3
1 Kompleksni brojevi Z / 1. Dokazati da je broj z z z z 1 realan za svako z. Rješenje: Neka je iy x z = .Tada je iy x z - = . ( ( ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 y x x y i x x iy x x iy x iy x iy x iy x z z z z = - = - = - - = Time smo dokazali da je dati broj z z z z 1 realan za svako z. Za samostalan rad : Pokazati da je z z z z - 1 imaginaran za svako z=x+iy i 0 y . Z / 2. Izračunaj: a) ( = - 5 1 i ; b) ( = 8 1 i c) ( = - 6 3 i ; d) ( = 9 3 1 i Rješenje: a) ( ( ( ( = - - - = - i i i i 1 1 1 1 2 2 5 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( i i i i i i i i i i i i i i i 4 4 1 4 1 4 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 - = - - = - = - - - = = - - - - - = - - - = Ili, na drugi način: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 4 4 4 4 2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 2 5 - = = - - - = - - - = - - - - = = - - - = - - = - b) ( ( [ ] [ ] [ ] = - = = = 4 4 2 4 2 8 1 2 1 2 1 1 1 i i i i i = [ ] 16 1 16 2 2 4 4 4 = = = i i c) ( ( ( [ ] = - = - = - = - 3 3 2 2 3 2 6 3 2 2 3 2 3 3 3 i i i i i ( [ ] ( ( ( ( ( ( 64 9 1 8 3 3 9 3 3 1 8 3 3 9 3 3 1 8 3 3 1 3 3 1 3 1 8 3 1 8 3 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 - = - = = - - = - - = = - - = = - = - = i i i i i i i i i i Ili, na drugi način:

Kompleksni_brojevi

  • Upload
    ispirac

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 1

    Kompleksni brojevi

    Z / 1. Dokazati da je broj zz

    zz+

    +1

    realan za svako z.

    Rjeenje: Neka je iyxz += .Tada je iyxz = .

    ( ) ( ) ( ) 2222222 12

    12

    12

    11 yxx

    yixx

    iyxx

    iyxiyxiyxiyx

    zzzz

    ++=

    +=

    +=

    ++++

    =+

    +

    Time smo dokazali da je dati broj zz

    zz+

    +1

    realan za svako z.

    Za samostalan rad: Pokazati da je zz

    zz+

    1

    imaginaran za svako z=x+iy i

    0y . Z / 2. Izraunaj: a) ( ) = 51 i ; b) ( ) =+ 81 i

    c) ( ) = 63 i ; d) ( ) =+ 931 i Rjeenje:

    a) ( ) ( ) ( ) ( ) == iiii 1111 225 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiiiiii

    iiiiiiii441414122

    1121121121212

    22

    +====

    ==++=

    Ili, na drugi nain:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    iiiiiiiiiiii

    iiiiiiii

    444422233123312

    1313121111

    2

    2

    3222325

    +=+

    ==+==

    =++==

    b) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] =+=++=+=+ 442428 1212111 iiiii = [ ] 1611622 444 === ii

    c) ( ) ( ) ( ) [ ] == += =3322

    32632232333 iiiii

    ( )[ ] ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) 64918

    33933183393318

    331331318

    318312

    32

    3223

    33

    ===+=+=

    =

    +=

    ===

    iiiii

    iii

    ii

    Ili, na drugi nain:

  • 2

    ( ) ( ) ( ) ( )

    [ ] [ ] 64648339333333333

    222

    23223

    236

    ===+=

    =

    +=

    =

    iiii

    iiiii

    Napomena: Vidimo da je drugi nain u posljednjem zadatku laki.U prvom sluaju kvadriranjem izraza i3 dobijamo novi kompleksan broj i322 kojeg nadalje treba kubirati. U drugom sluaju, pak, kubiranjem izraza i3 dobili smo imaginaran broj (-8i) kojeg je trebalo jo samo kvadrirati.

    d) ( ) ( ) ( ) ( ) = +++= +=+33223

    339331331313131 iiiii

    [ ] [ ] [ ] 512833338339331 33332 ==+=+++= iiiii

    Z / 3. Odrediti realne brojeve x i y iz sljedeih jednakosti:

    a) ( ) iiyx 311 +=+ b) ( ) iiyxyx 322 =+ c) ( ) ( ) iyixi =++ 11 d) ( ) ( ) iyixi +=+ 34132 Napomena: Definicja: Dva kompleksna broja: 111 iyxZ += i 222 iyxZ += su jednaka onda i samo onda ,ako je realni dio prvog jednak realnom dijelu drugog tj. 21 xx = i imaginarni dio prvog jednak imaginarnom dijelu drugog kompleksnog broja tj. 21 yy = . Dakle:

    22112121

    21212211

    iyxiyxyyxxyyxxiyxiyx

    +=+====+=+

    Ili krae napisano,imamo: 21212211 yyxxiyxiyx ==+=+ Rjeenje: a) ( ) iiyx 311 +=+ ( ) ( )41311 ==== yxyx b) ( ) ( ) ===+ 3202322 yxyxiiyxyx

    ( ) ( )( ) ( ) ( )1212332

    342322======

    ====yxyyxyyx

    yyyxyxyx

    c) ( ) ( ) =++=++ iyiyxixiyixi 11

  • 3

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    ==

    +==+==

    +==+++==+==+=++

    21

    211

    21112

    1011010

    yxxyxxyx

    xyxxxyyxxyyxiixyyx

    d) ( ) ( ) iyixi +=+ 34132 += iiyyixx 3432

    ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )11132

    111132112833214332

    143323432

    ======

    =+====+=++

    xyxyxxyx

    xxyxyxyxyxyxiiyxyx

    Z / 4. Odrediti realne brojeve x i y, ako je :

    ( ) ( ) ( )1,7,1,3 = yx Rjeenje: ( ) ( ) ( )1,7,1,3 = yx ( ) ( )1,73,3 =++ yxyx 1373 =+=+ yxyx

    ( )

    2113113101013739

    1371331373

    ========+

    ==+==+

    xyyxyyxyyxyy

    yxyyyxyx

    Dakle, ( ) ( )1,2, =yx . Ili,na drugi nain:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )1,21010,

    1020

    103

    107,

    101

    1021

    101,

    1031,71,31,7,1,7,1,3 1

    =

    =

    +=

    =

    === yxyx