Embed Size (px)
Citation preview
2
Az előadás során megismerjük:
• A szilárd test mozgásának leírását;• Az alakváltozás értelmezését, az
alakváltozási tenzorokat;• Másodrendű tenzor főértékeit és
főirányait.• Az alakváltozási sebesség értelmezését,
az alakváltozási sebesség tenzort.
3
Szilárd test mozgása
Az anyaggal kitöltött tértartományok (testek) vizsgálatát koordináta-rendszerekbenvégezzük el. Az egyik koordináta-rendszer a test pontjainak azonosításáraszolgál. Ennek a rendszernek a koordinátáit rendre X1,X2,X3 –mal, míg azegység bázis vektorait rendre E1,E2,E3-mal jelöljük. A test mechanikai mozgásátún. vonatkoztatási koordináta-rendszerhez viszonyítjuk, amelynek koordinátáitx1,x2,x3 –mal, egység bázis vektorait e1,e2,e3-mal jelöljük
4
A Lagrange-féle leírásmódnál a testet jellemző mennyiségeket(hőmérséklet, sebesség, sűrűség, feszültség stb. ) közvetlenül azanyagi pontokhoz kötjük, vagyis azt vizsgáljuk, miként változnak ezek amennyiségek az idő és az anyagi pontok egyediségét jellemző változókfüggvényében. Ilyen változó lehet pl. a test tetszőleges anyagipontjának a kezdeti konfigurációhoz tartozó Xi koordinátái avonatkoztatási koordináta-rendszerben meghatározva.
,,,,
3,2,1,,,,,,
321
321
ttxxxXXittXXXxx
ii
ii
xXXXxx
Mozgástörvény
Inverz mozg. törvényElmozdulás
Az Euler-féle leírásmódnál a kontinuumot jellemző mennyiségeket(hőmérséklet, sebesség, sűrűség, feszültség stb. ) a vonatkoztatásikoordináta-rendszer geometriai pontjaihoz kötjük. Ezek a mennyiségekaz térkoordináták és a idő függvényei, amelyeket Euler-féleváltozóknak (xi,t) is nevezünk.
XXXu txtXtXXXxtXXXu iii ,,,,,,,,, 321321
1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,i i iu x x x t x X x x x t t t u x x X x
Alakváltozás értelmezése
5
Egy test alakváltozásán a testhez kötött geometriai alakzatok jellemzőinek (pl.vonalszakaszok hosszának, az általuk bezárt szögeknek, felületek görbületeinekstb.) a test mozgása során létrejövő megváltozását értjük. Az alakváltozásmindig két állapot (kezdeti és pillanatnyi) összehasonlítása alapján határozhatómeg. A testet alkotó pontok eloszlását konfigurációnak hívjuk, ami a testmozgása során az időben változik.
6
Vizsgáljuk a P0 pont egy kicsiny környezetét, amelyben dX legyen egyanyagi vonalelem a kezdeti konfigurációban. A test mozgása során akiválasztott vonalelem megváltozik és a pillanatnyi konfiguráció dxvonalelemébe megy át.
,d dS d ds X N x n
Egy adott időpillanatban a vonalelemek kapcsolatát a mozgástörvénydifferenciálja határozza meg.
,, ,i
i jj
txdx dX d d d dX
x Xx X x D X
X
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
x x xX X Xx x xDX X Xx x xX X X
D- alakváltozási gradiensAz alakváltozási gradiens inverzét az inverz mozgástörvényből határozzuk meg.
