatosan érkezik a raktárba. Ez azeset fordul elı a legtöbb termelı-készletezı rendszerben, amikor egy termelıü-zem a termelés ütemében tölti fel raktárát. Természetesen a raktár feltöltésévelegy idıben igény is jelentkezik a termék iránt, így a készletszint alakulását kétfolyamat – a kiszállítás és beszállítás – együttes eredménye alakítja. Ezt az esetetszemlélteti a 4.9. ábra.

4.9. ábra: Optimális rendelésitétel-nagyság termelési ráta esetén

Az ábrán jól látható, hogy minden egyes rendelési ciklus két szakaszra bont-ható. Az elsı szakaszban a beszállítás és a kiszállítás ütemének különbségehatározza meg a készletszint növekedését. Nyilvánvalóan minél közelebb van abeszállítás üteme a kiszállítás üteméhez, annál alacsonyabb lesz az átlagos kész-letszint. Szélsı esetben – amikor a két ütem megegyezik – készlet nem alakulki, mert ami megérkezik, azt azonnal felhasználják. Ez az éppen-idıben-gyártás

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.7. OPTIMÁLIS RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG BESZÁLLÍTÁSI (TERMELÉSI) RÁTÁVAL 133

(Just-In-Time) elméleti esete. Ha a beszállítás üteme kisebb, mint a kiszállításüteme, akkor a termelıfolyamat nem tudja kielégíteni az igényt. A megren-delt mennyiség leszállítása után a raktárban felhalmozódott készlet csökkennikezd, és éppen akkor fogy el, amikor a következı rendelési tétel megérkezik. Azígy kapott készletszint alakulását ismét egy főrészfogdiagram írja le, de most afőrészfogak más alakúak, mint korábban. Az ábrán látható, hogy ez a főrészfog-diagram átalakítható egy vele egyenértékő egyenletes készletszintő diagrammá,melynek magassága az átlagos készletszint, és értéke a maximális készletszintfele.

Fontos megjegyezni, hogy két szállítási idıszak között, tehát olyankor, amikora készletszint csökken, a termelési rendszer nem feltétlenül várakozik, hanemmás termékeket gyárt. Ezért minden rendelési tétel gyártásának elkezdésekorvalójában a termelırendszert át kell állítani a rendelt termék gyártására. Ez je-lentıs költséggel járhat, hiszen az átállítás közvetlen költségei mellett gyakrankell számolni az átállás miatt a termelésbıl kiesı idı elmaradó hozamával is.Példaként gondolhatunk nagy kovácsgépekre, hengermővekre, vagy szerelıso-rokra, amelyeknél egy terméksorozatról egy másikra történı átállás sokszor egyteljes mőszak idejét felemészti. Ezért hangsúlyoztuk már korábban is – a 4.3. feje-zetben –, hogy termelı-készletezı rendszereknél a rendelési költség meghatározóeleme az átállási költség.

A 4.9. ábra egy olyan esetet szemléltet, amelynél a megrendelt mennyiséget –tehát az optimális rendelésitétel-nagyságot – legyártják. Ilyenkor tehát a rendelésmennyisége egyben a gyártás mennyiségét is jelenti. Ezért az erre az esetre meg-határozott optimális rendelésitétel-nagyságot optimális gyártásisorozat nagyságnakis nevezik.

Az optimális gyártásisorozat nagyság meghatározásához ismét a teljes költségfelírásából kell kiindulni – amely hasonlóan a 4.4. fejezetben tárgyalt alapesethez– a következı módon alakul:

T K{Q} = Dv + AD

Q+ IÁtlvr

A felírt összefüggés formailag megegyezik a beszállítási ráta nélküli esettel,tartalmilag azonban két lényeges különbség is van. Egyrészt a rendelési költség(A) most átállási költséget tartalmaz, másrészt az átlagos készletszint (IÁtl)megváltozik. Az átlagos készletszint meghatározásához tekintsük a 4.10. ábrát,amely a 4.9. ábra egy rendelési ciklusának kinagyított változata. Az ábrán jóllátható, hogy a t1 idıtartam alatt egyidejőleg beszállítás és kiszállítás, míg a t2idıtartam alatt csak kiszállítás történik. A rendelési ciklus teljes t1 + t2 idıtartamaalatt fogy el a megrendelt mennyiség (Q) az igény feltételezett D ütemében. Ezta Q mennyiséget t1 idı alatt gyártják le és szállítják a raktárba, tehát:

Q = t1 P → t1 =Q

P

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



4.10. ábra: Az átlagos készletszint számítása termelési ráta esetén

ahol P az idıegység alatt szállított/gyártott mennyiség (termelési ráta).A t1-re kapott összefüggés a 4.10. ábrából is könnyenkiolvasható. Akészletszint

növekedését a P meredekségő szaggatott vonal jelölné, ha nem lenne a t1 idıalatt is D ütemő kiszállítás. A t1 idıtartam alatt a teljes t1 + t2 idıtartam alatt Dütemben elfogyasztott Q mennyiségnek be kell érkeznie a raktárba. A t1 és Qbefogójú derékszögő háromszög felhasználásával t1 értéke számolható.

A készletszint a beszállítás befejezésének pillanatában, tehát t1 idıtartamelteltével éri el maximumát. A t1 idıtartam alatt a készletszint P − D ütembennıtt, továbbá az átlagos készletszint a maximális készletszint fele, ezért az átlagoskészletszintre a következı összefüggést kapjuk:

IÁtl =Imax

2=

t1 · (P − D)2

=Q

2·[

1 −D

P

]

Az Imax -ra kapott összefüggésbıl látható, hogy az átlagos készletszint a 4.4.fejezetben vizsgált (beszállítási ráta nélküli) alapesethez képest lecsökkent. Acsökkenés mértékét az 1 − D/P tényezı fejezi ki. Az egyik határesetet P = ∞értéknél kapjuk. Ez azt jelenti, hogy végtelenül gyorsan szállítunk, tehát valójábanegy tételben érkezik a megrendelt mennyiség. Ilyenkor az átlagos készletszintéppen a 4.4. fejezetben használt Q/2. A másik határesetet P = D értéknél kapjuk.Ez azt jelenti, hogy a beszállítás üteme megegyezik a kiszállítás ütemével,ami az éppen-idıben-gyártás (Just-In-Time) elméleti esete. Ilyenkor az átlagoskészletszint zéró.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az átlagos készletszintre kapott összefüggést felhasználva, a beszállítási rátamellett kapott teljes költségfüggvény a következı módon alakul:

T K{Q} = Dv + AD

Q+

Q

2vr

[

1 −D

P

]

Az így kapott függvény Q szerinti minimumát kell meghatározni. Ezt megkap-juk, ha a teljes költségfüggvényt Q szerint deriváljuk, és a deriváltat egyenlıvétesszük zéróval:

∂T K{Q}∂ Q

= 0 − AD

Q2 +vr

2

[

1 −D

P

]

= 0

Az egyenletet Q-ra rendezve megkapjuk az optimális rendelésitétel-nagyságtermelési ráta mellett érvényes összefüggését, vagy másik nevén az optimálisgyártásisorozat nagyság formulát:

QE O Q = E O Q =

√

2AD

vr·

P

P − D

A teljes költségfüggvény Q szerint derivált alakjából az is látszik, hogy ateljes költség minimumát a készlettartási és rendelési költségek egyenlı értékénélkapjuk meg, tehát amikor:

AD

Q=

Q

2vr

[

1 −D

P

]

Ez az összefüggés ismét a készletgazdálkodás egyensúlyi elvét fejezi ki, amelyszerint az optimális rendelésitétel-nagyságnál a rendelési és készlettartási költsé-gek egyenlık.

A kapott eredmény szemléltetéséhez használjuk ismét a 4.4. fejezetben alkal-mazott feladat kis mértékben módosított változatát. Legyen tehát egy termékiránt jelentkezı igény egy évben átlagosan 3600 darab. A kérdés az, hogy mek-kora sorozatok gyártása optimális, ha az átállási költség 12 000 Ft és a termékbıl40 darab készül el naponta. Egy darab gyártási költsége 2500 Ft, az éves kész-lettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal. Ezen adatokalapján az optimális gyártásisorozat nagyság:

E O Q =

√

2AD

vr·

P

P − D=

√

2 · 12 000 · 36002500 · 0,6

·40 · 360

40 · 360 − 3600=

= 277,13 ≈ 277 darab

A termelési és igényráta dimenzióját egyeztetni kellett, ezért szerepel azösszefüggésben a szorzás 360 nappal. Látható, hogy az optimális gyártásisorozat-nagyság a 4.4. fejezetben kapott optimális rendelésisorozat nagyságnál (240)

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



nagyobb. Ennek oka a termelési ráta. Termelési ráta esetén ugyanis a nagyobbrendelt mennyiség miatt nem nı nagyon nagymértékben az átlagos készletszint,és így nem nı lényegesen a készlettartási költség sem. Az érzékenységvizsgálatkapcsán (4.5.1. fejezet) láttuk, hogy a kapott optimumtól kis mértékben eltérve aköltségek nem nınek lényegesen, így a 277,13 darab alapján elıírható 250 vagy300 darabos gyártási sorozat is. (Az érzékenységvizsgálat formuláit ugyan atermelési ráta nélküli esetre vezettük le, de könnyen belátható, hogy az ott kapotteredmények ilyenkor is érvényesek.)

A 277 darabos optimális mennyiséghez (gyártási sorozathoz) tartozó ciklusidınapokban kifejezve a következı módon számítható:

TE O Q =E O Q

D=

2773600

· 360 = 27,7 nap

A 27,7 nap két szakaszra bontható. A 277 darabos sorozat gyártása alatt nı akészletszint. A készletnövekedés ideje:

t1 =E O Q

P=

27740

= 6,925 nap

A közel 7 napig tartó készletnövekedést 20,7 napig tartó készletcsökkenésköveti. Amikor a ciklus végére érünk újra megindul a készletnövekedés, mertelkezdıdik a következı 277 darabos sorozat gyártása.

Végezetül a teljes költség értéke az optimális gyártásisorozat-nagyság melletta következı módon számítható:

T K{277} = 3600 ·2500+12 000 ·3600277

+2772

·2500 ·0,6 ·[

1 −3600

40 · 360

]

= 9311,77 eFt

Látható, hogy az optimális gyártásisorozat nagysághoz tartozó teljes költségkis mértékben alacsonyabb, mint az optimális rendelésisorozat-nagyságra a 4.4.fejezetben kapott érték (9360 eFt). Ennek oka, hogy a termelési ráta miattugyanazt az igényt alacsonyabb átlagos készletszint mellett tudjuk kielégíteni,ami a némiképpen megnövekedı rendelési költség ellenére is a teljes költségcsökkenéséhez vezet. A kapott eredmény az alkatrész-beszállítókés -felhasználókegy sajátos, napjainkban elıtérbe került konfliktusára utal. Vizsgáljuk meg eproblémát részletesebben.

Képzeljünk el egy szerelısort, amely egy fontos és drága alkatrészt használfel. Az alkatrész gyártója nagy termelékenységgel állítja elı az alkatrészt (P),ugyanakkor a felhasználás üteme (D) a szerelési folyamat sajátosságai miatt ennéllényegesen kisebb, tehát D ≪ P . A szerelési folyamat készletgazdálkodója kiszá-mítja az optimális rendelésitétel-nagyságot, ugyanakkor a beszállító kiszámolja aszámára gazdaságos optimális gyártásisorozat nagyságot. Tételezzük fel az egy-szerőség kedvéért, hogy az alkatrészgyártó csak a példánkban szereplı szerelési

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



folyamatot látja el termékével. A beszállító adatait B , a szerelısor adatait pedigSz indexszel jelölve a két tételnagyságra a következı összefüggést kapjuk:

E O QB =

√

2AB D

vBrB·

P

P − DE O QSz =

√

2ASz D

vSzrSz

Mindkét fél ugyanannak az igénynek a kielégítésére törekszik, de mindkét félmás optimális tételnagyságot kap eredményül. Hasonlítsuk össze a két összefüg-gést. Az elıbbiekben tisztáztuk, hogy D ≪ P , ezért a P/(P − D) közelítıleg egy.Ez a tag tehát nem okoz légyeges különbséget a tételnagyságokban. Az alkatrészköltsége elıállítási költségként jelentkezik a beszállítónál (vB ), amelybıl egy tisz-tes haszon hozzáadásával keletkezik a szerelési folyamatnál jelentkezı beszerzésiköltség (vSz). Ugyan vB < vSz , de a különbség a piaci normák betartása eseténnem okoz lényeges különbséget a két tételnagyság között. A készlettartási rá-ták (rB , rSz) nagyságát elsısorban makrogazdasági folyamatok határozzák meg,amelyek mindkét fél számára hasonlóak. Az esetleges eltérés mértéke ugyan-csak nem indokol lényeges különbséget a tételnagyságok között. Marad tehát azátállási (AB), illetve rendelési költség (ASz). Ezen értékek lényegesen eltérnek.Amikor a beszállító nem a kérdéses alkatrészt gyártja, akkor mást készít, így min-den gyártási sorozat elıtt át kell állnia az új termék gyártására. Jelentıs átállásiidı esetén az átállási költség (AB) igen magas lehet. A szerelısornál a rendelésiköltség (ASz) rendszerint alacsony, csak az adminisztráció és esetleg a tételek át-vételével kapcsolatos tevékenységek költségeibıl áll. Így az AB ≫ ASz viszonyokozza a konfliktust a szerelısor és a beszállító között. A beszállító nagy tételeketszeretne gyártani, a felhasználó viszont kis tételeket szeretne rendelni. A beszál-lítók versenyeztetése a szállítói szerzıdésekért arra ösztönzi a beszállítókat, hogykis sorozatokat is képesek legyenek gazdaságosan gyártani. Ez csak az átállásiidık csökkentésével lehetséges, ezért a termelıüzemek legtöbbjében az átállási idıcsökkentése a termelési folyamatok fejlesztésének egyik alapkérdése.

Példánkban feltételeztük, hogy a beszállító máshová nem szállítja ugyanazt azalkatrészt. E feltételezés nem teljesen alaptalan, ha arra gondolunk, hogy a gyár-tott alkatrészek kis mértékő eltérése is költséges átállást tehet szükségessé. Haazonban lehetséges nagyon sok helyre ugyanazt az alkatrészt szállítani, akkorcsökken az optimális gyártásisorozat nagyság okozta konfliktus. Meg kell azon-ban jegyezni, hogy az átállási és rendelési költségek igen nagy különbsége csakigen nagy rendelésállománynál oldja fel a gyártási- és rendelésitétel-nagyságokellentétét.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



4.8. A MENNYISÉGTİL FÜGGİ ÁRKEDVEZMÉNY FIGYELEMBEVÉTELEA RENDELÉSITÉTEL-NAGYSÁG MEGHATÁROZÁSÁNÁL

A gazdaságos rendelésitétel-nagyság meghatározásánál eddig eltekintettünk egygyakori jelenségtıl, a mennyiségi árkedvezménytıl. Gyakran a szállító igyek-szik rábeszélni a vevıt arra, hogy nagy mennyiséget vásároljon. Ösztönzéskéntárkedvezményt ad egy bizonyos mennyiség feletti vásárlásnál. A vásárlót azértkell ösztönözni, mert neki nem éri meg a gazdaságos rendelésitétel-nagyságnáltöbbet vásárolni a teljes költség növekedése miatt. E teljes költségnövekedéstellensúlyozza az árkedvezmény. Az árkedvezmény formája sokféle lehet. A kö-vetkezıkben a két leggyakoribb esetet, a proporcionális árkedvezményt, valaminta növekmény jellegő árkedvezményt tárgyaljuk részletesen, de az itt bemutatásrakerülı számítási elvek segítségével vizsgálhatók a gyakorlatban elıforduló egyébesetek is.

4.8.1. Proporcionális árkedvezmény

Proporcionális árkedvezményrıl akkor beszélünk, ha minden darabot olcsóbbankap a vevı akkor, ha egy meghatározott mennyiségnél többet vásárol. Úgytekinthetjük, hogy két eladási ár van, egy eredeti ár és egy diszkontár.

Az eredeti ár a kisebb mennyiséget vásárlóknál érvényes, az alacsonyabb árpedig egy meghatározott mennyiségnél – a diszkontküszöbnél – többet vásárlók-nál lép érvénybe. Lehetséges egynél több csökkentett ár is. Ilyenkor fokozatosancsökkenı eladási árral ösztönzi az eladó a vásárlót minél nagyobb mennyiségbeszerzésére. A beszerzési ár alakulását szemlélteti proporcionális árkedvez-ménynél a 4.11. ábra.

4.11. ábra: Proporcionális árkedvezmény

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.8. A MENNYISÉGTİL FÜGGİ ÁRKEDVEZMÉNY FIGYELEMBEVÉTELE. . . 139

Az ábrán egy eredeti ár (v0) és két diszkontár (v1, v2) látható. Ha a vásárolt

mennyiség az elsı diszkontküszöb (Q(d)1 ) alatt van, akkor az eredeti fajlagos

beszerzési ár érvényes, tehát Q darab rendelésekor a kifizetendı összeg Qv0. Haa vásárolt mennyiség a két diszkontküszöb közé esik, akkor a fajlagos eladási ár

v1, míg ha a vásárolt mennyiség nagyobb a második diszkontküszöbnél (Q(d)2 ),

akkor a fajlagos eladási ár v2.Az optimális rendelésitétel-nagyság proporcionális árkedvezmény melletti

meghatározásakor hasonlóan kell eljárni, mint az árkedvezmény nélküli esetben:minimalizálni kell a teljes költségfüggvényt. A teljes költségfüggvény ilyenkorannyi részre bontható, ahány beszerzési ár van. Minden egyes árhoz felírható egyköltségfüggvény, de mindegyik csak a rendelésitétel-nagyság egy meghatározotttartományában lesz érvényes. Egyetlen diszkontárnál a teljes költségfüggvénya következıképpen alakul, feltételezve, hogy a diszkontár d százalék árkedvez-ményt jelent:

T K{Q} =

{

Dv0 + A DQ + Q

2 v0r Q ≤ Q(d)

Dv0(1 − d) + A DQ + Q

2 v0(1 − d)r Q(d) < Q

A teljes költségfüggvény alakulását szemlélteti két diszkontár esetén a 4.12. ábra.

4. 12. ábra: A teljes költség alakulása proporcionális árkedvezménynél(D = 3600 db/év; A = 12 000 Ft; v0 = 2500 Ft/db; r = 0,6 Ft/Ft/év

Q(d)1 = 200 db; v1 = 2250 Ft/db; Q(d)

2 = 700 db; v2 = 2000 Ft/db)

Az eredeti ár 2500 Ft/darab, amely 200 darabnál kisebb rendelésekre érvényes.Az ábrán a felsı folytonos vonallal jelölt költségfüggvény vastag vonallal jelöltszakasza írja le a teljes költségfüggvény alakulását ebben a tartományban. A

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



200 és 700 darab közé esı rendelésekre az árkedvezmény 10% (d = 0,1), teháta csökkentett ár 2250 Ft/db. Ezen a szakaszon a teljes költségfüggvényt a kö-zépsı költségfüggvény vastagon rajzolt szakasza jelöli. Végül 700 darab felettimennyiségekre az árkedvezmény 20% (d = 0,2), tehát a csökkentett ár 2000 Ft/db.Ezen a szakaszon a teljes költségfüggvényt a röviden szaggatott vonallal raj-zolt költségfüggvény vastagon rajzolt szakasza jelöli. A teljes költségfüggvényminimumának meghatározása ebben az esetben a vastagon jelölt szakaszokbólösszetett függvény minimumának a meghatározását jelenti.

A proporcionális árkedvezményre felírt teljes költségfüggvény Q szerinti mi-nimumának meghatározása egyszerő differenciálszámítással nem végezhetı el,de a függvény jellegét tanulmányozva könnyen megtalálható az optimális ren-delési mennyiség. A teljes költségfüggvény két részre bomlik: a Q(d)-nél kisebbmennyiségekre egy v0 árral számolt költségfüggvény, míg a Q(d)-nél nagyobbmennyiségekre egy v1 = v0(1 − d) árral számolt költségfüggvény érvényes. Jelöljea két költségfüggvényt T K{Q, v0} és T K{Q, v1}, tehát:

T K{Q, v0} = Dv0 + AD

Q+

Q

2v0r és T K{Q, v1} = Dv0(1 − d) + A

D

Q+

Q

2v0(1 − d)r

Belátható, hogy miután 0 ≤ d ≤ 1, minden Q-ra igaz, hogy T K{Q, v1} ≤T K{Q, v0}. Mindkét költségfüggvény Q szerinti minimuma könnyen meghatá-rozható, hiszen két optimális rendelésitétel-nagyság meghatározásáról van szó,két eltérı ár mellett. A kapott optimumok az eredeti és a diszkontárral számolvarendre a következık:

E O Q =

√

2AD

v0rés E O Q(d) =

√

2AD

v0(1 − d)r

Belátható, hogy miután 0≤d ≤1, E O Q ≤ E O Q(d) , tehát az eredeti áron számoltoptimális rendelésitétel-nagyság kisebb, mint a diszkontáron számolt optimálisrendelésitétel-nagyság. A T K{Q, v0} és T K{Q, v1} függvények felhasználásávalképzett T K{Q} teljes költségfüggvény minimumát az határozza meg, hogy mi-kortól érvényes az árkedvezmény, tehát, hogy milyen rendelésitétel-nagyságnálkell átugrani a T K{Q, v0} függvényrıl a T K{Q, v1} függvényre. Az elıbbiek-ben indokolt T K{Q, v1} ≤ T K{Q, v0} és E O Q ≤ E O Q(d) összefüggések alapjánegyetlen diszkontárat tartalmazó proporcionális árkedvezménynél az optimálisrendelésitétel-nagyság a diszkontküszöb értékétıl függıen a következı szabályalapján határozható meg:

1. Ha Q(d) ≤ E O Q(d), akkor Qopt = E O Q(d)

2. Ha E O Q(d) < Q(d), akkor Qopt ={

E O Q ha T K{E O Q, v0} ≤ T K{Q(d), v1}Q(d) ha T K{E O Q, v0} > T K{Q(d), v1}

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A látszólag bonyolult matematikai jelölések igen egyszerő gondolatmenetettartalmaznak:

1. Ha a diszkontárhoz (v1) tartozó optimális rendelésitétel-nagyság után jár azalacsonyabb ár (Q(d) ≤ E O Q(d)), akkor rendeljük az alacsonyabb árhoz tartozóoptimális rendelésitétel-nagyságot, tehát E O Q(d)-t.

2. Ha a diszkontárhoz (v1) tartozó optimális rendelésitétel-nagyság után nem járaz alacsonyabb ár (E O Q(d) < Q(d)), akkor nem kapjuk meg alacsonyabb áron azalacsonyabb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságot. A magasabb áronviszont ez a mennyiség nem lesz optimális. Ilyenkor az a kérdés, hogy érdemes-eigénybe venni az árkedvezményt nem optimális mennyiséget rendelve, vagy in-kább rendeljük az eredeti ár melletti optimumot. Az alacsonyabb áron rendeltnem optimális mennyiségek közül az optimumhoz képest legkisebb költségnö-vekedést a diszkontmennyiség rendelése jelenti. Ezért össze kell hasonlítaniaz eredeti árhoz tartozó optimális tételnagyság teljes költségét (T K{E O Q, v0})a diszkontküszöb diszkontárhoz tartozó teljes költségével (T K{Q(d), v1} és azalacsonyabb költséghez tartozó mennyiséget kell rendelni. Tehát vagy az ere-deti ár mellett számolt optimális rendelésitétel-nagyságot (E O Q), vagy pedig azalacsonyabb áron rendelhetı legkisebb mennyiséget (Q(d)) kell megrendelni.

Több diszkontárnál az egyetlen diszkontár mellett alkalmazott gondolatmenetáltalánosítva alkalmazható. Ilyenkor azt vizsgáljuk, hogy fokozatosan a kö-vetkezı diszkonttartomány árkedvezményét igénybe vegyük-e, vagy sem. Haa vizsgált tartományhoz tartozó diszkontárral számolt optimális rendelésitétel-nagyság megrendelhetı a figyelembe vett árkedvezmény mellett, akkor azt kellrendelni. Ha nem jár a kapott optimális tételnagyságra a vélt árkedvezmény,akkor vagy a tartomány alsó határán lévı mennyiséget rendeljük, vagy az elı-zı szakaszra kapott optimális rendelésitétel-nagyságot rendeljük attól függıen,hogy melyik mennyiséghez tartozik a kisebb teljes költség.

A következı példa a proporcionális árkedvezmény melletti optimálisrendelésitétel-nagyság számítását szemlélteti a 4.12. ábra adatainak felhasz-nálásával. Legyen tehát egy termék iránt jelentkezı igény egy évben átlagosan3600 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft,az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal. A4.4. fejezetben ezt a feladatott már megoldottuk, és az optimális rendelésitétel-nagyság értékére 240 darabot kaptunk. Felvetıdik a kérdés, hogy ha a szállítóproporcionális árkedvezményt ajánl, akkor érdemes-e nagyobb mennyiséget ren-delni. A szállító ajánlata a következı: ha a rendelt mennyiség 200 darab és 700darab közé esik, akkor az eredeti árból 10 %-ot enged, ha 700 darabnál többetrendelünk, akkor az eredeti árból 20%-ot enged.

Az árkedvezménnyel tehát arra ösztönöz a szállító,hogyaz eredetileg optimális240 darabnál többet rendeljünk. Az eredeti 2500 Ft/db eladási árat 2250 Ft/db-ramérsékli, ha többet rendelünk 200 darabnál, és 2000 Ft/db-ra mérsékli, ha 700darabnál is többet rendelünk. Ezek az árkedvezmények a teljes megrendelt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



mennyiségre vonatkoznak. Ha tehát 1000 darab a megrendelt tétel, akkor mindenegyes darabért 2000 forintot kell fizetni.

Elıször vizsgáljuk meg, hogy érdemes-e igénybe venni a 10 %-os árked-vezményt, tehát kompenzál-e az árkedvezmény azért, hogy nem az eredetilegoptimális 240 darabot rendeljük. 2250 Ft/db-os beszerzési árnál az optimálisrendelésitétel-nagyság a következı:

E O Q(d)1 =

√

2AD

v0(1 − d1)r=

√

2 · 12 000 · 36002500 · (1 − 0,1) · 0,6

= 252,98 darab

A 2250 forintos egységár mellett tehát 253 darab rendelése lenne az optimális,és ezért a mennyiségért jár is a 10% árkedvezmény, mert 200 és 700 darab közéesik. A 4.12. ábrán jól látható, hogy a rendelésitétel-nagyság [200,700] szakaszána teljes költségfüggvény (a vastag vonallal jelölt rész) minimuma tényleg a 2250forintos árhoz tartozó optimumnál van.

Vizsgáljuk most meg azt, hogy érdemes-e ennél is többet rendelni. Ha 700darabnál nagyobb mennyiséget rendelünk, akkor az árkedvezmény 20%. 2000Ft/db-os beszerzési árnál az optimális rendelésitétel-nagyság a következı:

E O Q(d)2 =

√

2AD

v0(1 − d2)r=

√

2 · 12 000 · 36002500 · (1 − 0,2) · 0,6

= 268,33 darab

A 2000 forintos egységár mellett tehát 268 darab rendelése lenne az optimá-lis, de ezért a mennyiségért nem jár 20% árkedvezmény, mert kevesebb, mint700 darab. A 4.12. ábrán jól látható, hogy a teljes költségfüggvény a [700,∞]szakaszon (a vastag vonallal jelölt rész) nem tartalmazza a 20%-os kedvezmény-hez tartozó optimumot. Azt kell a továbbiakban megvizsgálni, hogy érdemes-eigénybe venni a 20%-os árkedvezményt nem optimális mennyiség rendelésével.Az ábrán látható, hogy a teljes költségfüggvény legalacsonyabb értéke a 20%-os

árkedvezményhez tartozó szakaszon a Q(d)2 = 700 darabnál található. Rendeljünk

tehát 700 darabot 2000 Ft/db áron, vagy rendeljük inkább az eddig kapott legked-vezıbb tételnagyságot, tehát 253 darabot 2250 Ft/db áron? Ennek eldöntéséhezmeg kell vizsgálni, hogy melyik tételnagysághoz tartozik az alacsonyabb teljesköltség:

T K{253,2250} = 3600 · 2250 + 12 000 ·3600253

+2532

· 2250 · 0,6 = 8441,53 eFt

T K{700,2000} = 3600 · 2000 + 12 000 ·3600700

+7002

· 2000 · 0,6 = 7681,71 eFt

A kapott eredmény alapján tehát érdemesebb a legalacsonyabb ár diszkont-küszöbéhez tartozó mennyiséget rendelni, tehát 700 darabot. A 4.12. ábrán is

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



látható, hogy a teljes költségfüggvény (a teljes tartományon a vastagon jelölt sza-kaszok) minimuma 700 darabnál található. Azt is érzékelhetjük, hogy akkor lennea 253 darabos rendelés optimális, ha a 20%-os árkedvezmény csak nagyon nagyrendelési tétel után járna.

4.8.2. Növekmény jellegő árkedvezmény

Növekmény jellegő árkedvezményrıl akkor beszélünk, ha egy meghatározottmennyiség – a diszkontküszöb – felett csökken az eladási ár. Ebben az esetbena rendelt tétel egyik részét – a diszkontküszöb alatti mennyiséget – az eredetiáron, míg a másik részét – a diszkontküszöb feletti mennyiséget – csökkentettáron vásároljuk. A proporcionális árkedvezménnyel szemben most nem mindenegyes darabra jár a csökkentett ár, csak a diszkontküszöb feletti mennyiségre.Lehetséges egynél több csökkentett ár is. Ilyenkor fokozatosan csökkenı eladásiárral ösztönzi az eladó a vásárlót minél nagyobb mennyiség vásárlására. Abeszerzési ár alakulását szemlélteti proporcionális árkedvezménynél a 4.13. ábra.

4.13. Ábra: Növekmény jellegő árkedvezmény

Az ábrán egy eredeti ár (v0) és egy diszkontár (v1) látható. Ha a vásároltmennyiség a diszkontküszöbnél (Q(d)) kisebb, akkor az eredeti fajlagos beszerzésiár érvényes, tehát Q darab vásárlásakor a kifizetendı összeg Qv0. Ha a vásároltmennyiség a diszkontküszöbnél nagyobb, akkor a fajlagos eladási ár v1, és abeszerzési költség két részre bomlik: az eredeti áron vett Q(d) mennyiség költségev0Q(d), a v1 áron vett Q − Q(d) mennyiség költsége pedig v1 · (Q − Q(d)). A4.13. ábrán látható, hogy a beszerzési költség a rendelt mennyiség növekedésével

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



szigorúan monoton nı, ellentétben a 4.11. ábrával, ahol a beszerzési költséga diszkontküszöböknél lecsökken. A beszerzési költség állandó – bár nemugyanolyan ütemő – növekedése miatt hívják ezt az árkedvezményt növekvıjellegőnek.

Az optimális rendelésitétel-nagyság proporcionális árkedvezmény mellettimeghatározásakor hasonlóan kell eljárni, mint az árkedvezmény nélküli esetben;minimalizálni kell a teljes költségfüggvényt. A teljes költségfüggvény ismét annyirészre bontható, ahány beszerzési ár létezik. Az egyes részfüggvények felírásánálazt kell figyelembe venni, hogy a rendelt tétel több eltérı áron vásárolt részrebomlik, aminek a beszerzési költségre és a készlettartási költségre egyaránt hatásavan. Egyetlen diszkontárnál a teljes költségfüggvény a következı módon alakul,feltételezve, hogy a diszkontár d százalék árkedvezményt jelent:

T K{Q} =

Dv0 + A DQ + Q

2 v0r Q ≤ Q(d)

DQ

[

Q(d)v0 + (Q − Q(d))v0(1 − d)]

+ A DQ +

+ Q(d)

2 v0r + Q−Q(d)

2 v0(1 − d)r Q(d)

< Q

A teljes költségfüggvény alakulását szemlélteti két diszkontár esetén a 4.14.ábra.

4. 14. ábra: A teljes költség alakulása növekmény jellegő árkedvezménynél(D = 3600 db/év; A = 12 000 Ft; v0 = 2500 Ft/db; r = 0,6 Ft/Ft/év

Q(d) = 700 db; v1 = 2000 Ft/db; v ′1 = 2400 Ft/db

Q(d)′ = 200 db; v ′1 = 2400 Ft/db)

Az eredeti ár 2500 Ft/darab, amely 700 darabnál kisebb rendelésekre érvényes.Az ábrán a folyamatos vonallal jelölt költségfüggvény vastag vonallal jelölt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



szakasza írja le a teljes költségfüggvény alakulását ebben a tartományban. A700 darabnál nagyobb rendeléseknél 20% árkedvezmény jár a 700 darab felettimennyiségre, tehát egy ilyen nagy rendelési tétel két részre bomlik, 700 darabot2500 Ft/db beszerzési áron, míg a 700 darab feletti mennyiséget 2000 Ft/dbbeszerzési áron vásároljuk. Az alacsonyabb ár miatt 700 darabnál a teljesköltségfüggvény megtörik és az eredeti árhoz tartozó költségfüggvény alatthalad. Az ábrán a röviden szaggatott vonal, valamint középen futó vonalmutatja a teljes költségfüggvény alakulását a 700 darab feletti tartományban kétkülönbözı eladási árnál (v1 = 2000 Ft/db, v ′

1 = 2400 Ft/db).Észrevehetjük, hogy a teljes költségfüggvény a diszkontküszöbhöz tartozó

mennyiség elérésekor nema proporcionális árkedvezménynél tapasztalt ugrással,hanem töréssel megy át az alacsonyabb beszerzési árú szakaszba. Ennek oka, hogya beszerzési költség is szigorúan monoton növekszik, ellentétben a proporcionálisárkedvezménynél tapasztalt ugrással.

A növekmény jellegő árkedvezményre felírt teljes költségfüggvény Q szerintiminimumának meghatározása egyszerő differenciálszámítással nem végezhetıel, de a függvény jellegét tanulmányozva könnyen megtalálható az optimálisrendelésimennyiség. A teljes költségfüggvény két részrebomlik: a Q(d)-nél kisebbmennyiségekre egy v0 árral számolt költségfüggvény, míg a Q(d)-nél nagyobbmennyiségekre egy v1 = v0(1 − d) árral számolt bonyolultabb költségfüggvényérvényes. Jelölje a két költségfüggvényt T K{Q, v0} és T K{Q, v1}, tehát:

T K{Q, v0} = Dv0 + AD

Q+

Q

2v0r

T K{Q, v1} =D

Q[Q(d)v0 + (Q − Q(d))v0(1 − d)] + A

D

Q+

Q(d)

2v0r +

Q − Q(d)

2v0(1 − d)r

Belátható, hogy miután 0 ≤ d ≤ 1, minden Q-ra igaz, hogy T K{Q, v1} ≤T K{Q, v0}. Mindkét költségfüggvény Q szerinti minimuma meghatározható aQ szerinti deriváltak meghatározásával. A kapott optimumok az eredeti és adiszkontárral számolva rendre a következık:

E O Q =

√

2AD

v0rés E O Q(d) =

√

2D(

A + Q(d)v0d)

v0(1 − d)r

Az E O Q(d)-re kapott összefüggést megvizsgálva úgy tőnik, hogy az optimálisrendelésitétel-nagyság a v0(1−d) csökkentett ár és egy Q(d)v0d-vel növelt rendelésiköltség eredménye. A rendelési költség látszólagos növekedése onnan ered,hogy minden tételnek csak egy részét – a Q(d) feletti mennyiséget – vásároljukcsökkentett áron. Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy a teljes tételt csökkentett áronvesszük, de a Q(d) mennyiséghez az eredeti és csökkentett ár különbségébıl

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



eredı többletköltség tartozik, ami éppen Q(d)v0d . Miután ez minden rendeléskorfelmerül, hozzáadható a rendelési költséghez.

Belátható, hogy ha 0 ≤ d ≤ 1, akkor E O Q ≤ E O Q(d), tehát az eredeti áronszámolt optimális rendelésitétel-nagyság kisebb, mint a diszkontárhoz tartozóoptimális rendelésitétel-nagyság.

A T K{Q} teljes költségfüggvény minimuma attól függ, hogy az eredeti ár-hoz tartozó költségfüggvény növekvı vagy csökkenı szakaszában található-e adiszkontküszöb, és hogy a csökkentett árhoz tartozó költségfüggvény a disz-kontküszöb után növekszik vagy csökken. Miután T K{Q, v1} ≤ T K{Q, v0}, haa diszkontküszöb a T K{Q, v0} függvény csökkenı szakaszában található, akkora csökkentett árhoz tartozó költségfüggvény a diszkontküszöb után lefelé halad,tehát még nem érte el a minimumát (E O Q(d)). Ha a diszkontküszöb a T K{Q, v0}függvény növekvı szakaszában található, akkor a csökkentett árhoz tartozó költ-ségfüggvény a diszkontküszöb után lefelé, a minimum (E O Q(d)) irányába ésfelfelé egyaránt haladhat függıen az árkedvezmény nagyságától.

E megfontolásokat figyelembe véve növekmény jellegő árkedvezménynél azoptimális rendelésitétel-nagyság a diszkontküszöb értékétıl függıen a következıszabály alapján határozható meg:

1. Ha Q(d) ≤ E O Q, akkor Qopt = E O Q(d)

2. Ha E O Q < Q(d) ≤ E O Q(d), akkor

Qopt ={

E O Q, ha T K{E O Q, v0} ≤ T K{E O Q(d), v1}E O Q(d), ha T K{E O Q, v0} > T K{E O Q(d), v1}

3. Ha E O Q(d) ≤ Q(d), akkor Qopt = E O Q

A látszólag bonyolult matematikai jelölések igen egyszerő gondolatmenetettartalmaznak:

1.) Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) kisebb, mint az ere-deti árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság (E O Q), akkor rendeljük azalacsonyabb árhoz tartozó rendelésitétel-nagyságot (E O Q(d)). Ennek oka, hogyaz árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvény csökkenı sza-kaszán kezdıdik. A diszkontküszöbhöz tartozó ponttól a teljes költségfüggvényaz alacsonyabb ár miatt továbbra is csökkeni fog, mert T K{Q, v1} ≤ T K{Q, v0},és minimumát az alacsonyabb árhoz tartozó optimumnál éri el (E O Q(d)).

2.) Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) az eredeti (E O Q)és a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok (E O Q(d)) közéesik, akkor az árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvénynövekvı szakaszában kezdıdik. A diszkontküszöbhöz tartozó ponttól a teljesköltségfüggvény a T K{Q, v1} ≤ T K{Q, v0} összefüggés miatt az eredeti árhoztartozó költségfüggvény alatt halad tovább, de miután minimumát még nemérte el (Q(d) ≤ E O Q(d)), csak csökkenhet. Ezért a teljes költségfüggvénynek két

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



lokális minimuma lesz – E O Q és E O Q(d) –, és a kettı közül az alacsonyabb teljesköltségőt kell kiválasztani.

3.) Ha az árkedvezményhez tartozó diszkontküszöb (Q(d)) nagyobb, mint acsökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság (E O Q(d)), akkor azE O Q(d) ≥ E O Q összefüggés miatt túl van az eredeti árhoz tartozó optimu-mon is, tehát az árkedvezmény az eredeti árhoz tartozó teljes költségfüggvénynövekvı szakaszában kezdıdik. A diszkontküszöbhöz tartozó ponttól a teljesköltségfüggvény a T K{Q, v1} ≤ T K{Q, v0} összefüggés miatt az eredeti árhoztartozó költségfüggvény alatt halad tovább, de miután már túl van a minimumán(E O Q(d) ≤ Q(d)), csak növekedhet. Ebben az esetben a teljes költségfüggvény mi-nimuma megegyezik az eredeti árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagysággal(E O Q).

Több diszkontárnál az egyetlen diszkontár mellett alkalmazott gondolatme-net általánosítva alkalmazható. Az eredménybıl láthattuk, hogy vagy az ere-deti árhoz, vagy a csökkentett árhoz tartozó optimumot rendeltük. Ezért többcsökkentett árnál valamennyi árhoz ki kell számolni az optimális rendelésitétel-nagyságot. Ezek közül ki kell választani azokat, amelyek a diszkontküszöbökmiatt ténylegesen meg is rendelhetık a számításnál felhasznált csökkentett áron.Az így megmaradt rendelhetı optimális rendelésitétel-nagyságok közül a legki-sebb teljes költségő lesz az optimális rendelésitétel-nagyság. Több csökkentettárnál az egyes árakhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok meghatározá-sakor figyelembe kell venni, hogy a rendelési tétel annyi részre bontható, ahányár létezik. Például két csökkentett árnál a rendelési tétel három részre bontható,amelyek beszerzési költségei rendre a következık: Q(d)

1 v0, (Q(d)2 − Q(d)

1 )v0(1−d1) és

(Q − Q(d)2 )v0(1−d2). Az egyes árakhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok

közül az eredeti és az elsı csökkentett árhoz tartozó formulát korábban ismertet-tük. A második diszkontárhoz tartozó formula felírható a korábban ismertetettalapelv szerint. Tehát vesszük a második csökkentett árat, ami v0(1−d2), valamintmegnöveljük a rendelési költséget a rendelési tétel v0(1 − d2) beszerzési árhozviszonyított többletköltségével. A rendelési tétel elsı részénél a többletköltség

Q(d)1 v0d1, a tétel második részénél pedig a többletköltség (Q(d)

2 − Q(d)1 )v0(d2 − d1).

Ezt felhasználva a legkisebb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság akövetkezı:

E O Q(d)2 =

√

2D(A + Q(d)1 v0d1 + Q(d)

2 v0d2 − Q(d)2 v0d1)

v0(1 − d2)r

Kettınél több csökkentett árnál az egyes árak optimális rendelésitétel-nagyságformulái ugyanezen az elven írhatók fel, csak több eltérı árú optimálisrendelésitétel-nagyság részt kell figyelembe venni.

A következı példa a növekmény jellegő árkedvezmény melletti optimálisrendelésitétel-nagyság számítását szemlélteti a 4.14. ábra adatainak felhasználá-sával. Legyen tehát egy termék iránt jelentkezı igény egy évben átlagosan 3600

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, azéves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal. A 4.4.fejezetben ezt a feladatot már megoldottuk és az optimális rendelésitétel-nagyságértékére 240 darabot kaptunk. Felvetıdik a kérdés, hogy ha a szállító növekményjellegő árkedvezményt ajánl, akkor érdemes-e nagyobb mennyiséget rendelni.A szállító ajánlata a következı: ha a rendelt mennyiség 700 darabnál nagyobb,akkor az eredeti árból 20 %-ot enged a 700 darab feletti mennyiségre.

Az árkedvezménnyel tehát arra ösztönöz a szállító,hogyaz eredetileg optimális240 darabnál többet vásároljunk. Az eredeti 2500 Ft/db eladási árat 2000 Ft/db-ramérsékeli, de nem minden darabra, csak a 700 darab feletti mennyiségre.

Határozzuk meg az alacsonyabb árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságot:

E O Q(d)1 =

√

2D(

A + Q(d)v0d)

v0(1 − d)r=

=

√

2 · 3600 · (12 000 + 700 · 2500 · 0,2)2500 · (1 − 0,2) · 0,6

= 1473,77 darab

Az árkedvezmény 700 darabnál nagyobb mennyiségekre jár csak, tehát adiszkontküszöb 240 és 1474 közé esik. Ez azt jelenti, hogy a teljes költségfüggvényQ = 700 darab után lefelé halad, amint azt a 4.14. ábra röviden szaggatott vonalamutatja. Azt kell tehát eldönteni, hogy a 240 darabos rendelés 2500 Ft/dbegységáron, vagy az 1474 darabos rendelés 2000 Ft/db egységáron kedvezıbb-e.Ehhez meg kell határozni a teljes költségfüggvény értékét mind a két rendelésimennyiségre:

T K{240,2500} = Dv0 + AD

Q+

Q

2v0r =

= 3600 · 2500 + 12 000 ·3600240

+2402

· 2500 · 0,6 =

= 9000 eFt + 180 eFt + 180 eFt = 9360 eF

T K{1474,2000} =D

Q

[

Q(d)v0 + (Q − Q(d))v0(1 − d)]

+ AD

Q+

+Q(d)

2v0r +

Q − Q(d)

2v0(1 − d)r =

=36001474

· [700 · 2500 + (1474 − 700) · 2500 · (1 − 0,2)] + 12 000 ·36001474

+

+7002

· 2500 · 0,6 +1474 − 700

2· 2500 · (1 − 0,2) · 0,6 =

= 8054,8 eFt + 29,3 eFt + 989,4 eFt = 9073,52 eFt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az eredménybıl látható, hogy 1474 darab rendelése kisebb teljes költségeteredményez, így ez az optimális rendelésitétel-nagyság.

Vizsgáljuk meg, mi történne akkor, ha az eladó nem 20%, hanem csak 4%árkedvezményt ajánlana a 700 darab feletti vásárlásokra. Ekkor a csökkentettár 2400 Ft/db, és a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság akövetkezı:

E O Q(d)1 =

√

2D(

A + Q(d)v0d)

v0(1 − d)r=

√

2 · 3600 · (12 000 + 700 · 2500 · 0,04)2500 · (1 − 0,04) · 0,6

=

= 640,31 darab

Ebben az esetben a diszkontküszöb (700) mind az eredeti árhoz (240), mindpedig a csökkentett árhoz tartozó optimumnál (640) nagyobb. A teljes költség-függvény most Q = 700 darab után csak felfelé haladhat, amint azt a 4.14. ábraközépen futó szakasza mutatja. Az optimális rendelésitétel-nagyság ebben azesetben 240 darab lesz, mert olyan kismértékő az árkedvezmény, hogy az nemkompenzál a nagyobb mennyiség miatt megnövekedı készlettartási költségekért.

Mi történne akkor, ha a 4% árkedvezmény már 200 darab feletti mennyiségekrejárna? Ebben az esetben a csökkentett árhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyság:

E O Q(d)1 =

√

2D(

A + Q(d)v0d)

v0(1 − d)r=

√

2 · 3600 · (12 000 + 200 · 2500 · 0,04)2500 · (1 − 0,04) · 0,6

=

= 400 darab

Most a diszkontküszöb (200) kisebb mind az eredeti (240), mind pedig a csök-kentett árhoz tartozó optimumnál (400), ezért a teljes költségfüggvény minimuma400 darabnál lesz, amint azt a 4.14. ábra vegyesen szaggatott vonala mutatja. Eb-ben az esetben tehát érdemes elfogadni az árkedvezményt, és a csökkentett árhoztartozó optimális mennyiséget kell rendelni.

A mennyiségtıl függı árkedvezmény kapcsán két jellegzetes diszkont vál-tozatot ismertettünk, a proporcionális árkedvezményt, valamint a növekményjellegő árkedvezményt. A gyakorlatban nagyon sokféle árkedvezmény léte-zik, de minden esetben az itt bemutatott elvek alapján számítható az optimálisrendelésitétel-nagyság: meg kell határozni a teljes költségfüggvényt, majd ezt kö-vetıen az egyes árakhoz tartozó optimális rendelésitétel-nagyságok, valamint ateljesköltség-függvény részeknek a diszkontmennyiségek helyén lévı kapcsolataalapján megállapítható az optimális rendelésitétel-nagyság.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



4.9. A RENDELÉSI KÉSZLETSZINT MEGHATÁROZÁSA

Az elızı fejezetekben arra a kérdésre adtunk választ, hogy mennyit rendeljünk.E fejezetben arra a kérdésre válaszolunk, hogy mikor rendeljünk. Változatlanulazt feltételezzük, hogy az igény ismert és állandó. Ez a feltétel leegyszerősíti aproblémát, mert ha pontosan ismert az igény, akkor ki lehet számolni, hogy azutánrendelési idı alatt mennyi fogy. Olyankor kell tehát rendelni, amikor mégéppen annyi van raktáron, amennyi elegendı az utánrendelési idı alatti igénykielégítésére. Ennek egyik szélsı esetével találkozhattunk az elızı fejezetekben,amikor azzal a feltételezéssel éltünk, hogy az utánrendelési idı zéró (L = 0).Ilyenkor azonnal megjön a rendelt mennyiség, tehát akkor kell rendelni, amikora készletszint éppen zéró.

Úgy kell idızíteni a rendelést, hogy az éppen akkor érkezzen meg, amikora készletszint lecsökken nullára. A készletrendelés idejét úgy kapjuk meg,hogy visszamérünk a zéró készletszint idıpontjától L idıtartamot. Célszerőbbazonban azt megmondani, hogy milyen készletszintnél rendeljünk, ezért megkell határozni, hogy a rendelés idejéhez milyen készletszint tartozik. Két esetetkell megkülönböztetni. Amikor egy rendelési ciklusban feladott rendelés mégugyanabban a ciklusban (a ciklus végén) megérkezik, a 4.15. ábra felsı része alapjána rendelési készletszint az utánrendelési idı alatt elfogyott mennyiség értékévelazonos, tehát:

s = L D ha L ≤ TE O Q

Ha az utánrendelési idı hosszabb, mint egy rendelési ciklus, akkor a megren-delt mennyiség egy késıbbi ciklusban érkezik meg. Ilyenkor is úgy kell ütemeznia rendelést, hogy az éppen a zéró készletszintnél érkezzen meg. A 4.15. ábraalsó része szemlélteti ezt az esetet. Látható, hogy ilyenkor azt kell megvizs-gálni, hogy az utánrendelési idı hány egész rendelési ciklust tartalmaz. Ezek azutánrendelési idı által lefedett egész rendelési ciklusok az utánrendelési készlet-szint számítását nem befolyásolják. A számításnál csak a lefedett egész ciklusokután fennmaradó részt kell figyelembe venni, amit L ′-vel jelölünk és értékét akövetkezı módon számoljuk:

L ′ = L −⌈

L

TE O Q

⌉

· TE O Q

ahol a szögletes zárójel a hányados egészértékét jelöli, ami éppen a lefedett egészrendelési ciklusok száma. Ezt felhasználva a rendelési készletszint az elızıesethez hasonlóan számolható, tehát:

s = L ′ D, ha L > TE O Q

Határozzuk meg elıször a legegyszerőbb (termelési ráta nélküli) esetre az után-rendelési készletszint nagyságát. A problémát a 4.15. ábra szemlélteti.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.9. A RENDELÉSI KÉSZLETSZINT MEGHATÁROZÁSA 151

TEOQ

L

s

Készletszint

D

TEOQ

L’

L

Készletszint

s

D

L TEOQ

s=LD

TEOQ<L

s=L’D

<T

s

4.15. ábra: A rendelési készletszint számítása

Azutánrendelési készletszint számítását a 4.4. fejezetbenmárhasznált példávalszemléltetjük. Legyen egy termék iránt jelentkezı igény egy évben átlagosan 3600darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, azéves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal. A4.4. fejezetben kiszámoltuk, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság 240 darab(E O Q) és a rendelési ciklus hossza 24 nap (TE O Q).

