Koordinačių sistemos

KOORDINAČIŲ SISTEMOS IR LINIJ Ų ORIENTAVIMAS

Geografinės koordinatės

Koordinat ėmis vadinami dydžiai nusakantys taškų padėtįplokštumoje ar erdvėje Priklausomai nuo pasirinktos koordinačių sistemos taško padėtį galime apibrėžti kampiniais linijiniais bei kampiniais ir linijiniais dydžiais

Geografinėje koordinačių sistemoje naudojami kampiniai dydžiai Esminiai šios koordinačių sistemos kūrimo principai b ūtų šie Tariama Žemės ašis jungianti šiaurinį ir pietin į ašigalius vadinama Žemės poline ašimi Gaublyje tai yra reali ašis apie kurią sukasi gaublio kūnas Plokštuma kuri statmenai kerta Žemės polinę ašį ir eina per Žemės centrą vadinama ekvatorine plokštuma o linija kuria ši plokštuma kertasi su sferos paviršiumi - ekvatoriumi arba pusiauju Plokštumos kertančios Žemės rutulį ir einančios per polinę ašį vadinamos meridianųplokštumomis o linijos kuriomis šios plokštumos kertasi su sferos paviršiumi - meridianais arba dienovidžiais Vienas iš tokių meridianųvadinamas pradiniu


Geografine platuma vadinamas kampas kurį sudaro Žemės rutulio spindulys nuleistas iš ieškomo taško į Žemės centrą su ekvatoriaus plokštuma (angangangang φ) Geografinė platuma matuojama nuo ekvatoriaus į šiauręir į pietus Ji kinta nuo 0 iki 90deg Linijos jungiančios vienodos geografinės platumos taškus vadinamos paralelėmis arba lygiagretėmis

Geografine ilguma vadinamas kampas kurį sudaro dvi besikertančios meridianų plokštumos viena iš kurių yra pradin ė (angangangang λ) Geografinė ilguma matuojama nuo pradinio meridiano į rytus ir įvakarus Ji kinta nuo 0 iki 180deg Šiuo metu pradiniu laikomas meridianas einantis per Grinvičo observatoriją Londone

Viena iš geografinių koordinačių savybių yra ta kad vieno laipsnio paralelės lanko ilgis įvairiose platumose yra skirtingas Ekvatoriuje jis siekia 1113 km o ašigalyje ndash 0 Meridianų vieno laipsnio lanko ilgis beveik pastovus dydis ndash apie 111 km Dėl Žemės suplokštėjimo poliarin ėse srityse jis ilgesnis o ekvatorinėse ndash trumpesnis

Artimos geografinėms yra geodezinės koordinatės Jos skaičiuojamos elipsoido paviršiui ir nuo geografinių koordinačių skiriasi keliomis kampo sekundėmis

Stačiakampės koordinatės

Sprendžiant praktinius uždavinius taškų padėčiai nustatyti daug paprasčiau naudotis stačiakampėmis (ortogonalinėmis) koordinatėmis Jos plačiai taikomos vykdant vietovės topografavimo darbus bei naudojamos topografiniuose žemėlapiuose Stačiakampės koordinatės yra susietos su geografinėmis koordinatėmis

Stačiakampės koordinatės kuriamos tokiu būdu Jeigu nedidelis Žemės paviršiaus ruožas yra projektuojamas į pagalbinį kūną tai pavyksta išvengti didesnių ilgių ir kampų deformacijų Lietuvos topografiniamsžemėlapiams sudaryti naudojama skersinė cilindrin ė kirstin ė projekcija Ji sudaroma į skersinį cilindr ą projektuojant siauras 6deg geografinės ilgumos Žemės paviršiaus juostas ndash zonas Į vieną cilindr ą projektuojamos iškart 2 zonos Vėliau šios zonos išklojamos į plokštumą Visas Žemės paviršius suskirstytas į 60 zonų kurios tarpusavyje liečiasi ekvatoriaus srityje Kiekvienai tokiai zonai sukuriama stačiakampė koordinačių sistema Koordinačių pradžios taškas yra ekvatoriaus ir ašinio meridiano susikirtimo taškas Ašinis meridianas dalija zoną į dvi simetriškas dalis

Skersinė cilindrin ė projekcija

Stačiakampė koordinačių sistema atskirose skersinės cilindrin ės projekcijos zonose

Skersinėje cilindrin ėje projekcijoje šis meridianas yra tiesė tuo tarpu kiti meridianai - lankai Norint išvengti neigi amų koordinačiųreikšmių koordinačių pradžios taškas turi ne nulines o kitokias reikšmes Šiaurės pusrutulyje koordinačių pradžios taškas turi šias reikšmes x = 0 y = 500 km

