1

KONTROL SİSTEMLERİ DERS NOTLARI..................................................4

A- KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİ................................................4

1.Temel Kavramlar ve Tanımlar 4

1.1- Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Denetim Sistemleri..............................................8

1.2- Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Kontrol Sistemleri.............................8

1.3- Anolog ve Dijital Kontrol Sistemleri........................................................................9

2. Denetim Sistemleri Ve Türleri 9

2.1- Temel Denetim Sistemleri......................................................................................9

2.2- Denetim Etkisi Açısından Denetim Türleri..............................................................9

3. Denetim Sistemlerinin Yapısı Ve Kullanım Alanı....................................10

3.1- Denetim Sistemlerinin Tasarım İlkeleri.................................................................10

B. LABLACE DÖNÜŞÜMÜ 12

1. Lablace Dönüşümü İle İlgili Teoremler....................................................14

2. Standart Giriş Fonksiyonları Ve Lablace Dönüşümleri............................16

2.1-Basamak Fonksiyonu:...........................................................................................16

2.2- Ötelenmiş Birim Basamak Fonksiyonu:..............................................................17

2.3- Darbe Fonksiyonu:..............................................................................................17

2.4- Ani Darbe Fonksiyonu:........................................................................................18

2.5-Rampa Fonksiyonu:..............................................................................................18

2.6- Sinüsoidal Fonksiyon:..........................................................................................19

3. Ters Lablace Dönüşümü ve Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi................19

3.2- G(s) te Katlı Kutupların Bulunmliası Hali.............................................................20

3.3-.......G(s) fonksiyonunda gerçek kökler yoksa, Katsız Karmaşık Eşlenik Kutupların

Bulunması Durumu.....................................................................................................22

4. Doğrusal Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümünde Lablace

Dönüşümlerinden Yararlanılması................................................................23

C. TRANSFER FONKSİYONLARI 25

1. Transfer Fonksiyonun Özellikleri............................................................25

2

D. BLOK DİYAGRAMLARI 27

1. Temel Kavramlar.....................................................................................27

1.1- Açık Çevrim Yada Kapalı Çevrim Transfer Fonksiyonları....................................28

1.2- Bozucu Sinyaller İçeren Kapalı Çevrim Kontrol Sistemleri .29

1.3- Bir Sistemin Blok Diyagramını Çizme..................................................................30

1.4- Çok Değişkenli Sistemlerin Blok Diyagramları Ve Transfer Fonksiyonları...........31

2. Blok Diyagramının Özellikleri..................................................................32

2.1- Blok Diyagramlarının Sadeleştirilmesi.................................................................32

a)Ardışıl Bağlı Bloklar:.........................................................................................33

b)Paralel Bağlı Sistemler:....................................................................................33

c)Toplama Noktasını Bir Bloğun Önüne Kaydırma:.............................................33

dToplama Noktasını Bir Bloğun Arkasına Kaydırma:..........................................33

e)Ayrılma Noktasını Bir Bloğun Önüne Kaydırma:..............................................34

f)6. Ayrılma Noktasını Bir Bloğun Arkasına Kaydırma:.......................................34

g)Ayrılma Noktasını Bir Toplama Noktasının Önüne Kaydırma:.........................34

h)Ayrılma Noktasını Bir Toplama Noktasının Önüne Kaydırma:.........................34

3

KONTROL SİSTEMLERİ DERS NOTLARI

A- KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİŞ

1.Temel Kavramlar ve Tanımlar

1. Sistem : Bir amacı gerçekleştirmek için düzenlenmiş ve bütün bir birim olarak

hareket etmek üzere birleştirilen etkileşimli yau da bilişikli etkisel elemanlar düzenidir.

2. Denetim : Bir değişken niceliğin ya da değişken nicelikler kümesinin önceden

belirlenmiş bir şarta uyumunu sağlamaya yönelik olarak gerçekleştirilen işlemler

bütünüdür.

3. Denetim Sistemi : Kendisini ve diğer bir sistemi kumanda etmek yönlendirmek

veya ayarlamak üzere birleştirilen fiziksel organlar kümesidir.

