Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)s-mat-pcs.oulu.fi/~jukemppa/Johdatus_luennot2011_1...(vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko(2 op)

Jukka Kemppainen

Mathematics Division

Mitä matematiikka on?

Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistäperuskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisestijohdettuja lauseita (teoreemoja).

Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 52


Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistäperuskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisestijohdettuja lauseita (teoreemoja).Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä:



Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistäperuskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisestijohdettuja lauseita (teoreemoja).Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä:Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi.



Karkeasti ottaen voidaan sanoa, että matematiikka on tietyistäperuskäsitteistä ja perustotuuksista (aksiomeista) loogisestijohdettuja lauseita (teoreemoja).Looginen johtaminen tarkoittaa deduktiivista päättelyä:Jos oletukset ovat tosia, niin johtopäätös on tosi.

Matematiikka onkin ainutlaatuista, sillä vain siinä ei olemerkittäviä korjauksia, vaan ainoastaan laajennuksia. EsimerkiksiPythagoraan lause on edelleen voimassa eikä sitä tarvitse korjata(vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtoninliikelakeihin ja painovoimateoriaan).



Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekälauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, muttasamalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti.



Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekälauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, muttasamalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti.On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voidamääritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi,joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.



Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekälauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, muttasamalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti.On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voidamääritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi,joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.Syy: Jokainenmääritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itsemääritelmässä käytetään.



Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekälauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, muttasamalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti.On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voidamääritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi,joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.Syy: Jokainenmääritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itsemääritelmässä käytetään.Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseitaoteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseetjohdetaan.



Matematiikassa on tärkeää, että käsitteet määritellään sekälauseet ja päättelyt esitetään lyhyesti ja täsmällisesti, muttasamalla ymmärrettävästi ja riittävän yksityiskohtaisesti.On kuitenkin huomattava, että kaikkia käsitteitä ei voidamääritellä, vaan joitakin käsitteitä on otettava peruskäsitteiksi,joiden avulla muut käsitteet voidaan määritellä.Syy: Jokainenmääritelmä edellyttää tunnetuiksi ne käsitteet, joita itsemääritelmässä käytetään.Samoin mitään lauseita ei voida todistaa, ellei joitakin lauseitaoteta perustotuuksiksi (aksiomeiksi), joista muuta lauseetjohdetaan.Luonnollista kieltä lyhyempään ja selkeämpään esitykseenpäästään ottamalla käyttöön lyhennysmerkintöjä eli symbolejamatemaattisille käsitteille.


Esimerkki

Euklidisessa geometriassa (Eukleides, n.300 eaa.)

◮ Piste ja suora ovat peruskäsitteitä, joita ei määritellä.


Esimerkki



◮ Piste ja suora asetetaan perussuhteeseen, esim. ”Suora kulkeepisteen kautta”.


Esimerkki




◮ ”Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora” onaksiomi.


Esimerkki




◮ ”Kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora” onaksiomi.

◮ Pythagoraan lause voidaan johtaa loogisesti aksiomeista.


Esimerkkejä

Esim. 1

Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä

määritelmissä?

◮ Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä.

◮ Metsä on paikka, jossa kasvaa puita.


Esimerkkejä

Esim. 1

Mitä vikaa on seuraavissa käsitteiden puu ja metsä

määritelmissä?

◮ Puu on kasvi, joka kasvaa metsässä.

◮ Metsä on paikka, jossa kasvaa puita.

Esim. 2

Tarkastellaan luvun 2 määrittelyä. Määritellään, että luku 2 onkaikkien sellaisten joukkojen ominaisuus, joissa on 2 alkiota. Mikävika tässä määritelmässä on?


Matemaattisesta päättelystä

Tarkastellaan seuraavaa perinteistä esimerkkiä deduktiivisestapäättelystä




1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia.





2. Sokrates on ihminen.






3. Siispä Sokrates on kuolevainen.







Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös.







Lauseet 1 ja 2 ovat oletuksia, ja lause 3 on johtopäätös.Olennaista on, että jos oletukset ovat tosia, niin myös johtopäätös

on tosi.








on tosi.Yhtälailla seuraava päättely on deduktiivinen:

1. Kaikki ihmiset pitävät matematiikasta.










2. Jukka on ihminen.











3. Siispä Jukka pitää matematiikasta.











3. Siispä Jukka pitää matematiikasta.



Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A ⇒ B (lue:A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:täväitteeksi. Nuolta ⇒ sanotaan implikaatioksi.



Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A ⇒ B (lue:A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:täväitteeksi. Nuolta ⇒ sanotaan implikaatioksi.Lause A ⇒ B kirjoitetaan usein muodossa

Jos A (on totta), niin B (on totta).



Matematiikassa esiintyvät lauseet ovat usein muotoa A ⇒ B (lue:A:sta seuraa B), missä A:ta sanotaan oletukseksi ja B:täväitteeksi. Nuolta ⇒ sanotaan implikaatioksi.Lause A ⇒ B kirjoitetaan usein muodossa

Jos A (on totta), niin B (on totta).

Edellistä muotoa oleva lause todistetaan siten, että oletetaan A:nolevan totta. Tämän jälkeen suoritetaan ongelmasta riippuenerinäinen määrä samaa tyyppiä olevia päätelmiä, merkitäänA1 ⇒ A2. Jos viimeisessä päätelmässä voidaan perustella muotoaAk ⇒ B oleva lause, voidaan päätellä, että B on totta ja sitenlause A ⇒ B pitää paikkansa.



