Kompleksna Analiza Prajkovic

8/10/2019 Kompleksna Analiza Prajkovic

1/9

KOMPLEKSNA ANALIZA

SADRAJ

1. KOMPLEKSNA RAVAN I FUKCIJE1.1. Kompleksni broj1.2. Kompleksna ravan1.3. Niz i red kompleksnih brojeva1.4. Kompleksna funkcija

2. IZVOD KOMPLEKSNE FUNKCIJE2.1. Definicija izvoda i Ko i-Rimanovi uslovi2.2. Analiti ke funkcije2.3. Konformno preslikavanje

3. INTEGRAL KOMPLEKSNE FUNKCIJE3.1. Definicija integrala. Izra unavanje svo enjem na realni integral3.2. Koijeva integralna teorema i formula

4. RAZVOJ KOMPLEKSNE FUNKCIJE U RED4.1. Tejlorov red kompleksne funkcije4.2. Loranov red kompleksne funkcije4.3. Singulariteti funkcije

5. RAUN OSTATAKA FUNKCIJA5.1. Definicija ostatka funkcije5.2. Osnovna teorema o ostacima5.3. Primena ostataka na izra unavanje integrala


2/9

1. KOMPLEKSNA RAVAN I FUNKCIJA

1.1. Kompleksan broj

Imaginarna jedinica je takav broj da je . Kompleksan broj je broj oblika

.1.2.Kompleksna ravan

1.3.Niz i red kompleksnih brojeva

1.4.Kompleksna funkcija

Neka su . Funkcija je funkcija kompleksne promenljive.Ovo mo emo zapisati i na drugi nainkao


3/9

Razdvajanjem realnih i imaginarnih delova slika i originala,

moemo pisati

Odakle dobijamo dve realne funkcije od dveju realnih promenljivih

2. IZVOD KOMPLEKSNE FUNKCIJE

2.1. Definicija izvoda i Koi-Rimanovi uslovi

2.2.Analiti ke funkcije

2.3.Konformno preslikavanje

3. INTEGRAL KOMPLEKSNE FUNKCIJE

3.1.Definicija integrala. Izra unavanje svo enjem na realni integral

Integral kompleksne funkcije , pri emu z= , po pozitivno orjentisanojkrivoj se definie pomou para realnih krivolinijskih integrala druge vrste

tj.


4/9

Ak je kriva data u parametarskom obliku

tada je

Stav 1. Va i tvrenje

Primer 1. Pokazati da va i

gde je krug poluprenika sa centrom u ta ki .

3.2. Koijeva integralna teorema i formula

Teorema 1. (Osnovna Koijeva teorema o integraciji analitike funkcije) Ako je analitika funkcija u prostopovezanoj oblasti G tada je integral funkcije po svakoj zatvorenoj delimino glatkoj krivoj koja lei u G jednak nuli, tj. v a i

Teorema 2. (Koijeva integralna formula za analitike funkcije) Ako je analitika

funkcija u oblasti G i tada je


5/9

gde je proizvoljna kontura u oblasti G koja obuhvata taku .

Teorema 3. Ako je analitika funkcija u oblasti G i tada je

gde je proizvoljna kontura u oblasti G koja obuhvata taku .

4. RAZVOJ KOMPLEKSNE FUNKCIJE U RED

4.1.Tejlorov red kompleksne funkcije

Teorema 1. Funkcija koja je analitika u krugu moe se unutar tog kruga razvitiu stepeni red

gde je

Ovaj stepeni red je poznat pod imenom Tejlorov red.


6/9

1.1. Loranov red kompleksne funkcije i izolovani singulariteti

Teorema 1. Funkcija koja je analitika u prstenu moe seunutar tog prstena razviti u red

gde je

Ovaj red je poznat pod imenom Loranov red.

Zadatak 1. Funkciju

razviti u red oko take: ; Reenje:


7/9

Zadatak 2. Funkciju

razviti u red oko take: ; Reenje:

Zadatak 3. Funkciju

razviti u red oko take .

Reenje:


8/9

2. RAUN OSTATAKA FUNKCIJA

2.1.Definicija ostatka funkcije

2.2.Osnovna teorema o ostacima

2.3.Primena ostataka na izra unavanje integrala

Zadatak 3. Izraunati vrednost integrala

Ako je pozitivno orjentisana kriva

Reenje: Jednaina krive se moe napisati u obliku odakle se vidi da je

to krug sa sredi tem u taki S(1,0) i polupre nikom . Funkcija Ima polove 2. reda u ta kama i a 1. reda u ta kama i . Kako je pol

izvan kruga, a ostali su u krugu, to je

= .


9/9

2.4.Primena ostataka na izra unavanje realnih integrala

Literatura:

1. D.S. Mitrinovi , J.D. Keki, Matematika II, Graevinska knjiga,Beograd, 1989.2. D. Milovanevi, M. Stanojevi,Matematika II, Mainski fakultet u Niu, 2003. 3. M. Uumli, Milii, Zbirka zadataka iz Matematike II,

Documents

Kompleksna Analiza Prajkovic