4. Otomatik Denetim : Bir sistemde denetim faaliyetlerinin insan girişimi olmaksızın

önceden belirlenen bir amaca göre denetimi ve yönlendirilmesidir.

5. Denetlenen Sistem : Amacı özel bir işlemi yerine getirmek olan, birlikte çalışan

makineler tanımı veya bir cihazdır.

Temel Kavramları Gösteren Geri Beslemeli Sistem Blok Şeması

6. Giriş : Denetim sisteminden belli bir sinyal almak üzere bir dış enerji kaynağından

sisteme uygulanan uyarıdır.

z

z

o

V

04

Giriş burasıdır.

7. Çıkış : Denetim sisteminden sağlanan gerçek cevaptır.

8. Ayar Noktası ve Ayar Değeri : Denetim sistemlerine sabit bir kumanda değerinin

ayarlandığı nokta ve değeridir.

C°

21 2 1 C o ayar değeridir.

9. Kumanda Girişi: Sisteme uygulanan sevkedici, yönlendirici giriş olup,sistem

çıkışından bağımsızdır.

10. Referans Giriş Elemanı: Referans giriş değerini belirleyen birimdir.

Potansiyometre referans giriş elemanıdır.

11. Referans Giriş: Denetlenen sistemin belirlenen bir eylemi kumanda etmek üzere

denetim sistemine uygulanan giriş sinyalidir.

12. Karşılaştırıcı: Referans giriş sinyaliyle geri besleme sinyalini karşılaştırıp

mukayese eden, bu iki sinyal arasındaki farka eşit bir hata sinyali üreten elemandır.

Ref.o

+ e e = Wref - WGiriş o

Sinyali

13. Hata ve sapma: Çıkışın herhangi bir anında arzu edilen değere göre farkına hata

denir. Sapma ise, denetlenen değişkenlerin belirlene değerler etrafında değişimler olarak

ifade edilir.oC

25

21 t1 anında hata 21-25 = -41810 t2 anında hata 21-18 = +3

t

5

0 t1 t2

14. Son denetim elemanı veya Motor Eleman: Denetim organından alınan sinyale

göre belli bir fiziksel yapıda güç sağlayan elemandır.

+

dc ort

15. Denetim Organı: Denetlenen sisteme uygulanacak uygun bir denetim sinyali

sağlayan elemandır. ( Üretilen sinyalleri belirler. )

16. Denetim Sinyali: Denetim organları grubunun denetlenen sisteme uyguladıkları

nicelik veya şarttır.

17. Denetlenen Sistem: Özel bir niceliğin denetlendiği tesisat, süreç veya makinedir.

18. Bozucu Girişler: Sistemin denetlenen çıkışı üzerinden arzu edilmeyen yönde

etki yapan girişlerdir. Eğer bozucu girişler, sistemin kendi içinde meydana geliyorsa iç

bozucular; sistem dışından meydana geliyorsa dış bozucular adını alır. Er ikisi de sistem

için bir giriştir.

Sıcaklık bozucu olabilir. Sıcaklık artınca direnç değeri artar.

Dış bozucuya örnek “ tribüne etki edecek” “rüzgar” verilebilir.

19. Geri Besleme Sinyali: Denetlenen değişkenin bir fonksiyonu olup referans giriş

ile karşılaştırılarak hata sinyalinin elde edilmesini sağlar.

20. Geri Besleme Elemanı: denetlenen çıkış sinyali ile geri besleme sinyali

arasındaki fonksiyonel bağı kuran elemandır. Geri besleme elemanları özellikle denetlenen

değişkenle referans giriş sinyalinin farkı fiziksel yapıda olduğu durumlarda bir

dönüştürücüden ibarettir.

21. Geri Besleme Yolu: Denetlenen çıkış sinyalinden geri besleme sinyaline kadar

uzanan iletim yoludur.

22. İleri Besleme Elemanları: Arzu edilen çıkış sinyalini sağlamak üzere hata

sinyaline tepki gösteren birimlerdir.

23. İleri Besleme Yolu: Hata sinyalinden denetlenen çıkış sinyaline kadar uzanan

iletim yoludur.