Határozzuk meg, hogy milyen készletszintnél kell megrendelni a 240 darabostételt, ha a megrendelt mennyiség 15 nap múlva érkezik meg, tehát L = 15.Miután esetünkben L < TE O Q , az utánrendelési készletszint a következı módonszámolható:

s = L D = 15 ·3600360

= 150 darab

A számításnál figyelembe kellett venni, hogy az utánrendelési idıt napokbanismerjük, míg az igény egy évre vonatkozik. Az optimális rendelési politikaszerint tehát minden alkalommal, amikor a készletszint lecsökken 150 darabra,rendelni kell 240 darab terméket.

Vizsgáljuk meg, hogyan alakul az utánrendelési készletszint, ha az utánren-delési idı 50 nap, tehát L = 50. Ebben az esetben L > TE O Q , ezért meg kell

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



határozni a számításnál figyelembe veendı L ′ értékét:

L ′ = L −⌈

L

TE O Q

⌉

· TE O Q = 50 −⌈

5024

⌉

· 24 = 50 − 2 · 24 = 2 nap

A számításból látható, hogy az utánrendelési idı két teljes rendelési ciklusttartalmaz, és a fennmaradó idı két nap, tehát a rendelési készletszint a követ-kezıképpen számolható:

s = L ′ D = 2 ·3600360

= 20 darab

Ebben az esetben akkor kell a 240 darabos rendelést feladni, amikor a készlet-szint 20 darabra csökken.

A kapott eredmény látszólag ellentmond a józan megfontolásnak. Miért rende-lünk alacsonyabb készletszintnél akkor, amikor az utánrendelési idı hosszabb?Logikusan azt gondolhatnánk, hogy ha tovább kell a feladott rendelésre vára-kozni, akkor magasabb készletszintnél kell feladni a rendelést. Az ellentmondáscsak látszólagos, a hosszú utánrendelési idı akkor indokol magasabb rendelésikészletszintet, ha a hosszabb idı egyben nagyobb bizonytalanságot is jelent. Mi-után azonban esetünkben az igény pontosan ismert, bizonytalanság nincs. (Akövetkezı (4.10.) fejezetben a biztonsági készletek számításánál az utánrende-lési idı megnövekedése miatti bizonytalanságnövekedést is figyelembe fogjukvenni.)

Határozzuk most meg az utánrendelési készletszint alakulását, ha a beszállításütemét termelési ráta határozza meg. A problémát a 4.16. ábra szemlélteti.

Az elızı esethez képest a változás csak annyi, hogy most a rendelés feladá-sának ideje a készletnövekedés, valamint a készletcsökkenés fázisába eshet. A4.16. ábra felsı része egy olyan esetet mutat, ahol a rendelés a készletcsökke-nés fázisába esik, míg az ábra alsó részén a rendelés a készletnövekedés fázisábaesik. Ismét figyelembe kell venni továbbá, hogy a megrendelt mennyiség a ren-delés feladásának ciklusában megérkezik-e, vagy csak egy késıbbiben, és ennekmegfelelıen kell használni a számításnál az L, vagy L ′ értéket. A 4.16. ábra alap-ján az utánrendelési készletszint számításának összefüggései a következıképpenfoglalhatók össze:

s = L D ha L ≤ TE O Q és L ≤ t2s = (TE O Q − L) · (P − D) ha L ≤ TE O Q és L > t2s = L ′D ha L > TE O Q és L ′ ≤ t2s = (TE O Q − L ′) · (P − D) ha L > TE O Q és L ′ > t2

Az utánrendelési készletszint számítását a 4.7. fejezetben már használt példávalszemléltetjük. Legyen tehát egy termék iránt jelentkezı igény egy évben átlagosan3600darab. Az átállási költség 12 000 Ft és a termékbıl 40 darabkészül el naponta.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.9. A RENDELÉSI KÉSZLETSZINT MEGHATÁROZÁSA 153

Egy darab gyártási költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunkközelítıleg évi 360 munkanappal. A 4.7. fejezetben kiszámoltuk, hogy azoptimális rendelésitétel-nagyság 277 darab (E O Q) és a rendelési ciklus hossza27,7 nap (TE O Q). Ugyancsak meghatároztuk a készletnövekedés (t1) idıtartamát,amely 6,93 nap, valamint a készletcsökkenés idıtartamát (t2), amely 20,77 nap.Számoljuk ki, hogy milyen készletszintnél kellene megrendelni a 277 darabostételt, ha a megrendelt mennyiség 15 nap múlva érkezik meg, tehát L = 15.

Készletszint

P-D D

t1 t2

TEOQ

L’

L

s

t1 t2

L

TEOQ

s

Készletszint

DP-D

L<TEOQ és L<t 2

s=LD

TEOQ<L

L’>t2

s=(P–D)·(TEOQ–L’)

P-

t1 t2

TEOQ

L’

L

s

TEOQ

t1 t2

L

TEOQ

s

DP-D

EOQ s

s

4.16. ábra: A rendelési készletszint számítása termelési ráta esetén

Az adatokból látható, hogy L < TE O Q , valamint L < t2, ezért a rendelés akészletcsökkenés szakaszába esik, és a rendelési készletszint a következı módonszámítható:

s = L D = 15 ·3600360

= 150 darab

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az optimális rendelési politika szerint tehát minden alkalommal, amikor akészletszint lecsökken 150 darabra, rendelni kell 277 darab terméket.

Vizsgáljuk meg, hogyan alakul az utánrendelési készletszint, ha az utánren-delési idı 50 nap, tehát L = 50. Ebben az esetben L > TE O Q , ezért meg kellhatározni a számításnál figyelembe veendı L ′ értékét a következı módon:

L ′ = L −⌈

L

TE O Q

⌉

· TE O Q = 50 −⌈

5027,7

⌉

· 27,7 = 50 − 1 · 27,7 = 22,3 nap

A számításból látható, hogy az utánrendelési idı most egy teljes rendelésiciklust tartalmaz. A kapott L ′ nagyobb, mint t2, tehát a rendelés a készletnöve-kedés szakaszába esik, az utánrendelési készletszint pedig a következıképpenszámolható:

s =(

TE O Q − L ′) · (P − D) = (27,7 − 22,3) ·(

40 −3600360

)

= 162 darab

Ebben az esetben akkor kell a 277 darabos rendelést feladni, amikor a készlet-szint 162 darabra nı. Termelési rátát tartalmazó feladatnál mindig meg kell adni,hogy a rendelés a készletnövekedés, vagy a készletcsökkenés szakaszába esik-e,mert ugyanaz a készletszint minden rendelési ciklusban kétszer fordul elı.

E fejezetben a „mikor rendeljünk” kérdést a folyamatos készletvizsgálat nyel-vén válaszoltuk meg, tehát azt határoztuk meg, hogy mekkora készletszintnélkell feladni a rendelést. Periodikus készletvizsgálatnál ugyanerre a kérdésre a vá-lasz az lenne, hogy milyen idıközökben rendeljünk. Korábban már említettük,hogy ismert állandó igénynél a folyamatos és a periodikus készletezési rendszerkészletváltozási diagramja azonos lesz, ezért a rendelési periódus a két beérkezésközött eltelt idıvel azonos, ami nem más, mint TE O Q . Elıbbi feladatunk eredmé-nyét pedig a periodikus készletvizsgálat terminológiájával megfogalmazva aztmondhatjuk, hogy rendeljünk 27,7 naponként akkora mennyiséget, amekkora a277 darabos készletszinthez hiányzik.

4.10. A BIZTONSÁGI KÉSZLETEK MEGHATÁROZÁSA

E fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy az optimális rendelésitétel-nagyságra ésrendelési készletszintre vonatkozó megfontolásainkat hogyan befolyásolja az atény, hogy az igény ugyan állandó jellegő, de nem ismert, hanem becsült. Nemtudjuk tehát elıre, hogy pontosan mennyi fogy a raktárból. Ebben az esetbenketté kell választani a folyamatos és a periodikus készletvizsgálati rendszert,mert mindkét esetben eltérı hatása van a bizonytalanságnak. Folyamatos kész-letvizsgálatnál a rendelésitétel-nagyság állandó, ezért az igény bizonytalanságaaz utánrendelési idı alatt rendelkezésre álló készletszint meghatározását befo-lyásolja. Periodikus készletvizsgálatnál a rendelési idıköz állandó, ezért az igény

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.10. A BIZTONSÁGI KÉSZLETEK MEGHATÁROZÁSA 155

bizonytalansága a rendelési mennyiséget érinti. Mindkét esetben az igény bizony-talanságának kedvezıtlen hatását – a hiány esetleges kialakulását – megnöveltkészletszinttel, az úgynevezett biztonsági készlettel próbáljuk enyhíteni. Ha azigény valószínőségi változó, akkor nagyon nagy igények is elıfordulhatnak meg-határozott – rendszerint kis – valószínőséggel, ezért a hiány teljes valószínőséggelcsak végtelen nagy készlettel kerülhetı el. Ez a gyakorlatban kivihetetlen, ezért amenedzsment elıírja a hiány elfogadható mértékét. A hiány elfogadható mérté-két – a szolgáltatás színvonalát – többféle módon fejezhetjük ki. A következıkbena szolgáltatás színvonalát a hiány elıfordulásának gyakoriságával jellemezzük,tehát elıírjuk, hogy egy vizsgált idıszakban hányszor fordulhat elı hiány.

4.10.1. A biztonsági készlet meghatározása folyamatos készletvizsgálatnál

Folyamatos készletvizsgálatnál akkor fordulhat elı hiány, ha a rendelést fel-adtuk és várjuk a megrendelt tétel beérkezését. Ha az utánrendelési idı alatt azutánrendelési készletszintnél nagyobb lesz az igény, akkor hiány keletkezik. Haazutánrendelési idı alatt az igény azutánrendelési készletszintnél kisebb, akkor arendelés beérkezéskor a készletszint nagyobb, mint zéró. Ha az igény valószínő-ségi változó, akkor az utánrendelési idı alatt az utánrendelési készletszintnélkisebb és nagyobb igények is elıfordulhatnak meghatározott valószínőséggel,ennek megfelelıen a hiány elıfordulásának valószínősége számolható. A számí-tás elvét a 4.17. ábra szemlélteti:

μL

ss=zσL

s

L P{u>s}

Készletszint

Q

4.17. ábra: Folyamatos készletvizsgálat biztonsági készletet tartalmazóutánrendelési készletszintje

Az ábrán normális eloszlást feltételezve feltüntettük az utánrendelési idı alattelıforduló igény sőrőségfüggvényét. Az utánrendelési készletszintet két részre

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



bontottuk: az utánrendelési idı alatti átlagos igényre, vagy másként nevezveaz utánrendelési idı alatti igény várható értékére (µL ); valamint az átlagosigényen túli részre, vagy más néven biztonsági készletre (ss). Az utánrendelésikészletszint tehát a következı módon írható fel:

s = µL + ss

Az összefüggésbıl látható, hogy a biztonsági készlet feladata az átlagtól eltérıigények kielégítése. Hiány akkor fordulhat elı, ha az utánrendelési idı alattitényleges igény (u) nagyobb, mint az utánrendelési készletszint. Ennek elıfordu-lási valószínősége P{u > s}. Ha a vizsgált hosszabb idıszakban az igény várhatóértéke D és azt Q mennyiség többszöri rendelésével elégítjük ki, akkor D/Q al-kalommal rendelünk, és minden rendeléskor az utánrendelési idı alatt P{u > s}valószínőséggel fordulhat elı hiány. Ezért a hiány elıfordulásának gyakorisága avizsgált idıszakban D/Q · P{u > s}, amelynek értékét a menedzsment a tervezettszolgáltatásszint függvényében elıírja, tehát:

D

QP{u > µL + ss} ≤ G

ahol G a menedzsment által elıírt gyakoriság. G maximális értéke D/Q, ami aztjelenti, hogy minden rendelés után lehet hiány az utánrendelési idı alatt.

A kapott összefüggés segítségével kétféle számítás végezhetı el. Egyrésztmeghatározhatjuk egy adott szolgáltatásszinthez a szükséges biztonsági készlet nagy-ságát, tehát egy adott G mellett számolhatjuk ss értékét. A biztonsági készletmeghatározásával egyben az elıírt szolgáltatásszint fenntartásának a költsége isszámolható. Másrészt elvégezhetjük az elıbbi feladat fordítottját is, tehát meg-határozhatjuk, hogy a biztonsági készletekre fordítható adott pénzösszeg milyenszolgáltatásszint elérését teszi lehetıvé, tehát egy adott ss mellett mekkora leszG értéke.

A szolgáltatásszint és hiánygyakoriság kapcsolatára felírt egyenlıtlenség szük-ségessé teszi az igény valószínőség-eloszlásának ismeretét, tehát a P{u > s}függvény meghatározását. Az eloszlásfüggvény jellegétıl függıen az egyenletanalitikus vagy numerikus módszerekkel megoldható. Normális eloszlásnál Gvagy ss értéke a standard normális eloszlás eloszlásfüggvény-táblázata segítsé-gével számolható, feltételezve, hogy:

ss = zσL és s = µL + zσL

ahol σL az igény utánrendelési idı alatti szórása.Végezetül vizsgáljuk meg, hogyan alakul a teljes költségfüggvény, ha bizton-

sági készletet tartunk. A 4.17. ábrán látható, hogy az utánrendelési idı alatt azigény nagyobb és kisebb is lehet az átlagosnál. Miután az átlagos igény az igényvárható értéke, az átlagosnál nagyobb és kisebb igények hosszú távon kiegyenlí-tik egymást. Ennek következtében a rendelési ciklusok végén a raktárban maradó

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



készlet átlagos szintje éppen a biztonsági készlettel egyenlı. Így a raktárbanlévı készleteket két részre oszthatjuk. Egyrészt lesz egy olyan készlet, amely-nek átlagos szintje a biztonsági készlet, tehát ss. Továbbá lesz egy olyan készlet,amelynek szintje változik egy maximális és egy minimális érték között. Miutánminden rendelési ciklusban a raktárból kiszállított mennyiség átlagosan a beérke-zett mennyiség, a változó készletek szintje átlagosan a rendelésitétel-nagyság észéró között változik. E megfontolásokat figyelembe véve az átlagos készletszinta következıképpen írható fel:

IÁtl =Q

2+ ss

Az átlagos készletszintre felírt összefüggést felhasználva a teljes költség vár-ható értéke az optimális rendelésitétel-nagyság és a biztonsági készlet függvénye,tehát:

T K{Q, ss} = Dv + AD

Q+

(

Q

2+ ss

)

· vr

A kapott összefüggésbıl kiolvasható, hogy az igény bizonytalansága miattkialakult többletköltség a biztonsági készletek tartásának költsége, amely a kö-vetkezıképpen számolható:

Kss = ss · vr

Minél szigorúbb a menedzsment elıírása a hiány gyakoriságára, annál többetkell áldozni a hiány kiküszöbölésére, ami két módon lehetséges:

– egyrészt növelhetı a biztonsági készletek szintje, ami a készlettartási költségetnöveli,

– másrészt csökkenthetı az igény bizonytalansága pontosabb elırejelzés ké-szítésével (lásd 2. fejezet).

A következıkben a biztonsági készletekkel kapcsolatos számításokat a mártöbbször használt mintapéldánkon szemléltetjük. A feladatot azzal kell kiegé-szíteni, hogy az igény valószínőségi változó, amelynek valószínőség-eloszlását,várható értékét és szórását ismerni kell, továbbá meg kell adni a menedzsmentneka hiány gyakoriságára vonatkozó elıírását. Legyen tehát egy termék iránt jelent-kezı igény normális eloszlású, melynek évi várható értéke 3600 darab, szórásapedig 245 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal.A menedzsment átlagosan évi háromszori hiány kialakulását tartja elfogadható-nak. A 4.4. fejezetben kiszámoltuk, hogy az optimális rendelésitétel-nagyság 240darab (E O Q) és a rendelési ciklus hossza 24 nap (TE O Q).

Határozzuk meg elıször 15 napos utánrendelési idınél a biztonsági készlet,valamint az utánrendelési készletszint nagyságát. A feladatban az igény várhatóértéke és szórása egy évre ismert, a számításokhoz azonban szükség van a15 napra vonatkozó értékekre. A valószínőségi változók összegének várható

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



értékére és szórására vonatkozó összefüggések alapján [39] a 15 napra vonatkozóértékek a következık:

µL

L=

D

360→ µL = 3600 ·

15360

= 150 darab

σ 2L

L=

σ 2D

360→ σL = 245 ·

√

15360

= 50,01 ≈ 50 darab

A feladatban adott a hiány elfogadható gyakorisága (G = 3). Az ehhez tartozóbiztonsági készletszint a következı összefüggés alapján határozható meg:

P{u > s} ≤E O Q

D· G → P{u > 150 + z · 50} ≤

2403600

· 3 = 0,2

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék I. táblázat) alapjána kapott valószínőséghez z = 0,84 érték tartozik. Ezt felhasználva számolható abiztonsági készlet, valamint a rendelési készletszint:

ss = z · σL = 0,84 · 50 = 42 darabs = µL + ss = 150 + 42 = 192 darab

A menedzsmentnek a hiány gyakoriságára elıírt feltételét kielégítı rendelésipolitika szerint tehát minden alkalommal, amikor a készletszint lecsökken 192darabra, rendelni kell 240 darab terméket. Az igény bizonytalansága miatt abiztonsági készlettel megnövelt átlagos készletszint:

IÁtl =E O Q

2+ ss =

2402

+ 42 = 162 darab

A biztonsági készlet készlettartási költsége:

Kss = ss · vr = 42 · 2500 · 0,6 = 63 eFt

A rendelési politika teljes költsége pedig a következı módon számolható:

T K{240,42} = 3600 · 2500 + 12 000 ·3600240

+(

2402

+ 42)

· 2500 · 0,6 = 9423 eFt

Tételezzük fel, hogy a menedzsment, megvizsgálva a kapott eredményt,soknak tartja a biztonsági készletre fordított összeget, és elıírja annak felérecsökkentését. Hogyan alakulna ebben az esetben a szolgáltatás színvonala? Abiztonsági készlet csökkenése a hiány elıfordulásának gyakoriságát növeli. Aköltségcsökkenés miatt a gyakoriságra ható z értéke a következıképpen módosul:

Kss = zσL · vr =63 000

2→ z =

63 0002 · 50 · 2500 · 0,6

= 0,42

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék I. táblázat) alapjána z = 0,42 értékhez tartozó valószínőség 0,3372. A megnövekedett hiánygyako-riság a biztonsági készlet és az utánrendelési készletszint összefüggése alapjánszámítható:

G =D

QP{u > µL + ss} =

3600240

· 0,3372 = 5,058

A biztonsági készletekre fordított összeg csökkentése miatt az évi átlagosanháromszori hiány átlagosan öt alkalomra nı. Természetesen megváltozik arendelési politika is. Az új utánrendelési készletszint lecsökken a következıértékre:

s = µL + ss = 150 + 0,42 · 50 = 171 darab

Tételezzük fel, hogy a menedzsment a szolgáltatás színvonalának növelésébenérdekelt, és az eredetileg évente átlagosan háromszori hiányt átlagosan éviegyetlen hiányra szeretné csökkenteni. Milyen többletköltséget jelentene ez aváltozás? A szigorúbb elıírás miatt növekedni fog a biztonsági készlet. Abiztonsági készlet és az utánrendelési készletszint összefüggése alapján mostelıször az egyetlen rendelési ciklushoz tartozó hiány valószínőségét határozzukmeg:

P{u > µL + z · σL} =Q

D· G =

2403600

· 1 = 0,066

A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék I. táblázat) alapjána meghatározott valószínőséghez z = 1,5 tartozik. A megnövekedett biztonságikészlet és annak készlettartási költsége pedig a következı módon számolható:

ss = zσL = 1,5 · 50 = 75 darabKss = ss · vr = 75 · 2500 · 0,6 = 112,5 eFt

Az átlagosan három hiányt megengedı politika teljes költségéhez képest ahiány gyakoriságának csökkentése 112,5 − 63 = 49,5 eFt többletköltséget okoz.Természetesen ebben az esetben is megváltozik a rendelési politika. Az újutánrendelési készletszint most a következı értékre nı:

s = µL + ss = 150 + 75 = 225 darab

Meg kell jegyezni, hogy a biztonsági készlet lehet negatív is. Ha a menedzs-ment megengedi a hiány gyakori elıfordulását, akkor még az utánrendelési idıalatti igény átlagos értékének sem kell raktáron lennie a rendelés feladásakor.Vizsgáljuk meg, hogyan alakulna az utánrendelési készletszint feladatunkban, hahiány évente átlagosan kilencszer fordulhat elı, tehát G = 9. A biztonsági kész-let és az utánrendelési készletszint összefüggése alapján most egyetlen rendelésiciklus hiányának valószínősége a következı:

P{u > µL + z · σL} =Q

D· G =

2403600

· 9 = 0,6

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék I. táblázat) alapjána meghatározott valószínőséghez z = −1,28 tartozik. A biztonsági készlet és azutánrendelési készletszint értékei pedig a következık:

ss = zσL = −1,28 · 50 = −64 darabs = µL + ss = 150 − 64 = 86 darab

Végezetül határozzuk meg az eredetileg elıírt, évente átlagosan háromszori hi-ánynál az utánrendelési készletszint értéket, ha az utánrendelési idı 50 nap, tehátL>TE O Q . E feladatot ismert állandó igény mellett a 4.8 fejezetben már megoldot-tuk és az L ′ = 2 nap felhasználásával az eredmény s = 20 darab volt. Az igénybizonytalansága miatt ismét biztonsági készlet számítása szükséges, de nem aszámításhoz felhasznált L ′ = 2 napra, hanem az eredeti 50 napra. Ennek oka, hogybár az utánrendelési idı hosszabb, mint a rendelési ciklusidı, és ezért L ′ alap-ján számoljuk az utánrendelési idı alatti igény várható értékét, az utánrendelésiidı alatti igény szórásánál az eredeti L = 50 napot kell figyelembe venni. Felhasz-nálva az évi háromszori hiányhoz az elıbbiekben már meghatározott z = 0,84értéket, az utánrendelési készletszint a következıképpen alakul:

σL = σD ·√

L

360= 245 ·

√

50360

= 91,306 darab

ss = zσL = 0,84 · 91,306 = 76,7 ≈ 77 darabs = µL ′ + ss = 20 + 77 = 97 darab

Láthatjuk, hogy a hosszabb utánrendelési idı nagyobb biztonsági készletetigényel. Azt is észrevehetjük, hogy még mindig kisebb utánrendelési készletszinttartozik a hosszabb utánrendelési idıhöz, de valamelyest csökken a különbség adeterminisztikus (ismert igényő) esethez képest.

E fejezetben úgy válaszoltuk meg a „mikor és mennyit rendeljünk” kérdést,hogy az igény várható értéke alapján kiszámoltuk az optimális rendelésitétel-nagyságot, majd amenedzsment szolgáltatásszint elıírása alapjánmeghatároztukaz utánrendelési készletszintet. Kérdés azonban, hogy vajon az így meghatározottkészletezési politika optimális-e, vagy található ennél alacsonyabb teljes költségőmegoldás?

Az igény véletlenszerő alakulása miatt most elıfordulhat hiány, amelynekgyakoriságát amenedzsment a szolgáltatásszint elıírásávalkorlátozza. A felvetettkérdés megválaszolásához fel kell írnunk a teljes költségfüggvényt úgy, hogy aztartalmazza a hiányköltséget is. Miután az igény valószínőségi változó, a hiány isaz lesz. Ha az igény tényleges értéke az utánrendelési idı alatt u, az utánrendelésiidı alatt rendelkezésre álló készlet pedig s, akkor a hiány u − s. Ténylegesenakkor van hiány, ha ez az érték pozitív, tehát a tényleges igény meghaladja azutánrendelési idı alatt rendelkezésre álló mennyiséget. A negatív érték a rendelésbeérkezésekor a raktárban található készlet nagyságát jelöli. Feltételezve, hogy u

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



normális eloszlású valószínőségi változó f {u} sőrőségfüggvénnyel, µL várhatóértékkel és σL szórással, a hiány várható értéke egyetlen rendelési periódusban akövetkezı módon írható fel:

H{z} =

∞∫

s=µL+zσL

[u − (µL + zσL )] · f {u}du

Vezessük be a hiányráta fogalmát (b), amely – a készlettartási ráta analógi-ájaként – kifejezi azt, hogy a beszerzési költség (v) hány százalékát tekintsükhiányköltségnek. A teljes költség várható értéke így a rendelt mennyiség (Q),valamint a z felhasználásával meghatározott biztonsági készlet függvényében akövetkezı módon írható fel:

T K{Q, z} = Dv + AD

Q+

(

Q

2+ zσL

)

· vr +D

QH {z} · bv

Akapott kétváltozós függvényminimumátmegkapjuk, ha a két változó szerintiparciális deriváltakat egyenlıvé tesszük zéróval, és az így kapott kétváltozósegyenletet megoldjuk. A részletes levezetést az olvasóra bízva, csak az eredménytközöljük:

∂T K{Q, z}∂ Q

= 0 → Q{z} =

√

2D · (A + H{z} · bv)vr

∂T K{Q, z}∂z

= 0 → P{u ≥ µL + zσL } =Q{z}

D·

r

b

A kapott két összefüggés mindegyike egyaránt tartalmazza a két változót (Q,z), de látható, hogy azok értéke explicit módon nem határozható meg. Megfelelıkezdıértékek választása után azonban iterációval gyorsan eljuthatunk olyan Q ész értékekhez, amelyek mindkét egyenletet kielégítik. Általános tapasztalat, hogyaz így kapható optimális rendelésitétel-nagyság csak nagyon kis mértékben tér ela determinisztikus esetben kapott optimumtól, ezért a gyakorlatban rendszerintnem végzik el az iterációt.

A második egyenletet megvizsgálva észrevehetjük, hogy nagyon hasonlíta biztonsági készlet és az utánrendelési készletszint korábban meghatározottösszefüggésére, amely átrendezve a következı módon írható:

P{u > µL + zσL } ≤Q

D· G

A teljes költségfüggvény minimalizálásával kapott második egyenlet ehheznagyon hasonló, csak G helyett r/b szerepel, tehát felírható a következı össze-függés:

G =r

b

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A menedzsment által elıírt elfogadható hiánygyakoriság (G) tehát kapcsolat-ban van a hiányköltséggel. Minél nagyobb a hiány elfogadható gyakorisága,a menedzsment implicit módon annál kisebb hiányrátát, és ezen keresztül hi-ányköltséget feltételez. Példánkban a menedzsment számára az átlagosan éviháromszori hiány elfogadható, a készlettartási ráta értéke pedig 0,6. Az implicitmódon feltételezett hiányráta a következı módon számolható:

b =r

G=

0,63

= 0,2

Az évi háromszori hiány elıírásakor a menedzsment tehát implicit módonazt feltételezte, hogy a hiány miatt nem szállított termékek értékének 20%-atekinthetı veszteségnek. A számítás fordítva is elvégezhetı. Ha a menedzsmentazt gondolja, hogy a hiány miatt nem szállított áruk értékének 50%-a tekinthetıveszteségnek, akkor a hiány elfogadható gyakorisága a következı:

G =r

b=

0,60,5

= 1,2

Ez a szám nyilvánvalóan kisebb az eredeti értéknél (3), mert a költségesebbhiány a menedzsmentet kevésbé engedékeny politikára ösztönzi.

Eredeti kérdésünkre válaszként megállapíthatjuk tehát, hogy a meghatározottpolitika nem optimális ugyan, de az optimumnak nagyon jó közelítése, továbbá,hogy a hiányköltséget implicit módon, a menedzsment által elıírt gyakoriságonkeresztül veszi figyelembe.

4.10.2. A biztonsági készlet meghatározása periodikus készletvizsgálatnál

Periodikus készletvizsgálatnál két készletvizsgálat között fordulhat elı hiány, haváratlanul nagy igény jelentkezik. Az igény növekedésére akkor tudunk reagálni,amikor a periódus végén megvizsgáljuk a készletszintet és látjuk, hogy sokfogyott, esetleg hiány alakult ki. Ilyenkor nagyobb mennyiség szükséges a készletmaximális szintre növeléséhez, ezért többet rendelünk. Így reagálunk tehát az Ridıtartam alatt jelentkezı nagy igényre. Reagálásunk eredménye azonban csakaz utánrendelési idı (L) elteltével, a rendelt mennyiség beérkezésekor fejti kihatását. Ezért, ha csökkenteni akarjuk a hiány elıfordulásának valószínőségét,akkor az utánrendelési periódusban, valamint az azt követı utánrendelési idıalatt is az átlagos igénynél nagyobb készletet kell tartani. A biztonsági készletnagyságát tehát az L + R idıtartam igénye alapján kell kiszámolni. A számításelvét a 4.18. ábra szemlélteti.

Az ábrán normális eloszlást feltételezve feltüntettük az L + R idıtartam alattelıforduló igény sőrőségfüggvényét. Látható, hogy a biztonsági készlet periodi-kus készletvizsgálatnál azt jelenti, hogy nagyobb lesz a maximális készletszint,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



amelyre rendeléskor feltöltjük a készletet. A maximális készletszintet két részrebontottuk: az L + R idıtartam alatti átlagos igényre, vagy másként nevezve azL + R idıtartam alatti igény várható értékére (µL+R); valamint az átlagos igényentúli részre, vagy más néven biztonsági készletre (ss). A maximális készletszinttehát a következı módon írható fel:

S = µL+R + ss

μR+L

ss=zσR+L

S

L

R+L

R

Készletszint

P {u>S}

Q1

Q2

4.18. ábra: Periodikus készletvizsgálat biztonsági készletet tartalmazómaximális készletszintje

Az összefüggésbıl látható, hogy a biztonsági készlet feladata az átlagosnálnagyobb igény kielégítése az L + R idıtartam alatt. Hiány tehát akkor fordulhatelı, ha az L + R idıtartam alatt a ténylegesen jelentkezı igény (u) nagyobb, minta maximális készletszint (S). Ennek elıfordulási valószínősége P{u > S}. Haa készletezési idıtartam hosszát egységnyinek (például egy év) tekintjük, akkor1/R alkalommal lesz készletvizsgálat és rendelés, továbbá minden rendeléskora rendelést követı L + R idıtartam alatt elıfordulhat hiány. Ezért a hiányelıfordulásának gyakorisága a vizsgált idıszakban 1/R · P{u > S}, amelynekértékét a menedzsment a tervezett szolgáltatásszint függvényében elıírja, tehát:

1R

P{u > µR+L + ss} ≤ G,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



ahol G a menedzsment által elıírt gyakoriság. A hiánygyakoriság (G) maximálisértéke 1/R, ami azt jelenti, hogy minden rendelés után elıfordulhat hiány.

A kapott összefüggés segítségével ismét kétféle számítás végezgetı el. Egyrésztmeghatározhatjuk egy adott szolgáltatásszinthez a szükséges biztonsági készlet nagy-ságát, tehát egy adott G mellett ss értékét. A biztonsági készlet meghatározásávalegyben az elıírt szolgáltatásszint fenntartásának a költsége is számolható. Más-részt elvégezhetjük az elıbbi feladat fordítottját is, tehát meghatározhatjuk, hogya biztonsági készletekre fordítható adott pénzösszeg milyen szolgáltatásszintelérését teszi lehetıvé, tehát egy adott ss mellett mekkora lesz G értéke.

A szolgáltatásszint és a hiánygyakoriság kapcsolatára felírt egyenlet szük-ségessé teszi az igény valószínőség-eloszlásának ismeretét, tehát a P{u > S}függvény meghatározását. Az eloszlásfüggvény jellegétıl függıen az egyenletanalitikus vagy numerikus módszerekkel megoldható. Normális eloszlásnál Gvagy ss értéke a standard normális eloszlás eloszlásfüggvény táblázata segítsé-gével számolható, feltételezve, hogy:

ss = zσR+L és S = µR+L + zσR+L ,

ahol σR+L az igény szórása az L + R idıtartam alatt.Végezetül vizsgáljuk meg, hogyan alakul a teljes költségfüggvény, ha bizton-

sági készletet tartunk. Az igény egyetlen rendelési periódus alatt átlagosan DRde a 4.18. ábrán látható, hogy az igény az átlagosnál nagyobb és kisebb is lehet.Miután az átlagos igény az igény várható értéke, az átlagosnál nagyobb és kisebbigények hosszú távon kiegyenlítik egymást. Ennek következtében a rendelésiperiódus végén a raktárban maradó készlet átlagos szintje éppen a biztonságikészlettel egyenlı. Így a raktárban lévı készleteket két részre oszthatjuk. Egy-részt lesz egy olyan készlet, amelynek átlagos szintje a biztonsági készlet, tehát ss.Továbbá lesz egy olyan készlet, amelynek szintje változik egy maximális és egyminimális érték között. Miután minden periódusban átlagosan DR mennyiségfogy, a változó készletek szintje DR és zéró között változik. E megfontolásokatfigyelembe véve az átlagos készletszint a következıképpen írható fel:

IÁtl =DR

2+ ss.

Az átlagos készletszintre felírt összefüggést felhasználva a teljes költség vár-ható értéke az optimális rendelésitétel-nagyság és a biztonsági készlet függvénye,tehát:

T K{R, ss} = Dv + A1R

+(

DR

2+ ss

)

· vr

A kapott összefüggésbıl kiolvasható, hogy az igény bizonytalansága miattitöbbletköltség a biztonsági készletek tartásának költsége, tehát:

Kss = ss · vr

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Ismét elmondhatjuk, hogy minél szigorúbb a menedzsment elıírása a hiánygyakoriságára, annál többet kell áldozni a hiány kiküszöbölésére, ami két módonlehetséges:

– egyrészt növelhetı a biztonsági készletek szintje, ami a készlettartási költségetnöveli,

– másrészt csökkenthetı az igény bizonytalansága pontosabb elırejelzés ké-szítésével (lásd 2. fejezet).

A következıkben a biztonsági készletekkel kapcsolatos számításokat ismét amár többször használt mintapéldán szemléltetjük. A feladatot azzal kell kiegé-szíteni, hogy az igény valószínőségi változó, amelynek valószínőség-eloszlását,várható értékét és szórását ismerni kell, továbbá meg kell adni a menedzsmentneka hiány gyakoriságára vonatkozó elıírását. Legyen tehát egy termék iránt jelent-kezı igény normális eloszlású, melynek évi várható értéke 3600 darab, szórásapedig 245 darab. A rendelési költség 12 000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500Ft, az éves készlettartási ráta 60%. Számoljunk közelítıleg évi 360 munkanappal.A menedzsment átlagosan évi háromszori hiány kialakulását tartja elfogadható-nak. Periodikus készletvizsgálatnál meg kell adni a készletvizsgálati periódushosszát (R) is. Az optimális rendelési periódus hossza 24 nap, ami egyébként ép-pen egyenlı a hasonló adatokkal számolt folyamatos készletvizsgálat rendelésiciklusidejével (TE O Q).

Határozzuk meg 15 napos utánrendelési idınél a biztonsági készletet, valaminta maximális készletszint nagyságát. A feladatban az igény várható értéke és szó-rása egy évre ismert, a számításokhoz azonban szükség van az L + R idıtartamravonatkozó értékekre. A valószínőségi változók összegének várható értékére ésszórására vonatkozó összefüggések alapján [39] ezen értékek a következıképpenszámolhatók:

µR+L

R + L=

D

360→ µR+L = 3600 ·

24 + 15360

= 390 darab

σ 2R+L

R + L=

σ 2D

360→ σR+L = 245 ·

√

24 + 15360

= 80,64 darab

A feladatban adott a hiány elfogadható gyakorisága (G = 3). Az ehhez tartozóbiztonsági készletszint a következı összefüggés alapján határozható meg:

P{u > S} ≤ RG → P{u > 390 + z · 80,64} ≤24360

· 3 = 0,2.

Vegyük észre, hogy a 24 napos periódusidıt évben kifejezve kell az összefüg-gésbe írni. A standard normális eloszlásfüggvény táblázata (függelék I. táblázat)alapján a kapott valószínőséghez z = 0,84 érték tartozik. Ezt felhasználva számít-ható a biztonsági készlet, valamint a rendelési készletszint:

ss = z · σR+L = 0,84 · 80,64 = 67,73 ≈ 68 darabS = µR+L + ss = 390 + 68 = 458 darab.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A menedzsment által a hiány gyakoriságára elıírt feltételt kielégítı rendelésipolitika szerint tehát 24 naponként meg kell vizsgálni a készletszintet, és akkoramennyiséget kell rendelni, amely a vizsgálatkor meglévı készletszintet feltölti458 darabra. Az igény bizonytalansága miatt a biztonsági készlettel megnöveltátlagos készletszint:

IÁtl =DR

2+ ss =

3600360

·242

+ 68 = 188 darab

A biztonsági készlet készlettartási költsége:

Kss = ss · vr = 68 · 2500 · 0,6 = 102 eFt

A rendelési politika teljes költsége pedig a következı módon számítható:

T K{24,68} = 3600 · 2500 + 12 000 ·36024

+(

3600360

·242

+ 68)

· 2500 · 0,6 = 9462 eFt

Korábban már említettük, hogy ismert igénynél, tehát amikor nincsen bizton-sági készlet, a folyamatos és periodikus készletvizsgálatok készletszintdiagramjaiazonosak. Ezért ha a 240 darabos rendelt mennyiség a folyamatos készletvizsgá-lat optimális rendelésitétel-nagysága, akkor a hozzá tartozó 24 napos rendelésiciklusidı egyben a periodikus készletvizsgálat optimális készletvizsgálati perió-dusideje is.

A bizonytalanság, és vele a biztonsági készlet megjelenése a készletszintdiag-ramokat megváltoztatja, amint azt a 4.17. és 4.18. ábrák mutatják. Észrevehetjük,hogy ugyanolyan feltételek mellett a folyamatos készletvizsgálat kisebb bizton-sági készletet igényel, mint a periodikus készletvizsgálat. A 4.10.1. fejezetbenaz átlagosan évi háromszori igény ugyanezen adatok mellett 42 darab bizton-sági készletet igényel, míg periodikus készletvizsgálatnál a biztonsági készlet 68darab. Az eredmény mögött a 4.3. fejezetben a készletezési mechanizmusokösszehasonlításakor tett megállapításunk húzódik. A periodikus készletvizsgálatérzékenyebb a hiány kialakulására, ezért ugyanolyan feltételek mellett nagyobbbiztonsági készletet igényel, mint a folyamatos készletvizsgálat.

Végezetül a periodikus készletvizsgálatnál is hangsúlyozni kell, hogy az op-timális rendelési politika a hiányköltséggel kiegészített teljes költségfüggvényminimalizálásával határozható meg. Ez azonban jó közelítéssel megegyezik adeterminisztikus esetben kapott optimális rendelési periódus, valamint a hiánygyakoriságának megadásával számolt biztonsági készlet által meghatározott ren-delési politikával, feltételezve a hiány gyakorisága és a hiányráta között korábbanlevezetett G = r/b összefüggést.

A biztonsági készletekkel foglalkozó fejezet zárásaként meg kell jegyezni, hogya szolgáltatás színvonala nemcsak a hiány gyakoriságával mérhetı. Nagyonsokszor nem az a fontos, hogy hányszor van hiány, hanem, hogy amikor hiány

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.11. EGY„VENNI VAGYGYÁRTANI” DÖNTÉSI PROBLÉMAVIZSGÁLATA – ESETTANULMÁNY 167

van, mekkora mennyiséget nem tudunk szállítani. Ugyancsak fontos lehet, hogymennyi ideig tart a hiány, tehát a rendelt mennyiség beérkezésére váró vevıkmennyi ideig várakoznak. Ezek és további esetek az itt bemutatott elvek alapjánvizsgálhatók. A feladat mindig a hiányköltség felírása, majd ennek segítségévela teljes költségfüggvény minimalizálása. A költségminimalizálás az alkalmazottszolgáltatásszint, valamint az igény véletlenszerő alakulását leíró valószínőségeloszlástól függıen analitikus vagy numerikus módszerekkel végezhetı el.

4.11. EGY „VENNI VAGY GYÁRTANI” DÖNTÉSI PROBLÉMA VIZSGÁ-LATA – ESETTANULMÁNY

A készletgazdálkodás alapösszefüggéseit áttekintve észrevehettük, hogy az ered-mények rendszerint túlmutattak a raktáron. A készletekkel kapcsolatos döntésektermelési sorozatnagyságokkal, kapacitásproblémákkal és elırejelzési kérdések-kel egyaránt összefüggnek. A következı esettanulmány azt mutatja be, hogyanvizsgálható egy „venni vagy gyártani” döntési probléma a készletezési megfon-tolások tükrében [1]. Az eset ugyancsak érzékelteti az adatgyőjtéssel kapcsolatosgyakorlati nehézségeket.

4.11.1. A „venni vagy gyártani” döntési probléma ismertetése

Tekintsük egy gyártóüzem példáját, amelynek vezetése azt fontolgatja, hogy egykritikus alkatrészt, amelyet korábban egyik alvállalkozója szállított, esetleg a sajátüzemében is elı tudna állítani. Az alkatrész iránti igény várható értéke évi 3200darab. Az üzem folyamatos készletvizsgálatot alkalmaz és évente átlagosan 250napot dolgozik.

Az üzem gazdasági vezetıi 14%-ban határozták meg a termelésben lekötötttıke költségét. Az elmúlt évben 60 000 eFt volt a készletek átlagos finanszírozásiigénye. További 2400 eFt-ot költöttek a készletekkel összefüggı adókra, biztosí-tásra. A készletek károsodásával, lopással kapcsolatos költség közelítıleg 900 eFtvolt. Végezetül 1500 eFt-ot költöttek a raktározással kapcsolatos általános költ-ségekre (főtés, világítás, adminisztráció stb.). A beszerzési osztály információiszerint átlagosan két órát vesz igénybe egy rendelés elkészítése, függetlenül arendelt mennyiség nagyságától. A beszerzési osztályon dolgozók becsült órabére,az egyéb járulékos terheket is figyelembe véve 2800 Ft. Emellett, a tavalyi idı-szakban a feladott 125 rendeléshez 237,5 eFt egyéb telefon, papír, postai költségis társult.

Az alvállalkozótól vásárolva az alkatrészt egy hét a rendelés feladása és azalkatrészek beérkezése között eltelt idı. Statisztikai vizsgálatok azt mutatják,hogy ezen egy hét alatt az alkatrész iránti igény várható értéke 64 darab, szórása

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



pedig 10 darab. Az üzemvezetés azt tartja elfogadhatónak, ha évente átlagosanegy alkalomnál többször nem keletkezik alkatrészhiány.

Jelenleg az üzem 1800 Ft-ért vásárolja az alkatrészt az alvállalkozótól. Azutóbbi hónapokban azonban az üzemben felesleges kapacitás keletkezett, ezértaz üzemvezetés úgy gondolja, hogy talán olcsóbb, ha az alkatrészt helybengyártják. Az elırejelzések aztmutatják, hogyvárhatóan lesz elegendıkapacitás azalkatrész gyártására. Közelítıleg öthónapnyi szabad kapacitása van az üzemnekés az alkatrészbıl a rendelkezésre álló technológiával 1000 darab gyártható lehavonta. Megfelelı termelésprogramozással elérhetı, hogy 2 hetes átfutássala rendelt mennyiség mindig legyártható. A kétheti utánrendelési idı alatt azalkatrész iránti igény várható értéke 128 darab, szórása pedig 14,14 darab. Egydarab legyártásának költsége elıreláthatólag 1700 Ft.

Az üzemvezetés fı aggodalma az, hogy a berendezések átállítása az alkatrészgyártására jelentıs veszteséggel jár. Úgy becsülik, hogy egy átállítás egy teljesnyolc órás mőszakot vesz igénybe, és az óránként elvesztett termelés értéke5000 Ft.

4.11.2. A „venni vagy gyártani" esettanulmány megoldása

A feladat tehát annak meghatározása, hogy az üzem külsı szállítótól vásárolja(venni), vagy pedig saját kapacitását felhasználva gyártsa (gyártani) a szüksé-ges alkatrészt. Mindkét esetben a feladat az átlagosan évi 3200 darabos igénykielégítése. Az alkatrész vásárlásakor a külsı szállító egy tételben szállítja a meg-rendelt mennyiséget egy hetes utánrendelési idıvel 1800 forintos egységáron.Saját gyártáskor a termelés ütemében töltjük fel a raktárt, az utánrendelési idıa termelésütemezési szempontok miatt megnı 2 hétre, a gyártási költség pedig1700 forint, tehát alacsonyabb, mint a beszerzési ár. Általánosságban tudjuk azt is,hogy a beszerzésnél jelentkezı rendelési költség rendszerint nagyságrendekkelkisebb, mint a gyártáskor jelentkezı átállási költség. Összehasonlítva a beszerzésés gyártás feltételeit, láthatjuk, hogy az alacsonyabb gyártási költség inkább sa-ját gyártást indokolna, ugyanakkor a hosszabb utánrendelési idı miatt várhatóanmegnövekedı biztonsági készlet a beszerzésnek kedvezhet. Ugyanakkor nehe-zen átlátható, hogy a termelési ráta miatt jelentkezı készletszintcsökkenésnek,valamint a magas átállási költség motiválta nagyobb gyártási sorozat készletszintnövelı hatásának együttes eredménye a beszerzésnek vagy a gyártásnak kedvez-e. A választ a két lehetıség teljes költségének összehasonlításakor kapjuk meg,feltételezve, hogy a menedzsment átlagosan évente egyszer tartja elfogadhatónaka hiány kialakulását.

A számítások elvégzéséhezhatározzukmegelıször a készlettartási rátát, amelyazonos lesz mind a két esetben. A készlettartási ráta több elembıl tevıdik össze.Egyik eleme a készletekben lekötött tıke költsége, amely a gazdasági vezetés

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


4.11. EGY„VENNI VAGYGYÁRTANI” DÖNTÉSI PROBLÉMAVIZSGÁLATA – ESETTANULMÁNY 169

számításai szerint 14%. Az elmúlt évi 60 MFt átlagos készletérték százalékábankifejezhetjük a készlettartási rátát növelı többi tényezı értékét is. Az adók, abiztosítás tavalyi 2,4 MFt-os költsége az átlagos finanszírozás 4%-a (2,4/60=0,04).A károsodás, lopás címszó alatt nyilvántartott 0,9 MFt az átlagos finanszírozás1,5%-a (0,9/60 = 0,015). A raktározott mennyiségtıl függı egyéb költség 1,5MFt, ami az átlagos finanszírozás 2,5%-a (1,5/60 = 0,025). A felsorolt tényezıkegyüttes összege 22% (14 + 4 + 1,5 + 2,5), tehát a számítások során évi 22%-oskészlettartási rátával kell számolni. Az eredmény jól tükrözi a gyakorlatbansokszor tapasztalható arányokat, a készletfinanszírozás költségének kiemelkedıszerepét.

A következıkben elıször a vásárlás teljes költségét számoljuk ki optimá-lis rendelési politika alkalmazásakor. Ehhez meg kell határozni az optimálisrendelésitétel-nagyságot, valamint a rendelési készletszintet, figyelembe véve,hogy az alábbi adatok ismertek:

– Igény (D): 3200 db/év– Beszerzési költség (v): 1800 Ft/db– Éves készlettartási ráta (r ): 0,22– Utánrendelési idı (L): 1 hét– Igény várható értéke az utánrendelési idı alatt (µL ): 3200/250 · 5 = 64 darab– Igény szórása az utánrendelési idı alatt (σL ):10 darab– A rendelési költség (A) meghatározásánál figyelembe kell venni az ad-

minisztráció kétórányi bérköltségét (2 · 2,8 = 5,6 eFt), valamint a tavalyi 125rendelés feladásakor felmerült 237,5 eFt egy rendelésre jutó átlagos költségét(237,5/125 = 1,9 eFt), ami összesen 7,5 eFt.

Az optimális rendelésitétel-nagyság egyszerre érkezı megrendelt tételek ese-tén:

E O Q =

√

2AD

vr=

√

2 · 7500 · 32001800 · 0,22

= 348,15 ≈ 348 darab

Az utánrendelési készletszint számításához ellenırizni kell, hogy az utánren-delési idı mekkora a rendelési ciklusidıhöz képest:

TE O Q =E O Q

D=

348 · 2503200

= 27,18 nap tehát TE O Q > L

Évente átlagosan egyszer megengedett hiánynál a hiány elıfordulásának va-lószínősége egyetlen rendelési ciklusban a következı:

P{u > s} =E O Q

D· G =

3483200

· 1 = 0,1087

A kapott valószínőséghez a standard normális eloszlás táblázatát (függelékI. táblázat) felhasználva z értékére 1,23 adódik. Ezt felhasználva a biztonsági

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



készlet, valamint az utánrendelési készletszint a következı:

ss = zσL = 1,23 · 10 = 12,3 ≈ 13 darabs = µL + ss = 64 + 13 = 77 darab.

Külsı beszerzésnél tehát az optimális rendelési politika 348 darab rendelésétjelenti akkor, amikor a készletszint lecsökken 77 darabra. E politika teljes költségea következıképpen számolható:

T K{348; 13} = Dv + AD

Q+

(

Q

2+ ss

)

· vr =

= 3200 · 1800 + 7500 ·3200348

+(

3482

+ 13)

· 1800 · 0,22 = 5903 eFt

Vizsgáljuk meg most a belsı gyártás teljes költségét az optimális gyártási politikaalkalmazásakor. Ehhez meg kell határozni az optimális gyártási sorozatnagysá-got, valamint a rendelési készletszintet, figyelembe véve, hogy az alábbi adatokismertek:

– Igény (D): 3200 db/év– Beszerzési költség (v): 1700 Ft/db– Éves készlettartási ráta (r ): 0,22– Utánrendelési idı (L): 2 hét– Az igény várható értéke az utánrendelési idı alatt (µL ): 3200/250 · 2 · 5 =

128 darab– Az igény szórása az utánrendelési idı alatt (σL ): 10 ·

√2 = 14,14 darab

– Az átállási költség (A) meghatározásánál figyelembe kell venni a 8 órai átállásóránkénti 5000 Ft veszteségét, ami összesen 40 000 Ft

– Termelési ráta (P): 1000 db/hóAz alkatrész gyártását végzı üzem évente átlagosan öt hónapnyi szabad kapa-

citással rendelkezik, tehát 1000 db/hó termelési rátánál az öt hónap alatt elvileglegyártható 5000 darab bıségesen fedezné az alkatrész iránti igényt. Természete-sen az öt hónap szabad kapacitás csak megfelelı termelésprogramozással képesgazdaságosan és idıre teljesíteni a rendeléseket.