Usein oletukset voivat olla muotoa A ∧ B (lue: A ja B), joka ontotta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta.



Usein oletukset voivat olla muotoa A ∧ B (lue: A ja B), joka ontotta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta.Oletus voi olla myös muotoa A ∨ B (lue: A tai B), joka on tottatäsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta.



Usein oletukset voivat olla muotoa A ∧ B (lue: A ja B), joka ontotta täsmälleen silloin, kun molemmat A ja B ovat totta.Oletus voi olla myös muotoa A ∨ B (lue: A tai B), joka on tottatäsmälleen silloin, kun ainakin toinen A:sta ja B:stä on totta.

Huomautus 1

Huomaa, että matematiikan tai poikkeaa luonnollisessa kielessäkäytetyn tai:n merkityksestä. Matematiikassa ilmaisussa A ∨ B

jompi kumpi A tai B on totta tai molemmat ovat totta, kun taasluonnollisessa kielessä tai voi olla myös merkityksessä joko...tai.


Esimerkki

Esim. 3

◮ Esimerkiksi hississä törmää ilmaisuun ”Hissiin mahtuu 8

henkilöä tai 640 kiloa”. Ei varmaankaan kannata mennäkokeilemaan mitä tapahtuu, jos hissiin pannaan 8 henkilönlisäksi 640 kiloa.

◮ Toisaalta esiintyy ilmaisuja ”Hakijalta edellytetään filosofianmaisterin tai diplomi-insinöörin tutkintoa”.



Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B eiolekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöönmerkintä ¬A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleensilloin, kun A ei ole totta.



Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B eiolekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöönmerkintä ¬A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleensilloin, kun A ei ole totta.Lause voi olla myös muotoa A ⇔ B (lue: A jos ja vain jos B),mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A

on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovatyhtäpitävät.



Usein on hyödyllistä tarkastella, että mitä jos jokin väite B eiolekaan totta ja tarkastella mitä siitä seuraa. Otetaan käyttöönmerkintä ¬A (lue A:n negaatio tai ei A), joka on totta täsmälleensilloin, kun A ei ole totta.Lause voi olla myös muotoa A ⇔ B (lue: A jos ja vain jos B),mikä tarkoittaa, että joko molemmat A ja B ovat totta tai että A

on epätosi ja B on epätosi. Tällöin sanotaan, että A ja B ovatyhtäpitävät.Tyyppiä A ⇔ B oleva lause todistetaan siten, että A:n totuudestaseuraa B:n totuus (A ⇒ B) ja että B:n totuudesta seuraa A:ntotuus (B ⇒ A).


Esimerkkejä

Esim. 4

Osoita, että negaatiolle pätee

◮ ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B ;

◮ ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B .


Esimerkkejä

Esim. 4

Osoita, että negaatiolle pätee

◮ ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B ;

◮ ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B .

Huomautus 2

Huomaa, että esimerkiksi toisen kohdan mukaan A ei ole totta jaB ei ole totta on yhtäpitävää sen kanssa, että väite (A tai B) eiole totta. Arkikielessä tämä kuulostaa ehkä kummalliselta, jonkavuoksi lyhennysmerkintöjen käyttö on suotavaa ja ne selkeyttävättilannetta. Samasta syystä jälkimmäisen väitteen ympärille onkirjoitettu sulut.


Esimerkkejä

Esim. 5

Muodosta negaatiot seuraaville väitteille

◮ Minä valehtelen.

◮ Kaikilla naisilla on vaaleat hiukset.

◮ Hauki on kala ja Musti on koira.

◮ Minä olen paavi tai sinä olet paavi.

◮ On olemassa x ∈ R siten, että x2 − 2x + 1 = 0.

◮ On olemassa x ∈ R siten, että x2 − 2x + 2 = 0.

Ovatko edelliset väitteet totta vai ei?


Esimerkkejä

Esim. 6

◮ Eräällä kaukaisella saarella asuu kahdenlaisia ihmisiä, rehtejäja retkuja. Rehdit kertovat aina totuuden, mutta retkutvalehtelevat aina. Eräänä päivänä saaren kolme henkilöä A, B

ja C kohtaavat. A sanoo: ”Olemme kaikki retkuja”. B sanoo:”Vain yksi meistä on rehti”. Mitä A, B ja C ovat?

◮ Kaupasta on varastettu viikon kassa ja rikollinen tai rikollisetpakenivat autolla. Kolme tunnettua rikollista A, B ja Cpidätettiin ja kuulusteluissa he totesivat seuraavaa:

(a) Vain A, B ja C olivat yhteydessä ryöstöön.(b) C tekee keikkansa aina A:n ja mahdollisesti joidenkin muiden

kanssa, mutta ei B:n kanssa.(c) B ei osaa ajaa autoa.

Onko A syytön?


Suora päättely

Päättelyä

”Jos oletus A on tosi ja A:sta seuraa B, niin B on tosi”

sanotaan suoraksi päättelyksi.


Suora päättely

Päättelyä


sanotaan suoraksi päättelyksi.Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa

(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B .

Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisisuoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, ettälähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäistenvälivaiheiden jälkeen väitteeseen.


Suora päättely

Päättelyä


sanotaan suoraksi päättelyksi.Sama voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa

(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B .

Nimitys suora ei suinkaan tarkoita sitä, että välttämättä B seuraisisuoraan ilman välivaiheita A:sta. Nimitys johtuu siitä, ettälähdetään oletuksesta liikkeelle ja päädytään erinäistenvälivaiheiden jälkeen väitteeseen.

