Kuliah2_fistat15161

9/2/2015

1

Kuliah Fisika Statistik A (Dr. Lutfi R,) Universitas Jember [TA 15/16/1]Kuliah Fisika Statistik A (Dr. Lutfi R,) Universitas Jember [TA 15/16/1

Fisika Statistik (A)

Dr. Lutfi Rohman

1Kuliah Fisika Statistik A (Dr. Lutfi R,) Universitas Jember [TA 15/16/1]

Probabilitas Termodinamik

2

Probabilitas dalam fisika statistik:

Dalam sistem tertutup dan terisolasi, energi E dan jumlahpartikel N adalah keduanya konstan. “microstate” yang mungkin adalah yang memenuhikedua kondisi ini.

Ketika waktu berjalan karena ada interaksi antar partikel, bisa saja sekelompok partikel berubah energinya yang mengakibatkan perubahan keadaan energi setiap partikel. “microstate” akan berubahNamun setiap kemungkinan “microstate” harus memenuhi kondisi E dan N yang konstan.

Kuliah Fisika Statistik A (Dr. Lutfi R,) Universitas Jember [TA 15/16/1]

Probabilitas Termodinamik (2)

3

Jumlah “microstate” yang mungkin yang berkorespondensi dengan suatu “macrostate” k disebut probabilitas termodinamika, Wk.

Jumlah “microstate” secara keseluruhan (assembly) Ω menjadi:

Sifat-sifat makroskopis benda tergantung pada nilai ‘rata-rata dalam waktu’ dari sifat-sifat mikroskopisnya. Contoh tekanan gas tergantung pada harga rata-rata laju momentum

dalam suatu area tertentu.

k

k

WΩ =∑


Probabilitas Termodinamik (3)

4

Jadi dibutuhkan suatu cara untuk menentukan jumlah partikelrata-rata pada level energi j dalam assembly.

disebut jumlah penempatan (occupation number) rata-rata

pada level j. Ambil sebagai jumlah penempatan pada level j di “macro

state” k. Maka rata-rata grup yang menempati level j:

Secara rata-rata waktu juga akan didapat hasil serupa. Dapatditulis:


Statistika Maxwell-Boltzman

5

Sebuah sistem GAS

Sebutlah: Qi adalah koordinat gabungan (posisi dan spin) partikel ke-iSi adalah keadaan kuantum partikel ke-iKeadaan seluruh gas: s1, s2,s3,.... dengan fungsi gelombang pada keadaan ini:

[ ] ( )1, 2, 3

1, 2,..,Ns s s

Q Q QΨ = Ψ


Statistika Maxwell-Boltzman (2)

Kalau keadaan GAS tadi kita tinjau secara klasik(statistika Maxwell-Boltzman) maka:

partikel dapat dibedakan (distinguishable)

berapa pun jumlah partikel dapat menempati keadaantunggal s yang sama

tidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikelditukar

Supaya jelas kita tinjau kasus 2 partikel (a dan b) dengan keadaan kuantum yang mungkin ada tiga s= 1, 2, 3. Partikel-partikel dapat dibedakan dan jumlah partikel yang menempati energi yang sama tidak dibatasi.

6

9/2/2015

2



7

Kemungkinan susunan keberadaan dua partikel (a dan b) pada tiga level energi:

Level

Keadaan (1) (2) (3)

1 ab

2 ab

3 ab

4 a b

5 b a

6 a b

7 b a

8 a b

9 b a

Karena setiap partikel punya tigapilihan level energi maka jumlahkonfigurasi (keadaan) yang mungkin adalah jumlah level energipangkat jumlah partikel atau:

23 9=



Kalau kita tinjau Populasi partikel dalam masing-masinglevel energi

8

(1) (2) (3)

ab

ab

ab

a b

b a

a b

b a

a b

b a

pop1 pop2 pop3

2 0 0

0 2 0

0 0 2

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

2 0 0 1 peluang 1/90 2 0 1 peluang 1/90 0 2 1 peluang 1/91 1 0 2 peluang 2/91 0 1 2 peluang 2/90 1 1 2 peluang 2/9

Hanya ada 6 konfigurasi dengan peluangmasing-masing.

DISTRIB(Na; n1, n2, Na-n1-n2) = Na! / [n1!.n2!.(Na-n1-n2)!]



Partisi Energi

Asumsi 1:Semua tingkat energi berpeluang sama untuk ditempati partikel.

Asumsi 2:Peluang suatu partisi sebanding dengan jumlah carayang berbeda dengan mana partikel-partikel bisa didistribusikan di antara tingkat-tingkat energi yang ada untuk menghasilkan partisi itu.

9

Contoh: Ada sebuah partisi energi dengan jumlah sebaran partikel sbb:



10

Misalkan jumlah seluruh partikel N. Dalam pengisian tingkat energi E1, jumlah cara untuk me masukkan 3 dari N buah partikel adalah

Jika tanda pada ketiga partikel: a, b, c maka ada 3!=6 urutanpengisian yang berbeda yakni abc, bac, cab, bca, acb, cba.Tapi keenam urutan itu isinya sama; jadi ada 3! partisi yang sama.Oleh sebab itu, jumlah cara berbeda untuk memasukkan 3 dari N buah partikel ke E1 adalah:

atau



11

Setelah memasukkan n1 buah partikel ke E1, maka yang tersisa adalah N-n1 buah. Jika kita ingin memasukkan n2 dari N-n1 partikel ke E2, maka jumlah cara berbeda adalah

Dengan cara yang sama, jumlah cara berbeda memasukkann3 dari (N-n1-n2) buah partikel ke E3 adalah

Jumlah cara berbeda untuk mengisikan n1 partikel ke E1, n2 partikel ke E2, n3 partikel ke E3 dan seterusnya hingga ke ting-kat terakhir secara berturut-turut, adalah



12

W

1 2 3

!