Siauro Žemės paviršiaus ruožų vaizdavimas plokštumoje įgalina išvengti didelių iškraipymų Linij ų ilgių iškraipymas skersinėje cilindrin ėje projekcijoje nustatomas pagal formulę

∆ s = y2 2R2 x S

čia y ndash matuojamos linijos galų ordinačių reikšmių vidurkis S ndash linijos ilgis elipsoido paviršiujeR ndash vidutinis Žemės spindulio ilgis

Stačiakampės koordinačių sistemos linijinių dydžių reikšmės atskiruose zonos ketvirčiuose

Santykinis iškraipymų dydis skaičiuojamas šitaip

∆s S = y22R2

Esant maksimalioms ordinačių reikšmėms iškraipvmassiekia nuo 1800 (ekvatoriaus srityje) iki 11600 (vidutinėse platumose) linijos ilgio

Normalus skersinis ir įstrižas projektavimo atvejai

Lietuvos Respublikos vyriausybės 1994 metų nutarimu mūsųvalstybėje įvesta unifikuota geodezinių koordinačių sistema kuri integruota į bendrą ir pasaulinę sistemą Ji vadinama Lietuvos koordinačių sistema ndashLKS ndash 94 LKS ndash 94 yra skersinė cilindrin ė 24ordm meridiane kirstinėprojekcija Taip pat patvirtinta nauja topografini ų planų ir žemėlapiųskaidymo lapais principinė schema atitinkanti naują Lietuvos koordinačiųsistemą Nuo 1996 m Lietuvoje naudojama tik LKS ndash 94 koordinačiųsistema 1942 ir 1963 metų koordinačių sistemos ir jų variantai daugiau nebenaudojamos geodeziniuose matavimuose ir žemėlapių sudarymui Nuo 1994 metų Lietuvos koordinačių sistemos įgyvendinimui apskričių rajonųteritorijose būtini bent minimalūs sutankinimo tinklai (1 punktas penkiems kvadratiniams kilometrams) kurie priartint ų LKS ndash 94 prie vartotojų

Visų Lietuvos teritorijos GPS (Global Positioning System) geodezinio pagrindo punktų koordinatės yra nustatytos palydoviniu metodu Globalinė geocentrinė koordinačių sistema ir jos realizacija Europoje yra atlikta GRS ndash 80 (Geodetic Reference System 1980) elipsoide Keturiems Lietuvos GPS punktams suteiktas ldquoCrdquo tikslumas (5 cm) Visų kit ų Lietuvos teritorijos GPS punktų koordinatės yra išvestinės

Lietuvos praktiniams geodeziniaims darbams bei žemėlapiųsudarymui naudojamos stačiakampės plokštuminės LKS ndash 94 X ir Y ašiųkoordinatės paskaičiuotos sukertant GRS ndash 80 elipsoidą su gulsčiu cilindru Projekcijos iškraipymo mastelis pagrindiniame 24ordm meridiane yra 09998 Išskleidus cilindrą gaunamos stačiakampės koordinatės ldquoXrdquo šiaurin ės abscisės pradžia pusiaujuje ir ldquoYrdquo rytin ės ordinatės reikšmė 24ordm meridiane 500 000 metrų Skersinė kirstin ė cilindrin ė Merkatoriaus projekcija dvigubai sumažina 60 zonos linijines deformacijas lyginant su liestine projekcija

To paties geodezinio punkto LKS ndash 94 ir 1942 metų koordinačiųsistemos geodezinės koordinatės žymiai skirsis tarpusavyje nes apskaičiuotos ant skirtingų ir nevienodai orientuotų GRS ndash 80 ir Krasovskio elipsoidų Krasovskio elipsoidas ir 1942 m koordinačių sistema nėra geocentriniai Jie parinkti taip kad geriausiai tikt ų Rusijos teritorijos geodeziniams skaičiavimams LKS ndash 94 yra skersinė kirstin ė 24ordm meridiane cilindrinėprojekcija o 1942 m yra skersinė liestinė 21ordm ir 27ordm meridianuose cilindrinėGauso ndash Kriūgerio projekcija Jų ordinatės yra nevienodos kadangi jųpradžia yra skirtinguose meridianuose o abscisių skirtumai gali siekti iki 2 km