Az optimális gyártási tételnagyság az adatok alapján a következı:

E O Q =

√

2AD

vr·

P

P − D=

√

2 · 40 000 · 32001700 · 0,22

·12 · 1000

12 · 1000 − 3200=

= 966,12 ≈ 966 darab

Megfigyelhetjük, hogy a megnövekedett rendelési (átállási) költség, valaminta beszállítási ráta megjelenése miatt az alkatrészt lényegesen nagyobb tételbenrendeljük a saját üzemtıl.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az utánrendelési készletszint számításához ellenırizni kell, hogy az utánren-delési idı mekkora a rendelési ciklusidıhöz képest:

TE O Q =E O Q

D=

966 · 2503200

= 75,47 nap tehát TE O Q > L

Évente átlagosan egyszer megengedett hiánynál a hiány elıfordulásának va-lószínősége egy rendelési ciklusban a következı:

P{u > s} =E O Q

D· G =

9663200

· 1 = 0,3019

A kapott valószínőséghez a standard normális eloszlás táblázatát (függelék I.táblázat) felhasználva z értékére 0,52 adódik. Ennek segítségével a biztonságikészlet, valamint az utánrendelési készletszint a következıképpen számolható:

ss = zσL = 0,52 · 14,14 = 7,35 ≈ 8 darabs = µL + ss = 128 + 8 = 136 darab.

Látható, hogy a biztonsági készlet a hosszabb utánrendelési idı ellenére ki-sebb, mint külsı beszerezésnél. A biztonsági készlet nagyságát két ellentéteshatás befolyásolja. Egyrészt a hosszabb utánrendelési idı miatt nagyobb az után-rendelési idı alatti igény szórása, ami növeli a biztonsági készletet. Ugyanakkor asaját gyártás nagyobb gyártási tételnagysága ritkább rendeléssel jár együtt, ezértnagyobb lehet egy rendelési ciklusban a hiány elıfordulási valószínősége, amiviszont csökkenti a biztonsági készletet. E két hatás együttes eredménye, hogysaját gyártásnál végül kisebb lesz a biztonsági készlet a kisebb tételnagyságú ésrövidebb átfutási idejő külsı vásárlás biztonsági készleténél.

Saját gyártásnál tehát az optimális rendelési politika 966darab rendelését jelentiakkor, amikor a készletszint lecsökken 136 darabra. E politika teljes költsége akövetkezıképpen számolható:

T K{966; 8} = Dv + AD

Q+

(

Q

2·

P − D

P+ ss

)

· vr =

= 3200 · 1700 + 40 000 ·3200966

+(

9662

·12 · 1000 − 3200

12 · 1000+ 8

)

· 1700 · 0,22 =

= 5707,96 eFt

A két teljes költséget összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy valamivel olcsóbba saját gyártás, a különbség 195 eFt. Természetesen a tényleges döntésnél amenedzsment egyéb tényezıket is mérlegelhet, mint például az eddigi szállítóvalvaló kapcsolat hosszú távú szempontjait, a rendelkezésre álló kapacitás máshasznosítási lehetıségeit, a saját gyártás beindításának minıségi problémáit stb.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20




A 4. fejezetben áttekintettük azokat az elveket, amelyek segítségével egy készle-tezési rendszer mőködtetésének legfontosabb kérdései megválaszolhatóak. Ígyfoglalkoztunk a rendelési tevékenységet szabályozó készletezési mechanizmu-sokkal. Meghatároztuk a rendelendı mennyiséget, a rendelés idejét, valamintaz igény bizonytalanságának kedvezıtlen hatásait enyhítı biztonsági készletnagyságát. Az e kérdésekre adott válaszok látszólag a termelı- és szolgáltató-rendszerek mőködésének csak egy részterületére, a raktározásra vonatkoznak. Ezazonban nem igaz. A termelési ráta feltételezése a gazdaságos gyártási sorozat-nagyság meghatározásával,már az egész termelési folyamathatékony mőködésétérintette, a „venni vagy gyártani” döntési probléma elemzése pedig kapacitás-problémákkal és a kooperációs partnerekkel kapcsolatos kérdéseket vizsgálta. Akészletgazdálkodás az anyagáramlási folyamatok egy részének szabályozásávaltulajdonképpen a teljes anyagáramlási folyamat gazdaságosságát befolyásolja.

A készletgazdálkodás fı kérdéseit közvetve vagy közvetlenül a teljes költségvizsgálatával válaszoltuk meg. Ez ráirányítja a figyelmet arra, hogy a készlet-gazdálkodás feladata nem a legolcsóbb alapanyagok, részegységek beszerzése,hanem a beszerzés, valamint a raktározási folyamat együttesének hatékony mő-ködtetése. Egy alacsony ár kedvezıtlen szállítási feltételek mellett hosszú távonnagyon költséges lehet. Sokszor a beszállító és a vevı között a gazdaságos so-rozatnagyság miatt ellentét alakulhat ki. Egy alkatrész gyártója nagy sorozatokgyártásában érdekelt, míg az alkatrész felhasználója számára kis tételek vásár-lása a gazdaságos. Az ellentét feloldására számos technika alakult ki, kezdve azátállási idı csökkentésétıl, a hosszú távú beszállítói kapcsolatok kialakításán át,egészen a JIT-folyamatok szervezéséig [8].

Hangsúlyozni kell, hogy vannak olyan elképzelések, amelyek szerint ma márnem a költségek minimalizálása a döntések meghatározója. Így például a teljeskörő minıségmenedzsment (TQM) a minıségre [46], vagy az idı alapú ver-senyzés (TBC) az idıbeli mőködésre [4] helyezi a hangsúlyt. Egyik említettmenedzsment-paradigma sem állítja azonban azt, hogy a költség egyáltalán nemszámít. Az újabb és újabb szempontok megjelenése a menedzsmentdöntéseknélazt feltételezi, hogy a korábbi (például költség) szempontok szerint a rendszermár jól mőködik, ezért kompetitív elıny csak valamilyen újabb területen elértkiemelkedı eredménnyel érhetı el. Így a minıség vagy az idı alapján hozottdöntések is feltételezik az alacsony költségekkel mőködı anyagáramlási folya-matot. Ezért a költségminimalizálásra épülı készletgazdálkodási modellek nemvesztenek aktualitásukból, legfeljebb egyre komplexebbé válik az a környezet,amelyben a kapott eredményeket alkalmazni kell.

Az ebben fejezetben tárgyalt problémák sokszor nagyon leegyszerősített kör-nyezetre vonatkoztak. Ez azonbannem jelenti azt, hogy a kapott eredményeknemalkalmazhatók általános érvénnyel. Erre a legjobb példa az állandó rendelésitétel-nagyság mechanizmusa. Bebizonyítottuk, hogy egészen speciális körülmények

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



között optimális az állandó nagyságú tételek rendelése, mégis általánosan al-kalmazzák ezt a rendszert a levezetést meghatározó feltételektıl teljesen eltérıkörnyezetben is. A kapott eredményekkel kapcsolatban ezért két megjegyzéstkell tenni. Egyrészt a fejezet keretében bemutatott elvek alapján sokkal komp-lexebb és a valóságot jobban megközelítı problémák optimális megoldásai ismeghatározhatók (lásd például [1], [9] és [24]). Másrészt az eredményeket meg-határozó feltételektıl való eltérés ellenére az eredmények a gyakorlatban sokszornagyon jól alkalmazhatók. Ilyenkor az egyébként igen jó mőködés olyan kismértékben tér el az optimumtól, hogy az optimális mőködés megtalálásánaktöbbletráfordításai valószínőleg nem térülnének meg.

Végezetül ismét megjegyezzük, hogy e fejezet a független igény esetével fog-lalkozott, tehát a készletezési problémákban vizsgált termékek igénye nem füg-gött közvetlenül egy másik termék igényétıl. Függı igényő termékeknél azanyagszükséglet-tervezés (MRP) összefüggéseit kell alkalmazni, amelyet egykésıbbi fejezetben tárgyalunk. Az e fejezetben levont következtetéseink azonbanaz anyagszükséglet-tervezés komplex rendszerére kisebb kiegészítésekkel szintekivétel nélkül érvényesek.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5. AGGREGÁLT TERMELÉSTERVEZÉS

5.1. BEVEZETÉS

E fejezetben azt vizsgáljuk meg, hogy a termelı- vagy szolgáltatórendszer hogyanelégítse ki az igényt, tehát mikor, mibıl, mennyit gyártson. Az aggregáltkifejezés arra utal, hogy ezeket a kérdéseket összevontan, nagyvonalúan akarjukmegválaszolni. Azokat a kereteket kívánjuk elıször meghatározni, amelyekenbelül maradva a részletes termelésprogramozás kérdései megválaszolhatók. Ekereteket a gyártandó termékszerkezet, valamint a gyártáshoz felhasználhatóerıforrások szintje jelöli ki. Az aggregált termeléstervezés feladata tehát azoptimális termékszerkezet, valamint a gyártáshoz felhasználható erıforrások optimálisszintjének meghatározása. Az aggregált kifejezés esetünkben azt jelenti, hogyrendszerint nem egy konkrét termékrıl, hanem termékek egy meghatározottcsoportjáról (terméktípus, termékcsoport stb.), valamint nem egy meghatározottberendezésrıl, hanem erıforrások egy meghatározott körérıl (gépcsoport, üzemstb.) beszélünk. Az aggregált termeléstervezés válasza lehet például az, hogyjanuárban és márciusban a hőtıgépekbıl az A jelő üzemben készítsünk 500-500darabot, márciusban viszont ne gyártsunk semmit. Ezzel kijelöltük a termeléskereteit az elsı három hónapra, de nem mondtuk meg, hogy melyik típusból,melyik gyártósoron, pontosan mely napokon, mennyi készüljön. Ezekre akérdésekre majd a termelésprogramozás ad választ (lásd például [38]).

Az aggregálás lényege tehát, hogy a „mikor mit gyártsunk” kérdésre adottválaszban nem törekszünk a legrészletesebb és legpontosabb megfogalmazásra,hanem a válasz egyes meghatározott elemeit összevontan (aggregáltan) kezeljük.Aggregálás a következı három területen (dimenzióban) történhet:

– Termékek aggregálása. Ahelyett, hogy részletesen határoznánk meg mindenegyes termék gyártandó mennyiségét, a termékeknek egy – a technológia, mé-ret, szervezet stb. által – meghatározott körét összevontan kezeljük. Például egy

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.1. BEVEZETÉS 175

háztartási berendezéseket gyártó üzemnél beszélhetünk a mosógépek és hőtıgé-pek gyártandó mennyiségérıl, esetleg még részletesebben a kis mérető és nagymérető hőtıgépek gyártandó mennyiségérıl.

– Erıforrások aggregálása. Az erıforrások aggregálásakor a termelés során fel-használt erıforrások egy – a technológia, szervezet, földrajzi elhelyezkedés stb.által – meghatározott körét vonjuk össze. Például egy háztartási berendezése-ket gyártó üzemnél beszélhetünk az egyes gyártósorok termelési feladatairól,amelyek több berendezést is tartalmaznak.

– Az idı aggregálása. A termelési feladatot ilyenkor egy – a szervezet, döntésimechanizmus stb. által – meghatározott idıtávra fogalmazzuk meg. Egy háztar-tási berendezéseket gyártó üzemnél például beszélhetünk a beruházási politikamiatt fontos éves termelési tervrıl, a készletek vizsgálata szempontjából kérdé-ses negyedévi termelési tervrıl, vagy a termelési program meghatározásáhozszükséges havi részletességő termelési tervrıl.

Konkrét feladatok megoldásakor egy vagy több dimenzió mentén aggregálha-tunk. Egyszerőbb termelési folyamatoknál esetleg csak az idıdimenzió menténszükséges az összevonás, tehát minden termék gyártandó mennyiségét és ahozzá felhasznált minden egyes berendezés programját megadjuk, például ne-gyedéves bontásban. Gyakran csak az erıforrásokat aggregáljuk, és így az egyesgyártósorok részletes (termékekre lebontott) termelési tervét határozzuk meg. Bo-nyolult, sokféle terméket gyártó rendszerek stratégiai szintő erıforrás-allokálásikérdéseinek vizsgálatakor viszont mindhárom dimenzió mentén szükséges azaggregálás.

A termelési terv aggregált megfogalmazása elsısorban két okból szükséges:– Egyrészt az a menedzsmentdöntés, amelyhez szükséges a termelésiterv-

információ nem feltétlenül igényli a legnagyobb részletességet. Amikor példáulel kell dönteni, hogy két eltérı földrajzi régióban lévı üzem között hogyan osszukmeg fıbb termékeink gyártását egy adott évben, akkor nincsen szükség a napra,gépre és termékre lebontott információra. A termelési tervet felhasználó me-nedzsmentkérdések tehát eltérı részletességő információt igényelnek (példáulpénzügyi tervezés, beruházás, készletgazdálkodás, alvállalkozói szerzıdésekstb.).

– A teljes részletességő (termékre, berendezésre, órára lebontott) optimálistermelési terv meghatározása sokszor olyan nagyságrendő matematikai modellteredményez, amelynek megoldása nem lehetséges vagy nem gazdaságos. Egytöbb ezer terméket sok üzem több száz berendezésén gyártó termelırendszernélaz optimális napi termelési terv meghatározása igen nagymérető feladat. Haesetleg a feladat matematikailag meg is oldható, mégis szükségtelen lehet a teljesrészletességő információ, mert az egyes üzemek vezetıi úgyis maguk dönteneka napi feladatokról a meghatározott tágabb keretek között.

Az aggregált termeléstervezés feladata tehát az optimális termékszerkezet,valamint a gyártáshoz felhasználható erıforrások optimális szintjének meghatá-rozása. E feladat rendszerint matematikai programozási modellként fogalmaz-

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


176 5. AGGREGÁLT TERMELÉSTERVEZÉS

ható meg. A feladat megoldásához szükséges információk a következı háromcsoportba sorolhatók:

– A vizsgált termékek vagy szolgáltatások iránt jelentkezı igény. A 2. fejezet-ben ismertettük az igény elırejelzésének módjait és hangsúlyoztuk, hogy az igényvalószínőségi változó, ezért annak pontos elırejelzése nem lehetséges. A terme-lési terv feladata az igény kielégítése. Ezért a termelési terv meghatározásakorfigyelembe kell venni az igény valószínőségi jellegét. Bár a szakirodalom foglal-kozik a sztochasztikus optimalizálási problémák megoldásával, a gyakorlatbanezeket ritkán használják. Ezért a termeléstervezési modellekbe nem az igény va-lószínőségi jellegén keresztül építik be a bizonytalanságot, hanem a készletekmegfelelı szervezésével próbálják enyhíteni annak kedvezıtlen hatását. Így a ter-meléstervezési modellek megfogalmazása elıtt menedzsmentdöntés szükséges.Meg kell határozni, hogy az elırejelzések alapján mekkora mennyiség kielégíté-sére készítsük el a termelési tervet. A termelési tervben szereplı igény már nemvalószínőségi változó, hanem a menedzsment által meghatározott pontos érték,ami lehet például az igény várható értéke. Ilyenkor a bizonytalanságot a me-nedzsment által elıírt biztonsági készlet elıírásával (lásd 4.10. fejezet) vesszükfigyelembe.

– A termelési terv által felhasznált erıforrások kapacitása. A termelési terv általmeghatározott gyártandó mennyiség elıállításakor csak a rendelkezésre álló, il-letve megszerezhetı kapacitások használhatók fel. Az erıforrások kapacitásainakmeghatározásával a 3. fejezetben foglalkoztunk, továbbá részletesen bemutat-tuk a rövid távú kapacitásváltoztatás módjait. Az ott ismertetett módszereka termelési tervbe beépíthetık. Így, ha egy meghatározott igény kielégítésérenincsen lehetıség, akkor a termelési terv a gazdasági adatok függvényében meg-határozhatja az igénybe veendı alvállalkozók körét, a mőszakszám növelésétstb.

– A termelési tervet meghatározó célfüggvény. A rendelkezésre álló kapacitások,valamint az elıre jelzett igény sokféle termelésiterv-változat kidolgozását teszi le-hetıvé. Ezek közül ki kell választani a gazdasági szempontból legmegfelelıbbet.A termelési tervet rendszerint vagy haszonmaximalizálás, vagy költségminimali-zálás alapján határozzuk meg. A konkrét helyzet dönti el, hogy egy adott döntésikörnyezetben mely költségek a lényegesek. A matematikai programozás szintevalamennyi lényeges költség figyelembevételét lehetıvé teszi, de természetesennagyon sok szempont figyelembevétele növeli az alkalmazott modell nagyságátés bonyolultságát. Ezért mindig mérlegelni kell a bonyolult modell felállításá-nak és megoldásának ráfordításigényét, valamint a kapott pontosabb információhasznát. A gyakorlatbanfigyelembe vett legfontosabb költségek a teljesség igényenélkül a következık:

– bérköltség,– a kapacitás változtatásának költsége,– a túlóra költsége,– készlettartási költség,

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.1. BEVEZETÉS 177

– hiányköltség,– a kibocsátási ütem változásának költsége,– a kihasználatlan kapacitás költsége.Az 5.3. fejezetben részletesen bemutatjuk a különféle költségeknek a termelési

tervet meghatározó modell bonyolultságára kifejtett hatását.A termelési terv egyik legfontosabb problémája a tervezési idıhorizont megha-

tározása. Bármilyen idıtávra készüljön is egy termelési terv, az mindig szubop-timális, mert nem veszi figyelembe a tervezést követı idıszakot. Ha például afeladat az elsı negyedév termelési tervének az elkészítése, akkor a második ne-gyedévben esetleg várható magas igény nem szerepel a termelési tervben. Pediglehet, hogy gazdaságosabb lenne az elsı három hónapban a szükségesnél lénye-gesen többet gyártani, és a következı negyedév igényének egy részét raktárrólkielégíteni, mint esetleg a második negyedévben költséges kapacitásbıvítési in-tézkedéseket (túlóra, mőszakszám növelése) hozni. A tervezési idıhorizontonkívüli hatások figyelembevételének három leggyakrabban alkalmazott módja akövetkezı:

– A termék gazdasági ciklusának figyelembevétele a tervezési horizont megha-tározásakor. Ilyenkor úgy jelöljük ki a termeléstervezés idıhorizontját, hogy az atermék valamennyi jellegzetes idıszakát tartalmazza. Ha például egy termék igé-nye szezonalitást tartalmaz, és a legmagasabb igényő szezon ıszre esik, akkor azelsı félévi termelési terv elkészítése nem szerencsés, mert nem fogja figyelembevenni a leginkább kapacitásigényes idıszakot.

– Peremfeltételek megadása. A termelési terv készítésekor peremfeltételekmegadásával vehetünk figyelembe idıhorizonton kívüli hatásokat. Például, ha azelsı félévi termelési tervet kell elkészíteni és tudjuk, hogy a második félév igényerendszerint magasabb, akkor elıírható az elsı félév végére egy meghatározottnagyságú raktárkészlet felhalmozása.

– Gördülı tervezés. A gyakorlatban leggyakrabban alkalmazott eljárás lényege,hogy mindig hosszabb távra készítjük a termelési tervet, mint amekkora távraazt ténylegesen meg is valósítjuk. Például elkészíthetjük az év elsı háromhónapjának termelési tervét, de ebbıl csak a januárit valósítjuk meg. Ezt követıenújabb háromhavi tervet készítünk, most már februártól áprilisig, de ismét csakaz elsı havit, tehát a februárit valósítjuk meg, és így tovább. Ebben az esetbena ténylegesen megvalósított terv mindig figyelembe vesz a megvalósított tervidıhorizontján kívül egyéb tényezıket is.

Végezetül egy egyszerő ábra segítségével szemléltetjük az aggregált terme-léstervezés gondolatmenetét. Az 5.1. ábra egy termék igényét, valamint az aztkielégítı termelési tervet szemlélteti. A folytonos vonallal jelölt görbe a kumuláltigény alakulását jelzi, tehát azt, hogy egy meghatározott t ideig összesen mekkoramennyiség gyártása szükséges. A kumulált igény meredekségének változása aztjelzi, hogy eleinte fokozatosan nı az igény, majd egy idı után lecsökken. A szag-gatott vonallal jelölt egyenes a kumulált termelési tervet jelzi, tehát azt, hogy

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



egy meghatározott t ideig összesen mekkora mennyiséget gyártunk. A szagga-tott vonal állandó meredeksége azt jelzi, hogy egyenletes ütemben termelünk,függetlenül az igény változásától. A kumulált igény és kumulált termelés kö-zötti különbség a raktárkészlet. Ha a termelés egyenese az igény görbéje feletthalad, akkor a termelési folyamatban készletek találhatók. Az ábrán láthatjuk,hogy t1 ideig készlet halmozódik fel, mert a termelés üteme nagyobb az igény-nél. Ezt követıen (t2 ideig) felhasználjuk a készletet, mert a termelés üteme azigénynél kisebb. Ez a tendencia t3 ideig tovább erısödik, ezért hiány keletkezik,tehát a kumulált igény meghaladja a kumulált termelést. A t3-mal jelzett idıpont-ban a hiány felhalmozódása megáll, mert innentıl kezdve az igény csökkenésemiatt a termelés üteme ismét nagyobb lesz az igénynél. Ez idı alatt többet terme-lünk, mint az igény, tehát a korábban felhalmozódott rendeléseket fokozatosankielégítjük, és a t5-tel jelölt idıpontra valamennyi igényt teljesítjük.

Kumulált mennyiség

Idő

Igény

TervKészletHiány

t1 t2 t3 t4 t5

5.1. ábra: Egyenletes ütemő termelés termelési tervének grafikus szemléltetése

Az 5.1. ábra egy olyan termelési tervet mutat be, amely az egyenletes termelésmiatt kiküszöböli az erıforrások szintjének változtatásával, valamint a termelésiütem módosításával kapcsolatos költségeket, de ugyanakkor számol a készlet-tartás, valamint a hiány miatt jelentkezı költségekkel. Egy másik termelésiterv-változatnál megpróbálhatjuk pontosan követni az igény alakulását, tehát mindigannyit termelünk, amennyi szükséges. Ebben az esetben a szaggatott vonal afolytonos vonalon halad. Ekkor nincs sem készlettartási, sem hiányköltség, vi-szont számolni kell az erıforrások szintjének változása (például a munkaerıátcsoportosítása) vagy az erıforrások kihasználatlansága miatt (például állásidı)felmerülı költségekkel. Hogy a két változat közül melyik a kedvezıbb, azt a kéttermelési terv költsége alapján dönthetjük el. Az optimális termelési terv megha-tározására felírt matematikai modellek valamennyi lehetséges tervváltozat közülválasztják ki a legkedvezıbbet. Ha ez a feladat bonyolultsága miatt nem lehet-séges, akkor heurisztikákkal, egy adott gyártási környezetben valószínőleg jó

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.2. A KIELÉGÍTİ ÉS OPTIMÁLIS TERMELÉSI TERV MEGHATÁROZÁSA – ESETTANULMÁNY 179

eredményre vezetı elvek alkalmazásával igyekszünk gazdasági szempontokatkielégítı termelési tervet találni. Az 5.1. ábra termelési terve például valószínőlegjó eredményre vezet akkor, ha a fajlagos készlettartási költség, valamint a hiánymiatt jelentkezı közvetlen, illetve közvetett veszteség alacsony, ugyanakkor atermelés ütemének és az erıforrások szintjének változtatása költséges.

A következıkben egy esettanulmány segítségével mutatjuk be a kielégítı,valamint optimális aggregált termelési terv meghatározását. Ezt követıen össze-foglaljuk a lineáris termeléstervezési modellek legfontosabb vonásait és meg-mutatjuk a lineáris programozás segítségével nyerhetı információk jelentıségétmenedzsmentdöntéseknél.

5.2. A KIELÉGÍTİ ÉS OPTIMÁLIS TERMELÉSI TERV MEGHATÁROZÁSA– ESETTANULMÁNY

A termeléstervezés problémáit és lehetséges megoldásukat elıször egy egyszerőesettanulmány segítségével szemléltetjük. Egy szerelıüzem egyik gyártósoránakjanuártól júniusig tartó hat havi termelési tervét szeretnénk meghatározni. Ajelzett hat hónap munkanapjainak számát (nt ), valamint a gyártott termék elırejelzett igényét az 5.1. táblázat szemlélteti.

5.1. táblázat: A havi munkanapok és az elırejelzett igény

Hónap Munkanapok számant

Elıre jelzett igény

Január 20 1280

Február 24 640

Március 18 900

Április 26 1200

Május 22 2000

Június 15 1400

Az adatokból látható, hogy nem azonos a havi munkanapok száma. A júniusi15 munkanap például a nyári karbantartás miatt lehet kevesebb a többi hónapmunkanapjainál. A feladat a havi gyártandó mennyiségek meghatározása.

A menedzsment a termelési terv meghatározásakor három költségelemet kívánfigyelembe venni:

– Ha az üzem egy adott hónapban az igénynél többet gyárt, akkor készletekkeletkeznek. A készlettartás havi költsége 8000 forint darabonként. A menedzs-ment olyan politikát követ, amely szerint hiány sohasem keletkezhet, ezért ahiányköltség megadása nem szükséges.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– Ha egy adott hónapban az igény lecsökken, akkor munkaerı-felesleg kelet-kezik, amit a menedzsment a munkások elbocsátásával, vagy más üzemekbeátcsoportosításával old meg. A felesleges munkaerıt elbocsátja akkor is, haesetleg késıbb arra szükség lehet, így takarítva meg az állásidı költségét. Az el-bocsátás és átcsoportosítás költsége a fizetendı végkielégítés és egyéb juttatásokmiatt 100 eFt munkásonként.

– Ha egy adott hónapban a termelési terv szerint gyártandó mennyiség elké-szítéséhez nincsen elegendı munkaerı, akkor az üzem munkásfelvétellel, illetveátcsoportosítással növeli a létszámot. Az ilyenkor szükséges betanítás és egyébráfordítások miatt a munkaerı-felvétel költsége 50 eFt munkásonként.

A felsorolt három költségelem arra utal, hogy a menedzsment elsısorban atermelés során felhasznált legfontosabb erıforrás (munkaerı) szintjének változ-tatása, valamint a készletek szintjének szabályozása alapján kíván termelésiterv-változatokat kidolgozni. Eltekint ugyanakkor a gyártási költségtıl. Ez akkorreális, ha a fajlagos gyártási költség nem függ a gyártott mennyiségtıl, valamintaz idıtıl. A könnyebb áttekinthetıség kedvéért ezeket az egyszerősítéseket mostelfogadjuk.

A munkaerı szintjének a gyártandó mennyiség szerinti szabályozása szüksé-gessé teszi a termék és az erıforrás mennyiségi kapcsolatának ismeretét. Aztkell tehát tudnunk, hogy egyetlen munkás mennyi terméket tud elkészíteni egymeghatározott idıszakban. Az üzemben megfigyelték, hogy egy 22 munkanaposhónapban 76 munkás 245 terméket szerelt össze. A menedzsment úgy gondolja,hogy ennek az egyszeri megfigyelésnek az eredménye általánosan is jól jellemziaz üzem termelékenységét, így felhasználható a termelési terv készítéséhez. Te-hát az adatok alapján egyetlen munkás által naponta gyártott mennyiség (K ) akövetkezıképpen számolható:

K =245 darab

22 munkanap · 76 munkás= 0,1465 db/nap/fı

A K tényezı és a gyártandó mennyiség ismeretében számolható a szükségesmunkáslétszám.

Az üzemben a januárt közvetlenül megelızı decemberi hónapban a munkás-létszám 300 fı, tehát ez a létszám áll költségmentesen a menedzsment rendelke-zésére a tervezés elsı hónapjában (januárban). Természetesen ezen a létszámon amenedzsment változtathat, de annak gazdasági következménye van. Decembervégén a raktárban 500 darab termék található, tehát ez bármikor felhasználhatóa következı hat hónapban. Ugyanakkor a menedzsment a második félév vár-hatóan magas igénye miatt a júniust 600 darabos raktárkészlettel kívánja zárni.Júniusban tehát a tényleges igény nem csak 1400 darab, mert arról is gondos-kodni kell, hogy az elıírt félév végi raktárkészlet rendelkezésre álljon. Az indulólétszám és készlet, valamint a zárókészlet a tervezés peremfeltételeit jelentik.

Az 5.1. táblázatban feltüntetett igény alapján a menedzsmentnek dönteniekell, hogy ténylegesen mekkora havi mennyiségek kielégítésére készítsen tervet.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az elıre jelzett igény alapján a menedzsment által elfogadott igény az effektívigény. Esetünkben a menedzsment úgy dönt, hogy az elıre jelzett igény legyena kielégítendı mennyiség, a december végén rendelkezésre álló készletet minélelıbb használjuk fel, valamint a június végi készletet csak az utolsó pillanatbangyártsuk le a készletezési költségek csökkentése érdekében. Biztonsági készletektartását a menedzsment nem tartja szükségesnek. Mindezeket figyelembe véveaz effektív havi igényeket úgy kapjuk meg, hogy a januári elıre jelzett igénytcsökkentjük a december végi készlettel, valamint a júniusi elıre jelzett igénytmegnöveljük a félév végére elıírt készlettel. A közbensı hónapokban az effektívigény megegyezik az elıre jelzett igénnyel. A havi effektív igények értékét az 5.2.táblázat utolsó elıtti oszlopa tartalmazza.

Az 5.2. táblázat a kumulált effektív igény ábrázolásához szükséges adatokatfoglalja össze. A kumulált effektív igény görbéjét pedig az 5.2. ábra tünteti fel.

A kumulált effektív igény az egy meghatározott hónap végéig összesen kielégí-tendı effektív igény. Tehát például a március végéig kielégítendı összes effektívigény az elsı három hónap effektív igényének összege (2320 db), az ehhez ren-delkezésre álló munkanapok száma pedig az elsı három hónap munkanapjainakösszege (62 nap). A kumulált effektív igény görbéjének meredeksége a félév végefelé növekvı igényt jelez.

5.2. táblázat: A kumulált effektív igény számítása

Hónap Munkanapokszáma

nt

Kumuláltmunkanapok

∑

nt

Effektív igényDt

Kumulálteffektív igény

∑

Dt

Január 20 20 780 780

Február 24 44 640 1420

Március 18 62 900 2320

Április 26 88 1200 3520

Május 22 110 2000 5520

Június 15 125 2000 7520

A menedzsment célja minden igény kielégítése, ezért a termelési terv meg-határozásakor a feladat a havi gyártandó mennyiség, valamint az ehhez szük-séges létszám kiszámítása. A havi gyártandó mennyiség meghatározásakor amenedzsmentet a munkáslétszám változtatásával, valamint a készletekkel kap-csolatos költségek befolyásolják. A menedzsment ezért olyan termelési tervetkeres, amely ezeket a költségeket minimalizálja. A következıekben háromtermelésiterv-változat elkészítését ismertetjük. Az elsı változat (A terv) a mun-káslétszám változtatásának költségét minimalizálja. Ez akkor lehetséges, haaz igény változásaitól függetlenül egyenletes ütemben termel az üzem, tehát

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.2. ábra: A kumulált effektív igény grafikonja

a munkaerıszint állandó. A második változat (B terv) a készletekkel kapcso-latos költségeket minimalizálja úgy, hogy mindig csak annyit gyárt, amennyiéppen szükséges. Végezetül a harmadik változat (C terv) a létszámváltoztatásés készlettartás költségét együttesen minimalizálja, ezért ez a terv a költségekszempontjából optimális.

5.2.1. Állandó munkaerıszint termelési terv (A terv)

Az állandó munkaerıszint termelési terv lényege, hogy a félév elején a menedzs-ment meghatároz egy olyan munkáslétszámot, amelynek segítségével mindennap ugyanakkora mennyiséget gyártva az effektív igény kielégíthetı, és sohasemalakul ki hiány. Az induló létszám számítását az 5.3. táblázat szemlélteti.

A számítás arra a követelményre épül, hogy soha nem alakulhat ki hiány, ezérta kumulált gyártásnak minden pillanatban nagyobbnak kell lennie a kumulálteffektív igénynél. Az 5.3. táblázat második oszlopa a kumulált effektív igényttartalmazza, tehát azt a mennyiséget, amelyet az egyes hónapok végéig összesenle kell gyártani. A táblázat harmadik oszlopa az egy munkás által egy nap alattlegyártható kumulált mennyiséget mutatja, amely a kumulált munkanapok ésaz egy fı által egy nap alatt legyártható mennyiség szorzata, tehát K ·

∑

nt .A kumulált effektív igény, valamint az egy munkás által egy nap alatt legyárthatómennyiség hányadosa megadja az adott hónap végéig az igény teljesítéséhezszükséges minimális létszámot. Miután hiány sohasem alakulhat ki, e számokmaximuma határozza meg az indulásnál szükséges és hat hónapon át elegendı

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



létszámot, tehát:

M1 = MaxL=1,...,6

L∑

t=1Dt

K ·L∑

t=1nt

= Max {267, 221, 256, 273, 343, 411} = 411 fı

ahol M1 a munkások januári létszámát jelöli. Az eredménybıl látható, hogy azutolsó hónaphoz tartozó kumulált adatokból számolt munkáslétszám a megha-tározó. Ez annak a következménye, hogy az utolsó hónapokban megnı az igény,ráadásul a legutolsó hónapban kevesebb is a munkanapok száma, így ekkor vanszükség a legnagyobb létszámra. Ez természetesen nincs mindig így. Ha ma-ximumként nem az utolsó hónaphoz tartozó létszám adódik, akkor az utolsóhónapban jelentkezı többletmunkaerı készletet termel.

5.3. táblázat: Létszám meghatározása állandó munkaerıszintnél

Hónap Kumulált effektívigény∑

Dt

Egy munkás általösszeszereltkumulált

mennyiségK ·

∑

nt

Minimálismunkaerı igény(∑

Dt )/(K ·∑

nt )

Január 780 2,931 267

Február 1420 6,448 221

Március 2320 9,086 256

Április 3520 12,896 273

Május 5520 16,120 343

Június 7520 18,318 411

Az 5.4. táblázat a 411 fıvel egyenletes ütemben végrehajtott termelés készlet-szintjének alakulását mutatja.

A táblázat harmadik oszlopa a 411 fı által gyártott havi mennyiségeket jelöli.Ezek segítségével számolható a kumulált termelés. A táblázat utolsó oszlopa akumulált termelés és a kumulált igény különbségét, tehát a hónap végi készlet-szintet mutatja. A készletek elsı négyhavi növekedése készletfelhalmozást jelez,tehát többet gyártunk, mint az effektív igény. Az utolsó két hónapban azonbana készletek gyakorlatilag nullára (8 darab) csökkennek, tehát az igénynél kisebbütemben folyik a termelés, ezért az igény egy részét a korábban felhalmozottkészletekbıl elégítjük ki.

Az állandó munkaerıszint termelési terv költsége a munkások számánakjanuári változtatása (111 fıvel növelése), valamint a készlettartás miatt jelentkezı

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.4. táblázat: Az állandó munkaerıszint termelési terv adatai

Hónap Egy mun-kás általösszesze-

reltmennyiség

K ·∑

nt

Havigyártott

mennyiségPt =

Mt · K · nt

Kumulálttermelés

∑

Pt

Kumulálteffektívigény∑

Dt

Készlet∑

Pt −∑

Dt

Január 2,931 1205 1205 780 425

Február 3,517 1445 2650 1420 1230

Március 2,638 1084 3734 2320 1414

Április 3,810 1566 5300 3520 1780

Május 3,224 1325 6625 5520 1105

Június 2,198 903 7528 7520 8

Össz. 5962

költségek összege. A készlettartási költség kiszámításánál azt az elvet követjük,hogy amelyik hónapban a készlet keletkezett, már számolunk készlettartásiköltséget. Ez azt jelenti, hogy az 5.4. táblázatbantalálható júniusi készlethez hozzákell adni a június végére kötelezıen elıírt 600 darab készletet is. A táblázatban ezazért nem szerepel, mert az effektív igénynél vettük figyelembe, tehát a számításúgy tekintette, mintha ez nem készlet, hanem igény lenne. Valójában azonban eza mennyiség is ott van a raktárban. Az állandó munkaerıszint termelési terv (Aterv) költsége tehát a következıképpen számolható:

KöltségA = 50 · (411 − 300) + 8 · (425 + 1230 + 1414 + 1780 + 1105 + 8 + 600) =

= 58 046 eFt.

5.2.2. Készlet nélküli termelési terv (B terv)

A készlet nélküli termelés lényege, hogy mindig csak annyit gyártunk, amennyiszükséges, tehát nem készletezünk, hanem minden gyártott mennyiséget azonnalelszállítunk a vevınek. A termelési terv számításához ebben az esetben meg kellhatározni minden hónapra az effektív igény gyártásához szükséges minimálislétszámot. A havi létszámok számítását az 5.5. táblázat mutatja.

A havi minimális munkáslétszám a havi effektív igény és az egy fı által egynap alatt legyártható mennyiség hányadosának egészre felkerekített értéke, tehát:

Mt =Dt

K · nt

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.5. táblázat: A készlet nélküli termelés munkaerı-szükségletének meghatározása

Hónap Munkanapokszáma

nt

Egy munkás általösszeszereltmennyiség

K · nt

Effektív igényDt

A munkásokminimális

számaDt/(K · nt )

Január 20 2,931 780 267

Február 24 3,517 640 182

Március 18 2,638 900 342

Április 26 3,810 1200 315

Május 22 3,224 2000 621

Június 15 2,198 2000 910

ahol Mt a munkások száma a t hónapban.Az 5.6. táblázat a munkáslétszám változását és az emiatt szükséges havi

felvételek és elbocsátások számát mutatja. A munkások számának változása a thónapban a t és t − 1 hónapok létszámának különbsége. Ha ez a szám pozitív,akkor felvételrıl, ha pedig negatív, akkor elbocsátásról beszélünk. A táblázatharmadik oszlopa alapján látható, hogy márciusban, májusban és júniusbanszükséges felvétel, míg januárban, februárban és áprilisban szükséges elbocsátás.

5.6. táblázat: A készlet nélküli termelés tervének adatai

Hónap LétszámMt

FelvételAt

Elbo-csátás

Et

Elké-szültter-

mék/fıK · nt

Gyártottmennyi-

ségPt =

Mt ·K ·nt

Kumu-lált

termelés∑

Pt

Kumu-lált

igény∑

Dt

Készlet∑

Pt −∑

Dt

Január 267 33 2,931 783 783 780 3

Február 182 85 3,517 640 1423 1420 3

Március 342 160 2,638 902 2325 2320 5

Április 315 27 3,810 1200 3525 3520 5

Május 621 306 3224 2002 5527 5520 7

Június 910 289 2,198 2000 7527 7520 7

Össz. 755 145 30

Az 5.6. táblázat utolsó oszlopa a készletek alakulását jelzi. Bár készlet nélkülitermelés a célunk, a havi létszámok kerekítése miatt minimális készletek kiala-kulhatnak. A táblázat hatodik oszlopa a meghatározott létszámmal legyártható

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



mennyiségeket tünteti fel. Ezek segítségével számolható a kumulált termelés. Ahónap végi raktárkészlet az adott hónap végéig legyártott összes mennyiség ésaz adott hónap végéig jelentkezı összes igény különbsége. A táblázat utolsó osz-lopában feltüntetett készlet nagysága valóban minimális. A júniusi készlet azelızı tervhez hasonlóan ismét 600 darabbal több, mert a kötelezıen elıírt júniusvégi raktárkészletet az effektív igény tartalmazta, de valójában az is a raktárbantalálható.

A készlet nélküli termelési terv költségét most az elbocsátások és felvételekmiatt jelentkezı költség, valamint a minimális nagyságú készlettartási költségösszege határozza meg, és a következıképpen számolható:

KöltségB = 50 · (160 + 306 + 289) + 100 · (33 + 85 + 27)+

+ 8 · (3 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7 + 600) = 57 290 eFt.

5.2.3. Az optimális termelési terv meghatározása

Az elızı két pontban kiszámítottuk az állandó munkaerıszint (A terv) és akészlet nélküli termelés (B terv) termelési tervének költségét és azt tapasztaltuk,hogy a készlet nélküli termelés valamivel olcsóbb:

KöltségA − KöltségB = 58 046 − 57 290 = 756 eFt.

Mindkét eset azonban jelentıs kompromisszumot tartalmaz. Az állandó mun-kaerıszint termelési terv ugyan megtakarítja az igen jelentıs létszámváltoztatásiköltségeket, de jelentıs készleteket halmoz fel. A készlet nélküli termelés szinteteljesen kiküszöböli a készlettartással kapcsolatos költségeket, itt viszont az ál-landó létszámváltoztatás jár jelentıs ráfordítással. Felvetıdik ezért a kérdés, hogyvajon nem lehetne-e a két terv kedvezı tulajdonságait egyesítı alacsonyabb költ-ségő termelési tervet készíteni. A létszámadatok változtatásával, próbálgatássalis eljuthatunk jobb termelési tervhez, de ennél célszerőbb egy olyan matematikaimodell felállítása, amely tartalmazza a termelési tervvel szemben támasztott fel-tételeket. Az 5.3. ábra egy olyan lineáris programozási modellt mutat, amelyneksegítségével a lehetı legalacsonyabb költségő, tehát a költségek szempontjá-ból optimális termelési terv meghatározható. A modell változói a következı ötcsoportba sorolhatók:

– havonta felvett munkások száma (At , t = 1, . . . , 6),– havonta elbocsátott munkások száma (Et , t = 1, . . . , 6),– havi munkáslétszám (Mt , t = 0, . . . , 6),– havi termelt mennyiség (Pt , t = 1, . . . , 6),– hónap végi készlet nagysága (It , t = 0, . . . , 6).

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A feladat célja meghatározni a változók optimális értékét. Néhány változóértékét azonban a menedzsment elıre rögzítette. Ezek az elıre meghatározottértékek alkotják a modell peremfeltételeit:

– induló (decemberi) létszám: 300 fı (M0 = 300),– induló (decemberi) készlet: 500 darab (I0 = 500),– záró (júniusi) készlet: 600 darab (I6 = 600).A modell 32 változót tartalmaz. Észrevehetjük, hogy a készletet és létszámot je-

lölı változókból eggyel több van a kiindulási helyzet rögzítése miatt. Valamennyiváltozó csak pozitív értéket vehet fel. Egyedül a hónap végi készlet nagyságánállenne a gyakorlatban is értelme a negatív értéknek, ami hiányt jelentene. Ennekkialakulását azonban a menedzsment el akarja kerülni.

A modell paraméterei három csoportba sorolhatók:– célfüggvény-együtthatók, amelyek a felvétel, elbocsátás és készlettartás

fajlagos költségei,– havi igényadatok (most nem szükséges az effektív igény számítása, mert a

változók elıírt értékein keresztül az induló- és zárókészletek nagyságát a modellautomatikusan figyelembe veszi),

– a termék és a munkaerı között kapcsolatot teremtı adatok, amelyek az egymunkás által az adott hónapban gyártható mennyiséget jelentik (K · nt ).

A feladat a legalacsonyabb költségő termelési terv meghatározása, tehát mini-malizálni kell a munkásfelvétel, elbocsátás és készlettartás együttes költségét. Abevezetett változók és paraméterek segítségével a költségminimalizálás célfügg-vénye a következıképpen írható fel:

Min

[

50 ·6

∑

t=1

At + 100 ·6

∑

t=1

Et + 8 ·6

∑

t=1

It

]

Észrevehetjük, hogy nem minden változó szerepel a célfüggvényben. Ennekoka, hogy a menedzsment csak három költségelemnek a minimalizálását tartjafontosnak. Ha a fajlagos gyártási költségeket is figyelembe vennénk, akkor nyil-ván a havi gyártott mennyiségek és a fajlagos gyártási költségek is megjelennéneka célfüggvényben. Ha azonban a fajlagos gyártási költség nem függ sem a gyártottmennyiségtıl, sem a hónaptól, akkor az eredményt úgysem befolyásolja annaknagysága.

Aváltozók és paraméterekközött a korlátozó feltételek teremtenek kapcsolatot.Az 5.3. ábra a termelési terv feltételeit – a lineáris programozási modelleknélszokásos standard módon – úgy rendezi, hogy a változót tartalmazó tagok azegyenletek bal oldalán szerepeljenek. A feltételek három csoportba sorolhatók:

– A létszámegyenletek a havi létszámokat számolják ki a felvétel és elbocsátásfüggvényében, és általánosan a következıképpen írhatók fel:

Mt − Mt−1 − At + Et = 0 t = 1, . . . , 6

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Min

[

50 ·6

∑

t=1

At + 100 ·6

∑

t=1

Et + 8 ·6

∑

t=1

It

]

Létszám 1: M1 − M0 − A1 + E1 = 0Létszám 2: M2 − M1 − A2 + E2 = 0Létszám 3: M3 − M2 − A3 + E3 = 0Létszám 4: M4 − M3 − A4 + E4 = 0Létszám 5: M5 − M4 − A5 + E5 = 0Létszám 6: M6 − M5 − A5 + E6 = 0

Igény 1: P1 − I1 + I0 = 1280Igény 2: P2 − I2 + I1 = 640Igény 3: P3 − I3 + I2 = 900Igény 4: P4 − I4 + I3 = 1200Igény 5: P5 − I5 + I4 = 2000Igény 6: P6 − I6 + I5 = 1400

Termelés 1: P1 − 2,931M1 = 0Termelés 2: P2 − 3,517M2 = 0Termelés 3: P3 − 2,638M3 = 0Termelés 4: P4 − 3,810M4 = 0Termelés 5: P5 − 3,224M5 = 0Termelés 6: P6 − 2,198M6 = 0

Induló létszám: M0 = 300Induló készlet: I0 = 500Záró készlet: I6 = 600

A1, . . . , A6; E1, . . . , E6; I1, . . . , I6; P1, . . . , P6; M1, . . . , M6; ≥ 0

Változók:At – felvett (alkalmazott) munkások száma a t hónapban,Et – elbocsátott munkások száma a t hónapban,It – raktárkészlet a t hónap végén,Pt – gyártott mennyiség a t hónapban,Mt – munkások száma a t hónapban.

5.3. ábra: A termeléstervezési feladat lineáris programozási modellje

Az egyenlet azt az egyszerő összefüggést rögzíti, hogy a t hónap létszáma azelızı hónap (t − 1) létszámából számolható ki úgy, hogy vagy hozzáadjuk a thónapban felvett, vagy levonjuk a t hónapban elbocsátott munkások számát. Fel-merül a kérdés, hogy nem kaphatunk-e olyan eredményt, amelynél ugyanabbana hónapban felvétel és elbocsátás is lesz, tehát egy adott t hónapban At 6= 0, ésEt 6= 0. Bár a munkáslétszám meghatározására felírt egyenlet ezt a lehetıségetmegengedi, könnyő belátni, hogy optimális megoldásnál ez nem fordulhat elı.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A célfüggvény értéke ugyanis mindig kisebb olyan esetben, amikor vagy csakelbocsátás, vagy csak felvétel fordul elı.

– Az igény kielégítését elıíró egyenletek a termelés, a készlet, és az igényegyensúlyát írják elı és általánosan a következıképpen fogalmazhatók meg:

Pt − It + It−1 = Dt t = 1, . . . , 6

Az egyenlet azt az egyszerő összefüggést rögzíti, hogy egy t hónapban termeltés az elızı (t − 1) hónap végén megmaradt raktárkészlet együtt egyenlı at hónapban a vevıknek szállított, valamint a hónap végén raktárban maradtmennyiség összegével. Az egyenlet jobb oldalán szereplı Dt paraméter most akielégítendı tényleges igényt és nem az effektív igényt jelenti.

– A termelt mennyiség és az alkalmazott munkáslétszám kapcsolatát kifejezıegyenletek általánosan a következıképpen írhatók fel:

Pt − K nt Mt = 0 t = 1, . . . , 6

Az egyenlet a t hónapban alkalmazott munkáslétszám, az egy munkás általegy nap alatt gyártható mennyiség, valamint a t hónapban rendelkezésre állómunkanapok segítségével számítja ki a gyártható mennyiséget.

Mindhárom egyenletcsoportba hat egyenlet tartozik, így az egyenletek számaösszesen 18. A 32 változót és 18 egyenletet tartalmazó lineáris programo-zási feladat könnyen megoldható bármilyen lineáris programozási szoftverrel.Példánkban az optimális megoldást az Excel táblázatkezelı rendszer solver esz-közével kerestük meg. A megoldandó lineáris programozási feladat Excel táblájátaz 5.7. táblázat tartalmazza. Az induló tábla az elıre nem rögzített értékő válto-zókhoz zéró értéket rendel. A táblázatból látható, hogy jóllehet a 32 változót és18 egyenletet tartalmazó modell együtthatómátrixa 32 · 18 = 576 adatot tartalmaz,ezek nagy része zéró.

A feladat optimális megoldását az 5.8. táblázat foglalja össze. A táblázat elsıoszlopa a változók nevét, második oszlopa a megoldáshoz használt induló érté-keket (lásd az Excel táblázat második sorát), a harmadik oszlop pedig a változókoptimális értékét tartalmazza. A feladatmegoldásakor nem kötöttük ki a változókegészértékőségét, így a kapott eredményeket értelemszerően kerekíteni kell. Azegészértékőség feltételezésekor pontosabb optimális megoldást kapunk, azonbanjelentısen megnı a modell bonyolultsága és így az igényelt számítástechnikaiapparátus, valamint a megoldási idı is. A gyakorlatban a folytonos változók al-kalmazása és értelemszerő kerekítése megfelelı eredményt ad, mert a használtadatok (igény, költségek) pontatlansága rendszerint nagyobb gondot okoz, mintaz optimális megoldás kerekítése miatti közelítés. Az optimális termelési tervköltsége 37 929 eFt, ami lényegesen alacsonyabb a korábban meghatározott A ésB tervek költségénél. Az optimális terv szerint májusban lenne nagyobb mun-kásfelvétel (A5 = 465 fı), míg januárban lenne kis mértékő elbocsátás (E1 = 27).Az így kapott termelési terv az állandó munkaerıszint termelési terv kis mértékő

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



módosítását jelenti. Az elsı öt hónapban állandó munkaerıszinttel (Mt = 273 fı,t = 1, . . . , 5) folyik a termelés, majd ezt követıen az igény növekedése miatt azutolsó két hónapban egy megnövelt, de ismét állandó munkaerıszinttel dolgo-zunk tovább (Mt = 737 fı, t = 6,7). A hónap végi készletek alakulását az 5.8.táblázat harmadik blokkja tünteti fel.

