1. KOORD NAT S STEMLER

Matemati in temel kavramlar ndan biri olan koordinat sistemleri, n -boyutlu uzaylar n tan mlanmas nda ve incelenmesinde kullan lan analitik ve geometrik kavramlar toplulu udur. Uygulamal mhendislik bilimlerinin al ma alan , yayg n olarak iki ya da boyutlu uzayda tan mland iin kullan lan koordinat sistemleri de iki ya da boyutludur .

Bir noktan n konumu n-boyutlu uzayda s ral n tane say ile belirlenir ve bu say lara noktan n koordinatlar denir. Tan ml her koordinat sisteminde her s ral say tek bir noktay gsterir ve (X 1, X2, Xn) eklinde tan mlan r.

Koordinat sistemleri tek boyutlu, iki boyutlu ve boyutlu olarak ayr labilir. Tek boyutlu koordinat sistemlerine rnek olarak sadece yksekli i llm olan bir ykseklik koordinat sistemi, iki boyutlu koordinat sistemine rnek olarak X ve Y koordinatlar llm olan yersel koordinat sistemleri, 3 boyutlu koordinat sistemine rnek olarak X,Y,Z koordinatlar llm olan GPS koordinat sistemi verilebilir.

Teknolojik geli meler

nda jeodezik al malarda kullan lan nokta koordinatlar n n boyutlu belirlenmesi gerekli

ve kolay bir i lem olmu tur. Bu nedenle koordinat sistemleri ve nokta koordinatlar boyutlu olarak tan mlanmaktad r.

Arazi al malar nda koordinat kullan lan ve daha sonraki al malarda kullan lacak noktalar n birbirlerine gre konumlar n belirlemek gereklidir. Bu nedenle noktalar n belli bir ba lang ca (orjine) olan uzakl klar yada a lar belli eksen ynlerinde llerek say sal de erler verilir. Orjin noktas n n say sal de eri s f r al narak verilen bu de erlere nokta koordinat denir ve bu ekilde tm noktalar n birbirine gre koordinatlar yani konumlar belirlenmi olur. Boyutlar na gre tan mlanm koordinat sistemleri tek boyutlu (1D), iki boyutlu (2D) ve boyutlu (3D) olarak verilebilir.

1.1. Tek Boyutlu Koordinat Sistemleri

Genel jeodezik al malarda ykseklik koordinat sistemleri iin kullan lan bir boyuttur. zellikle nivelman koordinat sistemleri iin deniz seviyesinden olan ykseklik llerek elde edilir. Teknolojik yetersizlikler ve uygulama kolayl a s ndan yatay ve d ey a lar n ayr olarak kuruldu u durumda daha ok kurulmu ve kullan lm t r. Her nokta iin tek bir ykseklik de eri verilerek elde edilir. E er bir blge iin ykseklik haritas (e ykseklik e risi haritas ) yap lacaksa bir ba lang noktas na herhangi bir ykseklik de eri verilerek lokal olarak bu harita elde edilebilece i gibi ortalama deniz yzeyine gre koordinat belirlenmi nokta ba la ng noktas olarak kullan larak da direk zm elde edilebilir.

RS 5 182.93

RS 5 180.60

RS 5 172.36

RS 5 175.63

1.1. ki Boyutlu Koordinat Sistemleri

Arazide noktalar n birbirine gre durumlar n belirlemek iin yatay bir dzlem ierisinde birbirine dik olan iki do ru kullan l r. Bu do rular n olu turdu u sisteme iki boyulu dik (kartezyen) koordinat sistemi denir. Matematikte kullan lan koordinat sistemleri sa -sol do rultusu X ekseni, yukar -a a do rultusu Y eksenidir.

Haritac l kta ise bu durum terstir. Ordinat ekseni olarak adland r lan Y ekseni daima do u-bat (sa -sol) ynn, abris olarak adland r lan X ekseni de kuzey-gney ( yukar -a a ) ynn gstermektedir. Bunun nedeni, matematikte kullan lan a lar n ba lang yn +X olup art yn saat ibresini tersi ynndedir.

Haritac l kta kullan lan aletlerin tmnde a daireleri saat ibresi ynndedir. Matematikte kullan lan formllerin de i memesi iin jeodezik koordinat eksenlerinin yn de i tirilmi ve a ba lang c olarak da kuzey yn al nm t r.