Esim. 7

Osoita, että jos x + 2 = 5, niin x2 + 4x + 4 = 25.


Epäsuora päättelyMatematiikassa on joskus suoran päättelyn sijaan hyödyllistäkäyttää epäsuoraa päättelyä:

”Jos A on totta ja ¬B :stä seuraa ¬A, niin B on tosi”,

joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muodossa

(A ∧ (¬B ⇒ ¬A)) ⇒ B .





(A ∧ (¬B ⇒ ¬A)) ⇒ B .

Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdäänvastaoletus: ¬B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa,että ¬A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen ”Aon tosi” vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:ntäytyy olla tosi.





(A ∧ (¬B ⇒ ¬A)) ⇒ B .

Nimitys epäsuora johtuu siitä, että väitteelle B tehdäänvastaoletus: ¬B on tosi, ja osoitetaan, että edellisestä seuraa,että ¬A on tosi. Edellinen on kuitenkin mahdotonta oletuksen ”Aon tosi” vuoksi, joten päädyttiin ristiriitaan ja näin ollen B:ntäytyy olla tosi.

Esim. 8

Osoita lause ”x ≥ 2 ⇒ x2 − 2x ≥ 0” epäsuoralla päättelyllä.


Esimerkkejä

Esim. 9

Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia.

1. 2 on transkendenttiluku.

2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku.

3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku.

4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku.

Onko tällöin väite ”2 ei ole kokonaisluku” tosi?


Esimerkkejä

Esim. 9

Oletetaan, että seuraavat väitteet ovat tosia.

1. 2 on transkendenttiluku.

2. Mikään transkendenttiluku ei ole algebrallinen luku.

3. Jokainen rationaaliluku on algebrallinen luku.

4. Jokainen kokonaisluku on rationaaliluku.

Onko tällöin väite ”2 ei ole kokonaisluku” tosi?

Esim. 10

Oletetaan, että A on tosi ja että ¬B ⇒ ¬A ja B ⇒ C . Osoita,että C on tosi.


Esimerkkejä

Esim. 11

Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän.Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niinedelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen.Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä?


Esimerkkejä

Esim. 11

Insinööri on suunnitellut 51 hammasrattaan järjestelmän.Ensimmäinen ratas pyörittää toista, toinen kolmatta ja niinedelleen siten, että 51. hammasratas on yhteydessä ensimmäiseen.Voiko insinöörin järjestelmä pyöriä?

Esim. 12

Marjakauppiaalta jäi litran mitta kotiin, mutta hänellä on torillaviiden litran ja kolmen litran mitat mukanaan. Miten hän mittaalitran marjoja asiakkaalle? Entä neljä litraa?


Matemaattinen ongelmanratkaisu

Matemaattisen ongelman ratkaiseminen yleisesti noudattaaseuraavia ohjeita:




1. Ymmärrä ongelma.





2. Suunnittele ratkaisustrategia.






3. Toteuta strategia.






3. Toteuta strategia.

4. Tutki saatua ratkaisua.


Ongelman ymmärtäminen

Ongelma täytyy ensiksi ymmärtää, jotta sen voi ratkaista. Sitävarten on hyvä kysyä




(a) Mikä on tuntematon?





(b) Mitä tunnetaan (mikä on data)?






(c) Mikä on ehto?






(c) Mikä on ehto?

(d) Mitä tarkoittavat ongelmassa esiintyvät käsitteet?

Onko ehto mahdollista toteuttaa?






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen?






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön?






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko seylimääräinen?






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko seylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen?






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko seylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen?Piirrä kuva, jos mahdollista.






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko seylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen?Piirrä kuva, jos mahdollista.Käytä sopivia merkintöjä.






(c) Mikä on ehto?


Onko ehto mahdollista toteuttaa? Onko ehto riittävätuntemattoman määräämiseen? Onko se riittämätön? Onko seylimääräinen? Vai jopa, onko se ristiriitainen?Piirrä kuva, jos mahdollista.Käytä sopivia merkintöjä.Jaa ehtoosiin, jos mahdollista.


RatkaisustrategiaRatkaisustrategiaa varten on syytä miettiä



◮ Oletko nähnyt ongelmaa ennen?




◮ Oletko nähnyt ongelman jossakin toisessa muodossa?





◮ Voiko joitakin tunnettuja lauseita tai jo ratkaistuja ongelmiakäyttää?

1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.






1. Etsi datan ja tuntemattoman välinen yhteys.Edellistä vartensaatat joutua tarkastelemaan apuongelmia, jos välitöntäyhteyttä ei löydy.







2. Jos et pysty ratkaisemaan ongelmaa heti, tarkasteleyksinkertaisempaa ongelmaa, esim. alkuperäisen jotainerityistapausta.








3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi.








3. Hajota ongelma pienemmiksi osaongelmiksi.

4. Tee suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi.


Suunnitelman toteutus

Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainenvälivaihe.



Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainenvälivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa?



Kun toteutat päättämäsi ratkaisustrategian, niin tarkista jokainenvälivaihe. Nähdäänkö selvästi, että välivaiheet ovat kunnossa?Voidaanko osoittaa, että ne ovat oikein?


Ratkaisun tarkastelu

Tutki saamaasi ratkaisua.




◮ Voitko tarkistaa tuloksen?





◮ Voitko tarkistaa käyttämäsi päättelyn?






◮ Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin?






◮ Voidaanko tulos päätellä jotenkin toisin?

◮ Voidaanko käyttämääsi menetelmää käyttää jonkin muunongelman ratkaisuun?