Észrevehetjük, hogy a készletszint elıször lecsökken (felhasználjuk az indulókészletet), majd nı, és ezt követıen újra csökken egészen zéró értékig (I4 = 0). Eztkövetıen megkezdıdik a félév végére elıírt 600 darabos készlet felhalmozása.

Végezetül az 5.9. táblázat a kerekített értékek mellett mutatja a felvétel, azelbocsátás, valamint a készletszint alakulását. Ezen kerekített értékek mellett azoptimális termelési terv költsége a következıképpen számolható:

KöltségC = 50 · 465 + 100 · 27 + 8 · (20 + 340 + 160 + 0 + 379 + 1 + 600) = 37 950 eFt

Az eredménybıl látható, hogy a kerekítés okozta költségnövekedés minimális(21 eFt).

Megállapíthatjuk tehát, hogy az optimális megoldás (C terv) lényegesen jobberedményt ad, mint a logikusnak tőnı elvek alapján készített termelési tervek(A és B terv). Az optimális megoldást még a bemutatotthoz hasonlóan egyszerőfeladatoknál is csak igen ritkán lehet a költségek nagyságának vizsgálata alapjánkikövetkeztetni. Bonyolultabb feladatoknál a lineáris programozási modellekalkalmazása még inkább indokolt.

Az ismertetett feladat számos egyszerősítést tartalmazott. Így nem vettük fi-gyelembe a költségek esetleges hónaponkénti változását, eltekintettünk a gyártásiköltségtıl, nem vettünk figyelembe kapacitáskorlátot, csak egyetlen termék gyár-tásával foglakoztunk stb. A következı fejezetben megmutatjuk, hogy mindezeketaz egyszerősítéseket csak a könnyebb szemléltethetıség miatt alkalmaztuk. A li-neáris programozás olyan rugalmas modellezési lehetıség, amely segítségével agyakorlati élet számos különlegessége figyelembe vehetı.

5.3. LINEÁRIS TERMELÉSTERVEZÉSI MODELLEK ÁLTALÁNOS MEGFO-GALMAZÁSA

Az elızı pontban bemutatott esettanulmány optimális termelési tervét meghatá-rozó modellt általánosan a következıképpen írhatjuk fel:

Min{

cT · x}

feltéve, hogy A · x ≤ b; x ≥ 0,

aholcT – célfüggvény-együtthatókat tartalmazó sorvektor,x – a változókat tartalmazó oszlopvektor,A – feltételi egyenletek együtthatómátrixa,b – feltételi egyenletek jobb oldalán található paraméterek oszlopvektora.

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/1912006.augusztus

2.–22:24

5.3.LIN

EÁ

RIS

TER

MELÉST

ER

VEZÉSIM

OD

ELLEK

ÁLTA

LÁ

NO

SM

EG

FOG

ALM

AZÁ

SA191

5.7. táblázat: Az esettanulmány lineáris programozási modelljének Excel táblázata

A1 A2 A3 A4 A5 A6 E1 E2 E3 E4 E5 E6 I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 P1 P2 P3 P4 P5 P6 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6

Változó 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 0 0 0 0 0 600 0 0 0 0 0 0 300 0 0 0 0 0 0

Célfüggv. 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100 100 0 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4800

Létszám 1 −1 1 −1 1 −300

Létszám 2 −1 1 −1 1 0

Létszám 3 −1 1 −1 1 0

Létszám 4 −1 1 −1 1 0

Létszám 5 −1 1 −1 1 0

Létszám 6 −1 1 −1 1 0

Igény 1 1 −1 1 500

Igény 2 1 −1 1 0

Igény 3 1 −1 1 0

Igény 4 1 −1 1 0

Igény 5 1 −1 1 0

Igény6 1 −1 1 −600

Termelés 1 1 −2,931 0

Termelés 2 1 −3,517 0

Termelés 3 1 −2,638 0

Termelés 4 1 −3,81 0

Termelés 5 1 −3,224 0

Termelés 6 1 −2,198 0

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu © Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.8. táblázat: Az esettanulmány optimális megoldása

Név Eredeti érték Végérték

Változó A1 0 0,000Változó A2 0 0,000Változó A3 0 0,000Változó A4 0 0,000Változó A5 0 464,803Változó A6 0 0,000Változó E1 0 27,020Változó E2 0 0,000Változó E3 0 0,000Változó E4 0 0,000Változó E5 0 0,000Változó E6 0 0,000Változó I0 500 500,000Változó I1 0 20,000Változó I2 0 340,000Változó I3 0 160,000Változó I4 0 0,000Változó I5 0 378,378Változó I6 600 600,000Változó P1 0 800,000Változó P2 0 960,000Változó P3 0 720,000Változó P4 0 1040,000Változó P5 0 2378,378Változó P6 0 1621,622Változó M0 300 300,000Változó M1 0 272,980Változó M2 0 272,980Változó M3 0 272,980Változó M4 0 272,980Változó M5 0 737,783Változó M6 0 737,783

Az általános felírást akkor kapjuk meg, ha minden feltételt – az 5.3. ábráhozhasonlóan – úgy írunk fel, hogy a jobb oldalon csak paraméterek szerepelnek,

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.3. LINEÁRIS TERMELÉSTERVEZÉSI MODELLEK ÁLTALÁNOS MEGFOGALMAZÁSA 193

5.9. táblázat: A kerekített optimális termelési terv adatai

Hónap LétszámMt

FelvételAt

Elbo-csátás

Et

Elké-szültter-

mék/fıK · nt

Gyártottmennyi-

ségPt =

Mt ·K ·nt

Kumu-lált

termelés∑

Pt

Kumu-lált

igény∑

Dt

Készlet∑

Pt −∑

Dt

Január 273 27 2,931 800 800 780 20

Február 273 3,517 960 1760 1420 340

Március 273 2,638 720 2480 2320 160

Április 273 3,810 1040 3520 3520 0

Május 738 465 3224 2379 5899 5520 379

Június 738 2,198 1622 7521 7520 1

Össz. 465 27 900

változók nem. A célfüggvény költségminimalizálásként és haszonmaximalizálás-ként egyaránt felírható. A lineáris programozási feladatként megfogalmazhatótermeléstervezési modelleket hívjuk lineáris termeléstervezési modelleknek. Az eset-tanulmány lineáris programozási modelljének c, x , b vektorai és A mátrixa az 5.7.táblázat Excel táblájában könnyen felismerhetık.

Az elızı pontban bemutatott esettanulmány a könnyebb kezelhetıség érde-kében egyszerősítéseket tartalmazott. Lineáris egyenletek és költség-, illetvehaszonfüggvények felhasználásával azonban a gyakorlati élet szinte valamennyifontos tényezıje felírható és így a termeléstervezési modellbe bevonható. Álta-lánosan ilyenkor mindig a fent felírt egyszerő formát kapjuk, de természetesena változók és a feltételi egyenletek száma, és ezáltal az együtthatómátrix méretemegnı. Ma már azonban nincsen számítástechnikai akadálya a gyakorlati prob-lémák leírására alkalmas több tízezer változót és feltételi egyenletet tartalmazómodellek megoldásának sem. A következıkben három lineáris programozásimodell segítségével mutatjuk be, hogyan vehetık figyelembe a gyakorlati terme-léstervezési problémák legfontosabb vonásai.

5.3.1. Az esettanulmány kibıvítése

Az 5.2 fejezetben bemutatott esettanulmányt bıvítsük ki néhány, a gyakorlatitermelésmenedzsment-problémáknál sokszor elıforduló tényezıvel. A további-akban a változót nagybetővel, a hozzá tartozó célfüggvény-együtthatót pedigkisbetővel jelöljük. A módosított modellt az 5.4. ábra szemlélteti, és a következıkiegészítéseket tartalmazza:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– A menedzsment elfogadja a hiány elıfordulását, ha a hiány elkerülésénekköltsége alacsonyabb az igény maradéktalan kielégítésének hasznánál. Ebben azesetben meg kell különböztetni a pozitív (tényleges) készletet (I +

t ) és a hiányt(I−

t ), valamint az ezekhez tartozó fajlagos készlettartási- (i +t ), valamint hiány- (i−t )

költséget.– A munkások felvételénél a menedzsment most mérlegeli, hogy a munkások

költséges felvétele és esetleg késıbbi elbocsátása helyett nem gazdaságosabb-e bizonyos mennyiség túlórában gyártása (Ot ) a meglévı létszámmal, vagybizonyos mennyiség alvállalkozói gyártása (Yt ). A vizsgálathoz tudni kell atúlórában gyártás, valamint az alvállalkozói gyártás fajlagos többletköltségét (ot ,valamint yt ).

– A munkások elbocsátásánál a menedzsment most mérlegeli, hogy esetlegbizonyos idıszakokban kedvezıbb lehet az állásidı (kihasználatlan kapacitás)költségének fizetése (ut ), mint az elbocsátás (et ) és esetleges késıbbi újrafelvétel(at ) együttes költsége. A kapacitás kihasználatlanságát az el nem készítetttermékek mennyiségével mérjük (Ut ).

– Végezetül a menedzsment a módosított modellben figyelembe veszi, hogya költségadatok az idı függvényében változhatnak, tehát például bizonyoshónapokban magasabb lehet a túlóra vagy az alvállalkozói gyártás fajlagosköltsége. Ezért szerepel az 5.4. ábrán a célfüggvény-együtthatóknál a t index.

Az 5.4. ábra célfüggvénye tehát olyan termelési terv keresését jelenti, amelynéla munkáselbocsátás, munkásfelvétel, készlettartás, hiány, rendes munkaidıbenés túlórában gyártás, alvállalkozói szállítás, valamint kapacitáskihasználatlanságegyüttes költsége a lehetı legkisebb. A termelési tervnek az ábrán feltüntetettkövetkezı feltételeket kell kielégítenie:

– Létszám. A t idıszak létszámát az elızı idıszak létszámának a felvétellelmegnövelt vagy elbocsátással csökkentett értéke adja, tehát:

Mt = Mt−1 + At − Et t = 1, . . . , L

Az optimális megoldásnál ugyanabban a hónapban felvétel és elbocsátásegyidejőleg nem szerepelhet, bár a felírt egyenlet ezt a lehetıséget megengedi.Könnyen belátható ugyanis, hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyanesetben, amikor vagy csak elbocsátás, vagy csak felvétel történik.

– Gyártás. A t idıszakban legyártott mennyiséget a munkáslétszám által ren-des munkaidıben legyártható mennyiségnek a túlórában gyártott mennyiséggelmegnövelt, vagy a kihasználatlanság miatt lecsökkentett értéke adja, tehát:

X t = K nt Mt + Ot − Ut t = 1, . . . , L

Az optimális megoldásnál ugyanabban a hónapban túlóra és kihasználatlanságegyidejőleg nem szerepelhet, bár a felírt egyenlet ezt a lehetıséget megengedi.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Könnyen belátható ugyanis, hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyanesetben, amikor vagy csak túlóra, vagy csak kihasználatlanság fordul elı.

Célfüggvény: MinL

∑

t=1

at At + et Et + i +t I +

t + i−t I−t + xt X t + ot Ot + yt Yt + utUt

Létszám: Mt − Mt−1 − At + Et = 0 t = 1, . . . , LGyártás: X t − K nt Mt − Ot + Ut = 0 t = 1, . . . , LKészlet: It − I +

t + I−t = 0 t = 1, . . . , L

Igény: Dt − X t − Yt − It−1 + It = 0 t = 1, . . . , LNemnegativitási feltétel: At , Et , I +

t , I−t , X t , Ot , Yt , Ut , Mt ≥ 0 t = 1, . . . , L

Peremfeltételek: M0, I0, IL , stb.

Változók:At – felvett (alkalmazott) munkások száma a t idıszakban,Et – elbocsátott munkások száma a t idıszakban,I +t – raktárkészlet a t idıszak végén,

I−t – hiány a t idıszak végén,

It – készletszint a t idıszak végén,X t – összes gyártott mennyiség a t idıszakban,Ot – túlórában gyártott mennyiség a t idıszakban,Yt – alvállalkozók által gyártott mennyiség a t idıszakban,Ut – mennyiségben kifejezett kapacitáskihasználatlanság a t idıszakban,Mt – munkások száma a t idıszakban.Paraméterek:at – egy munkás egyszeri alkalmazásának költsége a t idıszakban,et – egy munkás elbocsátásának költsége a t idıszakban,i +t – készlettartás fajlagos költsége a t idıszakban,

i−t – hiány fajlagos költsége a t idıszakban,xt – rendes munkaidıben gyártás fajlagos költsége a t idıszakban,ot – túlórában gyártás fajlagos többletköltsége a t idıszakban,yt – alvállalkozói gyártás fajlagos többletköltsége a t idıszakban,ut – kapacitáskihasználatlanság fajlagos költsége a t idıszakban,K – egy munkás által egy nap alatt gyártott mennyiség,nt – munkanapok száma a t idıszakban,Dt – a menedzsment által kielégíteni tervezett igény a t idıszakban,L – a tervezési idıszakok száma.

5.4. ábra: Hiányt, túlórát, alvállalkozói gyártást, valamintkapacitáskihasználatlanságot figyelembe vevı termeléstervezési modell

Fontos hangsúlyozni, hogy a változók mind a túlórát, mind pedig a kihasz-nálatlanságot termékdarabszámban adják meg. Ot tehát azt jelenti, hogy hány

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



darab készül túlórában, Ut pedig azt jelenti, hogy a kihasználatlan idıben hánydarab készíthetı el. Emlékeztetıül megjegyezzük, hogy az esettanulmány elı-zı pontban felírt egyszerő modelljében a gyártott mennyiség csak a munkásokszámától függött és értékét Pt -vel jelöltük (Pt = K nt Mt ).

– Készlet. A készletegyenletek a t idıszak végére kialakult készletek ténylegesnagyságát fejezik ki, tehát:

It = I +t − I−

t t = 1, . . . , L

Az egyenlet szerint a készlet a ténylegesen raktárban lévı mennyiség (pozitívkészlet), valamint a hiány (negatív készlet) összege. Az optimális megoldásnálugyanabban a hónapban tényleges készlet és hiány egyidejőleg nem szerepelhet,bár a felírt egyenlet ezt a lehetıséget megengedi. Könnyen belátható ugyanis,hogy a célfüggvény értéke mindig kisebb olyan esetben, amikor vagy csak készlet,vagy csak hiány alakul ki. Fontos hangsúlyozni, hogy I +

t és I−−t értéke mindig

pozitív, míg It értéke hiány esetén negatív, készlet kialakulásakor pedig pozitív.– Igény. Az igényegyenletek a termék mennyiségének t idıszakbeli egyensúlyát

fejezik ki. A t idıszakban a vevıknek szállított mennyiség és a t idıszak végiraktárkészlet forrása a t idıszakbeli saját és alvállalkozói gyártás, valamint azelızı idıszak raktárkészlete, tehát:

Dt + It = X t + Yt + It−1 t = 1, . . . , L

Ha az elızı hónap végi készlet, valamint a saját és alvállalkozói gyártás együttnem elegendı az igény kielégítésére, akkor hiány keletkezik, tehát It ≤0.

– A nemnegativitási feltételek elıírják a változók szükségszerően pozitívértékét. A jelzett változók negatív értékének egyébként nincs gyakorlati jelentése.

A felírt egyenletek kiegészíthetık peremfeltételekkel, amelyek bizonyos vál-tozókra elıírt értéket jelentenek. Ezek lehetnek a menedzsment által korábbaneldöntött kérdések (például meghatározott raktárkészlet a tervezési idıszak vé-gén), valamint a tervezés kiinduló feltételei (például induló munkáslétszám,induló készlet stb.).

Az 5.4. ábrán valamennyi feltételnél a lineáris programozási modelleknél alkal-mazott standard felírás szerint minden változó a bal oldalra rendezve szerepel.Az ismertetett modell L számú idıszakra határozza meg a termelési tervet. Amodellben szereplı változók az ábrán feltüntetett 10 csoportba sorolhatók, me-lyeknek mindegyikében az idıszakok számával megegyezı változó található. Ígya változók összes száma 10L. Az ábrán jelölt négy egyenletcsoport mindegyi-kében ugyancsak az idıszakok számával megegyezı egyenlet található, tehát azegyenletek száma 4L . A 10L változót és 4L egyenletet tartalmazó lineáris pro-gramozási feladat felállítása és megoldása még gyakorlati szempontból nagy Lértéknél (például napi termelési terv egy évre) is könnyen elvégezhetı. Az ismer-tetett modellnél azonban továbbra is komoly egyszerősítést jelent, hogy a vizsgáltrendszer csak egy terméket gyárt, valamint nincsenek kapacitáskorlátok.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.3.2. Többféle termék kapacitáskorlátok melletti gyártása a biztonsági készlet figyelembe-vételével

A következıkben egy olyan termeléstervezési modellt mutatunk be, amely többtermék együttes gyártását veszi figyelembe. Valamennyi termék közösen hasz-nál erıforrásokat, valamint egy korlátozott méretben rendelkezésre álló raktárt.Figyelembe vesszük továbbá az igény bizonytalansága miatti biztonságikészlet-elıírásokat is. Az 5.5. ábra egy olyan modell általános felírását mutatja, amely Nkülönbözı termék gyártását, M darab különbözı erıforráscsoport felhasználásá-val, L számú idıszakon keresztül feltételezi. A célfüggvény az ábrán csak gyártásiés raktározási költséget tartalmaz. Az egyszerőség kedvéért most eltekintünk azelızı modellnél figyelembe vett hiány, túlóra, alvállalkozói gyártás és kihaszná-latlanság költségétıl, de könnyen belátható, hogy ezeknek a költségelemeknek afigyelembevétele ennél a modellnél sem okoz nehézséget.

Az optimális megoldás keresésekor az ábrán jelölt következı feltételeket kellkielégíteni:

– Igény. Az igényegyenletek a termék mennyiségének t idıszakbeli egyensúlyátfejezik ki. Mindenegyes terméknél a t idıszakbanavevıknek szállítottmennyiségés a t idıszak végi raktárkészlet forrása a t idıszakbeli gyártás, valamint az elızıhónap végi raktárkészlet, tehát:

Dit + Iit = X it + Ii,t−1 i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . L

Az egyenleteket minden termékre minden idıszakban fel kell írni, ezért azegyenletek száma N L.

– Erıforráskorlát. Az erıforráskorlát-feltételek azt írják elı, hogy a t idıszakbangyártott valamennyi termék j erıforrás iránti együttes igénye nem lehet nagyobb,mint az erıforrás rendelkezésre álló mennyisége, tehát:

N∑

i=1

gi j t X it ≤ G j t j = 1, . . . , M ; t = 1, . . . , L

A gi j t együttható azt fejezi ki, hogy termék i a t idıszakban milyen mértékbenveszi igénybe a j erıforrást. Ha az erıforrás igénybevétele esetleg nem függ azidıtıl, akkor a t index elhagyható. Hangsúlyozni kell, hogy az erıforráskorlátglobálisan vizsgálja, van-e elegendı kapacitás a munka elvégzésére. Nem vesziazonban figyelembe azt, hogy a termékek az erıforrásokat milyen – a technológiaáltal megszabott – sorrendben látogatják. Elıfordulhat tehát, hogy bár globálisanvan elegendı kapacitás, a termelésütemezés végrehajtásakor mégis jelentkezikkapacitáshiány. A probléma a gyártási sorrendet is figyelembe vevı – nemlineáris– matematikai programozási modellekkel vizsgálható, vagy a termelésütemezéstechnikáival kezelhetı [24]. Az erıforráskorlát-feltételeket minden erıforrásraminden idıszakban fel kell írni, ezért az egyenlıtlenségek száma M L.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Célfüggvény: MinL∑

t=1

N∑

i=1xit X it + iit Iit

Igény: X it + Ii,t−1 − Iit = Dit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , L

Erıforráskorlát:N∑

i=1gi j t X it ≤ G j t j = 1, . . . , M ; t = 1, . . . , L

Raktárkapacitás:N∑

i=1rit Iit ≤ Rt t = 1, . . . , L

Biztonsági készlet: Iit ≥ ssit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , LNemnegativitási feltétel: X it , Iit ≥ 0 i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , L

Változók:X it – az i termékbıl gyártott mennyiség a t idıszakban,Iit – az i termék raktárkészlete a t idıszak végén.Paraméterek:xit – termék i fajlagos gyártási költsége a t idıszakban,iit – termék i fajlagos készlettartási költsége a t idıszakban,Dit – az i termékbıl a menedzsment által kielégíteni tervezett igény a tidıszakban,gi j t – erıforrás j -bıl termék i fajlagos felhasználása a t idıszakban,G j t – erıforrás j kapacitása a t idıszakban,rit – termék i fajlagos raktárkapacitás igénye a t idıszakban,Rt – raktárkapacitás a t idıszakban,ssit – termék i biztonsági készlete a t idıszakban,N – termékek száma,M – erıforrások száma,L – tervezési idıszakok száma.

5.5. ábra: Több termék gyártásának termeléstervezési modellje kapacitáskorlát ésbiztonsági készlet figyelembevételével

– Raktárkapacitás. A raktárkapacitás feltételek azt írják elı, hogy valamennyi tidıszakban az idıszak végére a termékekbıl felhalmozódott raktárkészlet nemhaladhatja meg a vizsgált idıszakban rendelkezésre álló raktárkapacitást, tehát:

N∑

i=1

rit Iit ≤ Rt t = 1, . . . , L

Az rit együttható azt fejezi ki, hogy a termék i a t idıszakbanmilyen mértékbenfoglalja le a raktárt. Így rit jelentheti az elfoglalt négyzetmétert, köbmétert, atermék súlyát, a lefoglalt rekeszek számát stb. Azonos mérető termékeknél az ritegyüttható el is hagyható. Ilyenkor a raktár kapacitását a tárolható darabszámmal

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



adjuk meg. A kapacitáskorlát-feltételt minden idıszakra fel kell írni, ezért afeltételek száma L.

– Biztonsági készlet. A biztonsági készlet elıírja, hogy minden termékbıl mindenidıszakban a raktárkészlet legyen nagyobb az elıírt értéknél, tehát:

Iit ≥ ssit i = 1, . . . , N ; t = 1, . . . , L

A menedzsment az idıszakonként kielégítendı igény nagyságáról az elıre-jelzések alapján határoz. Dönthet például úgy, hogy a termelési terv az igényvárható értéke alapján készüljön, és, hogy az igény bizonytalansága miatt je-lentkezı átlagosnál nagyobb keresletet a biztonsági készlet felhasználásával kellkielégíteni. Ekkor azonban úgy kell elkészíteni a termelési tervet, hogy ne csakaz igény várható értékének (Dit ), hanem a biztonsági készletnek (ssit ) megfelelımennyiség is elkészüljön. A biztonsági készlet nagyságának meghatározásával a4.10 fejezetben részletesen foglalkoztunk.

– A nemnegativitási feltételek elıírják a változók szükségszerően pozitív értékét.A jelzett változók negatív értékének egyébként nincs gyakorlati jelentése. Megfi-gyelhetjük, hogy miután It értéke csak pozitív lehet, hiány nem fordulhat elı. Hagazdaságilag indokolt esetben a menedzsment a hiány elıfordulását elfogadha-tónak tartja, akkor az 5.4. ábra modelljéhez hasonlóan minden termékre mindenperiódusban be kell vezetni a tényleges készletet jelölı I +

it és a hiányt jelölı I−it

változókat. Természetesen ennek megfelelıen kell kiegészíteni a célfüggvényt is.A felírt egyenletek kiegészíthetık peremfeltételekkel, amelyek bizonyos vál-

tozókra elıírt értéket jelentenek. Ezek lehetnek a menedzsment által korábbaneldöntött kérdések (például meghatározott raktárkészlet a tervezési idıszak vé-gén), valamint a tervezés kiinduló feltételei (például induló munkáslétszám,induló készlet stb.).

Az 5.5. ábrán bemutatott termeléstervezési modellben szereplı változók azábrán feltüntetett két csoportba sorolhatók, melyek mindegyikében N L számúváltozó található, tehát a változók száma összesen 2N L. Az egyenletek összesszáma pedig a következıképpen számolható:

Egyenletek száma = N L + M L + L + N L = L · (2N + M + 1)

Észrevehetjük, hogy a termeléstervezési modell nagyságát – a változók ésegyenletek számát – elsısorban a termékek (N) és az idıszakok (L) számahatározzameg. Az erıforrások száma (M) a feltételek számát növeli, de a változókszámára nem hat. Több ezer terméket több száz erıforrás igénybevételével gyártótermelırendszer nagyon részletes (például napi) termelési tervét leíró lineáristermeléstervezési modell már nagyon nagy mérető lehet. Az ilyen méretőmodellek megoldása nem feltétlenül jelent számítástechnikai problémát, de azeredmények nagy tömege és túlzott – sok döntéshez szükségtelen – részletességea gyakorlati felhasználót a modell egyszerősítésére ösztönzi. Az egyszerősítésútjai a következık lehetnek:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– a termékek számának (N) csökkentése az azonos típusú termékek csoporto-sításával (termékek aggregálása),

– a termelési terv részletességének (L) csökkentése (az idı aggregálása),– meghatározott erıforráscsoportok összevonása (M) és együttes kezelése

(erıforrások aggregálása).Látható tehát, hogy az 5.1. fejezetben említett aggregálást a modell méreté-

nek csökkentése, valamint a menedzsmentdöntések által megkívánt információrészletessége egyaránt indokolja.

5.3.3. Termelési terv készítése nemlineáris költségfüggvény linearizálásával

Az elıbbiekben bemutatott termeléstervezési modellek egyik jelentıs hiányos-sága, hogy a változók teljes tartományára a fajlagos költségek változatlanságátfeltételezik. Pedig gyakori eset, hogy például a termelési költség egy ideig agyártott mennyiséggel arányosan (lineárisan) változik, de egy idı után – pél-dául a tervezési kapacitás feletti gyártáshoz szükséges többletráfordítás miatt– a gyártott mennyiség növekedésével progresszíven nı. Hasonló eset fordul-hat elı a munkaerı-felvételnél is. Egy terület munkaerı-kínálatának kimerüléseután a további felvétel költsége a többletráfordítások miatt (például áttelepülés,utazás stb.) jelentısen megnıhet. Szinte valamennyi költségelemnél elıfordul-hat az elıbbiekben szemléltetett nemlinearitás. A gyakorlatban nem célszerő aköltségek sokszor igen bonyolult nemlineáris függvényének meghatározása. Abonyolult – és vélhetıleg az idı múlásával úgyis érvényét vesztı – függvényekmeghatározásának ráfordításai, valamint az így keletkezı nemlineáris modellekmegoldásának nehézségei a költségfüggvények egyszerősítésére ösztönöznek.Ezért a leggyakrabban követett eljárás a nemlineáris költségfüggvény szakaszon-kénti linearizálása. Ilyenkor a költségfüggvényt a változó egyes szakaszaibanaz igazi függvényt ugyan nem pótló, de azt jól közelítı lineáris költségfügg-vénnyel helyettesítjük. Ennek eredményeként a változó vizsgált tartományábana költségfüggvényt változó meredekségő lineáris függvények alkotják. Fontosfeltétel azonban, hogy a standard formában felírt lineáris programozási feladatcélfüggvénye konvex legyen.

Példaként tekintsük az 5.6. ábrán bemutatott egyszerő esetet, amelynél anemlineáris költségfüggvényt két szakaszon linearizáltuk.

A gyártott mennyiséget két változó jelöli. Lesz egy olcsóbban gyártott mennyi-ség (X (1)), amely Q mennyiségnél kisebb, valamint egy drágábban gyártottmennyiség (X (2)), a Q mennyiség feletti rész. A ténylegesen elkészült mennyisége két változó értékének összege. A gyártási és raktározási költségeket minimali-záló lineáris termeléstervezési modell az 5.7. ábrán látható. A célfüggvényben azolcsóbb és a drágább gyártás mennyisége eltérı célfüggvény-együtthatóval sze-repel. A célfüggvény konvexitásának feltétele, hogy x (1)

t ≤ x (2)t , tehát a kisebb

mennyiségekre alacsonyabb a fajlagos gyártási költség.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



QtXt(1) Xt

(2)

Xt

f(Xt)

Gyártási költség

xt(1)•Xt

(1)+xt(2)•Xt

(2)

5.6. ábra: Két szakaszon linearizált költségfüggvény

A termelési tervnek az ábrán jelölt következı feltételeket kell kielégítenie:– Összes gyártás. A felírt egyenletek minden idıszakra kiszámolják a ténylege-

sengyártottmennyiséget, amely az olcsóbbanésdrágábbangyártottmennyiségekösszege, tehát:

X t = X (1)t + X (2)

t t = 1, . . . , L

– Olcsóbb gyártás korlátja. Minden idıszakban meg kell adni, hogy mekkoramennyiség felett kezdıdik a drágább gyártás szakasza, tehát:

X (1)t ≤ Qt t = 1, . . . , L

Ha minden idıszakban ugyanakkora mennyiségnél kezdıdik a drágább gyár-tás, akkor a Qt paraméter t indexe elhagyható.

– Igény. Az igényegyenletek a termék mennyiségének t idıszakbeli egyensúlyátfejezik ki. A t idıszakban a vevıknek szállított mennyiség és a t idıszakvégi raktárkészlet forrása a t idıszakbeli gyártás, valamint az elızı idıszakraktárkészlete, tehát:

Dt + It = X t + It−1 t = 1, . . . , L

Az igény kielégítésekor lényegtelen, hogy mely darabokat gyártottuk olcsób-ban és melyeket drágábban, ezért az egyenletben már az összes mennyiségetjelölı X t szerepel.

– Maximálisan gyártható mennyiség. Minden hónapban adott a maximálisangyártható összes mennyiség, tehát:

X t ≤ M AX t t = 1, . . . , L

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Célfüggvény: MinL

∑

t=1

x (1)t X (1)

t + x (2)t X (2)

t + it It

Összes gyártás: X t − X (1)t − X (2)

t = 0 t = 1, . . . , L

Olcsóbb gyártás korlátja: X (1)t ≤ Qt t = 1, . . . , L

Igény: It−1 + X t − It = Dt t = 1, . . . , L

Maximálisan gyártható mennyiség: X t ≤ M AX t t = 1, . . . , L

Nemnegativitási feltétel: X (1)t , X (2)

t , It ≥ 0 t = 1, . . . , L

Változók:X (1)

t – kisebb fajlagos gyártási költséggel készülı mennyiség a t idıszakban,

X (2)t – nagyobb fajlagos gyártási költséggel készülı mennyiség a t idıszakban,

X t – összes gyártott mennyiség a t idıszakban,It – készletszint a t idıszak végén.Paraméterek:x (1)

t – kisebb fajlagos gyártási költség a t idıszakban,

x (2)t – nagyobb fajlagos gyártási költség a t idıszakban,

it – fajlagos készlettartási költség a t idıszakban,Dt – a menedzsment által kielégíteni tervezett igény a t idıszakban,Qt – az a gyártási mennyiség, amelynél a fajlagos gyártási költség megváltozik,MAXt – maximálisan gyártható mennyiség a t idıszakban,L – a tervezési idıszakok száma.

5.7. ábra: Termeléstervezési modell két szakaszon linearizált gyártási költséggel

A maximális gyártható mennyiség lehet gyártási kapacitáskorlát, de lehet apiacon eladható maximális mennyiség is. Ennek okát a modell ebben a formábannem jelzi.

A bemutatott modell egy meghatározott t idıszakban elıször az olcsóbbgyártás lehetıségét meríti ki. Ha az így készült mennyiség nem elegendı, akkormegvizsgálja, hogy ugyanabban az idıszakban érdemes-e drágábban gyártani,vagy esetleg kedvezıbb többet gyártani a korábbi idıszakokban a felmerülıraktározási költség ellenére.

A célfüggvény konvexitása ebben az esetben azt jelenti, hogy mindig a kisebbmennyiséghez tartozik az alacsonyabb gyártási költség, tehát x (1)

t ≤ x (2)t . Ezért

nem fordulhat elı az a fizikailag képtelen eset, hogy bizonyos idıszakokbanX (1)

t = 0 és X (2)t 6= 0, bár ezt a feltételek megengednék.

Az 5.7. ábra két szakaszon linearizált célfüggvényre vonatkozik. Ha a nemline-

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


5.4. MENEDZSMENTDÖNTÉSEK A LINEÁRIS TERMELÉSTERVEZÉSI MODELLEK ALAPJÁN 203

áris célfüggvényt jobban közelítı lineáris célfüggvényt szeretnénk kapni, akkoraz eredeti függvény több szakaszának linearizálásával a modell az 5.7. ábraszerintihez hasonló módon írható fel. A linearizált szakaszok számának növeke-désével azonban nıni fog a változók száma is. Ezért a nagyobb pontosság ára amegnövekedett modellméret lesz. Több szakaszon linearizált célfüggvénynél isvigyázni kell arra, hogy a célfüggvény konvexitásának feltételei teljesüljenek.

Az 5.3.1–5.3.3. fejezetekben ismertetett modellek a lineáris termeléstervezésimodellek néhány jellegzetes esetét írták le. Az egyes fejezetekben bemutatottlehetıségek természetesen kombináltan is alkalmazhatók. Így készíthetı a hiány-költséget több terméknél is figyelembevevı, erıforráskorlátokkal is számoló, többszakaszon linearizált munkaerı felvételi költséggel kiegészített termeléstervezésimodell. Továbbá a három fejezetben bemutatott lehetıségeken túl a gyakorlatitermelésmenedzsment problémák további fontos szempontjai is érvényesíthetık,ha azokat az itt bemutatott elvekhez hasonlóan beépítjük a termeléstervezésimodellbe (lásd például [19], [24]).

5.4.MENEDZSMENTDÖNTÉSEK A LINEÁRIS TERMELÉSTERVEZÉSI MO-DELLEK EREDMÉNYEI ALAPJÁN

Az elızıekben bemutatott lineáris termeléstervezési modellek megoldása végsısoronmindig az 5.3. fejezet elejéndefiniált lineáris programozási feladatoptimálismegoldásának megkeresését jelenti, tehát

Min{

cT · x}

feltéve, hogy A · x ≤ b; x ≥ 0

Az ilyen típusú problémák megfelelı lineáris programozási szoftverekkel mamár könnyen megoldhatók. Kisebb – néhány száz változót és feltételt tartalmazó–modellnél pedig az optimális megoldásmár táblázatkezelı szoftverekkel (példáulaz Excel solver eszközével) is gyorsan megtalálható. Az optimális megoldástájékoztatja a menedzsmentet a modell változóinak optimális értékérıl, tehátpéldául az optimális termelési mennyiségekrıl, a munkaerı és egyéb erıforrásokfelhasználásának optimális mértékérıl, az alvállalkozók optimális körérıl stb.Természetesen a gyakorlatban az optimális megoldásnak megfelelı termelésiprogram nem mindig valósul meg. Mindenképpen hasznos ismerni azonban azoptimális megoldást, és célszerő megvizsgálni, hogy a ténylegesen megvalósítottterv attól mennyire tér el, valamint az eltérésnek mi a gazdasági következménye.

A menedzsment számára fontos további információ a modell során alkalmazottparaméterek változásának hatása az optimális termelési tervre. A paraméterekváltozásának vizsgálata az optimális megoldás érzékenységvizsgálata, amely háromfı területre bontható:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– Célfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálata (c). A célfüggvény-együtthatókérzékenysége a célfüggvény-együttható azon tartománya, amelyen belül az op-timális megoldás nem változik meg. Ha például egy termék gyártási költségeegy vizsgált hónapban megváltozik, de még az érzékenységi tartományon belülmarad, akkor a változásmiatt nem szükséges módosítani a termelési tervet. A cél-függvény érzékenységvizsgálata tehát felhívja a menedzsment figyelmét azokraa költségadatokra, amelyeknek már kis változása is befolyásolhatja az optimá-lis termelési tervet. Az ilyen költségek alakulásának követése, illetve ellenırzéseezért nagyobb figyelmet érdemel.

– Jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálata (b). A standard formában írt felté-telek jobb oldalán található paraméterek érzékenysége azt fejezi ki, hogy egy jobboldali paraméter egységnyi változásakor mennyire változik meg a célfüggvényoptimális értéke. Az így kapott érték lényegében a célfüggvény egy jobb oldaliparaméter szerinti gradiense, amelyet árnyékárnak (shadow price) neveznek.Minden árnyékárhoz tartozik egy érzékenységi tartomány is, amely megmondja,hogy a kapott árnyékár a jobb oldali paraméter milyen tartományán belül érvé-nyes. Vizsgálhatjuk például, hogy egy berendezés munkaidejének egy gépórával(például túlóra) való növelése mennyivel változtatja meg a termelési terv költsé-gét. Ha a termelési terv költségének növekedése kisebb, mint a túlóra haszna,akkor érdemes túlórát alkalmazni. Hogy hány túlóra alkalmazása kedvezı,azt az árnyékárhoz tartozó érvényességi tartomány segítségével lehet meghatá-rozni. Ennél az érzékenységvizsgálatnál tehát minden jobb oldali paraméterhezmeghatározható az árnyékár és annak érvényességi tartománya.

– Az együtthatómátrix elemeinek érzékenységvizsgálata (A). A standard formábanírt feltételekhez tartozó együtthatómátrix elemeinek érzékenysége azt fejezi ki,hogy egy bal oldalon – valamelyik változó szorzójaként – szereplı mennyiségegységnyi változásakor mennyire változik meg a célfüggvény optimális értéke.Az így kapott érték lényegében a célfüggvény egy bal oldali paraméter szerintigradiense. Minden ilyen gradienshez tartozik egy érzékenységi tartomány is,amely megmondja, hogy a kapott gradiens a bal oldali paraméter milyen tarto-mányán belül érvényes. Vizsgálhatjuk például, hogy ha egy termék gyártásakorvalamelyik berendezésen megnı a kapacitásigény, akkor hogyan változik meg atermelési terv költsége. Ennél az érzékenységvizsgálatnál tehát minden bal oldaliparaméterhez meghatározható egy gradiens és annak érvényességi tartománya.

A gyakorlatban alkalmazott szoftverek többsége elsısorban a célfüggvény-együtthatók, valamint a jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményeitszolgáltatja. Az együtthatómátrix elemeinek vizsgálata matematikai és számí-tástechnikai nehézségekbe ütközik, ezért ezeket az eredményeket csak a modellmódosított paraméterek melletti újbóli megoldásával kaphatjuk meg. Ezzel ellen-tétben a célfüggvény-együtthatók, valamint a jobb oldali paraméterek érzékeny-ségvizsgálati eredményei az optimális megoldással egyidejőleg rendelkezésreállnak. A továbbiakban részletesen ismertetjük az optimális megoldás, valamintaz érzékenységvizsgálati eredmények jelentıségét menedzsmentdöntéseknél.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.4.1. Az optimális megoldás meghatározása és értékelése

Az optimális megoldás meghatározásának, valamint az érzékenységvizsgálatiszámítások elvégzésének matematikai alapjaival részletesen az operációkutatásszakirodalma foglalkozik, ezért ennek részletes bemutatásától itt eltekintünk [22].A következıkben egy leegyszerősített termeléstervezési problémán illusztráljuka kapható eredményeket, valamint azok alkalmazhatóságát menedzsmentdön-téseknél. A könnyebb érthetıség kedvéért olyan mértékben leegyszerősítjüka termeléstervezési feladatot, hogy az csak két változót tartalmazzon. Így akapott eredmények és azok gyakorlati jelentése grafikusan, két dimenzióbanszemléltethetı. Természetesen az egyszerősítés nem megy az eredmények álta-lános érvényének rovására. Minden, ami igaz az egyszerő feladatra, érvényesnagymérető feladatokra is, amint azt az esettanulmány eredményeinek részletesbemutatásakor az 5.4.4. fejezetben látni fogjuk.

Tekintsük tehát példaként az 5.8. ábrán látható egyszerő feladatot, amelynélegyetlen idıszakban kell eldönteni, hogy a gyártott két termékbıl mekkoramennyiség készüljön. A döntést úgy szeretnénk meghozni, hogy az összeslegyártott termék hozama minél nagyobb legyen. Mérjük a termékek hozamát afajlagos fedezettel (a fajlagos eladási ár és a fajlagos közvetlenköltségkülönbsége),amely termékenként rendre 180 Ft/db és 290 Ft/db. A termeléstervezési modellváltozói tehát a két termékbıl gyártandó X1 és X2 mennyiségek.

A termelési tervet pedig az összes fajlagos fedezet maximalizálásával kívánjukmeghatározni, tehát a célfüggvény a következıképpen írható fel:

Max (180X1 + 290X2)

Mindkét termék gyártásához két erıforrásra van szükség. A termékek egydarabjának gyártásához szükséges erıforrásigényt gépórában mérjük, és értékéttermékenként és erıforrásonként az 5.8. ábrán látható termék-erıforrás mátrixtartalmazza. Ugyancsak feltüntettük az ábrán az erıforrásokból rendelkezésreálló mennyiséget a vizsgált idıszakban.

Az erıforrásokkal kapcsolatos adatok alapján az erıforráskorlát egyenletek akövetkezıképpen írhatók fel:

X1 + X2 ≤ 1200

X1 + 2X2 ≤ 1600

További korlátot jelent az egyes termékekbıl kötelezıen gyártandó minimálisés eladható maximális mennyiség, amelyet az 5.8. ábra piaci korlátok táblázatatartalmazza. Az adatok felhasználásával a következı további három feltételtfogalmazhatjuk meg:

X1 ≤ 1000

X1 ≥ 200

X2 ≥ 100

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Termék-erıforrás mátrix (gó/db):Termék 1 (T1)

X1

(db/idıszak)

Termék 2 (T2)X2

(db/idıszak)

Rendelkezésreálló idı

b j (gó/idıszak)

Erıforrás 1 (E1) 1 1 1200Erıforrás 2 (E2) 1 2 1600Piaci korlátok (db/idıszak):Minimális mennyiség (Xmin) 200 100

Maximális mennyiség (Xmax ) 1000 ∞Célfüggvény együtthatók (Ft/db):

Fajlagos fedezetek (ci ) 180 290

Célfüggvény: Max180x1 + 290x2

E1: X1 + X2 ≤ 1200

E2: X1 + 2X2 ≤ 1600

Maximum T1: X1 ≤ 1000

Minimum T1: X1 ≥ 200

Minimum T2: X2 ≥ 100

Nemnegativitás: X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

X2

X1

X2min

X1min X1

max

1200

800

100

200 1000 1600

P0

P1

P2

P4

P3

M’

M’’

E1

E2

5.8. ábra: A kétváltozós lineáris programozási modell grafikus megoldása

A két változót és öt feltételt tartalmazó lineáris termeléstervezési feladatgrafikus megoldását ugyancsak az 5.8. ábra tartalmazza. A két változó mi-

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



att kétdimenziós koordinátarendszerben ábrázolható valamennyi feltétel. Azerıforrás-feltételek egyenlıség esetén megadják annak a területnek a határolóegyenesét, amelyben a feltételt kielégítı mennyiségeknek megfelelı pontok ta-lálhatók. Az E1 erıforráskorlátot reprezentáló terület határoló egyenese azegyenlıtlenség átrendezésével a következıképpen írható fel:

E1: X2 = −11

· X1 +1200

1

Az E1 erıforrás-egyenesének meredeksége tehát −45 fok, amely a függıle-ges tengelyt 1200 darabnál metszi. Miután a két termék együttesen felhasználterıforrásigényének kisebbnek kell lennie a rendelkezésre álló erıforrás mennyi-ségnél, ezért az 5.8. ábrán megrajzolt E1 egyenes alatti területen találhatók azoka pontok, amelyeknek megfelelı mennyiségek kielégítik az E1 erıforráskorlátot.Az E2 erıforráskorlátot reprezentáló terület határoló egyenese az egyenlıtlenségátrendezésével a következıképpen alakul:

E2: X2 = −12

· X1 +1600

2

Az E2 erıforrást akkor tudjuk könnyen ábrázolni, ha meghatározzuk azegyenes függıleges és vízszintes tengelyi metszetét. Az egyenes egyenletébıllátható, hogy ha X1 = 0, akkor X2 = 800 darab, valamint ha X2 = 0, akkorX1 = 1600 darab. A két tengelyen lévı metszéspontokat összekötve kapjukmeg az E2 erıforráskorlát által reprezentált terület határoló egyenesét. Miutána két termék együttesen felhasznált erıforrásigénye kisebb kell, hogy legyena rendelkezésre álló mennyiségnél, ezért az 5.8. ábrán megrajzolt E2 egyenesalatti területen találhatók azok a pontok, amelyeknek megfelelı mennyiségekkielégítik az E2 erıforráskorlátot. A két erıforráskorlátot együttesen kielégítımennyiségeket pedig a mindkét egyenes alatt található pontok reprezentálják. Agyártandó minimális és eladható maximális mennyiségek feltételeit az 5.8. ábrána T1 terméknél a függıleges, a T2 terméknél pedig a vízszintes egyenesek jelölik.A valamennyi feltételt együttesen kielégítı pontok halmazát pedig a besatírozottterület tartalmazza. E terület pontjai a feladat megengedett megoldásait jelentik.

A megengedett megoldások pontjai közül kell kiválasztani azt (vagy azokat),amelyhez tartozó gyártandó mennyiségek maximalizálják a célfüggvényt. Azoptimális megoldásnak megfelelı pontot a következı gondolatmenet alapjánkereshetjük meg. Tételezzük fel, hogy a célfüggvény értéke egy meghatározotttermelési tervhez tartozó pontnál F , tehát:

180X1 + 290X2 = F

A fenti egyenletet kielégítı (X1, X2) pontpárok halmaza ismét egy egyenessegítségével ábrázolható, amely az egyenlet átrendezése után a következıképpenírható fel:

Célfüggvény: X2 = −180290

· X1 +F

290

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A felírt egyenes függıleges tengelyen lévı metszetének értéke F/290. Azt a ter-melési tervet keressük, amelynél F értéke maximális, tehát az optimális megoldásegy olyan célfüggvény egyenesén található, amelynek meredeksége −180/290,és a függıleges tengelyt a lehetı legmagasabb értéknél metszi. Keresnünk kelltehát egy olyan egyenest, amelynek meredeksége −180/290, és felülrıl érinti abesatírozott területet.

Az 5.8. ábrán látható, hogy a feladat optimális megoldása a P2 pontban talál-ható. Ezt az eredményt akkor kapjuk meg, ha ábrázolunk egy tetszılegesen felvettF értékhez tartozó célfüggvényegyenest, és azt párhuzamosan addig toljuk fel-felé, amíg felülrıl érinti a besatírozott területet. Az egyszerő ábrázolhatóságkedvéért az F = 180 · 290 értéknél rajzoltunk egy nem optimális célfüggvénye-gyenest, és azt párhuzamosan eltolva kaptuk az optimumot a P2 pontban. AP2 pont a két erıforrás metszéspontjában található, ezért a következı kétisme-retlenes egyenletrendszert kell megoldani az optimális gyártási mennyiségekmeghatározásához:

X1 + X2 = 1200

X1 + 2X2 = 1600

Az egyenletrendszert megoldva az optimális megoldás értékeire az X1 =800 darab/idıszak és X2 = 400 darab/idıszak értékeket kapjuk. A célfüggvényoptimális értéke pedig a következıképpen számolható:

180 · 800 + 290 · 400 = 260 000 Ft/idıszakAz optimális megoldás eredményébıl a menedzsment tehát arra a követ-

keztetésre jut, hogy az elsı termékbıl kétszer annyit érdemes gyártani, mint amásodikból. Ez az eredmény látszólag meglepı, mert a második termék fajlagosfedezete lényegesen nagyobb az elsı termékénél. Kizárólag gazdasági adatokalapján azonban az optimális termelési mennyiség nem állapítható meg, figye-lembe kell venni a termékek erıforrásigényét is. Valószínőleg a második terméknagyobb erıforrásigénye az oka annak, hogy a végeredmény az elsı termékgyártását preferálja.

Végezetül észrevehetjük, hogy az optimális megoldás mindig biztosan a besa-tírozott terület peremén helyezkedik el. A célfüggvény egyenese vagy valamelyiksarokpontban érinti a besatírozott területet, vagy esetleg az egyik oldal mentén.Ha a célfüggvény valamelyik oldal mentén érinti a megengedett megoldások tar-tományát, akkor az érintkezı szakasz minden pontja optimális megoldást jelent,tehát több optimális termelési tervváltozat létezik egyidejőleg.

Példánkban az optimumot jelentı P2 pont a két erıforrás metszéspontjábantalálható, ami egyben azt is jelenti, hogy a két erıforrás az optimális termelésitervnél a termelırendszer szők keresztmetszete. Ezen erıforrások bıvítésevélhetıleg a gazdasági eredmény javulásához vezet, de ennek vizsgálatához ajobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményei szükségesek. Az 5.3.ábrán azt is láthatjuk, hogy a célfüggvényegyenes meredekségének kismértékőváltozásakor az optimális megoldás könnyen átkerülhet a P1 vagy P3 pontokba.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Hogy ez a célfüggvény-együttható milyen értékeinél következik be, arról acélfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálata nyújt információt.

5.4.2. A célfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálata

A célfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálatának célja meghatározni azt atartományt, amelyen belül egy célfüggvény-együttható változhat anélkül, hogyaz optimálismegoldásmegváltozna. Írjuk fel a célfüggvényt reprezentáló egyenesegyenletét úgy, hogy abban a célfüggvény-együtthatók paraméteresen – c1, és c2

jelölésekkel – szerepeljenek:

Célfüggvény: X2 = −c1

c2· X1 +

F

c2

Látható, hogy a célfüggvény-együtthatók változása megváltoztatja az egyenesmeredekségét. Az 5.8. ábrán viszont az látszik, hogy amíg a célfüggvényegyenesének meredeksége az optimális pont helyét meghatározó két egyenesmeredeksége közé esik, az optimális megoldás helye nem változik meg. Amintazonban a célfüggvény meredekségének változása ennél nagyobb, az optimálismegoldás a változás irányától függıen vagy a P1, vagy a P3 pontba kerül át.Felhasználva az E1 és E2 erıforrások egyenesének meredekségét, felírható az acélfüggvény-együtthatókra vonatkozó feltétel, amelynek teljesülésekor P2 pontaz optimális megoldás:

−1 ≤ −c1

c2≤ −

12

A felírt feltétel jobb és bal oldalát külön vizsgálva a célfüggvény-együtthatóklehetséges értékeit a következı két feltétel határozza meg:

c2 ≥ c1 és c2 ≤ 2c1

A célfüggvény-együtthatónak a két feltétel által meghatározott értékeit az 5.9.ábra szemlélteti.