M

A

C

6

Denetim

Organları

Denetlenen

Sistem

24. Açık Döngü Denetim Sistemi: Denetim faaliyetinin denetim sisteminden

bağımsız olduğu sistemdir.

Giriş Çıkış

X Y

y=3x kesin olarak bilinmelidir.

Bu sistem bozuculara maruz kalmamalıdır.

Sistemin avantajı daha fazla olmalıdır.

25. Kapalı Döngü Denetim Sistemi: Denetim faaliyetinin sistemin denetlenen

çıkışına bağlı olduğu denetim sistemidir.

26. Geri Beslemeli Denetim: (Böyle bir sistemde mutlaka çıkış sinyali geri besleme

olarak alınır. Fakat kapalı döngü denetim sisteminde böyle değildir. Geri beslemeli sinyal

herhangi bir yerden alınabilir.)

Denetlenen çıkış değişkeninin ölçülüp geri beslenerek arzu edilen çıkış değeri ile

karşılaştırıldığı kapalı döngü denetim sistemidir. Açık döngü ve kapalı döngü denetim

sistemleri arasındaki fark geri besleme etkisidir. Bu etki negatif ve pozitif olmak üzere ikiye

ayrılır.

27. Düzenleyici Denetim: Referans girişinin uzun zaman aralıkları içinde belli bir

çalışma şartı için değişmez veya sabit tutulduğu geri beslemeli denetim sistemidir.

C o

2115

t0 t1

7

28. Servo Mekanizma veya Servo Denetim: Çıkış mekaniksel konum, hız veya

ivme olan geri beslemeli denetim sistemidir.

29. Süreç Denetim Sistemi (Process Control): Çıkışın sıcaklık, basınç, akış ve

seviye gibi değişkenler olan düzenleyici denetim türünden geri beslemeli denetim

sistemidir.

30. Uyarmalı Denetim: Sistemlerin kendi denetimlerinin olması muhtemel en iyi

işlem tarzını sağlamak konusunda uyarabilme yeteneği olan sistemidir.

31. Öğrenmeli Denetim: (Yapay Zeka ile kontrol) Matematik modele ihtiyaç

duymaz.

32. Uzaktan Kumanda: Bir sistemde donanım aygıtları ve işlemleri belirli bir

uzaklıktan kablolu veya kablosuz çalışma imkanı sağlayan denetim sistemidir.

33. Sensör: Ölçülen ve dolayısıyla denetlenen niceliğin değerini algılayan veya

seçen bir aygıttır. ( Sıcaklık sensörü)

1.1- Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Denetim Sistemleri

1. (doğrusal)

2. (doğrusal olmayan)

3. + (doğrusal olmayan)

1.2- Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Kontrol Sistemleri

1. + = . (zamanla değişmeyen) (a,b,c sabit, zamana bağlı değil )

2. . ( zamanla değişen) (a,b,c bağımlı değişken)

8

1.3- Anolog ve Dijital Kontrol Sistemleri

tt1 t2 t3 t4

2. Denetim Sistemleri Ve Türleri

2.1- Temel Denetim Sistemleri

1. Doğal Denetim Sistemleri: Kan şekerinin belli oranlarda tutulması, göz

bebeğimizin ışığın şiddetine göre büyüyüp küçülmesi ...

2. Endüstride Kullanılan Denetim Sistemleri:

3. Hem doğal hem de insan yapısı unsurlar içeren Karma Denetim Sistemleri:

Bir aracın bir şoför tarafından sürülmesi

2.2- Denetim Etkisi Açısından Denetim Türleri

1. Açık Döngü Denetim Sistemleri: Sistem girişi çıkıştan bağımsızdır. Giriş çıkış

bilgileri tam bilinmektedir. Bozuculara maruz kalmaz.

2. Kapalı Döngü Denetim Sistemleri: Sistem girişi çıkıştan bağımsız değildir. Dış

ve iç bozuculara maruz kalabilir.

9

3. Denetim Sistemlerinin Yapısı Ve Kullanım Alanı

Denetim Sistemi

Denetlenen Sistem veya Süreç Denetim Elemanları Organları Donanımı

Ölçme Sistemi

Karşılaştırma Elemanı

Denetim Organı

Sürücü eleman veya motor eleman

Denetim Sistemlerinin Kullanım Yerleri

1. İmalat Endüstrisi: İzleyici türden denetim sistemleridir.

