KompleksianalyysiFunktiot

Jukka Kemppainen

Mathematics Division

Kompleksimuuttujan funktio

Aloitetaan funktion määritelmällä.

Määr. 1

Kompleksimuuttujan funktio f : C → C on sääntö, joka liittääjoukkoon A ⊂ C joukon B ⊂ C. Joukkoa B sanotaan A:n kuvaksija merkitään B = f (A). Jos A = {z} jollekin z ∈ C ja w ∈ f (A),niin merkitään w = f (z).

Koska funktio määritellään joukolta joukolle, on mahdollista, ettäfunktio voi olla moniarvoinen, eli f (z) ei välttämättä oleyksikäsitteinen. Jos jokaista z ∈ C vastaa täsmälleen yksi

w ∈ f (z), niin sanotaan, että f on yksiarvoinen.

2 / 27

Joitakin alkeisfunktioita

Funktiota, joka liittää jokaiseen z ∈ C

◮ potenssin zn, n ∈ Z, sanotaan potenssifunktioksi.

◮ juuren n

√z , sanotaan juurifunktioksi.

◮ murtopotenssin zm/n, sanotaan murtopotenssifunktioksi.

◮ kompleksisen eksponentin ez , sanotaan eksponenttifunktioksi.

◮ polynomin P(z), sanotaan polynomifunktioksi.

◮ polynomien P ja Q 6= 0 osamäärän R(z) = P(z)Q(z) , sanotaan

rationaalifunktioksi.

◮ . . .

3 / 27

Yksiarvoinen vs. moniarvoinen funktio

Ensimmäisellä viikolla käsiteltyjen potenssin,juuren,. . . määritelmien mukaan

◮ potenssifunktio w = zn on yksiarvoinen,

◮ juurifunktio w = n

√z on moniarvoinen, kun n > 1,

◮ murtopotenssifunktio w = zm

n on moniarvoinen, kun mn

/∈ Z,

◮ eksponenttifunktio w = ez on yksiarvoinen,

◮ polynomifunktio w = P(z) on yksiarvoinen,

◮ rationaalifunktio w = R(z) on yksiarvoinen,

◮ . . .

4 / 27

Kompleksifunktion komponentit

Koska kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen, jatkossa lyhyemminkompleksifunktio, on kuvaus f : C → C, on sekämäärittelyjoukon pisteellä z että sen kuvapisteellä w = f (z)reaali- ja imaginaariosa, eli ovat muotoa

z = x + iy ja w = u + iv .

Funktion f (z) reaali- ja imaginaariosa ovat muuttujien x ja y

funktioita, eli

u = u(x , y) = Re f (z) ja v = v(x , y) = Im f (z).

Siten f voidaan esittää muodossa

f (z) = f (x + iy) = u(x , y) + iv(x , y). (1)

5 / 27

Kompleksifunktion komponentit

Kääntäen, jos on annettu funktiot u, v : R2 → R, niin yhtälö (1)määrittelee kompleksifunktion f : C → C.Kompleksifunktio f vastaa siis kahta reaaliarvoista funktiota u jav .

Esim. 1

a) Määrää funktion f (z) = z2 reaali- ja imaginaariosa.

b) Olkoot u(x , y) = x2 + y2 ja v(x , y) = xy . Määrää muuttujanz funktio f , joka toteuttaa ehdon (1). Vihje: Käytä hyväksikaavoja

x = Re z =1

2(z + z) ja y = Im z =

1

2i(z − z) .

6 / 27

Funktioiden geometrinenhavainnollistaminen

Koska funktiossa w = u + iv = f (z) = f (x + iy) esiintyy 4muuttujaa x , y , u, v , edellyttää kompleksifunktionhavainnollistaminen 4-ulotteista avaruutta, joka on geometrisenhavainnointikykymme ulottumattomissa.Kompleksifunktion geometriselle havainnollistamiselle on (ainakin)kaksi vaihtoehtoa:

a) havainnollistetaan funktion reaaliosaa u = Re f jaimaginaariosaa v = Im f erikseen R

3:n 2-ulotteisina pintoinaz = u(x , y) ja z = v(x , y).

b) havainnollistetaan xy -tason käyrien ja alueiden kuvautumistauv -tason käyriksi ja alueiksi.

7 / 27

Reaali- ja imaginaariosa pintoina

Kuvien liittämisessä oli ongelmia. Katso erilliset kuvat. Kuvissa onesitetty funktion f (z) = z2 reaaliosan ja imaginaariosan kuvaajat.

8 / 27

Funktioiden kuvausominaisuuksia

Keskitytään jatkossa ainoastaan b)-kohtaan.