Esimerkkejä

Esim. 13

Tarkastellaan sateisen ja sateettoman päivän esiintymistä.Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että sateeton tarkoittaaaurinkoista ja että ss , as , sa ja aa tarkoittavat todennäköisyyksiä

◮ ss on todennäköisyys(tn.), että sadepäivän jälkeen onsadepäivä;

◮ as on tn., että sadepäivän jälkeen on aurinkoinen päivä;

◮ sa on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on sadepäivä;

◮ aa on tn., että aurinkoisen päivän jälkeen on aurinkoinen pv.

(a) Osoita, että ss − sa = aa − as .

(b) Sanotaan, että ”sadepäivä seuraa sadepäiväätodennäköisemmin kuin sateetonta päivää. Mitä edellinentarkalleen ottaen tarkoittaa todennäköisyyksin ilmaistuna?


Esimerkkejä

Esim. 14

Perustele geometrisesti binomin neliön kaavat

◮ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 kaikilla a, b > 0,

◮ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 kaikilla a, b > 0,

geometrisesti. Pätevätkö tulokset kaikilla a, b ∈ R? Jos pätee, niinmiten perustelet ne?


Esimerkkejä”Osoitetaan”, että 4 = 5. Lisätään yhtälöön

16 − 2 · 4 · 9

2= 25 − 2 · 5 · 9

2

puolittain 81

4=

(

9

2

)2, jolloin

16 − 2 · 4 · 9

2+

81

4= 25 − 2 · 5 · 9

2+

81

4.

Käyttämällä binomin neliön kaavaa saadaan

(

4 − 9

2

)2=

(

5 − 9

2

)2.

Ottamalla edellisestä puolittain neliöjuuret saadaan

4 − 9

2= 5 − 9

2⇔ 4 = 5!.

Missä vika?Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 52

Esimerkkejä

Esim. 15

Määrää toisen asteen yhtälölle ax2 + bx + c = 0 ratkaisukaavatoteuttamalla seuraavaa ratkaisustrategiaa

◮ Tarkastele aluksi tapausta a = 0 ja ratkaise se.

◮ Koska tapaus a = 0 on ratkaistu, tarkastellaan loppuosassatapausta a 6= 0. Oletetaan ensin, että b = 0, ja ratkaistaantämä tapaus.

◮ Mieti miten tapaus a, b 6= 0 voidaan palauttaa edelliseentapaukseen? (Vihje: käytä neliöimismenettelyä).

Kun suoritat edellä mainitut kohdat, perustele kussakin kohdassatarkasti millä parametrien a, b ja c ehdoilla yhtälö on ratkeava.


Esimerkkejä

Esim. 16

◮ Osoita, että kaikista suorakulmioista, joiden piiri on vakio L,suurin on neliö.

◮ Mikä yhteys edellisellä ongelmalla on aritmeettis-geometriseenepäyhtälöön? Kyseinen epäyhtälö on

x1 + x2 + · · ·+ xn

n≥ n

√x1 · x2 · · · xn

kaikilla n = 1, 2, . . . ja x1, x2, . . . , xn ≥ 0. Epäyhtälössä päteeyhtäsuuruus jos ja vain jos x1 = x2 = · · · = xn.

◮ Osoita aritmeettis-geometrista epäyhtälöä käyttäen, ettäsuorakulmaisista särmiöistä, joiden pinnan ala on vakio S ,tilavuudeltaan suurin on kuutio.


Lukujoukoista

Tarkastellaan kaikille koulusta tuttuja lukujoukkoja. Ensimmäiselläluokalla tutustuttiin luonnollisiin lukuihin. Luonnollisten lukujenjoukolle käytetään merkintää N, joka on

N = {0, 1, 2, . . . }.


Lukujoukoista


N = {0, 1, 2, . . . }.

Seuraavaksi tutustutaan kokonaislukuihin. Kokonaislujen joukollekäytetään merkintää Z, joka on

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }.


Lukujoukoista


N = {0, 1, 2, . . . }.


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }.

Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuumuotoa m

n, missä m, n ovat kokonaislukuja ja n 6= 0, olevista

luvuista.


Lukujoukoista


N = {0, 1, 2, . . . }.


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }.

Rationaalilukujen joukolle käytetään merkintää Q ja se koostuumuotoa m

n, missä m, n ovat kokonaislukuja ja n 6= 0, olevista

luvuista.Lopulta päädytään reaalilukujen joukkoon R, jota voidaan ajatellalukusuorana. Jokainen lukusuoran piste vastaa tiettyä reaalilukua.


Lukujoukoista

Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaamerkintää,

Z+ = {1, 2, . . . },Z−

= {−1,−2, . . . }.


Lukujoukoista

Usein positiivisille ja negatiivisille konaisluvuille käytetään omaamerkintää,

Z+ = {1, 2, . . . },Z−

= {−1,−2, . . . }.

Jokainen luonnollinen luku on myös kokonaisluku, jokainenkokonaisluku on rationaaliluku ja jokainen rationaaliluku onreaaliluku. Sellaisia reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja,sanotaan irrationaaliluvuiksi.


Lukujoukkojen ominaisuuksista

Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujenlukujoukkojen ominaisuuksia.



Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujenlukujoukkojen ominaisuuksia.Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksilaskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku (·).