A P2 pontnak megfelelı termelési terv tehát a pontozott terület által kijelöltcélfüggvény-együttható értékeknél lesz optimális. Az ábrán feltüntettük, hogyanalakul az egyik célfüggvény-együttható érvényességi tartománya, ha a másikegyüttható értéke változatlanmarad. A felírt feltételek és az ábra alapján könnyenellenırizhetı, hogy az egyetlen célfüggvény-együttható változására vonatkozó –független – érvényességi tartományok a következıképpen alakulnak:

Ha c1 = 180 akkor 180 ≤ c2 ≤ 360Ha c2 = 290 akkor 145 ≤ c1 ≤ 290

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



200

400

100 200 300 400

600

800

290

c2

c2

c2 2c1

c2 c12

180 ≤

≥

5.9. ábra: A célfüggvény-együtthatók érzékenységvizsgálata

A lineáris programozási feladatokat megoldó szoftverek többsége a függetlenérvényességi tartomány adatait szolgáltatja a célfüggvény érzékenységvizsgála-tának eredményeként. Óvatosan kell tehát kezelni ezeket az adatokat, mert amintazt az 5.9. ábra is mutatja, ha egyidejőleg egy másik célfüggvény-együtthatóértéke is változik, akkor a szoftver által szolgáltatott tartomány a tényleges tar-tománynál kisebb és nagyobb is lehet. Ennek ellenére a független érvényességitartományok jól jelzik azokat a paramétereket, amelyekre a menedzsmentnekfokozottan ügyelnie kell. Egy olyan költségadat, amelynek független érvényes-ségi tartománya nagyon kicsi, fokozott figyelmet igényel, mert már kis mértékőváltozás is szükségessé teheti a termelési terv megváltoztatását. Például egy al-katrész árának kismértékő növekedésekor lehet, hogy az alkatrészt felhasználótermékbıl már csak lényegesen kisebb mennyiség gyártása a gazdaságos, ezértvagy a termelési tervet kell módosítani, vagy esetleg olcsóbb beszállítót kell ke-resni. Ha olyan költségadat változik, amely több célfüggvény-együttható értékétis megváltoztatja, akkor a változás hatásáról pontos képet csak a modell újbólimegoldásakor kaphatunk.

Végezetül szólni kell egy olyan jelenségrıl, amely látszólag speciális, a gya-korlatban azonban gyakran elıfordul. Az 5.8. ábrán az optimális P2 pont helyétkét erıforrás egyenese határozza meg. Elıfordulhatott volna azonban, hogy vanegy harmadik erıforrás is, amelynek egyenese szintén átmegy a P2 ponton. Egypont helyének meghatározásához két egyenes elegendı, így a háromból az egyikfelesleges. A kelleténél több egyenes által meghatározott megoldást degeneráltmegoldásnak nevezik, amely a célfüggvény érvényességi tartományának számí-tásánál gondot okozhat [16], [23]. A szoftverek többsége matematikai okok miattugyanis mindig csak két egyenest vesz figyelembe. Hogy melyik – az optimá-lis bázishoz tartozó – két egyenes alapján számolja a szoftver az érvényességitartományt, az a szoftver sajátosságaitól függ. Ezért degenerált megoldásnál le-het, hogy egyes célfüggvény-együtthatóknál az alkalmazott szoftver nem tudjamegadni a teljes érvényességi tartományt, csak annak egy részét. Az eredmény

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



értékelésénél ezt úgy lehet figyelembe venni, hogy ha degeneráltgyanús a megol-dás (például sok egyenlet szerepel a feltételek között, vagy sok erıforrás alkotjaa szők keresztmetszetet), akkor a gyanúsan szők tartományoknál érdemes amodellt megoldani a tartományon kívül esı értékekre is. Így ellenırizhetjük,hogy egy célfüggvény-együttható érvényességi tartománya tényleg szők, vagycsak a degeneráció hatása jelentkezett. Meg kell jegyezni, hogy ez a problémama már széles körben ismert, ezért a jövıben várható olyan szoftverek megje-lenése, amelyek degeneráció esetén is pontos érzékenységvizsgálati eredménytszolgáltatnak [28].

5.4.3. A jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálata

Az 5.8. ábrán látható, hogy a vizsgált feladatban öt jobb oldali paraméterszerepel: a két erıforrás mindegyikébıl rendelkezésre álló mennyiség, valamint agyártandó minimumokra és gyártható maximumokra vonatkozó három adat. Ajobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálatának célja meghatározni azt, hogyha ezen öt adat valamelyike egységnyivel megváltozik, akkor mennyivel változikmeg a célfüggvény optimális értéke. Tehát a feladat öt árnyékár, valamint ahozzájuk tartozó öt érvényességi tartomány meghatározása. Az öt jobb oldaliparaméter mindegyike egy egyenlıtlenség jobb oldala, amelyet az ábrán egyegyenes reprezentál. Az egyenesek egyenletét tanulmányozva észrevehetjük,hogy ha a jobb oldali paraméter megváltozik, akkor az egyenes függılegestengelyen lévı metszete is megváltozik, de a meredeksége változatlan marad.Például az E1 erıforrás egyenletének jobb oldalát egységnyivel változtatva, azegyenes egyenlete a következıképpen alakul:

E1: X2 = −11

· X1 +1200 ± 1

1

Ez azt jelenti, hogy a jobb oldali paraméterek változása grafikusan a felté-telek egyeneseinek párhuzamos eltolásaként szemléltethetı. Az E1 erıforrásrendelkezésre álló mennyiségének egységnyi növelése a hozzá tartozó egyenespárhuzamos eltolását jelenti az 5.8. ábrán az M′′ pont irányába. Látható, hogyekkor megnövekszik a besatírozott terület nagysága, ami érthetı, mert a több ren-delkezésre álló erıforrás miatt növekszik a megengedett megoldások halmaza.Ugyanezen erıforrás mennyiségének csökkenése a hozzá tartozó egyenes pár-huzamos eltolását jelenti a P1 pont irányába, ami értelemszerően a megengedettmegoldások halmazát csökkenti.

Az 5.8. ábrán látható, hogy az öt jobb oldali paraméterhez tartozó egyenlıt-lenség öt egyenese egy sokszöget alkot, amelynek egyik sarokpontja az optimálismegoldás (P2). Az optimális megoldáshoz tartozó sarokpontot a két erıforrásegyenese határozza meg. Ezért, amikor a jobb oldali paraméterek egységnyi

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



változása miatt a sokszöget határoló egyenesek párhuzamosan kis mértékbeneltolódnak, a P2 pont helyét csak a két erıforrás egyenesének eltolódása befo-lyásolja. A másik három erıforrás kismértékő eltolása a P2 pont helyzetét nemváltoztatja meg. Bontsuk ezért két csoportra az árnyékárak és érvényességi tarto-mányaik meghatározását. Vizsgáljuk elıször azokat a jobb oldali paramétereket,amelyek egységnyi változása nem módosítja az optimális megoldást, majd vizs-gáljuk meg azokat, amelyek egységnyi változása miatt az optimális megoldás ismódosul.

1. Az optimális megoldást nem változtató paraméterek érzékenységvizsgálata. Haegy jobb oldali paraméter változása nem változtatja meg az optimális megoldást,akkor annak árnyékára értelemszerően zéró. Természetesen ez csak kis mértékőváltozásokra igaz, mert ha például a T1 termék gyártandó minimuma 900 darabraváltozik, akkor az optimális megoldás módosul. Meg kell tehát határozni a zéróárnyékár érvényességi tartományát. Példánkbanháromolyanparaméter szerepel,amelynek árnyékára zéró. Ezek érvényességi tartományát összefoglalóan az5.10. táblázat tartalmazza, és értékük az 5.8. ábra alapján a következıképpenhatározható meg:

– A T1 termék gyártható maximális mennyisége (Xmax1 ) egészen addig nem

befolyásolja az optimális megoldást, amíg értéke nagyobb, mint az optimálismegoldásban szereplı 800 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 800 darab és végtelenközött érvényes.

– A T1 termék gyártandó minimális mennyisége (Xmin1 ) egészen addig nem

befolyásolja az optimális megoldást, amíg értéke kisebb, mint az optimálismegoldásban szereplı 800 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 0 és 800 darab közöttérvényes.

– A T2 termék gyártandó minimális mennyisége (Xmin2 ) egészen addig nem

befolyásolja az optimális megoldást, amíg értéke kisebb, mint az optimálismegoldásban szereplı 400 darab. Így a 0 Ft/darab árnyékár 0 és 400 darab közöttérvényes.

2. Az optimális megoldást megváltoztató paraméterek érzékenységvizsgálata. Pél-dánkban az optimális megoldás az E1 és E2 erıforrások egyenesének metszés-pontjában található, ezért ezek rendelkezésre állómennyiségének már kismértékőváltozása is módosítja az optimális megoldást. Az E1 és E2 erıforrások árnyé-kárát a paraméterek egységnyi változásához tartozó célfüggvényérték változásaadja meg. Az árnyékárat és érvényességi tartományát ebben az esetben a követ-kezı gondolatmenet alapján kaphatjuk meg. Az optimális megoldáshoz tartozócélfüggvényértéket az 5.8. ábrán a P2 ponton átmenı két erıforrás egyenesénekmetszéspontja határozza meg. Ha az egyik erıforrás jobb oldali paramétere meg-változik, akkor a hozzá tartozó egyenes kis mértékben párhuzamosan eltolódik,de az optimális megoldást továbbra is a két erıforrás egyenese határozza meg.Ezért ha az egyik egyenes jobb oldali paraméterét fokozatosan egységnyivel vál-toztatjuk (növeljük vagy csökkentjük), akkor a többszöri egységnyi változások

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



egészen addig ugyanolyan mértékben változtatják a célfüggvény értékét, amígaz optimális megoldást ugyanazon feltételek egyeneseinek metszéspontja defini-álja. Így elıször meg kell határozni a jobb oldali paraméter változásának azontartományát, amelyre igaz, hogy az optimális megoldást ugyanazok az egyenesekhatározzák meg. Ez lesz az árnyékár érvényességi tartománya. Ezen tartományonbelül bármelyik két értékre kiszámolva a paraméterváltozás és célfüggvényvál-tozás hányadosát, megkapjuk az árnyékárat. Végezzük el ezt a számítást akövetkezıkben az E1 erıforrásra.

5.10. táblázat: A jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálati eredményeinekösszefoglaló táblázata

Egyenlet Jobb oldaliparaméter értéke

Árnyékár Alsó határ Felsı határ

Erıforrás E1 1200 gó/idıszak 70 Ft/gépóra 900 1300

Erıforrás E2 1600 gó/idıszak 110 Ft/gépóra 1400 2200

Maximum T1 1000 db/idıszak 0 Ft/db 800 ∞Minimum T1 200 db/idıszak 0 Ft/db 0 800Minimum T2 100 db/idıszak 0 Ft/db 0 400

Az 5.8. ábrán látható, hogy ha az E1 erıforrás egyenese a P1 és M′′ pontokközött mozog, akkor ebben a tartományban az optimális megoldás mindig azE1 és E2 erıforrások metszéspontjában található. Ha például az E1 erıforrásegyenesét M′′ pontnál tovább mozgatjuk, akkor az optimális megoldást máraz E2 erıforráshoz, valamint a T1 termék gyártható maximumához tartozóegyenesek metszéspontja jelenti. Ekkor a korábban meghatározott árnyékár márnem érvényes. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha az E1 egyenes a P1 és M′′

pontok által kijelölt tartományokon kívülre kerül:– Ha az E1 erıforrás egyenese az M′′ pont felett helyezkedik el, akkor az E1

erıforrás kapacitásának egy részét az új optimális megoldást jelentı termelésiterv nem használja fel teljesen, tehát az erıforrás mennyiségének további bıvítésenem hoz hasznot. Az E1 egyenese többé már nem határozza meg az optimálismegoldást, tehát árnyékára az M′′ pont feletti tartományban zéró.

– Ha az E1 erıforrás egyenese a P1 pont alatt helyezkedik el, akkor azoptimális megoldás átkerül a T1 termék gyártandó minimumát és az E1 erıforrástreprezentáló egyenesek metszéspontjába. Tehát nem ugyanazok az egyenesekhatározzák meg az optimumot, ezért az árnyékár megváltozik.

A P1 és M′′ pontok tehát kijelölik azt a tartományt, amelyen belül az E1 erıfor-rás egyenese mozoghat változatlan árnyékár mellett. Az erıforrás egyenesénekmozgása a valóságban az erıforrás rendelkezésre álló mennyiségének egy meg-engedett minimális és maximális érték közötti változását jelenti. Ezen értékek a

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



P1 és M′′ pontok által jelölt termelési mennyiségek és az E1 erıforrás egyenletealapján a következıképpen számolhatók:

P1 pont: X1 = 200 db/id bP1E1 = 1 · 200 + 1 · 700 = 900 gó/id

X2 = 700 db/idM′′ pont: X1 = 1000 db/id bM′′

E1 = 1 · 1000 + 1 · 300 = 1300 gó/idX2 = 300 db/id

Az E1 erıforrás optimális megoldáshoz tartozó árnyékárának érvényességitartománya tehát a következı feltétellel írható le:

900 ≤ bE1 ≤ 1300

Az E1 erıforrás árnyékára pedig ezen tartomány bármelyik két pontja alapjánszámolt fajlagos célfüggvényváltozás. A fajlagos célfüggvényváltozás értékepéldául az M′′ és P2 pontok alapján a következıképpen kapható meg:

Árnyékár E1:FM′′ − FP2

bM′′E1 − bP2

E1

=267 000 − 260 000

1300 − 1200= 70 Ft/gó

Az eredmény tehát azt mondja, hogy ha az E1 erıforrás rendelkezésre állómennyisége 900 és 1300 gépóra között változik egy vizsgált idıszakban, akkorminden egységnyi változás 70 Ft/gó haszonváltozást jelent. Ha például azeredetileg rendelkezésre álló 1200 gépóra túlóra miatt 30 gépórával megnı, akkora hozamnövekedés 30 · 70 = 2100 Ft lesz. Ha a túlóra költsége ennél alacsonyabb,akkor megéri túlórázni, ha viszont a túlóra költsége ennél magasabb, akkoraz üzem a túlórára ráfizet. Ha viszont a menedzsment 150 túlórát szeretnealkalmazni, akkor az E1 erıforrás 150 gépórával megnövelt mennyisége márkívül esik az érvényességi tartományon. Ilyenkor biztosan csak azt mondhatjuk,hogy a tartományon belülre esı 100 gépóra minden egyes órája 70 Ft hasznot hoz,de hogy a tartományon kívülre esı további 50 gépóra haszna mennyi lesz, az csaktovábbi vizsgálatok után határozható meg. Az ábrán persze látható, hogy ha azE1 erıforrás egyenese M′′ felett helyezkedik el, akkor az E1 erıforrás már nincsenkihasználva, a fel nem használt erıforrás viszont hasznot nem eredményez. Ezenmegfontolások alapján tehát a 150 óra túlóra hozama csak 100 · 70 = 7000 Ft. Haaz E1 erıforrás rendelkezésre álló mennyisége például a gépek karbantartásamiatt 50 gépórával csökken, akkor most az árnyékár alapján azt mondhatjuk,hogy a hozam 50 · 70 = 3500 forinttal csökkenni fog, mert az elveszett 50 gépóraután maradó 1150 gépóra még az érvényességi tartományba esik. Ha viszont akarbantartás 350 gépórát vesz igénybe, akkor csak annyi biztos, hogy a hozam300 · 70 = 21 000 forinttal csökken. Hogy a tartományon kívülre esı további50 gépóra miatti veszteség mekkora lesz, azt nem tudjuk. Ebben az esetbenvagy meghatározzuk a csökkentett erıforrás mennyiségéhez tartozó új optimálismegoldást, vagy megfelelı szoftverrel elvégezzük az E1 erıforrás rendelkezésre

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



álló mennyiségének paraméteres vizsgálatát [15]. Ez egyébként nem más, mint azárnyékár értékének meghatározása az erıforrás mennyiségének függvényébenegy, az érvényességi tartománynál tágabb intervallumban.

Az E1 erıforráshoz hasonlóan határozható meg az E2 erıforrás árnyékára ésannak érvényességi tartománya is. Az 5.8. ábrán látható, hogy az E2 erıforrásegyenese az M′ és P3 pontok között mozoghat úgy, hogy ugyanazon egyenesekhatározzákmegaz optimálismegoldást. AzE2 erıforrás érvényességi tartományaaz M′ és P3 pontok által jelölt termelési mennyiségek, valamint az E2 erıforrásegyenlete alapján a következıképpen számolhatók:

P3 pont: X1 = 1000 db/id bP3E2 = 1 · 1000 + 2 · 200 = 1400 gó/id

X2 = 200 db/idM′ pont: X1 = 200 db/id bM′

E2 = 1 · 200 + 2 · 1000 = 2200 gó/idX2 = 1000db/id

Az E2 erıforrás optimális megoldáshoz tartozó árnyékárának érvényességitartománya tehát a következı feltétellel írható le:

1400 ≤ bE2 ≤ 2200

Az E2 erıforrás árnyékára pedig ezen tartomány bármelyik két pontja alapjánszámolt fajlagos célfüggvényváltozás. A fajlagos célfüggvényváltozás értékepéldául M′ és P2 pontok alapján a következıképpen számolható:

Árnyékár E2:FM′ − FP2

bM′E2 − bP2

E2

=326 000 − 260 000

2200 − 1600= 110 Ft/gó

Az eredmény tehát azt mondja, hogy ha az E2 erıforrás rendelkezésre állómennyisége 1400 és 2200 gépóra között változik egy vizsgált idıszakban, akkorminden egységnyi változás 110 Ft/gó haszonváltozást jelent.

A jobb oldali paraméterek árnyékárát és azok érvényességi tartományát össze-foglalóan az 5.10. táblázat tartalmazza. Hangsúlyozni kell, hogy ezek az adatokegymástól függetlenek. Vizsgálható tehát, hogy mi a kedvezıbb; csak az E1, vagycsak az E2 erıforrás bıvítése. A táblázat adatai alapján azonban azt nem tud-juk megmondani, hogy az E1 és az E2 erıforrások együttes bıvítésének mi lesz agazdasági következménye. A független árnyékárak és érvényességi tartományaikazonban így is fontos információt jelentenek a menedzsment számára több okból:

– A gyakorlatban sokszor elıfordul, hogy egyetlen erıforrás bıvítésénekgazdaságosságát kell vizsgálni. Az ilyen vizsgálat az árnyékár és érvényességitartománya alapján gyorsan elvégezhetı.

– A nagy árnyékárú erıforrások mőködését a menedzsmentnek fokozattankell figyelnie, mert ezek kapacitásának váratlan csökkenése komoly gazdaságieredményromlást okozhat.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



– A nagy árnyékárú erıforrásoknál a menedzsmentnek fokozottan kell töreked-nie a kapacitástartalékok, valamint a kapacitásbıvítési lehetıségek feltárására,mert az így elért hozamnövekedés jelentıs lehet.

Végezetül a jobb oldali paraméterek érzékenységvizsgálata kapcsán is megkell említeni a degeneráció elıfordulásakor felmerülı problémákat. Amint aztaz 5.4.2. fejezet végén említettük, degenerációnál az optimális megoldást a szük-ségesnél több feltétel határozza meg. Az 5.8. ábrán a degeneráció azt jelentené,hogy a P2 ponton kettınél több egyenes halad át. Ezen egyenesekhez tartozóárnyékárak és érvényességi tartományok számítása a ma használatos lineárisprogramozási szoftverek többségének problémát jelent [16], [23]. Elképzelhetı,hogy az árnyékár egy erıforrásnál gazdaságos bıvítési lehetıséget jelez, holott atényleges hozamnöveléshez további erıforrások bıvítése is szükséges. Ezért haaz eredmény értékelésénél degeneráltgyanús a megoldás (például sok egyenletszerepel a feltételek között, vagy sok erıforrás alkotja a szők keresztmetszetet),akkor érdemes ellenırizni, hogy az optimális megoldást közvetlenül meghatá-rozó feltételek (például teljesen kihasznált erıforrások) árnyékára és érvényességitartománya logikusan értelmezhetı-e. Meg kell jegyezni, hogy ez a problémama már széles körben ismert, ezért a jövıben várható olyan szoftverek megje-lenése, amelyek degeneráció esetén is mindig helyes árnyékárat és érvényességitartományt számolnak [28].

5.4.4. Az esettanulmány érzékenységvizsgálati eredményeinek értelmezése

Az elızı két fejezetben egy grafikusan ábrázolható feladat segítségével be-mutattuk a lineáris termeléstervezési modellek célfüggvény-együtthatóinak ésjobb oldali paramétereinek érzékenységvizsgálati számításait, valamint a kapotteredmények alkalmazását menedzsmentdöntéseknél. A grafikusan illusztrál-ható egyszerő feladat eredményeinek értelmezése azonban általános érvényő.Minden, amit a grafikus ábrázolás segítségével bemutattunk, ugyanúgy igazgrafikusan nem ábrázolható, nagymérető feladatoknál is. Ennek szemléltetése-ként tekintsük az 5.2. fejezetben már megoldott termeléstervezési esettanulmányérzékenységvizsgálati eredményeit.

Emlékeztetıül visszaidézzük, hogy hat hónapra kellett meghatározni a gyár-tandó mennyiséget. A célfüggvény a munkaerı-felvételi és -elbocsátási, valaminta készletezési költségek összegét minimalizálta. A feladatot leíró lineáris prog-ramozási modellt a korábban ismertetett 5.3. ábra tartalmazza, az optimálismegoldás eredménye pedig az 5.8. táblázatban található. Ezek magyarázatáraismételten nem térünk ki.

A célfüggvény-együtthatók optimális megoldáshoz tartozó – Excel solverrel szá-molt – érzékenységvizsgálati eredményeit az 5.11. táblázat tartalmazza. Afeladatban szereplı 5 változócsoport összesen 32 változójának mindegyikéheztartozik célfüggvény-érzékenységi tartomány. A táblázat elsı oszlopa a változó

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



nevét, második oszlopa a változó optimális értékét, harmadik oszlopa pedig acélfüggvény-együttható eredeti értékét tartalmazza. A célfüggvényben nem sze-repelt változókat úgy tekinthetjük, hogy azok célfüggvény-együtthatója zéró. Atáblázat utolsó két oszlopa a célfüggvény-együttható azon maximális növekedé-sét és csökkenését adja meg, amely értékek mellett a kapott optimális megoldásváltozatlan marad.

A következıkben mindegyik változócsoportnál jellegzetes példákkal szemlél-tetjük a célfüggvény-együttható érzékenységi tartományának jelentését.

– Munkaerı-felvétel (At ). A munkaerı-felvétel költsége eredetileg munká-sonként 50 eFt. A célfüggvény-együttható érzékenysége a munkaerı-felvételköltségének azt a tartományát jelenti, amelyen belül a kapott megoldás optimá-lis marad. Áprilisban az optimális megoldás nem javasolt felvételt (A4 = 0). Azérzékenységi tartomány azt jelzi, hogy akármekkorára nıhet az áprilisi felvételköltsége (megengedett növekedés ∞) nincs értelme áprilisban munkásfelvétel-nek. Ez érthetı, hiszen ha a jelenlegi költségnél nem gazdaságos a felvétel, akkormagasabb költségnél sem lesz az. Ugyanakkor, ha az áprilisi felvétel költségénekcsökkenése nagyobb, mint 0,679 eFt akkor az optimális megoldás változni fog.Bár az érzékenységvizsgálat nem mondja meg, hogy az optimális megoldás ho-gyan fog módosulni, logikusnak tőnik, hogy az alacsonyabb felvételi költségekmiatt érdemes lesz már áprilisban felvenni munkásokat. Ezekre a munkásokracsak késıbb lesz szükség, de az olcsóbb felvételi költség, és a korábban felvettmunkások által termelt mennyiség raktározási költsége együtt kedvezıbb, minta késıbb felvett munkások magasabb felvételi költsége. Májusban az optimálismegoldás 465 munkás felvételét javasolja. A májusi felvételi költség kismér-tékő növekedésekor (0,963 eFt) ez a megoldás már nem lesz optimális. Ennekoka az lehet, hogy magasabb felvételi költségnél érdemes inkább korábban fel-venni munkásokat. Így a korábbi felvétel alacsonyabb költsége és a korábbanfelvett munkások által termelt mennyiség raktározási költsége együtt kedvezıbb,mint a májusi felvétel magasabb költségek mellett. Hogy mennyivel kevesebbmunkás felvétele gazdaságos, arról az érzékenységvizsgálat nem szolgáltat infor-mációt, pusztán felhívja a figyelmet arra, hogy a költségnövekedés miatt felül kellvizsgálni a termelési tervet. A májusi felvétel költségének csökkenése nem be-folyásolja a termelési terv alakulását, hiszen az érzékenységvizsgálat által jelzett119 eFt csökkenés 50 eFt felvételi költség mellett azt jelenti, hogy akkor sincs ér-telme több munkást felvenni, ha azért nem kell fizetni. A két kiragadott eredményazt jelzi, hogy a menedzsmentnek érdemes fokozott figyelmet fordítania a felvé-tel költségének alakulására, mert annak már kismértékő változása is indokolttáteheti a termelési terv módosítását.

– Munkaerı-elbocsátás (Et ) A munkaerı elbocsátás költségének érzékenység-vizsgálati eredményei az elıbb bemutatott módon értelmezhetık. A munkaerı-elbocsátás költsége eredetileg munkásonként 100 eFt. Januárban az optimálismegoldás szerint 27 fı elbocsátása indokolt. Ha az elbocsátás januári költségéneknövekedése több mint 23,8 eFt, akkor ez a megoldás már nem optimális. Esetleg

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5.11. táblázat: Az esettanulmány célfüggvény-együtthatóinakérzékenységvizsgálata

Név VégértékCélfüggvényegyüttható

Megengedhetınövekedés

Megengedhetıcsökkenés

Változó A1 0,000 50 ∞ 150,000Változó A2 0,000 50 ∞ 79,143Változó A3 0,000 50 ∞ 22,249Változó A4 0,000 50 ∞ 0,679Változó A5 464,803 50 0,963 119,163Változó A6 0,000 50 ∞ 19,275Változó E1 27,020 100 23,763 2,297Változó E2 0,000 100 ∞ 70,857Változó E3 0,000 100 ∞ 127,751Változó E4 0,000 100 ∞ 149,321Változó E5 0,000 100 ∞ 150,000Változó E6 0,000 100 ∞ 130,725Változó I0 500,000 8 ∞ 24,178Változó I1 20,000 8 0,784 8,109Változó I2 340,000 8 0,356 3,686Változó I3 160,000 8 0,253 2,616Változó I4 0,000 8 ∞ 1,843Változó I5 378,378 8 14,748 4,546Változó I6 600,000 8 ∞ 21,979Változó P1 800,000 0 0,784 8,109Változó P2 960,000 0 0,653 6,757Változó P3 720,000 0 0,871 9,009Változó P4 1040,000 0 55,630 0,253Változó P5 2378,378 0 3,099 36,965Változó P6 1621,622 0 4,546 14,748Változó M0 300,000 0 ∞ 100,000Változó M1 272,980 0 2,297 23,763Változó M2 272,980 0 2,297 23,763Változó M3 272,980 0 2,297 23,763Változó M4 272,980 0 211,940 0,963Változó M5 737,783 0 9,991 119,163Változó M6 737,783 0 9,991 32,416

célszerő lehet a munkások egy részét megtartani. Így a megtakarított elbocsátásiköltség és a megtartott munkások által termelt mennyiség készlettartási költségeegyütt kedvezıbb, mint a drágább elbocsátás költsége. Ha az elbocsátás januári

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



költségének csökkenése nagyobb, mint 2,3 eFt, akkor esetleg érdemesebb többmunkást elbocsátani. Hogy hány fı elbocsátása gazdaságos, arról az érzékeny-ségvizsgálat nem szolgáltat információt, pusztán felhívja a figyelmet arra, hogy aköltségváltozás miatt felül kell vizsgálni a termelési tervet.

– Raktárkészlet (It ). A készlettartási költség egyetlen termék után egy hónapra 8eFt. A március végi raktárkészlet az optimális termelési terv szerint 160 darab (I3).Ha a márciusi fajlagos készlettartási költség növekedése 0,253 eFt-nál nagyobb,akkor a jelenlegi termelési terv már nem optimális. Vélhetıleg kisebb készlettartása lesz indokolt ebben a hónapban. Hogy a hiányzó mennyiséget mikor kelllegyártani, arról az érzékenységvizsgálati eredmények nem adnak tájékoztatást.Ha a márciusi fajlagos készlettartási költség csökkenése nagyobb, mint 2,616eFt, akkor viszont az optimálisnál nagyobb készlet tartása lehet a kedvezıbb.Hogy a készletváltozás miatt hogyan kell módosítani a termelt mennyiségeket,arról az érzékenységvizsgálat nem ad tájékoztatást. Látható ugyanakkor, hogyaz optimális termelési tervet szinte valamennyi hónap fajlagos készlettartásiköltségének már kis mértékő változása is befolyásolja, ezért a készlettartásiköltségek alakulását a menedzsmentnek fokozottan figyelnie kell.

– Termelt mennyiség (Pt ). A fajlagos termelési költséget az esettanulmánybannem vesszük figyelembe (minden hónapban azonosnak tekintjük), így annakértéke a célfüggvényben zéró. Azt feltételezzük ugyanis, hogy az igénynek meg-felelı mennyiséget úgyis le kell gyártani. Ha a gyártás költsége havonta nemváltozik, akkor az összes gyártási költség minden termelési tervnél ugyanakkoralesz, tehát az optimumot nem befolyásolja. Abban az esetben, ha esetleg nemminden hónapban ugyanakkora a fajlagos gyártási költség, akkor ez a feltétele-zés nem helytálló. Ha tehát nagyon kicsi a zérónak feltételezett fajlagos gyártásiköltségek érvényességi tartománya, akkor már e költségek kismértékő havi in-gadozásánál sem helyes a gyártási költség figyelmen kívül hagyása az optimummeghatározásánál. Az érvényességi tartományok azt mutatják, hogy különösenaz elsı három hónapban kis mértékben felfelé, áprilisban pedig kis mértékben le-felé eltérı fajlagos gyártási költségnél helytelen eredményt kapunk, ha figyelmenkívül hagyjuk a gyártási költségeket. Indokolt tehát ellenırizni, hogy ténylegteljesen azonosak-e minden hónapban a fajlagos gyártási költségek.

– Munkások száma (Mt ). A fajlagos bérköltséget az esettanulmányban nemvettük figyelembe (minden hónapban azonosnak tekintettük), így annak értékea célfüggvényben zéró. Azt feltételeztük ugyanis, hogy az igénynek megfelelımennyiséget úgyis le kell gyártani. Ha a fajlagos bérköltség havonta nemváltozik, akkor az összes bérköltség minden termelési tervnél ugyanakkoralesz, tehát az optimumot nem befolyásolja. Ha esetleg nem minden hónapbanugyanakkora a fajlagos bérköltség, akkor ez a feltételezés nem helytálló. Azérvényességi tartományok azt mutatják, hogy az esetleges áprilisi alacsonyabbfajlagos bérköltség lehet csak veszélyes, a többi hónapban az egymást követıhónapok fajlagos bérköltségének kismértékő eltérései ellenére is elfogadható afajlagos bérköltség elhanyagolása.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Hangsúlyozni kell, hogy az 5.11. táblázat független érvényességi tartományo-kat tartalmaz, tehát mindegyik tartomány csak akkor igaz, ha kizárólag a hozzátartozó célfüggvény-együttható változik meg.

Az esettanulmány jobb oldali paramétereinek érzékenységvizsgálati eredményeit az5.12. táblázat tartalmazza. A feladatban három egyenletcsoport szerepelt, mind-egyik hat hónapra vonatkozó hat feltétellel. A táblázat elsı oszlopa az egyenletnevét, második oszlopa az egyenletnek az optimális megoldáshoz tartozó ered-ményét, harmadik oszlopa pedig a jobb oldali paraméter árnyékárát tartalmazza.A negyedik oszlop a jobb oldali paraméter eredeti értékét, a következı két oszloppedig az eredeti érték megengedhetı növekedését, valamint csökkenését mu-tatja. Ha a jobb oldali paraméter a változás során az így kapott tartományonbelül marad, akkor érvényes az árnyékár. A következıkben mindegyik egyen-letcsoportnál jellegzetes példákkal szemléltetjük az árnyékár és a hozzá tartozóérvényességi tartomány jelentését.

– Létszám. A létszámegyenletek jobb oldali paramétere zéró (lásd a korábbanismertetett 5.3. ábrát). A jobb oldali paraméter egységnyi változásának jelentésétaz egyenlet következı átrendezése teszi érthetıbbé:

Mt = Mt−1 + At − Et ± 1

A jobb oldal egységnyi változása tehát azt jelenti, hogy a t idıszak létszáma egymunkással nı vagy csökken. Ez a változás nem felvételnek vagy elbocsátásnaka következménye, tehát a felvételi vagy elbocsátási költséget ennél az egy mun-kásnál nem kell figyelembe venni. Januárban a jobb oldali paraméter árnyékára100 eFt. Ez azt jelenti, hogy ha januárban egy munkással több áll rendelkezésre,akkor a termelési terv költsége 100 eFt-tal megnı. Ez érthetı is, hiszen január-ban az optimális termelési terv szerint 27 fıt kell elbocsátani. Ha egy fıvel többáll rendelkezésre, akkor azt is el kell bocsátani, aminek költsége éppen 100 eFt.Ugyanez fordítva is igaz. Ha januárban egy fıvel kevesebb áll rendelkezésre, ak-kor csak 26 fıt kell elbocsátani és így a termelési terv 100 eFt-tal olcsóbb lesz.A 100 eFt árnyékár érvényességi tartománya azt jelzi, hogy bármennyivel többáll rendelkezésre, minden egyes létszámtöbbletnél 100 eFt költség jelentkezik,hiszen az összes többletlétszámot el kell bocsátani. Ugyanakkor a létszám janu-árban maximum 27 fıvel lehet kevesebb 100 eFt árnyékár mellett. Éppen ennyitkell ugyanis januárban elbocsátani az optimális terv szerint. Ha például 28 fıvelvan kevesebb a számítottnál, akkor már felvétel szükséges, ezért a termelési tervköltségváltozása, és így az árnyékár is más lesz.

Vizsgáljuk most meg a márciushoz tartozó jobb oldal árnyékárát, amelynek azelızıleg vizsgált árnyékártól eltérıen negatív elıjele van. Márciusban az egy fıtöbbletlétszám az árnyékár szerint a termelési terv költségének 27,75 eFt csök-kenését jelentené. Ennek oka az lehet, hogy májusban majd felvétel lesz, deha márciusban költségmentesen egy plusz fı áll rendelkezésre, akkor a késıbbifelvételi költség megtakarítható. A megtakarítás nem teljes, mert a korábban

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



bekövetkezı létszámnövekedés miatt többlettermelés, és emiatt készlettartásiköltség jelentkezik, de ennek költsége alacsonyabb a késıbbi felvétel költségénél.Ugyanez igaz fordítva is. Ha márciusban egy fıvel kevesebb áll rendelkezésre(például betegség miatt), akkor a termelési terv költsége 27,75 eFt-tal megnı.Ennek oka, hogy a hiányzó munkás munkáját valamikor el kell végezni. Hogypontosan mi fog történni, arról az érzékenységvizsgálat nem nyújt információt,csak azt jelzi, hogy a megváltozott helyzet optimális költsége az eredeti opti-mumnál 27,75 eFt-tal magasabb lesz. Az érvényességi tartomány szerint, hamaximum 13 fıvel áll több rendelkezésre, akkor minden plusz munkásnál azárnyékár által jelzett költségcsökkenés jelentkezik. Továbbá, ha maximum 54 fı-vel kisebb a létszám, akkor minden egyes hiányzó munkásnál az árnyékár általjelzett többletköltség jelentkezik.

– Igény. Az igényegyenletek jobb oldalán a kielégítendı mennyiség szerepel.Ebbenaz esetbenaz árnyékár azt jelzi, hogyha az igény egydarabbalmegváltozik,akkor az hogyan változtatja meg az optimális termelési terv költségét. Hajanuárban az eredetileg tervezett 1280 darabnál egy darabbal többet kell szállítani,akkor az árnyékár szerint a termelési terv költsége 24,18 eFt-tal csökkenni fog.Furcsának tőnhet, hogy többet kell gyártani, és emiatt költségcsökkenés lesz, de ajanuári igény növekedése új termelési tervet jelent, és annak költsége alacsonyabblesz. Hogy az új optimális termelési terv milyen módosításokat tartalmaz, arrólaz érzékenységvizsgálat nem ad információt. Csak azt jelzi, hogy ha januárratöbb rendelést tudunk szerezni, az igen gazdaságosan kielégíthetı. Ugyanezfordítva is igaz. Ha a januári igény egy darabbal csökken, akkor a termelési tervköltsége 24,18 eFt-tal nıni fog. Az érvényességi tartomány azt jelzi, hogy csak25 darabig igaz az igény növekedésével járó költségcsökkenés, míg 3520 darabigigaz az igény csökkenésével járó költségnövekedés. Januárban az eredeti tervszerint az igény csak 1280 darab, ezért a 3520 darab megengedhetı csökkenésgyakorlatilag azt jelenti, hogy ha a teljes januári igény megszőnik, akkor mindenegyes darab után 24,18 eFt a többletköltség. Az árnyékár elıjelének változásaaz 5.11. táblázatban azt jelzi, hogy májusban és júniusban éppen fordított ahelyezet. Ezekben a hónapokban az igénynövekedés költségnövekedést, az igénycsökkenése pedig költségcsökkenést jelent. Hangsúlyozni kell még egyszer,hogy az árnyékár által jelzett költségváltozások a megváltozott igény optimálistermelési tervéhez viszonyított változások.

– Termelés. A termelési egyenletek jobb oldali paramétere zéró (lásd a korábbanismertetett 5.3. ábrát). A jobb oldali paraméter egységnyi változásának jelentésétaz egyenlet következı átrendezése teszi érthetıbbé:

Pt = K nt Mt ± 1

A jobb oldal egységnyi változása tehát azt jelenti, hogy a munkások által meg-termelt mennyiségnél 1 darabbal több, vagy kevesebb áll rendelkezésre. Az 5.12.táblázatban láthatjuk, hogy az árnyékár szerint, ha januárban a munkások általtermelt mennyiségnél egy darabbal több áll rendelkezésre, akkor a termelési terv

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



költsége 24,18 eFt-tal nı. Ennek oka, hogy az elsı hónapokban raktárkészlet hal-mozódik fel, tehát a jelentkezı többlet is a raktárba kerül. Ismét hangsúlyoznikell, hogy a 24,18 eFt többletköltség a megváltozott helyzet optimális termelésitervének magasabb költsége. A megváltozott helyzet optimális termelési ter-vérıl az érzékenységvizsgálat nem ad információt, de jelzi, hogy annak költségemennyivel lesz magasabb. Ha januárban egy darabbal kevesebb áll rendelke-zésre, akkor emiatt a termelési terv költsége 24,18 eFt-tal csökkenni fog. Ezeka költségváltozások természetesen csak az utolsó két oszlopban jelzett határokközött érvényesek. Ismét észrevehetjük, hogy az utolsó két hónapban megvál-tozik az árnyékár elıjele. Ekkor tehát a rendelkezésre álló plusz mennyiségköltségcsökkenést jelent, míg a hiány költségnövekedéssel jár együtt.

5.12. táblázat Az esettanulmány jobb oldali paramétereinekérzékenységvizsgálata

Név Végérték ÁrnyékárFeltétel jobb

oldalaMegengedhetı

növekedésMegengedhetı

csökkenésLétszám 1 0,000 100,000 0 ∞ 27,020Létszám 2 0,000 29,143 0 8,832 34,968Létszám 3 0,000 −27,751 0 13,649 54,041Létszám 4 0,000 −49,321 0 23,098 91,454Létszám 5 0,000 −50,000 0 464,803 ∞Létszám 6 0,000 −30,725 0 289,524 1240,816Igény 1 1280,000 −24,178 1280 25,882 3520,000Igény 2 640,000 −16,178 640 348,421 88,000Igény 3 900,000 −8,178 900 348,421 88,000Igény 4 1200,000 −0,178 1200 348,421 88,000Igény 5 2000,000 5,979 2000 933,333 2520,000Igény 6 1400,000 13,979 1400 ∞ 636,364Termelés 1 0,000 24,178 0 3520,000 25,882Termelés 2 0,000 16,178 0 88,000 348,421Termelés 3 0,000 8,178 0 88,000 348,421Termelés 4 0,000 0,178 0 88,000 348,421Termelés 5 0,000 −5,979 0 2520,000 933,333Termelés 6 0,000 −13,979 0 636,364 2727,273

Az esettanulmányban az árnyékár egyik érdekes felhasználása az alvállalko-zók bekapcsolási lehetıségének vizsgálata. A termelési egyenletek jobb oldaliparaméterének (0) növekedése ugyanis annak eredménye lehet, hogy az elké-szült mennyiség egy részét a saját munkások gyártják, a többit (a jobb oldalon állómennyiséget) pedig alvállalkozó szállítja. Az árnyékár azt mutatja, hogy ha egydarabot májusban alvállalkozó gyárt, akkor olyan termelési terv készíthetı, amely

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



5,98 eFt-tal alacsonyabb költségő. Ha tehát az alvállalkozó ennél alacsonyabbáron szállít egy darabot, akkor gazdaságos lehet az alvállalkozó bekapcsolása azérvényességi tartomány által kijelölt mennyiség szállításakor. Ugyanez január-ban értelmetlen lenne, mert alvállalkozói szállításnál az árnyékár a termelési tervköltségének emelkedését jelzi.

Ismét felhívjuk a figyelmet arra, hogy az 5.12. táblázat független árnyékárakatés érvényességi tartományokat tartalmaz, tehát mindegyik árnyékár, és érvé-nyességi tartománya csak akkor igaz, ha kizárólag a hozzá tartozó jobb oldaliparaméter változik meg. Több jobb oldali paraméter együttes változásakor a leg-célszerőbb a megváltozott adatokkal új optimális termelési terv meghatározása.


A termelési folyamatok komplex természete olyan modellezési eszközt igényel,amely képes figyelembe venni a folyamatban résztvevı sokféle termék eltérı erı-forrásigényét, a különféle költségtípusok eltérı kapcsolatát a gyártott mennyi-séggel, valamint az igény elırelátható, valamint véletlenszerő változásait. Atermeléstervezéshez felhasznált lineáris programozás számos megkötés és alkal-mazási feltétel ellenére egy ilyen eszköz. Népszerőségének, a gyakorlati életbentörténı széleskörő alkalmazásának okai közül a két legfontosabb a következı:

– A számítástechnika fejlıdésének köszönhetıen a lineáris programozási mo-dellek felállítását és megoldását ma már könnyen kezelhetı és hatékony szoftve-rek segítik. Az egyszerőbb (néhány száz változót és feltételt tartalmazó) modellektáblázatkezelı szoftverekkel is megoldhatók (például Excel), a nagyobb (több tíz-ezer változót és feltételt tartalmazó) modellek pedig professzionális lineárisprogramozási szoftverekkel kezelhetık.

– A lineáris programozási modellek az optimális megoldáson túl számos egyébolyan információt szolgáltatnak, amely segíti a menedzsmentdöntések megala-pozását. Így az árnyékár, valamint a modellben szereplı költségek érzékenységeaz optimális megoldásnál sokszor lényegesen hasznosabb információk.

Természetesen a lineáris termeléstervezési modellek könnyő kezelhetıségé-nek és intuitív eredményeinek ára van. A linearitás feltételezése, vagy a kapotteredmény értelemszerő kerekítése sokszor lényegesen torzítja a valóságot. Azegészértékő, valamint nemlineáris programozás segíthet ezeknek a gondoknaka kiküszöbölésében, de ennek ára a bonyolultabb modell, a nagyobb ráfordí-tást igénylı megoldó apparátus, valamint az érzékenységvizsgálati információkegy részének elvesztése. Fontos tehát felmérni a bonyolultabb modell nyújtottanagyobb pontosság, valamint az egyszerőbb modellel párosuló könnyebb ke-zelhetıség, de ugyanakkor nagyobb pontatlanság szempontjait. Az alkalmazottmodellezési eszközöket mindig összhangba kell hozni a megoldáshoz rendel-kezésre álló erıforrásokkal, valamint a menedzsmentnek az eredményekkelszemben támasztott pontossági követelményével.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Végezetül hangsúlyozni kell, hogy a termeléstervezési modellek megoldá-sának csak egyik haszna az optimális megoldás megtalálása. Ennél gyakranfontosabb a modellezést kísérı tanulási folyamat, melynek eredménye a vizs-gált termelırendszer jobb megismerése, a költségérzékeny területek feltárása, akritikus erıforrások meghatározása, valamint a termelırendszerhez legjobbanilleszkedı termékszerkezet körvonalazása (lásd például [27]).

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉSIRENDSZER (MRP) ALAPJAI

6.1. BEVEZETÉS

A hatékony gyártás alapvetı feltétele, hogy bonyolult, több alkatrészbıl, részegy-ségbıl vagy alapanyagból készülı termékek gyártásakor a szükséges komponen-sek megfelelı idıben és mennyiségben álljanak rendelkezésre. E problémával azanyagszükséglet-tervezés (közismert nevén MRP=Materials Requirement Plan-ning) foglalkozik. A termékekbe beépülı komponensek sajátos módon jelentkezıigénye miatt a termelésmenedzsment ezen komponensek kezelésére a készlet-gazdálkodáson messze túlmutató módszereket alkalmaz.

A termékek iránt jelentkezı igényt jellege alapján két csoportba sorolhatjuk.– Független igényrıl beszélünk akkor, amikor a termék igénye nem függ köz-

vetlenül egyetlen más termék igényétıl sem. Ha például egy olyan végtermékösszeszerelését végezzük, amely az összeszerelés után egyenesen a kereskedelmihálózatba kerül, akkor ennek a végterméknek az igénye független, mert nagy-ságát közvetlenül a vásárlók határozzák meg. Természetesen a közvetlenül afogyasztókhoz jutó végtermék igényének nagyságát is befolyásolhatja más ter-mékek igénye, piaci helyzete. Egy megjelenı új termék például visszavetheti egykevésbé korszerő, de eddig piacvezetı termék keresletét. Az új termék igényénekváltozásából azonban nem vezethetı le egyértelmően a másik termék igényénekváltozása, tehát a kapcsolat nem közvetlen.

– Függı igényrıl beszélünk akkor, amikor egy termék (alkatrész, részegység)igénye közvetlenül levezethetı egy másik termék igényébıl. Amikor például egyvállalat alkatrészeket szállít egy végtermék-összeszerelıüzemnek, akkor az alkat-rész iránti igényt egyértelmően meghatározza az, hogy a végtermékbıl mekkoramennyiséget kell gyártani, továbbá, hogy a végtermék egységnyi mennyiségénekelıállításához mekkora mennyiség szükséges a kérdéses alkatrészbıl.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


226 6. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉSI RENDSZER (MRP) ALAPJAI

Vannak olyan termékek is, amelyek igényének egyik része független, másikrésze pedig függı. Egy gumiabroncsokat gyártó vállalat termékeinek egy részefüggetlen igényő lehet, mert azt közvetlenül a fogyasztóknak juttatja el a kiske-reskedelmi hálózaton keresztül. Termékeinek másik része viszont függı igényő,ha a vállalat valamelyik nagy gépkocsi- összeszerelı üzem beszállítója. A függıigényő termékek igényét az határozza meg, hogy hány gépkocsit szerelnek össze,és egy gépkocsihoz hány gumiabroncsra van szükség.

A független igényő termékeknél a készletgazdálkodás elsıdleges feladata azigény bizonytalanságának kedvezıtlen hatásait enyhítı készletezési rendszer ki-alakítása. A független igény kielégítésének készletgazdálkodási vonatkozásaivala 4. fejezetben foglalkoztunk. A függı igényő termékeknél a készletgazdálkodásfeladata az ismert idıpontban jelentkezı ismert mennyiségek rendelkezésre ál-lásának biztosítása a lehetı leggazdaságosabban. E kérdésekkel foglalkozik azanyagszükséglet-tervezési rendszer alapjai címő fejezet.

A következıkben elıször ismertetjük az anyagszükséglet-tervezés végrehajtá-sához szükséges információs rendszer felépítését, valamint a tervezés alapössze-függéseit. A számítások végrehajtását és a kapott eredmények menedzsmentvonatkozásait egy esettanulmány segítségével szemléltetjük.

6.2. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI

Az anyagszükséglet-tervezési rendszer feladata valamely termék gyártásáhozvagy valamely szolgáltatás nyújtásához szükséges alapanyagok, alkatrészek,részegységek (továbbiakban komponensek) rendelési ütemtervének meghatáro-zása. Az MRP-számítás eredményeként tehát megkapjuk, hogy mibıl, mikor ésmennyit kell rendelni. A számítás elvégzéséhez szükséges adatok körét, valaminta számítás logikáját a 6.1. ábrán látható egyszerősített blokkdiagram szemlél-teti. Az MRP-számítás elvégzéséhez szükséges információkat három csoportbaoszthatjuk:

a.) Termelési vezérprogram (termelési ütemterv). A termelési vezérprogram pon-tosan meghatározza, hogy a független igényő termékekbıl (szolgáltatásokból)mikor és mekkora mennyiséget kell elıállítani. A termelési vezérprogram me-nedzsmentdöntés eredménye, amelyet a menedzsment a következı információkalapján határoz meg:

– Aggregált termelési terv, amely elızetes információk alapján határozza meg atermelési folyamat erıforrásai szempontjából optimális termelési ütemet.

– A termelési ütemterv készítésekor már ismert rendelések. Ezek olyan mennyi-ségek, amelyeket a korábban vállalt kötelezettségek miatt feltétlenül le kellgyártani.

– A termelési ütemterv készítésekor még nem ismert, de elıre jelzett rendelések.Ezekolyanmennyiségek, amelyekgyártásáramégnemvállaltunkkötelezettséget,de elırejelzések alapján valószínőleg értékesíthetık.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6.2. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI 227

A 6.1. ábrán a környezetbıl érkezı és dinamikusan változó információkatellipszisek jelölik. Ennekmegfelelıen látható, hogyaz ismert rendelések, valamintaz elırejelzett igény a vállalkozás környezete által meghatározott információk.