Esim. 2

Tarkastellaan lineaarisen funktion f (z) = az + b (a 6= 0),kuvausominaisuuksia. Olkoot z1, z2, z3 kompleksitason pisteitä,jotka eivät ole samalla suoralla. Pisteet määräävät kolmion∆z1z2z3. Tutki kolmion sivujen pituuksien ja kulmien muuttumistakuvauksessa f . Piirrä kuva, kun a =

√2 +

√2i, b = 1 + i ja

z1 = 0, z2 = 1, z3 = i.

Esim. 3

Miksi alueeksi neliöjuurifunktio f (z) =√

z kuvaa yksikkökiekonylemmän puolikkaan {z ∈ C : y > 0, x2 + y2 < 1}? Mikä onpäähaaran kuva?

9 / 27

Polynomifunktio

◮ Polynomifunktio P(z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0.Kertoimet ai ∈ C, an 6= 0. Luku n on P(z):n aste.

◮ Polynomiyhtälöllä anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0 on n

juurta z1, z2, . . . , zn (joista jotkut voivat olla samoja).Polynomi voidaan Algebran peruslauseen mukaan aina jakaaensimmäisen asteen tekijöihin

P(z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn).

◮ Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat esiintyvät ainakonjugaattipareina. Toisin sanoen, jos z on polynomin P(z),missä ai ∈ R kaikilla i , nollakohta, niin myös z̄ on P :nnollakohta.

10 / 27

Rationaalifunktio◮ Aiemmista esimerkeistä poiketen rationaalifunktion

määritysjoukko ei ole koko C, jos supistetussa muodossaolevan rationaalifunktion R(z) = P(z)

Q(z) nimittäjällä on

nollakohtia.

◮ Q:n nollakohdat ovat R :n napoja ja P :n nollakohdat R :nnollia (jos P :llä ja Q:lla ei ole yhteisiä tekijöitä). Navoilla onerityinen merkitys kuten myöhemmin nähdään.

◮ Ensimmäisen asteen rationaalifunktiota

w = f (z) =az + b

cz + d, missä ad − bc 6= 0,

sanotaan Möbius - muunnokseksi taibilineaarikuvaukseksi.

◮ Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiotovat useimmiten rationaalifunktioita.

11 / 27

Rationaalifunktio

Esim. 4

a) Tutki, mikä on imaginaariakselin kuva bilineaarikuvauksessa

w = f (z) =z − 1

2z + 2.

b) Tutki, onko a)-kuvauksen funktiolla f kiintopisteitä, elipisteitä z ∈ C, joille f (z) = z .

12 / 27

Eksponenttifunktio

Kuten edellä todettiin, kompleksinen eksponenttifunktio on

f (z) = ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).

Kompleksisen eksponentin ominaisuuksien perusteella (ks. Lause4, viikko 1)

◮ e2kπi = 1, k ∈ Z,

◮ ezew = ez+w (potenssin laskusäännöt),

◮ |ez | = ex (pituus), arg ez = y + 2kπ (argumentti),

◮ ez 6= 0 kaikilla z ,

◮ ez+k2πi = ez (2πi-jaksollisuus).

13 / 27

Kuvausominaisuuksia

Eksponenttifunktion kuvausominaisuuksien selvittämisessä auttaaeksponenttiesitys:

f (z) = ez merk= w , w = |w |eiϕ ⇔ exeiy = |w |eiϕ

⇔{

ex = |w | > 0

y = ϕ ( mod 2π)⇔

{

x = ln |w |y = arg w = Arg w + k2π

eli jokainen arvo ez = w 6= 0 saavutetaan z :n arvoilla

z = ln |w |+ i arg w . (2)

14 / 27

Kuvausominaisuuksia

Esim. 5

Tutki, mikä on eksponenttifunktion kuva horisontaaliselleyhdensuuntaisvyölle

{z ∈ C : −π < Im z ≤ π}.

Esim. 6

Tutki, mikä on eksponenttifunktion kuva vertikaaliselleyhdensuuntaisvyölle

{z ∈ C : −π < Re z ≤ π}.

15 / 27

Logaritmifunktio

◮ Logaritmifunktio määritellään funktiona, joka liittää lukuunw ∈ C yhtälön w = ez ratkaisun

z = log w , w ∈ C, w 6= 0.

◮ Kaavan (2) mukaan

log w = ln |w |+ i arg w (3)

eli

log w = ln |w |+ i Arg w + jk2π, k = 0,±1,±2, . . . . (4)

◮ Logaritmifunktio on siis eksponenttifunktionkäänteisfunktio.

16 / 27

Logaritmin haarat

◮ Kiinteällä k :n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jotasanotaan logaritmifunktion haaraksi.

◮ Päähaaraa (k = 0) merkitään

Log w = ln |w |+ i Arg w . (5)

◮ Logaritmin pääarvolla tarkoitetaan logaritmin päähaarallasaamaa arvoa.