Tutkitaan seuraavassa hieman tarkemmin edellä mainittujenlukujoukkojen ominaisuuksia.Luonnollisten lukujen joukossa voidaan määritellä kaksilaskutoimitusta, yhteenlasku (+) ja kertolasku (·). Lukua m + n

sanotaan lukujen m ja n summaksi ja lukua m · n lukujen m ja n

tuloksi.





tuloksi.Yhteenlaskun avulla voidaan määritellä järjestys < asettamalla

m < n jos ja vain jos on olemassa sellainen luonnollinen lukup 6= 0, että n = m + p.







Järjestyksellä ≤ tarkoitetaan, että m ≤ n jos ja vain jos m = n taim < n.







Järjestyksellä ≤ tarkoitetaan, että m ≤ n jos ja vain jos m = n taim < n.

Esim. 17

Osoita, että 5 > 2.


Luonnollisten lukujen laskutoimitukset

Myös lukujen vähennyslasku (−) voidaan määritellä tietyinvarauksin. Nimittäin voidaan määritellä, että

Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m ≤ n, niin luonnollistalukua p, jolle m + p = n, sanotaan lukujen m ja n erotukseksi ja

merkitään p = n − m.






Yhteenlasku ja kertolasku toteuttavat tutut laskusäännöt.Yhteenlaskulle pätee

◮ m + n = n + m (vaihdantalaki)







◮ m + n = n + m (vaihdantalaki);

◮ (m + n) + p = m + (n + p) (liitäntälaki).

Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet.







◮ m + n = n + m (vaihdantalaki);

◮ (m + n) + p = m + (n + p) (liitäntälaki).

Myös kertolaskulla on samat ominaisuudet. Lisäksilaskutoimituksille pätee

◮ m · (n + p) = m · n + m · p (osittelulaki).


Laskutoimitusten ominaisuudet

Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt:

◮ m = n jos ja vain jos m + p = n + p kaikilla luonnollisillaluvuilla.


Laskutoimitusten ominaisuudet

Yhteen- ja kertolaskulle pätevät seuraavat supistussäännöt:

◮ m = n jos ja vain jos m + p = n + p kaikilla luonnollisillaluvuilla.

◮ jos m = n, niin p · m = p · n kaikilla luonnollisilla luvuilla p.Kääntäen, jos p 6= 0, niin ehdosta p · m = p · n seuraa, ettäm = n.


Esimerkkejä

Esim. 18

◮ Miksi voidaan kirjoittaa a+ b + c merkintöjen (a + b) + c taia + (b + c) sijaan?

◮ Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaannopeasti laskea summa 3 + (85 + 97).

◮ Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan5 + 6 + 5 + 3 + 4 laskemiseen.


Esimerkkejä

Esim. 18

◮ Miksi voidaan kirjoittaa a+ b + c merkintöjen (a + b) + c taia + (b + c) sijaan?

◮ Näytä miten vaihdanta- ja liitäntälakia käyttäen voidaannopeasti laskea summa 3 + (85 + 97).

◮ Hyödynnä laskutoimitusten ominaisuuksia summan5 + 6 + 5 + 3 + 4 laskemiseen.

Esim. 19

Ratkaise N:ssä (jokainen välivaihe perustellen) yhtälöt

◮ 5(x + 6) = 30;

◮ 6(x + 2) = 6x + 12;

◮ (x + 1)(x + 2) = 5x + 5 käyttämättä toisen asteen yhtälönratkaisukaavaa.


Jaollisuus

Tarkastellaan vielä lopuksi luonnollisten lukujenjaollisuusominaisuuksia. Ensinnäkin, mitä jaollisuudellatarkoitetaan?


Jaollisuus


Määr. 1

Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisellaluvulla m 6= 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k , ettän = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaaluvun n ja merkitään m|n.


Jaollisuus


Määr. 1

Sanotaan, että luonnollinen luku n on jaollinen luonnollisellaluvulla m 6= 0, jos on olemassa sellainen luonnollinen luku k , ettän = km. Lukua m sanotaan luvun n tekijäksi tai että m jakaaluvun n ja merkitään m|n.

Esimerkiksi 2|6, sillä 6 = 3 · 2.


Jaollisuus

Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2|52, mutta 3 ei jaa lukua52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 · 3 + 1.


Jaollisuus

Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2|52, mutta 3 ei jaa lukua52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 · 3 + 1.Yleisestipätee

Lause 1 (Jakoyhtälö)

Jos m, n 6= 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa

yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että

m = q · n + r ja 0 ≤ r < n.


Jaollisuus

Tarkastellaan lukua 52. Nyt esimerkiksi 2|52, mutta 3 ei jaa lukua52, mutta se voidaan esittää muodossa 52 = 17 · 3 + 1.Yleisestipätee

Lause 1 (Jakoyhtälö)

Jos m, n 6= 0 ovat luonnollisia lukuja, niin on olemassa

yksikäsitteiset luvut q ja r siten, että

m = q · n + r ja 0 ≤ r < n.

Luku n on parillinen, jos se on jaollinen luvulla 2. Jos luku ei oleparillinen, niin sen sanotaan olevan pariton. Jakoyhtälön mukaanjälkimmäisessä tapauksessa n voidaan kirjoittaa muodossan = 2k + 1 jollakin luonnollisella luvulla k .


Alkuluvut

Erityisessä asemassa ovat alkuluvut.

Määr. 2

Lukua n > 1 sanotaan alkuluvuksi, jos sillä ei ole muita tekijöitäkuin 1 ja n.


Alkuluvut


Määr. 2


Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavastalauseesta.

Lause 2 (Aritmetiikan peruslause)

Jokainen luonnollinen luku n ≥ 2 voidaan esittää täsmälleen

yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei

huomioida ko. tulossa.