+Y

+X

ORD NAT EKSEN -X

-X

+X

-Y

ABS S EKSEN +Y

-Y

Matematik Koordinat Sistemleri

Jeodezik Koordinat Sistemleri

Yukar dan da grld zere bir koordinat sistemi tan mlan rken koordinat sisteminin ba lang (orjin) noktas , eksenlerin say s ve art yn ve eksenler aras ndaki a n n tan mlanmas gereklidir. Jeodezik al m alarda genelde dik (kartezyen) koordinat sistemleri tan mlan r ve kullan l r.

ki boyutlu uzay n geometrik yap s na uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birok koordinat sistemi tan mlanabilir. ki boyutlu uzayda koordinat sistemi {P 0, P1, P2, P3}olarak tan mlanan drt noktan n olu turdu uP0 P1 ! i , P0 P2 ! j birim vektrlerin tan mlad

iki eksenli bir sistemdir.

P1

i

P0 j P2

ekil 1. ki boyutlu uzayda koordinat at s

ekil 1de gsterilen koordinat at s nda; P0 sistemin ba lang (orijin) noktas n , P 1 ve P2

ise eksenlerini

tan mlamaktad r. Bu koordinat at s nda herhangi bir noktan n konumu a i de erleri skaler byklkler olmak zere,

2 T T P0 P ! a i P0 Pi ! a 1 i a 2 j i !1

(1)

vektrel e itli iyle elde edilir. ki boyutlu uzayda herhangi bir noktan n konumunu belirlemek iin kullan lan reel say lar ikilisine noktan n parametreleri yada k saca noktan n koordinatlar denir. Koordinat de erleri her nokta iin daima de i ik ve tek anlaml koordinat fonksiyonlar yla tan mlan rlar. Yani her noktan n koordinat fonksiyonlar , koordinat eklinde tan mlanm

parametrelerinin seimine ba l olarak bir sistem ierisinde belirlenir. Bu nedenle (X 1, X2)

koordinatlar daima iki boyutlu uzayda {P 0, P1, P2}at s nda tan mlanm bir sisteme gre tan mlanm lard r.

2.1.1. Boyutlu Koordinat Sistemleri

boyutlu uzay n geometrik yap s na uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birok koordinat sistemi tan mlanabilir. boyutlu uzayda koordinat sistemi {P 0, P1, P2, P3}olarak tan mlanan drt noktan n olu turdu uP0 P1 ! i ,0 2

! ,

0

3

! k birim vektrlerin tan mlad

eksenli bir sistemdir.

XHA Eks enii2

0

k

3

ekil 1. boyutlu uzayda koordinat at s

ekil 1de gsterilen koordinat at s nda; P 0 sistemin ba lang (orijin) noktas n , P 1, P2 ve P3 ise eksenlerini tan mlamaktad r. Bu koordinat at s nda herhangi bir noktan n konumu a i de erleri skaler byklkler olmak zere,

3 T T T P0 P ! a i P0 Pi ! a1 i a 2 j a 3 k i !1

(1)

vektrel e itli iyle elde edilir. boyutlu uzayda herhangi bir noktan n konumunu belirlemek iin kullan lan reel say lar lsne noktan n parametreleri yada k saca noktan n koordinatlar denir. Koordinat de erleri her nokta iin daima de i ik ve tek anlaml koordinat fonksiyonlar yla tan mlan rlar. Yani her noktan n koordinat fonksiyonlar , koordinat

parametrelerinin seimine ba l olarak bir sistem ierisinde belirlenir. Bu nedenle (X 1, X2, X3) eklinde tan mlanm koordinatlar daima boyutlu uzayda {P 0, P1, P2, P3}at s nda tan mlanm bir sisteme gre tan mlanm lard r. boyutlu koordinat sistemleri koordinat at lar n n geometrik yap s na gre iki gruba ayr labilirler.