Az aggregált termelési terv, az ismert rendelések és az elırejelzett igény alapjána menedzsment eldönti, hogy mikor mekkora mennyiség gyártását tervezi. Edöntéshez felhasználható valamilyen operációkutatás alapú termeléstervezésimodell (lásd például [24], [29], [40]), de egyszerőbb esetben elegendı lehet akorábban készített aggregált termelési terv kis mértékő – az ismert rendeléseketés elırejelzett igényt figyelembe vevı – módosítása.

Fontos kérdés a tervezési vezérprogram megadásakor az adatok idıegy-sége(idıléptéke), azaz a legkisebb idıtartam, amelyre vonatkozóan adatokat meg-adhatunk. Ha például ismert a termelési vezérprogram egy évre elıre havibontásban, és az idılépték a hónap, akkor heti bontásban rendelési adatokatnem számíthatunk. Ugyanez fordítva is igaz. Ha az adatok havi bontásbanismertek, de a menedzsment negyedéves idılépték mellett dönt, akkor a haviadatokat negyedévre aggregálni kell, és ezen túl minden számítás negyedévrevonatkozó eredményt fog szolgáltatni. Az idılépték meghatározása befolyásoljaaz anyagszükséglet-tervezés részletességét és pontosságát, de ugyanakkor szá-mításigényét is. Kis idıléptéknél (például tervezés napi bontásban) a tervezésrészletes és pontos, de a számításigény nagy. Nagy idıléptéknél (például negyed-éves tervezés) a tervezés nagymértékben aggregált és rendszerint pontatlan, deszámításigénye nem jelentıs. Az adatok rendelkezésre állása, a gyártási folyamatbonyolultsága, valamint a folyamat mőködtetésének körülményei határozzákmeg elsısorban az idılépték választását.

b.) A termék felépítése (komponenshierarchia). A termék felépítése tartalmazzaa terméket alkotó komponensek technológiai kapcsolatát. Ez a kapcsolat meg-határozza egyrészt a komponensek hierarchikus egymásra épülését, másrészt akomponensekbıl szükséges fajlagos mennyiségeket is. Példaként tekintsük a 6.2.ábrát, amely egy egyszerő asztal felépítését mutatja. Az asztal egy asztallapból,egy tartószerkezetbıl, valamint az asztallapot és a tartószerkezetet rögzítı hatdarab csavarból épül fel. A tartószerkezet tovább bontható egy keretre, valamintnégy csavarral a kerethez rögzített négy lábra. Az alkatrészek hierarchikus kap-csolatát a 6.3. ábra tartalmazza. A hierarchikus kapcsolat alapján egyértelmőenmegállapítható, hogy a lábat és a keretet elıre összeszereljük, és az így kapotttartószerkezet nevő részegységet rögzítjük az asztallaphoz csavarokkal. Ha azösszeszerelés (szerelési technológia) másképpen történik, akkor a komponensekhierarchikus kapcsolata is másként alakul.

Az egy komponens elkészítéséhez közvetlenül szükséges komponenst az elké-szülıkomponens szempontjából beépülı komponensnek nevezik. Azt a komponenstpedig, amelybe egy másik komponens közvetlenül beépül, a beépülı komponensszempontjából felhasználó komponensnek hívják. A 6.3. ábrán például a tartószer-kezet szempontjából a csavarok, a keret és a lábak beépülı komponensek, míg akeret szempontjából a tartószerkezet felhasználó komponens.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



6.1. ábra: Az anyagszükséglet-tervezés adatbázisa és eredménye

Az anyagszükséglet-tervezési rendszerben az egyes komponenseket meghatá-rozott szintekhez rendelik. Az elfogadott konvenció szerint a végtermék helyezke-dik el a 0. szinten, amely a legmagasabb szint. Ez alatt helyezkedik el az 1. szint,amely a végtermék elıállításához közvetlenül szükséges komponenseket tartal-mazza. Esetünkben az 1. szinten az asztallap, a tartószerkezet és a 6 darab csavartalálható. Ezt követi a 2. szint, amely azokat a komponenseket tartalmazza,amelyek közvetlenül szükségesek a végtermék elıállításához közvetlenül szük-séges komponensekhez. Példánkban a tartószerkezet bontható tovább lábakra,keretre és csavarokra. A többi elsı szinten lévı komponens nem bontható kom-ponensekre. Elképzelhetı lenne az asztallap további bontása, de feltételezzük,hogy az asztallapot készen szállítja egy alvállalkozó, ezért az asztallap kompo-nenseire az asztallapot gyártó üzem anyagszükséglet-tervezésénél van szükség.Hasonló a helyzet a kerettel is. Bár az felbontható lenne lécekre és további csava-rokra, példánkban azt feltételezzük, hogy a keretet egy alvállalkozó ugyancsakkészen szállítja, ezért a lécek iránti anyagszükséglet számítása az alvállalkozónálszükséges. A termék bonyolultsága, valamint a termelési folyamat összetettségehatározza meg, hogy egy termék hierarchikus felépítésének ábrázolásához hányszintre van szükség. A további komponensekre már nem bontott komponensekhelyezkednek el a legalsó szinten.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A 6.3. ábrán a zárójelben látható mennyiségek a fajlagos anyagszükségletetjelentik, tehát azt, hogy a felhasználó komponens egységnyi mennyiségéheza beépülı komponens mekkora mennyisége szükséges. Eszerint egy darabtartószerkezethez négy darab lábra van szükség, egy darab asztalnál az asztallapés a tartószerkezet rögzítéséhez hat darab csavar szükséges stb.

Az anyagszükséglet-tervezés feladata meghatározni azt, hogy egy kompo-nensbıl mikor mekkora mennyiség szükséges. Példánkban az asztal elkészíté-séhez szükség van csavarokra. Tételezzük fel, hogy az asztallap rögzítéséhez ésa lábak szereléséhez ugyanolyan csavart használnak. Ebben az esetben a csa-varból szükséges mennyiséget a végtermék mennyisége (0. szint), valamint atartószerkezet mennyisége (1.szint) határozza meg. Az asztallapok rögzítéséhezszükséges mennyiséget már akkor ismerjük, amikor a végtermék igénye ismert,a lábakhoz szükséges csavarok mennyisége azonban csak akkor lesz ismert, ha avégtermék igénye alapján meghatározzuk a tartószerkezetbıl szükséges mennyi-séget. Célszerő ezért a csavarból szükséges mennyiséget akkor meghatározni,amikor a végtermék (0. szint) és a tartószerkezet (1. szint) mennyisége máregyaránt ismert.

Ezt teszi lehetıvé az alsó szintő kódolás módszere. Ha egy komponens a terméketábrázoló komponenshierarchiában több szinten is jelen van, akkor e komponens valamennyielıfordulását a legalsó szinten (az utolsó elıfordulás szintjén) tüntetjük fel. Példánkbana csavar az 1. szinten és a 2. szinten is elıfordul, de az 1. szintő elıfordulástis a 2. szinten ábrázoljuk (lásd 6.4. ábra). Ezzel felhívjuk a figyelmet arra, hogya csavarból szükséges mennyiség meghatározásához a 0. és az 1. szinten lévıkomponensek mennyiségeinek ismerete egyaránt szükséges.

A 6.4. ábra szerinti fastruktúra szemléletesen mutatja a termék felépítését azegyes alkatrészekbıl, részegységekbıl, alapanyagokból. A fastruktúra grafikusábrázolása számítógéppel nehezen kezelhetı, ezért a termék felépítését a számí-tógép által könnyebben kezelhetı táblázatos formában szokták megadni. A 6.1.táblázat a 6.3. ábra táblázatos változata, amely mátrixként könnyen kódolható.

A termék felépítése az idık során változhat, egyes alkatrészeket a vevıi igé-nyek, technológiai okok vagy költségcsökkentı törekvések miatt áttervezhetnek.Ezen változások nyomon követésének fontosságára utal a 6.1. ábrán a mérnökiváltoztatások mezı.

c.) Készletnyilvántartás. Ahhoz, hogy meghatározzuk egy komponensbıl a le-gyártandó/beszerzendı mennyiséget, ismernünk kell minden idıpillanatban arendelkezésre álló mennyiséget. A rendelkezésre álló mennyiség az igény ki-elégítésére felhasználható mennyiség, amely nem egyenlı a raktárkészlettel. Araktárban ugyanis olyan mennyiségek is találhatók, amelyek a tervezésnél figye-lembe vett mennyiségek kielégítésére nem használhatók fel (biztonsági készlet,más célra lekötött készlet), továbbá a készlet nem tartalmazza azt a mennyisé-get, ami nincs a raktárban, de a tervezésnél figyelembe vehetı, mert várható abeérkezése (várt beérkezés). Az anyagszükséglet-tervezésnél figyelembe vehetı

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



6.2. ábra: A példaként használt asztal felépítése

Asztal

Asztallap(1)

Tartószerkezet

(1)

Csavarok(6)

Lábak(4)

Keret(1)

Csavarok(4)

0. szint

2. szint

1. szintAsztallap

(1)

-

(1)

Csavarok(6)

Lábak(4)

Keret(1)

Csavarok(4)

2. szint

6.3. ábra: Az asztal komponenshierarchiája

Asztal

Asztallap(1)

Tartószerkezet

(1)

Csavarok(6)

Lábak(4)

Keret(1)

Csavarok(4)

0. szint

2. szint

1. szint

Asztal

Asztallap(1)

Tartó-szerkezet

(1)

Csavarok(6)

Csavarok(6)

Lábak(4)

Keret(1)

Csavarok(4)

0. szint

2. szint

1. szint

6.4. ábra: Az asztal komponenshierarchiája alsó szintő kódolásnál

rendelkezésre álló mennyiséget minden tervezési idıszak kezdetekor a következıképlettel számolhatjuk ki:

Rendelkezésre álló mennyiség == Raktárkészlet − Biztonsági készlet − Lekötött mennyiség + Várt beérkezés

A készletnyilvántartás a rendelkezésre álló mennyiség számításához szükségesadatok mellett a készletek rendelésével kapcsolatos további információkat is

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



6.1. táblázat: Az asztal komponenshierarchiájának mátrixa

Szint Mennyiség0 1 2

Asztal 1 dbAsztallap 1 db

Tartószerkezet 1 dbCsavarok 4 db

Keret 1 dbLábak 4 db

Csavarok 6 db

tartalmaz. Ezek közül a legfontosabb az utánrendelési idı, amely meghatározza,hogy a tervezett beérkezésnél mennyivel korábban kell a rendelést feladni.

A 6.1. ábra jelzi, hogy a készletmozgások pontos követésének kiemelt fon-tossága van az anyagszükséglet tervezési rendszerben, mert a hibás mennyiségalapján számolt rendelés veszélyezteti a végtermékbıl szükséges mennyiség el-készülését, valamint a szállítási határidık betartását.

A termelési vezérprogram, a termék felépítése, valamint a készletnyilvántar-tás információi alapján határozható meg, hogy a végtermékek (független igényőtermékek) kívánt mennyiségének kívánt határidıre elkészítéséhez az egyes kom-ponensekbıl mikor és mekkora mennyiséget kell rendelni.

Az egyes komponensek rendelési ütemtervének számítása a 6.2. táblázatsegítségével követhetı nyomon.

Minden komponensnél minden idıszakra a táblázatban jelzett következı ötértéket kell kiszámítani:

a.) Bruttó igény, amelyet független igényő komponenseknél a termelési ve-zérprogram, függı igényő komponenseknél pedig a termék felépítése alapjándefiniált összefüggés határoz meg. Utóbbi esetnél minden idıszakban meg kellnézni, hogy egy vizsgált komponenst melyik másik komponens használ fel, ésmekkora mennyiségben. A függı és független igénnyel egyaránt rendelkezıkomponenseknél a termelési vezérprogramban meghatározott mennyiségek és amás komponens által felhasznált mennyiségek együtt alkotják a bruttó igényt.

b.) A rendelkezésre álló mennyiség a számítás elsı idıszakára a készlet-nyilvántartási információnál ismertetett összefüggés segítségével számolható.Minden további idıszakban akkor lesz rendelkezésre álló mennyiség, ha az elızıidıszak rendelkezésre álló és beérkezı mennyisége együtt meghaladja a bruttóigényt, tehát:

Rendelkezésre álló mennyiség(t) = Rendelkezésre álló mennyiség(t − 1) ++Tervezett rendelésbeérkezés(t − 1) − Bruttó igény(t − 1)

Ahol t − 1 a t idıszakot közvetlenül megelızı idıszakot jelöli. Ha a számításeredménye negatív, akkor értelemszerően nem lesz rendelkezésre álló mennyiség

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



a t idıszakban, ha viszont a számítás eredménye pozitív, akkor megkapjuk a tidıszak rendelkezésre álló mennyiségét.

c.) A nettó igény a bruttó igény és a rendelkezésre álló mennyiség pozitívkülönbsége. Ha a rendelkezésre álló mennyiség nagyobb a bruttó igénynél, akkora nettó igény értéke zéró.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés az a mennyiség, amelynek beérkezését a vizs-gált idıszakra a menedzsment tervezi. A tervezett rendelésbeérkezés tehátmenedzsment döntés eredménye, amelyet a nettó igény nagysága, valamint gazda-sági megfontolások határoznak meg. Tervezhetı éppen csak akkora mennyiség,amekkora a nettó igény alapján feltétlenül szükséges, kiküszöbölve ezzel feles-leges készletek keletkezését, de tervezhetı a nettó igénynél lényegesen nagyobbmennyiség is, csökkentve ezzel a rendelések gyakoriságát. A tervezett rendelésbe-érkezés nagyságát a menedzsment tételnagyság-képzési szabályok segítségévelhatározza meg (lásd például [30]).

e.) A tervezett rendelésfeladás az a mennyiség, amelynek feladását a menedzsmenta vizsgált idıszakra tervezi. Nagysága megegyezik az utánrendelési idıvelkésıbb tervezett rendelésbeérkezéssel.

6.2. táblázat: Az anyagszükséglet-tervezés alaptáblázata

IdıszakKomponens1 2 3 4 5 6 7 8

a.) Bruttó igény

b.) Rendelkezésre álló mennyiség

c.) Nettó igény

d.) Tervezett rendelésbeérkezése.) Tervezett rendelésfeladás

Az ismertetett számításokat minden idıszakra és minden komponensre el kellvégezni. Miután a függı igényő komponensekbıl rendelendı mennyiség nemhatározható meg a felhasználó komponensek tervezett mennyisége nélkül, a szá-mítást a kizárólag független igénnyel rendelkezı termékekkel (végtermékekkel)kell elkezdeni. Ezek a termékek a komponenshierarchiában a 0. szinten helyez-kednek el. Ezt követıen azon komponensek számítását végezzük el, amelyek avégtermékhez közvetlenül szükségesek, és a komponenshierarchia alacsonyabbszintjén lévı komponensek azt nem használják fel. Ezek a komponensek a kom-ponenshierarchia 1. szintjén találhatók. Azért tehát, hogy ne számoljuk olyankomponens rendelendı mennyiségét, amelynek felhasználási helyén még nemismerjük az igényt, a komponenshierarchia 0. szintjétıl lefelé fokozatosan, anagyobb sorszámú szintek felé kell haladni.

Most érthetı meg az alsó szintő kódolás jelentısége is. Egy több szinten isfelhasznált komponens rendelendı mennyiségét csak akkor tudjuk kiszámolni,

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6.3. KERTI LOCSOLÓ GYÁRTÁSA – ESETTANULMÁNY 233

ha ismerjük valamennyi felhasználási szinten a szükséges mennyiséget. Ezértaz ilyen alkatrészt a legalsó felhasználási szinten kell a komponenshierarchiábanfeltüntetni, így biztosan akkor fogjuk elvégezni vele kapcsolatban a számításokat,amikor már valamennyi kapcsolódó felhasználási szinten ismerjük az igényt.

A 0. szinttıl lefelé, komponensrıl komponensre haladva kell tehát elvégeznia tervezett rendelésfeladás számítását. Az azonos szinten lévı komponensekszámítása tetszıleges sorrendbenvégezhetı el. Egykomponensnél a számításokata legkorábbi idıszaktól kezdve a késıbbi idıszakok felé haladva a teljes tervezésiidıtartamra el kell végezni.

Az anyagszükséglet-számítás elsıdleges célja (elsıdleges jelentések) rendelésiütemterv készítése a készletgazdálkodás és termelésütemezés számára (lásd6.1. ábra). A készletgazdálkodás használja fel a kapott eredményeket akkor,amikor a komponenst (alapanyagot, alkatrészt) külsı beszállítótól vásároljuk, ésa beérkezett mennyiséget felhasználás elıtt raktározzuk. A termelésütemezéshasználja fel a kapott eredményeket akkor, ha a rendelt mennyiségeket le kellgyártani. Ilyenkor a rendelések alapján készíthetı el a komponens gyártásiütemterve.

A tervezett rendelési ütemterv és a komponensek ténylegesen beérkezı mennyi-ségeinek összehasonlítása a menedzsment számára további hasznos informáci-ókkal szolgál. A terv- és a tényszámok összehasonlítása felhívja a menedzsmentfigyelmét a beavatkozás szükségességére. Jelentéseket készíthetünk a terme-lés elırehaladásáról, valamint számos tervezési célú számítást is elvégezhetünk.Ezek azonban nem elsıdleges céljai az anyagszükséglet-tervezésnek, ezért azilyen eredményeket másodlagos jelentéseknek nevezik.

A következıkben az anyagszükséglet-számítás alapösszefüggéseit egy egy-szerő esettanulmány segítségével szemléltetjük.

6.3. KERTI LOCSOLÓ GYÁRTÁSA – ESETTANULMÁNY

Az alábbi termelésmenedzsment-szituáció jól szemlélteti a független igényrekialakított készletezési rendszer problémáit akkor, amikor az alkatrészek, alapa-nyagok iránt jelentkezı igény nem véletlenszerően alakul [14].

Egy kerti locsolókat összeszerelı üzem készletgazdálkodási rendszerét szeretné haté-konyabban mőködtetni. A vállalat jellemzıje, hogy sokféle, hasonló jellegő, de méretés mőködési paraméterekben eltérı terméket gyárt. A termékek számos alapalkatrészthasználnak fel (például csavar, mőanyagdugó), amelyeket nagy tételben lehet beszerezni.Ugyanakkor szinte valamennyi termék használ egyedi alkatrészeket is.

A termelésmenedzsment arról panaszkodik, hogy alkatrészhiány miatt a termelésrendszeresen akadozik. Ugyanakkor a készletgazdálkodók azt nehezményezik, hogy araktárak állandóan teli vannak, de soha nem azzal az alkatrésszel, amelyre szükség van.Eddig a nagy mennyiségben igényelt alapalkatrészeknél periodikus készletvizsgálatotalkalmaztak. Ez azt jelentette, hogy rendszeres idıközönként nagyobb tételeket rendeltek.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az egyedi alkatrészeknél pedig folyamatos készletvizsgálatot folytattak. Ha a készletegy adott szintre lecsökkent, megrendelték a gazdaságosnak ítélt mennyiséget. Mindezekellenére az állandóan változó végtermékigény, valamint a végtermékek gyakori áttervezése,változtatása készletezési problémákba torkollt.

Az anyagszükséglet-tervezési rendszer bevezetésében látja a vállalat a probléma megol-dásának lehetıségét. Az új rendszer mőködését az egyik terméktípus példáján a rendszerbevezetéséért felelıs termelésmenedzser egy példával szemlélteti egy vezetıségi ülésen.

A bemutatott esetben tehát a nagy mennyiségben felhasznált alapanyagoknálperiodikus, míg az egyedi alkatrészeknél folyamatos készletvizsgálatot alkalmaz-tak. Ezeket a készletvizsgálati rendszereket azonban csak véletlenszerően változóigénynél lehet hatékonyan mőködtetni. Ha az igény valamilyen nem véletlen-szerő, ismert törvényszerőség szerint változik, akkor e törvényszerőség ismeretealapján sokkal hatékonyabb készletezési rendszer alakítható ki. Esetünkben avégtermék iránt jelentkezı igény alakítja az egyes komponensek igényét ismertmódon (komponenshierarchia), ezért az anyagszükséglet-tervezés kialakításávallényegesen enyhíthetı az egyes alkatrészek hiánya, valamint más alkatrészeknéla felesleges készletek kialakulása. A vizsgált terméktípus anyagszükséglet-tervezésének végrehajtásához meg kell adni a termék felépítését, a termelésivezérprogramot, valamint a készletinformációkat.

6.5. ábra: A kerti locsoló szerelvényei(Forrás: Gaither, N.: Production and Operations Management. A Problem-Solving and

Decision-Making Approach. The Dryden Press, 1994.)

a.) A termék felépítése. A 6.5. ábrán látható az anyagszükséglet tárgyát ké-pezı kerti locsoló (L), amely a vízmotorszerelvénybıl (V), keretszerelvénybıl (K)és öntözıcsatlakozó-szerelvénybıl (Ö) épül fel. Az említett szerelvényeket to-vábbi alapanyagokból és alkatrészekbıl szerelik össze. Az egyes komponensekegymásra épülésének fastruktúráját a 6.6. ábra szemlélteti. Az ábrán látható,hogy a vízmotorszerelvényhez szükség van 10 centiméter alumíniumcsıre (A), 3darab fémcsavarra (F), valamint 1 darab vízmotorra (M). A keretszerelvényhez

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



40 centiméter alumíniumcsı szükséges (A), amely ugyanolyan átmérıjő, mint avízmotorszerelvénynél használt csı. Szükség van továbbá 3 darab mőanyagdu-góra (D), valamint 3 darab a vízmotorszerelvénynél is használt fémcsavarra (F).Végezetül az öntözıcsatlakozó-szerelvényt egy alvállalkozó szállítja összeszereltállapotban, tehát azt nem szükséges részletezni, bár nyilvánvalóan felbonthatótovábbi alkatrészekre, alapanyagokra.

A 6.3. táblázat összefoglalja a 6.6. ábránbemutatott komponenshierarchiát, míga 6.4 táblázat azt a formát mutatja, amely a számítógépes kódoláshoz szükséges. A0. szinten található a végtermék (L), az 1. szinten helyezkednek el a végtermékhezközvetlenül szükséges és más komponenseknél nem használt komponensek (V,K, Ö), majd a 2. szinten találhatók az 1. szintő komponensekhez közvetlenülszükséges komponensek (A, F,M és A,D, F).

Vízmotorszerelvény

V(1)

VízmotorM(1)

Keretszerelvény

K(1)szerelvény

Ö(1)

csőA(10)

FémcsavarF(3)

Kerti locsoló(L)

FémcsavarF(3)

-cső

A(40)dugóD(3)

1 hét

1 hét1 hét 2 hét

2 hét 1 hét 2 hét 2 hét 2 hét 1 hét

0. szint

1. szint

2. szint

Vízmotorszerelvény

V(1)

Vízmotor-szerelvény

V(1)

VízmotorM(1)

Keretszerelvény

K(1)

Keret-szerelvény

K(1)szerelvény

Ö(1)

Öntözőcsat.szerelvény

Ö(1)

csőA(10)

Alumíniumcső

A(10)

FémcsavarF(3)

FémcsavarF(3)

(L)(L)

FémcsavarF(3)

csőA(40)

Alumíniumcső

A(40)

Műanyag-dugóD(3)

1 hét

1 hét 1 hét 2 hét

2 hét 1 hét 2 hét 2 hét 2 hét 1 hét

0. szint

1. szint

2. szint

-

6.6. ábra: A kerti locsoló komponenshierarchiája

b.) Termelési vezérprogram. A termelési vezérprogramot a 6.5. táblázat tartal-mazza. Látható, hogy a táblázat az adatokat heti bontásban tünteti fel, tehát ahét lesz a tervezés idıegysége (léptéke). Az is látható, hogy a táblázat nemcsaka kerti locsolóra vonatkozó adatokat mutatja. A termelési vezérprogram a füg-getlen igényő alkatrészek termelési programját jelzi, tehát a vízmotorszerelvény(V) feltüntetése a táblázatban azt jelenti, hogy ennek a komponensnek függıés független igénye egyaránt van. A vízmotorszerelvények egy része beépül avégtermékbe (függı igény), egy további részét azonban az igény véletlenszerőalakulása alapján kereskedıknek, szervizeknek stb. szállítják (független igény).Ezt a független igényő részt tartalmazza a 6.5. táblázat.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



6.3. táblázat: A kerti locsoló komponenseinek táblázatos összefoglalása

Felhasz-nálóalkat-rész

Beépülıalkat-rész

Szint Leírás Szüksé-ges

mennyi-ség

L 0 4011 típusú kerti locsolóL V 1 Vízmotorszerelvény 1 db

K 1 Keretszerelvény 1 dbÖ 1 Öntözıcsatlakozó-szerelvény 1 db

V A 2 1/2′′ × 1/32′′ alumíniumcsı 10 cm

F 2 1/2′′ × 1/16′′ fémcsavar 3 db

M 2 Vízmotor 1 dbK A 2 1/2

′′ × 1/32′′ alumíniumcsı 40 cmD 2 1/2

′′ × 1/2′′ #115 számú mőanyagdugó 3 db

F 2 1/2′′ × 1/16′′ fémcsavar 3 db

6.4. táblázat: A kerti locsoló komponenshierarchiájának mátrixa

Szint Mennyiség0 1 2

L 1 dbV 1 db

A 10 cmF 3dbM 1 db

K 1 dbA 40 cmD 3 dbF 3 db

Ö 1 db

6.5. táblázat: A független igényő komponensek termelési ütemterve

Hét 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L 1000 2000 1600V 500 1000 700

c) Készletinformációk. Az anyagszükséglet tervezéshez szükséges készletin-

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



formációkat a 6.6. táblázat foglalja össze. A táblázat tartalmazza mindenkomponensnél a rendelkezésre álló mennyiség számításához szükséges raktár-készlet, biztonsági készlet, lekötött mennyiség, valamint a várt beérkezés adatait.Ugyancsak tartalmazza a táblázat az egyes komponenseknél alkalmazott tétel-nagyságképzési szabályokat. A tételnagyságképzéssel részletesen a 6.4. fejezet-ben foglalkozunk. A példa számításainak elvégzéséhez most elöljáróban csak aztkell megjegyezni, hogy az L végtermékbıl és a V, valamint K komponensekbılmindig csak annyit rendelünk, amennyi feltétlenül szükséges. Ennek jele a táb-lázatban LFL (LFL = Lot For Lot, tételt tételre), míg a többi komponensbıl egymeghatározott értéknél kisebb mennyiség rendelése nem gazdaságos, ezért a me-nedzsment elıírja a rendelhetı legkisebb mennyiséget. A táblázatban ennek jelea meghatározott minimális mennyiséget követı pluszjel.

A táblázat tartalmazza továbbá az egyes komponensek utánrendelési idejét,amely a rendelés feladása, valamint a rendelés beérkezése között eltelt idı. Azutánrendelési idı dimenziója a számításokhoz elıre lerögzített idıegység, amelyesetünkben a hét. Tehát példánkban az L, V, K és F komponensek utánrendelésiideje egy hét, a többi komponensnél az utánrendelési idı két hét.

A táblázatban láthatók a számítás kezdetekor raktárban lévı készletek máscélokra lekötött mennyiségei (lekötött mennyiség), valamint a raktárban mégnem lévı, de ismert idıre megérkezı mennyiségek is (várt beérkezés).

6.6. táblázat: Raktárkészlet-információk

Meg-nevezés

Raktár-készlet

Bizton-sági

készlet

Tétel-nagyság

Utánren-delésiidı

Lekötöttmenny.

Várt beérkezés

Menny. Hét

L 500 300 LFL 1V 200 0 LFL 1K 300 0 LFL 1Ö 1500 200 1000+ 2 1000A 30000 5000 50000+ 2 15000 50000 1F 5000 0 10000+ 1 2500M 1000 500 1000+ 2 800 1000 1D 3000 0 10000+ 2 2000 10000 1

A kerti locsoló és komponensei rendelési ütemtervének számítását a 6.7. táblázattartalmazza. A 6.7. táblázat az L végtermékre és valamennyi komponensérea teljes tervezési idıtartamban tartalmazza a 6.2. táblázat kapcsán általánosanbemutatott rendelési ütemterv számításokat. A rendelési ütemterv számításait azelsı három hónapra (közelítıleg 12 hét) végeztük el a 0. szinten lévı végterméktılfokozatosan haladva az utolsó szinten lévı komponensekig.

– A kerti locsoló(L) gyártását indító rendelési ütemterv számítási lépései:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



a.) A bruttó igény a termelési vezérprogram szerint (6.5. táblázat) 1000 daraba 4. héten, 2000 darab a 8. héten, valamint 1600 darab a 12. héten.

b.) Az elsı héten a rendelkezésre álló mennyiség a 6.6. táblázat adatai alapján:Rendelkezésre álló mennyiség =

= Raktárkészlet − Biztonsági készlet − Lekötött mennyiség + Várt beérkezés == 500 − 300 − 0 + 0 = 200 darab

Ezt követıen minden további idıszakban a rendelkezésre álló mennyiség azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyisé-gének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten a rendelkezésre álló mennyiségtehát továbbra is 200 darab (200 + 0 − 0 = 200). Az 5. hétre ugyanakkor elfogy arendelkezésre álló mennyiség (200 + 800 − 1000 = 0).

c.) A nettó igény minden héten a bruttó igény és a rendelkezésre állómennyiség pozitív különbsége. Példánkban ugyanakkor lesz nettó igény, amikorbruttó igény jelentkezik, tehát a 4., 8. és 12. héten.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás, hogy minden héten annyit rendelünk, amennyi minimálisanszükséges (tételt-tételre szabály). Ennek megfelelıen a rendelésbeérkezésmiatt azL végterméknél további készlet nem keletkezik, és a tervezett rendelésbeérkezésértéke minden idıszakban megegyezik a nettó igény értékével.

e.) Az L végtermék egyhetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés egy héttel késıbbi értékével,tehát a 3. héten 800 darab, a 7. héten 2000 darab, míg a 11. héten 1600 darab kertilocsoló összeszerelését kell megrendelni.

Az egy hét utánrendelési idı esetünkben azt jelenti, hogy például a 4. hétenszükséges 800 darab kerti locsoló gyártását a 3. héten rendelik meg, és amegrendeléskor elvileg el is kezdik a gyártást. Ez azonban csak úgy lehetséges,ha a 800 darab összeszereléséhez közvetlenül szükséges komponensek (V, K, Ö)teljes mennyisége rendelkezésre áll a 3. héten. Tehát aV,K ésÖ komponenseknéla 800 darab kerti locsolóhoz szükséges mennyiség a 3. héten bruttó igényt jelent.

Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban nem feltétlenül kezdıdik el azonnal a3. hét elején a 800 darab kerti locsoló összeszerelése, és ha el is kezdıdik,akkor sem kell azonnal rendelkezésre állnia a harmadik hét elején mind a800 darabhoz szükséges komponenseknek. Ezeket a kis eltéréseket azonbanaz anyagszükséglet-tervezés keretében nem lehet kezelni. Az anyagszükséglet-tervezés logikája szerint egy végtermék vagy komponens tervezett rendelésfeladása abeépülı komponenseknél azonnal megjelenik bruttó igényként. Ennek megfelelıena következı lépésben a kerti locsoló összeszereléséhez közvetlenül szükségeskomponensek (V, K,Ö) tervezett rendelésfeladásának számítása következhet.

– A vízmotorszerelvény(V) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) A bruttó igény minden idıszakban megegyezik az L végtermék tervezett

rendelésfeladásával, tehát 800 darab a 3. héten, 2000 darab az 5. héten, valamint1600 darab a 11. héten. Figyelembe kell venni azonban, hogy a V komponensnek

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



független igénye is van, amelyet a 6.5. táblázatból a 6.7. táblázatba át kellvezetni. A 6.7. táblázatban a V komponenshez tartozó bruttó igény sora tehát aV komponens függı és független igényét egyaránt tartalmazza.



Ezt követıen minden további idıszakban a rendelkezésre álló mennyiség azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyisé-gének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten a rendelkezésre álló mennyiségtehát továbbra is 200 darab (200 + 0 − 0 = 200). A 4. hétre ugyanakkor elfogy arendelkezésre álló mennyiség (200 + 600 − 800 = 0).

c.) A nettó igény minden héten a bruttó igény és a rendelkezésre állómennyiségpozitív különbsége.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás, hogy minden héten annyit rendelünk, amennyi minimálisanszükséges (tételt-tételre szabály). Ennek megfelelıen a rendelésbeérkezés miatt aV komponensnél további készlet nem keletkezik, és a tervezett rendelésbeérkezésértéke minden idıszakban megegyezik a nettó igény értékével.

e.) AV komponens egyhetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés egy héttel késıbbi értékével,tehát például a 2. héten 600 darab, a 3. héten 500 darab stb.

– A keretszerelvény(K) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) A bruttó igény minden idıszakban megegyezik az L végtermék tervezett

rendelésfeladásával, tehát 800 darab a 3. héten, 2000 darab a 7. héten, valamint1600 darab a 11. héten.



Ezt követıen minden további idıszakban a rendelkezésre álló mennyiség azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyisé-gének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten a rendelkezésre álló mennyiségtehát továbbra is 300 darab (300 + 0 − 0 = 300). A 4. hétre ugyanakkor elfogy arendelkezésre álló mennyiség (300 + 500 − 800 = 0).


d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás, hogy minden héten annyit rendelünk, amennyi minimálisanszükséges (tételt-tételre szabály). Ennek megfelelıen a rendelésbeérkezés miatt aK komponensnél további készlet nem keletkezik, és a tervezett rendelésbeérkezésértéke minden idıszakban megegyezik a nettó igény értékével.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2402006.augusztus

2.–22:24

2406.A

ZA

NYA

GSZ

ÜK

SÉG

LET-T

ER

VEZÉSIR

EN

DSZ

ER

(MR

P)A

LA

PJA

I

6.7. táblázat: A kerti locsoló komponenseinek rendelési ütemterv számítása

Kód Elnevezés 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12L Bruttó igény 1000 2000 1600

Rendelkezésre álló mennyiség 200 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600Tervezett rendelésfeladás 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0

V Bruttó igény 0 0 800 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0 0

K Bruttó igény 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 300 300 300 0 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0 0

Ö Bruttó igény 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 300 300 300 500 500 500 500 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 500 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 1000 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 1000 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0 0 0

A Bruttó igény 0 26 000 5000 10 000 0 100 000 0 7000 0 80 000 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 60 000 60 000 34 000 29 000 19 000 19 000 0 0 43 000 43 000 13 000 13 000Nettó igény 0 0 0 0 0 81 000 0 7000 0 37 000 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 0 0 81 000 0 50 000 0 50 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 0 0 0 81 000 0 50 000 0 50 000 0 0 0 0

F Bruttó igény 0 3300 1500 3000 0 12 000 0 2100 0 9600 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 2500 2500 9200 7700 4700 4700 2700 2700 600 600 1000 1000Nettó igény 0 800 0 0 0 7300 0 0 0 9000 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0

M Bruttó igény 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 700 700 100 600 600 600 0 0 300 300 0 0Nettó igény 0 0 400 400 0 1400 0 700 0 1300 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 1000 1000 0 1400 0 1000 0 1300 0 0Tervezett rendelésfeladás 1000 1000 0 1400 0 1000 0 1300 0 0 0 0

D Bruttó igény 0 1500 0 0 0 6000 0 0 0 4800 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 11 000 11 000 9500 9500 9500 9500 3500 3500 3500 3500 8700 8700Nettó igény 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1300 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 0 0 0 0 0 0 0 10 000 0 0 0 0

Kód Elnevezés 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12L Bruttó igény 1000 2000 1600

Rendelkezésre álló mennyiség 200 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600Tervezett rendelésfeladás 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0

V Bruttó igény 0 0 800 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0 0

K Bruttó igény 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 300 300 300 0 0 0 0 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0 0

Ö Bruttó igény 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0Rendelkezésre álló mennyiség 300 300 300 500 500 500 500 0 0 0 0 0Nettó igény 0 0 500 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 1000 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0Tervezett rendelésfeladás 1000 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0 0 0

A Bruttó igény 0 26 000 5000 10 000 0 100 000 0 7000 0 80 000 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 60 000 60 000 34 000 29 000 19 000 19 000 0 0 43 000 43 000 13 000 13 000Nettó igény 0 0 0 0 0 81 000 0 7000 0 37 000 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 0 0 81 000 0 50 000 0 50 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 0 0 0 81 000 0 50 000 0 50 000 0 0 0 0

F Bruttó igény 0 3300 1500 3000 0 12 000 0 2100 0 9600 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 2500 2500 9200 7700 4700 4700 2700 2700 600 600 1000 1000Nettó igény 0 800 0 0 0 7300 0 0 0 9000 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0

M Bruttó igény 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 700 700 100 600 600 600 0 0 300 300 0 0Nettó igény 0 0 400 400 0 1400 0 700 0 1300 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 1000 1000 0 1400 0 1000 0 1300 0 0Tervezett rendelésfeladás 1000 1000 0 1400 0 1000 0 1300 0 0 0 0

D Bruttó igény 0 1500 0 0 0 6000 0 0 0 4800 0 0Rendelkezésre álló mennyiség 11 000 11 000 9500 9500 9500 9500 3500 3500 3500 3500 8700 8700Nettó igény 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1300 0 0Tervezett rendelésbeérkezés 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 000 0 0Tervezett rendelésfeladás 0 0 0 0 0 0 0 10 000 0 0 0 0

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



e.) AK komponens egyhetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés egy héttel késıbbi értékével,tehát a 2. héten 500 darab, a 6. héten 2000 darab, a 10. héten pedig 1600 darab.

– Az öntözıcsatlakozó-szerelvény (Ö) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) A bruttó igény minden idıszakban megegyezik az L végtermék tervezett

rendelésfeladásával, tehát 800 darab a 3. héten, 2000 darab a 7. héten, valamint1600 darab a 11. héten.



Ezt követıen minden további idıszakban a rendelkezésre álló mennyiség azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyisé-gének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten a rendelkezésre álló mennyiségtehát továbbra is 300 darab (300 + 0 − 0 = 300). A 4. héten az elızı hét nettóigényénél nagyobb beérkezı rendelése miatt a rendelkezésre álló mennyiség akövetkezıképpen módosul: 1000 + 300 − 800 = 500. A 8. hétre ugyanakkor el-fogy a rendelkezésre álló mennyiség, mert az elızı héten a terv szerint csak afeltétlenül szükséges mennyiség érkezik meg (1500 + 500 − 2000 = 0).


d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg. Ese-tünkben elıírás (6.6. táblázat), hogy 1000 darabnál kevesebbet nem lehet rendelni(1000+). Ennek megfelelıen a rendelésbeérkezés miatt az Ö komponensnél kész-let is keletkezhet, ha a nettó igény nem éri el az 1000 darabot. A 3. héten példáula nettó igény 500 darab, ezért a felesleges készletek elkerülése végett megrendel-jük a rendelhetı legkisebb mennyiséget (1000 db). Ugyanakkor a 7. héten a nettóigény 1500 darab, amely mennyiség megrendelhetı, tehát ennek a mennyiségneka beérkezését tervezzük.

e.) AzÖ komponens kéthetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés két héttel késıbbi értékével,tehát az 1. héten 1000, az 5. héten 1500, a 9. héten pedig 1600 darab.

A V, K és Ö komponensek rendelési ütemtervének meghatározása után a 2.szinten lévı komponensek rendelési ütemtervének számítása következik (A, F,M, D). A számítást a 2. szinten lévı komponensek felhasználó komponenseinekigénye alapján végezzük el. A felhasználás azt jelenti, hogy a felhasználó kom-ponensbıl egy adott idıszakban tervezett rendelésfeladás történt, tehát annakgyártása elindul(hat), így a gyártáshoz szükséges valamennyi komponensnek amegfelelı mennyiségben rendelkezésre kell állnia.

– Az alumíniumcsı (A) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) Az A komponenst a V és K komponensek egyaránt felhasználják a 6.3.

táblázatban megadott mennyiségben. A bruttó igény minden idıszakban akövetkezı összefüggés alapján számolható:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Bruttó igény A = 10 · Terv. rendelésfeladásV + 40 · Terv. rendelésfeladásKA 2. héten például a bruttó igény 10 · 600 + 40 · 500 = 26 000 cm.b.) Az elsı héten a rendelkezésre álló mennyiség a 6.6. táblázat adatai alapján:Rendelkezésre álló mennyiség =

= Raktárkészlet − Biztonsági készlet − Lekötött mennyiség + Várt beérkezés == 30 000 − 5000 − 15 000 + 50 000 = 60 000 cm

Ezt követıen a rendelkezésre álló mennyiség minden további idıszakban azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyi-ségének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten például nincsen rendelés-beérkezés, de a rendelkezésre álló mennyiség elegendı a második heti igényfedezésére, sıt marad is, ezért a 3. héten a rendelkezésre álló mennyiség60 000 + 0− 26 000 = 34 000 cm. A 7. héten viszont már nincsen rendelkezésre állómennyiség: 81 000 + 19 000 − 100 000 = 0.

c.) A nettó igény mindenhéten a bruttó igény és a rendelkezésre állómennyiségpozitív különbsége. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy azA komponensnél idınkénta rendelkezésre álló mennyiség meghaladja a bruttó igényt (például a 2. héten).Ilyenkor a nettó igény értéke zéró.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás (6.6. táblázat), hogy 50 000 cm-nél kevesebbet nem lehetrendelni. A 6. hétig nem kell rendelni, mert a rendelkezésre álló kezdetinagy mennyiség fedezi az igényt. A 6. héten a nettó igény 81 000 cm, amelymegrendelhetı, tehát ennek a mennyiségnek a beérkezését tervezzük. A 8.héten azonban a nettó igény csak 7000 cm, ennek ellenére 50 000 cm a tervezettrendelésbeérkezés a minimális rendelési tétel elıírása alapján.

e.) AzA komponens kéthetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés két héttel késıbbi értékével,tehát a 4. héten 81 000 cm, a 6. és 8. héten pedig 50 000 cm.

– A fémcsavar (F) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) Az F komponenst ugyancsak a V és K komponensek használják fel a

6.3. táblázatban megadott mennyiségben. A bruttó igény minden idıszakban akövetkezı összefüggés alapján számolható:

Bruttó igény F = 3 · Terv. rendelésfeladásV + 3 · Terv. rendelésfeladásKA 2. héten például a bruttó igény 3 · 600 + 3 · 500 = 3300 darab.b.) Az elsı héten a rendelkezésre álló mennyiség a 6.6. táblázat adatai alapján:Rendelkezésre álló mennyiség =


Ezt követıen a rendelkezésre álló mennyiség minden további idıszakban azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyi-ségének összegébıl levont bruttó igény. A 3. héten például a rendelkezésreálló mennyiség 2500 + 10 000 − 3300 = 9200 cm. Ennél a komponensnél a nagymennyiségő rendelésbeérkezések miatt minden héten lesz rendelkezésre állómennyiség.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



c.) A nettó igény minden héten a bruttó igény és a rendelkezésre állómennyiség pozitív különbsége. Itt ismét felhívjuk a figyelmet arra, hogy idınkénta rendelkezésre álló mennyiség meghaladja a bruttó igényt (például a 3. héten).Ilyenkor a nettó igény értéke zéró.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás (6.6. táblázat), hogy 10 000 darabnál kevesebbet nem lehetrendelni. A 2. héten a nettó igény 800 darab, de az elıírt minimális rendelésimennyiség miatt erre a hétre 10 000 darab beérkezését tervezzük. Hasonlóan aszükségesnél nagyobb mennyiséget kell tervezni a 6. és 10. héten is.

e.) Az F komponens egyhetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés egy héttel késıbbi értékével,tehát az 1., 5. és 9. héten 10 000 darabot rendelünk.

– A vízmotor(M) rendelési ütemtervének számítási lépései:a.) AzM komponenst aV komponens használja fel a 6.3. táblázatban megadott

mennyiségben. A bruttó igény minden idıszakban a következı összefüggésalapján számolható:

Bruttó igényM = 1 · Terv. rendelésfeladásVA 2. héten például a bruttó igény 1 · 600 = 600 darab.b.) Az elsı héten a rendelkezésre álló mennyiség a 6.6. táblázat adatai alapján:Rendelkezésre álló mennyiség

= Raktárkészlet − Biztonsági készlet − Lekötött mennyiség + Várt beérkezés= 1000 − 500 − 800 + 1000 = 700 darab

Ezt követıen a rendelkezésre álló mennyiség minden további idıszakban azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyi-ségének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten például nincsen rendelés-beérkezés, de a rendelkezésre álló mennyiség elegendı a második heti igényfedezésére, sıt marad is, ezért a 3. héten a rendelkezésre álló mennyiség700 + 0 − 600 = 100 darab. A 7. héten viszont már nincsen rendelkezésre állómennyiség: 600 + 1400 − 2000 = 0 darab.

c.) A nettó igény minden héten a bruttó igény és a rendelkezésre állómennyiségpozitív különbsége. A rendelkezésre álló mennyiség itt ismét meghaladja a bruttóigényt néhány periódusban (például a 2. héten). Ilyenkor a nettó igény értékezéró.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg. Ese-tünkben elıírás (6.6. táblázat), hogy 1000 darabnál kevesebbet nem lehet rendelni.A 3. héten például a nettó igény 400 darab, ennek ellenére 1000 darab a terve-zett rendelésbeérkezés a minimális rendelési tétel elıírása miatt. Ugyanakkor a6. heti 1400 darabos nettó igény mennyisége pontosan megrendelhetı.

e.) AzA komponens kéthetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés két héttel késıbbi értékével,tehát 1000 darab az 1., 2. és 6. héten, 1400 darab a 4. héten és 1300 darab a 8.héten.

– A mőanyagdugó (D) rendelési ütemtervének számítási lépései:

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



a) A D komponenst a K komponens használja fel a 6.3. táblázatban megadottmennyiségben. A bruttó igény minden idıszakban a következı összefüggésalapján számolható:

Bruttó igény D = 3 · Terv. rendelésfeladásKA 2. héten például a bruttó igény 3 · 500 = 1500 darab.b) Az elsı héten a rendelkezésre álló mennyiség a 6.6. táblázat adatai alapján:Rendelkezésre álló mennyiség

= Raktárkészlet − Biztonsági készlet − Lekötött mennyiség + Várt beérkezés= 3000 − 0 − 2000 + 10 000 = 11 000 darab

Ezt követıen a rendelkezésre álló mennyiség minden további idıszakban azelızı idıszak rendelkezésre álló mennyiségének és tervezett beérkezı mennyisé-gének összegébıl levont bruttó igény. A 2. héten például nincs rendelésbeérkezés,de a rendelkezésre álló mennyiség elegendı a második heti igény fedezésére, sıtmarad is, ezért a 3. héten a rendelkezésre álló mennyiség 11 000 + 0− 1500 = 9500.

c) A nettó igény minden héten a bruttó igény és a rendelkezésre álló mennyiségpozitív különbsége. A rendelkezésre álló mennyiség ismét meghaladja a bruttóigényt néhány periódusban. Ilyenkor a nettó igény értéke zéró.

d.) A tervezett rendelésbeérkezés értékét a menedzsment határozza meg.Esetünkben elıírás (6.6. táblázat), hogy 10 000 darabnál kevesebbet nem lehetrendelni. E komponensnél a nettó igény csak a 10. héten jelzi, hogy szükségesrendelni. Ekkor a nettó igény 1300 darab, ennek ellenére 10 000 darab a tervezettrendelésbeérkezés a minimális rendelési tétel elıírása alapján.

e.) AD komponens kéthetes utánrendelési ideje miatt a tervezett rendelésfela-dás értéke megegyezik a tervezett rendelésbeérkezés két héttel késıbbi értékével,ami esetünkben egyetlen 10 000 darabos rendelés a 8. héten.

A számítási eredmények egy részét a termelésütemezés használja fel (például avégtermék összeszerelési ütemtervének, a keretszerelvénygyártási programjánakstb. meghatározásához) másik részét a készletgazdálkodás használja az alkatré-szek, alapanyagok (például vízmotor, alumíniumcsı) megrendeléséhez. A kapottrendelési ütemterveket a 6.8 táblázat foglalja össze. Jól látható, hogy az eredmé-nyek sem a periodikus készletvizsgálat, sem pedig a folyamatos készletvizsgálatjellegzetességeit nem mutatják.

A számítás lépéseit a következıképpen foglalhatjuk tehát össze:1.) A legmagasabb szinttıl (0. szint) a legalacsonyabb szint felé fokozatosan

haladva végezzük el a számításokat az egyes komponensekre. Egy meghatározottszinten belül a komponensek sorrendje tetszés szerint megválasztható.

2.) Minden komponensnél a legkorábbi idıszaktól a legkésıbbi felé foko-zatosan haladva határozzuk meg a számítás elsı négy elemét (bruttó igény,rendelkezésre álló mennyiség, nettó igény, tervezett rendelésbeérkezés), majdezt követıen az utánrendelési idıvel korábbra beírjuk a tervezett rendelésfeladásértékét.

A termelırendszer mőködését javítani szándékozó menedzsmentdöntések tá-mogatásához szükséges ismerni a 6.8 táblázatban feltüntetett rendelések költ-

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6.4. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS NÉHÁNY GYAKORLATI KÉRDÉSE 245

ségkihatásait. A rendelési és készlettartási költségek számításának elvével a 4.fejezetben már foglalkoztunk. A 6.9. táblázat részletesen ismerteti a rendelési éskészlettartási költségek számítását, valamint a számításhoz felhasznált költséga-datokat (rendelési költség, beszerzési/gyártási költség, készlettartási ráta).

A végterméknél (L) például háromszor történik rendelésfeladás, ezért a ren-delési költség 3 · 50 000 = 150 000 Ft. A készlettartási költség az egyes idıszakokvégén rendelkezésre álló mennyiség és a teljes vizsgált idıszak alatt fenntartottbiztonsági készlet költsége alapján a következıképpen számolható:

Készlettartási kts. = 3 · (200 + 300) · 7000 · 0,005+ 9 · 300 · 7000 · 0,005 = 147 000 FtA rendelési és készlettartási költség együttesen pedig 150 + 147 = 297 eFt. A

számításnál azzal a feltételezéssel éltünk, hogy:– abban a hónapban, amelyben felhasználunk egy komponenst, a felhasznált

mennyiségre készlettartási költséget nem számolunk, továbbá:– a rendelési költséget a rendelés beérkezésekor vesszük figyelembe.Valamennyi további komponensre hasonló módon elvégezve a rendelési és

készlettartási költség számítását és a kapott eredményeket összegezve a 6.9.táblázat utolsó sorában látható 1 214 650 forintot kapjuk eredményül.