1,,i
i jj
tXdX dx d d dx
X xX x D x
x
7
Alakváltozási tenzort az anyagi ívelemhossz négyzetének azalakváltozáskor bekövetkező megváltozása alapján lehet meghatározni.Pillanatnyi konfigurációban
Alakváltozási tenzorok
2 2 2 21 2 3
2 d d d d
, Green-féle alakváltozási tenzor
i ij k
j k
T T T
T i ijk
j k
x xds dx dx dx dX dXX X
dsx xCX X
x x X D D X
C D D
d d2 TdS X XKezdeti konfigurációban
d d d d d d
1 1 1, Lagrange-féle a.v tenzor2 2 2
2 2 T T T T T
T i ijk jk
j k
ds - dS
x xEX X
X D D X X X X D D I X
E D D I C I
8
Az inverz mozgástörvény és az inverz alakváltozási gradiens segítségével is meghatározható az anyagi ívelem vektor és annak négyzete a kezdeti konfigurációban.
1j
2 2 2 21 2 3
1 1
d d , d d d
d d
kk
j
i ij k
j k
2 T T
XX xx
X XdS dX dX dX dx dxx x
dS
XX x D xx
x D D x
1 1 Cauchy-féle alakváltozási tenzorT i i
j k
X Xx x
c D D
A pillanatnyi konfigurációban d d2 Tds x x
1 1 1 1
1 1
d d d d d
1 1 1, Euler-féle av. tenzor2 2 2
2 2 T T T T T
T k kij ij
i j
ds - dS
X Xex x
x x x D D dx x I D D x
e I D D I c
9
XuXx ,,, 321 XXXuXx kkk
Az u elmozdulásvektor kapcsolatot teremt az Xi és xi koordináták között
Az alakváltozási tenzorok előállíthatók az elmozdulásvektor segítségével is.
,
1 , ha 1, 12
1 1,2 2
fajlagos ívhossz : / /
k k k kki ki
i i i i
ji k k i iij
j i i j j j
j ji k k iij ij
j i i j j i
x u X uX X x x
uu u u u uEX X X X X x
u uu u u uex x x x x x
ds dS d d d
x x X
1 1
,
relatív nyúlás
1 ,
T
N
n n NT
ds dSddS
d d dSdS dS
ds dsdsd d
X
X D D X N C N
n c nx D D x
10
Főértékek, főirányokA Green és Cauchy alakváltozási tezorok forgatásával elérhető, hogy a diagonális elemeken túl a többi tenzorelem zérus értékű legyen.
11 21 31 1 11 21 31 1
12 22 32 2 12 22 32 2
13 23 33 3 13 23 33 3
0 0 0 00 0 , 0 00 0 0 0
C C C C c c c cC C C C c c c cC C C C c c c c
Sajátérték feladat A tenzorra , ki i kA n n A n n
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0, 0
0ki ki i
A n A n A n
A b n A n A n A n
A n A n A n
11
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0ki ki
A A AA A A A
A A A
3 21 2 3 0, k
kJ J J A Karakterisztikus egyenlet
1 11 22 33 1 2 3 0
2 22 23 33 3111 122
32 33 13 1121 22
1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
3
12
det
A ii
A ii ij ji
A ik
J A A A A A A A AA A A AA A
J A A AA A A AA A
A A A A A AJ A A A A
Skalár invariánsok
' '0 0, ,ij ij ijA A A A A A IDeviátor tenzor
2 2 2 2 2 21 2 11 22 22 33 11 33 12 13 23
2 2 21 2 2 3 1 3 3 0 1 0 2 0 3 0
10, 66
1 , det6
A A
A ij ij
J J A A A A A A A A A
A A A A A A J A A A A A A A A
12
1 0 2 0
'3 0 33
2 2cos , cos ,3 3 3
2 27cos , cos 33 3 2
A A
A A A
A A A A A A
A A A JA
Tenzor intenzitása alatt a deviátor tenzor második skalár invariánsánakabszolut értékéből képzett négyzetgyökökkel arányos mennyiségetértjük.
' '2
2 2 2 2 2 211 22 22 33 11 33 12 23 13
332
1 62
A ik ikA J A A
A A A A A A A A A
Tenzor főértékeinek meghatározása
13
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
2 2 2
1 2 3
0
0
0
1
k k kk
k k kk
k k kk
k k k
A A n A n A n
A n A A n A n
A n A n A A n
n n n
A főértékek ismeretében a főirányok irány koszinuszai a karakterisztikusegyenletből határozhatók meg.