Alkuluvut


Määr. 2


Miksi alkuluvut ovat erityisessä asemassa, paljastuu seuraavastalauseesta.

Lause 2 (Aritmetiikan peruslause)

Jokainen luonnollinen luku n ≥ 2 voidaan esittää täsmälleen

yhdellä tavalla alkulukujen tulona, kun tekijöiden järjestystä ei

huomioida ko. tulossa.

Esimerkiksi 105 voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa105 = 3 · 5 · 7.


Esimerkkejä

Esim. 20

Osoita, että jaollisuudella on seuraavat ominaisuudet:

◮ Jos k |a ja k |b, niin k |(a + b) (summan jaollisuussääntö).

◮ Jos k |a ja r on luonnollinen luku, niin k |(ra) (tulonjaollisuussääntö).

Miten edellisistä seuraa, että jos k |a ja k |b, niin k |(ra + sb)kaikilla luonnollisilla luvuilla r ja s?

Esim. 21

◮ Määrää lukujen 42 ja 70 tekijät.

◮ Esitä luvut 42 ja 70 alkutekijöiden tulona.

◮ Jos p1, p2, . . . , pn ovat alkulukuja, niin mitä voidaan sanoaluvun p1 · p2 · · · pn + 1 alku(luku)tekijöistä?


Esimerkkejä

Esim. 22

Lukua d sanotaan lukujen m ja n yhteiseksi tekijäksi, jos d |m jad |n. Määrää lukujen 182 ja 442 suurin yhteinen tekijä

(a) määräämällä ko. lukujen kaikki tekijät.

(b) käyttämällä aritmetiikan peruslausetta.

Esim. 23

◮ Osoita, että parittomien lukujen summa on parillinen.

◮ Osoita, että parittomien lukujen tulo on pariton.

◮ Osoita, että jos n2 on parillinen, niin n on parillinen (Vihje:

Käytä epäsuoraa päättelyä).

◮ Olkoon n pariton luonnollinen luku. Osoita, että 8|(n2 − 1).


Kokonaisluvut

Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotusvoidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko.rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotustulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuulisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut.


Kokonaisluvut

Edellä todettiin, että luonnollisten lukujen joukossa myös erotusvoidaan tietyin edellytyksin määritellä. Haluamme päästä ko.rajoituksesta eroon, jolloin N:ää on laajennetteva niin, että erotustulee määritellyksi kaikille luonnollisille luvuille. Tämä tapahtuulisäämällä luonnollisten lukujen joukkoon myös negatiiviset luvut.Yhtälö m + x = 0 toteutuu N:ssä jos ja vain jos m = x = 0.Vaaditaan, että laajennetussa joukossa jokaista luonnollista lukuam kohti on olemassa sellainen luku x , että m + x = 0. Lukua x

sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintääx = −m.


Kokonaisluvut


sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintääx = −m.Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälönn + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikillaluvuilla m ja n.


Kokonaisluvut


sanotaan luvun m vastaluvuksi, jolle käytetään merkintääx = −m.Tällöin lukujen m ja n erotus voidaan määritellä yhtälönn + x = m ratkaisuna ja vähennyslasku tulee määritellyksi kaikillaluvuilla m ja n.Uuden lukujoukon lukuja sanotaan kokonaisluvuiksi, joidenjoukkoa merkitään symbolilla Z.


Kokonaisluvut

Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä.


Kokonaisluvut

Kokonaislukujen joukolla on siis jo enemmän rakennetta kuin N:llä.Z:ssa on määritelty kolme laskutoimitusta +,−, · kahden sijaan jajokaisella kokonaisluvulla on vastaluku.


Rationaaliluvut

Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymälläN:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa.


Rationaaliluvut

Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymälläN:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa.Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1,jolloin x = ±1.


Rationaaliluvut

Vaikka edellä saatiin hyviä lisäominaisuuksia mukaan siirtymälläN:stä Z:aan, ei esimerkiksi yhtälöllä 2x = 3 ole ratkaisua Z:ssa.Yleisesti yhtälöllä ax = 1 on ratkaisu Z:ssa jos ja vain jos a = ±1,jolloin x = ±1.Vaaditaan, että uudessa lukujoukossa yhtälöllä ax = b on ratkaisukaikilla luvuilla b ja a 6= 0. Ratkaisulle käytetään merkintää x = m

n

ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi.


Rationaaliluvut


n

ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, josb = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi.


Rationaaliluvut


n

ja sitä sanotaan lukujen m ja n osamääräksi. Erityisesti, josb = 1, niin lukua x sanotaan luvun a käänteisluvuksi.Lukuja m

n, missä m, n ovat kokonaislukuja ja n 6= 0, sanotaan

rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q.


Rationaaliluvut


n



rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q.Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitunlaskutoimituksen +,−, · lisäksi jakolasku ÷.


Rationaaliluvut


n



rationaaliluvuiksi, joiden joukkoa merkitään symbolilla Q.Uudessa lukujoukossa on määritelty kolmen edellä mainitunlaskutoimituksen +,−, · lisäksi jakolasku ÷.Jälleen saatiin lisää rakennetta Z:aan verrattuna, sillä jokaisellenollasta eroavalle luvulle löytyy käänteisalkio ja saatiin uusilaskutoimitus.


Reaaliluvut

Edellä tuli jo neljä peruslaskutoimitusta määritellyiksi, joten mihinenää uusia lukuja tarvitaan?