A kerti locsoló kapcsán bemutatott számításnál két olyan egyszerősítésseléltünk, amelynek feloldása feltétlenül szükséges a gyakorlatban jól mőködıanyagszükséglet-tervezési rendszer kialakításához:

– Egyrészt azt feltételeztük, hogy a menedzsment mindig a lehetı legkisebbmennyiséget rendeli, holott gyakran gazdaságos lehet nagy mennyiség rendelé-sével a rendelések gyakoriságának csökkentése.

– Másrészt azt feltételeztük, hogy bármekkora mennyiség rendelhetı a mega-dott utánrendelési idı mellett. Mi történik azonban akkor, ha a kerti locsolókatösszeszerelı üzem a 7. hétre tervezett 2000 darabot kapacitáshiány miatt nemtudja teljes egészében legyártani.

6.4. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS NÉHÁNY GYAKORLATI KÉR-DÉSE

Az anyagszükséglet-tervezés lényege, hogy bonyolult, sok komponensbıl felépü-lı termékeknél meg tudjuk határozni az egyes komponensek rendelési ütemter-vét. Amikor egyszerre többféle terméket gyártunk, amelyekbe egyaránt beépül-nek egyedi komponensek és több termékben is elıforduló közös komponensek,ráadásul az egyes termékek eltérı mennyiségben készülnek különféle szállí-tási határidıkkel, a rendelési – és egyben gyártási ütemtervek – meghatározásaigen komplex feladat. A gyakorlat azt bizonyítja, hogy ilyen esetekben a ha-gyományos folyamatos, illetve periodikus készletvizsgálati rendszerek csıdötmondanak, idınként a készletek felduzzadásához, máskor a fontos alkatrészekhiányához vezetnek.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2462006.augusztus

2.–22:24

2466.A

ZA

NYA

GSZ

ÜK

SÉG

LET-T

ER

VEZÉSIR

EN

DSZ

ER

(MR

P)A

LA

PJA

I6.8. táblázat: Rendelések összefoglalása

Kód Komponens elnevezése 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L Kerti locsoló 0 0 800 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0

V Vízmotor-szerelvény 0 600 500 1000 0 2000 0 700 0 1600 0 0

K Keretszerelvény 0 500 0 0 0 2000 0 0 0 1600 0 0

Ö Öntözıcsatlakozó-szerelv. 1000 0 0 0 1500 0 0 0 1600 0 0 0

A 1/2" × 32" alumíniumcsı 0 0 0 81 000 0 50 000 0 50 000 0 0 0 0

F 1/1" × 1/16" fémcsavar 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0 10 000 0 0 0

M Vízmotor 1000 1000 0 1400 0 1000 0 1300 0 0 0 0

D Mőanyagdugó 0 0 0 0 0 0 0 10 000 0 0 0 0

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2472006.augusztus

2.–22:24

6.4.AZ

AN

YA

GSZ

ÜK

SÉG

LET-T

ER

VEZÉS

NÉH

ÁN

YG

YA

KO

RLA

TIK

ÉR

DÉSE

2476.9. táblázat: Valamennyi komponens költségét tartalmazó teljes költség számítása

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ÖsszesenLRendelési költség: 50 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 150 000Beszerzési költség: 7 000 Ft/db Készlettart. kts./hét 17 500 17 500 17 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 147 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 297 000VRendelési költség: 90 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 90 000 90 000 90 000 0 90 000 0 90 000 0 90 000 0 540 000Beszerzési költség: 3 000 Ft/db Készlettart. kts./hét 3 000 3 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 546 000KRendelési költség: 50 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 150 000Beszerzési költség: 1 800 Ft/db Készlettart. kts./hét 2 700 2 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 400Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 155 400

ÖRendelési költség: 2 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 2 000 0 0 0 2 000 0 0 0 2 000 0 6 000Beszerzési költség: 1 200 Ft/db Készlettart. kts./hét 3 000 3 000 4 200 4 200 4 200 4 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 30 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 36 000ARendelési költség: 2 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 0 0 2 000 0 2 000 0 2 000 0 0 6 000Beszerzési költség: 20 Ft/db Készlettart. kts./hét 6 500 3 900 3 400 2 400 2 400 500 500 4 800 4 800 1 800 1 800 1 800 34 600Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 40 600FRendelési költség: 1 000 Ft Rendelési kts./hét 0 1 000 0 0 0 1 000 0 0 0 1 000 0 0 3 000Beszerzési költség: 50 Ft/db Készlettart. kts./hét 625 2 300 1 925 1 175 1 175 675 675 150 150 250 250 250 9 600Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 12 600MRendelési költség: 2 500 Ft Rendelési kts./hét 0 0 2 500 2 500 0 2 500 0 2 500 0 2 500 0 0 12 500Beszerzési költség: 1 500 Ft/db Készlettart. kts./hét 9 000 4 500 8 250 8 250 8 250 3 750 3 750 6 000 6 000 3 750 3 750 3 750 69 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 81 500DRendelési költség: 1 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 000 0 0 1 000Beszerzési költség: 100 Ft/db Készlettart. kts./hét 5 500 4 750 4 750 4 750 4 750 1 750 1 750 1 750 1 750 4 350 4 350 4 350 44 550Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 45 550

Összes kts.: 1 214 650

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ÖsszesenLRendelési költség: 50 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 150 000Beszerzési költség: 7 000 Ft/db Készlettart. kts./hét 17 500 17 500 17 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 10 500 147 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 297 000VRendelési költség: 90 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 90 000 90 000 90 000 0 90 000 0 90 000 0 90 000 0 540 000Beszerzési költség: 3 000 Ft/db Készlettart. kts./hét 3 000 3 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 546 000KRendelési költség: 50 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 0 0 50 000 0 150 000Beszerzési költség: 1 800 Ft/db Készlettart. kts./hét 2 700 2 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 400Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 155 400

ÖRendelési költség: 2 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 2 000 0 0 0 2 000 0 0 0 2 000 0 6 000Beszerzési költség: 1 200 Ft/db Készlettart. kts./hét 3 000 3 000 4 200 4 200 4 200 4 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 30 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 36 000ARendelési költség: 2 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 0 0 2 000 0 2 000 0 2 000 0 0 6 000Beszerzési költség: 20 Ft/db Készlettart. kts./hét 6 500 3 900 3 400 2 400 2 400 500 500 4 800 4 800 1 800 1 800 1 800 34 600Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 40 600FRendelési költség: 1 000 Ft Rendelési kts./hét 0 1 000 0 0 0 1 000 0 0 0 1 000 0 0 3 000Beszerzési költség: 50 Ft/db Készlettart. kts./hét 625 2 300 1 925 1 175 1 175 675 675 150 150 250 250 250 9 600Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 12 600MRendelési költség: 2 500 Ft Rendelési kts./hét 0 0 2 500 2 500 0 2 500 0 2 500 0 2 500 0 0 12 500Beszerzési költség: 1 500 Ft/db Készlettart. kts./hét 9 000 4 500 8 250 8 250 8 250 3 750 3 750 6 000 6 000 3 750 3 750 3 750 69 000Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 81 500DRendelési költség: 1 000 Ft Rendelési kts./hét 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 000 0 0 1 000Beszerzési költség: 100 Ft/db Készlettart. kts./hét 5 500 4 750 4 750 4 750 4 750 1 750 1 750 1 750 1 750 4 350 4 350 4 350 44 550Készlettartási ráta: 0, 0050 (hetente) 45 550

Összes kts.: 1 214 650

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az 1950-es években Orlicky dolgozta ki az MRP-számítás alapjait akkor, ami-kor a számítástechnika fejlettsége már lehetıvé tette összetett számítások olyanhatékony elvégzését, hogy az eredmények a mindennapi mőködést segíthették[40], [41], [42]. A mai szükséglettervezési rendszerek elméleti alapjai megegyez-nek Orlicky rendszerével, de formai megjelenésük jelentıs változáson ment át.Az MRP része lett az integrált vállalati menedzsment információs rendszereknek.Az MRP-számításokat rendszerint komplex vállalatirányítási szoftverrendszerektermeléstervezési, vagy logisztikai moduljában találjuk meg. A módszer, illetve amódszer megvalósítását végzı szoftverrendszer elnevezésének változása is tük-rözi a számítástechnika és az MRP szoros kapcsolatát. Az elsı szoftverek mégcsak anyagszükséglet-tervezést végeztek (MRP). Ezt követték a kapacitáselem-zést is végrehajtó gyártási erıforrás-tervezési rendszerek (MRP II). Az anyagokés kapacitások szükségletének tervezése azonban lehetıvé tette a bérek, gyár-tási költségek tervezését, és ezek alapján stratégiai jelentıségő vezetıi döntésekelıkészítéséhez információk szolgáltatását. Az anyagok és kapacitások terve-zése mellett a pénzügyi folyamatokat, valamint beszállítói és vevıi kapcsolatokleírását és menedzselését lehetıvé tévı rendszereket nevezték menedzsment in-formációs rendszereknek (Management Information Systems=MIS). Végezetül,ha az anyagi, pénzügyi, humán- és információs folyamatok leírását számítás-technikai eszközökkel meg tudjuk valósítani, akkor eljutunk az úgynevezettvállalati rendszerekhez (Enterprise System=ES), amelyek lehetıvé teszik a vál-lalati mőködés virtuális megvalósítását. Minden döntés hatása a megvalósításelıtt a virtuális rendszerben pontosan nyomon követhetı. Az ES rendszerek-nél már szinte nem is gondolunk az anyagszükséglet-tervezésre, jóllehet a fizikaifolyamatok leírásának ma is ez az alapja [12].

Az anyagszükséglet-tervezést megvalósító szoftverek köre gyorsan bıvül, rá-adásul vannak olyan szoftverrendszerek, amelyek modulárisan vásárolhatók, éselıfordul, hogy a felhasználó éppen az MRP-számításokat tartalmazó modultnem használja. A ma leggyakrabban használt anyagszükséglet-tervezést meg-valósító rendszerek közül a következıket érdemes megemlíteni: SAP, MFG Pro,4th Shift, Baan, Oracle. E rendszerekrıl és még továbbiakról bıvebb áttekintés aszakirodalomban található [21].

Az MRP rendszerek fejlıdése követi a termelési rendszerek menedzselésielveinek (paradigmájának) változásait. Így új kihívást jelent a Teljeskörő Minıség-menedzsment (Total Quality Management = TQM) megjelenése. A TQM egyebekközött igényli a termékekbe beépülı alkatrészek, illetve részegységek pontosnyilvántartását és a beszállító azonosíthatóságát [46]. Ilyenkor gyakran szük-ség lehet a több termék és komponens által felhasznált és ezért egyszerre, egytételben megrendelt alkatrészek felhasználó komponensek szerinti nyilvántartá-sára. Például a 6.3. fejezetben tárgyalt kerti locsolóhoz szükséges alumíniumcsırendelési tételeit szét kell bontani aszerint, hogy a keretszerelvénybe, vagy a víz-motorszerelvénybe épül-e be. Ez olyan, mintha azt feltételeznénk, hogy más az

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


6.4. AZ ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS NÉHÁNY GYAKORLATI KÉRDÉSE 249

egyik, illetve a másik szerelvénybe beépülı alumíniumcsı. Ez a feltételezés sok-szor minıségmenedzsment szempontból igaz is lehet. Ebben az esetben mindenszámítás az elızı pontokban elmondottak szerint történik, de ha egy rendelésitételben több komponensnél is felhasznált mennyiségek szerepelnek, akkor ezt atételt a felhasználási helyek mennyiségei szerint csoportosítjuk. Például az 1.3. fe-jezetben ismertetett 1.7. táblázatban azA komponens 2. heti 26 000 centiméternyibruttó igényét a V komponenshez szükséges 6000 centiméterre és a K kompo-nenshez szükséges 20 000 centiméterre bontjuk és külön adminisztráljuk. Ennekellenére persze a bruttó igény 26 000 centiméter.

A fenti közelítés elınye persze nem az alumíniumcsınél látszik legjobban.Bonyolultabb és több beszállítótól érkezı komponenseknél lehet célszerő a szár-mazási hely szerinti nyomon követés a felhasználáskor. Például elképzelhetı,hogy a vízmotorkomponenst (M) több eltérı típusú kerti locsoló használja, és azalkatrészt több beszállító is gyártja. Ekkor a minıségmenedzsment szempontjaimiatt külön kezelhetik az eltérı típusokba beépülı, egyébként azonos alkatrészugyanazon idıpontban megrendelt tételeit, nyilvántartva azok származási helyétis.

Egy másik fontos menedzsment paradigma, amelyre az MRP rendszereknekválaszolniuk kell az éppen-idıben-gyártás (JIT = Just-In-Time), amelynek célja kistételeknek éppen a felhasználás idıpontjában történı szállításával a készletekcsökkentése. Bár az újabb MRP rendszerek tartalmaznak JIT – illetve ezzelanalóg Kanban – modulokat is, az MRP szemlélete a JIT szemléletétıl eltérı. Azanyagszükséglet-tervezésmőködési logikája egy sajátos anyagáramlás-szervezésielvet képvisel. Ennek lényege, hogy elıre kiszámoljuk, mikor és mekkoramennyiség szükséges az egyes részegységekbıl, alkatrészekbıl, alapanyagokbólés segédanyagokból, majd ezeket a mennyiségeket a meghatározott idıbenmegrendeljük. Az anyagok beérkezését tehát az határozza meg, hogy egy adottidıszakban mit gondoltunk a végtermék igényérıl. Ezen elképzelésünk alapjána szükséges mennyiségeket eljuttatjuk – az angol push szó alapján –, rátoljuka rendszerre. Az anyagszükséglet-tervezési rendszer a tolásos (push típusú)anyagáramlás-szervezési elvet valósítja meg.

A tolásos típusú anyagáramlás lényege jól látható a 6.3. fejezetben tárgyaltkerti locsoló esettanulmánynál is. Ismét tekintsük a korábban ismertetett 6.7. táb-lázatot. A 3. héten 800 darab kerti locsoló (L) rendelésfeladását tervezzük. AzMRP logikája szerint ez azt jelenti, hogy a 3. hét elején egyszerre kezdıdik minda 800 darab kerti locsoló gyártása, ezért mind a 800 darabhoz szükséges V, K ésÖ komponenseknek a gyártás helyén kell lenniük. Ezért szerepel ezeknél a kom-ponenseknél a 3. héten 800 darabos bruttó igény. A valóságban azonban nem eztörténik. Lehet, hogy a 3. hét hétfıjén elkezdıdik az elsı darab gyártása, és a hétvégére készül el a 800. darab. De az is lehet, hogy a hét elején valami mást gyár-tanak és csak a 3. hét végén (mondjuk pénteken) gyártják le a 800 darab kertilocsolót. Ennek ellenére az MRP eredményének köszönhetıen már a hét elején(hétfın) a raktárban lesznek a 800 darab gyártásához szükséges komponensek.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Az így keletkezı készletek nagysága csak egy másik anyagáramlás-szervezésielv, az úgynevezett éppen-idıben-gyártás (JIT) segítségével csökkenthetı. AJIT-gyártásnál nem toljuk rá az anyagokat egy elızetes terv alapján a gyártórend-szerre, hanem azokat az igény tényleges jelentkezésekor juttatjuk el (húzzuk) afelhasználás helyére. Az angol pull szó alapján az ilyen rendszereket húzásos(pull típusú) rendszereknek nevezzük.

A JIT- és MRP-rendszerek mőködési logikájának különbözısége miatt a JIT-(Kanban-) modulok megjelenése az MRP rendszerekben egy furcsa ellentmondás,ezért az alkalmazás teljes sikerének elvi korlátai vannak. Bizonyos fokú kész-letcsökkenés azonban az MRP-környezetbe beágyazott JIT-rendszerekkel kétség-kívül elérhetı. A pull típusú rendszerek mőködési elvének további részleteit aJIT-gyártással foglalkozó 7. fejezetben részletesen ismertetjük.

E fejezetben az anyagszükséglet-tervezés legfontosabb alapösszefüggéseit is-mertettük. Nem tárgyaltunk azonban számos, a területhez tartozó olyan esz-közt, amely segítségével a termelırendszer mőködése még tovább javítható. Arendelésitétel-nagyság meghatározásának módszerei MRP-környezetben, vala-mint a kapacitáskorlátok MRP-rendszerben történı feloldása a terület mélyebbismeretét igényli [30]. Mindemellett az MRP-rendszerek gyakorlati alkalmazá-sához további technikai jellegő, sokszor az alkalmazott szoftverhez kapcsolódóismeretre van szükség. Ezek a szakirodalomban, valamint az alkalmazott szoft-verek kézikönyveiben megtalálhatók (lásd például a [21] szakirodalmat).

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


7. AZ ÉPPEN IDİBEN (JUST-IN-TIME)GYÁRTÁS ALAPJAI

7.1. BEVEZETÉS

Az amerikai és nyugat-európai termelıüzemek az 1970-es évek vége felé azttapasztalták, hogy japán versenytársaik a hagyományos termelésmenedzsment-felfogásnak ellentmondó eredményekkel sok területen (autógyártás, gépipar,elektronikai ipar stb.) jelentıs versenyelınyre tettek szert. Magvalósították azt,ami amerikai és európai versenytársaik számára érthetetlennek bizonyult: nagytermelékenység mellett kiváló minıség, és mindez alacsony fajlagos gyártásiköltségek mellett. A hagyományos gondolkodás szerint ugyanis a jó minıségjelentıs többletköltséggel jár, mert növelni kell a minıségellenırzés feladataités ezzel együtt a minıségellenırök számát. A termelt mennyiség növekedéseugyanakkor rendszerint a minıség romlásával párosul.

Hosszú évekig úgy gondolták, hogy a japán gyártóknak a minıség és ter-melékenység területén elért eredményei elsısorban kulturális okokra vezethetıkvissza. A japán munkások az ázsiai kultúrában rejlı okok miatt sokkal hatéko-nyabban dolgoznak teamekben, az alkalmazottak lojálisabbak vállalatukhoz, és amenedzsment is elkötelezettebb saját alkalmazottai iránt. Amikor azonban japánvállalatok megjelentek külföldön, és termelési módszereikkel európai és amerikaimunkásokat foglalkoztató üzemekben is az otthonihoz hasonló eredményeketértek el, a kulturális különbség mítosza szertefoszlott. A japán vállalatok az1960-as években olyan termelésszervezési módszereket fejlesztettek ki, amelyeka hagyományos elven mőködı termelési folyamatoknál hatékonyabb mőkö-déshez vezettek. E termelésszervezési elvek együttese az éppen-idıben-gyártás(JIT = Just-In-Time).

A JIT-gyártás egyik legfontosabb alapelve a gyártás során keletkezı veszteségekkiküszöbölése. Veszteségnek tekinthetı minden, a hibás alapanyagokra, alkatré-szekre, termékekre, valamint a gyártás közben kialakuló készletek felhalmozására

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


252 7. AZ ÉPPEN IDİBEN (JUST-IN-TIME) GYÁRTÁS ALAPJAI

és kezelésére fordított anyag és munka. A készletek a termelési folyamatban rejlıproblémák elrejtésére szolgálnak. Egy jól kialakított termelési folyamatban csakakkor alakulnak ki mőveletközi készletek, ha minıségi problémák, anyagellátásigondok vagy egy berendezés meghibásodása következtében leáll a termelés. Atermelési folyamatban elıforduló problémákat minél elıbb meg kell oldani, ezpedig csak akkor sikerül, ha a probléma okát gyorsan azonosítani lehet. Ha akészletek alacsonyak, akkor a termelés során elıforduló problémák azonnal érez-tetik hatásukat. Amikor például minıségi probléma miatt a gyártás egy mőveletihelynél megakad, akkor – ha a készletek kialakulását meggátoljuk – a mőveletihelyet megelızı és követı termelési fázisokban leáll a termelés, tehát a problé-mát mindenki azonnal érzékeli. A hiba gyors észrevétele és kijavítása egyrésztkiküszöböli a hiba keresésével együtt járó költségeket, másrészt csökkenti a hibagyőrőzıdı hatásai miatt keletkezı többletráfordításokat.

A készletek csökkentése tehát egyik alapvetı jellemzıje a JIT-gyártásnak,amibıl néhány, félreértésekhez vezetı elnevezés is ered. A JIT-elvekre épülıgyártást elıször az 1960-as években a Toyota egyik üzemében valósították meg[37], ezért a JIT-rendszerek elnevezése sokáig Toyota termelési rendszer (ToyotaProduction System) volt. A Toyotánál az anyagáramlás irányítását kártyákkalvégezték, amelyeknek japán neve kanban, ezért a kanban rendszer elnevezés is el-terjedt [14], [38]. A kanban azonban csak egyik – de nem egyetlen – eszköze aJIT-rendszer megvalósításának. A készletek elıtérbe helyezésének eredménye-ként született a készletnélküli gyártás (stockless production, zero inventory system)elnevezés [29], ami alapvetıen hibás, hiszen a JIT-rendszer mőködéséhez elen-gedhetetlen a készletek egy meghatározott minimális szintje. Végezetül a napja-inkban használt, talán legkifejezıbb név a karcsúsított gyártás (lean production),amely a termelési folyamatban felhasznált erıforrások (készletek, munkások,hely stb.) minimális szintre szorításának törekvését fejezi ki [11].

Akövetkezıkbenelıször ismertetjük a JIT-rendszer alapvetı jellemzıit. Ezutánbemutatjuk a JIT-gyártás egyik legfontosabb termelésmenedzsment eszközét,a húzásos mechanizmust. A fejezetet végül néhány, a JIT alkalmazásánakfeltételeire és korlátaira vonatkozó megfontolással zárjuk.

7.2. A JIT JELLEMZİI

Ahogyan a korábban ismertetett elnevezésekbıl látszik, gyakran egy meghatáro-zott tulajdonságú gyártórendszert tekintenek JIT-rendszernek (például alacsonykészletek), pedig éppen-idıben-gyártásról akkor beszélhetünk, ha több megha-tározott tulajdonság együtt jellemez egy folyamatot. Tekintsük át a JIT-gyártásezen legfontosabb jellemzıit [1].

1.) A gyártásisorozat-nagyság és az átállási idı csökkenése. Az éppen-idıben-gyártás jellemzıje, hogy ha egy alkatrész vagy termék nem szükséges, akkor

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


7.2. A JIT JELLEMZİI 253

abból nem gyártanak. Nem töltik fel tehát a raktárakat elıre, a szükséges mennyi-ség legyártása az igény jelentkezésekor – éppen idıben – történik. Ez egybenazt is jelenti, hogy egyszerre nagy mennyiség legyártása helyett gyakran gyárta-nak kis mennyiségeket, tehát csökken a gyártásisorozat-nagyság. Kis sorozatokatazonban gazdaságosan csak akkor lehet gyártani, ha az egyik sorozat gyártásáróla másikra történı átállás nem jelent magas költséget. Az átállási költség megha-tározó része az átállási idı, ezért a kis sorozatban gazdaságos gyártás feltétele arövid átállási idı. A jól mőködı JIT-rendszerekben az átállási idı nagyságren-dekkel rövidebb a hagyományos gyártórendszerek átállási idejénél. Több japánautógyárban (Toyota, Nissan) például a karosszériaelemek gyártását végzı prés-gépek átállási idejét néhány óráról néhány másodpercre csökkentették [37]. Ezzela gazdaságos gyártásisorozat-nagyság a néhány ezres darabszámról néhány százdarabra csökkenthetı.

2.) Az átfutási idı csökkenése. Éppen-idıben-gyártás csak úgy lehetséges, haaz igény jelentkezése után nagyon hamar elkészül a kívánt mennyiség. Ha kissorozatokban történik a gyártás, akkor a sorozatok gyártásának átfutási idejerövid. A sorozat elsı darabjának – a legtöbbet várakozó darabnak – rövidideig kell várakoznia a következı mőveleti helyhez jutásig. A rövid átfutási idıtovábbi elınye a rugalmas alkalmazkodás a változó igényhez. Az igény esetlegescsökkenésekor ugyanis nem fordulhat elı, hogy egy, az igény korábbi nagy értékealapján megrendelt sorozatot még gyártunk, annak ellenére, hogy arra az igénycsökkenése miatt nem is lesz szükség. A rövid átfutási idıvel történı szállításpedig a vevıkért folytatott versenyben jelent elınyt.

3.) Egyszerő anyagáramlási folyamatok.AJIT-gyártás egyik fontos jellemzıje,hogyaz anyagáramlás átlátható és egyszerő. A készletek jól láthatóan helyezkednekel a mőveleti helyek között. A készletek növekedése ugyanis jelzés, hogya folyamatban fennakadás történt. Ugyanakkor a JIT-mechanizmus lényege,hogy a készletek szintje általában alacsony, tehát szükségtelen azokat raktárakbaszállítani, illetve szükség esetén onnan újra elıvenni. A folyamat jó átláthatóságaés az a tény, hogy a gyártósoron jelentkezı bármilyenprobléma azonnal mindenkiszámára vizuálisan is érzékelhetı, azt sugallja a munkásoknak, hogy nem csupánegyetlen gyártási mőveletet hajtanak végre, hanem az egész termékért felelısek. AJIT-rendszerben az anyagok egy gyártósor mentén haladnak rendszerint egyenesvonalban. Nem szükséges ezért különféle írásbeli utasításokkal vezérelni azanyagáramlást. Nagymértékben lecsökken tehát az írásbeli utasítások száma ésaz azok mögött húzódó hivatali tevékenység, amely végsı soron az általánosköltség csökkenéséhez vezet.

4.) Team-szerő mőködés és teljes körő minıségmenedzsment (Total Quality Manage-ment=TQM).A JIT-gyártás azon elve, hogy az alacsony készletek miatt a gyártásifolyamatban jelentkezı bármilyen probléma azonnal érzékelhetı, nagymérték-ben kedvez a TQM megvalósításának [8]. A TQM egyik alapelve, hogy a hibákatnem utólag kell kijavítani, hanem a hiba keletkezését kell megakadályozni a hiba

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



keletkezési helyénél. Egy mőveleti helynél jelentkezı probléma forrása a gyár-tási folyamat bármely korábbi fázisában lehetséges. Ha a hiba jelentkezésekor agyártási folyamat gyorsan leáll, és a folyamatban résztvevı valamennyi dolgozóa hiba okát keresi, akkor a hiba oka gyorsan felismerhetı, és annak további elı-fordulása megelızhetı. A probléma gyors felismerése egyaránt csökkenti a hibaokának keresésére, valamint a hiba győrőzıdı hatásainak mérséklésére fordítotterıforrásokat. A hibák kijavításához, illetve megelızéséhez a munkafolyamatrésztvevıi rendelkeznek a legtöbb információval, ezért kellıen motivált, magasképzettségő és megfelelı felhatalmazású dolgozókkal, a team-munka szellemé-ben folyik a termelés a jól mőködı JIT- termelırendszerekben.

5.) Stabil, egyenletesen jelentkezı igény. A JIT-rendszer fontos jellemzıje, hogyaz igény nagymértékő változására nehezen tud reagálni. Egy JIT-rendszer akkormőködik hatékonyan, ha az igény nem ingadozik jelentısen. A japán JIT-gyártók rendszerint agresszív igénymenedzsmenttel érik el azt, hogy az igényegyenletes legyen. Nagy szezonalitással rendelkezı igény esetén a vásárlót ár-kedvezményekkel, illetve a szállítási feltételek szigorításával veszik rá arra, hogyrendeléseinek egy részét inkább az alacsonyabb igényő idıszakokra helyezze át.A hagyományos termelırendszerek szélsıségesen változó igény esetén készle-tek felhalmozásával készülnek fel az átlagosnál nagyobb igény kielégítésre. AJIT-szellemével ellentétes a készletek felhalmozása, ha lehet, a készlettartásrafordított összeg egy részét inkább az igény egyenletessé tételére fordítják. Termé-szetesen, ha erre nincs mód, akkor az igény jellege nem teszi lehetıvé hatékonyJIT-rendszer kialakítását.

6.) Magas kapacitáskihasználás.A JIT-gyártás eddig ismertetett jellemzıi alapjánazt várnánk, hogy e rendszerek alacsony kapacitáskihasználás mellett mőköd-nek. Ha ugyanis az alacsony készletek miatt bármilyen, a gyártási folyamatbanjelentkezı probléma miatt a termelés leáll, akkor a termeléskiesés miatt csökken akapacitáskihasználás. A problémák miatti leállások valóban csökkentik a kapaci-táskihasználást, a jól mőködı JIT-rendszerek kapacitáskihasználása rendszerintmégis magasabb, mint a hagyományos módon mőködı termelırendszereké [8].Ennek három oka van. Egyrészt, mivel a termék és a folyamat minıségének biz-tosítására nagy hangsúlyt fektetnek, a berendezések ritkábban hibásodnak meg,és ha meghibásodnak, gyorsabban történik kijavításuk. Másrészt az átállási idıkcsökkenése miatt a berendezések ritkábban töltik idejüket nemtermelı tevékeny-séggel. Végezetül a JIT-gyártás egyik feltétele az egyenletesen jelentkezı, stabiligény. Az igény egyenletessége lehetıvé teszi a folyamatos gyártást alacsonykészletekkel és magas kapacitáskihasználás mellett.

7.) Stabil beszállítói kapcsolatok. A beszállítókkal kiépített hosszú távú, sta-bil kapcsolat a JIT-gyártás fontos feltétele. A hagyományos gyártórendszerek abeszállítókat problémák forrásaként kezelik. Miattuk kell alapanyagkészletekettartani, mert nem szállítanak pontosan. A beszállított anyagok, alkatrészek pe-dig minıségi problémák forrásai lehetnek. A kedvezıbb szállítási feltételek és

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


7.2. A JIT JELLEMZİI 255

árak eléréséért a hagyományos termelırendszerek a beszállítókat versenyezte-tik, és elsısorban rövidtávú, költségminimalizáló szempontok alapján alakítjákki kapcsolataikat. A JIT-rendszer ezzel szemben a beszállítót a termelési folyamatszerves részének tekinti, és fontosnak tartja a beszállításhoz kapcsolódó vesztesé-gekkiküszöbölését. Ha a beszállító gyakran éspontosan szállít kismennyiségeket,akkor nincs szükség készletekre. Természetesen a beszállító sem akar készletezni,mert az növeli költségeit, ezért ı is JIT-rendszerben próbál gyártani. A beszál-lító és a felhasználó JIT-rendszerének összehangolása idı- és ráfordítás-igényesfeladat, amely csak hosszú távú beszállítói kapcsolatok esetén térül meg. Ha abeszállító jó minıségben termel, akkor nincs a beszállításhoz kapcsolódó minı-ségi probléma. Ha a felhasználó elhiszi, hogy a beszállító jó minıségben termel,akkor a szállításkor érkezı komponensek minıségellenırzése felesleges. A jóminıség és a kölcsönös bizalom azonban csak úgy alakítható ki, ha a beszállító ésfelhasználó közösen alakítja ki a beszállító minıségellenırzési rendszerét. Ez is-mét a hosszú távú kapcsolat meglétét feltételezi. A japán JIT-termelırendszerekbeszállítói köre lényegesen kisebb európai versenytársaikénál, és a kapcsolatokatnagyfokú bizalom és stabilitás jellemzi.

8.) A JIT-rendszerek pull típusú (húzásos) anyagáramlási rendszerek.Ahagyományosgyártórendszereknél elıre megtervezett módon érkeznek a felhasználásra kerülıkomponensek függetlenül attól, hogy a gyártás ténylegesen megtörténik-e. AJIT-rendszerbe a komponensek csak akkor érkeznek, ha ténylegesen jelentkezikigény. Ha igény nincs, a termeléshez szükséges anyag, alkatrész sem jöhet.Magától tehát nem alakulhat ki a komponensek várakozó halmaza, a készlet.Míg tehát a hagyományos gyártórendszereknél az anyagot az igény elırejelzettértéke alapján rátolják (push) a rendszerre, a JIT-rendszereknél az anyagot azigény jelentkezésekor behúzzák (pull) a rendszerbe. A JIT-rendszer tehát egyhúzásos (pull) típusú agyagáramlást valósít meg. A húzásos anyagáramlásmegvalósításának módját a következı fejezetben részletesen ismertetjük.

A felsorolt tulajdonságokkal rendelkezı termelırendszer valósítja meg azéppen-idıben- gyártást. Természetesen gyakran elıfordul, hogy nem sikerülminden feltételt teljesíteni. Ilyenkor azt mondhatjuk, hogy a gyártás JIT-szerő, il-letve, hogy a JIT-gyártás csak részben valósul meg. Ez azonban nem baj. Nagyongyakran például a JIT-gyártás egyik legfontosabb feltétele, az igény egyenle-tessége, még erıteljes igénymenedzsment alkalmazásával sem teremthetı meg.Ennek ellenére az anyagáramlási folyamat a JIT-gyártás egyes eszközeivel haté-konyabbá tehetı. A JIT-gyártás egy sor termelésmenedzsment-módszer együttesalkalmazásakor valósul meg, de ezen módszerek önállóan, a JIT-gyártástól füg-getlenül is gyakran sikerrel alkalmazhatók.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



7.3. AZ ANYAGÁRAMLÁSVEZÉRLÉSE A JIT-RENDSZERBEN – HÚZÁSOSMECHANIZMUS

A JIT-gyártás a menedzsment legkülönbözıbb területein kifejlesztett eszközökegyüttes alkalmazásának eredménye. Ezen eszközök egy részét sok helyen ahagyományos gyártórendszerekben is alkalmazzák (például team-munka, teljeskörő minıségmenedzsment (TQM), teljes körő hatékony karbantartás (TPM),folyamatos javítás, az átállási idı csökkentése stb.). A húzásos anyagáramlás-vezérlés azonban a JIT-gyártás legjellemzıbb, egyedi eszköze.

Az anyagáramlás vezérlésének húzásos módja azt jelenti, hogy anyag, alkat-rész, részegység stb. csak akkor érkezhet egy mőveleti helyre, ha igény van rá.Ha nincs igény, akkor a megelızı mőveleti helyen várakozik, illetve ha mód vanrá, akkor el sem készül. A húzásos mechanizmus lényege egyszerő analógiá-val szemléltethetı. Helyettesítse a gyártásban áramló anyagot egy hosszú kötél(7.1. és 7.2. ábra) [7]. Minél többet gyártunk, annál hosszabb kötélre van szük-ség. A kérdés az, hogyan lehet átjuttatni egy hosszú kötelet a rendszeren. Áttolninem lehet, mert a kötél puha, ha a végét toljuk, akkor a rendszer elején feltorló-dik. Esetleg meg lehet próbálni összefogni egy kötegnyi kötelet, és azt mőveletihelyrıl mőveleti helyre továbbdobni (7.1. ábra). Ez felel meg a hagyományossorozatgyártásnak (batch típusú gyártás). Ekkor meghatározott adagokban ha-ladnak át az anyagok, terméksorozatok a rendszeren. Ez persze azt jelenti, hogyaz elıre meghatározott mennyiséget (gyártási sorozatot) akkor is legyártják, ha ateljes mennyiségre nincs szükség. Visszatérve a kötél analógiára, a legcélszerőbba kötelet áthúzni a rendszeren (7.2. ábra). Ha a kötélre igény van, akkor húz-zuk a végét, és akkora hosszúságú kötelet húzunk át, amennyi szükséges. Ekkora rendszerben mindig csak annyi kötél tartózkodik, amennyi feltétlenül szüksé-ges. A kötél végének húzása a húzásos (pull típusú) anyagáramlási mechanizmusanalóg példája. Az anyagok áthúzása a termelırendszeren azonban nem olyanegyszerő, mint a kötélé.

Műveletihely 1

Műveletihely 3

Műveletihely 5

Műveletihely 2

Műveletihely 4

7.1. ábra: A tolásos mechanizmus analógiája

Az anyagáramlás vezérlésekor a húzás megvalósítása egy, az igényt valami-lyen formában a megelızı mőveleti hely felé jelzı mechanizmussal történik.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


7.3. AZ ANYAGÁRAMLÁS VEZÉRLÉSE A JIT-RENDSZERBEN – HÚZÁSOS MECHANIZMUS 257

Műveletihely 1

Műveletihely 3

Műveletihely 5

Műveletihely 2

Műveletihely 4

7.2. ábra: A húzásos mechanizmus analógiája

E jelzés közvetítésére a JIT ısének tekintett Toyota gyártórendszerben kártyá-kat alkalmaztak. E kártya japán neve kanban, ezért a húzásos rendszert nagyongyakran kanban-rendszernek is nevezik. Hangsúlyozni kell azonban, hogy akanban-rendszer önmagában nem JIT-rendszer, csak annak egy eszköze.

A kártyák segítségével végrehajtott húzásos anyagáramlás-vezérlésnek kétmódja terjedt el: az egykanbanos rendszer, valamint a kétkanbanos rendszer.Tekintsük elıször az egyszerőbb, egykanbanos rendszert, melynek mőködését a7.3. ábra szemlélteti.

Az ábrán két mőveleti hely mőködése látható négy különbözı pillanatban.Az anyag az elsı mőveleti helytıl halad a második felé. Általánosan nevezzüka gyártási sorrendben elıbb lévı mőveleti helyet megelızı mőveleti helynek, azazt követı mőveleti helyet pedig követı mőveleti helynek. Minden mőveleti helyelıtt egy input-tároló, a mőveleti hely után pedig egy output-tároló helyezkedikel a megmunkálásra váró, illetve a már elkészült anyagok tárolására. Az ábrán kistéglalapok jelölik az anyagot tartalmazó konténereket. A téglalap satírozásánakmértéke a konténerben lévı anyag mennyiségére utal. A besatírozatlan téglalaptehát üres konténert jelez. A kanbankártyát az ábrán egy kis téglalapba beírt Cbető jelzi, utalva arra, hogy a kártyával a konténerek mozgását szabályozzuk. Ezta kártyát C kanbannak (conveyance kanban), magyarul szállítási kártyának ne-vezik. Az angol nyelvő szakirodalomban ugyancsak megtalálható a withdrawalkanban és a move card elnevezés is [8], [14], [20].

A 7.3. ábra elsı része egy olyan állapotot mutat, amikor a követı mőveletihelynél gyártás folyik. A követı mőveleti hely elıtt lévı félig besatírozottkonténerbıl kivett anyag a megmunkálást követıen a követı mőveleti helyután lévı félig besatírozott konténerbe kerül át. Egy konténerben lévı anyagmegmunkálása egyben azt is jelzi, hogy az anyagra igény van. Ezt jelezni kella megelızı mőveleti hely felé, ezért a megmunkálás kezdetekor a C kanbantlevesszük a gyártásba kerülı anyagok konténerérıl, és a két mőveleti hely közöttelhelyezkedı C kanbantartóba az úgynevezett kanbanpostafiókba (C kanban box)helyezzük. A kanban postafiókban lévı C kanban azt jelzi, hogy ha van elkészült

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

helyC

C

C kanban

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

helyC

C

C kanban

C

C

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C kanban

CC

C

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C kanban

C

C

C kanban

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

helyCC

CC

C kanban

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C

C

C kanban

Követőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely CC

CC

C kanban

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

helyC

C

C kanban

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

helyC

C

C kanban box

C

C

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C kanban

CC

C

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C kanban box

C

C

C kanban

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

helyCC

CC

box

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

C

C

C kanban

Követőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely CC

CC

C kanban box

Követőműveleti

hely

Követőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

Megelőzőműveleti

hely

7.3. ábra: Az egykanbanos rendszer mőködése

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



alkatrész a megelızı mőveleti hely output-tárolójában, akkor az odaszállíthatóa követı mőveleti helyhez. Ezt szemlélteti a 7.3. ábra második és harmadikrésze. A postafiókban lévı C kanbant egy munkás ráhelyezi a megelızı mőveletihelynél lévı teli konténerre, és a teli konténer, valamint a C kanbant együtt akövetı mőveleti hely input-tárolójához szállítja. Amikor pedig a követı mőveletihelynél éppen használatban lévı konténer kiürül, akkor az a megelızı mőveletihelyhez kerül feltöltésre.

A 7.3. ábrán bemutatott egyszerő mechanizmus eredményeként, ha a követımőveleti hely nem dolgozik, akkor a megelızı hely felé nincs jelzés arról, hogyigény van az alkatrészre. Ha a követı mőveleti hely egy teli konténer anyagondolgozni kezd, akkor felszabadul egy C kanban. Teli konténert a megelızımőveleti helyrıl csak C kanbannal együtt lehet átvinni a követı mőveleti helyre.Ha tehát a követı mőveleti helyen a termelés valamilyen oknál fogva leáll, akkora megelızı mőveleti hely output-tárolójában készletek halmozódnak fel, mertazt C kanban hiányában onnan nem lehet elszállítani. Ennek hatására a megelızımőveleti helynél is abba kell hagyni a termelést. Így az igény megszőnéséttartalmazó jelzés végigfut az egész rendszeren.

Az egykanbanos rendszerben csak azt jelezzük a megelızı mőveleti helynek,hogy nincs igény (nincsen szabad C kanban), de azt nem, hogy ne termeljenek.A megelızı mőveleti helynél a munka vagy azért áll le, mert nagyon magaskészletek alakulnakki, vagy esetleg azért,mert nemérkezik szabadkonténer, amitmeg lehet tölteni. A 7.4. ábra egykanbanos rendszernél szemlélteti a gyártandómennyiség szabályozását a megelızı mőveleti hely output-tárolójánál. Az ábránlátható, hogy háromféle alkatrészt gyártanak, melyeket dobozokban tárolnak. Adobozokban tárolt alkatrész csak akkor kerülhet a követı mőveleti helyre, haolyan szállítási kártya szabadul fel, amelyik a dobozokban lévı alkatrész igényétjelzi. Az ábrán látható készletek tehát fokozatosan fogynak a szállítási kártyákérkezésekor. Amikor valamelyik alkatrész készlete lecsökken az ábrán láthatójelzı szintjére, akkor a jelzıt az alkatrész számát tartalmazó tábla mellé helyezik.Ekkor az alkatrészt gyártó mőveleti helynél amint lehet, a jelzett alkatrészgyártásába kezdenek. Túlságosan nagy mennyiséget nem tudnak gyártani, mertamíg a jelzett alkatrész készül, a többi alkatrész fogy, tehát hamarosan másikalkatrész gyártásának igénye jelentkezik.

A 7.4. ábrán bemutatott módszernél egyértelmőbben is szabályozható amegelızı mőveleti hely gyártása egy másik kanban, az úgynevezett P kanban(Production kanban) segítségével, aminek magyar neve gyártási kártya.

A P és C kanbanokat felhasználó úgynevezett kétkanbanos rendszer mőködésétszemlélteti a 7.5. ábra. Az ábra négy különbözı pillanatban szemlélteti a kártyákés konténerek helyzetét. Minden mőveleti helyhez külön termelési kártyáktartoznak, amit a P kanbanokon látható index jelez. A megelızı mőveleti helytermelési kártyáit Pm , a követı mőveleti hely termelési kártyáit pedig Pk jelzi. A7.5. ábra elsı része egy olyan állapotot mutat, amikor a követı mőveleti helynélgyártás folyik. A követı mőveleti hely elıtt lévı félig besatírozott konténerbıl

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A jelző mutatja, hogya jelzett komponensgyártása szükséges.

A jelző a gyártás el-indításának készlet-szintjét mutatja.

Kompones azonosítója

7.4. ábra: A termelés szabályozása egykanbanos rendszernél(Forrás: Hall, R. W., Zero Inventories, Dow Jones-Irwin, 1983)

kivett anyag a megmunkálást követıen a követı mőveleti hely után lévı féligbesatírozott konténerbe kerül át. E konténerben lévı anyagok megmunkálásaazért kezdıdhetett meg, mert a követı mőveleti hely P kanbanpostafiókjábanvolt szabad gyártási kártya (Pk kanban). Gyártás tehát csak akkor kezdıdhet, havan alapanyag és van igényt jelzı szabad Pk kanban. A gyártás kezdetekor aszabad Pk kanban rákerül egy üres konténerre, a gyártást felhasználó anyagottartalmazó konténerrıl pedig a két mőveleti hely közötti C kanbanpostafiókbakerül a rajta lévı szállítási kártya. A szabad C kanban jelzés a megelızı mőveletihelynek, hogy a követı mőveleti helyen gyártás folyik.

A szabad C kanbant egy üres konténer kíséretében egy munkás a megelızımőveleti helyre viszi (7.5. ábra második része). Ha ott várakozik elkészültalkatrészeket tartalmazó konténer, akkor a konténeren rajta kell lennie egy Pmkanbannak, mert a konténerben lévı alkatrészek gyártását az indította el. A Ckanbant tartalmazó üres konténer megérkezésekor a munkás az üres konténerrılleveszi a C kanbant, és azt egy teli konténerre helyezi úgy, hogy arról leveszi a Pmkanbant és azt a megelızı mőveleti hely P kanbanpostafiókjába helyezi (7.5. ábra

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



C

C

C kanban boxP kanban box

Pm

Pm

P k

P kanban box

Pk

Megelőzőműveletihely

KövetőműveletihelyC

C

Pm

Pm

P k

Pk

C

C

C kanban boxP kanban box

Pm

Pm

C

Pk

P kanban box

Pk


KövetőműveletihelyCC

C

PmPm

PmPm

C

Pk

Pk

C

C

C kanbanbox

P kanbanbox

Pm

Pm

C

P k

P kanban box

Pk


KövetőműveletihelyC

C

Pm

Pm

C

P k

Pk

C

C

C kanbanbox

P kanban box

Pm

Pm

C

Pm

P k

P kanban box

Pk

Követőműveletihely

Megelőzőműveletihely CC

C

Pm

Pm

Pm

CC

Pm

P k

Pk

C

C

Pm

Pm

P k

Pk

C

C

Pm

Pm

P k

Pk

C

C

Pm

Pm

C

Pk

Pk

CC

C

PmPm

PmPm

C

Pk

Pk

C

C

Pm

Pm

C

P k

Pk

C

C

Pm

Pm

C

P k

Pk

C

C

Pm

Pm

C

Pm

P k

Pk

CC

C

Pm

Pm

Pm

CC

Pm

P k

Pk

7.5. ábra: A szállítási (C) és termelési (P) kanbanok együttes mőködése

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



harmadik része). A C kanbant tartalmazó teli konténer a követı mőveleti helyrekerül, a megelızı mőveleti hely postafiókjában lévı Pm kanban pedig elindítja agyártást, ha ott van megmunkálásra váró konténer.

A szabad C kanban tehát jelzi a megelızı mőveleti helynek, hogy igény van,a szabad P kanban pedig jelzi, hogy gyártani kell. Ha valamilyen oknál fogva akövetı mőveleti helynél megakad a gyártás, akkor nem szabadul fel C kanban,tehát nem lehet konténereket elszállítani a megelızı mőveleti helyrıl.

A várakozó teli konténereken helyezkednek el a P kanbanok, amelyek csakakkor szabadulnak fel, ha C kanban érkezik. A követı mőveleti hely leállásakorez nem történik meg, ezért nem szabadul fel a megelızı mőveleti helynél gyártástelindító P kanban. Most tehát már nem kell figyelni a készleteket, illetve az üreskonténereket, a P kanbanok egyértelmő jelzést adnak arról, hogy kell-e gyártani.

A kétkanbanos rendszerben tehát a C kanbanok a követı mőveleti helyinput-tárolója és a megelızı mőveleti hely output-tárolója között mozognakhol üres, hol pedig teli konténerekhez rendelve, míg a P kanbanok egyetlenmőveleti helyen belül a mőveleti hely és annak output-tárolója között mozognakugyancsak üres vagy teli konténerekkel. A kanbanok és konténerek mozgását ésállapotát összefoglalóan a 7.6. ábra szemlélteti.

Megelőzőműveleti hely

Outputtároló

Inputtároló

Követőműveleti hely

Outputtároló

Inputtároló

Pm kanban ésüres konténer

Pm kanban ésteli konténer

Pk kanban ésüres konténer

Pk kanban ésteli konténer

C kanban ésüres konténer

C kanban ésteli konténer

… …műveleti hely

… …

7.6. ábra: A kanbanok és konténerek mozgása a mőveleti helyek között

A kanbanokkal (kártyákkal) vezérelt anyagáramlás gyorsan tud reagálni atermelési folyamatbanelıfordulóbármilyenproblémára. Ha egymőveleti helynélminıségi okok vagy egy gép meghibásodása miatt leáll a termelés, akkor afolyamat kezdete felé azért áll le, mert a kártyák nem jeleznek igényt, a folyamatvége felé pedig azért áll le, mert nem halad tovább megmunkálandó anyagokattartalmazó konténer. Hogy a problémás mőveleti helyet megelızı mőveletihelyekre milyen gyorsan jut el az igény megszőnését jelzı információ, az amőveletközi készletek nagyságától függ. Ha két mőveleti hely között csak aminimálisan szükséges készlet található, akkor az információ terjedése gyors.Miután anyag csak akkor kerülhet egy mőveleti helyhez, ha van szabad szállításikártya, a C kanbanok száma meghatározza a mőveletközi készletek maximálisértékét. Ha például a 7.5. ábrán jelzett követı mőveleti hely termelése leáll,

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



akkor az összes szállítási kártya egy, a megelızı mőveleti helynél várakozóteli konténerre kerülve a követı mőveleti hely input-tárolójában győlik össze.A követı mőveleti hely input-tárolójában tehát csak a C kanbanok számánakmegfelelı számú teli konténer várakozhat, és esetleg az a konténer, amelyikrıl azutolsó C kanban lekerült, és annak visszaérkezésekor e konténer még nem ürültki. Miután a megelızı mőveleti helynél termelést csak a C kanbanok érkezésemiatt felszabaduló P kanbanok indíthatnak el, az oda érkezı utolsó C kanban mégelindítja egy konténernyi anyag gyártását, de az már nem tud a követı mőveletihelyre kerülni újabb C kanban hiányában. A két mőveleti hely között várakozókonténerek maximális száma tehát kettıvel több, mint a C kanbanok száma.

A két mőveleti hely között C kanbanok segítségével mozgó anyagok alapjánlegyártható maximális mennyiség érdekében a P kanbanok számát szinkronizálnikell a C kanbanok számával. Egy termelési feladat teljesítéséhez szükséges C ésP kanbanok minimális számának meghatározása tehát a termelésmenedzsmentfontos feladata.

