KONU 3. STATİK DENGE 3.1 Giriş Bir cisme etki eden dış kuvvet ve momentlerin toplamı “0” ise cisim statik dengededir denir. Kuvvet ve moment toplamlarının “0” olması sırasıyla; ötelenme ve dönme denge şartlarıdır.

Bu vektörlerin skaler açılımı:

2-Boyutlu bir problemde, örneğin x-y düzleminde, sadece (1), (2) ve (6) nolu denklemler kullanılır. Moment denklemleri kullanılırken; cismin üzerindeki veya dışındaki herhangi bir noktaya (veya noktadan geçen eksene) göre moment alınabilir. 3.2 Serbest Cisim Diyagramı (SCD) Serbest Cisim Diyagramı çizimi tüm denge ve kinetik problemlerinin çözümünde temel bir noktadır. SCD oluşturmak için özetle; • Diyagramı çizilecek olan eleman (cisim) veya elemanlar izole edilir ve ana hatları ile

çizilir. • Tüm dış kuvvetler ve momentler bu çizim üzerinde gösterilir. Burada; cismi izole ederken

kaldırılan mesnetlere karşılık yerleştirilen tepki kuvvet ve momentleri de dış kuvvetler olarak adlandırılır.

• Denge denklemlerini uygularken kullanılacak noktalar ve boyutlar çizimde gösterilir. • Bir koordinat eksen takımı tanımlanır.

3.3 İki ve Üç Boyutlu Problemlerde Mesnet (Bağlantı) Tepkileri 3.3.1 İki-Boyutlu Problemler

İki kuvvet elemanı: Üç kuvvet elemanı:

Problem Çözümünde Takip Edilecek Basamaklar:

• İlgili eleman veya elemanların serbest cisim diyagramları (SCD) çizilir • Statik denge denklemleri uygulanarak bilinmeyenler bulunur • n=bilinmeyen sayısı, m=denge denklemi sayısı olmak üzere;

n ≤m ise; bilinmeyenler bulunabilir. n >m ise; ilave denklemler yazılmalıdır ( NF ⋅= µ gibi). Eğer bilinmeyen sayısı kadar denklem yazılamıyorsa statik olarak belitsiz (hiperstatik) sistem denir ve çözüm yapılamaz. (Mukavemet yöntemleri ile çözüm yapılabilir)

Örnek Problem 3.1: Şekildeki gibi 10 kN luk yük taşıyan, 6 kN ağırlığındaki uniform kirişe bağlı kablodaki ve A pimindeki kuvvetleri bulunuz.

3.3.2 Üç-Boyutlu Problemler

Örnek Problem 3.2: Şekildeki şaft A noktasında küresel bir mafsalla bağlanmıştır. Şaftın B ucundaki küresel kısım düşey duvarlara dayanmaktadır. Şaft 200 kg kütleye sahip olduğuna göre; meydana gelen tüm tepki kuvvetlerini bulunuz. ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.3: Şekildeki yükleme durumu için OAB dirseğini taşıyan kablo kuvvetlerini ve O noktasındaki küresel mafsalın tepki kuvvetlerini bulunuz. ÇÖZÜM:

Denge ile ilgili problemler:

Örnek Problem 3.4: 250 kg lık motor bloğunun taşınması sırasında AD ve AB halatlarında oluşan kuvvetleri bulunuz. ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.5: Şekildeki sistemde A 20 N ağırlığında ise herbir halattaki kuvvetleri ve B yükünün ağırlığını bulunuz. ÇÖZÜM: Bu problemde 4 bilinmeyen mevcuttur. C ve E noktalarında 2 şer denge denklemi yazılabileceğinden bu problemi çözebiliriz. İlk önce E noktasından başlayalım. Burada bilinmeyen sayısı 2.

Örnek Problem 3.6:

Yandaki sistemde -AD kablosu ve CA kablosundaki kuvvetleri -AB yayının uzamasını bulunuz. ÇÖZÜM: Serbes Cisim Diyagramı:

Örnek Problem 3.7:

Yandaki sistem 500 N luk yükü kaldırdığında her bir koldaki kuvvetler ne olur? ÇÖZÜM:

Özel noktaların koordinatları:

( )( )( )( )

A 0,3, 2.5B 0,0,0C 0.75, 2,0D 1.25, 2,0

−− −

( )( )( ) ( )

( ) ( )

AB

ABAB 2 2AB

AB

r 3j 2.5k m

3j 2.5krur 3 2.5

3j 2.5k 3j 2.5k3.905

u 0.7682j 0.6402k15.25

= − −

− −= =

− + −

− − − −

−

=

= −

=

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

AC

ACAC 2 2 2AC

AC

r 0.75i 5j 2.5k m

0.75i 5j 2.5krur 0.75 5 2.5

0.75i 5j 2.5k 0.75i 5j 2.5k5.64031.812

u 0.1330i 0.8865j 0.44325

k

= − −

− −= =

+ − + −

− − − −=

= − −

=

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

AD

ADAD 2 2 2A

D

D

A

r 1.25i 5j 2.5k m

1.25i 5j 2.5krur 1.25 5 2.5

1.25i 5j 2.5k 1.25i 5j 2.5k5.728

u 0.2182i 0.872932.8125

j 0.4364k

= − − −

− − −= =

− + − + −

− − − − − −

− − −

=

=

=

( )

( )

( )

AB AB AB AB

AB AB AB

AC AC AC AC

AC AC AC AC

AD AD DA AD

AD AD AD

F u 0.7682j 0.6402kF 0.7682 j 0.6402 kF u 0.1330i 0.8865j 0.4432kF 0.1330 i 0.8865 j 0.4432 kF u 0.2182i 0.8729j 0.4364kF 0.2182 i 0.8729 j 0.4364