Reaaliluvut

Edellä tuli jo neljä peruslaskutoimitusta määritellyiksi, joten mihinenää uusia lukuja tarvitaan?Pythagoraan (Pythagoras, 582-496 eaa.) lauseen mukaanyksikköneliön hypotenuusan pituus x on kateettien pituuksienneliöiden summa eli x2 = 2. Nyt kuitenkaan 2 ei ole rationaaliluku.


Reaaliluvut

Edellä tuli jo neljä peruslaskutoimitusta määritellyiksi, joten mihinenää uusia lukuja tarvitaan?Pythagoraan (Pythagoras, 582-496 eaa.) lauseen mukaanyksikköneliön hypotenuusan pituus x on kateettien pituuksienneliöiden summa eli x2 = 2. Nyt kuitenkaan 2 ei ole rationaaliluku.Asia askarrutti Pythagoraan koulukuntaa siinä määrin, että seyritettiin salata.


Reaaliluvut

Edellä tuli jo neljä peruslaskutoimitusta määritellyiksi, joten mihinenää uusia lukuja tarvitaan?Pythagoraan (Pythagoras, 582-496 eaa.) lauseen mukaanyksikköneliön hypotenuusan pituus x on kateettien pituuksienneliöiden summa eli x2 = 2. Nyt kuitenkaan 2 ei ole rationaaliluku.Asia askarrutti Pythagoraan koulukuntaa siinä määrin, että seyritettiin salata.Irrationaalilukuja on itse asiassa niin paljon, että lukusuoralla millätahansa välillä on ääretön määrä irrationaalilukuja. Ilmanirrationaalilukuja lukusuoralla olisi aukkoja ”tiheässä”.Irrationaalilukujen mukaan ottaminen paikkaa nämä aukot.


Esimerkkejä

Esim. 24

Jokaisella rationaaliluvulla on äärettömän monta erilaistaesitysmuotoa, esimerkiksi 2

3= 2·2

2·3= 4

6= 6

9= . . ..

(a) Jos tiedetään, että

m

n+

p

n=

m + p

n,

niin miten voidaan laskea mn+ p

q?

(b) Osoita, että rationaalilukujen yhteenlasku on vaihdannainen.

Esim. 25

Osoita, että√

2 on irrationaaliluku (Vihje: Tee väitteellevastaoletus

√2 = m

n, missä voidaan olettaa, että lukujen m ja n

suurin yhteinen tekijä on 1).


Esimerkkejä

Esim. 26

Tarkastellaan väittämiä:

(a) Jos x 6= 0 on rationaaliluku ja y on irrationaaliluku, niinx + y on irrationaaliluku.

(b) Jos x ja y ovat rationaalilukuja, niin x + y on rationaaliluku.

(c) Jos x ja y ovat irrationaalilukuja, niin x + y onirrationaaliluku.

Todista, että väittämät (a) ja (b) ovat totta, ja keksi sopivavastaesimerkki, jonka mukaan (c) on epätosi.


Joukko-oppia

Useimpien opinnoissa riittää ns. naiivin joukko-opin tuntemus.Tällä tarkoitetaan sitä, että käsitteet ’joukko’, ’alkio’, ’kuuluujoukkoon’ ja ’ei kuulu joukkoon’ ovat niin itsestään selviäkäsitteitä, ettei niitä tarvitse erikseen määritellä.


Joukko-oppia

Useimpien opinnoissa riittää ns. naiivin joukko-opin tuntemus.Tällä tarkoitetaan sitä, että käsitteet ’joukko’, ’alkio’, ’kuuluujoukkoon’ ja ’ei kuulu joukkoon’ ovat niin itsestään selviäkäsitteitä, ettei niitä tarvitse erikseen määritellä.Sovitaan, että joukko koostuu alkioista. Merkitään x ∈ A, jos x

kuuluu joukkoon A (x on joukon A alkio). Muussa tapauksessamerkitään x 6∈ A.


Joukko-oppia


kuuluu joukkoon A (x on joukon A alkio). Muussa tapauksessamerkitään x 6∈ A.Usein joukolle käytetään merkintää

S = {x ∈ X |p(x)},

missä X on jokin perusjoukko ja p(x) on alkiota x koskeva ehto.Jos p(x) toteutuu, niin x ∈ S . Muussa tapauksessa x 6∈ S .


Joukko-oppia


kuuluu joukkoon A (x on joukon A alkio). Muussa tapauksessamerkitään x 6∈ A.Usein joukolle käytetään merkintää

S = {x ∈ X |p(x)},

missä X on jokin perusjoukko ja p(x) on alkiota x koskeva ehto.Jos p(x) toteutuu, niin x ∈ S . Muussa tapauksessa x 6∈ S .Esimerkiksi {x ∈ R|x2 + 2x − 3 = 0} = {−3, 1}.


Joukko-oppia

Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B , jos niiden alkioton samat.


Joukko-oppia

Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B , jos niiden alkioton samat.Jos joukon alkioiden lukumäärä on n ∈ N, niin sanotaan, ettäjoukko on äärellinen. Muussa tapauksessa joukkoa sanotaanäärettömäksi. Esimerkiksi joukossa {n ∈ N|n ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4}on 5 alkiota, joten se on äärellinen. Toisaalta esimerkiksi N onääretön joukko.


Joukko-oppia

Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B , jos niiden alkioton samat.Jos joukon alkioiden lukumäärä on n ∈ N, niin sanotaan, ettäjoukko on äärellinen. Muussa tapauksessa joukkoa sanotaanäärettömäksi. Esimerkiksi joukossa {n ∈ N|n ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4}on 5 alkiota, joten se on äärellinen. Toisaalta esimerkiksi N onääretön joukko.Joukko A on joukon B osajoukko ja merkitään A ⊂ B , josjokainen A:n alkio kuuluu myös joukkoon B toisin sanoen

x ∈ A ⇒ x ∈ B kaikilla x ∈ A.