Határozzuk meg elıször a C kanbanok minimálisan szükséges számát. A 7.5.ábrán láthattuk, hogy egy konténerben lévı alkatrészek feldolgozásának kezde-tekor a C kanban lekerül a konténerrıl. Kövessük nyomon az így felszabadulóC kanban egy teljes körútját az ábra segítségével. A felszabaduló C kanban aC kanban-postafiókba kerül (7.5. ábra elsı része), ott várakozik, majd egy üreskonténerre helyezve a megelızı mőveleti hely output-tárolójához jut (7.5. ábramásodik része). Ott esetleg újra várakozik, majd egy teli konténer érkezésekorarra átkerül (7.5. ábra harmadik része), és a teli konténerrel visszaér a követımőveleti hely input-tárolójába (7.5. ábra negyedik része), ahol addig várakozik,ameddig a konténer gyártása megkezdıdik. Tegyük fel, hogy a C kanbannak abemutatott teljes kör megtételéhez tC idıre van szüksége. Ez alatt az idı alatt akövetı mőveleti helyhez annyi alkatrésznek kell érkeznie, amennyi lehetıvé te-szi az igény kielégítését. Ha feltételezzük, hogy a készülı alkatrész iránti igényegységnyi idı alatt (például óránként) D, akkor a követı mőveleti helyhez DtCdarab alkatrésznek kell érkezni. Ha az alkatrészeket tartalmazó konténerek kapa-citása K , akkor tC idı alatt a követı mőveleti helyen DtC/K darab konténerre vanszükség. Konténer azonban szállítási kártya nélkül nem érkezhet, ezért ahhoz,hogy az igénynek megfelelı mennyiség legyártására lehetıség legyen DtC/Kdarab C kanban szükséges a vizsgált két mőveleti hely közötti szállítások sza-bályozására. A tC idıtartam azonban számos tényezı miatt megváltozhat, ezértaz igény teljesítéséhez minimálisan szükséges C kanban számot a gyakorlatbanegy ηC biztonsági tényezıvel megnövelik. A D igény kielégítéséhez szükséges Ckanbanok száma (nC ) tehát a következıképpen számolható [20]:

nC =D · tC · (1 + ηC )

K,

ahol ηC ≥0 a menedzsment által meghatározott biztonsági tényezı értéke. Jólmőködı kanbanrendszereknél ηC értéke közel zéró, míg a kanbanrendszer be-vezetésének és beszabályozásának idıszakában ηC értéke 3-6 körül alakulhat.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A kanban-rendszer mőködésének javítása többek között a ηC érték fokozatoscsökkentésével érhetı el.

A szállítási kártyák megfelelı száma megteremti annak lehetıségét, hogy azigény kielégítéséhez szükséges anyagmennyiség a követı mőveleti helyhez ér-kezzen. A legyártható mennyiséget a P kanbanok száma határozza meg. A Pkanbanok minimális számának meghatározásához ismét tekintsük az 7.5. ábrát. Akonténerben lévı anyag feldolgozásának kezdetekor a konténerre rákerül egyP kanban. Kövessük nyomon ennek a P kanbannak egy teljes körét. A gyár-tás befejezésekor a feldolgozott anyagokkal teli konténer a P kanbannal együttvárakozik egy C kanban érkezésére. A C kanban érkezésekor a P kanban vissza-kerül a P kanban-postafiókba, és ott addig várakozik, amíg egy a mőveleti helyelıtt várakozó teli konténer gyártását nem indítja el. A két gyártásindítás kö-zött eltelt idı a P kanban egy teljes körének ideje, amelyet jelöljön tP . Az eltelttP idı alatt az alkatrész igénye DtP , amelyet K kapacitású konténerekben tároltanyagok feldolgozásával elégítünk ki. Konténer azonban P kanban nélkül nemkerülhet gyártásba, ezért az igénynek megfelelı mennyiség legyártásához DtP/Kdarab P kanban szükséges. A tP idıtartam azonban számos tényezı miatt meg-változhat, ezért az igény teljesítéséhez minimálisan szükséges P kanbanszámota gyakorlatban egy ηP biztonsági tényezıvel megnövelik. A D igény kielégíté-séhez szükséges P kanbanok száma (n P ) tehát a következıképpen számolható[20]:

n P =D · tP · (1 + ηP )

K,

ahol ηP ≥0 a menedzsment által meghatározott biztonsági tényezı értéke. Jólmőködı kanban-rendszereknél ηP értéke közel zéró, míg a kanbanrendszerbevezetésének és beszabályozásának idıszakában ηP értéke 1-3 körül alakulhat.

A C és P kanbanok számának meghatározását a következı egyszerő példaszemlélteti [20]. Egy szerelısor az alkatrészüzembıl JIT-rendszerben érkezıkomponenst használ fel. A komponens iránti napi igény 500 darab. A kompo-nens 25 darabot tartalmazó konténerekben érkezik. Az anyagmozgató munkásegyenletes idıközönként, naponta ötször tesz egy teljes kört az alkatrészgyártóüzem és a szerelısor között. Ilyenkor a szerelısornál lévı üres konténereketés C kanbanokat átviszi az alkatrészgyártóhoz. Onnan pedig a teli konténere-ket C kanbanok kíséretében a szerelısorhoz szállítja. A komponenst felhasználóterméket naponta négyszer kezdik gyártani, ugyancsak viszonylag egyenletesidıközönként. Határozzuk meg ebben az esetben a C és P kanbanok minimálisanszükséges számát.

Az anyagmozgató munkás tehát 0,2 naponként (1/5) végez mozgatást, aszerelısor pedig 0,25 (1/4) naponként kezdi el a komponens felhasználását.

Egy C kanban teljes köre ebben az esetben a következıképpen alakul. Azanyagmozgató munkás a felszabaduló C kanbant üres konténer kíséretében azalkatrészgyártó üzembe viszi, majd onnan egy teli konténerre helyezve vissza-hozza a szerelısorhoz. Amikor legközelebb megteszi ezt a kört (0,2 nap múlva),

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



akkor az elızı körben hozott C kanban még nem szabadul fel, mert olyan kon-téneren van, amelynek gyártása csak 0,25 óránként ismétlıdik. Még egy körtkell várni tehát a korábban hozott C kanban felszabadulására. Egy C kanbannaktehát a teljes kör megtételéhez az anyagmozgató munkást kétszer kell megvár-nia, ezért tC = 0,4 nap. Az adatok alapján a C kanbanok minimális száma akövetkezıképpen számolható:

nC =D · tC · (1 + ηC )

K=

500 · 0,4 · (1 + 0)25

= 8.

A P kanban postafiókban lévı kártyák a gyártást naponta négyszer (0,25 napon-ként) indítják el, és a gyártás befejezésekor azok a P kanban postafiókba vissza iskerülnek, ha a gyártást és szállítást pontosan szinkronizálják, tehát tP = 0,25 nap.Ezen adat alapján a P kanbanok minimális száma a következıképpen számolható:

n P =D · tP · (1 + ηP )

K=

500 · 0,25 · (1 + 0)25

= 5.

A C és P kanbanok így meghatározott minimális száma azonban a gyártás soránnem lesz elegendı. Egyrészt a gyártás és szállítás szinkronizálási problémájamiatt a P kanbanok esetleg a gyártás után várakoznak a teli konténereken,így tP értéke megnı. A C kanbanoknál biztosítani kell, hogy mindig négydarab legyen a gyártósornál és négy a szerelıüzemben. Az anyagmozgatástechnológiája, valamint a gyártás és mozgatás szinkronizálása azonban ezt nemmindig teszi lehetıvé. A gyakorlatban ezért célszerő a kártyák számát ηC ésηP segítségével megnövelni, majd a konténerek és kártyák mozgását – akárszimuláció segítségével – figyelve, valamint a mozgatás és gyártás ütemezésétösszehangolva a kártyák számát fokozatosan csökkenteni [20].

A feladatban természetesen azt feltételeztük, hogy az alkatrészgyártó üzemkapacitása elegendı a napi 500 darab legyártására. Ha ez nem igaz, akkor a Pés C kanbanok számának pontos meghatározása ellenére sem fog elkészülni aszükséges mennyiség.

Az igény kismértékő változását a gyártás során a P és C kanbanok számánakváltoztatásával követni lehet, de egy JIT-rendszer az igény nagymértékő változá-sához csak nehezen tud alkalmazkodni a P és C kanbanok szinkronizálásának ésfokozatos csökkentésének jelentıs idıszükséglete miatt. Nem véletlenül hangsú-lyoztuk a JIT-rendszer jellemzıi között a stabil, egyenletes igény szükségességét.

Végezetül megjegyezzük, hogy ha ugyanabban a termelırendszerben egy-szerre több terméket is gyártanak, akkor minden termékre külön kell meghatá-rozni a C és P kanbanok számát, és a kanbanokon szerepelnie kell, hogy azokmely anyagokhoz, alkatrészekhez tartoznak. A korábban ismertetett 7.4. ábraegy ilyen többtermékes rendszernél szemléltette a megelızı mőveleti helynélelkészült anyagok output-tárolóját. Ebben az esetben a kártyák mozgásánakszinkronizálásakor arra is ki kell térni, hogy az eltérı anyagokat tartalmazó ésfeldolgozásra váró teli konténerek felhasználása milyen sorrendben történjen.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



A kanbanok segítségével megvalósított húzásos mechanizmus lényege tehát,hogy a folyamatban keletkezı bármilyen fennakadás leállítja az egész rendszermőködését. A problémát jelzı információ terjedésének sebességét a mőveletközikészletek nagysága határozza meg. Nagy mőveletközi készletnél lassan áll le atermelés, mert probléma esetén is egy darabig van anyag a további gyártáshoz.A C és P kanbanok számának csökkentése a ηC és ηP segítségével egyben amőveletközi készletek nagyságát is csökkenti, de e csökkentésnek korlátja van.Egy bizonyos számú C és P kanbanra és a hozzájuk tartozó üres, illetve telikonténerekre a termelés folyamatossága érdekében szükség van.

7.4.A JIT-RENDSZERMŐKÖDÉSÉNEKNÉHÁNYGYAKORLATIKÉRDÉSE

E fejezetben ismertettük a JIT-rendszer legfontosabb tulajdonságait, valamint aJIT-rendszer mőködtetésének legfontosabb eszközét, a húzásos mechanizmustmegvalósító kanban rendszert. A kanban rendszer (7.3. fejezet) kiemelt jelentı-ségő, mert amellett, hogy a JIT-rendszer mőködtetésének egyik fontos eszköze,egyben egy új menedzsmentparadigma elıfutára is. Míg a hagyományos ter-melırendszerek mőködése arra a megfontolásra épül, hogy az igény alapjánmegtervezett anyagáramlást egy központi helyrıl vezérlik, – például egy MRPrendszer segítségével – addig a JIT-rendszer az igény alapján beállított paraméte-rek (kanban kártyák száma) segítségével önjáróan mőködik. Probléma esetén azalacsony készletek miatt automatikusan leáll, és a probléma kiküszöbölése utánautomatikusan újraindul. Ennek oka, hogy az anyagáramlás nem egy központihelyrıl vezérelt, hanem a folyamat végérıl. Ezért is hívják ezt a rendszert hú-zásos mechanizmusnak, amelynél a húzást a folyamat végén lévı termék igényejelenti.

A húzásos mechanizmus megvalósításával járó elınyök – mint például azalacsony készletek, rövid átfutási idı – azonban csak jelentıs ráfordítások eseténérvényesülnek. Ezen ráfordítások közül kiemelt szerepe van az átállási idıcsökkentéséhez szükséges sokszor igen magas költségeknek. Ha azonban aráfordítások alacsonyabbak, mint a húzásos mechanizmus eredményei, akkor amegvalósítás sikerrel jár.

A JIT-rendszer készlet- és átfutásiidı-csökkentı hatásáról ma már a hagyo-mányosan tolásos mechanizmus szerint mőködı termelırendszerek sem akarnaklemondani. Nem ritka ezért, hogy MRP rendszerekben elkülönült szigetek JIT-rendszer szerint mőködnek. Ezt támogatják is a vállalatirányítási szoftvereklegjelentısebb gyártói azzal, hogy MRP rendszerüket kanban modullal egészítikki [21]. Bár a JIT- és MRP-rendszerek szemlélete jelentısen különbözik, mégis aJIT-rendszerrel vezérelt szigetek mőködési mutatói jelentısen javulhatnak, és ezbizonyos mértékig az egész rendszer mőködésére is kedvezıen hat. A JIT és MRPkombinálása az anyagáramlás vezérlésének ugyan nem optimális, de eredménythozó, pragmatikus módja.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


7.4. A JIT-RENDSZER MŐKÖDÉSÉNEK NÉHÁNY GYAKORLATI KÉRDÉSE 267

Hangsúlyozni kell, hogy a húzásos anyagáramlást megvalósító eszköz(kanban) csak egy – bár kétségtelenül meghatározó – termelésmenedzsment-eszköze a JIT-gyártásnak. Egyrészt további, kizárólag a JIT-gyártásra jellemzıtermelésmenedzsment-eszközök (például speciális termelésütemezés, vágletekiglecsökkentett átállási idık) alkalmazása szükséges a JIT-gyártás sikeres megva-lósításához. Másrészt a speciálisan JIT-gyártásra jellemzı eszközök mellett amenedzsment néhány általánosan alkalmazott eszközének (például teljeskörőhatékony karbantartás (TPM), teljeskörő minıség menedzsment (TQM), teammunka) JIT-gyártáson belüli megvalósítása is szükséges. Ezekrıl részletesen lásdpéldául a [30], [32], [46] irodalmakat.

Fontos kérdés, hogy milyen termelırendszereknél érdemes a JIT-rendszert meg-valósítani. A kérdés megválaszolásához ismét tekintsük a JIT-rendszer mőködésimechanizmusát és a bevezetés egyik legfontosabb várható hasznát, a készletcsök-kenést. A JIT-rendszert a folyamat végén keletkezı végtermék igénye vezérli.Végtermék gyártása/szerelése csak akkor történhet, ha igény jelentkezik. Haa gyártás JIT-rendszerben történik, akkor a gyártási folyamatban a készletekszintje alacsony lesz. A gyártáshoz szükséges komponensek feleslegesen nemhalmozódhatnak fel. Az ilyen komponens szállítói tehát két dolgot tehetnek.Vagy magas készleteket tartanak és igény szerint szállítanak, vagy beengediksaját rendszerükbe a húzásos mechanizmust, tehát JIT-rendszerben gyártanakés szállítanak. Ezzel nekik is jelentısen csökkenek a készleteik, de ennek ára aJIT-rendszer megvalósításának és mőködtetésének jelentıs költsége. A gondo-latmenetet tovább folytatva, a komponensek gyártásához szükséges alapanyagok,alkatrészek, részegységek, stb. gyártói is hasonló dilemmával néznek szembe.Tartsanak-e magas készleteket, vagy inkább csatlakozzanak a húzásos mecha-nizmushoz. Ha magas készleteket tartanak azért, hogy megfelelıen ki tudjákszolgálni JIT-rendszerben gyártó vevıiket, akkor magas készlettartási költsé-geik lesznek. Ha JIT-rendszerre térnek át, akkor fizetniük kell a JIT-rendszermegvalósításának és mőködtetésének magas költségeit.

A teljes értékképzési láncot tekintve azt láthatjuk tehát, hogy a JIT-mechanizmus az anyagáramlási folyamat végérıl (a végtermékektıl) a kezdetirányába (az alapanyagok felé) tereli a készleteket oda, ahol a JIT bevezetésének ésmőködtetésének költségét már nem ellensúlyozza a készletcsökkenés hatása. El-sısorban tehát ott gazdaságos a JIT-gyártás bevezetése, ahol magas készültségi fokú,drága termékek készülnek nagy mennyiségben. Nem véletlen, hogy a JIT-rendszerekegyik leggyakoribb alkalmazási területe a gépjármőipar utolsó fázisa, az össze-szerelés. A JIT-rendszert ma már a gépjármőiparon kívül sok más területenis alkalmazzák. Mindenképpen fontos azonban, hogy vagy a nagy gyártottmennyiség, vagy a termék magas gyártási költsége miatt a JIT-rendszer jelentı-sen csökkentse a készlettartási költségeket. E költségek csökkenése a JIT-rendszeregyéb járulékos hasznával párosulva teszi gazdaságossá a bevezetést.

A JIT-rendszer várható haszna mellett befejezésül szólni kell azokról a ten-denciákról is, amelyek az alkalmazást hátráltatják, illetve az egész koncepció

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20



létjogosultságát megkérdıjelezik. A JIT ellen ható tényezık közül a következıhárom jelenséget érdemes kiemelni [11]:

– Közúti forgalomnövekedés. A hetvenes években a Toyota sikerén felbuzdulvasok japánvállalat a gyártáshoz szükséges alapanyagok, alkatrészek, részegységekstb. beszerzésénél JIT-rendszert alakított ki a készletek csökkenése érdekében.A gyártás helyén tehát minimálisra csökkentek a készletek, azok jelentıs részea gyakori szállítások miatt kiszorult az utcára. A nagymértékben iparosodottTokiói-öböl környékén a JIT-rendszer tömeges bevezetése az egyébként is nagyközúti forgalom számottevı növekedéséhez vezetett. A JIT bevezetése – ugyanföldrajzi helyzettıl függıen változó mértékben, de mindenképpen – forgalomnö-vekedéshez és nagyobb környezetterheléshez vezet.

– Változó igény és sokféle termék. A JIT-rendszer elsı sikerét a Toyotánál érte ela hatvanas években. Azóta a JIT-gyártás megvalósítására alkalmas legtöbb ter-mék piaci jellemzıi jelentısen megváltoztak. A megnövekedett piaci versenyés a felgyorsult technológiai fejlıdés eredményeként gyakoribbak a termék-váltások, testreszabottabbak a termékek, aminek következtében az egy idıbengyártott termékféleségek száma jelentısen megnıtt. Ugyancsak változik, sok-szor szélsıséges ingadozásokat követ az egyes termékek igénye is. A JIT-gyártásegyik legfontosabb feltételének megteremtését – a stabil igény kialakítását –célzó igénymenedzsment módszerek alkalmazása emiatt egyre költségesebb, amivégsı soron a JIT bevezetésének gazdasági megalapozottságát is megkérdıje-lezi. A termékek sokfélesége és az igény jelentıs ingadozása tehát a JIT-rendszermegvalósítása ellen hat.

– Beszállítók versenyeztetése. A JIT-rendszerek hatékony mőködésének egyikfontos feltétele az alvállalkozókkal kialakított hosszú távú stabil kapcsolat kiépí-tése. A JIT-rendszer a termelı és beszállító vállalat anyagáramlási rendszerénekolyan mélységő összehangolását igényli, amely a beszállítók gyakori változtatásátkizárja. A hosszú távú kapcsolat haszna az anyagáramlás költségeinek csökke-nése. Felvetıdik ugyanakkor, hogy a beszállítóknak az internet korában lehetségeshatékony versenyeztetése nem vezet-e nagyobb költségcsökkenéshez, mint a gya-kori versenyeztetést nyilvánvalóan kizáró hosszú távú kapcsolat kialakítása. Ekérdés ma még nem válaszolható meg egyértelmően.

A JIT-rendszerrel kapcsolatos kritikák ellenére azonban megállapítható, hogyaz anyagáramlás húzásos mechanizmus szerinti vezérlése a termelésmenedzsmentelmúlt 50 évének egyik legnagyobb innovációja. A JIT elemeit teljes egészé-ben vagy részben egyre több vállalat alkalmazza anyagáramlási költségeinekcsökkentésére.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


8. IRODALOMJEGYZÉK

[1] Anderson, D.R., Sweeney, D. J., and Williams, T. A.: An Introduction toManagement Science. West Publishing Company, 1994.

[2] Anthony, R.N., Welsch, G.A., and Reece, J.S.: Fundamentals of ManagementAccounting. Richard D. Irwin, Inc., Homewood, 1985.

[3] Bauer A. és Berács J.: Marketing. Aula Kiadó, BKE, 1999.[4] Blackburn, J. D.: Time-Based Competition. Business One Irwin, Homewood,

1991.[5] Brealey, R. A., és Myres, S. C.: Modern vállalati pénzügyek. Panem Kft.,

Budapest, 1998.[6] Bronstejn, I. N. és Szemengyajev, K. A.: Matematikai zsebkönyv. Mőszaki

Könyvkiadó, Budapest, 1980.[7] Chase, R. B., and Aquilano, N. J.: Production and Operations Management.

Manufacturing and Services. Irwin, 1995.[8] Cheng, T. C. E., and Podolsky, S.: Just-in-time Manufacturing. Chapman

and Hall, London, 1996.[9] Chikán A. (Szerk.): Készletezési modellek. Közgazdasági és Jogi Könyvki-

adó, Budapest, 1983.[10] Chikán A. és Demeter K. (Szerk.): Az értékteremtı folyamatok menedzsmentje.

Termelés, szolgáltatás, logisztika. Aula Kiadó, BKE, 1999.[11] Cusumano, M., A.: The Limits of „Lean”. Sloan Management Review.

Summer, pp. 27-32. 1994.[12] Davenport, T. H.: A vállalkozás és a vállakozási rendszer összehangolása.

Harvard Businessmanager (Magyar kiadás), 1 évf., 2 sz., 67.-76. o., 1999.[13] Dempster, M.A.H., Lenstra, J. K., andRinnooyKan, A.H.G.: Deterministic

and stochastic scheduling. D. Reidel PublishingCompany, Dorderecht, 1984.[14] Gaither, N.: Production and Operations Management. A Problem-Solving and

Decision-Making Approach. The Dryden Press, 1990.[15] Gal, T.: Postoptimal Analysis, Parametric Programming and Related Topics.

McGraw-Hill, New York, 1979.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


270 8. IRODALOMJEGYZÉK

[16] Gal, T.: Shadow Prices and Sensitivity Analysis in Linear Programmingunder Degeneracy. OR Spektrum, 8, 59-71, 1986.

[17] Gnedenko, B. V., Yu, K., Belyayev, and Solovyev, A. D.: MathematicalMethods of Reliability Theory. Academic Press, New York, 1969.

[18] Goldratt, E. M.: The Goal. A Process of Ongoing Improvement. North RiverPress, Inc., 1992.

[19] Graves, S.C., Rinnoy Kan, A.H.G, and Zipkin, P.H. (Editors): Logistics ofProduction and Inventory. North-Holland, 1993.

[20] Hall, R. W.: Zero Inventories. Dow Jones-Irwin, Homewood, Illinois, 1983.[21] Hetyei J. (szerk): Vállalatirányítási információs rendszerek Magyarországon.

ComputerBook, Budapest, 1999.[22] Hillier, S. F., and Lieberman, G. J.: Bevezetés az operációkutatásba. LSI

Oktatóközpont, Budapest, 1994.[23] Jansen, B., de Jong, J.J., Roos, C., and Terlaky, T.: Sensitivity Analysis in

Linear Programming: Just be careful!, European Journal of Op. Research,101, 15-28, 1997.

[24] Johnson, L. A., and Montgomery, D. C.: Operations Research in ProductionPlanning, Scheduling and Inventory Control. John Wiley and Sons, 1974.

[25] Kleinrock, L.: Sorbanállás – Kiszolgálás. Bevezetés a tömegkiszolgálási rendsze-rek elméletébe. Mőszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.

[26] Kocsis J. és Seregi, F.: Termelésirányítás I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.[27] Koltai, T., Farkas, A., and Szendrovits: A., Linear Programming Optimi-

zation of a Network for an Aluminum Plant: A case study. InternationalJournal of Production Economics, 32, 155-168. 1993.

[28] Koltai, T., and Terlaky, T.: The difference between the managerial andmathematical interpretation of sensitivity results in linear programming.International Journal of Production Economics, 65, 257-274, 2000.

[29] Koltai T.: A termelésmenedzsment alapjai I. A termelési feladat és a ren-delkezésre álló erıforrások vizsgálata. Mőegyetemi kiadó, Budapest,2001.

[30] Koltai T.: A termelésmenedzsment alapjai II. A termelési feladat végrehajtása.Mőegyetemi Kiadó, Budapest, 2003.

[31] Kovács Z.: Termelésmenedzsment. Interaktív bevezetés a termelırendszerek ter-vezésébe, szervezésébe, irányításába. Veszprémi Egyetem Kiadó, Veszprém,2001.

[32] Kövesi J., Német, I., Szabó G. Cs. és Valkai S.: Termelıberendezésekmegbízhatóság alapú karbantartása. Budapesti Mőszaki Egyetem, Mérnök-továbbképzı Intézet, Budapest, 1991.

[33] Ladó L.: Teljesítmények és ráfordítások. Tervezés, mérés, értékelés. Közgazda-sági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1981.

[34] Law, A. M., and Kelton, W. D.: Simulation Modelling & Analysis. McGrae-Hill, 1991.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


8. IRODALOMJEGYZÉK 271

[35] Makridakis, S., Wheelwright, S. C., and Hyndman, R. J.: ForecastingMethods and Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[36] Maleki, R. A.: Flexible Manufacturing Systems: the Technology and Manage-ment. Prentice Hall, 1991.

[37] Monden, Y.: Toyota Production System. Practical Approach to ProductionManagement. Management Press, Institute of Industrial Engineers, 1983.

[38] Nahmias, S.: Production and Operations Analysis. Irwin, 1993.[39] Pfaffenberger, R. C., and Patterson, J. H.: Statistical Methods for Business

and Economics. Irwin, 1987.[40] Orlicky, J.: Materials Requirement Planning. McGraw-Hill Book Company,

1975.[41] Petroff, J. N.: Handbook of MRP and JIT. Strategies for Total Manufacturing

Control. Prentice-Hall, 1993.[42] Plossl, G. W.: Orlicky’s Material Requiremrnt Planning. McGrew-Hill, Inc.,

1994.[43] Salvendy, G.: Handbook of Industrial Engineering. John Wiley & Sons, Inc.,

1992.[44] Szendrovits, A. Z.: An Introduction to Production Management. Technical

Notes. Faculty of Business, McMaster University, 1981.[45] Taylor, F. W.: Üzemvezetés. A tudományos vezetés alapjai. Közgazdasági és

Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1983.[46] Tenner, A. R. és De Toro, I. J.: Teljes körő minıségmenedzsment (TQM).

Mőszaki Könyvkiadó, Budapest, 1997.[47] Vörös J.: Termelésmenedzsment. Janus Pannonius Egyetem Kiadó, Pécs,

1993.[48] Vörös J.: Termelési-Szolgáltatási Rendszerek Vezetése. Janus Pannonius

Egyetem Kiadó, Pécs, 1999.[49] Waters, D.: Operations Management. Producing Goods & Services. Addison-

Wesley, 1996.

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


9. TÁBLÁZATOK

I. STANDARD NORMÁLIS ELOSZLÁS ELOSZ-LÁSFÜGGVÉNY TÁBLÁZATA

zs

P{u

Xm

z=(X-m)/s

s

{ ≥ X}

m

=( -m)/s

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,46410,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,42470,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,38590,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,34830,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,31210,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,27760,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,24510,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,21480,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,18670,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,16111,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,13791,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,11701,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,09851,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,08231,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,06811,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,04551,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,03671,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,02941,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,02332,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,01832,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,01432,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,01102,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,00842,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,00642,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,00482,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,00362,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,00262,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,00192,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,00143,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

© Typotex Kiadó


Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2732006.augusztus

2.–22:24

II.KU

MU

LÁ

LT

TA

NU

LÁ

SIGÖ

RBE

TÁ

BLÁ

ZA

T273

II.KU

MU

LÁ

LT

TA

NU

LÁ

SIGÖ

RBE

TÁ

BLÁ

ZA

T

QL

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,951 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0002 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400 1,450 1,500 1,550 1,600 1,650 1,700 1,750 1,800 1,850 1,900 1,9503 1,059 1,126 1,199 1,278 1,361 1,448 1,539 1,634 1,732 1,833 1,938 2,045 2,155 2,268 2,384 2,502 2,623 2,746 2,8724 1,061 1,136 1,222 1,318 1,424 1,538 1,662 1,794 1,935 2,083 2,240 2,405 2,578 2,758 2,946 3,142 3,345 3,556 3,7745 1,062 1,141 1,234 1,342 1,464 1,599 1,749 1,913 2,091 2,283 2,490 2,710 2,946 3,195 3,459 3,738 4,031 4,339 4,6626 1,063 1,143 1,242 1,357 1,491 1,644 1,816 2,007 2,218 2,450 2,703 2,977 3,274 3,593 3,934 4,299 4,688 5,101 5,5387 1,063 1,145 1,246 1,368 1,512 1,678 1,868 2,083 2,324 2,593 2,890 3,216 3,572 3,960 4,380 4,834 5,322 5,845 6,4048 1,063 1,146 1,250 1,376 1,527 1,705 1,911 2,147 2,416 2,718 3,056 3,432 3,847 4,303 4,802 5,346 5,936 6,574 7,2619 1,063 1,147 1,252 1,382 1,540 1,727 1,947 2,202 2,495 2,829 3,206 3,630 4,102 4,626 5,204 5,839 6,533 7,290 8,111

10 1,063 1,147 1,254 1,387 1,550 1,745 1,977 2,250 2,566 2,929 3,344 3,813 4,341 4,932 5,589 6,315 7,116 7,994 8,95420 1,063 1,149 1,261 1,407 1,596 1,839 2,146 2,532 3,010 3,598 4,312 5,171 6,195 7,407 8,828 10,485 12,402 14,608 17,13030 1,063 1,149 1,262 1,413 1,612 1,876 2,222 2,673 3,254 3,995 4,930 6,097 7,540 9,305 11,446 14,020 17,091 20,727 25,00340 1,063 1,149 1,263 1,415 1,620 1,896 2,267 2,763 3,419 4,279 5,393 6,821 8,631 10,902 13,723 17,193 21,425 26,543 32,68450 1,063 1,149 1,263 1,417 1,625 1,910 2,298 2,828 3,543 4,499 5,765 7,422 9,565 12,307 15,776 20,122 25,513 32,142 40,22460 1,063 1,149 1,263 1,418 1,628 1,919 2,321 2,877 3,641 4,680 6,079 7,941 10,391 13,574 17,666 22,868 29,414 37,574 47,65370 1,063 1,149 1,263 1,418 1,631 1,926 2,339 2,917 3,722 4,833 6,351 8,401 11,135 14,738 19,430 25,471 33,166 42,871 54,99280 1,063 1,149 1,263 1,419 1,633 1,932 2,354 2,950 3,791 4,965 6,591 8,814 11,816 15,819 21,092 27,957 36,795 48,054 62,25490 1,063 1,149 1,264 1,419 1,634 1,936 2,365 2,978 3,850 5,083 6,807 9,191 12,446 16,833 22,671 30,346 40,320 53,140 69,450

100 1,063 1,149 1,264 1,419 1,635 1,940 2,375 3,002 3,903 5,187 7,003 9,539 13,034 17,791 24,179 32,651 43,754 58,141 76,586110 1,063 1,149 1,264 1,419 1,636 1,943 2,384 3,023 3,949 5,282 7,183 9,862 13,587 18,701 25,625 34,883 47,109 63,067 83,671120 1,063 1,149 1,264 1,420 1,637 1,945 2,392 3,042 3,991 5,369 7,350 10,164 14,110 19,569 27,019 37,051 50,393 67,925 90,707130 1,063 1,149 1,264 1,420 1,637 1,948 2,398 3,059 4,030 5,449 7,504 10,448 14,607 20,401 28,365 39,162 53,614 72,723 97,701140 1,063 1,149 1,264 1,420 1,638 1,950 2,404 3,074 4,065 5,522 7,649 10,716 15,080 21,201 29,668 41,221 56,777 77,465 104,66150 1,063 1,149 1,264 1,420 1,638 1,951 2,409 3,088 4,097 5,591 7,786 10,971 15,533 21,972 30,934 43,234 59,888 82,156 111,57160 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,953 2,414 3,101 4,127 5,656 7,915 11,214 15,967 22,717 32,166 45,203 62,951 86,800 118,46170 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,954 2,419 3,112 4,155 5,716 8,037 11,445 16,385 23,439 33,366 47,134 65,970 91,399 125,31180 1,063 1,149 1,264 1,420 1,639 1,956 2,423 3,123 4,181 5,773 8,153 11,667 16,788 24,139 34,537 49,029 68,947 95,958 132,13190 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,957 2,426 3,133 4,205 5,827 8,263 11,880 17,177 24,820 35,681 50,890 71,886 100,48 138,92200 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,958 2,430 3,143 4,228 5,878 8,369 12,085 17,554 25,482 36,801 52,720 74,789 104,96 145,69210 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,959 2,433 3,151 4,250 5,927 8,470 12,283 17,919 26,128 37,897 54,521 77,658 109,42 152,44220 1,063 1,149 1,264 1,420 1,640 1,960 2,436 3,160 4,270 5,973 8,567 12,473 18,274 26,757 38,973 56,294 80,495 113,83 159,16230 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,960 2,438 3,167 4,289 6,017 8,661 12,658 18,619 27,373 40,028 58,042 83,302 118,22 165,85240 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,961 2,441 3,175 4,308 6,060 8,751 12,837 18,955 27,975 41,065 59,765 86,081 122,58 172,53250 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,962 2,443 3,182 4,326 6,101 8,837 13,010 19,282 28,564 42,083 61,466 88,833 126,91 179,18260 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,963 2,446 3,188 4,343 6,140 8,921 13,178 19,601 29,141 43,085 63,145 91,559 131,22 185,82270 1,063 1,149 1,264 1,420 1,641 1,963 2,448 3,194 4,359 6,177 9,002 13,342 19,912 29,707 44,071 64,803 94,261 135,50 192,43280 1,063 1,149 1,264 1,421 1,641 1,964 2,450 3,200 4,374 6,214 9,081 13,501 20,217 30,262 45,043 66,441 96,939 139,76 199,03

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltay Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2742006.augusztus

2.–22:24

2749.T

ÁBLÁ

ZA

TO

K

II.KU

MU

LÁ

LT

TA

NU

LÁ

SIGÖ

RBE

TÁ

BLÁ

ZA

T(FO

LYTA

TÁ

S)

QL

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95290 1,063 1,149 1,264 1,421 1,641 1,964 2,452 3,206 4,389 6,249 9,157 13,656 20,514 30,807 45,999 68,061 99,595 143,99 205,61300 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,965 2,454 3,211 4,403 6,283 9,231 13,807 20,806 31,342 46,943 69,663 102,23 148,20 212,18310 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,965 2,455 3,217 4,417 6,315 9,303 13,954 21,091 31,869 47,873 71,248 104,84 152,39 218,73320 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,966 2,457 3,222 4,430 6,347 9,373 14,098 21,371 32,386 48,791 72,817 107,44 156,56 225,26330 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,966 2,458 3,226 4,443 6,378 9,441 14,239 21,646 32,896 49,697 74,370 110,01 160,72 231,77340 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,460 3,231 4,455 6,408 9,507 14,377 21,915 33,397 50,592 75,908 112,57 164,85 238,28350 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,461 3,235 4,467 6,437 9,572 14,511 22,180 33,892 51,476 77,431 115,11 168,96 244,77360 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,967 2,463 3,240 4,479 6,465 9,635 14,643 22,439 34,378 52,350 78,941 117,64 173,05 251,24370 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,464 3,244 4,490 6,492 9,697 14,772 22,695 34,858 53,213 80,437 120,14 177,13 257,70380 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,465 3,248 4,501 6,519 9,757 14,899 22,946 35,332 54,067 81,920 122,63 181,19 264,15390 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,968 2,467 3,252 4,511 6,545 9,816 15,023 23,193 35,799 54,912 83,390 125,11 185,24 270,59400 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,969 2,468 3,255 4,521 6,570 9,873 15,145 23,436 36,260 55,748 84,849 127,57 189,27 277,01410 1,063 1,149 1,264 1,421 1,642 1,969 2,469 3,259 4,531 6,595 9,930 15,265 23,676 36,715 56,575 86,296 130,02 193,28 283,42420 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,969 2,470 3,262 4,541 6,619 9,985 15,382 23,911 37,164 57,394 87,731 132,45 197,28 289,83430 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,471 3,266 4,550 6,642 10,039 15,498 24,144 37,608 58,205 89,156 134,87 201,27 296,21440 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,472 3,269 4,559 6,665 10,092 15,611 24,373 38,046 59,008 90,570 137,27 205,24 302,59450 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,473 3,272 4,568 6,688 10,144 15,723 24,599 38,480 59,803 91,973 139,67 209,19 308,96460 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,474 3,275 4,577 6,710 10,195 15,833 24,821 38,908 60,591 93,367 142,05 213,14 315,32470 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,970 2,475 3,278 4,585 6,731 10,245 15,941 25,041 39,332 61,372 94,751 144,41 217,07 321,66480 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,476 3,281 4,593 6,752 10,294 16,047 25,258 39,751 62,147 96,125 146,77 220,99 328,00490 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,477 3,284 4,602 6,773 10,342 16,152 25,472 40,166 62,914 97,491 149,12 224,89 334,33500 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,477 3,286 4,609 6,793 10,389 16,255 25,683 40,577 63,675 98,847 151,45 228,79 340,65510 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,971 2,478 3,289 4,617 6,813 10,436 16,357 25,892 40,983 64,430 100,19 153,77 232,67 346,96520 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,479 3,292 4,625 6,832 10,482 16,457 26,099 41,385 65,179 101,53 156,09 236,54 353,25530 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,480 3,294 4,632 6,851 10,527 16,556 26,302 41,783 65,922 102,87 158,39 240,40 359,55540 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,480 3,297 4,639 6,870 10,571 16,654 26,504 42,177 66,659 104,19 160,68 244,24 365,83550 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,481 3,299 4,646 6,888 10,615 16,750 26,703 42,568 67,390 105,50 162,96 248,08 372,10560 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,482 3,301 4,653 6,906 10,658 16,845 26,900 42,955 68,116 106,81 165,23 251,91 378,36570 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,972 2,483 3,304 4,660 6,924 10,700 16,939 27,094 43,338 68,836 108,11 167,50 255,72 384,62580 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,483 3,306 4,666 6,941 10,741 17,031 27,287 43,718 69,552 109,40 169,75 259,53 390,87590 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,484 3,308 4,673 6,958 10,783 17,122 27,478 44,095 70,262 110,69 172,00 263,33 397,11600 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,484 3,310 4,679 6,975 10,823 17,212 27,666 44,468 70,967 111,97 174,23 267,11 403,34610 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,485 3,312 4,685 6,991 10,863 17,302 27,853 44,839 71,668 113,24 176,46 270,89 409,57620 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,486 3,315 4,692 7,008 10,902 17,390 28,038 45,206 72,363 114,50 178,68 274,66 415,78630 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,486 3,317 4,698 7,024 10,941 17,476 28,220 45,570 73,054 115,76 180,89 278,41 421,99640 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,973 2,487 3,319 4,704 7,039 10,979 17,562 28,402 45,931 73,741 117,01 183,09 282,16 428,20650 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,487 3,320 4,709 7,055 11,017 17,647 28,581 46,289 74,423 118,26 185,28 285,90 434,39

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltay Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20

TER

MM

EN

/2752006.augusztus

2.–22:24

II.KU

MU

LÁ

LT

TA

NU

LÁ

SIGÖ

RBE

TÁ

BLÁ

ZA

T(FO

LYTA

TÁ

S)275

II.KU

MU

LÁ

LT

TA

NU

LÁ

SIGÖ

RBE

TÁ

BLÁ

ZA

T(FO

LYTA

TÁ

S)

QL

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95660 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,488 3,322 4,715 7,070 11,054 17,731 28,758 46,644 75,100 119,50 187,47 289,63 440,58670 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,488 3,324 4,721 7,085 11,091 17,814 28,934 46,997 75,774 120,73 189,65 293,36 446,76680 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,489 3,326 4,726 7,100 11,127 17,897 29,109 47,347 76,443 121,96 191,82 297,07 452,94690 1,063 1,149 1,264 1,421 1,643 1,974 2,489 3,328 4,731 7,115 11,163 17,978 29,282 47,694 77,108 123,18 193,98 300,78 459,10700 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,490 3,330 4,737 7,129 11,198 18,058 29,453 48,039 77,769 124,40 196,13 304,48 465,26710 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,490 3,331 4,742 7,143 11,233 18,138 29,623 48,381 78,427 125,61 198,28 308,17 471,42720 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,974 2,491 3,333 4,747 7,157 11,268 18,217 29,791 48,721 79,080 126,81 200,42 311,85 477,57730 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,491 3,335 4,752 7,171 11,302 18,295 29,958 49,058 79,730 128,01 202,56 315,52 483,71740 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,492 3,336 4,757 7,185 11,335 18,372 30,123 49,393 80,376 129,21 204,69 319,19 489,85750 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,492 3,338 4,762 7,198 11,369 18,448 30,287 49,725 81,018 130,40 206,81 322,85 495,98760 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,493 3,339 4,767 7,211 11,402 18,524 30,450 50,056 81,657 131,58 208,92 326,50 502,10770 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,493 3,341 4,772 7,224 11,434 18,599 30,611 50,384 82,293 132,76 211,03 330,14 508,22780 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,342 4,776 7,237 11,466 18,673 30,771 50,710 82,925 133,94 213,13 333,78 514,33790 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,344 4,781 7,250 11,498 18,746 30,930 51,033 83,553 135,10 215,23 337,41 520,43800 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,494 3,345 4,786 7,262 11,530 18,819 31,087 51,355 84,179 136,27 217,31 341,03 526,53810 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,495 3,347 4,790 7,275 11,561 18,891 31,243 51,675 84,801 137,43 219,40 344,65 532,63820 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,495 3,348 4,795 7,287 11,592 18,963 31,398 51,992 85,420 138,58 221,47 348,26 538,72830 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,975 2,496 3,350 4,799 7,299 11,622 19,034 31,552 52,308 86,036 139,74 223,54 351,86 544,80840 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,496 3,351 4,803 7,311 11,652 19,104 31,705 52,622 86,648 140,88 225,61 355,46 550,88850 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,496 3,352 4,807 7,323 11,682 19,174 31,857 52,933 87,258 142,02 227,67 359,05 556,95860 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,354 4,812 7,335 11,712 19,243 32,007 53,243 87,865 143,16 229,72 362,63 563,02870 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,355 4,816 7,346 11,741 19,311 32,157 53,551 88,469 144,30 231,77 366,21 569,08880 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,497 3,356 4,820 7,358 11,770 19,379 32,305 53,857 89,070 145,42 233,81 369,78 575,14890 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,358 4,824 7,369 11,799 19,446 32,453 54,162 89,668 146,55 235,85 373,35 581,19900 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,359 4,828 7,380 11,827 19,513 32,599 54,464 90,263 147,67 237,88 376,90 587,24910 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,498 3,360 4,832 7,391 11,855 19,579 32,744 54,765 90,856 148,79 239,91 380,46 593,28920 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,361 4,836 7,402 11,883 19,645 32,889 55,065 91,446 149,90 241,93 384,00 599,32930 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,362 4,839 7,413 11,911 19,710 33,032 55,362 92,033 151,01 243,94 387,54 605,35940 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,499 3,364 4,843 7,424 11,938 19,775 33,174 55,658 92,618 152,12 245,96 391,08 611,38950 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,500 3,365 4,847 7,434 11,965 19,839 33,316 55,952 93,200 153,22 247,96 394,61 617,40960 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,976 2,500 3,366 4,851 7,445 11,992 19,903 33,456 56,245 93,779 154,32 249,96 398,13 623,42970 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,500 3,367 4,854 7,455 12,019 19,966 33,596 56,536 94,356 155,41 251,96 401,65 629,43980 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,368 4,858 7,465 12,045 20,028 33,735 56,826 94,931 156,50 253,95 405,16 635,44990 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,369 4,861 7,475 12,072 20,091 33,873 57,114 95,503 157,59 255,94 408,67 641,45

1000 1,063 1,149 1,264 1,421 1,644 1,977 2,501 3,370 4,865 7,485 12,098 20,152 34,010 57,401 96,073 158,67 257,92 412,17 647,45

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltay Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


Név- és tárgymutató

4th Shift 247

additív trend 32, 58, 73

aggregálás 174–175

aggregált termelési terv 226–227, 278

anyagszükséglet-tervezés 173, 225–229, 231–232, 234, 238, 245, 250

Aquilano, N. J. 11

árnyékár (shadow price) 204, 211–216, 220–224

átlagos abszolút hiba 63–64, 66

átlagos abszolút relatív hiba 63

átlagos hiba 34, 62–64

átlagos hibanégyzet 35, 63

átlagos készletszint 18, 118, 122, 125,133–134, 136, 157–158, 164, 166

Baan 247

beszállítási (termelési) ráta 133–134,170

beszerzési költség 120, 122–124, 126,128, 137, 143, 145, 161, 169–170

biztonsági készlet 155–166, 168–169,171–172, 176, 197–199, 230–231, 237–239, 241–245

bruttó igény 231–232, 238–239, 241–145, 249–250

C kanban 257–265

célfüggvény 176, 187, 189–190, 193–196, 198, 201–206, 208–211, 213, 216–217, 219–220

célfüggvény-együtthatók 187, 204–206, 209–210, 216–217

Chase, R. B. 11

Chikán A. 14

Dantzig, G. B. 15

degeneráció 211, 216

Demeter K. 14

Deming, W. E. 15

diszkontár 138–139, 141, 143–144, 147

diszkontküszöb 139–141, 143, 146,148–149

Dodge, H. F. 15

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 277

döntési fa 106–108, 111

effektív igény 181–187

effektív kapacitás 77–78, 80, 83–86, 92

egyedi gyártás 21, 24–25, 27–28

együtthatómátrix 193, 204–205

életgörbe 10, 24–28, 30–31, 67, 75, 94,98

érvényességi tartomány 204, 210–211,220–222

érzékenységvizsgálat 112, 136, 217–218, 221–222

exponenciális simítás 39–41, 44–45,48, 55–57, 61

Feigenbaum, A. V. 15

felhasználó komponens 228–229

folyamatos készletvizsgálat 116, 118,124, 154–155, 165–166, 244

Ford, H. 15

független érvényességi tartomány210

független igény 173, 226, 236

Gaither, N. 11–13, 234

Gantt H. L. 15–16, 20

Gilbreth, F. 14–15

Gilbreth, L. 14–15

gradiens 46–48, 50, 54–56, 59, 68, 71,73, 204

gyártási típus 25

Hall, R. W. 260

Harris, F. W. 15

hatékonyság 78–79, 81–82, 86

hiányköltség 120–121, 167, 177–178,180

Holt 45, 47, 48–49, 51, 53, 68

Holt-módszer 48, 51

inicializálás 42, 48, 54, 59, 75

jobboldali paraméter 204, 211–213,220, 222

Juran, J. M. 15

kanban 249–250, 252, 257–266

kanban-postafiók 257, 260, 262–265

kanban-rendszer 257, 264

kapacitáskihasználás 23, 78–79, 81–82, 86, 89, 96, 98, 254

kauzális módszerek 30

készletezési mechanizmus 116, 119

készletnyilvántartás 229

készletszint 18–19, 116–122, 125, 132–134, 136, 149–173, 190, 195, 202

készlettartási költség 120–123, 136,176, 179, 184, 186, 202, 218, 221, 245

készlettartási ráta 122–123, 141, 147,150, 152, 157, 161–162, 165, 168–169,170, 245

komponenshierarchia 227, 232–234

konstans elem (elôrejelzés) 31, 36, 46–48, 50–59, 71, 73

kumulált effektív igény 181–182

kumulált tanulási görbe 88, 273

lekötött mennyiség 231, 237–239,241–244

lineáris programozás 15, 179, 223

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


278 NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ

lineáris regresszió 59–61, 77

lineáris termeléstervezési modell200–201

maximális készletszint 119, 125, 133–134, 162–163, 165

Mayo, E. 15–16

megbízhatóság 12, 90, 93, 270

MFG Pro 247

mozgó átlag 35, 44–45, 61

MRP 15–16, 116, 173, 225–226, 228,230, 232,

multiplikatív szezonalitás 32

multiplikatív trend 58, 66, 73

nettó igény 232, 238–239, 241–245

Ohno, T. 15

operációkutatás 10, 12, 16, 17, 106,227, 270

optimális gyártásisorozat-nagyság136

optimális termelési terv 175, 178–179,181, 183, 185–187, 189–190, 193, 218,220–222

Oracle 247

Orlicky, J. 15–16, 247

P-kanban 259–266

pénzáramlás (cash-flow) 17, 97, 99,100, 105

peremfeltételek 177, 195

periodikus készletvizsgálat 117–119,154, 163, 166, 244

periódus 20–23, 51, 53–57, 63, 69, 118,124–125, 154, 162, 164–166

projektív módszerek 30

proporcionális árkedvezmény 138–139, 141, 144

pull 250, 255–256

push 249, 255

relatív (százalékos) hiba 62–63

rendelési ciklus 124, 130, 132–138,150–152, 157, 159

rendelési készletszint 149–153, 158,165

rendelési költség 120–121, 123, 128–129, 133, 136–137, 141, 145, 147, 150,157, 165, 168–169, 245

rendelési periódus 118, 124–125, 154,164–166

Romig, H. G. 15

SAP 247

Shewhart,W. 15

simítási konstans 39,42–44, 46–47

sorozatgyártás 22, 24–26, 256

szállítási kártya 259–263

szezon 50–53, 68, 70, 83, 177

szezonalitás 32, 50, 52–58, 7

szezonalitási együttható 50–53, 55, 58,69, 72

szezonalitási faktor 72

szezontalanított igény 53, 58, 69, 71,73

tanulási görbe 87–90, 98, 273

tanulási ráta 88–89

Taylor, F.W.14–15

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Kovács Renáta2012-10-20 12:06:20


NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ 279

teljes költség 121–122, 124, 126, 128,133, 135–136, 138–139, 141142, 144,149, 157, 161, 164, 172

termék-folyamat mátrix 24–28

termelési ütemterv 226–227

termelésszervezés 6, 17, 18

tervezési kapacitás 77–81, 84, 86, 98,200, 277

tervezett rendelésbeérkezés 232, 238–239, 241–245

tervezett rendelésfeladás 232–233,241, 245

Tippett, L. H. C. 15

Toyota 15, 57, 68, 252–253

Toyota termelési rendszer 252

tömegszerőség 27

tömeggyártás 17, 23–28

TQM 14–16, 56, 67, 172, 247, 253

trend 44–47, 50–53, 56–59, 66–68, 73–75, 84, 113, 122, 150, 161

várt beérkezés 230–231, 237–239, 241–244

Wight, O. 15

Winters 51, 54, 58, 71

Winters-modell 51, 54, 58, 71

www.interkonyv.hu

© Typotex Kiadó

© Koltai Tamás

Documents

Koltai Tamas Termelesmenedzsment