! ! !......

NW

n n n=

Jumlah cara menempatkan n1 partikel pada g1 buah keadaanadalah

Jumlah cara menempatkan n2 partikel pada g2 buah keadaanadalah dst…Jadi:

31 2

1 2 3

11 2 3

! ....!

! ! !..... ! !

sMn nn n n M

M s

sM s

N g g g g gW N

n n n n n=

= = ∏

9/2/2015

3

Kuliah Fisika Statistik A (Dr. Lutfi R,) Universitas Jember [TA 15/16/1]13






9/2/2015

4



19

Sekarang kita tinjau assembli yang terisolasi dari lingkungan. Tidak ada pertukaran partikel maupun energi antara assemblidan lingkungan.Dengan demikian, jumlah sistem N dan energi total U yang dimiliki assembli konstan. Akibatnya nilai diferensial keduanyanol, atau

Asumsi: Konfigurasi yang dibentuk oleh sistem-sistem dalamassembli yang menghasilkan besaran makroskopik adalah konfigurasi dengan probabilitas maksimum.



20

lnW

Pendekatan Stirling:



21

lnW



22

Penggabungan dengan menerapkan pengali Langrange sebagai berikut:

Jadi konfigurasi yang memiliki peluang kemunculan paling besar adalah yang memiliki jumlah sistem pada tiap kelompok energi yang memenuhi persamaan tersebut.



23

Kerumitan perata-rataan terhadap semua konfigurasi yang mungkin muncul telah direduksi secara drastis hanya dengan menghitung nilai pada konfigurasi maksimum



24

Peluang pada konfigurasi-maksimum

rasio deviasi jumlah sistem pada tiap-tiap kelompok energi terhadap jumlah pada konfigurasi maksimum

β harus negatif

9/2/2015

5



25

s sE E

s s s

s s s

N n g e e g e e Zα β βα α− − −− −= = = =∑ ∑ ∑

sE

s

s

Z g eβ−=∑

Jadi, partisi dengan peluang maksimum adalah

sE

s s

Nn g e

Z

β−=

Inilah yang disebut hukum partisi (distribusi) Maxwell-Boltzmann


Defenisi harga rata-rata besaran fisis yang bergantung energi, misalnya F(E), adalah

Pada keadaan setimbang (partisi paling berpeluang): sE

s s

Nn g e

Z

β−=

( )1

ave s s

s

F n F EN

= ∑

( )1

sE

ave s s

s

F g F E eZ

β−= ∑


Contoh 1:Jika partikel-partikel dalam suatu sistem hanya bisa berenergi E1=-ε danE2= ε, dengan peluang penempatan g1=g2=1 yang sama, tentukanlah energirata-rata satu partikel

1 2 2coshsE E E

s

s

Z g e e e e eβ β β βε βε βε− − − −= = + = + =∑

( )1

sE

ave s s

s

F g F E eZ

β−= ∑

energi rata-rata satu partikel

( )1 2

1 1 2 2

1 1sE E E

ave s s

s

E g E e g E e g E eZ Z

β β β− − −= = +∑

( )( )

( )( )

( )2 sinh

tanh2 cosh 2 cosh

ave

e eE

βε βεε ε ε βεε β ε

β ε β ε

−− + −= = = −


Contoh 2:Suatu sistem dari 4000 partikel memiliki tiga tingkat energi E1=0, E2=ε dan E3=2ε dengan peluang penempatan yang sama g1=g2=g3. (a) Bandingkanlah peluang-peluang relatif dari partisi di mana 2000 partik

el menempati tingkat energi E1, 1700 pada tingkat energi E2 dan yang 300 pada tingkat energi E3, dengan partisi yang dihasilkan oleh perpindahan satu partikel dari tingkat energi E2 ke tingkat E1 dan satu partikel ketingkat E3.

(b) Tentukanlah partisi dengan peluang maksimum (keadaan setimbang), dengan membuktikan peluang relatifnya saat terjadi perpindahan spt (a)! Jawab:

(a) Karena g sama utk semua tingkatan energi

31 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

,! ! !

! ! ! ! ! !

nn n

n n n N

g g gW g g g g

n n n

g gW

n n n n n n

+ +

= = = =

= =


Sebelum ada perpindahan:4000

1 2 3! ! ! 2000!1700!300!

N

A

g gW

n n n= =

Setelah ada perpindahan: 1 partikel E2E1, 1 partikel E2E3

4000

1 2 3! ! ! 2001!1698!301!

N

B

g gW

n n n= =

Peluang relatif yang terjadi:

2000!1700!300! 1700 16994,8

2001!1698!301! 2001 301

B

A

W

W

×= = =

×


(b) sE

s sn g eα β− −=Partisi dengan peluang maksimum

9/2/2015

6


2277!1146!577! 1146 11450,9966

2278!1144!578! 2278 578

B

A

W

W

×= = =

×


Tugas 1

32

Documents

Kuliah2_fistat15161