-
1
Kompleksni brojevi
Z / 1. Dokazati da je broj zz
zz+
+1
realan za svako z.
Rjeenje: Neka je iyxz += .Tada je iyxz = .
( ) ( ) ( ) 2222222 12
12
12
11 yxx
yixx
iyxx
iyxiyxiyxiyx
zzzz
++=
+=
+=
++++
=+
+
Time smo dokazali da je dati broj zz
zz+
+1
realan za svako z.
Za samostalan rad: Pokazati da je zz
zz+
1
imaginaran za svako z=x+iy i
0y . Z / 2. Izraunaj: a) ( ) = 51 i ; b) ( ) =+ 81 i
c) ( ) = 63 i ; d) ( ) =+ 931 i Rjeenje:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) == iiii 1111 225 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (
) ( ) ( ) ( ) iiiiiii
iiiiiiii441414122
1121121121212
22
+====
==++=
Ili, na drugi nain:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
iiiiiiiiiiii
iiiiiiii
444422233123312
1313121111
2
2
3222325
+=+
==+==
=++==
b) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] =+=++=+=+ 442428 1212111 iiiii = [ ]
1611622 444 === ii
c) ( ) ( ) ( ) [ ] == += =3322
32632232333 iiiii
( )[ ] ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 64918
33933183393318
331331318
318312
32
3223
33
===+=+=
=
+=
===
iiiii
iii
ii
Ili, na drugi nain:
-
2
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] 64648339333333333
222
23223
236
===+=
=
+=
=
iiii
iiiii
Napomena: Vidimo da je drugi nain u posljednjem zadatku laki.U
prvom sluaju kvadriranjem izraza i3 dobijamo novi kompleksan broj
i322 kojeg nadalje treba kubirati. U drugom sluaju, pak, kubiranjem
izraza i3 dobili smo imaginaran broj (-8i) kojeg je trebalo jo samo
kvadrirati.
d) ( ) ( ) ( ) ( ) = +++= +=+33223
339331331313131 iiiii
[ ] [ ] [ ] 512833338339331 33332 ==+=+++= iiiii
Z / 3. Odrediti realne brojeve x i y iz sljedeih jednakosti:
a) ( ) iiyx 311 +=+ b) ( ) iiyxyx 322 =+ c) ( ) ( ) iyixi =++ 11
d) ( ) ( ) iyixi +=+ 34132 Napomena: Definicja: Dva kompleksna
broja: 111 iyxZ += i 222 iyxZ += su jednaka onda i samo onda ,ako
je realni dio prvog jednak realnom dijelu drugog tj. 21 xx = i
imaginarni dio prvog jednak imaginarnom dijelu drugog kompleksnog
broja tj. 21 yy = . Dakle:
22112121
21212211
iyxiyxyyxxyyxxiyxiyx
+=+====+=+
Ili krae napisano,imamo: 21212211 yyxxiyxiyx ==+=+ Rjeenje: a) (
) iiyx 311 +=+ ( ) ( )41311 ==== yxyx b) ( ) ( ) ===+ 3202322
yxyxiiyxyx
( ) ( )( ) ( ) ( )1212332
342322======
====yxyyxyyx
yyyxyxyx
c) ( ) ( ) =++=++ iyiyxixiyixi 11
-
3
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
==
+==+==
+==+++==+==+=++
21
211
21112
1011010
yxxyxxyx
xyxxxyyxxyyxiixyyx
d) ( ) ( ) iyixi +=+ 34132 += iiyyixx 3432
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )11132
111132112833214332
143323432
======
=+====+=++
xyxyxxyx
xxyxyxyxyxyxiiyxyx
Z / 4. Odrediti realne brojeve x i y, ako je :
( ) ( ) ( )1,7,1,3 = yx Rjeenje: ( ) ( ) ( )1,7,1,3 = yx ( ) (
)1,73,3 =++ yxyx 1373 =+=+ yxyx
( )
2113113101013739
1371331373
========+
==+==+
xyyxyyxyyxyy
yxyyyxyx
Dakle, ( ) ( )1,2, =yx . Ili,na drugi nain:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1,21010,
1020
103
107,
101
1021
101,
1031,71,31,7,1,7,1,3 1
=
=
+=
=
=== yxyx