Polinės koordinatės

Geodezinių ir topografinių darbų metu tenka nustatyti taškų padėtį vienas kito atžvilgiu Tam galima panaudoti polinę koordinačiųsistemą

O

Per pasirinktą tašką 0 vedama tiesė OA kuri sutampa su meridiano kryptimi Norint nustatyti tašk ų K M N padėtį reikia žinoti kampų a1 a2 ir a3 reikšmes (krypčių kampai) bei linijų OK OM ir ON ilgius (vektoriai)Topografijoje kryp čių kampai matuojami nuo meridiano krypties laikrodžio rodykl ės kryptimi Polinė koordinačių sistema susiejamai su stačiakampe koordinačių sistema Taško nustatymas stačiakampėje koordinačių sistemoje vadinamas tiesioginiu geodeziniu uždaviniu Gana paprasta vietovėje išmatuoti kryptis ir atstumus o po to apskaičiuoti stačiakampes taškųkoordinates

Polinių ir stačiakampių koordinačių sistemų ryšys

Norima nustatyti stačiakampes taško B koordinates Tašką A galima laikyti stačiakampių koordinačių pradžios tašku kurio reikšmės

x = 0y = 0

Linija AC - tai meridiano kryptis Linijos AC ir AD - l inijos AB projekcijos x ir y ašyse Jas galime pažymėti ∆ x ir ∆ y Šių projekcij ų ilgįgalima išreikšti per krypties kampą α ir vektoriaus S ilgį

∆ x = S cosα∆ y = S sinα

Tuomet taško B koordinatės bus lygios

XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y

∆ x ir ∆ y reikšmės priklausys nuo krypties kampo α Koordinačių prieaugio ∆ x ir ∆ y ženklai bus tokie pat kaip ir krypties kampo trigonometriniu funkcij ų

Žinant taškų A ir B stačiakampes koordinates galima išspręsti atvirkštin į geodezinį uždavinį ndash rasti vektoriaus AB ilgį ir krypties kamp ą Jiems apskaičiuoti naudojamos formulės

tg α = ∆ x ∆ y

S = ∆ x cosα = ∆ y sinα

Tiesioginį ir atvirkštin į geodezinius uždavinius galima spręsti topografinio žemėlapio pagalba Jame galima rasti taškų stačiakampes koordinates arba išmatuoti vektoriaus ilgį ir krypties kamp ą

Linij ų orientavimas geodezijoje

Pagrindinė orientavimo linija geodezijoje - meridianas Jo kryptis norimame taške nustatoma astronominių ir geodeziniųmatavimų metu arba kompasu Sferiniame paviršiuje meridianai tai kreivės prasidedančios viename ir sueinančios į kit ą tašką Tai reiškia kad meridianai tiek sferoje tiek plokštumoje nėra lygiagretūs Toje pačioje geografinėje platumoje esantys meridianai turi skirting ą krypt į Kampas kurį sudaro meridianų liestinės einančios per du taškus esančius vienoje geografinėje platumoje vadinamas meridianų suartėjimo kampu

Meridianų suartėjimas

Tarkime kad taškai A ir B yra vienoje geografinėje platumoje Jų geografinės ilgumos skirtumas lygus

∆ λ = λB ndash λA

Per taškus A ir B vedamos liestinės kurios susikerta taške T Kampas ATB ir yra meridianų suartėjimo kampas γ

Tarkime kad Žemė yra rutulio formos kurios spindulys R Paralelės kurioje yra taškai A ir B spindulys lygus

r = R cosφ

Lanko AB ilgis lygus

AB = r ∆λ

Lanko AB ilg į galima išreikšti ir šitaip

AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ

AB = r sin φ γ = r ∆ λ

Tokiu atveju γ = r ∆λ (r sin φ) =∆ λ sin φ

Meridianų einančių per du taškus esančius toje pačioje geografinėje platumoje suartėjimo kampas lygus geografinės ilgumos skirtumo ir geografinės platumos sinuso sandaugai

Magnetinis (Am) geografinis (Ag) azimutai ir direkcinis kampas (α)

Per kiekvieną Žemės paviršiaus tašką galima išvesti tris linijas padedančias orientacijai Tai geografinis meridianas nukreiptas į geografinįpolių magnetinis meridianas nukreiptas į Žemės magnetinį polių linija lygiagreti ašiniam zonos meridianui

Priklausomai nuo to kuri linija padeda orientacijai matuojami geografinis ir magnetinis azimutai bei direkciniai kampai

Geografiniu azimutu vadinamas kampas kurį sudaro šiaurinėmeridiano kryptis su kryptimi į norimą tašką