2. Süreç Endüstrisi: Düzenleyici türden denetim sistemleridir.

3.1- Denetim Sistemlerinin Tasarım İlkeleri

Kalıcı Durum: Referans girişte değişiklik yapıldığında çıkış değişkeninin yeni

referans girişe uyum sağlaması sonucuna kalıcı durum denir.

Geçici Durum: Yeni referans değerine göre çıkışın değişme sürecine denir.

t1 e kadar geçen durum geçici durum ;

t1 – t2 arası kalıcı durum.

t1 t2 t3

1. Kararlı Çalışma: Sınırlı bir giriş verilirse çıkıştan da sınırlı bir çıkış alınmaktadır.

2. Geçici durum çalışmasında hızlı cevap: Geçici durum en kısa sürede olmalıdır.

Bir sistemin zaman sabitesi ile oynanırsa değişik şekiller elde üretilebilir. En iyisi en kısa

sürede en az salınımla osilasyona oturmasıdır.

t1 t2 t5 t

2. Kalıcı Durum Davranışı:

Tasarımcının görevi bu bandı en iyi şekle

sokabilmelidir. (Bu sapma en aza inmeli,

bant daraltılmalıdır.)

B. LABLACE DÖNÜŞÜMÜ

Lablace dönüşüm değişkeni (s):

jw

S2 W2

W1 S1

-G2 G1 G

- W1 S1*

S2* -W2

S = G jW ( karmaşık sayı)

S1 = G1 + jW1 S2 = - G2 + jW2

S1* = G1 - jW1 S2

* = - G2 - jW2

f (t) F (s)

-1

Zaman bölgesi fonksiyonu

T bölgesi

f (t) ; t > 0 da tanımlı olmalıdır. Bu durumda fonksiyonun lablace dönüşümü alınabilir.

Örnek:

f (t) = e at t ≥ 0 ise F(s) = ?

=

Örnek:

f (t) = t olsa F(s) = ?

1. Lablace Dönüşümü İle İlgili Teoremler

1.1- Bir sabit ile Çarpma: f (t)‘nin lablace dönüşümü F(s) ve k bir sabit

olsun.

1.2- Toplam ve Fark Alma: f 1 (t) ve f2 (t) nin lablace dönüşümleri F1 (s) ve F2

(s) olsun.

1.3- Türev Alma: f (t) nin lablace dönüşümü F (s) ve limt 0

f(t) =f(0) ise

Genelleştirildiğinde;

1.4- İntegrasyon: f (t) nin lablace dönüşümünün s’e bölünmesi ile bulunur.

Genelleştirildiğinde;

1.5- Zamanda Öteleme: T kadar geciktirilmiş f (t) nin lablace dönüşümü F (s) nin

e-Ts ile çarpımına eşittir.

f (t-T)

T

1.6- Başlangıç Değer Teoremi: f (t) nin lablace dönüşümü F (s) ise ve limitin var

olma şartı ile;

1.7- Son Değer Teoremi: f (t) nin lablace dönüşümü F (s) ise ve s.F(s) sanal

eksen üzerinde ve sağ yarı eksen üzerinde ve sağ yarı S düzleminde analitik ise;

Örnek:

1.8- Karmaşık Öteleme: bir sabit ve f (t) nin ile çarpımının lablace

dönüşümü F (s) dönüşüm ifadesinde s yerine ( s ) konularak elde edilir.

1.9- Konvolisyon Çarpım: f 1 ( t ) ve f 2 ( t ) nin lablace dönüşümleri F1 (s) ve F2

(s) olsun.

2. Standart Giriş Fonksiyonları Ve Lablace Dönüşümleri

2.1- Basamak Fonksiyonu:

f (t) h t > 0

f (t) =h . u (t) f (t) =

0 t 0

t

h = 1 ise birim basamak fonksiyonu denir.