F FF F

F FF F F

F FF F

= = − −

= − −

= = − −

= − −

= = − − −

= − − −

( ) ( )( )

2

AD

ms

k

W 500kg 9.81 k 4905k N

W 4905k N

F

= − = −

= −

AB AC AC

AB AB AC AC AC

AC AC AC

F 0F F F W 0

0.7682 j 0.6402 k 0.1330 i 0.8865 j 0.4432 k0.2182 i 0.8729 j 0.4364 k 4905k 0

F F F F FF F F

=

+ + + =

− − + − −

− − − − =

∑

x

y

z

F 00.1330 0.2182 0

F 0

0.7682 0.8865 0.8729 0

F 00.6402 0.4432 0.4364 4905 0

AC AD

AB AC AD

AB AC AD

F F

F F F

F F F

=

− =

=

− − − =

=

− − − − =

∑

∑

∑

( )

0.1330 0.2182 01.6406

0.7682 0.8865 0.8729 00.7682 0.8865 1.6406 0.8729 0

3.0295

0.6402 0.4432 0.4364 4905 0

AC AD

AC AD

AB AC AD

AB DA AD

AB AD

AB AC AD

F FF F

F F FF F F

F F

F F F

− =

=

− − − =

− − − =

= −

− − − − =

( ) ( )

1.64063.0295

0.6402 0.4432 0.4364 4905 00.6402 3.0295 0.4432 1.6406 0.4364 4905N

6321.1N 6.32kN

AC AD

AB AD

AB AC AD

AD AD AD

AD

F FF F

F F FF F F

F

=

= −

− − − − =

− − − − =

= =

6.32kN1.6406 10.370kN 10.4kN

3.0295 19.149kN 19.1kN

AD

AC AD

AB AD

AB

FF FF F

F negatif çıktı. Demekki Serbest Cisim Diyagramında alınan yön ters!

== = =

= − = − = −

Örnek Problem 3.8:

Mesnet tepkilerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.9:

Makarada A noktasındaki tepkileri ve halattaki kuvveti bulunuz. ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.10:

A bağlantı noktasındaki tepkileri bulunuz.

ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.11:

A noktasındaki tepkileri bulunuz.

ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.12:

A noktasındaki bağlantıya ve pistona gelen kuvvetleri bulunuz. ÇÖZÜM:

Örnek Problem 3.13:

A noktasındaki ve silindirlerin çubuğa temas noktalarındaki kuvvetlerini bulunuz. ÇÖZÜM

Örnek Problem 3.14:

Yandaki sistem 700 kg lık yükü kaldırmaktadır. A noktasındaki mesnet tepkisini d’ye bağlı olarak bulunuz. ÇÖZÜM: Bu problemde BC çift kuvvet elemanıdır.

Örnek Problem 3.15: A mesnedindeki tepkileri bulunuz. ÇÖZÜM: DB elemanı çift kuvvet elemanıdır.

1 0.2 0.5tan 60.30.4

0

cos 60.3 cos 45 400 00

sin 60.3 sin 45 01.07

1.32

o

x

o oA

y

o oA

A

F

F FF

F FF kNF kN

θ − +⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

− + =

=

− ===

∑

∑

Örnek Problem 3.16: -A ve D noktalarındaki tepkileri, -CD halatındaki kuvveti bulunuz. ÇÖZÜM:

DADA

DA

BCBC

BC

DA

B B B

DA B

B

B

r 1 i 1 ju 0.707 i 0.707 jr 2r 0.2 i 0.3 j 0.6 ku 0.2857 i 0.4286 j 0.8571 kr 0.7

0.707 0.707 0 0.707 0.707 0M 0 0.5 0 0 1.0 0

0 0 981 0.2857 T 0.4286 T 0.8571 T

M 346.8 0.606 T 00.606 T 346.8

346T

− −= = = − −

− += = = − +

− − − −= − + −

− −

= − + =

=

=

∑

∑

.8 572 N0.606

=

( )( )

( )

BC BC

BC

BC

D x y z

A y z

T T 0.2857 i 0.4286 j 0.8571 k

T 572 0.2857 i 0.4286 j 0.8571 k

T 163.4 i 245.1 j 490.2 kF D i D j D k

F A j A k

W 981 k

= − +

= − +

= − +

= + +

= +

= −

DA

DE

DB

r 1i 1jr 1jr 0.5j

= − −= −= −

x x

y y y

z z z

F 163.4 D 0

F 245.1 D A 0

F 490.2 D A 981 0

= + =

= − + + =

= + + − =

∑∑∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D DA y z DE DB

D y z

M 0 r A j A k r 163.4 i 245.1 j 490.2 k r 981 k

M 0 1 i 1 j A j A k 1 j 163.4 i 245.1 j 490.2 k 0.5 j 981 k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = × + + × − + + × −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − × + + − × − + + − × −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∑

z

z

y

A 490 490 0A 0

A 163.4 0

− + ==

− + =

( )

z z

y y

x x

y y

y

z z

z

BC

A 0 A 0 NA 163.4 0 A 163.4 N

163.4 D 0 D 163.4 N245.1 D A 0

D 245.1 163.4 81.7 N

490.2 D A 981 0D 490.2 981 490.2 NT 163.4 i 245.1 j 490.2 k

= ⇒ =− + = ⇒ =

+ = ⇒ = −− + + = ⇒

= − =

+ + − = ⇒= − + =

= − +