17 / 27

Logaritmin laskulait

Yleiselle logaritmifunktiolle log w pätevät normaalit laskulait:

log w1w2 = log w1 + log w2

ja

logw1

w2= log w1 − log w2.

Huomaa, että määritelmän mukaan yhtäsuuruuden molemmatpuolet ovat joukkoja, joten yhtäsuuruus edellyttää oikeidenhaarojen valintaa. Yhtäsuuruus ei päde pääarvolle!

18 / 27

Esimerkkejä

Esim. 7

Logaritmin laskusääntöjen kanssa täytyy olla tarkkana. Osoita,että

a) Log (1 + i)2 = 2Log (1 + i).

b) Log (−1 + i)2 6= 2Log (−1 + i).

Esim. 8

Ratkaise yhtälö e4z + 4e2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossaz = x + iy .

19 / 27

Yleinen potenssi

Nyt kun logaritmifunktio on määritelty, niin yleinen potenssivoidaan määritellä yleinen potenssi asettamalla

zw = ew log z , w ∈ C, z 6= 0, (6)

joka on yhteensopiva reaaliluvuista tutun laskusäännön

xa = e log xa

= ea log x , 0 < x ∈ R, a ∈ R,

kanssa.

Esim. 9

Laske i−2i.

20 / 27

Yleisen potenssin ominaisuuksia

◮ Huomaa, että erityisesti negatiivisen luvun reaalilukupotenssittulevat määritellyiksi kaavalla (6), mikä ei ollut mahdollistareaalianalyysin kurssilla.

◮ Huomaa, että erityisesti murtopotenssi tulee määritellyksikaavalla (6).

◮ Huomaa, että yleisesti sekä pituus |zw | että argumenttiarg zw ovat moniarvoisia, sillä |ez | = ex ja logaritmi onmoniarvoinen.

◮ Kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara.

◮ Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin

zw1+w2 = e(w1+w2) log z = ew1 log z+w2 log z

= ew1 log zew2 log z = zw1zw2 .

21 / 27

Trigonometriset funktiot

Koska eksponenttifunktio on määritelty kaikilla kompleksiluvuilla,voidaan sini ja kosini määritellä kaavoilla

sin z =eiz − e−iz

2i, cos z =

eiz + e−iz

2, z ∈ C,

22 / 27

Ominaisuuksia

1. sin2 z + cos2 z = 1

2. eiz = cos z + i sin z , e−iz = cos z − i sin z

3. sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,

4. cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2

5. sin z :n ja cos z :n nollakohdat ovat reaalisia, z = kπ,z = (k + 1

2)π

6. sin z on pariton, cos z on parillinen

7. sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia

8. sin z ja cos z eivät ole rajoitettuja!

9. sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon!

23 / 27

Esimerkki

Tarkastellaan reaalianalyysiin tottuneelle esimerkkinä ehkähämmästyttävältä kuulostavaa kohtaa 9.

Esim. 10

Ratkaise yhtälö sin z = 3.

24 / 27

Raja-arvo ja jatkuvuus

Oletetaan seuraavassa, että f on yksiarvoinen kompleksifunktio.Käyttämällä esitystä (1) nähdään, että raja-arvon ja jatkuvuudenkäsitteet palautuvat reaalianalyysin vastaaviin käsitteisiin.Aloitetaan raja-arvon määritelmästä.

Määr. 2

Olkoon f (z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z0 ympäristössä,paitsi mahdollisesti pisteessä z = z0. Luku L ∈ C on f :n raja-arvo

pisteessä z0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0,että

|f (z)− L| < ǫ, kun 0 < |z − z0| < δ.

Merkitään limz→z0

f (z) = L tai f (z) → L kun z → z0.

25 / 27

Raja-arvo

Merkitään z = x + iy , z0 = x0 + iy0 ja L = A + iB . Esityksen (1)perusteella on selvää, että

limz→z0

f (z) = L = A + iB ⇔

lim(x ,y)→(x0,y0)

u(x , y) = A

lim(x ,y)→(x0,y0)

v(x , y) = B .

26 / 27

Jatkuvuus

Jatkuvuus määritellään kuten reaalifunktioille.

Määr. 3

Olkoon f : A → C yksiarvoinen kompleksifunktio. Jos

limz→z0

f (z) = f (z0),

niin sanotaan, että f on jatkuva pisteessä z0 ∈ A.Jos f on jatkuva jokaisessa A:n pisteessä, niin sanotaan, että f onjatkuva A:ssa.Jos f on jatkuva C:ssä, sanotaan, että f on jatkuva.

Esityksen (1) perusteella on selvää, että f = u + iv on jatkuva josja vain jos u ja v ovat jatkuvia.Jatkuvuustarkastelut voivat joskus olla hankalia, sillä mahdollisiareittejä lähestyä pistettä z0 on ääretön määrä.

27 / 27