Magnetiniu azimutu - kampas kurį sudaro magnetinio meridiano šiaurinė kryptis su kryptimi į norimą tašką

Direkciniu kampu vadinamas kampas kurį sudaro linija lygiagreti ašiniam meridianui su kryptimi į norimą tašką

Visi šie kampai matuojami nuo 0 iki 360deg laikrodžio rodyklės kryptimi Geodeziniams skaičiavimams naudojamos trigonometrinės funkcijos kuri ų reikšmės dažniausiai pateikiamos nuo 0 iki 90deg Todėl skaičiavimams dažnai naudojami ne azimutai o rumbai

Rumbu vadinamas smailusis kampas kurį sudaro meridiano kryptis su kryptimi į norimą tašką

Rumbai turi savo pavadinimus Pirmo ketvirčio rumbas ndashšiaurės rytų (ŠR) antro ketvirčio ndash pietryčių (PR) trečio ketvir čio ndashpietvakarių (PV) ketvirto ketvir čio ndash šiaurės vakarų (ŠV)

Tarp rumb ų ir azimutų yra ryšys

ŠR rumbas = AzPR rumbas = 180deg ndash AzPV rumbas = Az ndash 180degŠV rombas = 360deg ndash Az

Rumbai

Tiesioginis (A t) ir atvirkštinis (A at) azimutai

Matuojant kryptis galima išmatuoti tiesioginį ir atvirkštin įazimutus bei direkcinius kampus Matuojamų tiesioginio ir atvirkštinio geografinių azimutų ryšys šitoks

Azt = Azatv plusmn 180deg + γ

Matuojant direkcinius kampus atskaitos linijos yra lygiagrečios todėl

α t = α at plusmnplusmnplusmnplusmn 180deg

Kadangi geografinio ir ašinio meridianų kryptys nesutampa geografinio azimuto ir direkcinio kampo ryšys išreiškiamas šitaip

Azg = α + γ

Dėl geografinio ir magnetinių polių nesutapimo skiriasi geografinio ir magnetinio meridianų kryptys Nesutapimas vadinamas magnetine deklinacija Geografinio ir magnetinio azimutų ryšį galima išreikšti šitaip

Azg = Azm + δ

Magnetinio azimuto ir direkcinio kampo ryšys yra šitoks

Azm + δ = a + γ

iš čia

Azm = α ndash (δ ndash γ)α = Azm + (δ ndash γ)

Dydis (δ ndash γ) vadinamas magnetinės rodykles nukrypimu nuo ašinio meridiano krypties Vidutinės tokio nukrypimo reikšmės visada pateikiamos topografiniuose žemėlapiuose


Koordinat ėmis vadinami dydžiai nusakantys taškų padėtįplokštumoje ar erdvėje Priklausomai nuo pasirinktos koordinačių sistemos taško padėtį galime apibrėžti kampiniais linijiniais bei kampiniais ir linijiniais dydžiais

Geografinėje koordinačių sistemoje naudojami kampiniai dydžiai Esminiai šios koordinačių sistemos kūrimo principai b ūtų šie Tariama Žemės ašis jungianti šiaurinį ir pietin į ašigalius vadinama Žemės poline ašimi Gaublyje tai yra reali ašis apie kurią sukasi gaublio kūnas Plokštuma kuri statmenai kerta Žemės polinę ašį ir eina per Žemės centrą vadinama ekvatorine plokštuma o linija kuria ši plokštuma kertasi su sferos paviršiumi - ekvatoriumi arba pusiauju Plokštumos kertančios Žemės rutulį ir einančios per polinę ašį vadinamos meridianųplokštumomis o linijos kuriomis šios plokštumos kertasi su sferos paviršiumi - meridianais arba dienovidžiais Vienas iš tokių meridianųvadinamas pradiniu













∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia















∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia














∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia










∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia







∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia






∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia





∆ s = y2 2R2 x S




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia





∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia




∆s S = y22R2









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia










O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia









O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia







O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia





O




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia





x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia




x = 0y = 0




XB = XA + ∆ xYB = YA + ∆ y



tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia





tg α = ∆ x ∆ y










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia










r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia








r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia







r = R cosφ


AB = r ∆λ


AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia




AB = TB γ

Kampas OTB = φ

tai TB = r sin φ















Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia














Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia













Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia








Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia



Rumbai







Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia









Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia








Azg = α + γ


Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia




Azg = Azm + δ


Azm + δ = a + γ

iš čia



Documents

Koordinačių sistemos