Logaritmikus alakváltozás
14
A kontinuum kezdeti állapotában egy P0 pont környezetében kijelölt elemi anyagi gömb az alakváltozás során ellipszoiddá változik. Az ellipszoid tengelyei a Cauchy tenzor főirányaiba mutatnak.
31 2 3
1 2 3
térfogatállandóság: 1dS dS dS dS c c cc c c
0k
k
dSdsc
15
31 2 3
1 2 3
, térfogatállandóság: 1kk
ds ds ds dsdS ds CC CC C C C
Amennyiben a Green tenzort alkalmazzuk az alakváltozás leírására,igazolható, hogy a pillanatnyi állapotban kijelölt elemi gömb a kezdetiállapotban ellipszoid volt, amelynek főtengelyei a Green tenzor főirányaibamutatnak.
Logaritmikus alakváltozási tenzor : főértékei az egymásnak megfelelő anyagi gömbök és ellipszoidok összetartozó sugarai és féltengelyei alapján határozhatók meg.
1 2 3
1 1 2 2 3 31 2 3
ln 2ln 2 , 0
ln 2ln 2 ,
1 1ln 1 2 , ln 1 22 2
k kk
K KK
k k K k
ij i j i j i j
dScds
dsCdS
e E
n n n n n n
16
1. Feladat (homogén alakváltozás)
11 2 3
1 2 3 21 2 3
3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
21 1
122 2
23 3
0 0, , , 0 ha 0 0 ,
0 01 1 1, , , 0 ha
0 0 1/ 0 00 0 , 0 1/ 0 ,0 0 0 0 1/
iij
k
i
k
ij ij ij
ax x x xa a a i k D aX X X X
aX X X X i kx a x a x a x
a aC a D a c
a a
21
22
23
1/ 0 00 1/ 00 0 1/
aa
a
3
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
Egy mérettel rendelkező hasábot homogénen megnyújtunk aztengely irányában és egy méretű testet kapunk.Bevezetjük az
/ , / , / mennyiségeket. A mozgástörvény, , .Határozzuk meg
AxBxHx axbxha a A a b B a h Hx a X x a X x a X azalakváltozási
gradienst és az alakváltozási tenzorokat.
17
2 21 1
22 2
2
23
23
1
2
3
1 11 1 0 01 0 0 221 1 10 1 0 , 0 1 02 2
1 1 10 0 1 0 0 12 2
ln 0 00 ln 00 0 ln
ij ij
ij
a a
E a ea
aa
aa
a
18
Különböző alakváltozási mérőszámok összehasonlítása
1,00 1,05 1,10 1,15 1,200,00
0,05
0,10
0,15
0,20
Alak
válto
zás
a1
MérnökiLogaritmikusLagrangeEuler
alakváltozás
19
2. Feladat (egyszerű nyírás)
1 1 2 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3
, ,,
tan , sík alakváltozási állapot
x X X k x X x XX x kx X x X xk
x1
x2
Határozza meg a Lagrange, az Euler és alakváltozási tenzorokat.
,1,0,0,1,0,0
,0,1,0,0,1,0
,0,,1,0,,1
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
xX
xX
xX
Xx
Xx
Xx
xX
xX
xX
Xx
Xx
Xx
xXk
xX
xX
Xxk
Xx
Xx
20
00005.05.005.00
,00005.05.005.00
001001021,00100001
21
000010121,01110000
21
5.01001121,01000011
21
21,
21
22
2313
1233
22211
kkk
ekkk
kEE
kEE
kkkEE
xX
xX
eXx
Xx
Ek
p
i
pikikik
k
p
i
pik
E
Az alakváltozó test sebességállapota
21
Az eddigiek során az alakváltozó test jellemzőit olyan összefüggéseksegítségével írtuk le, amelyek az anyagi pont kezdeti és pillanatnyiállapotát hasonlították össze. Egy másik módszer alkalmazásával azalakváltozó test valamely t időpillanatbeli konfigurációjából, közvetlenülegy azt követő t+dt állapotába megyünk át.