2.1.1.1. Boyutlu Afin Koordinat Sistemleri

boyutlu afin koordinat sisteminin koordinat at s n olu turan birim vektrler P0 P1 ! i , P0 P2 ! j , P0 P3 ! k aras ndaki ili ki belli bir a ile tan ml d r. Bu vektrler birbirine paralel yada dik de ildir. Bu zellik sebebiyle koordinat sistem inin eksenleri birbirine gre e ik konumdad r ve e ik at l koordinat sistemleri olarak da adland r labilirler. Afin koordinat sisteminde birim vektrlerden olu an koordinat at s na gre boyutlu uzayda herhangi bir P noktas n n konumu (1) e itli i de dikkate al narak,

3 T T T P0 P ! a i P0 Pi ! a 1 i a 2 j a 3 k i !1

e itli iyle elde edilir. Buradaki a i katsay lar noktan n afin koordinatlar d r. Afin koordinat sisteminde bir n oktan n koordinatlar da daima birbirinden farkl ve tek anlaml koordinat fonksiyonlar yla tan mlan r ve (X 1, X2, X3) eklinde gsterilir.

2.1.1.2. Boyutlu Ortogonal Koordinat Sistemleri

boyutlu ortogonal koordinat sisteminde koordinat at s n

tan mlayan birim vektrler P0 P1 ! i , P0 P2 ! j ,TTT i , j , k at s n n birim vektrleri boyutlu

P0 P3 ! k aras ndaki a lar birbirine e it ve dik (90) d r. Bu zellikten dolay

uzayda P0 orijin noktas nda her zaman ortogonal yap l koordinat at s olu turmaktad r.

Ortogonal at n n birim vektrlerinden biri di er iki birim vektrn belirledi i dzleme dik ve bu yzeyin yzey normali ile ak kt r. Bu zelli e paralel olarak, ortogonal at n n birim vektrlerinin tan mlad dzlemler birbirine diktir [

boyutlu uzayda bu tr zelliklere sahip ortogonal at l koordinat sistemleri geometrik yap lar na gre; kartezyen (do ru eksenli) ve e risel (e ri eksenli) koordinat sistemleri gibi farkl iki koordinat sistemi eklinde ele al nabilirler. Bu sistemlerde farkl koordinat parametreleri kullan lmas d r, fakat hepsi ortogonal yap dad r ve birbirine dn m sa lanabilir.

y Kartezyen Koordinat Sistemleri

boyutlu uzayda tan mlanan kartezyen koordinat sistemi basit olmas nedeniyle olduka fazla uygulama alan bulmu tur. Bu koordinat sisteminin orijini O, klid uzay nda tan mlanan ortogonal at n n orijini P 0 ile ak kt r. Eksenleri de ortogonal sistemi tan mlayan birim vektrlerle ak kt r. Bu sistemde bir P noktas n n konumu o noktadan her bir koordinat eksenine inilen dik boylar ile belirlenir ve noktan n dik (kartezyen) koordinatlar olarak adland r l rlar. (X,Y,Z ) kartezyen koordinatlar + g ve - g aras nda de er alabilir.Z P (x,y,z)

T k T T O iP X Y

Bu durumda kartezyen koordinat sisteminde boyutlu uzay n herhangi bir P noktas n n konumu,

T T T T r ! OP ! x i y j z k

(2)

vektrel ba nt s ile elde edilir. Kartezyen koordinat sistemleri Z ekseninin etraf nda dndrld nde X ve Y eksenleri 90 a ile ak yorsa sa sistem, 270 a ile ak yorsa sol sistem olarak adland r l r. Bu iki sistem aras ndaki fark sadece bir sistemdeki eksenin yn pozitifken di erinde negatif olmas d r. Bu durum kartezyen koordinat sisteminde yans ma olarak adland r l r. Kartezyen koordinat sisteminde eksenlerin tan mlad dzlemler daima birbirine diktir. boyutlu uzayda herhangi bir P

noktas n n konumu kartezyen koordinatlarla belirlendi inde bu dzlemlere gre de konumu belirl enmi olur.

Kartezyen koordinat sistemleri boyutlu uzayda eksen parametrelerinin sabit ve de i ken al nmalar durumuna gre birbirinden farkl konumda E 1, E2, E3 gibi farkl dzlem yzey olu tururlar. Bu yzeyler eksenlerin ikisini iinde

bulundurur ve di er eksene dik olur. Bu yzeylerden E 1 = xoy dzlemi kartezyen koordinat sisteminin asal dzlemi, E 2 = xoz dzlemi birinci ana d ey dzlemi ve E 3 = yoz dzlemi ise ikinci ana d ey dzlemi olarak adland r l r.