Joukko-oppia

Joukot A ja B ovat samat ja merkitään A = B , jos niiden alkioton samat.Jos joukon alkioiden lukumäärä on n ∈ N, niin sanotaan, ettäjoukko on äärellinen. Muussa tapauksessa joukkoa sanotaanäärettömäksi. Esimerkiksi joukossa {n ∈ N|n ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4}on 5 alkiota, joten se on äärellinen. Toisaalta esimerkiksi N onääretön joukko.Joukko A on joukon B osajoukko ja merkitään A ⊂ B , josjokainen A:n alkio kuuluu myös joukkoon B toisin sanoen

x ∈ A ⇒ x ∈ B kaikilla x ∈ A.

Joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota, sanotaan tyhjäksi joukoksi jasitä merkitään symbolilla ∅. Huomaa, että ∅ ⊂ A kaikilla joukoillaA.


Esimerkkejä

Esim. 27

Jos perusjoukkoa ei täsmennetä, joudutaan vaikeuksiin. Nimittäin,olkoon M kaikkien sellaisten joukkojen A muodostama joukko,että A ei ole itsensä alkio. Esimerkiksi A = {1} ∈ M, sillä joukonA ainoa alkio on luku 1 ja A itse on joukko, joten A ei ole itsensäalkio. Tutki, onko M itsensä alkio (Russelin paradoksi (B. Russell,1872-1970)).


Joukkojen perusoperaatiot

Olkoot A,B ⊂ X , missä X on perusjoukko. Tällöin

◮ A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A tai x ∈ B} (joukkojen A ja B

yhdiste);





yhdiste);

◮ A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A ja x ∈ B} (joukkojen A ja B

leikkaus);





yhdiste);


leikkaus);

◮ A \ B = {x ∈ X | x ∈ A ja x /∈ B} (joukkojen A ja B erotus);





yhdiste);


leikkaus);


◮ Ac = X \ A = {x ∈ X | x /∈ A} (A:n komplementti).





yhdiste);


leikkaus);



Huomaa, että erotus voidaan toisaalta kirjoittaa komplementin jaleikkauksen avulla muodossa A \ B = A ∩ Bc .





yhdiste);


leikkaus);



Huomaa, että erotus voidaan toisaalta kirjoittaa komplementin jaleikkauksen avulla muodossa A \ B = A ∩ Bc .Joukko-operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin

diagrammien avulla.


Joukkojen perusoperaatiotYhdisteelle ja leikkaukselle pätee

Lause 3

Olkoot A,B ,C joukkoja. Tällöin

◮ A ∪ ∅ = A;

◮ A ∪ A = A;

◮ A ∪ B = B ∪ A;

◮ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ).


Joukkojen perusoperaatiotYhdisteelle ja leikkaukselle pätee

Lause 3

Olkoot A,B ,C joukkoja. Tällöin

◮ A ∪ ∅ = A;

◮ A ∪ A = A;

◮ A ∪ B = B ∪ A;

◮ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ).

Lause 4

◮ A ∩ ∅ = ∅;◮ A ∩ A = A;

◮ A ∩ B = B ∩ A;

◮ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).


Joukko-operaatiot

Lause 5 (Osittelulait)

◮ A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

◮ A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).


Joukko-operaatiot


◮ A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

◮ A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Lause 6 (DeMorganin lait)

◮ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ;

◮ (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc .


Joukko-operaatiot


◮ A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );

◮ A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

Lause 6 (DeMorganin lait)

◮ (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ;

◮ (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc .

Huomautus 3

Joukot voidaan osoittaa samoiksi näyttämällä, että ne sisältyvättoisiinsa, toisin sanoen A = B ⇔ A ⊂ B jaB ⊂ A.


Esimerkkejä

Esim. 28

Mitkä seuraavista joukoista on samat?

◮ A = {−1, 1, 2};◮ B = {−1, 2, 1, 2};◮ C = {n ∈ Z| |n| ≤ 2 ja n 6= 0};◮ D = {2,−2} ∪ {1,−1};◮ E = {−2,−1, 1, 2} ∩ {−1, 0, 1, 2, 3}.

Esim. 29

◮ Havainnollista joukko-opin osittelulakeja Vennin diagrammienavulla.

◮ Osoita ensimmäinen osittelulaki.


Esimerkkejä

Esim. 30

Olkoon perusjoukko X = {n ∈ Z+|n ≤ 10} = {1, 2, . . . , 10},A = {x ∈ X | x on parillinen} ja B = {x ∈ X | x on alkuluku}.Muodosta joukot A,B , A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A, Ac ja Bc .

Esim. 31

Yhtälöllä x + y = z on useita ratkaisuja x , y , z ∈ Z+ ja yhtälölläx2 + y2 = z2 myös, esimerkiksi x = 3, y = 4 ja z = 5. Olkoon

F = {n ∈ Z+|xn + yn = zn joillakin x , y , z ∈ Z+}.

Mitä pitää tehdä, jos halutaan osoittaa, että F = {1, 2}? Mitätämä kertoo meille joukkojen yhtäsuuruuden osoittamisestayleisellä tasolla?


Documents

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)s-mat-pcs.oulu.fi/~jukemppa/Johdatus_luennot2011_1...(vertaa esimerkiksi fysiikassa Einsteinin korjaukset Newtonin liikelakeihin ja