Kvadratická funkcia

Graf kvadratickej funkcie

Mgr . Viera Bobáková Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín Šk. rok 2010/2011

2

Kvadratická funkcia

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Definícia kvadratickej funkcie a jej typy

Grafy kvadratických funkcií

Výskyt kvadratickej funkcie

Domáca úloha

3

Výskyt kvadratickej funkcie

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

v geometrii obsah kruhu S = ¶.r2

obsah štvorca S = a2

objem valca V= ¶.r2.v vo fyzike dráha vrhu S = -½ .gt2+vot energia častice E = m. c2

Príklad

4

Definícia kvadratickej funkcie

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu danú predpisom

f: y = ax2 + bx + c

pričom a, b, c R, a 0

ax2 – kvadratický člen bx – lineárny člen c – absolútny člen

Príklad

5

Typy kvadratických funkcií

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

neúplné kvadratické funkcie

ak b, c=0: y = ax2

ak b=0: y = ax2+c

ak c=0: y= ax2+bx

úplné kvadratické funkcie

ak a, b, c ≠ 0: y = ax2+bx+c

6

Grafy kvadratických funkcií

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

kvadratická funkcia typu y=x2, y=-x2

kvadratická funkcia typu y=ax2

kvadratická funkcia typu y=ax2-c

kvadratická funkcia typu y=a(x-m)2

kvadratická funkcia typu y=a(x-m)2-n

kvadratická funkcia typu y=ax2+bx+c

Úlohy na precvičenie

7

Graf kvadratickej funkcie y=x2, y=-x2

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Vykreslenie funkcie

y=x2 y=-x2

Poznámka: Grafom každej kvadratickej funkcie je krivka, ktorú nazývame

parabola. Súradnice bodu V [0;0] nazývame vrchol paraboly.

8

Graf kvadratickej funkcie y=ax2

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

y=x2y=2x2

y=1/4x2

a>0 a<0

Vykreslenie funkcie

y=-1/4x2y=-x2

y=-2x2

9

Graf kvadratickej funkcie y=ax2-c

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Vykreslenie funkcie

Poznámka: Ak chceme dostať graf funkcie y=ax2-c, stačí ak posunieme graf

y=ax2 o c jednotiek pozdĺž y-ovej osi.

y=x2-3

y=x2

y=x2y=x2+3

y=-x2-3y=-x2+3

10

Graf kvadratickej funkcie y=a(x-m)2

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Vykreslenie funkcie

Poznámka:

y=x2

y=-x2

y=(x-3)2

y=-(x-3)2

y=(x+3)2

y=-(x+3)2

Ak chceme dostať graf funkcie y=a(x-m)2, stačí ak posunieme graf

y=ax2 o m jednotiek pozdĺž x-ovej osi.

11Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Vykreslenie funkcie

Poznámka:

Graf kvadratickej funkcie y=a(x-m)2-n

Ak chceme dostať graf funkcie y=a(x-m)2-n, stačí ak posunieme

graf y=ax2 o m jednotiek pozdĺž x-ovej osi a o n jednotiek pozdĺž

y-ovej osi.

y=x2

y=-x2

y=(x-3)2-4y=(x+3)2+4

y=-(x+3)2+4 y=-(x+3)2-4

12

Graf kvadratickej funkcie y=ax2+bx+c

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Vykreslenie funkcie

1. Určíme súradnice vrcholu poraboly x0, y0.

abx20

2. Vypíšeme niekoľko ďalších dvojíc, ktoré patria funkcii.

3. Zostrojíme v karteziánskej sústave súradníc obrazy

usporiadaných dvojíc získaných v bode 1 a 2.

abcy4

2

0

Príklad

13

Zadanie úlohy č. 1

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Zostrojte grafy funkcií v jednej súradnicovej sústave súradníc a porovnajte ich s grafom

funkcie f: y=x2 (grafy farebne rozlíšte).

g: y=3x2 j: y=x2-3 h: y=x2+3 l: y=(x+3)2 k: y=(x-3)2+3 m: y=(x+3)2-3

14

Zadanie úlohy č. 2

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

a) y=-(x-1)2+5

b) y=-(x+1)2-2

c) y=-2(x-1)2

d) y=-(x+3)2+4

Priraď jednotlivé predpisy kvadratických funkcií ku grafom.

Správne odpovede

Zmaž

15

Zadanie úlohy č. 3

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Priraď jednotlivé predpisy kvadratických funkcií ku grafom.

a) y=(x-1)2+3

b) y=(x+3)2+1

c) y=(x+1)2+3

d) y=(x-2)2-4

Správne odpovede

Zmaž

16

Zadanie úlohy č. 4

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

K jednotlivým predpisom kvadratických funkcií priraď súradnice vrcholu

paraboly.

f: y=x2-3

f: y=-x2-1

f: y=-x2+2x

f: y=-x2-4x

f: y=x2-2x-2

f: y=x2-4x-1

a) [-2; 4]

b) [1; 1]

c) [2; -5]

d) [2; -3]

e) [0; -1]

f) [0; -3]

Správne odpovede Zmaž

17

Zadanie úlohy č. 5

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

1. Určíme súradnice vrcholu paraboly, ktorá je grafom funkcie f:

a=1, b=-2, c=-3

122

20

a

bx

4443

4

2

0 a

bcy

2. Vypíšeme niekoľko dvojíc patriacich funkcii.

x -2 -1 0 2f(x) 5 0 -3 -3

Zostrojte graf kvadratickej funkcie f: y=x2-2x-3.

18

Domáca úloha

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

1. Nakresli a porovnaj grafy funkcií f: y=2x2, s g: y=(2x)2. Vysvetli

prečo obidva grafy nie sú rovnaké?

2. Nakresli graf funkcie f: y=0,5(x-1)2+2

Pomôcka: http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/tweedegraadsfuncties.htm#Grafiek (program na vykreslenie funkcií)

19

Použité zdroje

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

1. Odvárko O., Řepová J., Skřiček L.: Matematika pre SOŠ a SOU-

2.časť, SPN, Bratislava 1984

2. Holéczyová S.: Matematika pre stredoškolákov zbierka úloh 1-

Rovnice, nerovnice, funkcie 1, Aktuell, Bratislav 2007

3. http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/

tweedegraadsfuncties.htm#Grafiek

20

Ďakujem za pozornosť

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

21

Zadanie úlohy

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Je daný kváder so štvorcovou podstavou o dĺžke hrany a cm

a výške 4 cm. Zapíšte funkciu, ktorá vyjadruje:

a) závislosť objemu kvádra od dĺžky hrany podstavy,

b) závislosť povrchu kvádra od dĺžky hrany podstavy.

Riešenie: a) V = a. b. c » V=a2.c

b) S = 2. (ab + bc + ca) » S= 2a2+4ac

22

Zadanie úlohy

Zisti či dané funkcie sú kvadratické. (áno, nie)

2)1x(y

1x1xy

2

2x4xy

2

)1x)(1x(y

x3x4xy 22

2x4xy

3

Stredná zdravotnícka škola Dolný Kubín

Zmaž Vyhodnotenie Počet správnych odpovedí: 0 Správne odpovede