Z E2

T k T T O iE1 X

E3

Y

y E risel Koordinat Sistemleri

E risel koordinat sistemlerinde (u1,u2,u3) koordinatlar , (X,Y,Z) kartezyen koordinatlar na dn m olan, boyutlu uzay n her bir noktas iin daima birbirinden farkl ve tek de erli parametrelerdir. (u 1,u2,u3) parametrelerinin seimine gre birok farkl e risel koordinat sistemi tan mlanabilir. Bu koordinat sistemlerinin sahip oldu u ortak koordinat at s nda bir P noktas n n kartezyen ve e risel koordinat parametrelerine gre,

T T T T T r ! P ! x i y z k ! r (u 1 , u 2 , u 3 )

(3)

e itli iyle tan mlan r.

boyutlu uzayda u 1,u2,u3 parametrelerinin seimine ba l olarak e risel koordinat sistemleri a a daki isimlerle adland r l rlar.

y Kresel Koordinat Sistemi y Silindirik Koordinat Sistemi, y Toroidal Koordinat Sistemi, y Parabolik Silindirik Koordinat Sistemi, y Ekliptik Silindirik Koordinat Sistemi, y Paraboloidal Koordinat Sistemi, y Yay k (Prolate) Sferoidal Koordinat Sistemi, y Yass (oblate) Sferoidal Koordinat Sistemi, y Elipsoidal Koordinat Sistemi, y Bipolar Koordinat Sistemi.

Bu koordinat sistemlerinin her biri ayn o rtogonal koordinat at s na sahip olmalar na ra men, kullan lan parametrelerin matematiksel ve geometrik farkl l klar nedeniyle boyutlu uzayda farkl koordinat sistemleri olarak kar m za karlar. Bu koordinat sistemlerinden Kresel koordinat sistemi ve Elipsoidal koordinat sistemi burada a klanacakt r.

y Kresel Koordinat Sistemi :

Konum parametresi olarak a ve uzunluklar n al nd

kresel koordinat sistemleri astronomi ve jeodezi gibi bilim

dallar nda yayg n olarak kullan lmaktad r. Bu koordina t sistemindeki bir noktan n koordinatlar ( , ,r) ile tan ml d r.

Z

P (x,y,z)T k

rT

T i

O

Y

P X

POP = xOP =OP = r

; ; ;

0

e 2 e 2

0e ru0

Bu de erler P noktas n kresel koordinatlar olmakta ve pozitif ynleri x,y,z kartezyen koordinat sisteminin kartezyen eksenlerinin pozitif ynn gstermektedir. boyutlu uzayda P noktas na ait kresel koordinatlar ile kartezyen koordinatlar aras ndaki ili ki;

x ! r CosN Cos y ! r CosN in

, ,

r ! X2 Y2 Z2 y z ! arctan ! arcsin x r z N ! arctan x2 y2

z ! r in N

,

Bu ekilde tan mlanan kresel koordinat sisteminde; ( , , r) kresel koordinat parametrelerinden birinin de i ken di erlerinin sabit seilmesi durumunda farkl geometrik yap da koordinat sistemleri olu tururlar. r parametresinin de i ken olmas durumunda ayn merkezli i ie k reler; parametresinin de i ken olmas durumunda Z -ekseninin r yar apl kreyi parametresinin de i ken olmas

kesti i noktalarda ( kresel kutup noktalar nda) birle en byk daire (meridyen) yaylar ;

durumunda de i ken yaylar n dik olarak kesen e ri ler (kk daire yaylar ) meydana gelmektedir.

Z

Y O

X

y Kartezyen ve Kresel Koordinat Sistemleri Aras ndaki Dn m:

boyutlu uzayda bir P noktas n n yer vektr kartezyen koordinatlar cinsinden;

T T T T T r ! P ! x i y z k ! r (u 1 , u 2 , u 3 )

e itli iyle verilir. Ayr ca bu noktan n kresel ve kartezyen koordinatlar aras nda;

x ! r osN os y ! r osN in z ! r in N

fonksiyonel ili kisi mevcuttur.

Bu ba nt lar gz nne al narak boyutlu uzayda herhangi bir P noktas na ait r yer vektrnn kresel koordinatlar cinsinden ifadesi;r ! X2 Y 2 Z2 y z ! arctan ! arcsin x r z N ! arctan x2 y2