2.2- Ötelenmiş Birim Basamak Fonksiyonu:

F (t - T) = u (t – T) 1 t < T

1 f (t – T) =

0 t T

2.3- Darbe Fonksiyonu:

h 0 < t t0

f (t) =

h 0 t < 0 , t > t0

0 t0

İki fonksiyonun toplamı darbe fonksiyonu verir.

2.4- Ani Darbe Fonksiyonu:

I=Alan

h I=h.t0

t0

2.5- Rampa Fonksiyonu:

A f (t) = A. t

A : eğim tn nin lablace fonksiyonu

2.6- Sinüsoidal Fonksiyon:

3. Ters Lablace Dönüşümü ve Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi

3.1- G(s) Kutuplarının Katsız Olması Hali

Örnek:

3.2- G(s) te Katlı Kutupların Bulunmliası Hali

(n-r) adet basit kutba ilişkin terimler , r adet katlı kutba ilişkin terimler

Örnek:

3.3- G(s) fonksiyonunda gerçek kökler yoksa, Katsız Karmaşık Eşlenik

Kutupların Bulunması Durumu

Örnek:

Örnek:

4. Doğrusal Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümünde Lablace

Dönüşümlerinden Yararlanılması

İşlem Basamakları:

1. Diferansiyel denklem Lablace dönüşüm tablosundan yararlanılarak s tanım

bölgesine dönüştürülür.

2. Dönüştürülmüş cebirsel denklem üzerinde işlemler yapılarak denklem çıkış

değişkenine göre düzenlenir.

5. Dönüştürülmüş cebirsel denkleme kısmi kesirlere ayırma yöntemi uygulanır.

6. Ters Lablace dönüşümü Lablaca dönüşüm tablosu kullanılarak elde edilir.

Örnek:

u(t) basamak fonksiyonudur.

Sonuçlar, yaptığımız işlemlerin

doğru olduğunu gösterir.

C. TRANSFER FONKSİYONLARI

U(s) U(t) giriş değişkeninin Lablace dönüşümü

U(s) U(t) çıkış değişkeninin Lablace dönüşümü

1. Transfer Fonksiyonun Özellikleri:

1. Transfer fonksiyonu bir sistemin giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki bağıntıyı

veren matematiksel bir modeldir. Bu sebeple sistemin kendi özelliklerini verir. Giriş

fonksiyonundan bağımsızdr.

V1 V2

2. Transfer fonksiyonu sistemin fiziksel yapısıyla ilgili bilgi vermez. Bu nedenle de

fiziksel olarak farklı olan çok sayıdaki sistemin transfer fonksiyonu aynı olabilir.

3. Transfer fonksiyonu sadece doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için

tanımlanmıştır ve çıkış değişkeninin Lablace dönüşümünün giriş değişkeninin Lablace

değişkenine oranı olarak ifade edilmektedir.

7. Lablace dönüşümü yapılırken bütün başlangıç şartları sıfır kabul edilir.

Karakteristik Denklem

Örnek:

R1 A

V1 C V2

R2 2

A noktasına göre =

D. BLOK DİYAGRAMLARI

Toplama noktası Fonksiyonel Blok

+ Ayrılma noktası

X Z

1. Temel Kavramlar

Fonksiyonel Blok: Sistemin giriş-çıkış değişkenleri arasındaki bağlantıyı belirler.

Toplama Noktaları: Olması istenilen çıkış değişkeninin karşılaştırıldığı yerdir.

Ayrılma Noktaları: Çıkış sinyalinin geri beslendiği nokta olabilir

.

Transfer

fonksiyonu

Y(s)=G(s).U(s)

U(s)=R(s)-B(s)

B(s)=Y(s).H(s)