dtdt
dt
urv0
lim,
,
,i ki i k
x X tv v X t
t
Mozgástörvényből
txxxvv ii ,,, 321
Inverz mozgástörvényből
A mozgó kontinuum két szomszédos pontját jelöljünk P vel és P’-vel, a térbeli helyzetüket az alakváltozás t időpillanatában xj és xj +dxjhatározza meg. A P’ pont relatív sebessége a P-hez képest
ii j
j
vdv dxx
22
/ik i kL v x Sebesség gradiens, felbontható egy szimmetrikus ()és antiszimmetrikus (W) részre.
1 1, ,2 2
1 1, ,2 2
j ji i iij ij ij
j j i j i
v vv v vL Wx x x x x
T TL ξ W ξ L L W L L
A szimmetrikus rész neve az alakváltozási sebesség tenzor, míg az anti-szimmetrikus részé az örvénytenzor , amely az anyagi pont merevtestszerű forgását írja le.Az alakváltozási tenzorokhoz hasonlóan az alakváltozási sebességtenzor is transzformálható a főirányokra és a főértékek meghatározhatók a karakterisztikus egyenletből.
3 21 2 3 0J J J
23
1 11 22 33 1 2 3 0
11 13 22 2311 122 1 2 2 3 1 3
31 33 32 3321 22
11 12 13
3 21 22 23 1 2 3
31 32 33
3
det
ii
ij
J
J
J
Az első skalár invariáns a test térfogatváltozásának a sebességét méri
1 divJ vHa a test térfogata állandó, vagyis összenyomhatatlan, akkor az alakváltozási sebesség tenzor első skalár invariánsa zérus.
0,0div3
3
2
2
1
1
xv
xv
xvv
24
Az alakváltozási sebességtenzor felbontható két részre, a deviátor és agömb tenzorra
ijijij 0
A deviátor tenzor első skalár invariánsa zérus, a második és a harmadik invariánsa az előzőekhez hasonlóan írható fel. Az egyenértékű alakválto-zási sebesség
' ' '2
2 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 31
2 2 21 2 2 3 3 1
2 233
2 632
3
ij ijJ
Az alakítási folyamatoknál szükség van olyan mérőszám bevezetésére ami jellemzi a folyamat során valamely anyagi pont környezetében felhalmozott alakváltozást, és mértékéül szolgál az anyag keményedésének.
0
t
t
dt Alakváltozás mértéke .Az integrálást a trajektória mentén kell elvégezni.
25
3.feladat
2,0,,
0
xxzzyyzzyyxx
xxxx l
vxvx
vtlvx
lvv
Határozza meg az alakváltozási sebességtenzort és az alakváltozásmértékét homogén szakításnál.Az x tengely legyen párhuzamos a próbatest tengelyével, az y és z tengely erre merőlegesen helyezked-jen el.
,
00
00
00
lv
lv
lv
ξ000
ln,0
ll
vdl
lv
vdldt
l
l
t
xx
t
xxxx
Fogalmak• Mozgástörvény• Lagrange és Euler leírásmód• Alakváltozási gradiens• Green és Cauchy alakváltozási
tenzor• Lagrange és Euler
alakváltozási tenzor• Logaritmikus tenzor• Karakterisztikus egyenlet• Tenzor főértékei és főirányai• Tenzor skalár invariánsai• Deviátor tenzor• Tenzor intenzitása
• Anyag összenyomhatat-lanságának feltételei
• Sebesség, sebességmező• Sebesség gradiens• Alakváltozási sebességtenzor• Egyenértékű alakváltozási
sebesség• Alakváltozás mértéke• Anyagi pont trajektóriája
26
