5. Mongeovo projiciranje 31

Primjer 1.34. Projekcije kruznice. Konstruirajmo projekcije kruznicek(S, r = 2.5), S(5, 2,− ), koja lezi u ravnini γ(−4, 2, 3).

Rjesenje. Prvo rijesimo zadatak pomocu prevaljivanja ravnine γ oko prvog idrugog traga ravnine.

Pomocu sutraznice prve vrste nademo tocku S ′′, a zatim i tocku S0 na su-traznici prve vrste. Iz tocke S ′ povucimo okomicu na prvi trag c1, te rotiramo tockuS0 u polozaj (S). Oko tocke (S) opisimo kruznicu polumjera r = 2.5. To je pravavelicina kruznice k.

Neka je (1)(2) promjer paralelan s prvim tragom, a (3)(4) njemu okomit prom-jer. Buduci da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini s osi afinosti c1 i zrakamaafinosti ortogonalnima na os afinosti, slijedi da se tocke 1′ i 2′ nalaze na sutraznicikroz S ′ i na okomicama kroz (1) i (2). Tocke 3′ i 4′ nademo pomocu afinosti.

Promjeri 1′2′ i 3′4′ su glavni promjeri elipse, tj. tlocrta k′ kruznice k, te seelipsa sada lako nacrta.

Isti postupak ponovimo s rotacijom ravnine, a samim time i kruznice k okodrugoga traga ravnine c2. Vrhovi elipse koja je nacrt kruznice k su tocke 5′′, 6′′, 7′′ i8′′.

5. Mongeovo projiciranje 32

5. Mongeovo projiciranje 33

No, projekcije kruznice mogu se konstruirati i bez rotacije ravnine prekonjezinih tragova. Pogledajmo samo priklonicu p ravnine γ koja prolazi sredistem Skruznice k. Na toj se priklonici nalaze tocke 3 i 4 ciji tlocrti su vrhovi elipse koja jetlocrt kruznice. Tlocrt priklonice p je okomica na prvi trag c1 koja prolazi tockomS ′. I tlocrti 3′ i 4′ tocaka 3 i 4 nalaze se na tlocrtu priklonice p.

Prevalimo priklonicu p preko njezinog tlocrta u ravninu π1 i nazovimo tajpravac s p0. On ocito prolazi tockom S0 i tockom u kojoj priklonica p sijece prvitrag. Na njoj se nalaze i prevaljene tocke 30 i 40 koje su od S0 udaljene upravo zapolumjer kruznice k buduci da je ovo prevaljivanje izometrija i udaljenosti su ostalesacuvane. No, tocke 30 i 40 nalaze se i na sutraznicama kroz tocke 3′ i 4′. Time jegotova analiza zadatka i sada konstrukcija tece ovako.

Na sutraznici prve vrste kroz tocku S ′ nanesemo tocke 1′ i 2′ koje su od S ′

udaljene za r. To su vrhovi elipse koji odredjuju jednu os elipse. Konstruiramoprevaljenu priklonicu p0 kao spojnicu tocke S0 i nozista okomice iz S ′ na prvi trag.Na tom pravcu p0 od tocke S0 nanesemo na obje strane polumjer kruznice. Timedobivamo tocke 30 i 40. Povlacenjem paralela s prvim tragom kroz te tocke dookomice iz S ′ na prvi trag dobivamo tocke 3′ i 4′ koje odreduju drugu os elipse.

Za konstrukciju nacrta kruznice k primjenjujemo analogan postupak proma-trajuci priklonicu tockom S koja je okomita na drugi trag ravnine γ.

5. Mongeovo projiciranje 34

.