Geri Beslemeli kontrol sisteminin blok diyagramı Y(s)=G(s). [ R(s)-Y(s).H(s)]

r(t), R(s) : referans giriş Y(s)= G(s). R(s)- G(s).Y(s).H(s)]

y(t), Y(s) : çıkış (kontrol edilen değişken) Y(s) .(1+ G(s).H(s) ) = G(s).R(s)

b(t), B(s) : Geri besleme sinyali

u(t), U(s) : etkin hata

H(s) : geri besleme transfer fonksiyonu

G(s).H(s) : açık çevrim transfer fonksiyonu

G(s) : ileri yol transfer fonksiyonu

M(s) : Y(s) / R(s) kapalı çevrim yada sistem

Transfer fonksiyonu

1.1- Açık Çevrim Yada Kapalı Çevrim Transfer Fonksiyonları

Açık Çevrim Transfer Fonksiyonu Kapalı Çevrim Transfer Fonksiyonu

1.2- Bozucu Sinyaller İçeren Kapalı Çevrim Kontrol Sistemleri

Eğer G1(s) . H(s) >>> 1 olursa

Bozucu girişin etkisi en aza indirilebilir.

Eğer G1(s) . G2(s) . H(s) >>> 1 olursa

1.3- Bir Sistemin Blok Diyagramını Çizme

R

V1(t) İ C V2(t) i =

1.4- Çok Değişkenli Sistemlerin Blok Diyagramları Ve Transfer Fonksiyonları

r1(t) y1(t)

r2(t) y2(t)

Çok

Değişkenli

sistem

rp(t) yq(t)

R(s) + U(s) Y(s)

--

B(s)

Y(s) q x 1 boyutlu bir vektör

U(s) ; R(s) ; B(s) p x 1 boyutlu vektörler

G(s) q x p boyutlu bir matris

H(s) p x q boyutlu bir matris

Y(s )= G(s) . U(s) Y(s) = G(s). ( R(s) – Y(s).H(s) )

U(s) = R(s) - B(s) Y(s) = G(s). R(s) – Y(s).H(s)

B(s) = Y(s) . H(s) Y(s).[ I+G(s).H(s) ] = G(s) . R(s)

Y(s)=[ I+ G(s).H(s) ]-1. G(s) . R(s)

M(s)=[ I + G(s) . H(s) ] –1 . G(s)

Örnek:

Şekildeki kontrol sisteminde transfer matrisini

bulunuz.

G(s)

H(s)

2. Blok Diyagramının Özellikleri

1. Blok diyagramı gerçek sistemin sinyal akışlarını gösterir. Bu nedenle sistemin

soyut matematiksel gösterimine göre sistemi daha gerçekçi bir şekilde temsil eder.

2. Bir blok diyagramı sistemin dinamik davranışı ile ilgili bilgiyi içermekte olup

sistemin fiziksel yapısı ile ilgili herhangi bir bilgi vermez.

3. Blok diyagramı üzerinde enerjinin esas kaynağı açık bir şekilde gösterilmez.

4. Verilen sistemin blok diyagramı tek tip değildir. Ele alınan çözümlerin dış açısına

bağlı olarak bir sistem için farklı sayıda blokdiyagramı çizilebilir.

2.1- Blok Diyagramlarının Sadeleştirilmesi

Dikkat Edilecek Hususlar:

1. İleri besleme yönündeki transfer fonksiyonlarının çarpımı aynı kalmalıdır.

2. Döngü etrafındaki transfer fonksiyonlarının çarpımı aynı kalmalıdır.

a) Ardışıl Bağlı Bloklar:

R C R C

C= G1. G1.RG1 G2 G1 G2

b) Paralel Bağlı Sistemler:

+ C=G1.R G2.R

R

R C

c) Toplama Noktasını Bir Bloğun Önüne Kaydırma:

X + Z=G.x Y X

d) Toplama Noktasını Bir Bloğun Arkasına Kaydırma:

X Z X + Z

Z=G.(x y)

Y Y

e) Ayrılma Noktasını Bir Bloğun Önüne Kaydırma:

X Y X Y

G1

G2

G1 G2

G G

1/G

GG

G

G G

Y=G.X

Y Y

f) 6. Ayrılma Noktasını Bir Bloğun Arkasına Kaydırma:

X Y X Y

Y=G.X

X X

g) Ayrılma Noktasını Bir Toplama Noktasının Önüne Kaydırma:

X Z X + Z

+

Z=X Y Z Z

Z Y

h) Ayrılma Noktasını Bir Toplama Noktasının Önüne Kaydırma:

X Z X Z

X Z=X Y Y

Y X

G

GG

1/G