Tiesinių nelygybių Tiesinių nelygybių sistemossistemos

Tiesinių nelygybių su n nežinomųjų sistemos

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

sprendinys yra toks skaičių rinkinys ),,...,,( 21 nxxx

kuris tenkina kiekvieną sistemos nelygybę.

Kai nežinomųjų yra vienas, du arba trys, bet kurios tiesinių nelygybių sistemos

sprendinių aibę galima pavaizduoti

grafiškai.

Pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių

nelygybių sistemos sprendinių aibę X, kai :

1

1234

1052

yx

yx

yx

Iš pradžių nubrėšime tieses:

1

1234

1052

yx

yx

yx1052 yx1234 yx

1 yxTam tikslui sudarysime lenteles. Kadangi brėšime tiesę, tai užteks dviejų taškų:

(L1)

(L2)

(L3)

L1:

xy

0 5

2 0

L2:

xy

0 3

4 0

L3:

xy

0 1

1 0

Atidedame gautus taškus ir per juos nubrėžiame tieses:

x

y

5

2

4

31

1

Nustatome sprendinių sritį:

1

1234

1052

yx

yx

yx

x

y

5

2

4

31

1

X

Optimalus planavimas

Sprendžiant įvairius verslo veiklos uždavinius tenka ieškoti optimalių

ekonomikos parametrų reikšmių.

Nagrinėjant optimalaus planavimo uždavinius paprastai išskiriamos dvi esminės komponentės – ekonominės veiklos dalyvių interesai ir galimybės. Interesai išreiškiami tikslo funkcija, o galimybės – leistinąja sprendinių aibe.

Sprendžiant optimalios verslo veiklos planavimo uždavinį leistinoje sprendinių aibėje reikia rasti tokį kintamųjų rinkinį, su kuriuo tikslo funkcija įgyja optimalią (didžiausią arba mažiausią – priklausomai nuo uždavinio turinio) reikšmę.Kai turime du nežinomuosius tai leistinąją aibę ir tikslo funkciją galima pavaizduoti grafiškai.

Panagrinėsime bendrą atvejį. Tarkime

įmonė planuoja gaminti dviejų pavadinimų

21 P ir P produkciją iš žaliavų ,R,R,R 321

kurių atsargos yra atitinkamai 321 b,b,b

tam tikrų kiekio vienetų. Žaliavų sąnaudų vienam produkcijos vienetui pagaminti bei jų atsargų kiekiai pateikti lentelėje:

Pagamintos produkcijos P1 ir P2

vieneto kaina c1 ir c2 (litais). Koks turi būti gamybos planas, kad iš turimų žaliavų pagaminta produkcija duotų įmonei didžiausias pajamas?

Sudarykime matematinį uždavinio modelį:

Atsargos P1 P2

R1

R2

R3

b1

b2

b3

a11 a12

a21 a22

a31a32

Planuojamus pagaminti produkcijos P1 ir P2

kiekius pažymėkime atitinkamai x1 ir x2 , o

skaičių rinkinį ),( 21 xxx pavadinkime

gamybos planu. Įmonės pajamas, gautas pardavus šį prekių rinkinį pažymėkime P(x). Pagal uždavinio sąlygą pajamos lygios:

2211)( xcxcxP

Kadangi įmonės tikslas yra gauti didžiausias

pajamas, tai šią funkciją 2211)( xcxcxP toliau vadinsime tikslo funkcija.

Aptarsime įmonės galimybes. Žaliavų R1 ,R2 , R3 sąnaudas planui x=(x1,x2) įvykdyti pažymėkime atitinkamai s1(x), s2(x) ir s3(x). Atsižvelgę į duotą sąnaudų lentelę, jas skaičiuosime pagal šias formules:

2321313

2221212

2121111

)(

)(

)(

xaxaxs

xaxaxs

xaxaxs

Aišku, planuoti galima tik taip, kad žaliavų sąnaudos neviršytų turimų atsargų. Prasmingi tik tie planai x, kurių komponentės patenkina šią apribojimų sistemą:

0,0 21

3232131

2222121

1212111

xx

bxaxa

bxaxa

bxaxa

Jie ir sudaro gamybos optimalaus planavimo uždavinio leistinąją sprendinių

aibę X. Sprendiniui X reikia rasti porą x=(x1,x2) , su kuria tikslo funkcijos, su kuria tikslo funkcijos

2211)( xcxcxP reikšmė yra didžiausia.

Glaustai šis uždavinys – gamybos optimalaus planavimo matematinis modelis užrašomas taip:

Rasti )max( 2211 xcxc

kai

.0 ,0 21

3232131

2222121

1212111

xx

bxaxa

bxaxa

bxaxa

Tiesinio optimalaus planavimo uždavinį galima išspręsti taikant grafinį metodą arba universalų simpleks metodą.

Pavyzdys. Dviejų pavadinimų siuviniams S1 ir S2 naudojami trijų artikulų audiniai A1 , A2 ir A3. Audinių sąnaudų normos (metrais) kiekvienam siuviniui, turimos atsargos (metrais) ir pelnas (litais) už kiekvieną parduotą siuvinį pateikti lentelėje: SS11 SS22 AtsargosAtsargos

AA11 22 66 400400

AA22 22 33 200200

AA33 99 66 600600

PelnasPelnas 2525 2020

Sudarykite didžiausią pelną duosiantį siuvimo planą.

Sudarome matematinį modelį:

)max( 2211 xcxc

.0 ,0 21

3232131

2222121

1212111

xx

bxaxa

bxaxa

bxaxamax(25x1+20x2)

0 ,0

60069

20032

40062

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Šį uždavinį spręsime grafiškai:1)Pavaizduosime leistinąją aibe X grafiškai, t.y. sudarome tiesines lygtis ir nubraižome tieses L1, L2 ir L3.

2) Nustatome apribojimų sistemos nelygybių sprendinių aibių pusplokštumes. Planų aibė X bus pusplokštumių sankirta. 3)Tikslo funkcijos (pajamų) P(x)=25x1+20x2 reikšmėms tirti leistinoje aibėje sudarome lygio lygtį 25x1+20x2 =0. 4) Brėžiame lygio lygties sprendinių aibės tiesę ir ieškome jai lygiagrečios tiesės , kuri bus liestinė sričiai X ir bus nubrėžta taip, kad visa sritis X liks po šia tiese.

)(L

)(L

)(L

3

2

1

60069

20032

40062

21

21

21

xx

xx

xx

0 ,0

60069

20032

40062

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx1)

L1:

x1 20 80

60 40x2

L2:

x1 10 40

60 40x2

L3:

60 40

10 40

x1

x2

x

y

10

10L1

L2

L3

0 ,0

60069

20032

40062

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx2)

x

y

10

10 L1

L3

L2

X

3) lygio lygtis 25x1+20x2 =0

Z:

x1 0 -20

0 25x2

x

y

10

10 L1

L3

L2

X

Z

4)

x

y

10

10 L1

L3

L2

X

Z

max(25x1+20x2)

Belieka surasti šį tašką: tai dviejų tiesių L2 ir L3 susikirtimo taškas

60069

20032

21

21

xx

xx

600692

3200

21

21

xx

xx

60062

32009

2

3200

22

21

xx

xx

60065,139002

3200

22

21

xx

xx

3005,72

3200

2

21

x

xx

5,7

3002

3200

2

21

x

xx

402

3200

2

21

x

xx

402

403200

2

1

x

x

40

40

2

1

x

x

Didžiausią pelną gausime, kai abiejų siuvinių S1 ir S2 siusime po 40 ir tada pelnas bus:

(Lt) 180040204025

Ačiū už dėmesį